Prof. Luiz Fernando Martha - PUC-Rio Rua Marqus de So Vicente, 225 - CEP 22453-900 - Rio de Janeiro, RJ

Tel. +55 21 529-9325 - Fax. +55 21 511-1546 - E-mail: lfm@tecgraf.puc-rio.br - URL: http://www.tecgraf.puc-rio.br/~lfm

e-CrossFerramenta Grfica para Ensino do

Processo de CrossVerso 1.01 Junho de 2000

Autores:Luiz Fernando Martha(Professor de Anlise de Estruturas)Andr Cahn Nunes(Aluno de Engenharia Civil, bolsista de Iniciao Cientfica do CNPq) Pontifcia Universidade Catlica do Rio de Janeiro PUC-RioDepartamento de Engenharia Civil eGrupo de Tecnologia em Computao Grfica Tecgraf/PUC-Rio

IntroduoO Processo de Cross (ou Mtodo da Distribuio de Momentos) um mtodo relativamente simplespara o clculo de momentos fletores em vigas contnuas, prticos planos, grelhas e at em prticosespaciais. Este mtodo s se aplica para estruturas sem deslocabilidades externas (do tipotranslao), isto , ele s se aplica a estruturas com barras inextensveis e que s tenhamdeslocabilidades do tipo rotao. Apesar desta limitao, o mtodo criado por Hardy Cross nadcada de 1930 ("Analysis of Continuous Frames by Distributing Fixed-End Moments,"Transactions, ASCE, Paper no. 1793, vol. 96, 1936) ainda utilizado hoje para o clculo deestruturas. O Mtodo da Distribuio de Momentos tem tambm um objetivo acadmico, pois servecomo introduo ao Mtodo dos Deslocamentos, que o mtodo atualmente mais utilizado para aanlise de estruturas formadas por barras.

Este manual descreve uma ferramenta grfica, chamada e-Cross, para o ensino do Processo deCross. Este programa tem por objetivo demonstrar aos usurios, alunos de Graduao emEngenharia Civil, como o Processo de Cross funciona para o caso de vigas contnuas. A execuodo programa evidencia a intepretao fsica do Mtodo da Distribuio de Momentos, mostrandocomo a configurao deformada da viga e o diagrama e momentos fletores variam durante asoluo iterativa do mtodo. O programa tambm mostra os clculos da mesma forma que sofeitos em uma soluo manual, fazendo uma associao com a interpretao fsica.

As principais vantagens do programa e-Cross so oriundas da linguagem de programao utilizada:Java 2 (TM). Esta foi escolhida por permitir a execuo do programa em modo on-line pela Internet,ou em modo off-line, aps download do programa e do ambiente JRE (Java Runtime Environment).O programa pode ser obtido atravs do endereo URL: http://www.tecgraf.puc-rio.br/etools/cross.Outra vantagem da linguagem Java que ela baseada no paradigma de Programao Orientadaa Objetos, permitido a reutilizao do cdigo de uma maneira bastante natural.

e-Cross - Verso 1.01 2

O programa e-Cross uma ferramenta educativa para ser utilizada durante as aulas de AnliseEstrutural de qualquer curso de Engenharia Civil, quando se leciona o Processo de Cross. O alunostambm podem acessar o programa de suas prprias casas, facilitando bastante o aprendizado domtodo. O fcil acesso tambm possibilita a utilizao do programa para clculo de vigas contnuas,sempre til para o projeto de estruturas.

MotivaoO desenvolvimento desta ferramenta educacional foi motivado pelo excelente livro texto de autoria deRichard White, Peter Gergely e Robert Sexsmith da Universidade de Cornell: Structural Engineering, vol. 2,John Wiley, 1976. O livro explica o Mtodo da Distribuio de Momentos com auxlio de um experimentofsico mostrado na figura abaixo (que foi copiada do livro). O programa e-Cross pode ser visto como umaverso virtual deste experimento.

Experimento fsico para simulao do Processo de Cross(White, Gergely e Sexsmith, Structural Engineering, vol. 2, John Wiley, 1976).

InstalaoInstalao do ambiente Java 2

O programa e-Cross foi desenvolvido em Java 2 (TM). Esta linguagem possibilita a execuo doprograma em modo on-line pela Internet, ou em modo off-line, aps download do programa e doambiente JRE (Java Runtime Environment ). O arquivo para instalao do JRE para Windows podeser obtido no endereo URL http://java.sun.com/products/jdk/1.2/jre/download-windows.html. Issotambm vai instalar o Plug-in de Java 2 que possibilita executar o programa em modo on-line,atravs do browser utilizado para acesso Internet. O arquivo de instalao do JRE tambm podeser conseguido via FTP no endereo ftp://ftp.tecgraf.puc-rio.br/pub/lfm/jre-1_2_2_005-win-i.exe.

Instalao do programa e-Cross off-line

O programa e-Cross, verso off-line, pode ser conseguido via FTP no endereo ftp://ftp.tecgraf.puc-rio.br/pub/lfm/cross1_0_1.jar. Aps a instalao do ambiente JRE e de fazer download do e-Crossbasta clicar duas vezes com o mouse no arquivo "cross1_0_1.jar" para execut-lo. A diferena paraa verso on-line que na verso off-line possvel salvar e abrir modelos de viga contnua emarquivo no disco rgido local do usurio. A extenso padro utilizada para este arquivo ".crs".

e-Cross - Verso 1.01 3

Tela PrincipalA interface grfica do programa e-Cross, mostrada na figura abaixo, possui um menu em cascata(drop-down) no topo, uma barra de controle (tool bar), um linha de mensagens e quatro grandesjanelas, que so chamadas de canvas (comparao com as telas brancas usadas pelos pintorespara fazer seus quadros). So nestes canvases que sero "pintados" os modelos estruturais, seusdiagramas e seus resultados.

e-Cross - Verso 1.01 4

Menu FileO menu File do topo da interface grfica contm opes para abrir um arquivo de uma estrutura,salvar a estrutura corrente, ou finalizar a execuo do programa. Deve ser observado que na versoon-line do programa (via browser da Internet) no existem as opes para salvar ou abrir umarquivo. Estas s aparecem na verso off-line. O modelo da estrutura salvo em arquivo comformato do tipo texto comum. A extenso ".crs" adotoda como padro para os arquivos doprograma.

Edio de SuportesA barra de controle, mostrada na figura abaixo, contm comandos para modelagem da vigacontnua e para controle da simulao. Os quatro botes do primeiro grupo, salientado na figura,permitem a edio e a modificao da estrutura. O primeiro boto e o quarto boto trocam os tiposde apoios extremos de apoio simples para engastado, ou vice-versa. O segundo e o terceiro botopermitem a incluso e remoo de apoios internos, respectivamente.

Controle da IteraoO controle da simulao iterativa do Proceso de Cross feito pelos trs botes do segundo grupoda barra de controle, mostrado na figura abaixo. O primeiro boto do grupo retorna o processo parao incio, o que corresponde situao de engastamento perfeito de todos os ns internos. Osegundo boto do grupo permite a execuo do processo passo a passo: o proximo n a serequilibrado o que tiver o maior valor em mdulo para o desequilbrio de momentos fletores. Oterceiro boto do grupo aciona a resoluo automtica do processo at a convergncia final.

e-Cross - Verso 1.01 5

Preciso de MomentosTambm existe uma opo na barra de controle para especificao da preciso numrica a serutilizada. Isso feito atravs da modificao do nmero de casas decimais para momentos fletores,conforme indicado na figura abaixo.

Linha de MensagensAbaixo da barra de controle existe uma rea de mensagens do programa ao usurio, mostrada nafigura abaixo. As mensagens direcionam a execuo do programa, como por exemplo a mensagem"Moments are not balanced yet", que indica que o processo ainda no convergiu, isto , aindaexistem momentos fletores a serem equilibrados. Quando a soluo iterativa de uma estruturaconverge, o programa notifica o usurio atravs da mensagem "Cross solution performed".

Canvas de ModelagemA primeira grande rea branca da interface grfica do programa, ou melhor, o primeiro canvas utilizado para mostrar o modelo estrutural e os carregamentos (somente uma carga uniformementedistribuda considerada por vo). Este canvas, mostrado na figura abaixo, tambm tem comofuno permitir a manipulao da estrutura. Isto significa que o usurio pode adicionar ou removerapoios internos (aps acionamento da opo correspondente na barra de controle), pode moverapoios horizontalmente, alterando as dimenses dos vos, ou pode variar o valor do carregamentoem cada vo. Qualquer modificao feita na estrutura no canvas de modelagem automaticamentere-inicializa a iteraes do processo. Isto vai afetar a imagens nos outros trs canvases.

O processo de modelagem feito por manipulao direta do usurio, que altera a estrutura de umaforma bastante intuitiva, sempre utilizando o mouse. Por exemplo, para mover um apoio basta clicaro mouse em cima do apoio desejado e arrast-lo para a sua nova posio. Os comprimentos dosvos adjacentes ao n (que so desenhados no canvas de modelagem) vo se alterando medidaque o apoio vai sendo arrastado. Procedimento semelhante feito para alterar o carregamento deum vo: a carga arrastada na direo vertical, modificando o seu valor e o seu tamanho nodesenho. Com isso fica muito simples criar novas estruturas e modific-las. Esta facilidade e rapidez

e-Cross - Verso 1.01 6

de modelagem o ponto chave do processo educacional pretendido pelo programa: o estudantetem a oportunidade de testar vrias alternativas e o programa mostra os passos iterativos que voocorrendo durante a soluo do Processo de Cross.

Canvas da DeformadaO segundo canvas mostra a configurao deformada da estrutura aps a resoluo total ou parcialdo processo, tal como mostrado na figura abaixo. Isto significa que a deformada vai sendo alteradaao longo do processo. No incio do processo, isto , no incio da execuo do programa, ou quandoqualquer edio da viga contnua feita no canvas de modelagem, a configurao deformadacorresponde situao de engastamento perfeito de todos os ns internos. Neste caso todos assees da viga contnua nos apoios internos tm rotaes zeradas.

Existem pontencimetros em cada n interno da estrutura que representam a rotao da viganestes ns. Esta rotao vem do prprio Processo de Cross que , em linhas gerais, uma questode travar a rotao de todos ns, liberando apenas a rotao do n a ser equilibrado em cadapasso. Quando permitida a rotao de um n, este se equilibra atravs de parcelas de momentosfletores equilibrantes nas barras adjacentes. Como conseqncia do giro do n e do seu equilbrio,as barras adjacentes ao n se deformam e tm seus momentos fletores alterados. Isto , novosmomentos fletores desequilibrantes so "transmitidos" para os ns adjacentes. O processoconverge pois os incrementos de rotao vo diminuindo a cada passo, assim como as parcelas demomentos fletores transmitidas.

Canvas de MomentosO terceiro canvas apresenta o diagrama de momentos fletores em cada estgio do processo, comona figura abaixo. Antes do processo iniciar, o diagrama de momentos fletores corresponde situao de engastamento perfeito de todos os ns internos. de grande importncia para acompreenso do processo que se mostre este diagrama. Isto vai permitir a visualizao dosmomentos desequilibrantes em cada estgio do processo. Estes so facilmente percebidos ao olharpara os ns e visualizar uma descontinuidade no diagrama de momentos fletores.

Uma caracterstica interessante deste canvas que os apoios so pintados de vermelho quando on se encontra em desequilbrio. Isto facilita a percepo dos ns desequilibrados, principalmentequando o desequilbrio de momentos fletores pequeno. Estes apoios coloridos de vermelhopossuem uma funo de grande importncia: serviro de interface do usurio com a simulao. Istosignifica que quando o usurio clica em um apoio pintado ocorrer um passo no processo e este nficar equilibrado.

e-Cross - Verso 1.01 7

Esta possibilidade de o usurio escolher qual o n que ir ser equilibrado uma das chaves para oaprendizado. A explicao muito simples, pois se em cada passo os ns mais desequilibradosforem clicados o nmero de interaes ser mnimo. Quer dizer que a convergncia ser maisrpida. A possibilidade de escolha do n a ser equilibrado permite que o aluno aprenda realmente ocomportamento do Processo de Cross.

Canvas da SoluoO quarto canvas, mostrado abaixo, tem como funo mostrar os resultados de cada passo doProcesso de Cross. Isto feito na forma em que estes resultados so usualmente colocadosquando se calcula manualmente uma viga contnua pelo processo. Isto , os resultados tem umformato de uma tabela. Esta tabela de respostas pode ser facilmente lida pelos alunos, pois possuium formato idntico quele que eles fazem em seus cadernos.

Neste canvas, os coeficientes de distribuio de momentos para o equilbrio de cada n somostrados adjacentes a cada apoio interno. Estes coeficientes indicam a parcela de momentoequilibrante que vai para cada seo de viga adjacente ao n. Por isso a soma dos dois coeficientesem cada apoio interno unitria. Os valores destes coeficientes so proporcionais rigidez derotao do n em relao s duas barras adjacentes.

A tabela de resultados mostrada no canvas da soluo iterativa contm uma linha para cadaiterao do processo. A primeira linha sempre corresponde aos momentos fletores iniciais nasituao de engastamento perfeito de todas as sees dos apoios internos. As linhas seguintesmostram, para cada iterao do processo, as parcelas de momentos equilibrantes do n equilibradoe as parecelas transmitidas aos ns adjacentes. Os momentos fletores que aparecem na tabelaseguem a seguinte conveno de sinais: quando o momento atuante na extremidade de uma barrafor no sentido anti-horrio o seu sinal positivo; caso contrrio o sinal negativo.

A tabela de resultados, por possuir mais linhas do que o canvas pode mostrar, pode subir ou descerna tela simplesmente clicando em cima dela e arrastando-a com o mouse.