Aplicatii Ale Proprietatilor Geometrice Ale Parabolei

Embed Size (px)

Text of Aplicatii Ale Proprietatilor Geometrice Ale Parabolei

Aplicat ii ale propriet a tilor geometrice ale parabolei si catenarei

Introducere Scopul acestei lucr ari este de a prezenta c ateva propriet a ti geometrice ale parabolei si catenarei, care au numeroase aplicat ii n zic a, astronomie, inginerie si arhitectur a. Obiectivele noastre sunt: s a ar at am echivalent a denit iei algebrice (y = ax2 + bx + c) a parabolei cu cea geometric a (prin focar si directoare), s a demonstr am proprietatea parabolei de a str ange raze paralele de lumin a n focar, s a exemplic am numeroasele aplicat ii ale acestei propriet a ti, care utilizeaz a paraboloizi de rotat ie pentru a focaliza undele electromagnetice: antene astronomice de observat ii, proiectoare de lumin a, antene parabolice de comunicat ii, panouri solare de form a parabolic a, s a examplic am utilizarea n aplicat ii a propriet a tii paraboloidului hiperbolic si a hiperboloidului cu o p anz a de a suprafet e riglate, s a demonstr am c a cablurile de sust inere ale podurilor suspendate au forma parabolei, s a prezent am pe scurt mecanismul funct ion arii podurilor suspendate si exemple de astfel de poduri, s a introducem not iunea de catenar a si s a demonstr am c a lant urile, cablurile si rele suspendate ntre doi st alpi au forma acestei curbe, s a motiv am audient a s a nu caute aplicat ii articiale ale unor fr anturi din matematic a, dar s a cunoasc a bog a tia aplicat iilor reale ale matematicii (inclusiv ale propriet a tilor geometrice ale parabolei, paraboloizilor si catenarei), n toate domeniile n azuint ei umane, trec and, n cazul nostru, prin zic a, astronomie, ingineria construct iilor si a telecomunicat iilor, arhitectur a, energetic a.1

1

Parabola ca loc geometric de puncte ntrun plan

Denit ie. Parabol a se nume ste mult imea punctelor din plan, echidistante fat a de o dreapt a xat a l (numit a directoarea parabolei) si fat a de un punct xat F (numit focarul parabolei). Fara a pierde din generalitate, situ am parabola n planul de coordonate Oxy , astfel nc at focarul F sa e punctul (0, d), d > 0, iar dreapta directoare l sa e y = d. Observam ca originea (0, 0) a planului de coordonate este un punct de pe parabola, deoarece distanta sa pana la focar si pana la directoare este aceeasi, egala cu numarul d. Ce alte puncte mai putem gasi? Vrem sa caracteriz am algebric punctele de pe parabol a. Teorema 1. Parabola denit a de dreapta directoare y = d si focarul (0, d) este exact mult imea punctelor din planul Oxy , ale c caror coordonate satisfac relat ia 1 2 y = ax , unde a = 4d . Demonstrat ie. Fie (x, y ) un punct de pe parabola. Distanta pana la dreapta directoare y = d este lungimea segmentului perpendicular la dreapta dus din punctul (x, y ), adica distanta de la punctul (x, y ) la punctul (x, d). Aceasta distanta este (x x)2 + (y (d))2 = (y + d)2 = |y + d|. Pe de alta parte, distanta de la (x, y ) pana la punctul focar (0, d) este (x 0)2 + (y d)2 = x2 + (y d)2 . Cele doua distante trebuie sa e egale, prin urmare: |y + d| (y + d)2 y 2 + 2yd + d2 2yd 4yd x2 + (y d)2 x2 + (y d)2 x2 + y 2 2yd + d2 x2 2yd x2 1 2 y = x 4d = = = = =

Toate aceste relatii sunt echivalente intre ele. Asadar, un punct (x, y ) se aa pe parabola data de directoarea y = d si focarul (0, d) daca si numai daca coordonatele sale satisfac realtia y = ax2 , unde a = 41d . Exemplu. Sa observam ca punctele care satisfac ecuatia patratica y = x2 (adica a = 1) formeaza o parabola cu focarul (0, d) si directoare y = d, unde 41d = 1, 1 1 adica d = 4 . Focarul este (0, 1 4 ), iar directoarea este dreapta y = 4 .2

Exemplu. Sa consideram punctele care satisfac ecuatia patratica generala y = 2 b2 b 2 b2 ax2 + bx + c = a(x2 + 2 2ba x + 4ba2 ) 4 a + c = a(x + 2a ) + (c 4a ). Ele se obtin din punctele care satisfac ecuatia y = ax2 prin translatie la dreapta cu 2ba unitati b2 si in sus cu c 4 a unitati. Prin urmare si ele formeaza o parabola, iar focarul si directoarea ei pot obtinute din focarul si directoarea lui y = ax2 prin translatie b2 1 la dreapta cu 2ba unitati si in sus cu c 4 a unitati. Focarul (0, d) = (0, 4a ) se b2 b 1b2 1 misca in punctul ( 2ba , 41a + (c 4 )) = ( , c + a 2a 4a ), iar dreapta y = 4a se b2 1+b2 misca in dreapta y = 41a + (c 4 a ), adica y = c 4a . Observat ie. Dreapta care trece prin focarul F si este perpendiculara pe dreapta directoare l a unei parabole formeaza o axa de simetrie a parabolei: daca parabola contine un punct P , atunci ea contine si reectia sa prin axa de simetrie. Aceasta proprietate rezulta din faptul, utilizat si mai sus, ca putem alege coordonate in plan astfel incat parabola sa e data de ecuatia y = ax2 , pentru care axa de simetrie este axa Oy : un punct (x, ax2 ), dar si reectia sa prin axa 0y , punctul (x, a(x)2 = ax2 ), apartin parabolei. Observat ie. Sa consideram parabola y = ax2 , pentru care, dupa cum deja stim distanta focala, adica distanta de la origine pana la focar, este |d| = | 41a |. Sa ducem prin focar, adica prin punctul (0, 41a ), dreapta paralela la axa Ox, adica dreapta y = 41a . Sa determinam punctele de intersectie ale parabolei cu aceasta dreapta: y = 41a y = ax21 2 De aici obtinem ax2 = 41a , sau x2 = 41 a2 , sau x = 2a . Atunci y = ax = 2 a 21a = 41a . Prin urmare, cele doua puncte de intersectie sunt ( 21a , 41a ) si ( 21a , 41a ). Observam ca distanta de la focar (0, 41a ) pana la puntele de intersectie ( 21a , 41a ) este | 21a | = 2 | 41a |, de doua ori mai mare decat distanta focala. Dreapta tangenta la parabola in punctul (x, ax2 ) are panta 2ax. Folosind acest fapt, panta dreptei tangente la parabola in cele doua puncte simetrice de mai sus este 2ax = 2a 21a = 1, adica cele doua drepte tangente formeaza unghiuri de 45 cu axele de coordonate. Aceste doua drepte tangente la parabola se intersecteaza exact pe dreapta directoare y = 41a si formeaza unghi de 90 intre ele.

Se poate demonstra ca, in general, doua drepte tangente la parabola se intersecteaza sub unghi drept daca si numai daca ele se intersecteaza pe drepta directoare. Aceasta se numeste proprietatea ortoptica a directoarei unei parabole:3

punctele de pe dreapta directoare sunt exact punctele din plan, astfel incat daca privim parabola din asa puncte, parabola ocupa 90 din campul vizual.

2

Proprietatea reectiv a a parabolei

Teorema 2. Fie P un punct pe parabola cu focar F si dreapta directoare l. Ducem prin P dreapta AP paralela la axa de simetrie a parabolei. Atunci dreptele AP si F P formeaza unghiuri egale cu dreapta tangenta la parabola in punctul P . Demonstrat ie. Fie B punctul de intersectie al dreptei AP cu dreapta directoare l. Deoarece axa de simetrie a parabolei este perpendiculara pe directoare, iar dreapta AP a fost construita paralela cu axa de simetrie, AP este perpendiculara pe directoare, si atunci distanta de la punctul P la directoarea l este exact lungimea segmentului P B . Deoarece punctul P este pe parabola, F P = P B .A D F P C L B L B E C F P Q

Construim segmentul F B si dreapta mediana a acestui segment, adica dreapta a carei puncte sunt echidistante fata de F si B . Punctul P verica aceasta proprietate, prin urmare el se aa pe dreapta mediana a segmentului F B . Un segment intersecteaza mediana sa sub unghi drept. Fie C punctul de intersectie a segmentului F B cu mediana sa, P C . Astfel, P C este inaltimea triunghiului isoscel F P B . Prin urmare F P C = BP C . Pe de alta parte, BP C = AP D ca unghiuri opuse la varf. Obtinem F P C = AP D, adica AP si F P formeaza unghiuri egale cu dreapta CP . Ramane sa demonstram ca dreapta CP este tangenta la parabola. Fie Q un punct arbitrar pe parabola (dar altul decat P ), cu QE perpendiculara pe directoare. Atunci QE = QF . Deoarece, QB > QE , avem QB > QF , adica punctul Q este mai aproape de F decat de B . Asta inseamna ca fata de dreapta mediana CP a segmentului F B , punctul Q se aa de aceeasi parte cu punctul F . Deoarece Q a fost ales arbitrar pe parabola cu singura conditie ca sa e diferit de punctul P , toata parabola se aa de aceeasi parte a dreptei CP ca si focarul F . Numai punctul P se aa si pe parabola, si pe dreapta CP . Asta inseamna ca CP este dreapta tangenta la parabola in punctul P .4

Sa intelegem sensul zic al acestei teoreme: daca o raza de lumina AP se reecta de parabola, dupa reectie raza va trece prin punctul F , focarul parabolei. Intradevar, cand o raza de lumina se reecta de o curba, ea se reecta de dreapta tangenta la curba in punctul de reectie, iar unghiul de incidenta este egal cu unghiul de reectie. Teorema de mai sus spune ca unghiul de incidenta AP D este egal cu unghiul dintre F P si dreapta tangenta in P la parabola. Aceasta inseamna ca dupa reectie, raza AP devine P F . Acest lucru este adevarat pentru orice punct P de pe parabola, prin urmare lumina care cade pe o parabola se va focaliza in punctul F , focarul parabolei. Si invers, limina emanata de o sursa de lumina situata in focarul parabolei se va reecta de parabola formand un fascicol de raze paralele de lumina. Acest fapt are numeroase aplicatii in zica, astronomie si inginerie, dupa cum vom vedea mai jos.

Figura 1: Parabola este locul geometric al punctelor echidistante de focar si directoare

Figura 2: Raze paralele de lumina reectate de parabola se focalizeaza in focarul parabolei

5

3

Parabola ntre elips a si hiperbol a

Alaturi de elipsa si hiperbola, parabola este una din cele trei curbe conice nedegenerate. O curba in plan se numeste conica nedegenerata daca este multimea punctelor care satisfac o ecuatie patratica in variabilele x si y . Cuvantul nedegenerata indica faptul ca coecientii termenilor patratici sunt nenuli, iar conica in general inseamna multimea punctelor care satisfac o ecuatie de grad cel mult 2, inclusiv de grad 1 in x si y . 2 y2 Ecuatia x + 2 a b2 = 1 deneste o elipsa in plan. Geometric ea se obtine din cercul uni