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5/21/2018 Apostila de 84 Exercicios Resolvidos de Analise Combinat ria
http:///reader/full/apostila-de-84-exercicios-resolvidos-de-analise-combinator
Professor Tiago MachadoEducao Matemtica
Formado pelas Faculdades Integradas Campo-grandense FIC RJ.Especializado em Ensino da Matemtica fundamental e Mdio FIC RJ.
Especializado em Ensino da Matemtica !ERJ.
Blog =>professortiagomachado.blogspot.comCurrculo =>http://lattes.cnpq.br/0317131329053631
Exerccios de Anlise combinatria !esol"idos#
$%"e #uantos modos podemos escol$er % cartas de um &aral$o de %' cartas( sem le)arem conta a ordem das mesmas( de modo #ue sempre apaream os * ases+
Informaes:
Baralho de 52 cartas;
4 ases;
Sempre apaream 4 ases.
52-4=48 => tiramos os ases do
aralho.
Sol!"o:
#oleiro: linha:
*,-*-/
-*,
-0-*
-*
1-/*,2-/
-*,
1-**2-*
-*==
&%E3istem /0 4ogadores de fute&ol de salo( entre eles Joo #ue por sinal o 5nico #ue4oga como goleiro. 6esta condio #uantos times de % pessoas podem ser escalados+
Informaes:
$% &o'adores de f!teol de sal"o;
(o"o como o )nico 'oleiro do time;
5 pessoas ser"o escaladas: $
'oleiro e 4 na linha.
$%-$=* => tiramos o (o"o da
sele"o da linha.
Sol!"o:
#oleiro: linha:
/'7-%-*
-8
-0-/
-/
1-*82-*
-8
1-//2-/
-/==
'% !m time de fute&ol de salo de)e ser escalado a partir de um con4unto de /0
4ogadores 2entre eles 9ri e 9rnaldo1. "e #uantas formas isto pode ser feito se 9ri e9rnaldo de)em necessariamente ser escalados+
Informaes:
$% &o'adores;
+ntre eles ,ri e ,rnaldo o! se&a
dois &o'adores;
!teol de sal"o tem 5 &o'adores;
$%-2=8 /= tiramos ,ri e ,rnaldo;
,ri e ,rnaldo tem 0!e
ori'atoriamente &o'ar.
Sol!"o:
,ri e ,rnaldo (o'adores.
No deixe de divulgar nosso blog e comunidade do orkut:
Blog:professortiagomachado.blogspot.com
Comunidade: http://www.orkut.com.br/MainCommunit!"cmm#$%&'()%))
Todos os direitos reservados ao professor Tiago Machado, referentes aos clculos.
http://d/Escritorio%20Virtual/Biblioteca%20Virtual/Livros%20de%20Matem?tica,%20Pedagogia,%20Apostilas%20e%20Revistas/apostila%20de%20exerc?cios%20resolvidos%20de%20matem?tica/professortiagomachado.blogspot.comhttp://lattes.cnpq.br/0317131329053631http://d/Escritorio%20Virtual/Biblioteca%20Virtual/Livros%20de%20Matem?tica,%20Pedagogia,%20Apostilas%20e%20Revistas/apostila%20de%20exerc?cios%20resolvidos%20de%20matem?tica/professortiagomachado.blogspot.comhttp://d/Escritorio%20Virtual/Biblioteca%20Virtual/Livros%20de%20Matem?tica,%20Pedagogia,%20Apostilas%20e%20Revistas/apostila%20de%20exerc?cios%20resolvidos%20de%20matem?tica/professortiagomachado.blogspot.comhttp://www.orkut.com.br/Main#Community?cmm=105836066http://d/Escritorio%20Virtual/Biblioteca%20Virtual/Livros%20de%20Matem?tica,%20Pedagogia,%20Apostilas%20e%20Revistas/apostila%20de%20exerc?cios%20resolvidos%20de%20matem?tica/professortiagomachado.blogspot.comhttp://lattes.cnpq.br/0317131329053631http://d/Escritorio%20Virtual/Biblioteca%20Virtual/Livros%20de%20Matem?tica,%20Pedagogia,%20Apostilas%20e%20Revistas/apostila%20de%20exerc?cios%20resolvidos%20de%20matem?tica/professortiagomachado.blogspot.comhttp://www.orkut.com.br/Main#Community?cmm=1058360665/21/2018 Apostila de 84 Exercicios Resolvidos de Analise Combinat ria
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%7-%-:
-,
-0-'
-'
1-:,2-:
-,
1-''2-'
-'==
(%!m #u;mico possui /0 2dez1 tipos de su&st
Informaes:
2% pessoas;
5 matem7ticos.
omisses de $% pessoas.
a%6en$um mem&ro se4a matemtico+
Sol!"o:
+trair os matem7ticos o! se&a 2%-5=5.
:00:-%-/0
-/%
1-/0/%2-/0
-/%==
b%?odos os matemticos participem das comiss=es+
Sol!"o:
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Incl!ir todos os matem7ticos.
:00:-/0-%
-/%
-0-%
-%
1-%/%2-%
-/%
1-%%2-%
-%==
c%$a4a e3atamente um matemtico na comisso+
Soluo:
Incl!ir $ matem7tico de 5 dos 0!e eistem.
'%0'%-7-8
-/%
-*-/
-%
1-8/%2-8
-/%
1-/%2-/
-%==
d%@elo menos um mem&ro da comisso se4a matemtico+
Sol!"o:
elo menos $ se&a matem7tica.
'%0'%-7-8
-/%
-*-/
-%
1-8/%2-8
-/%
1-/%2-/
-%==
7*:%0--,
-/%
-:-'
-%
1-,/%2-,
-/%
1-'%2-'
-%==
7*:%0-,-
-/%
-'-:
-%
1-/%2-
-/%
1-:%2-:
-%==
'%0'%-8-7
-/%
-/-*
-%
1-7/%2-7
-/%
1-*%2-*
-%==
:00:-/0-%
-/%
-0-%
-%
1-%/%2-%
-/%
1-%%2-%
-%==
25%25945%945%925%259%%=$825
*%"e um grupo de /0 pessoas dese4a-se formar uma comisso de % mem&ros. "e#uantas formas isto pode ser feito se duas pessoas 29 e A1 ou fazem parte da comissoou no+
Sol!"o:
Informa"o:
$% pessoas;
5 memros;
, e B de
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+%!m $omem possui , pares de meias 2todas distintas1. "e #uantas formas ele podeselecionar ' meias sem #ue elas se4am o mesmo par+
Informa"o:
8 pares de meias;
2 meias.
Sol!"o:
',-7-'
-,
1-',2-'
-,==
8 2= 4 meias.
284=$$2 meias.
,%?emos % $omens e 7 mul$eres. "e #uantas formas>
Informaes:
5 homens;
6mulheres.
a%@odemos formar uma comisso de : pessoas+
Sol!"o:
59=$$
/7%-,-:
-//
1-://2-:
-//==
b%@odemos formar uma comisso de : pessoas de modo #ue $a4a ' $omens e / mul$erna mesma+
Sol!"o:
2 homens e $ m!lher.
70-%-/
-7
-:-'
-%
1-/72-/
-7
1-'%2-'
-%==
-% !m lote contm %0 peas &oas e /0 defeituosas. E3traindo-se , peas 2semreposio1 no le)ando em conta a ordem das mesmas( de #uantas formas podemoso&ter * peas &oas e * defeituosas+
Informao:
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50 peas boas e 10 defeituosas;
Extrair 8 peas sem reposio;
peas boas e defeituosas.
!oluo:
*,:7:00-7-*
-/0
-*7-*
-%0
1-*/02-*
-/0
1-*%02-*
-%0==
$%Em uma urna e3istem /' &olas das #uais so pretas e % &rancas. "e #uantosmodos podemos tirar 7 &olas da urna( das #uais ' so &rancas+
Informa"o:
$2 olas;
olas pretas;
5 olas rancas;
irar olas da !rna das 0!ais 2
s"o rancas.
Sol!"o:
:%0-:-*
-
-:-'
-%
1-*2-*
-
1-'%2-'
-%==
$$%Buantos su&con4untos de % cartas contendo e3atamente : ases podem ser formadosde um &aral$o de %' cartas+
Informa"o:
5 cartas contendo eatamente
ases;
!m aralho de 52 cartas;
?m aralho tem sempre 4 ases.
52-4=48 /= sem os ases.
Sol!"o:
*%/'-*7-*
-*,
/-:
-*
1-'*,2-'
-*,
1-:*2-:
-*==
$&%!ma urna contm : &olas )ermel$as e % &rancas. "e #uantas formas podemose3trair ' &olas( sem reposio e sem le)ar em conta a ordem na e3trao( de modo #ue>
Informaes:
olas
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b%9 duas se4am &rancas+
oluo>
/0-:-'
-%
1-'%2-'
-%==
c%!ma se4a )ermel$a( outra &ranca+
oluo>
/%
-*-/
-%
-'-/
-:
1-/%2-/
-%
1-/:2-/
-:==
$'%!ma urna contm /0 &olas &rancas e 7 pretas. "e #uantos modos poss;)el tirar &olas das #uais pelo menos * se4am pretas+
Informa"o:
$% olas rancas;
olas pretas;
tirar olas das 0!ais pelo menos
4 se&am pretas.
Sol!"o
/,00-'-*
-7
--:
-/0
1-'*2-*
-7
1-:/02-:
-/0==
'0-/-%
-7
-,-'
-/0
1-%72-%
-7
1-'/02-'
-/0==
/0-0-7
-7
-/-/
-/0
1-772-7
-7
1-8/02-/
-/0==
$8%%92%9$%=2%8%
$(%9 diretoria de uma firma constitu;da por diretores &rasileiros e * 4aponeses.Buantas comiss=es de : &rasileiros e : 4aponeses podem ser formados+
Informa"o:
diretores rasileiros;
4 diretores &aponeses;
comisses de rasileiros e
&aponeses.
Sol!"o:
/*0-/-:
-*
-*-:
-
1-:*2-:
-*
1-:2-:
-==
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$)%Em um grupo de /% pessoas e3istem % mdicos( engen$eiros e : ad)ogados.Buantas comiss=es de % pessoas podemos formar( cada #ual constitu;da de ' mdicos( 'engen$eiros e / ad)ogado+
Informa"o:
5 m@dicos;
en'enheiros;
ad
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Sol!"o:
',-7-'
-,
1-',2-'
-,==
b%igando-se : desses pontos( #uantos tri
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Sol!"o:
.min,:/700-'-'-'-:
-//=
?m dia tem 24h => 24%=$44% min!tos.
8$%% =/**0 55 dias
&&%!ma moeda lanada '0 )ezes. Buantas se#Dncias de GcarasH e GcoroasH e3istem(com /0 caras e /0 coroas+
Informa"o:
6anada 2%
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Informa"o:
+istem 2 r!as EhoriontaisF e E
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Informao:
!* ha%ia + ,uartos #om 5 lu-ares #ada um.
!oluo:
'%'-0-%
-%
-%-%
-/0
1-%%2-%
-%
1-%/02-%
-/0==
&-%"e #uantos modos , pessoas podem ocupar duas salas distintas( de)endo cada salaconter pelo menos : pessoas+
Sol!"o:
%7-0-%
-%
-%-:
-,
1-%%2-%
-%
1-:,2-:
-,==
0-0-*-*
-*-*-,
1-**2-*-*
1-*,2-*-, ==
%7-0-:
-:
-:-%
-,
1-::2-:
-:
1-%,2-%
-,==
59%95=$82
:01 !ma pessoa #uer )ia4ar de uma cidade 9 a uma cidade C( passando pela cidade A.
9s cidades 9 e A esto ligadas por : estradas>d/(d'(d: as cidade A e C esto ligadaspor % cidades> e/(e'(e:(e*(e%. "e #uantos modos diferentes pode-se fazer o percurso9AC+
Informa"o:
,s cidades , e B est"o li'adas por
estradas:d$d2d;
B e est"o li'adas por 5 cidades:
e$e2ee4e5;
modos diferentes pode-se faer o
perc!rso ,B.
Sol!"o:
/%%.:-*-/
-%
-'-/
-:
1-/%2-/
-%
1-/:2-/
-:===
'$%Com trDs tipos de macarro e ' tipos de mol$os( #uantos pratos diferentes demacarronada podem ser preparados com / tipo de macarro e / tipo de mol$o+
Informa"o:
rAs tipos de macarr"o e 2 tipos de
molhos;
ratos diferentes de macarronada
podem ser preparados com $ tipo
de macarr"o e $ tipo de molho.
Sol!"o:
7'.:-/-/
-'
-'-/
-:
1-/'2-/
-'
1-/:2-/
-:===
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'&%6o Arasil( as placas de autom)eis tDm : letras seguidas de * algarismos. Buantasso as possi&ilidades de placas diferentes.
Informa"o:
tAm letras se'!idas de 4 al'arismos.
Sol!"o:
2 . 2 . 2 . $% . $% . $% . $% =2: .$%*
6etra 6etra 6etra nJ nJ nJ nJ
''%Buantos n5meros pares de ' algarismos podem ser formados no sistema decimal+
Informa"o:
Sistema decimal;
%$2458* => $% n!meros.
Sol!"o:
* . 5 =45 nJ pares
'(%"e #uantos modos : pessoas podem se sentar em % cadeiras+
Informa"o:
Kodos pessoas podem se sentar;
5 cadeiras.
Sol!"o:
5 . 4 . = %adeira$ cadeira2 cadeira
35)implifi#ue>
a% =+
-
1-'2
n
n
Sol!"o:
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'/'/'1/1.2'2-
-1./1.2'2
-
1-''1.2/'1.20'2 ''++=++=++=
++=
+++nnnnnnn
n
nnn
n
nnn
b% = 1-'2
-
n
n
Sol!"o:
nnnn
n
nnn
==
'1/.21-'2
1-'1.2/1.202
'*%Calcule o )alor de n na e#uao /0-
1-/2=
n
n
.
Sol!"o:
/0
/
/0/
/01-/1.202
1-/2
=
=
=
n
n
nn
n
'+%Considere a pala)ra "IEM9 e determine>
a%K n5mero total de anagramas.
Informa"o:
Seis letras.
Sol!"o:
L=2%.
&1 K n5mero de anagramas #ue comeam com a letra e terminam com a letra M.
Sol!"o:
6 . 4 . . 2 . $ . K = 24$M letra !ltima letra
N! podemos:
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$ . 4 . . 2 . $ . $ = 24 $M letra !ltima letra
',%Em uma estante temos , li)ros( dos #uais : so de matemtica. "e #uantas formaspodemos organiz-los( de modo #ue fi#uem sempre 4untos+
Informa"o:
+stante temos 8 li
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5 letras;
omeam com consoantes temos letras.
Sol!"o:
IN . IN . . 2 . $ =$2
($%Calcule o numero de anagramas da pala)ra @I( lem&rando #ue um anagrama uma pala)ra formada com as mesmas letras da pala)ra dada( podendo ter ou no sentidona linguagem usual.
Informa"o:
emos 5 letras.
Sol!"o:
5L=542$=$2%
(&%6um carro com % lugares )ia4aro * passageiros e o motorista. "e #uantos modosdistintos os * passageiros podem ocupar os assentos do )eiculo+
Informa"o:
4 passa'eiros podem oc!par os assentos do
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. . 4 = fio . . =
fio . . 8 = fixo
*'Q:7Q:7Q:7Q:7N/,7
((%"a olimp;ada de matemtica( na escola de Fernando( participaram /0 alunos. Kn5mero #ue corresponde s diferentes maneiras de se arrumarem os trDs primeiros
colocados >Informa"o:
a escola de ernando participaram $% al!nos;
Ns trAs primeiros colocados.
Sol!"o:
$% . * . 8 =2%
()%9 escola S( por uma #uesto administrati)a( identifica cada professor por uma letra(um algarismo e um s;m&olo grego. 9s letras so 9(A(C( os algarismos /('(:(*(% e oss;m&olos gregos so T(U(V. !tilizando essas identifica=es( o numero m3imo de
professores dessa escola >
Informa"o:
,s letras s"o ,B. rAs elementos;
Ns al'arismos $245. inco elementos;
Ns sDmolos 're'os s"o TUV. rAs elementos.
Sol!"o:
. 5 . =45 ,B $245 TUV
*71 9 #uantidade de n5meros naturais de trDs algarismos #ue podem ser formados comos algarismos /(:(%((8 >
Informa"o:
rAs al'arismos;
ormados com os al'arismos $5*.
Sol!"o:
5 . 5 . 5 =$25
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(+% Buantos n5meros naturais ;mpares( de trDs algarismos distintos( podem serformados com os algarismos do con4unto O'(:(*(%P+
Informa"o:
)meros nat!rais Dmpares;
rAs al'arismos distintos formados
com os al'arismos do con&!ntoQ245R.
Sol!"o:
. 2 . 2 =$2 : ou %
(,%Buantos n5meros pares de trDs algarismos distintos e maiores #ue *00( podem serformados com os algarismos do con4unto O'(:(*(7((,(8P+
Informa"o:
)meros pares de trAs al'arismos
distintos e maiores 0!e 4%%;
ormados com os al'arismos do
con&!nto Q248*R=> elementos.
Sol!"o:
4 . 5 . =$5 fio
. 5 . =$5 fio
. 5 . 4 =2% fio
8 . 5 . =$5 fio
* . 5 . 4 =2% fio
$59$592%9$592%=85
*81 @ara organizar os ar#ui)os com todos os funcionrios de uma escola( a direoutilizou fic$as identificadas( cada uma( por ' )ogais distintas( seguidas de : algarismosdistintos. K n5mero m3imo de fic$as confeccionadas foi igual a>
Informa"o:
' )ogais distintas
"e : algarismos distintos.
Sol!"o:
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5 . 4 . $% . * . 8 =$44%%Oo'ais
Informao:
tili&ar somente as letras )7 e E 34 #in#o letras.
E os al-arismos 01 e + 34 tr's al-arismos.
!oluo:
5 . 5 . " . " . " 4+0+5 (etras (etras al-. )l-. )l-.
)&%!ma sala de)e ser iluminada com % l
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inco letras;
rAs letras , d!as G.
Sol!"o:
/0-:-'-%
=
)(%!ma escola possui /% professores. Entre eles( sero escol$idos> !m diretor( um)ice-diretor e um coordenador pedaggico. Buantas so as possi&ilidades de escol$a+
Informa"o:
, escola poss!i $5 professores;
ser"o escolhidos: ?m diretor !m
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, letra aparece 2
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inco ca
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*(% "e #uantos modos pode-se arrumar * li)ros de Matemtica( : geografia e '&iologia( numa estante( de modo #ue os li)ros de mesmo assunto fi#uem 4untos+
Informa"o:
ode-se arr!mar 4 li
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*+%Buantas comiss=es de trDs pessoas podem ser formadas com um grupo de setepessoas+
Informao:
omisses de tr's pessoas;
m -rupo de sete pessoas.
!oluo:
:%-*-:
-
1-:2-:
-==
*,%9o sair de uma festa( dez amigos se despediram com um aperto de mo. Buantosapertos de mo foram trocados+
Informao:
3e ami'os se despediram com !m aperto de m"o.
,pertos de m"o foram trocados saemos 0!e !ma pessoa pode dar dois apertos ao
mesmo tempo.
!oluo:
*%-,-'
-/0
1-'/02-'
-/0==
*-%!m fa&ricante de doces disp=e de em&alagens com capacidades para seis docescada uma. a&endo-se #ue ele fa&rica #uinze tipos de doces diferentes( #uantos tipos deem&alagem( com seis doces diferentes( e ele poder organizar+
Informao:
Com capacidades para seis doces cada uma.
Ele fa&rica #uinze tipos de doces diferentes.
?ipos de em&alagem( com seis doces diferentes.
!oluo:
%00%-8-7
-/%
1-7/%2-7
-/%==
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+%Em um congresso de Educao( $ seis professores de F;sica e seis de Matemtica.Buantas comiss=es de % professores podem ser formadas( $a)endo em cada uma dois
professores de Matemtica e trDs de F;sica+
Informa"o:
W7 seis professores de Dsica e seis de Katem7tica;
omisses de 5 professores podem ser formadas;
Wa
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Informao:
!eis pessoas;
ormar + #omisses #om "
pessoas #ada.
!oluo:
'0-:-:
-7
1-:72-:
-7==
+(%o&re uma reta marcam-se : pontos e so&re outra reta( paralela a primeira( marcam-se % pontos. Calcule o n5mero de tri
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numero de resultados poss?%eis para as " primeiras #olo#aes.
!oluo:
::7-%
-,
1-:,2
-,==
+,%6o campeonato de )Ylei de praia $a)ia /: duplas. Cada dupla 4ogou com as demaisduas partidas( uma em cada fim de semana. 6o final( duas duplas ficaram empatadastendo sido realizadas ento a partida de desempate. K n5mero de partidas disputadasnesse campeonato foi>
Sol!"o:
,-//-'
-/:
1-'/:2-'
-/:==
82partidas9$ desempates = $5
+-%!ma &anca e3aminadora de um concurso ser formada por % professores( escol$idosentre , de matemtica e * l;ngua @ortuguesa. K numero de composi=es #ue poss;)elformar com esta &anca e3aminadora de modo #ue ela ten$a( no m;nimo( ' professoresde l;ngua @ortuguesa >
Informa"o:
Ser7 formada por 5 professores.
+scolhidos entre 8 de matem7tica e 4 lDn'!a ort!'!esa.
+la tenha no mDnimo 2 professores de lDn'!a ort!'!esa.
Sol!"o:
::7-'-'
-*
-%-:
-,
1-'*2-'
-*
1-:,2-:
-,==
//'-/-:
-*
-7-'
-,
1-:*2-:
-*
1-',2-'
-,==
,-0-*
-*
1-/,2-/
-,=
9$$298=45
,%"isp=e-se de /% 4ogadores de )olei&ol sendo( um deles( 9ndr. K numero de duplasdiferentes #ue podem ser formadas( nas #uais no aparea o 4ogador 9ndr( >
Informa"o:
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,ndr@ n"o ir7 aparecer ent"o temos $4 &o'adores.
3!as pessoas por d!plas.
Sol!"o:
8/-/'-'-/*
1-'/*2-'-/*
==
,$%6um campeonato de ping-pong( esto inscritos /7 alunos. 6umero total de partidas#ue podem ser realizadas entre esses inscritos >
Sol!"o:
/'0-/*-'
-/7
1-'/72-'
-/7==
,&%Imagine #ue todos os ',% candidatos classificados neste concurso( reunidos em umsalo( resol)am cumprimentar-se uma 5nica )ez. K numero de cumprimentos #ue serotrocados ser dado pelo resultado de>
Sol!"o:
*0*0-',:-'
-',%
1-'','2-'
-',%==
,:1 "e um grupo de 7 $omens e * mul$eres( dese4a-se escol$er % pessoas( incluindo(pelo menos( ' mul$eres. K numero de escol$as distintas #ue se pode fazer >
Informa"o:
?m 'r!po de homens e 4
m!lheres;
3ese&a-se escolher 5 pessoas;
er pelo menos 2 m!lheres.
Sol!"o:
/'0-'-'
-*
-:-:
-7
1-'*2-'
-*
1-:72-:
-7==
70-/-:
-*
-*-'
-7
1-:*2-:
-*
1-'72-'
-7==
7
-0-*
-*
-%-/
-7
1-**2-*
-*
1-/72-/
-7==
$2%9%9=$8.
,*1 e4a n o numero total de anagramas da pala)ra AK?9FKWK( #ue contm as *consoantes em ordem alfa&tica. Lalor de n igual a>
Informa"o:
, pala
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7.'0-:
-,=
,s 0!atro consoantes B#:
42$=246o'o temos:
',0'*
7'0=
Cist*ria