APLICACIONES INFORMATICAS EN EL AULA PARA LAS ASIGNATURAS DE ANALISIS MATEMATICO

Alonso Durán MaríaCastro Uceda José Antonio

Herrero Gonzalez Josué

1. INTRODUCCION

Para transmitir el mensaje matemático en economía se puede utilizar unprograma como DERIVE u otros, de forma que el alumno disponga de unmétodo para visualizar las gráficas de las funciones en dos y tres dimensiones. En el estudio de los extremos relativos por ejemplo, pueden compararsus resultados con los que les ofrece el ordenador. En la programación de las asignaturas de Matemáticas de laslicenciaturas de Economía y Administración de Empresas se pueden realizarunas sesiones prácticas en las aulas de informática donde el alumno aprende atrabajar con dichos programas en función de sus necesidades.

2. POSIBILIDADES DE APLICACION DEL PROGRAMA DERIVE

DERIVE es un “Computer Algebra System” para ordenadorespersonales ampliamente extendido que permite la manipulación de expresionessimbólicas, cálculos matemáticos y representaciones gráficas, que facilita a losalumnos el trabajo con un programa informático de forma sencilla y agradable. DERIVE es muy adecuado para su utilización como laboratoriomatemático en el aula ya que permite utilizar con facilidad un buen número deejemplos y ejercicios que ilustren los conceptos teóricos y proponer a losalumnos la realización de simulaciones sencillas. Según la programación de estas asignaturas en nuestra Universidad, laaplicación de este programa podría efectuarse en los siguientes temas:

Matemáticas I

. Cálculo de límites, derivadas y obtención de extremos de funciones de unavariable.

. Representación gráfica de estas funciones.

. Obtención del desarrollo de Taylor.

. Cálculo de integrales.

Matematicas II

. Resolución de sistemas de ecuaciones.

. Cálculo matricial: Operaciones elementales, determinantes y matriz inversa.

. Cálculo de autovalores.

. Cálculo de límites iterados y derivadas parciales de funciones de variasvariables.

. Representación gráfica de funciones en tres dimensiones.

Matemáticas III

. Utilizando las posibilidades de programación de derive se pueden resolverecuaciones diferenciales y problemas avanzados de optimización.

3. DIDACTICA EN EL AULA

En Matemáticas I dentro del Análisis Matemático y en el apartado defunciones reales de una variable real, el profesor apoya su explicación teórica enla pizarra con unas transparencias con retroproyector donde aparecen lasgráficas que previamente el alumno ha tenido que sacar con los cálculos típicos. A continuación el profesor pregunta ¿ Cuántos saben representar unafunción con algún programa informático?. Llevamos dos cursos haciendo esta misma pregunta en clases de 80alumnos aproximadamente y la respuesta fué la siguiente: El primer año un 6 % sabía programar una función. Un 2 % conocíaDERIVE. El segundo año un 7% sabía programar una función. Un 3 % conocíaDERIVE y un 1 % MATHEMATICA. Algo parecido ocurre en el Análisis de varias variables: aquí los efectosson mas vistosos en cuanto que las superficies en tres dimensiones causan unagradable efecto cuando se ven en el retroproyector.

Pero nos quedaríamos cortos si solo los alumnos contemplaran losresultados desde sus asientos en el aula habitual.

Nos proponemos dentro de la programación de un cuatrimestre reservarcinco horas en las aulas de informática donde el alumno protagonice todo elproblema y sepa sacar el mismo los resultados “a mano” y “a maquina”.

De esta forma se aprovechan las posibilidades de la representacióngráfica para englobar el cálculo de límites, existencia de extremos y lainterpretación económica de las funciones, cumpliéndose así el principalobjetivo que nos proponemos: que el alumno sepa extraer toda la informaciónque necesita al estudiar una función de este tipo.

4. DESARROLLO Y EJEMPLOS

Como orientación de posibles actividades a realizar en el aulaproponemos los siguientes ejemplos enmarcados en la programación de lasasignaturas de Matemáticas antes mencionadas.

Ejemplo 1:

Desarrollo de Taylor de la función y=senx en el punto x=1.

El programa permite observar cómo se aproximan las gráficas de lospolinomios de Taylor a la gráfica de la función de una manera instantánea.

Ejemplo 2:

Inexistencia de límite en una función de dos variables.

Si calculamos el límite de la función f(x,y) = ( (x2 - y2)/ (x2 + y2))2 cuando(x,y) tiende a (0,0) de la forma habitual, vemos que no existe. La gráfica de esta función, de difícil intuición, aparece con el programaDerive sin dificultad, viéndose claramente que el límite cuando (x,y) →(0,0) noexiste, pues en la dirección de la recta y=x el límite es cero, y en la dirección deleje x es distinto de cero.

Ejemplo 3:

Cálculo del máximo de una función de beneficio:

Sea P(x,y)= -x2 - y2 + 22x + 18y –102 una función de beneficiosanuales (en millones de dólares) donde x es la cantidad invertida eninvestigación e y es el gasto publicitario.

Y las curvas de nivel correspondientes serían:

Después del cálculo “a mano” del punto crítico de la función, el programa nospermite constatar por medio de la representación gráfica que dicho punto corresponde aun máximo de la función, así como el comportamiento de la misma nos ayuda a obteneruna interpretación económica.

Ejemplo 4:

Cálculo de extremos cuando no decide el criterio de la derivadasegunda.

Dada la función f(x,y)= x2y2

Después del cálculo de los puntos críticos, se observa que elcriterio de la deriva segunda no asegura que se trate de extremos. Lagráfica de la función confirma que en dichos puntos de los ejes x e y sealcanzan mínimos absolutos de la función.

Ejemplo 5:

Resolución de una ecuación diferencial obtenida a partir de unproblema económico.

Designemos por X=X(t) el producto nacional, por K=K(t) alstock de capital, y por L = L(t) el número de obreros de un pais en elinstante t. Supongamos que, para t ≥ 0 tenemos

X = AK(-1-α) Lα (a) d K/dt = s X (b) L = L0 e

λ t (c)

con A, α, s, L0 y λ constantes positivas y 0 < α < 1.

Deducir de estas ecuaciones una única ecuación diferencial quedetermine K = K(t), y hallar la solución de esa ecuación cuandoK(0) = K 0 > 0.

Antes de dar la solución precisemos que

a) es una función de producción de Cobb-Douglasb) dice que la inversión agregada es proporcional a la producciónc) implica que la plantilla laboral crece exponencialmente.

Solución:

La ecuación diferencial sería:

dK/dt = sAK(-1-α) Lα = s A L0α eα λ t K1-α

que es de variables separables.Kα-1 dK = s A L0

α eα λ t dt k t

luego ∫k0 β α-1 dβ = ∫0 s A L0α eα λ ι dι

y de aquí k t

∫ k0 (1/α) βα = (1/ αλ) s A L0α |0 eα λ ι

ó 1/α (Kα - K0α ) =(1/αλ) s A L0

α (eα λ t -1)

luego K =[ K0α + ( s/λ) A L0

α ( e αλt -1) ] -(1/α)

En DERIVE pondriamos Transfer - Load- Utility

ODE1.MTHSEPARABLE (s A L0

α eα λ t , K1-α , t , K , 0 , K0 )

y despues de teclerar solve obtendriamos la solución.

Derive permite resolver la ecuación rápidamente y comparar el resultadocon el obtenido “a mano”.

5. METODOLOGIA

Como ya habíamos indicado , dentro del horario lectivo se puedenreservar cinco horas para cada cuatrimestre por asignatura, donde el alumno(pudiendo trabajar en grupo) utiliza el programa DERIVE para resolver susproblemas, comprobando los resultados obtenidos en clase.

6. EVALUACION

El profesor puede valorar el resultado de estas actividades proponiendola resolución de algunas prácticas que el alumno entregará al finalizar el curso.

7. CONCLUSIONES

Nuestra opinión, dadas las experiencias ya realizadas y aquellas queproponemos, es que alumno puede beneficiarse del uso de DERIVEprincipalmente teniendo en cuenta dos aspectos:- Rapidez de cálculo (resolución de verdaderos problemas económicos).- Visualización rápida de gráficas (observación de las patologías de la función).

8. BIBLIOGRAFIA

1. Kunt Sydsaeter, Peater J. Hammond (1996): Matemáticas para el análisiseconómico. Edit. Prentice Hall.

2. García, A.(1993): Prácticas de matemáticas con DERIVE. Edit. Clagsa.

Trabajo desarrollado en el Dp. Economía de la Universidad Carlos III deMadrid, C/ Madrid 126 28903 Getafe (Madrid).