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RESISTENCIA DOS MATERIAIS
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____________________________________________________________1/42
Técnico em Mecânica
Presidente da FIEMG
Robson Braga de Andrade
Gestor do SENAI
Petrônio Machado Zica
Diretor Regional do SENAI e
Superintendente de Conhecimento e Tecnologia
Alexandre Magno Leão dos Santos
Gerente de Educação e Tecnologia
Edmar Fernando de Alcântara
Unidade Operacional
Centro de Formação Profissional “Jose Fernando Coura”
São Gonçalo do Rio Abaixo – MG
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Técnico em Mecânica
SumárioAPRESENTAÇÃO
DEFINIÇÃO DE RESISÊNCIA DOS MATERIAIS
HISTÓRICO DE DESENVOLVIMENTO
FORÇA NORMAL N
TRAÇÃO E COMPRESSÃOTENSÃO NORMAL TUNIDADES DE TENSÃO NO SI ( SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS )
LEI DE HOOKDEFORMAÇÃO LONGITUDINALDEFORMAÇÃO TRANSVERSAL
1.CISALHAMENTO....................................................................................................11.1. PINOS, REBITES,PARAFUSOS.........................................................................11.2. FORÇA DE CORTE PARA ABRIR FUROS EMCHAPAS..................................51.3. LIGAÇÕES SOLDADAS...................................................................................101.4. CHAVETAS PLANAS .......................................................................................161.5.EXERCÍCIOS DE REVISÃO..............................................................................22
2.FORÇA CORTANTE - MOMENTO FLETOR........................................................39CONCEITO DE VIGA ..............................................................................................39TIPOS DE CARGAS NAS VIGAS............................................................................39TIPOS DE VIGAS.....................................................................................................39FORÇA CORTANTE ................................................................................................41MOMENTO FLETOR................................................................................................42EXPRESSÕES DE FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR ..........................42DIAGRAMAS DE FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR..............................43
3- TORÇÃO SIMPLES.............................................................................................24MOMENTO TORÇOR OU TORQUE (MT)...............................................................24TORQUE NAS TRANSMISSÕES.............................................................................24ESTUDO CINEMÁTICO, POLIA/CORREIA, SISTEMA REDUTOR.........................25TENSÃO DE CISALHAMENTO NA TORÇÃO ( t )...................................................27DISTORÇÃO (g) E ÂNGULO DE TORÇÃO (q)........................................................28FORÇA TANGENCIAL (FT) .....................................................................................32
4.TABELAS ..............................................................................................................44
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................47
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Técnico em Mecânica
Apresentação“Muda a forma de trabalhar, agir, sentir, pensar na chamada sociedade do
conhecimento“.
Peter Drucker
O ingresso na sociedade da informação exige mudanças profundas em todos os
perfis profissionais, especialmente naqueles diretamente envolvidos na produção,
coleta, disseminação e uso da informação.
O SENAI, maior rede privada de educação profissional do país, sabe disso, e,
consciente do seu papel formativo, educa o trabalhador sob a égide do conceito
da competência: ”formar o profissional com responsabilidade no processo
produtivo, com iniciativa na resolução de problemas, com conhecimentos
técnicos aprofundados, flexibilidade e criatividade, empreendedorismo e
consciência da necessidade de educação continuada”.
Vivemos numa sociedade da informação. O conhecimento, na sua área tecnológica,
amplia-se e se multiplica a cada dia. Uma constante atualização se faz necessária.
Para o SENAI, cuidar do seu acervo bibliográfico, da sua infovia, da conexão de suas
escolas à rede mundial de informações – internet - é tão importante quanto zelar pela
produção de material didático.
Isto porque, nos embates diários, instrutores e alunos, nas diversas oficinas e
laboratórios do SENAI, fazem com que as informações, contidas nos materiais
didáticos, tomem sentido e se concretizem em múltiplos conhecimentos.
O SENAI deseja, por meio dos diversos materiais didáticos, aguçar a sua
curiosidade, responder às suas demandas de informações e construir links entre
os diversos conhecimentos, tão importantes para sua formação continuada!
Gerência de Educação e Tecnologia
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Técnico em Mecânica
Resistência dos Materiais
Introdução
A resistência dos materiais é o ramo da mecânica que estuda as relações entre as
cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas
atuantes no corpo. Este assunto envolve também o cálculo das deformações do
corpo e propicia um estudo de sua estabilidade, quando submetido à forças externas.
No projeto de qualquer estrutura ou máquina, é necessário inicialmente utilizarmos
os princípios da estática para determinarmos tanto as forças atuantes quanto as
forças internas sobre seus vários elementos. As dimensões de um elemento, seus
deslocamentos e sua estabilidade dependem não apenas das cargas internas, mas
também do tipo de material com que o elemento é fabricado.
Consequentemente, serão de vital importância para o desenvolvimento das
equações da mecânica dos materiais o entendimento e a determinação precisa do
comportamento do material.
Desenvolvimento histórico
A origem da resistência dos materiais data do inicio do século XVII, quando Galileu
realizou experimentos para estudar o efeito de forças aplicadas a barras e vigas
fabricadas de vários materiais. Entretanto, para um entendimento apropriado do
fenômeno, foi necessário estabelecer um procedimento experimental preciso das
propriedades mecânicas dos materiais. Estes procedimentos foram bem definidos no
início do século XVIII. Naquele tempo ,tanto estudos experimentais quanto teóricos
sobre o assunto foram realizados inicialmente na França, por estudiosos como Saint-
Venant, Poiston, Lamé e Navier. Tendo sido seus esforços baseados nas aplicações
da mecânica a corpos materiais, eles denominaram este estudo de Resistência dos
Materiais.
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Técnico em Mecânica
Atualmente, este estudo é conhecido como mecânica dos corpos deformáveis, ou
simplesmente, Mecânica dos Materiais.
Ao longo dos anos, depois que muitos problemas fundamentais da resistência dos
materiais foram resolvidos, tornou-se necessário utilizar o cálculo avançado e
técnicas computacionais na solução dos problemas mais complexos. Como
resultado, este assunto expandiu-se para outros temas da mecânica avançada, como
a teoria da elasticidade e a teoria da plasticidade. Muitas pesquisas nestes campos
estão em andamento, não apenas para atender a demanda na solução de problemas
avançados de projetos, mas também para justificar as utilizações e limitações nas
quais a teoria fundamental da resistência dos materiais é baseada.
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Técnico em Mecânica
Força normal (N)
Define-se como força normal ou axial
aquela força que atua
perpendicularmente (ou normal)
sobre a área de uma seção transversal
de uma peça.
Tração e compressão
Podemos afirmar que uma peça está submetida a esforço de tração ou
compressão, quando uma carga normal F atuar sobre a área de seção transversal
da peça, na direção do eixo longitudinal. Quando a carga atuar com o sentido dirigido
para o exterior da peça (puxando), a mesma estará tracionada. Quando o sentido de
carga estiver dirigido para o interior da peça (apertando), a mesma estará
comprimida.
Peça Tracionada Peça Comprimida
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Técnico em Mecânica
Tensão normal TA carga normal F, que atua na peça, origina nesta, uma tensão normal que é
determinada através da relação entre a intensidade da carga aplicada, e a área da
secção transversal da peça.
T = F A
Onde:
T - tensão normal
F - força normal ou axial
A - área da secção transversal da peça
Unidade de Tensão, no SI (Sistema Internacional)
A unidade de tensão no SI é o pascal, que corresponde à carga de 1N atuando sobre
uma superfície de 1m².
Como a unidade pascal é infinitesimal, utiliza-se comfrequência, os seus múltiplos:
GPa (giga pascal) GPa = Pa
MPa (mega pascal) MPa = Pa
KPa (quilo pascal) KPa = Pa
A unidade MPa (mega Pascal, corresponde à aplicação de 10 6 N (um milhão de
Newtons ) na superfície de um metro quadrado (m2). Como m² = 106 mm², conclui-
se que:
MPa, corresponde à carga de 1N atuando sobre a superfície de 1mm2.
1 KGF=10N 1m² = 10² dm²
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Técnico em Mecânica
1Pa=1N/m²(Pascal) cm²
1 KPa = 10³Pa = 10³ N/m² ( Kilo Pascal ) mm²
1 MPa = 106Pa = 106 N/m² ( Mega Pascal )
1 GPa = 109Pa = 109 N/m² ( Giga Pascal )
Lei de HookeAs tensões e as deformações específicas são proporcionais, enquanto não se
ultrapassar o limite elástico. Ao fenômeno da variação linear, Hooke denominou
alongamento, constando que:
Quanto maior a carga normal aplicada, e o comprimento inicial da peça, maior o
alongamento, e que, quanto maior a área da secção transversal e a rigidez do
material, medido através do seu módulo de elasticidade, menor o alongamento,
resultando daí a equação:
∆l = F.L E.AComo T= F podemos escrever a Lei de Hooke:
A E = T ou ∆l = T
ε EOnde:
Δl=alongamento da peça
T= tensão normal
F= carga normal aplicada
A= área da secção transversal
E=módulo de elasticidade do material
l=comprimento inicial da peça
O alongamento será positivo, quando a carga aplicada tracionar a peça, e será
negativo quando a carga aplicada comprimir a peça. É importante observar que a
carga se distribui por toda área da secção transversal da peça.
Δl= l - lf
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Técnico em Mecânica
Onde:
lf = comprimento final da peça
l = comprimento inicial da peça
Δl = alongamento
A lei de Hooke, em toda a sua amplitude, abrange a deformação longitudinal e a
deformação transversal .
Deformação Longitudinal
Consiste na deformação que ocorre em uma unidade de comprimento de uma peça
submetida à ação de carga axial. Pode ser determinada a partir da seguinte relação
matemática:
ε = ∆l l
Onde:
ε = deformação longitudinal.
Δl = alongamento.
l = comprimento inicial.
Diagrama tensão x deformação para materiais frágeis
Ponto O = início do ensaio (carga nula).
Ponto A = limite máximo de resistência (ponto de ruptura do material).
Diagrama tensão x deformação para materiais dúcteis
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Técnico em Mecânica
Ponto O = início do ensaio (carga nula).
Ponto A = limite de proporcionalidade.
Ponto B = limite superior de escoamento.
Ponto C = limite inferior de escoamento.
Ponto D = final do escoamento e início da recuperação do material.
Ponto E = limite máximo de resistência.
Ponto F = limite de ruptura do material.
Módulo de elasticidade E
Definimos como módulo de elasticidade a capacidade que um material possui em
suportar uma deformação relativa. Quando um material recebe excesso de tensão
que ele pode suportar, ocorre um deslocamento irreversível de sua estrutura interna.
Ao cessarmos a tensão, se o valor do módulo de elasticidade não tiver sido
ultrapassado, o material retorna ao seu comprimento original. Seu valor pode ser
obtido pela expressão:
E = T / ε
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Técnico em Mecânica
Onde:
E = módulo de elasticidade.
T = tensão normal.
ε = deformação longitudinal.
Tensão de cisalhamento Tcis
Definimos tensão de cisalhamento como sendo a intensidade média da força por
unidade de área atuante na direção tangente a área de seção transversal de uma
peça. A expressão matemática que define o valor da tensão cisalhante é:
T = F A
Onde:
T = tensão cisalhante.
F = força cortante.
A = área da seção transversal da peça.
Observação:
a) Cisalhamento simples: ocorre quando temos duas juntas sobrepostas e
apenas uma área sujeita ao corte. As espessuras dos componentes são
consideradas finas e o atrito entre as partes pode ser desprezado.
b) Cisalhamento duplo: ocorre quando temos duas ou mais juntas sobrepostas e
mais de uma área sujeita ao corte. A força cortante atua em cada área presente
na conexão dos componentes.
Deformação do Cisalhamento
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Técnico em Mecânica
Supondo-se o caso da secção transversal retangular da figura, observa-se o
seguinte: Ao receber a ação da carga cortante, o ponto C desloca-se para a posição
C’, e o ponto D para a posição D’, gerando o ângulo denominado distorção.
A distorção é medida em radianos (portanto adimensional), através da relação entre
a tensão de cisalhamento atuante e o módulo de elasticidade transversal do material.
Tensão admissível Tadm
É a tensão ideal de trabalho para o material nas circunstâncias de aplicação.
Geralmente esta tensão deve ser mantida na região de deformação elástica do
material. Porém, existem situações em que a tensão admissível deverá estar na
região de deformação plástica do material, visando a redução do peso da estrutura,
como acontece nos aviões, foguetes, etc. Trataremos apenas o primeiro caso, pois
ocorre com maior frequência na prática.
A tensão admissível é determinada através da relação entre tensão de escoamento
(Tesc) , coeficiente de segurança (K) e tensão de ruptura (Trup). Matematicamente,
podemos expressar a tensão admissível pelas seguintes fórmulas:
a) Para materiais dúcteis: Tadm = T esc Ks
b) Para materiais frágeis:
Tadm = T rup Ks
Observação:
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Técnico em Mecânica
a) Material dúctil é aquele que, ao ser submetido a um ensaio de tração,
apresenta deformação plástica (irreversível) precedida por um deformação
elástica (reversível) antes de romper-se.
São exemplos de materiais dúcteis: aço,alumínio, cobre, bronze, latão, níquel.
b) Material frágil é aquele que ao ser submetido a um ensaio de tração, não
apresenta deformação plástica, passando da deformação elástica para o
rompimento.
São exemplos de materiais frágeis: concreto, vidro, cerâmica, gesso, cristal,
acrílico.
Coeficiente de segurança Ks
O coeficiente de segurança é sempre representado por um número maior do que 1,
que pode ser obtido através de uma tabela técnica de engenharia ou fornecido pela
norma de projeto do componente em fabricação. Sua utilização é baseada no
dimensionamento dos elementos de construção, visando assegurar o equilíbrio entre
qualidade e custo. Podemos também determinar o coeficiente de segurança em
função dos três tipos de cargas abaixo:
Carga Estática
A carga é aplicada na peça e permanece constante; como exemplos, podemos citar:
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Técnico em Mecânica
Um parafuso prendendo uma
luminária.
Uma corrente suportando um lustre.
Carga Intermitente
Neste caso, a carga é aplicada
gradativamente na peça, fazendo com
que o seu esforço atinja o máximo,
utilizando para isso um determinado
intervalo de tempo. Ao atingir o ponto
máximo, a carga é retirada
gradativamente no mesmo intervalo
de tempo utilizado para se atingir o
máximo, fazendo com que a tensão
atuante volte a zero.E assim sucessivamente.
Exemplo: o dente de uma engrenagem
Carga Alternada
Neste tipo de solicitação, a carga
aplicada na peça varia de máximo
positivo para o máximo negativo ou
vice-versa, constituindo-se na pior
situação para o material.
Ex.: eixos, molas, amortecedores, etc.
Para determinar o coeficiente de
segurança em função das
circunstâncias apresentadas, deverá
ser utilizada a expressão a seguir:
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Técnico em Mecânica
k = x . y . z . w
- Valores para x (fator do tipo de material)
x = 2 para materiais comuns
x = 1,5 para aços de qualidade e aço liga
- Valores para y (fator do tipo de solicitação)
y = 1 para carga constante
y = 2 para carga intermitente
y = 3 para carga alternada
- Valores para z (fator do tipo de carga)
z = 1 para carga gradual
z = 1,5 para choques leves
z = 2 para choques bruscos
- Valores para w (fator que prevê possíveis falhas de fabricação)
w = 1 a 1,5 para aços
w = 1,5 a 2 para fofo
Para carga estática, normalmente utiliza-se 2 ≤ k ≤ 3 aplicado a Tesc ,para o material
dúctil e ou aplicado a Trup.
Para o caso de cargas intermitentes ou alternadas, o valor de k cresce como nos
mostra a equação para sua obtenção.
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Técnico em Mecânica
Fadiga
Quando um material está sujeito a ciclos repetidos de tensões ou deformações,
podemos esperar uma quebra em sua estrutura, o que conduz a sua fratura. Este
comportamento é denominado fadiga e é usualmente responsável por um grande
percentual de falhas, por exemplo, nas bielas e manivelas de um motor, nas pás de
turbinas a gás ou a vapor, nas conexões ou suportes de pontes, eixos e outras partes
sujeitas a carregamentos cíclicos. Em todos estes casos, a fratura ocorrerá a um
nível de tensão abaixo da tensão de escoamento do material.
Aparentemente esta falha ocorre devido ao fato de que existem regiões
microscópicas, geralmente na superfície do elemento, onde a tensão localizada
torna-se muito maior do que a tensão média atuante ao longo da seção transversal
do elemento. Sendo esta tensão cíclica, ela provoca o aparecimento de micro-trincas.
A ocorrência destas trincas causa um aumento na tensão em seu contorno, fazendo
com que se estendam para o interior do material enquanto a tensão continua a ser
ciclicamente aplicada. Eventualmente, a área de seção transversal do elemento é
reduzida ao ponto de não mais resistir à carga, resultando na fratura súbita do
elemento. Assim, um material reconhecido originalmente como dúctil, comporta-se
como se fosse frágil.
Para especificarmos uma resistência segura para um material metálico sujeito a um
carregamento repetido, é necessário determinarmos um limite abaixo do qual não
seja detectada qualquer evidência de falha após a aplicação do carregamento por
um número definido de ciclos. Esta tensão limite é denominada limite de fadiga.
Utilizando uma máquina de testes específica, uma série de corpos de prova é
submetida a uma tensão específica cíclica até sua falha. Os valores são então
colocados num gráfico, onde o eixo x representa o número de ciclos até a falha e o
eixo y representa as tensões aplicadas ao material.
Os valores típicos do limite de resistência a fadiga para vários materiais empregados
em construções mecânicas são normalmente listados em manuais e em normas
técnicas. Uma vez obtido um valor particular do limite de fadiga, admite-se que,
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Técnico em Mecânica
geralmente para qualquer tensão abaixo deste valor, a vida do material será infinita,
e portanto, o número de ciclos para o material falhar não será levado em
consideração.
Pressão de contato
No dimensionamento de juntas rebitadas, parafusadas, de pinos, chavetas, etc,
torna-se necessário a verificação da pressão de contato entre o elemento e a
parede dos furos nas chapas ou nas juntas. Quando a força cortante V atua na
junta, esta tende a cisalhar a seção de área A-A, conforme a figura abaixo.
Ao mesmo tempo, cria um esforço de compressão entre o elemento (parafuso ou
rebite) e a parede do furo (região AB ou AC). A pressão de contato, que pode
acarretar esmagamento do elemento e da parede do furo, é definida através da
relação entre a carga de compressão atuante e a área de seção longitudinal do
elemento, que é projetada na parede do furo.
Tensão de esmagamento Td
É determinada pela seguinte expressão:
Td = F N.AOnde:
Td = tensão de esmagamento. ____________________________________________________________18/42
Técnico em Mecânica
V = força cortante (tangencial).
N = número de áreas sujeitas ao corte.
A = área projetada.
Observação:
a) Tenha atenção especial ao analisar a área projetada. Seu valor é determinado
conforme o sentido da força cortante.
b) Em geral, a tensão admissível de cisalhamento recomendável está entre 0,6 e
0,8 da tensão admissível normal.
Ligações soldadas
É uma forma de se unir duas ou mais peças de maneira permanente, sendo 2 tipos
mais comuns de juntas.
Juntas de Topo
As chapas são posicionadas uma de frente a outra, separadas por uma pequena
distância entre si (tabelada conforme normas), são também chanfradas.
Este tipo de junta suporta esforços de tração e compressão.
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Técnico em Mecânica
Equações envolvidas
No dimensionamento do comprimento do cordão de solda, trabalha-se com a
tensão admissível:
Onde:
L=comprimento do cordão de solda
F=Força axial aplicada.
Tadm=tensão admissível da solda.
e=espessura da chapa e da solda
Juntas Laterais ou Sobrepostas:
união de chapas posicionadas uma sobre a outra, podendo suportar os esforços de
tração e compressão.
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Técnico em Mecânica
Detalhe do cordão de solda:
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Técnico em Mecânica
Na menor área de cisalhamento, teremos tensão cisalhante máxima.
No cálculo do comprimento do cordão de solda, utiliza-se a tensão admissível, sendo
que deve-se isolar “L” na equação anterior:
L=comprimento do cordão de solda
F=carga ou força de cisalhamento
a=dimensão da solda
Tadm=tensão admissível da solda ao
cisalhamento
ESFORÇOS SOLICITANTES
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Técnico em Mecânica
Os corpos sólidos não são rígidos e indeformáveis. A experiência mostra que,
quando submetidos a forças externas, os corpos se deformam, ou seja, variam de
dimensões. Os esforços internos que tendem a resistir às forças externas são
chamados esforços solicitantes.
Se as forças externas produzirem tensões abaixo do limite de elasticidade do
material do corpo sólido, ao cessarem, este readquire a forma e as dimensões
originais. Esta propriedade chama-se elasticidade e a deformação chama-se, então,
elástica.
Se as forças, porém, passarem de um determinado valor, de modo que, ao
cessarem, o corpo não volta mais à forma primitiva, mantendo-se permanentemente
deformado, diz-se que o corpo foi solicitado além do limite de elasticidade.
Se as forças aumentarem ainda mais, as deformações permanentes aumentam
rapidamente até provocarem ruptura do corpo. A força que provoca ruptura do corpo
serve para medir sua solidez, ou seja, sua resistência à ruptura.
Ao se dimensionar uma peça deve-se não só evitar a sua ruptura, como também
evitar deformações permanentes, ou seja, ao cessar a força externa, as deformações
devem também cessar.
Surge então a necessidade de um estudo mais profundo dos esforços a que estão
submetidos os materiais, com vistas a se obter um dimensionamento seguro e
econômico.
Os esforços solicitantes são classificados em:
Força Normal (N)
Força Normal é a componente da força que age perpendicular à seção transversal.
Se for dirigida para fora do corpo, provocando alongamento no sentido da aplicação
da força, produz esforços de tração. Se for dirigida para dentro do corpo, provocando
encurtamento no sentido de aplicação da força, produz esforços de compressão.
As forças normais são equilibradas por esforços internos resistente e se manifestam
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Técnico em Mecânica
sob a forma de tensões normais (força por unidade de área), representadas pela letra
grega σ (Sigma), que serão de tração ou de compressão segundo a força normal N
seja de tração ou compressão.
Momento de Torção (T)
A componente do binário de forças que tende a girar a seção transversal em torno
de eixo longitudinal é chamado Momento de Torção.
Convenção de sinais
Obtidos os valores de N, V, M e T, podem-se traçar, em escala conveniente, os
diagramas de cada esforço solicitante, também denominados linhas de estado.
Força normal (N)
• tração (+)
• compressão (-)
Força cortante (V)
Força P tendendo girar a barra no sentido horário em relação à seção S: positivo (+)
Força P tendendo girar a barra no sentido anti-horário em relação à seção S:
negativo (-)
Momentos de Torção(T)
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Técnico em Mecânica
Momento de Torção é considerado positivo quando tende a girar a seção transversal
em torno de seu eixo longitudinal no sentido anti-horário e, negativo, quando tende a
gira no sentido horário.
Regras para o traçado dos diagramas de esforços
solicitantes
1. Nos pontos da barra em que a força é paralela ao eixo longitudinal, o diagrama de
esforços normais apresenta um ressalto de mesma intensidade da força.
2. Nos pontos da viga onde há força concentrada perpendicular ao eixo longitudinal,
o diagrama de esforços cortantes apresenta um ressalto de mesma intensidade da
força concentrada.
3. Nos pontos da viga onde atua um momento externo, o diagrama de momento fletor
apresenta um ressalto de mesma intensidade do momento externo.
4. Nos pontos do diagrama onde o esforço cortante é nulo, o diagrama de momento
fletor apresenta um ponto de máximo.
5. Nos pontos da barra onde há força concentrada perpendicular ao eixo longitudinal,
o diagrama de momento fletor apresenta um ponto anguloso.
6. As funções carregamento, esforço cortante e momento fletor, como se verá mais
adiante, estão relacionadas por meio da seguinte equação diferencial de segunda
ordem: . Em outras palavras, a área da figura do diagrama de
força cortante é o valor da do momento fletor.
VIGAS
Vigas são elementos de barras,
submetidas a cargas transversais em
relação a seu eixo e destinadas a
vencer vão. As cargas podem ser
classificadas em relação à área em
que são aplicadas em concentradas e
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Técnico em Mecânica
distribuídas. As cargas concentradas
são aquelas cuja superfície de contato
com o corpo que lhe resiste é
desprezível comparada com a área do
corpo. As cargas distribuídas são
aquelas aplicadas ao longo de um
comprimento ou sobre uma superfície,
podendo ser uniforme ou não uniforme.
Tipos de Cargas nas Vigas
Entre os diversos tipos de carregamento, trabalharemos só com os permanentes,
podendo ser: cargas concentradas (aplicadas em determinados pontos), cargas
distribuídas (uniformes ou variando seguindo uma lei qualquer) e binários (de
determinado momento) que se aplicam em determinados pontos da viga. As
cargas distribuídas são em geral, expressas por unidade de comprimentos do eixo
da viga.
Quando se carrega uma viga, aparecem em geral, esforços internos, constituídos
por tensões normais e de cisalhamento, nos diversos pontos de seu interior. Para
determiná-los é necessário calcular a força e o momento que estão solicitando a
seção considerada, através da aplicação das equações da estática.
Tipos de Vigas:
Vigas Isostáticas
São aquelas vigas que, para se determinar as reações, basta aplicar as equações
da estática, ou seja, uma viga é considerada como isostática, quando o número
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Técnico em Mecânica
de incógnitas (ou reações) for igual ao número de equações da estática.
Viga em Balanço ou Engastada
É apoiada somente em uma das extremidades, de tal forma que, nesse ponto,
não possam girar quer o eixo, quer a seção transversal. Na fig.01, temos um
exemplo clássico deste tipo de viga, onde podemos observar, a extremidade livre
da esquerda podendo se deslocar (linear ou angularmente), mas a da direita é
rigidamente fixada, sendo a mesma perfeitamente engastada. Os esforços
reativos, no engastamento, são constituídos por uma força e um binário situados,
ambos, no próprio plano da estrutura.
Vigas Simples
É articulada nas duas extremidades, sendo que, um dos apoios deverá ser
articulado fixo e o outro articulado móvel. No articulado fixo, a reação é uma força
que passa pelo apoio (não sendo conhecido a direção, o módulo e o sentido); no
articulado móvel, a reação é uma força cuja direção se conhece (perpendicular ao
plano de deslizamento do apoio).
Viga submetida a uma carga concentrada P
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Técnico em Mecânica
Viga submetida a uma carga distribuída P e ao binário de momento M
Vigas Simples com Balanços
É simplesmente apoiada, porém prolongando-se além de um ou de ambos os
apoios, conforme figura a seguir:
Viga em balanço submetida a cargas concentradas
Viga em balanço submetida a uma carga distribuída e concentrada
Vigas Hiperestáticas
São aquelas que, no número de reações excede o das equações fornecidas pela
estática, sendo necessário recorrer a equações que levam em conta as condições
de deformação da viga.
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Técnico em Mecânica
Apoiada e engastada
Engastada em ambas as extremidades
Contínua, com mais de dois apoios, sem articulações
Força Cortante
É a somatória das projeções verticais de todas as forças situadas à esquerda ou à
direita de uma seção transversal “s” de uma viga em equilíbrio.
Convenção de Sinal
A força cortante é positiva quando tende a deslocar, para cima, a parte da viga
que se situa à esquerda da seção considerada (em relação à parte da direita) e
negativa em caso contrário, ou ainda, as situadas à esquerda da seção produzem
força cortante positiva quando dirigidas de baixo para cima e negativa quando
dirigidas de cima para baixo, conforme o esquema abaixo:
Convenção de Sinal
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Técnico em Mecânica
Momento Fletor
É a soma algébrica dos momentos das forças exteriores que estão à esquerda da
seção considerada.
Convenção de Sinal
O Momento Fletor é positivo quando tende a fletir a viga com a concavidade para
cima e negativo quando tende a imprimir-lhe concavidade para baixo (supõe-se
sempre que, a viga seja disposta horizontalmente), ou ainda, as forças dirigidas
de baixo para cima produzem momentos fletores positivos, conforme esquema
abaixo:
Expressões de Força Cortante e Momento Fletor
Frequentemente, aparece a necessidade de determinar o Momento Fletor (Mf) e a
Força Cortante (Q) em todas as seções da viga. Para esse fim, podem-se
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Técnico em Mecânica
localizar as diversas seções da viga, por intermédio de suas abscissas x
(distância ao apoio da esquerda) e exprimem-se Q(x) e Mf(x) em função de x.
Força Cortante (Q)
Obtém-se a Força Cortante em uma determinada seção transversal da peça,
através da resultante das forças cortante atuantes à esquerda da seção
transversal considerada.
Seção – AA Q = RA
Seção – BB Q = RA – P1
Seção – CC Q = RA – P1 – P2
Momento Fletor (Mf)
O Momento Fletor atuante em uma determinada seção transversal da peça, obtêm-
se da resultante dos momentos atuante à esquerda da seção estudada.
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Técnico em Mecânica
Seção – AA Mf = RA . XSeção – BB Mf = RA . X – P1 (X – a)Seção – CC Mf = RA. X – P1 (X – a) – P2 [X – (a + b)]
Diagramas de Força Cortante e Momento Fletor
A representação gráfica da função Q(x) tem nome de diagrama das forças cortantes;
as abscissas representam as diversas seções da viga e as coordenadas os valores
da força cortante correspondente. Da mesma forma se traça o diagrama de
momentos fletores. Esses diagramas permitem, facilmente, determinar a seção em
que eles atingem seus máximos, ou se anulam; tem-se assim, um processo prático
de obter os esforços solicitante ao longo de toda a viga.
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Técnico em Mecânica
Torção Simples
Uma peça sofre torção simples, quando em uma de suas extremidades atua um
torque “Mt”, e na outra extremidade atua um contratorque “M’t”.
Momento Torçor ou Torque (Mt)
É o produto entre a carga “F” e a distância desta carga ao centro da seção
transversal da peça. No caso de eixos, temos:
Mt = 2 . F . lOnde:
Mt = momento torçor
F = carga aplicada
l = distância entre o ponto de aplicação da carga e o núcleo da seção transversal
Quando temos mecanismos acionados por motores, polias, rodas de atrito
ou engrenamentos, a expressão matemática que determina o torque pode ser
assim escrita:
T = P / (2 . π . f) Onde:
T = torque.
P = potência.
f = frequência.
Observações:
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Técnico em Mecânica
a) Para converter rotações por minuto (rpm) em hertz (Hz), basta dividir por 60.
Assim:
f = n / 60 Onde:
f = frequência em hertz.
n = rotações por minuto.
b) Quando a potência não for fornecida em watt (W), veja algumas equivalências
de unidades:
1 hp = 745,7 W
1 cv = 735,5 W
1 hp = 550 ft.Lb/s
1 hp = 6600 in.Lb/s
Torque nas transmissões
Para as transmissões de movimento, o torque é definido por meio do produto
entre a força tangencial (Ft) e o raio (R) da peça.
Onde:
Mt = Torque.
Ft = Força tangencial.
R = Raio da peça.
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Técnico em Mecânica
Estudo Cinemático, Polia/Correia,
Sistema Redutor
= Rendimento (%) Obs.: = ni (letra grega)i = Relação de transmissãon = Rotação= Velocidade angular P = Potência
W = WattHP = Horse PowerCV = Cavalo Vapor
No caso de engrenagens, sistema redutor:
Onde:
dp = Diâmetro Primitivo
Rp = Raio Primitivo
Z = Número de dentes
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Onde:
M = Módulo
Outras Equações Importantes
Onde:
= Velocidade angular (Rad/s)
n = Rotação (rpm)
Onde:
MT = Torque (N. m)
P = Potência (watts)
Onde:
R = Raio (m) Obs.: No caso de engrenagem, usar “RP”.
VT = Velocidade tangencial (m/s)
VP = Velocidade periférica (m/s)
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Técnico em Mecânica
Onde:
FT = Força tangencial
Tensão de Cisalhamento na Torção ( T )
(para eixos cilíndricos maciços)
Onde:
T = Tensão de cisalhamento na torção
MT = Torque
jp = Momento polar de inércia
R = Raio da seção transversal
(para uma seção circular maciça)
Distorção () e Ângulo de Torção ()
O torque atuante no eixo provoca na seção transversal deste, o deslocamento do
ponto A (na periferia) para uma posição A’.
Na longitude do eixo, origina-se uma deformação de cisalhamento denominada
distorção ().
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Onde:
= Distorção
T= Tensão atuante
G = Módulo de elasticidade transversal do material
GPa = Giga pascal
Pa = N/mm²
Então:
Como 1 kgf = 10 N
e 1 m² = mm²
Concluindo:
O deslocamento do ponto A para a posição A’ gera na seção transversal da peça
um ângulo (de torção), que é definido por:
Onde:
= Ângulo de torção
MT = Torque
L = Comprimento do eixo
jp = Momento polar de inércia
G = Módulo de elasticidade transversal
do material
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Técnico em Mecânica
Força Tangencial (FT)
Onde:FT = Força tangencial MT = Torque R = Raio P = Potência VP = Velocidade periférica ou tangencial = Velocidade angular
Obs.: Só usar estas equações com unidades do SI (sistema internacional de
unidades).
Tabelas
Centro de Gravidade de Superfícies Planas
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Técnico em Mecânica
Aços Carbono Para Construção Mecânica
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