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5/7/2018 Apostila Controle - 25 - Realimentação de Estado - slidepdf.com
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Realimentação de estado Realimentação de estado
Realimentação de Estado
Modelo de estado Malha Fechada
Controle de Sistemas Mecânicos
Erro Estacionário
Exercícios
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Realimentação de Estado Realimentação de Estado
A realimentação de estado envolve
Medição de todo o vetor de estado
Multiplicação de cada variável de estado por um anho k
Controle de Sistemas Mecânicos
Arbitrar as raízes do denominador
Calcular os ganhos k i Calcular um ganho proporcional Kp para
corrigir erro estacionário
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Estratégia de controle Estratégia de controle
determinar o vetor de ganhos K e o ganho K p que satisfaça as especificações
Estratégia de controle
Controle de Sistemas Mecânicos
corresponde a uma alteração dos
pólos do sistema para novas posições no plano complexo
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Visualização Estratégia de controle Visualização Estratégia de controle
DB de um sistema segunda ordem com RE
Y(s)U(s)
b1
b2
++
R(s) E(s) x x
Controle de Sistemas Mecânicos
1
s
1
s
a0
a1
+
-
b0
-
k 1
k 2
--
k 2 p
K
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Realimentação de Estado Matricial Realimentação de Estado Matricial
Realimentação do estado através do vetor de ganhos K
com um ganho proporcional kp no ramo direto para correção do erro estacionário
)(t x)(t u )(t y)(t r
Controle de Sistemas Mecânicos
A
p
K
-
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Modelo de Estado malha fechada Modelo de Estado malha fechada
substituindo a realimentação na planta
Kxr Bk Ax x p −+= )(&
)( Kxr k u p −=
Controle de Sistemas Mecânicos
Pode-se escrever o modelo como
Br k x BK k A x p p +−= )(&
u D xC yu B x A x
T T
T T
+=
+=&
D D
C C
Bk B
BK k A A
T
T
pT
pT
=
=
=
−=
onde onde
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Alocação de pólos Alocação de pólos – – Cálculo dos Ganhos Cálculo dos Ganhos
O problema da alocação de pólos tem solução se a
planta for controlável Método (admitida a controlabilidade):
• descobrir a partir das especificações quais as posiçõespara os pólos que as satisfazem
Controle de Sistemas Mecânicos
• ca cu ar o ve or e gan os que con uza os p os sposições desejadas
Características: • posiciona os pólos arbitrariamente se a planta for
controlável
•
não controla os zeros do numerador de malha fechada• não controla o erro estacionário
• Pode-se corrigir o erro estacionário usando-se um ganhoKp externo ou interno
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Exercício: Realimentação de estado Exercício: Realimentação de estado
Para a planta cuja FT é
deseja-se que o sistema em malha fechada tenha pólos
1
52)(2
+
+=s
ssP
Controle de Sistemas Mecânicos
–1 e –2 utilizando a realimentação das variáveis de estado. Determinar:
a) Diagrama de Blocos do sistema b) Modelo de Estado Canônico Controlável da FT c) Modelo de Estado do Diagrama de Blocos d) FT do Modelo de Estado Canônico Controlável e) Ganhos K de realimentação
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Solução: DB a partir FT Solução: DB a partir FT
152)(
2+
+=s
ssG 2 5 y y u u+ = +&& &
u y
u p N y p D )()( =
Controle de Sistemas Mecânicos
N1/D
x x u+ =&&
2 5 y x x= +& x p N y )(=
u x p D =)(
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Solução: DB do sistema Solução: DB do sistema
-
+
)(sY )(sU
s
1
s
1
2 x
1 x
x x u+ =&&
Controle de Sistemas Mecânicos
Diagrama de blocos Completo
-+
++
5
)(sY )(sU 2
s
1
s
1
2 x
1 x
2 5 y x x= +&
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Solução: Solução: ME a partir DB ME a partir DB
-+
++
5
)(sY )(sU 2
s
1
s
1
2 x
1 x
Controle de Sistemas Mecânicos
0 1
1 0
A
= −
0
1
B
=
[ ]5 2C = 0 D =
1 2
2 1
1 25 2
x x
x x u y x x
=
= − +
= +
&
&
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Solução: Solução: ME ME a partir a partir FT FT
[2 5]
[1 0 1]
Np
Dp
=
=1
52)(
2+
+=
s
ssG
Controle de Sistemas Mecânicos
0 1
1 0 A
− =
1
0 B
=
[ ]2 5C = 0 D =
np=[2 5]
dp=[1 0 1]
sys=tf(np,dp);
[a b c d]=tf2ss(np,dp);
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Solução: Solução: FT a partir ME FT a partir ME
0 1
1 0 A
− =
1
0 B
= [ ]
2 5C =
0 D =
Controle de Sistemas Mecânicos
152)( 2
+
+=
sssG
( )( ) C sI A B D R s
−
= − +
syms s
i=eye(2,2);ft=c*inv(s*i-a)*b;
simplify(ft)
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Solução: Solução: Solução usando as equações ME Solução usando as equações ME
-+
++
- -
+ 5
)(t y)(t r
2
s
1
s
1
2 x
1 x
pk
ganhoproporcional
Controle de Sistemas Mecânicos
2K
1K
Vetor de
realimentação
de estados
))(( 112212
21
t r xK xK k x x
x x
p +−−+−=
=
&
&12 52 x x y +=
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Solução: Eq. ME em função dos Solução: Eq. ME em função dos
ganhos do controlador ganhos do controlador
))(( 112212
21
t r xK xK k x x x x
p +−−+−=
=
&
&
12 52 x x y +=
Controle de Sistemas Mecânicos
)()1( 22112
21
t r k xK k xK k x
x x
p p p +−+−=
=
&
&
12 52 x x y +=
Colocando em evidência asvariáveis de estado
Ak=A-kp*BK Bk=kp*B
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Solução: Eq. ME em função pólos Solução: Eq. ME em função pólos
desejados desejados
A nova função de
transferência para os
pólos especificados23
52
)2)(1(
52
)(
)(2
++
+
=++
+
= ss
s
ss
s
s R
sY
Controle de Sistemas Mecânicos
5s s Y s s R s+ + = +
r r y y y 5223 +=++ &&&&
r x
x
x
x
+
−−=
1
0
32
10
2
1
2
1
&
&)(32 212
21
t r x x x
x x
+−−=
=
&
&
1 25 2 y x x= +
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Solução: Comparar as equações para Solução: Comparar as equações para
obter ganhos controlador obter ganhos controlador
)()1( 22112
21
t r k xK k xK k x
x x
p p p +−+−=
=
&
&
Comparando-se
21 1 =+ K k p
Controle de Sistemas Mecânicos
)(32212
21
t r x x x
x x
+−−=
=
&
&32 =K k p
1= pk 11 =K 32 =K
1= pk
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Calculo de K Calculo de K - - Fórmula de Ackermann Fórmula de Ackermann
Dado a equação característica de malha
fechada
0)( 0
1
1=+++=Φ
−
−α α L
n
n
n
T sss
Controle de Sistemas Mecânicos
Pelo teorema de Cayley-Hamilton pode-se afirmar que a matrix AT do sistema de malha fechada satisfaz sua equação característica
0)( 0
1
1=+++=Φ
−
−I A A A
n
T n
n
T T T α α L
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Simplificação para sistema de ordem 3 Simplificação para sistema de ordem 3
Para facilitar a demonstração do teorema de
Cauley-Hamilton e suas conseqüências vamos considerar n=3 e kp=1
Controle de Sistemas Mecânicos
onde
0)( 01
2
2
3
=+++=Φ I A A A T T T T T
BK A AT −=
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Obtenção dos termos Obtenção dos termos
Obtendo-se 2
T A
n
T A
BK A AT −=
Controle de Sistemas Mecânicos
T
T
BKA ABK A
BK A BK ABK A
BK BKA ABK A
BK A BK A BK A A
−−=
−−−=
+−−=
−−=−=
2
2
22
22
)(
)(
))(()(
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Obtenção dos termos Obtenção dos termos
Obtendo-se 3
T A
n
T A
KA BK B A A −−=22
BK A AT −=
Controle de Sistemas Mecânicos
223
22
22
223
)(
)(
T T
T T
T T
T T T T
BKA ABKA BK A A
BKA BKA ABK A A
BKA AA
A BK A A A A
−−−=
−−−=
−=
−==
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Obtendo a Fórmula de Ackermann Obtendo a Fórmula de Ackermann
Substituindo na equação característica
-
0)(01
2
2
3=+++=Φ I A A A A T T T T T α α α
n
Controle de Sistemas Mecânicos
T
0)(
)(
)(
01
2
2
223
=+−+
−−+
−−−=Φ
I BK A
BKA ABK A
BKA ABKA BK A A A
T
T T T T
α α
α
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Obtendo a Fórmula de Ackermann Obtendo a Fórmula de Ackermann
)(22
01
2
2
3
=−−−
−−−
+++=Φ
BKA ABKA BK A
I A A A A
T T
T T α α α
Controle de Sistemas Mecânicos
onde 0)( 01
2
2
3≠+++=Φ I A A A AT α α α
0
)()(
122
22
=−−−
−−−
Φ=Φ
BK BKA ABK
BKA ABKA BK A
A A
T
T T
T T T
α α α
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Obtendo a Fórmula de Ackermann Obtendo a Fórmula de Ackermann
0
)(
122
22
=+++
++=Φ
BK BKA ABK
BKA ABKA BK A A
T
T T T
α α α
Controle de Sistemas Mecânicos
BK AKAK ABKAKAK B A T T T T
2
2
2
21 )()()( +++++=Φ
[ ]
+
++
=Φ
K
KAK
KAKAK
B A AB B AT
T T
T 2
2
21
2)( α
α α
Matriz de Matriz de controlabilidade controlabilidade
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Obtendo a Fórmula de Ackermann Obtendo a Fórmula de Ackermann
[ ]
+
++
=Φ
K
KAK
KAKAK
B A AB B A T
T T
T 2
2
21
2)( α
α α
++ KAKAK T T
2
21 α α
Controle de Sistemas Mecânicos
+=Φ−
K
KAK A B A AB BT T
2
2)( α
[ ][ ] [ ]
+
++
=Φ−
K
KAK
KAKAK
A B A AB B T
T T
T 2
2
2112
100)(100 α
α α
[ ][ ] )(10012
A B A AB BK T Φ=−
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Obtendo a Fórmula de Ackermann Obtendo a Fórmula de Ackermann
Portanto a fórmula de Ackerman requer que a matriz de
controlabilidade definida por M seja inversível
[ ] )(1001
A M K T Φ=−
Controle de Sistemas Mecânicos
Ou seja
B A AB B M 2
=
0det2
≠ B A AB B
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Cálculo dos Ganhos K Cálculo dos Ganhos K - - Fórmula de Fórmula de
Ackermann Ackermann
Dado o polinômio característico desejado MF
-
0)( 0
1
1=+++=Φ
−
−α α L
n
n
n
T sss
Controle de Sistemas Mecânicos
Formula de Ackermann
onde
M=ctrb(A,B);
phid=poly(polos);
phida=polyvalm(phid,A);
K=[0 1]*inv(M)*phida
K=acker(A,B,polos)
[ ] )(1001
A M K T Φ=−
L
I A A An
n
n
T 0
1
1)( α α +++=Φ−
−L
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Restrição Restrição – – Sistema deve ser Sistema deve ser
Controlável por estados Controlável por estados
Teorema
A planta de ordem n descrita pela equação de estado
)()()( t But Axt x +=&
Controle de Sistemas Mecânicos
a con ro ve por es a o se e s se o e erm nan e a
matriz de controlabilidade M definida como
for não nulo.
( MATLAB: comando M=ctrb(A,B) )
B A B A AB B M n 12 −= L
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Controlabilidade Controlabilidade
O estado x(t f ) de uma planta linear é dito
controlável a partir de um estado inicial x(t 0 ) se existe uma trajetória no espaço de estados que possa ser percorrida pelo sistema de malha
Controle de Sistemas Mecânicos
ec a a que con uza o s stema es e o estado x(t 0 ) até o estado x(t f ) em um tempo finito t f -t 0 . Se todos os estados do sistema forem controláveis a planta é dita
completamente controlável .