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Aplicacoes do Teorema Fundamental do Calculo Fracionarioem Equacoes Diferenciais Fracionarias
E. Contharteze Grigoletto, E. Capelas de Oliveira,Departamento de Matematica Aplicada, IMECC - UNICAMP,
13083-859, Campinas, SP, Brasil.
[email protected], [email protected],
F. S. CostaDepartamento de Matematica
DEMATI - UEMA
65054-970, Sao Luıs, MA.
Resumo: Introduzimos o conceito de integral fracionaria conforme Riesz, apresentamos as de-rivadas fracionarias nos sentidos de Riesz e Caputo, bem como mencionamos algumas de suaspropriedades. Enunciamos o teorema fundamental do calculo fracionario e apresentamos duasaplicacoes deste teorema.
Palavras-chave: Integral de Riesz, Derivada de Riesz, Derivada de Caputo.
1 Introducao
O calculo fracionario se tornou uma area especıfica da matematica na decada de setenta,apos uma reuniao que culminou com o primeiro congresso internacional dedicado exclusivamenteao calculo fracionario. Antes disso, so trabalhos esporadicos e independentes, sem uma linhaconsolidada [6]. Na decada de oitenta ganhou varios adeptos, em particular, por proporcionaraplicacoes explıcitas em diversas areas do conhecimento [3, 5]. A partir da decada de noventa,completamente consolidado, emergem periodicos especıficos e a publicacao de livros textos, o queo torna mais popular. Apos o final do seculo passado, o calculo fracionario conta com prestıgiomundial. Uma linha do tempo, do inıcio aos dias de hoje e apresentada em [7, 8, 9, 10].
Hoje, tanto do ponto de vista matematico, por exemplo no estudo de novas funcoes, quantodo ponto de vista das aplicacoes em diversas areas, varias pesquisas sao desenvolvidas visandoaplicacoes concretas do calculo fracionario, a exemplo do calculo de ordem inteira.
Este trabalho tem por objetivo divulgar o que se entende por calculo de ordem nao inteira,em particular, os conceitos de integral e derivada fracionarias, apresentar o que chamamos deteorema fundamental do calculo fracionario, com o intuito de discutir aplicacoes deste teorema.
O trabalho esta disposto da seguinte maneira: na segunda secao apresentamos os operadoresfracionarios de Riesz, na terceira secao apresentamos a derivada fracionaria conforme propostapor Caputo, explicitando sua importancia e utilizacao. Na quarta secao enunciamos o TeoremaFundamental do Calculo Fracionario (TFCF) [2], nos sentidos de Riesz e Caputo, utilizando-osna resolucao de dois exemplos. Acenos de estudos futuros concluem o trabalho.
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2 Operadores de Riesz
Apresentamos nesta secao os operadores de derivacao e integracao fracionarias de Riesz.Operacoes de integracao e derivacao fracionarias no espaco euclideano Rn sao potencias fra-cionarias (−∆)α/2 do operador Laplaciano1.
Para α ∈ C\ {0} e funcoes f(x), “suficientemente boas” [5], com x ∈ Rn, a operacao fra-
cionaria (−∆)α/2 f(x) e definida em termos da transformada de Fourier, por
(−∆)−α/2 f = F−1 ‖ω‖−αFf = Iαf, se Re(α) > 0.
A integracao fracionaria de Riesz de ordem α, denotada por Iα, e tambem conhecida comopotencial de Riesz e e definida pela convolucao de Fourier
(Iαf) (x) =
∫Rn
Kα(x− ξ)f(ξ)dξ, (1)
com Re(α) > 0, onde
Kα(x) :=1
γn(α)
‖x‖α−n , se α− n 6= 0, 2, 4, . . . ,
‖x‖α−n log
(1
‖x‖
), se α− n = 0, 2, 4, . . . ,
e o nucleo de Riesz e γn(α) e definido em [5], como a seguir
γn(α) =
{2α π
n2 Γ(α2
) [Γ(n−α2
)]−1, se α− n 6= 0, 2, 4, . . . ,
(−1)n−α2 2α−1 π
n2 Γ(1 + α−n
2
)Γ(α2
), se α− n = 0, 2, 4, . . .
Se, em particular, n = 1, ou seja, f : R→ R, entao
(Iαf) (x) =Γ(1−α2
)2α π
12 Γ(α2
) ∫ ∞−∞
f(ξ) |x− ξ|α−1 dξ (α 6= 1, 3, 5, . . .). (2)
Podemos reescrever (2) como um produto de convolucao de Fourier2, da seguinte forma
(Iαf) (x) = cα (f ∗ g) (x), (3)
onde g(x) = |x|α−1, cα =Γ(1−α2
)2α π
12 Γ(α2
) e Re(α) > 0, com α 6= 1, 3, 5, . . .
Aplicando a transformada de Fourier em ambos os membros de (3), obtemos
F [(Iαf) (x)] (ω) = F [cα (f ∗ g) (x)] (ω) ⇒ |ω|−α f (ω) = cαf (ω) g (ω) ,
onde f (ω) e g (ω) sao as transformadas de Fourier de f(x) e g(x), respectivamente. Assim,
g (ω) = F[|x|α−1
](ω) =
2α π12 Γ(α2
)Γ(1−α2
) |ω|−α . (4)
A derivada fracionaria de Riesz de f(x), com x ∈ Rn, e definida para Re(α) > 0, por
(Dαf) (x) :=1
dn(l, α)
∫Rn
(∆l
ξf)
(x)
|ξ|n+αdξ (l > α), (5)
onde dn(l, α) e(∆l
ξf)
(x) estao definidas em [5]. A derivada e definida de modo a satisfazer
1Se f : Rn → R, entao o Laplaciano de f(x1, x2, . . . , xn) e ∆f =∂2f
∂x12+
∂2f
∂x22+ . . .+
∂2f
∂xn2.
2(f ∗ g) (x) = f(x) ∗ g(x) =
∫ ∞−∞
f(x− τ)g(τ)dτ =
∫ ∞−∞
f(τ)g(x− τ)dτ .
60
(−∆)α/2 f = F−1 ‖ω‖αFf = Dαf.
Em particular, se n = 1, entao
(Dαf) (x) = kα
∫ ∞−∞
f(x)− f(x− ξ)|ξ|1+α
dξ (0 < α < 1), (6)
onde kα =2α Γ(1 + α
2 ) Γ(1+α2 ) sen(απ2 )
π32
.
3 Derivada fracionaria de Caputo
O operador diferencial de ordem nao inteira de Caputo, pode ser utilizado quando que-remos, por exemplo, discutir uma equacao diferencial fracionaria, cujas condicoes iniciais teminterpretacoes bem conhecidas.
Se3 f(x) ∈ ACn[a, b], com −∞ < a < b < ∞, α ∈ C tal que Re(α) ≥ 0 e n = [Re(α)] + 1,entao as derivadas fracionarias a esquerda CDα
a+ e a direita CDαb−, segundo Caputo, sao definidas
a partir do operador de integracao fracionaria de Riemann-Liouville, da forma
(CDα
a+f)
(x) :=(
In−αa+ f (n))
(x) e(CDα
b−f)
(x) := (−1)n(
In−αb− f (n))
(x) , (7)
onde (Iαa+f
)(x) :=
1
Γ(α)
∫ x
a
f(τ)
(x− τ)1−αdτ , com x > a,
e (Iαb−f
)(x) :=
1
Γ(α)
∫ b
x
f(τ)
(τ − x)1−αdτ , com x < b,
sao as integrais fracionarias de Riemann-Liouville a esquerda e a direita, respectivamente.Se α = 0, CD0
a+ ≡ CD0b− := I. Se, em particular, α = n ∈ N∗, entao(
CDna+f
)(x) = f (n)(x) e
(CDn
b−f)
(x) = (−1)nf (n)(x).
A transformada de Laplace4 da derivada de Caputo de uma funcao e dada por
L[(CDα
0+f)
(t)]
= sαL [f (t)]−n−1∑k=0
sα−1−k[f (k)(t)
] ∣∣∣t=0+
. (8)
4 Teorema fundamental do calculo fracionario e suas aplicacoes
No recente trabalho [2], apresentamos o teorema fundamental do calculo fracionario emdiversas versoes. Aqui, vamos destacar apenas o teorema nos sentidos de Riesz e Caputo paradiscutir aplicacoes em equacoes diferencias fracionarias envolvendo esses operadores.
Teorema 4.1 (Teorema fundamental do calculo fracionario (Riesz)). Seja f(x) ∈ Φ, onde Φdenota o espaco das funcoes de Lizorkin, definido em [5], e seja α > 0, entao
(i) (DαIαf) (x) = f(x).(ii) Para 0 < α < 1, (IαDαf) (x) = f(x).
3Espaco das funcoes complexas f(x) cujas derivadas ate a ordem n− 1 sao absolutamente contınuas em [a, b].
4L [f(t)] = F (s) =
∫ ∞0
e−stf(t)dt.
61
Teorema 4.2 (Teorema fundamental do calculo fracionario (Caputo)). Sejam f(x) uma funcaotal que f : [a, b] −→ R, com −∞ < a < b < ∞ e α ∈ C com Re(α) > 0 e n = [Re(α)] + 1. Sef(x) ∈ ACn[a, b] ou Cn[a, b], entao para x ∈ (a, b):
(i) Para Re(α) /∈ N ou α ∈ N:(CDα
a+Iαa+f)
(x) = f(x) e(CDα
b−Iαb−f)
(x) = f(x).
(ii) Para(In−αa+ f(x)
)∈ ACn[a, b] e
(In−αb− f(x)
)∈ ACn[a, b]:
(Iαa+ CDα
a+f)
(x) = f(x)−n−1∑j=0
(x− a)j
j!
(f (j)(x)
∣∣∣x=a
),
(Iαb− CDα
b−f)
(x) = f(x)−n−1∑j=0
(−1)j(b− x)j
j!
(f (j)(x)
∣∣∣x=b
).
Em particular, se 0 < Re(α) < 1, entao(Iαa+ CDα
a+f)
(x) = f(x)− f(a),(Iαb− CDα
b−f)
(x) = f(x)− f(b),
e se α = 1, temos que5(aI
1b CD1
a+f)
(x) = f(b)− f(a) e(aI
1b CD1
b−f)
(x) = f(a)− f(b).
Veja a demonstracao dos Teoremas 4.1 e 4.2 em [2].
Exemplo 4.1. Considere o problema de valor inicial fracionario
CDα0+y(t) = c, com y(0) = 0,
onde c uma constante complexa, t > 0 e 0 < Re(α) ≤ 1. Aqui, CDα0+ e a derivada de Caputo.
Aplicando o operador de integracao fracionaria Iα0+ na equacao diferencial, e utilizando aparte (ii) do Teorema 4.2, temos
Iα0+CDα0+y(t) = Iα0+c ⇒ y(t) =
c tα
Γ (α+ 1).
No caso particular em que c = 1, segue abaixo o grafico para alguns valores de α.
Figura 1: Funcao y(t) =tα
Γ (α+ 1).
5(aI1b ϕ
)(x) =
[(I1a+ϕ
)(x)] ∣∣∣x=b
=[(
I1b−ϕ)
(x)] ∣∣∣x=a
.
62
Exemplo 4.2. Considere a equacao de difusao fracionaria
CDα0+u(x, t) = λD2βu(x, t),
u(x, 0) = f(x),
onde λ e uma constante nao nula, t > 0, 0 < α ≤ 1,1
2< β < 1 e6 f(x) ∈ L1(−∞,∞).
Uma resolucao abordada por outro metodo para essa equacao pode ser encontrada em [1].Aqui, vamos resolve-la usando o TFCF segundo Riesz.
Aplicando a transformada de Laplace na equacao de difusao e usando (8), temos
L[CDα
0+u(x, t)]
= L[λD2βu(x, t)
]⇒ sαU(x, s)− sα−1u(x, 0) = λD2βU(x, s),
onde U(x, s) e a transformada de Laplace de u(x, t). Da condicao inicial u(x, 0) = f(x), temos
sαU(x, s)− sα−1f(x) = λD2βU(x, s).
Supondo que U(x, s) = I2βh(x, s) e usando a parte (i) do Teorema 4.1, segue que
sαI2βh(x, s)− sα−1f(x) = λD2βI2βh(x, s) ⇒ sαI2βh(x, s)− sα−1f(x) = λh(x, s).
Pela equacao (3), temos
sα c2β h(x, s) ∗ g(x)− sα−1f(x) = λh(x, s),
onde g(x) = |x|2β−1, o coeficiente c2β e como em (3) e h(x, s) ∗ g(x) e a convolucao de Fouriercom relacao a variavel x.
Aplicando a transformada de Fourier e usando (4), temos
sα c2β h(ω, s)1
c2β|ω|−2β−sα−1f(ω) = λh(ω, s) ⇒ sαh(ω, s) |ω|−2β−sα−1f(ω) = λh(ω, s),
onde h(ω, s) = F [h(x, s)]. De U(x, s) = I2βh(x, s), temos que U(ω, s) = |ω|−2β h(ω, s). Assim,
sαU(ω, s)− sα−1f(ω) = λ |ω|2β U(ω, s) ⇒ U(ω, s) =sα−1
sα − λ |ω|2βf(ω).
Aplicando a transformada de Laplace inversa e usando a equacao 1.9.13 de [5], obtemos7
u(ω, t) = f(ω)Eα
(λ |ω|2β tα
), com
∣∣∣∣∣λ |ω|2βsα
∣∣∣∣∣ < 1.
Por fim, aplicando a transformada de Fourier inversa, obtemos
u(x, t) = f(x) ∗ F−1[Eα
(λ |ω|2β tα
)]. (9)
Explicitando o calculo da transformada de Fourier inversa, podemos escrever
F−1[Eα
(λ |ω|2β tα
)]=
1
2π
∫ ∞−∞
Eα
(λ |ω|2β tα
)ei ω xdω =
1
π
∫ ∞0
Eα
(λ |ω|2β tα
)cos(ω x)dω.
Obtemos entao a solucao
u(x, t) =1
π
∫ ∞−∞
∫ ∞0
Eα
(λ |ω|2β tα
)f(τ) cos (ω (x− τ)) dω dτ. (10)
6f(x) ∈ Lp(a, b) se
(∫ b
a
|f(x)|p dx
) 1p
<∞, para 1 ≤ p <∞.
7Eα(x) =
∞∑j=0
xj
Γ (αj + 1)e a funcao de Mittag-Leffler de um parametro [4].
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Note em (9) que se t = 0, entao u(x, 0) =[f ∗ F−1 (1)
](x) = (f ∗ δ) (x) = f(x), onde δ(x) e
a distribuicao delta de Dirac.
Se f(x) = δ(x), temos que δ(x) ∈ L1(−∞,∞), pois
∫ ∞−∞
δ(x)dx = 1 e a solucao e
u(x, t) =1
π
∫ ∞0
Eα
(λ |ω|2β tα
)cos(ω x)dω.
Neste caso particular, para α = 1, β −→ 1 e λ = −1, obtemos u(x, t) =1
2√πte−
x2
4t , a
classica solucao da equacao de difusao associada as derivadas de ordem inteira.
Como continuacao natural deste trabalho, vamos analisar especificamente a equacao maisgeral do Exemplo 4.2, consistindo em uma equacao de difusao fracionaria que descreve a desa-celeracao de neutrons [11].
Referencias
[1] A. Elsaid, The variational iteration method for solving Riesz fractional partial differentialequations, Comput. Math. Appl., 60, 1940-1947, (2010).
[2] E. Contharteze Grigoletto e E. Capelas de Oliveira, Fractional Versions of the FundamentalTheorem of Calculus, Applied Mathematics, Aceito (2013).
[3] R. L. Bagley and P. J. Torvik, A theoretical basis for the application of fractional calculusto viscoelasticity, J. Rheology, 27, 201-210, (1983).
[4] E. Contharteze Grigoletto, Equacoes Diferenciais Fracionarias e as Funcoes de Mittag-Leffler, Tese de doutorado, Imecc-Unicamp, Campinas, (Em andamento).
[5] A. A. Kilbas, H. M. Srivastava and Juan J. Trujillo, Theory and Applications of FractionalDifferential Equations, Elsevier, Amsterdam, (2006).
[6] K. S. Miller and B. Ross, An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Diffe-rential Equations, John Wiley & Sons, Inc., New York, (1993).
[7] S. G. Samko, A. A. Kilbas and O. I. Marichev, Fractional Integrals and Derivatives: Theoryand Applications, Gordon and Breach Science Publishers, Switzerland, (1993).
[8] J. A. Tenreiro Machado, V. Kiryakova and F. Mainardi, A poster about the recent historyof fractional calculus, Fract. Cal. & Appl. Anal., 13, 329-334, (2010).
[9] J. A. Tenreiro Machado, V. Kiryakova and F. Mainardi, A poster about the old history offractional calculus, Fract. Cal. & Appl. Anal., 13, 447-454, (2010).
[10] J. A. Tenreiro Machado, V. Kiryakova and F. Mainardi, Recent history of fractional calculus,Commun. Nonl. Sci. Num. Simul., 16, 1140-1153, (2011).
[11] I. N. Sneddon, Fourier Transform, Dover Publication, Inc., New York, (1995).
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