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Apostila de Cálculo I
1
Apostila de Cálculo I
2
Limites
Diz-se que uma variável x tende a um número real a se a diferença em
módulo de x-a tende a zero. ( ax ≠ ). Escreve-se: ax → ( x tende a a).
Exemplo : Se .1,2,3,4,..N ,N1
x == quando N aumenta, x diminui, tendendo a zero.
Definição :
f(x) limax→
é igual a L se e somente se, dado 0 ε e ax ⟩→ , existe 0 δ ⟩ tal que se
ε a- x 0 ⟨⟨ então δ L-(x) f ⟨ .
Propriedades:
constante) C ( C C 1. limax
==→
[ ] (x) g (x) f (x) g (x) f 2. limlimlimaxaxax →→→
±=±
[ ] (x) g . (x) f (x) g . (x) f .3 limlimlimaxaxax →→→
=
[ ]n
ax
n
ax(x) f (x) f 4. limlim
=
→→
(x) g
(x) f
(x) g (x) f
5.lim
lim lim
ax
ax
ax→
→
→=
nax
n
ax(x) f(x) f .6 lim lim
→→=
Apostila de Cálculo I
3
Constante C , lim
CC .7(x) f
(x) f
ax
axlim == →
→
(x) f log (x) flog .8 limlimax
b bax →→
=
polinomial função uma é (x) P onde (a) P (x) P .9 limax
=→
L (x) h então , (x) g L (x) f e ax , (x) g (x) h (x) f Quando .10 limlimlimaxaxax
===→∀≤≤→→→
Exemplos:
1) ( ) 10 4 2 3. 43x lim2x
=+=+→
2) adoindetermin 00
2242
24x
22
2xlim =
−−=
−−
→ x
( )( ) ( ) 4 2x
2x2x2x
24x
limlimlim2x2x
2
2x=+=
−−+=
−−
→→→ x
3) ( )
adoindetermin 00
022
0220
x
2 - 2x lim
0x=−=−+=
+→
( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
( )( ) 42
22
1
22
1
2 2x
1
2 2xx.
22
2 2xx.
2 2x.2 - 2x
x
2 - 2x
lim
limlimlim
0x
0x0x0x
==+
=++
=
++−+=
+++++
=+
→
→→→
x
Apostila de Cálculo I
4
Exercícios :
1) Calcular os limites:
a) 34x
2
1xlim +
+→ x
b) 3
2
2x x1x2x -8
lim −+
→
c) 28x
3
2xlim −
−→ x
d) ( )x
x-4 - 2 lim
0x→
e) 2y8y
3
2xlim +
+−→
f) 2-2x
23
2
1xlim
+−→
xx
g) 6-x-2x103
2
2
2xlim
−+→
xx
h) 5-x
23 lim
5x
−−→
x
i) 3x-
2
23
1xlim +
−−→
xx
j) x-4
7
3
2xlim
xx −−→
l) 3-x27
3
3xlim
−→
x
m) ( )273x 2
3xlim +−
→x
n) ( ) ( )[ ]13
1x2.4x lim
−
−→++ x
o) 2t
65tt
2
2xlim +
++→
p) 2t
65tt
2
2xlim −
+−→
Apostila de Cálculo I
5
3
x
3
1
-1
y
Limites Laterais
Suponha que, quando x tende a a pela esquerda, isto é, por valores
menores que a, f (x) tende ao número 1L . Este fato é indicado por:
1ax
L (x) f lim-
=→
Suponha que, quando x tende a a pela direita, isto é, por valores maiores
que a, f (x) tende ao número 2L . Este fato é indicado por:
2ax
L (x) f lim =+→
Os números 1L e 2L são chamados, respectivamente, de limite à esquerda de
f em a e limite à direita de f em a e referidos como limites laterais de f em a .
Exercícios :
1) Seja a função definida pelo gráfico abaixo. Intuitivamente, encontre se existir:
a) (x) lim-3x
f→
b) (x) lim3x
f+→
c) (x) lim3x
f→
d) (x) limx
f∞→
e) (x) limx
f−∞→
f) (x) lim4x
f∞
Apostila de Cálculo I
6
1
x
y
0,5
2) Seja a função definida pelo gráfico abaixo. Intuitivamente, encontre se existir:
a) (x) lim1x
f+→
b) (x) lim1x
f−→
c) (x) lim1x
f→
d) (x) limx
f∞→
e) (x) limx
f−∞→
.
3) Dada a função 31)( −+= xxf , determinar, se possível, (x) lim-3x
f→
e (x) lim3x
f+→
.
4) Seja f(x) =
⟩=
⟨+
2 xpara x-9
2 xpara 2
2 xpara 1
2
2x
. Determinar: (x) lim-2x
f→
, (x) lim2x
f+→
, (x) lim2x
f→
.
5) Seja f(x) =
⟩
≤−
3 xpara 7-3x
3 xpara 1x
.. Determinar (x) lim-3x
f→
, (x) lim3x
f+→
, (x) lim3x
f→
,
(x) lim-5x
f→
, (x) lim5x
f+→
, (x) lim5x
f→
.
Apostila de Cálculo I
7
Limites Infinitos
Ao investigarmos (x) f ou (x) f limlimaxax - +→→
pode ocorrer que , ao tender x para
a, o valor f (x) da função ou aumente sem limite, ou decresça sem limites.
Por exemplo:
21
(x) f−
=x
.
Quando x se aproxima de 2 pela direita, f (x) aumenta sem limite:
x 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001
f (x) 10 100 1.000 10.000 100.000
Quando x se aproxima de 2 pela esquerda, f (x) diminui sem limite:
x 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999
f (x) -10 -100 -1.000 -10.000 -100.000
Assim : 2-x
1 e
2-x1
limlim2x2x
−∞=∞=−+ →→
.
São consideradas indeterminações: )()( )( 0. 00 ±∞±±∞
∞±∞±±∞
Exemplos :
1) adoindetermin 1x
x
2
xlim ∞
∞=++∞→
∞==+
=+
=+ +∞→+∞→+∞→ 0
1
x
1x1
1
x
1xxx
1x
x
2
x
2
2
2
x
2
xlimlimlim
Apostila de Cálculo I
8
2) adoindetermin xx32x
3
xlim ∞
∞=++
+∞→
0 10
x1
1
x3
x2
xxx
x32x
xx32x
2
32
x
3
3
3
x3
xlimlimlim ==
+
+=
+
+
=++
+∞→+∞→+∞→
Exercícios:
1) Seja 12x
3x5(x) f
++= . Determinar:
a) (x) f limx +∞→
b) (x) f limx −∞→
c) (x) f lim)
2
1(x +−→
d) (x) f lim)
2
1(x −−→
2) Calcular:
a) ( )2-x1 lim)2(x
++→
b) ( )
3x10-2x1
lim)5(x +
++→
c) ( )3
)4(x 4-x
1 lim
−→
d) ( )3
)4(x 4-x
1 lim
+→ e)
235x2
2
2
xlim ++
−−∞→ xx
f) 6xx
13x x
2
2
2xlim −+
++−+→
g) 6xx
13x x
2
2
2xlim −+
++−−→
Apostila de Cálculo I
9
y
x x
y
x
y
a a a
Continuidade
O conceito de continuidade está baseado na parte analítica, no estudo de
limite, e na parte geométrica na interrupção no gráfico da função. Assim, as funções
f(x), abaixo, são todas descontínuas:
f(x) f(x) limlimaxax - +→→
≠ f(a) f(x) limax
≠→
−∞=
∞=
+→
→
f(x)
f(x)
lim
lim
ax
ax -
Definição: Uma função é contínua em um ponto A se:
a) f (a) é definida
b) (x) f limx a→
existe
c) (x) f limx a→
= f (a)
A descontinuidade no gráficos (2) é chamada por ponto ou removível, a
descontinuidade em (1) é por salto e em (3) é uma descontinuidade infinita.
Exemplos:
Estudar analiticamente a descontinuidade das funções:
Apostila de Cálculo I
10
a)
⟩=⟨−
=1 x x - 1
1 x 1
1 x x1
f(x)
2
em x =1.
f(1) = 1 0 x- 1 lim (x) f lim2
1x1x
==−→−→
0 x - 1 lim x - 1 lim (x) f lim1x1x1x
===+→+→+→
f é descontínua por ponto ou removível em x = 1. Para remover a descontinuidade
basta fazer f(x)=0 para x = 1.
b)
⟩=⟨−
=2 x 8-3x
2 x 4
2 x 23
f(x)2
x
no ponto x=2.
L14 2-3x lim (x) f lim2x2x
===−→−→
L24 8-3x lim (x) f lim2
2x2x
===+→+→
como L1 = L2 =f(2) então a função é contínua.
Exercícios :
Estudar analiticamente a descontinuidade das funções::
a)
⟩
=
⟨−−
−
=
3 x 3-x
1-2-x
3 x 2
3 x 932
27x
f(x)
2
3
xx
em x =3.
Apostila de Cálculo I
10
b)
≠−−
==
2 x 2-x
253x
2 x 7
f(x)2 x
c)
⟩+
=
⟨
=
0 x x
2-4x
0 x 3
0 x
f(x)
xxsen
3) Determinar o(s) valor(es) de A para o(s) qual(is) existe (x) f lim1x→
:
⟨
≥−−
=1 x A)-(x
1x 1- 11x
f(x)2
2
x
Apostila de Cálculo I
12
1x 0x x
∆y
∆x
)f(x1
P
Q
β
Derivada de uma Função
Acréscimo da variável independente
Dados 10 xe x denominam incremento da variável x, à diferença:
01 xx∆x −=
Acréscimo de uma função
Seja y = f(x) contínua. Dados 10 xe x podem-se obter )f(x e )f(x 10 . À
diferença )f(x)f(x∆y 01 −= chama-se acréscimo ou variação da função f(x).
Como
∆xxx 01 += , então: )f(x∆x)f(x∆y 00 −+=
Graficamente: β tg∆x
∆y =
y
)(x f 0
01 xx∆x −=
1x 0x
x
Apostila de Cálculo I
13
Razão Incremental
O quociente da variação da função ∆y pelo incremento da variável
independente ∆x é chamado razão incremental.
∆x
)f(x∆x)f(x∆x
∆y 00 −+=
Trocando 0x por x (fixo momentaneamente), temos:
∆x
f(x)∆x)f(x∆x
∆y −+=
Observe que a razão incremental é o coeficiente angular ( βtg ) da reta secante s,
que passa por P e Q.
Derivada de uma função num ponto x:
eja y = f(x) contínua. Calculamos a razão incremental ∆x
∆y. O limite da razão
incremental para o acréscimo ∆x tendendo a zero é definido como a derivada da
função f(x). Ela pode ser indicada como:
(x)fy ′=′ Lagrange
Dy = Df(x) Cauchy
dxdf
dxdy = Leibnitz
y& Newton
Apostila de Cálculo I
14
x x
y∆
x∆
)xx(f ∆+
P
Q
β
α f (x)
s
xx ∆+
t
α
Então:
∆x
∆y
0∆xlim(x)f
→=′ ou
∆x
f(x)-∆x)f(x
0∆xlim(x)f
++++
→→→→====′′′′
Quando 0∆x → , a reta secante s tende para a reta tangente t , α tgβ tg →
e α tg(x)f =′ .
Geometricamente (x)f ′ mede a inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no
ponto P(x, f(x)).
Exemplo:
Sendo C uma constante e f(x) = C , calcular pela definição )(xf ′ .
∆x
f(x)-∆x)f(x
0∆xlim(x)f
+→
=′
Cf(x) =
C∆x)f(x =+
y
Apostila de Cálculo I
15
∴ 0∆x
0
0∆xlim
∆x
C-C
0∆xlim(x)f =
→=
→=′
Então se f(x) = C 0 (x) f =′→ .
Propriedades
1. Propriedade f(x) = C 0 (x) f ====′′′′→→→→ .
2. Propriedade 1-nn x n(x) f xf(x) ====′′′′→→→→====
Exemplos:
a) 67 7x(x) f xf(x) =′→=
b) x2
1 x
21
x21
(x) f x(x) f xf(x) 2
112
1
2
1
===′→=∴=−
−
Exercícios: Calcular a derivada das funções:
a) 34xf(x) =
b) 97xf(x) =
c) 4
3
xf(x) =
3. Propriedade (x)g(x)f (x) g)(f ′′′′++++′′′′====′′′′++++
4. Propriedade (x)g(x)f (x) g)(f ′′′′−−−−′′′′====′′′′−−−−
Exemplos:
Apostila de Cálculo I
16
a) 3x2xf(x) 74 +=
63 21x8x (x) f +=′
b) 10x3xf(x) 49 −=
38 40x27x (x) f −=′
c) 4x3xf(x) 5
2
3
1
−=
x52
4.x31
3. (x) f 1
5
21
3
1
=−=′
−
−
53
32
5x
8
x
1 −
5. Propriedade (x)g . f(x)g(x) . (x)f (x) g) (f. ′′′′++++′′′′====′′′′
Exemplos:
a) 1).(xxF(x) 23 +=
2x(x) g 1xg(x)
3x(x) f x(x) f
2
23
=′→+=
=′→=
24
322
3x5x(x) F
2x .x1)(x .3x(x) F
+=′
++=′
b) )2x2x).(x(xF(x) 232
3 ++=
4xx32
(x) g )2x(xg(x)
23x(x) f 2x)(xf(x)
3
123
2
23
+=′→+=
+=′→+=
−
Apostila de Cálculo I
17
23
243
8
3
1323
22
12xx3
1010xx
311
(x)F
4x)x32
2x).((x )2x2).(x(3x(x)F
+++=′
+++++=′−
c) )x4)(2(xF(x) 92 ++=
4x36x11x(x) F
)4).(9x(x)x2x.(2(x) F
9x(x) g x2g(x)
2x(x) f 4xf(x)
810
829
89
2
++=′
+++=′
=′→+=
=′→+=
6. Propriedade (((( ))))2g(x)
(x)g . f(x)g(x) . (x)f
(x) g(x) f ′′′′−−−−′′′′
====′′′′
Exemplos:
a) 2xx1
y−=
3
4
2
4
22
22
2
2
x2x
y
xx2x
xx2xx
)(xx).(2x)(1)(-1).(x
y
2x(x) g xg(x)
-1(x) f x 1f(x)
−=′
−=+−−=−−=′
=′→=
=′→−=
Apostila de Cálculo I
18
b) 2x13x
y−+=
22
2
22
2
2
)x(116xx
y
)x(12x)3).((x)x-1.(1
y
-2x(x) g x-1g(x)
1(x) f 3xf(x)
−++=′
−−+−=′
=′→=
=′→+=
a) 7x
65xxy
2
2
−+−=
2x(x) g 7-xg(x)
5-2x(x) f 65x-xf(x)
2
2
=′→=
=′→+=
22
2
22
22
7)(x
3526x5xy
7)(x6).(2x)5x(x7)-5).(x-(2x
y
−+−=′
−+−−=′
Apostila de Cálculo I
19
Exercícios :
Calcular as derivadas das funções:
1) 42 t )t(1y −=
2) 5)1)(z2z(zy 23 −+−=
3) )2x2x)(x(xy 232
3 +−=
3) x
2xy
23
−=
4) 1)3)(3x(xy 2 −+=
5) 9z23zz8
y2
−+−=
6) 7
t2
1t53
y
2+
−=
7) 32 xxx1
1y
+++=
8) ( )
5xx
43
12x3xy
2
24
+
+−=
9) 32
1111
xxxy +++=
10) 2
13xx
y −=
Apostila de Cálculo I
20
x
)x(f
T ))x(fa( ′=
β
N
′
−=)x(f
1a
Significado Geométrico da Derivada
=′(x)f inclinação da tangente T no ponto P(x, f(x))
N = reta normal ao gráfico de y = f(x) no ponto P(x,f(x))
Exempl o:
Obter as equações das retas normal e tangente ao gráfico da função 2x4f(x)y −== nos pontos 1P (2,0) e 2P (-1,3).
No ponto (2,0) 2a 2(x) f =∴=′ 21−=na
2-2x y
2)-2(x y T de Equação
=
=
equação de N ( )2-x21
- =y → 1 x 21
- +=y
No ponto (-1,3): 2a 2(x) f =∴=′
x
y
Apostila de Cálculo I
21
52x y
1)2(x3 y T de Equação
+=
+=−
equação de N ( )1x21
- 3 - +=y
25
x 21
- +=y
Exercícios:
1) Dada a função x2xy 2 −= e o ponto P(4,12), determine a equação das retas
normal e tangente ao gráfico da função no ponto P.
2) Achar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa
dada:
a) 1 x, 52)( 2 =−= xxf
b) 2 x, 1
)( ==x
xf
3) Achar os pontos onde a reta tangente ao gráfico da função dada é paralela ao
eixo x:
a) xxx
y 42
33
23
−−=
b) 103 += xy
c) xxy 44 +=
4) Achar a equação da reta normal ao gráfico da função no ponto de
abcissa dada:
a) -1 x, 12)( 3 =−+= xxxf
Apostila de Cálculo I
22
b) 4 x, == xy
5) Determinar as abcissas dos pontos do gráfico 132 23 −+−= xxxy
nos quais a tangente é:
a) paralela à reta 3 y – 9 x – 4 = 0
b) perpendicular à reta 7 y = -x + 21
Derivadas de Ordem Superior
segunda derivada dx
yddxdy
dxd
(x) f
primeira derivada ydxdy
(x) f
f(x) y
''2
2
y==
=′′
′==′
=
terceira derivada y dx
yd
dx
yddxd
(x) f '''3
3
2
2
==
=′′′
ny==n
nn
dxyd
(x)f
geral modo um De
Exemplos : Calcular :y e y, y ′′′′′′ :
a) xxxy 24 48 +−=
2168 37' +−= xxy
26" 4856 xxy −=
Apostila de Cálculo I
23
xxy 96336 5'" −=
b) xxxxy −+−= 32 4024
2
12'
21
12028−
−+−= xxxy
23
''
41
2408−
++= xxy
2
5'''
83
240−
−= xy
Exercícios : Calcular :y e y, y ′′′′′′
113x5x4x y1) 6
157 −+−=
x1x
y)22 −=
3) 12
18 15xxxy −−
++=
4)2
3 4x
xy
−=
5) ( )( )132 −+= xxy
Apostila de Cálculo I
24
Regra da Cadeia
Se y = f(x) e u = g(x) e as derivadas dy/du e du/dx existem, ambas, então a
função composta definida por y = f(g(x)) tem derivada dada por:
( ) ( )xgufdxdu
dudy
dxdy '' . . ==
Para derivar ( )22 1+= xy podemos expandir a função e depois
derivar, ou seja:
( )1444
12)(
23
24
+=+=′
++==
xxxxy
xxxfy
Se quisermos derivar a função ( )1002 1xy += só conseguiremos resolver
através da regra da cadeia.
Assim:
( ) ( )992992
2
99100
2
1x x 200.2x 1x100dxdy
2xdxdu
1xu
100ududy
uy
1xu
+=+=
=⇒+=
=⇒=
+=
Nesse caso a propriedade é:
'1' . . uunyuy nn −−−−====⇒⇒⇒⇒====
Apostila de Cálculo I
25
Exemplos:
1) 422 ++= xxy = ( )21
2 42 ++ xx
( ) ( ) ( )42
12242
21
22
12'
++
+=+++=−
xx
xxxxy
( )204 108 )2 −+= xxy
( ) ( ) ( ) ( )31943194' 2108804810820 xxxxxxy +−+=+−+=
Exercícios : Calcular y′para a s funções:
1) 5 4 1
1
+−=
xxy
2)3
2
2
3
−+=
x
xy
3) 112
+−=
xx
y
4) ( )82 24 +−= xxy
5) 3 4 12 +−= xxy
6) ( ) 52.13 6 −+= xxy
7) ( ) 578xy −−=
Apostila de Cálculo I
26
8) ( )424 158 +−= wwy
9) ( ) ( )223 98.76 +−= xxy
3 3 278 )10 += ry
11) 4-3s
1y =
12) 94x
32xy
2 ++=
13) 543 x
3x2
x1
y ++=
14) ( )22 5x3x
1y
++=
15) ( )( )1x23x4y 2 +−=
16) ( )34x3
1x5y
+−=
Derivada das Funções Trigonométricas
Derivada da função seno
xdxdy
yxsenxfySe cos )( ==⇒==
Apostila de Cálculo I
27
Pela Regra da Cadeia: uudxdy
yusenySe cos '' ========⇒⇒⇒⇒====
Derivada da função cosseno
( )21
22222 sen1 xcos sen1cos 1cossen
cos)(
xxxxx
xxfy
−=→−=→=+
==
( )
( ) ( ) ( ) ( ) senxxsenxxxsenxxseny
xsenxy
−=−=−−=
−==
−−cos.2cos
21
cos.2121
1cos
2
122
12'
2
12
∴ xsendxdy
yxxfySe cos)( −==⇒==
Pela Regra da Cadeia: usudxdy
yuySe en cos '' −−−−========⇒⇒⇒⇒====
Exemplos:
Calcular as derivadas de:
( )1xsen y1) 2 +=
( ).2x1x cosdxdy
y 2 +==′
( )1x2xcosy 2 +=′
Apostila de Cálculo I
28
2) xseny =
2
1
x21
.xcosy−
=
xx
y cos2
1=′
( ) ( )21 )3 3202 ++= xsenxy
( )202 1+= xf ⇒ ( ) x2.1x20f192 +=′
( )2sen 3 += xg ⇒ ( )2xcos.x3g 32 +=′
( ) ( ) ( ) ( )2xcos1xx32xsen1xx40y 320223192 +++++=′
4) 2
cosx
xy =
xgxg
senxfxf
2
cos
'2
'
=⇒=
−=⇒=
3
cos 2 cos 2 4
2'
xxxsenx
xxxxsenx
y−−=−−=
Derivada da função tangente
xcos en
)( xs
yxtgxfySe =⇒==
xsengxg
xfxsenf
cos
cos
'
'
−=⇒=
=⇒=
Apostila de Cálculo I
29
xxx
xsenxy 2
22
22' sec
cos1
coscos ==+=
Pela Regra da Cadeia: usudxdy
yutgySe ec 2'' ========⇒⇒⇒⇒====
Derivada da função cotangente
xsen os
cot)( xc
yg xxfySe =⇒==
xgxseng
xsenfxf
cos
cos
'
'
=⇒=
−=⇒=
xxsenxsen
xxseny 2
22
22' seccos
1cos −=−=−−=
Pela Regra da Cadeia: usudxdy
yugySe eccos cot 2'' −−−−========⇒⇒⇒⇒====
Derivada da função secante
xx
xy 1coscos
1sec −===
( ) tgx.xsecxcos
xsenxsenxcos1y
22 ==−−=′ −
Apostila de Cálculo I
30
Pela Regra da Cadeia: Se uy sec==== ⇒ utguuy ′′′′====′′′′ . . sec
Derivada da função cossecante
xsenxsen
1xseccosy 1−===
( ) ( ) xtgcossecx.coxsen
cosxcosxx sen 1y
22 −=−=−=′ −
Pela Regra da Cadeia: Se ug. u . -yu y ′′′′====′′′′⇒⇒⇒⇒==== cotseccos seccos
Exemplos : Calcular as derivadas de:
( )1x2xtgy )1 2 ++=
[ ] ( )1x2xsec2x2y 22 +++=′
2) x
tgxy
seccos=
xgxgxg
xfxtgf
cot. seccos seccos
sec
1
2'
−=⇒=
=⇒=
x
gxtgxxxxy
2
2'
seccoscot..seccosseccos.sec += =
xx
seccos1sec 2 +
Apostila de Cálculo I
31
Exercícios :
( ) ( )1sec3cot)1 3 ++= xxgy
( )x5seccos.xy)2 2=
( )13xcotg3)y 53 +=
( )38xsen4)y +=
3 6x5tg5)y −=
( )35 5x3x cos6)y −=
( )58 xxtg7)y −=
xcos1xsen
y)8+
=
1x2tgx2sec
y)9−
=
10) )1x(tg.xsecy 2 +=
11) xcotg . x cos
1y =
12) ( ) xsen1-3xtg xsec1
y2+
+=
13) xtg x x gcot x 2y 2+=
14) ( ) ( )xcosxseny −+−=
15) ( ) ( )( )22x cos 4x seny +=
16) 2x sen
3x cos x y
+=
17)
( ) 2x sen x - x tg 1xy 2 −=
18) ( )( )1x2x2x- tgy 2 +−=
19) x tg .5x seccosy =
20) ( )12cos 22 +−= xxy
21) ( )33x cos x sen +
Apostila de Cálculo I
32
du
dx
dy
du
dy
dx
dydx
dx
dy
dx
dx= 1
Derivada da Função Inversa
Vimos a regra da cadeia para a composição de duas funções f (x) e g(x):
dxdu
dudy
dxdy
.=
Para a função inversa -1fg =
x
u
y
f g
x
y
x
f f
-1
Apostila de Cálculo I
33
Portanto:
1
ou 1
dxdydy
dx
dydxdx
dy ==
Derivada da Função Exponencial
Se aayay xx ln ' =⇒=
Pela Regra da Cadeia: Se uay ==== ⇒ aauy u ln. ′′′′====′′′′
Exemplos : Derivar:
1) 2ln2y 2y xx =′⇒=
2) 2ln.2x.22x ln2.2y 2y222 xxx ==′⇒=
Para 2,71828 e a ≅=
xey = ⇒⇒⇒⇒ xey ====′′′′
Pela Regra da Cadeia: Se uey ==== ⇒ uey u ′′′′====′′′′
Exemplos : Derivar
1) 1x2
ey += ⇒ ( )x2.ey12x +
=′
Apostila de Cálculo I
34
2) xey = ⇒ x2
1.ey x=′
3) xseney = ⇒ xcos.ey xsen=′
4) x1x2
ey
+
= ⇒⇒⇒⇒ ( )
−=
+−=′++
2
2x
1x
2
2x
1x
x
1x.e
x
1x.1x.x2.ey
22
Derivada da Função Logaritmo
a ln x. a ln .adydx
x a xlogy yya ==⇒=⇒=
Como: a ln x.
1
dxdy
dydx1
dxdy =⇒=
Se a lnx
1y x log y z =′⇒=
Pela Regra da Cadeia: a ln u
uy ulog ySe a
′′′′====′′′′⇒⇒⇒⇒====
Para a=e xln x log a =⇒
Pela Regra da Cadeia: Se y = ln u uu
y ′′′′
====′′′′⇒⇒⇒⇒
Exemplos : Derivar
Apostila de Cálculo I
35
1) x2
x
2x y xln y
22 ==′⇒=
2) x21
xx2
1
y x ln y ==′⇒=
3) 3 ln 2
1
3 ln xx2
1
y xlog3 ==′⇒
Lembrar que :
ln (p . q) = ln p + ln q
ln qp
= ln p – ln q
ln rp = r . ln p
Exercícios : Derivar
1) ( )[ ]35x4.1-6x lny +=
2) 32
2
1x
1x lny
+−=
3) ( )
( )232
5x
12xx lny
+
−=
4)
−+= 1xx ln y 2
5) ( )4x tg.e y -2x=
Apostila de Cálculo I
36
Derivadas de Funções na Forma Implícita
Considere a expressão:
49yx 22 =+
Podemos isolar y em função de x:
222 x- 49 y x- 49y ±=⇒=
Ficam definidas duas funções:
x-49(x) f ye x-49(x) fy 22 −====
Diz-se que 2x-49(x) fy == e 2x-49(x) fy −== são funções na forma
explícita (y em função de x) , enquanto 49yx 22 =+ é uma função na forma
implícita.
Seja 49yx 22 =+ . Usando a Regra da Cadeia :
( ) uu n. u 1-nn ′=′
, a derivada de 2y com relação a x é 2.y. y′ .
Na equação inicial se derivarmos todos os termos com relação a x,
temos:
yx
- 2y2x
-y 0y y 2 x2 ==′⇒=′+
Apostila de Cálculo I
37
Exemplos : Calcular 'y para as funções abaixo:
1) 03y x 43 =+
3
2
3
232
y4
x
y12
x3 - y 0y y12x3
−==′⇒=′+
2) 4 y yx 42 =+
yg y g
2xf x f 2
′=′⇒=
=′⇒=
32
32
y4 x
x y2-y
0 y y4 y x x y 2
+=′
=′+′+
3) x4 e y cos xxsen =+
ysenx ycos x cos xsen 4 e
y
ey y)(-sen x ycos xcos xsen 4
3x
x3
++−=′
=′++
4) Encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da curva
19
y
4x 22
=+ no ponto
227
,1 .
Derivando com relação a x , temos:
Apostila de Cálculo I
38
y922x-
y
0 y. y 92
2x
0 y 2y. . 91
2x .41
=′
=′+
=′+
No ponto
227
,1 ⇒ 9272
272
9 =−=′= NPaya
Reta Tangente T ⇒ y - ( )1x272
9227 −−=
Reta Normal N ⇒ y - ( )1x9272
227 −=
Exercícios :
1) Calcular 'y para:
a) 4xyx5x3 42 =−+ b) xtgyx ysen 32 =+ c) ysenxy 2=
2) Encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da curva
1543 34 +−=−+ xxyy no ponto ( )0 ,1 .
Apostila de Cálculo I
39
Diferenciais de uma Função
Dada uma função y= f (x), define-se diferencial de y = f(x) como:
x (x) f dy ∆′=
onde x∆ é o acréscimo da variável independente x e dy é o diferencial de
y.
Define-se então a diferencial da variável dependente como :
dx (x) f dy ′=
Lembrando o significado geométrico da derivada, temos:
x (x) f (x) f )(x f
x (x) f (x) f )(x f
(x) f -x)_ (x f
∆′+≅∆+
∆′≅−∆+∴
∆+=∆
x
x
y
Exemplos:
1) Obter um valor aproximado para 37 .
37 x x
1 x
36 x
x (x) f
=∆+
=∆
=
=escolhendo
Apostila de Cálculo I
40
x(x) f (x) f x)(x f
x2
1 (x) f
∆′+=∆+
=′
1.362
1 36 37 +=
6,08333 121
6 37 ≅+≅
2) Obter um valor aproximado para 031sen
180 1x
630 x
xsen (x) f
0
0
π==∆
π==
=
0,51511 31 sen
180.
6 cos
6 sen31 sen
x(x) f (x) f x)(x f
0
0
≅
ππ+π=
∆′+=∆+
Apostila de Cálculo I
41
Exercícios :
1) Obter um valor aproximado para
a) 3 63 b) ( )41,3 c) 4 15 d) ( )303,2 e) 044cos
2) Calcular os diferenciais de:
a) ( )423 2 x5 - xy +=
b) ( )2x3 sen y =
c) x
xseny =
Apostila de Cálculo I
42
y
x
Máximo relativo
Mínimo relativo
Máximo absoluto
a 1x b
α
y
f(x)
x
2x 3x 4x 5x
Aplicações da Derivada
Máximos e Mínimos de uma Função
Considere a função cujo gráfico é:
f(x) é crescente nos intervalos ( ) ( ) ( )54321 .,.,, xxxxxa
f(x) é decrescente nos intervalos ( ) ( )4321 .,. xxxx
f(x) é constante no intervalo ( )bx ,5
Seja um trecho de f(x) crescente:
α )(' tgxf =
se f (x) é crescente, temos 2
0πα ⟨⟨
0 (x) e 0 ' ⟩⟩∴ ftgα
Apostila de Cálculo I
43
Seja um trecho de f(x) decrescente:
α )(' tgxf =
se f (x) é decrescente, temos παπ
2⟨⟨
0 (x) e 0 ' ⟨⟨∴ ftgα
Se f(x) é constante, 0 (x) ' =f .
Exemplos:
1) Determinar os intervalos em que a função 24)( xxf −= é crescente e
onde é decrescente.
24)( xxf −=
0 x para edecrescent é f(x) 0 x se 0 2x -
0 x para crescente é f(x) 0 x se 0 2x -
2)('
⟩∴⟩⟨
⟨∴⟨⟩−= xxf
2) Determinar os intervalos em que a função 45)( 2 ++= xxxf é
crescente e onde é decrescente.
45)( 2 ++= xxxf
f(x)
x
α
y
Apostila de Cálculo I
44
25
- x para edecrescent é f(x) 25
- x se 0 52x
25
- x para crescente é f(x) 25
- x se 0 52x
52)('
⟨∴⟨⟨+
⟩∴⟩⟩+
+= xxf
Máximos e Mínimos Relativos ou Locais
Seja f(x) definida no domínio D.
D x 0 ∈ é ponto de mínimo local de f (x) se (x) f )(x f 0 ≤ para x
pertencente a qualquer intervalo aberto que o contenha.
D x 0 ∈ é ponto de máximo local de f (x) se (x) f )(x f 0 ≥ para x
pertencente a qualquer intervalo aberto que o contenha.
f(x 0)
x0 x
y
x0
f(x 0)
x
y
Apostila de Cálculo I
45
Resultado :
Se f (x) existe e é contínua , então num ponto de máximo ou
mínimo local temos 0)(x f 0' = . Esse ponto é chamado ponto crítico de
f(x).
Estudo do Sinal da Derivada Segunda
Para se caracterizar máximos e mínimos locais é necessário uma análise do
sinal da derivada segunda da função f (x).
Observe que para 0 xx ⟨ temos 0 )x(f ' ⟩ .Para 0 xx = temos
0 )x(f ' = e para 0 xx ⟩ temos 0 )x(f ' ⟨ . Logo )x(f ' é decrescente e
portanto sua derivada 0. )x('' f ⟨
y
x0
x
′f (x) = 0
′ ⟩f (x) 0 ′ ⟨f (x) 0
Apostila de Cálculo I
46
Conclusão :
Dada uma função f (x):
a) Calcular a derivada primeira )x(f ' .
b) Obter os pontos críticos 0 x para os quais 0 )x(f ' = .
c) Calcular a derivada segunda:
Se 0 )x('' f 0 ⟨ temos que 0 x é ponto de máximo relativo.
Se 0 )x('' f 0 ⟩ temos que 0 x é ponto de mínimo relativo
Exemplos:
1) Determinar os pontos de máximos e mínimos locais da função
2 x- 4 (x) f =
pontos críticos ( 0 )x(f ' = )
0 x0 x2- x 2 - (x) f 0' ===
0'' x -2(x) f ∴= é ponto de máximo relativo
4 (0) f )(x f 0 == é o valor máximo relativo de f (x).
2) Idem para 2x18x122x(x) fy 23 −+−== pontos críticos 0(x) f =′
==
=+−=′3x
1x 018x24x6)x( f 2
Apostila de Cálculo I
47
24 - x 12 x)(f '' =
1 x 0 12 - 1) (f 0'' =∴⟨= é abcissa do ponto de máximo relativo
f (1) = 6 é o valor do máximo relativo
3 x 0 12 3) (f 0'' =∴⟩= é abcissa do ponto de mínimo relativo
f (3) = -2 é o valor do mínimo relativo
Estudo da Concavidade de uma Função
A concavidade de uma curva f (x) é identificada pelo sinal da derivada segunda.
Se 0 )x('' f ⟩ num intervalo do domínio D temos concavidade voltada para cima.
Se 0 )x('' f ⟨ num intervalo do domínio D temos concavidade voltada
para baixo.
Um ponto do gráfico de y = f (x) onde há mudança no sinal da
derivada segunda )x('' f é chamado ponto de inflexão 0 )x('' f = .
Exemplo:
Seja 2x6 x25
3x
(x) f y 23
++−== . Determine:
a) o intervalo onde f(x) é crescente e onde é decrescente.
b) pontos de máximo e mínimo relativos.
c) Pontos de inflexão.
Solução:
Apostila de Cálculo I
48
a)
==
+−=3x
2x 6x5x(x) f 2
Estudo do sinal:
1. linha : x – 2
2. linha : x – 3
3. linha : (x-2) (x-3)
2 3
- + +
- - +
+ - +
crescente f 3 x ou 2 x para 0 (x) f ⇒⟩⟨⟩′∴
edecrescent f 3 x 2 para 0 (x) f ⇒⟨⟨⟨′
b) pontos críticos
==
=′3x
2x 0 (x) f
Apostila de Cálculo I
49
∴=
⟩′′⇒=
∴=
⟨′′⇒=
=′′
relativo mínimo de é 2
133, ponto
213
(3) f
0 (x) f 3x
relativo máximo de é 320
2, ponto 320
(2) f
0 (x) f 2x
5- x2 (x) f
c) inflexão
+∴
==
para - de passa (x) f
25
x5- x2 0 (x) f ''
Máximos e Mínimos Absolutos
Se y = f (x) é contínua e definida num intervalo fechado [a,b], derivável em [a,b]
então existem pontos 10 xe x tais que:
( ) [ ]
( ) [ ]ba, x , (x) f x f 2)
e ba, x , (x) f x f )1
1
0
∈∀≤
∈∀≥
0x = ponto de mínimo absoluto de f(x)
1x = ponto de máximo absoluto de f(x)
5 2
+
Apostila de Cálculo I
50
Para se obter os pontos de mínimo e máximo absoluto determina-se inicialmente os
pontos de mínimo e máximo relativos. Compara-se esses valores com os da função
no extremo do intervalo.
Exemplo:
Seja 2 x- 16 (x) fy == no intervalo [ -1, 4 ]
Pontos de máximo e mínimo relativos
[ ]4 1,- 0 x 0 x 2- 0 (x) f ' ∈=⇒=⇒=
0 xentão 0 )x(f como 2)x(f '''' =⟨−= é ponto de máximo local
e o valor máximo da função f (0)=16.
Calculando f (x) nos extremos f (-1)=15 e f (4) =0
Por comparação f (x) = 0 é ponto de máximo absoluto e x =4 é
ponto de mínimo absoluto.
Exercícios :
1) Dada a função 1x9x33x
)x(fy 23
++−== verifique os intervalos
para os quais a função é crescente e decrescente. Determine os
pontos críticos, verificando se são de máximo ou mínimo.
Determine o ponto de inflexão, se houver.
2) Idem para x5x33x
)x(fy 23
−+−==
3) Determinar números positivos x e y,cujo produto seja igual a 12 e
cuja soma seja a menor possível.
4) Determinar números positivos x e y,cuja soma seja igual a 12 e
cujo produto seja o maior possível.
5) Encontre os pontos críticos, indicando se são máximos ou mínimos
locais para ( )32 1xy −= .
Apostila de Cálculo I
51
6) Uma fábrica produz x milhares de unidades mensais de um
determinado artigo. Se o custo da produção é dado por
60x18x6x2C 23 +++= e o valor obtido na venda é dado por
2x12x60V −= , determinar o número ótimo de unidades mensais
que maximiza o lucro L = V –C..
7) Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares de dimensões
a e b, com um lado comum a. Se cada pasto deve medir 400 2m de
área, determinar as dimensões a e b de forma que o comprimento
da cerca seja mínimo.
8) Um fio de comprimento l é cortado em dois pedaços. Com um
deles se fará um círculo e com o outro um quadrado. Como
devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas áreas
compreendidas pela figura seja mínima?