Apostila de Matemática

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Apostila de Matemática – Prof. Elaine Martini – 1MCCN

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ÍNDICE Assunto

Página

Plano de disciplina

3

0. Teoria dos Conjuntos

6

1. Conjuntos numéricos

19

2. Razão e proporção

49

3. Regra de três (simples e composta)

57

4. Porcentagem

65

5. Equações do 1° grau

71

6. Sistemas de equações lineares

74

7. Equações do 2° grau

78

8. Função

82

9. Função do 1° grau e Aplicações

98

10. Função do 2° grau e Aplicações

124

11. Função do Exponencial e Aplicações

131

12. Limites

136

13. Derivadas - Aplicações

151

14. Apêndice

174

15. Bibliografia

185


3

Rua Taquari, 546 - Mooca - São Paulo - CEP 03166-000 Fone (PABX): 6099-1999 Fax: 6099-1682

Plano de Ensino

Faculdade Faculdade de Ciências Humanas e Sociais

Curso Ciências Contábeis

Disciplina MAT - Matemática

Carga Horária Anual 160 Série 1a Série

Ementa

Tópicos da matemática elementar, equações e funções, limites e derivadas.

Objetivos da Disciplina

- Desenvolver uma atitude positiva em relação à matemática; - Reforçar os conhecimentos da matemática elementar; - Proporcionar ao aluno o conhecimento das principais funções e suas aplicações na área contábil; - Fornecer os pré-requisitos básicos para as disciplinas do curso.

Programa

1. TÓPICOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR 1.1. Operações com frações* 1.2. Porcentagem 1.3. Razões e proporções 1.4. Regra de três 1.5. Expoentes e radicais * 1.6. Operações com expressões algébricas* 1.7. Fatoração* 1.8. Expressões racionais* 1.9. Divisão de polinômios* 2. EQUAÇÃO E FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 2.1. Equação do primeiro grau 2.2. Sistema de equações 2.3. Definição e gráfico da função do primeiro grau 2.4. Estudo da variação do sinal da função do primeiro grau 2.5. Aplicações de função do primeiro grau 3. EQUAÇÃO E FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU 3.1. Equação do segundo grau 3.2. Definição e gráfico da função do segundo grau 3.3. Estudo da variação do sinal da função do segundo grau 3.4. Convexidade, crescimento, decréscimo 3.5. Aplicações de função do segundo grau


4


Plano de Ensino

Disciplina MAT - Matemática Folha 2

Programa (continuação)

4. EQUAÇÃO E FUNÇÃO EXPONENCIAL 4.1. Equações exponenciais 4.2. Definição e gráfico da função exponencial. 4.3. Aplicações de função exponencial 5. LIMITE DE UMA FUNÇÃO 5.1. Conceito e definição de limite 5.2. Propriedades 5.3. Indeterminações 5.4. Continuidade. 6. DERIVADAS 6.1. Definição e interpretação geométrica 6.2. Fórmulas de derivação. 6.3. Aplicações da derivada

Metodologia

Apresentação do conteúdo através de aulas expositivas e de atividade visando a construção e aquisição dos conceitos tratados pela disciplina

Critério de Avaliação

Prova Oficial Semestral (PO): valendo 6,0 pontos, contemplando todo o conteúdo desenvolvido durante o semestre letivo em questão. Avaliação Intermediária (PI): valendo 4,0 pontos; podendo ser composta por provas, trabalhos, exercícios, sendo esta composição definida pelo professor. Prova Substitutiva Anual (PS): valendo 10,0 pontos, contemplando todo o conteúdo desenvolvido durante o ano letivo. ATENÇÃO: A nota semestral, Ni (sendo i = 1 ou 2, e que para i = 1, representa as notas do 1° semestre e para i = 2, 2° semestre) , será composta segundo o seguinte critério:

iiii BônusPOPIN ++=

O bônus terá valor máximo de 1,0 pontos e seu valor será proporcional ao número de atividades e/ou trabalhos desenvolvidos, em classe ou extra classe, pelos alunos, durante cada semestre.


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Plano de Ensino

Disciplina MAT - Matemática Folha 3

Observações importantes referentes ao bônus: � As atividades e/ou trabalhos só serão computados se possuir as seguintes

características: ter IDENTIFICAÇÃO (nome completo, RA - registro acadêmico, turma, curso, título do trabalho e nome do professor responsável); estar COMPLETO; ser MANUSCRITO e ser entregue na DATA estipulada pelo professor.

� Caso o aluno, por algum motivo não puder vir no dia da entrega da atividade, este deverá me enviar por e-mail ([email protected] ou [email protected]) até a meia noite da data de entrega.

� A nota do bônus terá valor NULO, no caso de cola em quaisquer avaliações, intermediária ou oficial, do semestre em questão.

Bibliografia Básica

BOULOS, Paulo. Pré-Cálculo. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 1999. MORETTIN, Pedro Alberto, HAZZAN, Samuel e BUSSAB, Wilton de Oliveira. Cálculo: Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2003. MUROLO, Afrânio e Bonetto, Giácomo. Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2004.

Bibliografia Complementar

GOLDSTEIN, Larry J. Calculo e suas aplicações. São Paulo, SP: Hemus, 1981 521. HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L.,. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 7. ed Rio de Janeiro: LTC, 2002. 525 p. LARSON, Roland E; HOSTETLER, Robert P; EDWARDS, Bruce H. Cálculo com aplicações. 4. ed Rio de Janeiro: LTC, 1998. 711p. SILVA, S. M. da et al . Matemática para os Cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis.SP : Atlas.

* Para estes tópicos será utilizado o livro pré-cálculo da bibliografia básica.


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0. Teoria dos conjuntos 1- Definição de conjunto

Conjunto é uma coleção de elementos com características comuns. Os

elementos podem ser letras, números, planetas, meses do ano, etc. Exemplos: � Conjunto das vogais = {a, e, i, o ,u} � Conjunto dos planetas do sistema solar = {Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter,

Saturno, Urano, Netuno, Plutão} � Conjunto dos naipes das cartas de um baralho = { paus, ouros, copas, espadas} � Conjunto dos nomes dos meses dos ano com 31 dias = { janeiro, março, maio,

julho, agosto, outubro, dezembro}

2- Notação

Geralmente, indicamos um conjunto com letra maiúscula, A, B, C, D,... e um elemento com letra minúscula, a, b, c, d,...

3- Descrição de um conjunto

Há duas formas para descrever um conjunto e seus elementos: (1a) enumerando os elementos do conjunto ou (2a) descrevendo uma propriedade característica comum dos elementos do conjunto. Exemplo: A = {a, e, i, o, u} = { x / x é vogal}

⇓ ⇓ Na descrição pela enumeração dos elementos, devemos indicá-los escrevendo

seus elementos entre chave.

Na descrição por uma propriedade, quando queremos descrever um conjunto A por meio de uma propriedade característica comum P de seus elementos x, escrevemos:

A = { x | x tem a propriedade P}

Descrição pela enumeração dos

elementos.

Descrição por uma propriedade

característica.


7

4- Relação de pertinência

A relação existente entre elemento e conjunto é chamada de RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA, ou seja, um elemento ou pertence ( símbolo: ∈ ) ao conjunto em questão ou não pertence ( símbolo: ∉)

Sejam A um conjunto e a um elemento. Escrevemos que a pertence ao conjunto A, ou seja, a é elemento do conjunto A, portanto a ∈∈∈∈ A . E negamos, dizendo que a não pertence ao conjunto A (a não é elemento de A), a ∉ A.

5- Tipos de conjuntos

� Conjunto unitário

Denominamos conjunto unitário aquele conjunto formado por um único elemento. Exemplo: O conjunto das soluções da equação 5x - 3 = 12 é {3}. O conjunto dos meses do ano com menos de 30 dias é {fevereiro}

� Conjunto vazio

Denominamos conjunto vazio aquele conjunto que não possui elemento algum. O símbolo usual é ∅. Exemplo: O conjunto dos meses do ano com mais de 31 dias é ∅. { x | x > 0 e x < 0} = ∅ { x | x é ímpar e múltiplo de 2} = ∅

� Conjunto universo

Na matemática, admitimos a existência de um conjunto U ao qual pertencem todos os elementos. Esse conjunto U é denominado de conjunto universo.

Desta forma, se procuramos as soluções inteiras de uma equação, nosso conjunto universo é Z (conjunto dos números inteiros), mas se estamos resolvendo um problema, cuja a solução deve ser um número natural, nosso universo é N ( conjunto dos números naturais).

Portanto, quando descrevemos um conjunto A por uma propriedade P é importante mencionar o conjunto universo U na sentença que descreve o conjunto, desta forma:

A = { x ∈∈∈∈ U | x tem a propriedade P}


8

� Conjuntos iguais

Dois conjuntos são iguais, quando todo elemento de A pertencer a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertencer a A, ou seja, os conjuntos possuem os mesmos elementos (sem repetição). Exemplos: { x | x é letra da palavra arara} = {a, r} { x ∈ Z | x - 2 = 6} = {8} {a,b,c,d} = {c,a,d,b}

� Subconjunto

Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B, se e somente se todo elemento de A for também elemento de B. Para indicar que A é subconjunto de B ou A é parte de B ou A está contido em B, usamos a notação A ⊂⊂⊂⊂ B. Exemplos: � {1,2,3} ⊂ {0, 1, 2, 3, 4, 5} � {x | x é inteiro e ímpar} ⊂ Z � {a.,e,i,o,u} ⊂ {a.,e,i,o,u}

A ⊂⊂⊂⊂ B.

6- Operações entre conjuntos e propriedades

�� União ou reunião de conjuntos

Dados dois conjunto A e B, chama-se união de A e B, o conjunto formado por elementos pertencentes a A ou a B.

A ∪ B = { x | x ∈ A OU x ∈ B}

B A

Importante: 1. Se A ⊂⊂⊂⊂ B, então podemos dizer que B ⊃⊃⊃⊃ A ( lê-se: B contém A) . 2. A negação de A ⊂⊂⊂⊂ B é indicada por A ⊄⊄⊄⊄ B ( lê-se: A não está contido em

B) e significa que existe ao menos um elemento de A que não é elemento de B.


9

Exemplos: {1,2,3,4} ∪∪∪∪ {0,2,4,6,8} = {0,1,2,3,4,6,8} {1,3,5} ∪∪∪∪ {2, 4, 6} = {1,2,3,4,5,6} {3,4,5} ∪∪∪∪ ∅ = {3,4,5} ∅ ∪∪∪∪ ∅ = ∅ - Propriedades da União Sejam quaisquer conjuntos A, B e C , valem as seguinte propriedades:

1a) A ∪∪∪∪ A = A (idempotente) 2a) A ∪∪∪∪ ∅∅∅∅ = A (elemento neutro) 3a) A ∪∪∪∪ B = B ∪∪∪∪ A (comutativa) 4a) A ∪∪∪∪ (B ∪∪∪∪ C) = (A ∪∪∪∪ B) ∪∪∪∪ C (associativa)

Sendo A ∪∪∪∪ B = Então: A B A A B

B

OBSERVAÇÃO: O número de elementos da união de dois conjuntos A e B quaisquer é a soma do número dos elementos de A com os de B, subtraindo uma vez o número de elementos da interseção dos conjuntos A e B , ou seja, n(A ∪∪∪∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩∩∩∩B).


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� Interseção de conjuntos

Dados dois conjunto A e B, chama-se interseção de A e B, o conjunto formado por elementos pertencentes a A e a B, ou seja pelos elementos comuns.

A ∩ B = { x | x ∈A E x ∈ B} Exemplos: {1,2,3,4} ∩∩∩∩ {0,2,4,6} = {2,4} {1,2,3,4,5,6} ∩∩∩∩ {1,3,5} = {1,3,5} {1,3,5} ∩∩∩∩ {2, 4, 6} = ∅ {3,4,5} ∩∩∩∩ ∅ = ∅ - Propriedades da Interseção Sejam quaisquer conjuntos A, B e C , valem as seguinte propriedades:

1a) A ∩∩∩∩ A = A (idempotente) 2a) A ∩∩∩∩ U = A (elemento neutro) 3a) A ∩∩∩∩ B = B ∩∩∩∩ A (comutativa) 4a) A ∩∩∩∩ (B ∩∩∩∩ C) = (A ∩∩∩∩ B) ∩∩∩∩ C (associativa)

Lembre-se: Quando A ∩∩∩∩ B = ∅∅∅∅, ou seja A e B não possuem elementos comuns, dizermos que A e B são conjuntos disjuntos.

Sendo A ∩∩∩∩ B = Então: A B A A B

B


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� Diferença de Conjuntos

Dados dois conjunto A e B , chama-se diferença de A e B , o conjunto formado

pelos elementos de A que não pertencem a B.

A - B = { x | x ∈∈∈∈ A e x ∉∉∉∉ B} Exemplos: {1,2,3,4} - {0,2,4,6} = {1,3} {1,2,3,4,5,6} - {1,3,5} = {2,4,6} {1,3,5} - {2,4,6} = {1,3,5} {1,3,5} - {1,2,3,4,5} = ∅

Sendo A - B = Então:

B

Sendo B - A = Então:

Importante: A - B ≠≠≠≠ B – A , porém se A = B então A – B = B – A = ∅∅∅∅

A A A

A A A B

B B

B B


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� Conjunto Complementar

Dados dois conjuntos A e B , tais que B ⊂⊂⊂⊂ A , chama-se complementar de B em relação a A, o conjunto A - B , isto é, o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.

BACBA −=

Exemplos:

1°) Se A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B { 2, 4, 6,7} então }5,3,1{=BAC

2°) Se A = B = {1,4,7,9} então ∅= BAC

3°) Se A = 1,2,4,5,6} e B = ∅ então AC BA =

7- Resumo da Linguagem Simbólica

a ∈ A Lê-se: a pertence a A Relação de Pertinência

a ∉ A Lê-se: a não pertence a A Relação de Pertinência

A = { x | x tem a propriedade P} Lê-se: A é o conjunto dos x tal que x tem a propriedade P

A = B Lê-se: A é igual a B A ≠ B Lê-se: A é diferente de B A ⊂ B Lê-se: A está contido em B Relação de

Inclusão A ⊄ B Lê-se: A não está contido em B Relação de

Inclusão A ⊃ B Lê-se: A contém B Relação de

Inclusão BA ⊃/ Lê-se: A não contém B Relação de

Inclusão ∅ Lê-se: conjunto vazio

ABC

Lê-se: complementar de A em relação a B

A – B Lê-se: A menos B A ∩∩∩∩ B Lê-se: A inter B A ∪∪∪∪ B Lê-se: A união B


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Lembrando que:

a) A ∪ B = { x | x ∈ A ou x ∈ B} b) A ∩ B = { x | x ∈ A e x ∈ B} c) A - B = { x | x ∈ A e x ∉ B}

d) Se A é subconjunto de B, então BACBA −= .

8- Exercícios Resolvidos

1. Sendo A = {1,8,9}, B = {0,1,5} e C = {2,4,5,6,8}, classifique em V (verdadeiro) ou F

(falso): ( ) A = {x | x é algarismo de 1989} ( ) B = {x | x é algarismo do ano em que o Brasil foi descoberto} ( ) C = {x | x é número par compreendido entre 0 e 10} ( ) 1 ∈ A ( ) 1 ∉ B ( ) 0 ∈ A ( ) A - B = ∅ ( ) B ∩ C = ∅ ( ) A ∪ B ∪ C = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Solução: (V), pois os algarismos de 1989 são 1, 8 e 9. (V), pois os algarismos de 1500 são 0, 1 e 5. (F), pois os números pares compreendidos entre 0 e 10 são 2, 4, 6 e 8. (V), pois 1 é elemento do conjunto A. (F), pois 1 é elemento do conjunto B. (F), pois 0 não é elemento do conjunto A. (F), pois A - B = {8,9} (F), pois B ∩ C = {5} (F) A ∪ B ∪ C = {0,1,2,4,5,6,8,9}

2. Sendo A e B quaisquer conjuntos, assinale as alternativas INCORRETAS:

( ) A - B = B - A sempre ( ) Se A - B = ∅, então A ⊂ B ( ) (A - B) ⊂ A sempre ( ) A - B = B - A = ∅, então A = B ( ) (A - B) ⊂ B sempre

( ) ABC AB −=

Solução:


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(x) A - B = B - A sempre (Justificativa: Geralmente A – B ≠≠≠≠ B – A; só serão iguais, quando as conjuntos A e B forem iguais.)

( ) Se A - B = ∅, então A ⊂ B (Justificativa: quando A – B = ∅∅∅∅, isto implica que todos os elementos de A são também elementos de B, logo A é subconjunto de B.)

( ) (A - B) ⊂ A sempre (Justificativa: A – B é o conjunto dos elementos qu e pertençam a A e, não a B, logo este conjunto é parte de ª)

( ) A - B = B - A = ∅, então A = B (Justificativa: somente neste caso o conjunto diferença A – B será igual a B – A.)

(x) (A - B) ⊂ B sempre (Justificativa: Somente quando A = B teremos (A - B ) ⊂⊂⊂⊂ B é verdade. )

(x) ABC AB −= (Justificativa: o conjunto complementar de A em B só

existe, se A for parte de B, e será representado pela diferença B – A.)

3. Sendo os conjuntos A = {1,2,3,4,5}, B = {1,2,4,6,8} e C = {2,4,5,7}, o conjunto X, tal

que X ⊂ A e A - X = B ∩ C, é: a) {2} b) {2,4} c) {1,3,5} d) {1,2,3} Solução: alternativa c

Se X ⊂ A, todos os elementos de X são também de A e se A - X = B ∩ C = {2,4} , então: ∴ X = {1,3,5}

4. Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam inglês, 163 estudam francês e

52 estudam ambas as línguas. O número de alunos que não estudam Inglês ou francês é: a) 31 b) 52 c) 60 d) 83 Solução: alternativa d Sabendo que n(I ∪∪∪∪ F) = n(I) + n(F) – n(I ∩∩∩∩F)

n(I ∪∪∪∪ F) = 221 + 163 – 52 = 332 alunos estudam inglês ou francês.

X 1 3 5

A

2

4


15

Então, existem n(U) - n(I ∪∪∪∪ F) = 415 – 332 = 83 alunos que não estudam

inglês ou francês. Portanto, as demais alternativas ficam descartadas.

5. Em certa comunidade de gatos, há três tipos de pelugem: branco, negro e malhado. Sabemos que 70 são brancos, 350 não são negros e 50% são malhados. O número total de gatos é: a) 630 b) 560 c) 280 d) 210 Solução: alternativa b B = 70 B + M = 350 (não negros) ⇒ M = 350 – 70 = 280 Logo, o número total de gatos é 560. Portanto, as demais alternativas ficam descartadas.

Exercícios Propostos: 1. Sendo A = {1,9,8}, B = {1,5,0} e C = {2,4,5,6,8}, classifique em V (verdadeiro) ou F (falso): a) 1∈ A b) 1∈ B c) 1∈ C d) 8∈ A e) 8∈ B f) 8∈ C g) 0∈ A h) 0∈ B i) 0∈ C j) A = {x/x é algarismo de 1989} l) B = {x/x é algarismo do ano em que o Brasil foi descoberto} m) C = {x/x é número par compreendido entre 0 e 10} 2. Escreva todos os elementos de cada um dos seguintes conjuntos: A= {x /x é número par positivo e menor do que 10} B= {x/x é letra do alfabeto anterior à g} C= {x/x é letra inicial do nome dos meses de um ano} 3. Sendo A = {1,2,3}, B = {2,4,6} e C = {1,2,3,4,5,6}, classifique em V ou F: a) A ⊂ B b) B ⊂ C c) C ⊂ A d) A ⊄ C e) A ⊂ C f) B ⊄ A

B 70

N 210

M 280


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4. Sendo A e B conjuntos, classifique em V ou F: a) A - B = B - A sempre d) Se A - B = ∅, então A ⊂ B b) (A - B) ⊂ A sempre e) Se A - B = B - A = ∅, então A = B c) (A - B) ⊂ B sempre f) Se A ⊂ B, então o CA

B = B - A 5. Represente graficamente os conjuntos A,B e C, satisfazendo as seguintes

condições: B ∩ A = ∅ e (B ∪ A) ⊂ C

6. Dado o diagrama abaixo, hachure os seguintes conjuntos (faça um diagrama

para cada item):

A

C

B

a) B ∩ C b) A ∪ C c) A ∩ B ∩ C d) A ∪ B ∪ C e) (A ∩ C) ∪ B f) (A ∪ B ) ∩ C g) (C - A ) ∩ B h) B - (A ∪ C) i) (A - B) ∪ (A ∩ C) 7. Dados os conjuntos A = {1,2,3}, B = {3,4} e C = {1,2,4}, determine o

conjunto X, tal que X ∪ B = A ∪ C e X ∩ B = ∅. 8. Dados os conjuntos A = {1,2,3,4,5}, B = {1,2,4,6,8} e C = {2,4,5,7},

obtenha um conjunto X, tal que X ⊂ A e A - X = B ∩ C. 9. Numa cidade existem dois clubes A e B, que têm 6000 sócios. O clube A tem

4000 sócios e os dois clubes têm 500 sócios comuns. Quantos sócios tem o clube B?

10.Em um determinado auditório, existem 56 pessoas que gostam de cerveja, 21 que gostam de cerveja e caipirinha, 106 que gostam apenas de uma das duas bebidas e 66 que não gostam de caipirinha. Quantas pessoas estão no auditório?


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11.Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma

pesquisa de mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo:

marca A B C A e B B e C C e A A,B e C

nenhuma das três

Número de consumidor

es

109 203 162 25 41 28 5 115

Forneça: a) o número de pessoas consultadas; b) o número de pessoas que só consomem a marca A; c) o número de pessoas que não consomem as marcas A ou C; d) o número de pessoas que consomem ao menos duas marcas. 12.Um levantamento efetuado entre 600 filiados ao INPS mostrou que muitos

deles mantinham convênio com duas empresas particulares de assistência médica, A e B, conforme o quadro abaixo:

Convênio com A Convênio com B Filiados somente ao

INPS 430 160 60

Pergunta-se: a) Quantos eram filiados às duas empresas A e B? b) Quantos eram filiados somente à empresa A? 13.Uma empresa colocou no mercado um produto em duas embalagens

diferentes, A e B. Depois de algum tempo, entrevistou 200 pessoas num supermercado sobre a preferência pelas embalagens. Dos entrevistados, 120 declararam preferir o tipo A, 142 o tipo B e30 declararam desconhecer o produto. Quantas pessoas gostariam de encontrar o produto nas duas embalagens?

14.Uma empresa entrevistou 300 de seus funcionários a respeito de 3 embalagens

A, B e C para o lançamento de um novo produto. O resultado foi o seguinte: 160 indicaram a embalagem A; 120 indicaram a embalagem B; 90 indicaram a embalagem C; 30 indicaram as embalagens A e B; 40 indicaram as embalagens A e C; 50 indicaram as embalagens B e C; 10 indicaram as 3 embalagens. Pergunta-se: (a) Dos funcionários entrevistados, quantos não tinham preferência por nenhuma das três embalagens? (b) Quantos não indicaram a embalagem C? © Quantos não indicaram as marcas B ou C?

15.Uma pesquisa sobre a preferência dos consumidores por três categorias de

veículos, A, B e C, de uma indústria automobilística revelou que, dos 500 entrevistados, 210 preferiam o veículo A; 230 preferiam o veículo B; 160


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preferiam o veículo C; 90 preferiam os veículos A e B; 90 preferiam os veículos A e C; 70 preferiam os veículos B e C; 120 não tem preferência por nenhuma das três categorias. Pergunta-se: (a) Quantos consumidores declararam gostar das 3 categorias? (b) Quantos preferem somente uma das categorias? © Quantos declaram preferir pelo menos duas das categorias?

16.Em uma festa, foram servidos dois tipos de bebidas alcoólicas: vinho e cerveja.

Sabe-se que na festa havia 55 pessoas, das quais 30 tomaram cerveja, 15 tomaram vinho e 20 tomaram apenas refrigerante. O numero de pessoas que não tomaram vinho é: 10 a) 15 b) 20 c) 30 d) 40

RESPOSTAS:

1. a) V b) V c) F d) V e) F f) V g) F h) V i) F j) V l)V m) F

2. a) A = {2,4,6,8} b) B = {a,b,c,d,e,f} c) C = {a,d,f,j,m,n,o,s}

3. a) F b) V c) F d) F e) V f) V

4. a) F b) V c) F d) V e) V f) V

7. X = {1,2} 8. X = {1,3,5} 9. 2.500 sócios 10.158 pessoas 11.a) 500 b) 61 c)257 d) 84 12.(a) 50; (b) 380 13.92 14.(a) 40; (b) 210; © 140 15.(a) 30; (b) 190; © 190 16.e


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1. Conjuntos Numéricos

Conjunto dos números naturais (N)

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

O conjunto dos números naturais possui um importante subconjunto, o conjunto dos números Naturais não nulos, representado por N*: N* = N – {0} = {1, 2, 3, 4, 5, ...} = { x ∈∈∈∈N / x ≠≠≠≠ 0} Obs.: Toda vez que o *(asterisco) estiver a direita de um conjunto, isto representará a exclusão do elemento zero. No conjunto dos números naturais estão definidas duas operações; a adição e a multiplicação. Note que, adicionando (ou multiplicando) dois elementos quaisquer de N, a soma (ou o produto) pertence igualmente a N. O mesmo não ocorre com a subtração, em outras palavras o conjunto N não é fechado para a subtração. Por esse motivo, fez-se uma ampliação do conjunto N e surgiu o conjunto dos números inteiros. Conjunto dos números inteiros (Z)

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

A representação geométrica do conjunto dos números inteiros é : O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos importantes: 1°) O conjunto dos números inteiros não nulos:

Z* = Z – {0} = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} = { x ∈∈∈∈Z / x ≠≠≠≠ 0} 2°) O conjunto dos números inteiros não negativos:

Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} = { x ∈∈∈∈Z / x ≥≥≥≥ 0} Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N, logo, N ⊂ Z. 3°) O conjunto dos números inteiros positivos:

Z*+ = Z+ - {0} = {1, 2, 3, ...} = { x ∈∈∈∈Z / x >>>> 0} 4°) O conjunto dos números inteiros não positivos: Z - = {..., -3, -2, -1, 0} = { x ∈∈∈∈Z / x ≤≤≤≤ 0}

0 +1 +2 +3 -2 -1 -3


20

5°) O conjunto dos números inteiros negativos: Z*- = Z - - {0} = {..., -3, -2, -1} = { x ∈∈∈∈Z / x <<<< 0} O conjunto Z é fechado em relação às operações adição, multiplicação e subtração, mas o mesmo não acontece em relação a divisão. Por esse motivo, fez-se a ampliação do conjunto Z, da qual surgiu o conjunto dos números racionais. Conjunto dos números racionais (Q)

O conjunto dos números racionais possui alguns subconjuntos importantes: 1°) O conjunto dos números racionais não nulos:

Q* = Q – {0} = { x ∈∈∈∈Q / x ≠≠≠≠ 0} 2°) O conjunto dos números racionais não negativos:

Q+ = { x ∈∈∈∈ Q / x ≥≥≥≥ 0} 3°) O conjunto dos números racionais positivos:

Q*+ = Q+ - {0} = { x ∈∈∈∈ Q / x >>>> 0} 4°) O conjunto dos números racionais não positivos: Q - = { x ∈∈∈∈ Q / x ≤≤≤≤ 0} 5°) O conjunto dos números racionais negativos: Q*- = Q - - {0} = { x ∈∈∈∈ Q / x <<<< 0}

Consideremos o conjunto Q’ formado pelos números racionais com denominador unitário:

Então podemos dizer que Q’ = Z, logo, Z ⊂⊂⊂⊂ Q.

N ⊂⊂⊂⊂ Z ⊂⊂⊂⊂ Q

Z*}b e Za,b

a{x / xQ ∈∈==

} Za,1a

x / {xQ' ∈==

Z N Q


21

Representação Decimal das Frações

Tomemos um número racional, na forma fracionária, cujo numerador não é múltiplo do denominador. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Nesta divisão, podem ocorrer dois casos:

1°) O número decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de

algarismos (não nulos):

Tais números são chamados de decimais exatos.

2°) O número decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), que se repetem periodicamente:

Tais números são chamados de decimais periódicos ou dízimas periódicas;

em cada um deles, os números que se repetem, formam a parte periódica, ou período da dízima. Quando uma fração é equivalente a uma dízima periódica, a fração é chamada geratriz da dízima. Para sabermos se uma fração – irredutível – equivale a um decimal exato ou uma dízima periódica ( sem efetuar a divisão do numerador pelo denominador), basta decompor o denominador em fatores primos. Nesse caso:

• A fração equivale a um decimal exato se o denominador contiver apenas os fatores 2 ou 5;

• A fração equivale a uma dízima periódica, se o denominador contiver algum fator primo diferente de 2 e de 5.

Representação Fracionária dos Números Decimais

Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal, procuraremos escrevê-lo na forma fracionária. Temos dois casos:

2

50 4 0 25 0 16= = =, ; , ; , ;

1

4

80

500 etc.

1

30 3333 0 3

2

70 285714285714285714 0 285714

1

220 045454545 0 045

= =

= =

= =

, ... , ;

, ... , ;

, ... , ;

etc.


22

1° Caso: Decimal Exato Transformamos o número em uma fração, cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros, quantas forem as casas decimais do número decimal dado:

2° Caso: Dízima Periódica Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos.

Exemplo 1: 0,5555...

Exemplo 2: 2,13131313...

Exemplo 3: 1,325252525...

0 77

10

1

20, ; ; ; ;= = 2,3 =

23

10 0,43 =

43

100 9,43 =

943

100 0,05 =

5

100

9

5=0,5555... :Então

9

5595,05,510

...5555,510

...5555,0=⇒=⇒−=−⇒

==

xxxxx

x

.99

211=...2,13131313 :Então

99

2112119913,213,213100

...131313,213100

...131313,2=⇒=⇒−=−⇒

==

xxxxx

x

x

x

x

x x x x

===

⇒ − = − ⇒ = ⇒ =

=

1 325252525

10 13 252525

1000 1325 252525

1000 10 1325 25 13 25 990 13121312

990

656

495

, ...

, ...

, ...

, ,

Então: 1,325252525...=1312

990


23

1.3.3 Dispositivo Prático para Obtenção da Fração Geratriz 1° Caso: Dízima Periódica Simples A geratriz de uma dízima periódica simples (de parte inteira nula) é uma fração que tem para numerador o período e para denominador um número formado por tantos noves, quantos forem os algarismos do período. Esquematicamente:

Exemplos:

2° Caso: Dízima Periódica Composta

A geratriz de uma dízima periódica composta é uma fração que tem como numerador, a diferença entre o número formado pela parte não periódica, acompanhada de um período, e a parte não periódica; e, como denominador, um número formado de tantos noves, quantos forem os algarismos do período, seguidos de tantos zeros, quantos forem os algarismos da parte não periódica que estiver na parte decimal da dízima. Esquematicamente:

Exemplos:

Obs.: As dízimas periódicas de período 9 não têm geratrizes no sentido anterior. Neste caso, procedemos, por definição, como nos exemplos seguintes:

P P. .

...9 9

0 44444

90 525252

52

99

41

333, ... ; , ... ; ;= = = 0,123123123...=

123

999 etc.

( . . .)( . .) ( . . .)

( ... )( ... )

. . .

. .

p n p p p p n p

p n p

p p

−

==

9 9 0 0

parte não periódica

parte periódica

0 324444324 32

900

292

900

73

225 99

9934

99. ... ;=

−= = = 100,343434...=

10034 -100

25

161

100

64444,6...43999,6

1...9999,0

===

=


24

Conjunto dos números irracionais (I)

Os números decimais que podem ser escritos como frações de numerador e denominadores inteiros – são denominados números racionais, mas há os que não admitem tal representação, que são os números decimais não exatos e não periódicos também conhecidos como irracionais.

Vejamos alguns exemplos:

1.5 Conjunto dos números reais (R)

O conjunto formado pelos números racionais e pelos números irracionais é chamado conjunto dos números reais e é representado por R. Assim temos:

R = Q ∪∪∪∪ I, sendo Q ∩∩∩∩ I = ∅∅∅∅

Lembrando que N ⊂ Z⊂ Q, podemos construir o diagrama:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

0101001000100001

1 2345678910111213

2 1 4142136

3 1 7320508

3141592

, ...

, ...

, ...

, ...

, ...

.

=

==π

etc

Z N Q R


25

Além desses (N, Z, Q e I), o conjunto dos números reais apresenta outros

subconjuntos importantes de R:

1°) O conjunto dos números reais não nulos: R* = R – {0} = { x ∈∈∈∈ R / x ≠≠≠≠ 0} ={ x ∈∈∈∈ R / x > 0 ou x < 0}

2°) O conjunto dos números reais não negativos:

R+ = { x ∈∈∈∈ R / x ≥≥≥≥ 0} 3°) O conjunto dos números reais positivos:

R*+ = R+ - {0} = { x ∈∈∈∈ R / x >>>> 0} 4°) O conjunto dos números reais não positivos: R - = { x ∈∈∈∈ R / x ≤≤≤≤ 0} 5°) O conjunto dos números reais negativos: R*- = R - - {0} = { x ∈∈∈∈ R / x <<<< 0} 1.5.1 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DOS NÚMEROS REAIS

A representação geométrica do conjunto dos números Inteiros é : 1.5.2 INTERVALOS REAIS

Dados dois números reais a e b, com a < b, definimos:

(a) Intervalo totalmente aberto de extremos a e b é o conjunto: ]a,b[ = {x ∈ R/ a < x < b}

(b) Intervalo totalmente fechado de extremos a e b é o conjunto: [a,b] = {x ∈ R/ a ≤ x ≤ b}

(c) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de extremos a e b é o conjunto:

[a,b[ = {x ∈ R/ a ≤ x < b}

(d) Intervalo fechado à direita e aberto à esquerda de extremos a e b é o conjunto:

]a,b] = {x ∈ R/ a < x ≤ b}

0 +1 +2 +3 -2 -1 -3

− = −5

22 5,

5

22 5= ,

− = −3 1 73205, ...

− = −1

30 333, ...

1

30 333= , ...

3 1 73205= , ...


26

Os números reais a e b são denominados, respectivamente, extremo inferior e extremo superior do intervalo. Também consideramos os intervalos infinitos assim definidos:

(a) ]-∞,a[ = {x ∈ R/ x < a} (b) ]-∞,a] = {x ∈ R/ x ≤ a} (c) ]a,+∞[ = {x ∈ R/ x > a} (d) [a,+∞[ = {x ∈ R/ x ≥ a} (e) ]-∞,+∞[ = R

1.5.3 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS INTERVALOS REAIS

1.5.4 Representação dos subconjuntos importantes de R Assim os subconjuntos importantes de R podem ser expressos conforme tabela abaixo:

Subconjuntos reais

Notação da Teoria de conjuntos

Representação na reta numérica

Notação de intervalo

R*

{x ∈∈∈∈ R / x ≠≠≠≠ 0} = {x ∈∈∈∈ R / x < 0 ou

x > 0}

0

]- ∞∞∞∞, 0[ ∪∪∪∪ ]0,+∞∞∞∞[

]a,b[ [a,b]

[a,b[

]a,b]

]-∞,a]

]a, +∞[

a b

a b

a b

a b

a

a


27

R+

{ x ∈∈∈∈ R / x ≥≥≥≥ 0}

0

[0,+∞∞∞∞[

R+*

{ x ∈∈∈∈ R / x >>>> 0}

0

]0, +∞∞∞∞[

R-

{ x ∈∈∈∈ R / x ≤≤≤≤ 0}

0

]-∞∞∞∞,0]

R -*

{ x ∈∈∈∈ R / x <<<< 0}

0

]-∞∞∞∞,0[

1.6 Exercícios Resolvidos 1. Assinale a alternativa INCORRETA:

a) Ζ+ ∪ Ζ− = Ζ b) Ζ+* ∪ Ζ−* = Ζ c) Ν ∪ Ζ−* = Ζ d) Ζ+* ∪ Ζ− = Ζ

Solução: alternativa b a) V, pois {0, 1, 2, 3, ...} ∪ {0, -1, -2, -3, ...} = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,

...} = Z b) F, pois {1, 2, 3, ...} ∪ {-1, -2, -3, ...} = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} = Z* c) V , pois {0, 1, 2, 3, ...} ∪ {-1, -2, -3, ...} = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

= Z d) V, pois {1, 2, 3, ...} ∪ {0, -1, -2, -3, ...} = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

= Z

2. A fração geratriz de 5,121212... é:

a) 33

169 b)

33

170 c)

99

499 d)

99

512

Solução: alternativa a O dispositivo prático para obter a fração geratriz da dízima periódica composta

é )0...0)(9...9(

.)..(.)..)(..( pnppppnp −, no qual p.n.p. = parte não periódica e p.p = parte

periódica .

Sendo p.p. = 12 e p.n.p. = 5, então 33

169

99

507

99

5512 ==−


28

2. O valor da expressão:

15

1

5

33

1

5

1

...999,0−

++ é:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

Solução: alternativa c

211

15

815

8

1

15

1915

53

9

9

15

1

5

33

1

5

1

...999,0 =+=+=−

+

+=−

++ , portanto as demais alternativas

estão descartadas. 3. Coloque V ou F:

a) 3 ∈∈∈∈ R ( ) e) 2

1 ∈∈∈∈ R – Q ( )

b) N ⊂⊂⊂⊂ R ( ) g) 4 ∈∈∈∈ R – Q ( )

c) Z⊂⊂⊂⊂ R ( ) h) 5

23 ∈∈∈∈ R – Q ( )

d) ππππ ∈∈∈∈ R - Q ( ) i) 25

23∈∈∈∈ Q ( )

Solução: a) V, pois 3 é um numero real. b) V , pois todos os elemento do conjunto N são também elementos de R. c) V , pois todos os elemento do conjunto Zsão também elementos de R. d) V, pois como R – Q = I então π ∈ I, ou seja é um número irracional.

e) F, pois 2

1 não é irracional.

f) F, pois 4 = 2 não é irracional.

g) V, pois 5

103

55

523

5

23 == é irracional.

h) V, pois 5

3

25

23 = é racional.


29

4. Relacione as colunas:

(A) R* ( ) [0,+∞∞∞∞[ (B) R- ( ) ]- ∞∞∞∞,+∞∞∞∞[ (C) R+* ( ) ]- ∞∞∞∞,0] (D) R -* ( ) ]0,+∞∞∞∞[ (E) R+ ( ) ]- ∞∞∞∞, 0[ ∪∪∪∪ ]0,+∞∞∞∞[ (F) R ( ) ]- ∞∞∞∞,0[ Solução: Conforme tabela da seção 1.5.3, temos: (A) R* ( E ) [0,+∞[ (B) R- ( F ) ]- ∞,+∞[ (C) R+* ( B ) ]- ∞,0] (D) R -* ( C ) ]0,+∞[ (E) R+ ( A ) ]- ∞, 0[ ∪ ]0,+∞[

(F) R ( D ) ]- ∞,0[

Exercícios Propostos

1. Reescreva as sentenças usando os símbolos matemáticos: < , =, >, ≠, ≥, ≤

a) a é um número positivo: _______________ b) b é um número não nulo: _______________ c) c é um número não positivo: _______________ d) d é um números negativo: _______________ e) e é um número não negativo: _______________ f) f é um número nulo: _______________ g) g é um número maior ou igual a h: _______________ h) h é menor que i: _______________ i) i está compreendido entre j e k , sendo que k é menor que j: ____________

2. Coloque V ou F e justifique:

a) Ν ⊂ Q ( ) f) 2

14 ∈ Q – Z ( )

b) Z ⊂ Q ( ) g) 14

21 é irredutível ( )

c) 0 ∈ Q ( ) h) 147

121<

150

131 ( )

d) 517 ∈Q ( ) i) 7

2∈ Q - Z ( )

e) 0,4747... ∈ Q ( ) j) 1 ∈ Q - Z ( )


30

3. Escrevam, na forma decimal, os seguintes números:

==

==

==

==

10000

71)

22

1)

100

143)

20

1)

145

29)

3

8)

154

140)

5

4)

hd

gc

fb

ea

4. Escrever na forma fracionária e simplificar quando possível os seguintes

números: a) 0,75 =

b) 0,0432 =

c) 4,12 =

d) 0,555... =

e) 2,333... =

f) 0,43181818... =

g) 4,59222... =

h) 12,777... =

i) 0,5241241241... =

j) 4,414414414... =


31

5. Calcular:

(((( ))))(((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))

(((( )))) (((( )))) ====++++====

====−−−−++++====

====−−−−−−−−

====

====−−−−++++====

====++++====

====−−−−====

========−−−−

====−−−−====

−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−

−−−−

12

4

7

53

3

3

23

43

3

25

30

33

433

.2,181818..0,333... p) 3

3 h)

42 o) 2

1 g)

1 n)

2 f)

254

1 m)

5

2 e)

0,411 l) 2 d)

0,1 k) 2 c)

0,5 j) 2 b)

1 i) 2 a)

EXPOENTE NEGATIVO:

aa

11 =− ;

n

n

aa

1=− ;

a

b

b

a =

−1

;

n

nn

a

b

b

a =

−

, b ≠ 0

Potenciação:

a.a.a.a.a.a. ... .a = an n vezes Propriedades: (P1) an × am = an+m (P2) an ÷ am = an+m (P3) (an)m = an×m (P4) (a×b)n = an × bn

(P5) n

nn

b

a

b

a =

, b ≠ 0


32

6. Calcular:

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

j)

)

h)

g)

f)

e)

, d)

c)

b)

a)

====−−−−

====++++

====−−−−

====

====−−−−

====

====

====

====

====

−−−−

−−−−

325

53

34

32

53

43

3

3

72924

1

32589

1

216

343

1

256

0080

040

125

49

-

--i

-

,

-

RADICIAÇÃO – PROPRIEDADES Para n, m e p inteiros, n>1, m>1 e p >1: (P1) nnn baab .=

(P2) n

n

n

b

a

b

a =

(P3) ( ) n mmn aa =

(P4) pnn p aa ×=

EXPOENTE FRACIONÁRIO :

n mn

m

aa =


33

1.6. OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS RACIONAIS 1.6.1 - EXPRESSÕES NUMÉRICAS

As expressões numéricas são expressões matemática que envolvem números.

Devemos lembrar que existe uma ordem para resolvermos qualquer expressão numérica.

Se uma expressão numérica contém radiciação, potenciação e as quatro operações, efetuaremos em primeiro lugar a potenciação ou radiciação, na ordem em que aparecem; em seguida, as multiplicações ou divisões na ordem em que ocorrem; e por último, as adições ou subtrações, também na ordem em que aparecem.

Se a expressão apresenta os sinais de parênteses ( ), colchetes [ ] ou chaves { }, observamos a seguinte ordem: 1o efetuamos as operações no interior dos parênteses, depois efetuamos as operações no interior dos colchetes e por último, efetuamos as operações no interior das chaves.

Exemplos: Calcule as seguintes expressões numéricas:

a)

4

14

11124

56124

5

2

33

4

5

2

321

=−

=−−

=−−

=−−+

Adicionando os inteiros

Reduzindo as frações ao mesmo denominador

Atenção: Lembre-se sempre de trabalhar com as

frações na forma irredutível.


34

b)

5

12

5

125

41025

42

5

2

10

82

5

2

10

1572

5

2

2

3

10

72

5

2

4

6

10

72

5

2

4

3

4

3

10

72

5

2

4

3

4

25

10

72

5

2

4

3

2

1

4

5

10

72

5

2

−=−

=−−

=−−

=

−−

=

+−−−

=

+−−−

=

+−−−

=

++−−−

=

+

−+−−−

=

+

−+−−−

c)

2

11

4

224

11294

13

4

94

13

56

60.

30

634

13

60

56

30

63

=

=++

=++

=++

=++÷

Resolvendo primeiro os parênteses

Agora resolvendo os colchetes


Resolvendo primeiro a divisão

Agora resolvendo a multiplicação (simplificando os fatores, antes de realizar o produto)


Atenção: Simplifique as frações sempre que possível


35

d)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

5

22

5

11.2

11

52

5

112

5

4152

5

432

5

2232

2

5232

4

10232

4

813232

24

1

4

3232

28

2

4

3232

1

1

1

1

1

1

1

1

1

=

−−

=

−÷−

=

−÷−

=

+−÷−

=

+−÷−

=

−⋅−−÷−

=

−÷−−÷−

=

−÷−−÷−

=

−+−÷−−÷−

=

−+−÷−−÷−

=

−+−÷−−÷−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

Resolvendo primeiro os parênteses

Resolvendo primeiro a divisão

Agora resolvendo a multiplicação

Agora resolvendo os colchetes

Agora resolvendo a multiplicação

Resolvendo a divisão

Resolvendo a potenciação, e lembrando que

a

b

b

a =

−1

Atenção Simplifique as frações sempre que possível


36

e)

24

5

24

5

24

833

1

8

1

3

2

2

1

8

1

2

3

2

1

8

1

2

162

2

1

2

1

2

131

2

12

1

1

3

13

−=−=−

=−

=

⋅−

=

⋅−

=

−+−⋅−

=

−+−⋅−

−

−

−−

f)

125

18

4

9

125

8

9

4

125

8

3

2

125

8

2

3

5

2

2

12

2

5

2

11

2

14

4

11

2

12

2

23

23

23

23

=

⋅

=

÷

=

÷

=

÷

=

+÷

=

+÷

+

=

+÷

+

−

−−

−−

−−

Resolvemos simultaneamente, a potência 2-3 e dentro do parênteses.

Resolvemos primeiro a potenciação e depois a multiplicação.

Reduzindo as frações ao mesmo denominador.

Resolvendo os parênteses, temos que: No primeiro parênteses, reduzir os termos ao mesmo denominador, para efetuar a adição; no segundo parênteses resolvemos, primeiro a radiciação para depois adicionar.

No primeiro parênteses, resolvemos a potenciação.

No segundo parênteses, agora resolvemos a potenciação.

Resolvemos a divisão.

Agora se resolve a multiplicação.

Lembrar que:

aa

11 =− ; n

n

aa

1=− ; ab

ba =

−1

e n

nnn

ab

ab

ba =

=

−


37

Exercícios Resolvidos

O valor da expressão numérica, 0

5

62

2

128

−÷+−−− , é:

a) 8 b) 7 c) 53/8 d) 49/8 e) nda

Solução: alternativa b

Lembrando que todo número elevado a zero é igual um, então a expressão numérica fica

0

5

62

2

128

−÷+−−− = 8 – 1 = 7

Portanto, as demais alternativas estão descartadas.

2. O valor da expressão numérica, 2

2

2

131

2

12

−−

−+−⋅+ , é:

a) 36

17

b) 24

259

c) 4

21

d) 14 e) nda

Solução: alternativa a Obedecendo todas as regras de resolução, a expressão numérica,

22

2

131

2

12

−−

−+−⋅+ , ficará assim:

36

17

36

89

9

2

4

1

9

4

2

1

4

1

3

2

2

1

4

1

2

3

2

1

4

1

2

162

2

1

2

1222

2=+=+=

⋅+=

⋅+=

⋅+=

−+−⋅+−−



38

3. O valor da expressão numérica, 824

24

13

13

15

15 +

−÷

−÷

, é:

a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) nda Solução: alternativa a Obedecendo todas as regras de resolução e lembrando de simplificar as

frações, temos que a expressão 824

24

13

13

15

15 +

−÷

−÷

, ficará assim:

( ) 9818)1(18)1()1(1824

24

13

13

15

15 =+=+−÷−=+−÷−÷=+

−÷

−÷


4. O valor da expressão numérica,

+−⋅−−

2

11

2

13 2 , é:

a) 2

1

b) 36

7−

c) 12

5

d) 36

13

e) nda Solução: alternativa d Obedecendo todas as regras de resolução, temos que a expressão

+−⋅−−

2

11

2

13 2 ficará assim:

36

13

36

94

4

1

9

1

2

1

2

1

9

1

2

12

2

1

3

1

2

11

2

13

22 =+=+=

−⋅−=

+−⋅−=

+−⋅−− .



39

5. O valor da expressão numérica,

121

5

4

5

12

−−−

−+

+ , é:

a) 16

137

b) 16

1

c) 25

191

d) 1 e) nda Solução: alternativa c Obedecendo todas as regras de resolução, e lembrando das propriedades da potenciação (an)m = an.m , temos que a expressão

121

5

4

5

12

−−−

−+

+ ficará assim:

( )25

191

25

16175

25

167

25

1652

5

452

5

4

5

12

21

121

=+=+=++=

−++=

−+

+−−−



40

EXERCÍCIO PROPOSTO Calcular o valor das seguintes expressões numéricas dando a resposta na forma fracionária e irredutível:

(((( ))))

(((( ))))

====−−−−

++++++++

====

−−−−

−−−−====++++−−−−

====++++++++−−−−====−−−−++++

5

1

9

4

2

1

5

7

3

4

9

425018

3

9

5

12

7

4

7

43011220

216

3

45

9

17

112213403

5

4

)

,

) , )

) ,,. )

c

e,b

da


41

Resp.: a)100

49− ; b) 3500

239.10; c)

90

221; d)

170

4741; e)

245

24

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO Calcule o valor das seguintes expressões numéricas:

a. 1 5 2 1 37 3

2 3 7 3 14

+ − − + + −

8

3

b. 3 5 3 1 1 3: 2 : 3 : 2

4 8 4 4 24 4

− − × − +

13

24

c. 5 1 3 9 1 3

:8 3 4 15 3 4

× × × +

5013

d. 40 7 1

: 1 421 2 3

+ + +

80371

e. 3 5 15 3 2 2 1 3

: : 44 8 2 4 9 3 6 2

− + × − + ×

253

f. 9 1 8 5 15 4 14

470 3 15 12 7 3 111

× × + × × + ×

29

g. 29 4 10 8 8

:5 35 25 5 5

− + −

297

h. 1 5 4 1 5 1

23 12 24 6 12 3

+ − + × −

11144

i. 2 1 3 2 1 3 1 1 35 2 4 5 2 4 5 2 5

+ − + + − × + +

2

j. 29 4 10 8 3 3 21 23 5 1: :

5 35 21 5 11 10 25 14 11 55

− + × + + + +

23

11


42

1.7 Problemas envolvendo números racionais 1.7.1. Exercícios propostos 1. Um comerciário gastou 1/3 de seu ordenado, comprando um pequeno rádio

por R$250,00. Qual o seu ordenado? 2. Gasto 2/5 do meu ordenado com aluguel de casa e ½ dele em outras

despesas. Fico ainda com R$200,00. Qual é o meu ordenado?


43

3. Gastei R$720,00 e fiquei ainda com 2/5 de meu ordenado. Qual o meu ordenado?

4. Pedro gastou 1/3 da quantia que possuía e, depois, 2/9 dessa quantia. Ficou

ainda com R$ 40,00. Quanto Pedro possuía?


44

5. Os 2/3 dos 5/3 do preço de uma moto equivalem a 3/2 de 2/5 do preço do

automóvel, avaliado em $9.600,00. Qual o preço da moto? 6. Numa cesta havia laranjas. Deu-se 2/5 a uma pessoa, a terça parte do resto a

outra e ainda restam 10 laranjas. Quantas laranjas havia na cesta?


45

7. Que horas são se o que ainda resta para terminar o dia é 2/3 do que já passou?

8. Cláudia e Vera possuíam juntas R$100,00. Ao comprarem um presente de

R$23,00 para oferecer a uma amiga comum, cada qual deu uma quantia diferente, na medida de suas possibilidades. Cláudia entrou com ¼ do dinheiro de que dispunha e Vera com 1/5 do seu. Calcule com quanto Cláudia contribuiu?


46

9. Paulo e Antônio têm juntos R$123,00. Paulo gastou 2/5 e Antônio 3/7 do que

possuíam, ficando com quantias iguais. Quanto possuía cada um? 10.Pedro e José têm juntos $450,00. O primeiro gastou a sexta parte do que

possuía e o segundo ganhou de seu pai ¼ do que tinha. Sabendo-se que, após essas ocorrências, ambos passaram a ter a mesma importância, determine a quantia que José ganhou de seu pai.


47

1.7.2. Exercícios de Fixação

11.Quanto é ¼ do número de minutos de uma hora? [15 minutos]

12.Num time de futebol carioca, metade dos jogadores contratados são cariocas, 1/3 são dos outros Estados e os 4 restantes são estrangeiros. Quantos jogadores contratados têm o clube? [24]

13.Um excursionista fez uma viagem de 360 km. Os ¾ do percurso foram feitos

de trem, 1/8 a cavalo e o resto de automóvel. Quantos km andou de automóvel e que fração representa da viagem total? [45km = 1/8 do percurso total]

14.Comprei um apartamento por R$ 420.000,00. Paguei 2/3 de entrada e o

resto em 10 meses. Quanto dei de entrada? [$280.000,00]

15.Dois terços de uma peça de fazenda medem 90 metros. Quantos metros têm a peça? [135m]

16.Paulo gastou ¾ do que possuía e, a seguir, a metade do resto. Ficou ainda

com R$7,00. Quanto Paulo possuía? [$56,00]

17.Dei 3/5 do meu dinheiro a meu irmão e metade do resto a minha irmã. Fiquei ainda com R$8,00. Quanto eu possuía? [$40,00]

18.Quanto devo subtrair do numerador da fração 324/349 para torná-la nove

vezes menor? [288]

19.A soma da metade com a terça parte da quantia que certa pessoa tem é igual a R$15,00. Quanto possui esta pessoa? [$18,00]

20.Uma pessoa despendeu certa quantia na compra de um terreno e o vendeu

por R$35.000,00; nesta venda ganhou ¾ do que despendera. Por quanto comprou o terreno? [$20.000,00]

21.Comprou-se vinho a $4,85 o litro e chope a $2,50 o litro. O número de litros

de chope ultrapassa o de vinho em 25 e a soma paga pelo vinho foi de $19,75 a mais do que a paga pelo chope. Quantos litros de vinho foram comprados? [35 litros]

22.A idade atual de Carlos é a diferença entre a metade da idade que ele terá

daqui a 20 anos e a terça parte da que teve 5 anos atrás. Qual a idade atual de Carlos? [14anos]

23.Que horas são, se 4/11 do que resta do dia é igual ao tempo decorrido?

[6h24min] 24.Os 2/3 dos 5/3 do preço de uma moto equivalem a 3/2 de 2/5 do preço do

automóvel, avaliado em $9.600,00. Qual o preço da moto?[$5.184,00]


48

25.O Salário de Sérgio é igual a 3/7 do salário de Renato. No entanto, se Sergio

tivesse um acréscimo de $2.400,00 em seu salário, passaria a ter um salário igual ao do Renato. Qual é a soma dos salários de Sergio e Renato? [$6.000,00]


49

2. Razão e proporção

A razão de duas grandezas é o quociente dos números que medem essas grandezas numa mesma unidade. Razões inversas são aquelas, nas quais o antecedente de uma é igual ao conseqüente da outra e vice-versa. Assim, o produto de duas razões inversas é sempre igual a 1.

Proporção é a igualdade de duas razões e possuem as seguintes propriedades: � Propriedade fundamental da proporção: Em toda proporção, o produto dos

meios é igual ao produto dos extremos. � 1a propriedade da proporção: Em

toda proporção, a soma (ou a diferença) dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo), assim como a soma (ou diferença) dos dois últimos termos está para o terceiro (ou para o quarto).

� 2a propriedade da proporção: Em toda proporção, a soma (ou diferença) dos

antecedentes está para a soma (ou diferença) dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para seu conseqüente.

bcadd

c

b

a =⇔= , com b .d ≠ 0

c

dc

a

ba +=+

c

dc

a

ba −=−

d

c

b

a = ou d

c

b

a =

d

dc

b

ba +=+

d

dc

b

ba −=−

Se d

c

b

a = , então d

c

b

a

db

ca ==++

ou d

c

b

a

db

ca ==−−

A razão entre dois números a e b é representada por:

b

a, ou a : b (lê-se: “a está para b”)


50

2.1. Exercícios Propostos: 1. Uma mercadoria, acondicionada numa embalagem de papelão, possui 200g de

peso líquido e 250g de peso bruto. Qual é a razão do peso líquido para o peso bruto?

2. A largura de um automóvel é 2m. Uma miniatura desse automóvel foi

construída de modo que esta largura fosse representada por 5cm. Qual foi a escala usada para construir a miniatura?

3. Sabe-se que das 520 galinhas de um aviário, 60 não foram vacinadas, e 92,

vacinadas, morreram. Entre as galinhas vacinadas, qual a razão do número de mortas para o número de vivas?


51

4. Admitindo-se que a razão ideal do número de habitantes de uma cidade para cada metro quadrado de área verde fosse de 2 para 5. Qual a população máxima que deveria ter uma cidade com 400.000m2 de área verde?

APLICAÇÃO: REGRA DE SOCIEDADE Por sociedade entendemos, aqui, um grupo de duas ou mais pessoas que se juntam cada uma com um determinando capital, o qual deverá ser aplicado por certo tempo, numa atividade qualquer, com o objetivo de conseguir lucros. A regra de sociedade pode ser classificada como: simples ou composta.

Regra de

Sociedade

Simples

Composta: tanto os capitais quanto os períodos de investimento são diferentes para cada sócio.

Capitais diferentes, mas aplicados em períodos de tempo iguais.

Capitais iguais, mas aplicados em períodos de tempo diferentes.


52

Portanto, na regra de sociedade simples:

• Para tempos iguais e capitais diferentes temos:

CnLn

CL

CL

CL ================ ...

3

3

2

2

1

1

• Para capitais iguais e tempos diferentes temos:

tnLn

tL

tL

tL ================ ...

3

3

2

2

1

1

E na regra de sociedade Composta, temos

tnCnLn

tCL

tCL

tCL

....

...================

33

3

22

2

11

1

5. Três pessoas, A, B e C, formam uma sociedade comercial e combinam que o

lucro da firma, na final de cada mês, será dividido em partes diretamente proporcionais às quantias que cada um deu para a formação da sociedade. O sócio A empregou $15.000,00, o sócio B, $10.000,00 e o sócio C, $8.000,00. Sabendo que o lucro, num determinado mês, foi de $6.600,00, qual a parte que cabe a cada sócio?


53

6. Três sócios sofreram prejuízo de $14.400,00. Os três entraram para a

sociedade com o mesmo capital, ficando o primeiro durante 11 meses, o segundo 12 meses, e o terceiro 13 meses. Qual foi o prejuízo de cada um?

7. Uma empresa com dois sócio lucrou $6.400.000,00. O primeiro sócio

empregou $1.000.000,00 durante 1 ano e 4 meses; e o segundo, $2.000.000,00 durante 8 meses. Quanto lucrou cada sócio?


54

8. Uma sociedade entre três amigos, com capital total de $36.000,00 rendeu $12.000,00. Calcular o capital inicial de cada sócio, sabendo que ao primeiro coube $4.000,00 de lucro, ao segundo $6.000,00 e ao terceiro $2.000,00.

9. A, B e C organizaram uma firma comercial com o capital de $2.000.000,00. C

retirou-se ao fim de 1 ano e 2 meses, B, a fim de 1 a no e 8 meses, e A, ao cabo de 2 anos. O lucro apurado dói distribuído da seguinte maneira: $11.900,00 para C, $13.000,00 para b e $12.000,00 para A. Qual o capital com que cada sócio entrou na sociedade?


55

2.2. Exercícios de Fixação 1. O volume de um cubo é igual ao cubo da medida da aresta. Qual é a razão

entre os volumes de dois cubos cujas arestas medem 4cm e 8cm , respectivamente? [1:8]

2. Qual é a escala de um desenho em que um comprimento de 3m está

representado por um comprimento de 5cm?[1:60]

3. O som, num sólido, percorre 500m em 1/3s. Qual é a velocidade média do som num sólido? [1.500m/s]

4. Uma miniatura de um automóvel foi construída na escala 1:40. As dimensões

da miniatura são: 12cm de comprimento e 5cm de largura. Quais são as dimensões reais do automóvel?[4,80mx2m]

5. Um edifício em construção vai medir 45 metros de altura. Sua maquete foi

feita na escala de 1:50. Qual é a altura da maquete desse edifício? [90cm]

6. Determine quantos kg de Cobre e de Zinco são necessários para produzir 150kg de latão, sabendo que o latão se obtém fundindo 7 partes de Cobre com 3 partes de Zinco. [105kg e 45kg, respectivamente]

7. Um salão tem formato retangular com dimensões de 10m por 12m. Deseja-se

colocar o piso deste salão utilizando-se lajotas de 20 cm por 20 cm, cujo custo é de R$1,20 por lajota. Qual é o custo total das lajotas? [$3.600,00]

8. 200 litros de gasolina são comprados a $0,91 por litro e são consumidos a

uma taxa de $0,70 de gasolina por hora. A esta taxa, quantas horas são necessárias para se consumir os 200 litros de gasolina? [260hors]

9. Um motorista de taxi percorre diariamente 720km. Sabe-se que o preço do litro de álcool é R$0,96 e o da gasolina, R$1,20. Um carro a álcool faz 8km por litro e um carro a gasolina faz 10km por litro. Se o motorista converter seu carro de gasolina para álcool, [e] a) economizará R$10,00 por dia. b) terá um prejuízo diário de R$10,00. c) economizará R$10,00 por mês. d) terá um prejuízo mensal de R$10,00. e) gastará em combustível o mesmo valor.

10. Dois amigos jogaram na loteria esportiva: o primeiro entrou com $140,00 e o

segundo com $220,00. Ganharam um prêmio de $162.000,00, que deve ser dividido em partes diretamente proporcionais às quantias com que cada um entrou. Quanto deverá receber cada um?


56

11. Duas pessoas devem dividir entre si a importância de $180.000,00. A

primeira pretende receber 2/3 da importância total e a segunda acha que tem direito a receber $72.000,00. Por fim, concordam em dividir a importância total proporcionalmente ás respectivas pretensões. Quanto recebeu cada uma?

12. Distribuir o lucro de $28.200,00 entre dois sócios de uma firma, sabendo que o primeiro aplicou $80.000,00 na sociedade durante 9 meses e que o segundo aplicou $20.000,00 durante 11 meses.

13. Certa sociedade constituída por três sócios, com capital de $180.000,00, teve

$25.000,00 de lucro. Sabendo-se que o sócio A entrou com a terça parte do capital, que o sócio B entrou com 2/5 e que o sócio C entrou com o restante, determinar o lucro de cada sócio.

14. Uma pessoa, ao fazer um cheque, inverteu o algarismo das dezenas com o

das centenas. Por isso, pagou a mais a importância de $270,00. Sabe-se que os dois algarismos estão entre si como 1 está para 2. O algarismo, no cheque que está na casa das dezenas é:[c] a) 1 b)2 c)3 d)4 e)6

15. Uma herança de $200.000,00 foi dividida entre três irmãos, de acordo com

suas idades e de tal forma que o mais velho caberia a maior parcela e ao mais novo a menor parcela. Juntos, os irmãos mais velhos receberam $150.000,00. Sabendo-se que a soma das idades dos três irmãos é de 40 anos, determine a idade do irmão mais moço.

16. Três pessoas formaram uma sociedade entrando com a mesma quantia,

sendo que o capital da 1ª pessoa esteve empregado durante 2 anos, o da 2ª pessoa durante 3 anos e o da 3ª pessoa durante 20 meses. Se o lucro auferido foi de $4.000.000,00, quanto receberá a 1ª pessoa, sabendo-se que ela ainda tem mais 10% do lucro, conforme contrato?

17. Dividir o número 570 em três partes, de tal forma que a primeira esteja para

a segunda como 4 está para 5 e a segunda esteja para a terceira como 6 está para 12. Nestas condições, quanto vale a terceira parte?

18. Uma família A, de cinco pessoas, e a família B, de quatro pessoas,

combinaram passar férias numa casa de campo, com despesas em comum distribuídas de acordo com o número de pessoas de cada uma. Terminadas as férias, verificou-se que a família A gastara $842,40 e a família B, $934,20, razão pela qual tiveram que fazer um acerto de contas. Qual a quantia que a família A teve que dar à família B?


57

3. Regra de três simples e composta Regra de três simples envolve apenas duas grandezas, e essas grandezas

formam uma proporção, em que se conhecem três termos e o quarto é procurado, ao passo que a composta envolve mais de duas grandezas.

A natureza da proporção está relacionada ao tipo de grandezas envolvidas. As grandezas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente

proporcionais. As grandezas diretamente proporcionais são aquelas que mantêm o comportamento entre elas, ou seja, se uma grandeza aumenta (diminui), a outra também aumenta (diminui). As grandezas inversamente proporcionais são aquelas que não mantêm o comportamento entre elas, ou seja, se uma grandeza aumenta (diminui), a outra diminui (aumenta). Exemplos: Exemplos: 1. Comprei 15 quilos de feijão por R$36,00. Quantos quilos do mesmo

feijão poderia comprar se tivesse R$120,00? Solução: Devemos dispor as grandezas, bem como os valores envolvidos, de modo que possamos reconhecer a natureza da proporção e escrevê-la. Assim:

Grandeza 1: quantidade de feijão em kg

Grandeza 2: preço em reais

15

36

x

120

Usaremos setas indicativas, para indicar a natureza da natureza da natureza da natureza da proporçãoproporçãoproporçãoproporção. Se elas tiverem o mesmo sentido, as grandezas são

diretamente proporcionais; se em sentidos contrários, são inversamente proporcionais.

Observe que colocamos na mesma linha valores que se correspondem


58

A proporção entre as grandezas é direta, porque, se aumentarmos a quantidade de feijão que vamos comprar, aumentamos o gasto. A proporção necessária é:

5036

120151201536

120

3615 =⋅=⇒⋅=⇒= xxx

Resposta: Poderia comprar 50 quilos de feijão.

2. Numa fábrica, 16 homens com igual capacidade de trabalho realizam

uma tarefa durante 45 dias. Com 10 homens apenas, em quantos dias será realizada a mesma tarefa?

Solução: Devemos dispor as grandezas, bem como os valores envolvidos, de modo que possamos reconhecer a natureza da proporção e escrevê-la. Assim:

Grandeza 1: número de homens

Grandeza 2: dias de trabalho

16

45

10

x

A proporção entre as grandezas é inversa porque, se aumentarmos o número de homens, diminuirá o tempo necessário, para efetuar a mesma tarefa. Então, torna-se necessária uma inversão de termos em qualquer uma das colunas.

16

x

10

45

Escrevendo a proporção, temos:


59

7210

4516451610

4510

16 =⋅=⇒⋅=⇒= xxx

Resposta: A mesma tarefa será executada em 72 dias.

3. Se 100kg de arroz alimentam 36 pessoas durante 15 dias, quantos quilos do mesmo arroz serão necessários, para alimentar o dobro de pessoas durante um mês e meio? Solução: De forma análoga, você deve verificar a natureza da proporção entre as grandezas e escrever essa proporção. Utilizaremos o mesmo modo de dispor as grandezas e os valores envolvidos.

Grandeza 1: quantidade de arroz em kg

Grandeza 2: Número de pessoas

Grandeza 3: Número de dias

100

36

15

x

72

45

Comparando as grandezas número de pessoas e número de dias com a grandeza quantidade de arroz, que contém a incógnita, percebemos que:

Mantendo-se fixo o número de dias e aumentando-se o número de pessoas, a quantidade de comida deve aumentar. Portanto, essas grandezas são diretamente proporcionais. Logo, as setas devem estar no mesmo sentido.

Mantendo-se fixo o número de pessoas e aumentando-se o número de dias, a quantidade de comida deve aumentar. Portanto, essas grandezas são diretamente proporcionais. Logo, as setas devem estar no mesmo sentido.

Importante:Importante:Importante:Importante:

Natureza da proporção: Natureza da proporção: Natureza da proporção: Natureza da proporção: para estabelecer o sentido das setas, é necessário fixar uma das grandezas e relacioná-la com as outras.


60

Portanto, a proporção fica assim:

6001536

4572100

45

15

72

36100 =⇒⋅

⋅⋅=⇒⋅= xxx

Resposta: Serão necessários 600 kg de arroz.

4. Numa fábrica, 10 máquinas trabalhando 20dias, produzem 2000 peças. Quantas máquinas serão necessárias, para se produzir 1680 peças em 6 dias?

Grandeza 1: número de máquinas

Grandeza 2: Número de dias

Grandeza 3: Número de peças

10

20

2000

x

6

1680

Comparando as grandezas número de dias e número de peças com a grandeza número de máquinas, que contém a incógnita, percebemos que:

Mantendo-se fixo o número de dias e aumentando-se o número de máquinas, a quantidade de peças produzidas deve aumentar. Portanto, essas grandezas são diretamente proporcionais. Logo, as setas devem estar no mesmo sentido.

Mantendo-se fixa a produção (números de peças) e aumentando-se o número de máquinas, a quantidade de dias para realizar o trabalho deve diminuir. Portanto, essas grandezas são inversamente proporcionais. Logo, as setas devem estar no mesmo contrário.

Para se escrever corretamente a proporção, devemos fazer com que as setas fiquem no mesmo sentido, invertendo os termos das colunas convenientes.


61

10

6

2000

x

20

1680

Portanto a proporção fica assim:

2812000

3360010

33600

1200010

1680

2000

20

610 =⇒⋅=⇒=⇒⋅= xx

xx

Resposta: Serão necessárias 28 máquinas. 3.1. Exercícios propostos:

1. Uma torneira enche um tanque em 3 horas. Em quantos minutos enche ¾ do tanque?

2. 8 máquinas produzem 600 peças de metal por hora. Quantas máquinas

idênticas as primeiras são necessárias para produzir 1500 peças de metal por hora?


62

3. Para transportar certo volume de areia para uma construção, foram necessários 20 caminhões com 4m3 de areia cada um. Se cada caminhão pudesse conter 5m3 de areia, quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço?

4. Estima-se que um grupo de 10 pedreiros, trabalhando de forma

homogênea, consiga realizar determinada obra de construção civil em 40 dias. Se o grupo for reduzido para 8 pedreiros, quanto tempo será necessário para concluir a mesma obra?


63

5. 4 máquinas produzem 32 peças de madeira em 8 dias. Quantas peças iguais as primeiras são produzidas por 10 máquinas, em 6 dias?

6. 16 operários, trabalhando 8 horas por dia, produzem diariamente 120 pares de sapatos. Desejando-se ampliar o mercado de vendas, quantos operários, trabalhando 10 horas por dia, podem assegurar uma produção diária de 300 pares de sapatos?


64

3.2. Exercícios de Fixação

1. Para ladrilhar 5/7 de um pátio empregaram-se 46.360 ladrilhos. Quantos

ladrilhos iguais serão necessários para ladrilhar 3/8 do mesmo pátio?

2. Para paginar um livro com 30 linhas em cada pagina, são necessárias 420 páginas. Quantas páginas de 40 linhas cada uma seriam necessárias para paginar o mesmo livro?

3. Uma torneira despeja 40 litros de água em 5 minutos. Em quanto tempo

esta torneira encheria um reservatório de 2m3 de capacidade?

4. Em uma tecelagem, 25 teares, trabalhando durante 10 dias, fizeram 1000m de certo tecido. Quantos metros do mesmo tecido serão produzidos por uma segunda unidade da tecelagem que tem 20 teares, idênticos à primeira unidade, trabalhando durante 18 dias?

5. 6 digitadores preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias, 8

digitadores, de mesma capacidade, prepararão 800 páginas?

6. Três pessoas formaram uma sociedade entrando com a mesma quantia, sendo que o capital da 1ª pessoa esteve empregado durante 2 anos, o da 2ª pessoa durante 3 anos e o da 3ª pessoa durante 20 meses. Se o lucro auferido foi de $4.000.000,00, quanto receberá a 1ª pessoa, sabendo-se que ela ainda tem mais 10% do lucro, conforme contrato?

7. 24 operários fazem 2/5 de determinado serviço em 10 dias, trabalhando 7

horas por dia. Em quantos dias a obra estará terminada, sabendo-se que foram dispensados 4 operários e o regime de trabalho diminuiu de uma hora por dia?

8. 12 pedreiros trabalhando 8 horas por dia, constroem 27 m2 de um muro em 30 dias. Quantas horas devem trabalhar por dia 16 pedreiros , durante 24 dias , para construírem 36 m2 do mesmo muro?

9. As máquinas de uma fábrica funcionam, ininterruptamente, das 10h às

18horas. Sabe-se que 5 máquinas produzem 2000 unidades de um produto, após 40 horas de funcionamento. O fabricante recebeu uma encomenda de 600 unidades do produto, e dispõe apenas de duas máquinas para produzi-los. Sabendo-se que a produção começou às 10 horas do dia 03 de outubro, em que dia e hora ficará pronta a encomenda? a) 3 de outubro, às 18 horas b) 4 de outubro, às 5 horas c) 5 de outubro, às 10 horas d) 6 de outubro, às 16 horas e) 7 de outubro, às 8 horas


65

3. Porcentagem

Porcentagem é uma razão de conseqüente 100.

Problemas envolvendo porcentagem podem ser resolvidos por meio de uma regra de três simples e direta ou então, pela formulação:

Porcentagem = taxa percentual unitária (i) ×××× principal

Obs.: Para transformar uma taxa percentual em unitária, basta escrevê-la na forma fracionária e em seguida efetuar a divisão.

Lembretes: pv = pc + L ou pv = pc – P

sendo: pv...preço de venda pc...preço de custo ou compra L ... Lucro P ... Prejuízo Cálculo do preço final com aumento

pf = (1 + i).pi sendo: pf...preço final

pi...preço inicial i ... taxa unitária

Cálculo do preço final com desconto

pf = (1 - i).pi sendo: pf...preço final pi...preço inicial

i ... taxa unitária


66

4.1. Exercícios Propostos

1. Uma salina produz 18% de sal em volume de água que é levada a evaporar. Para produzir 117m3 de sal, quantos m3 de água são necessários?

2. Um negociante concedeu um abatimento de 5% sobre o preço marcado numa mercadoria e o desconto foi de R$21,00. Qual o preço marcado?


67

3. Qual o preço de custo de uma mercadoria vendida por R$321,00, com o lucro de 7% sobre o preço de custo?

4. Por R$750,00 vendi minha máquina fotográfica com 25% de prejuízo sobre seu custo. Por quanto comprei a máquina?

5. Qual o preço de custo de uma mercadoria vendida por R$104,00, com lucro de 30% sobre o preço de venda?


68

6. Sobre uma dívida de $60.000,00, obteve-se um desconto de 10%. Sobre o restante, obteve-se outro desconto que reduziu a dívida para $43.200,00. Qual a porcentagem do segundo desconto?

7. Um negociante ao falir só pôde pagar 17/36 do que deve. Se possuísse mais R$23.600,00 poderia pagar 80% da dívida. Quanto ele deve?


69

8. O Sr. Aristides vendeu dois lotes de ações, o primeiro por R$7.200,00 e o

segundo por R$18.000,00. No primeiro, ele teve um ganho igual a 50% do preço de custo; e no segundo, ele teve uma perda igual a 10% do preço de custo. Qual foi o seu ganho (em reais) nesses dois lotes?

9. Um investidor adquiriu dois lotes em um balneário, pagando a mesma quantia por lote. Seis meses depois, os lotes foram revendidos pelo total de R$43.000,00. O primeiro foi revendido com um lucro de 10 % sobre o custo e o segundo com um lucro de 5% sobre o custo. Qual é o valor do custo por lote para o investidor?


70

4.2. Exercícios de Fixação 1. Se o preço de um quilo de carne passar de $15,00 para $21,00, qual a

porcentagem do aumento? 2. Um atirador faz 320 disparos contra um alvo, tendo acertado 288 vezes.

Qual a porcentagem de tiros certos e qual a de tiros errados?

3. Uma pessoa compra uma propriedade por 11 mil reais. Paga de taxas, comissões e escrituras R$1.200,00. Por quanto deve revendê-la para lucrar 20%, sobre, sobre o custo?

4. Certa mercadoria foi vendida por R$252,00, dando um lucro de 20% sobre

o custo ao vendedor. Quanto lhe custou à mercadoria?

5. Se um negociante lhe vende uma camisa de R$120,00 por R$102,00, quantos por cento lhe concedeu de desconto?

6. Qual o preço de custo de uma mercadoria vendida por R$344,00, com

prejuízo de 14% sobre o preço de custo?

7. Qual o preço de custo de uma mercadoria vendida por R$344,00, com prejuízo de 14% sobre o preço de venda?

8. Maria vendeu um relógio por $1.816,75 com um prejuízo de 15,5% sobre o

custo. Para que tivesse um lucro de 25% sobre o custo, por quanto ela deveria ter vendido?

9. Um cliente obteve do comerciante desconto de 20% no preço da

mercadoria. Sabendo-se que o preço de venda, sem desconto, é superior em 20% ao do custo, pode-se afirmar que houve, por parte do comerciante, um: a) prejuízo de 4% b) lucro de 4% c) prejuízo de 2% d) lucro de 2%

10.A empresa “Vestebem” comprou o produto “A” pagando 10% de imposto

sobre o preço de aquisição e 30% de despesa com transporte sobre o preço da mercadoria com o imposto. Sabendo-se que na venda de “A” obteve um lucro de $143,00, correspondente a 20% sobre o preço de aquisição mais despesas (imposto e transporte), determine o preço de aquisição da mercadoria com o imposto.

11.João comprou diretamente de uma fábrica um conjunto de sofá pagando

$322.000,00, incluindo o IPI (Imposto sobre Produtos Industrializados). Sabendo-se que a alíquota do imposto é de 15% “ad valorem” (imposto fixado em percentagem do valor da transação), determine o valor deste imposto.


71

4. Equação do 1° grau Toda equação do 1o grau na variável x poder ser escrita como:

ax + b = 0, sendo a e b ∈∈∈∈ R, com a ≠≠≠≠ 0.

Sua resolução segue os princípios e conseqüências da igualdade.

f) Exercícios Propostos 1. O gavião e os pombos

Um gavião encontrou um bando de pombas e disse: - Onde vão as minhas cem pombinhas? Uma pomba respondeu: - Nós não somos cem. Nós mais a metade de nós e o senhor é que somos cem. Quantas pombas havia no bando?

2. Um número somado com sua quarta parte é igual a 60. Qual é esse número?


72

3. A terça parte de um número, mais cinco, é igual a quatro nonos desse

número. Determine o número. 4. A soma de três números ímpares e consecutivos é 63. Determine-os.


73

5. Um vendedor recebe salário fixo de R$1.240,00 mais 2% de comissão sobre as vendas do mês. Em média, a cada meia hora de trabalho ele vende R$300,00. Para ele receber uma remuneração total de R$2.500,00 num certo mês, quanta horas deverá trabalhar.

6. Telma comprou uma camisa que foi paga em 3 prestações: na 1ª

prestação, ela pagou a metade do valor da camisa; na 2ª prestação, a terça parte; e na 3ª e última, R$10,00. Quanto ela pagou pela camisa?


74

g) Exercícios de Fixação

1. Além do Teorema: Polícrates, tirano de Samos, pergunta a Pitágoras qual o número de seus discípulos: Ditoso Pitágoras, filho das Musas, diz-me: Quantos atletas preparas para os gloriosos exercícios da Filosofia? Eu te digo Polícrates: metade estuda as ciências matemáticas; a eterna natureza é objeto dos trabalhos de um quarto; um sétimo exercita-se no silêncio e na meditação. Há, além disso, três mulheres, das quais Teano é a mais notável. Eis o número de meus alunos. Quantos alunos tinha Pitágoras nessa época?

2. Júlio pediu que seu primo Luís pensasse em um número e, a seguir, fizesse as seguintes operações:

• adicionasse 25 ao número pensado;

• multiplicasse o resultado obtido por 3;

• subtraísse 10 ao novo resultado.

Ao término dessas operações, Luís encontrou 80 como resultado. Em que número pensou?

3. A soma de um número com seu sucessor é 73. Qual é esse número?

4. A diferença entre os 2/3 de um número e sua metade é igual a 10. Qual é

esse número?

5. Dois lotes têm a mesma área. Os ¾ da área do primeiro excedem de 140 m² os 2/5 da área do segundo. Qual área de cada lote?

6. A idade atual de Carlos é a diferença entre a metade da idade que ele terá

daqui a 20 anos e a terça parte da que teve 5 anos atrás. Qual a idade atual de Carlos?


75

5. Sistema de equações lineares

Um sistema linear de duas equações a duas incógnitas é descrito por:

Ryx

yxS ∈

=+=+

c' eb' ,a' c, b, a, com, 'c'ba'

cba

A resolução deste tipo de sistema segue três metodologias: substituição, adição e comparação.

Exercícios propostos

1. Um rapaz pergunta ao seu avô a idade e seu avô responde: “Temos juntos 66 anos. Sou 42 anos mais velho que você.” Qual a idade do rapaz e de seu avô?

2. Jade e Brênia têm juntas R$250,00. Jade possui R$70,00 a mais que o dobro

da quantia de Brênia. Quanto possui cada uma?


76

3. Num quintal, existem galinhas e coelhos. Sabendo que são ao todo 20 cabeças e 58 pés, determine o número de galinhas e coelhos.

4. Igor e Adriana têm, respectivamente, 8 e 40 anos. Daqui a quantos anos a

idade de Adriana será o triplo da idade de Igor?


77

5. Um terreno retangular tem 144 m de perímetro ( soma das medidas dos lados da figura) . O comprimento é o triplo da largura. Determine a área desse terreno.

Obs.: Sistemas lineares com mais de duas equações e incógnitas: 6. Reparta 460 figurinhas entre André, Breno e Cid, de modo que Breno receba o

dobro de Cid, e André fique com 60 figurinhas a mais que Breno. Com quantas figurinhas André ficou?


78

Exercícios de Fixação 1. A soma das idades de Tânia e Denise é de 56 anos. A idade de Tânia é ¾ da

idade de Denise. Quantos anos têm cada uma? 2. Pedro e Ernesto colheram juntos 55 maçãs. Pedro colheu 4/7 da quantidade de

maçãs colhidas por Ernesto. Quantas maçãs foram colhidas por Pedro? 3. Num quintal há galinhas e coelhos, ao todo 35 cabeças e 106 pés. Quantos

animais há de cada espécie? 4. Um campeonato de surf oferece R$15.000,00 aos três primeiros colocados. O

1º recebe R$5.000,00 a mais que o 3º. O 2º recebe dobro da quantia do 3º. Qual o prêmio de cada um?

5. Pedro e José têm juntos $450,00. O primeiro gastou a sexta parte do que

possuía e o segundo ganhou de seu pai ¼ do que tinha. Sabendo-se que, após essas ocorrências, ambos passaram a ter a mesma importância, determine a quantia que José ganhou de seu pai.

6. Comprou-se vinho a $5,00 o litro e cerveja a $2,50 o litro. O número de litros

de cerveja ultrapassa o de vinho em 25 e a soma paga pelo vinho foi de $25,00 a mais do que a paga pela cerveja. Quantos litros de vinho e de cerveja foram comprados?


79

6. Equação do 2° grau

Toda equação do 2° grau na variável x pode ser escrita na forma:

ax2 + bx + c = 0, sendo a, b e c ∈ R, com a ≠ 0.

Se b ≠ 0 e c ≠ 0, dizemos que a equação do 2o grau é completa e se b = 0 ou c = 0, a equação do 2o grau é classificada como incompleta.

As equações do 2° grau na forma completa (ax2 + bx + c = 0) podem ser

resolvidas utilizando a fórmula de Bháskara, que nos permite determinar o conjunto solução.

Indicamos as duas raízes reais por x1 e x2, de modo que:

Se o valor do discriminante (∆) for positivo então a equação admite duas

raízes reais e distintas, logo o seu conjunto solução será S = {x1, x2}; se ∆ for zero, duas raízes reais e iguais, então S = {x1} ; e se ∆ for negativo, não admite raízes reais, logo S = ∅. Exercícios propostos 1. Determine um número cujo quadrado excede em 30 unidades o próprio

número.

acba

bx 4

22 −=∆∆±−= ,

a

acbbx

2

42

1

−−−=a

acbbx

2

42

2

−+−=e


80

2. A soma de um número com seu inverso é 2. Qual é esse número? 3. A diferença entre o quadrado de um número e o dobro desse número é 195.

Determine este número. 4. A diferença entre dois números é 3, e a soma de seus quadrados é 117. Ache

esses números.


81

5. Determine três números inteiros, positivos e consecutivos, tais que o quadrado

do menor seja igual à diferença entre os quadrados dos outros dois. 6. Um professor prometeu distribuir aos alunos de uma classe 140 balas. No dia

da distribuição, faltaram 7 alunos, e assim, os que estavam presentes receberam 1 bala a mais cada um. Quantos eram os alunos da classe?


82

Exercícios de fixação 1. A área de um retângulo é 78m2. Sabendo que um lado mede 7m mais que o

outro, determine suas medidas. 2. A soma dos quadrados de três números naturais pares e consecutivos é 116.

Determine esses números. 3. Determine o número positivo pelo qual se deve dividir 105, de modo a obter

um quociente que supere em 8 unidades o número pedido. 4. A diferença entre dois números é 5, e o produto de um pelo outro é 50. Calcule

esses números. 5. Determine as dimensões de um retângulo, sabendo que sua área mede 20m2 e

que a diferença entre seus lados é 1m. 6. Calcule as dimensões de um retângulo com 126m de perímetro (soma dos

lados), sabendo que sua área é de 972m2. 7. Daqui a dez anos Fabiana terá o quadrado da idade que tinha há dez anos.

Daqui a quantos anos Fabiana terá o triplo de sua idade atual? 8. Nicolau quer distribuir igualmente entre seus sobrinhos 360 livros. No dia da

distribuição, faltaram 3 sobrinhos e desse modo, cada um dos que estavam presentes recebeu 10 livros a mais. Quantos sobrinhos têm Nicolau?

9. As despesas de um condomínio totalizam R$1200,00. Quatro condôminos não

dispunham de dinheiro para pagar as suas partes, e os demais foram obrigados a pagar um adicional de R$25,00 cada um. Quantos eram os condôminos desse prédio?

10.Dez pessoas de uma mesma família foram a um restaurante. Os adultos

gastaram um total de $150,00 e as crianças gastaram $60,00. Se o gasto individual dos adultos superou em $10,00 o gasto individual das crianças, determine quantos eram os adultos e quantas eram as crianças.

11.Um aparelho de R$2.800,00 devia ser comprado por um grupo de rapazes que

contribuíram em partes iguais. Como três deles desistiram, a quota de cada um dos outros, ficou aumentada de R$120,00. Quantos eram os rapazes?


83

7. Função

Noção intuitiva de função Função entre duas grandezas: duas grandezas x e y estão relacionadas de tal forma que, se, para cada valor atribuído a grandeza x, existir um único valor associado da grandeza y, então podemos dizer que y é uma função da grandeza x. Assim, por exemplo, dizemos que: - a altura de uma pessoa é função de sua idade ( idade aqui é o tempo de

duração de vida da pessoa até o presente momento e não apenas o número inteiro de anos vividos);

- o preço pago pela gasolina colocada no tanque do automóvel é função da quantidade de litros comprados;

- o preço pago por uma corrida de taxi é função do número de quilômetros percorridos.

- A área de uma circunferência é função de seu raio. 8.2. Definição

Dados dois conjunto não vazios A e B, uma função de A em B é uma relação que a cada elemento x de A faz corresponder um único elemento y de B.

É importante observar que: - todo elemento de A deve ser associado a algum elemento em B; - para um dado elemento de A associamos um único elemento em B. Assim, para que uma função fique caracterizada, é necessário conhecermos seu domínio (A), o contradomínio(B) e uma regra (ou lei) que associe a todo elemento x de A, um único elemento y de B. Logo, o domínio de uma função f de A em B, f: A →→→→ B, será sempre o conjunto A e seu conjunto imagem será um subconjunto de B.


84

� Notação Sendo x um elemento de A e y um elemento de B, indicamos uma função de A em B com a seguinte notação:

y = f(x) (lê-se: “y é igual a f de x”)

na qual f representa uma lei de correspondência entre os valores de x e y. O conjunto dos pares ordenados é indicado, de forma genérica, por: F = {(x, y) ∈ A × B |y = f(x)} (lê-se: “F é o conjunto dos pares ordenados pertencentes a A cartesiano B, tal que y é função de x”) Exemplo: A lei de correspondência que associa cada valor real x ao número y, sendo y o dobro de x é uma função definida por y = 2x ou f(x) = 2x. O domínio e o conjunto imagem dessa função são R. A notação da função é, portanto, f: R→→→→ R tal que y = 2x. Então:

- para x = 4 , dizemos que y = 2.(4) = 8, ou então que f(4) = 8 - a imagem de -2 é f(-2) = 2(-2) = -4 - x = 2,5 corresponde a y = 2.(2,5) = 5 - y = 10 é a imagem de x = 5.

Observação:

Quando, na expressão da função (lei de correspondência), substituímos a letra x por um número e efetuamos as operações indicadas, estamos calculando o valor numérico da função, ou seja, determinando o valor da imagem de x.


85

8.2.1. Exercícios propostos de aplicação:

1. Escreva funções, descrevendo os seguintes fatos: a) Receita R de um comerciante que vende a quantidade variável q de

mercadorias ao preço unitário de $50,00;

b) Juros simples J ganhos por um investidor que emprega $5000,00, à taxa de 8% ao mês, durante um tempo indeterminado de n meses;

c) Salário mensal y de um operário que ganha $330,00 fixos mais $1,50 por hora extra, sabendo que o número x de horas extras varia todo mês.

2. Um operário, que ganha salário variável de acordo com as horas extras que

trabalha paga $100,00 de prestação de casa própria, gasta 60% do seu salário em manutenção e poupa o restante. Determine uma expressão matemática para cada uma das funções consumo e poupança, isto é, expresse seu consumo C e sua Poupança S em função de sua renda variável y.


86

3. Um vendedor ambulante compra objetos ao preço unitário de $1,50 e vende cada unidade a $2,50.

a) Expresse seu custo diário C em função da quantidade comprada q.

b) Expresse sua receita diária em função da quantidade vendida q, que se supões igual a quantidade comprada.

c) Expresse seu lucro diário L em função da quantidade q.

d) Qual o lucro do vendedor por unidade vendida (lucro unitário, Lu, ou lucro médio, Lme)?

4. Suponha que o mesmo vendedor ambulante do exercício 3 resolveu agora

incluir entre seus gastos o custo de sua condução diária de $9,00. a) Como ficarão agora as funções: custo, receita e lucro do vendedor?

b) Qual será agora seu lucro por unidade?


87

5. Em determinada cidade, a tarifa mensal de água é cobrada da seguinte forma: para consumo de até 10m3, a tarifa é um valor fixo de $8,00. A parte consumida entre 10 m3 e 20m3 paga uma tarifa de $1,00 por m3, e o que excede 20 m3 paga $1,40 por m3. Calcule a tarifa de quem consome: (a) 2 m3 por mês; (b) 15 m3; (c) 37 m3 ;(d) chamando de x o consumo mensal ( em m3 ) e de y a tarifa, obtenha a expressão de y como função de x.

6. Considere a tabela para o cálculo do imposto de renda a ser pago pelos contribuintes em certo mês de 2001.

x

Renda líquida em R$

i

Alíquota %

D

Parcela a deduzir do

imposto em reais Até 900,00 - -

Acima de 900,00 até 1.800,00

15,0 135,00

Acima de 1.800,00 27,5 n


88

Considerando x como a renda líquida de um contribuinte, o imposto a pagar é função de x. O contribuinte deve multiplicar a sua renda líquida pelo valor da alíquota e subtrair do resultado a parcela a deduzir. Além disso, tal função deve ser contínua, para não prejudicar nem beneficiar contribuintes cuja renda líquida se situe em faixas distintas da tabela. Note, por exemplo, que ao passar da primeira faixa (isentos) para a segunda (alíquota de 15%), a parcela a deduzir (135,00) não permite saltos no gráfico.

(a) Utilize os valores de i e D da tabela e dê a expressão da função imposto a pagar y, relativa a uma renda x, em cada faixa da tabela;

(b) Determine o valor de n da tabela para que a função seja contínua;


89

8.2.2. Exercícios de Fixação

7. Certa máquina foi comprada pelo preço de $80.000,00 (valor nominal) e vendida depois de dez anos (vida útil) por $30.000,00 (valor residual).

a) Qual foi sua depreciação total? E qual a depreciação anual? b) Expresse a depreciação D como função do tempo t em anos. c) Qual o valor da máquina para t = 1, 2, 3 e 10 anos? d) Como seria a expressão que dá o valor V da máquina em função do

tempo t?

8. Um professor de matemática propõe a sua turma de 40 alunos um exercício-desafio, comprometendo-se a dividir um prêmio de R$120,00 entre os acertadores. Seja x o número de acertadores (x = 1, 2, 3,..., 40) e y a quantia recebida por cada acertador (em reais). Responda: a) Y é função de x? Por quê? b) Quais os valores de y para x = 3, x = 8, x = 20 e x = 25? c) Qual o valor mínimo que y assume? d) Qual é a lei de correspondência entre y e x?

9. O preço do serviço executado por um pintor consiste em uma taxa fixa, que

é de R$25,00, e mais uma quantia que depende da área pintada. A tabela seguinte mostra alguns orçamentos apresentados por esse pintor:

Ärea pintada

(em m2) Total a pagar

(em reais) 5 35 10 45 15 55 20 65 30 85 40 105 80 185

Observando a tabela, responda: a) Podemos dizer que o total a pagar y pela pintura é função da área a ser

pintada x? Justifique. b) Como se exprime, matematicamente, o total a pagar y pela pintura de x

metros quadrados? c) Qual é o preço cobrado pela pintura de uma área de 120m2? d) Qual é a área máxima que pode ser pintada dispondo-se de R$525,00? 10.Num determinado país, um cidadão que viaja para o exterior pode trazer

bens de até $800,00, que estará isento de pagamentos de impostos. O que exceder $800,00 é tributado em 20%. (a) Escreva a expressão matemática que relaciona o valor do imposto y com o valor x da compra realizada no exterior para cada intervalo. (b) Se uma pessoa desse país viajou para o exterior e trouxe bens pagando um imposto de $190,00, qual foi o valor da compra no exterior?


90

8.3. Gráficos de função

8.3.1. Plano cartesiano

Consideremos dois eixos x e y perpendiculares em O, os quais determinam o plano α.

Dado um ponto P qualquer, P ∈ α, traçamos por ele duas retas x’ e y’ paralelas, respectivamente aos eixos x e y. Denominamos P1 a interseção de x com y’ e P2 a interseção de y com x’. Nessas condições, definimos:

- A abscissa do ponto P é o número real xP = OP1;

- A ordenada do ponto P é o número real yP = OP2;

- Os números xP e yP são as coordenadas do ponto P, geralmente indicados pelo par ordenado (xP,yP);

- O eixo das abscissas é o eixo x ou Ox;

- O eixo das ordenadas é o eixo y ou Oy;

- Sistema de eixos cartesianos ortogonal (ou ortonormal ou retangular) é o sistema xOy;

- Origem do sistema é o ponto O(0,0)

- Plano cartesiano é o plano α.

8.3.2. Construção do gráfico de uma função real A construção do gráfico de uma função real, conhecendo-se sua lei de correspondência y = f(x) e seu domínio D, segue os seguintes passos: 1°) passo: Construímos uma tabela onde aparecem os valores de x e os

valores do correspondente y, calculados através da lei y = f(x). Os valores atribuídos a x devem pertencer ao domínio da função.

2°) passo: Cada para ordenado (x,y) da tabela deverá ser plotado no

plano cartesiano.

P

P1

P2 x’

y’

O

αααα

x

y

.

Universidade São Judas Tadeu – Matemática Aplicada – Professora Elaine Martini

91

91

3°) passo: No caso da função real, ligamos os pontos construídos no passo anterior por meio de uma curva, que é o próprio gráfico da função y = f(x).

Exemplo 1: Vamos construir o gráfico da função y = 3, para todo x real.

x

y = 3 Pontos

-3 3 (-3,3) -2 3 (-2,3) -1 3 (-1,3) 0 3 (0,3) 1 3 (0,3) 2 3 (1,3) 3 3 (3,3)

Esse é um exemplo de função constante, pois se trata de uma função, cujo o gráfico é uma reta paralela ao eixo das abscissas.

Exemplo 2: Vamos construir o gráfico da função y = 2x com domínio D = R: (1° e 2°) passo: atribuímos alguns valores para x, e calculamos y = 2x e

representamos os pares ordenados que estão nessa tabela por pontos.

x

y = 2x Pontos

-3 -6 (-3,-6) -2 -4 (-2,-4) -1 -2 (-1,-2) 0 0 (0,0) 1 2 (1,2) 2 4 (2,4) 3 6 (3,6)

3°) passo: Desenhamos a curva provável que contém os pontos que satisfazem a lei y = 2x.

Essa curva é chamada de reta.

x

y

(0,0)

(2,4)

(0,3)

x

y


92

92

Exemplo 3 Vamos construir o gráfico da função y = |x| com domínio D = R: (1° e 2°) passo: atribuímos alguns valores para x, e calculamos y = |x| e

representamos os pares ordenados que estão nessa tabela por pontos.

Lembrando que:

<−≥

==0

0

sexx

sexxxy

,

,

x

y = |x|

Pontos

-3 3 (-3,3) -2 2 (-2,2) -1 1 (-1,1) 0 0 (0,0) 1 1 (1,1) 2 2 (2,2) 3 3 (3,3)

3°) passo: Desenhamos a curva provável que contém os pontos que satisfazem a lei y = |x|.

Exemplo 4: Vamos construir o gráfico da função y = x2 – 4 com D = R.

x y = x2 –4 Pontos

-3 5 (-3,5) -2 0 (-2,0) -1 -3 (-1,-3) 0 -4 (0,-4) 1 -3 (1,-3) 2 0 (2,0) 3 5 (3,5)

Essa curva é chamada de parábola.

(-2,0)

(0,-4)

(2,0) x

y

x

y

(0,0)

(-2,2) (2,2)


93

93

8.2.1. Exercícios Propostos 1. Representar graficamente as seguintes funções, determinar o domínio e o conjunto imagem.

a) y = 2 + x, x ∈ {-1,0,1,2,3}

[ b) y = 4 - x, x ∈ R c) y = x2, x ∈ [0,3[


94

94

d) xy = , x ≥ 0

d) x

y1= , x >0

e)

>≤

=0 xse x,

0 xse 1,y


95

95

g)

≥+<

=0 xse 2,x

0 xse 0,2y

h)

>≤≤

<=

2 xse 2,-2x

2x0 se x,

0 xse 0,

y


96

96

i)

>≤≤

<−=

2 xse 2,

2x0 se 1,

0 xse 1,

y

j)

>−≤≤

<=

6 x se

6x2 se 4-x

2x se

,2

,

,

)(

x

xf


97

97

5.5. Exercícios de Fixação

2. Representar graficamente as seguintes funções e determinar o conjunto imagem.

a)

>≤≤

<−=

0x se x

0x2- se 4,-2x

-2x se

2 ,

,3

)(xf

b)

>−≤≤

<=

1x se

1x1- se 4,-3x-

-1x se

,

,5

)(2x

xf

c)

>−≤≤−

<+=

2 x se

2x2- se ,

-2x se

,

4

,1

)( 2

x

x

x

xf

3. Num determinado país, um cidadão que viaja para o exterior pode trazer bens de até $750,00, que estará isento de pagamentos de impostos. O que exceder $750,00 é tributado em 15%. Escreva a expressão matemática que relaciona o valor do imposto y com o valor x da compra realizada no exterior para cada intervalo e construa o seu gráfico.

Apostila de Matemática – Prof. Elaine Martini

98

8. Função do 1° grau - Aplicações

Uma função de R em R recebe o nome de função de 1° grau (ou Função Afim), quando a cada x ∈ R se associa o elemento (ax + b) ∈ R, sendo a e b números reais.

f(x) = ax + b (a ≠≠≠≠ 0)

Representação gráfica: reta (I) (II) Os termos da função do 1° grau: a é o coeficiente angular (responsável por indicar o tipo de reta) e o b é o coeficiente linear (ordenada do ponto de interseção com Oy)

Tipo de reta: Se a > 0 a reta é crescente (I) e se a < 0, decrescente (II).

Interseção com Oy: Fazendo x = 0 , temos y = a · (0) + b = b; então (0, b) é o ponto em que a reta corta o eixo dos y.

Interseção com Ox: Fazendo y = 0 , temos:

ab-

x

b- ax

0 b ax

=

==+

então

−0,

a

bé o ponto em que a reta corta o eixo dos x.

(0,b)

x

y

x

y

(-b/a,0)

(0,b)

(-b/a,0)


99

9.1. Exercícios de aplicação

9.1.1. DEPRECIAÇÃO LINEAR


100

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

V(T) = V0 + ad.t, sendo ad o coeficiente de depreciação (ad < 0)

1. A taxa de inscrição num clube de natação é $150,00 para o curso de 12 semanas. Se a pessoa se inscreve após o início das aulas, a taxa é reduzida linearmente. (a) Expresse a taxa de inscrição em função do número de semanas transcorridas desde o início do curso e construa o gráfico. (b) Calcule quanto uma pessoa pagou ao se inscrever 5 semanas após o início do curso.


101

2. O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale 10.000 dólares e daqui a 5 anos 1.000 dólares, qual será seu valor daqui a 3 anos?

3. O valor de um carro popular decresce linearmente com o tempo,

devido ao desgaste. Sabe-se que o preço de fábrica é R$9.500,00 e que, depois de 5 anos de uso, é R$3.200,00. (a) Expresse o valor do carro em função do tempo; (b) Qual o valor do carro após 3 anos de uso? (c) Quanto foi a depreciação em 3 anos?


102

4. O valor de um carro popular decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabe-se que depois de 2 anos de uso seu valor é $6.980,00 e que, depois de 5 anos de uso, é R$3.200,00. (a) Expresse o valor do carro em função do tempo de uso; (b) Qual o preço de fábrica do carro? (c) Quanto foi a depreciação em 5 anos?


103

5. O valor de um carro popular decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Daqui a 5 anos de uso, a depreciação total do carro será de $6.300,00 e que seu valor depois de 2 anos de uso, é $6980,00. (a) Expresse o valor do carro em função do tempo de uso; (b) Qual o preço de fábrica do carro? (c) Qual o valor do carro após 5 anos de uso?


104

9.1.2. RECEITA TOTAL, CUSTO TOTAL E LUCRO TOTAL


105


106


107


RT = pv.q

CT = cv.q + cf LT = RT – CT ou LT = (pv.- cv).q - cf

5. Um professor preparou apostilas para seus alunos, gastou $2.000,00 na

digitação, calculou o preço de custo de cada apostila em $40,00 e vendeu cada uma por $50,00. Pede-se:

a) A função custo total; b) A função receita total; c) A função lucro total e seu gráfico;

6. O custo variável por unidade de produção de um bem é $5,00, e o custo

fixo associado à produção é $30,00. Se o preço de venda do referido bem é $6,50, determinar:

a) a função custo total; b) a função receita total; c) a função lucro total; d) break even point; e) a produção necessária para um lucro de $120,00.


108

7. Um fabricante vende a unidade de certo produto por $110,00. O custo total

consiste de uma taxa fixa de $7.500,00 somada ao custo de produção de $60,00 por unidade. (a) Quantas unidades o fabricante precisa vender para atingir o ponto de equilíbrio? (b) Se forem vendidas 100 unidades, qual será o lucro ou o prejuízo do fabricante? (c) quantas unidades o fabricante necessita vender para obter um lucro de $1250,00?

8. O preço de venda de um bem de consumo é $8,00. A indústria está

produzindo 1200 unidades, e o lucro bruto pela venda da produção é de $2.600,00. Se o custo fixo de produção é de $1960,00, calcular: (a) o custo variável por unidade; (b) o break even point; (c) a produção necessária para um lucro de $10.000,00?


109

9. Um determinado produto é produzido ao custo variável por unidade de $2,00, e vendido por $2,50. Se o break even point é atingido ao nível de produção de 2.500 unidades, deseja-se saber:

a) custo fixo associado

b) a produção necessária para um lucro de $6.000,00.


110

10.As tarifas praticadas por duas agências de locação de automóveis, para veículos idênticos, são :

AGÊNCIA A AGÊNCIA B

144 reais por dia

(seguros inclusos)

mais 1,675 reais por km rodado

141 reais por dia

(seguros inclusos)

mais 1,70 reais por km rodado

a) Para um percurso de 110km, qual a agencia que oferece o menor preço?

b) Seja x o número de km percorridos durante um dia. Determine o intervalo de variação de x de modo que seja mais vantajosa a locação de um automóvel na agencia A do que na B.


111

11.O valor cobrado por um eletricista A inclui uma parte fixa, como visita, transporte, etc., e outra que depende da quantidade de metros de fio requerida pelo serviço O gráfico abaixo representa o valor do serviço efetuado em função do número de metros utilizados.

a) Qual é o valor da parte fixa cobrado pelo eletricista? b) Sabendo que o preço cobrado por um eletricista B depende

unicamente do número de metros utilizados, não sendo cobrada a parte fixa. Se o preço do serviço é de $4,50 por metro de fio utilizado, a partir de que metragem deve o consumidor preferir A ao B?

Preço (R$)

Metros (m)

60 72

14 20


112

Exercícios de Fixação: (Texto de Aplicações)


113


114

9.1.3. OFERTA E DEMANDA LINEARES


115


116


117


Oferta linear: p = pmín + a.q , sendo a = qP

∆∆>0

Demanda línear: p = pmáx + a.q , sendo a = qP

∆∆<0

12.Um produtor observou que, quando o preço unitário de seu produto era

$5,00, a demanda mensal era de 3mil unidades e quando o preço era de $6,00, a demanda mensal era de 2.800 unidades. Obter a equação de demanda, admitindo-a linear.

13.Quando o preço unitário de um produto é de $10,00, 5mil unidades deste produto são colocadas no mercado por mês; se o preço for $12,00, 5500 unidades estarão disponíveis. Admitindo-a linear, determine a equação da oferta.


118

14.Uma empresa vende 200unidades por mês, se o preço unitário for $5,00. A empresa acredita que, reduzindo o preço em 20%, o número de unidades vendidas será 50% maior. Obter a equação de demanda, admitindo-a linear.

15.Um grupo de artesãos fabrica um único tipo de pulseira. A um preço de

$100,00 por unidade, a quantidade vendida é 40 unidades por dia; se o preço for $80,00, a quantidade vendida é 60. Obter a equação de demanda, admitindo-a linear.


119

16.O Sr. Ângelo é proprietário de um hotel para viajantes solitários com 40 suítes. Ele sabe que, se cobrar $150,00 a diária, o hotel permanecerá lotado. Por outro lado , para cada $5,00 de aumento na diária, uma suíte permanece vazia. Obter a equação de demanda, admitindo-a linear.

17.Uma vídeolocadora aluga 200 fitas diárias, se o aluguel diário de cada fita

for $4,00. Para cada $1,00 de acréscimo no preço, há uma queda na demanda de 50 fitas. Obter a equação de demanda, admitindo-a linear.


120

18.Uma doceria produz um tipo de bolo de tal forma que sua equação de oferta diária é p = 10 + 0,2q, onde p é o preço e q a quantidade ofertada. (a) Qual o preço para que a oferta seja de 20 bolos diários? (b) Se o preço for $15,00, qual a quantidade ofertada? © Se a curva de demanda diária por esses bolos for p = 30 -1,8q, qual o preço de equilíbrio?

19.Determine a quantidade e o preço de equilíbrio de mercado nas seguintes

situações e construa os gráfico num mesmo plano cartesiano: a) Oferta: p = 10 + q e Demanda: p = 20 - q;

b) Oferta: p = q + 20 e Demanda: p = 50 - q;


121

c) Oferta: p = 50 + q e Demanda: p = 100 - q;

d) Oferta: p = 10 + q e Demanda: y = 50 – q; 20. As funções de oferta e procura de certo produto são, respectivamente, q =

4p + 200 e q = -3p + 480. Calcule o preço de equilíbrio e o número de unidades em oferta e procura correspondentes.


122

21.Se um produto for vendido por $3,00 o mercado absorve 17 unidades. Se o

preço for $4,00, o mercado absorverá 16 unidades. A quantidade de equilíbrio de mercado é de 5 unidades. O preço mínimo que o fabricante poderá ofertar o produto é $10,00. Encontre as equações de oferta e demanda, construa os gráficos num mesmo plano cartesiano e faça a análise econômica.


123

22.Se um produto for vendido por $2,00 o mercado absorve 10 unidades.

Baixando-se o preço em 25%, o mercado absorverá 25 unidades. Se o preço for $1,00, será alcançado o ponto de equilíbrio. O fabricante ofertará 50 unidades se o preço for $2,00. Encontre as equações de oferta e demanda, construa os gráficos num mesmo plano cartesiano e faça a análise econômica.


124

9.1.4. JUROS SIMPLES

M = C + iCn ou M = C. ( 1 + in) 23.Um capital de $2.000,00 foi aplicado durante 1 ano e 4 meses à taxa de

juros simples de 10,5% ao ano. No final desse tempo, quanto receberei de juros e qual foi o capital acumulado?

24.Uma pessoa aplica certa quantidade durante 2 anos e meio, à taxa de juros

simples de 150% ao ano, e recebe $21.000,00 de juros. Qual foi a quantia aplicada?

25.Uma pessoa colocou um capital de $1.500,00, à taxa de juros simples de

3,5% ao mês. Achar a função M (montante) em função do tempo n e fazer o gráfico.


125

9. Função do 2° grau – Aplicações

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei na forma f(x) = ax2 + bx + c, sendo a, b e c números reais e a ≠≠≠≠ 0.

Representação gráfica: parábola

Concavidade:

Se a > 0 concavidade voltada para cima e se a < 0 concavidade voltada para baixo;

Interseção com Oy: Fazendo x = 0 , temos y = a · (0)2 + b · (0) + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.

Interseção com Ox: Os zeros da função definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x. Neste caso os pontos de interseção com o eixo x, depende do valor do discriminante (∆) como mostra a figura abaixo.


126

Vértice:

O vértice

∆−−aa

bV

4,

2 indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou

máximo (se a < 0) da função do 2o grau;

Eixo de Simetria: A reta que passa por V e é perpendicular ao eixo dos x é o eixo de

simetria da parábola e sua equação é dada por x = a

b

2

−.


127

16.1 Exercícios de aplicação:

RECEITA E LUCRO QUADRÁTICAS (texto de aplicações)


128

1. Uma companhia de televisão a cabo estima que com x milhares de assinaturas, o faturamento e o custo mensais (em milhares de dólares) são : R(x) = 32x – 0,21x2 e C(x) = 195 + 12x. Encontre (a) o número de assinantes para o qual o faturamento é igual ao custo e (b) o preço da assinatura para que o lucro seja máximo.


129

2. Sejam as funções de receita total e custo total dadas por RT(q) = -4q2 +

160q e CT(q) = q2 + 10q + 1000. Pede-se: (a) o ponto crítico; (b) a função lucro total e esboçar o gráfico e (c) para qual quantidade se tem lucro máximo.


130

3. O lucro obtido por um fabricante com a venda de determinado produto é

dado pela função L(p) = 400(15 - p)(p - 2), onde p é o preço de venda de cada unidade. Calcule o preço ótimo de venda.

4. Um grupo de artesãos fabrica pulseiras de um único tipo. A um preço de

100um por unidade, a quantidade vendida é de 40 unidades por dia; se o preço por unidade de 80um, a quantidade vendida é 60. (a) Admitindo linear a curva de demanda, obtenha o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita dos artesãos. (b) Se os artesãos têm um custo fixo de 100um por dia e o custo variável por pulseira igual a 40um, qual o preço para maximizar o lucro diário?


131

11. Função Exponencial

A função exponencial é toda função de real que pode ser expressa pela forma y = bx ou f(x) = bx, com b > 0 e b ≠ 1. Sendo: 1) D = R, ou seja todo x ∈ R existe a imagem bx . 2) Os interceptos da função:

- Interseção com eixo y : Fazendo x = 0 temos que y = b0 = 1 Portanto o ponto é (0, 1)

- Interseção com eixo x :

Fazendo y = 0 temos que 0 = bx (não existe) Portanto a função exponencial não intercepta o eixo x.

3) Gráfico da função:

Iremos construir os gráficos das funções y = 2x e y = x

2

1e observar

algumas propriedades:

1o ) caso : y = 2x

x y = 2x

Pontos

-3 2-3 =

8

1

2

13

= (-3,8

1)

-2 2-2 =

4

1

2

12

= (-2,4

1)

-1 2-1 =

2

1

2

11

= (-1, 2

1)

0 20 = 1 (0,1) 1 21= 2 (1,2) 2 22= 4 (2,4) 3 23 = 8 (3,8)

0

2

4

6

8

10

-3 -2 -1 0 1 2 3x

y


132

1o ) caso : y = x

2

1

x

y = x

2

1

Pontos

-3 ( ) 82

2

1 33

==

−

(-3,8)

-2 ( ) 42

2

1 22

==

−

(-2,4)

-1 ( ) 22

2

1 11

==

−

(-1,2)

0 1

2

10

=

(0,1)

1

2

1

2

11

=

(1,2

1)

2

4

1

2

12

=

(2, 4

1)

3

8

1

2

13

=

(3,8

1)

0

2

4

6

8

10

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

y


133

Observando os gráficos podemos dizer que:

(A) Ambas funções possuem o mesmo ponto de interseção com o eixo y ,(0,1);

(B) Se b > 1 , então a função exponencial é crescente;

Exemplos: y = 2x, y = 1,5x , y = x

2

5

(C) Se 0 < b < 1, então a função exponencial é decrescente;

Exemplos: y = x

2

1, y = 0,25x , y =

x

5

2

(D) Para todo valor de b > 0 e todo x ∈ R, o gráfico da função exponencial

(y = bx) estará sempre situada acima do eixo x, portanto o conjunto imagem desta função é Im = R*+.

Importante:

Nas aplicações da função exponencial, é muito comum escrever a função assim:

f(x) = a . bx, com a ≠ 0, b > 0 e b ≠ 1 A única diferença existente é o ponto de interseção com o eixo y, onde para x = 0, y = a . b0 = a . 1 = a , ou seja (0 , a).


134

MODELOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO EXPONENCIAL:

V(t) = V0.(1 + i)t...modelo de crescimento exponencial

V(t) = V0.(1 - i)t... modelo de decrescimento exponencial 11.1. Exercícios de aplicação da função exponencial 1. O produto nacional bruto (PNB) de um certo país era de 360 bilhões de

unidades monetárias em 1995 e de 200 bilhões de unidades monetárias em 2000. Admitindo que o PNB decresça exponencialmente, de quanto foi o PNB de 2008?

2. Avalia-se que a população de certo país cresça exponencialmente. Se a

população era 60 milhões de habitantes em 1990 e de 90 milhões de habitantes em 2000, qual era a população em 2005?


135

M(n) = C (1 + i)n...Montante a juros compostos

3. Durante quanto tempo se deve aplicar $5.000,00 à taxa de 7% am, para produzir o montante de $12.000,00?

4. Para duplicar um capital qualquer em 10 meses e 15 dias , aplicado à

juros compostos, que taxa devo usar? 5. Em 1985, na porta de um grande banco, encontrava-se um cartaz onde se

lia “Aplique hoje $1.788,80 e receba $3.000,00 daqui a 6 meses”. Qual era a taxa mensal de juros que o banco estava aplicando sobre o dinheiro investido?

6. Quanto devo aplicar hoje, à taxa de 2%am, para cumprir um compromisso

de $4.000,00 daqui a 2 meses, e outro de $5.000,00 daqui a três meses?


136

7. Uma pessoa colocou um capital de $1.000,00, à taxa de juros compostos de 5% ao mês. Achar a função M (montante) em função do tempo n e fazer o gráfico.

8. Aplicando $100.000,00 a juros compostos, depois de 3 anos recebi

$270.000,00. Qual foi a taxa anual usada? 9. Um certo aplicador colocou um capital de $15.000,00 à juros compostos

de 7% a.m, durante 3 meses e 20 dias. Em seguida, reaplicou o montante ainda a juros compostos de 10%am. No final da operação, recebeu $62.000,00. Qual o período total que o capital esteve aplicado?


137

12. Limite de uma função 12.1. Noção Intuitiva

O nosso objetivo é desenvolver uma linguagem que nos permita descrever o comportamento dos valores de uma função nas proximidades de um ponto.

Dada a função y = f(x), conforme ilustrado no gráfico abaixo, e seja “a”

a abscissa do ponto. Verifique o que acontece quando o valor de x se aproxima de a.

Quando x se aproxima de a pela direita (representamos por: x →a+) verificamos que a função se aproxima do valor L1. Então podemos dizer que:

1ax

Lf(x)lim =+→

, L1 é o limite lateral direito da função no ponto de

abscissa x = a

Quando x se aproxima de a pela esquerda ( representamos por: x →a-) verificamos que a função se aproxima do valor L2. Então podemos dizer que:

2ax

Lf(x)lim =−→

, L2 é o limite lateral esquerdo da função no ponto de

abscissa x = a Observamos no gráfico, que quando “x” assume valores que se aproximam de “a” pela direita (x > a), os correspondentes valores da função se aproximam do valor “L1”. Para descrever esse comportamento dizemos que o limite lateral direito da função no ponto de abscissa “a” é “L1”. Analogamente, quando “x” assume valores que se aproximam de “a” pela esquerda (x < a), os correspondentes valores da função se aproximam do valor “L2” e este é chamado de limite lateral esquerdo da função no ponto de abscissa “a” .

a

L1

L2


138

12.1.1. Exercício resolvido

Calcular os limites laterais da função

<−≥+

=1

1122 sexx

sexxy

,

,, no ponto de abscissa

x = 1.

3121)1(2)12(limf(x)lim1x1x

=+=+=+=++ →→

x

1)1()(limf(x)lim 22

1x1x --−=−=−=

→→x

12.1.2. Exercício proposto

Calcular os limites laterais da função

<−≥

=225

22

sexx

sexxy

,

,, no ponto de abscissa

x = 2.

=+→f(x)lim

ax

=→

f(x)lim-ax

12.2. FUNÇÃO CONTÍNUA

Vejamos agora a função y = f(x), conforme ilustrado no gráfico abaixo, e seja “a” a abscissa do ponto.

3 é o limite lateral direito da função no ponto de abscissa x = 1

-1 é o limite lateral esquerdo da função no ponto de abscissa x = 1

a

L


139

Quando x se aproxima de a pela direita (representamos por: x →a+) verificamos que a função se aproxima do valor L. Então podemos dizer que:

Lf(x)limax

=+→

, L é o limite lateral direito da função no ponto de abscissa

x = a

Quando x se aproxima de a pela esquerda (representamos por: x →a-) verificamos que a função se aproxima do valor L. Então podemos dizer que:

Lf(x)limax

=−→

, L é o limite lateral esquerdo da função no ponto de

abscissa x = a Como neste caso os limites laterais, à direita e à esquerda, convergiram para o mesmo resultado L, podemos então dizer que o limite da função quando x se aproxima de a, existe, é único, e igual a L (Teorema da unicidade do Limite).

Lf(x)limf(x)limf(x)limaxaxax

=∃⇔=→→→ −+

Se

Se a pertencer ao domínio desta função, então podemos afirmar que a

função é contínua neste ponto, então:

Laf ==→

)(f(x)limax

REGRA PRÁTICA: Para determinar o valor do limite de uma função num dado ponto, basta substituir o valor de x da função pelo número ao qual se tende. Se o resultado dessa operação for um número determinado e finito, então a função é contínua neste ponto e o valor obtido será o valor limite da função. Exemplos: Verificar, usando limites, se a função é contínua no ponto em cada caso: a) 12 += xxf )( e o ponto de abscissa x = 2

5141)2()1(limf(x)lim

,5141)2()1(limf(x)lim

22

2x2x

22

2x2x

--=+=+=+=

=+=+=+=

→→

→→ ++

x

x

e f(2) = (2)2 +1 = 5

Logo a função é contínua em x = 2.


140

b) 2xxf =)( e o ponto de abscissa x = 2

4)2()(limf(x)lim

,4)2()(limf(x)lim

22

2x2x

22

2x2x

--===

===

→→

→→ ++

x

x

E f(2) = (2)2 = 4

Logo a função é contínua em x = 2.

c) 2

42

−−=

x

xxf )( e o ponto de abscissa x = 2

Atenção: O denominador da função não pode ser zero, então D = R – {2}

Neste caso embora os limites laterais sejam iguais a quatro, a função não está definida para x = 2, logo ela não é contínua no ponto. IMPORTANTE:

É importante lembrar que no cálculo do f(x)limax→ , o que interessa é o

comportamento da função f(x) quando x se aproxima de a e não o que acontece com a função em x = a. PROPRIEDADES DOS LIMITES

42)2()2(lim2

)2)(2(lim

24

lim

.).(00

2)2(4)2(

24

limf(x)lim

42)2()2(lim2

)2)(2(lim

24

lim

.).(00

2)2(4)2(

24

limf(x)lim

---

--

2x2x

2

2x

22

2x2x

2x2x

2

2x

22

2x2x

=+=+=−

+−=−−

=−−=

−−=

=+=+=−

+−=−−

=−−=

−−=

→→→

→→

→→→

→→

+++

++

xx

xx

x

x

IFx

x

xx

xx

x

x

IFx

x


141

Sejam os limites, f(x)lim

ax→=A e g(x)lim

ax→=B, então:

1ª) Limite de uma constante: k=→

klimax

Exemplo:

5=→

5lim3x

2ª) Limite da soma ou da diferença:

[ ] BAg(x)lim f(x)limg(x)f(x)limaxaxax

±=±=±→→→

Exemplo:

432131213232 2

11

2

1

2

1−=−−=−−+−=−+=−+

−→−→−→−→)()(limlimlim)(lim

xxxxxxxx

3ª) Limite de uma constante multiplicada por uma função:

k.Af(x)limk.f(x)limaxax

==→→

k

Exemplo:

515155 22 ====→→

.).(xlim5.xlim1x

2

1x

4ª) Limite de um produto:

[ ] A.Bg(x)lim f(x).limf(x).g(x)limaxaxax

==→→→

Exemplo:

[ ][ ] 93312121111 222 ==−+=−+=−+→→→

.)(.)()(lim .)(lim))((lim2x2x2x

xxxx

5ª) Limite do quociente:

B

A

xg

xf ==→

→

→ g(x)lim

f(x)lim

)()(

limax

ax

ax , sendo B ≠ 0

Exemplo:

( ) 13

3

12

12

1

1

1

1222

==−

+=−

+=

−+

→

→

→ )(

)(

lim

)(limlim

2x

2x

2x x

x

x

x

6ª) Limite de potência: n

ax

n

axAf(x)lim(x)flim =

=→→

n

Exemplo:


142

( ) ( )( ) 82121112 333233===+−=+=+

→→][)]([])()([1x-2xlim1x-2xlim 2

1x

2

1x

7ª) Limite de raiz n-ézima : nn Af(x)limf(x)lim n

axax==

→→com A ≥ 0 e n

inteiro não negativo ou A < 0 e n ímpar. Exemplo:

( ) 282222 33 23 ==−+=−+=−+

→→)()(2x2xlim2x2xlim 2

1x

3 2

2x

EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 1. Calcule os limites laterais das seguintes funções:

1. abscissa de ponto no ,1 xpara,x-

1 xpara ,)() 2

<≥+

=12x

xfa

2. abscissa de ponto no ,2 xpara2x,-5

2 xpara ,x)( b)

2

<≥=xf

2. Calcule )(lim e )(lim 11

xfxfxx −+ →→

, sendo

><

=1 xse,2x

1 xse,)(

2xxf . Existe )(lim

1xf

x→? Por

quê?

3. Sendo

>≤

=1 xse,1-2x

1 xse,)(

2xxf , verifique se existe

1

)1()(lim

1 −−

→ x

fxfx

, utilizando os

limites laterais e em caso afirmativo, calcule-o.

4. Seja a função f definida por

=

≠−

−−=

2 xse,3

2 xse,2

232)(

2

x

xxxf . Calcule )(lim

2xf

x→.

5. Calcule os seguintes limites:

)(lim) =+−−−→

342 23

1xxxa

x

lim) =+

+−−→ 12

453 2

1 x

xxb

x

=

+−−−−

→

2

2

23

4 292

523

xx

xxxc

xlim)

=−

−+−→ 45

432 2

1 x

xxd

xlim)

=+

+−−−→

3

23

2 34

253

x

xxxe

xlim)

=−

++−→ x

xxf

x 46

232 2

2lim)


143

6. Calcule os limites:

Exemplo: 00

2(2)(2)4(2)

2xx4x

lim 2

2

2

2

2x=

−−=

−−

→ (F. I.)

00

é uma indeterminação, como os polinômios

x2 – 4 e x2 – 2x anulam-se para x = 2, portanto pelo Teorema de D’Alembert, são divisíveis por x – 2, logo:

x2)(x

2)x(x2)2)(x(x

2xx4x

2

2 +=−

+−=−−

Considerando que no cálculo do limite de uma função, quando x tende a a, interessa o comportamento da função quando x se aproxima de a e não o que ocorre com a função quando x = a, concluímos que:

2x

2)(xlim

2xx4x

lim 2x2

2

2x=+=

−−

→→

lim) =−−

→ 1

12

1 x

xa

x

=+−

−→ 2

4 2

2 x

xb

xlim)

=−−

→ 32

94 2

23 x

xc

x

lim)

=−−

→ 1

12

3

1 x

x)

xlimd

=−−+−

→ 6

342

2

3 xx

xxe

xlim)

=−−++

−→ 1252

31162

2

23 xx

xxf)

x

lim

7. Seja a função

−=

−≠+

++=

3 xse,3

3 xse,3

992)(

2

x

xxxf . Mostre que 3)(lim

3−=

−→xf

x.


144

8. Calcule os limites:

21

11

lim11

lim

:então e

11

)1)(1(1

)1)(1()1()(

)1)(1()1)(1(

11

: temosnumerador, do

conjugado"" pelo fração dar denominado o enumerador o ndoMultiplica

mindet 00

11

lim

:

11

22

1

=+

=−−

+=

+−−=

+−−=

+−+−=

−−

=−−

→→

→

xx

x

xxx

x

xx

x

xx

xx

x

x

ada)ern (forma ix

x

Exemplo

xx

x

=−−

→ 4

24 x

xa

xlim)

lim) =−−→ x

xb

x

110

=−−+→ x

xxc

x

110

lim)

=−

+−→ 9

1223 x

xd)

xlim

=+−−+

→ 23

2321 xx

xe)

xlim

12.3 LIMITES NO INFINITO E LIMITES INFINITOS Limites dos tipos )(lim e )(lim xfxf

xx −∞→+∞→são denominados LIMITES NO

INFINITO. A notação simbólica x→→→→+∞∞∞∞, que se lê: x tendendo a mais infinito, é usada para traduzir a idéia de que x vai se tornando cada vez maior e tão grande quanto se possa imaginar. Por outro lado, a notação x→→→→-∞∞∞∞, que se lê: x tendendo a menos infinito significa que x vai se tornando cada vez menor que qualquer numero negativo que se possa imaginar.

Por um LIMITE INFINITO, entendemos um limite da forma +∞=→

)(lim xfpx

(ou -∞), onde x→→→→p, pode ser substituído por x→→→→p+ , x→→→→p- , x→→→→+∞∞∞∞ ou x→→→→- ∞∞∞∞. De forma intuitiva, a notação simbólica +∞=

→ )(lim xf

px traduz a seguinte idéia:

para x tendendo a p, o valor de f(x) vai se tornando cada vez maior e ultrapassando o valor de qualquer número positivo, por maior que seja tal número.


145

Exemplo 1

Seja a função x

xf1=)( , com x ≠ 0.

y

x

Calcule:

a) x

1lim

+∞→x

Solução: x 10 100 1000 100.000 1.000.000 x→+∞

1/x 0,1 0,01 0,001 0,00001 0,000001 1/x→ 0 Quando o denominador x vai se tornando cada vez maior, o valor da fração

1/x vai se aproximando cada vez mais de zero. Ou seja, 01

x

1lim =

∞+=

+∞→x

Raciocinando intuitivamente como no exemplo 1, teremos

0x

1lim e 0

x

1lim

32==

+∞→+∞→ xxe, genericamente, 0

x

1lim

n=

+∞→x, onde n é um número

positivo qualquer.

b) x1

lim0+→x

x 1 0,1=1/10 0,01=1/100 0,001=1/1000 0,000001=1/1.000.000 x→0

1/x 1 10 100 1000 1.000.000 1/x→ +∞

Assim, +∞==+

+→ 0

1

x

1lim

0x


146

Exemplo 2 Calcule

a) 5x

1000lim

+∞→x

Sabendo que Lkxfkxfk

pxpx.)(lim.)(.lim ==

→→, temos:

00.1000x

1lim.1000

x

1000lim

55===

+∞→+∞→ xx

Assim, 0x

1000lim

5=

+∞→x. Quando x vai se tornando cada vez maior, 1000/x5 vai

ficando cada vez mais próximo de zero.

Logo, podemos concluir que: 0=∞→ nx x

klim

Exemplo 3 Calcule

a) xx +∞→lim

Aqui f(x) = x. Para x tendendo a mais infinito, f(x) também tenderá para mais infinito, ou seja , +∞=

+∞→x

xlim .

b) 3lim x

x +∞→

Para x tendendo a mais infinito, x3 tenderá, também para mais infinito, ou seja, +∞=∞=

+∞→)(lim 33x

x (∞3 deve ser entendido assim: se um número positivo

for muito grande, tão grande quanto se possa imaginar, o seu cubo será, também, tão grande quanto se possa imaginar.)


147

Exemplo 4

a) 1-x

2lim

1+→x

Quando x tende a 1, por valores maiores que 1, (x -1) permanece positivo e

vai se aproximando cada vez mais de zero e, então a fração 1

2

−xvai se

tornando cada vez maior, ou seja, 1

2

−xtende a +∞:

+∞==+

+→ 0

2

1-x

2lim

1x

Veja a tabela.

x 2 1,1 1,01 1,0001 1,000001 x→1+ 2/(x-1) 2 20 200 20.000 2.000.000 2/(x-1) →+∞ Observação: Neste limite, poderíamos ter feito a mudança de variável u = x -1. Para x tendendo a 1 por valores maiores que 1, u tenderá a 0, por valores maiores que zero. Assim,

+∞=== ++→+→ 02

02

lim1-x

2lim

11 ux

Simbolicamente, temos: 1+ - 1 = 0+ . O 1+ pode ser pensado como um número maior que 1, mas tão próximo de 1 quanto se possa imaginar; por exemplo, poderíamos pensar 1+ como sendo 1,00000000000000000000000000000000001!!!

b) 1-x

2lim

1−→x

Quando x tende a 1, por valores menores que 1, (x -1) permanece negativo e

vai se aproximando cada vez mais de zero e, então, a fração 1

2

−x permanece

negativa, mas, em valor absoluto, vai se tornando cada vez maior, ou seja,

1

2

−xtende a -∞:

−∞==−

−→ 0

2

1-x

2lim

1x


148

Veja a tabela.

x 0,9 0,99 0,999 0,9999 0,999999 x→1- 2/(x-1) -20 -200 -2000 -20.000 -2.000.000 2/(x-1) →-∞ Observação: O 1- pode ser pensado como um número menor que 1, mas tão próximo de 1 quanto se possa imaginar; por exemplo, poderíamos pensar 1- como sendo 0,9999999999999999999999999999999!!! Simbolicamente, temos: 1- - 1 = 0-

Gráfico da função 1

2)(

−=

xxf

y

1 x

-2 A seguir, vamos construir uma tabela que mostra como operar com o símbolo ∞. Apenas queremos lembrar o seguinte: quando você olhar para o símbolo ∞ imagine como um número muito grande r tão grande quanto possa imaginar. Pensando dessa forma, as operações que destacaremos a seguir se tornarão bem naturais. Operando com o símbolo ∞∞∞∞. (∞∞∞∞ = + ∞∞∞∞ e L é um número real) 1. ∞∞∞∞ + ∞∞∞∞ = ∞∞∞∞ 2. - ∞∞∞∞ - ∞∞∞∞ = - ∞∞∞∞ 3. Se L > 0, L . ∞∞∞∞ = ∞∞∞∞ 4. Se L < 0, L . ∞∞∞∞ = - ∞∞∞∞ 5. Se L > 0, L .(- ∞∞∞∞) =- ∞∞∞∞ 6. Se L < 0, L . (- ∞∞∞∞) = ∞∞∞∞ 7. L + ∞∞∞∞ = ∞∞∞∞ 8. L - ∞∞∞∞ = - ∞∞∞∞ 9. ∞∞∞∞ . ∞∞∞∞ = ∞∞∞∞ 10. (- ∞∞∞∞). (- ∞∞∞∞) = ∞∞∞∞ 11. ∞∞∞∞ . (- ∞∞∞∞) = - ∞∞∞∞ Indeterminações:

∞∞∞∞ - ∞∞∞∞, 0. ∞∞∞∞, ∞∞


149

Exemplo 5 Calcule ).35(lim 2 +−

+∞→xx

x

ada)Indetermin (Forma 3)35(lim 2 +∞−∞=+−+∞→

xxx

[ ] ∞=∞=+−∞=

+−

=+−=+−=+−

+∞→+∞→

+∞→+∞→+∞→

1.]001.[x

3

x

51lim .xlim

)x

3

x

51(xlim)

x

3

x

5

x(xlim)35(lim

22

22

222

222

xx

xxx

xxxx

Dica: Para calcular um limite no infinito, o truque, na maioria das vezes é colocar a mais alta potência de x em evidência ou, então raciocinar com os valores das potências. Exemplo 6

Calcule .5

43lim

2

3

+−+

+∞→ x

xxx

açãoindetermin uma é que 5

43lim

2

3

∞∞=

+−+

+∞→ x

xxx

[ ]

∞=∞=+

−+∞

=

+

−+=

+

−+=

+

−+

=+

−++∞→+∞→+∞→+∞→+∞→

1.01

001.

51

431

lim.lim5

1

431

.lim5

43

lim5

43lim

2

32

2

32

22

22

333

33

2

3

x

xxx

x

xxx

xx

xx

xx

x

x

xx

x

xxxxxxx

Exemplo 7

Calcule .1

32lim

−+

+∞→ x

xx

açãoindetermin uma é que ,1

32lim

∞∞=

−+

+∞→ x

xx

21

2

01

021

1

32

lim1

32

lim1

32lim ==

−+=

−

+=

−

+=

−+

+∞→+∞→+∞→

x

x

xx

xx

xx

xx

x

xxxx


150

Exercícios propostos 9. Calcular: (Limites no infinito)

=++−−

=++−

=

=

=

=

=

+

=

=

−∞→

+∞→

−∞→

+∞→

−∞→

+∞→

+∞→

−∞→

+∞→

)324(lim)

)342(lim)

2lim)

2lim)

lim)

lim)

11

lim)

lim)

lim)

35

23

3

3

3

3

2

2

xxxi

xxh

xg

xf

xe

xd

xc

xb

xa

x

x

x

x

x

x

x

x

x

=−+

=−

=−

=

+

=++

−

=+−+−

=−

+−

=++−

+∞→

−∞→

+∞→

∞→

+∞→

−∞→

+∞→

−∞→

5

42lim)

5

1lim)

5

1lim)

43lim)

143

34lim)

354

142lim)

2

354lim)

)8342(lim)

2

5

2

2

35

2

2

23

x

xq

xp

xo

xxn

xx

xm

xx

xxl

xx

xxk

xxxj

x

x

x

x

x

x

x

x

12. Calcular. (Limites Infinitos)

=−

=−

=−

+→

−→

+→

4lim)

1

4lim)

1

4lim)

22

1

1

x

xc

xb

xa

x

x

x

=−+

=+−

=+−

=−+

=−

=−

+→

+−→

−−→

−→

+→

−→

4

3lim)

3

12lim)

3

12lim)

2

2lim)

2lim)

4lim)

2

2

2

3

3

2

2

22

x

xxi

x

xh

x

xg

x

xf

x

xe

x

xd

x

x

x

x

x

x


151

12.4 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Calcule:

=

++−+−

=

−−=

++−

=

+−=

−+

=

+−++=

+−−++

∞→

−→→

−→−→

−∞→−→

−

+

75

5432)

9

2g)

3

96)

4

5f)

4

8)

8

4e)

13

453)

2

32

23

2

3

42

3

2

876

24

2

23

1

lim

limlim

limlim

limlim

xx

xxxd

x

x

x

xxc

x

x

x

xb

xxx

xx

xx

xxxa

x

xx

xx

xx

Respostas: a) –7/5; b) –3; c) 0 ; d) -∞; e) 0 ; f) +∞; g) +∞ 4. Verifique se existe o )(lim xf

ax→, nos seguintes casos: ( Justifique sua

resposta)

a) 0. abscissa de ponto o para ,0 xse,453

0 xse ,4)(

2

2

<−+≥−

=xx

xxf

b) 5. abscissa de ponto o para , 5 xse,5

5 xse ,23)(

2

>−≤−+

=x

xxxf

Respostas: a) Existe o 4)(lim

0−=

→xf

x, pois os limites laterais são iguais.

b) Não existe o )(lim5

xfx→

, pois os limites laterais são diferentes.


152

13. Derivadas – Aplicações 13.1. Taxa Média de Variação – TMV Seja a função y = f(x), conforme representada abaixo, e seja P um de seus pontos de abscissa x0, vamos atribuir um acréscimo qualquer ao valor x0 (chamaremos esse acréscimo de ∆x). A análise do gráfico nos mostra que consequentemente o valor da função passa do ponto de f(x0) para f(x0 + ∆x). Disso podemos concluir que um acréscimo ∆x, atribuído a x0, provoca também uma variação no valor da função, variação esta que chamaremos de ∆y.

f(x0 + ∆x) ∆y

f(x0 ) x0 x0 + ∆x ∆x Por definição chamaremos a taxa média de variação da função dada o

quociente x

y

∆∆

, quando a abscissa x passa do valor x0 para o valor x0 + ∆x e

esta expressa a variação média sofrida pelos valores da função entre estes dois pontos, geometricamente é o coeficiente angular, ou declividade, da reta que passa pelos pontos P e Q.

TMV = x

xfxxf

x

y

∆−∆+=

∆∆ )()( 00

P

Q

y = f(x)


153

13.2. Função derivada

Seja f uma função derivável no intervalo aberto I. Para cada x0 pertencente a I existe e é único o limite:

x

xfxxfxf o

x ∆−∆+

=→∆

)()(lim)(' 0

00

Portanto, podemos definir uma função f': I →→→→ R que associa a cada xo ∈∈∈∈ I a derivada de f no ponto xo. Esta função é chamada função derivada de f ou , simplesmente, derivada de f.

Habitualmente, a derivada de f é representada por: f'(x) ou y' ou dx

dy.

A lei f'(x) pode ser determinada a partir da lei f(x), aplicando-se a derivada de uma função, num ponto genérico x ∈∈∈∈ I:

x

xfxxfxf

x ∆−∆+=

→∆

)()(lim)('

0

Exemplo: Determine a função derivada de f(x) = x2 + x.

Sabendo que x

xfxxfxf

x ∆−∆+=

→∆

)()(lim)('

0

Onde: f(x+ ∆x) = (x+ ∆x)2 + (x+ ∆x) = x2 + 2x∆x + ∆2x + x+ ∆x e f(x) = x2 + x. sendo:

12)1lim)1(

lim

limlim

)()lim)('

00

2

0

22

0

22

0

+=+∆+=∆

+∆+∆

=∆

∆+∆+∆=∆

−−∆++∆+∆+

=∆

+−∆++∆+∆+=

→∆→∆

→∆→∆

→∆

xxx

xxx

xxx

x

xxxxxx

x

xxxxxxxf

xx

xx

x

(2x2x

2x 2x x

2x (x

2

2


154

13.2.1. Interpretação geométrica da função derivada

Geometricamente a derivada da função no ponto de abscissa x0 representa o coeficiente angular da reta t que tangencia a função no ponto P.

TABELA DE DERIVADAS

X0

f(x0) P

Q

t

( )

( )

( )( )( )

xx

bxx

ee

aaa

x

n

x

xn

mx

xnx

cnxcx

nxx

x

ccx

c

b

xx

xx

nn

n mn

n m

n n

n

nn

nn

112

111

10

9

18

7

16

5

4

13

2

01

1

1

1

1

=

=

==

−=

=

=

==

==

=

+

−

−

−

−

)'.(ln

ln.'log.

'.

ln '.

.

'.

'.

)'.(

)'.(

)'.(

)'.(

)'.(

'


155

Exemplos: Calcule a f'(x): a) f(x) = 5 → f'(x) = 0 b) f(x) = 5x → f'(x) = 5x ln5

c) f(x) = lnx → f'(x) = x

1

d) f(x) = x3 → f'(x) = 3x2 e) f(x) = 5x2 → f'(x) = 10x f) f(x) = 3x → f'(x) = 3 g) f(x) = x → f'(x) = 1

h) f(x) = x → f'(x) = x2

1

i) f(x) = 3

1

x → f'(x) =

4

3

x−

j) f(x) = 4 3x → f'(x) = 44

3

x

k) f(x) = logx→ f'(x) = 10ln

1

x

l) f(x) = ex → f'(x) = ex m) f(x) = 3 2 → f'(x) = 0 13.3 Regras de derivação Seja u = f(x) e v = g(x), duas funções deriváveis em I, então: 13.3.1. A derivada da soma é a soma das derivadas:

(u + v)' = u' + v' Exemplos: a) f(x) = 5x2 + 2x + 4 → f'(x) = (5x2)'+ (2x)' + (4)' = 10x + 2

b) f(x) = 5 + lnx → f'(x) = (5)' + (lnx)'= x

1

c) f(x) = x

x13 − → f'(x) = ( )

23 2

''

3 1

3

11

xxxx +=

−


156

13.3.2. - Derivada do produto de duas funções é a derivada da primeira função vezes a segunda mais a primeira função vezes a derivada da segunda.

(u.v)' = u'.v + u. v'

Exemplos: a) f(x) = x . lnx

então u = x → u'= 1 e v = lnx → v'= x

1

f'(x) = (x . lnx)'= 1. lnx + x .x

1= lnx +1

b) f(x) = x3.ex Sendo, u = x3 → u'= 3x2 e v = ex→ v'= ex Então, f'(x) = (x3.ex)'= 3x2. ex + x3.ex = x2. ex(3+x) 13.3.3. Derivada de uma constante vezes uma função é a constante multiplicada pela derivada da função.

(c . v)' = c. v'

Exemplos: a) f(x) = 5x2 → f'(x) = 5. 2x = 10x

b) f(x) = 10lnx → f'(x) = 10. xx

101 =

c) f(x) = 3ex → f'(x) = 3ex d) f(x) = 7.2x → f'(x) = 7.2x ln2


157

13.3.4. Derivada do quociente:

2

'''

v

uvvu

v

u −=

Exemplos:

a) f(x) = x

xln

sendo u = lnx → u'= x

1 e v = x → v'= 1

então f'(x) = 22

'ln1

1.ln.1

ln

x

x

x

xxx

x

x −=−

=

b) f(x) = xe

x

sendo u = x → u'= 1 e v = ex → v'= ex

Então f'(x) = ( )( )

( ) xx

x

x

xx

x e

x

e

xe

e

exe

e

x −=−=−=

11..122

'

REGRAS DE DERIVAÇÃO

c

u

c

uR

v

vc

v

cR

v

vuvu

v

uR

vcvcR

vuvuvuR

vuvuR

'.6

'..5

'.'..4

'.)'..(3

'.'.)'..(2

'')'.(1

'

2

'

2

'

=

−=

−=

=+=+=+


158

TABELA DE DERIVADAS

( )

( )

( )( )( )

xx

bxx

ee

aaa

x

n

x

xn

mx

xnx

cnxcx

nxx

x

ccx

c

b

xx

xx

nn

n mn

n m

n n

n

nn

nn

112

111

10

9

18

7

16

5

4

13

2

01

1

1

1

1

=

=

==

−=

=

=

==

==

=

+

−

−

−

−

)'.(ln

ln.'log.

'.

ln '.

.

'.

'.

)'.(

)'.(

)'.(

)'.(

)'.(

'

REGRAS DE DERIVAÇÃO

c

u

c

uR

v

vc

v

cR

v

vuvu

v

uR

vcvcR

vuvuvuR

vuvuR

'.6

'..5

'.'..4

'.)'..(3

'.'.)'..(2

'')'.(1

'

2

'

2

'

=

−=

−=

=+=+=+


159

Exercícios: 1. Calcular as derivadas das seguintes funções: a) f(x) = x3 - 10x2 + 50 b) f(x) = 2lnx + 2x + 1 c) f(x) = 5ex - 4logx – 8

d) f(x) = 3

4 5

xx −

e) f(x) = 4x . lnx

f) f(x) = 3

96 2 xex −

g) f(x) = 2

ln

x

x


160

h) f(x) = 1−x

x

i) f(x) = 2

2

1

1

x

x

+−

j) f(x) = 10

206 24 +− xx


161

l) f(x) = xln3

1

m) f(x) = 3

100

x

2. Calcular as três primeiras derivadas das funções: a) y = 5x3 - 4x2 + 9x – 8

b) y = lnx


162

Exercícios de fixação 3. Calcular as derivadas das seguintes funções: a) f(x) = ln5 - ex + 3 3 x b) f(x) = 2x5 - 3x4 + 2x3 - 3x2 + 6x - 9

c) f(x) = 3

1

523

23

−+− xxx

d) f(x) = 2

ln

2

3 xex −

e) f(x) = 3

2

3

ln

42

15223

−+−+− xe

xxx

x

f) f(x) = 635

ln6

3

2

2

5

3

3

+−+−− xxe

x

x x

g) f(x) = (x2 - 3).ex h) f(x) = -x3 .lnx i) f(x) = 4x3.ex

j) f(x) = xe

xx 132 2 ++

k) f(x) = 3

2

−+

x

x

l) f(x) = xex +

1

4. Calcular as três primeiras derivadas das funções: a) y = 7x4 - 2x3 - 5x - 8

b) y = x

1


163

13.4 Aplicações de Derivada 13.4.1. Crescimento e Decrescimento de funções

Se , para todo x ∈ ]a,b[, f'(x) > 0, então f é estritamente crescente (EC) em ]a,b[. Se , para todo x ∈ ]a,b[, f'(x) < 0, então f é estritamente decrescente (ED) em ]a,b[. Usamos a simbologia: : função crescente : função decrescente

Primeiro critério para localização de pontos de máximo e mínimo Critério: 1. Se

(a) f'(x) > 0, para todo x ∈ ]a,c[ (b) f'(x) < 0, para todo x ∈ ]c,b[ (c) f é continua em c,

Então em x = c é Ponto de Máximo O esquema abaixo ilustra a situação. EC ED a c b Ponto de Máximo

2. Se

(a) f'(x) < 0, para todo x ∈ ]a,c[ (b) f'(x) > 0, para todo x ∈ ]c,b[ (c) f é continua em c,

Então em x = c é Ponto de Mínimo O esquema abaixo ilustra a situação. ED EC a c b Ponto de Mínimo


164

13.4.3. Segundo critério para localização de pontos de máximo e

mínimo 1° Passo: f´(x) = 0 e determinar as raízes da equação, xi. 2° Passo: Obter a f”(x) 3° Passo: Substituir o xi, encontrado anteriormente, na segunda derivada da função. Se f”(xi) > 0 , significa que para o valor xi temos ponto de mínimo, mas se f”(xi) < 0 ,então que para o valor xi temos ponto de máximo. Exercícios Propostos 5. Estudar o crescimento e decrescimento das funções seguintes, apontando os possíveis pontos de máximo ou mínimo.

Exemplo:

a) 1042

3

32

3

+−−= xxx

y

1° passo: Cálculo da derivada. y' = x2 - 3x - 4 2° passo: Estudo do sinal da primeira derivada. y' = 0

x2 - 3x - 4 = 0 ∆ = (-3)2 - 4(1)(-4)= 9 + 16 = 25

12

2

2

53 e 4

2

8

2

53 ;

2

53

)1(2

25)3(21 −=−=−===+=±=±−−= xxx

3° passo: Conclusão: EC ED EC +++++++ - - - - - - - ++++++ -1 4 y' Ponto de Mínimo Ponto de máximo

Resposta: f(x) é estritamente crescente (EC) para x < -1 ou x > 4, f(x) é estritamente decrescente (ED) para -1 < x < 4, em x = -1 é Ponto de Máximo e em x = 4 é Ponto de Mínimo.

b) y = -x2 + 4x


165

c) y = x3

d) 2035

35

+−= xxy

Concavidade e ponto de inflexão

Se , para todo x ∈ ]a,b[, f''(x) > 0, então o gráfico de f tem concavidade voltada para cima (CVC) em ]a,b[.

Se , para todo x ∈ ]a,b[, f''(x) < 0, então o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo (CVB) em ]a,b[.

Se f tem concavidade de nomes distintos nos intervalos ]a,c[ e ]c,b[ e é contínua em c, dizemos que em x = c é ponto de inflexão (PI)

Exercícios Propostos

6. Estudar, no que se refere à concavidade e a pontos de inflexão, as

seguintes funções: a) y = x3 - 6x2 + 4x - 10

1° passo: Calcular a segunda derivada da função y' = 3x2 - 12x + 4 y'' = 6x - 12 2° passo: Estudo do sinal da segunda derivada y'' = o 6x - 12 = 0 x = 2 3° passo: Conclusão - - - - - - - - +++++++ 2 y''

Ponto de Inflexão Resposta: A f(x) tem côncava voltada para baixo (CVB) para x < 2 , f(x) tem côncava voltada para cima (CVC) para x > 2 e em x = 2 é ponto de inflexão.


166

b) y = 1 - x2

c) 10142

5

32

3

+−−= xxx

y

d) 11096

11

1223

4

+++−= xxxx

y

e) 432

2

+−= xx

y

13.5. Exercícios de aplicação de derivadas: Análise marginal

Função marginal : y´= f´(x)

Representa o valor estimado da função provocada por um aumento unitário em x.

7. Suponha que o custo total de fabricação de x unidades de certo produto

seja de C(x) = 3x2 + x +500. (a) Use a análise marginal para estimar o custo de fabricação da 41a unidade; (b) Calcule a variação real de fabricação da 41a unidade.


167

8. Numa certa fábrica, a produção diária de determinado produto é de Q(x)

= 600.x1/2 unidades, onde x representa o capital investido pela firma , medido em unidades de $1.000,00. O capital atualmente investido é de $900.000,00. Use a análise marginal para avaliar o efeito na produção diária do produto, ao se investir um capital adicional de $1.000,00.

9. Se c(x) é o custo total de x pesos para papéis, c x

x

x( ) = + +200

50

5

2

, ache: a) custo marginal de fabricação do 11° peso; b) custo real de fabricação do 11° peso.


168

10.O ganho mensal proveniente da fabricação de determinado produto é de

R(x) = 240x + 0.05x2 reais, onde x representa o número de unidades produzidas no mês. Atualmente, o fabricante produz 80 unidades por mês e pretende elevar este numero, aumentando de uma unidade a produção mensal. (a) Use a análise marginal do ganho adicional produzido pela produção e venda da 81a unidade; (b) Use a função ganho para calcular o ganho adicional real decorrente da fabricação e venda da 81a unidade.


169

11.A produção diária de uma fábrica é de Q(x) = 960x1/3 unidades, onde x representa o tamanho da força de trabalho medido em operários-hora. Atualmente, emprega 512 operários-hora por dia. Use a análise marginal para avaliar o efeito que um operário-hora adicional acarreta na produção.

12.Calcula-se que a produção semanal de certa fábrica seja Q(x) = -x3 + 60x2 + 1200x, onde x representa o número de operários da fábrica. Atualmente, há 30 operários trabalhando. Usando o cálculo, avalie a variação que ocorrerá na produção semanal da fábrica caso se acrescente um operário à força de trabalho existente.


170

13.6. Exercícios de aplicação de pontos de máximo e/ou mínimo 13.O lucro obtido por um fabricante com a venda de determinado produto é

dado pela função L(p) = 400(15 - p)(p - 2), onde p é o preço de venda de cada unidade. Calcule o preço ótimo de venda.


171

14.Há algumas semanas o Departamento de Estradas vem registrando a

velocidade do trânsito em certa saída de uma auto-estrada. Os dados indicam que, em um dia normal, entre 14h e 20h, a velocidade do trânsito é de, aproximadamente, V(t) = t3 - 10,5t2 + 30t + 20 km/h, onde t representa o número de horas transcorridas após o meio-dia. a) a que horas (entre 14h e 20h) o trânsito flui mais rapidamente? b) mais vagarosamente?


172

15.Certa associação nacional de consumidores foi fundada em 1980.

Suponhamos que, x anos depois, o número de membros desta associação seja dado por f(x) = 100.(2x3 -45x2 + 264x). (a) Em que ano (entre 1980 e 1994) a associação teve mais membros? (b) Quantos eram eles? (c) Em que ano (entre 1980 e1994) a associação teve menos membros? (d) Quantos eram eles?


173

16.Uma estação de rádio de uma cidade, que transmite apenas noticiários,

realizou uma pesquisa sobre a preferência dos moradores do lugar. A pesquisa revelou que a porcentagem da população adulta do local, que ouve a estação x horas após as 17h, é dada por f(x) = - 0,25x3 + 3,375x2

- 13,5x + 30. (a) A que horas (entre 17h e meia-noite) a rádio tem o maior número de audiência? (b) A que horas (entre 17h e meia-noite) a rádio tem o menor número de audiência?


174

17.Calcula-se que o custo de construção de um edifício de n andares seja de

C(n) = 2n2 + 500n + 600 milhões de dólares. Quantos andares deverão ter o edifício para minimizar o custo médio por andar? (Lembre-se que a resposta tem que ser um número inteiro)


175

14. APÊNDICE 14.1. Símbolos Matemáticos ∈∈∈∈ pertence ∉∉∉∉ não pertence ∩∩∩∩ interseção ∪∪∪∪ união ⊃⊃⊃⊃ contém ⊃⊃⊃⊃ não contém ⊂⊂⊂⊂ está contido ⊄⊄⊄⊄ não está contido ∅∅∅∅ vazio = igual ≠≠≠≠ diferente <<<< menor >>>> maior ≥≥≥≥ maior e igual ≤≤≤≤ menor ou igual ≅≅≅≅ aproximado ∼∼∼∼ proporcional ⇒⇒⇒⇒ implicação ⇔⇔⇔⇔ se e somente se ∧∧∧∧ e ∨∨∨∨ ou ∃∃∃∃ existe ∃∃∃∃ não existe ∴∴∴∴ portanto ∀∀∀∀ qualquer !!!! fatorial ∑∑∑∑ somatória ∆∆∆∆ variação ⊥⊥⊥⊥ ortogonal ∞∞∞∞ infinito


176

14.2 – Critérios de Divisibilidade


177


178


179


180

14.3. LOGARITMO DEFINIÇÃO

1 b e 0b 0,a com a,bclog cab ≠>>=⇔=

Sendo que o número a recebe o nome de logaritmando, b é a base e c é o logaritmo de a na base b.

Exemplos: Calcule os seguintes logaritmos: a) log 416

solução: log 416 = x , então:

4x = 16 4x = 42 (comparando) x = 2 Resp.: log 416 = 2

b) log3 3 solução: log3 3= x , então: 3x = 3 3x = 31 (comparando) x = 1 Resp.: log3 3= 1 c) log 41 solução: log 41= x , então: 4x = 1 4x = 40 (comparando) x = 0 Resp.: log 41 = 0 d) log 100,1 solução: log 100,1= x , então: 10x = 0,1

10x = 10

1

10x = 10-1 (comparando) x = -1 Resp.: log 100,1 = -1

Obs.: De forma geral:

logb b = 1 com b > 0 e b ≠ 1

Obs.: De forma geral:

logb 1 = 0 com b > 0 e b ≠ 1


181

PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS:

bc

aca

b

ac

ac

bc

ac

b

a

c

bc

ac

(a.b)c

loglog

log:base de Mudança :Obs.

n.loglog:potência da Logarítmo (P3)

logloglog :quociente um de Logarítimo (P2)

logloglog:produto um de Logarítmo (P1)

n

=

=

−=

+=

Exemplo: Determine o valor de x, nos seguintes casos:

=∴

=

==

=

>=+

2

252

25

252

25

2log

2loglog

)(

2

25

255

S

x

x

x

I

x

x 0 x:C.E. ,


182

( ) ( )

{3}S

1 ou 3

e :C.E.

=∴

−=⇒±=±−−=

=−−−=∆

=−−

=+−−+−=−+

−=−+

=−

−+−

−+=

=

>>−+=−

−−+

−−+

xx

xx

xxx

xxx

xxxx

xxx

xx

x-xx

II

x

xx

xxx

2

42

)1(2

16)2(

16)3).(1(4)2(

032

04472

4472

)1(472

41

721

722

2log

01072,2loglog

)(

2

2

2

2

2

2

22

1

72

2

212

722

2

2

}9{

93

loglog

log2log

log2

log

loglog

log

,loglog

)(

2

322

322

32

2

324

2

2

324

2

=∴==

=

=

=

=

>=

S

x

III

x

x

x

x

x 0 x:C.E.


183

14.4. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS I - MÉTODO DE REDUÇÃO A MESMA BASE Exemplos: (I)

( )

−=∴

−=

−==

=

=

−

3

53

5

53

22

2

12

32

18

53

53

S

x

x

x

x

x

(II)

}4{

4

1615

240

240152

240

2

14

12072

1208422

1202.22.22.222

2

12022222

3211

3211

=∴=⇔=⇔=

=

==

=

=+

=+

=+−++

=

=+−++

=+−++ +++−

S

x

a

a

aa

aa

aaaaa

xxxxx

xxxxx

4xx

x

2 216 2

:temos 16, a para Então

:temos a, 2 de Chamando


184

(III)

( )

}3{

32282

72

782

151

)1(2

225)1(

2252241)56)(1(4)1(

056

56

,222

5622

5624

3

2

2

2

222

2

=∴

=⇔=⇔=⇒=

−=⇒=

−=⇒±=±−−=

=+=−−−=∆

=−−

=−===

=−

=−

S

x

aa

aa

aa

aa

xx

x

xxx

xx

xx

8 a Para

existe não 7- a Para

ou

:então e Chamando

Exercícios Propostos 1. Resolver as seguintes equações exponenciais:

a) 81

256

4

3 =

x

b) 275 - x = 9 –x c) 2x-3 + 2x-1 + 2x = 52 d) 2x+3 = 192. 3x-3

2. Resolva as seguintes equações: Exemplo 1

2X = 3 log2x = log3 x.log2 = log3

x =2

3

loglog

x ≅ 1,58

S = {1,58}


185

Exemplo 2: 52x-3 = 3

841

25

375

37525

37525

37525

535

35

5

32

3

2

,

loglog

loglog.

loglog

.

=

=

==

=

=

=

x

x

x

x

x

x

x

S = {1,84}

a) 5x = 4

b) 3x = 2

1

c) 54x-3 = 0,5 d) 32x+1 = 2 e) 72-3x = 5 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Calcule:

a) ( ) 122

3 4 =−

+x

x

b) 4

12 3 =−x

c) 22

2

5

5

2−

=

x

d) 9x – 10.3x + 9 = 0 e) 25x – 6.5x + 5 = 0 f) 23x-2 = 32x+1


186

15. BIBLIOGRAFIA Ayres, F. Jr. – Matemática Financeira: resumo da teoria, 500 problemas resolvidos. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1981. Barros, D. M. – Raciocínio Lógico: matemático e quantitativo. São Paulo: Novas conquistas, 2001.

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Apostila de Matemática