Apostila Cálculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z

7/13/2019 Apostila Clculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z

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UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran

DAMAT Departamento Acadmico de Matemtica

Clculo Diferencial e Integral 4 (MA64A)

SRIES - TRANSFORMADASNOTAS DE AULA

Rudimar Luiz Ns

2o

semestre/2011


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2


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3

No paradoxo dizer

que nos nossos momentos de inspirao mais terica

podemos estar o mais prximo possvel

de nossas aplicaes mais prticas.

A. N. Whitehead (1861-1947)

[email protected]://pessoal.utfpr.edu.br/rudimarnos


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4


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5

SUMRIO

1. SRIES.................................................................................................................................................................................9

1.1SEQUNCIAS INFINITAS .................................................................................................................................................9

1.2SRIES INFINITAS ..........................................................................................................................................................91.3CONVERGNCIA DE SRIES..........................................................................................................................................101.3.1 A srie geomtrica..............................................................................................................................................101.3.2 Condio necessria convergncia.................................................................................................................111.3.3 Teste da divergncia...........................................................................................................................................111.3.4 Srie de termos positivos: o teste da integral.....................................................................................................11 1.3.5 Convergncia absoluta e condicional ................................................................................................................121.3.6 Convergncia uniforme (srie de funes).........................................................................................................121.3.7 Teste M de Weierstrass ......................................................................................................................................13

2. A SRIE DE FOURIER....................................................................................................................................................17

2.1FUNES PERIDICAS .................................................................................................................................................172.2SRIES TRIGONOMTRICAS..........................................................................................................................................18

2.3SRIE DE FOURIER.......................................................................................................................................................222.3.1 Definio............................................................................................................................................................222.3.2 Coeficientes ........................................................................................................................................................222.3.3 Continuidade seccional ou por partes................................................................................................................252.3.4 Convergncia: condies de Dirichlet ........ ........... ......... ............ ......... ........... ............ ......... ........... ......... .......... 25

2.4SRIE DE FOURIER DE UMA FUNO PERIDICA DADA................................................................................................272.5FUNES PARES E FUNES MPARES..........................................................................................................................352.6SRIE DE FOURIER DE COSSENOS.................................................................................................................................392.7SRIE DE FOURIER DE SENOS .......................................................................................................................................402.8OFENMENO DE GIBBS...............................................................................................................................................442.9AIDENTIDADE DE PARSEVAL PARA SRIES DE FOURIER..............................................................................................452.10CONVERGNCIA DE SRIES NUMRICAS ATRAVS DA SRIE DE FOURIER ..................................................................472.11DERIVAO E INTEGRAO DA SRIE DE FOURIER....................................................................................................482.12AFORMA EXPONENCIAL (OU COMPLEXA)DA SRIE DE FOURIER...............................................................................502.13APLICAES DA SRIE DE FOURIER NA SOLUO DE EQUAES DIFERENCIAIS PARCIAIS .........................................55

2.13.1 Equaes diferenciais ......................................................................................................................................552.13.2 Equao do calor .............................................................................................................................................562.13.3 Equao da onda..............................................................................................................................................592.13.4 Equao de Laplace.........................................................................................................................................61

2.14EXERCCIOS RESOLVIDOS ..........................................................................................................................................652.15EXERCCIOS COMPLEMENTARES ................................................................................................................................77

3. A INTEGRAL DE FOURIER / TRANSFORMADAS DE FOURIER.........................................................................91

3.1AINTEGRAL DE FOURIER ............................................................................................................................................923.2CONVERGNCIA DA INTEGRAL DE FOURIER ................................................................................................................92

3.2.1 Convergncia absoluta e condicional ................................................................................................................933.3AINTEGRAL COSSENO DE FOURIER .............................................................................................................................933.4AINTEGRAL SENO DE FOURIER ...................................................................................................................................943.5FORMAS EQUIVALENTES DA INTEGRAL DE FOURIER....................................................................................................953.6DEFINIO DA TRANSFORMADA DE FOURIER E DA TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER ........................................973.7TRANSFORMADA COSSENO DE FOURIER E TRANSFORMADA COSSENO DE FOURIER INVERSA ......................................993.8TRANSFORMADA SENO DE FOURIER E TRANSFORMADA SENO DE FOURIER INVERSA.................................................1003.9FUNO DE HEAVISIDE .............................................................................................................................................1023.10ESPECTRO,AMPLITUDE E FASE DA TRANSFORMADA DE FOURIER............................................................................1043.11PROPRIEDADES OPERACIONAIS DAS TRANSFORMADAS DE FOURIER........................................................................106

3.11.1 Comportamento de F() quando || ........................................................................................................1073.11.2 Linearidade ....................................................................................................................................................1083.11.3 Simetria (ou dualidade)..................................................................................................................................1083.11.4 Conjugado......................................................................................................................................................1093.11.5 Translao (no tempo) ...................................................................................................................................1093.11.6 Translao (na frequncia)............................................................................................................................110


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6

3.11.7 Similaridade (ou mudana de escala) e inverso de tempo .......... .......... ........... ......... ........... ......... ............ ...1103.11.8 Convoluo ....................................................................................................................................................1113.11.9 Multiplicao (Convoluo na frequncia)....................................................................................................1143.11.10 Transformada de Fourier de derivadas .......................................................................................................1153.11.11 Derivadas de transformadas de Fourier .......... .......... ........... ......... ........... ......... ........... ......... ............ ......... .116

3.12RESUMO:PROPRIEDADES OPERACIONAIS DAS TRANSFORMADAS DE FOURIER ........................................................1193.13DELTA DE DIRAC.....................................................................................................................................................120

3.13.1 Propriedades do delta de Dirac.....................................................................................................................1213.13.2 Transformada de Fourier do delta de Dirac..................................................................................................122

3.14MTODOS PARA OBTER A TRANSFORMADA DE FOURIER .........................................................................................1223.14.1 Uso da definio.............................................................................................................................................1223.14.2 Uso de equaes diferenciais .........................................................................................................................1263.14.3 Decomposio em fraes parciais................................................................................................................128

3.15TRANSFORMADA DE FOURIER DE ALGUMAS FUNES ............................................................................................1303.15.1 A funo constante unitria ...........................................................................................................................1303.15.2 A funo sinal.................................................................................................................................................1313.15.3 A funo degrau .............................................................................................................................................1323.15.4 Exponencial....................................................................................................................................................1323.15.5 Funo cosseno..............................................................................................................................................133

3.16RESUMO:TRANSFORMADAS DE FOURIER DE ALGUMAS FUNES ...........................................................................1343.17IDENTIDADE DE PARSEVAL PARA AS INTEGRAIS DE FOURIER ..................................................................................1353.18CLCULO DE INTEGRAIS IMPRPRIAS ......................................................................................................................1373.19SOLUO DE EQUAES DIFERENCIAIS ...................................................................................................................141

3.19.1 Equaes diferenciais ordinrias...................................................................................................................1413.19.2 Equaes diferenciais parciais ......................................................................................................................142

Derivao sob o sinal de integrao Regra de Leibniz ..................................................................................................................1423.19.2.1 Equao do calor (EDP parablica) ..................................................................................................................................1443.19.2.2 Equao da onda (EDP hiperblica).................................................................................................................................1463.19.2.3 Equao de Laplace (EDP elptica) ..................................................................................................................................148

3.20SOLUO DE EQUAES INTEGRAIS E DE EQUAES NTEGRO-DIFERENCIAIS.........................................................1513.21EXERCCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................................................1543.22EXERCCIOS COMPLEMENTARES ..............................................................................................................................157

4. TRANSFORMADAS DE LAPLACE............................................................................................................................1654.1DEFINIO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE ...........................................................................................................165

4.1.1 Motivao.........................................................................................................................................................1654.1.2 Funo de Heaviside........................................................................................................................................166

4.1.2.1 - Generalizao ........................................................................................................................................................................ 1674.1.3 Transformada de Laplace ................................................................................................................................168

4.2FUNES DE ORDEM EXPONENCIAL...........................................................................................................................1714.3CONVERGNCIA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL ..............................................................................174

4.3.1 Convergncia absoluta e condicional ..............................................................................................................1744.3.2 Condies suficientes para a convergncia .....................................................................................................174

4.4TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL DAS FUNES ELEMENTARES ...............................................................1754.4.1 f(t) = t

n..............................................................................................................................................................175

4.4.2 f(t) = eat

............................................................................................................................................................177

4.4.3 Transformada de algumas funes elementares ..............................................................................................1774.5PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL................................................................................1784.5.1 Comportamento da transformada de Laplace F(s) quando s ....................................................................1784.5.2 Linearidade......................................................................................................................................................1784.5.3 Primeira propriedade de translao ou deslocamento ......... .......... .......... ........... ......... ........... ......... ............ ...1814.5.4 Segunda propriedade de translao ou deslocamento.....................................................................................1814.5.5 Similaridade (ou mudana de escala) ..............................................................................................................1824.5.6 Transformada de Laplace unilateral de derivadas ......... ............ ......... ........... ............ ......... ........... ......... ........1834.5.7 Transformada de Laplace unilateral de integrais............................................................................................1854.5.8 Derivadas de transformadas de Laplace unilaterais (multiplicao por t

n) ....................................................186

4.5.9 Integrais de transformadas de Laplace unilaterais (diviso por t)..................................................................1874.5.10 Convoluo ....................................................................................................................................................1894.5.11 Valor inicial ...................................................................................................................................................190

4.5.12 Valor final ......................................................................................................................................................1914.6TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL DE FUNES PERIDICAS......................................................................192


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7

4.7CLCULO DE INTEGRAIS IMPRPRIAS........................................................................................................................1944.8MTODOS PARA DETERMINAR A TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL ...........................................................196

4.8.1 Uso da definio...............................................................................................................................................1964.8.2 Expanso em srie de potncias.......................................................................................................................1964.8.3 Uso de equaes diferenciais...........................................................................................................................2004.8.4 Outros mtodos ................................................................................................................................................2004.8.5 Uso de tabelas de transformadas .....................................................................................................................2004.9TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL DE ALGUMAS FUNES.........................................................................2004.9.1 Funo nula .....................................................................................................................................................2004.9.2 Funo degrau unitrio ...................................................................................................................................2004.9.3 Funo impulso unitrio ..................................................................................................................................2014.9.4 Algumas funes peridicas.............................................................................................................................202

4.10MTODOS PARA DETERMINAR A TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL INVERSA...........................................2044.10.1 Completando quadrados ................................................................................................................................2044.10.2 Decomposio em fraes parciais................................................................................................................2044.10.3 Expanso em srie de potncias.....................................................................................................................2094.10.4 Uso de tabelas de transformadas de Laplace.................................................................................................2114.10.5 A frmula de Heaviside..................................................................................................................................2114.10.6 A frmula geral (ou complexa) de inverso........... .......... .......... .......... ......... ............ ......... ........... ......... ........212

4.11SOLUO DE EQUAES DIFERENCIAIS ...................................................................................................................2134.11.1 Equaes diferenciais ordinrias com coeficientes constantes......................................................................2134.11.2 Equaes diferenciais ordinrias com coeficientes variveis........................................................................2194.11.3 Equaes diferenciais ordinrias simultneas...............................................................................................2214.11.4 Equaes diferenciais parciais ......................................................................................................................223

4.12SOLUO DE EQUAES NTEGRO-DIFERENCIAIS....................................................................................................2294.13EXERCCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................................................2324.14EXERCCIOS COMPLEMENTARES ..............................................................................................................................240

5. TRANSFORMADAS ZZZZ...................................................................................................................................................251

5.1DEFINIO DA TRANSFORMADA ZUNILATERAL .......................................................................................................2525.2TRANSFORMADAZUNILATERAL DE ALGUMAS SEQUNCIAS.....................................................................................253

5.2.1 Verso discreta da funo delta de Dirac........................................................................................................253

5.2.2 Sequncia unitria ou passo discreto unitrio.................................................................................................2535.2.3 Exponencial......................................................................................................................................................2545.2.4 Potncia............................................................................................................................................................255

5.3SRIES DE POTNCIAS:DEFINIO,RAIO DE CONVERGNCIA ....................................................................................2565.4EXISTNCIA E DOMNIO DE DEFINIO DA TRANSFORMADA ZUNILATERAL .............................................................2585.5PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA ZUNILATERAL .................................................................................................260

5.5.1 Linearidade......................................................................................................................................................2605.5.2 Translao (ou deslocamento) .........................................................................................................................2645.5.3 Similaridade .....................................................................................................................................................2655.5.4 Convoluo ......................................................................................................................................................2665.5.5 Diferenciao da transformada de uma sequncia..........................................................................................2675.5.6 Integrao da transformada de uma sequncia ...............................................................................................2695.5.7 Valor inicial .....................................................................................................................................................270

5.5.8 Valor final ........................................................................................................................................................2715.6RESUMO:TRANSFORMADAZUNILATERAL DAS FUNES DISCRETAS ELEMENTARES ...............................................2725.7TRANSFORMADAZUNILATERAL INVERSA ................................................................................................................2725.8MTODOS PARA DETERMINAR A TRANSFORMADA ZUNILATERAL INVERSA ..............................................................273

5.8.1 Uso da transformada Z unilateral e de suas propriedades..............................................................................2735.8.2 Decomposio em fraes parciais..................................................................................................................2745.8.3 Expanso em srie de potncias.......................................................................................................................2775.8.4 Estratgia geral de inverso ............................................................................................................................279

5.9TRANSFORMADAZBILATERAL .................................................................................................................................2805.9.1 - Srie de Laurent................................................................................................................................................280

5.8.1.1 - Singularidades.......................................................................................................................................................................2805.9.2 Definio..........................................................................................................................................................282

5.10EQUAES DE DIFERENAS .....................................................................................................................................286

5.10.1 Definio........................................................................................................................................................2865.10.2 Equaes de diferenas lineares ....................................................................................................................287


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8

5.10.3 Soluo de equaes de diferenas lineares .......... .......... .......... .......... ......... ............ ......... ........... ......... ........2875.11EXERCCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................................................2945.12EXERCCIOS COMPLEMENTARES ..............................................................................................................................301

6. FORMULRIO ...............................................................................................................................................................307

REFERNCIAS...................................................................................................................................................................317


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9

1. SRIES

1.1 Sequncias infinitas

Uma sequncia infinita uma funo discreta cujo domnio { }0\N .

Notao: { } { } ( )nfa,0\Nn,a nn =

Exemplos

1o) { } ( ) { } ,14

25,

11

16,

8

9,

5

4,

2

1a

1n3

n1a n

21n

n

=

= +

L

2o) A sequncia { }1n2

na n

+= convergente ou divergente?

{ } ,3n2

1n,

1n2

n,,

11

5,

9

4,

7

3,

5

2,

3

1a n

+

+

+

= KL

Se nn

alim

existe, ento { }a n convergente. Caso contrrio, { }a n divergente.

Como2

1

n

12

1lim

1n2

nlim

nn=

+

=+

, { }a n convergente.

1.2 Sries infinitas

Uma srie infinita definida como sendo a soma dos termos de uma sequncia infinita.

Notao: LL +++++=

=

n321

1n

n aaaaa

Somas parciais:

n321n

3213

212

11

aaaaS

aaaS

aaS

aS

++++=

++=

+=

=

L

M

Se SSlim nn

=

, ento a srie infinita convergente. Se o limite S no existe, ento a srie

infinita divergente.

Exemplo

( ) ( ) LL +

++++++=

+

= 1nn

1

5.4

1

4.3

1

3.2

1

2.1

1

1nn

1

1n


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10

( )

11n

nlimSlim

1nn

1n11S

1n

1

n

1

4

1

3

1

3

1

2

1

2

11aaaaS

1n

1

n

1

1nn

1a

nn

n

n

n321n

n

=+

=

+=

+=

+++

+

+

=++++=

+=

+=

LL

Logo, a srie infinita convergente.

1.3 Convergncia de sries

Diferenciar:

Condies necessrias convergncia; Condies suficientes convergncia; Condies necessrias e suficientes convergncia.

1.3.1 A srie geomtrica

Teorema: A srie geomtrica

K++++=

=

32

1n

1-n arararara , com a0,

(i) converge, e tem por somar1

a

, se ( )1r11r


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11

1.3.2 Condio necessria convergncia

Teorema: Se a srie infinita

=1n

na convergente, ento 0alim nn

=

.

A recproca no sempre verdadeira.

1.3.3 Teste da divergncia

Se nn

alim

no existir ou 0alim nn

, ento a srie infinita

=1n

na divergente.

1.3.4 Srie de termos positivos: o teste da integral

Teorema: Se f uma funo contnua, decrescente e de valores positivos para todo 1x , entoa srie infinita

( ) ( ) ( ) ( ) LL ++++=

=

nf2f1fnf

1n

(i) convergese a integral imprpria ( )

1

dxxf converge;

(ii) divergese a integral imprpria ( )

1

dxxf diverge.

Exemplo

A srie harmnica L+++++=

=

5

1

4

1

3

1

2

11

n

1

1n

divergente.

0n

1limn

=

(condio necessria, porm no suficiente)

( )[ ] ( )[ ] ====

0blnlimxlnlimdxx1

limdxx

1

b

b1

b

b

1b

1

Como a integral diverge, a srie harmnica diverge.


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12

1.3.5 Convergncia absoluta e condicional

A srie

=1n

na dita absolutamente convergentese K+++=

=

321

1n

n aaaa convergir.

Se

=1n

na convergir mas

=1n

na divergir, ento

=1n

na dita condicionalmente convergente.

Teorema: Se

=1n

na converge, ento

=1n

na tambm converge.

Exemplo

A srie L++++2222222 8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

11 absolutamente convergente, uma vez que

6n

1

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

11

2

1n

22222222

==++++++++

=

L (provaremos usando a srie de Fourier).

1.3.6 Convergncia uniforme (srie de funes)

Srie de nmeros reais

K+++=

=

321

1n

n aaaa

Exemplo:

Srie de funes

( ) ( ) ( ) ( ) K+++=

=

xuxuxuxu 3211n

n

Exemplo:

K+++++=

=

!5

32

!4

16

!3

8

!2

42

!n

2

1n

n

( )( )

( ) ( ) ( )K++++=

=

!4

x4sen

!3

x3sen

!2

x2senxsen

!n

nxsen

1n


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13

A srie de Fourier

=

+

+

1n

nn0

L

xnsenb

L

xncosa

2

a uma srie de funes trigonom-

ricas.

Sejam a srie ( )

=1n

n xu , onde ( ){ }xu n , K,3,2,1n= uma sequncia de funesdefinidas em

[a,b], ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xuxuxuxuxS n321n ++++= L a soma parcial da srie e ( ) ( )xSxSlim nn

=

. A srie

converge para ( )xS em [ ]b,a se para cada 0> e cada [ ]b,ax existe um 0N> tal que

( ) ( ) . O nmero N depende geralmente de e x . Se N depende

somente de , ento a srie converge uniformemente ou uniformemente convergenteem [ ]b,a .

Teorema 1: Se cada termo da srie ( )

=1nn

xu uma funo contnua em [a,b] e a srie

uniformemente convergente para S(x) em [a,b], ento a srie pode ser integrada termo a termo, isto ,

( ) ( )

=

=

=

1n

b

a

n

b

a 1n

n dxxudxxu .

Teorema 2: Se cada termo da srie ( )

=1n

n xu uma funo contnua com derivada contnua

em [a,b] e se ( )

=1n

n xu converge para S(x) enquanto ( )

=1n

'n xu converge uniformemente em [a,b],

ento a srie pode ser diferenciada termo a termo em [a,b], isto , ( ) ( )

=

=

=

1n

n

1n

n xudx

dxu

dx

d.

1.3.7 Teste M de Weierstrass

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897): matemtico alemo.

Se existe uma sequncia de constantes ,1,2,3,n,Mn K= tal que para todo x em um intervalo

(a) ( ) nn Mxu e

(b)

=1n

nM converge,

ento ( )

=1n

n xu converge uniforme e absolutamente no intervalo.


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14

Observaes:

1a) O teste fornece condies suficientes, porm no necessrias.

2a) Sries uniformemente convergentes no so necessariamente absolutamente convergentes ou vice-

versa.

Exemplo

( )( )

( ) ( ) ( )

=

++++=

1n

2222 4

x4cos

3

x3cos

2

x2cosxcos

n

nxcosL uniforme e absolutamente

convergente em [0,2] (ou em qualquer intervalo), uma vez que

( )22 n

1

n

nxcos

e 6n

1 2

1n

2

=

=.

Exerccios

01. Mostre que a srie

=

+1n

2

2

4n5

ndiverge.

R.: Use o teste da divergncia.

02. Mostre que a srie( )( )

=+

1n1n21n2

1converge e determine sua soma.

R.:2

1

03. Determine se as sries infinitas a seguir so convergentes ou divergentes.

a)

=+

1n

2 1n

n R.: A srie divergente: =

+

12

dx1x

x.

b)( )

=1n

3n

nln R.: A srie convergente:

( )

4

1dx

x

xln

13

=

.


15/317

15

c)

=

1n

nne

R.: A srie convergente:e

2dxxe

1

x =

.

d)( )

=2nnlnn

1 R.: A srie divergente:( )

=

2xlnx

dx .

04. Verifique se as sries de funes seguintes so uniformemente convergentes para todo x .

a)( )

=1n

n2

nxcos R.: A srie uniformemente convergente para todo x .

b)

=+

1n

22 xn

1 R.: A srie uniformemente convergente para todo x .

c)( )

=

1n

n

2

12

nxsen R.: A srie uniformemente convergente para todo x .

05. Seja ( ) ( )

=

=1n

3n

nxsenxf . Prove que ( ) ( )

==

1n

4

0 1n2

12dxxf

.

R.: Use( )

33 n

1

n

nxsen , o teste M de Weierstrass (prove que

=1n3n

1 converge usando o teste da

integral) e o fato de que uma srie uniformemente convergente pode ser integrada termo a termo.

Observao: Mostraremos futuramente que( ) 961n2

1 4

1n

4

=

=

. Assim,( )

48dx

n

nxsen 4

0 1n

3

=

=

.

06. Prove que( ) ( ) ( )

0dx7.5

x6cos

5.3

x4cos

3.1

x2cos

0

=

+++

L .


16/317

16


17/317

17

2. A SRIE DE FOURIER

Jean-Baptiste Joseph Fourier (1766-1830): fsico, matemtico e engenheiro francs. Principaiscontribuies: teoria da conduo do calor, sries trigonomtricas.

Por que aproximar uma funo por uma funo dada por senos e cossenos?

Para facilitar o tratamento matemtico do modelo, uma vez que as funes trigonomtricas senoe cosseno so peridicas de perodo fundamental 2 , contnuas, limitadas e de classe C , ou seja, soinfinitamente diferenciveis.

2.1 Funes peridicas

Uma funo RR:f peridicade perodo fundamental P se

( ) ( ) 0Px,xfPxf >=+ .

Exemplos

(a) (b)

(c) (d)

Figura 1: (a) ( ) ( )xsenxf = , funo de perodo fundamental 2P= ; (b) ( ) ( )xcosxf = , funo deperodo fundamental 2P= ; (c) ( ) 5xf = , funo de perodo fundamental 0k,kP >= ; (d) funo

onda triangular, de perodo fundamental 2P= .


18/317

18

Como as funes ( )xsen e ( )xcos so 2-peridicas, temos que

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) L

L

=+=+=+=

=+=+=+=

6xcos4xcos2xcosxcos

6xsen4xsen2xsenxsen.

Funes peridicas surgem em uma grande variedade de problemas fsicos, tais como asvibraes de uma corda, o movimento dos planetas em torno do sol, a rotao da terra em torno do seueixo, o movimento de um pndulo, a corrente alternada em circuitos eltricos, as mars e osmovimentos ondulatrios em geral.

2.2 Sries trigonomtricas

Denomina-se srie trigonomtrica a uma srie da forma

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L+++++++ x3senbx3cosax2senbx2cosaxsenbxcosa2

a332211

0

ou

( ) ( )[ ]

=

++

1n

nn0 nxsenbnxcosa

2

a (2.2.1)

ou

=

+

+

1n

nn0

L

xnsenb

L

xncosa

2

a . (2.2.2)

Obtm-se a forma (2.2.2) atravs de uma transformao linear que leva um intervalo deamplitude L2 em um intervalo de amplitude 2 .

Em (2.2.1) ou (2.2.2), para cada n temos um harmnico da srie e 0a , na e nb so os

coeficientesda srie.

0a : constante

( )nfan= e ( )nfb

n= : sequncias infinitas

Exemplo

( ) ( )

{ }

=

== K,5

2,

2

1,

3

2,

1,

2a

n

12ncos

n

2a n

n

n

A srie trigonomtrica (2) tambm pode ser escrita na forma


19/317

19

=

+

+

1n

nn0 nsenA

2

a

L

x, (2.2.3)

onde 2n2nn baA += , ( )nnn senAa = e ( )nnn cosAb = .

A forma (2.2.3) obtida multiplicando-se e dividindo-se a forma (2.2.2) por 2n2

n ba + .

= +

+

+

+

+

+

1n

2n

2n

2n

2n

nn2n

2n

2n

2n0

ba

bansenb

ncosa

ba

ba

2

a

L

x

L

x

=

++

+++

1n

2n

2n

n2

n2

n

n2

n2

n0

nsenba

bncosba

aba2

a

L

x

L

x

Considerando n2

n2

n Aba =+ , ( )nn

n senA

a= e ( )n

n

n cosA

b= , temos que:

( ) ( )

=

+

+

1n

nnn0 nsencos

ncossenA

2

a

L

x

L

x

=

+

+

1n

nn0 nsenA

2

a

L

x

Em (2.2.3), o termo

+

nn

nsenA

L

x chamado harmnico de ordem n e pode ser

caracterizado somente pela amplitude nA e pelo ngulo de fase n .

Questes

01. Dada uma funo f(x) 2L-peridica, quais as condies que f(x) deve satisfazer para que exista umasrie trigonomtrica convergente para ela?

02. Sendo Nn,m , mostre que:

(a) 0n,0dxL

xncos

L

L

=


20/317

20

dun

Ldxdx

L

ndu

L

xnu

===

( ) ( )[ ] 0nsennsenn

L

L

xnsen

n

Ldx

L

xncos

L

L

L

L

=

=

=

[ ] ( ) L2LLxdxdxL

xncos0n LL

L

L

L

L

====

=

(b) 0dxL

xnsen

L

L

=

( ( )

=

L

xnsenxf mparno intervalo [ ]L,L )

dunLdxdx

Lndu

Lxnu

===

( ) ( )[ ] 0ncosncosn

L

L

xncos

n

Ldx

L

xnsen

L

L

L

L

=

=

=

00dxdxL

xnsen0n

L

L

L

L

==

=

(c)

=

=

0nmseL,

nmse0,dx

L

xncos

L

xmcos

L

L

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )nmse0dx

L

xn-mcos

L

xnmcos

2

1dx

L

xncos

L

xmcos

vucosvucos2

1vcosucos:queLembrando

L

L

L

L

=

+

+=

++=

[ ] Lx

2

1dx

2

1dx1

L

xn2cos

2

1dx

L

xncos0nm LL

L

L

L

L

L

L

2 ===

+

=

=

[ ] L2xdx2

2

1dx

L

xncos

L

xmcos0nm LL

L

L

L

L

===

==

(d)

=

=

0nmseL,

nmse0,dx

L

xnsen

L

xmsen

L

L

(o produto de duas funes mpares par)


21/317

21

( ) ( ) ( ) ( )[ ]vucosvucos2

1vsenusen:queLembrando +=

( ) ( )nmse0dx

L

xnmcos

L

xn-mcos

2

1dx

L

xnsen

L

xmsen

L

L

L

L

=

+

=

[ ] Lx2

1dx

2

1dx

L

xn2cos1

2

1dx

L

xnsen0nm LL

L

L

L

L

L

L

2 ===

=

=

0dx0

2

1dx

L

xnsen

L

xmsen0nm

L

L

L

L

==

==

(e) 0dxL

xnsen

L

xmcos

L

L

=

(o produto de uma funo par por uma mpar mpar)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )0dx

L

xm-nsen

L

xmnsen

2

1dx

L

xncos

L

xmsen

vusenvusen2

1vcosusen:queLembrando

L

L

L

L =

+

+=

++=

Observaes:

1a)Os resultados encontrados anteriormente continuam vlidos quando os limites de integrao Le Lso substitudos por c e c + 2L, respectivamente, com Rc .

2a)Funes ortogonais

Definio 1: O produto interno ou produto escalar de duas funes ( )xf e ( )xg em umintervalo [a,b] o nmero

( ) ( ) ( )

=

b

a

dxxgxfg|f .

Definio 2: Duas funes fe g so ortogonaisem um intervalo [ ]b,a se

( ) ( ) ( ) 0dxxgxfg|f

b

a

== .

Assim, as funes ( )

=

L

xnsenxf

e ( )

=

L

xncosxg

so ortogonais no intervalo ( )L,L .


22/317

22

2.3 Srie de Fourier

2.3.1 Definio

Seja a funo f(x) definida no intervalo ( )L,L e fora desse intervalo definida como

( ) ( )xfL2xf =+ , ou seja, ( )xf 2L-peridica. A srie de Fourier ou a expanso de Fouriercorrespondente a f(x) dada por

=

+

+

1n

nn0

L

xnsenb

L

xncosa

2

a

sendo que os coeficientes de Fourier nn0 bea,a so dados pelas expresses a seguir.

( )

=

L

L

0 dxxfL1a

( )

=

L

L

n dxL

xncosxf

L

1a

( )

=

L

L

n dxL

xnsenxf

L

1b

2.3.2 Coeficientes

Se a srie

=

+

+

1n

nn L

xnsenb

L

xncosaA

converge uniformementepara ( )xf em ( )L,L , mostre que, para K,3,2,1n= ,

1. ( )

=

L

L

n dxL

xncosxf

L

1a

;

2. ( )

=

L

L

n dxL

xnsenxf

L

1b ;

3.2

aA 0= .


23/317

23

1. Multiplicando ( )

=

+

+=

1n

nn L

xnsenb

L

xncosaAxf

por

L

xmcos

e integrando de L

a L, obtemos:

( )

=

=

+

+

+

=

1n

m,,1,2,3,nII

L

L

n

L

L

n

I

L

L

L

L

dxL

xnsen

L

xmcosbdx

L

xncos

L

xmcosa

dxL

xmcosAdx

L

xmcosxf

4444444444444 34444444444444 21

444 3444 21

KK

Considerando 0m em I e mn= em II:

( ) LadxL

xmcosxf m

L

L

=

( )

=

L

L

m dxL

xmcosxf

L

1a ou ( )

=

L

L

n dxL

xncosxf

L

1a

Para 0n= , ( ) =L

L

0 dxxfL

1a . (2.3.2.1)

2. Multiplicando ( )

=

+

+=

1n

nn L

xnsenb

L

xncosaAxf

por

L

xmsen

e integrando de L

a L, obtemos:

( )

=

=

+

+

+

=

1n

m,,1,2,3,nI

L

L

n

L

L

n

L

L

L

L

dxL

xnsen

L

xmsenbdx

L

xncos

L

xmsena

dxL

xmsenAdxL

xmsenxf

4444444444444 34444444444444 21KK

Considerando mn= em I:


24/317

24

( ) LbdxL

xmsenxf m

L

L

=

( )

=

L

L

m dxLxmsenxf

L1b ou ( )

=

L

L

n dxLxnsenxf

L1b

3. Integrando ( )

=

+

+=

1n

nn L

xnsenb

L

xncosaAxf

de L a L, obtemos:

( )

=

+

+=

1n

L

L

n

L

L

n

L

L

L

L

dx

L

xnsenbdx

L

xncosadxAdxxf

Para ,,3,2,1n K= obtemos:

( ) AL2dxxfL

L

=

( ) dxxf

L2

1A

L

L

= (2.3.2.2)

Comparando (2.3.2.1) e (2.3.2.2), conclumos que2

aAAL2La 00 == .

Observao: Os resultados encontrados continuam vlidos quando os limites de integrao Le Lsosubstitudos por c e c + 2L, respectivamente, com Rc .

Teorema 1: Se ( )

=1nn xu e ( )

=1nn xv so uniformemente convergentesem bxa e se

( )xh contnua em bxa , ento as sries ( ) ( )[ ]

=

+

1n

nn xvxu , ( ) ( )[ ]

=

1n

nn xvxu ,

( ) ( )[ ]

=1

n

n xuxh e ( ) ( )[ ]

=1n

n xvxh so uniformemente convergentesem bxa .

Demonstrao: KAPLAN, W. Clculo avanado. Vol 2. Pgina 393.


25/317

25

Teorema 2: Toda srie trigonomtrica uniformemente convergente uma srie de Fourier.Mais precisamente, se a srie

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L+++++++ x3senbx3cosax2senbx2cosaxsenbxcosa

2

a332211

0

converge uniformemente a ( )xf para todo x , ento ( )xf contnua para todo x , ( )xf tem perodo

2 e a srie trigonomtrica a srie de Fourier de ( )xf .

2.3.3 Continuidade seccional ou por partes

Uma funo seccionalmente contnua ou contnua por partes em um intervalo t seeste intervalo pode ser subdividido em um nmero finito de intervalos em cada um dos quais a funo contnua e tem limites, direita e esquerda, finitos.

Exemplo

Figura 2: Funo seccionalmente contnua [13].

2.3.4 Convergncia: condies de Dirichlet

Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859): matemtico alemo.

Suponha que:

(1) ( )xf definida em ( )L,L , exceto em um nmero finito de pontos;

(2) ( )xf 2L-peridica fora de ( )L,L ;

(3) ( )xf e ( )xf' so seccionalmente contnuas em ( )L,L .

Ento, a srie

=

+

+

1n

nn0

L

xnsenb

L

xncosa

2

a ,


26/317

26

com coeficientes de Fourier, converge para:

(a)f(x), se x um ponto de continuidade;

(b)( ) ( )

2

xfxf + +, se x um ponto de descontinuidade.

Observaes:

1a) ( )+xf e ( )xf representam os limites laterais de f(x), direita e esquerda, respectivamente.

( ) ( )hxflimxf0h

+=+

+ e ( ) ( )hxflimxf0h

=+

2a) As condies (1), (2) e (3) impostas a f(x) so suficientes para a convergncia, porm nonecessrias.

Demonstrao: SPIEGEL, M.R.; WREDE, R.C. Clculo avanado. 2a ed. Porto Alegre:Bookman.

Teorema fundamental: Seja ( )xf uma funo definida e muito lisa por partes no intervalo x e seja ( )xf definida fora desse intervalo de tal modo que tenha perodo 2 . Ento a srie

de Fourier de ( )xf converge uniformemente a ( )xf em todo intervalo fechado que no contenha

descontinuidades de ( )xf . Em cada descontinuidade 0x , a srie converge para

( ) ( )

+

+xflimxflim

21

00 xxxx.


Observao: Uma funo contnua por partes lisa por partesse em cada subintervalo tem derivadaprimeira contnua; muito lisa por partesse em cada subintervalo tem derivada segunda contnua.

Teorema daunicidade: Sejam ( )xf1 e ( )xf2 funes seccionalmente contnuas no intervalo x , de modo que ambas tenham os mesmos coeficientes de Fourier. Ento, ( ) ( )xfxf 21 = ,

exceto talvez nos pontos de descontinuidade.



27/317

27

2.4 Srie de Fourier de uma funo peridica dada

Exemplo 1

Seja ( )


28/317

28

( )

+

=

=

5

0

0

5

L

L

n dx5

xncos3dx

5

xncos0

5

1dx

L

xncosxf

L

1a

( ) ( )[ ] 00sennsenn3

5xnsen

n5

53a

5

0

n =

=

=

0a n =

( )

+

=

=

5

0

0

5

L

L

n dx5

xnsen3dx

5

xnsen0

5

1dx

L

xnsenxf

L

1b

( ) ( )[ ] ( )[ ]

=

=

= ncos1

n

30cosncos

n

3

5

xncos

n

5

5

3b

5

0

n

( )[ ] ( )[ ]11n

311

n

3b 1nnn +

=

=

+

( )[ ]11n

3b 1nn +

=

+

Srie de Fourier de ( )xf :

( ) ( )

=

+

+

+=

1n

1n

5

xnsen

n

113

2

3xf

( )

+

+

+

+

+= K

5

x7sen

7

2

5

x5sen

5

2

5

x3sen

3

2

5

xsen

1

23

2

3xf

( )

+

+

+

+

+= K

5

x7sen

7

1

5

x5sen

5

1

5

x3sen

3

1

5

xsen

6

2

3xf

( ) ( )

=

+=

1n5

x1n2sen

1n2

16

2

3xf


29/317

29

(a) (b)

Figura 4: (a) Expanso de f(x) em srie de Fourier com 19n= ; (b) expanso de f(x) em srie deFourier com 49n= .

d) Redefina f(x) para que a srie de Fourier venha a convergir para f(x) em 5x5 .

( )

=


30/317

30

b) Expanda f(x) em uma srie de Fourier.

=== L2L2P

Lembre-se de que a funo est definida em ( )L2,0 , e no em ( )L,L .

( ) ( )3

808

3

1

3

x1dx x

1dxxf

L

1a

23

2

0

32

0

2

L2c

c

0

=

=

=

==

+

3

8a

2

0

=

( ) ( ) +

=

=

2

0

2

L2c

c

n dxnxcos x1

dxL

xncosxf

L

1a (2.4.1)

Usando integrao por partes, temos que:

= vduuvudv

( ) ( )nnxsen v,dxnxcosdv2xdx,du,xu 2 ====

( ) ( )

( ) = dxnxsenxn2

n

nxsenxdxnxcosx

22

( ) ( )

n

nxcos v,dxnxsendvdx,du,xu ====

( ) ( ) ( ) ( )

+= dxnxcosn1n nxcosxn2n nxsenxdxnxcosx

2

2

( ) ( ) ( ) ( )

++= Cnnxsen2

n

nxcosx2

n

nxsenxdxnxcosx

32

22

Voltando a (2.4.1), obtemos:

( ) ( ) ( ) ( )

+

=

=

2

032

22

0

2n

n

nxsen2

n

nxcosx2

n

nxsenx1dxnxcos x

1a


31/317

31

22n n

40

n

41a =

=

2n n

4a =

( ) ( ) +

=

=

2

0

2

L2c

c

n dxnxsen x1

dxL

xnsenxf

L

1b (2.4.2)

Usando integrao por partes, temos que:

( ) ( )nnxcos v,dxnxsendv2xdx,du,xu 2 ====

( ) ( )

( ) += dxnxcosxn2

n

nxcosxdxnxsenx

22

( ) ( )

n

nxsen v,dxnxcosdvdx,du,xu ====

( ) ( ) ( )

( )

+= dxnxsen

n

1

n

nxsenx

n

2

n

nxcosxdxnxsenx

22

( ) ( ) ( ) ( )

+++= Cnnxcos2

n

nxsenx2

n

nxcosxdxnxsenx

32

22

Voltando a (2.4.2), obtemos:

( ) ( ) ( ) ( )

++

=

=

2

032

22

0

2n n

nxcos2

n

nxsenx2

n

nxcosx1dxnxsen x

1b

n

4

n

2

n

2

n

41b

33

2

n

=

+

=

n

4bn

=


32/317

32

Srie de Fourier de ( )xf :

( )

( ) ( )

=

+

=1n

2

2

n

nxsen

n

nxcos

43

4

xf (2.4.3)

Em 0x= , (2.4.3) converge para a mdia dos limites laterais, ou seja

22

22

04=

+.

Figura 6: (a) Expanso de f(x) em srie de Fourier com 10n= ; (b) expanso de f(x) em srie deFourier com 20n= .

c) Usando a srie de Fourier de f(x), prove que64

1

3

1

2

11

n

1 2

222

1n

2

=++++=

=

L .

Considerando 0x= em (3), temos que:

=

+

=

1n

2

22

n

14

3

42

3

2

3

42

n

14

222

1n

2

=

=

=


33/317

33

( )

>

+


34/317

34

Exerccios

01. Seja ( ) +=xxf ,


35/317

35

03. Seja o sinal representado no grfico abaixo.

4 3 2 1 1 2 3 4 5

4

3

2

1

1

2

3

4

x

y

Figura 8: Sinal.

a) Determine a srie de Fourier correspondente ao sinal.

R.: ( ) ( )

( )

=

+

+

+=

1n

1n

xnsenn

1141xf

b) Para quanto converge a srie de Fourier do sinal em 1x= ? E em 2x= ?

R.: 1

c) Use a srie de Fourier determinada em (a) para calcular para quanto converge a srie numrica

=1n

2n

1.

R.:6

2

d) Plote simultaneamente os grficos de ( )xf e da srie de Fourier de ( )xf .

2.5 Funes pares e funes mpares

Uma funo f(x) parse

( ) ( )xfxf = .

Assim, ( )2

1 xxf = , ( ) 5x4x2xf26

2 += , ( ) ( )xcosxf3 = e ( )xx

4 eexf

+= so funes pares.


36/317

36

Figura 9: Grfico da funo ( ) xx eexf += .

Uma funo f(x) mparse

( ) ( )xfxf = .

Assim, ( ) 31 xxf = , ( ) x2x3xxf35

2 += , ( ) ( )xsenxf3 = e ( ) ( )x3tgxf4 = so funes mpares.

Figura 10: Grfico da funo ( ) x2x3xxf 35 += .

Teorema Propriedades das funes pares e mpares

(a) O produto de duas funes pares par.

(b) O produto de duas funes mpares par.

(c) O produto de uma funo par e uma funo mpar mpar.

(d) A soma (ou diferena) de duas funes pares par.


37/317

37

(e) A soma (ou diferena) de duas funes mpares mpar.

(f) Se f par, ento ( ) ( ) =

a

0

a

a

dxxf2dxxf .

(g) Se f mpar, ento ( ) 0dxxfa

a

=

.

Demonstrao

Seja ( ) ( ) ( )xgxfxF = .

(a) Suponhamos f(x) e g(x) funes pares.Assim:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) parxF

xFxgxfx-gxfxFxgx-g,xfxf

===

==

b) Suponhamos f(x) e g(x) funes mpares.Logo:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )

( ) parxF

xFxgxfxg-xfx-gxfxF

xgx-g,xfxf

====

==

(c) Suponhamos f(x) par e g(x) mpar.Ento:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )

( ) mparxF

xFxgxfxg-xfx-gxfxF

xgx-g,xfxf

====

==

Seja ( ) ( ) ( )xgxfxF = .

(d) Suponhamos f(x) e g(x) funes pares.

Dessa forma:( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) parxF

xFxgxfx-gxfxF

xgx-g,xfxf

===

==

(e) Suponhamos f(x) e g(x) funes mpares.Assim:


38/317

38

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) mparxF

xFxgxfxgxfx-gxfxF

mparxF

xFxgxfxgxfx-gxfxF

xgx-g,xfxf

==+==

=+==+=

==

(f) f(x) par ( ) ( )xfxf =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=+=+=

===

a

0

a

0

a

0

a

0

0

a

a

a

a

0

a

0

0

a

0

a

dxxf2dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf

dxxfdxxfdxxfdxxf

(g) f(x) mpar ( ) ( )xfxf =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf

dxxfdxxfdxxfdxxf

a

0

a

0

a

0

0

a

a

a

a

0

a

0

0

a

0

a

=+=+=

===

Exemplo

( ) ( ) ( ) ] [= ,- x,x3senx2cosxxf 5

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]

( ) ( )

( )xf

x3senx2cosx

x3senx2cos-x

x3senx2cosxxf

5

5

5

=

=

=

=

( )xf funo par

Exerccios

Verifique a paridade das seguintes funes:

01. ( ) ( ) ( )x4cosxsenxf = , ] [ ,x

02. ( ) ( ) ( )x5cosx2cosxf = , ] [ ,x

03. ( ) ( ) ( )xsenx3senxf = , ] [ ,x

04. ( ) ( ) ( ) ( )x2senxcosx5senxf = , ] [ ,x


39/317

39

05. ( ) ( )x2senxxf 4= , ] [ ,x

06. ( ) ( )x3cosxxf 2= , ] [ ,x

07. ( ) ( ) ( )x4senxcosxxf7

= , ] [ ,x

08. ( ) ( ) ( )x2cos2xxf += , ] [ ,x

09. ( ) ( )xsenexf x= , ] [ ,x

10. ( ) ( ) ( ) ( )xsenx3coseexf xx += , ] [ ,x

11. ( ) xexxf += , ] [ ,x

12. ( )x1xf = , ] [ ] [ ,00,x

13. ( ) ( ) ( ) ( )x8cosx10seneex

1xf xx

2+= , ] [ ] [ ,00,x

14. ( ) ( ) ( ) ( )x3senxcoseexf xx = , ] [ ,x

2.6 Srie de Fourier de cossenos

Se f(x) umafuno parem ( )L,L , ento temos que:

( ) ( )

( ) ( )

( ) 0dxL

xnsenxfL

1b

dxL

xncosxf

L

2xd

L

xncosxf

L

1a

dxxfL

2dxxf

L

1a

L

L

mparfuno

n

L

0

L

L

parfuno

n

L

0

L

L

0

=

=

=

=

==

44 344 21

44 344 21

Srie de Fourier de cossenos: ( )

=

+=

1n

n0

L

xncosa

2

axf

Exemplos

01. Expanda ( )


40/317

40

R.: ( ) ( )

=

+=

1n

2

n

2 2

xncos

n

1141xf

4 3 2 1 1 2 3 4 5

4

3

2

1

1

2

3

4

x

y

Figura 11: Grfico da funo ( )


41/317

41

( ) ( ) ==

L

0

L

Lparfuno

n dxL

xnsenxf

L

2dx

L

xnsenxf

L

1b

44 344 21

Srie de Fourier de senos: ( )

=

=

1n

n L

xnsenbxf

Exemplo

Expanda ( ) 2x2-,xxf


42/317

42

b) Determine para quanto converge a srie( )

=

+

1n

1n

1n2

1.

R.: 4

02. Calcule a srie de Fourier do sinal peridico representado no grfico (a) da figura abaixo.

(a) (b)

Figura 13: (a) Sinal; (b) Srie de Fourier do sinal com cinco harmnicos.

R.: ( )

=

+=

1n

22 2xncos

n

12

ncos

823xf

03. Calcule a srie de Fourier do sinal peridico representado no grfico (a) da figura abaixo.

(a) (b)

Figura 14: (a) Sinal; (b) Srie de Fourier do sinal com vinte harmnicos.


43/317

43

9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

2

1

1

2

3

x

y

R.: ( )( )

=

=

1n

n

2

xnsen

n2

nsen

n

21

6xf

04. Seja ( )


44/317

44

06. Seja ( ) ( ) ( ) ( )xf2xf,x-,x3cosxxf/RR:f =+


45/317

45

1 1

1

x

y

Figura 16: Srie de Fourier da onda quadrada ( )


46/317

46

Demonstrao

Assumimos que a srie de Fourier correspondente a ( )xf converge uniformemente para ( )xf

em ( )L,L e que:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) LbdxL

xnsenxfdx

L

xnsenxf

L

1b

LadxL

xncosxfdx

L

xncosxf

L

1a

LadxxfdxxfL

1a

n

L

L

L

L

n

n

L

L

L

L

n

0

L

L

L

L

0

=

=

=

=

==

Dessa forma, multiplicando

( )

=

+

+=

1n

nn0

L

xnsenb

L

xncosa

2

axf

por ( )xf e integrando termo a termo de L a L, temos que:

( )[ ] ( ) ( ) ( )

( )[ ] ( )

( )[ ] ( )

( )[ ] ( )

=

=

=

=

++=

++=

++=

+

+=

1n

2n

2n

20

L

L

2

1n

2n

2n

20

L

L

2

1n

nnnn00

L

L

2

1n

L

L

n

L

L

n

L

L

0

L

L

2

ba2

adxxf

L

1

ba2

aLdxxf

LbbLaaLa2

adxxf

dxL

xnsenxfbdx

L

xncosxfadxxf

2

adxxf

Aplicaes

Convergncia de sries. Verificar se uma srie trigonomtrica a srie de Fourier de uma funo f(x).


47/317

47

Exerccio

Seja ( )


48/317

48

90n

1 4

1n

4

=

=

(2.10.1)

Empregando (2.9.1) e (2.10.1), temos que:

( )

( )

( ) 1440n2

1

1440

1516

9690n2

1

8

1

6

1

4

1

2

1

n2

1

4

1n

4

4444

1n

4

4444

1n

4

=

==

++++=

=

=

=

L

2.11 Derivao e integrao da srie de Fourier

Teorema 1: Se ( ){ } K1,2,3,n,xu n = , forem contnuas em [ ]b,a e se ( )

=1n

n xu convergir

uniformemente para a soma ( )xS em [ ]b,a , ento

( ) ( )

=

=

1n

b

a

n

b

adxxudxxS ou ( ) ( )

=

=

=

1n

b

a

n

b

a 1n

n dxxudxxu .

Assim, uma srie uniformemente convergente de funes contnuas pode ser integrada termo atermo.

Teorema 2: Se ( ){ } K1,2,3,n,xu n = , forem contnuas e tiverem derivadas contnuas em [ ]b,a

e se ( )

=1n

n xu convergir para ( )xS enquanto ( )

=1n

'n xu uniformemente convergente em [ ]b,a ,

ento em [ ]b,a

( ) ( )

=

=

1n

'n

' xuxS ou ( ) ( )

=

=

=

1n

n

1n

n xudx

dxu

dx

d.

Dessa forma, a srie pode ser derivada termo a termo.

Observao: Os teoremas 1 e 2 oferecem condies suficientes, porm no necessrias.


49/317

49

Teorema 3: A srie de Fourier correspondente a f(x) pode ser integrada termo a termo de aax,

e a srie resultante convergir uniformemente para ( )x

a

duuf desde que f(x) seja seccionalmente

contnua em LxL e ambos, aex, pertenam a esse intervalo.

Exemplo

Seja ( ) 2x2-,xxf


50/317

50

Em (1), se a soma


51/317

51

b) Mostrar que os coeficientes de Fourier nn0 bea,a podem ser escritos como uma nica

integral ( ) K3,2,1,0,n,dxexfL2

1c

L

L-

L

xni

n ==

.

a) Recordando as identidades de Euler (Leonhard Euler (1707-1783): matemtico suo)

( ) ( ) senicose i =

Seja ( ) ( ) ( )[ ] xiexsenixcosxf += . (2.12.1)

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) xixi eixsenixcosexsenxcosixfdx

d ++=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )xf0exsenxcosixsenxcosixfdxd xi =+= constante

( ) ( ) ( )[ ] ( ) 1e0seni0cos0f 0i =+=

( ) 1xf =

Voltando a (2.12.1), temos que:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) xixi exsenixcosexsenixcos1 =++=

Assim:

=

+

=

+

=

L

xnseni

L

xncos

L

xnseni

L

xncose

L

xnseni

L

xncose

L

xni

L

xni

As igualdades anteriores conduzem a:

i2

ee

L

xnsen

2

ee

L

xncos

L

xni

L

xni

L

xni

L

xni

=

+=

Substituindo as igualdades acima na srie de Fourier de ( )xf , temos que:


52/317

52

( )

( )

( )

( )

( )

=

=

=

=

=

++

+=

+

++=

+

++=

+++=

+

+=

1n

L

xni

nnL

xni

nn0

1n

L

xni

nnL

xni

nn0

1n

L

xni

nnL

xni

nn0

1n

L

xni

L

xni

n

L

xni

L

xni

n0

1n

nn0

e2ibae2iba2axf

ei2

biae

i2

bia

2

axf

ei2

b

2

ae

i2

b

2

a

2

axf

i2 eeb2eea2axf

L

xnsenb

L

xncosa

2

axf

Considerando2

ibac nnn

= e cca

2

ibac nnn

nnn- +=

+= e ( )nnn ccib = :

( )

=

=

n

ni

necxfL

x

2ac0n 00==

Exerccio

Mostre que( )

=

=

nmse2L,

nmse,0dxe

L

L-

L

xmni

b) Multiplicando ( )

=

=

n

L

xni

necxf

por Lxm

ie

e integrando de L a L, obtemos:

( )

( )( )

=

=

=

=

n

L

L-

Lxmn

i

n

L

L-

Lxm

i

n

L

L-

L

xmi

L

xni

n

L

L-

L

xmi

dxecdxexf

dxeecdxexf


53/317

53

Considerando mn = :

( )

( )

=

=

L

L-

L

xni

n

n

L

L-

L

xni

dxexfL2

1c

L2cdxexf

Outra forma de mostrar:

( ) ( ) ( )

( )

=

==

L

Ln

L

L

L

L

nnn

dxL

xn

seniL

xn

cosxfL2

1

c

dxL

xnsenxf

L

1idx

L

xncosxf

L

1

2

1iba

2

1c

( )

=

L

L

L

xni

n dxexfL2

1c

( ) ( )2

acac2dxxf

L

1c2dxxf

L2

1c 0000

L

L

0

L

L

0 ====

Exemplo

( ) 2L4P2,x2- ==


54/317

54

0c0n 0== (substitua n por 0 em (2.12.2))

( )

=

=

n

ni

n ecxfL

x

( ) ( ) ( )

=

=

=

=

n

ni

n

n

ni

en

1i2e1

n

i2xf 2

x

2

xn

Verificando a equivalncia entre as formas exponencial e usual:

( ) ( )

=

=

n

n

2

xnsen

2

xncosi

n

12xf

Para n opostos,( )

2

x

n ncosi

n

1se anula e

( )

2

xnsen

n

1 nduplica. Assim:

( ) ( )

=

+

=

1n

1n

2

xnsen

n

14xf

0dxx4

1c

2

0 ==

2

Exerccios

01. Determine a srie de Fourier na forma exponencial de ( ) xexf = ,


55/317

55

R.: ( ) ( )

=

+

==+

=

n

05

xni

1n

0c0n,en

11i10xf ou ( )

( )

=

=

n

5

x1n2i

1n2

ei20xf

03. Seja ( ) ( ) ( )xf2xf,x-,x2xf =+= (2)

Uma equao diferencial parcial (EDP) uma igualdade envolvendo as derivadas de umafuno de duas ou mais variveis independentes.

Exemplos

( ) ( ) 0t2,x0,t,xu2t,xu xxt >


56/317

56

( ) ( )1y01,x0,xy2

y

y,xu

x

y,xu2

2

2

2


57/317

57

( ) ( )

( )

( )

+=

axx,0

axx,1axx

0

00 e u ( )[ ]

+=+

axx,0

axx,1axx

0

00 .

Considerando

( ) ( )0a0a

0 xxlimxx =

,

temos a distribuio delta de Dirac

( )

==

0

00 xxse0,

xxse,xx . (3.13.2)


121/317

121

A distribuio (3.13.2) pode ser escrita como ( ) ( )

===

cxse0,

cxse,cxxc .

Quando 0c= , temos que ( )

==

0xse0,

0xse,x .

Fisicamente, o delta de Dirac pode ser interpretado como um impulso de energia em umsistema, razo pela qual recebe o nome de funo impulso de Dirac.

3.13.1 Propriedades do delta de Dirac

A distribuio delta de Dirac ( )x= apresenta as seguintes propriedades:

1. ( ) 0xse,0x = ;

2. ( ) ( ) Rx,xx = ;

3. ( ) = 0 ;

4. ( ) ( ) ( ) ( )x0fxxf = se ( )xf for contnua em 0x= ;

5. ( ) ( ) ( ) ( )000 xxxfxxxf = se ( )xf for contnua em 0xx= ;

6. ( ) 1dxx =

;

7. ( )( ) ( )xfxf = , se ( )xf contnua;

8. ( ) ( ) ( )0fdxxxf =

, se ( )xf contnua em 0x= ;

9. ( )( ) ( )cfxf c = , se ( )xf contnua em cx= ;

10. ( ) = x u ( )dx

dx' = u ( )x , onde u ( )x a funo degrau unitrio;

11. ( ) ( )xa

1ax = .

Observao: Mais informaes a respeito do delta de Dirac podem ser obtidas em HSU, H.P.Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman.


122/317

122

3.13.2 Transformada de Fourier do delta de Dirac

Aplicando a transformada de Fourier propriedade 7, temos que:

( )( ) ( )xfxf =

( )( ){ } ( ){ }xfxf =

( ){ } ( ){ } ( ){ }xfxxf =

( ){ } 1x =

{ } ( )x11 =

Dessa maneira, podemos escrever o par de transformadas

( ) 1x .

3.14 Mtodos para obter a transformada de Fourier

3.14.1 Uso da definio

Mostre que { } ( ) 0aRe,a

a2e

22

xa>

+=

.

=

0x,e

0x,ee

ax

axxa

{ } ( ) ( )

+

+

+=+=

0

xia

0

xia

0

xiax

0

xiaxxa dxedxedxeedxeee

( ) ( ) 2

21

1

k

0

xia

k

0

k

xia

k ia

elim

ia

elim

++

+=

+

+

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]2

21

1

k

0

ax

k

0

k

ax

k ia

xsenixcoselim

ia

xsenixcoselim

+

++

+

+=


123/317

123

( ) ( )[ ]

( )

( ) ( )[ ]

( )

+

+

++

+

+

+

+=

>

>

ia

1

ia

ksenikcoselim

ia

ksenikcose

ia

1lim

0aRese0

22ak

k

0aRese0

11ak

k

2

2

1

1

44444 344444 21

44444 344444 21

( )

( ) 222222 a

a2

a

a2

ai

iaia

ia

1

ia

1

+=

=

++=

+

+=

Exemplo 1

{ } ( ) 13632 32edxe 222x3

xi2x3

| =

+==

=

+

Exemplo 2

Seja ( ) xa6exxf/RR:f = .

1. Determine ( ) ( ){ }xfF = .

Lembrando que ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }xfF,Fixfx nnn == e que { }22

xa

a

a2e

+=

, 0a> , temos

que:

{ } ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( )

+

=

+

=

+

+

=

+

++

=

+

=

+

+

=

+

++

=

+

=

+

=

+=

+==

422

23

3

3

422

23

3

3

422

2222

3

3

622

22222322

3

3

322

22

4

4

322

222

4

4

422

22222

4

4

2225

5

2225

5

226

6

226

66xa6

a

a

d

da48

a

a1212

d

da4

a

63aa6

d

da4

a

2a33aa6

d

da4

a

3a

d

da4

a

4a

d

da4

a

2a2a

d

da4

ad

da4

a

2

d

da2

a

1

d

da2

a

a2

d

diFex


124/317

124

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )

+

+

=

+

++

=

522

232222

2

2

822

3222342222

2

2

a

8aaa3

d

da48

a

2a4aaa3

d

da48

( )

( )

( )

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( )( )

( )

( )

++=

+

++=

+

+++=

+

++++=

+

+

=

+

+

=

+

+++

=

+

+

=

+

++

=

+

=

+

=

+

++

=

722

642246

722

624426

722

4325224224

1222

52243256224224

622

4325

622

4325

622

4532325432

622

44222232

1022

4224422

52232

522

4422

2

2

522

4422

2

2

522

224422224

2

2

a7a35a21a1440a

a

a3a63a10521a480

a

12a3a103aa3a3015a480

a

2a6a3a103aa3a3015a480

a

a3a103

d

da480

a

a30a10030

d

da48

a

a1050a100a2020a20a20

d

da48

a

10a5a10a20a20

d

da48

a2a5a5a10a20a20

dda48

a

a5a10

d

da48

a

a5a10

d

da48

a

a88aaa33

d

da48

{ }( )

0a,a

7a35a21a1440aex

722

642246xa6 >

+

+=

(3.14.1.1)


125/317

125

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

x

y

2. Plote os grficos de ( )xf e de ( ) ( ){ }xfF = para 2a= e comente-os.

( ) x26exxf =

( ) ( )

+

+

= 72

642

4

714033664

2880F

Figura 52: Grfico de ( )( )

+

+=

72

642

4

7140336642880F (azul) e de ( ) x26exxf = (vermelho).

Comentrios: ( )xf e ( )F so funes1. que se anulam no infinito;2. pares;3. limitadas;

4. contnuas;5. absolutamente integrveis;6. pertencentes ao espao de Schwarz.

3. Calcule( )

+

+

72

642

1x

x7x35x211.

Considerando 1a= em (3.14.1.1), temos que


126/317

126

( ) x6exxf = e ( )( )

+

+=

72

642

1

7352111440F .

Propriedade da simetria (dualidade): ( ){ } ( ) ( ){ } ( )== Fxf,f2xF

( ) ( )

=

=

=

+

+

0se,e720

0se,e720

e720

e1440

2

1x

x7x35x211

6

6

66

72

642

3.14.2 Uso de equaes diferenciais

Mostre que a22ax 22

ea

2e

=

e, conseqentemente, 22x 22

e2e

=

, sendo

( )2axexf = a funo gaussiana e 0a> .

Seja ( ) 2ax2

exf

= . Ento, ( )xf satisfaz equao diferencial ordinria de primeira ordem

( ) ( ) 0xaxfxf' =+ . (3.14.2.1)

Aplicando a transformada de Fourier a ambos os lados de (3.14.2.1), obtemos:

( ){ } ( ){ } { }0xfxaxf' =+

( ) ( ) ( ) 0Fd

diaFi =+

( ) ( ) FiFddia =

( )

( )( )[ ]

aFln

d

d

ad

dF

F

1 =

=

( )[ ]

=

da

dFlnd

d

( )1

2

C2a

1Fln +

=


127/317

127

( ) a22

CeF

= (3.14.2.2)

Aplicando a transformada inversa de Fourier a (3.14.2.2), chegamos a

( ) ( ){ } ( )

=

==

xia2

xi1 deCe2

1deF

2

1Fxf

2

. (3.14.2.3)

Considerando 0x= em (3.14.2.3), temos que

( )C

deC

2dede

2

C10f

0

a2

a2

a2

222

=

=

==

. (3.14.2.4)

Calculando a integral em (3.14.2.4):

dua2d,ua2ua2

22

===

0a,u,0u0 >

Cduea2dua2ede

0

u

0

u

0

a222

2

===

(3.14.2.5)

Calculando a integral em (3.14.2.5):

dww2

1ud,wwuwu 2

1

2

12

====

wu,0w0u

22

1

2

1dwew

2

1dww

2

1edue

0

w2

1

0

2

1w

0

u2 =

===

(3.14.2.6)

Substituindo (3.14.2.6) em (3.14.2.5), obtemos

a

2

a2

2C

C2a2

=== . (3.14.2.7)

Substituindo (3.14.2.7) em (3.14.2.2), temos que

( ) a22

ea

2F

= . (3.14.2.8)


128/317

128

Considerando 1a= em (3.14.2.8), conclumos que 22x 22

e2e

=

.

Exemplo

{ }4

92

3

3

x

xi3x

ee

2

2edxe

2

22 | === =

+

3.14.3 Decomposio em fraes parciais

Seja ( ) ( )

6i8

i410F

2 +

=

. Determine ( ){ }F1 .

( )i104i10i42

40i806i82 ==

==+

( )( )[ ] ( )[ ]i104i104

i1040F

+

= (3.14.3.1)

Decompondo (3.14.3.1) em fraes parciais, temos que:

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )i104B

i104

A

i104i104

i1040F ++=+

= (3.14.3.2)

i104Bi104Ai1040 ++=

( ) BABi104Ai104i1040 ++++=

( ) ( )i-5Bi,5A

40Bi104Ai104

i10BA==

=++

=+ (3.14.3.3)

Substituindo (3.14.3.3) em (3.14.3.2), obtemos:

( )( ) ( )i104

i5

i104

i5F

+=

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )i

i

i104

i5

i

i

i104

i5F

+=

( )

( ) ( )

i104

5

i104

5F

+

+

++

=


129/317

129

( )( ) ( )

i104

5

i104

5F

+

= (3.14.3.4)

Sabemos que { axe

u( )x } ( ) 0,aRe,ia1 >

= u ( )

=

0x0,0x,1x . (3.14.3.5)

Aplicando a transformada inversa de Fourier a (3.14.3.4) e empregando (3.14.3.5), chegamos a

( ) ( ){ }( ) ( )

+

==

>

>

i104

15

i104

15Fxf

0

1

0

11

4342143421

( ) x104e5 = u ( ) ( ) x104e5x + u( )x

5= u ( ) ( ) ( ) x104x104 eex + +

5= u ( ) x10x10x4 eeex +

( )x10coshe10 x4= u ( )x .

Exerccios

01. Seja ( ) ( )

>

=

x,0

x,xsenxf . Determine ( ){ }xf .

R.: ( ){ } ( )

21

seni2xf

=

02. Use uma transformada de Fourier conhecida e as propriedades operacionais para calcular

{ }x2ex .

R.: { } ( )( )32

2x2

1

134ex

+

=

03. Calcule ( ){ }x2 ex1 .

R.: ( ){ }( )

( )( )32

2

222

x2

1

134

1

i8

1

2ex1

+

+

+=


130/317

130

9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

2

1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

04. Seja ( ) ( ) 0aRe,ax

1xf/CR:f

22 >

+= .

a) A funo ( )xf absolutamente integrvel? Calcule, se possvel,

+

22dx

ax

1.

R.: ( ) 0aRe,a

>

b) Mostre

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Apostila Cálculo 4 - Fourier, Laplace e Transformada Z