Apostila_-_Concurso_Vestibular (1)

8/7/2019 Apostila_-_Concurso_Vestibular (1)

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N ome do Aluno

OrganizadoresAntn io Car los BrolezziElvi a Mur eb Sal lumMar tha S. Monteiro

ElaboradorasCr istin a Cer r iLisbeth K. Cor dani

Matemtica

2mdulo


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GOVERNO DO ESTADO DE SO PAULO

Governador: Geraldo A lckm in

Secretaria de Estado da Educao de So Paulo

Secretrio: Gabriel Benedito Issac Chalita

Coordenadoria de Estudos e Normas Pedaggicas CENP

Coordenadora: Sonia Maria Silva

UN IVERSIDADE DE SO PAULO

Reitor: Adolpho Jos Melfi

Pr-Reitora de Gra duao

Sonia Teresinha de Sousa Penin

Pr-Reitor de Cultura e Extenso Universitria

Adilson Avansi Abreu

FUNDAO DE APOIO FACULDADE DE EDUCAO FAFE

Presidente do Conselho Curador: Selma Garrido Pimenta

Diretoria Administrativa: An na M aria Pessoa de Carvalho

Diretoria Financeira: Slvia Lu zia Frateschi Trivelato

PROGRAMA PR-UNIVERSITRIO

Coordenadora Geral: Eleny Mitrulis

Vice-coordenado ra Geral: Sonia Maria Vanzella Castellar

Coordenadora Pedaggica: Helena Coharik Chamlian

Coordenadores de rea

Biologia:Paulo Takeo Sano Lyria Mo ri

Fsica: Maurcio Pietrocola N obu ko Ueta

Geografia:Sonia M aria Vanzella Castellar Elvio R odrigues Martins

Histria:Ktia Maria Ab ud R aquel Glezer

Lngua Inglesa: Anna Maria Carmagnani Walkyria Monte Mr

Lngua Portuguesa: Maria Lcia Victrio de O liveira Andrade N eide L uzia de Rezende Valdir Heitor Barzotto

Matemtica: Ant nio Carlos Brolezzi Elvia Mu reb Sallum M artha S. Mon teiro

Qumica: Maria Eunice Ribeiro M arcond es Marcelo G iordan

Produo Editorial Dreampix Comunicao

Reviso, diagrama o, capa e projeto grfico: And r Jun N ishizawa , Eduardo Higa Sokei , Jos Muniz Jr. Mariana Piment a Coan , Mario Guimares Mucida e Wagner Shimabukuro


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Cartas ao

Aluno


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Car ta da

Pr-Reitoria de Graduao

Caro aluno,Com muita alegria, a Universidade de So Paulo, por meio de seus estudantes

e de seus professores, participa dessa parceria com a Secretaria de Estado daEducao, oferecendo a voc o que temos de melhor: conhecimento.Conhecimento a chave para o desenvolvimento das pessoas e das naes

e freqentar o ensino superior a maneira mais efetiva de ampliar conhecimentosde forma sistemtica e de se preparar para uma profisso.

Ingressar numa universidade de reconhecida qualidade e gratuita o desejode tantos jovens como voc. Por isso, a USP, assim como outras universidadespblicas, possui um vestibular to concorrido. Para enfrentar tal concorrncia,muitos alunos do ensino mdio, inclusive os que estudam em escolas particularesde reconhecida qualidade, fazem cursinhos preparatrios, em geral de altocusto e inacessveis maioria dos alunos da escola pblica.

O presente programa oferece a voc a possibilidade de se preparar para enfrentarcom melhores condies um vestibular, retomando aspectos fundamentais daprogramao do ensino mdio. Espera-se, tambm, que essa reviso, orientadapor objetivos educacionais, o auxilie a perceber com clareza o desenvolvimentopessoal que adquiriu ao longo da educao bsica. Tomar posse da prpriaformao certamente lhe dar a segurana necessria para enfrentar qualquersituao de vida e de trabalho.

Enfrente com garra esse programa. Os prximos meses, at os exames emnovembro, exigiro de sua parte muita disciplina e estudo dirio. Os monitorese os professores da USP, em parceria com os professores de sua escola, estose dedicando muito para ajud-lo nessa travessia.

Em nome da comunidade USP, desejo-lhe, meu caro aluno, disposio e vigorpara o presente desafio.

Sonia Teresinha de Sousa Penin.Pr-Reitora de Graduao.


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Car ta da

Secretaria de Estado da Educao

Caro aluno,Com a efetiva expanso e a crescente melhoria do ensino mdio estadual,

os desafios vivenciados por todos os jovens matriculados nas escolas da redeestadual de ensino, no momento de ingressar nas universidades pblicas, vm seinserindo, ao longo dos anos, num contexto aparentemente contraditrio.

Se de um lado nota-se um gradual aumento no percentual dos jovens aprovadosnos exames vestibulares da Fuvest o que, indubitavelmente, comprova aqualidade dos estudos pblicos oferecidos , de outro mostra quo desiguaistm sido as condies apresentadas pelos alunos ao conclurem a ltima etapada educao bsica.

Diante dessa realidade, e com o objetivo de assegurar a esses alunos o patamarde formao bsica necessrio ao restabelecimento da igualdade de direitosdemandados pela continuidade de estudos em nvel superior, a Secretaria deEstado da Educao assumiu, em 2004, o compromisso de abrir, no programadenominado Pr-Universitrio, 5.000 vagas para alunos matriculados na terceirasrie do curso regular do ensino mdio. uma proposta de trabalho que buscaampliar e diversificar as oportunidades de aprendizagem de novos conhecimentose contedos de modo a instrumentalizar o aluno para uma efetiva insero nomundo acadmico. Tal proposta pedaggica buscar contemplar as diferentesdisciplinas do currculo do ensino mdio mediante material didtico especialmenteconstrudo para esse fim.

O Programa no s quer encorajar voc, aluno da escola pblica, a participardo exame seletivo de ingresso no ensino pblico superior, como espera seconstituir em um efetivo canal interativo entre a escola de ensino mdio ea universidade. Num processo de contribuies mtuas, rico e diversificadoem subsdios, essa parceria poder, no caso da estadual paulista, contribuirpara o aperfeioamento de seu currculo, organizao e formao de docentes.

Prof. Sonia Maria SilvaCoordenadora da Coordenadoria de Estudos e Normas Pedaggicas


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Apresentaoda rea

[...] a Matemtica procura compreender os modelos que permeiam o mundo quenos rodeia assim como a mente dentro de ns. [] Assim necessrio colocar anfase:

em procurar solues e no apenas em memorizar procedimentos; em explorar modelos e no apenas em memorizar frmulas; em formular conjecturas e no apenas em fazer exerccios.[...] com essas nfases, os estudantes tero a oportunidade de estudar a Matem-

tica como uma disciplina exploradora, dinmica, que se desenvolve, em lugar de seruma disciplina que tem um corpo rgido, absoluto, fechado, cheio de regras queprecisam ser memorizadas.

Shoenfeld (1992)1

Este curso de Matemtica com durao de 4 meses est sendo oferecido aalunos do ltimo ano do ensino mdio da rede pblica como um incentivo

para continuarem seus estudos em direo ao ensino superior. Embora nocubra todo o programa do ensino mdio, pretende-se estimular o interesse dosalunos pelos diversos temas de Matemtica por meio de abordagens variadas.

Sero estudados tpicos sobre Nmeros, Estatstica, Probabilidade e An-lise Combinatria, Geometria Plana e Espacial, Geometria Analtica, SistemasLineares e Funes, privilegiando o entendimento das possveis facetas deum mesmo assunto, a anlise de resultados obtidos e a interligao entre osdiversos contedos.

Escolhas foram feitas de modo a priorizar sua formao, a discusso deidias e a percepo de que a Matemtica uma disciplina viva que pode serconstruda, e no um amontoado de frmulas prontas para serem decoradas eusadas. Lembrando que realmente aprendemos quando trabalhamos o conhe-cimento, analisando-o de vrias maneiras e usando-o com critrio, considera-remos, sempre que possvel, aplicaes em problemas reais e interdisciplinares.

Acreditando que o intercmbio entre vocs, alunos do ensino mdio, e osalunos da USP, que sero os seus professores, venha a aumentar a sua predis-posio para o ensino superior, desejamos a todosbons estudos!

Coordenao da rea de Matemtica

1SCHOENFELD A. H. Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition and sensemaking in mathematics. In: D. A. Grouws (Ed.). Handbook of research on mathematicas teaching and

learning . p. 334-370. Nova Iorque: MacMillan, 1992.


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Uma das ferramentas mais utilizadas hoje em dia pelos cientistas, analistaseconmico-sociais, profissionais liberais, jornalistas etc. a Estatstica, quedescreve os dados observados e desenvolve a metodologia para a tomada dedeciso em presena da incerteza. O verbeteestatstica foi introduzido nosculo XVIII, tendo origem na palavra latinastatus (Estado), e serviu inicial-mente a objetivos ligados organizao poltico-social, como o fornecimentode dados ao sistema de poder vigente. Hoje em dia, os modelos de aplicaoda Teoria Estatstica se estendem por todas as reas do conhecimento, comotestes educacionais, pesquisas eleitorais, anlise de riscos ambientais, finan-as, controle de qualidade, anlises clnicas,data mining , ndices de desen-volvimento, modelagem de fenmenos atmosfricos etc. Podemos informal-mente dizer que a Teoria Estatstica uma ferramenta que ajuda a tomar deci-ses com base na evidncia disponvel, decises essas afetadas por margensde erro, calculadas atravs de modelos de probabilidade.

No entanto, a probabilidade se desenvolveu muito antes de ser usada emaplicaes da Teoria Estatstica. Um dos marcos consagrados na literaturaprobabilstica foi a correspondncia entre B. Pascal (1623-1662) e P. Fermat(1601-1665), onde o tema era a probabilidade de ganhar em um jogo com dois jogadores, sob determinadas condies. Isso mostra que o desenvolvimento dateoria de probabilidades comeou com uma paixo humana, que so os jogosde azar, mas evoluiu para uma rea fortemente terica, em uma perspectiva demodelar a incerteza, derivando probabilidades a partir de modelos matemti-cos. A anlise combinatria deve grande parte de seu desenvolvimento ne-cessidade de resolver problemas probabilsticos ligados contagem, mas hojeh diversas reas em que seus resultados so fundamentais para o desenvolvi-

mento de teorias, como, por exemplo, a rea de sistemas de informao.Esta apostila tratar das trs reas descritas na introduo: estatstica, pro-

babilidade e combinatria. Para o desenvolvimento dos temas, foi difcil aescolha da ordem e do contedo, limitados que fomos pelo tempo disponvelpara o desenvolvimento de cada assunto. Optamos por fazer um tratamentosucinto de dados, atravs da estatstica descritiva, por oferecer algumas no-es de probabilidade, a fim de trabalhar situaes ligadas incerteza, bemcomo apresentar elementos de anlise combinatria, visando desenvolver oraciocnio para solucionar certos tipos de problemas de contagem dando me-nos nfase ao uso de frmulas.

Apresentaodo mdulo


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Unida de 1

Estatstica descritiva

Cada vez mais os meios de comunicao nos apresentamgrficos e medidas estatsticas resumidas de naturezadescrit iva. Esse um material de apoio que deve ser utilizadopara aprender os conceitos com base em notcias de nossoprprio cotidiano. Os grficos e as estatsticas descritivasnormalmente no so um fim em si mesmos, mas constituemuma parte importante do processo de anlise.

A Estatstica um veculo para que os indivduos, de modo geral, desen-volvam a capacidade de aproveitar as fontes disponveis de informao paraexpressar e construir suas prprias idias. Alm disso, como j dissemos, es-sas noes so parte integrante de todas as reas do conhecimento e certa-mente sero de grande utilidade para o curso universitrio, qualquer que sejaa rea de interesse do estudante, pois praticamente todas as carreiras universi-trias contm uma disciplina de Estatstica, a qual tornou-se um suporte para odesenvolvimento do conhecimento.

Esta seo tem como objetivo mostrar aos alunos como se trabalha umconjunto de dados simples, quer sejam de naturezanumrica quer sejam denaturezaqualitativa. Esses dados normalmente constituem umaamostra dedeterminadapopulaode interesse de alguma rea cientfica, econmica,social etc. muito difcil uma pesquisa envolver todos os elementos de umadeterminada populao (o Censo faz isso), por motivos vrios, e por issoque se recorre s amostras (que so subconjuntos de populaes).

POPULAO Conjunto de todos os indivduos (ou elementos) de interesse.

AMOSTRAQualquer subconjunto de uma populao.

ANLISE DE DADOS Vamos iniciar a anlise descritiva propondo uma tarefa para a classe: cada

um dever medir o palmo de sua mo direita (em cm) com uma rgua e regis-trar o valor inteiro mais prximo. Se a leitura da rgua informar uma medidacom 5 como o primeiro decimal (ex. 18,5 cm), vamos propor um arredonda-mento rpido, mas grosseiro: considere 19 cm, se o dia de seu nascimento forpar, e 18 cm, se for impar. A classe pode discutir esse critrio, pensando com

OrganizadoresAntnio Car losBrolezzi

Elvia M ur ebSallum

Mar tha S.Monteiro

ElaboradoraLisbeth K. Cord an i


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Tabela 1

19 18 23 20 20 21 20 20 19 20F F M F M M F M F M20 20 21 21 20 21 19 17 19 19M M M F F M F F F F

21 21 20 20 21 22 20 21 18 20M M M F M M M M F F

o(a) professor(a) outras formas de arredondamento. Sempre que falarmos aquida varivel palmo , estaremos subentendendo que a medida dada em cm. Osdados abaixo reproduzem as medidas do palmo da mo direita de uma amos-tra (que pertence a uma determinada populao) de 30 adultos e est tambmrepresentada a varivelsexo (categorias M para masculino e F para feminino).

Estes mesmos dados esto representados no chamadoGrfico de pontosque se encontra a seguir. Observe como foi feita a marcao e marque o valordo palmo da sua mo direita na linha assinalada no grfico (respeitando a or-dem numrica). Todos os alunos devero informar seu valor em voz alta e,

medida que cada valor for informado, toda a classe marca tal valor na linhaacima do grfico j construdo quando houver repeties, sigam a sugestodo grfico j feito, isto , coloquem os valores um sobre o outro. Comparem ogrfico obtido com os dados da classe com o proveniente dos dados daTabela 1.

Na situao a seguir, os mesmos dados de palmo da Tabela 1 foram sepa-rados porsexo e os grficos de pontos tm a seguinte forma:

Neste exemplo estamos trabalhando com duas caractersticas,comprimentodo palmo da mo ( palmo ) e sexo . Em estatstica, chamamos essas caracters-ticas devariveise, portanto, temos aqui duas variveis j definidas: umadelas, palmo , tem a classificaonumrica (ou quantitativa)e a outra,sexo , classificada comoqualitativa,apresentando duas categorias, ou seja mas-culino (M) e feminino (F). Vamos registrar os valores de palmo e as categorias


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de sexo em tabelas de freqncias e devem ser registrados, nas tabelas dispo-nveis, os valores obtidos na classe (f denota freqncia absoluta = nmerode pessoas). As variveis numricas podem ser classificadas comocontnuas(provenientes de mensurao) oudiscretas (provenientes de contagem), en-quanto que as qualitativas podem ser classificadas comoordinais (ordem im-plcita) ounominais (sem ordem implcita).

Vimos ento duas maneiras de representar o conjunto de valores da vari-vel numrica palmo : atravs do grfico de pontos e atravs de tabelas de fre-qncias. Tambm a varivel qualitativasexo foi contemplada, tanto na repre-sentao da tabela de freqncias, separando quantos indivduos eram do sexomasculino e quantos eram do feminino, quanto na construo do grfico depontos para a varivel palmo , em que houve umaestratificao para cadacategoria da varivel qualitativasexo (M e F). Compare os valores de palmopara cada categoria desexo .

SEXOMF

f1614

PALMO17181920212223

freqncia f12512811 Tabela 2

PALMO

17181920212223

freqncia fPPPPPREENCHAREENCHAREENCHAREENCHAREENCHA

SEXOMF

f

TTTTTENTEENTEENTEENTEENTE FFFFFAZERAZERAZERAZERAZERColete os valores da varivelpalmo da mo esquerda de todos os colegas e trabalhecom a diferena entre as medidas (mo esquerda mo direitamo esquerda mo direit amo esquerda mo direitamo esquerda mo direit amo esquerda mo direita). Construa o grficode pontos para as diferenas e a tabela de freqncias. Repare que voc trabalhou commedidas nos mesmos indivduos isso significa que voc trabalhou com dados

emparelhados (ou pareados). Discuta e compare o comportamento dopalmo da modireita e da mo esquerda atravs das diferenas.

Considerando novamente a varivel palmo , alm de usarmos todos osvalores em um grfico ou em uma tabela, podemos caracterizar o comporta-mento dos dados a partir de um (ou mais) valores que a caracterizem so aschamadasmedidas -resumo .

Medidas -resumo de variveis numricas podem ser de dois tipos: deposioposioposioposioposio e devariabilidadevariabilidadevariabilidadevariabilidadevariabilidade.

H vrias medidas de posio, assim chamadas porque podem ser assina-ladas no mesmo eixo de representao dos pontos (por exemplo, podem ser


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17 18 18 19 19 19 19 19 20 2020 20 20 20 20 20 20 20 20 2021 21 21 21 21 21 21 21 22 23

A classe dever fazer a mdia dos valores obtidos da varivel PALMO detodos os seus alunos.

Tanto no caso dos dados daTabela 1como naqueles daTabela 2,no houvenenhuma perda de informao e os valores da mdia so idnticos. Se a tabelade freqncias disponvel fosse aTabela 4 (que apresentaremos adiante) entohaveria perda de informao, pois os dados estariam compactados em classes eo clculo da mdia seria feito com o ponto mdio de cada classe como valor deX assim, com perda de informao, a mdia obtida no seria necessariamenteigual anterior. No vamos aqui explorar esse contedo para o clculo de me-didas descritivas, uma vez que com os recursos computacionais atuais no necessrio dividir os dados em classes com esse objetivo. No entanto, veremosuma aplicao grfica com aTabela 4, cujos dados esto divididos em classes.

A mediana da varivel palmo um valor que divide o conjunto dos valo-res dessa varivel em duas partes: metade dos valores inferior (ou igual) mediana e a outra metade apresenta valores maiores (ou iguais) mediana.Para encontrar a mediana ento necessrio ordenar os valores da varivel everificar o valor que ocupa a posio central. Se o nmero de elementos forpar, e esse o caso do exemplo (com n = 30), toma-se para mediana a mdiaaritmtica entre os dois valores centrais neste caso ser a mdia entre o 15oe o 16o elementos. Ordenando os dados de palmo do menor para o maior(pode ser tambm ao contrrio), tem-se:

X = [(1. 17 + 2. 18 + 5. 19 + 12 . 20 + 8 . 21 + 1. 22 + 1. 23) / 30 ] 20 cm

Tabela 3

X

X

n

i

i

n

=

1 (1)

onde f i a freqncia do valor Xi, n a soma de f i e a mdia evidentementeigual anterior:

(2) X f X

n

i ii

k

= =.

1

representadas no grfico de pontos). Comearemos pelas chamadas de ten-dncia central: a mdia, a mediana e a moda.

A mdia (aritmtica) da varivel palmo obtida atravs da somatria de todosos valores de palmo dividida por 30 (dados daTabela 1). A notao usual :

onde X a representao para palmo (cada um pode escolher a sua represen-tao), a notao usual para mdia de X en o nmero de elementos.Fazendo ento o clculo, vem:

= [(17 + 18 + 18 +.+ 22 + 23) / 30] 20 cm(aqui o resultado uma dzima peridica e vamos trabalhar com este valor aproximado)

Com os valores apresentados sob a forma de tabela de freqncias, a ex-presso para a mdia aritmtica fica:

X

X

Mdiaaritmtica de palmo = =


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O 15o valor 20 e o 16o valor tambm 20. Portanto, a mediana da varivel palmo 20 cm. Verifiquem a mediana da varivel palmo do conjunto da classe.

A terceira medida de tendncia central amoda, que definida comosendo o valor mais freqente. No nosso exemplo bem claro o valor da moda,pois o valor mais freqente 20 cm. Nem sempre a moda to evidente e hsituaes com mais de uma moda.

Depois de calcular a mdia, a mediana e a moda, posicionem esses valoresno grfico de pontos, feito inicialmente com os dados da classe. fcil entoentender por que elas se chamam medidas de tendncia central elas resumemos dados como se estivessem procurando um equilbrio entre eles. Os dadosda Tabela 1 mostram uma certa simetria, situao em que mdia, mediana emoda praticamente coincidem (rigidamente falando, a mdia no exatamente20 e sim 20,033...). Vejam qual a situao dos dados obtidos por vocs.

H o costume de resumir um conjunto de dados pelo valor de algumamedida de tendncia central a mdia geralmente a mais utilizada, emboraem certos casos ela no reflita o comportamento dos dados. Como exemplodisso, pode-se citar o caso em que ocorre um valor muito extremo em relaoaos demais: a mdia ser afetada fortemente por ele e ento se deslocar emsua direo, no sendo, portanto, a melhor opo para resumir tais dados.Neste caso, a mediana mais eficiente.

Se temos uma discusso em uma empresa entre patres e empregados, porexemplo, onde os salrios so em sua grande parte (80%) iguais a um salriomnimo, e os demais mais do que 50 salrios mnimos, o salrio mdio daruma idia distorcida do poder aquisitivo dos membros da empresa. Nessecaso, a mediana, que ser igual a um salrio mnimo, ser mais informativa.Calculem, por exemplo, a mdia dos valores 1, 2, 5, 7 e 10: a resposta ser 5.Se o nmero 10 for substitudo pelo valor 100, a mdia ser 23, de onde sepercebe o quanto ela influenciada pelo valor extremo 100. A mediana nosdois casos 5, o que mostra que ela uma medida robusta em relao avalores extremos.

Outras medidas descritivas de posio so: valormximo, valormnimo, 1oquartil (Q1)e 3o quartil (Q3). As duas primeiras so auto-explicativas e passa-remos rapidamente pela definio das outras duas: o 1o quartil como se fossea mediana da primeira metade dos dados e o 3o quartil como se fosse a medi-ana da segunda metade dos dados. As quatro medidas acima mais a medianaso suficientes para construir um grfico de variveis numricas conhecidocomoboxplot ou grfico de caixas, ou, ainda, grfico dos cinco pontos. O leitorinteressado ir encontrar a sua construo nas referncias desta apostila.

TTTTTENTEENTEENTEENTEENTE FFFFFAZERAZERAZERAZERAZERCalcule as medidas de posio para as diferenas (mo esquerda - mo direita). Discuta.

No entanto, apesar de as medidas de posio ajudarem na compreensodo comportamento dos dados, elas so incompletas para caracterizar o com-portamento das variveis, como mostra o prximo exemplo.Exemplo 1:Imagine que 3 pessoas da famlia A apresentem para a varivel

palmo os valores 19, 23 e 24 e que 3 pessoas da famlia B apresentem os valores22, 22 e 22. Vamos calcular a mdia dessa varivel para ambas as famlias:

Mdia da famlia A =A = [(19 + 23 + 24) / 3] = 22Mdia da famlia B =B = [(22+22+22) / 3] = 22

X

X


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Conclumos ento que ambas as famlias apresentam a mesma mdia. Serque isso basta? Vamos continuar trabalhando com esses dados. Marque osvalores da varivel palmo de cada famlia na linha abaixo (isto , faa umgrfico de pontos), e note a diferena de comportamento entre os mesmos.

Voc deve ter percebido que na famlia B todos os valores esto concen-trados e na famlia A os valores esto dispersos. Esse aspecto no percebidose calcularmos somente a mdia, pois, como vimos, ela igual para ambas asfamlias. Isso mostra que devemos complementar a medida de posio commais alguma coisa a fim de caracterizar as famlias quanto varivel palmo .Voltaremos a este exemplo oportunamente.

H uma idia permeando esta discusso que diz respeito diferena decomportamento entre os dois grupos: a idia devariabilidade. Medidas des-critivas de variabilidade representam a disperso dos dados e podem ser defi-nidas tambm por medidas resumo das variveis numricas em estudo. Fala-

remos aqui daamplitude, varincia e desvio padro.A amplitude a medida mais simples de variabilidade e obtida atravs da

diferena entre os valores mximo e mnimo da varivel em estudo, ou seja:

AMPLITUDE = MXIMO MNIMO (3)

Para os dados daTabela 1, a amplitude igual a 23 17 = 6 cm (ser tosimples , ao mesmo tempo, uma vantagem fcil de aprender e de aplicar , euma desvantagem s trabalha com os valores extremos, ignorando o resto).

Uma medida de disperso mais rica de informao do que a amplitude,deveria utilizar todos os dados disponveis e uma idia poderia ser o clculodas diferenas entre cada valor e a mdia. S que tais diferenas, ao seremsomadas (para se obter uma disperso total), do como resultado o valor zero,qualquer que seja o conjunto de dados (experimente!), o que inviabilizaria oseu uso. Um modo de contornar esse problema seria considerar essas diferen-as ao quadrado e outro seria considerar o mdulo das diferenas. Cada umdeles levar a uma medida de disperso: considerando o quadrado, tem-se aVarincia e considerando o mdulo tem-se oDesvio Mdio Absoluto(esteno ser discutido aqui ver referncias). AVarincia uma mdia dos qua-drados das diferenas e calcula-se atravs da expresso:

Aqui bom frisar que o intuitivo seria fazer esta mdia comn no denomina-dor questes tericas, fora do escopo deste texto, nos levam a usar(n 1),principalmente em casos onde estamos usandoamostras . Quanto unidadeassociada varincia, ela no a mesma unidade dos dados originais e sim oquadrado dela neste exemplo, a unidade da varincia cm2. Com os dadosda Tabela 1 temos:

Varincia 1,48 cm2

Varincia =

18 25

Varincia (4)=

=

= = ( ) ( ) X

n

X X

n

i

i

n

i

i

n 2

1

2

11 1

mdia

[(19 20)2 + (18 20)2 +(23 20)2 + + (18 20)2 + (20 20)2](30 1)


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No entanto, desejvel termos caractersticas da varivel apresentadas namesma unidade dos dados coletados, o que neste caso significa ter uma medi-da de variabilidade em cm. Define-se, ento, uma medida resumo para varia-bilidade, oDesvio Padro, que a raiz quadrada da varincia.

Com os dados daTabela 1, temos Desvio Padro 1,22 cm (resgatando aunidade de medida original, que era cm).Exemplo 1 (cont.): continuando com a anlise das famlias A e B, verifiqueque a amplitude da famlia A 5 cm e que a da famlia B 0 cm. Isso j duma boa idia da diferena entre as famlias, diferena esta que no havia sidodetectada pela mdia! Da a importncia do clculo de medidas de variabili-dade, as quais, acopladas com a mdia (ou com outras medidas de posio),permitem uma boa caracterizao das variveis de interesse.

Neste caso, a amplitude j seria suficiente para caracterizar a variabilida-de, uma vez que temos somente 3 valores. Mas vamos aproveit-los para oclculo do desvio padro e, para isso, precisamos calcular primeiro a varincia.

A:VarinciaA= = = =

A:VarinciaA= 7 cm2

D.P.A= 2,65 cm e D.P.B= 0 cm.7

TTTTTENTEENTEENTEENTEENTE FFFFFAZERAZERAZERAZERAZERNo caso da tabela de freqncias com os dados da TTTTTabababababela 1,ela 1,ela 1,ela 1,ela 1, como seria feito o clculoda varincia? Recalcule e compare com o valor obtido anteriormente.

Verifique que a varincia dos dados da famlia B igual a zero. A partir davarincia podemos calcular os desvios-padro (D.P.). Assim:

TTTTTENTEENTEENTEENTEENTE FFFFFAZERAZERAZERAZERAZER

Calcule as medidas de variabilidade para as diferenas (mo esquerda - mo direita).Discuta.

Quando a varivel apresenta uma certa simetria, o intervalo [mdia 1desvio padro; mdia + 1 desvio padro] contm aproximadamente 70% dosdados; o intervalo [mdia 2 desvios padro; mdia + 2 desvios padro]contm aproximadamente 95% dos dados e o intervalo [mdia 3 desvios

padro; mdia + 3 desvios padro] contm aproximadamente 99% dos dados.Este um resultado que possibilita ter idia da amplitude dos dados quando seconhece a mdia e o desvio padro dos mesmos.

Exemplo 2: com os dados daTabela 1 vamos verificar o que foi dito acima. Amdia ( ) 20 e vamos considerar o desvio padro como sendo 1,2. Da vem:

a) 1 D.P. = 20 1,2 = 18,8 + 1 D.P. = 20 + 1,2 = 21,2b) 2 D.P. = 20 2. 1,2 = 17,6 + 2 D.P. = 20 + 2 . 1,2 = 22,4c) 3 D.P. = 20 3.1,2 = 16,4 + 3 D.P. = 20 + 3 . 1,2 = 23,6

X

X

X

X

X

X

X

(5)=Desvio Padro Varincia

(19 - 22)2+ (23 - 22)2+ (24 - 22)2 (-3)2 + ( 1)2+ (2)2 9 + 1 + 43 -1 3-1 2


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Para verificar quantos so os valores que esto nos intervalos de interesse,podemos nos reportar Tabela 3, que representa os dados daTabela 1 demodo ordenado. Verifica-se assim que:- no intervalo ema, (18,8; 21,2), encontramos 25 valores naTabela 3 (83%).- no intervalo emb, (17,6; 22,4), encontramos 28 valores naTabela 3 (93%).

- no intervalo emc, (16,4; 23,6), encontramos 30 valores naTabela 3 (100%).TTTTTENTEENTEENTEENTEENTE FFFFFAZERAZERAZERAZERAZERPara os dados coletados em classe determine a porcentagem dos valores que pertencema cada um dos intervalos definidos acima. Compare com os resultados do Exemplo 2.

Voltando anlise grfica, vamos terminar a abordagem descritiva commais trs grficos, um para variveis qualitativas e dois deles para variveisnumricas. O primeiro ser o chamadoGrfico de Setores(informalmentechamado de grfico em pizza) que mostramos a seguir e que representa aproporo de homens e mulheres nos dados apresentados naTabela 1. Faa,no espao em branco, um grfico de setores utilizando as freqncias da va-

rivel (sexo) coletada em classe.

O prximo grfico utilizado para variveis numricas, como a varivel palmo , em que os valores esto dispostos emclasses , numa tabela de freqn-cias (Tabela 4). A Tabela 2 tambm uma tabela de freqncias, porm, osdados no esto dispostos em classes, como naTabela 4. Ento, com os da-dos daTabela 1, vamos construir uma tabela de freqncias a partir de classes(ou intervalos), construdas de preferncia com a mesma amplitude, com suasrespectivas freqncias. ATabela 4 dar origem ao grfico denominadoHis-tograma: um grfico cuja abscissa formada pelas classes justapostas e cujaordenada formada pelas freqncias absolutas correspondentes a cada clas-se. Este grfico pode tambm ser construdo com as freqncias relativas (%)ou comdensidades , mas essas abordagens no sero desenvolvidas aqui.

PPPPPREENCHAREENCHAREENCHAREENCHAREENCHA

freqncia f1

7

20

2

PALMO16|18

18|20

20|22

22|24Tabela 4

Obs.: O smbolo 16 |-18 significaintervalo fechado esquerda: ovalor esquerda, 16, est includona classe e o valor direita, 18, noest includo na classe ( equiva-lente notao [16, 18[, vista naapostila 1).

PALMO freqncia f

Construa a tabela com os dados coletados na classe


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O ltimo grfico que veremos neste tpico aquele que relaciona duasvariveis numricas: diagrama de disperso, que nada mais do que a repre-sentao em um eixo de coordenadas cartesianas de pares associados a duasvariveis numricas. ATabela 5mostra mais duas variveis coletadas na amos-tra dos trinta adultos: aaltura e o peso . Normalmente (mas no obrigatoria-mente) o grfico de disperso das variveis peso e altura mostra um compor-tamento crescente (aproximadamente linear), com a possvel interpretao deque peso e altura so diretamente proporcionais.

CCCCConstrua um histograma paraos dados da varivel palmopalmopalmopalmopalmocoletados na classe.

TTTTTENTEENTEENTEENTEENTE FFFFFAZERAZERAZERAZERAZERConstrua a tabela de freqncias das diferenas entre as medidas da mo esquerda e damo direita e o correspondente histograma. Use as freqncias relativas na ordenada.

SexoSexoSexoSexoSexo Peso (Kg)Peso (Kg)Peso (Kg)Peso (Kg)Peso (Kg) Altura (m)Altura (m)Altura (m)Altura (m)Altura (m)M 94 1,85M 99 1,92M 84 1,75M 88 1,88F 70 1,66F 65 1,58M 73 1,75F 72 1,76F 59 1,60F 70 1,65F 80 1,75M 85 1,75M 85 1,82M 85 1,73F 69 1,72M 85 1,86F 66 1,73M 83 1,72F 72 1,70M 83 1,71F 67 1,63F 69 1,71M 99 1,89M 83 1,81F 64 1,70M 94 1,89F 72 1,74F 69 1,70M 83 1,72M 88 1,79 Tabela 5


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V-se acima o grfico de disperso das variveis ( peso (x), altura (y)) e,neste caso, os valores foram separados pela varivelsexo . possvel ampliaro estudo das relaes entre duas variveis numricas, quer ajustando umafuno, como, por exemplo, uma reta neste caso (ou mesmo duas, uma para oSEXO masculino e outra para o SEXO feminino), quer calculando a forada relao entre as variveis atravs de algum coeficiente (por exemplo, ocoeficiente de correlao linear de Pearson). No entanto, essas abordagensno sero feitas neste texto, e as referncias bibliogrficas podem ser consul-tadas para este fim.

TTTTTENTEENTEENTEENTEENTE FFFFFAZERAZERAZERAZERAZERColete na sua classe os dados de altura e peso e construa o grfico de disperso comessas variveis. Faa sem separar por sexo e depois faa com a separao. Comente ecompare com o grfico de disperso aqui apresentado.

Finalizando, gostaramos de mencionar um grfico de disperso especialem que a abscissa o tempo (anos, meses, dias etc) e a ordenada o valor da

varivel de interesse (cotao do dlar, risco-pas,

acompanhamento das mars, vendas de eletrodo-msticos etc.) em cada instante: so as chamadasSries de Tempousadas para descrever o compor-tamento de variveis ao longo do tempo. A rea deeconomia uma das que mais fazem uso das Sriesde Tempo, principalmente para variveis associa-das ao mercado financeiro. A seguir, apresentamosuma Srie de Tempo (Folha de So Paulo, 24 demaio de 2004) que mostra o crescimento dos ve-culos convertidos para o Gs Natural Veicular (GNV)no Brasil ao longo dos anos (com ** significando ovalor de uma previso ).

TTTTTENTEENTEENTEENTEENTE FFFFFAZERAZERAZERAZERAZERColete os dados do risco-pas (voc sabe o que isso?) do primeiro dia til de cada ms,de janeiro de 2004 at o ms atual, e construa o grfico de Srie de Tempo. Voc acharesses dados em jornais de circulao nacional. Comente o aspecto do grfico ao longodo tempo.

Para outros dados, como, por exemplo, dados da Pesquisa Domiciliar oumesmo alguns relativos ao Censo, consulte o site www.ibge.gov.br.


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Mais do que um arcabouo tcnico, o racio-cnio estatstico uma forma de pensar e, asso-ciado aoClculo de probabilidades, permite ainvestigao de certas regularidades, de padresde comportamento, com concluses tomadas

levando em conta um risco associado. Se estivermos interessados em saberqual a probabilidade de obter 10 Caras em 10 lanamentos independentes deuma moedahonesta temos um problema de probabilidade a ser resolvido (e aresposta exata: (1/2)10). Por outro lado, se temos em mos uma moeda equeremos saber se ela honesta, podemos, por exemplo, jog-la 10 vezes(jogadas independentes uma da outra) e observar o resultado. Se o resultadofor 10 Caras, o que podemos concluir sobre a honestidade da moeda? Tere-mos uma concluso to precisa quanto a obtida na resposta anterior? A res-posta no, pois qualquer que seja nossa deciso sobre a moeda, temos umrisco associado (ou seja, posso dizer que ela no honesta e ela ser honesta ou posso dizer que ela honesta e ela no ser honesta). O primeiro exem-plo refere-se a um problema de probabilidade e o segundo um problemaestatstico. De fato, neste segundo exemplo temos uma informao de umaamostra (resultado de 10 lances de uma moeda) e queremos tirar uma conclu-so para a populao (probabilidade de Cara) esta operao chamada deinferncia estatstica, e construda levando-se em conta uma margem deerro na concluso, obtida atravs de raciocnio probabilstico. Na seo ante-rior vimos como trabalhar com amostras, sob o ponto de vista de anlise dedados. No abordaremos aqui nesta apostila a anlise inferencial (que podeser vista nas referncias bibliogrficas) e passaremos a desenvolver noesbsicas de probabilidade.

Como j comentamos na introduo, a rea de probabilidade comeou a serdesenvolvida para responder questes propostas em jogos de azar, desde o s-culo XVII, mas a rea desenvolveu-se muitssimo desde ento. O termo pro-babilidade faz parte do senso comum e as pessoas vivem o cotidiano calculan-do tacitamente algumas probabilidades: desde situaes de sua vida pessoal(organizando-se para chegar ao trabalho no horrio, levando em conta as cir-cunstncias do trfego; agasalhando-se ao sair de casa se a previso do tempoindicar uma frente fria; no tomando determinados remdios que possam terefeitos colaterais em parte das pessoas etc) at tomadas de deciso em sua vidaprofissional (abrir um negcio, aplicar dinheiro na Bolsa de Valores etc.).

Trabalharemos aqui algumas noes elementares do clculo de probabili-dades, para comear a pensar a incerteza. Antes mesmo de definir o termoprobabilidade, vamos caracterizar trs situaes distintas:

Unida de 2

ProbabilidadeOrganizadores

Antnio Car losBrolezzi

Elvia M ur ebSallum

Mar tha S.Monteiro

ElaboradoraLisbeth K. Cord an i


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Normalmente as pessoas sugerem como resposta o valor 50% (1/2) para aSituao A, e argumentam que esta resposta se deve ao fato de os valorespossveis serem dois (Cara ou Coroa) e os favorveis apenas um (Cara), o queproduziria o quociente 1/2. Quando se passa Situao B, em que h tambmdois valores possveis (germinar, no germinar) a resposta imediata igual anterior, mas aps uma pequena discusso, perguntando se elas comprariamuma saca de sementes, em que a probabilidade de germinao por sementefosse igual a 1/2, imediatamente percebem que no faz sentido aplicar a mes-ma regra. Geralmente algum sugere fazer um experimento plantando umnmero grande de sementes, para observar quantas germinam. J com a Situ-ao C, comeam a perceber que os trs problemas tm naturezas diferentes eque nem a primeira situao nem a segunda poderiam ajudar a responder apergunta formulada na terceira situao.

A resposta 1/2 para a pergunta da Situao A deve-se, possivelmente, aocostume de ser usada uma moeda para decidir qual time comea jogandodeterminada partida isso atestaria a qualidade de honestidade intrnsecada moeda, dando a mesma chance para qualquer dos dois resultados. Estaqui ento implcita a premissa que deve ser colocada para que a respostadada Situao A seja verdadeira: ambos os resultados (Cara e Coroa) tm amesma chance de ocorrer, o que naturalmente levaria ao clculo da probabili-dade de Cara no lanamento de uma moeda honesta uma vez, atravs da cha-madadefinio clssica de probabilidade:

Situao A:Situao A:Situao A:Situao A:Situao A: qual a probabilidade desair Cara no lanamento de umamoeda uma vez?

Sit uao C:Sit uao C:Sit uao C:Sit uao C:Sit uao C: qual a probabilidade deo Brasil ganhar a prxima Copa doMundo de futebol?

Situao B:Situao B:Situao B:Situao B:Sit uao B: qual a probabilidade deuma semente germinar ao serplantada?

Para a situao B, ao se fazer o experimento com as sementes, toma-secomo probabilidade o valor para o qualtende a freqncia relativa de semen-tes germinadas (aqui est implcita a noo de limite, que no ser exploradaneste texto) aps um nmero muito grande de ensaios. Assim temos adefini-o freqentista de probabilidade:

Esta definio leva em conta um resultado (Lei dos Grandes Nmeros Bernoulli, sc. XVII) que diz que medida que os ensaios vo aumentando

nmero de casos favorveisnmero de casos possveisP(Cara) =

nmero de sementes germinadasnmero de sementes plantadasP(germinar)


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(sementes idnticas plantadas sob as mesma condies), a freqncia relativavai se estabilizando e aproximando-se do valor terico da probabilidade degerminar.

TTTTTENTEENTEENTEENTEENTE FFFFFAZERAZERAZERAZERAZERJogue uma moeda 10 vezes e marque a freqncia relativa de Caras. Repita para 20lances, 30 lances, 40 lances e 50 lances. Coloque as freqncias observadas comoordenadas num grfico em que a abscissa seja o nmero de tentativas. Compare com oresultado dos colegas. Comente.

Nessa tabela os valores 200 e 200 significam o total de funcionrios tantodo sexo masculino quanto do feminino, sem levar em contaopinio . De modoanlogo, 190 e 210 representam a quantidade desim e no , respectivamente,sem levar em conta osexo . Os valores internos representam conjuntamentesexo e opinio por exemplo, h 140 funcionrios que so do sexo femininoe que responderamsim .

OpinioOpinioOpinioOpinioOpinio

SexoSexoSexoSexoSexoMMMMM 50 150 200200200200200FFFFF 140 60 200200200200200totaltotaltotaltotaltotal 190190190190190 210210210210210 400400400400400

simsimsimsimsim nonononono totaltotaltotaltotaltotal

Bem diferente dessas duas abordagens a Situao C, sobre a probabili-dade de o Brasil ganhar a prxima Copa do Mundo de futebol. Neste caso,no razovel pensar nem em aplicar a definio clssica (que teria que su-por que as possibilidades tm igual chance de ocorrer) e nem a definiofreqentista (pois no h como gerar dados atravs de repetio). A respostaser de carter individual, baseada tanto em desempenhos anteriores (regis-tros histricos) da seleo brasileira e das demais participantes, como no co-nhecimento do estgio atual das mesmas e ainda em um sentimento particu-lar, que pode mudar de indivduo para indivduo. O carter subjetivo destasituao sugere a definio de probabilidade subjetiva, que a opinio indivi-dual sobre determinado resultado, a qual pode ou no ser baseada em infor-mao anterior (informaoa priori ). Assim, podemos chamar genericamen-te dep a Probabilidade (Brasil ganhar a prxima Copa do Mundo de Fute-bol) algum pode colocar 0,8 (80%) ou 0,30 (30%) ou qualquer outro valorentre 0 e 1 (ou entre 0% e 100%) .

O que h de comum entre essas trs abordagens que, para todos, a pro-babilidade (p) um nmero entre 0 e 1 que goza de algumas propriedades e,em cada situao, devemos verificar o processo mais adequado para calcul-la. Resumindo, temos que0 p 1.

Exemplo 3:havia um boato na empresa MEX de que os funcionrios estariamdescontentes com o salrio. O diretor de RH resolveu fazer uma pesquisaentre os seus 400 funcionrios, os quais foram chamados a responder sim ouno seguinte pergunta:

Voc aceita uma reduo de jornada com reduo de salrio?

Os resultados foram registrados na chamadatabela de contingncia comosegue:


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A resposta questo 3 foi obtida atravs da verificao de quantos funcionrios podemser ou NO ou F, ou mesmo ambos, ou seja, a unio entre os funcionrios NO com osfuncionrios F. Veja que so retirados da soma os 60 funcionrios que foram contadosduas vezes.

A resposta questo 4 foi obtida diretamente do valor do interior da tabela, ou seja,dentre os 400 funcionrios, 60 responderamno e ao mesmo tempo so do sexo feminino .A questo 5 tem raciocnio anlogo. Verifique!

A resposta questo 6 levou em conta a informao, ou seja, podemos pensar que,quando foi feito o sorteio o diretor olhou o resultado e avisou: o funcionrio sorteadorespondeu no ! Com essa informao, o total de funcionrios diminuiu de 400 para 210,que o total marginal para as respostasno e ento o denominador para o clculo da

probabilidade fica sendo 210 e o numerador igual ao nmero mulheres na categoriano (60).

Vamos agora dar uma forma alternativa resposta da questo P (F |NO) atravs da definio deprobabilidade condicional(sabendo que =condicionado a)

P (F | NO) = [ P (F e NO)] / (P(NO)] (8)

4 P(NOe F) = ? (Interseco )Resposta: P(NOe F) = (60/400) = 0,15 (ou 15%).

U

5 P(SIMe F) = ? Resposta: P (SIMe F) = (140/400) = 0,35 (35%)

Antes de passarmos a discutir a prxima questo, vamos voltar questo3, que trata daprobabilidadeda unio de dois eventos. Genericamente, para

dois eventos A e B, a probabilidade de A ou B (A unio B) dada porP(A B) = P(A) +P(B) P(A B)

Evidentemente, se a interseco for vazia, temos que a probabilidade as-sociada nula, e dizemos que A e B so eventos disjuntos. Vem ento que, seA e B forem eventosdisjuntos (ou mutuamente exclusivos),

P(A B) = P(A) + P(B)

Como responder questo 6? Aqui surge uma linguagem nova:dado que.Isso significa que queremos um valor de probabilidade, mas temos algumainformao adicional (dado que = sabendo que). A notao que usaremospara dado que ser uma barra vertical| , como a seguir:

6 P (F dado NO) = P (F | NO) = ?Resposta: P (F | NO) = (60/210) 0,286 (ou 28,6%).

(6)

(7)

UU

U


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Com os resultados j calculados, e com P (F e NO) = P (NO e F) (veri-fique!), vem

P (F | NO) = [0,15 / 0,525] 0,286 (ou 28,6%),

com resposta igual j obtida diretamente da tabela.

Atravs da expresso(6) podemos derivar uma expresso formal para aprobabilidade conjunta,como nas questes 4 e 5, ou seja:

Verifique que P (NO | F) igual a (60/200) = 0,30(ou 30%)!

(9)P(NO e F) = P(F e NO) = P(F |NO).P(NO) = P(NO |F).P(F)

P(SIM e F) = P(F e SIM ) = P(F |SIM).P(SIM) = P(SIM |F).P(F)

Vamos retomar a questo 6 para introduzir um novo conceito:indepen-dncia entre eventos. Nessa questo, calculamos a probabilidade condicionalde o sorteado ser dosexo feminino sabendo que a resposta foino , isto , P (F| NO). O resultado foi aproximadamente 0,286 ou, em termos percentuais,28,6%, o que significa que sabendo que a resposta foino , a probabilidade deo sorteado ser dosexo feminino de 28,6%. Na questo 1, vimos que a proba-bilidade de o sorteado ser dosexo feminino de 50%, o que mostra que quan-do damos a informao de que a resposta foino , a probabilidade de ser dosexo feminino diminui substancialmente (de 50% para 28,6%). Isso significaque oseventosrespostano e sexo feminino so dependentes, pois a informa-o de que um ocorreu muda a probabilidade de o outro ocorrer.

Voltando explicao dada na questo 6, quando o diretor avisou que ofuncionrio sorteado tinha respondidono, os funcionrios dosexo feminino j viram suas chances diminurem, pois com respostano havia 150 homense somente 60 mulheres, ou seja, repetindo, saber que a resposta do funcion-rio sorteado foino diminuiu a chance do sorteado ser dosexo feminino . Sobo ponto de vista da pesquisa que deu origem tabela, fcil ver ento que asmulheres, diferentemente dos homens, aceitam, em sua maioria, a reduo de jornada com reduo de salrio.

De um modo geral, dizemos que dois eventos A e B soindependentesindependentesindependentesindependentesindependentes quando a informao de que B ocorreu no alteraa probabilidade da ocorrncia de A, isto ,(P(A|B) = P(A))(P(A|B) = P(A))(P(A|B) = P(A))(P(A|B) = P(A))(P(A|B) = P(A)). No casodescrito acima, os eventosFFFFF eNONONONONO so dependentes.

(10)

A ltima afirmao implica que se A e B forem eventos independentes,ento

pois, de acordo com a definio de independncia, P(A|B) = P(A). A expres-so (11) pode ser usada como alternativa definio(10) para verificar sedois eventos so independentes.

TTTTTENTEENTEENTEENTEENTE FFFFFAZERAZERAZERAZERAZERCom os dados do Exemplo 3 mostre, usando a expresso (11), que os eventos NO e Fso dependentes (ou no so independentes).

(11)P(A B) = P(A) . P(B) U


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TTTTTENTEENTEENTEENTEENTE FFFFFAZERAZERAZERAZERAZERMostre que dois eventos disjuntos no so independentes.

Ao conjunto de todos os resultados possveis associados a um experimen-to d-se o nome deEspao Amostral (S)e os subconjuntos do espao amostralso chamados deEventos (ver pg. 26). Se o experimento relacionar-se acaractersticas numricas contnuas por exemplo, o tempo de durao deuma lmpada sorteada ao acaso de um lote de lmpadas , o espao amostralpoderia ser descrito como {t | t 0}. Contudo, nesta apostila s abordaremossituaes numricas discretas.

TTTTTENTEENTEENTEENTEENTE FFFFFAZERAZERAZERAZERAZER

Usando os dados do Exemplo 3, mostre que:P(SIM) = 1 P(NO) e que P(M) = 1 P(F). Ou seja,

P(A) = 1 P(AAAAAccccc))))), para A UAAAAAccccc = S (espao amostral).= S (espao amostral).= S (espao amostral).= S (espao amostral).= S (espao amostral).

TTTTTENTEENTEENTEENTEENTE FFFFFAZERAZERAZERAZERAZER- descreva um espao amostral associado ao lanamento de uma moeda duas vezes;

- descreva um espao amostral associado aos gols de uma partida de futebol;

- descreva um espao amostral associado coleta de peso de recm-nascidos.

Em seguida, faremos uma representao ainda do mesmo problema dosfuncionrios, em que um deles sorteado, atravs do diagrama de rvore, oque muitas vezes torna mais fcil a visualizao dos resultados e das respecti-vas probabilidades.

Podemos comear o diagrama por uma ou por outra caracterstica va-mos comear pelaopinio . Partindo do princpio de que o sorteado ou do

sexo feminino ou do sexo masculino , construiremos dois ramos iniciais partin-do do mesmo ponto e depois prosseguimos com os outros ramos referentes caractersticasexo (M ou F), conforme segue:

P(SIM e M) = (190/400).(50/190)= 0,125(ou 12,5%)

P(SIM e F) = (190/400).(140/190)= 0,35 (ou 35%)

P(NO e M)= (210/400).(150/210)= 0,375(ou 37,5%)

P(NO e F) = (210/400).(60/210)= 0,15 (ou 15%)

M

F

M

F

SIM

NO

190/400

210/400

50/190

140/190

150/210

60/210

P(M | SIM)


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TTTTTENTEENTEENTEENTEENTE FFFFFAZERAZERAZERAZERAZERNo espao a seguir, faa um diagrama de rvore iniciando pela caractersticasexo .Verifique que o conjunto dos resultados associados aos caminhos constitui o espaoamostral j visto.

O diagrama de rvore tem todos os ramos e probabilidades associados aoexperimento de sortear um indivduo da tabela inicialmente apresentada. Osramos iniciais, antes do trao vertical, representam eventos marginais databela e as probabilidades tambm podem ser chamadas de marginais. Como j havia sido visto na questo 2, P(NO) = (210/400) = 0,525. Como comrelao OPINIO h somente duas possibilidades, podemos encontrar aP(SIM) pelocomplementar , ou seja, P(SIM) = 1 P(NO) = 1 0,525 = 0,475(= 190/400). Depois do trao, os eventos so considerados condicionais edevem levar em conta a ocorrncia antes do trao. Assim, o valor 50/190 P(M|SIM). O valor da probabilidade pedida na questo 6 obtido diretamenteno ltimo ramo aps o trao, ou seja, P(F|NO) = 60/210 0,286 (28,6%).

Ainda observando a rvore, vemos que ao percorrer os caminhos, desde on inicial, temos quatro resultados, SIM M, SIM F, NO M e NO F, cujasprobabilidades podem ser obtidas atravs do produto dos ramos correspon-dentes. Na verdade, isso no novidade, pois as relaes vistas anteriormentepermitem faz-lo, ou seja, cada probabilidade pode ser calculada pelo produ-to entre uma probabilidade marginal e uma condicional. De fato, temos, porexemplo, para clculo de P(NOe F) o produto (210/400).(60/210) = 0,15(ou 15%, valor j obtido como resposta questo 4).

Veremos a seguir uma aplicao do diagrama de rvore para um problemada rea financeira.Exemplo 4(FUVEST 2000).Um investidor quer aplicar 120 mil reais. Seu corretor lheoferece um investimento em duas fases, com as seguintes regras:I) Na primeira fase do investimento, ocorrer um entre os dois eventos seguin-tes: com probabilidadep, o investidor ganha metade do que investiu; comprobabilidade(1-p), o investidor perde 1/3 do que investiu.


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II) Na segunda fase do investimento, a quantia final da primeira fase serreinvestida, de forma independente da primeira fase. Neste novo investimen-to, ocorrer um dentre os dois eventos seguintes: com probabilidade 1/2, oinvestidor ganha a quarta parte do que foi reinvestido; com probabilidade 1/2,o investidor perde metade do que foi reinvestido.a) Se o investidor aplicar seu dinheiro desta forma, com que valores pode

ficar ao trmino do investimento? Qual a probabilidade, em funo dep, deficar com cada um desses valores?b) Uma revista especializada informa que, neste investimento, a probabilida-de de perder dinheiro de 70%. Admitindo como correta a informao darevista, calculep.

Vamos resolver esse problema aplicando o diagrama de rvore:

Ganha: (1/2)p

Perde: (1/2)p

Ganha: (1/2)p (1-p)

Perde: (1/2)p (1-p)

225.000

90.000

100.000

40.000

180.000

80.000

p

(1-p)

1/2

1/2

1/2

1/2

Quantia inicial: R$ 120.000,00

Observao: A premissa de que a segunda fase independenteda primeirafase permite colocar na segunda parte dos ramos os valores 1/2 e 1/2 direta-mente.

Resposta:a) O investidor pode ficar com qualquer dos seguintes valores (e respectivasprobabilidades): R$ 225 000,00 [()p], R$ 90 000,00 [()p], R$ 100 000,00[(1-p)] ou R$ 40 000,00 [(1-p)].

b) Levando em conta as quatro possibilidades, o investidor s no perde naprimeira delas. Como, segundo a revista, a probabilidade de perder de 70%,a probabilidade de no perder (complementar!) de 30% e temos ento que() p = 0,30. Portanto p = 0,60.

Outra maneira de chegar a este resultado igualar aprobabilidadedeperder a 70%, ou seja,

P(perder) = [()p+ ()(1-p)+( )(1-p)] = 0,70,

o que produz o resultado p = 0,60 (confira!).


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Os exemplos analisados neste tpico de probabilidades procuraram darsentido aos conceitos, atravs de esquemas simples quer seja com tabelas ouatravs de diagramas de rvore, sempre no contexto discreto. No entanto,para experimentos mais sofisticados, ainda no mbito do discreto, por exem-plo, o caso em que o nmero de ramos se torna proibitivo, temos que recorrera tcnicas de contagem para o clculo de probabilidades e a rea de anlisecombinatria, que ser desenvolvida na prxima seo, fornecer elementospara que esses clculos sejam facilitados. O leitor, interessado em probabili-dades associadas a experimentos em que a caracterstica medida contnua,achar material nas referncias bibliogrficas.

A seguir, temos um resumo dos principais resultados descritos nesta seopara eventos genricos A e B (associados a um espao amostral S).

Probabilidade da UnioProbabilidade da UnioProbabilidade da UnioProbabilidade da UnioProbabilidade da UnioP(A ou B) = P(A B) = P(A) +P(B) P(A B)

Probabilidade CondicionalProbabilidade CondicionalProbabilidade CondicionalProbabilidade CondicionalProbabilidade Condicional

P(A | B) = P(A B) / P(B) para P (B) 0Probabilidade ConjuntaProbabilidade ConjuntaProbabilidade ConjuntaProbabilidade ConjuntaProbabilidade ConjuntaP(A B) = P(A|B) . P(B) = P(B|A) . P(A)

Se A e B so independentes entoSe A e B so independentes entoSe A e B so independentes entoSe A e B so independentes entoSe A e B so independentes entoP(A B) = P(A) . P(B)

U U

U

U

U


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Qual a chance de se ganhar na Loto ou na Mega-Sena? E na LoteriaEsportiva? Calcular a probabilidade de se ganhar num jogo de azar passamuitas vezes por conhecer todos os elementos com os quais se est lidando edepois quais desses so os elementos ganhadores. Por exemplo, se umamoeda lanada duas vezes, sucessivamente, temos quatro possveis resulta-dos: (cara, cara), (coroa, cara), (cara, coroa) e (coroa, coroa). Se ganhamosquando obtivermos exatamente duas caras, ento, se a moeda forhonesta, stemos uma chance em quatro de ganhar. Neste caso foi fcil contar quantosso os casos possveis (espao amostral) e quantos so os (eventos) favor-veis. E se fossem 50 lanamentos? E no caso de jogos como da Loto ou daMega-Sena, quantas so todas as combinaes possveis de nmeros?

Assim, para a resoluo de problemas desse tipo, essencial conhecer aquantidade de elementos de determinados conjuntos, sem ter que, efetiva-mente, list-los e cont-los. Em outras situaes concretas tambm necess-rio saber o nmero de elementos de determinados conjuntos.

Unida de 3

Combinatria*

Quantos carros podem ser lacrados na cidade deSo Paulo com placas com 3 letras e 4 algarismos?

Problemas relacionados contagem de elementos de um conjunto so trata-dos numa rea da matemtica conhecida como Anlise Combinatria, ou ape-nas Combinatria. O estudo de problemas desse tipo muito antigo e chamoua ateno de muitos matemticos importantes como L. Euler (1707-1783) e B.Pascal (1625-1662), entre outros. Essa rea tem tido um grande crescimento

nas ltimas dcadas, devido ao desenvolvimento da cincia da computao.Problemas de enumerao (contagem) aparecem com muita freqncia emteoria dos grafos , em anlise de algoritmos etc. Muitos problemas importan-tes podem ser modelados matematicamente usando a teoria dos grafos (pro-blemas de pesquisa operacional, de armazenamento de informaes em ban-cos de dados nos computadores e tambm problemas matemticos tericos,como o famoso problema das 4 cores, que veremos mais adiante).

O nosso principal objetivo aqui ser o de estudar algumas tcnicas e con-ceitos que permitam a contagem de certos tipos de conjuntos finitos. Veremos

*Parcialmente baseado no material de Cerri, C.; Druck, I. F. e Pereira, A. L. Combinatria Sem Frmulas ,do Projeto Pr-Cincias da Fapesp (2002) e do Projeto PEC-Construindo Sempre-PEB II, USP-SEE

(2003).

OrganizadoresAntnio Car losBrolezzi

Elvia M ur ebSallum

Mar tha S.Monteiro

ElaboradoraCri stin a Cerr i


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que muitos problemas de contagem podem ser tratados usando apenas algunsprincpios bsicos. Vamos enfatizar acompreenso plena do problema trata-do e o reconhecimento da tcnica adequada em cada caso, no as frmulas,que so muito teis, mas resolvem apenas tipos especiais de problemas.

Vamos comear discutindo um problema simples de contagem. Em um car-dpio de um restaurante italiano esto listados 5 tipos de massas e 7 tipos de

molhos distintos. Quantos pedidos distintos podem ser feitos? fcil obter aresposta: 35. Foi utilizado um princpio bsico de contagem: para cada tipo demassa escolhida tem-se 7 molhos diferentes para escolher, e assim, temos 5 x 7diferentes pratos.

Vamos retomar o problema das placas de carros na cidade de So Paulo.Quantas placas de automveis podem ser formadas usando-se trs letras (in-clusive K, Y e W) e quatro algarismos? Veja o esquema abaixo de uma placade automvel:

Para formar uma placa, temos que escolher uma letra entre 26 para colo-car na primeira posio. Escolhida essa letra, temos 26 escolhas possveispara a segunda posio. Ento temos 26 x 26 = 676 possibilidades de preen-chimento das duas primeiras letras da placa. Mas ainda temos que preenchermais uma casa com uma letra. Assim podemos ter 26 x 26 x 26 = 17.576maneiras de preencher a placa com 3 letras. Falta ainda colocar os 4 algaris-mos. Em cada posio temos 10 escolhas de algarismos. Ento temos 10 x 10x 10 x 10 x 10 = 10.000 possibilidades. Portanto, no total teremos 175.760.000placas. Como para cada carro temos apenas uma placa, esta a quantidade decarros que podem ser lacrados na cidade de So Paulo!

Neste caso, esta tcnica de efetuar a contagem foi eficiente.TTTTTENTEENTEENTEENTEENTE FFFFFAZERAZERAZERAZERAZERVoc far um exame cuja prova composta de 10 questes de mltipla escolha com 5alternativas por questo cada uma. Quantos so os gabaritos possveis?

Vejamos mais um exemplo.Uma bandeira formada por quatro listras que

devem ser coloridas com at 4 cores, por exemplo,amarelo, vermelho, branco e preto,no devendoter listras adjacentes com a mesma cor. De quantos

modos a bandeira pode ser colorida?Podemos pintar a primeira listra com 4 cores

diferentes e a segunda listra com 3 cores. Mas 3cores podem ser usadas para pintar a terceira listra,pois pode-se repetir a cor usada na primeira listra.E finalmente podemos usar 3 cores para pintar aquarta listra. Portanto temos 4 x 3 x 3 x 3 = 108bandeiras diferentes.

Nos problemas acima, usamos um princpiobsico de contagem que pode ser escrito, na formageral, da seguinte maneira.

1a 2a 3a 1o 2o 3o 4o

letra letra letra algarismo algarismo algarismo algarismo

1a 2a 3a 4a

listra listra listra listra


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Princpio da MultiplicaoPrincpio da MultiplicaoPrincpio da MultiplicaoPrincpio da MultiplicaoPrincpio da MultiplicaoSe uma deciso d1 pode ser tomada de p1 maneiras e se, uma vez tomada a deciso d 1, adeciso d2 puder ser tomada de p2 maneiras, ento o nmero de maneiras de se tomaremas decises d 1 e d2 p1 x p2 maneiras.

Facilmente, o princpio acima pode ser generalizado para uma quantidade

finita de decises.Agora, usando o princpio da multiplicao, resolva alguns problemas decontagem.

TTTTTENTEENTEENTEENTEENTE FFFFFAZERAZERAZERAZERAZEREm uma estante existem 5 livros em espanhol, 6 em francs e 3 em ingls. De quantasmaneiras posso escolher 2 livros sem escolher dois da mesma lngua?

TTTTTENTEENTEENTEENTEENTE FFFFFAZERAZERAZERAZERAZER- Quantos nmeros naturais de 3 algarismos distintos existem? (Preste ateno: asdecises envolvidas podem ser tomadas em vrias ordens. Qual a mais conveniente?)- Quantos nmeros naturais pares de 3 algarismos distintos existem? (Qual a dificuldade

maior deste problema?)Um outro princpio elementar de contagem diz respeito ao nmero de

elementos da unio de conjuntos.

Um problema de contagem muito interessante o seguinte: ao se colorirum mapa, pode-se usar a mesma cor mais de uma vez, desde que dois pasesque tm fronteira comum sejam pintados de cores diferentes. Usandono m-

ximo 4 cores, de quantas maneiras se pode colorir um mapa formado pelosseguintes pases: Brasil, Uruguai, Argentina e Paraguai? E um mapa formadopor Brasil, Uruguai, Argentina, Paraguai e Chile? E pelos pases Brasil, Ar-gentina, Paraguai e Bolvia?

Usando no mximo 3 cores, seria possvel pintar um mapa formado pelospases Brasil, Uruguai, Argentina e Paraguai? E o mapa formado por Brasil,Argentina, Paraguai e Bolvia?

O Problema das 4 CoresO Problema das 4 CoresO Problema das 4 CoresO Problema das 4 CoresO Problema das 4 Cores.

Na resoluo do problema anterior, voc percebeu que, em alguns casos, no se pode usarmenos de 4 cores para pintar um determinado mapa. Mas, fazendo alguns testes, percebe-seque possvel pintar vrios mapas com at 4 cores.Ser possvel pintar qualquer mapa com at 4 cores? Este atraente problema pode ser formulado matematicamente, j que mapasno deixam de ser subdivises do plano que no se sobrepem. OProblema das 4 Cores ,como conhecido hoje, foi proposto pela primeira vez em 1852, por Francis Guthrie. Contudo,s foi publicado em 1878, aps ter sido estudado por vrios matemticos da poca. Em 1879,Kempe apresentou a primeira demonstrao da conjectura, cujo erro foi descoberto porHeawood, que provou que o resultado era verdadeiro para 5 cores. Finalmente, depois demuitos anos e esforos, o resultado foi provado em 1977 por K. Appel e W. Haken. Porm, a demonstrao fez uso demais de 1200 horas de processamento (isso mesmo, computador!), o que provocou grandes discusses sobre avalidade da prova. Recentemente, em 1997, N. Robertson, D. Sanders, P. Seymour e R. Thomas encontraram umaresoluo mais simples, mas ainda dependente do auxlio de computadores.

Princpio da AdioPrincpio da AdioPrincpio da AdioPrincpio da AdioPrincpio da AdioSe A e B so dois conjuntos disjuntos, com p e q elementos respectivamente, entoA B possui p+q elementos.U


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O problema das 4 cores um tpico problema deTeoria dos Grafos . Umgrafo um tipo de diagrama com vrtices e linhas. Podemos fazer um es-quema do problema das 4 cores usando um diagrama do tipo,

onde cada vrtice um pas. Uma linha ligando os vrtices significa que ospases tm fronteiras em comum. Um outro problema fascinante deste tipo oProblema das Sete Pontes de Knigsberg, que foi resolvido por L. Euler em1735. Como este um assunto bastante vasto, no o discutiremos aqui. Sevoc ficou interessado, leia sobre o problema na Revista do Professor de Ma-temtica ( Alguns problemas clssico sobre grafos , n. 12, 1988) ou no sitehttp://www.prof2000.pt/users/agnelo/pontesh.htm.

Voltemos aos problemas de contagem.TTTTTENTEENTEENTEENTEENTE FFFFFAZERAZERAZERAZERAZER

- De quantos modos 3 pessoas podem se sentar em 5 cadeiras em fila? (Resposta 60)- Quantos nmeros de quatro dgitos so maiores que 2400 e

(a) tm todos os dgitos diferentes? (Resposta 3864)

(b) no tm dgitos iguais a 3, 5 ou 6? (Resposta 1567)

(c) satisfazem s duas condies acima simultaneamente? (Resposta 560)

- Quantos subconjuntos possuem um conjunto de n elementos? (Resposta 2n)

Discuta com seus colegas o raciocnio usado em cada resoluo, pois s vezes obtm-sea resposta correta por mtodos incorretos.

Vamos fazer algumas generalizaes. Consideremosn objetos distintos. Dequantas maneirasn objetos diferentes podem ser ordenados? De quantas for-mas podemospermut-los? A resposta fcil agora:n(n-1).(n-2)...3.2.1=n! Se,por outro lado, desejamos saber de quantos modos podemos ordenarm objetosdentre osn, logom n, a resposta demaneiras.

E LIMINANDO REPETIES Vamos ver agora outros tipos de problemas de contagem.

Quantas comisses de 4 alunos podem ser formadas numa classe de 7 alunos?

Para o primeiro lugar da comisso temos 7 escolhas, para o segundo lugar6 escolhas, para o terceiro lugar 5 escolhas e para o quarto lugar 4 escolhas, oque nos d, pelo princpio da multiplicao, 7.6.5.4 = 840 escolhas de 4 alu-nos. Entretanto, 840no a quantidade total de comisses! Note que a co-misso formada pelos alunos A, B, C e D a mesma daquela formada por B,D, C e A.Precisamos saber quantas vezes cada comisso foi contada repe-tidamente.Fixemos 4 alunos (uma comisso). De quantas maneiras podemosform-la? Chamando um aluno por vez, para a primeira chamada temos 4opes, para a segunda 3, para a terceira 2 e para a quarta apenas 1. Logo

n n n n m nn m

( ) ( )...( )!

( )! + =

1 2 1


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102 2 3

!! ! !

84024

35=

4

212

!

!=

podemos chamar os alunos de 4.3.2.1=24 maneiras diferentes. Assim temosque, das 840 escolhas, cada grupo de 24 representa a mesma comisso. Portanto,o total de comisses ser de .

A seguir, vamos ver outra situao onde se deve usar a diviso para elimi-nar repeties e efetuar a contagem.

Um anagrama um cdigo formado pela permutao das letras de umapalavra, podendo ou no originar palavras com significado.

Quantos so os anagramas da palavra CASA?

Se as 4 letras fossem distintas ento teramos 4! = 24 anagramas. Nestecaso, estamos pensando queA C S A diferente deA C SA. S que temos amesma palavraA C S A. Assim, como cada anagrama foi contado duas vezes(que o nmero de permutaes dos dois As) temos na verdade anagra-mas diferentes.

Quantos so os anagramas da palavra MATEMATICA?

Se as 10 letras fossem todas diferentes, uma aplicao simples do princ-pio da multiplicao forneceria 10! anagramas. Entretanto, podemos permu-tar os 2 Ts, os 2 Ms e, ignorando o acento, tambm os 2 As. Isso significa quecada anagrama est sendo contado 2!2!3! vezes. Portanto, existemanagramas distintos.

Vamos analisar mais uma situao.

Qual o nmero de rodas de ciranda distintas que podem ser formadas com 6 crianas?

Temos certamente 6!filasde crianas. Entretanto, quan-do organizadas em um crculo, duas filas formam a mesmaroda de ciranda se houver coincidncia das crianas apsuma rotao de uma das rodas (ver o diagrama a seguir).Podamos dizer que tais filas so equivalentes.

Dessa forma, 6 filas distintas originamuma mesma roda de ciranda. Portanto, onmero de rodas de ciranda 6

65

!!=

Em cada situao anterior, a diviso foi utilizada aqui para eliminar as

repeties. Identificando os elementos que so iguais podemos, usando adiviso, elimin-los da contagem.Examinando mais detalhadamente os ltimos exemplos, percebemos que

podemos dar um tratamento mais geral para situaes onde a diviso usadapara eliminar repeties em problemas de contagem.

Considere a seguinte situao: um conjunto A contm elementos dediver-sos tipos distintos, digamos,tipo 1 , tipo 2 , tipo 3 , ... tipo k . Se o nmero deelementos de cada tipo nk , ento o nmero total de elementos de A (n1 + n 2+...+ n k ), ou seja, a soma do nmero de elementos de cada tipo. Em particular,se o nmero de elementos de cada tipo sempre igual am, ento o nmero deelementos de A obviamentek.m.


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TTTTTENTEENTEENTEENTEENTE FFFFFAZERAZERAZERAZERAZER- Em uma classe de 15 alunos, quantas filas formada por 7 alunos podem ser formadas?

E quantas comisses?- Se o conjunto C possui 9 elementos, quantos so os subconjuntos de C com 4 elementos?

TTTTTENTEENTEENTEENTEENTE FFFFFAZERAZERAZERAZERAZERUma comisso formada por 3 homens e 3 mulheres deve ser escolhida em um grupo de8 homens e 5 mulheres. Quantas comisses podem ser formadas? (Resposta 560)Qual seria a resposta se um dos homens no aceitasse part icipar da comisso se nelaestivesse determinada mulher? (Resposta 434)

TTTTTENTEENTEENTEENTEENTE FFFFFAZERAZERAZERAZERAZERDe quantos modos 9 crianas podem formar uma roda de ciranda de modo que duasdessas crianas permaneam juntas? (Resposta 2!.7!)E de modo que 4 dessas crianas permaneam juntas? (Resposta 3!.5!)

F AZENDO GENERALIZAES Do que discutimos at aqui podemos ver que alguns problemas de contagem

so muito semelhantes e envolvem sempre o mesmo tipo de raciocnio e clculoNuma escolha dem objetos dentren objetos distintos, no qualm < n , a

ordem em que fazemos a escolhadetermina objetos diferentes . Em todas essassituaes, o nmero de escolhas possveis n(n-1).(n-2)...(n-m+1). Por seremmuito freqentes recebem um nome especial:arranjo simples de m elementosem n , ou como mais comum, arranjo de n elementos tomados m a m. Umanotao bastante usada para indicar esse resultado

Em outras situaes, temos que fazer uma escolha dem objetos dentrenobjetos, ondem < n , e a ordem em que fazemos a escolhano determina obje-tos diferentes . Se a ordem fosse relevante, obteramosn(n-1).(n-2)...(n-m+1)colees de objetos. S que essa quantidade de colees maior do que a

correta, j que as colees esto sendo contadas vrias vezes . Para eliminaressas repeties usamos, ento, a diviso, como nos exemplos vistos anterior-mente. O nmero de colees :

Como tambm essa situao bastante comum, ela recebe um nome espe-cial: combinao simples de m elementos em n, ou ainda, combinao de nelementos tomados m a m. E o resultado denotado por

C n

m n m

n

mn

m = =

!

!( )!

Agora, se o nmero totaln de elementos de A e o nmerom de objetos decada tipo so conhecidos, entoo nmero de tipos distintos . Ocorreque, como nos exemplos anteriores, em muitas situaes, estamos interessa-dos em calcular o nmero de tipos de elementos distintos.

Agora, usando este novo princpio e tudo que j discutimos, voc certa-

mente poder resolver mais problemas de contagem.

k mn

=

An

n mnm =

!( )!

n n n n mm m m

( ) ( )...( )( ) ( )... +

1 2 1

1 2 2 1


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Apesar dos problemas anteriores aparecerem com freqncia, a ponto de terem umnome especial (e uma frmula), os problemas de contagem no so, em geral, do tipoarranjo ou combinao. Por isso, quando se deparar com um problema de contagem,no se preocupe de imediato em qual frmula usar. Em geral, muita engenhosidade evrias frmulas sero utilizadas para resolv-los.

D ESAFIOS Vamos propor alguns problemas de contagem de diferentes graus de difi-

culdade. Ao tentar resolv-los, lembre-se: problemas de aparncia simplespodem ser difceis. Para resolv-los procure fazer uma representao. Lem-bre-se que o objetivo o de contar o nmero de objetos de uma certa classe.Tente identificar precisamente quando um objeto pertence classe e quandodois deles devem ser considerados distintos. Examine quantas decises vocdeve tomar para executar a contagem.

Caso ainda no esteja claro como proceder, tente outras estratgias. Tentedividir em subcasos que voc saiba resolver. Pode ser til esquecer algumas

das condies exigidas para que um objeto pertena coleo. Isso, em geral,dar origem a uma classe maior que a desejada. necessrio, portanto, ex-cluir posteriormente os objetos indesejados. Depois que, aparentemente, oproblema foi resolvido, repense na sua soluo, veja se voc no est contan-do alguns casos mais de uma vez ou est se esquecendo de algum.1. No quadro abaixo, de quantos modos possvel formar a palavra MATEMATICA,partindo de M e indo sempre para a direita ou para baixo?

MMMMMMMMMM AAAAA

MMMMM AAAAA TTTTTMMMMM AAAAA TTTTT EEEEE

MMMMM AAAAA TTTTT EEEEE MMMMMMMMMM AAAAA TTTTT EEEEE MMMMM AAAAA

MMMMM AAAAA TTTTT EEEEE MMMMM AAAAA TTTTTMMMMM AAAAA TTTTT EEEEE MMMMM AAAAA TTTTT IIIII

MMMMM AAAAA TTTTT EEEEE MMMMM AAAAA TTTTT IIIII CCCCCMMMMM AAAAA TTTTT EEEEE MMMMM AAAAA TTTTT IIIII CCCCC AAAAA

2. Um vago de metr tem 10 bancos individuais, sendo 5 de frente e 5 decostas. De 10 passageiros, 4 preferem sentar de frente, 3 preferem sentar decostas e os demais no tm preferncia. De quantas maneiras os passageirospodem sentar, respeitando as preferncias? (Resposta 43200)3. Quantos nmeros inteiros entre 100 e 999 so mpares e possuem trs dgi-tos distintos? (Resposta 320).

O T RINGULO DE P ASCALNum jogo de moedas, jogam-se 4 moedas simultaneamente. Se o vence-

dor for o que conseguir obter exatamente 3 caras e 1 coroa, quantas so aspossveis combinaes ganhadoras?


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Vamos denotar por K a face cara da moeda e por C a face coroa.Assim, temos KKKC, KKCK, KCKK e CKKK combinaes vencedoras. Naverdade, j vimos este tipo de problema: esta a quantidade deanagramas

formados por KKKC. Assim, temos exatamente combinaes. Mas se

as combinaes ganhadoras so as com exatamente 2 caras e 2 coroas? Neste

caso so combinaes. Note tambm que o nmero de combinaes

com exatamente 3 coroas tambm 4.

43

4!!=

42 2

6!! ! =

TTTTTENTEENTEENTEENTEENTE FFFFFAZERAZERAZERAZERAZERNum tipo de jogo, 5 moedas idnticas so lanadas simultaneamente. Cada jogador,antes de jogar as moedas, declara qual o nmero exato de caras e coroas que vai obter.Ganha aquele que acertar o resultado. Qual das combinaes a melhor escolha?

Voc j notou que sen o nmero de moedas a serem jogadas e sem onmero de caras (ou coroas) que se deseja, ento o nmero de combinaesvencedoras exatamente:

claro que sem o nmero de caras (ou coroas), enton-m o nmerode coroas (ou caras) e assim temos facilmente que,

Esses nmeros aparecem em muitas situaes e possuem vrias relaessurpreendentes. Tais relaes foram observadas por vrios matemticos comoo rabe Al-Karaji (fins do sculo X) e Niccol Fontana de Brescia, conhecidopor Tartaglia (1499-1557).

Colocando os valores acima na forma de tringulo e convencionando que 0! = 1,temos:

C n

mn

m m n

n

n mC m

mnn m=

= =

=

!!( )!

C nm n m

nmn

m = = !

!( )!

0

0

1

0

1

1

2

0

2

1

2

2

30

31

32

33

4

0

4

1

4

2

4

3

4

4

5

0

5

1

5

2

5

3

5

4

5

5

6

0

6

1

6

2

6

33

6

4

6

5

6

6


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Foi B. Pascal (1623-1662) quem popularizou este tringulo quando pu-blicou, em 1654, um tratado mostrando a relao dos coeficientes de (a+b)ncom os valores que aparecem nas linhas do tringulo. Apesar de ser conheci-do antes, o tringulo aritmtico passou a ser conhecido como oTringulo dePascal.

Calculando os valores em cada linha e coluna, temos:

Tringulo de Pascal

11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 32 21 7 1... ...

Note algumas propriedades interessantes. Se selecionarmos uma linhanqualquer e adicionamos ao elemento da coluna p o elemento da coluna p+ 1 oresultado est na (n+1)-linha e (p+1)-coluna. Veja neste exemplo.

1. Michael Stifel (1486-1567) considerado como o maior algebrista alemo do sculo XVI.

1 3 + 3 1

1 4 6 4 1

C C C C n n n n

nn n n n

n0 1 2

0 1 2+ + + + =

+

+

+ +

... ... =2n

Esta relao tambm conhecida como aRelao de Stifel1.TTTTTENTEENTEENTEENTEENTE FFFFFAZERAZERAZERAZERAZERMostre que, de fato, vale sempre que

C C n

m

n

n

n

mC n

mnm

nm+ =

+ +

+

++

=

+++111

2

1

1

Retornemos ao jogo de moedas. Sabemos que quando lanamosn moe-das, o nmero total de resultados possveis 2n. Vimos que cada combinaode m caras (ou coroas) aparece vezes. Portanto, somando-se todas as com-binaes temos que:

Vamos agora representar os resultados dos lanamentos das moedas deoutra maneira.

C n

m


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Se jogarmos 2 moedas, temos 4 resultados possveis. Se usarmos o smbo-lo de soma e a propriedade distributiva, todas as combinaes possveis po-dem ser representadas por:

KK + KC + CK + CC = (K + C) (K + C)

Mas neste jogo, KC = CK, isto , ambas so combinaes vencedoras.Ento:

KK + 2KC + CC = (K + C) (K + C)

No caso de jogarmos 3 moedas, sabemos que existem 8 possveis resulta-dos, mas as combinaes KKC, KCK e CKK so iguais para o nosso prop-sito. Assim tambm so iguais as combinaes: CCK, CKC, KCC. Portanto:

KKK + 3 KKC + 3 KCC+ CCC = (K + C) (K + C) (K + C)

Podemos ainda simplificar a notao e escrever as seqncias de K ou Cna forma de potncia. Por exemplo, escrevemos KKK da forma K3.

Assim:

K3 + 3 K2 C + 3 KC2+ C 3 = (K + C)3

Mas isso pode ser feito sempre. Se jogarmosn moedas e se as combina-es que tm o mesmo nmero de K (caras) e C (coroas) so identificadas, ou

seja, so iguais, ento cada combinao aparece vezes. Portanto, emgeral, temos que:

Esta a conhecida frmula doBinmio de Newton. Isaac Newton (1642-1727) mostrou como desenvolver expresses do tipo (a+b)r , com r racional, eassim a frmula acabou sendo conhecida com o seu nome. Contudo, o desen-volvimento de uma expresso do tipo (a+b)n j era conhecida e usada antes.

n

m

( ) ...K C n

K n

K C n

K C n

n

n n n n+ =

+

+

+ +

0 1 2 1

1 1 2

+

KC n

nC n n1

TTTTTENTEENTEENTEENTEENTE FFFFFAZERAZERAZERAZERAZERUsando o desenvolvimento acima, d uma expresso para (1+x)n

Observe que as linhas do Tringulo de Pascal so os coeficientes da ex-presso do binmio.

TTTTTENTEENTEENTEENTEENTE FFFFFAZERAZERAZERAZERAZERQual o coeficiente do termo a11b6 no desenvolvimento (a+b)17?

H muito mais a ser explorado no Tringulo de Pascal. As relaes num-ricas que aparecem surpreendem. Convidamos voc a ler mais sobre isso em[MORGADO] (ver referncia). Voc certamente ficar impressionado.


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BibliografiaBUSSAB, W.O.; MORETTIN, P. A. Estatstica Bsica. So Paulo: ed. Saraiva,

2002.CARNEIRO, V.C. Colorindo Mapas. Revista do Professor de Matemtica . So

Paulo: SBM, n. 29, 31-35, 1995.CERRI, C.; DRUCK, I. F.; PEREIRA, A. L.Combinatria Sem Frmulas. Pro-

jeto Pr-Cincias, So Paulo: Fapesp, 2002.CERRI, C.; DRUCK, I .F. Combinatria Sem Frmulas. Projeto PEC Cons-

truindo Sempre PEB II, So Paulo: USP-SEE, 2003.EVES, H. Introduo Histria da Matemtica. 3. ed. Traduo de H.

Domingues. Campinas: ed. Unicamp, 2002.IEZZI, G.et al . Matemtica: Cincia e Aplicaes., v. 1, 2 e 3. So Paulo: ed.

Atual, 2001.

MAGALHES, M. N.; LIMA, A. C. P. Noes de Probabilidade e Estatstica.So Paulo: Edusp, 2004.MACHADO, A. S. Matemtica na escola do segundo grau. vol 1, 2 e 3. So

Paulo: ed. Atual, 1996.MORGADOet al . Anlise Combinatria e Probabilidades . Rio de Janeiro:

SBM, 1991.PAIVA, M. Matemtica. 2. ed. vol 1, 2 e 3. So Paulo: ed. Moderna, 2003.

Sobre os autoresCristina Cerri

Docente do Instituto de Matemtica e Estatstica (IME) da USP, fez Licen-ciatura e Mestrado em Matemtica na USP. Seu doutorado, na rea de AnliseFuncional, foi realizado na USP e na University of New Mexico nos EUA.Participa de projetos de capacitao e atualizao de professores e foi coorde-nadora da rea de Matemtica do Programa Construindo Sempre USP-SEESP.

Lisbeth K. Cordani Licenciada e bacharela em Matemtica (USP), mestra em Estatstica (USP)

e doutora em Educao (USP). Docente (aposentada) do IME-USP, atualmen-te professora titular do CEUN-IMT. Tem oferecido oficinas de Estatstica eparticipado de projetos para professores universitrios e do Ensino Mdio.


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