Aplikovaná matematika I, NMAF071

1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnostiAplikovaná matematika I, NMAF071

M. Rokyta, KMA MFF UK

ZS 2010/11

M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti

1.0 Návod k použití (nejen aplikované matematiky)



Co je

prednáška



Co je

prednáška

cvicení



Co je

prednáška

cvicení

konzultace



Co je

prednáška

cvicení

konzultaceKontakt:



Co je

prednáška

cvicení

konzultaceKontakt:M.R., katedra matematické analýzySokolovská 83 (metro "B", Križíkova), 2. patro, KMA



Co je

prednáška

cvicení

konzultaceKontakt:M.R., katedra matematické analýzySokolovská 83 (metro "B", Križíkova), 2. patro, [email protected],



Co je

prednáška

cvicení

konzultaceKontakt:M.R., katedra matematické analýzySokolovská 83 (metro "B", Križíkova), 2. patro, [email protected], 22191 3269,



Co je

prednáška

cvicení

konzultaceKontakt:M.R., katedra matematické analýzySokolovská 83 (metro "B", Križíkova), 2. patro, [email protected], 22191 3269, 603 342735



Co je

prednáška

cvicení


Podmínky

udelení zápoctu ze cvicení: požadavky stanoví cvicící



Co je

prednáška

cvicení


Podmínky

udelení zápoctu ze cvicení: požadavky stanoví cvicící

složení zkoušky: mít zápocet z cvicení, požadavky kezkoušce stanoví prednášející


1.0 Návod k použití (nejen aplikované matematiky) (pokrac.)

Sylabus = obsah (plán) p rednášky




1 Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti




1 Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti2 Funkce jedné reálné promenné




1 Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti2 Funkce jedné reálné promenné3 Derivace funkce jedné reálné promenné




1 Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti2 Funkce jedné reálné promenné3 Derivace funkce jedné reálné promenné4 Neurcitý integrál a primitivní funkce




1 Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti2 Funkce jedné reálné promenné3 Derivace funkce jedné reálné promenné4 Neurcitý integrál a primitivní funkce5 Aplikace diferenciálního a integrálního poctu v 1

dimenzi





dimenzi6 Urcitý integrál a jeho výpocet, aplikace





dimenzi6 Urcitý integrál a jeho výpocet, aplikace7 Lineární vektorové prostory





dimenzi6 Urcitý integrál a jeho výpocet, aplikace7 Lineární vektorové prostory

- viz web prednášejícíhohttp://www.karlin.mff.cuni.cz/ ˜rokyta/vyuka/



Literatura

1 J. Kopácek: Matematika (nejen) pro fyziky I.,II..Skripta MFF UK, Matfyzpress.



Literatura


2 J. Kopácek a kol.: Príklady z matematiky (nejen) profyziky I., II. Skripta MFF UK, Matfyzpress.



Literatura



3 J. Kvasnica: Matematický aparát fyziky. Academia,Praha, 1989.



Literatura




4 I. Cerný: Úvod do inteligentního kalkulu., Academia,Praha, 2002.



Literatura





5 B. P. Demidovic: Sbírka úloh a cvicení z matematickéanalýzy. Fragment, Praha, 2003.



Literatura






6 J. Becvár: Lineární algebra. Skripta MFF UK,Matfyzpress, 2002.



Literatura






6 J. Becvár: Lineární algebra. Skripta MFF UK,Matfyzpress, 2002.

7 ... web p rednášejícího


1.1 Výroky a množiny

Výrokem nazveme jakékoliv tvrzení, o nemž má smyslríci, že platí (je pravdivé, má pravdivostní hodnotu 1) nebože neplatí (je nepravdivé, má pravdivostní hodnotu 0).




DefiniceNegací ¬A výroku A rozumíme výrok:

Není pravda, že platí A.






A ¬A0 1






A ¬A0 11 0


1.1 Výroky a množiny (pokrac.)

DefiniceKonjunkcí A&B výroku A a B nazveme výrok:

Platí A i B.




Platí A i B.

A B A & B0 0 0




Platí A i B.

A B A & B0 0 00 1 0




Platí A i B.

A B A & B0 0 00 1 01 0 0




Platí A i B.

A B A & B0 0 00 1 01 0 01 1 1



DefiniceDisjunkcí A ∨ B výroku A a B nazveme výrok:

Platí A nebo B.




Platí A nebo B.

A B A ∨ B0 0 0




Platí A nebo B.

A B A ∨ B0 0 00 1 1




Platí A nebo B.

A B A ∨ B0 0 00 1 11 0 1




Platí A nebo B.

A B A ∨ B0 0 00 1 11 0 11 1 1



DefiniceImplikací A ⇒ B nazýváme výrok:

Jestliže platí výrok A, potom platí výrok B.





A B A ⇒ B0 0 1





A B A ⇒ B0 0 10 1 1





A B A ⇒ B0 0 10 1 11 0 0





A B A ⇒ B0 0 10 1 11 0 01 1 1



Výroku A v implikaci se ríká premisa , výrok B se nazývázáver.



Výroku A v implikaci se ríká premisa , výrok B se nazývázáver.

Pokud je výrok A ⇒ B pravdivý, pak ríkáme, že "A jeposta cující podmínkou pro platnost B" a "B je nutnoupodmínkou pro platnost A".



DefiniceEkvivalencí A ⇔ B nazýváme výrok:

Výrok A platí tehdy a jen tehdy, když platí výrok B.





A B A ⇔ B0 0 1





A B A ⇔ B0 0 10 1 0





A B A ⇔ B0 0 10 1 01 0 0





A B A ⇔ B0 0 10 1 01 0 01 1 1





A B A ⇔ B0 0 10 1 01 0 01 1 1

(Platnost výroku) A je nutnou a posta cující podmínkou(platnosti výroku) B.



Intuitivn e (bez presné definice) budeme prijímat pojmymnožina (jako soubor objektu),



Intuitivn e (bez presné definice) budeme prijímat pojmymnožina (jako soubor objektu), být prvkem množiny ("xje prvkem množiny M" píšeme: x ∈ M) a



Intuitivn e (bez presné definice) budeme prijímat pojmymnožina (jako soubor objektu), být prvkem množiny ("xje prvkem množiny M" píšeme: x ∈ M) a nebýt prvkemmnožiny ("x není prvkem množiny M" píšeme: x /∈ M).



Intuitivn e (bez presné definice) budeme prijímat pojmymnožina (jako soubor objektu), být prvkem množiny ("xje prvkem množiny M" píšeme: x ∈ M) a nebýt prvkemmnožiny ("x není prvkem množiny M" píšeme: x /∈ M).

PoznámkaSymboly N, Z, Q, R, C budou vyhrazeny pro množiny (porade) prirozených, celých, racionálních, reálných akomplexních císel.



Výrokovou formou budeme nazývat výraz

A(x1, x2, . . .xm),

z nehož vznikne výrok dosazením prvkux1 ∈ M1, . . . , xm ∈ Mm z daných množin M1, . . . , Mm.



DefiniceNyní necht’ A(x), x ∈ M, je výroková forma. Výrok

Pro všechna x ∈ M platí A(x).

zapisujeme ve tvaru:

∀x ∈ M : A(x).




Pro všechna x ∈ M platí A(x).


∀x ∈ M : A(x).

Symbol ∀ nazýváme obecným (velkým )kvantifikátorem .




Existuje x ∈ M, pro které platí A(x).


∃x ∈ M : A(x).






∃x ∈ M : A(x).

Symbol ∃ nazýváme existen cním (malým )kvantifikátorem .






∃x ∈ M : A(x).

Symbol ∃ nazýváme existen cním (malým )kvantifikátorem .

Pro obrat"Existuje práve jeden . . . " casto používáme symbol ∃!



Definice

Rekneme, že množina A je cástí množiny B (nebo Aje podmnožinou B), jestliže každý prvek množiny Aje rovnež prvkem množiny B. Tomuto vztahu ríkámeinkluze a znacíme A ⊂ B.



Definice


Dve množiny jsou si rovny (A = B), jestliže majístejné prvky.



Definice


Dve množiny jsou si rovny (A = B), jestliže majístejné prvky.

Prázdnou množinou nazveme množinu, kteráneobsahuje žádný prvek. Oznacíme ji symbolem ∅.



Definice (množinové operace)

Necht’ I je neprázdná množina a Aα je množina pro každéα ∈ I.





Definujeme sjednocení⋃

α∈I Aα jako množinu všechprvku, které patrí alespon do jedné z množin Aα.





Definujeme sjednocení⋃

α∈I Aα jako množinu všechprvku, které patrí alespon do jedné z množin Aα.

Definujeme prunik⋂

α∈I Aα jako množinu prvku, kterénáleží do každé z množin Aα.



DefiniceMají-li dve množiny prázdný prunik, rekneme o nich,že jsou disjunktní .




Rozdílem množin A a B (znacíme A \ B) nazvememnožinu prvku, které patrí do množiny A a nepatrí domnožiny B.




Rozdílem množin A a B (znacíme A \ B) nazvememnožinu prvku, které patrí do množiny A a nepatrí domnožiny B.

Kartézským sou cinem množin A1, . . . , An nazvememnožinu všech usporádaných n-tic

A1 × A2 × · · · × An

= {[a1, a2, . . . , an]; a1 ∈ A1, . . . , an ∈ An}.



Veta 1.1 (de Morganova pravidla)

Necht’ I je neprázdná množina, X, Aα (α ∈ I) jsoumnožiny.




Necht’ I je neprázdná množina, X, Aα (α ∈ I) jsoumnožiny. Pak platí

X \⋃

α∈I

Aα =⋂

α∈I

(X \ Aα),



Necht’ I je neprázdná množina, X, Aα (α ∈ I) jsoumnožiny. Pak platí

X \⋃

α∈I

Aα =⋂

α∈I

(X \ Aα),

X \⋂

α∈I

Aα =⋃

α∈I

(X \ Aα).


1.2 Zobrazení

DefiniceNecht’ X a Y jsou množiny.


1.2 Zobrazení

DefiniceNecht’ X a Y jsou množiny. Je-li každéme prvku x ∈ Xprirazen nejvýše jeden prvek z Y ,


1.2 Zobrazení

DefiniceNecht’ X a Y jsou množiny. Je-li každéme prvku x ∈ Xprirazen nejvýše jeden prvek z Y , rekneme, že jedefinováno zobrazení z X do Y .


1.2 Zobrazení

DefiniceNecht’ X a Y jsou množiny. Je-li každéme prvku x ∈ Xprirazen nejvýše jeden prvek z Y , rekneme, že jedefinováno zobrazení z X do Y . Píšeme f : X → Y


1.2 Zobrazení

DefiniceNecht’ X a Y jsou množiny. Je-li každéme prvku x ∈ Xprirazen nejvýše jeden prvek z Y , rekneme, že jedefinováno zobrazení z X do Y . Píšeme f : X → Y af (x) = y ,


1.2 Zobrazení

DefiniceNecht’ X a Y jsou množiny. Je-li každéme prvku x ∈ Xprirazen nejvýše jeden prvek z Y , rekneme, že jedefinováno zobrazení z X do Y . Píšeme f : X → Y af (x) = y , prípadne f : x 7→ y .


1.2 Zobrazení

DefiniceNecht’ X a Y jsou množiny. Je-li každéme prvku x ∈ Xprirazen nejvýše jeden prvek z Y , rekneme, že jedefinováno zobrazení z X do Y . Píšeme f : X → Y af (x) = y , prípadne f : x 7→ y . MnožinuD(f ) := {x ∈ X , ∃y ∈ Y , f (x) = y} nazýváme defini cnímoborem zobrazení f .


1.2 Zobrazení (pokrac.)

DefiniceNecht’ X , Y jsou neprázdné množiny a f : X → Y .




Obrazem množiny A ⊂ X pri zobrazení f se nazývámnožina

f (A) = {f (x); x ∈ A}.





f (A) = {f (x); x ∈ A}.

Je-li A = D(f ) definicním oborem zobrazeníf : X → Y , nazýváme množinu f (A) oborem hodnotzobrazení f . (Znacíme R(f ) nebo H(f ).)





f (A) = {f (x); x ∈ A}.

Je-li A = D(f ) definicním oborem zobrazeníf : X → Y , nazýváme množinu f (A) oborem hodnotzobrazení f . (Znacíme R(f ) nebo H(f ).)

Vzorem množiny B ⊂ Y pri zobrazení f nazvememnožinu

f−1(B) = {x ∈ X ; f (x) ∈ B}.



DefiniceNecht’ X , Y jsou množiny a f : X → Y .




Zobrazení f je prosté (injektivní) na A ⊂ X , jestliže

∀x1, x2 ∈ A : x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2).





∀x1, x2 ∈ A : x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2).

Zobrazení f je zobrazením množiny A ⊂ X "na"množinu Y (f je surjektivní) , jestliže f (A) = Y .





∀x1, x2 ∈ A : x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2).

Zobrazení f je zobrazením množiny A ⊂ X "na"množinu Y (f je surjektivní) , jestliže f (A) = Y .

Rekneme, že f je bijekce A na Y , jestliže f je prosté ana Y .



DefiniceNecht’ f : A → Y je prosté, f (A) = B. Pak zobrazeníf−1 : B → A



DefiniceNecht’ f : A → Y je prosté, f (A) = B. Pak zobrazeníf−1 : B → A definované predpisem f−1(y) = x , kdey ∈ f (A) a f (x) = y ,



DefiniceNecht’ f : A → Y je prosté, f (A) = B. Pak zobrazeníf−1 : B → A definované predpisem f−1(y) = x , kdey ∈ f (A) a f (x) = y , nazýváme inverzním zobrazením kzobrazení f .




DefiniceNecht’ f : X → Y je zobrazení, A ⊂ X . Zobrazeníf |A : A → Y takové že




DefiniceNecht’ f : X → Y je zobrazení, A ⊂ X . Zobrazeníf |A : A → Y takové že f |A (x) = f (x) ∀x ∈ A




DefiniceNecht’ f : X → Y je zobrazení, A ⊂ X . Zobrazeníf |A : A → Y takové že f |A (x) = f (x) ∀x ∈ A nazývámezúžením zobrazení f na množinu A.



DefiniceNecht’ f : X → Y a g : Y → Z jsou dve zobrazení.



DefiniceNecht’ f : X → Y a g : Y → Z jsou dve zobrazení.Symbolem g ◦ f oznacíme zobrazení z množiny X domnožiny Z definované predpisem

(g ◦ f )(x) = g(f (x)).



DefiniceNecht’ f : X → Y a g : Y → Z jsou dve zobrazení.Symbolem g ◦ f oznacíme zobrazení z množiny X domnožiny Z definované predpisem

(g ◦ f )(x) = g(f (x)).

Takto definované zobrazení se nazývá složenýmzobrazením zobrazení f a g, pricemž f je vnit rnízobrazení a g je vnejší zobrazení.


1.3 Reálná císla

Vybudování císelných množin - nekolik možností:


1.3 Reálná císla

Vybudování císelných množin - nekolik možností:Možnost I:

N (intuitivne nebo z teorie množin)


1.3 Reálná císla


N (intuitivne nebo z teorie množin) −→ Z


1.3 Reálná císla


N (intuitivne nebo z teorie množin) −→ Z −→ Q


1.3 Reálná císla


N (intuitivne nebo z teorie množin) −→ Z −→ Q −→ R


1.3 Reálná císla



Možnost II:

R (axiomaticky)


1.3 Reálná císla



Možnost II:

R (axiomaticky) −→ N


1.3 Reálná císla



Možnost II:

R (axiomaticky) −→ N −→ Z


1.3 Reálná císla



Možnost II:

R (axiomaticky) −→ N −→ Z −→ Q


1.3 Reálná císla



Možnost II:


Ad I: Krok Q −→ R obtížný (napr. tzv. Dedekindovy rezy)


1.3 Reálná císla



Možnost II:


Ad I: Krok Q −→ R obtížný (napr. tzv. Dedekindovy rezy)Ad II: Krok R −→ N napr. pomocí pojmu tzv. induktivnímnožiny.


1.3 Reálná císla



Možnost II:


Ad I: Krok Q −→ R obtížný (napr. tzv. Dedekindovy rezy)Ad II: Krok R −→ N napr. pomocí pojmu tzv. induktivnímnožiny.V obou možnostech na záver následuje krok R −→ C.


1.3 Reálná císla (pokrac.)

Ad II: Množinu reálných císel R lze definovat jakomnožinu, na níž jsou definovány operace scítání anásobení , které budeme znacit obvyklým zpusobem, arelace uspo rádání (≤), pricemž jsou splneny následujícítri skupiny vlastností.




I. Vlastnosti scítání a násobení a jejich vzájemný vztah





II. Vztah usporádání a operací scítání a násobení





II. Vztah usporádání a operací scítání a násobení

III. Axiom o supremu



I. Vlastnosti s cítání a násobení a jejich vzájemnývztah

∀x , y , z ∈ R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativitascítání ),





∀x , y ∈ R : x + y = y + x (komutativita s cítání ),






∃w ∈ R ∀x ∈ R : w + x = x (prvek w je urcenjednoznacne, znacíme ho 0 a ríkáme mu nulovýprvek ),






∃w ∈ R ∀x ∈ R : w + x = x (prvek w je urcenjednoznacne, znacíme ho 0 a ríkáme mu nulovýprvek ),

∀x ∈ R ∃z ∈ R : x + z = 0 (z je tzv. opacné císlo kcíslu x , je urceno jednoznacne a znacíme ho −x),



∀x , y , z ∈ R : x · (y · z) = (x · y) · z (asociativitanásobení ),




∀x , y ∈ R : x · y = y · x (komutativita násobení ),





∃v ∈ R \ {0} ∀x ∈ R : v · x = x (prvek v je urcenjednoznacne, znacíme ho 1 a ríkáme mu jednotkovýprvek ),






∀x ∈ R \ {0} ∃y ∈ R : x · y = 1 (prvek y je urcenjednoznacne a znacíme ho x−1 nebo 1

x ),






∀x ∈ R \ {0} ∃y ∈ R : x · y = 1 (prvek y je urcenjednoznacne a znacíme ho x−1 nebo 1

x ),

∀x , y , z ∈ R : (x + y) · z = x · z + y · z (distributivita ).



II. Vztah uspo rádání a operací s cítání a násobení

∀x , y , z ∈ R : (x ≤ y & y ≤ z) ⇒ x ≤ z (tranzitivita ),





∀x , y ∈ R : (x ≤ y & y ≤ x) ⇒ x = y (slabáantisymetrie ),






∀x , y ∈ R : x ≤ y ∨ y ≤ x ,






∀x , y ∈ R : x ≤ y ∨ y ≤ x ,

∀x , y , z ∈ R : x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z,






∀x , y ∈ R : x ≤ y ∨ y ≤ x ,

∀x , y , z ∈ R : x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z,

∀x , y ∈ R : (0 ≤ x & 0 ≤ y) ⇒ 0 ≤ x · y .



OznaceníOznacení x ≥ y znamená totéž co y ≤ x .



OznaceníOznacení x ≥ y znamená totéž co y ≤ x . Symbolemx < y budeme znacit situaci, kdy x ≤ y , ale x 6= y(tzv. ostrá nerovnost ).




Reálná císla, pro než x > 0 (resp. x < 0), budemenazývat kladnými (resp. zápornými ).




Reálná císla, pro než x > 0 (resp. x < 0), budemenazývat kladnými (resp. zápornými ).

Reálná císla, pro než x ≥ 0 (resp. x ≤ 0), budemenazývat nezápornými (resp. nekladnými ).



Definice

Rekneme, že množina M ⊂ R je omezená zdola ,jestliže existuje císlo a ∈ R takové, že pro každéx ∈ M platí x ≥ a.



Definice

Rekneme, že množina M ⊂ R je omezená zdola ,jestliže existuje císlo a ∈ R takové, že pro každéx ∈ M platí x ≥ a.Takové císlo a se nazývá dolní závorou množiny M.



Definice


Analogicky definujeme pojmy množina omezenáshora a horní závora .



Definice


Analogicky definujeme pojmy množina omezenáshora a horní závora .

Rekneme, že množina M ⊂ R je omezená , je-liomezená shora i zdola.



Definice

Necht’ M ⊂ R. Rekneme, že a je nejv etší prvek(maximum ) množiny M, jestliže a je horní závoroumnožiny M a pritom a ∈ M.



Definice

Necht’ M ⊂ R. Rekneme, že a je nejv etší prvek(maximum ) množiny M, jestliže a je horní závoroumnožiny M a pritom a ∈ M. Analogicky definujemenejmenší prvek (minimum ) M.



Definice

Necht’ M ⊂ R. Rekneme, že a je nejv etší prvek(maximum ) množiny M, jestliže a je horní závoroumnožiny M a pritom a ∈ M. Analogicky definujemenejmenší prvek (minimum ) M. Maximum a minimumjsou urceny jednoznacne (pokud existují) a znacíme jemax M a min M.



Definice


Minimum a maximum dané množiny reálných císelnemusí existovat:



Definice


Minimum a maximum dané množiny reálných císelnemusí existovat: (0, 1).



Definice

Necht’ M ⊂ R. Císlo G ∈ R splnující

∀x ∈ M : x ≤ G,

∀G′ ∈ R, G′ < G ∃x ∈ M : x > G′,

nazýváme supremem množiny M.



Definice

Necht’ M ⊂ R. Císlo G ∈ R splnující

∀x ∈ M : x ≤ G,

∀G′ ∈ R, G′ < G ∃x ∈ M : x > G′,

nazýváme supremem množiny M.

PoznámkaNecht’ M ⊂ R. Má-li množina M supremum, je toto urcenojednoznacne a znacíme jej sup M.



III. Axiom suprema

Každá neprázdná shora omezená podmnožina R másupremum.



Definice

Necht’ M ⊂ R. Císlo g ∈ R splnující

∀x ∈ M : x ≥ g,

∀g′ ∈ R, g′ > g ∃x ∈ M : x < g′,

nazýváme infimem množiny M.



Definice

Necht’ M ⊂ R. Císlo g ∈ R splnující

∀x ∈ M : x ≥ g,

∀g′ ∈ R, g′ > g ∃x ∈ M : x < g′,

nazýváme infimem množiny M.

PoznámkaNecht’ M ⊂ R. Má-li množina M infimum, je toto urcenojednoznacne a znacíme jej inf M.



Veta 1.2Necht’ M ⊂ R je neprázdná zdola omezená množina. Pakexistuje infimum množiny M.



Z axiomu o supremu plynou nekteré duležité vlastnosti R:

Veta 1.31 Pro každé r ∈ R existuje práve jedno císlo k ∈ Z

takové, že k ≤ r < k + 1.





takové, že k ≤ r < k + 1.2 Ke každému x ∈ R existuje n ∈ N splnující x < n.





takové, že k ≤ r < k + 1.2 Ke každému x ∈ R existuje n ∈ N splnující x < n.3 Necht’ a, b ∈ R, a < b. Pak existuje q ∈ Q takové, že

a < q < b.





takové, že k ≤ r < k + 1.2 Ke každému x ∈ R existuje n ∈ N splnující x < n.3 Necht’ a, b ∈ R, a < b. Pak existuje q ∈ Q takové, že

a < q < b.4 Pro každé n ∈ N a x ∈ R, x ≥ 0, existuje práve jedno

y ∈ R, y ≥ 0, splnující yn = x.


1.4 Komplexní císla

Množinu komplexních císel C definujeme jako množinuvšech usporádaných dvojic (a, b), kde a, b ∈ R, pricemžpro komplexní císla x = (a, b), y = (c, d) definujemeoperace scítání a násobení takto

x + y = (a + c, b + d),




x + y = (a + c, b + d),

x · y = (ac − bd , ad + bc).




x + y = (a + c, b + d),

x · y = (ac − bd , ad + bc).

Dále ztotožnujeme x = (x , 0) pro x ∈ R,




x + y = (a + c, b + d),

x · y = (ac − bd , ad + bc).

Dále ztotožnujeme x = (x , 0) pro x ∈ R, a definujemei = (0, 1).




x + y = (a + c, b + d),

x · y = (ac − bd , ad + bc).

Dále ztotožnujeme x = (x , 0) pro x ∈ R, a definujemei = (0, 1). Potom

(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + b(0, 1) = a + bi ,




x + y = (a + c, b + d),

x · y = (ac − bd , ad + bc).


(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + b(0, 1) = a + bi ,

(0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1, tj. i2 = −1,




x + y = (a + c, b + d),

x · y = (ac − bd , ad + bc).


(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + b(0, 1) = a + bi ,

(0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1, tj. i2 = −1,

a tedyC = {a + bi ; a, b ∈ R} kde i2 = −1 .


1.4 Komplexní císla (pokrac.)

Necht’ x = a + bi ∈ C.Prvek a nazýváme reálnou cástí x , prvek b nazývámeimaginární cástí x .



Necht’ x = a + bi ∈ C.Prvek a nazýváme reálnou cástí x , prvek b nazývámeimaginární cástí x .Absolutní hodnotou komplexního císla x rozumíme|x | =

√a2 + b2.



Necht’ x = a + bi ∈ C.Prvek a nazýváme reálnou cástí x , prvek b nazývámeimaginární cástí x .Absolutní hodnotou komplexního císla x rozumíme|x | =

√a2 + b2.

Komplexn e sdruženým císlem k x rozumíme císlox = a − bi ; symbol −x znací císlo −a − bi a symbol 1/xznací pro x 6= 0 (jednoznacne urcené) císlo splnujícíx · 1

x = 1.


1.5 Mohutnost množin

Definice

Ríkáme, že množiny A, B mají stejnou mohutnost apíšeme A ≈ B, jestliže existuje bijekce A na B.



Definice


Ríkáme, že množina A má mohutnost menší neborovnou mohutnosti množiny B a píšeme A � B,jestliže existuje prosté zobrazení A do B.



Definice


Ríkáme, že množina A má mohutnost menší neborovnou mohutnosti množiny B a píšeme A � B,jestliže existuje prosté zobrazení A do B.

Symbol A ≺ B znací situaci, kdy A � B a neplatíA ≈ B.


1.5 Mohutnost množin (pokrac.)

Definice

Rekneme, že množina A je kone cná , jestliže je bud’A = ∅ nebo existuje n ∈ N takové, že platí A ≈ {1, . . . , n}.



Definice

Rekneme, že množina A je kone cná , jestliže je bud’A = ∅ nebo existuje n ∈ N takové, že platí A ≈ {1, . . . , n}.Rekneme, že množina A je spo cetná , jestliže platí A ≈ N.



Definice

Rekneme, že množina A je kone cná , jestliže je bud’A = ∅ nebo existuje n ∈ N takové, že platí A ≈ {1, . . . , n}.Rekneme, že množina A je spo cetná , jestliže platí A ≈ N.Rekneme, že množina A je nespo cetná , jestliže A neníani konecná ani spocetná.



Definice

Rekneme, že množina A je kone cná , jestliže je bud’A = ∅ nebo existuje n ∈ N takové, že platí A ≈ {1, . . . , n}.Rekneme, že množina A je spo cetná , jestliže platí A ≈ N.Rekneme, že množina A je nespo cetná , jestliže A neníani konecná ani spocetná.

Tvrzení 1.4Množiny N, Z, Q jsou spocetné, množiny R, C jsounespocetné.


1.6 Posloupnosti a jejich limity

DefiniceNecht’ A je neprázdná množina. Zobrazení prirazujícíkaždému prirozenému císlu n prvek an z množiny Anazýváme posloupnost prvku množiny A. Prvek an

nazveme n-tým clenem této posloupnosti. Znacíme{an}∞n=1.


1.6 Posloupnosti a jejich limity (pokrac.)

PoznámkaPosloupností budeme nadále rozumet (do odvolání)posloupnost reálných císel.




Definice

Rekneme, že posloupnost {an} je

shora omezená , jestliže množina všech clenu tétoposloupnosti je shora omezená,




Definice



zdola omezená , jestliže množina všech clenu tétoposloupnosti je zdola omezená,




Definice



zdola omezená , jestliže množina všech clenu tétoposloupnosti je zdola omezená,

omezená , jestliže množina všech clenu tétoposloupnosti je omezená.



Definice

Rekneme, že posloupnost reálných císel {an} je

neklesající , je-li an ≤ an+1 pro každé n ∈ N,



Definice



rostoucí , je-li an < an+1 pro každé n ∈ N,



Definice




nerostoucí , je-li an ≥ an+1 pro každé n ∈ N,



Definice





klesající , je-li an > an+1 pro každé n ∈ N.



Definice






Posloupnost {an} je monotónní , pokud splnuje nekterouz výše uvedených podmínek.



Definice






Posloupnost {an} je monotónní , pokud splnuje nekterouz výše uvedených podmínek. Posloupnost {an} je ryzemonotónní , pokud je rostoucí ci klesající.



Definice

Rekneme, že posloupnost (reálných císel) {an} má limiturovnou reálnému císlu A,



Definice

Rekneme, že posloupnost (reálných císel) {an} má limiturovnou reálnému císlu A, jestliže platí

∀ε ∈ R, ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : |an − A| < ε.



1=35 10 15



1=3 + "1=3� "

n0M. Rokyta, KMA MFF UK 1. Úvod, císla, zobrazení, posloupnosti


1=3 + "01=3� "0n00



PoznámkaNecht’ K ∈ R, K > 0, A ∈ R. Jestliže posloupnost {an}splnuje podmínku

∀ε ∈ R, ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : |an − A| < Kε,

potom lim an = A.



Definice

Rekneme, že posloupnost {an} má limitu +∞ ≡ ∞ ,jestliže

∀L ∈ R ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : an ≥ L.



Definice

Rekneme, že posloupnost {an} má limitu +∞ ≡ ∞ ,jestliže

∀L ∈ R ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : an ≥ L.

Rekneme, že posloupnost {an} má limitu −∞, jestliže

∀K ∈ R ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : an ≤ K .



Veta 1.5 (jednoznacnost limity)

Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.





DefiniceMá-li posloupnost {an} limitu rovnou císlu A ∈ R, pakpíšeme lim

n→∞an = A nebo jenom lim an = A.






n→∞an = A nebo jenom lim an = A.Podobne

píšeme limn→∞

an = lim an = ∞,







píšeme limn→∞

an = lim an = ∞, resp. limn→∞

an = lim an = −∞.







píšeme limn→∞

an = lim an = ∞, resp. limn→∞

an = lim an = −∞.

Rekneme, že posloupnost {an} je konvergentní , pokudexistuje A ∈ R takové, že lim an = A. Není-li posloupnostkonvergentní, ríkáme, že je divergentní .



Veta 1.6Každá konvergentní posloupnost je omezená.



Veta 1.6Každá konvergentní posloupnost je omezená.

DefiniceNecht’ {an}∞n=1 je posloupnost reálných císel. Jestliže{nk}∞k=1 je rostoucí posloupnost prirozených císel, pak{ank}∞k=1 se nazývá vybranou posloupností z {an}∞n=1.



Veta 1.7Necht’ {ank}∞k=1 je vybraná posloupnost z posloupnosti{an}∞n=1. Jestliže platí lim

n→∞an = A ∈ R ∪ {∞}∪ {−∞}, pak

také limk→∞

ank = A.



Veta 1.7Necht’ {ank}∞k=1 je vybraná posloupnost z posloupnosti{an}∞n=1. Jestliže platí lim

n→∞an = A ∈ R ∪ {∞}∪ {−∞}, pak

také limk→∞

ank = A.

DefiniceNecht’ {an}∞n=1 je posloupnost reálných císel. PakA ∈ R ∪ {∞} ∪ {−∞} nazýváme hromadnou hodnotouposloupnosti {an}∞n=1, jestliže existuje vybranáposloupnost {ank}∞k=1 taková, že lim

k→∞

ank = A.



Rozší rená reálná osa: R⋆ := R ∪ {−∞} ∪ {+∞}



Rozší rená reálná osa: R⋆ := R ∪ {−∞} ∪ {+∞}Usporádání:




∀a ∈ R ∪ {+∞}: −∞ < a,




∀a ∈ R ∪ {+∞}: −∞ < a,

∀a ∈ {−∞} ∪ R: a < +∞




∀a ∈ R ∪ {+∞}: −∞ < a,

∀a ∈ {−∞} ∪ R: a < +∞Absolutní hodnota:




∀a ∈ R ∪ {+∞}: −∞ < a,


| −∞| = | + ∞| = +∞




∀a ∈ R ∪ {+∞}: −∞ < a,


| −∞| = | + ∞| = +∞Scítání a odcítání:




∀a ∈ R ∪ {+∞}: −∞ < a,



−(+∞) = −∞,




∀a ∈ R ∪ {+∞}: −∞ < a,



−(+∞) = −∞, +(−∞) = −∞,




∀a ∈ R ∪ {+∞}: −∞ < a,



−(+∞) = −∞, +(−∞) = −∞,

∀a ∈ R: −∞ + a = a + (−∞) = −∞,




∀a ∈ R ∪ {+∞}: −∞ < a,



−(+∞) = −∞, +(−∞) = −∞,

∀a ∈ R: −∞ + a = a + (−∞) = −∞,

∀a ∈ R: +∞ + a = a + (+∞) = +∞,




∀a ∈ R ∪ {+∞}: −∞ < a,



−(+∞) = −∞, +(−∞) = −∞,

∀a ∈ R: −∞ + a = a + (−∞) = −∞,

∀a ∈ R: +∞ + a = a + (+∞) = +∞,

(−∞) + (−∞) = −∞,




∀a ∈ R ∪ {+∞}: −∞ < a,



−(+∞) = −∞, +(−∞) = −∞,

∀a ∈ R: −∞ + a = a + (−∞) = −∞,

∀a ∈ R: +∞ + a = a + (+∞) = +∞,

(−∞) + (−∞) = −∞, (+∞) + (+∞) = +∞



Násobení a delení:




∀a ∈ R⋆, a > 0: a · (±∞) = (±∞) · a = ±∞,




∀a ∈ R⋆, a > 0: a · (±∞) = (±∞) · a = ±∞,

∀a ∈ R⋆, a < 0: a · (±∞) = (±∞) · a = ∓∞,




∀a ∈ R⋆, a > 0: a · (±∞) = (±∞) · a = ±∞,

∀a ∈ R⋆, a < 0: a · (±∞) = (±∞) · a = ∓∞,1

+∞= 1

−∞= 0




∀a ∈ R⋆, a > 0: a · (±∞) = (±∞) · a = ±∞,

∀a ∈ R⋆, a < 0: a · (±∞) = (±∞) · a = ∓∞,1

+∞= 1

−∞= 0

NEDEFINUJEME:

(−∞) + (+∞),




∀a ∈ R⋆, a > 0: a · (±∞) = (±∞) · a = ±∞,

∀a ∈ R⋆, a < 0: a · (±∞) = (±∞) · a = ∓∞,1

+∞= 1

−∞= 0

NEDEFINUJEME:

(−∞) + (+∞),

0 · (±∞),




∀a ∈ R⋆, a > 0: a · (±∞) = (±∞) · a = ±∞,

∀a ∈ R⋆, a < 0: a · (±∞) = (±∞) · a = ∓∞,1

+∞= 1

−∞= 0

NEDEFINUJEME:

(−∞) + (+∞),

0 · (±∞),±∞

±∞,




∀a ∈ R⋆, a > 0: a · (±∞) = (±∞) · a = ±∞,

∀a ∈ R⋆, a < 0: a · (±∞) = (±∞) · a = ∓∞,1

+∞= 1

−∞= 0

NEDEFINUJEME:

(−∞) + (+∞),

0 · (±∞),±∞

±∞,

cokoli0



Veta 1.8 (aritmetika limit)

Necht’ lim an = A ∈ R⋆ a lim bn = B ∈ R⋆.




Necht’ lim an = A ∈ R⋆ a lim bn = B ∈ R⋆. Potom platí:

(i) lim (an ± bn) = A ± B, pokud je pravá stranadefinována,






(ii) lim (an · bn) = A ·B, pokud je pravá strana definována,






(ii) lim (an · bn) = A ·B, pokud je pravá strana definována,

(iii) lim an/bn = A/B, pokud je pravá strana definována.



Veta 1.9Necht’ lim an = 0 a necht’ posloupnost {bn} je omezená.Potom lim anbn = 0.



Veta 1.9Necht’ lim an = 0 a necht’ posloupnost {bn} je omezená.Potom lim anbn = 0.

Veta 1.10Necht’ lim an = A ∈ R⋆. Potom lim |an| = |A|.



Veta 1.11 (limita a usporádání)


(i) Necht’ existuje n0 ∈ N takové, že pro každé prirozenén ≥ n0 je an ≥ bn. Potom A ≥ B.



Veta 1.11 (limita a usporádání)


(i) Necht’ existuje n0 ∈ N takové, že pro každé prirozenén ≥ n0 je an ≥ bn. Potom A ≥ B.

(ii) Necht’ A < B. Potom existuje n0 ∈ N takové, že prokaždé prirozené n ≥ n0 je an < bn.



Veta 1.12 (o dvou strážnících)

Necht’ {an}, {bn}, {cn} jsou posloupnosti splnující:

(i) ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : an ≤ cn ≤ bn,





(i) ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : an ≤ cn ≤ bn,

(ii) existují lim an, lim bn, a navíc lim an = lim bn.





(i) ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : an ≤ cn ≤ bn,


Potom existuje lim cn a platí lim cn = lim an.





(i) ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : an ≤ cn ≤ bn,



PoznámkaPokud existuje lim an = ∞, není nutné uvažovat žádnouposloupnost {bn} a tvrzení vety zustává v platnosti.





(i) ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : an ≤ cn ≤ bn,



PoznámkaPokud existuje lim an = ∞, není nutné uvažovat žádnouposloupnost {bn} a tvrzení vety zustává v platnosti.Podobne je tomu v prípade lim bn = −∞, kdy"nepotrebujeme" posloupnost {an}.



Veta 1.13Necht’ lim an = A ∈ R⋆, A > 0, lim bn = 0 a existuje n0 ∈ N,že pro každé n ∈ N, n ≥ n0, platí bn > 0. Paklim an/bn = ∞.



Veta 1.14 (Limita monotónní posloupnosti)

Každá monotónní posloupnost má limitu.


1.7 Hlubší vlastnosti posloupností

Poznámka (Komplexní prípad)

Zobrazení prirazující každému prirozenému císlu nprvek an ∈ C nazveme komplexní posloupností.Evidentne {an} je komplexní posloupnost právetehdy, když existují reálné posloupnosti {xn}, {yn}takové, že an = xn + iyn pro všechna prirozená n.





Pro komplexní posloupnost nedefinujeme (nemajísmysl) pojmy jako "rostoucí", "klesající", apod., aletaké pojem "shora resp. zdola omezená"posloupnost.





Pro komplexní posloupnost nedefinujeme (nemajísmysl) pojmy jako "rostoucí", "klesající", apod., aletaké pojem "shora resp. zdola omezená"posloupnost. Rekneme, že komplexní posloupnost{an} je omezená , pokud existuje K > 0 taková, že|an| ≤ K pro všechna prirozená n.


1.7 Hlubší vlastnosti posloupností (pokrac.)

Poznámka (Komplexní limita)

Je-li an = xn + iyn komplexní posloupnost, a existujílim xn, lim yn vlastní , klademelim an = lim xn + i lim yn.



Poznámka (Komplexní limita)

Je-li an = xn + iyn komplexní posloupnost, a existujílim xn, lim yn vlastní , klademelim an = lim xn + i lim yn. Výrazy tvaru "a ± i∞","±∞± ib", resp. "±∞± i∞" nedefinujeme.



Veta 1.15 (Bolzano-Weierstrassova veta)

Z každé omezené posloupnosti lze vybrat konvergentnípodposloupnost.



Veta 1.16Posloupnost {an}∞n=1 má vlastní limitu práve tehdy, kdyžsplnuje Bolzano-Cauchyovu podmínku , tj.

∀ε ∈ R, ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0

∀m ∈ N, m ≥ n0 : |an − am| < ε.


Documents

Aplikovaná matematika I, NMAF071