AUTORES

Ebert Gabriel San Romn CastilloPatricia Raquel Castillo AranbarManuel Gustavo Sotomayor Polar

Lee Victoria Gonzales FuentesEfran Zenteno Bolaos

Aplicaciones y Teora de Ingeniera de Microondas

1a ed. - Iniciativa Latinoamericana de Libros de Texto Abiertos (LATIn), 2014. 108 pag.

Primera Edicin: Marzo 2014Iniciativa Latinoamericana de Libros de Texto Abiertos (LATIn)http://www.proyectolatin.org/

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Este texto forma parte de la Iniciativa Latinoamericana de Libros de Texto abiertos (LATIn),proyecto financiado por la Unin Europea en el marco de su Programa ALFA III EuropeAid.El Proyecto LATIn est conformado por: Escuela Superior Politcnica del Litoral, Ecuador(ESPOL); Universidad Autnoma de Aguascalientes, Mxico (UAA), Universidad Catlica deSan Pablo, Per (UCSP); Universidade Presbiteriana Mackenzie, Brasil(UPM); Universidad dela Repblica, Uruguay (UdelaR); Universidad Nacional de Rosario, Argentina(UR); UniversidadCentral de Venezuela, Venezuela (UCV), Universidad Austral de Chile, Chile (UACH), Uni-versidad del Cauca, Colombia (UNICAUCA), Katholieke Universiteit Leuven, Blgica (KUL),Universidad de Alcal, Espaa (UAH), Universit Paul Sabatier, Francia (UPS).

ndice general

1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1 Las Microondas 10

1.2 Historia de las Microondas 13

1.3 Revisin de la Teora Electromagntica 17

2 Lineas de Transmisin y Guias de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1 Soluciones Generales para Ondas TEM, TE y TM 23

2.2 Guas de Onda Rectangulares 27

2.3 Guas de Onda Circulares 30

2.4 Stripline 34

2.5 Microstrips 36

3 Concepto General de Circuito de Microondas . . . . . . . . . . . . . . . 393.1 Introduccin 39

3.2 Impedancia Caracterstica 40

3.3 Ondas de Voltaje y Corriente Equivalentes 40

3.4 Impedancia para Redes de Un Solo Puerto 41

3.5 Matrices de Impedancia y Admitancia de circuitos de N puertas 42

3.6 Matriz de Dispersin 433.6.1 Cambio de planos de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.6.2 Ondas de potencia y parmetros de dispersin generalizados . . . . . . . . . . 45

3.7 Matriz de Transmision (ABCD) 46

3.8 Diagramas de Flujo de Seales 493.8.1 Propiedades bsicas de un diagrama de flujo de seales . . . . . . . . . . . . . . 503.8.2 Manipulacin de los diagramas de flujo de seales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Transformacin y Adaptacin de Impedancias . . . . . . . . . . . . . . 534.1 La carta de Smith 534.1.1 Mapeo del plano de impedancia normalizada z al plano de coeficiente de

reflexin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2 Adaptacin de Impedancias con elementos distribuidos stub 574.2.1 Adaptacin mediante stub simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3 Adaptacin de impedancias con elementos concentrados 614.3.1 Circuitos de Adaptacin con Seccin L Resistiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3.2 Circuitos de Adaptacin con Seccin L Reactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3.3 Solucin grfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.4 Transformador de /4 65

4.5 Transformadores multiseccin 664.5.1 Transformador de una seccin nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.5.2 Transformador multiseccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5 Resonadores Microondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.1 Circuitos Resonantes en Serie y en Paralelo 695.1.1 Circuito Resonante en Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.1.2 Circuito Resonante en Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.2 Factor de Calidad Cargado, Aislado y Exterior 745.2.1 Factor de Acoplamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.3 Resonadores en Alta Frecuencia 765.3.1 Lneas de Transmisin Resonantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.4 Cavidades Resonantes 815.4.1 Frecuencias Resonantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.4.2 Factor de calidad de una cavidad rectangular con el modo M . . . . . . . . . 83

5.5 Resonadores Dielctricos 84

6 Filtros Microondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.1 Tipos de filtros 87

6.2 Diseo de filtros 886.2.1 Etapas para el diseo de un filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.2.2 Funcin de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.3 Prototipos 896.3.1 Butterworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.3.2 Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.4 Transformacin de Elementos 946.4.1 Prototipo Pasa-Bajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.4.2 Transformacin Pasa-Bajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.4.3 Transformacin Pasa-Alto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.4.4 Transformacin Pasa-Banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.4.5 Transformacin Rechazabanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7 Dispositivos Activos Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.1 Transistores en RF 100

7.2 Diseo de amplificadores 1027.2.1 Diseo de amplificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.3 Estabilidad 103

7.4 Diseo de Mxima Ganancia 1067.4.1 Mxima Ganancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.4.2 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.4.3 La ganancia del transductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.5 Diseo Selectivo Ganacia y Ruido 1097.5.1 Diseo selectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.5.2 Ganancia especfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.5.3 Figura de ruido especfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.5.4 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.6 Polarizacin 1127.6.1 Polarizacin Pasiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.6.2 Polarizacin Activa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

1 Introduccin

El actual crecimiento de las comunicaciones inalmbricas, debido al incremento de lascomunicaciones de voz, vdeo y consumo de datos est causando una creciente demanda dela cantidad de canales y el ancho de banda, esto, est impulsando a los sistemas transceptoresde comunicacin hacia frecuencias de microondas y de ondas milimtricas para satisfacerla demanda mundial de mayores velocidades de transmisin de banda ancha, los sistemasde comunicacin de comunicacin inalmbrica requiere tambin de n desarrollo a la par deesta demanda. La Teora electromagntica proporciona la base para todos los circuitos demicroondas que hizo posible los grandes avances logrados por el campo de microondas. Esimportante entender que la teora de campo de microondas es slo una parte de la teora delcampo electromagntico en general.

La tecnologa inalmbrica ha crecido enormemente, con nuevas aplicaciones reportadascasi todos los das. Las aplicaciones tradicionales de comunicacin, como los sistemas decomunicacin personal (PCS), la radio y la televisin, de RF y microondas que estn siendodentro de los telfonos celular mviles. Puertas sin llave, se realizan mediante la identificacinpor radiofrecuencia (RFID), el seguimiento de los pacientes en un hospital o una residencia deancianos, y los mouse o teclados para computadoras inalmbricos son algunas de las otras reasen las que se est empleando la tecnologa de radiofrecuencia.

La presentacin de este libro supone slo un curso bsico de circuitos elctricos comorequisito previo. En lugar de utilizar los campos electromagnticos ya que la mayora de loslibros de ingeniera de microondas hace un modelado a travs de los conceptos de circuitos. Loscientficos y los matemticos del siglo XIX sentaron las bases de las telecomunicaciones y latecnologa inalmbrica, lo que ha afectado a todas las facetas de la sociedad moderna. En 1864,James C. Maxwell extendi las relaciones fundamentales de los campos electromagnticos, queno slo resumio los resultados de las investigaciones de Laplace, Poisson, Faraday, Gauss yotros, pero tambin predijo la propagacin de seales elctromagneticas a travs del espacio.Posteriormente, Heinrich Hertz fue el primero en verificar la propagacin en 1887 y GuillermoMarconi transmiti con xito las seales inalmbricas a travs del Ocano Atlntico en el ao1900.

Un aspecto muy importante es que estos problemas de la teora de campo de microondaspueden ser formuladas en trminos de lneas de transmisin y elementos distribuidos querepresentan los efectos de las discontinuidades geomtricas, dando lugar a lo que se ha llamadola teora de redes de microondas. De hecho, es esta capacidad de los campos de microondasque permite expresarlos en trminos de redes adecuadas, lo que ha permitido a la teora demicroondas hacer realizar grandes avances. Esta capacidad proporciona el fundamento paramuchos diseos de circuitos de microondas sistemticos y precisos.

10 Introduccin

1.1 Las Microondas

El trmino Radiofrecuencia o RF, se aplica a la porcin del espectro electromagntico en elque se pueden producir ondas electromagnticas, una onda electromagntica propaga simultnea-mente campos elctricos y magnticos producidos por una carga elctrica en movimiento. Elflujo saliente de energa de una fuente en forma de ondas electromagnticas se le denominaradiacin electromagntica. La Radiofrecuencia se localiza en el espectro de la radiacin electro-magntica menos energtica, se define como aquella en que las ondas electromagnticas tienenuna frecuencia entre 3 kHz y 300 GHz.

Las ondas electromagnticas son capaces de viajar a travs del vaco, a diferencia de lasondas mecnicas que necesitan un medio material para poder hacerlo. Esta radiacin electromag-ntica puede entenderse como el conjunto de ondas elctricas y magnticas que conjuntamentese desplazan por el espacio generado por el movimiento de cargas elctricas que puede tenerlugar en un objeto metlico conductor, como una antena. Las ondas electromagnticas, conve-nientemente tratadas y moduladas (normalmente, variando de forma controlada la amplitud, fasey/o frecuencia de la onda original), pueden emplearse para la transmisin de informacin, dandolugar a una forma de telecomunicacin.

No todas las ondas electromagnticas tienen el mismo comportamiento en el medio depropagacin, la misma procedencia o la misma forma de interaccin con la materia. Por ello,el espectro electromagntico de radiofrecuencia se divide convencionalmente en segmentos obandas de frecuencia, las cuales se atribuyen para diferentes servicios inalmbricos, la gestin yasignacin del espectro esta en competencia de la Unin Internacional de Telecomunicaciones(UIT), que asigna bandas de frecuencia donde el servicio debe de operar se pueden apreciar en elCuadro 1.1, donde adems algunos servicios tpicos en cada banda se aprecian.

Cuadro 1.1: Bandas del Espectro Radioelctrico

Antes de 1930 el espectro de radio por encima de 30 Megahertz estaba prcticamente vacohoy en da, las seales de radio pueblan el espectro radioelctrico en ocho bandas de frecuencia,que van de muy baja frecuencia (VLF), a partir de las 3 Kilohertz, y se extiende hasta muy altafrecuencia (EHF), algunos ejemplos de servicios que operan en las bandas se muestran en elCuadro 1.1, por ejemplo la transmisin de radio AM opera en la banda de frecuencia media(MF); canales de televisin 2-12 operan en la banda de muy alta frecuencia (VHF), y los canales

1.1 Las Microondas 11

18 a 90 operan en banda de frecuencia ultraalta (UHF).Las microondas son la porcin del espectro electromagntico que cubre el rango de frecuen-

cias entre 0.3 GHz y 30 GHz, que corresponde a la longitud de onda en vaco ( = c/ f ) entre100 cm. y 1 cm [1], que son seales con longitudes de onda del orden de centmetros y por eso sedenominan como ondas centimtricas, seales con longitudes de onda del orden de milmetrosse refieren a menudo como ondas milimtricas son las que varian desde los 30GHz hasta los300 GHz, estas seales por su comportamiento similar a las microonda aun pueden considerarsedentro de la banda de las microondas [2], el espectro electromagntico y la ubicacin de labanda de lass microondas se aprecia en la figura 1.1. Para una mejor comprensin el espectrode radiofrecuencia se ha subdividido en mltiples sub-bandas de frecuencias, que se puedenapreciar en el Cuadro 1.2, tanto las designaciones del IEEE y de las banda militares.

Figura 1.1: El espectro electromagntico

La propiedad fundamental que caracteriza a este rango de frecuencia es que el rango deondas es comparable con la dimensin fsicas de los sistemas; debido a esta peculiaridad, lasmicroondas poseen un tratamiento particular que es diferente usado a las bandas de frecuenciacon las que limita, que son la radiofrecuencia y el infrarrojo. En radiofrecuencia las sealesse caracterizan con los conceptos de circuitos, con parmetros localizados, debido a que, laslongitudes de onda son mucho mayores que las longitudes de los dispositivos, pudiendo as,hablar de fenmenos estacionarios a lo largo del dispositivo con autoinducciones, capacidades,resistencias y conductancias constantes, no es preciso tener en cuenta la forma de propagacin dela onda en dicho dispositivo; por el contrario, en las frecuencias superiores a las de microondasse aplican los mtodos del tipo optico, debido a que las longitudes de onda comienzan a serdespreciables frente a las dimensiones de los dispositivos.

En la figura 1.2 se puede apreciar el desfase que se produce en un amplificador de aproxi-madamente 3 cm a frecuencias de 10 MHz y de 10GHz (microondas),el desfase de la primeraseal de apenas 0.36, lo cual se puede considerar que las seales de corriente y voltaje per-manencen constante y se puede utilizar elementos circuitales como resistencias, inductancias,capacitancias y conductanpara su , en cambio la segunda el desfase es de 36 y la aproximacioncircuital debe darse por infinitesimales del circuito para su validez.

12 Introduccin

Cuadro 1.2: Sub-bandas de Frecuencias de Microondas

Figura 1.2: Desfasamiento en una seal de baja frecencia y de alta frecuencia.

1.2 Historia de las Microondas 13

En algunas otras reas de la teoria electromagntica, las dimensiones son mucho mayoresque la longitud de onda (como en la ptica), o mucho ms pequea que la longitud de onda(las redes de baja frecuencia). Para estos ejemplos, las aproximaciones pueden ser hechas en lateoria electromagntica que simplifican enormemente las matemticas. En la teora del campoelectromagenticos de microondas, tales simplificaciones no son posibles, y la complejidad de lamatemtica debe ser enfrentada. Desde este punto de vista, la teora de campo de microondascorresponde a la rama de la teoria electromagntica que es el ms difcil, pero tambin el msinteresante en trminos de fenmenos complicados, como resonancias o efectos de acoplamiento,etc.

La Teora de campo de microondas permite simplificaciones sistemticas y hace manejable lafsica electromagntica. Por ejemplo, podemos entonces tener en cuenta la regularidad geomtricade las estructuras de gua onda, se puede asumir que los modos ms altos son necesariamenteexcitados en conexin de discontinuidades geomtricas que estn por debajo de la frecuenciade corte, de modo que los efectos de discontinuidad pueden ser consideradas como agrupados.Adems, las formulaciones sistemticas de las redes de microondas permiten la reduccin de losproblemas del campo electromagntico en lneas de transmisin y su expresin en elementosconcentrados, y nos permiten aplicar una amplia gama de mtodos de redes para resolver estosproblemas.[3], [4]

1.2 Historia de las MicroondasMucho ha cambiado las tcnicas de diseo de Radiofrecuencia desde que la teora electro-

magntica fue formulada en 1873 por James Clerk Maxwell , quien plante la hiptesis , de lapropagacin de ondas electromagnticas a partir de consideraciones matemticas y la idea de quela luz era una forma de energa electromagntica, la hiptesis solo fue aceptada pasado 20 aos,gracias a Heinrich Hertz, profesor alemn de fsica y un experimentador talentoso que estudio lateora publicada por Maxwell, llev a cabo una serie de experimentos en los que demostr lageneracin, propagacin y recepcin de ondas de radiofrecuencia, durante el perodo 1887-1891que validaron la teora de las ondas electromagnticas de Maxwell.

Guglielmo Marconi creo el primer sistema prctico de radio, comenz sus experimentosa partir de 1894 y culmino su trabajo con la transmisin de seales telegrficas a travs delAtlntico (entre Irlanda y Canad) en 1901. En 1904, los de radio de cristal que detectabanseales telegrficas inalmbricas podan ser adquiridos, podramos decir que la industria de laRF ha cambiado bastante desde los das de Marconi y Tesla y otros visionarios tecnolgicosque permitieron las comunicaciones de radio, sus contribuciones han conducido a una ampliagama de aplicaciones de RF , que van desde el radar, telfono mviles celulares, radio, televisin,WLAN y otros tipos de comunicacin inalmbrica actual, hoy en da, la radio se erige como lacolumna vertebral de la industria de las telecomunicaciones.

Debido a la falta de fuentes de microondas confiables y otros componentes, el crecimientode la tecnologa de radio en el ao 1900 se produjo principalmente en el rango de HF confrecuencias por debajo de 25 MHz se hicieron comunes . No fue sino hasta la dcada de 1940 yel advenimiento del desarrollo del radar durante la Segunda Guerra Mundial que la teora y latecnologa de microondas recibidos un nuevo inters. En los Estados Unidos, el Laboratorio deRadiacin se estableci en el Instituto de Tecnologa de Massachusetts para desarrollar la teoray prctica del sistema de radar. Un nmero de cientficos talentosos, incluyendo N. Marcuvitz ,II Rabi, JS Schwinger , HA Bethe , EM Purcell , CG Montgomery, y RH Dicke , entre otros, sereunieron en un perodo muy intenso de desarrollo en el campo de las microondas . Su trabajoincluy el tratamiento terico y experimental de los componentes de gua de ondas, antenasde microondas, la teora de acoplamiento de abertura, y los comienzos de la teora de redes demicroondas.

14 Introduccin

Algunas investigaciones bsicas que implican las ondas guiadas se llevaron a cabo durante losprimeros aos, se concentra principalmente en la primera dcada del siglo 20, pero la verdaderahistoria de las microondas, y por lo tanto la teora del campo de microondas, se inicia en ladcada de los aos 1930. Enorme impulso fue dado durante la Segunda Guerra Mundial debidoa la necesidad de desarrollar el radar en un apuro, y se hizo un gran progreso durante ese cortoperodo de tiempo. Para el final de la Segunda Guerra Mundial, ya se haban establecido las basesde la teora de campo de microondas. El posible uso de guas de onda huecas para guiar las ondaselectromagnticas se investig durante la dcada de 1930 este involucro secciones transversalescirculares. Por otro lado, las guas de ondas rectangulares resultaron ser ms prcticas y deanalisis y sintesis ms sencillo, ya que la solucion de sus campos esta en funcion trigonomtricaen lugar de las funciones de Bessel de la guia de onda circular, la figura 1.3 muestra la estructurade las guias de onda rectangular y circular.

Figura 1.3: Gua de Onda rectangular y circular

El desarrollo del magnetrn en Gran Bretaa fue la primera fuente fiable de ondas decentmetricas y sirvioin como generador de frecuencias en el sistema de radar. Fue el tremendoempuje por mejorar el funcionamiento del radar durante la Segunda Guerra Mundial, que diolugar a avances notables en poco tiempo en la teoria de las microondas en su conjunto. En losaos inmediatamente posteriores a la Segunda Guerra Mundial, se convirti la gua de ondarectangular la estructura de gua de onda dominante, sin embargo en la decada de 1950, la gentebusc componentes que podran proporcionar mayor ancho de banda, y por lo tanto examinaronotras lineas de transmision. El cable coaxial fue ampliamente estudiado, ya que posea un modode transmision dominante sin frecuencia de corte, dando dos virtudes importantes: un gran anchode banda y la capacidad de miniaturizacin, pero la falta componente de estructura circular hizoms difcil la creacin de componentes y fue descartado.

En un intento de superar estas dificultades de fabricacin, el conductor central de la lneacoaxial se aplano en una tira y el conductor exterior se alter en una caja rectangular. Compo-nentes con esas dimensiones fueron equipados con conectores para su uso con el cable coaxialregular. Casi al mismo tiempo, otros dieron un paso mucho ms audaz, le quitaron las paredeslateralesexteriores por completo, y se extendieron las paredes superior e inferior, el resultado sellama lnea de transmisin de tira o lnea de cinta (linea stripline). Una modificacin que surgims o menos al mismo tiempo consiste en retirar el conductor superior, dejando slo la tira yel conductor inferior, con una capa dielctrica entre ellos para soportar la tira conductora. Estaestructura se denomina microcinta (microstrip). Las dos estructuras se ilustran en la figura 1.4.

Hubo motivos tcnicas para la preferencia por la lnea de transmisin stripline en esta decada,debido principalmente a que la velocidad de fase y la impedancia caracterstica del modo depropagacion TEM no vara con la frecuencia; en contraste, la naturaleza de la linea de transmision

1.2 Historia de las Microondas 15

microstrip que posee un modo de propagacion hbrido, quasi TEM, que posee una velocidadde fase, impedancia caracterstica ligeramente dependiente de la frecuencia, ademas debidoal deseqilibrio de simetra todas las discontinuidades poseen algn contenido resistivo y porlo tanto irradian en cierta medida, en esta decada la linea simtrica stripline fue la tecnologiadesarrollada, y la tecnologia microstrip qued relegada en un segundo plano durante esta dcada.

Figura 1.4: Lnea Microstrip y Stripline

La tecnologa de microondas de la dcada de 1950 ha visto cambios dramticos en compara-cin con la tecnologa de hoy. Esto se debe en parte a los esfuerzos concertados para promoverla teora, evolucionar los nuevos conceptos, optimizar el hardware, y emplear nuevas tcnicas defabricacin, los factores externos tambin contribuyeron, por ejemplo el desarrollo de satlites y,en particular, los satlites de comunicaciones, utilizan ampliamente la tecnologa de microondas,otro ejemplo, fue la competencia armamentista, la defensa contra misiles balsticos llevo aldesarrollo del radar de microondas y el diseo de antenas con arreglos de fase para la gua demisiles, lo que llevo al desarrollo de los radares de mltiple orientacin y de los sistemas decomunicacin de microondas.

La optimizacin de los componentes y la estandarizacin de las lneas de transmisin y conec-tores fueron temas fundamentales para el desarrollo de la tecnologa de microondas, ademsnuevas tecnologas estaban apareciendo, por ejemplo, dispositivos de ferrita en el microon-das comenzaron a estudiarse, desarrollando dispositivos tales como los aisladores de ferrita,circuladores, y desfasadores. En algn momento alrededor de mediados de 1960, microstripcomenz a aparecer de nuevo, pero en una forma modificada. La nueva linea microstrip, conseccin transversal reducida, logro una mejor capacidad de miniaturizacin que su competidor,ofreciendo una circuitera ms compacto y estimulando la integracion con circuitos integradosde microondas ms elaborados.

Las fuentes desarrolladas durante la Segunda Guerra Mundial fueron el klystron , magnetrnde cavidad (pulsada ) , y el tubo de faro (til a bajas frecuencias de microondas ). El transistorfue inventado en 1948 y comenz a ver el uso de frecuencias de radio en la dcada de 1950,pero no estaba disponible en las microondas. La dcada de 1950 vio el desarrollo del tubo deonda progresiva (TWT). La onda continua (CW) magnetrn tambin fue desarrollado y vio a suuso en microondas hornos a partir de mediados de la dcada de 1950, muchos de los avances,sin embargo, estaban en el rea del estado slido por ejemplo en la dcada de 1960 se vio lainvencin del diodo Gunn e IMPATT.

Un rea que recibi la actividad extensa era la de reduccin de ruido y amplificacin de bajoruido, a frecuencias elevadas no existan ningn tipo amplificadores de bajo ruido disponibles,dispositivos como el maser, amplificadores paramtrico, amplificadores de diodo tuvieron ciertoxito en la dcada de 1960 y principios de 1970. Posteriormente, apareci el transistor de efectocampo (FET) de bajo nivel de ruido, las mejoras constantes en un perodo de aos, adems debajo costo y simplicidad, han hecho que sea un fuerte participante en los sistemas actuales. Ms

16 Introduccin

recientemente, el transistor de electrones de alta movilidad pseudomorphic (pHEMT) tambinha producido excelentes caractersticas de bajo nivel de ruido, sobre todo en frecuencias demicroondas ms altas hasta 95 GHz. El transistor bipolar de heterounin (HBT) tambin es uncompetidor en algunas aplicaciones de potencia moderada y bajo ruido.

El desarrollo de los circuitos integrados de microondas se inici en 1957, a lo largo de losaos, una enorme cantidad de fondos y el esfuerzo han sido empleados en los circuitos integra-dos de microondas, por parte de los principales Departamento de Defensa, otras aplicacionescomo la radioastronoma, tambin han realizado importantes descubrimientos. Los sistemas decomunicacin que utilizan la tecnologa de microondas comenzaron a desarrollarse poco despuscuando la FCC asigno varias bandas del espectro inalmbrico , las tecnologias de la bandaIndustrial, Cientfico y Mdico (ISM ), se beneficiaron del trabajo que se hizo originalmentepara los sistemas de radar . Las ventajas que ofrecen los sistemas de microondas , incluyendoanchos de banda de ancho y la propagacin de lnea de vista, han demostrado ser fundamen-tal tanto para los sistemas de comunicacin por satlite y terrestre y por lo tanto han aportadoun impulso para el desarrollo continuo de componentes de microondas en miniatura de bajo costo.

HISTORIA CONTEMPORNEA DE LAS MICROONDAS

La disponibilidad general de las computadoras de hoy ha cambiado de muchas manerasla forma en que se avanza en la teora del campo de microondas. Las computadoras nos hanproporcionado una herramienta muy poderosa, que nos permite obtener los valores numricosde los problemas que de otro modo seran imposibles de resolver, salvo en idea aproximada.El esfuerzo principal de hoy en la teora de campo de microondas, por tanto, implica mtodosnumricos. Antes de aproximadamente 1970, la tensin fue en la obtencin de solucionesanalticas simples pero precisas a partir del cual los clculos se podran realizar con facilidad, ytambin en aquellos pocos casos en los que sera posible derivar soluciones exactas, contra lascuales las soluciones aproximadas se pueden comparar.

El campo de la Ingeniera de Microondas ha estado pasando por un perodo de resurgimientoen las ltimas dcadas. En vista de la aparicin de nuevos dispositivos junto con el avance de lasMMICs, MEMS, PBGS, metamateriales, etc, en la actualidad hay aplicaciones civiles y militaresms recientes, as como un renovado inters en las diferentes reas, con especial referencia a lastelecomunicaciones. Los lmites de frecuencia y potencia de estos dispositivos y los sistemas hanllegado a rangos de terahercios y gigavatios. De hecho, la disponibilidad de, cdigos avanzadostotalmente tridimensionales de simulacin, los materiales avanzados, la fabricacin de precisiny tecnologa de procesamiento ha aadido una nueva dimensin a la actuacin de los dispositivosy sistemas de microondas.

La utilizacin de la energa de microondas se ha convertido en un campo emergente para unavariedad de aplicaciones. Diferentes aplicaciones de las microondas se han aplicado en diversasramas de la ciencia y la tecnologa como mediciones industriales, las aplicaciones mdicas,agricultura, etc. A frecuencias de microondas, las propiedades dielctricas de la vegetacin,saturacin de agua, porosidad, textura, interacciones electroqumicas estn en funcin de lafrecuencia de exploracin. Las tcnicas de microondas y la instrumentacin se pueden utilizaren la agricultura para mejorar la eficiencia de la produccin de cultivos, la manipulacin yprocesamiento, y mejorar la calidad de los productos. La medicin y el control de contenidode humedad es un aspecto importante en la cosecha. El uso de propiedades dielctricas paramedir el contenido de humedad de los productos, tales como granos de cereales ha producidouna variedad de mtodos usando la gama de la radiacin electromagntica de RF.

Hoy la teora de las microondas no est siendo impulsada nicamente por la industriaaeroespacial y de defensa, sino ms bien por la demanda de los consumidores de aplicaciones

1.3 Revisin de la Teora Electromagntica 17

inalmbricas que permiten la conectividad en cualquier momento y en cualquier lugar, protocolosde radio nuevos y emergentes tales como Bluetooth, WiFi (802.11 WLAN), WiMAX, y ZigBee,adems de tecnologas celulares como CDMA, GPRS, GSM, y Long Term Evolution (LTE)ponen grandes exigencias en tecnologas. Los prximos estndares tambin lo harn, ya queellos tambin estn tratando de obtener el mayor rendimiento posible del sistema.

En respuesta a estos y otros retos, la industria electrnica ha innovado, por ejemplo haceunos 25 aos atrs, la automatizacin de diseo electrnico (EDA) era una industria incipiente,sobre en tecnologas de alta frecuencia de RF e ingeniera de microondas. A medida que elproceso de diseo se hizo ms complejo, las herramientas se hicieron ms costosas de desarrollary mantener, actualmente los ingenieros tienen acceso a una gama completa de herramientas deRF/microondas que ayudan en el diseo, anlisis y verificacin de los circuitos a desarrollar.Otrasreas de la innovacin en la industria de RF son, la mejora de los transistores de potencia RF queprometen dar a la infraestructura inalmbrica, amplificadores de potencia con un alto rendimiento,mayor fiabilidad y robustez. Los RFICs esperan ampliar el rol del CMOS y permitir nuevostelfonos mviles que ofrezcan servicios multimedia en dispositivos compactos con un costomenor. An ms la innovacin vendr con tecnologas emergentes de Radiofrecuencia, talescomo el nitruro de galio y sistemas micro-electro-mecnicos (MEMS). En este ltimo caso, estosdispositivos micromecanizados se estn integrando al procesamiento de seal de los CMOS yacondicionado en circuitos de telfonos mviles y dispositivos electrnicos porttiles. Es estetipo de innovacin, junto con el cambio en el mercado tecnolgico que crea nuevas oportunidades,lo que esta llevando a una mirada renovada de los contenidos del diseo de radiofrecuencia ymicroondas.

1.3 Revisin de la Teora ElectromagnticaLa teora del campo electromagntico es una disciplina que se ocupa del estudio de los cargas,

en reposo y en movimiento, que producen corrientes y campos elctricos y magnticos. Es,por tanto, fundamental para el estudio de la ingeniera elctrica y fsica e indispensable para lacomprensin, del diseo y el funcionamiento de muchos sistemas prcticos que utilizan antenas,circuitos y dispositivos de microondas, comunicaciones pticas, comunicaciones inalmbricas,radiodifusin, teledeteccin, radar, radioastronoma, electrnica cuntica, circuitos y dispositivosde estado slido, e incluso computadoras. Por ejemplo, la propagacin, distorsin, y acoplamientoen lneas microstrip utilizadas en el diseo de sistemas de transmisin (tales como computadorasy circuitos integrados electrnicos) pueden ser adecuadamente comprendidos slo mediante lacomprensin de las interacciones electromagnticas de campo asociados con la propagacin dela seal.

El estudio del electromagnetismo incluye tanto la parte terica y los conceptos aplicados.Los conceptos tericos se describen mediante un conjunto de leyes bsicas formuladas principal-mente por medio de experimentos llevados a cabo durante el siglo XIX por muchos cientficoscomo Faraday, Ampere , Gauss , Lenz , Coulomb , Volta , entre otros. Luego se combinan en unconjunto de ecuaciones vectoriales dadas por Maxwell. En este seccin, se revisa las ecuacionesde Maxwell tanto en forma diferencial e integral.

ECUACIONES DE MAXWELLEn general, los campos elctricos y magnticos son cantidades vectoriales que tienen mag-

nitud y direccin. Las relaciones y las variaciones de los campos elctricos y magnticos, delas cargas y las corrientes asociadas a las ondas electromagnticas se rigen por las leyes fsicas,fueron expresadas en su forma final por James Clerk Maxwell, fsico y matemtico escocs.

La forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell es la representacin ms utilizadapara resolver problemas electromagnticos con valores de frontera. Se utiliza para describir y

18 Introduccin

relacionar los vectores de campo, las densidades de corriente, y densidades de carga en cualquierpunto en el espacio en cualquier momento. Las variaciones de los vectores de campo a travs delas fronteras estn relacionados con las distribuciones discontinuas de cargas y corrientes lo quese conoce generalmente como las condiciones de contorno. As, una descripcin completa delos vectores de campo en cualquier punto (incluyendo discontinuidades) en cualquier momentorequiere no slo de las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial, sino tambin las condicionesde contorno asociados.En forma diferencial, ecuaciones de Maxwell se pueden escribir como:

E = B t M, (1.1)

H = D t + J, (1.2)

D = , (1.3)

B = 0, (1.4)Las variables que representan los campos vectoriales que varan en el tiempo y son funciones

reales de las coordenadas espaciales x, y, z, y la variable tiempo t. Se definen como:

E es el campo elctrico, en voltios por metro (V/m).H es el campo magntico, en amperios por metro (A/m).D es la densidad de flujo elctrico, en culombios por metro cuadrado (C/m2).B es la densidad de flujo magntico, en weber por metro cuadrado (Wb/m2).M es el (ficticio) Densidad de corriente magntica, en voltios por metro cuadrado (V/m2).J es la densidad de corriente elctrica, en amperios por metro cuadrado (A/m2). es la densidad de carga elctrica, en culombios por metro cbico (C/m3).

Las fuentes del campo electromagntico son las corrientes M, J y la densidad de cargaelctrica . La corriente magntica M es una fuente ficticia en el sentido de que es slo unaconveniencia matemtica: la fuente real de una corriente magntica es un bucle de corrienteelctrica o algn tipo similar de dipolo magntico, en contraposicin a la de flujo de una cargamagntica real. Dado que la corriente elctrica es realmente el flujo de carga, se puede decir quela densidad de carga elctrica es la verdadera fuente del campo electromagntico.

En el espacio libre, las siguientes relaciones se mantienen entre las intensidades de campoelctrico y magntico y las densidades de flujo:

B = 0H, (1.5)

D = 0E, (1.6)

Donde 0 = 4pi 10-7 henrios/m es la permeabilidad del espacio libre, y 0 = 8,854 10-12 faradios/m, es la permitividad del espacio libre.

La ecuacin 1.1 es la forma diferencial de la ley de Faraday que trata sobre la induccinelectromagntica de una fuerza electromotriz dentro de un campo magntico. Esto indica queun campo magntico que depende del tiempo implica que exista un campo elctrico, del quesu circulacin por un camino arbitrario cerrado es igual a menos la derivada temporal del flujomagntico en cualquier superficie limitada por el camino cerrado. El signo negativo explicaque el sentido de la corriente inducida es tal que su flujo se opone a la causa que lo produce,compensando as la variacin de flujo magntico. Por esta definicin, el rotacional del campo

1.3 Revisin de la Teora Electromagntica 19

elctrico es la derivada de la induccin magntica, entonces si existe una variacin de campomagntico este provoca un campo elctrico o bien la existencia de un campo magntico noestacionario en el espacio libre provoca la circulacin de un campo elctrico a lo largo de lneascerradas. En presencia de cargas libres, como los electrones, el campo elctrico puede desplazarlas cargas y producir una corriente elctrica. Esta ecuacin tiene aplicaciones prcticas cmo sonlos motores y generadores elctricos.

La ecuacin 1.2 es la forma diferencial de la ley de Ampere generalizada, que parte la deAmpere que relaciona un campo magntico inmvil y una corriente elctrica que no vara en eltiempo. La ley de Ampere relaciona la circulacin de un campo magntico a lo largo de una curvacerrada que resulta de una densidad de corriente que circula sobre una superficie cerrada. Perocuando esta relacin cuando se la considera con campos variables en el tiempo llega a clculoserrneos, y viola el principio de conservacin de la carga. Maxwell corrigi esta ecuacin paralograr adaptarla a campos no estacionarios agregando un campo elctrico variable en el tiempoque permite la conservacin de la carga.

La ecuacin 1.3 es la forma diferencial de la ley de Gauss que explica la relacin entre elflujo del campo elctrico y una superficie cerrada. Se define como flujo elctrico a la cantidad decampo elctrico que atraviesa una superficie. La ley establece que el flujo del campo elctricoa travs de una superficie cerrada es proporcional al cociente entre la carga total en el interiorde una superficie, densidad de carga, y la permitividad elctrica en el vaco 0. La divergenciadensidad de flujo elctrico significa que el campo elctrico diverge desde una carga, lo que serepresenta que salen de la fuente que las genera en todas direcciones. Por convencin si el valorde la expresin es positivo entonces los el campo elctrico sale, si es negativo el campo elctricoentra a la carga.

La ecuacin 1.4 es la forma diferencial de la ley de Gauss del campo magntico Experimen-talmente se lleg al resultado de que los campos magnticos, a diferencia de los elctricos, nocomienzan y terminan en cargas diferentes. Esta ley primordialmente indica que las lneas de loscampos magnticos deben viajar con trayectoria encerradas. En otras palabras, se dice que sobreuna superficie cerrada, sea cual sea sta, no seremos capaces de encerrar una fuente o sumiderode campo magntico, esto expresa la inexistencia del monopolo magntico. Al encerrar un dipoloen una superficie cerrada, no sale ni entra flujo magntico por lo tanto, el campo magntico nodiverge, no sale de la superficie. Entonces la divergencia es cero. Es claro que la divergencia escero porque no salen ni entran vectores de campo sino que este hace caminos cerrados.

PROPAGACIN DE ONDAS ELECTROMAGNTICAS

En la seccin anterior hemos estudiado las ecuaciones de Maxwell que solucionan el prob-lema de la propagacin de la ondas electromagnticas, ahora identificaremos la onda plana lasolucin ms simple de la propagacin de la onda electromagntica.

En una lnea de transmisin es una estructura que limita la propagacin de los camposelectromagnticos permitindoles al mismo tiempo viajar encerrados a lo largo de su longitud.La onda electromagntica genera tensiones y corrientes sobre una lnea de transmisin, y sino existiera una estructura en los que pueden generar los voltajes y corrientes, aun as la ondase propagara. En el espacio libre, los campos no estn limitados por cualquier estructura deconfinamiento, por lo que pueden asumir cualquier magnitud y direccin, determinado por unaantena como se muestra en la figura 1.5.

Las ecuaciones de Maxwell son vlidas para una dependencia de temporal arbitraria, pero lamayor parte de las seales electromagnticas involucran campos que tienen una dependenciatemporal sinusoidal o armnica. Para estos campos la notacin fasorial es muy conveniente, ylo que todas las magnitudes de campo se asume que los vectores complejos con una direccin

20 Introduccin

Figura 1.5: Generacin de una Onda Electromagntica

dependencia temporal j t implcita. Por lo tanto, un campo elctrico sinusoidal polarizado en ladireccin x de la forma se expresa como:

~E(x,y,z, t) = xA(x,y,z)cos(t+) (1.7)

Donde A es la amplitud (real), es la frecuencia en radianes, y es la referencia de fase dela onda en t = 0, el fasor se expresara como:

E(x,y,z) = xA(x,y,z) j (1.8)

Asumiremos que el campo total, se da por lo que la conversin de los campos fasoriales avariables temporales multiplicndolos el fasor por el factor ejt y tomando la parte real:

~E(x,y,z, t) = Re[E(x,y,z) jt ] (1.9)

ECUACION DE HELMHOTZ

En una regin lineal, isotrpica, homognea y sin excitacin, las ecuaciones de Maxwellrotacionales en forma de fasores se expresan como:

E = jH, (1.10)

H = jE, (1.11)y que constituyen las ecuaciones para resolver las incgnitas E y H. Se pueden resolver

tomando el rotacional de (1.10) y usando (1.11) , quedando.

E = j H = 2E, (1.12)Que es la ecuacin para E. Este resultado se puede simplificar mediante el uso de la identidad

vectorial.

E = ( E)2E, (1.13)Para componentes rectangulares del vector E, queda como:

2E +2E = 0, (1.14)

1.3 Revisin de la Teora Electromagntica 21

Debido que E = 0 en una regin sin fuente. La ecuacin (1.14) es la ecuacin de onda, ola ecuacin de Helmholtz para E. Una ecuacin idntica para H se puede derivar de la mismamanera.

2H +2H = 0, (1.15)

Donde la constante k = , se define como la constante de propagacin del medio

(tambin conocida como la constante fase, o nmero de onda), sus unidades son m-1.En un medio sin prdidas, y son nmeros reales y por lo tanto k es real. La solucin es

una onda plana que se encuentra teniendo en cuenta un campo elctrico con slo un componentex, y sin variacin en las direcciones x e y. Entonces, /x = /y = 0, la ecuacin de Helmholtzde (1.14) se reduce a.

Ex z2 + k

2Ex = 0, (1.16)

Las dos soluciones independientes a esta ecuacin tienen la forma.

Ex(z) = E+e jkz+Ee+ jkz, (1.17)

Donde E+ y E son constantes de amplitud. La solucin anterior para el caso de sealesarmnicas temporales de frecuencia , se escribe como:

~Ex(z, t) = E+cos(t kz)+Ecos(t+ kz), (1.18)Donde hemos asumido que E+ y E son constantes reales. Consideremos el primer trmino

de (1.18), representa una onda que viaja en la direccin + z. El segundo trmino de (1.18)representa una onda que viaja en la direccin z negativa. La velocidad de la onda se llamavelocidad de fase, ya que es la velocidad a la que un punto de fase fija en la onda viaja, y estadada por:

vp = z t = t(tconstante

k

)= wk =

1 , (1.19)

En el espacio libre, tenemos que vp = 1 / = c = 2.998 108 m/s, que es la velocidad de

la luz.La longitud de onda, , se define como la distancia entre dos mximos sucesivos (o mnimos)

de la onda en un instante de tiempo. Por lo tanto,

t kz [t k(z+ )] = 2pi, (1.20)Resolviendo y despejando .

= 2pik =2pivp =

vpf , (1.21)

Una especificacin completa del campo electromagntico de onda plana debe incluir alcampo magntico. En general, siempre que E o H es conocido, el otro vector de campo se puedeencontrar fcilmente mediante el uso de una de las ecuaciones de Maxwell. Resolviendo de lamisma forma la ecuacin (1.15) da Hx = Hz = 0, y

Hy =jk

Ex z =

1 (E

+e jkzEe jkz), (1.22)Donde = /k =

(/) que se conoce como la impedancia intrnseca del medio. La

relacin de la E y componentes de campo H se ve que tiene unidades de impedancia, conocidocomo la impedancia de onda; para ondas planas la impedancia de onda es igual a la impedancia

22 Introduccin

intrnseca del medio. En el espacio libre la impedancia intrnseca es 0=

(0/0) = 377.Tenga en cuenta que los vectores E y H son ortogonales entre s y ortogonales a la direccinde propagacin ( z), lo que es una caracterstica de las ondas transversales electromagnticas(TEM), la onda plana uniforme, es aquella en el que los campos, E y H, se encuentran en unplano transversal, que es normal a la direccin de propagacin. Por esta razn, dicha onda sedenomina (TEM) onda transversal electromagntica.

En general, una fuente de energa electromagntica establece campos que almacenan energaelctrica y magntica, transportan la electricidad que puede ser transmitida o disipada en formade prdida. En el caso de estado estacionario sinusoidal, la media de tiempo de la energa elctricaalmacenada en un volumen V esta dado por

We = 14Re

V E D dv, (1.23)Del mismo modo, la energa magntica media almacenado en el volumen V es

Wm = 14Re

V H B dv, (1.24)

2 Lineas de Transmisin y Guias deOnda

Las lneas de transmisin son componentes bsicos y claves en los sistemas de comunica-ciones, ya que son los responsables de llevar las seales electromagnticas entre los diferentesdispositivos. Por ende, conocer la manera cmo funcionan y como se comportan en dichosfenmenos de transmisin de las seales es de suma importancia. En este captulo se tratarprimero el modelo matemtico, a travs de las ecuaciones de Maxwell, que gobiernan y explicanla propagacin de ondas electromagnticas de forma general en lneas de transmisin. Luegose abordar los fenmenos de la propagacin en medios guiados y atenuacin que se producenpor los dielctricos y por los propios conductores. Se estudiar las guas de onda con estructurasrectangulares y circulares. Posteriormente, se abordar el estudio de dos tecnologas de lneas detransmisin, las cuales se conocen como microstrip y stripline, son muy utilizadas por su fcildiseo y sobre todo su fcil y rpida adaptacin en circuitos electrnicos.

2.1 Soluciones Generales para Ondas TEM, TE y TM

En la siguiente seccin se analiza las soluciones generales de las ecuaciones de Maxwell parael estudio de las guas de onda rectangulares y cilndricas. Se asumir que estas estructuras deguas de onda, constan de una longitud infinita y no presentan atenuaciones. Luego se introducirla atenuacin tanto del conductor como del material dielctrico. Se asume tambin que las guasde onda se extienden sobre el eje z.

Se asume campos electromagnticos armnicos en tiempo con respecto a e jt y una propa-gacin en la direccin Z. Los campos elctricos y magnticos se pueden expresar entonces de lasiguiente forma:

Donde se puede observar los componentes, tanto del campo elctrico como del campomagntico, en las direcciones x, y y z. Recordemos que est relacionada a la constante depropagacin.

Utilizaremos entonces las ecuaciones de Maxwell, asumiendo que no hay cargas dentro delas guas de onda.

E = jH (2.1)

H = jE (2.2)Reemplazando los valores por los campos correspondientes, resulta:

Ezy + jEy = jHx (2.3a)

jEx Ezx = jHy (2.3b)

24 Lineas de Transmisin y Guias de Onda

Eyx Exy = jHz (2.3c)

Hzy + jHy = jEx (2.3d)

jHx Hzx = jEy, (2.3e)

Hyx Hxy = jEz, (2.3f)

Analizando con mayor detenimiento, se puede acomodar las ecuaciones para determinar lascomponentes trasversales de los campos electromagnticos con una dependencia nica de lascomponentes longitudinales.

Hx =j

k2c

( Ezy Hzx

), (2.4a)

Hy = jk2c

( Ezx +

Hzy

), (2.4b)

Ex = jk2c

( Ezx Hzy

), (2.4c)

Ey = jk2c

( Ezy + Hzx

), (2.4d)

k2c = k2 2, (2.5)

Donde, la constante kc se le conoce como el nmero de onda de corte y k es el nmerode onda del material que llena la gua de onda.

Ondas Transversal Elctrica y Magntica TEMLas ondas TEM se caracterizan al tener sus componentes elctricos y magnticos longitudi-

nales anulados, Ez=0 y Hz=0. Analizando un poco ms, se observa que el nmero de onda decorte se anula de igual manera, quedando nicamente que k= .

La ecuacin general que determina el comportamiento de una onda est dado por la ecuacinde Helmholtz que se expresa en la siguiente lnea.(

2x2 +

2y2 +

2 z2 + k

2)

Ex = 0, (2.6)

Aplicando la ecuacin de onda al campo elctrico Ex, vemos que toda la expresin se reducea: (

2x2 +

2y2

)Ex = 0, (2.7)

Esta ecuacin se puede representar mediante el laplaciano, de la siguiente manera.

2t e(x,y) = 0, (2.8)

Asmismo y de manera similar, se puede introducir el campo magntico Hz en la ecuacingeneral de onda, y siguiendo los mismos pasos que se dieron con el campo elctrico, tambinpodemos simplificar la expresin mediante el laplaciano.

2.1 Soluciones Generales para Ondas TEM, TE y TM 25

2t h(x,y) = 0, (2.9)

Un anlisis ms profundo, determina que los campos transversales de una onda TEM son losmismos que los campos estticos que existen entre dos conductores. As pues, se puede expresarel campo elctrico a travs del gradiente del potencial elctrico.

e(x,y) =P(x,y), (2.10)Y el campo magntico a travs de:

e = jhzz = 0, (2.11)Es muy importante notar que las ondas y los campos TEM slo pueden existir cuando existen

2 o ms conductores presentes. En las secciones posteriores se ver que en una gua de ondarectangular o circular los campos elctricos o magnticos transversales se anulan dejando de serTEM para convertirse en TE o TM segn corresponda.

La impedancia de onda de un modo de propagacin basada en TEM se puede calcularmediante:

ZT EM = ExHy = =

= , (2.12)

La componente magntica se puede determinar utilizando la siguiente expresin que combinala impedancia de onda con la componente elctrica.

h(x,y) = 1ZT EM z e(x,y), (2.13)

Ondas TELas ondas trasversal elctricas u ondas-H se caracterizan porque el campo elctrico longi-

tudinal no existe y slo existe el campo elctrico de forma trasversal. Es importante notar quela magnitud del campo magntico es diferente de cero en la direccin longitudinal Z. Por lotanto, las ecuaciones de Maxwell expuestas en la seccin anterior quedaran modificadas de lasiguiente manera.

Hx = jk2c

Hzx , (2,14a)

Hx = jk2c

Hzy , (2,14b)

Ex = j

k2cHzy , (2,14c)

Ey =jk2c

Hzx , (2,14d)

De las ecuaciones anteriores, se determina que el valor del nmero de onda de corte esdiferente de cero, y que la constante de fase de propagacin es un valor que depende de lageometra de la lnea de transmisin y de la frecuencia.

La ecuacin de onda de Helmholtz se puede, entonces, reducir a una forma ms simple dedos dimensiones: (

2x2 +

2x2 + k

2c

)hz = 0, (2.15)

26 Lineas de Transmisin y Guias de Onda

Por ltimo, se tiene la impedancia de onda TE como:

ZT E = ExHy = =

k , (2.16)

Ondas TMLas ondas electromagnticas que slo tienen el componente longitudinal del campo elctrico

se conocen como ondas TM, ya que solo posen componentes del campo magntico transversal.Entonces, podemos reemplazar estos conceptos en las ecuaciones de Maxwell:

Hx =jk2c

Ezy , (2,17a)

Hy = j

k2cEzx , (2,17b)

Ex = jk2c

Ezx , (2,17c)

Ey = jk2c

Ezy , (2,17d)

De forma similar a lo que sucedi con las ondas TE, la ecuacin de onda de Helmholtz sepuede reducir a una expresin en slo dos dimensiones.(

2x2 +

2x2 + k

2c

)ez = 0, (2.18)

La impedancia de onda TM se puede encontrar desde:

ZT E = ExHy = =

k , (2.19)

Atenuacin Debido a la Prdida por Dielctrico Como cualquier tipo de energa, una ondaelectromagntica que viaja por un campo guiado ser sujeta a una atenuacin debido a losmateriales con las que est hecho. Las prdidas son, por una parte, debidos al conductor yotras, por el dielctrico. Se incluye una constante de atenuacin para representar los efectosmencionados, la cual representa la suma de los dos efectos = c+d

Usando una constante dielctrica para explicar mejor los fenmenos de la propagacin deondas electromagnticas es que se toma:

= d + j

=

k2c k2k2 = 200r(1 j tan( )), (2.20)

Considerando que la mayora de materiales dielctricos tienen bajas prdidas, se puedereducir la expresin de la siguiente manera.

= k2 tan( )

2 + j , (2.20)

Comparando este resultado, con el hecho que = + j podemos decir que la constante deatenuacin debido al dielctrico sera en Nepers/m:

d =k2 tan( )

2 , (2.21)

Mientras que teniendo en cuenta que kc=0 para ondas TEM, la constante alfa sera tambinen Nepers/m:

d =ktan( )

2 , (2.22)

2.2 Guas de Onda Rectangulares 27

2.2 Guas de Onda RectangularesSon medios de transmisin que se utilizan desde 1GHz hasta un poco ms de 200GHz por

sus bajas atenuaciones en la transmisin. La siguiente figura muestra la estructura bsica de lasguas de onda rectangulares.

A pesar que actualmente todo est tendiendo a la miniaturizacin e integracin con circuitosintegrados, las guas de onda an se utilizan ampliamente en aplicaciones de gran potencia, ondasmilimtricas, entre otras.

Las guas de onda rectangulares pueden soportar modos de propagacin TE y TM, mas noTEM ya que slo utiliza un solo conductor. Hay que resaltar que los modos de propagacin TE yTM tienen una frecuencia de corte por debajo de la cual es imposible la transmisin de energadebido a la gran atenuacin presente para esas frecuencias.

Modo de Propagacin TEEn base a la figura anterior, se asume por convencin que el lado mayor de la geometra de

la gua va en el eje-x y se denota por la letra a. Asimismo, se asume que la gua est llenadopor un materia con un valor de constante dielctrica y una permitividad magntica

Recordando que, para un modo TE, la componente longitudinal del campo magntico tienemagnitud cero Ez = 0, la ecuacin de onda de Hemlholtz se ve reemplazada por el campomagntico longitudinal. (

2x2 +

2y2 + k

2c

)hz = 0, (2.24)

La solucin a la ecuacin diferencial anterior se puede dar a travs del mtodo de separacinde variables asumiendo que:

hz(x,y) = X(x)Y (y), (2.25)

Sustituyendo en la ecuacin anterior, quedara:

1X 2Xx2 +

1Y 2Yy2 + k

2c = 0, (2.26)

Donde Kc es el nmero de onda de corteDado que las funciones X(x) y Y(y) slo dependen de una variable, se puede analizar

independiente la ecuacin de onda en cada direccin.

28 Lineas de Transmisin y Guias de Onda

2Xx2 + k

2xX = 0, (2.27)

2Yy2 + k

2yY = 0, (2.28)

k2x + k2y = k

2c , (2.29)

La Solucin general a las ecuaciones anteriores es de la forma

hz(x,y) = (A cos(kxx)+B sin(kxx)) (C cos(kyy)+D sin(kyy)), (2.30)

El siguiente paso ser evaluar las condiciones de frontera para determinar el valor de lasconstantes A, B, C y D

Considerando la geometra de la figura anterior, se observa que las paredes de la gua de onda,tanto verticales y horizontales, se encuentran en lugares determinados y que estn constituidosde algn material conductor. Por lo que las condiciones de frontera seran las siguientes:

(ex(x,y)|y=0,y=b) = 0, (2.31a)(ey(x,y)|x=0,x=a) = 0, (2.31b)

De las ecuaciones Maxwell podemos encontrar las componentes transversales del campoelctrico.

ex(x,y) = jky

k2c(A cos(kxx)+B sin(kxx)) (C sin(kyy)+D cos(kyy)), (2.32a)

ey(x,y) = jkx

k2c(A sin(kxx)+B cos(kxx)) (C cos(kyy)+D sin(kyy)), (2.32b)

De las condiciones de frontera se determina que las constantes B y D del campo magnticolongitudinal toman un valor nulo, mientras que las otras 2 constantes forman una nueva denotadapor Amn.

Hz(x,y,y) = Amn cos(mpixa ) cos(npiy

b )e j z (2.33)

Reemplazando el valor del campo magntico longitudinal en las ecuanciones de Maxwell, sepuede encontrar las componentes de los campos electromagnticos transversales.

Ex(x,y,z) = Amnjnpi

k2c bcos(mpixa ) sin(

npiyb )e

j z (2.34a)

Ey(x,y,z) = Amn jnpi

k2c asin(mpixa ) cos(

npiyb )e

j z (2.34b)

Hx(x,y,z) = Amnjmpik2c a

sin(mpixa ) cos(npiy

b )e j z (2.34c)

Hy(x,y,z) = Amnjnpik2c b

cos(mpixa ) sin(npiy

b )e j z (2.34d)

La constante de propagacin es:

=

k2+ k2c =

k2 (mpia )2 (npib )2, (2.35)La frecuencia de corte:

fcmn =kc

2pi =1

2pi(mpi

a

)2 (npib )2, (2.36)

2.2 Guas de Onda Rectangulares 29

La impedancia de onda se determina de forma general por

ZT E = ExHy =k , (2.37)

Modo de Propagacin TMEl modo de propagacin TM se caracteriza por que no existe campo magntico longitudinal,

slo campo elctrico. La ecuacin de onda se cumplira para este campo elctrico.( 2x2 +

2y2 + k

2c

)ez(x,y) = 0, (2.38)

La solucin general para la ecuacin de onda del campo elctrico sera:

ez(x,y) = (A cos(kxx)+B sin(kxx)) (C cos(kyy)+D sin(kyy)), (2.39)

Aplicando las condiciones de frontera de manera anloga al modo TE, tenemos:

(ez(x,y)|x=0,x=a) = 0, (2.40a)(ez(x,y)|y=0,y=b) = 0, (2.40b)

La solucin al campo elctrico longitudinal quedara como:

Ez(x,y,y) = Bmn sin(mpixa ) sin(npiy

b )e j z (2.41)

Los campos transversales para el modo TM

Ex(x,y,z) = Bmn jmpi

k2c acos(mpix

a

)sin(npiy

b

)e j z (2.42a)

Ey(x,y,z) = Bmn jnpi

k2c bsin(mpix

a

)cos(npiy

b

)e j z (2.42b)

Hx(x,y,z) = Bmnjnpi

k2c bsin(mpix

a

)cos(npiy

b

)e j z (2.42c)

Hy(x,y,z) = Bmn jmpi

k2c acos(mpix

a

)sin(npiy

b

)e j z (2.42d)

La frecuencia de corte para el modo TM se representa como:

fcmn =kc

2pi =1

2pi(mpi

a

)2 (npib )2, (2.43)La impedancia de onda de igual forma se calcula como:

ZT M = ExHy =k , (2.44)

Ejercicio 2.1Considere una gua de onda rectangular de aluminio con una seccin transversal a=2cm y

b=1cm, cuyo material interno es parafina. Encuentre la frecuencia de corte de dicha gua de ondapara los modos de propagacin TE10, TE01, TM10 y TM11.

SolucinUtilizando la ecuacin 2.43, se puede determinar facilmente las frecuencias de corte requeri-

das.

fcmn =c

2pir

(mpia

)2+(npi

b

)2

30 Lineas de Transmisin y Guias de Onda

Modo TE10

fc10 =3108

2pi

2,24

(1pi

2102)2+(

0pi1102

)2= 5,0111 109Hz

Modo TE01

fc01 =3108

2pi

2,24

(0pi

2102)2+(

1pi1102

)2= 10,0222 109Hz

Lo que podemos observar es que el modo de propagacin TE10 ocurre antes en frecuenciaque el modo de propagacin TE01. Esto en general se cumple para cualquier gua de ondarectangular dado que el efecto que tiene la divisin del lado ms grande de la seccin transversal.a"siempre provocar una frecuencia de corte ms baja para el modo TE10 con respecto al modoTE01.

Modo TM10

fc10 =3108

2pi

2,24

(1pi

2102)2+(

0pi1102

)2= 5,0111 109Hz

Se puede observar que el modo de propagacin TM10, tiene la misma frecuencia de corteque el modo TE10 ya que la frmula no diferencia entre los campos elctricos y los camposmagnticos.

Modo TM11

fc11 =3108

2pi

2,24

(1pi

2102)2+(

1pi1102

)2= 11,205 109Hz

Aqu se observa que el modo TM11 tiene una frecuencia de corte superior a los modosya vistos. Podemos notar entonces que los modos TE10 y TM10 tienen la frecuencia de cortems bajos y por eso se les conocen como los modos dominantes. Los dems modos TE01,TM11, etc no tienen un orden especifico y pueden ocurrir en cualquier orden dependiendo de lasdimensiones de la gua de onda.

2.3 Guas de Onda Circulares

La siguiente figura modela una gua de onda circular, la cual se extiende por el eje-z,tiene un radio a y est compuesta de un conductor formando las paredes, a la vez que unmaterial dielctrico lo llena, dicho material tiene una constante dielctrica y una permitividadmagntica .

2.3 Guas de Onda Circulares 31

Debido a que ahora la estructura que se estudiar es de naturaleza cilndricas, se tratar concoordenadas cilndricas para el anlisis de los campos electromagnticos.

Los campos electromagnticos para las direcciones y , derivados de las ecuacionesde Maxwell, son las siguientes:

E = jk2c

( Ez +

Hz

), (2.45a)

E = jk2c

(Ez Hz

), (2.45b)

H =j

k2c

(

Ez +

Hz

), (2.45c)

H = jk2c

( Ez +

Hz

), (2.45d)

Donde una vez ms, kc es el nmero de onda de corte con un valor igual a k2c = k2 2

Modo de Propagacin TEPara los modos de propagacin TE, no existe campo elctrico longitudinal, pero s campo

magntico en la direccin donde se extiende la gua de onda, y de est se pueden expresar elresto de las componentes transversales.

Reemplazando el campo magntico longitudinal en la ecuacin de onda de Helmholtz, vemosque es una ecuacin diferencial que se puede resolver por el mtodo de separacin de variables.(

22 +

1

+

12

22 + k

2c

)hz(,) = 0, (2.46)

hz(,) = R()P(), (2.47)

Al reemplazar esta ltima ecuacin en la ecuacin de onda y reordenando un poco, vemosque un lado de la ecuacin depende nicamente de la variable radial y el otro miembro de laecuacin depende de la variable angular.

1RR22 +

1R

R +

12P

P22 + k

2c = 0, (2.48)

2RR22 +

RR +

2k2c = 1P P2

2 , (2.49)

32 Lineas de Transmisin y Guias de Onda

La nica manera que se sostenga esta ecuacin es que ambos miembros sean iguales aconstantes.

P22 + k

2 = 0, (2.50)

2 R2

2 +R +(

2k2c k2 )R0, (2.51)Formando as, dos nuevas ecuaciones diferenciales ms simples que podemos analizar sin

dificultad. La primera de ellas es una ecuacin cuya solucin general se haba visto en guas deonda rectangulares. Para la funcin P que depende nicamente de su solucin es:

P() = A sin(k)+B cos(k), (2.52)

La otra ecuacin diferencial que se forma es conocida como la Ecuacin Diferencial deBessel y la solucin general sera una combinacin lineal de las funciones de bessel.

R()C Jn(kc)+D Yn(kc), (2.53)Donde Jn(x) y Yn(x), son las Funciones de Bessel de Primera y Segunda clase de orden n.Entonces el campo magntico longitudinal estar formado por la multiplicacin de R() y

P( ).

hz(,) =(A sin(k)+B cos(k)

)Jn(k), (2.54)

Es importante notar que se desestima la funcin de Bessel de segunda clase debido a quecuando es evaluada en el origen toma un valor infinito, lo cual no refleja el campo electromag-ntico en el origen de la gua de onda. El nmero de onda en la direccin angular es igual an.

Recordemos que una vez obtenido el campo magntico longitudinal, se pueden encontrar lasdems campos transversales, tanto elctricas como magnticas. Se continuar el anlisis con elcampo elctrico angular para evaluar las condiciones de frontera, las cuales nos indicarn que elcampo elctrico tangencial a toda superficie equipotencial debe anularse. Dicho de otra forma, sievaluamos el campo elctrico en la direccin a una distancia =a, este debe anularse de formapermanente para cualquier ngulo de anlisis.(

E (,) |=a)= 0, (2.55)

La nica manera que esto ocurra es eligiendo un nmero de onda de corte adecuado quehaga que la derivada de la funcin de Bessel siempre se anule. Es decir, que exista un cero de lafuncin cuando =a.

Entonces podemos encontrar el nmero de onda de corte de la gua de onda circular partiendodel conocimiento del radio de la estructura cilndrica.

kc =Pnm

a , (2.56)

Donde n: Representa el orden de la funcin de Besselm: Representa el nmero ordinal de los ceros de la funcin de BesselLa frecuencia de corte de la gua de onda circular es:

fcnm =kc

2pi =Pnm

2pia , (2.57)

nm =

k2 k2c =

k2(

Pnma

)2, (2.58)

2.3 Guas de Onda Circulares 33

La impedancia de onda est determinada mediante:

ZT E = ExHy =k , (2.59)

Modo de Propagacin TM

El modo de propagacin TM en guias de onda circular son mucho ms fciles de analizar,debido a que se calcula de manera similar al modo TE. De un mtodo anlogo, cumplen laecuacin de onda. (

22 +

1

+

12

22 + k

2c

)ez(,) = 0, (2.60)

Y el campo elctrico longitudinal es encontrado por el mtodo se separacin de variablessiguiendo los mismos pasos que para el modo TE.

ez(,) = (A sin(n)+B cos(n)) Jn(kc), (2.61)Las condiciones de frontera se aplican directamente sobre este campo elctrico longitudinal.

Donde el campo se debe anular cuando es tangencial a la superficie equipotencial de las paredesconductoras de la gua de onda.(

Ez(,) |=a)= 0, (2.62)

Estas condiciones de frontera nos indican que para que el campo elctrico se anule, la nicaposibilidad es que exista un cero de la funcin a una distancia

Jn(kca) = 0, (2.63)

kc = Pnma , (2.64)

Una vez encontrado el campo longitudinal, las componentes transversales se pueden hallarmediante:

E = jk2c

(A sin(n)+B cos(n)) Jn(kc)e j z, (2.65a)

E = jnk2c

(A cos(n)B sin(n)) Jn(kc)e j z, (2.65b)

H =jnk2c

(A cos(n)B sin(n)) Jn(kc)e j z, (2.65c)

H = j

kc(A sin(n)+B cos(n)) Jn(kc)e j z, (2.65d)

La frecuencia de corte est dado por:

fcnm =kc

2pi =Pnm

2pia , (2.66)

nm =

k2 k2c =

k2 (Pnma )2, (2.67)La impedancia de onda est determinada por:

ZT M =EH

= kb , (2.68)

34 Lineas de Transmisin y Guias de Onda

Ejercicio 2.2Encuentre la frecuencia de corte para los modos TE01, TE11, TM01 y TM11 de una gua deonda circular de radio a=1.5cm, la cual tiene como material interno el poliestireno.

SolucinLa frecuencia de corte para una gua de onda circular es un poco ms complejo de encontrar quepara una gua de onda rectangular, ya que depender del modo mismo de propagacin.Para los modos TE se utilizar la ecuacin 2.57 y para los modos TM la ecuacin 2.66.Modos TE

fcnm =Pnm

2pia

Modos TM

fcnm =Pnm

2pia

Modo TE01Utilizando la ecuacin 2.57, se observa que se necesita los ceros de la funcin de Bessel y eso sepuede obtener mediante software de procesamiento numrico o consultando bases de datos atravs de internet.

fc01 =3.832

2pi1.5102

12.548.8541012 = 8.5737 106Hz

Modo TE11

fc11 =1.841

2pi1.5102

12.548.8541012 = 4.119 106Hz

Observamos que la frecuencia de corte del modo TE11 ocurre antes que la del modo TE01 yesto se debe a que el valor del primer zero en la funcion de Bessel de primera clase ocurre antesen el orden 0 que en el orden 1.

Modo TM01fc01 =

2.4052pi1.5102

12.548.8541012 = -5.3809 10

6Hz

Modo TM11fc11 =

3.8322pi1.5102

12.548.8541012 = 8.5737 10

6Hz

Como se puede observar, s existe una diferencia para los modos TE y TM, el modo dominantese encuentra en TE11.

2.4 StriplineLa siguiente figura muestra la estructura bsica de las lneas de transmisin basadas en

striplines. Esta estructura est compuesta por dos conductores que forman las capas superior einferior que conforman los planos de tierra, y en el medio se encuentra una cinta conductora.Todo est llenado por un material con una constante dielctrica r y una permitividad magntica . El ancho de la cinta interior tiene un valor W y los planos de tierra estn separados unadistancia b. Se asume que la cinta interior est en la mitad entre los planos de tierra.

2.4 Stripline 35

Dado que es una estructura que presenta dos conductores, el modo de propagacin de lasondas electromagnticas es cuasi-TEM.

= 00, (2.69)La determinacin de la impedancia caracterstica de lnea en estructuras como las stripline

suelen ser muy complicas de extensas por lo que se abordara una aproximacin con frmulasempricas.

Z0 = 30pirb

We+0.441b, (2.70)

Donde We es el ancho efectivo de la lnea central.

Web =

{Wb

Wb > 0.35

Wb

(0.35 Wb

)2 Wb < 0.35

, (2.71)

Es importante tener en cuenta que estas frmulas asumen que el conductor central no tieneespesor y esto acarrea una desviacin de aproximadamente el 1%, pero es suficientemente cercapara la mayora de los casos de anlisis y diseo en la prctica.

Cuando se disean lneas de este tipo, lo que se busca es encontrar el ancho adecuado delconductor central W. Se asume que se conoce, como parte de los materiales de diseo, laseparacin entre los planos de tierra b y la constante dielctrica del material.

Las siguientes formulas se utilizan en el dicho diseo.

Wb =

30pirZ00.441 rZ0 < 120

0.85

0,6(

30pirZ00.441

) rZ0 > 120

, (2.72)

Con respecto a la atenuacin producida por este tipo de conductor, se tiene que la siguienteecuacin se aproxima bastante.

c

2,7103RsrZ030pi(bt)

(1+ 2Wbt +

1pi

b+tbt ln

(2btt

)) rZ0 < 120

0,16RsZ0b

(1+ b0,5W+0,7t

(0,5+ 0,414tW +

12pi ln

(4piWt

))) rZ0 > 120

, (2.73)

Donde t es el espesor del conductor central y las unidades de la atenuacin estn enNepers/m.

Ejercicio 2.3Determine el ancho de lnea necesario para obtener una stripline de 50Ohms, considerando queel substrato dielctrico es tefln y su espesor es de 3mm. (constante dielctrica 2.08)

36 Lineas de Transmisin y Guias de Onda

SolucinUtilizando la ecuacin 2.72 se puede encontrar el ancho de lnea.Primero se encontrar el valor x

x = 30pierZ0 0.441 = 0.866Luego, observamos que:

erZ0 < 120

Entonces:

W = x b = 0.866 3 103 = 2.6mmEl ancho de lnea que proporcionar una impedancia caracterstica es de 2.6mm

2.5 Microstrips

Al igual que la stripline, este tipo de lnea de transmisin es muy popular por su fcilfabricacin e integracin con circuitos electrnicos. La siguiente figura muestra la estructurabsica de la microstrip, la cual muestra un plano de tierra en la parte interior y un conductor deancho W en la parte superior. Adems, ambos conductores estn separados una distancia d yest llenado por un material que posee una constante dielctrica r y una permitividad magntica .

Dado que la estructura de la microstrip hace que los campos electromagnticos compartan,en su trayecto, el material dielctrico con r y el aire, se busca integrar y modelar una microstripcomo si tuviera un solo material con una constante dielctrica efectiva equivalente.

e er+12 + er12 11+ 12dW , (2.74)

Frmula para el anlisis de Lneas MicrostripEn el anlisis de lneas microstrip se tiene conocimiento de la estructura fsica y sus dimensionesy se busca determinar la impedancia caracterstica de la lnea de transmisin.

Z0 =

{ 60r

ln(8d

W +W4d

) Wd < 1

120pie[Wd +1.393+0.667 ln(

Wd +1,444)]

Wd > 1

, (2.74)

2.5 Microstrips 37

Frmulas para el Diseo de Lneas Microstrip

En el diseo de lneas microstrip, el valor de la impedancia caracterstica de lnea es parte delos datos y restricciones del problema y lo que se busca es determinar el ancho de la lnea W.Hay que tener en cuenta que muchas veces que para la construccin de este tipo de lneas se sabeel tipo placa de circuito a priori, por lo que se conoce de ante mano la constante dielctrica y elgrosor del dielctrico d.

Wd =

8eA

e2A2Wd < 2

2pi

[B1 ln(2B1)+ r12r

{ln(B1)+0.39 0,61r

}]Wd > 2

, (2.75)

Donde:A = Z060

r+1

2 +r1r+1

(0.23+ 0,11r

)B = 377pi2Z0

r

Atenuacin

La Atenuacin relacionada con este tipo de lnea de transmisin est dado tanto por laatenuacin por el conductor como la atenuacin del dielctrico.

c RsZ0W , (2.77)

d =k0r(e1) tan( )

2e(r1) , (2.78)

Ambos valores estn dados en Nepers/metro.

Ejercicio 2.4Determine la impedancia caracterstica de lnea para una lnea microstrip que tiene un espesor

de dielctrico de 2mm, una constante dielctrica de 2.54 y el ancho de la lnea central de 1.5mm.

SolucinPrimero se determinar la constante dielctrica equivalente con la ecuacin 2.74.

e = r+12 +r1

21

1+ 12dW= 2.54+12 +

2.5412

11+ 122103

1.5103= 1.9568

Luego, de la relacin W/d, se observa que es menor a uno. Por lo tanto:

Z0 = 60e ln(8d

W +W4d

)= 60

1.9568ln(

821031.5103 +

1.510342103

)= 102.2785 Ohms

Se determina entonces, que la impedancia caracterstica de lnea para la microstrip menciona-da es de 102.2785 Ohms.

3 Concepto General de Circuito deMicroondas

3.1 Introduccin

El rasgo ms distintivo entre circuitos de baja frecuencia y circuitos de radio frecuencia (RF)recae en la necesidad de incluir el efecto de componentes distribuidos. En baja frecuencia, lateora de circuitos nos dice que tanto inductores, capacitores como resistencias se comportanexactamente como tales y los cables que los unen son considerados nodos independientementede su longitud. Dado que los componentes de un circuito de baja frecuencia son pequeosen relacin a la longitud de onda del mismo, ellos pueden ser tratados como conexiones deelementos conglomerados activos o pasivos cuyos voltajes y corrientes pueden ser definidosen cualquier punto de dicho circuito. Las dimensiones de este circuito permiten prescindir delretraso de fase de un punto a otro. Los campos elctrico y magntico de dicho circuito presentanuna distribucin espacial que no vara respecto al tiempo, por lo que son denominados cuasiestticos. Existe todo un conjunto de tcnicas para analizar dichos circuitos, pero estos no puedenser aplicados directamente a circuitos de alta frecuencia, o circuitos de microondas. Adems, enalta frecuencia los capacitores e inductores son representados a travs de segmentos de lneasde transmisin. A su vez, estos pueden servir para interconectar circuitos. El uso de lneas detransmisin se ha extendido incluso hacia circuitos de componentes conglomerados puesto quesirven para modelar dichos elementos adecuadamente.

El objetivo de este captulo es mostrar como un conocimiento bsico de conceptos de circuitosy redes puede servir para disear y analizar de circuitos de microondas. El usar este tipo deanlisis reduce el uso, a veces innecesario, de las ecuaciones de Maxwell. Bsicamente una redmicroondas comprende un anlisis de campos usando ecuaciones de Maxwell dependiendo deltipo de lneas de transmisin y guas de ondas, tal como se vio en los captulos 1 y 2. A partirde este captulo es posible interconectar componentes y usar las redes o la teora de lneas detransmisin para analizar el comportamiento de un sistema completo de componentes a travs decircuitos equivalentes, incluyendo efectos de reflexin mltiple, prdidas y transformaciones deimpedancia.

Para caracterizar el comportamiento de una red de microondas, la medicin de sus funcionesde transferencia debe obtenerse. En bajas frecuencias, los parmetros de impedancia z, de admi-tancia y, o ABCD son ejemplos de funciones de redes utilizadas para describir redes circuitales.En alta frecuencia, estos parmetros son difciles de medir, si no imposible, especialmente cuandose trata de medir grandes anchos de banda. Un conjunto de parmetros es bastante til en el reade microondas, estos son los parmetros de dispersin, tambin conocidos como parmetros S.Estos parmetros pueden caracterizar el comportamiento de redes de dos puertos considerandolas ondas incidentes y reflejadas. Aunque son utilizados ampliamente en redes de dos puertos,dichos parmetros tambin pueden ser utilizados en la caracterizacin de redes con N puertos.

40 Concepto General de Circuito de Microondas

3.2 Impedancia CaractersticaUna lnea de transmisin presenta una impedancia caracterstica. Para entender este concepto,

considere una lnea de transmisin que se extiende al infinito. En cualquier punto de esta lnea detrasmisin, la razn entre el voltaje y la corriente debe permanecer constante. Matemticamente,se le define como

En un circuito elctrico real, esta consideracin no sera vlida. La longitud de una lnea detransmisin es siempre finita. Al considerar que una lnea de transmisin se extiende hacia elinfinito, consideramos tambin que la seal elctrica transmitida a travs de ella se propaga demanera directa sin reflexin alguna. Sin embargo, cuando una carga es colocada a una lnea detransmisin finita, la seal puede ser reflejada. Si variamos la distancia a la cual esta terminacinocurre, la potencia de la seal reflejada ha de variar. Si la impedancia de carga con la que setermina esta lnea absorbiese todo la corriente incidente, entonces la fuente de voltaje vera unalongitud elctrica infinita. La razn entre el voltaje y corriente en cualquier punto de dicha lneaes constante e idntica a la impedancia de carga. Esto se puede sintetizar, al decir que existe unaimpedancia nica para cada lnea de transmisin con la cual se puede terminar dicha lnea sinproducir ninguna reflexin.

El trmino de impedancia fue introducido por Oliver Heaviside para definir la razn entre elvoltaje y la corriente en circuitos de corriente alterna (CA). Su uso intensivo en circuitos de CAse extendi hacia las lneas de transmisin. Este concepto es tambin utilizado en la teora decampos electromagnticos, siendo la impedancia una manera de definir la caracterstica del tipode campo y del tipo de medio. Dada su relacin con las lneas de transmisin y los planos depropagacin de onda, la impedancia tambin es dependiente de la direccin.

Los diferentes tipos de impedancia que vinculan la teora de campos con el de lneas detransmisin son:

La impedancia intrnseca del medio depende de las caractersticas materiales del medioy es igual a la impedancia de ondas para los planos de onda.La impedancia de onda Zw es una caracterstica que depende del tipo particular de la onda.Las ondas TEM, TM y TE tienen diferentes impedancias, las cuales dependen del tipo delnea o gua, del material y de la frecuencia de operacin.La impedancia caracterstica Z0 es la razn entre el voltaje y la corriente de una onda depropagacin en una lnea de transmisin. Esta esta solamente definida para ondas TEM,para las ondas TE y TM se usan otras tcnicas para obtenerla.

3.3 Ondas de Voltaje y Corriente EquivalentesLa medicin de voltaje y corriente en circuitos que operen a alta frecuencia puede tornarse

virtualmente imposible a menos que existan un par de terminales disponibles para ello. Usual-mente este par de terminales estn disponible en lneas de tipo TEM como el cable coaxial, lneade microtira o lneas de tira. Ese no es el caso de las lneas no-TEM como las guas de ondarectangulares, circulares o de superficie.

En el caso de lneas de transmisin TEM, el voltaje V se considera como la integral delcampo elctrico desde el conductor de carga positivo hasta el de carga negativa. Su expresinestndar es

V =+ E ` (3.1)

La corriente que fluye en el conductor positivo se determina a travs de la ley de Amperecomo

I =

C H d ` ` (3.2)

3.4 Impedancia para Redes de Un Solo Puerto 41

En el caso de lneas no-TEM, los voltajes y corrientes equivalentes se pueden definir siguien-do ciertas consideraciones:

El voltaje y corriente son definidos solo para un modo particular de gua de onda. Sondefinidos de manera tal que el voltaje es proporcional a la corriente elctrica transversa yla corriente es proporcional al campo magntico transversal.La razn entre el voltaje y la corriente para una nica onda de propagacin debe ser igual ala impedancia caracterstica de la lnea. Esta impedancia debe ser escogida arbitrariamentepero usualmente es seleccionada igual a la impedancia de la lnea de transmisin onormalizada a la unidad.Para ser tiles tal como lo son los voltajes y corrientes en la teora de circuitos, los voltajesy Corrientes equivalentes deben ser definidos de tal manera que su multiplicacin sea igualal flujo de potencia o al modo de la gua de onda.

Et(x,y,z) =e(x,y)

C1(V+e jz +Ve jz ) ` (3.3a)

Ht(x,y,z) =h(x,y)

C2(I+e jz Ie jz ) ` (3.3b)

donde e y h son las variaciones de los campos transversales. Debido a que ambos camposelctrico Et y magntico Ht estn relacionados con la impedancia de onda Zw, tambin se puedendefinir en funcin a ella. Es importante rescatar los voltajes y corrientes equivalentes de ondascomo

V (z) =V+e jz +Ve jz ` (3.4a)I(z) = Ie jz + Ie jz ` (3.4b)

donde V+/I+ =V/I = Z0. Esta definicin representa la idea de hacer tanto los voltajescomo corrientes equivalentes proporcionales a los campos elctricos y magnticos. Los constantesde proporcionalidad son C1 = V+/A+ = V/A y C2 = I+/A+ = I/A se derivan de lapotencia P+ y la impedancia caracterstica Z0. El flujo de potencia de la onda incidente es

P+ = 12(A+)2

S eh zds = V

+I+2C1C2

S eh zds ` (3.5)

este valor de potencia debe igualarse a 1/2V+I+, por lo cual

C1C2 =

S eh zds ` (3.6)donde S representa la superficie de integracin el cual a su vez es la seccin de una guia de

onda. La impedancia caracterstica es

Z0 = V+

I+ =VI =

C1C2 ` (3.7)

donde V+ =C1A e I+ =C2A.

3.4 Impedancia para Redes de Un Solo PuertoPara redes de un solo puerto, se puede derivar una relacin general entre su impedancia y

el energa electromagntica que guarda y la potencia disipada. La potencia enviada a la red sedescribe como

P+ S E Hds P` +2 j(WmWe) (3.8)donde P` es real y representa la potencia disipada promedio, y Wm y We representan la en-

erga de campo magntico y elctrico reservadas. Cuando se consideran los campos transversalesde campo y se normaliza de tal manera que

S e h= 1 (3.9)M

42 Concepto General de Circuito de Microondas

entonces se puede expresar la potencia en funcin de el voltaje y la corriente

P = 12

SV Ie h ds = 12V I (3.10)

La impedancia de entrada seria

Zin = R+ jX =P` +2 j(WmWe)

12 [I

2](3.11)

de la cual se puede observar que la parte real R esta relacionada con la potencia disipada y laparte imaginaria X esta relacionada con la energa total acumulada.

3.5 Matrices de Impedancia y Admitancia de circuitos de N puertasUna vez que los voltajes y corrientes han sido definidos en varios puntos de la red de mi-

croondas, se pueden usar las matrices de impedancia y admitancia para relacionar los terminaleso puertos entre s. Si imaginamos una red de N puertos, en la que cada puerto puede ser una lneade transmisin o una lnea equivalente a un modo de propagacin de una gua de onda, puedeocurrir que los puertos fsicos sea una gua de onda que soporte diferentes tipos de modos depropagacin. Entonces, se debern aadir puertos elctricos adicionales que representen estosmodos. En cada puerto hay un plano terminal, en el cual se puede contar con corrientes y voltajesincidentes as como corrientes y voltajes reflejados. Estos parmetros se pueden representar as

Vn =V+n +Vn (3.12a)

In = I+n In (3.12b)La matriz de impedancia [Z] de una red de microondas relaciona los voltajes y corrientes de

la siguiente manera V1V2...

VN

=

Z11 Z12 ... Z1NZ21 Z22 ... .. ... ... .

ZN1 ... ... ZNN

I1I2...

IN

(3.13a)o en su forma matricial

[V ] = [Z][I] (3.13b)

En una forma similar podemos expresar la matriz de admitancia [Y] comoI1I2...

IN

=

Y11 Y12 ... Y1NY21 Y22 ... .. ... ... .

YN1 ... ... YNN

V1V2...

VN

(3.14a)la cual tambin tiene una forma matricial

[I] = [Y ][V ] (3.14b)

de dichas matrices, podemos sacar una relacin entre los voltajes y corrientes de los puertos

3.6 Matriz de Dispersin 43

Zi j = ViI j |Ik=0 para k 6=0 (3.15)donde Zi j se obtiene al inducir el puerto j con la corriente I j , cortocircuitar los otros puertos

y medir el voltaje de circuito abierto en el puerto i. Igualmente, Yi j se expresa como

Yi j = IiV j |Vk=0 para k 6=0 (3.16)donde Yi j se encuentra al incitar el puerto j con voltaje Vj, cortocircuitar los otros puertos y

medir la corriente en el corto circuito en el puerto i.En general, cada elemento Zij o Yi j puede ser complejo. Para una red de N puertos, existen

NxN matrices de admitancia e impedancia. Si la red es sin perdidas entonces los elementos Zi j yYi j son puramente imaginarios.

3.6 Matriz de Dispersin

Los parmetros Z son tiles para analizar circuitos en serie, mientras que los parmetrosY simplifican el anlisis de circuitos en paralelo. Cuando se desea conocer los parmetrosde transmisin en circuitos en cascada se requieren de otros procedimientos para caracterizardichos parmetros. Es dificil obtener dichos parametros especialmente en altas frecuencias, dadoque la medicion de circuitos abiertos o en corto puede provocar inestabilidad. Existen algunosproblemas al intentar medir los voltajes y corrientes a altas frecuencias como la correcta medicinde la amplitud y de la fase de una onda viajando en una direccin o de una onda estacionaria.Para analizar estos casos, se utilizan las matrices de dispersin.

En una red de N puertas, la matriz de parmetros de dispersion brinda una descripcincompleta de dicha red. La matriz de dispersin relaciona las ondas de voltaje incidentes en lospuertos y reflejados desde los puertos. Estos pueden ser calculados usando tcnicas de anlisisde redes o usando un analizador de redes. Teniendo la red de N puertos, la amplitud de la ondade voltaje incidente en el puertoN se denomina V+n y V

n a la proveniente de la onda de voltaje

reflejada. La relacin entre las ondas de voltajes reflejadosV1V2...

VN

=

S11 S12 ... S1NS21 S22 ... .. ... ... .

SN1 ... ... SNN

I+1I+2...

I+N

(3.17a)o

[V] = [S][V+] (3.17b)

Un elemento de la matriz de dispersin, se le denomina un parmetro S

Si j =ViV+j|V+k =0 para k 6= j (3.18)

Si j al excitar el puerto j con una onda de voltaje incidente V+j medir la amplitud de la ondareflejada en Vi que sale del puerto i. Las ondas incidentes en todos los puertos excepto el jthque debe ser puesto a cero a travs de cargas para evitar reflexiones.

En una red de dos puertos, los parmetros de dispersin se derivan de las ondas incidentes a1y a2 y las ondas reflejadas b1 y b2, tal como se observa en la figura 3.1

44 Concepto General de Circuito de Microondas

Figura 3.1: Red de dos puertos asociados a las ondas incidentes y reflejadas del sistema

El parmetro de reflexin de entrada S11 se observa cuando se relaciona la onda incidente a1con la onda reflejada b1 en el mismo puerto 1, el cual se mide cuando la onda incidente en elpuerto 2 es igual a 0.

S11 =b1a1|a2=0 (