api.ndla.no · Web viewStein Aanensen og Olav Kristensen 4.1 Førsteordens differensiallikninger 4.1.1 Løs differensiallikningen. Author StAa1 Created Date 04/07/2017 04:45:00 Last

R2, Differensiallikninger (OPPGAVER)

4 Differensiallikninger R2 Oppgaver4.1 Førsteordens differensiallikninger....................................................................................................2

4.2 Modellering......................................................................................................................................7

4.3 Andreordens differensiallikninger..................................................................................................13

Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA..................................................................................16

Øvingsoppgaver

Stein Aanensen og Olav Kristensen

1


4.1 Førsteordens differensiallikninger

4.1.1Løs differensiallikningen.

a)

b)

c)

4.1.2 Løs differensiallikningen. Kontroller at løsningen er riktig ved å sette inn i den opprinnelige likningen.

a)

b)

4.1.3

Løs differensiallikningen med et digitalt hjelpemiddel og finn den bestemte løsningen når .

a)

b)

4.1.4

Løs differensiallikningen.

a)

b)

2


c)

3


4.1.5 Løs likningen som en separabel differensiallikning.

a)

b)

c)

d)

4.1.6Løs differensiallikningene

a)

b)

c)

d) . Gitt

4


4.1.7

Løs den separable differensiallikningen når integralkurven går gjennom punktet .

a)

b)

4.1.8

Tegn retningsdiagram og med en integralkurve gjennom punktet for hver av

differensiallikningene du løste i oppgave 4.1.3.Sammenlign integralkurven med løsningen i 4.1.3.

4.1.9

Vis at differensiallikningen kan løses ved hjelp av to ulike metoder.

4.1.10 Eksempelsett R2, 2008

Løs differensiallikningen .

4.1.11

a) Løs differensiallikningen når og .

b) Løs differensiallikningen når .

5


c) Løs differensiallikningen som separabel ved å bruke delbrøkoppspalting.

6


4.1.12

a) Tegn retningsdiagrammet til differensiallikningen for og .

b) Hva slags kurver ser du i retningsdiagrammet?

c) Løs differensiallikningen i a).

4.1.13


b) Løs differensiallikningen ved hjelp av et digitalt verktøy.

c) Differensiallikningen i b) har ingen løsning når , hvordan kan du se dette av løsningen du fikk i b) og av retningsdiagrammet i a)?

d) Tegn integralkurver for - verdiene .

4.1.14

a) Tegn retningsdiagram med noen integralkurver for differensiallikningen

for og .

b) Løs differensiallikningen i a).

c) Tegn integralkurver for - verdiene .

d) Forklar hvordan vi kan se at når av kurvene i c) og av differensiallikningen i b).

4.1.15


b) Løs differensiallikningen .

c) Tegn integralkurver for - verdiene .

7


d) Finn grafisk

når

.4.1.16


b) Hva slags kurver ser du i retningsdiagrammet?

c) Løs differensiallikningen separabel.

d) Tegn integralkurver for - verdiene .

4.1.17 Gitt differensiallikningen

I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet grafen til

a) Skisser retningsdiagrammet til denne differensiallikningen på et papir.

b) Finn funksjonsuttrykket for ved å bruke grafen og løs differensiallikningen.

c) Tegn integralkurvene for noen verdier av .

8


4.2 Modellering

4.2.1Et lite tettsted har i dag antall innbyggere. Innbyggertallet avtar og nedgangen, målt i antall innbyggere per år, er til enhver tid 0,9 % av antall innbyggere i byen.

a) Sett opp et uttrykk som viser økningen i antall innbyggere til enhver tid.

b) Finn et utrykk for .

4.2.2

I denne oppgaven skal du studere et legeme med masse som faller i tyngdefeltet, med luftmotstand.

Newtons andre lov sier at summen av de kreftene som virker på legemet er massen til legemet multiplisert med akselerasjonen .

Formuler en matematisk modell som beskriver et legeme med masse som faller i tyngdefeltet, med luftmotstand. Anta at luftmotstanden er proporsjonal med farten og motsatt rettet. Det er to krefter som virker på legemet.

Tyngdekraften der er tyngdeakselerasjonen. Denne kraften virker nedover.

Luftmotstanden der er farten og er en proporsjonalitetskonstant. Denne kraften virker oppover.

La retningen nedover være positiv.

a) Vis at Newtons andre lov kan omformes til differensiallikningen

der farten er en funksjonen av tiden , .

b) Vis at farten som en funksjon av tiden t, gitt at

kan skrives som

4.2.3En by har i dag 35 000 innbyggere. Innbyggertallet øker og endringen, målt i antall innbyggere per år, er til enhver tid 1,5 % av antall innbyggere i byen.

a) Sett opp et uttrykk som viser økningen i antall innbyggere til enhver tid.b) Finn et utrykk for .c) Finn antall innbyggere etter 5 år og etter 20 år.

9


d) Hva er økningen i antall innbyggere etter 5 år og etter 20 år.

10


4.2.4Newtons avkjølingslov sier at hastigheten på avkjølingen av et objekt er proporsjonal med differansen mellom temperaturen på objektet og temperaturen i omgivelsene der objekt befinner seg.

Newtons avkjølingslov er gitt ved

der er proporsjonalitetskonstant, er temperaturen i omgivelsene og er temperaturen i objektet etter tiden .

Du skal ut på en treningstur og tar med deg en flaske vann. Temperaturen i vannet er i

starten. Temperaturen der du skal trene er . Tiden er gitt i minutt.

a) Bruk Newtons avkjølingslov og sett opp differensiallikningen som beskriver avkjølingen av vannet i flasken.

b) Løs differensiallikningen du fant i a).

Etter 30 minutter er temperaturen i vannet .c) Finn proporsjonalitetskonstanten .

d) Finn temperaturen i vannflasken etter 1 time.

e) Når er temperaturen i vannflasken ?

11


4.2.5

La være antall fisk i et forurenset vann ved tiden , der måles i måneder. Utviklingen av antall fisk i vannet er gitt ved differensiallikningen

, der k er en proporsjonalitetskonstant.

a) Løs differensiallikningen.

Når , er antall fisk i vannet 2 000. Etter 1 år er det 1 000 fisk igjen i vannet.

b) Finn proporsjonalitetskonstanten k.

c) Når er det tomt for fisk i vannet?

4.2.6I et varmtvannsbasseng er det 10 000 liter vann. Vannet inneholder 0,005 % klor. For å bedre vannkvaliteten er det investert i et helt nytt renseanlegg. Når det nye renseanlegget tas i bruk, vil klormengden i vannet bli redusert til 0,002 %. Vi forutsetter at blandingen mellom vann og klor er den samme i hele bassenget.

Når det nye renseanlegget tas i bruk, tappes det ut 1 000 liter vann per time samtidig som det fylles på med 1 000 liter nytt vann med den nye klormengden.

La være antall liter klor som finnes i bassenget etter timer. Vi setter når prosessen begynner.a) Finn en differensiallikning som viser endringen i klormengden i bassenget.

b) Løs differensiallikningen du fant i a) og finn mengden klor etter 12 timer.

12


4.2.7Svein har en sylinderformet vanntank som rommer 1 600 liter. Han bruker vannet i tanken til å vanne morelltrær. I bunnen av tanken har Svein montert en kran. Når kranen er åpen, renner vannet ut med en hastighet som er proporsjonal med kvadratroten av vannmengden i tanken.

Svein fyller tanken med 1 600 liter vann og åpner kranen. Etter 2 timer er det 900 liter vann igjen på tanken.

La være antall liter vann på tanken timer etter at Svein åpnet kranen.

a) Forklar at antall liter vann som renner ut av tanken da er gitt ved differensiallikningen

der er en konstant.

b) Vis at denne differensiallikningen har den generelle løsningen

c) Vis at og at .

d) Hvor mange liter vann renner det ut av tanken per time når det er 900 liter vann i tanken?

e) Hvor lang tid tar det før vanntanken til Svein er tom?

f) Tanken fylles så med 300 liter vann per time. Hva vil skje med vannivået i tanken?

13


4.2.8I denne oppgaven skal du studere et legeme med masse som faller i tyngdefeltet, med luftmotstand.

Newtons andre lov sier at summen av de kreftene som virker på legemet er massen til legemet multiplisert med akselerasjonen .

Formuler en matematisk modell som beskriver legemet med masse som faller i tyngdefeltet, med luftmotstand. Anta at luftmotstanden er proporsjonal med farten og motsatt rettet. Det er to krefter som virker på legemet.

Tyngdekraften der er tyngdeakselerasjonen. Denne kraften virker nedover.

Luftmotstanden der er farten og er en proporsjonalitetskonstant. Denne kraften virker oppover.

La retningen nedover være positiv.

a) Vis at Newtons andre lov kan omformes til differensiallikningen

der farten er en funksjonen av tiden , .

b) Finn farten som en funksjon av tiden t, gitt at

Sett massen lik 40 kg, tyngdeakselerasjonen g lik 10 . Proporsjonalitetskonstanten er 16.

c) Finn farten og akselerasjonen etter 5 sekunder.

d) Hva skjer med farten og akselerasjonen etter som tiden går?

14


4.2.9En dyrepopulasjon antas å følge differensiallikningen

der løsningen er gitt ved

er antall individer i populasjonen og tiden måles i år.

Vi antar videre at bæreevnen til populasjonen er 2 000 individer og at proporsjonalitetskonstanten .

a) La antall individer ved være 500. Finn et uttrykk for antall individer etter år.

Sett og .

b) Tegn integralkurven.

c) Finn antall individer etter 80 år ved å bruke likningen du fant over. Sjekk løsningen med integralkurven.

d) Finn ved regning når antall individer passerer 1 500.

4.2.10

Antall hjort har økt kraftig i et område. Tabellen viser antall hjort for enkelte år i perioden 1973 - 2003.

Årstall 1973 1976 1979 1983 1988 1993 1998 2003Antall år etter 1973, 0 3 6 10 15 20 25 30Antall hjort i, 500 840 1

3502 250 3

5004 300 4

7004 900

a) Finn en logistisk funksjon som passer med tallene i tabellen.

b) Marker datamaterialet fra tabellen ovenfor som punkt i et koordinatsystem. Tegn grafen til den logaritmiske funksjonen du fant i a) i samme koordinatsystem.

c) Hva er bæreevnen til hjortebestanden i dette området?

15


16


4.3 Andreordens differensiallikninger

4.3.1

Gitt differensiallikningen .


b) Finn løsningen av differensiallikningen gitt startbetingelsene når .

4.3.2



b) Regn ut løsningen av differensiallikningen gitt startbetingelsene når .

4.3.3



b) Regn ut løsningen av differensiallikningen gitt startbetingelsene når .

17

mk


4.3.4

En kloss med massen er festet i en fjær slik at klossen kan svinge fram og tilbake på et

horisontalt underlag. Fjæren har fjærstivheten . Proporsjonalitetsfaktor for

luftmotstanden for klossen er . Fjæren presses sammen og klossen slippes i avstanden

m fra likevektsstillingen.

a) Bruk Newtons andre lov og vis at et utrykk for etter sekunder.

b) Tegn grafen til for . Forklar hva som skjer. Hvilket underlag tror du klossen beveger seg på?

c) Tegn grafen til når proporsjonalitetsfaktoren for luftmotstanden

. La .

d) Hvor stor må proporsjonalitetsfaktoren for luftmotstanden minst være for at klossen skal bli liggende i ro når den stanser første gang?

18


4.3.5

Et lodd med masse henger i en fjær som er festet i taket. Fjærkonstanten og

proporsjonalitetsfaktoren for luftmotstand . Loddet trekkes m nedover før det slippes. La y være avstanden fra likevektslinjen og være tiden i sekund etter at loddet ble sluppet.

a) Forklar at og at farten ved .

b) Vis at er gitt ved likningen

c) Tegn grafen til for og finn perioden. Hva forteller perioden i dette tilfellet?

d) Vis at

kan skrives som

e) Finn de 5 første maksimalverdiene og vis at disse verdiene danner en geometrisk rekke.

f) Finn summen av rekken når . Hva forteller denne summen?

19


Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA

Bruk farger og marker de eksamensoppgaver du har regnet!Jo mere farger, jo bedre eksamenskarakter!

Geometri Algebra Funksjoner Differensiallikninger

Del 1 Del 2 Del 1 Del 2 Del 1 Del 2 Del 1 Del 2

H15 5, 7 4 9 3 1, 2, 3, 4, 6 1, 5 8 2

V15 5 2 4, 6 1, 2, 3a, 7, 8, 9

3, 4 3b 1

H 14 4 3, 5 7 1 1, 2, 5, 6 4 3 2

V 14 5 1, 2 4 4 1, 2, 3, 6 5, 6 7 3

H 13 3 6 4, 7 4 1, 2, 6 1, 2, 5 5 3

V 13 3 3 5, 7 6 1, 2, 6 2, 4, 5 4 1

H 12 3 3 5, 8 4 1, 2, 6, 7 1, 5, 6 4 2

V 12 2 8 1e, 3c 7 1a, 1b, 1c, 3

4, 5 1d 6

H 11 1g 5 1c 3 1a, 1b, 1e 2, 4 1f 6

V 11 1d, 1e 5 1f 4 1a, 1b, 1c 3, 6, 7 2

H 10 1d 3 1a, 1b, 2 4 1c 5

V 10 2 5, 6 alt2 1a, 1b, 1d, 1e

4 1c 3, 6 alt1

H 09 2 3 1e, 1f 1a, 1b, 1d 4 1c 5

V 09 1d, 2 1c 5 1a, 1b, 1f 4 1e 3

E 08 1g 3 1d, 1i 1a, 1b, 1c, 1e, 1f

2 1h 4

20

Documents

api.ndla.no · Web viewStein Aanensen og Olav Kristensen 4.1 Førsteordens differensiallikninger 4.1.1 Løs differensiallikningen. Author StAa1 Created Date 04/07/2017 04:45:00 Last