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CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Aplicaciones de las derivadas 1
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
1. Monotonía: Crecimiento y decrecimiento de una función 2. Determinación de extremos relativos 3. Optimización de funciones 4. Curvatura: Concavidad o curvatura de una función 5. Puntos de inflexión 6. Aplicaciones de las derivadas al cálculo de límites
1. MONOTONÍA: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN Si f(x) es derivable,
f(x) es estrictamente creciente en (a, b) si su derivada es positiva (f’(x) > 0) f(x) es estrictamente decreciente en (a, b) si su derivada es negativa (f’(x) < 0)
Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento Ejemplo: f(x) = x3 − 3x + 2 Pasos:
1. Derivar la función: f '(x) = 3x2 −3 2. Obtener los ceros de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.
11033 22 xxx
3. Formamos intervalos abiertos con los ceros de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (ceros del numerador y del denominador, si hubiese un cociente)
4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la
derivada primera. Del intervalo (−∞, −1) tomamos x = -2, f'(−2) = 3(−2)2 −3 > 0
Del intervalo (−1, 1) tomamos x = 0, f'(0) = 3(0)2 −3 < 0
Del intervalo (1, ∞) tomamos x = 2, f'(2) = 3(2)2 −3 > 0
5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Creciente en: (−∞, −1) (1, ∞) Decreciente en: (−1,1)
CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Aplicaciones de las derivadas 2
EJERCICIO RESUELTO:
121)( 2
3
2
3
xxx
xxxf , 1)( xDomf
1. Derivo la función:
22
234
22
34234
22
322
)12(34
)12(22363
)12(22)12(3)('
xx
xxxxx
xxxxxxx
xxxxxxf
2. Igualo a cero el numerador y el denominador para calcular los puntos donde
cambia de signo el cociente:
CEROS DEL NUMERADOR:
31
034
00034034 2
2
22234
xx
xx
xxxxxxxx
CEROS DEL DENOMINADOR: 10122 xxx
3. Divido la recta en intervalos: - ∞ 0 1 3 ∞ 4. Estudio el signo de la derivada en cada intervalo:
5. Expreso los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Creciente ,31,00, Decreciente en (1, 3)
CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Aplicaciones de las derivadas 3
2. EXTREMOS RELATIVOS O LOCALES. Máximos locales (la función cambia de creciente a decreciente) Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:
1. f'(a) = 0 2. f''(a) < 0
Mínimos locales (la función cambia de decreciente a creciente) Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:
1. f'(a) = 0 2. f''(a) > 0
Cálculo de máximos y mínimos Ejemplo: f(x) = x3 − 3x + 2 Pasos:
1. Hallo la derivada primera y calculamos sus ceros:
11033)(' 22 xxxxf
2. Realizo la 2ª derivada, y sustituimos los valores obtenidos en el paso 1:
máximofx
mínimofxxxf
06)1(''106)1(''1
6)(''
3. Sustituyo en la función f(x) = x3 − 3x + 2 (sin derivar) para obtener la segunda
coordenada de los puntos:
Si x = 1: f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0 Mínimo(1, 0)
Si x = -1: f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4 Máximo(−1, 4) EJERCICIO RESUELTO:
121)( 2
3
2
3
xxx
xxxf , 1)( xDomf
1. Derivo la función e igualo a cero:
0)12(
34)12(
22363)12(
)22)12(3)('
22
234
22
34234
22
322
xxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxxf
CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Aplicaciones de las derivadas 4
El denominador pasa a la derecha multiplicando a cero y desaparece:
31
034
00034034 2
2
22234
xx
xx
xxxxxxxx
2. Realizo la 2ª derivada, y sustituimos los valores obtenidos en el paso 1, o bien
me fijo en el crecimiento de la función para averiguar si son máximos o mínimos:
Teniendo en cuenta la tabla:
En x = 0 no hay extremo local (no cambia la monotonía) En x = 1 hay una asíntota (es un cero del denominador de la función) En x = 3 hay un mínimo (cambia de decreciente a creciente)
3. Sustituyo en la función 121
)( 2
3
2
3
xxx
xxxf para obtener la segunda
coordenada de los puntos:
En x = 1
01
111)( 2
3
xf no hay función
En x = 3
427,3
427
133)3( 2
3
f es un mínimo
CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Aplicaciones de las derivadas 5
3. OPTIMIZACIÓN
Pasos para la resolución de problemas de optimización
1. Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar. 2. Se plantea una ecuación que relacione las dos variables del problema, y se
despeja una de ellas 3. Se sustituye en la función de modo que nos quede una sola variable. 4. Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos locales. 5. Se realiza la 2ª derivada para comprobar si el resultado obtenido es un máximo
o un mínimo, o se estudia la monotonía Ejemplo
De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del que tome
área máxima.
1. Se plantea la función que hay que maximizar en función de las variables
2hbS
2222
22222 222
yxyyxy
Syxhyhxh
yb
22 yxyS
2. Relacionamos las variables , utilizando el valor del perímetro:
yxyx 61222 3. Sustituimos en la función:
yyyyyyyyyyxyS 123612366 222222
Podemos introducir la y que multiplica a la raíz para que la derivada sea más sencilla:
322 12361236 yyyyS
CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Aplicaciones de las derivadas 6
4. Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.
0
12361836
1236236723672
123621'
32
2
32
22
32 yyyy
yyyyyy
yyS
El denominador desaparece al pasarlo a la derecha multiplicando a cero y queda la
ecuación:
20
1836 2
yy
yy
5. Comprobamos si es un máximo o un mínimo. Para ello realizamos la 2ª derivada
y sustituimos por x = 2, ya que la solución y = 0 la descartamos porque no hay un triángulo cuyo lado sea cero.
Sustituyo:
Por lo que queda probado que en y = 2 hay un máximo. La otra variable es: x = 6 – y = 4 La base (2y) mide 4m y los lados oblicuos (x) también miden 4 m, por lo que el triangulo de área máxima sería un triangulo equilátero.
CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Aplicaciones de las derivadas 7
4. CURVATURA: CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD. Si f’(x) es derivable,
f(x) es convexa en (a, b) si su segunda derivada es positiva (f’’(x) > 0) f(x) es cóncava en (a, b) si su segunda derivada es negativa (f’’(x) < 0)
Ejemplo: f(x) = x3 − 3x + 2 Pasos:
1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces. f '(x) = 3x2 −3 f''(x) = 6x = 0 x = 0
2. Formamos intervalos abiertos con los ceros de la segunda derivada y los puntos de discontinuidad (ceros del numerador y del denominador, si hubiese un cociente)
3. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.
Del intervalo (− ∞, 0) tomamos x = −1, f''(−1) = 6(−1) < 0 Cóncava. Del intervalo (0, ∞) tomamos x = 1, f''(1) = 6 (1) > 0 Convexa.
3. Escribimos los intervalos:
Concavidad: (−∞, 0)
Convexidad: (0, ∞) EJERCICIOS RESUELTOS
121)( 2
3
2
3
xxx
xxxf , 1)( xDomf
1. Derivo la función dos veces:
DERIVADA PRIMERA
22
234
22
34234
22
322
)12(34
)12(22363
)12(22)12(3)('
xx
xxxxx
xxxxxxx
xxxxxxf
22
234
22
34234
22
322
)12(34
)12(22363
)12(22)12(3)('
xx
xxxxx
xxxxxxx
xxxxxxf
CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Aplicaciones de las derivadas 8
DERIVADA SEGUNDA
42
22342223
122212234126124)(''
xxxxxxxxxxxxxxf
En el numerador se puede sacar factor común ( 122 xx ) y simplificarlo con un factor del denominador:
2232
2
32
23
32
23344523234345
32
234223
126
12126
126126
1212121616446126122412484
124434126124)(''
xxx
xxxxx
xxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxf
2. Igualo a cero el numerador y el denominador para calcular los puntos donde
cambia de signo el cociente:
CEROS DEL NUMERADOR: 006 xx CEROS DEL DENOMINADOR: 10122 xxx
3. Divido la recta en intervalos: - ∞ 0 1 ∞ 4. Estudio el signo de la derivada segunda en cada intervalo:
5. Expreso los intervalos de curvatura:
Convexa en ,11,0 Cóncava en 0,
CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Aplicaciones de las derivadas 9
5. PUNTOS DE INFLEXIÓN DE UNA FUNCIÓN. Son los puntos de la función en los que cambia de curvatura Si f y f' son derivables en a, a es un PUNTO DE INFLEXIÓN si se cumple:
1. f’'(a) = 0 2. f’''(a) ≠ 0
Estudio de los puntos de inflexión EJEMPLO: f(x) = x3 − 3x + 2 Pasos:
1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus ceros:
f '(x) = 3x2 −3 f''(x) = 6x = 0 x = 0
3. Realizamos la derivada tercera, y sustituimos en ella los ceros de derivada segunda y si:
f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión. f'''(x) = 6, por tanto x = 0 será un punto de inflexión.
4. Calculamos la imagen (en la función f(x) = x3 − 3x + 2) del punto de inflexión.
f(0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2 Punto de inflexión: (0, 2) 6. TEOREMA DE L’HÒPITAL
1. Sean f(x) y g(x) dos funciones derivables en x = a, y sea 0)(lim)(lim
xgxfaxax
.
Si existe )(')('lim
)()(lim
)(')('lim
xgxf
xgxf
xgxf
axaxax
2. Sean f(x) y g(x) dos funciones derivables en x = a, y sea
)(lim)(lim xgxfaxax
. Si existe )(')('lim
)()(lim
)(')('lim
xgxf
xgxf
xgxf
axaxax
3. Sean f(x) y g(x) dos funciones derivables, y sea 0)(lim)(lim
xgxfxx
. Si
existe )(')('lim
)()(lim
)(')('lim
xgxf
xgxf
xgxf
xxx
4. Sean f(x) y g(x) dos funciones derivables, y sea
)(lim)(lim xgxf
xx. Si
existe )(')('lim
)()(lim
)(')('lim
xgxf
xgxf
xgxf
xxx
CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Aplicaciones de las derivadas 10
Para aplicar la regla de L'Hôpital hay que tener un límite de la forma )()(lim
xgxf
ax, donde a
puede ser un número o infinito, y aparecer las indeterminaciones:
EJEMPLOS
1.
00
)1(12lnlim
2
1
xtgx
x
4
014
0114
)1(112
4
lim)1(12lnlim 22
2
1
2
1
tgxtgx
x
xtgx
xx
2. 00lim 30
xsenxx
x
61
6lim
3cos1limlim
02030
x
senxx
xxsenxx
xxx
3. 00
ln)1cos(1lim 21
x
xx
21
210
112
0cos10112
)1cos()1(1lim
ln2)1(limln2
)1(limln
)1cos(1lim
1
1121
sen
x
xxxsen
xxsenx
xx
xsenxx
x
xxx
4. 001coslim 2
2
0
x
xx
12
)10(22
cos)cos(2lim2
cos2lim1coslim002
2
0
xsenxsenxx
senxxx
xxxx
CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Aplicaciones de las derivadas 11
INDETERMINACIÓN INFINITO MENOS INFINITO En la indeterminación infinito menos infinito, si son fracciones, se ponen común
denominador y se transforma en 00 o
EJEMPLO
1.
xgx
x
1cotlim0
020
coscoscoslim
'cos
limcos
coscoslim
'coslim1coslim
0
00
00
senxxxxxxsenx
HLxxsenx
senxxxxsenx
xsenxxx
HLsenxx
senxxxxsenx
x
x
xx
xx
INDETERMINACIÓN CERO POR INFINITO La indeterminación cero por infinito, se transforma del siguiente modo:
B
ABAaxax 1
lim)(lim
EJEMPLO
0lnlim0
xxx
0)(limlim1
1
lim
'1lnlimlnlim
0
2
0
2
0
00
xxx
x
x
HL
x
xxx
xxx
xx