Apontamentos Teóricos - ipb.pthtgomes/FT/Manual_FT-Cap1-2.pdf · “Introduction to Heat Transfer” (Incropera, DeWitt, ... em função da temperatura encontram-se compilados em

FENÓMENOS DE TRANSFERÊNCIA

Apontamentos Teóricos

Helder Teixeira Gomes

ESTiG-IPB

1

Nota Introdutória

Estes Apontamentos Teóricos foram elaborados com base nos livros

“Introduction to Heat Transfer” (Incropera, DeWitt, Bergman e Lavine) e

“Transferência de Calor” (Çengel). A sua distribuição tem como principal objectivo

fornecer aos alunos da unidade curricular de Fenómenos de Transferência do curso de

Licenciatura em Engenharia de Energias Renováveis da ESTiG-IPB um elemento para o

acompanhamento mais eficiente das aulas teóricas, não devendo de forma alguma,

constituir o principal elemento do seu estudo.

De forma a melhorar futuras versões dos Apontamentos Teóricos, agradeço aos

alunos que me comuniquem possíveis gralhas que possam encontrar, e incentivo

igualmente a colaboração com sugestões que levem a uma melhoria do funcionamento

da unidade curricular.

Desejo um bom trabalho a todos que consultem estes Apontamentos Teóricos.

O docente da unidade curricular de Fenómenos de Transferência,

Helder Gomes

2

Capítulo 1 – Fundamentos da Transferência de Calor

Ao iniciar o estudo da ciência da transferência de calor, a primeira questão que

se pode colocar é “O que é a transferência de calor?”. A sua definição dá-nos a resposta:

“A transferência de calor é a energia em trânsito devido a uma diferença de temperatura

entre dois sistemas”. Por exemplo, se retirarmos de uma estufa um objecto com uma

temperatura inicial de 100ºC e o expusermos ao ar ambiente, irá observar-se uma

transferência de energia na forma de calor no sentido da temperatura mais elevada para

a temperatura mais baixa, isto é, do objecto para o ar circundante. Como consequência

da remoção de calor, a temperatura do objecto irá baixar até atingir um estado de

equilíbrio em que a temperatura do objecto iguala a temperatura do ar circundante e a

transferência de calor cessa. A termodinâmica permite determinar a quantidade de calor

transferida desde o estado inicial ao estado final de equilíbrio, mas não permite saber

quanto tempo demora essa transferência. A ciência da transferência de calor é aquela

que permite determinar qual a velocidade de transferência desse calor.

A transferência de calor pode ocorrer segundo três mecanismos básicos: a

condução, a convecção e a radiação. Nas próximas secções deste capítulo, vamos ver,

de uma forma geral, as particularidades de cada um destes mecanismos. Em capítulos

posteriores faremos uma abordagem mais detalhada.

1.1. Condução

A condução ocorre sempre que existe um gradiente de temperatura num meio

estacionário (sólido ou fluído), consistindo na transferência de energia das partículas

mais energéticas para partículas de menor energia, como resultado de interacções entre

essas partículas (colisões e difusão nos líquidos e nos gases, vibrações moleculares e

transporte de energia por electrões livres nos sólidos). Como exemplo, vamos

considerar uma barra de ferro, inicialmente à temperatura ambiente, usada para remexer

as brasas de uma fogueira. A experiência empírica diz-nos que, se esperarmos tempo

suficiente, a temperatura da extremidade em contacto com a mão (oposta à extremidade

em contacto com as brasas) começa a aumentar. A explicação reside na condução: como

existe um gradiente de temperatura na barra de ferro (a temperatura na extremidade

exposta às brasas é superior à temperatura na extremidade em contacto com a mão), vai

ocorrer transferência de calor por condução no sentido da temperatura mais elevada,

3

para a temperatura mais baixa. Se esperarmos um tempo suficientemente longo, no

equilíbrio, a temperatura da barra irá ficar uniforme, isto é, à temperatura da

extremidade da barra exposta às brasas.

A velocidade da condução de calor através de um meio depende da configuração

geométrica desse meio, da sua espessura, do material de que é feito e da diferença de

temperaturas existente. A evidência empírica mostra que a velocidade de transferência

de calor por condução através de um meio é proporcional à diferença de temperaturas e

à área de transferência de calor (perpendicular ao sentido da transferência de calor) e

inversamente proporcional à espessura do meio.

A constante de proporcionalidade é a condutividade térmica (k) do material, que

é uma medida da capacidade de um material para conduzir calor, e a equação diferencial

que permite determinar a velocidade da transferência de calor por condução é conhecida

como a Lei de Fourier:

dx

dTkAq −=

•

(1)

onde •

q representa a taxa de transferência de calor (J/s ou W), A a área de transferência

de calor (m2), T a temperatura (ºC ou K), x a coordenada espacial (m) e k a

condutividade térmica (W/mºC), característica do material. Notar que dx

dT tem sinal

negativo quando x aumenta no sentido da diminuição da temperatura (Figura 1), pelo

que, o sinal negativo na Lei de Fourier garante que a velocidade de transferência de

calor no sentido positivo de x seja uma quantidade positiva.

4

.q

T2

T1

T

x

Figura 1 – Condução de calor através de um material. A transferência de calor dá-se no

sentido da temperatura mais elevada para a temperatura mais baixa

Exemplo: Condução de calor unidimensional em estado estacionário numa placa plana

Considere a condução de calor em estado estacionário através da parede de uma

casa com espessura ∆x = L e área de transferência de calor A (Figura 2). Considere

ainda que a diferença de temperaturas entre os dois lados da parede é ∆T = T2 – T1, com

T1 > T2 .

Figura 2 – Condução de calor em estado estacionário através de uma parede de

espessura ∆x e área de transferência de calor A

•

q

5

A parede da casa pode ser considerada uma placa plana. Como existe um

gradiente de temperatura entre os dois lados da parede, então haverá transferência de

calor por condução entre a superfície à temperatura T1 e a superfície à temperatura T2.

Como iremos deduzir no capítulo 2, dedicado ao estudo detalhado do mecanismo de

condução em estado estacionário, o perfil de temperaturas numa placa plana é linear, o

que implica que o seu declive seja constante:

L

TT

∆x

∆T

dx

dT 12 −== (2)

Por substituição de dx

dT na Lei de Fourier, deduz-se a equação que permite

determinar a velocidade de transferência de calor por condução unidimensional em

estado estacionário numa placa plana (o termo unidimensional assume que a

transferência de calor se processa apenas numa dimensão, no presente caso na

direcção do eixo dos xx, considerando-se que a placa está isolada nas restantes

faces, impedindo a transferência de energia nas direcções yy e zz):

L

TTkA

L

TTkAq 2112 −

=−

−=•

(3)

Condutividade térmica

A Lei de Fourier para a velocidade de transferência de calor em estado

estacionário também pode ser vista como a equação de definição da condutividade

térmica (k, em W/mºC). Assim, a condutividade térmica de um material pode-se definir

como a velocidade de transferência de calor através de uma espessura unitária de

material, por unidade de área e por unidade de diferença de temperatura. A

condutividade térmica varia com o tipo de material e serve como medida da capacidade

de um material para conduzir calor. Um valor elevado da condutividade térmica indica

que o material é bom condutor de calor e um valor baixo indica que o material é um

mau condutor ou que é um isolante. Para um mesmo material a condutividade térmica

depende da temperatura. Dada a importância da condutividade térmica de um material

no estudo da transferência de calor por condução, os valores de k para vários materiais

6

em função da temperatura encontram-se compilados em tabelas que facilmente se

encontram em manuais de transferência de calor. Para esta unidade curricular podem-se

consultar as Tabelas A3 a A17 disponíveis no material fornecido. Nos capítulos 2 e 3

faremos o estudo detalhado do mecanismo de condução de calor em estado estacionário

e em estado transiente.

Exercício Considere uma placa plana com faces de 3 m x 0.5 m e espessura 0.15 m,

constituída por um material com condutividade térmica, k = 1.7 W/mK. Sabendo que a

temperatura em cada uma das faces é, respectivamente, T1 = 1400 K e T2 = 1150 K e

que a transferência de calor ocorre em regime estacionário, calcule a taxa de

transferência de calor observada, •

q .

Resolução Assumindo que a transferência de calor ocorre por condução

unidimensional (placa isolada, à excepção das faces, Figura 2), podemos utilizar a Lei

de Fourier para determinar a velocidade de transferência de calor unidimensional em

estado estacionário numa placa plana:

W42500.15

115014003)(0.51.7

L

TTkA

L

TTkAq 2112 =

−×××=

−=

−−=

•

1.2. Convecção

A transferência de calor por convecção ocorre entre uma superfície sólida e um

fluído adjacente em movimento, compreendendo os efeitos combinados da condução e

do movimento de fluidos, sempre que se observe uma diferença de temperaturas entre

os dois meios. Quanto mais rápido o fluído se movimentar, maior é a transferência de

calor por convecção. Note que, na ausência de qualquer movimento do fluído, a

transferência de calor entre a superfície sólida e o fluído adjacente, será por condução

pura.

A convecção diz-se forçada, se o escoamento do fluído for causado por meios

externos. Por exemplo, devido a uma ventoínha, ao vento, etc. (Figura 3(a)). A

convecção diz-se natural (ou livre), se o escoamento do fluído for devido a diferenças

de densidade causadas por variações na temperatura do fluído (Figura 3(b)).

7

Figura 3 – Arrefecimento de um ovo cozido por (a) convecção forçada; (b) convecção

natural

A análise detalhada do fenómeno de transferência de calor por convecção pode

ser realizada pela teoria da camada limite. Esta teoria considera que, quando um fluído

em movimento contacta uma superfície sólida, se forma uma camada, chamada de

camada limite, onde a velocidade e a temperatura do fluído variam. Esta teoria

considera ainda que, à superfície, a velocidade do fluído é nula e a sua temperatura

iguala a da superfície. À medida que nos afastamos da superfície, a velocidade do fluído

aumenta e a temperatura varia até chegar ao limite da camada, onde a velocidade do

fluído será igual à velocidade e à temperatura no bulk do fluído (Figura 4).

Figura 4 – Transferência de calor de uma superfície quente para o ar por convecção.

Conceito de camada limite

Tendo em atenção estes conceitos, é fácil compreender que inicialmente a

transferência de calor da superfície para o fluído se dê por condução (o fluído à

Superfície Quente

Variação da temperatura

do ar

Variação da velocidade

do ar

Fluxo de ar

ovo quente

ovo quente

Convecção forçada

Convecção natural

Ar Ar

(a) (b)

8

superfície está estagnado) e que depois (ou em simultâneo) haja uma remoção do calor,

devido ao movimento do fluído.

Apesar da aparente complexidade da convecção, observa-se empiricamente que

a velocidade de transferência de calor por convecção é proporcional à diferença de

temperaturas entre a superfície sólida e o fluído, podendo ser determinada pela Lei de

Arrefecimento de Newton:

)T(ThAq Ssconv ∞

•

−= (4)

onde h é o coeficiente de transferência de calor por convecção (W/m2ºC), As a área

superficial de transferência de calor (m2), TS a temperatura da superfície do sólido (ºC

ou K) e T∞ a temperatura do fluído suficientemente afastado da superfície do sólido (ºC

ou K). Ao contrário da condutividade térmica (k) na condução, o coeficiente de

transferência de calor por convecção (h) não é uma propriedade do fluído ou do material

sólido, mas sim um parâmetro que se determina experimentalmente, sendo o seu valor

dependente da geometria do sólido, da natureza do escoamento do fluído e das suas

propriedades termodinâmicas e de transporte.

A convecção, e a teoria da camada limite em particular, serão abordadas no

capítulo 4 destes Apontamentos Teóricos.

1.3. Radiação

A radiação é a energia emitida na forma de ondas electromagnéticas por toda a

matéria, devido a alterações nas configurações dos átomos ou das moléculas

constituintes. Existem diversos tipos de radiação (raios X, raios gama, microondas,

ondas rádio, radiação térmica, …). No estudo dos fenómenos de transferência de calor

estamos interessados na radiação térmica, energia emitida por todos os corpos que se

encontrem a uma temperatura não nula (Ex. Radiação Solar). Ao contrário da condução

e da convecção, a transferência de energia térmica por radiação não requer a presença

de um meio físico, podendo ocorrer no vácuo.

9

A velocidade de emissão de calor por radiação térmica por todos os corpos é

proporcional à sua temperatura absoluta, sendo máxima quando se trata de um corpo

negro, podendo determinar-se a partir da Lei de Stefan-Boltzmann:

4σATq =•

(5)

onde T (K) é a temperatura absoluta da superfície do corpo, A a área da superfície

emissora (m2) e σ a constante de Stefan-Boltzmann (σ = 5.67x10-8 W/m2K4).

A radiação de um corpo negro representa a quantidade máxima de radiação que

pode ser emitida desde uma superfície ideal a uma temperatura específica. A radiação

emitida por todas as superfícies reais é menor que a emitida por um corpo negro à

mesma temperatura e pode ser determinada pela seguinte equação:

4εσATq =•

(6)

onde ε é a emissividade da superfície, que pode tomar valores entre 0 e 1. Para um

corpo negro, ε = 1. Quanto mais próximo de 1 for a emissividade de uma superfície,

mais se aproxima à idealização de corpo negro.

A radiação será abordada em detalhe no Capítulo 6 deste Apontamentos

Teóricos.

10

Capítulo 2 – Condução de Calor em Estado Estacionário (Unidimensional)

No capítulo 1, definiu-se a condução de calor como a transferência de energia

térmica das partículas mais energéticas de um meio estacionário para as partículas

adjacentes com menor energia e vimos que o calor é conduzido no sentido da

temperatura decrescente, observando-se um gradiente de temperatura negativo quando o

calor é conduzido no sentido positivo do eixo dos xx (Figura 1).

Foi também referido no capítulo 1 que a velocidade de transferência de calor

através de um meio, numa direcção específica (por exemplo na direcção do eixo dos

xx), é proporcional à diferença de temperaturas entre as duas extremidades do meio e à

área perpendicular à direcção da transferência de calor, e inversamente proporcional à

distância nessa direcção. A equação que traduz estas dependências é dada pela Lei de

Fourier para a condução de calor, uma lei empírica deduzida a partir de observações

experimentais, que na forma unidimensional é traduzida por:

dx

dTkAq x −=

•

(1)

Neste capítulo, vamos analisar problemas de transferência de calor por condução

em estado estacionário, considerando sempre que essa condução é unidimensional

(desprezam-se possíveis transferências de calor noutras direcções). Nas próximas três

secções vamos deduzir equações que nos permitem calcular o perfil de temperaturas e a

taxa de transferência de calor em sólidos de diferentes geometrias. Consideremos um

elemento de volume infinitesimal de um sólido genérico sujeito a transferência de calor

por condução unidimensional, de espessura dx e área superficial A perpendicular à

direcção da transferência de calor (Figura 5).

11

Figura 5 – Condução unidimensional de calor através de um elemento de volume de um

sólido genérico

Considerando que o elemento de volume não gera calor, do balanço de energia

em estado estacionário vem que:

xq•

= dx x q +

•

(7)

Atendendo a esta relação, pela definição de derivada obtém-se a seguinte

equação, válida para condução de calor em estado estacionário, em meios estacionários

não geradores de calor:

0dx

qqlim

dx

qd xdxx

0dx

x =−

=

•

+

•

→

•

(8)

2.1. Condução em Placas Planas

Seja a condução de calor através de uma parede plana não geradora de calor (a

parede de uma casa ou o vidro de uma janela, por exemplo, Figura 6). É razoável

considerar a condução de calor neste tipo de geometria como sendo unidimensional,

uma vez que a condução de calor será dominante numa das direcções e desprezável nas

outras.

12

Figura 6 - Condução unidimensional de calor através de um elemento de volume de

uma placa plana

Fazendo um balanço de energia ao elemento de volume infinitesimal da placa

plana indicada na Figura 6, obtém-se a equação (7) e pelo mesmo raciocínio utilizado

anteriormente, a equação (8), válida para condução em estado estacionário:

0dx

qd x =

•

(8)

Por sua vez, a taxa de transferência de calor por condução pode ser calculada

pela Lei de Fourier, equação (1):

dx

dTkAq x −=

•

(1)

Considerando que a condutividade térmica (k) na placa é constante (a área de

transferência de calor também), por aplicação da equação (8) à equação (1), vem que:

0dx

Td0

dx

Td-kA

dx

qd2

2

2

2x =⇒==

•

(9)

Elemento de volume

13

Note que a equação diferencial (9) que se obteve para a análise da transferência

de calor por condução unidimensional em estado estacionário em placas planas, é válida

sempre que a área transversal do meio estacionário em estudo seja constante. Por

exemplo, verifique a validade da equação diferencial (9) na análise da transferência de

calor por condução axial na barra cilíndrica apresentada na Figura 7:

Figura 7 – Condução axial num cilindro

A determinação da solução geral do perfil de temperaturas por condução em

estado estacionário numa placa plana (ou meio estacionário com área de secção recta

constante) não geradora de calor é conseguida resolvendo a equação diferencial (9).

Para obtermos a solução particular é necessário conhecer as condições fronteira

(consideremos para o efeito que para x = 0, T = T0 e que para x = L, T = TS). Da

integração da equação diferencial (9) obtém-se a solução geral:

2112

2

Cx CTCdx

dT0

dx

Td+=⇒=⇒= (10)

Para obter as constantes de integração C1 e C2 introduzem-se as condições

fronteira. Aplicando a condição para x = 0 à solução geral, obtém-se C2:

x = 0 ⇒ T = C2 = T0

De modo análogo, aplicando a condição para x = L:

14

x = L ⇒ T = C1L + T0 = TS L

TTC 0S

1

−=

Substituindo C1 e C2 na solução geral, equação (10), obtém-se a distribuição de

temperaturas, que é a solução particular do problema:

xL

TTTTTx

L

TTT S0

000S −

−=⇔+−

= (11)

Do resultado obtido torna-se evidente que, para condução de calor

unidimensional em estado estacionário através de uma placa plana não geradora de calor

e condutividade térmica constante, a temperatura varia linearmente com

x:

Uma vez conhecido o perfil de temperaturas na placa, é possível calcular a taxa

de transferência de calor que a atravessa por condução aplicando a Lei de Fourier,

equação (1):

( )S0xx TTL

kAq

dx

dTkAq −=⇔−=

••

(12)

Resistência Térmica

Por ser um conceito muito importante na análise de problemas de transferência

de calor em estado estacionário, vamos introduzir neste ponto a noção de resistência

térmica, que apresenta uma analogia útil com o conceito de resistência eléctrica, como

0 L

T0

TS

x

T

15

iremos abordar mais adiante. Da mesma maneira que a resistência eléctrica é associada

com a condução de electricidade, a resistência térmica pode ser associada com a

transferência de calor. Uma resistência é definida como a razão entre uma força motriz e

a correspondente taxa de transferência. Da equação (12), obtém-se assim a resistência

térmica (RT) para a condução numa placa plana, onde ∆T corresponde à força motriz e

xq•

à taxa de transferência:

kA

LR

q

∆TR T

x

T =⇔=•

(13)

Note que, quanto maior a resistência térmica, menor a taxa de transferência de

calor observada.

2.2. Condução Radial num Cilindro

Um exemplo típico de condução em cilindros ocorre em tubos, cujas superfícies

externa e interna estejam em contacto com fluídos a diferentes temperaturas (Figura 8).

Figura 8 – Tubo cilíndrico com superfícies interna e externa em contacto com fluídos a

diferentes temperaturas

Fluído quente T∞,1, h1

Fluído frio T∞,2, h2

16

Ao contrário do que acontece numa placa plana, num cilindro sujeito a condução

radial, a área de transferência de calor varia com a posição (Ar = 2πrL), pelo que, a taxa

de transferência de calor, dada pela Lei de Fourier, é expressa em função de r:

dr

dTrL 2kπ

dr

dTkAq rr −=−=

•

(14)

Por um raciocínio análogo ao realizado quando abordamos placas planas,

fazendo um balanço de energia ao elemento de volume infinitesimal do cilindro,

obtém-se a equação (8), válida para condução em estado estacionário:

0dr

qd r =

•

(8)

Considerando que a condutividade térmica (k) no cilindro é constante, por

aplicação da equação (8) à equação (14), vem que:

0dr

dTr

dr

d0

dr

dTkA-

dr

d

dr

qdr

r =

⇒=

=

•

(15)

A determinação da solução geral do perfil de temperaturas por condução radial

em estado estacionário num cilindro não gerador de calor é conseguida resolvendo a

equação diferencial (15), sujeita a condições fronteira apropriadas. Da integração da

equação diferencial (15) obtém-se a solução geral:

2111 ClnrCTr

drCdTC

dr

dTr0

dr

dTr

dr

d+=⇔=⇔=⇔=

(16)

Para obter as constantes de integração C1 e C2 introduzem-se na equação (16) as

condições fronteira. Para o efeito, consideremos as seguintes condições fronteira (CF):

CF1: r = r1, T = Ts,1 CF2: r = r2, T = Ts,2

17

Das condições fronteira:

( )

( ) ( ) ( )

−−=

−=

⇔

+=

+=

1

2

1s,1s,2s,12

1

2

s,1s,21

221s,2

211s,1

r

rln

rlnTTTC

r

rln

TTC

CrlnCT

CrlnCT

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtém-se a distribuição de temperaturas,

que é a solução particular do problema:

( )

−−=

1

2

1s,2s,1s,1

r

rln

r

rln

TTTT (17)

Note que, para condução radial de calor em estado estacionário através de um

cilindro não gerador de calor e condutividade térmica constante, a temperatura varia

com r de uma forma logarítmica, e não linearmente como observado para placas planas

nas mesmas condições. O perfil logarítmico descrito, encontra-se esquematizado na

imagem interior da Figura 8.

Uma vez conhecido o perfil de temperaturas no cilindro, é possível deduzir a

equação que permite calcular a taxa de transferência de calor por condução que o

atravessa, aplicando a Lei de Fourier:

dr

dTrL 2kπ

dr

dTkAq rr −=−=

•

(14)

Como ( )

r

1

r

rln

TT

dr

dT

1

2

s,2s,1×

−−= ⇒

( )

−=

•

1

2

s,2s,1r

r

rln

TTL 2kπq (18)

18


A partir do resultado anterior torna-se evidente que a resistência térmica

associada à condução radial num cilindro toma a seguinte forma:

kL.2

r

rln

Rq

∆TR 1

2

T

r

Tπ

=⇔=•

(19)

2.3. Condução Radial numa Esfera

Consideremos agora a condução de calor numa esfera oca (Figura 9).

Figura 9 – Condução de calor numa casca esférica

Tal como num cilindro, numa esfera sujeita a condução radial, a área de

transferência de calor varia com a posição (Ar = 4πr2), pelo que a taxa de transferência

de calor, dada pela Lei de Fourier, é expressa em função de r da seguinte forma:

dr

dTr 4kπ

dr

dTkAq 2

rr −=−=•

(20)

Realizando um balanço de energia ao elemento de volume infinitesimal da esfera

considerado na Figura 9, obtém-se a equação (8), válida para condução em estado

estacionário, num sólido sem geração de calor:

19

0dr

qd r =

•

(8)

Considerando que a condutividade térmica (k) na esfera é constante, por


0dr

dTr

dr

d0

dr

dTkA-

dr

d

dr

qd 2r

r =

⇒=

=

•

(21)

A determinação da solução geral do perfil de temperaturas por condução radial

em estado estacionário numa esfera não geradora de calor é conseguida resolvendo a

equação diferencial (21), sujeita a condições fronteira apropriadas. Da integração da

equação diferencial (21) obtém-se a solução geral:

21

21122 C

r

CT

r

drCdTC

dr

dTr0

dr

dTr

dr

d+−=⇔=⇔=⇔=

(22)

Para obter as constantes de integração C1 e C2 introduzem-se na equação (22) as

condições fronteira. Para o efeito, consideremos as seguintes condições fronteira (CF):

CF1: r = r1, T = Ts,1 CF2: r = r2, T = Ts,2


( )

×

−

−−=

−

−−=

⇔

+−=

+−=

1

21

s,2s,1s,12

21

s,2s,11

22

1s,2

21

1s,1

r

1

r

1

r

1

TTTC

r

1

r

1

TTC

Cr

CT

Cr

CT



20

( )

−

−

−−=

r

1

r

1

r

1

r

1

TTTT

1

21

s,2s,1s,1 (23)

Note que, para condução radial de calor em estado estacionário através de uma

esfera não geradora de calor e condutividade térmica constante, a temperatura varia com

r de uma forma hiperbólica.

Uma vez conhecido o perfil de temperaturas na esfera, é possível deduzir a

equação que permite calcular a taxa de transferência de calor por condução que a

atravessa, aplicando a Lei de Fourier:

dr

dTr 4kπ

dr

dTkAq 2

rr −=−=•

(20)

Como ( )

2

21

s,2s,1

r

1

r

1

r

1

TT

dr

dT×

−

−−= ⇒ ( )s,2s,1

21

r TT

r

1

r

14kπ

q −

−

=•

(24)


Da definição de resistência térmica, diferença de temperatura dividida pela taxa

de transferência de calor, obtém-se:

4kπ

r

1

r

1

Rq

∆TR 21

T

r

T

−

=⇔=•

(25)

2.4. Condução de Calor em Sólidos com outras Geometrias

A metodologia utilizada anteriormente para determinar os perfis de temperatura

em placas planas, cilindros e esferas não geradoras de calor sujeitas a condução em

estado estacionário, pode ser facilmente generalizada a sólidos com outras geometrias,

21

salvaguardando que a área de transferência de calor é conhecida em função da

coordenada que caracteriza a direcção da transferência de calor. Seja o exemplo do

sólido apresentado na Figura 10.

Figura 10 – Condução de calor em estado estacionário num sólido com uma geometria

genérica

Considerando a área de transferência de calor Ax = A(x), a taxa de transferência

de calor é dada pela Lei de Fourier em função de x:

( )dx

dTxkA

dx

dTkAq xx −=−=

•

(26)

Realizando um balanço de energia ao elemento de volume infinitesimal da esfera

considerado na Figura 10, obtém-se a equação (8), válida para condução em estado

estacionário, num sólido genérico sem geração de calor:

0dx

qd x =

•

(8)

Considerando que a condutividade térmica (k) no sólido é constante, por


Isolante

Superfície adiabática

22

( ) 0dx

dTxA

dx

d0

dx

dTkA-

dx

d

dx

qdx

x =

⇒=

=

•

(27)

A determinação da solução geral do perfil de temperaturas por condução em

estado estacionário no sólido não gerador de calor é depois conseguida resolvendo a

equação diferencial (27), sujeita a condições fronteira (CF) apropriadas (por exemplo

CF1: x = x0, T = T0; CF2: x = x1, T = T1).

2.5. Resistência Térmica: Analogia com a Teoria dos Circuitos Eléctricos

Referimos anteriormente que existe uma analogia entre a transferência de calor e

a transferência de energia eléctrica. Assim, da mesma maneira que a resistência eléctrica

é associada à transferência de energia eléctrica, a resistência térmica, já definida, pode

ser associada à transferência de calor. Uma vez conhecida essa analogia, a aplicação da

teoria dos circuitos eléctricos e a representação de circuitos eléctricos análogos em

transferência de calor permite de uma forma simples a compreensão e quantificação de

problemas de transferência de calor, que no caso de meios compostos se tornaria mais

complexa doutra forma. Vamos de seguida demonstrar a existência dessa analogia.

O circuito eléctrico mais simples é composto por uma resistência (R, em Ohms,

Ω), que quando atravessada por uma corrente eléctrica (I, em Ampère, A), provoca uma

diferença de potencial (V = VA – VB, em Volts, V) no circuito:

Da teoria dos circuitos eléctricos, pela Lei de Ohm, sabemos que:

V = VA – VB = RI ⇒ V = RI (28)

Resistências em Série

Consideremos agora duas resistências em série:

I R

VA VB

23

As resistências R1 e R2 provocam as seguintes diferenças de potencial no

circuito, calculadas pela Lei de Ohm (a corrente eléctrica atravessa as duas resistências

com a mesma intensidade I):

V1 = VA – VB = R1I

V2 = VB – VC = R2I

Calculando a diferença de potencial global no circuito, obtém-se uma equação

que nos permite calcular a resistência equivalente do circuito, Req, como a soma das

resistências individuais:

V = VA –VC = VB – VC + VA – VB = V2 – V1 = R2I + R1I = (R1 + R2)I

V = (R1 + R2) I = ReqI (29)

Em resumo, num circuito com duas resistências em série:

Req = R1 + R2 (30)

Generalizando para N resistências em série:

V = VA –VB = ReqI , com Req = R1 + R2 + … + RN = ∑=

N

1iiR (31)

I R1

VA VB

R2

VC

I I

I R1

VA VB

R2

I I

…

24

Resistências em Paralelo

Consideremos agora duas resistências em paralelo:

As resistências R1 e R2 provocam as seguintes diferenças de potencial no

circuito, calculadas pela lei de Ohm (neste caso, ao contrário do que sucedia com

resistências em série, a corrente eléctrica atravessa as duas resistências com intensidades

diferentes, I1 e I2):

V1 = VA – VB = V = R1I1

V2 = VA – VB = V = R2I2

Por outro lado, pelo balanço de cargas aos nós do circuito, obtém-se uma

equação que nos permite calcular a resistência equivalente (Req) de um circuito com

resistências em paralelo:

I = I1 + I2 ⇒ IRVI

R

1

R

11

VVR

1

R

1

R

V

R

VI eq

21

2121

=⇒

+

=⇔

+=+=

Em resumo, num circuito com duas resistências em paralelo:

21

eq

R

1

R

11

R+

= (32)

I

R1

VA VB R2

I1

I

I2

25

Generalizando para N resistências em paralelo:

V = VA – VB = ReqI , com

∑=

=N

i 1 i

eq

R

1

1R (33)

Condução de Calor em Placas Planas em Série

Vamos estabelecer agora de uma forma clara a analogia entre circuitos eléctricos

e circuitos térmicos, começando por considerar um problema de condução de calor

através de placas planas em série (Figura 11).

Figura 11 – Análogo eléctrico do circuito térmico de placas planas em série

I

R1

VA VB

R2

I1

I I2

RN

IN



26

Uma vez conhecidas as resistências térmicas de cada uma das placas

=

ii

iTi Ak

LR , podemos obter pela Lei de Fourier a taxa de transferência de calor que

atravessa a parede composta por uma das seguintes expressões:

( )••

=−⇒−= qRTTTTR

1q TA2s,12s,1

TA

( )••

=−⇒−= qRTTTTR

1q TB3232

TB

( )••

=−⇒−= qRTTTTR

1q TCs,43s,43

TC

Determinando a diferença de temperaturas global, obtém-se uma equação que

nos permite calcular a resistência térmica equivalente do sistema de placas em série

(RTeq) como a soma das resistências térmicas individuais:

Ts,1 – Ts,4 = (Ts,1 – Ts) + (T2 – T3) + (T3 – Ts,4) = RTA

•

q + RTB

•

q + RTC

•

q =

= (RTA + RTB + RTC)•

q

∆T = Ts,1 – Ts,4 = RTeq

•

q , com RTeq = RTA + RTB + RTC

Dos resultados obtidos, torna-se evidente a analogia entre um circuito térmico

em série e um circuito eléctrico:

Analogia (N resistências em série):

V = ReqI ∆T = RTeq

•

q

Req = R1 + R2 + ... + RN RTeq = RT1 + RT2 + … + RTN

•

q RTA

Ts,1 Ts,4

RTB

•

q RTC

27

Condução de Calor em Placas Planas em Paralelo

Consideremos agora um problema de condução de calor através de placas planas

em paralelo (Figura 12).

Figura 12 – Circuito térmico de placas planas em paralelo

Pela definição de resistência térmica, equação (13), é possível determinar a

diferença de temperaturas entre as duas extremidades da parede composta (T0 – T1),

usando alternativamente a resistência térmica da placa 1 ou da placa 2:

1T110 qRTT∆T•

=−=

2T210 qRTT T•

=−=∆

Realizando um balanço de energia à parede composta, obtém-se uma equação

que nos permite calcular a resistência térmica equivalente de placas em paralelo (RTeq):

•

q = 1q•

+ 2q•

⇒ ∆TR

1

R

1

R

∆T

R

∆Tq

T2T1T2T1

+=+=

•

⇒ ••

=

+

= qRq

R

1

R

11

∆T Teq

T2T1

T2T1

Teq

R

1

R

11

R+

=

1 2

•

q •

q

1q•

2q•

T0 T1

28

Dos resultados obtidos, torna-se evidente a analogia entre um circuito térmico

em paralelo e um circuito eléctrico:

Analogia (N resistências em paralelo):

V = ReqI ∆T = RTeq

•

q

N21

eq

R

1...

R

1

R

11

R+++

=

TNT2T1

Teq

R

1...

R

1

R

11

R+++

=

Generalização

Os conceitos de resistência térmica em série e em paralelo podem facilmente ser

generalizados a paredes compostas caracterizadas por uma configuração mista em série

e em paralelo, como a apresentada na Figura 13.

Figura 13 – Parede composta caracterizada por placas planas em série e em paralelo

Nesta situação, o análogo eléctrico e a resistência térmica equivalente seriam:

•

q RT1

T0 T1

RT2

•

q

29

TH

TGTF

TETeq R

R

1

R

11

RR +

+

+=

Uma vez determinada a resistência térmica equivalente do sistema, a taxa de

transferência de calor, •

q , pode ser determinada:

∆T = RTeq

•

q

Note que na parede composta do exemplo anterior foi admitida condução de

calor unidimensional (foi assumido que a temperatura na superfície normal ao eixo dos

xx é isotérmica), apesar de na prática esta poder ser multi-dimensional (transferência de

calor no eixo dos yy entre as placas em paralelo). Esta hipótese é tanto mais razoável

quanto menor for a diferença de condutividade térmica dos materiais das placas

dispostas em paralelo, |kF – kG|.

Resistência Térmica à Convecção

É possível determinar também a resistência térmica associada à transferência de

calor por convecção numa superfície, Figura 4. Da Lei de Arrefecimento de Newton,

)T(ThAq Ss ∞

•

−= , deriva-se a resistência térmica associada à convecção:

s

T hA

1

q

∆TR ==

• (34)

30

Condução e Convecção em Simultâneo

A utilização da analogia entre sistemas térmicos e circuitos eléctricos é

particularmente útil em processos de transferência de calor envolvendo mais que um

mecanismo de transferência de calor. O caso mais simples será o da transferência de

calor entre dois meios separados por uma placa plana (Figura 14).

Figura 14 – Transferência de calor por convecção e condução em simultâneo. (a)

Distribuição de temperaturas; (b) Análogo eléctrico

O análogo eléctrico associado ao circuito térmico considerado apresenta-se na

Figura 14(b). Do conhecimento de cada resistência térmica envolvida é possível

relacionar a diferença de temperaturas com a taxa de transferência de calor que

atravessa o circuito:



31

••

••

••

==∞

−

==−

==−∞

qhA

1qT3R,2Ts,2T

qkA

LqT2Rs,2Ts,1T

qhA

1qT1Rs,1T,1T

Por sua vez, a diferença de temperaturas global é relacionada com a resistência

térmica equivalente e com a taxa de transferência de calor que atravessa o circuito:

∆T = T∞,1 - T∞,2 = RTeq

•

q , com RTeq = RT1 + RT2 + RT3 = Ah

1

kA

L

Ah

1

21

++

Em sistemas compostos é por vezes conveniente trabalhar com um coeficiente

global de transferência de calor (U), definido por uma expressão análoga à Lei de

Arrefecimento de Newton:

∆TUA ∆TR

1q

Teq

==•

(35)

onde ∆T é a diferença global de temperaturas e A é a área de transferência de calor

escolhida como referência. Como é facilmente dedutível da equação anterior, o

coeficiente global de transferência de calor relaciona-se com a resistência térmica

equivalente do circuito:

UA = TeqR

1 (36)

No caso do circuito térmico apresentado na Figura 14, o coeficiente global de

transferência de calor calcula-se pela seguinte expressão:

32

UA =

2121

Teq

h

1

k

L

h

11

U

Ah

1

kA

L

Ah

11

R

1

++

=⇒++

=

Determinação do Coeficiente Global de Transferência de Calor num Permutador

de Calor de Tubos Concêntricos

Consideremos o problema da transferência de calor entre dois fluídos num

permutador de calor de tubos concêntricos (Figura 15).

Figura 15 – Permutador de calor de tubos concêntricos

Assumindo que o fluído 1 se encontra a uma temperatura superior à do fluído 2,

irá ocorrer transferência de calor do fluído 1 para o fluído 2, havendo três resistências

térmicas em série envolvidas: a resistência à transferência de calor por convecção entre

o fluído 1 e a superfície interna do tubo, a resistência à transferência de calor por

condução no tubo e a resistência à transferência de calor por convecção da superfície

externa do tubo e o fluído 2. Este processo térmico pode ser representado pelo seu

análogo eléctrico:

Recorrendo à definição de resistência térmica, é possível relacionar as diferenças

de temperaturas envolvidas com a taxa de transferência de calor que atravessa o

sistema:

Fluído 1

Fluído 2

ri re

ri

re Ti

Te

T∞, i

T∞, e

Ti

Te T∞, i

T∞, e

•

q

RT1

T∞∞∞∞,1

RT2

•

q

RT3

T∞∞∞∞,2 Ti Te

33

••

∞ ==− qAh

1qRTT

iiT1i,1

••

==− qkL 2π

r

rln

qRTT i

e

T2ei

••

∞ ==− qAh

1qRTT

eeT32 ,e

A resistência térmica equivalente, calcula-se do conhecimento das resistências

térmicas individuais:

RTeq = RT1 + RT2 + RT3 = iiAh

1 +

kL 2π

rr

lni

e

+ eeAh

1

Por sua vez, a taxa de transferência de calor pode-se calcular através do

conhecimento da resistência térmica equivalente ou do coeficiente global de

transferência de calor:

∆TR

1∆TUA q

Teq

==•

Como referido anteriormente, o coeficiente UA relaciona-se com a resistência

térmica equivalente:

UA = TeqR

1 =

Ah

1 +

kL 2π

r

rln

+ Ah

1

1

ee

i

e

ii

Note agora que, ao contrário do observado no sistema térmico da Figura 14, o

valor numérico do coeficiente global de transferência de calor depende da área de

34

transferência de calor considerada. No caso em estudo Ai ≠ Ae, pelo que poderemos

obter dois valores para U:

i) coeficiente global de transferência de calor baseado na área interna (A = Ai)

Ah

A +

kL 2π

r

rlnA

+ h

1

1U

ee

ii

ei

i

i

=

ii) coeficiente global de transferência de calor baseado na área externa (A = Ae)

h

1 +

kL 2π

r

rlnA

+ Ah

A

1U

e

i

ee

ii

e

e

=

Resistência Térmica de Contacto

Até agora, na análise de paredes compostas, desprezamos a queda de

temperatura que ocorre na interface entre dois materiais, queda essa por vezes muito

acentuada. Esta diferença de temperatura é atribuída à chamada resistência térmica de

contacto, RTC, devida ao efeito da rugosidade das superfícies, que origina falhas

preenchidas com ar (Figura 16).

35

Figura 16 – Queda de temperatura devido à resistência térmica de contacto

A taxa de transferência de calor pode ser determinada conhecendo o coeficiente

de transferência de calor de contacto, hc, por uma equação similar a Lei de

Arrefecimento de Newton, válida para a interface entre os dois materiais:

( )BAc TTAhq −=•

(37)

Da definição de resistência térmica obtém-se a expressão que permite calcular a

resistência térmica de contacto:

Ah

1RqRq

Ah

1TT

cTCTC

cBA =⇒==−

••

(38)

O análogo eléctrico do processo térmico da Figura 16 consiste em três

resistências em série:

T1

T2

•

q

RTA

T1

RTC

•

q

RTB

T3 TA TB

LA LB

contactoq•

falhaq•

36

onde Ak

LR

A

ATA = ,

Ak

LR

B

BTB = e

Ah

1R

cTC =

e ∆T = T1 – T2 = RTeq•

q = (RTA + RTC + RTB) •

q

Outro Tipo de Resistências Térmicas

Existem outros tipos de resistências térmicas não mencionadas aqui, que poderão

ser pertinentes na eficiência de um processo de transferência de calor. Por exemplo, a

presença de incrustações em tubagens, como as utilizadas em casas para aquecimento.

Estas tubagens, normalmente percorridas por água, possuem uma determinada

eficiência energética quando novas. Com o tempo vão-se acumulando impurezas e a

eficiência (transferência de calor) diminui devido ao aparecimento de uma resistência

adicional:

Exercício Duas barras cilíndricas de aço (k = 16.3 W/mK) estão suportadas em

duas superfícies a 100ºC e 0ºC (Figura 17). O diâmetro das barras é de 3 cm e o seu

comprimento é de 10 cm. As duas barras são unidas por compressão à pressão de

50 atm, sendo o coeficiente de transferência de calor de contacto nestas condições de

1894 W/m2ºC. Calcule o débito axial de calor e a queda de temperatura na interface das

barras.

T∞, i T∞, e

deposição de impurezas

T∞, e

T’e T’i

T0

Ti

Te

RTi

Ti

RTS

•

q RTe

Te

•

q

T∞∞∞∞, i T∞∞∞∞, e

RTi

T0

RTS

•

q RTe

Te

•

q

T∞∞∞∞, i T∞∞∞∞, e Ti

RTI

37

Figura 17 – Transferência de calor entre duas superfícies através de duas barras

cilíndricas comprimidas entre si

Resolução A melhor forma de calcular a taxa de transferência de calor, •

q , que

atravessa o sistema, uma vez que se conhecem as temperaturas nas suas extremidades, é

através do cálculo da resistência térmica equivalente, e da sua relação com •

q :

∆TR

1q

Teq

=•

Assim, começamos por considerar o análogo eléctrico do circuito térmico (três

resistências em série, à condução em cada uma das barras e de contacto entre as barras):

A resistência térmica equivalente é dada por RTeq = RT1 + RT2 + RTC. Calculemos

as resistências térmicas envolvidas:

0ºC 100ºC

10 cm 10 cm

3 cm

•

q

•

q

RT1

100ºC

RTC

•

q

RT2

0ºC T1 T2

38

( )

( )

( )K/W 8.679

4

103π16.3

1010

kA

LR

K/W 0.747

4

103π1894

1

Ah

1R

K/W 8.679

4

103π16.3

1010

kA

LR

22

2

T2

22CTC

22

2

T1

=×

×

×==

=×

×

==

=×

×

×==

−

−

−

−

−

RTeq = 8.679 + 0.747 + 8.679 = 18.105 K/W

A taxa de transferência de calor pode agora ser calculada:

( ) W5.52010018.105

1∆T

R

1q

Teq

=−==•

Para obter a queda de temperatura na interface das barras, usa-se a resistência

térmica de contacto:

( ) C4.13º5.520.747qR∆TTTTTR

1q TCC2121

TC

=×===−⇔−=••

2.6. Condução em Sistemas com Geração Interna de Energia

Até agora lidamos apenas com problemas em estado estacionário em sistemas

sem geração interna de energia. Queremos agora considerar problemas em que existe

geração de energia no interior do sistema. Exemplos típicos são a geração de calor em

resistência eléctricas (efeito de Joule) ou uma reacção química exotérmica num meio

homogéneo. Vamos de seguida analisar algumas situações.

39

Placa Plana com Geração Homogénea de Energia

Consideremos a placa plana esquematizada na Figura 18, com geração

homogénea de energia por unidade de volume, área de transferência de calor A e

superfícies mantidas à temperatura TS.

Figura 18 – Condução de calor numa placa plana com geração homogénea de energia e

condições fronteira simétricas

Devido à geração homogénea de calor e às condições fronteira simétricas, a

distribuição de temperaturas apresenta simetria sobre o eixo central da placa

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

==

−−=−= 0

dx

xdT 0, x para ,particular em ;

dx

xdT

dx

xdT e xTxT . Vamos

definir Vq•

como o débito de energia gerada por unidade de volume (W/m3) e realizar

um balanço de energia em estado estacionário a um elemento de volume da placa de

espessura dx:

0Aqdx

qqAdxqqq V

xdx x Vxdx x =−

−⇔+=

••

+

•••

+

•

dx

x x + dx

xq•

dxx q +

•

Adxq v

•

dx

40

quando dx 0 ⇒ 0Aqdx

qd0Aq

dx

qqV

xV

xdx x

0=−⇒=

−

− ••

••

+

•

→dxLim (39)

Aplicando a Lei de Fourier

−=

•

dx

dTkAq x à expressão anterior, obtém-se uma

equação diferencial ordinária de 2ª ordem que caracteriza o problema:

0k

q

dx

Td0Aq

dx

TdkA v

2

2

V2

2

=+⇒=−−

••

(40)

Esta equação pode ser resolvida em ordem a T de forma a obter a distribuição de

temperaturas na placa. Como condições fronteira (CF) podemos considerar as seguintes:

CF1: x = 0, 0dx

dT= (condição de simetria)

CF2: x = L, T = TS

Por integração da equação (40), obtém-se a solução geral do problema:

212V CxCx

2k

qT ++−=

•

(41)


+=

=•

2VS2

1

L2k

qTC

0C



41

( )22VS xL

2k

qTT −+=

•

(42)

Obtém-se um perfil parabólico com simetria sobre o eixo x = 0, onde ocorre a

temperatura máxima:

2VS0 L

2k

qTT

•

+= (43)

Substituindo TS da equação anterior na equação (42), obtém-se uma expressão

que combinada novamente com a equação (42), permite obter a distribuição de

temperaturas com a seguinte apresentação alternativa:

2

S0

0

L

x

TT

TT

=

−

− (44)

A taxa de transferência de calor pode ser calculada em qualquer ponto da placa,

substituindo a equação (42) na Lei de Fourier para a condução. Note que, ao contrário

do que sucede em problemas sem geração interna de energia, a taxa de transferência de

calor em problemas com geração de energia não é independente de x.

Placa Plana com Geração Não Homogénea de Energia

Consideremos agora uma placa plana, exactamente com as mesmas

características que a apresentada na Figura 18, mas com geração não homogénea de

energia. Supor que o débito de energia gerada por unidade de volume varia com a

temperatura de acordo com a relação apresentada na Figura 19.

42

TS

.(q

V)S

.q

V

T

Figura 19 – Dependência do débito de energia gerada por unidade de volume com a

temperatura

Do balanço de energia em estado estacionário obtém-se a equação diferencial

ordinária de 2ª ordem, deduzida anteriormente, equação (40):

0k

q

dx

Td v2

2

=+

•

(40)

Esta equação pode ser resolvida em ordem a T de forma a obter a distribuição de

temperaturas na placa. Como condições fronteira (CF) podemos considerar novamente

as seguintes:

CF1: x = 0, 0dx

dT= (condição de simetria)

CF2: x = L, T = TS

A diferença deste problema para o da placa plana com geração homogénea de

energia, reside no facto de Vq•

variar com a temperatura, pelo que a equação diferencial

a resolver toma o seguinte aspecto:

( )[ ]SS

VV TTβ1qq −+

=

••

43

( )[ ] 0TTβ1k

q

dx

TdS

Sv

2

2

=−+

+

•

(45)

Para resolver esta equação é útil considerar a seguinte mudança de variável:

θ = T – TS => 2

2

2

2

dx

Td

dx

θd= (46)

Introduzindo a nova variável na equação (45) obtém-se a seguinte equação:

0βθk

q

k

q

dx

θd SV

Sv

2

2

=

+

+

••

(47)

sujeita às condições fronteira:

CF1: x = 0, 0dx

dθ=

CF2: x = L, θ = 0

Para resolver a equação (47), consideremos uma nova mudança de variável:

2

2S

V

2

2S

VS

VS

v

dx

θdβ

k

q

dx

φd

dx

dθβ

k

q

dx

dφ βθ

k

q

k

qφ

=⇒

=⇒

+

=

••••

Introduzindo a nova variável na equação (47) e considerando βk

qα S

V

=

•

,

obtém-se a seguinte equação:

44

0αφdx

φd2

2

=+ (48)

sujeita às condições fronteira:

CF1: x = 0, 0dx

dφ=

CF2: x = L, k

qθ S

V

=

•

A equação (48) é uma equação diferencial ordinária de 2ª ordem homogénea,

que se pode resolver por determinação das raízes da sua equação característica:

iαλ0αλ2 ±=⇔=+

Pelas relações de Euler obtém-se a solução geral do problema:

( ) ( )xαsenCxαcosCφ 21 += (49)

Das condições fronteira, obtém-se C1 e C2:

( )

=

=

•

0C

Lαcos

q

C

2

SV

1

Substituindo C1 e C2 na solução geral, encontramos a solução para ϕ:

45

( )( )αLcos

xαcos

k

qφ S

V

=

•

(50)

Introduzindo as variáveis originais, obtém-se a solução particular do problema:

( ) ( )( )αLcos

xαcos

k

q T-Tβ

k

q

k

qφ S

V

SS

VS

v

=

+

=

•••

⇒ ( )( )

−= 1

αLcos

xαcos

β

1T-T S (51)

A solução particular apresenta um perfil parabólico com simetria sobre o eixo

x = 0, onde ocorre a temperatura máxima:

( )

−+= 1

αLcos

1

β

1TT S0 (52)


que combinada novamente com a equação (51), permite deduzir a distribuição de


( )( )Lαcos1

xαcos1

TT

TT

S0

0

−

−=

−

− (53)

Cilindro com Geração Homogénea de Energia

Existem várias situações em que ocorre geração de calor em sistemas de

geometria radial. Considerar por exemplo um fio condutor de electricidade (Figura 20).

46

Figura 20 – Condução num cilindro com geração homogénea de energia

Em condições de estado estacionário, a taxa global de geração de calor no

cilindro deve igualar a taxa de calor libertada por convecção para um fluído adjacente

ao cilindro. Esta condição permite manter a superfície do cilindro a uma temperatura

constante TS.

Para determinar a distribuição de temperaturas no cilindro, vamos realizar um

balanço de energia em estado estacionário ao elemento de volume de espessura dr

representado na Figura 20:

dVqqq Vrdr r

••

+

•

+= onde dV = 2πrdrL

⇒ 0qrL 2πdr

qqV

rdr r =−− •

•

+

•

quando dr 0 ⇒ 0qrL 2πdr

qd0qrL 2π

dr

qqLim V

rV

rdr r

0dr=−⇒=

−

− ••

••

+

•

→

Aplicando a Lei de Fourier

−=−=

•

dr

dTrL 2kπ

dr

dTkAq rr à equação anterior,

obtém-se uma equação diferencial ordinária de 2ª ordem que caracteriza o problema:

TS

r0 r

r + dr

dr

Fluído frio T∞, h

47

0rk

q

dr

dTr

dr

d0qrL 2π

dr

dTr

dr

dL 2kπ v

V =+

⇒=−

−

••

(54)

Esta equação pode ser integrada de forma a obter a distribuição de temperaturas

no cilindro. Como condições fronteira podemos considerar as seguintes:

CF1: r = r0, T = TS

CF2: r = r0, V20Rs qLπrq

••

= (o calor gerado é libertado por convecção)

A equação (54) pode ser resolvida pelo método de separação de variáveis,

obtendo-se a seguinte solução:

12V Cr

2k

q

dr

dTr +−=

•

Repetindo o procedimento, obtém-se a solução geral do problema:

212V Crln Cr

4k

qT ++−=

•

(55)

Das condições fronteira, determina-se C1 e C2:

+=

=

•

20

VS2

1

r4k

qTC

0C



48

( )220

VS rr

4k

qTT −+=

•

(56)

A solução obtida apresenta um perfil parabólico com simetria sobre o eixo r = 0,

onde ocorre a temperatura máxima:

20

VS0 r

4k

qTT

•

+= (57)


que, combinada novamente com a equação (56), permite obter a distribuição de


2

0S0

0

r

r

TT

TT

=

−

− (58)

A taxa de transferência de calor pode ser calculada em qualquer ponto do

cilindro, substituindo a equação (57) na Lei de Fourier para a condução.

Condução com Geração de Energia Nuclear por uma Fonte de Forma Esférica

A metodologia estudada anteriormente para deduzir as distribuições de

temperaturas em placas e cilindros com geração de energia, pode ser estendida a

problemas mais complexos. Considerar um sólido esférico com geração de energia

revestido por uma camada de isolante (Figura 21).

Figura 21 – Condução com geração de energia nuclear por uma fonte de forma esférica

TS

RS

geração de energia

R0

T0 isolante

Vq•

49

Supor que o débito de energia gerada por unidade de volume na zona de geração

de energia não é homogéneo e que varia com o raio da esfera de acordo com a seguinte

relação:

+

=

••2

00VV R

rβ1qq

Vamos realizar um balanço de energia em estado estacionário a um elemento de

volume da esfera de espessura dr:

dVqqq Vrdr r

••

+

•

+= onde dV = 4πr2dr

⇒ 0qr 4πdr

qqV

2rdr r =−− •

•

+

•

quando dr 0 ⇒ 0qr 4πdr

qd0qr 4π

dr

qqLim V

2rV

2rdr r

0dr=−⇒=

−

− ••

••

+

•

→ (59)

Na zona isolante não existe geração de calor, pelo que, como estudado em

problemas de condução de calor em esferas em estado estacionário:

0dr

qd r =

•

(8)

T0

R0 r

r + dr

dr

50

Para determinar a distribuição de temperaturas na esfera (zona de geração de

energia e zona isolante) é necessário resolver as equações (59) e (8), podendo-se

considerar as seguintes condições fronteira (CF):

Zona de Geração de Energia

CF1: r = 0, finito é dr

dT (caso contrário haveria uma descontinuidade em T)

CF2: r = R0, +•−•

= rr qq (o calor que sai da zona de geração de energia entra na

zona isolante)

Zona Isolante

CF3: r = R0, 000 TTT == +− (a temperatura na interface zona de geração de

energia/zona isolante é T0)

CF4: r = RS, T = TS

Na zona de geração de energia:

dr

dTr 4kπ

dr

dTkAq 2

rr −=−=•

0rk

q

dr

dTr

dr

d0qr 4π

dr

dTr

dr

d 4kπ 2v2

V22 =+

⇒=−

−⇒

••

+

−=

+

−=

⇒

•

•

20

420

V2

00V

22

R

rβr

k

q

R

rβ1q

k

r

dr

dTr

dr

d

Integrando a equação anterior obtém-se:

21

20

30

V

r

C

5R

rβ

3

r

k

q

dr

dT+

+

−=

•

51

Da condição fronteira CF1, para dr

dT ser finito, necessariamente C1 = 0.

+

−=⇒

•

20

30

V

5R

rβ

3

r

k

q

dr

dT (60) Zona de Geração de Energia

Na zona isolante:

22

222r

r

C

dr

dTC

dr

dTr0

dr

dTr

dr

d0

dr

qd=⇒=⇔=

⇒=

•

Da condição fronteira CF2, como +•−•

= R0R0 qq , obtém-se:

+

−=⇔

⇔−=

+

⇒−=−

•

•

+−

5

β

3

1

k

RqC

R

Ck

5

Rβ

3

Rq

dr

dTAk

dr

dTkA

I

30

0V

2

20

2I

00

0V

RRI

RR

0

0

0

0

2

I

30

0V

r

1

k5

β

3

1Rq

dr

dT×

+

−=⇒

•

(61) Zona Isolante

Integrando agora esta equação e aplicando a condição fronteira CF4 obtém-se a

distribuição de temperaturas na zona isolante:

−×

+×

=−

•

SI

30

0V

S R

1

r

1

5

β

3

1

3k

RqTT (62) Zona Isolante

52

Integrando a equação (60), obtém-se a solução geral da distribuição de

temperaturas na zona de geração de energia:

320

420

V

20

30

V

C20R

rβ

6

r

k

qT

5R

rβ

3

r

k

q

dr

dT+

+

−=⇒

+

−=

••

Por aplicação da condição fronteira CF3 (r = R0, 000 TTT == +− ) às equações

anteriores, obtém-se a distribuição de temperaturas na zona de geração de energia:

−×

+×

+==+

+

−=

•

+

•

S0I

30

0V

S0320

20

200

V-0 R

1

R

1

5

β

3

1

3k

RqTTC

20R

Rβ

6

R

k

qT

+

+

−×

+×

+=⇒

••

20

20

200

V

S0I

30

0V

S3 20R

Rβ

6

R

k

q

R

1

R

1

5

β

3

1

3k

RqTC

−+

−

+

−×

+×

=⇒

••

4

0

2

0

20

0V

S0I

30

0V

S R

r1

10

3β

R

r1

6k

Rq

R

1

R

1

5

3β1

3k

RqT-T

Zona de Geração de Energia (63)

Documents

Apontamentos Teóricos - ipb.pthtgomes/FT/Manual_FT-Cap1-2.pdf · “Introduction to Heat Transfer” (Incropera, DeWitt, ... em função da temperatura encontram-se compilados em