Apd 2

ANALISA DAN PENGOLAHAN DATA

ALI ALTWAY

1. Bhattacharyya, Couri K., Richard A. Johnson. “ Statistical concepts and methods “, John Wileye & Sono, New York, 1977.

2. G.E.P. BOX, W.G. Hunter, J.S. Hunter,“ Statistics for experimenters “,John Willy & Sono, New York, 1978.

3. R.E.Walpole and R.H.Myers,”Probability and Statistics for Engineers and Scientist”,4th ed.,Macmillan Publishing Co., 1989

4. R.E. Walpole and R.H. Myers,”Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan”,edisi ke-4, penerjemah: RK Sembiring, Penerbit ITB, 1995

5. Bowker,A.H., and G.J.Lieberman,”Engineering Statistics”,Prentice-Hall, Englewood, 1959

PUSTAKA

1. Pendahuluan2. Dasar-dasar statistik deskriptif3. Dasar-dasar statistik inferensia4. Analisa regresi5. Pengantar experimental design6. Aplikasi statistik dalam industri

MATERI EVALUASI

1. TUGAS 20%

2. SHORT TEST 10%

3. QUIZ 30%

4. UJIAN 40%

Statistik = Kumpulan metode dan konsep yang digunakan untuk mengumpulkan dan meng-interpretasikan data yang berhubungan dengan suatu daerah penelitian tertentu dan untuk menarik kesimpulan dalam situasi dimana ketidakpastian dan fluktuasi terjadi.Statistik berhubungan dengan keadaan dalam mana terjadinya suatu peristiwa tak dapat diramalkan dengan pasti. Kesimpulan kita sering-sering tidak pasti karena kesimpulan ini didasarkan pada data yang tidak lengkap. Contoh : Menyimpulkan besar laju pengangguran disuatu daerah didasarkan pada suatu survey dari beberapa ribu penduduk.

PENGERTIAN STATISTIK

1. PENDAHULUAN

populasi

Sampel

Populasi : Suatu kumpulan komplit dari pada pengukuran-pengukuran (pengamatan-pengamatan) yang mungkin dalam suatu daerah penelitian tertentu.Populasi menyajikan target (tujuan) suatu penelitian dan tujuan proses pengumpulan data adalah menarik kesimpulan tentang populasi ini.Sampel dari suatu populasi adalah suatu kumpulan pengukuran-pengukuran yang sesungguhnya dilakukan dalam suatu penyelidikan.Contoh : Daerah polusi udara di kota Surabaya.Populasi : Kumpulan pengukuran-pengukuran kadar polutan di seluruh bagian udara di kota Surabaya.

POPULASI DAN SAMPEL

Sampel : Kumpulan pengukuran-pengukuran kadar polutan yang benar-benar dilakukan di beberapa bagian udara di kota Surabaya.

63 64 65 66 67 68 69 70

Cara grafis menyajikan data antara lain :- Dot diagram- HistogramDot Diagram :( Digunakan untuk data sedikit)Dibuat garis lurus horizontal dengan dilengkapi skala yang mencakup rauge harga pengukuran-pengukuran. Tiap data pengukuran diplot pada garis ini sebagai titik.

Contoh 2.1Buat Dot diagram dari data berikut :66.7 64.3 67.1 66.1 65.5 67.1 69.1 67.2 67.1 66.7 68.1 65.7 66.4Penyelesaian :

PENYAJIAN DATA

2. STATISTIK DESKRIPTIF

Tahapan-tahapan pembuatan distribusi frekuensi-Tentukan harga minimum dan maksimum dalam kumpulan data.-Pilih sejumlah sub interval atau sel-sel dengan lebar sama yang meliputi range diantara harga minimum dan maksimum tanpa menimbulkan overlapping. Sel-sel ini disebut class intervals, dan titik-titik ujungnya disebut class boundary.-Hitung banyak pengamatan dalam data yang termasuk dalam masing-masing class interval. Banyak data dalam tiap-tiap kelas ini disebut class frekuency atau cell frequency.-Tentukan relative frequency untuk tiap kelas, yaitu :

DISTRIBUSI FREKUENSI

totaldataBanyak

frequencyClassRelative Frequency=

Banyak kelas yang dianjurkan = 1 + 3,3 log n n = banyak data keseluruhan

Histogram Relative Frequency :-Class interval diplot pada sumbu horizontal.-Pada tiap class interval dibuat sebuah segi empat dengan luas sama dengan relative frequencynya.

ervalclassLebar

kelasfrequencylative

int

Re

HISTOGRAM RELATIVE FREQUENCY

Tinggi tiap segi empat =

Data berikut menyatakan 78 pengukuran konsentrasi ozom diatmosfer suatu kota 1 dalam 1/100 ppm. Tiap pengukuran adalah rata-rata pembacaan tiap jam selama 4 hari. Buat tabel distribusi frekwensi untuk 11 class interval dan buat pula histogram relative frequencynya.

3.5 1.4 6.6 6.0 4.2 4.4 5.3 5.66.8 2.5 5.4 4.4 5.4 4.7 3.5 4.02.4 3.0 5.6 4.7 6.5 3.0 4.1 3.46.8 1.7 5.3 4.7 7.4 6.0 6.7 11.75.5 1.1 5.1 5.6 5.5 1.4 3.9 6.66.2 7.5 6.2 6.0 5.8 2.8 6.1 4.15.7 5.8 3.1 5.8 1.6 2.5 8.1 6.69.4 3.4 5.8 7.6 1.4 3.7 2.0 3.76.8 3.1 4.7 3.8 5.9 3.3 6.2 7.66.6 4.4 5.7 4.5 3.7 9.4

CONTOH 2.2

Harga minimal = 1,1Harga maksimal = 11,7

0.111

1.17.11

PENYELESAIAN

Lebar kelas=

Distribusi Frekwensi :

Kelas Interval Frekwensi Relative Frekwensi

1.05 – 2.05 7 0.0902.05 – 3.05 6 0.0773.05 - 4.05 13 0.1674.05 - 5.05 11 0.1415.05 - 6.05 20 0.2566.05 - 7.05 13 0.1677.05 - 8.05 4 0.0518.05 - 9.05 1 0.0139.05 - 10.05 2 0.02610.05 - 11.05 0 -11.05 - 12.05 1 0.013

Histogram relative frekwensi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0.1

0.2

0.3

CLASS INTERVAL

Luas segi empt= relative frequency

Ukuran Pusat

Gambaran grafik yang telah dibahas membantu kita untuk membayangkan bagaimana pola dari data set. Dari kumpulan data berbentuk angka-angka, kita sering ingin mengetahui nilai-nilai tertentu. Salah satu dari nilai yang demikian ialah nilai disekitar mana data berupa angka-angka atau tersebar, nilai tersebut dinamakan nilai rata-rata (average) dari pada angka-angka.

Nilai rata-rata dari pada sekumpulan data : X1, X2, ………….., Xn adalah :

x )12(...................... 121

N

x

N

xxx

N

ii

N

)22(..................................................1

i

n

iii

f

xfx

N = Banyak data totalfi = Frekwensi kelas ke-Ixi = Harga tengah kelas

ke-I n = Banyak kelas

UKURAN SEBARAN

Selain harga rata-rata aspek penting lainnya adalah pengukuran secara numerik bagaimana penyebaran bilangan dari data set disekitar harga rata-rata. Sebagai ukuran penyebaran ini adalah variance (sebaran). Variance dari sekumpulan data X1, X2, ………………….., XN adalah

)32(..............................)(

222

IN

xNx

IN

xx iiS2 =

)42.......(....................11)(

)(222

N

xNxf

f

xxf ii

i

ii

S2 =

SSVariance 2Standard deviasi =

Tentukan nilai rata-rata dan variance untuk kumpulan data berikut : 92, 64, 105, 81, 78

CONTOH 2.3

PENYELESAIAN

x 845

78811056492

S2 = 15

)8478()8481()84105()8464()8492( 22222

= 237,5

Class Interval Titik Tengah Frequency fi xi fi xi2

Kelas, xi fi

14.5- 19.5 17 18 306 5202

19.5-24.5 22 74 1628 35816

24.5-29.5 27 62 1674 45198

29.5-34.5 32 26 832 26624

34.5-39.5 37 20 740 27380

5180 140220

CONTOH 2.4

Diketahui data berikut:

Class Interval Frekuensi, fi

14.5- 19.5 18

19.5-24.5 74

24.5-29.5 62

29.5-34.5 26

34.5-39.5 20 PENYELESAIAN:

Hitung rata-rata hitung, variance dan standard deviasi

9,25200

5180

44.301200

)9.25(200140220 2

517.544.30

x

S2 =

S =

Ada beberapa ukuran letak :MedianQuartile

Desil Persentil

UKURAN LETAK

Medium dari pada sekumpulan data :x1,x2, …………………, xN

adalah harga tengah bila data disusun dari kecil ke besar.

Bila N ganjil, maka ada satu harga tengah

Bila N genap, ada dua harga tengah, maka: median = rata-ratanya

MEDIAN

MEDIANContoh 2.5Tentukan median dari kumpulan data berikut :a). 7, 1, 3, 5, 8b). 8, 1, 2, 7, 9, 5Penyelesaian :a). Data diurut : 1, 3, 5, 7, 8

median = 5b). Data di-urut : 1, 2, 5, 7, 8, 9

median =

62

75

Median

L = Batas bawah kelas medianfsm = Jumlah frekwensi-frekwensi kelas sebelum kelas medianfm = Frekwensi kelas medianh = Lebar kelas

Untuk data yang dikelompokkan, median diperoleh dari

)52.......(...........2

hf

fN

LMem

sm

QUARTILE

Quartile ke-k sekumpulan data adalah data ke- 4

)1( kN

sebelum data diurut dari kecil ke besar. N = banyak data total,

4

)1( kN Bila Bukan integer, maka dilakukan interpolasi linear

Untuk data yang dikelompokkan, quartile ke-k (Qk) diperoleh dari,

)62........(...........4

hf

fNk

LQkq

sq

Dimana :L = Batas bawah kelas quartilefsg = Jumlah frekwensi kelas-kelas sebelum kelas quartilefq = Frekwensi kelas quartileh = Lebar kelas

DESIL

Desil ke-k sekumpulan data adalah data ke- 10

)1( kN

setelah data diurut dari kecil ke besar.

Bila 10

)1( kN bukan integral, dilakukan interpolasi linear

Untuk data yang dikelompokkan, desil ke-k (Dk ) diperoleh dari,

)72.....(...........10

hf

fNk

LDd

sd

k

Dimana :L = Batas bawah kelas desilfsd = Jumlah frekwensi kelas-kelas sebelum kelas desilfd = Frekwensi kelas desilh = Lebar kelas

PERSENTILE

100

)1( kN

)72.....(...........100

hf

fNk

LPp

sp

k

Dimana :L = Batas bawah kelas persentilefsp = Jumlah frekwensi kelas-kelas sebelum kelas persentilefp = Frekwensi kelas persentileh = Lebar kelas

Persentil ke-k sekumpulan data adalah data ke-

setelah data diurut dari kecil ke besar.

Bila bukan integral, dilakukan interpolasi linear

Untuk data yang dikelompokkan, desil ke-k (Pk ) diperoleh dari,

100

)1( kN

CONTOH SOAL UKURAN LETAK

Contoh 2.6 :

Untuk data pada contoh-4, tentukan :a). Median

b). Q1 dan Q3 c). D3 dan P15

Penyelesaian :

Dibuat tabel berikut :

Class internal Frekwensi Frekwensi Kumulatif14.5-19.5 18 1819.5-24.5 74 9224.5-29.5 62 15429.5-34.5 26 18034.5-39.5 20 200 ------------- 200

PENYELESAIAN (LANJUT)

a). Median Kelas median = class internal ke-3

)5.(62

922

200

5.24Me

b). Q1 : Kelas quatile ke-1 = class interval ke-2

)5.(74

184

200

5.191Q

Q3 : Kelas quartile ke-3 = class interval ke-3

)5.(62

92)43

)(200(5.243Q

D3 :Kelas desil ke-3 = class interval ke-2

)5.(74

1810/)3)(200(5.193D

P15 :Kelas persentile ke-15 = class interval ke-2

)5.(74

18100/)15)(200(5.1915P

PENYELESAIAN (LANJUT)

MODUSUntuk menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi atau paling banyak terdapat digunakan ukuran Modus

L

h

hff

fLMO

21

1

L= batas bawah kelas modus

h=lebar kelas interval

1f = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya

= Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat berikutnya

2f

3. DASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIA

Teori Probabilitas

Probabilitas suatu kejadian yang tak pasti adalah ukuran numerik mengenai besarnya peluang kejadian ini akan terjadi. Konsep probabilitas adalah relevant terhadap eksperimen-eksperimen yang mempunyai ketidak pastian.Experimen : Proses mengumpulkan data yang relevant dengan suatu fenomena yang menunjukkan variasi hasil pengamatannya.Kumpulan seluruh hasil pengamatannya mungkin untuk suatu eksperiment disebut sample space dari pada hasil pengamatan. Sample space dinyatakan dengan S .

Contoh :Akan ada 2 anak lahir esok hari disuatu kampung, yang diamati adalah apakah anak ini pria atau wanita. Tentukan elemen-elemen sample space nya.Jawab : S pp, wp, pw, ww

Kumpulan hasil pengamatan eksperimen (outcome) yang dikarakterisasikan oleh beberapa batasan-batasan tetentu disebut event ( kejadian ).Outcome elementer dari pada suatu sample space adalah elemen-elemen yang mempunyai peluang sama untuk terpilih sebagai hasil pengamatan eksperimen yang berhubungan dengan sample space ini.Bila suatu sample space terdiri atas k outcome elementen (e1,e2, ……….., ek ) yang mempunyai peluang sama untuk terjadi dan kejadian A terdiri atas m dari pada elemen-elemen ini, maka :

P (A) = m/k

DASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIATeori Probabilitas

Tiga dasar operasi kejadian yaitu :UNIONINTERSECTIONCOMPLEMENTATION

Operasi-operasi Kejadian:

Union Intersection Complementation

A U B AB AC

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

P(AC)=1-P(A)

HUKUM PERMUTASIJumlah susunan berbeda yang dapat dibentuk dengan r benda yang dipilih dari satu kelompok n benda dinyatakan dengan:

yang dibaca : jumlah permutasi r dari n

nrP

!!

rn

nP nr

Hukum Kombinasi Hampir sama dengan permutasi hanya saja urutan yang berbeda tak menyebabkan susunan berbeda. Kombinasi dinyatakan dengan

r

n

)!(!

!

rnr

n

r

n

DASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIA

Teori Probabilitas

Probabilitas bersyarat ( Canditional Probability ) :Probabilitas suatu kejadian A sering berubah sesudah informasi diperoleh mengenai apakah suatu kejadian B terjadi atau tidak. Proabilitas ini disebut probabilitas bersyarat dari pada A asal B terjadi, simbolnya P [ A/B ].

)(

)()/(

BP

ABPBAP


Teori Probabilitas

atau P ( AB ) = P ( A/B ) P ( B )

Untuk 3 kejadian A, B, C, :P ( ABC ) = P ( A) P ( B/A ) P ( C/AB )Kejadian A dan B tak bergantung satu sama lain ( independent ) bila :

P ( A/B ) = P ( A ) danP ( B/A ) = P ( B ) , berarti:

P ( AB ) = P ( A ) P ( B )

Kejadian A terjadi berhubungan dengan satu dan hanya satu dari pada kejadian-kejadian B1 , ……,BK yang membentuk suatu partisi dari pada ruang sampel menjadi himpunan-himpunan yang disjoint, dimana P(B1),….,P(Bk ), P (A/B1 ), ……………,P(A/BK) diketahui, akan dicari P (B1 /A) menurut teorema bayes :


Teori Probabilitas

)/()(

)/()()/( 11

1

jj BAPBP

BAPBPABP

B1 B2 B3

A

TEOREMA BAYES

Contoh 3.1Satu unit barang diproduksi oleh 5 karyawan yang mengerjakan bagian-bagian yang berbeda, karyawan-karyawan ini mengerjakan tugasnya tak bergantung atu sama lain. Hasil pekerjaan karyawan-karyawan ini ada cacatnya, yaitu berturut-turut 1%, 2%, 3%, 2%, dan 1% untuk karyawan I, II, III, IV, dan V.Tentukan % produk :a). Prima ( yaitu produk yang seluruh bagin nya tidak cacat)b). Buangan ( yaitu produk yang seluruh bagiannya cacat ).

Penyelesaian :A = Kejadian dimana karyawan I bekerja tampa cacatB = Kejadian dimana karyawan II bekerja tampa cacatC = Kejadian dimana karyawan III bekerja tampa cacatD = Kejadian dimana karyawan IV bekerja tampa cacatE = Kejadian dimana karyawan V bekerja tampa cacata). P ( ABCDE ) = P ( A ) P ( B ) P ( C ) P ( D ) P ( E )

= ( 0,99 ) ( 0,98 ) ( 0,97 ) ( 0,98 ) ( 0,99 )b). P ( ACBCCCDCEC) = ( 0,01 ) ( 0,02 ) ( 0,03 ) ( 0, 02 ) ( 0,01 )

= 12 x 10-10


Teori Probabilitas


Contoh 3.2Probabilitas suatu penerbangan berangkat tepat pada waktunya P ( D ) adalah 0,83, probabilitas datang tepat pada waktunya P ( A ) adalah 0.92, dan probabilitas berangkat dan datang tepat pada waktunya P ( DA )adalah 0.78.(a)Tentukan probabilitas pada suatu penerbangan pesawat datang ( mendarat ) tepat pada waktunya, bila pesawat tersebut, berangkat tepat pada waktunya.(b)Tentukan probabilitas bahwa pada suatu penerbangan, sebuah pesawat berangkat tepat pada waktunya, bila diketahui pesawat tersebut mendarat tepat pada waktunya.(c)Tentukan probabilitas bahwa pada suatu penerbangan, sebuah pesawat berangkat dan mendarat terlambat.

Teori Probabilitas DASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIA

94.083.0

78.0

)(

)()/(

DP

DAPDAP

c). P ( DCAC) = ? P (D) = P ( DA ) + P ( DAC) 0.83 = 0.78 + P ( DAC) P (DAC) = 0.83 – 0.78 = 0.05 P(AC) = P ( DAC) + P ( DCAC) P(AC) = 1- D(A) =1-0.92 = 0.08 P(DCAC) = 0.08 – 0.05 = 0.03

85.092.0

78.0

)(

)()/(

AP

DAPADP

Penyelesaian:

a)

b)

Teori Probabilitas


Contoh 3.34 pembunuh hama a, b, c, dan d akan diuji dengan memberikan masing-masing pembunuh hama pada sebuah tanaman, dan 4 tanaman dipilih dari sederetan 10 tanaman. Ada berapa kemungkinan pemberian ke-4 pembunuh hama ini ?

Penyelesaian :Salah satu dari ke-10 tanaman dapat dipilih untuk membunuh hama a. Untuk setiap pilihan a, terdapat 9 tanaman yang sisa. Masing-masing tanaman ini bisa dipilih untuk b, demikian seterusnya.Menurut Product Rule : Jumlah kemungkinan pemberian ke-4 pembunuh hama ini adalah = 10 x 9 x 8 x 7 = 5040


Contoh 3.4 :Komite penasehat mengenai tindak pidana terdiri atas 15 anggota. Dari ke 15 anggota ini, 9 diantaranya setuju, 4 diantaranya tidak setuju dan 2 diantaranya abstain. Seorang reporter ingin memilih secara acak 3 orang dari komite ini dan mencatat pandangan-pandangannya pada suatu siaran TV.Tentukan probabilitas bahwa paling sedikit 2 dari orang dipilih setuju dengan program tersebut.Tentukan probabilitas bahwa dua orang pertama dari orang-orang yang dipilih setuju dengan program, dan orang ketiga tidak setuju.

Penyelesaian :Definisikan :

A2 = Kejadian dimana 2 orang setuju programA3 = Kejadian dimana 3 orang setuju program

P (A2 UA3 ) = P(A2) + P(A3)


455

216

2

15

1

6

2

9

)( 2

AP455

84

3

15

0

6

3

9

)( 3

AP

b). Dalam hal ini urutan perlu diperhatikan. P [ dua orang pertama setuju, orang ketiga tak setujui ] =

k

m

m = P29 x P1

4 = ( 9x8) ( 4 ) = 288

k = P315 = 15 x 14 x 13 = 2730

P [ 2 orang pertama setuju, orang ke-3 tak setuju ]

455

300

455

84

455

216)( 32 UAAP

Penyelesaian :a) Definisikan : A2 = Kejadian dimana 2 orang setuju program A3 = Kejadian dimana 3 orang setuju program P (A2UA3) = P(A2) + P(A3)

2730

288

Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas


Variabel acak adalah suatu fungsi yang harganya merupakan bilangan real yang ditentukan oleh masing-masing elemen didalam sample space. Variabel acak dinyatakan dengan simbol x.

e1

e2

e31 2 3 4

Kenapa dikatakan random variabel ? dikatakan random (acak) karena kita tak mengetahui sebelumnya elemen (simple event) mana yang terjadi dan harga x berapa yang diberikan.Yang perlu diperhatikan lagi adalah x disebut variabel, walaupun pada hakekatnya merupakan fungsi yang didefinisikan pada suatu sample space. Tabel yang menghubungkan harga variabel acak dan probabilitasnya disebut Tabel Distribusi Probabilitas.


Dua produk A dan B diuji oleh 4 pelanggan yang kemudian menyatakan lebih menyukai A atau lebih menyukai B.(a)Tentukan elemen-elemen sample spacenya.(b)Difefinisikan variabel acak x sebagai jumlah orang lebih menyukai A dari pada B. tentukan tabel distribusi probabilitasnya.

COONTOH 3.5

Penyelesaian :a). Elemen-elemen sample space :

A A A A A A A B A A B B A B B B B B B B A A B A A B A B B A B B A B A A A B B A B B A B B A A A B A A B B B B A

B B A A B A B A

16

1)0( XP

16

4)1( XP

16

6)2( XP

16

4)3( XP

16

1)4( XPb)

16

1

16

4

16

6

16

4

16

1

x

P(X=x)

10 2 3 4


JENIS VARIABEL ACAK

Ada dua jenis variabel acak yaitu:

Variabel Acak Diskrit

Yang harganya berupa bilangan bulat (integer)

seperti: banyak orang, banyak kali perlakuan

Variabel Acak Kontinue

Yang harganya bisa bulat atau pecahan

seperti: berat badan, suhu, tekanan, pH, Komposisi

DISTRIBUSI PROBABILITAS UNTUK VARIABEL ACAK YANG KONTINUE.


Distribusi probabilitas untuk variabel acak kontinue tak dapat dinyatakan dalam bentuk tabel, tapi dalam bentuk grafik atau formula f ( x ) yang disebut fungsi probabilitas densitan.

Sifat-sifat fungsi densitas adalah :1. f ( x ) ≥ 0 untuk seluruh harga x

1)( dxxf2.

b

a

dxxf )(3. P( a<X<b)= Luas diabwah kurva

a b

f(x)

x


Ekspektansi merupakan ukuran pusat untuk suatu distribusi probabilitas suatu variabel acak.Ekspektansi didefinisikan sbb :

EKSPEKTANSI

)()( ii xfxXE

Sifat-sifat Ekspektansi :E (a ) = aE ( bx ) = b E ( x )E ( x + a ) = E (x ) + aE ( a + bx ) = a + b E ( x )E ( a + bx + cx2 ) = a + b E ( x ) + c E ( x2 )

dxxfxXE )(

Untuk variabel acak diskrit

Untuk variabel acak kontinue


Variance merupakan ukuran untuk suatu distribusi probabilitas variabel acak. Variabel didefinisikan :

VARIANCE

2222 )( XEXEXVar

)(XVarStandard Deviasi=

Sifat-sifat variance :Var ( x ) tak boleh negatif

Var ( x + a ) = Var ( x )Var ( b x ) = b2 Var ( x )

Var ( a + bx ) = b2 Var ( x )

Seorang pengusaha alat-alat listrik dapat membeli komponen listrik yang dibutuhkan dari dua supplier ( supplier A dan B ). Komponen-komponen ini dijual dalam kemasan kotak adalah $ 500,- dari supplier A dan $ 510,- dari supplier B. Bila ada komponen yang rusak biaya perbaikannya $ 7 = perkomponen. Dari pengalaman diketahui data distribusi probabilitas berikut.

0.4 0.4 0.2

Jumlah rusak per kotak,x

Prob(X=x)

0 1 2

Suplier B

Jumlah rusak per kotak,x

Prob(X=x)

0 1 2 3 4

0.1 0.2 0.3 0.3 0.1

Suplier A

DASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIACONTOH 3.6

Dari supplier mana, pengusaha ini harus membeli komponen listrik yang dibutuhkan ?


Penyelesaian :X = Jumlah komponen rusak perkotakCA = Biaya total perrkotak dari supplier ACB = Biaya total perrkotak dari supplier BCA = 500 + 7 xCB = 510 + 7xE ( CA ) = 500 + 7 E ( X ) = 500 + 7 [ ( 0 ) ( 0.1 ) + ( 1 ) ( 0.2 ) + ( 2 ) ( 0.3 ) + ( 3 ) ( 0.3 ) + ( 4 )( 0.1) ] = = $ 514.7E ( CB ) = 510 + 7 E (X) = 510 + 7 [ ( 0 ) ( 0.4 ) + ( 1 ) ( 0.4 ) + ( 2 ) ( 0.2 ) ] = $ 515.6Pengusaha ini harus membeli dari supplier A

DASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIA Contoh 3-7 :Untuk distribusi probabilitas berikut :

x

f(x)

0 1 2 3

0.3 0.4 0.2 0.1

Tentukan : a. Prob [ x ≥ 2 ] b. Prob [ 0 < x ≤ 2 ] c. Var ( x ) ; sd ( x )

Penyelesaian :a). Prob [ x ≥ 2 ] = Prob [ x = 2 ] + Prob [ x = 3 ] = 0.2 + 0.1 = 0.3b). Prob [ 0< x ≤ 2 ] = Prob [ x = 1 ] + Prob [ x = 2 ] = 0.4 + 0.2 = 0.6c).Var(X)=E(X2)-μ2 E(X2) = ( 0 )2 ( 0.3 ) + ( 1 )2 ( 0.4 ) + ( 2 )2 ( 0.2 ) + ( 3 )2 ( 0.1 )

= 0 + 0.4 + 0.8 + 0.9 =2.1

1.2)( xVarSd (x)=


0x

Contoh soal 3-8Masa pakai, dinyatakan dengan x, untuk semacam alat dapat dinyatakan oleh fungsi densitas ekspormensial dengan persamaan:

Tentukan peluang sebuah alat demikian yang dapat dipakai selama :a)Antara 3 dan 31/2 bulanb)Lebih dari 3 bulanc)Tentukan pula rata-rata masa pakainya.

xexf 5.05.0

Dimana: dalam bulan

Penyelesaian :5.3

3

5.0

5.05.3

3

5.0)5.33Pr( x

x

edxx

a. 0493.05,175.1 ee

2231.005.0)3Pr( 5.1

3

5.0

3

5.0

eedxex xxb.

0

5.0

0

5.05.0

00

2/15.0 dxeexdexdxxe xxxx 220

5.0 xec.

DASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIADISTRIBUSI PROBABILITAS TEORITIS

Distribusi probabilitas teoritis ( model probabilitas) untuk suatu variabel acak x adalah suatu bentuk tertentu dari pada distribusi probabilitas yang dianggap mencerminkan kelakuan daripada x. dalam hal ini probabilitas dinyatakan dalam parameter-parameter yang tak diketahui yang berhubungan dengan karakteristik populasi.Ada persyaratan mengenai model probabilitas ini yaitu : - Kesesuaian dengan populasi - SederhanaAkan dipelajari model probabilitas untuk variabel acak diskrit dan kontinue.

DASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIADISTRIBUSI PROBABILITAS TEORITIS UNTUK VARIABEL ACAK

DISKRIT.

Distribusi Binomial :

APerhatikan sebuah eksperimen yang hanya menghasilkan dua peristiwa A dan bukan A, atau

, dimana P ( A ) = π. Bila π tetap harganya, maka percobaan yang berulang-ulang dari eksperimen itu dinamakan percobaan Bernoulli.Sekarang lakukan percobaan Bernoulli sebanyak N kali secara independent, dimana x diantaranya menghasilkan kejadian A dan sisanya N – x kejadian bukan A

xNx

x

NxX

)1()Pr(

Ekspektensi dan variance untuk distribusi ini yang disebut distribusi binomial adalah :

μ = N π

= N π ( 1- π ) 2


Distribusi Multinominal

Misal sebuah eksperimen menghasilkan peristiwa-peristiwa E1, E2, ………., Ek dengan peluang π1 = P (E1 ), π2 = P (E2 )……, πk = P (Ek ).Terhadap eksperimen ini kita lakukan percobaan sebanyak N kali. Maka peluang akan terdapat x1 peristiwa E1, χ2 peristiwa E2 , ……….., χk peristiwa Ek diantara N ditentukan oleh distribusi multinominal berikut.

KXXX

K

kkN

xXxXxX

.....!.....!.........!

!)Pr( 21

2121

......,22,11

Dengan χ1+ χ2+ ……………..+ χk = N dan π1 + π2 + ………….. + πk = 1Ekspektansi terjadinya tiap peristiwa E1, E2, …….., Ek berturut-turut adalah Nπ1, Nπ2, ……….,Nπk. Sedang variancenya masing-masing Nπ1 ( 1- π1 ), Nπ2 ( 1- π2 ), ……., Nπk ( 1- πk ).


Distribusi Hipergeometrik :

Misal ada sebuah populasi erukuran N diantaranya terdapat D buah termasuk katagori tertentu. Dari populasi ini, sebuah sampel acak diambil berukuran n. Pertanyaan yang timbul : berapa peluang dalam sampel itu terdapat χ buah termasuk katagori tertentu itu ? jawabannya ditentukan oleh distribusi hipergeometrik berikut.

n

N

n

DN

x

D

xX

)Pr(

Ekspektunsi distribusi hipergeometrik adalah μ = E (x ) = n D/N


Distribusi Geometrik :

Eksperiman E menghasilkan peristiwa A dengan peluang π dan bukan A dengan peluang ( 1- π ). Misal variabel acak x adalah jumlah percobaan ( ondependent ) yang harus dilakukan untuk mendapatkan peristiwa A pertama kali. Probabilitas P [ X=x ] = π ( 1- π )x-1 , x = 1,2,3, ……


Distribusi Poisson :

Distribusi poisson digunakan untuk menentukan peluang sebuah kejadian yang terjadinya sangat jarang. Distribusi poisson dinyatakan dengan,

!)Pr(

x

mexX

xm

mXE )(

mXVar )(2

Untuk N besar π kecil, dan m besarnya sedang, distribusi Binomial mendekati distribusi Poisson


DISTRIBUSI PROBABILITAS TEORITIS UNTUK VARIABEL ACAK KONTINUE

Distribusi Normal :

Salah satu distribusi probabilitas teoritis yang berlaku untuk variabel acak kontinue adalah distribusi normal yang diusulkan oleh pierre-Laylace dan Carl Gauss yang bentuk matematiknya adalah :

2

2

2

)(

2

1)(

x

exf

Dimana : f ( x ) = fungsi densitas μ = harga rata-rata

σ = standard deviasi

Distribusi normal dengan mean μ dan standard deviasi σ diberi simbol N(μ,σ)

x

Z

Didefinisikan variabel standard Normal:

Dalam hal ini distribusinya disebut distribusi standard normal yang mempunyai mean = 0 dan standard deviasi = 1 atau diberi simbol N ( 0,1 ). Telah dibuat tabel normal yang didasarkan pada variabel standard normal Z.


Pendekatan normal untuk distribusi binomial

Bila x mengikuti distribusi binomial b ( n,p ) dimana n besar dan b tak terlalu dekat dengan 0 atau 1, maka distribusi daripada variabel standard :

nPq

nPxZ

adalah mendekati N ( 0,1 ).

pnp

npbZ

pnp

npaobbxaob

11Pr)(PrBerarti:

pnp

npbZ

pnp

npaobbxaob

1

5.0

1

5.0Pr)(Pr

Dengan koreksi, perhitungan lebih teliti:

Menguji asumsi distribusi normal :


Metode I : Menghitung proporsi pengamatan-pengamatan disekitar mean. Bila distribusi Normal :

3

1,Pr xxob

20

12,2Pr xxob

300

13,3Pr xxob

sx ,

Untuk sampel besar:

1. Hitung jumlah pengamatan-pengamatan di luar interval :

2. Bagi dengan jumlah total pengamatan. Bandingkan dengan harga-harga teoritas

3)1(

/ˆ

n

pppp3. Bila: → Tidak normal

sxsxsxsxsxsx 3,3,2,2,,


Metode II : Menggunakan normal protability paper 1. Urutkan n pengamatan-pengamatan dari kecil ke besar. 2. Pilih skala pada sb. horizontal untuk mengakomodasi seluruh pengamatan- pengamatan. 3. Plot modified cumulative relative frequency ( i – 1 )/n pada sb. Vertikal versus harga pengamatan urutan ke-i pada sb.horizontal. 4. Bila plot menyimpang dari garis lurus → tak normal Bila plot menuruti garis lurus → normal

Menguji asumsi distribusi normal :


Normal Probability Paper (Kertas Peluang Normal)


Normal Probability Paper (Kertas Peluang Normal)

Bila pengujian menghasilkan kesimpulan bahwa distribusi tak normal. Maka bisa dilakukan transformasi pengamatan-pengamatan untuk memperoleh distribusi yang hampir normal yaitu :Membuat harga menjadi lebih besar : x2, x3, …..Membuat harga menjadi lebih kecil :

TRANSFORMASI VARIABEL


,........1

,log,, 4

xxxx

Contoh soal 3-9Setiap partai barang kiriman terdiri dari 100 unit. Pembeli setuju untuk membeli kiriman partai barang tersebut jika dalam sebuah sample acak terdiri dari 10 unit, paling banyak berisi satu unit rusak. Partai barang berisi 10% unit rusak. Tentukan peluang bahwa pembelian akan terjadi.

Penyelesaian :Digunakan distribusi hipergeometrik.

n

N

n

DN

x

D

xXob

)(PrN = 100, D = ( 0.1 ) ( 100 ) = 10

n = 10

Akan dicari P [ x ≤ 1 ] P [ x ≤ 1 ] = P [ x = 0 ] + P [ x = 1 ]

10

100

110

10100

1

10

10

100

010

10100

0

10

10

100

9

90

1

10

10

100

10

90

0

10


7385.04080.03305.0107310309.1

100625252.710

107310309.1

107206454.51

!90!10!100

!81!9!90

!9!1!10

!90!10!100

!80!10!90

!10!0!10

13

11

13

12

x

xx

x

xx

DASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIAContoh 3-10

Jumlah permintaan nomor telepon melalui operator dari jam 10.00 s/d 10.15 teristribusi poisson dengan rata-rata 3. Tentukan peluang bahwa pada suatu hari dalam waktu tersebut operator.a.Tak menerima permintaanb.Menerima kurang dari 3 permintaanc.Menerima lebih dari 3 permintaan

Penyelesaian

Distribusi Poisson : !/)(Pr xexXob

0498.0!0/3)0(Pr) 303 eeXoba

b) P [ x < 3 ] = P [ x = 0 ] + P [ x = 1 ] + P [ x = 2 ]!2

3.

!1

3.

!0

3. 23133

eee

c) P [ x > 3 ] = 1 – P [ x ≤ 3 ] = 1 - { P [ x = 0 ] + P [ x = 1 ] + P [ x = 2 ] + P [ x = 3 ] } =

= 0.0498 + 0.1494 + 0.2241 = 0.4233

}!3

3

!2

3.

!1

3.

!0

3.{1

33231303

eeee =1-(0.0498 + 0.1494 + 0.2241+ ) =

Contoh 3-11Suatu survey yang dilaksanakan 5 tahun yang lalu menunjukkan 30 % populasi orang dewasa disuatu kota adalah penderita penyakit tekana darah tinggi. Bila keadaan ini berlalu sampai sekarang, berapa probabilitas bahwa dalam sampel acak yang terdiri dari 1000 orang dewasa dari kota lain, jumlah penderita penyakit tekanan darah tingginya adalah :a). Kurang dari 280b). 316 atau lebih


Penyelesaian :Didefinisikan : variabel acak x adalah jumlah penderita penyakit tekanan darah tinggi dalam sampel acak yang terdiri dari 1000 orang dewasa.

N = 1000 π = 0.3μ = N = ( 1000 ) ( 0.3 )= 300

5.14)3.01)(3.0)(1000()1( N

a). P [ x < 280 ] = P [ x ≤ 279 ]

)5.14

300279(Pr Zob P [ Z ≤ - 1.45 ] = 0.074

dengan koreksi :P ( x ≤ 279 ) = )

5,14

3005,279(

ZP = P ( Z ≤ - 1,414 ) = 0,079

b). P ( x ≥ 316 ) )5,14

300316(

ZP = P ( Z ≥ 1,103 ) = 1-0,865 = 0,135

dengan koreksi :

P ( x ≥ 316 )

)5,14

3005,315(ZP P ( Z ≥ 1.069 ) = ………………


Contoh 3-12Disuatu daerah, peluang akan terjadi banjir pada sebarang hari antara 1 Oktober – 31 Desember sama dengan 0,30. misalkan terjadinya banjir dari hari ke hari independent. Tentukan besarnya peluang akan terjadi banjir pertama kali pada tanggal 29 Nopember ?

Penyelesaian :Digunakan distribusi geometrik :P ( x = χ ) = π ( 1- π ) x-1

π = 0,31 Oktober → 29 Nopember → 60 hari χ = 60P ( x = 60 ) = 0,3 ( 1-0,3 ) 60-1 = ……………..


Contoh soal 3-13Daya tahan setiap gulung tali ( masing-masing 10 m ) dinyatakan dalam kilogram ternyata terdistribusi normal dengan rata-rata 50 kg dan dengan baku 4 kg. Untuk gulungan tali dengan daya tahan kurang dari 48 kg diperkirakan mendapat keuntungan Rp. 5,-/ gulung. Untuk yang lebih dari 52 kg keuntunganya Rp. 35,-/gulung . sisanya mendapat keuntungan Rp. 15,-/gulung. Tentukan keuntungan yang diharapkan untuk tiap gulung.

Penyelesaian :

3085.05.0Pr4

5048Pr48Pr

ZobZobXob

Prob ( x ≥ 52 ) = 1 – Prob ( x ≤ 52 ) 3085.06915.014

5052Pr1

Zob

Prob ( 48 ≤ x ≤ 52 ) = Prob ( x ≤ 52 ) – Prob ( x ≤ 48 )


5.0Pr5.0Pr4

5048Pr

4

5052Pr ZobZobZobZob

= 0,6915 – 0,3085 = 0,383

Keuntungan per gulung =Prob( x ≥ 52)(35)+Prob(48≤ x ≤ 52 )(15)+Prob(x≤5)(5)=

DISTRIBUSI SAMPLING

Sampel Acak :Sampel acak dengan ukuran n dari suatu populasi yang mempunyai distribusi f (x) adalah kumpulan n variabel random ( variabel acak ) yang independent x1 , x2 , ……xn. masing-masing mempunyai distribusi f ( x ).Sampel acak bisa diperoleh bila setiap anggota populasi mempunyai peluang sama untuk terpilih sebagai anggota sampel.

Adalah suatu fungsi dari pada pengamatan-pengamatan sampel.Contoh : Sampel mean

Statistic :

Sampel median MeSampel variance S2

x


Distribusi Sampling :

Sebagai fungsi dari pada variabel-variabel acak x1, x2, ……xn. Statistik juga sebagai variabel acak dan mempunyai distribuisi. Distribusinya disebut distribusi sampling dari pada statistic tersebut.

Contoh : distribusi sampling untuk rata-rata sampel

Ekspektansi dan variance untuk distribusi ini bisa diperoleh sebagai berikut :

nn

XEXEXE

n

XXXEXE nn ........... 2121

nnn

XVarXVarXVar

n

XXXVarXVar nn

2

2

222

22121 .........


Central Limit Theoreme :Walaupun distribusi populasi tidak normal distribusi sampling untuk x

akan mendekati normal bilamana ukuran sampel cukup besar.

x x


Contoh 3-14 :

Sebuah perusahaan susu bubuk memproduksi susu dalam kemasan kantong plastik dengan berat rata-rata 400 gram dan standard deviasi 4 gram. Berat kantong plastik ini terdistribusi normal. Bila diambil 5 kantong dan dihitung rata-ratanya, berapa probabilitasnya rata-rata ini terletak pada 400 dan 405 gram.

Penyelesaian :

μ = 400 σ = 4 n

xZ

/

79.20Pr

5/4

4004050Pr405400Pr ZobZobXob

4974.05.09974.00Pr79.2Pr ZobZob



KONSEP DASAR PENGUJIAN HIPOTESA

Hipotesa Statistik adalah pernyataan tentang parameter populasi. Kebenarannya akan dianalisa (dievaluasi) berdasar informasi yang diperoleh dari data sampel populasi ini.

Karena pernyataan ini mungkin benar atau salah, maka terdapat dua hipotesa yang paling mengisi (komplemen) yaitu : Hipotesa null : H0

Hipotesa alternatif : H1

Kesimpulan suatu hipotesa statistik belum tentu benar. Ada peluang bahwa kesimpulan ini salah.

Dalam hal ini dikenal dua type kesalahan yaitu : Kesalahan type I : Kesalahan dalam hal menyalahkan hipotesa Ho yang seharusnya benar. Kesalahan type II : Kesalahan dalam hal membenarkan hipotesa Ho yang seharusnya salah.


Kesimpulan pengujian hipotesa

Kenyataan sebenarnyaHo benar

Kenyataan sebenarnyaHo salah

Ho di terima Kesimpulan benar Kesimpulan salah (kesalahan type II)

Ho di tolak Kesimpulan salah (kesalahan type I)

Kesimpulan benar


Didefinisikan :

=Prob (terjadinya kesalahan type I)

= Prob (terjadinya kesalahan typr II)

β

Diharapkan harga βdan Kedua nya kecil.

Namun hal ini tak mungkin.

Karena bila βmakin kecil, makin besar

Dalam pengujian hipotesa, kesalahan type I lebih diperhatikan dari pada kesalahan type II. Oleh karena distribusi harga batas (harga kritis) untuk kesalahan type I yang di sebut significance level

SIGNIFICANT LEVEL

= 0.01 - 0.05

DASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIAPerumusan Hipotesa :

Misal θ adalah parametca populasi yang akan dibuat pernyataan dalam hipotesanya.Ada beberapa jenis perumusan hipotesa :

01

00

:

:

H

H

01

00

:

:

H

H

01

00

:

:

H

H

Two tail test atau Two Sided Test

One tail test atau One sided test


Langkah-langkah umum dalam pengujian Hipotesis

1. Buat prumusan hipotesa2. Pilih statistik pengujian3. Tentukan distribusi sampling untuk statistik pengujian4. Tentukan harga standard statistik pengujian dengan anggapan Ho benar.5. Pilih harga significance level α. Dan berdasar harga α ini, tentukan daerah penolakan dan penerimaa nya.6. Buat kesimpulan.

DASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIAPengujian Hipotesa terhadap Mean Populasi

Jenis-jenis rumusan hipotesa:

01

00

:

:

H

HI

01

00

:

:

H

HII

01

00

:

:

H

HIII

Staistik pengujian: X

Ditinjau beberapa kasus:

A. σ diketahui

Distribusi sampling untuk X mengikuti distribusi Normal

n

X

n

X

XVar

XEXZ

//2

Harga Z dihitung dengan anggapan H0 benar, atau dihitung Z0

n

XZ

/0

0


Daerah penolakan untuk significance level α:

Hipotesa Jenis I:

α/2α/2

Zα/2 = - Z(1-α/2) Z(1-α/2)

ditolakH

ZZ

atau

ZZ

0

)2/1(0

)2/1(0

Bila: - Z(1-α/2) ≤ Z0 ≤ Z(1-α/2) H0 tak dapat ditolak


Hipotesa Jenis II:

α

Z(1-α)

Bila: Z0 > Z(1-α) H0 ditolak ≤ Z(1-α) H0 tak dapat ditolak

Hipotesa Jenis III:

α

Zα = - Z(1-α)

Bila: Z0 < - Z(1-α) H0 ditolak ≤ -Z(1-α) H0 tak dapat ditolak


σ tak diketahui

Dalam hal ini distribusi sampling untuk X

mengikuti distribusi student-t dengan derajat kebebasan n-1nS

Xt

/0

0

Daerah penolakan untuk taraf nyata (significance level) α adalah:

Hipotesa Jenis I:

α/2α/2

- t(α/2,n-1) t(α/2,n-1)

ditolakH

tZ

atau

tt

n

n

0

)1,2/(0

)1,2/(0

Bila: - t(α/2,n-1) ≤ t0 ≤ t(α/2,n-1) H0 tak dapat ditolak


Hipotesa Jenis II:

α

t(α,n-1)

Bila: t0 > t(α,n-1) H0 ditolak ≤ t(α,n-1) H0 tak dapat ditolak

Hipotesa Jenis III:

α

- t(α,n-1)

Bila: t0 < - t(α,n-1) H0 ditolak ≥ -t(α,n-1) H0 tak dapat ditolak


Pengujian Hipotesa terhadap proporsi


01

00

:

:

H

HI

01

00

:

:

H

HII

01

00

:

:

H

HIII

Statistik pengujian: p=proporsi sampel n

Xp

Asalkan n besar, distribusi sampling untuk proporsi sampel p mengikuti distribusi normal.

n

p

pVar

pEpZ

)1(

Untuk uji hipotesa, harga Z dihitung dengan anggapan H0 benar, yaitu:

n

pZ

)1( 00

0

Daerah penolakan untuk significance level α , lihat II.4.1

DASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIAPengujian Hipotesa terhadap variance


20

21

20

20

:

:

H

HI

20

21

20

20

:

:

H

HII

20

21

20

20

:

:

H

HIII

Statistik pengujian: S2

Asalkan distribusi populasi adalah normal,

2

2

1

Sn

akan mengikuti distribusi Chi Square dengan derajat kebebasan n-1.

2x dengan anggapan H0 benar, Untuk pengujian hipotesa, dihitung harga

yaitu dihitung,

20

220

1

Sn

x

DASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIADaerah penolakan untuk taraf nyata α :

Hipotesa jenis I:

2/

2

1,2

1

nx

2x 2

1,2

nx

2/2

1,2

20

nxx

2

1,2

1

20

nxx

H0 ditolak Bila:

atau

Hipotesa jenis II:

Hipotesa jenis III:

21, nx

2x

2

1,1 nx 2x

α

21,1

20 nxx

21,

20 nxx Bila: H0 ditolak

H0 ditolak Bila:

DASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIAPengujian Hipotesa untuk membandingkan mean dua populasi

Ditinjau dua kasus: Pengamatan tak berpasangan dan pengamatan berpasangan.

A. Pengamatan tak berpasangan

Populasi A

Populasi B

AB

Asaumsi: Populasi A dan B terdistribusi Normal, dan pengambilan sampel secara acak.


BA

BA

H

HI

:

:

1

0

BA

BA

H

HII

:

:

1

0

BA

BA

H

HIII

:

:

1

0

Statistik pengujian BA XX


Ditinjau beberapa kasus.222 BAA1. diketahui

Dalam hal ini distribusi sampling untuk BA XX mengikuti distribusi Normal yaitu:

BA

BABA

nn

XXZ

11

Untuk menguji hipotesa dihitung,

BA

BA

nn

XXZ

110



A2. 222 BA tak diketahui

Dalam hal ini distribusi sampling untuk BA XX

mengikuti distribusi Student-t dengan derajat kebebasan 2 BA nn yaitu:

BAP

BABA

nnS

XXt

11

Dimana PS adalah estimasi sampel untuk harga yaitu,

2

11 22

BA

BBAAP nn

SnSnS


BAP

BA

nnS

XXt

110

DASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIADaerah penolakan untuk taraf nyata (significance level) α adalah:

Hipotesa Jenis I:

α/2α/2

2,

2BA nn

t

2,

2BA nn

t

Bila:

ditolakH

tt

atau

tt

BA

BA

nn

nn

0

)2,2

(0

)2,2

(0

Hipotesa Jenis II:

α

α

Hipotesa Jenis III:

2, BA nnt

2, BA nnt

2,0 BA nntt

2,0 BA nntt

Bila H0 ditolak

Bila H0 ditolak


A3. 22BA ,A B diketahui

Dalam hal ini distribusi sampling untuk BA XX mengikuti distribusi Normal yaitu:

B

B

A

A

BABA

nn

XXZ

22


B

B

A

A

BA

nn

XXZ

220


DASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIAA4. 22

BA ,A B Tak diketahui

Dalam hal ini distribusi sampling untuk BA XX mengikuti distribusi Student-t yaitu:

B

B

A

A

BABA

n

S

n

S

XXt

22


B

B

A

A

BA

n

S

n

S

XXt

220

Daerah penolakan untuk significance level α lihat III.4.4.A2

DASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIAB. Pengamatan berpasangan

Statistik pengujian:

d (rata-rata dari masing-masing beda pasangan)

Rumusan hipotesa:

0:

0:

1

0

H

H

0:

0:

1

0

H

H

0:

0:

1

0

H

H

Untuk menguji hipotesa, dihitung: nS

dt

d /0 n = banyak pasangan

1

2

n

ddS id

Daerah penolakan, lihat III.4.1 B.


Pengujian Hipotesa untuk membandingkan proporsi dua populasi

Rumusan hipotesa:

BA

BA

H

H

:

:

1

0

BA

BA

H

H

:

:

1

0

BA

BA

H

H

:

:

1

0

Statistik pengujian: BA PP

Distribusi sampling untuk BA PP mengikuti distribusi Normal asal ukuran sampel besar

B

BB

A

AA

BABA

BA

BABA

nn

PP

PPVar

PPEPPZ

11

Untuk menguji hipotesa, harga Z dihitung fdengan anggapan H0 benar, yaoitu dihitung:

BA

BA

BA

BA

nnPP

PP

nn

PPZ

111

111

0

BA

Ba

B

BB

A

AA nn

xxP

n

xP

n

xP

,,

Daerah penolakan: lihat III.4-1

DASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIAPengujian Hipotesa untuk membandingkan variance dua populasi

Rumusan hipotesa:

221

220

:

:

BA

BA

H

H

22

1

220

:

:

BA

BA

H

H

22

1

220

:

:

BA

BA

H

H

Statistik pengujian: 2

2

B

A

S

S

Asalkan distribusi populasi A dan B adalah Normal, distribusi sampling untuk 22

22

/

/

BB

AA

S

S

mengikuti distribusi F dengan derajat kebebasan pembilang 1An

dan derajat kebebasan penyebut 1Bn

Untuk pengujian hipotesa, dihitung harga F dengan anggapan H0 benar, yaitu dihitung:

2

2

0B

A

S

SF


1,1,2

BA nnF

1,1,

21 bA nn

F

2/2/

F

2

1,1,2

0

BA nn

FF

1,1,2

10

BA nnFF

H0 ditolak

1,1, BA nnF

1,1,0

BA nnFF H0 ditolak

H0 ditolak

α

1,1,10 BA nnFF

TEORI MENAKSIR

Ada dua taksiran yaitu: Taksiran titik (point estimate) dan Taksiran interval (interval estimate).

Tujuan: Menaksir harga parameter-parameter populasi.

Taksiran titik: Ada dua taksiran titik:Unbiased estimate dan biased estimate

Unbiased estimate:

merupakan unbiased estimate untuk

merupakan biased estimate untuk

ˆE

ˆE

bila

bila

unbiased estimate untuk

unbiased estimate untuk

X

PS

biased estimate untuk

XE

PE

SE

karena

karena

karena

Taksiran interval

TEORI MENAKSIR

Taksiran interval untuk dengan koefisien kepercayaan atau dikatakan

% confidence interval untuk adalah: AB dimana,

ABobPr

Atau dikatakan kita percaya dengan kepercayaan % bahwa harga

berada diantara B dan A.

TEORI MENAKSIRConfidence Interval untuk Mean Populasi μ dengan koefisien kepercayaan

Bila σ diketahui

2/12/1

Zn

XZn

X

1,2

11,

2

1nn

tn

sXt

n

sX

Bila σ tak diketahui

2

1

2

1

11

Z

n

PPPZ

n

PPP

Confidence Interval untuk Variance Populasi dengan koefisien kepercayaan

Confidence Interval untuk Proporsi Populasi dengan koefisien kepercayaan

2

1,2

1

22

2

1,2

1

2 11

nnx

sn

x

sn

TEORI MENAKSIRConfidence Interval untuk Beda Rata-rata (mean) dua Populasi dengan koefisien kepercayaan

2

1

2

1

1111 Z

nnXXZ

nnXX

BA

BABABA

BA

2,2

12,

2

1

1111

BABA nnBA

PBABAnn

BAPBA t

nnsXXt

nnsXX

2

1

22

2

1

22

Znn

XXZnn

XXB

B

A

ABABA

B

B

A

ABA

2

1

22

2

1

22

Zn

s

n

sXXZ

n

s

n

sXX

B

B

A

ABABA

B

B

A

ABA

222 BA diketahui

222 BA tak diketahui

22BA ,A B diketahui

tak diketahui 22BA ,A A

TEORI MENAKSIRConfidence Interval untuk Rata-rata Beda δ dengan koefisien kepercayaan

1,2

11,

2

1n

d

n

d tn

sdt

n

sd

Confidence Interval untuk Beda Proporsi dua Populasi dengan koefisien kepercayaan

2

1

2

1

1111

Z

n

PP

n

PPPPZ

n

PP

n

PPPP

B

BB

A

AABABA

B

BB

A

AABA

Confidence Interval untuk Perbandingan Variance dua Populasi dengan koefisien kepercayaa

1,1,

2

1

22

2

2

1,1,2

1

22 //

BABA nn

BA

B

A

nn

BA

F

SS

F

SS

CONTOH-CONTOH SOAL

Suatu model fisik mensyaratkan bahwa rata-rata kenaikan suhu air pendingin dalam ruang kompressor tak boleh lebih dari 50C. Kenaikan suhu air pendingin pada unit kompressor ini diukur dalam 8 run percobaan yang independen dan diperolewh data berikut: 6.4, 4.3, 5.7, 4.9, 6.5, 5.9, 6.4, 5.1

Apakah data ini menunjukkan bahwa persyaratan model fisik dilampaui? (α=0.05)Tentukan 95% confidence interval untuk rata-rata kenaikan suhu air pendingin.

CONTOH 1

Penyelesaian:Hipotesa yang

diuji:5:

5:

1

0

H

H

Statistik pengujian: X Karena σ tak diketahui, distribusi sampling untuk X

mengikuti distribusi student-t dengan derajat kebebasan 8-1=7.

ns

Xt

/

0t

:

Untuk menguji hipotesa dihitung

0t

:

ns

Xt

/0

0

65.58

1.54.69.55.69.47.53.44.6

X

8106.0

18

65.581.5.....3.44.6

1

22221

22

n

Xnxs

n

ii

265.28/8106.0

565.50

t 895.17,05.0 t

895.1265.20 tKarena H0 ditolak.

Jadi data menunjukkan bahwa persyaratan model fisik dilampaui.

b) 95% confidence interval untuk μ adalah:

1,2

11,

2

1nn

tn

sXt

n

sX 365.27,025.0

18,2

95.011,

2

1

ttt

n

CONTOH-CONTOH SOAL

365.28

8106.065.5365.2

8

8106.065.5 328.6972.4

CONTOH-CONTOH SOALCONTOH 2

Suatu penelitian yang dilakukan pemerintah menunjukkan bahwa laju oengangguran tingkat nasional adalah 7.8%. Suatu group peneliti mengambil sampel acak yang terdiri dari 1600 orang angkatan kerja dalam suatu daerah. Ternyata 96 diantaranya menganggur. A) Apakah ini menunjukkan bahwa angka pengangguran di daerah ini lebih kecil dari pada angka pengangguran skala nasional (α=0.05). B) Tentukan 95% confidence interval untuk laju pengangguran didaerah ini.

Penyelesaian: Hipotesa yang diuji:H0 : π ≥ 0.078

H1 : π < 0.07806.0

1600

96p

Untuk menguji hipotesa ini dihitung:

686.2

1600

078.01078.0

078.006.0

1 00

00

n

pZ

645.105.0 Z

05.00 ZZ H0 ditolak

Jadi data menunjukkan bahwa angka pengangguran didaerah ini lebih kecil dari pada angka pengangguran skala nasional

CONTOH-CONTOH SOALb) 95% confidence interval untuk π adalah:

2

1

2

1

11 Z

n

pppZ

n

ppp

2

95.01

2

95.01 1600

06.0106.006.0

1600

06.0106.006.0 ZZ

1.96

0716.0048.0

Lembaran-lembaran plastic yang dihasilkan suatu mesin secara periodik dimonitor untuk melihat adanya fluktuasi ketebalan. Ketidak seragaman viskositas liquida bahan baku membut fluktuasi ketebalan ini tak dapat dihindari. Tapi bila simpangan baku sesungguhnya untuk ketebalan plastic ini melebihi 1.5 mm, kualitas produk dikatakan jelek. Pada suatu shift diukur ketebalan 10 contoh plastic yang dihasilkan mesin ini dan diperoleh data berikut: 226, 228, 226, 225, 232, 228, 227, 229, 225, 230.a) apakah data ini menunjukkan bahwa variability proses sudah melebihi tingkat yang diijinkan? (α=0.05)b) tentukan 95% confidence interval untuk σ

CONTOH-CONTOH SOAL

Penyelesaian:

Hipotesa yang diuji: H0 : σ2 ≤ 2.25H1 : σ2 > 2.25

6.22710

230225229227228232225226228226

X

04.5

110

6.22710230.........226228226

1

222221

22

2

n

XnXS

n

ii

Contoh 3

Untuk menguji hopotesa ini dihitung:

16.20

25.2

04.5110120

220

Sn

919.1629,05.0

919.1620 H0 ditolak

Variabilitas proses sudah melebihi batas yang diijinkan.

b) 95% confidence interval untuk σ2 adalah:

2

1,2

1

22

2

1,2

1

2 11

nn

SnSn

70039.2

0228.19

29,975.0

2

1,2

1

29,025.0

2

1,2

1

n

n

70039.2

04.5110

0228.19

04.5110 2

795.163845.2 2

098.4544.1

CONTOH-CONTOH SOAL

CONTOH-CONTOH SOAL

Sepuluh orang pasien melakukan diet. Berat badan sebelum dan sesudah diet ditimbang untuk mengetahui apakah diet ini berhasil atau tidak. Hasilnya dalam kg diberikan berikut ini,

CONTOH 4

Pasien Berat sebelum diet, kg Berat sesudah diet, kg

123456789

10

78.384.777.495.682.069.479.785.692.899.2

77.483.275.792.480.268.176.983.990.495.2

CONTOH-CONTOH SOAL

a) dapatkah disimpulkan bahwa diet yang dilakukan berhasil (α=0.05)b) tentukan 95% confidence interval untuk rata-rata beda berat badan sebelum dan sesudah diet

PenyelesaianHipotesa yang diuji:H0 : δ ≤ 0H1 : δ > 0Dari data dapat dihitung beda berat badan sebelum dan sesudah diet yaitu:

Pasien 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

beda 0.9 1.5 1.7 3.2 1.8 1.3 2.8 1.7 2.4 4

13.210

4............7.15.19.0

d

166.0

110

13.2104...5.19.0

1

222222

n

dnds id

58.4010/166.0

13.2

/0

ns

dt

d

833.19,05.0 t

9,05.00 tt H0 ditolak atau dapat disimpulkan bahwa diet yang telah dilakukan berhasil

CONTOH-CONTOH SOAL

b) 95% confidence interval untuk δ adalah

9,025.09,025.0 tn

sdt

n

sd dd

262.210

166.013.2262.2

10

166.013.2

249.2011.2

CONTOH-CONTOH SOAL

Disuatu daerah 158 dari 496 wajib pajak ternyata lalai untuk melunasi pajaknya. Didaerah lain kelalaian ini terdapat sebanyak 147 dari 509.Selidiki apakah kelalaian pelunasan pajak dikedua daerah tersebut berbeda secara nyata atau tidak?Penyelesaian:Hipotesa yang diuji:H0 : π1 = π2H1 : π1 ≠ π2Untuk menguji hipotesa ini dihitung,

Contoh 5

21

210

111

nnpp

ppZ 303.0

509496

147158

21

21

nn

xxp 289.0

509

147318.0

496

15821 pp

996.0

509

1

496

1303.01303.0

289.0318.00

Z 96.196.1

2

975.0

21

ZZZ

Karena: 96.196.1 0 Z H0 tak dapat ditolak. Jadi kelalaian pelunasan pajak dikedua daerah tersebut tak berbeda nyata.

CONTOH-CONTOH SOALContoh 6

Sembilan sampel diambil dari dua sungai, empat dari sungai A dan 5 dari sungai B. Kadar polutan dikesembilan sampel tersebut diukur dan diperoleh data berikut,

Kadar polutan sungai A (ppm) Kadar polutan sungai B, ppm

16121411

910865

a)Diklaim bahwa sungai B lebih bersih dari pada sungai A. Apakah klaim ini didukung oleh data?b)Tentukan 95% confidence interval untuk beda rata-rata kadar polutan dikedua sungai.

CONTOH-CONTOH SOAL

Penyelesaian:Hipotesa yang diuji:H0 : μA ≤ μBH1 : μA > μBUntuk menguji hipotesa ini dihitung,

BAp

BA

nnS

XXt

110

2

11 22

BA

BBAAp nn

SnSnS

6.75

568109

25.134

11141216

B

A

X

X

92.414

25.13411141216 222222

AS

3.4

15

6.75568109 2222222

BS

14.2

254

3.41592.414

pS92.3

5

1

4

114.2

6.725.130

t 895.17,05.0 t

Karena 895.192.30 t → H0 ditolak

Berarti klaim bahwa sungai B lebih bersih dari pada sungai A didukung oleh data

CONTOH-CONTOH SOAL

a)95% confidence interval untuk μA-μB adalah,

2,

22,

2

1111

BABA nnBA

pBABAnn

BApBA t

nnSXXt

nnSXX

7,025.07,025.0 5

1

4

114.26.725.13

5

1

4

114.26.725.13 tt BA

325.25

1

4

114.26.725.13325.2

5

1

4

114.26.725.13 BA

045.9255.2 BA

ANALISA REGRESI

Dibedakan dua jenis variabel Variabel bebas Variabel tak bebas atau variabel respon

Variabel bebas dinyatakan dengan x1 , x2 , x3 …… Variabel tak bebas dinyatakan dengan y

Dalam analisa Regresi, akan dicari hubungan fungsional antara variabel tak bebas y dan variabel bebas. Persamaan ini dinyatakan dalam bentuk matematik sebagai berikut :

y = f (x1 , x2 , . . . , xk, β0 , β 1 , β 2 , . . . , β m ) (3 – 1) Untuk suatu populasi, dimana β0, β1 , β2 , . . . , βm, adalah parameter. Untuk suatu sample yang ditarik dari populasi tersebut, bentuk matematik dari persamaan regresi adalah :

y = f (x1 , x2 , . . . , xk, b0 , b1 , b2 , . . . , bm ) (3 – 2) Perhatikan bahwa bi adalah estimate dari βi ( i = 0 , 1, 2 , ….. m )

Persamaan regresi linier untuk satu variabel bebas Untuk populasi : y = βO + β1 x Untuk sample : y = bo + b1 x Persamaan regresi linier untuk 2 variabel bebas : Untuk populasi : y = βO + β1x1 + β2x2 Untuk sample : y = bO + b1x1 + b2 x2

Persoalan dari analisa regresi adalah menentukan bentuk persamaan dan mencari parameter-parameternya.

ANALISA REGRESI

ANALISA REGRESI

Regresi Linier ; y = bo + b1x ( 3 – 7 )Akan dicari bo dan b1 dengan metode least square dari data dalam bentuk :

REGRESI UNTUK SATU VARIABEL BEBAS

x y

x1

x2

.

.

.xn

y1

y2

.

.

.yn

Dalam hal ini bo dan b1 di hitung dari persamaan normal :

N

1i

N

1iiii 0 )xb (bo - y

N

1i

N

1iii10 y xbbn

N

1i

N

1iiiiii 0 x)xb (bo - xy

N

1i

N

1i

N

1iii

2i1i0 yx x b - xb

ANALISA REGRESI

2

11

2

1 11

2

10

n

ii

n

ii

n

i

n

iiii

n

ii

n

ii

xxn

xyxxyb

x

yx

n

ii

n

ii

n

i

n

iii

n

iii

S

S

xxn

yxxynb

2

11

2

1 111 n

xyxyS

n

i

n

iiin

iiiyx

1 1

1n

x

xS

n

iin

iix

2

1

1

2

xbyb 10

Koefisien regressi

yx

yxyx

SS

Sr

Koefisien korelasi

y

xyx S

Sbr 1

n

y

yS

n

iin

iiy

2

1

1

2

Koefisien korelasi menyatakan kuat nya korelasi antara y dan x. Nilai nya adalah antara -1 dan +1. Tanda – menunjukkan bahwa korelasi antara y dan x adalah berlawanan arah, artinya y makin kecil dengan kenaikan harga x.

ANALISA REGRESI

k

1i

22 / kss iE

r

1u

2iiu

2 ) 1 -r ( / )y - (yis

pn

Ss RE 2

2

1

ˆ

n

iiiR yyS

2

11

2

n

1

2i

2E

0

xs

n

ii

n

ii

ib

xxn

S 2

11

2

2E

1

n s

n

ii

n

ii

b

xxn

S

bj

j

j S

bt

Chek kebermaknaan parameter:

1) Menentukan Variance kesalahan

Untuk percobaan tampa pengulangan

2) Menentukan standar kesalahan koefisien regressi

3) Menentukan t0

ν = n – k untuk percobaan dengan di ulangν = n – p untuk percobaan tanpa di ulang

Bila tj > t(ۀα,ν)→bj bermakna

ANALISA REGRESI

2s

12 RTRT

Ss

2

2

1E

RT

s

sF

12 LNLN

Ss

2

2

2E

LN

s

sF

22

n

Ss RR

22

k

Ss TCTC

2

2

3E

TC

s

sF

kn

Ss EE 2

Sumber Variasi

ν Derajat

Kebebasan

S Jumlah

Kwadrat

Kwadrat Rata-rata

F

Model 2 SM

Rata-rata 1 SRT

Suku linier 1 SLN

Residual n – 2 SR

Tuna cocok k-2 STC

Kesalahan n-k SE

Total n ST

Uji dengan analisa variance

F1>F(α,1,n-k)

F2>F(α,1,n-k)

F3>F(α,k-2,n-k)

b0 bermakna

b1 bermakna

Model linear tidak cocok

N

iiM yS

1

2ˆ

2ynSRT

n

iiyn

y1

1

SLN=SM-SRT

N

iiT yS

1

2

r

uiiu

k

iE yyS

1

2

1

)(

SR=ST–SM

STC=SR-SE

keterangan

R2 = SM / ST

Koef.determinasi

ANALISA REGRESI

n

i

n

i

n

iii

n

iiii

n

i

n

iiii

n

ii

n

iio

n

i

n

ii

n

iii

xyxbxbxb

xyxbxbxb

yxbxbnb

1 1 1

2

1

42

31

20

1 1

32

1

21

1

1 11

2210

Y = b0 + b1 x + b2 x2

MODEL KWADRATIK

Penentuan koefsien regressi:

ANALISA REGRESI

2s

12 RTRT

Ss

2

2

1E

RT

s

sF

12 LNLN

Ss

2

2

2E

LN

s

sF

12 KWKW

Ss

2

2

3E

KW

s

sF

32

n

Ss RR

32

k

Ss TCTC 2

2

4E

TC

s

sF

kn

Ss EE 2

Sumber varian

νDerajat

kebebasan

SJumlah kwadrat

KwadratRata-rata

F

Model 3 SM

Rata-rata 1 SRT

Suku linier 1 SLN

suku kwadrat

1 SKW

Residual n-3 SR

Tuna Cocok k-3 STC

Kesalahan n-k SE

Total n ST

ANOVA

N

iiM yS

1

2ˆ

2yNSRT

n

yy

n

ii

1

knkFF ,3,4

knFF ,1,1

knFF ,1,2

knFF ,1,3

bo bermakna

b1 bermakna

b2 bermakna

model tak cocok

MODEL YANG LAIN

ANALISA REGRESI

xbby 10.1

10 logloglog bxby

xaaY 10

10.2 bxby

xbby logloglog 10

XbaY 10

ANALISA REGRESIREGRESSI UNTUK LEBIH DARI SATU VARIABEL BEBAS

(REGRESSI GANDA)

MODEL LINEARMisal untuk dua variable bebas

22110 xxy

rxbxbby 22110

Populasi:

Sampel:

210 ,, bbb

n

i

n

i

n

i

n

iiiiiii

n

i

n

i

n

i

n

iiiiiii

n

i

n

i

n

iiii

xyxbxxbxb

xyxxbxbxb

yxbxbnb

1 1 1 12

22221120

1 1 1 11212

21110

1 1 122110

penentuan

22110

221

21

2221

1211

xbxbyb

SSbSb

SSbSb

yxxxx

yxxxx

n

x

xS

n

iin

iix

2

11

1

211

n

xx

xxS

n

ii

n

iin

iiixx

12

11

12121

n

yx

yxS

n

ii

n

iin

iiiyx

111

111

n

x

xS

n

iin

iix

2

12

1

222

n

yx

yxS

n

ii

n

iin

iiiyx

112

122

ANALISA REGRESI

Uji Regressi Linear Ganda

)1/(1

0

knS

SF

E

yx

)1/

/0

knS

kSF

E

M

iknFF 1,1,0

i

yxiM iSbS

1,,0 knkFF

nyata harganya

regressi linear ganda y atas x1 dan x2 bersifat nyata.

Uji koefisien regressi

Uji regressi keseluruhan:

ANALISA REGRESI

Koefisien Korelasi Ganda dan Parsial

T

M

S

SR 2

yT SS

212

122122

21

12. 1

2

r

rrrrrR yyyyy

1/1

/2

2

0

knR

kRF

1,,0 knkFF

korelasi antara y dan x1 , dan x2 nyata.

212

22

12212.1

11 rr

rrrr

y

yyy

Koefisien Determinasi:

Koefisien korelasi ganda

Bila

Uji korelasi ganda:

212

21

12121.2

11 rr

rrrr

y

yyy

22.13

22.3

2.132.32.123.1

11 rr

rrrr

y

yyy

Koefisien korelasi parsial:

Dua variabel

Tiga variabel

21.2

21

212. 111 yyy rrR

212.3

21.2

21

2123. 1111 yyyy rrrR

Hubungan antara korelasi parsial dan ganda

ANALISA REGRESI

ANALISA REGRESI

ANALISA REGRESI

ANALISA REGRESI

ANALISA REGRESI

Documents

Apd 2