APC

JEANE ANDREANE PAVELEGINI DE MEDEIROS

MARIA DE LOURDES RODRIGUES PUCCI

MATEMÁTICA

ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO

GEOMETRIAS

POLIEDROS PLATÔNICOS _ SIMETRIA E DUALIDADE.

UFPR

ORIENTADORA: ADRIANA AUGUSTA BENIGNO DOS SANTOS LUZ

1 RECURSOS DE EXPRESSÃO

1.1 PROBLEMATIZAÇÃO DO CONTEÚDO

Você já ouviu falar nos Poliedros Platônicos ou Poliedros de Platão? Sabe

porque eles são assim denominados?

1.2 RELATO

No espaço existem apenas e tão-somente 05 (cinco) poliedros regulares,

também chamados de Poliedros Platônicos.

Mas afinal, qual o fundamento matemático para a existência de apenas

cinco poliedros regulares num universo de infinitas formas?

É sobre a explicação matemática para a existência de apenas cinco

poliedros regulares no espaço e as relações de Simetria e Dualidades nesses

poliedros que vamos trabalhar neste ambiente colaborativo.

1.3 Vamos verificar porque só existem cinco poliedros Platônicos.

Inicialmente é preciso lembrar que um poliedro é considerado regular se é

convexo, ou seja, os ângulos de dois lados formados por duas faces consecutivas é

menor que 180°, se todas as suas faces são formadas por polígonos regulares.

Todos os poliedros que possuem essas características são denominados Poliedros

Platônicos ou Poliedros de Platão, que são os seguintes sólidos:

Imagem disponível em:

http://www.mat.ufrgs.br/~licenmat/trabalhos/trab4/5serie.html

Tetraedro Regular

Hexaedro Regular

Octaedro Regular

Dodecaedro Regular

Icosaedro regular

Estes modelos estão disponíveis no seguinte endereço

http://mathematikos.psico.ufrgs.br/disciplinas/ufrgs/mat01039032/webfolios/grupo1/p

oliedros/cubo.gif

Como visto existem apenas cinco poliedros platônicos. Vamos verificar essa

afirmação utilizando o argumento a seguir:

Em cada vértice de um poliedro teremos o encontro de pelo menos três de

suas faces. Para que o poliedro possa ser considerado regular é necessário que o

ângulo formado por suas faces seja menor que 360°.

Analisando cada caso observamos que:

3 faces ligadas a um vérice:

- Quando as faces do poliedro forem triângulos (ângulo interno 60°), teremos

3x60° = 180°.

-Quando as faces do poliedro forem quadrados (ângulo interno 90°), teremos

3x90° = 270°.

-Quando as faces do poliedro forem pentágonos (ângulo interno 108°),

teremos 3x108° = 324°.

-Quando as faces do poliedro forem hexágonos (ângulo interno 120°),

teremos 3x120° = 360°, o que contradiz a nossa hipótese.

Dessa forma, verificamos para esse caso que as faces dos poliedros

regulares não podem ser formadas por polígono regulares com mais de cinco lados.

4 faces ligadas a um vértice:

- Quando as faces do poliedro forem triângulos, teremos 4x60° = 240°.

-Quando as faces do poliedro forem quadrados, termos 4x90° = 360°, o que

contradiz a nossa hipótese.

Assim, verificamos para esse caso que um poliedro regular construído com 4

faces a partir de um vértice, poderá ter apenas faces triângulares.

5 faces ligadas ao mesmo vértice:

- Quando as faces do poliedro forem triângulos, teremos 5x60° = 300°.

Do mesmo modo que foi verificado no caso anterior, concluímos que não

poderemos ter polígonos com mais de 3 lados, com cinco faces ligadas ao mesmo

vértice.

Atenção para saber mais e resolver um puzzle sobre Poliedros Platônicos

acesse o seguinte endereço:

http://www.dgidc.min-edu.pt/mat-no-sec/criar/poliedros/demo.htm

2 RECURSOS DIDÁTICOS

2.1 SÍTIOS

2.1.1 http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/geometria.htmEsse endereço é da página construída pelo Professor Ulysses Sodré, daUniversidade Estadual de Londrina. No sítio é possível encontrar textos e sugestõesde atividades de diversas áreas da Matemática. A leitura é fácil e muito útil.

2.1.2 http://www.cdcc.sc.usp.br/cav/mat.htm. Nesse sítio você encontra textos dematemática, vídeos, musicas e sugestões de atividades. È indispensável para oprofessor de Matemática.

2.1.3 http://matematicanacidadela.blogspot.com/2008/01/filmes-e-matemtica.html.Um Blog elaborado para apaixonados por matemática. Elaborado por MargarinaPinto Teixeira, professora de Matemática de Portugal.

2.1.4 http://clube.spm.pt/index.php?orgId=1. Sitio Português elaborado porintegrantes da Sociedade Portuguesa de Matemática. Muito bem feito, fácil denavegar e bem elaborado. Não deixe de visitar.

2.1.5 http://www.mat.uc.pt/~gazeta/GazetaOnline/online.php. Sítio de Portugal quetraz publicações sobre matemática. Vale a pena conferir.

2.1.6http://mathematikos.psico.ufrgs.br/disciplinas/ufrgs/mat01039032/webfolios/grupo1/poliedros/platonicoEste endereço é da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Bastanteinteressante. Neste´espaço você encontra outros temas de matemática. A UFRGSestá produzindo excelentes trabalhos sobre Geometria. Sugiro uma busca peloscaleidociclos.

2.1.7 http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_Plat%C3%B3nicos#Propriedades_m.C3.A9tricas_dos_s.C3.B3lido

Este sítio é de fácil acesso e compreensão e os conceitos matemáticos são muitobem estruturados. Vale a pena consultá-lo.

2.2 SONS E VÍDEOS

2.2.1 Sugerimos a utilização do vídeo do pato Donald no País da Matemáticadisponível em www.youtube.com/watch?v=7S3iW_sbqsA.

2.2.2 Outro vídeo bastante interessante é Donald e a Roda da Walt DisneyProductions, com duração de 13 minutos, produzido em 1960. fita 134.Sinopse - Uma viagem no tempo, o "Espírito do Progresso", leva-nos ao homem queinventou a roda. Porém, o filme apresenta-nos nada mais que o Pato Donald,transformado no inventor anônimo. São mostradas todas as aplicações da roda nomundo em que vivemos: desde o desenvolvimento dos transportes até os diversosauxílios que a roda já proporcionou ao homem. Disponível emhttp://www.cdcc.sc.usp.br/cav/mat23.htm

2.2.3 Cilindros, Prismas e Pirâmides � área matemática, subárea � GeometriaEspacial. Produtora: Coronet Films. Tempo 08 minutos. Ano de Produção, 1985.Sinopse.: A partir de planos, estimula-se comparações entre figuras tridimencionaiscom objetos e figuras planas,análogas no mundo físico. Representam-se as trêsdimensões e os efeitos da perspectiva sobre as formas, de maneira intuitiva, nãoverbal. O filme apresenta cilindros, prismas e pirâmides, mostrando, em seqüência,algumas de suas características estimulando-nos a descobrir essas formas emcenas coloridas e animadas. Fita Número 111, disponível emhttp://www.cdcc.sc.usp.br/cav/mat23.htm

2.2.4 Aquarela do Toquinho � vídeo disponível em http://www.youtube.com/watch?v=2-V21HepcgY. Além do vídeo que é belíssimo sugerimos trabalhar a letra em salade aula, juntamente com o Professor de Língua Portuguesa e com o Professor deartes.

Composição: Toquinho / Vinicius de Moraes / G.Morra / M.Fabrizio

Numa folha qualquerEu desenho um sol amareloE com cinco ou seis retasÉ fácil fazer um castelo...

Corro o lápis em tornoDa mão e me dou uma luva

E se faço choverCom dois riscos

Tenho um guarda-chuva...

Se um pinguinho de tintaCai num pedacinho

Azul do papel

Num instante imaginoUma linda gaivotaA voar no céu...

Vai voandoContornando a imensa

Curva Norte e SulVou com ela

Viajando HavaíPequim ou Istambul

Pinto um barco a velaBranco navegandoÉ tanto céu e marNum beijo azul...

Entre as nuvensVem surgindo um lindo

Avião rosa e grenáTudo em volta colorindo

Com suas luzes a piscar...

Basta imaginar e ele estáPartindo, sereno e lindo

Se a gente quiserEle vai pousar...

Numa folha qualquerEu desenho um navio

De partidaCom alguns bons amigos

Bebendo de bem com a vida...

De uma América a outraEu consigo passar num segundo

Giro um simples compassoE num círculo eu faço o mundo...

Um menino caminhaE caminhando chega no muro

E ali logo em frenteA esperar pela gente

O futuro está...

E o futuro é uma astronaveQue tentamos pilotar

Não tem tempo, nem piedadeNem tem hora de chegar

Sem pedir licençaMuda a nossa vidaE depois convida

A rir ou chorar...

Nessa estrada não nos cabeConhecer ou ver o que viráO fim dela ninguém sabe

Bem ao certo onde vai darVamos todos

Numa linda passarelaDe uma aquarelaQue um dia enfim

Descolorirá...

Numa folha qualquerEu desenho um sol amarelo

(Que descolorirá!)E com cinco ou seis retasÉ fácil fazer um castelo

(Que descolorirá!)Giro um simples compasso

Num círculo eu façoO mundo

(Que descolorirá!)...

2.2.5 Conjugação do Ausente. Vinícius de Moraes

(...)

Não ao rádio ou ao espelho, mas à porta

Que te emoldura, fatigada, e ao

Corredor que pára

Para te andar, adunca, inutilmente

Rápida. Vazia a casa

Raios, no entanto, desse olhar sobejo

Oblíquos cristalizam tua ausência.

Vejo-te em cada prisma, refletindo

Diagonalmente a múltipla esperança

E te amo, te venero, te idolatro

Numa perplexidade de criança.

(...)

2.2.6 Paralelas - Belchior

(...)E as paralelas dos pneus n'água das ruas

São duas estradas nuas em que foges do que é teu.

No apartamento, oitavo andar, quebro a vidraça e grito

Grito quando o carro passa: Teu infinito, sou eu.

Sou eu, sou eu, sou eu...

(...)

2.2.7 Aquele Abraço � Gilberto Gil

(...)

Meu caminho pelo mundo

Eu mesmo traço

A Bahia já me deu

Graças a Deus!

Régua e compasso

Quem sabe de mim sou eu

É claro!

Aquele Abraço!

(...)

2.3 PROPOSTA DE ATIVIDADE

2.3.1 A relação de Euler nos Poliedros Platônicos

Essa atividade é para alunos das séries finais do Ensino Fundamental e

também para alunos do Ensino Médio. O que vai variar é a profundidade com que os

conteúdos serão explorados.

A partir de planificações construir modelos de sólidos geométricos. Em

seguida classificá-los em regulares e não regulares. Na seqüência contar o número

de faces, vértices e arestas dos modelos, montar uma tabela e verificar a relação

entre arestas, vértices e faces nos poliedros regulares e nos não regulares. A partir

dessa atividade trabalhar a relação de Euler nos Poliedros Platônicos.

SÓLIDO DE

PLATÃO

Faces Vértices Arestas

TetraedroHexaedroOctaedrododecaedroicosaedro

2.4 IMAGENS

Se olharmos ao nosso redor, observaremos diversas formas geométricas,

Tudo tem um formato, uma característica. Alguns artistas retrataram essas formas

em algumas de suas obras, vejamos:

Paul Klee, Piet Mondrian, Joan Miró e Wassily Kandinsky.

Clique nos linkes abaixo para ver exemplos de belíssimas obras de arte que

utilizam as formas geométricas.

Paul Klee, Piet Mondrian, Joan Miró e Wassily Kandinsky

Uma sugestão é procurar o professor de Arte e Educação Artística e

elaborar em conjunto com eles uma atividade que tenha por objetivo estabelecer

semelhanças e diferenças entre as obras dos artistas, principalmente em relação às

formas geométricas. Aceite o desafio.

Sugerimos que você acesse o seguinte endereço eletrônico, lá é possível

encontar muitas informações sobre Geometria e Arte.

Outra sugestão é acessar o seguinte endereço:

http://www.es.cefetcampos.br/poliedros/modules/myalbum/photo.php?lid=71&cid=1

onde estão disponíveis as planificações e as animações dos poliedros platônicos.

3 RECURSOS DE INFORMAÇÃO

3.1 SUGESTÕES DE LEITURAS

Sobre esse tema recomendamos as seguintes leituras

FONSECA, Maria da Conceição F. R., et al. O ensino da geometria na escolafundamental � três questões para a formação do professor nos ciclos iniciais. 2 ed.1. reimp., Belo Horizonte: Autêntica, 2005.

Nesse livro as autoras propõem, analisam e sugerem atividades para o

ensino de Geometria, levando sempre em consideração a realidade dos alunos.

GUEDJ, D. O teorema do papagaio. Tradução Eduardo Brandão. São Paulo: Cia daLetras, 1999.

O autor trata da beleza da Matemática de uma maneira simples, agradável e

criativa sobre matemática para professores e alunos. O livro faz referências aos

matemáticos mais importantes da História da Matemática. É uma leitura de grande

utilidade.

LUZ, Adriana Augusta B. S. O. O quadrado. Sobre bruxas, professores e lições deGeometria.

O texto faz parte da Tese de Doutorado da Professora Dra. Adriana Augusta

B. S. da Luz, da Universidade Federal do Paraná e trata com muita propriedade da

desmistificação do ensino de Geometria. Leitura indispensável para quem gosta de

ensinar Geometria. Disponível nos Grupos de Trabalho em Rede dos Professores

Jeane Andreane Pavelegini de Medeiros, Maria de Lourdes Rodrigues Pucci e Nilton

Novaki.

MACHADO, Sílvia Dias Alcântara, et al., Educação matemática: uma introdução.São Paulo: EDUC, 1999.

Este livro não trata especificamente de Geometria, no entanto é um livro que

serve de apoio para quem gosta de ensinar Matemática e procura fundamentação

teórica para desenvolver seu trabalho.

3.2 NOTÍCIAS

3.2.1 A construção de uma Câmara para guardar sementes que servirão em caso de

desastre ambiental. Você poderá utilizar a notícia para trabalhar: formas

Geométricas, volume, meio ambiente

http://www.terra.com.br/noticias/infograficos/camaraarticadesementes/

3.2.2 Ecópole. Texto publicado na revista Super Interessante que veicula a seguinte

notícia: �A cidade mais ecológica do mundo vai sair do papel. E sabe onde? Num

dos países mais poluídos, a China.� SUPER INTERESSANTE, agosto, 2007, edição

242. São Paulo: Abril. Texto muito bom para trabalhar matemática de forma

interdisciplinar. È possível explorar formas geométricas, tratamento da informação,

meio ambiente, artes, língua portuguesa, Geografia e história.

3.3 DESTAQUES

O poeta paranaense Paulo Leminski nascido em Curitiba em 1944 e falecido

em 1989 exercia um grande domínio sobre as palavras e em seu Poema.

Paulo Leminski é sem sombra de dúvida um grande nome da literatura

brasileira e que desde os dezoito anos usou a liberdade de linguagem para escrever

poemas, poesias e Haicais.

Escolhi um poema onde o poeta relaciona o olhar dentro de um diamante e

seu olho com mil faces. Não é difícil explorar a poesia e visualizar a geometria.

Amor Bastante

quando eu vi você

tive uma idéia brilhante

foi como se eu olhasse

de dentro de um diamante

e meu olho ganhasse

mil faces num só instante

(...)

Paulo Leminski

Se você quiser saber mais sobre o Paulo Leminski acesse os seguintes

endereços:

http://www.revista.agulha.nom.br/pl.html#dist

http://pt.wikipedia.org/wiki/Paulo_Leminski

http://pt.wikipedia.org/wiki/Paulo_Leminski

Sugestão: Você pode trabalhar com o professor de Ciências e Química

sobre a forma do diamante que possui estrutura poliédrica. Ainda, em Geografia

sobre minerais e rochas.

3.4 PARANÁ

3.4.1 SILO DESABA EM PARANAGUÁ.

Disponível em

http://ultimosegundo.ig.com.br/brasil/2007/11/05/silo_de_42_metros_de_altura_desa

ba_em_paranagu225_pr_1070556.html. Com essa notícia é possível explorar o uso

das formas geométricas para a construção de Silos, bem como estudar a

capacidade de armazenamento das construções que foram elaboradas a partir de

modelos de sólidos geométricos.

3.4.2 A CATEDRAL DE MARINGÁ

A Catedral Basílica Menor de Nossa Senhora da Glória, ou mais conhecida

como a Catedral de Maringá, é o décimo monumento mais alto do mundo e o

segundo da América do Sul. Sua altura é de 114m+10m da cruz, totalizando assim

124m de altura. É um projeto moderno e arrojado feito pelo arquiteto José Augusto

Belluci. A Catedral é toda contornada por espelho de água com fontes luminosas e

chafarizes que jorram a água à 5m de altura. Monumento belo e imponente que

demonstra a fé do povo Maringaense. (fonte:

http://projetomaringa.blogspot.com/2007/09/catedral-de-maring.html)

A Catredal de Maringá é um ótimo exemplo de arquitetura que utiliza as

formas geométricas. Explorar esse tema em sala de aula além de valorizar o Estado

do Paraná auxilia a compreender o quanto as formas geométricas estão presentes

em nosso dia-a-dia.

4 RECURSOS DE INVESTIGAÇÃO

4.1 INVESTIGAÇÃO DISCIPLINAR

disponível http://www.desgeo.cjb.net/

Na investigação disciplinar sugerimos, que após o estudo dos Poliedros

Regulares e Relação de Euler nos Poliedros Regulares, que os Professores

trabalhem com o caleidociclo e verifiquem se a relação de Euler permanece a

mesma para todos os poliedros.

Imagem disponível em

http://mathematikos.psico.ufrgs.br/disciplinas/ufrgs/mat01039032/imagens/caleidocicl

os1b.jpg

Para saber mais sobre os caleidociclos acesse:

http://mathematikos.psico.ufrgs.br/escher.html#caleidociclos.

Outro aspecto que pode e deve ser explorado após a construção e análise

dos Poliedros Platônicos é a questão da simetria e da dualidade.

Em qualquer sólido platônico se unirmos os pontos centrais de faces

adjacentes, obtemos um novo sólido geométrico. Estes dois sólidos são chamados

de duais. A seguir temos exemplos de dualidade.

Imagens disponíveis em:

http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_Plat%C3%B3nicos.

Dos modelos verifica-se que o tetraedro é dual de si próprio, o cubo e

octaedro são duais, bem como o dodecaedro e o icosaedro.

Dessa forma o desafio proposto é comparar o octaedro e o cubo (hexaedro),

contar o número de faces, de vértices e de arestas de cada um dos sólidos. Fazer o

mesmo procedimento com o dodecaedro e o icosaedro. Finalmente conte as faces e

os vértices do tetraedro. E então qual a conclusão?

Disponível e http://www.prof2000.pt/users/lujoin/Escher.gif

Um outro tema que pode ser investigado é a simetria nos poliedros

regulares. Sugerimos que seja estudado o conceito de simetria e verificado como ela

ocorre nos poliedros.

Fonte: Artigo apresentado no Gráphica 2007. POLIEDROS PLATÔNICOS:

DUALIDADE SIMÉTRICA. Ana Magda Alencar Correia e Bruno Leite Ferreira.

UFPE - Universidade Federal de Pernambuco, Depto. de Expressão Gráfica.

4.2 PERPESCTIVA INTERDISCIPLINAR

4.2.1 GEOMETRIA E ARTE

OS POLIEDROS PLATÔNICOS E A ARTE

Ao longo da história do ser humano os poliedros têm estado diretamente

relacionados com o mundo da arte. Um dos pontos altos dessa ligação foi o

Renascimento. Para alguns artistas renascentistas os poliedros forneciam modelos

que os desafiavam a demonstrar o seu conhecimento sobre a perspectiva, para

outros, os poliedros eram símbolos de uma profunda verdade filosófica e religiosa.

Por exemplo a associação de Platão no "TIMAEUS", entre os sólidos platônicos e os

elementos, fogo, terra, ar água (e o universo) foram muito importantes no

Renascimento.

- a terra, o elemento mais imóvel, Platão associa ao cubo, o único poliedro

com faces quadradas, e deste fato, o mais apto a garantir estabilidade;

- o fogo ele atribui ao tetraedro, que é o poliedro mais "pontudo", com

arestas mais cortantes, com menor número de bases, portanto, o de menor

mobilidade;

- a água e o ar, que são de mobilidade crescente e intermediária entre a

terra e o fogo, ele atribui respectivamente o octaedro e o icosaedro.

No entanto, com o tempo, surge o quinto e último poliedro: o dodecaedro.

Platão explicita suas idéias sobre o quinto elemento: o éter, que segundo ele seria a

"alma do mundo".

Imagem disponível emhttp://mathematikos.psico.ufrgs.br/disciplinas/ufrgs/mat01039032/webfolios/grupo1/poliedros/platonicos.html

Ao longo da história do ser humano os poliedros têm estado diretamente

relacionados com o mundo da arte. Um dos pontos altos dessa ligação foi o

Renascimento. Para alguns artistas renascentistas os poliedros forneciam modelos

que os desafiavam a demonstrar o seu conhecimento sobre a perspectiva, para

outros, os poliedros eram símbolos de uma profunda verdade filosófica e religiosa.

Por exemplo: a associação de Platão no "TIMAEUS", entre os sólidos platônicos e

os elementos, fogo, terra, ar água (e o universo) foram muito importantes no

Renascimento.

Nessa época surgiu uma fundação matemática para artistas racionalistas

compreenderem os seus símbolos e explorarem a questão da perspectiva. A ciência

do renascimento explorou fundações matemáticas e visuais para compreender o

mundo físico, astronomia, anatomia.

No entanto, para outros artistas, os poliedros transmitiam inspiração ao

mesmo tempo em que se afiguravam como um armazém de formas com diversas

simetrias que serviam de fonte de inspiração para desenhar e representar nas suas

obras.

Isso ocorreu em especial no séc. XX, período em que se apresenta uma

maior liberdade na utilização de materiais e os antigos conceitos das regras de

representação da escultura, já praticamente são inexistentes.1

Diversos artistas podem ser estudados, desde Vitrúvio até Escher, que

expressam a sua arte através da geometria. Sendo M.C. Escher o melhor exemplo.

4.2.2 GEOMETRIA, CIÊNCIAS E GEOGRAFIA.

A associação de Platão no "TIMAEUS", entre os sólidos platônicos e os

elementos, fogo, terra, ar água (e o universo) pode ser utilizada nas aulas de

Ciências e Geografia ao trabalhar meio ambiente, educação e conservação

patrimonial.

4.3 CONTEXTUALIZAÇÃO

Explorando as embalagens em forma de poliedros.

Essa atividade é para alunos para as séries finais do Ensino Fundamental.

As embalagens que acondicionam o leite chamado longa vida têm a forma

de blocos retangulares e contém 1 litro de leite. Consiga uma delas e calcule seu

volume em centímetros cúbicos. Lembrando que um litro equivale a 1000 (mil)

centímetros cúbicos, verifique se um litro de leite enche completamente a

embalagem, ou se sobra espaço no seu interior.

5 RECURSOS DE INTERAÇÃO

5.1 DIMENSÃO HISTÓRICA

1 Saiba mais consultando o sitio http://joanario.no.sapo.pt/poliedros.htm#a%20arte

Para trabalhar a história da Geometria sugerimos sejam acessados os

seguintes endereços eletrônicos.

http://www.desgeo.cjb.net/http://www.somatematica.com.br/geometria.phphttp://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm16/historia.htmhttp://educacao.uol.com.br/matematica/historia-geometria.jhtm

A sugestão de trabalho é agendar um horário no laboratório de informática

da escola, listar os endereços para que os alunos possam acessa-los e após fazer

uma leitura em grupo e comparar os diferentes textos para avaliar as semelhanças e

diferenças, bem como fazer uma escala com os principais marcos de evolução da

Geometria.