Apostila Filtros Felipe Borges

8/19/2019 Apostila Filtros Felipe Borges

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Introdução a Filtragem Digital de Sinais

Felipe Borges Cunha

6 de janeiro de 2009


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Introduç˜ ao a Filtragem Digital de Sinais


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Sumário

1 Introdução ao estudo de sinais e sistemas lineares 1

1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Rúıdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Filtragem e Modelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Tipos e Classificações de Sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Sistemas lineares e o prinćıpio da superposição . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 Tipos de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.2 Modelos de convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.3 Transformada de Laplace, Transformada Z e funções de trans-

ferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Representações de Fourier e análise espectral 192.1 Série de Fourier em tempo cont́ınuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Série de Fourier em tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Transformada de Fourier em tempo cont́ınuo . . . . . . . . . . . . . . 262.4 Transformada de Fourier em tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . 302.5 Análise da resposta em freqüência de sistemas lineares . . . . . . . . 33

3 Teoria da amostragem 433.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2 Amostragem de funções exponenciais periódicas . . . . . . . . . . . . 443.3 Teorema de Nyquist-Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.1 Formulação matemática do processo de amostragem . . . . . . 473.4 Reconstrução de sinais amostrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Filtragem digital de sinais 554.1 Introdução ao processamento digital de sinais . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.1 Sistemas vistos como filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2 Tipos de filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.1 Filtros digitais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3 Critérios de especificação de filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

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iv SUM ́ARIO

4.3.1 Filtros ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3.2 Filtros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3.3 Transformações de freqüência . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.4 Funções de aproximação para protótipos analógicos de filtros . . . . . 704.4.1 Butterworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.4.2 Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.4.3 Chebyshev inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.4.4 Outras funções de aproximação . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.5 Equivalentes discretos de filtros analógicos . . . . . . . . . . . . . . . 814.6 Realização de filtros digitais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83



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Caṕıtulo 1

Introdução ao estudo de sinais e

sistemas lineares

Este caṕıtulo aborda de forma rápida e introdutória alguns conceitos matemáticosbásicos aplicados à teoria de controle e processamento de sinais. O material cobertoaqui abrange apenas os tópicos e idéias que, mais tarde, serão de alguma utilidadeno desenvolvimento do formalismo matemático para a śıntese de filtros digitais eà compreensão dos conceitos relacionados à análise no domı́nio da freqüência. Issoinclui: propriedades básicas de sinais, sistemas dinâmicos lineares, soma e integral

de convolução, autofunções de sistemas lineares, transformada de Laplace, transfor-mada Z, e discretização de equações diferenciais. Para aqueles que já tiveram contatocom as teorias de análise de sinais e sistemas lineares, a leitura deste caṕıtulo não énecessária, mas pode ser muito útil como revisão. Já para aqueles que não tiveramum curso elementar nessa área, este caṕıtulo serve de fundamento para os assuntosabordados no decorrer do curso; serve também como guia para aqueles que desejaremaprofundar a teoria de sistemas dinâmicos lineares.

1.1 Introdução

O projeto de sistemas de controle pode ser dividido em duas etapas principais. Aprimeira etapa consiste na modelagem do sistema que se deseja controlar. A segundaetapa consiste na escolha de uma estratégia de controle e no desenvolvimento esintonia dos respectivos controladores.

A estratégia de controle escolhida pode induzir alterações no projeto do sistemaa ser controlado. No caso de um processo petroqúımico, por exemplo, pode sernecessário incluir válvulas de controle que não estavam inicialmente previstas noprojeto. A escolha da estratégia de controle também determina a necessidade de semedir certas variáveis.

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2 INTRODUÇ ˜ AO AO ESTUDO DE SINAIS E SISTEMAS LINEARES

O que chamamos de sistema de controle é um conjunto de dispositivos projetados

para processar os sinais resultantes das medições das variáveis de processo e gerar,a partir desse processamento, sinais de comando para os elementos finais que vãoatuar de volta no processo com o objetivo de control á-lo. Fecha-se assim a chamadamalha de controle realimentado.

O dispositivos usados para executar o processamento desses sinais , desde amedi̧cão das variáveis de processo até a atuação no próprio processo, são generica-mente chamados instrumentos . Tais instrumentos podem ser implementados a par-tir de diferentes princı́pios f́ısicos, como por exemplo pneumáticos, eletromecânicos,eletrônicos analógicos, hidráulicos e eletrônicos digitais.

Excetuando-se os elementos primários de medição e elementos finais de controle,

como válvulas, motores e atuadores hidráulicos, a grande maioria dos instrumentoshoje em dia são eletrônicos digitais, e quase sempre, microprocessados. Deste modo,toda informação manipulada por tais dispositivos precisam ser primeiro convertidasem sinais elétricos, em geral, tensão ou corrente em faixas padronizadas, sendo,em seguida, convertidos em sinais digitais, que são conjuntos de śımbolos binárioschamados bits representados eletronicamente por ńıveis discretos de tensão. Esteprocesso de digitalizaç˜ ao será visto com maiores detalhes no Caṕıtulo 3.

1.1.1 Rúıdo

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Processo

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Ruido

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Ruido interferindo no processo

Figura 1.1: Variável de processo contaminada como rúıdo.

Seja na forma analógica (tensão ou corrente) seja na forma digital (seqüênciasde bits), os sinais são representações análogas das variáveis do processo, porém



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1.1. Introduç˜ ao 3

contaminadas com rúıdo. Chamamos de rúıdo toda variação de um sinal que não

seja causada pela dinâmica própria do processo. Algumas das principais fonte deruı́do são:

• não idealidades intŕınsecas aos instrumentos de medição

• interferência eletromagnética

• baixa isolação nos condutores de sinal elétrico

• turbulências nos fluidos de processo

• transições de fase nos fluidos de processo

• vibrações mecânicas em máquinas rotativas

ou ainda fontes aleatórias desconhecidas1. Em geral, o rúıdo apresenta uma baixacorrelação com as variações de sinal provocadas pela dinâmica do processo. Issoacontece porque as variações das variáveis de processo e as variações dos ruı́dos sãoprovocadas por fontes excitadoras diferentes na grande maioria da vezes.

Existem numerosas técnicas para se eliminar ou reduzir o rúıdo em sinais. Nestecurso, abordaremos a mais comum de todas elas: a filtragem no domı́nio da freqüência.

Daremos ênfase a técnicas digitais de filtragem, uma vez que estas podem serimplementadas em qualquer dispositivo digital programável de processamento desinais; desde SDCD’s a microcomputadores de uso geral. Muitos instrumentos paraaplicação em controle de processos já dispõem até mesmo de funções especı́ficas paraeste fim.

1.1.2 Filtragem e Modelagem

Conforme foi dito no ińıcio, uma das etapas do desenvolvimento de um sistema decontrole consiste na modelagem do processo que se deseja controlar. Nesta etapa de

modelagem, quase sempre há a necessidade de se estimar parâmetros do modelo apartir de dados reais obtidos por meio de testes práticos na planta. Esses dados, viade regra, estão contaminados com rúıdo, e este rúıdo, principalmente após digital-ização do sinal, pode provocar erros nos algoritmos de estimação de parâmetros. Éconveniente, portanto, realizar a filtragem do rúıdo antes de se efetuar a identificaçãode parâmetros do modelo.

1Defeitos em componentes dos equipamentos também podem provocar rúıdo nas variáveis deprocesso. Porém, não se recomenda o uso de filtros para a eliminação de tais efeitos. A maneiraadequada de eliminar este tipo de rúıdo é efetuar manutenção nos equipamentos.

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Todo processo de identificação de sistemas passa primeiro por um pré-tratamento

dos dados. A filtragem do rúıdo constitui uma das posśıveis etapas neste pré-tratamento. Este curso tem como objetivo principal dar noções básicas de pro-cessamento de sinais no domı́nio da freqüência para que se possa desenvolver filtrosdigitais adequados para o pré-tratamento de dados com vistas a identificação demodelos de processos2.

Este primeiro caṕıtulo revisa conceitos matemáticos básicos para o processa-mento de sinais. O capı́tulo 3 introduz o teorema da amostragem, necessário sempreque se deseja converter sinais analógicos em digitais. O caṕıtulo 4 trata dos con-ceitos básicos da filtragem, aplicáveis tanto no caso analógico como no caso digital,bem como das funções matemáticas que sintetizam filtros reais. Os métodos de

transformação de filtros analógicos em filtros digitais também são discutidos.

1.2 Tipos e Classificações de Sinais

Chamamos de sinal uma funç˜ ao que modela o comportamento de alguma grandezaf́ısica de interesse com respeito a uma ou mais variáveis independentes. Para ospropósitos deste curso, será suficiente definirmos uma única variável independente,que será o tempo, e os sinais serão sempre funções escalares do tempo3. Destaforma, praticamente todos os conceitos matemáticos associados a funções de uma

única variável são aplicáveis a sinais. Os sinais são portanto os modelos matemáticosde grandezas do mundo real.

Alguns critérios de classificação são utilizados para explicitar propriedades úteisao estudo dos sinais.

Critério 1.1. Tempo cont́ınuo X Tempo discreto:

Quando o domı́nio da função que representa um sinal for um conjunto cont́ınuo,como por exemplo o conjunto dos números reais, dizemos que o sinal é um sinal em tempo cont́ınuo. Este é o caso para todos os sinais analógicos. Funções de tempocont́ınuo tem seus valores definidos para todo e qualquer instante de tempo.

Representaremos o tempo cont́ınuo como t e funções em tempo cont́ınuo comof (t). Fica impĺıcito que t ∈ R, ou seja

f : R → R2Para um tratamento abrangente sobre filtros analógicos e suas implementações ver [1] e suas

referências.3Sistemas cujas variáveis são funções de apenas uma variável independente são descritos por

equações diferenciais ordinárias. Estes são chamados de sistemas a parˆ ametros concentrados .Quando há mais de uma variável independente, por exemplo, tempo e espaço, o modelo do sistemaexige que se usem equações diferenciais parciais e o sistema é dito ser de parˆ ametros distribuı́dos



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1.2. Tipos e Classificaç˜ oes de Sinais 5

Quando a variável independente de um sinal é elemento de um conjunto discreto,

como por exemplo o conjunto dos números inteiros, dizemos que se trata de um sinal em tempo discreto. A função que o representa está definida apenas para os instantesdiscretos de tempo definidos pelos elementos do domı́nio discreto em questão. Ex-istem sinais que são naturalmente de tempo discreto, com por exemplo, o valor dacotação de uma ação no fechamento do pregão da bolsa de valores. Este é um indi-cador que só se define no momento do fechamento do pregão. O próximo valor, sóestará disponı́vel, no fechamento do dia seguinte. Porém, os casos que mais nos in-teressam correspondem a sinais de tempo discreto obtidos por amostragem de sinaisem tempo cont́ınuo. Vermos no caṕıtulo 3 que a amostragem é um dos principaispassos para a digitalização de um sinal e que existem crit́erios bem definidos para

a escolha do intervalo de amostragem T . Por hora, consideremos que este intervaloé dado e que desejamos obter a representação em tempo discreto para uma certafunção de tempo cont́ınuo f (t). Neste caso, ao amostrarmos o sinal f (t) segundoum peŕıodo de amostragem de T segundos, teremos as amostras dadas por

f (nT ) = f (t)|t=nT (1.1)

onde n é um número inteiro, que chamaremos de tempo normalizado. Formalmente,seu valor é definido como a razão entre o valor de t e a duração do intervalo deamostragem T sempre que esta razão for um número inteiro.

n = t

T

t

T ∈ Z

Para finalizar o processo de amostragem, tomamos a funç˜ ao amostrada f (nT ) edefinimos a partir dela a funç˜ ao de tempo discreto f [n] segundo a relação

f [n] = f (nT ) (1.2)

Deste modo, convencionaremos que funções em tempo discreto têm seus argumen-tos representados por n e indicados entre colchetes, enquanto que funções de tempo

contı́nuo têm argumentos representados por t entre parênteses4. Vale ressaltar que,apesar de funções em tempo discreto terem sua variável independente no conjuntodos números inteiros, a variável dependente , ou seja, o valor da função, pode variarcontinuamente ao longo de todo o conjunto dos números reais. Representando sim-bolicamente:

f : Z → R

Critério 1.2. Sinais Determińısticos X Sinais Estocásticos:

4Esta convenção não é universal. Alguns autores a adotam, outros não.

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Um sinal determińıstico é aquele cuja função que o descreve assume uma forma

matemática bem definida e que para cada valor da variável independente tal funçãoassocia um valor bem definido da variável dependente.

Um sinal estocástico, ao contrário, só pode ser representado por suas estat́ısticas,tais como média, variância, momentos de ordem superior, distribui̧cões de probabili-dades. A função que o descreve não pode ser matematicamente explicitada. Apenasseus parâmetros estatı́sticos são conhecidos. A maioria dos rúıdos enquadram-senesta categoria.

Critério 1.3. Sinais Pares X Sinais Ímpares:Sinais pares são descritos por funções pares, ou seja, possuem a seguinte pro-

priedade: f (t) = f (−t) (1.3)Sinais ı́mpares, por sua vez, são aqueles descritos por funções ı́mpares, possuindo

a seguinte propriedade:f (t) = −f (−t) (1.4)

Exercı́cio 1.1. Mostre que todo sinal pode ser representado pela soma de duascomponentes. Uma dada por um sinal par e outra dada por um sinal ı́mpar. Esteresultado também é válido para sinais em tempo discreto? Justifique.

Critério 1.4. Sinais Periódicos X Sinais Não Periódicos

Um sinal periódico f (t) é aquele para o qual existe um valor da constante T quesatisfaz a condição

f (t) = f (t + T ) (1.5)

para todo t. O menor valor de T que atende a essa condição é chamado de peŕıodo fundamental . Qualquer múltiplo inteiro do perı́odo fundamental, também é umperı́odo do sinal f (t). O inverso do peŕıodo fundamental é chamado de freqüênciafundamental.

f 0 = 1

T (1.6)

Define-se também a freqüência angular fundamental, dada por

ω0 = 2πf 0 = 2π

T (1.7)

Exercı́cio 1.2. Sendo j a unidade imaginária e sendo ω0 e Ω0 números reais, de-termine sob que condição o sinal em tempo cont́ınuo f (t) = e jω0t é períodico e sobque condição o sinal em tempo discreto f [n] = e jΩ0n é periódico.

Critério 1.5. Sinais de Energia X Sinais de PotênciaDefinimos de forma abstrata os conceitos de energia e potência de um sinal por

analogia com circuitos elétricos. Se um certo sinal f (t) representar uma fonte de



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1.3. Sistemas lineares e o princı́pio da superposiç˜ ao 7

tensão que alimenta um resistor de 1, 0Ω, a potência instantânea dissipada no resistor

vale p(t) = f 2(t) (1.8)

Esta é então a definição de potência instantânea de um sinal5. A energia do sinalentre os instantes de tempo a e b vale então

E ab =

ba

f 2(t)dt (1.9)

A energia total do sinal corresponde então a

E = limT →∞

T 2−T

2

f 2(t)dt (1.10)

E sua potência média corresponde a

P = limT →∞

1

T

T 2

−T 2

f 2(t)dt (1.11)

Quando a energia total de um sinal é finita, ou seja 0 < E < ∞, dizemos tratar-se de um sinal de energia . Para sinais de energia, a potência média P definidaem (1.11) tende a zero. Quando a potência média de um sinal é finita, ou seja

0 < P


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relações que governam a dinâmica do processo, ou seja, a forma com a variação de

uma variável interfere, ao longo do tempo, nas variações das outras variáveis.Modelos para uso em controle de processos são, em geral, modelos dinâmicos.

Os modelos dinâmicos são estruturas matemáticas que relacionam as variáveis deentrada com as variáveis de sáıda de um processo. Variáveis de entrada são todosos sinais cujas causas são externas ao processo e que influenciam na sua operação;geralmente simbolizadas como u(t) ou u[n], conforme trate-se de um modelo emtempo cont́ınuo ou em tempo discreto. Variáveis de sáıda são sinais gerados peloprocesso e podem ser acessados externamente, inclusive influenciando na operaçãode outros processos. Geralmente, os sinais de sáıda são simbolizadas por y(t) ouy[n] para tempo cont́ınuo e discreto respectivamente.

Muitos processos reais são multivariáveis, ou seja, possuem múltiplas entradas emúltiplas sáıdas, também chamados MIMO (Multiple Input Multiple Output ). Demodo geral, cada sáıda pode sofrer influência de todas as entradas. Processos maissimples, com apenas um sinal de entrada e um sinal de sáıda, são chamados mono-variáveis, ou SISO (Single Input Single Output ). Nos concentraremos em sistemasmonovariáveis neste curso.

Figura 1.2: Representação simbólica de um sistema na forma de diagrama de bloco,relacionando a entrada com a sáıda.

A descrição matemática de um modelo dinâmico em tempo cont́ınuo para umprocesso monovariável pode ser expressa na forma de uma equação diferencial dotipo:

F

dny(t)

dtn , . . . ,

dy(t)

dt , y(t),

dmu(t)

dtm , . . . ,

du(t)

dt , u(t)

= 0 (1.12)

Quando se trata de um modelo em tempo discreto a sua descrição matemática podeser dada por uma equação a diferenças com a seguinte forma geral:

F

y[n], y[n − 1], . . . , y[n − N ], u[n], u[n − 1], . . . , u[n − M ] = 0 (1.13)Tanto as equações diferenciais quanto as equações a diferenças expressam as relaçõesdinâmicas entre as variáveis dos modelos, motivo pelo qual tais modelos são chamamosde sistemas dinˆ amicos .

Descrições matemáticas que relacionam diretamente as entradas com as sáıdasdos sistemas são modelos do tipo externo, também chamados de modelos entrada-sáıda . A equação (1.12) é um exemplo deste tipo de modelo. Além das entradas e



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sáıdas, os sistemas possuem também variáveis internas, conhecidas como vari´ aveis de

estado, simbolizadas por x(t), que, de maneira geral, podem não estar dispońıveispara medição. Modelos matemáticos que, além das entradas e sáıdas, descrevemtambém o comportamento das variáveis de estado são chamados modelos internos ,ou modelos em espaço de estados . Modelos em espaço de estados são sempre rep-resentados por um sistema de equações diferenciais de primeira ordem que define aequaç˜ ao de estados 6 e um sistema de equações algébricas que define a equaç˜ ao das sáıdas , conforme a equação (1.15)

ẋ1(t) = F 1(x1, x2, . . . , xn, u1, u2, . . . , u p)ẋ2(t) = F 2(x1, x2, . . . , xn, u1, u2, . . . , u p)...ẋn(t) = F n(x1, x2, . . . , xn, u1, u2, . . . , u p)

y1(t) = G1(x1, x2, . . . , xn, u1, u2, . . . , u p)y2(t) = G2(x1, x2, . . . , xn, u1, u2, . . . , u p)...yq(t) = Gq(x1, x2, . . . , xn, u1, u2, . . . , u p)

(1.14)

A este conjunto de equações, dá-se o nome de modelo em espaço de estados, quecostuma ser simplificado adotando-se a notação vetorial

ẋ(t) = F (x(t), u(t))

y(t) = G(x(t), u(t))(1.15)

O primeiro paradigma no estudo de sistemas dinâmicos são os chamados sis-temas lineares . Dizemos que um sistema é linear se a ele se aplica o prinćıpio dasuperposição. De modo simplificado, o prinćıpio da superposição estabelece que umsistema é linear se, e somente se, a resposta do sistema a uma combinação linear desinais de entrada é também uma combinação linear dos sinais de sáıda, ponderadapelos mesmos coeficientes. Simbolicamente:

u1(t) → y1(t)u2(t) → y2(t)

...uN (t) → yn(t)

⇔N i=1

αiui(t) →N i=1

αiyi(t) (1.16)

Esta propriedade é muito importante e útil na teoria de sistemas. Se conhecermospreviamente as respostas do sistema a um certo conjunto de sinais básicos ui(t),

6O śımbolo ẋ representa a primeira derivada de x em relação ao tempo, e é conhecida comonotação de Newton, enquanto que o śımbolo dx/dt corresponde à notação de Leibniz.

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i = 1, 2, . . . , N , podemos calcular a resposta do sistema a qualquer outra entrada

que possa ser decomposta em uma combinação linear dos N sinais ui(t). Levando emconta que o conjunto de todas as funções constitui um espaço vetorial de dimensãoinfinita, se o conjunto de sinais {ui(t)} formar uma base do espaço de funções,qualquer função poderá ser expressa como combinação linear dos elementos destabase. Essa é uma das idéias que formam o fundamento da teoria de sistema lineares.

Um sistema pode ser também invariante no tempo. Isso significa que um mesmosinal de entrada aplicado ao sistema em instantes diferentes, produzirá o mesmosinal de sáıda deslocado no tempo. Simbolicamente:

u(t)

→y(t)

⇒ u(t

−t0)

→y(t

−t0) (1.17)

1.3.2 Modelos de convolução

Considere um sistema liner e invariante no tempo denotado por H. Definimos afunção h(t) como sendo a resposta do sistema H a uma excitação na forma deimpulso unit´ ario. A função impulso unitário em tempo cont́ınuo é definida por suaspropriedades dadas por

δ (t) = 0, t = 0 (1.18)e ∞

−∞

δ (t)dt = 1 (1.19)

Esta segunda propriedade da função impulso unitário estabelece que a área sobseu gráfico é unitária. Como conseqüência das duas propriedades dadas por (1.18)e (1.19), pode-se mostrar que o valor de δ (t) para t = 0 tende a infinito7.

A área sob o gráfico da função impulso também é chamada de peso ou força doimpulso. Quando multiplicado por uma constante C , o impulso Cδ (t) passa a terpeso C . Outra propriedade importante é a propriedade de amostragem , seleç˜ ao oupeneiramento, a qual afirma que

∞−∞

f (t)δ (t − t0)dt = f (t0). (1.20)

Exercı́cio 1.3. Demonstre a propriedade da função impulso unitário dada por(1.20).

7A função impulso unitário, também conhecida como funç˜ ao “delta” de Dirac , faz parte dafamı́lia das chamadas funç˜ oes singulares . A função δ (t) pode ser modelada por um processo delimite aplicado a pulsos de área unitária de diferentes formas. Sua definição rigorosa depende dateoria das funç˜ oes generalizadas , ou teoria das distribuiç˜ oes . Para uma abordagem mais profundasobre este tema ver [2, 3, 4] e as referências citadas nestes.



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Em tempo discreto a função impulso unitário é definida por

δ [n] =

0, n = 01, n = 0

(1.21)

Figura 1.3: Funções impulso unitário em tempo cont́ınuo e em tempo discreto.

Exercı́cio 1.4. O impulso em tempo discreto também possui a propriedade deamostragem. Obtenha a expressão matemática que define esta propriedade a partirde uma analogia com o caso em tempo cont́ınuo dado por (1.20).

Se um sistema for ao mesmo tempo linear e invariante no tempo, é posśıvelmostrar que sua sáıda pode ser calculada diretamente a partir da entrada pelaexpressão

y(t) = ∞

−∞

h(t − τ )u(τ )dτ (1.22)

que é conhecida como integral de convoluç˜ ao e se denota de forma simplificada comoy(t) = h(t) ∗ u(t) . Se o sistema for em tempo discreto, sua sáıda é dada por

y[n] =∞

k=−∞

h[n − k]u[k] (1.23)

que é a soma de convolução, denotada de forma resumida por y[n] = h[n] ∗ u[n]. Ademonstração destes resultados pode ser encontrada em [5, 6, 7].

Exerćıcio 1.5. Mostre que a convolução é uma operação que possui as propriedadescomutativa, distributiva e associativa.

Exerćıcio 1.6. Mostre que a convolução de uma função f (t) com um impulso deslo-cado de t0 segundos, dado por δ (t − t0), é a função f (t) deslocada dos mesmos t0segundos, dada por f (t − t0).

As funções h(t) e h[n] são, na verdade, modelos dos sistemas, no sentido de quecontém informação sobre a sua dinâmica. De acordo com sua definição, h(t) é a

Felipe Borges Cunha


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resposta do sistema a um impulso unitário que ocorre no instante t = 0. Isso nos

leva a uma importante constatação. Se o impulso ocorre em t = 0 a resposta dosistema ao impulso só deve existir para t ≥ 0. Caso contrário, se o sistema exibissevalores da sáıda não nulos para t


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podemos entender o sistema dinâmico linear

H como um operador linear no espaço

das funções, do mesmo modo como as matrizes quadradas são operadores lineares nosespaços vetoriais. Partindo desta analogia, podemos estender aos sistemas dinâmicoslineares os conceitos de autovalores e autovetores.

Consideremos um sistema linear invariante no tempo representado pelo operadorH{·} excitado pela função

u(t) = est (1.29)

onde s é uma constante independente de t, e calculemos a resposta y(t).

y(t) = H{est} = ∞

−∞

h(t − τ )esτ dτ (1.30)

Efetuando a mudança de variáveis γ = t − τ ficamos com

y(t) =

∞−∞

h(γ )es(t−γ )dγ (1.31)

y(t) = est ∞−∞

h(γ )e−sγ dγ (1.32)

A integral no segundo membro de (1.32), após efetuada a integração e avaliados oslimites, torna-se independente da variável de integração γ , e seu valor dependerá doparâmetro s. O valor da integral é então uma função do parâmetro s. Denotando-a

por H (s), ficamos com:y(t) = est · H (s) (1.33)

Reconhecendo o fator est como a própria função de entrada u(t) dada inicialmente,percebemos que, para um sistema linear, a resposta y(t) a uma entrada u(t) = est éa própria entrada multiplicada por um fator H (s) que independe de t. Ou seja:

y(t) = H (s) · u(t) (1.34)Dito de outra forma, a sáıda é um múltiplo da entrada, e o fator de proporcionali-dade é uma constante H (s). Analogamente ao autovetor de uma matriz, a função

est

é uma autofunção dos sistemas lineares invariantes no tempo. O autovalor cor-respondente é o fator H (s), que de acordo com (1.32) é dado por

H (s) =

∞−∞

h(t)e−stdt (1.35)

que pode ser reconhecida como a transformada bilateral de Laplace de h(t). Se osistema for causal, (1.35) se reduz a transformada unilateral de Laplace

H (s) =

∞0

h(t)e−stdt (1.36)

Felipe Borges Cunha


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Esse fator constante H (s), quando encarado como uma função da variável complexa

s é chamado de funç˜ ao de transferência do sistema.Assim como a função de resposta ao impulso h(t), a função de transferência

H (s) também é um modelo matemático do sistema. Como H (s) é transformadade Laplace de h(t), ambas as representações contém a mesma informação. Dizemosque h(t) é um modelo no domı́nio do tempo e H (s) é um modelo no domı́nio da freq¨ uência complexa , pois o parâmetro s é uma variável complexa com dimensão defreqüência.

Exerćıcio 1.7. Mostre que a função u[n] = z n, em que z é uma constante complexa,é autofunção dos sistemas lineares invariantes no tempo em tempo discreto, ou seja:

u[n] = z n ⇒ y[n] = H (z ) · z n (1.37)onde

H (z ) = Z {u[n]} =∞

n=−∞

h[n] · z −k (1.38)

é a transformada Z de h[n].A função H (z ) dada por 1.38 tem, para sistemas em tempo discreto, o mesmo

significado que H (s) para sistemas em tempo cont́ınuo. Também ela recebe o nomede função de transferência, às vezes chamada de funç˜ ao de transferência pulsada [8].

A transformada Z portanto, é o equivalente em tempo discreto da transformada deLaplace. Do mesmo modo que a transformada de Laplace, a transformada Z estásujeita a questões relacionadas com a convergência do somatório que a define, bemcomo a questões relativas à unicidade da transformada inversa. Não aprofundaremosaqui essas questões. Para uma discussão mais profunda sobre existência e unicidadeda transformada de Laplace e da transformada Z ver [5, 6, 4].

Assim como a transformada de Laplace, a transformada Z tem sua versão uni-lateral para sinais causais.

H (z ) = Z {u[n]} =∞

n=0

h[n] · z −k (1.39)

Exercı́cio 1.8. Mostre que, se U (z ) é a transformada Z de u[n], entãoZ {u[n − k]} = z −k · U (z ) (1.40)

Equações diferenciais, equações a diferenças e função de transferência emZ

Partindo da hipótese da linearidade e invariância no tempo, chegamos aos modelos desistemas em tempo cont́ınuo e em tempo discreto dados pelas respostas aos impulsos



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h(t) e h[n] e pelas funções de transferência H (s) e H (z ) respectivamente. Porém,

na prática, tais funções não estão dispońıveis. O modelo ao qual se tem acesso é, namelhor das hipóteses, uma equação diferencial na forma (1.12). Quando o sistemaé linear e invariante no tempo, esta equação se resume a uma equação diferenciallinear de coeficientes constantes dada por

andny(t)

dtn + . . . + a1

dy(t)

dt + a0y(t) = bm

dmu(t)

dtm + . . . + b1

du(t)

dt + b0u(t) (1.41)

Se além de linear e invariante no tempo, o sistema for causal, teremos que m ≤ n.A equação diferencial (1.41) fornece um modelo impĺıcito do processo, no sentidode que a relação entre a entrada u(t) e a saı́da y(t) é dada de forma indireta pelas

relações entre suas derivadas. Para obtermos a sáıda y(t) para uma dada entrada,precisamos resolver a equação diferencial. O método da convolução já fornece umaforma explı́cita para a sáıda em função da entrada, porém, é necessário conhecer aresposta ao impulso unitário h(t). Para se obter h(t), recaı́mos novamente na neces-sidade de se resolver a equação diferencial (veremos um exemplo disso na Seção 2.5,Exemplo 2.5). Isto sugere que a informação contida em h(t) é a mesma contida naequação diferencial. Para confirmarmos esta afirmação, apliquemos a transformadade laplace à equação (1.41) considerando todas as condições iniciais nulas.

Landny(t)

dtn + . . . + a1

dy(t)

dt + a0y(t) = Lbm

dmu(t)

dtm + . . . + b1

du(t)

dt + b0u(t)

(1.42)

ansnY (s) + . . . + a1sY (s) + a0Y (s) = bms

mU (s) + . . . + b1sU (s) + b0U (s)

(ansn + . . . + a1s + a0) Y (s) = (bms

m + . . . + b1s + b0) U (s)

Y (s) = bms

m + . . . + b1s + b0ansn + . . . + a1s + a0

· U (s) = H (s) · U (s)

H (s) = bmsm + . . . + b1s + b0

ansn + . . . + a1s + a0(1.43)

A equação (1.43) define a mesma função de transferência dada por (1.36) con-siderando condições iniciais nulas. Deste modo, tanto a equação diferencial, quantoa resposta ao impulso, quanto a função de transferência são modelos válidos dosistema e contém as mesmas informações sobre sua dinâmica8.

8Estamos considerando implicitamente que o sistema está inicialmente relaxado, ou seja, suascondições iniciais são nulas. Caso esta condi̧cão não esteja atendida os três modelos não sãonecessariamente equivalentes [7].

Felipe Borges Cunha


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Como vimos, a aplicação da transformada de Laplace à derivada de ordem k da

função y(t) considerando condições iniciais nulas, leva a

L

dky(t)

dtk

= skY (s).

Portanto, podemos dizer que a variável s, representa no domı́nio da freqüência, aoperação de diferenciação.

Analisemos agora o que acontece em tempo discreto. Considere uma equaçãodiferencial de primeira ordem dada por

y(t) =

du(t)

dt (1.44)

representando um sistema cuja sáıda é a derivada da entrada. Pela definição daderivada9

y(t) = du(t)

dt = lim

∆t→0

u(t + ∆t) − u(t)∆t

(1.45)

Vamos agora discretizar10 este sistema a um intervalo de amostragem T . Temosentão que o menor ∆t posśıvel é ∆t = T . Portanto, ficamos com a seguinte aprox-imação da derivada:

y(nT ) =

du(t)

dtt=nT

u(nT + T )

−u(nT )

T (1.46)

Transformando agora para o tempo normalizado n segundo (1.2) teremos

y[n] = 1

T (u[n + 1] − u[n]) (1.47)

Tomando a transformada Z de (1.47) temos

Y (z ) = 1

T

∞

n=0 u[n + 1]z −n − U (z )

Fazendo a mudança de variáveis k = n + 1

Y (z ) = 1

T

∞k=1

u[k]z −(k−1) − U (z )

9Na verdade, esta é a definição da derivada lateral pela direita. Para que a derivada de umafunção exista no ponto t é necessário que as derivadas laterais à esquerda e à direita existam e sejaiguais.

10Detalhes da teoria da amostragem serão vistos no Caṕıtulo 3



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Y (z ) = 1

T

z

∞k=1

u[k]z −k − U (z )

Quando k = 1, n = 0, logo o primeiro termo do somatório é o valor de u[n] paran = 0. Supondo que u[n] é um sinal causal, ou seja, u[n] = 0 para todo n < 0,podemos acrescentar ao somatório o termo nulo u[n] para n = −1 sem alterar oresultado do somatório. Mas para n = −1 temos que k = 0, logo, basta substituir olimite inferior do somatório, que agora fica

Y (z ) = 1

T z

∞

k=0

u[k]z −k

−U (z )

Reconhecendo este somatório como a transformada Z de u[k], temos

Y (z ) = 1

T (zU (z ) − U (z )) (1.48)

Comparando (1.48) com (1.47) podemos perceber que o produto pela variável z no domı́nio da freqüência, corresponde ao avanço de uma unidade no domı́nio dotempo. Percebe-se também que, a aproximação da derivada dada por (1.46) é umsistema não causal, pois em (1.47), o valor de y[n] depende de um valor futurou[n + 1]. Comparando este resultado com a equação (1.40) obtida no Exerćıcio 1.8,

vemos que o produto pela variável z −1 equivale a uma operação de atraso unitáriono tempo discreto.

Exercı́cio 1.9. Obtenha a versão em tempo discreto da equação (1.45) utilizandopara aproximar a derivada a expressão de definição da derivada lateral esquerda.Compare o resultado obtido com a equação (1.48).

Resposta:

y[n] = 1

T (u[n] − u[n − 1]) ←Z −→ Y (z ) = 1

T

U (z ) − z −1U (z ) (1.49)

De modo geral, podemos aproximar qualquer equação diferencial para uma ex-pressão equivalente em tempo discreto usando o procedimento do Exerćıcio 1.9.A equação resultante envolve sempre versões deslocadas no tempo dos sinais y[n]e u[n]. Tais equações são denominadas equaç˜ oes a diferenças e são o equivalenteem tempo discreto das equações diferenciais. O procedimento descrito aqui con-siste na obtenção de uma aproximação numérica da equação diferencial por umaequação a diferenças. Existem formas de se obter a equação a diferenças equiva-lente a uma dada equação diferencial de forma anaĺıtica sem a necessidade de serecorrer a aproximações. O procedimento para isto requer o conhecimento da teo-ria de sistemas lineares em espaço de estados e pode ser encontrado nas referências

Felipe Borges Cunha


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[7, 9, 10]. Outras formas de discretização por aproximação também são posśıveis.

As diferenças residem essencialmente na expressão usada para aproximar em termosdiscretos a operação cont́ınua da derivada. Algumas das abordagens mais usadaspodem ser encontradas em [11]

Não abordaremos aqui as técnicas para resolução de equações a diferenças11.Apenas precisamos conhecê-las para usá-las mais adiante, no Caṕıtulo 4 no desen-volvimento de algoritmos de implementação de filtros digitais. Para tanto, bastaentendermos a relação entre o atraso no domı́nio do tempo e o produto por z −1 nodomı́nio da freqüência dada por (1.40).

Exemplo 1.1. Considere um sistema em tempo cont́ınuo inicialmente relaxado

descrito pela seguinte equação

y(t) = c1 · u(t) + c2 · t−∞

u(τ )dτ (1.50)

onde u(t) é um sinal causal. Obtenha um modelo discretizado deste sistema comperı́odo de amostragem T e encontre sua função de transferência no domı́nio Z .

Como o sistema está inicialmente relaxado, podemos efetuar a derivada daequação (1.50) sem perda de informação. Logo

dy(t)

dt

= c1· du(t)

dt

+ c2·

u(t) (1.51)

Discretizando esta equação pela aproximação da derivada lateral esquerda temos

y[n] − y[n − 1] = (c1 + T c2) · u[n] − c1 · u[n − 1] (1.52)

Note que esta é uma equação a diferenças que expressa o valor de y[n] em funçãode seu valor anterior e da entrada atual e anterior. Em outras palavras, y[n] nãodepende de valores futuros, e portanto, o sistema é causal. Efetuando a transformadaZ em (1.52) teremos

1 − z −1 · Y (z ) = (c1 + T c2) − c1z

−1 · U (z ) (1.53)Y (z )

U (z ) = H (z ) =

(c1 + T c2) − c1z −11 − z −1 (1.54)

A equação (1.50) pode ser identificada como a expressão no domı́nio do tempode um controlador PI, e a eq. (1.54) corresponde a sua função de transferênciadigitalizada.

11Para uma introdução aos métodos de solução de equações a diferenças veja [12]



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Caṕıtulo 2

Representações de Fourier e

análise espectral

Este capı́tulo é um resumo das técnicas de análise de Fourier em tempo cont́ınuoe em tempo discreto. Filtros de sinais, sejam eles anaĺogicos ou digitais, operamno domı́nio da freqüência. O que um filtro efetivamente “filtra”, ou seleciona, sãoas faixas de freqüência em que os sinais possuem energia, separando as faixas deinteresse, correspondentes à dinâmica do processo, daquelas faixas correspondentesàs freqüências de rúıdo. Para compreender adequadamente de que forma os filtros

operam, é necessário, portanto, conhecer os métodos de análise de sinais e sistemasno domı́nio da freqüência. Tais métodos são fundamentados na análise de Fourier.As seções de 2.1 a 2.4 apresentam um resumo do formalismo matemático das técnicasde análise de Fourier. Aqueles que já dominam tais técnicas podem se limitar a fazeruma leitura diagonal e passar à seção 2.5, onde técnicas de Fourier são usadas naanálise da resposta em freqüência de sistemas lineares.

2.1 Série de Fourier em tempo cont́ınuo

Considere novamente a função (1.29). Se desejarmos avaliar as respostas do sis-

tema a entradas senoidais de diferentes freqüências basta fazer com que o númerocomplexo s = σ + j ω seja puramente imaginário impondo s = jω . Chamamoseste procedimento de análise da resposta em freq¨ ûencia em regime permanente . Aequação (1.31) torna-se então

y(t) =

∞−∞

h(τ )e jω(t−τ )dτ (2.1)

Dáı resulta que

y(t) = e jωt ∞−∞

h(τ )e− jωτ dτ (2.2)

19


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20 REPRESENTAÇ ˜ OES DE FOURIER E AN ́ALISE ESPECTRAL

A integral da equação (2.2) corresponde à transformada de Fourier da função h(t) e

podemos representá-la por

H ( jω) =

∞−∞

h(τ )e− jωτ dτ. (2.3)

Deste modo temosy(t) = H ( jω) · e jωt . (2.4)

Sendo assim, exponenciais com argumento puramente imaginário, também são aut-ofunções de sistemas lineares invariantes no tempo1 e o autovalor H ( jω) é a funçãode transferência em regime permanente dada pela transformada de Fourier de h(t).

Funções do tipo e jωt

assumem valores complexos, pois

e jωt = cos(ωt) + jsen(ωt)

onde o parâmetro ω desempenha o papel de freqüência angular. No mundo real ossinais são funções de valor real. Isso significa que, para tratar sinais reais usandoa teoria das autofunções, precisamos sempre nos valer dos pares complexos conju-gados e jω e e− jω . Neste sentido, para exponenciais complexas, existe o conceito defreqüência negativa, uma vez que

e− jωt = cos(

−ωt) + jsen(

−ωt)

Como cosseno é uma função par e seno é uma função ı́mpar, temos

e− jωt = cos(ωt) − jsen(ωt)

Desta forma, as exponenciais com freqüência negativa anulam as partes imagináriasdas exponenciais de freqüência positiva.

Para tirarmos proveito do princı́pio da superposição, devemos procurar formasde representar os sinais de entrada como combinação linear de autofunções. Destemodo, o cálculo da sáıda se resume à mesma combinação linear das autofunçõesponderadas pelos seus respectivos autovalores.

Analisaremos primeiro sinais de entrada representados por funções periódicas detempo cont́ınuo. Já sabemos que funções periódicas atendem a condição (1.5) comperı́odo fundamental T e freqüência fundamental ω0 = 2π/T . Toda função cujafreqüência é kω0, ou seja, um múltiplo inteiro de ω0, também possui perı́odo T =2π/ω0 que atende à equação (1.5). Portanto, qualquer combinação linear de funçõesperiódicas cujas freqüências sejam múltiplos inteiros de ω0 serão também periódicase com peŕıodo T 2. Se tomarmos então uma combinação linear de autofunções na

1Compare com a expressão (1.34).2A demonstração deste resultado é deixada como exercı́cio.



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2.1. Série de Fourier em tempo cont́ınuo 21

forma e jkω0t teremos um sinal periódico de perı́odo T = 2π/ω0. Tal combinação

linear pode ser expressa como

f (t) =k

F [k]e jkω0t (2.5)

onde cada F [k] é o coeficiente da componente de freqüência kω0, também chamadade harmˆ onico de ordem k. Conforme já discutimos, a cada freqüência, associamossua freqüência simétrica para tornar o resultado do somatório em (2.5) um valorreal. Deste modo, o ı́ndice k do somatório tem que variar entre valores simétricos.Como o espaço das funções tem dimensão infinita, os limites do somatório em (2.5)

têm que ser infinitos para que possamos representar o maior número posśıvel defunções periódicas. Logo

f (t) =∞

k=−∞

F [k]e jkω0t (2.6)

A equação (2.6) é conhecida como a expansão em série exponencial de Fourierda função f (t). Para determinar os coeficientes F [k], basta multiplicar a equação(2.6) por e jmω0 e integrar sobre um peŕıodo3. Devido ao fato de que componentesharmônicas de freqüências distintas são funções ortogonais, todos os termos no ladodireito da equação se anularão exceto um. Este único termo que sobra é justamentea componente harmônica de ordem k = m. Resulta então que:

F [k] = 1

T

T

f (t)e− jkω0tdt (2.7)

O sı́mbolo T significa que a integral é avaliada em qualquer intervalo de larguraT .

A equação (2.6) é chamada equaç˜ ao de śıntese da série de Fourier enquanto que(2.7) é chamada equaç˜ ao de an´ alise da série de Fourier. O conjunto dos coeficientesF [k] para cada valor de k pode ser entendido como uma função discreta da variávelk, que é a ordem do harmônico de freqüência ωk = kω0. A variável discreta k pode

então ser interpretada como uma freqüência normalizada, pois k = ωk/ω0. A funçãocomplexa F [k] possui a seguinte propriedade4:

F ∗[k] = F [−k] (2.8)3A convergência da série de Fourier de uma função f (t) se aplica apenas aos pontos onde f (t)

é contı́nua. Nas descontinuidades de f (t), sua série de Fourier converge para a média aritméticados limites laterais da descontinuidade. Além disso, a convergência da série de Fourier tem comocondição suficiente o atendimento às condições de Dirichlet. Maiores detalhes em [3] e [12]

4Esta propriedade só se verifica quando a imagem da função f (t) está contida no conjunto dosnúmeros reais, ou seja, f é uma função real da variável t.

Felipe Borges Cunha


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onde o śımbolo

∗ significa o complexo conjugado. O módulo do complexo F [k] é

conhecido como espectro de magnitude do sinal f (t) enquanto que o ângulo de F [k]é chamado de espectro de fase de f (t).

Exercı́cio 2.1. Demonstre a propriedade (2.8) e mostre que a parte real de F [k] éuma função par e a parte imaginária de F [k] é uma função ı́mpar. Mostre tambémque a magnitude de F [k] é uma função par e a fase de F [k] é uma função ı́mpar.

Exemplo 2.1. Obtenha os espectros de magnitude e fase do sinal peri ódico dadopor

f (t) = A, t0 + nT < t < t0 + τ + nT 0, t0 + τ + nT < t < t0 + (n + 1) T

(2.9)

Em primeiro lugar, devemos reconhecer que este é um sinal periódico. Traçandoo seu gráfico, obtemos a figura 2.1. Este sinal é conhecido como porta peri´ odica .

Figura 2.1: Gráfico da função porta peri´ odica .

Substituindo o valor de f (t) na equação de análise, obtemos

F [k] = 1

T

t0+τ t0

Ae− jkω0tdt (2.10)

que integrando fica

F [k] = A

T ·

1

− jkω0e− j kω0t

t0+τ

t0

e após substituir os limites de integração

F [k] = A

T · 1− jkω0

e− j kω0(t0+τ ) − e− j kω0t0

Desmembrando o τ do expoente da primeira exponencial em 2 · τ /2 e somando esubtraindo τ /2 do expoente da segunda exponencial ficamos com

F [k] = A

T · 1− jkω0

e− jkω0(t0+

τ 2+ τ

2) − e− jkω0(t0+ τ 2− τ 2 )



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2.1. Série de Fourier em tempo cont́ınuo 23

Após alguma manipulação algébrica

F [k] = A

T · 2

kω0

e j kω0

τ 2 − e− j kω0 τ 2

2 j

e− j kω0(t0+

τ 2 )

Reconhecendo a função entre parênteses como a forma de Euler do seno e arrumandoos termos, ficamos com

F [k] = Aτ

T ·

sen

kω0τ 2

kω0

τ 2

· e− jkω0(t0+ τ 2 ) (2.11)

Calculando o módulo desta expressão obtemos

|F [k]| =A τ

T

· sen

kω0 τ 2

kω0τ 2

(2.12)e para a fase temos

/F [k] = −kω0

t0 + τ

2

(2.13)

Trançando os gráficos de magnitude e fase em função de k, temos a figura 2.2.Essas representações gráficas da magnitude e fase da função F [k] são chamadas

de espectros . Essa denominação se justifica se lembrarmos que a variável indepen-dente k pode ser interpretada como uma freqüência normalizada. Cada componenteharmônica de ordem k possui um coeficiente f [k] que representa quanto da potênciatotal do sinal periódico f (t) está presente naquela componente de freqüência kω05.O gráfico da Fig.2.2 deixa claro, para o exemplo estudado, que as componentesde freqüência mais intensas são aquelas próximas da origem, sendo a maior delasquando k = 0, que representa a intensidade da componente constante do sinal. Defato, o sinal representado por (2.9) possui um valor médio positivo, que corresponde justamente à intensidade da componente de freqüência nula e aumenta com a razãoćıclica τ /T .

Ao variarmos o valor de τ , alteramos apenas a razão ćıclica da onda quadrada,mas não variamos o seu peŕıodo fundamental. Conseqüentemente, as distânciasentre as componentes harmônicas kω0 não mudam. Apenas a envoltória do espectro

se modifica. Observe na Fig.2.3 como o pico de magnitude em k = 0 se reduz àmedida que a razão τ /T diminui.

A expressão entre parênteses na equação (2.11) corresponde a uma função impor-tante na teoria de processamento de sinais e recebe um nome especial: seno cardinal ,e é denotada por:

Sinc(x) = sen(πx)

πx (2.14)

5A equivalência entre o cálculo da potência de um sinal no domı́nio do tempo e no domı́nio dafreqüência é garantida pelo teorema de Parseval. Para maiores detalhes, ver [2].

Felipe Borges Cunha


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0

0.05

0.1

0.15

0.2

M a g n i t u d e

−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25−1000

−500

0

500

1000

Ordem da componente harmonica (k)

F a s e

Figura 2.2: Espectros de magnitude e fase da função porta periódica com t0 = 0,T = 1 e τ = 0, 2.

Se a expressarmos normalizando a variável independente por um fator π , tal funçãorecebe o nome de funç˜ ao de amostragem (ou função Sample ) e é expressa como6

Sa(x) = sen(x)

x (2.15)

2.2 Série de Fourier em tempo discreto

Funções periódicas em tempo discreto também podem ser representadas por sériede Fourier. Não demonstraremos aqui a dedução da série, pois o princı́pio funda-

mental é o mesmo que foi usado no tempo cont́ınuo, ou seja, representar funçõesperiódicas com combinação linear das autofunções exponenciais limitando a análisea autofunções com freqüências harmônicas7.

6A diferença na representação do seno cardinal e da função de amostragem é somente o fatorde escala π na variável independente. É preciso ser cauteloso com o uso das notações Sinc(x) eSa(x), pois na literatura encontramos divergências nas suas definições. Nas referências [6] e [2],por exemplo, as definições de Sinc(x) são diferentes. Outros autores se referem a esta funçãocomo funç˜ ao de interpolaç˜ ao, denominação que se tornará clara no Capı́tulo 3. Na dúvida, deve-serecorrer à notação explı́cita sen(x)/x.

7Uma dedução da série de Fourier em tempo discreto pode ser encontrada em [6]



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2.2. Série de Fourier em tempo discreto 25

τ = 0,2 T

τ = 0,1 T

τ = 0,05 T

Figura 2.3: Gráficos de F[k] para t0 = −τ /2 e valores diferentes de τ .

A equação de śıntese da série de Fourier em tempo discreto de uma funçãoperiódica f [n] com perı́odo fundamental N e freqüência fundamental Ω0 = 2π/N é

f [n] =

k=N

F [n]e jkΩ0n. (2.16)

A equação de análise é

F [k] = 1N

n=N

f [n]e− jkΩ0n. (2.17)

Note que, em tempo discreto, tanto o sinal f [n] como seu espectro F [k] são funçõesperiódicas das variáveis discretas n e k. As autofunções que servem de base para aconstrução da série são e jkΩ0n para N valores consecutivos de k.

Exerćıcio 2.2. Diferentemente das funções periódicas em tempo cont́ınuo, as funçõesperiódicas em tempo discreto não necessitam de infinitas componentes harmônicaspara compor sua expansão em série de Fourier (compare a eq.(2.6) com a eq.(2.16)).

Felipe Borges Cunha


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Se uma dada função f [n] é periódica com perı́odo N , então sua expansão em série

de Fourier necessita no máximo de N componentes harmônicas de freqüências. Ex-plique por quê (Sugestão: Determine a condição que a freqüência angular Ω devesatisfazer para que e jΩn seja uma função periódica e use a eq.(3.2)).

2.3 Transformada de Fourier em tempo cont́ınuo

A série de Fourier, conforme vimos até agora, é uma forma de representar sinaisperiódicos como combinação linear de autofunções dos sistemas lineares invariantesno tempo. Estes sinais periódicos são sempre sinais de potência, conforme definido na

seção 1.2. Como em tempo cont́ınuo, o espaço das funções periódicas tem dimensãoinfinita, esta combinação linear pode ter infinitos termos. Porém, cada termo possuiuma freqüência que é um múltiplo inteiro da freqüência fundamental do sinal a serrepresentado.

A questão que se coloca agora é: Podemos representar funções não periódicas,em particular, sinais de energia na forma de combinação linear de autofunções dotipo e jω0t? A resposta é sim.

Inicialmente consideremos a função periódica genérica f p(t) de peŕıodo T mostradano gráfico da Fig.2.4 cujo espectro é dado pela equação de análise da série de Fourier.

F [k] =

1

T

T 2

−T 2

f p(t)e

− jkω0t

dt (2.18)

A função periódica f p(t) é recuperada através da equação de śıntese

f p(t) =∞

k=−∞

F [k]e jkω0t (2.19)

Se fizermos o perı́odo T tender a infinito, no limite, a função f p(t) passa a sernão periódica, e a representaremos então por f (t). Simultaneamente teremos

T → ∞ ⇒

ω0 → dωkω0 → ω

(2.20)

Definindo T · F [k] = F ( jω) e multiplicando a equação de análise or T , teremos nolimite

F ( jω) =

∞−∞

f (t)e− jωtdt (2.21)

Já para a equação de śıntese, multiplicando e dividindo por ω0 = 2π/T teremos

f p(t) =∞

k=−∞

F [k] T

2πe jkω0tω0 (2.22)



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2.3. Transformada de Fourier em tempo cont́ınuo 27

Figura 2.4: Limite de uma função periódica com o peŕıodo tendendo a infinito.

No limite então, o somatório se transforma numa integral, pois a variável discretakω0 se torna uma variável contı́nua ω.

f (t) = 1

2π

∞−∞

F ( jω)e jωtdω (2.23)

As equações (2.21) e (2.23) são respectivamente as equações de análise e śınteseda transformada de Fourier em tempo cont́ınuo. Note que a (2.21) correspondeexatamente à mesma função obtida em (2.3) por outro caminho.

Exemplo 2.2. Calcular a transformada de Fourier do pulso quadrado dado por

f (t) =

1, t0 ≤ t ≤ t0 + τ 0, caso contrário

(2.24)

Utilizando a equação de análise (2.21) temos

F ( jω) =

t0+τ t0

1 · e− jωtdt (2.25)

F ( jω) = − 1 jω

· e− jωtt0+τ

t0

= − 1 jω

· e− jω(t0+τ ) − e jωt0 (2.26)Felipe Borges Cunha


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−30 −20 −10 0 10 20 30

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Frequencia Angularω (rad/s)

F ( j ω )

Figura 2.5: Espectro cont́ınuo da função pulso.

F ( jω) =

1 − e− jωτ

jω

e− jωt0 =

e jω

τ 2 · e− jω τ 2 − e− jω τ 2 · e− jω τ 2

jω

e− jωt0 (2.27)

F ( jω) = τ

e jω

τ 2 − e− jω τ 2

2 j

· 1

ω τ 2

· e− jω(t0+ τ 2 ) (2.28)

F ( jω) = τ sen ω

τ 2

ω τ 2 ·e− jω(t0+

τ 2) (2.29)

F ( jω) = τ · Sa

ωτ

2

· e− jω(t0+ τ 2 ) (2.30)

Note que o espectro F ( jω) é uma função contı́nua da freqüência e que sua magnitudedepende de uma função seno cardinal. O termo exponencial em

t0 +

τ 2

só contribui

com um ângulo de fase.Para facilitar a visualização do espectro, consideremos o caso particular em que

t0 = − τ 2 . A figura 2.5 mostra o espectro do sinal dado por (2.24). Note que à medidaque o valor da freqüência aumenta, a intensidade de F ( jω) tende a diminuir, porémnunca estabiliza no valor nulo, oscilando assintoticamente em torno do zero.

Exemplo 2.3. Transformada de Fourier de sinais periódicos: Seja f (t) umafunção periódica com peŕıodo T . Qual é a sua transformada de Fourier?

Sabemos que a série de Fourier de f (t) é dada por

f (t) =∞

k=−∞

F [k] · e jkω0t

onde ω0 = 2π/T . Se aplicarmos diretamente a equação de análise da transformadade Fourier à função periódica f (t), veremos que a integral não converge. Utilizaremos



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2.3. Transformada de Fourier em tempo cont́ınuo 29

o seguinte artif́ıcio. Considere um impulso em freqüência deslocado em kω0 dado

por δ (ω − kω0). Sua transformada inversa de Fourier é1

2π

∞−∞

δ (ω − kω0) · e jωtdω = 12π

∞−∞

δ (ω − kω0) · e jkω0tdω

= 1

2πe jkω0t

∞−∞

δ (ω − kω0)dω = 12π

e jkω0t

ou seja:

1

2π e jkω0t

←TFTC

−−−−→ δ (ω − kω0) (2.31)onde TFTC significa Transformada de Fourier em Tempo Cont́ınuo.

Deste modo, cada componente de freqüência e jkω0t possui uma transformada deFourier na forma de um impulso na freqüência kω0. Usando a equação (2.31) paracalcular a transformada de Fourier de f (t) teremos

F{f (t)} =∞

k=−∞

F [k] · F e jkω0t

F{f (t)} =∞

k=−∞

2πF [k] · δ (ω − kω0) (2.32)

Desta forma, a transformada de Fourier, apesar de ter sido deduzida partindodo prinćıpio de que a função a ser transformada era não periódica, também podeser aplicada a funções periódicas. A equação (2.32) afirma que a transformadade Fourier de uma função periódica é uma seqüência de impulsos na freqüênciaponderados pelos coeficientes da série de Fourier correspondente e multiplicados por2π.

Exercı́cio 2.3. Calcule a transformada de Fourier dos seguintes sinais:

a) f (t) = cos (ω0t + φ).

b) f (t) = sen (ω0t + φ).

c) f (t) = e−αt, para t ≥ 0.

d) f (t) =∞

n=−∞

δ (t − nT ). Sugestão: use a equação (2.32).

Felipe Borges Cunha


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Exercı́cio 2.4. Mostre que a transformada de Fourier da convolução entre duasfunções é o produto das transformadas de Fourier de cada uma das funções.

f (t) ∗ g(t) ←TFTC −−−−→ F ( jω) · G( jω) (2.33)

Exercı́cio 2.5. Mostre que a transformada de Fourier do produto duas funções é aconvolução das transformadas de Fourier de cada uma das funções.

f (t) · g(t) ←TF −−→ 12π

F ( jω) ∗ G( jω) (2.34)

2.4 Transformada de Fourier em tempo discreto

Usando o mesmo racioćınio que conduziu à dedução da transformada de Fourier emtempo cont́ınuo a partir da série de Fourier em tempo cont́ınuo, podemos estabelecera transformada de Fourier em tempo discreto a partir da série de Fourier em tempodiscreto. Esta nova transformada permite então expressar funções não periódicasem tempo discreto por combinação linear de autofunções dadas por e jΩn, em que Ωé uma variável cont́ınua.

As equações de śıntese e análise da transformada de Fourier em tempo discretosão respectivamente

f [n] = 1

2π

2π

F

e jΩ · e jΩndΩ (2.35)

F

e jΩ

=∞

n=−∞

f [n] · e− jΩn (2.36)

A dedução da transformada de Fourier em tempo discreto a partir da série de Fourierem tempo discreto é deixada como exerćıcio para o leitor.

Note que, apesar do sinal f [n] ser uma função discreta do tempo, seu espectro

F

e jΩ

é uma função cont́ınua da freqüência. Além disso, enquanto f [n] é umafunção não periódica do tempo, seu espectro F

e jΩ

é uma função periódica dafreqüência e seu perı́odo é sempre 2π.

Exemplo 2.4. Considere o pulso exponencial decrescente dado por

f [n] =

αn, n ≥ 00, n


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2.4. Transformada de Fourier em tempo discreto 31

−2 0 2 4 6 8 10Tempo discreto normalizado (n)

f [ n ]

Figura 2.6: Pulso exponencial decrescente em tempo discreto.

Calcule a transformada de Fourier do sinal f [n] e trace os gráficos de magnitudee fase do espectro de f [n].

F

e jΩ

=∞

n=0

αn · e− jΩn =∞n=0

α · e− jΩn

Como o termo exponencial tem sempre magnitude unitária, a convergência do so-matório só depende de α. Como 0 < α


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Observando a Fig.2.7, notamos que os espectros de magnitude e fase são, de

fato, funções periódicas com perı́odo 2π. Esta é uma caracterı́stica dos espectros detodo sinal em tempo discreto; quer seja ele peri ódico ou não no domı́nio do tempo.Esta propriedade dos sinais em tempo discreto leva a uma interpretação interessantesobre o domı́nio da freqüência para tais sinais. A periodicidade pode ser entendidacomo um retorno da função F

e jΩ

ao mesmo ponto; o que leva a uma topologiacircular do espaço das freqüências de sinais em tempo discreto, como pode ser vistona figura 2.8.

Figura 2.8: Topologia circular do espaço das freqüências em tempo discreto.



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2.5. Análise da resposta em freqüência de sistemas lineares 33

2.5 Análise da resposta em freqüência de sistemaslineares

Até agora, vimos que há formas de representar sinais de diversos tipos por meio dediferentes representações de Fourier. Todas elas são combinações lineares de auto-funções de sistemas lineares invariantes no tempo. Todas elas também nos fornecemfunções no domı́nio da freqüência que representam a intensidade de cada compo-nente de freqüência presente no sinal analisado. Nosso objetivo agora é descobrircomo essas representações de Fourier no domı́nio da freqüência podem ser úteis naanálise de sistemas lineares.

Já sabemos que a resposta de um sistema linear em tempo cont́ınuo pode serdada pela integral de convolução

y(t) = h(t) ∗ u(t) = ∞−∞

h(t − τ )u(τ )dτ

onde h(t) é a resposta do sistema a uma excitação na forma de impulso unitárioδ (t). Sabemos também que a convolução é uma operação comutativa, ou seja

y(t) = u(t) ∗ h(t) = ∞−∞

h(τ )u(t − τ )dτ

Expressando u(t − τ ) pela equação se śıntese (2.23) teremosu(t − τ ) = 1

2π

∞−∞

U ( jω)e jω(t−τ )dω

Usando esta expressão de u(t − τ ) na integral de convolução teremos

y(t) = u(t) ∗ h(t) = 12π

∞−∞

h(τ )

∞−∞

U ( jω)e jωte− jωτ dω dτ

Como ω e τ são variáveis independentes entre si, podemos inverter a ordem dasintegrais em ω e τ .

y(t) = u(t) ∗ h(t) = 12π

∞−∞

∞−∞

h(τ )e− jωτ dτ U ( jω)e jωtdω

Reconhecendo a integral interna como a transformada de Fourier de h(t), podemosescrever

h(t) ∗ u(t) = 12π

∞−∞

H ( jω) U ( jω)e jωtdω

O termo do segundo membro é justamente a equação de śıntese aplicada ao produtoH ( jω) · U ( jω). Em outras palavras, H ( jω) · U ( jω) é a transformada de Fourier de

Felipe Borges Cunha


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h(t)

∗u(t). Desta forma, onde antes havia uma integral de convolução entre duas

funções no domı́nio do tempo, agora há um produto entre funções no domı́nio dafreqüência. Usando uma notação mais compacta

h(t) ∗ u(t) ←TFTC −−−−→ H ( jω) · U ( jω). (2.38)A equação (2.38) afirma então que a operação de convolução no tempo se converteem produto na freqüência8.

É importante notar que a função H ( jω) contém em si as mesmas informaçõessobre o modelo do processo que h(t), pois a transformação de uma na outra ébiunı́voca. A função H ( jω) é uma funç˜ ao de transferência do sistema, do mesmomodo que a função H (s) dada pela equação (1.36). A diferença é que H ( jω) nos dá

uma visão mais voltada para a resposta em freqüência do sistema, ou seja, a maneiracomo o sistema processa as diferentes componentes de freqüência da entrada u(t) emregime permanente; enquanto que H (s) direciona a análise para o comportamentotransitório da resposta do sistema diante de variações na sua entrada.

A propriedade dada por (2.38) sugere então um método para determinar a re-sposta de sistemas lineares sem a necessidade do cálculo da integral de convolução.Basta transformar as funções h(t) e u(t) para sua representação no domı́nio dafreqüência, multiplicá-las e então efetuar a transformação inversa através da equaçãode śıntese apropriada. Esta abordagem, contudo é mais do que um método práticopara computar a resposta de um sistema linear. As representações dos sinais no

domı́nio da freqüência podem fornecer uma compreensão adicional sobre a dinâmicado sistema. Considere o exemplo a seguir.

Exemplo 2.5. Considere o circuito dado esquematicamente pela figura 2.9

Figura 2.9: Modelo esquemático do circuito RC.Utilizando a lei das malhas de Kirchhoff, chega-se à seguinte equação diferencial

que modela este circuito

u(t) = R · C · dy(t)dt

+ y(t) (2.39)

8Esta propriedade também é válida no domı́nio da transformada de Laplace. Essa e outras pro-priedades das representações de Fourier podem ser encontradas nas referências [5, 6, 2], bem comouma abordagem completa sobre as representações de Fourier, incluindo tabelas de transformadase suas propriedades.



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Considerando a tensão u(t) da fonte como variável de entrada e a tensão y(t)

sobre o capacitor como variável de sáıda, desejamos calcular a resposta do sistemaa uma excitação permanente do tipo

u(t) = A · cos(ω0 · t), (2.40)

sendo A uma amplitude constante e ω0 uma freqüência constante.Uma das formas de se resolver este problema é tratá-lo de modo particular e

calcular diretamente a solução da equação diferencial que modela o circuito. Estemétodo, porém, só nos dá uma visão limitada do sistema, pois revela apenas seucomportamento para a entrada espećıfica considerada. Uma vez que o sinal da

fonte excitadora é uma função senoidal, podemos utilizar o método da resposta emfreqüência, calculando o produto H ( jω) · U ( jω). Evitamos assim ter que resolver aequação diferencial, além do que, a função H ( jω) sendo conhecida, permite que seinvestigue o comportamento do sistema para qualquer valor possı́vel de ω.

O problema que se coloca então é como obter H ( jω). Sabemos que H ( jω) é atransformada de Fourier da função h(t), que é a resposta do sistema a uma entradaem impulso unitário δ (t). Precisamos agora calcular a sáıda y(t) para uma entradau(t) = δ (t), considerando que o sistema está inicialmente relaxado. O único pontode partida de que dispomos é o modelo do sistema na forma de equação diferencial(2.39). Voltamos então ao problema inicial. A solução da equação diferencial para

uma função de excitação dada. A diferença agora é que o sinal de entrada consid-erado não é uma entrada qualquer, e sim uma função impulso unitário. Conformefoi visto na Seção 1.3.2, o conhecimento da resposta h(t) nos permitirá calcular aresposta do sistema para qualquer sinal de entrada genérico u(t) usando a integralde convolução.

Sabemos que para t < 0 a função impulso é nula. Sabemos também que, porser o modelo de um circuito real, o sistema dado por (2.39) tem que ser causal.Portanto, a sua resposta ao impulso para t < 0 tem que ser nula. Para t = 0 afunção impulso é infinita, porém sua integral é finita. Calculemos então a respostay(t) para t ≤ 0+. Integrando a equação (2.39)

0+

−∞

u(t)dt = 0+

−∞

RC dy(t)

dt + y(t)

dt

Substituindo o valor de u(t)

0+−∞

δ (t)dt = RC

0+−∞

dy(t)

dt

dt +

0+−∞

y(t)dt

1 = RC · y(t)|0+−∞ + 0 ⇒ 1 = RC · (y(0+) − y(−∞)) = RC y(0+)

Felipe Borges Cunha


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Ou seja,

y(0+) = 1RC

Calculemos agora a resposta ao impulso para t > 0. Neste caso, a excitaçãoé nula, conforme a definição da função impulso pela equação (1.18). Portanto, asolução de (2.39) resume-se à solução da equação homogênea

R · C · dy(t)dt

+ y(t) = 0 (2.41)

Temos então que

R · C · dy(t) = −y(t)dtSeparando as variáveis

R · C · dyy

= −dt

Calculando a integral indefinida de ambos os membros dy

y = −

dt

RC

ln(y) = − tRC

+ ln(K )

onde ln(K ) é uma constante de integração arbitrária. Calculando a exponencial deambos os membros temos que

y(t) = K · e− 1RC t

A presença da constante arbitrária K na solução da equação diferencial representaum grau de liberdade para se ajustar a solução à condição inicial, ou seja, o valorde y(0+). Teremos então

y(0+) = K · e− 1RC (0+) ⇒ K = y(0+) = 1RC

Portanto, a resposta y(t) a uma entrada u(t) na forma de impulso unitário é

h(t) = 1

RC · e− 1RC t (2.42)

De posse de h(t), calcularemos agora sua transformada de Fourier H ( jω). Comoh(t) = 0 para todo t


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=

1

RC · 11

RC + jω · e

−( 1RC + jω)t∞0 =

1RC

1RC

+ jω (2.43)

De posse da função de transferência H ( jω), precisamos agora representar o sinalde entrada u(t) no domı́nio da freqüência. Como u(t) é um sinal periódico, suaexpansão em série de Fourier é

cos(ω0t) = 1

2 · e jω0t + 1

2 · e− jω0t (2.44)

Conforme a equação (2.4), as exponenciais do tipo e jωt são autofunções dos sistemaslineares invariantes no tempo. Sendo assim, a entrada u(t) = cos(ω0t), conforme

expressa por (2.44), é uma superposição de autofunções. A resposta do sistema aesta entrada pode então ser calculada usando a equação (2.4) para cada componentede freqüência de u(t). Sendo assim,

y(t) = H ( jω)ω=ω0

· 12 · e jω0t + H ( jω)

ω=−ω0

· 12 · e− jω0t

y(t) =1

RC 1

RC + jω0

· 12 · e jω0t +

1RC

1RC

− jω0· 1

2 · e− jω0t

Note que, para cada uma das componente exponenciais, há um coeficiente invari-ante no tempo, mas que é função da freqüência angular de cada componente do sinalde entrada u(t). As freqüências ω0 e −ω0 são simétricas. Portanto, as componentesexponenciais de freqüência ω0 e −ω0 são complexos conjugados, assim como seusrespectivos coeficientes H ( jω0) e H (− jω0). Expressando esses coeficientes na suaforma polar, temos

y(t) = 1

2 ·

1RC

1RC

2+ ω02

· e jφ · e jω0t + 12 ·

1RC

1RC

2+ ω02

· e− jφ · e− jω0t

onde φ = tg−1(−ω0RC ). Ficamos então com

y(t) =1

RC 1RC

2+ ω02

· 12 · e j(ω0t+φ) + e− j(ω0t+φ)

que é equivalente a

y(t) =1

RC 1RC

2+ ω02

· cos(ω0t + φ) (2.45)

Felipe Borges Cunha


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Neste exemplo, comparando y(t) dado por (2.45) com u(t) dado por (2.40),

podemos perceber que a resposta do circuito da figura 2.9 a uma tensão excitaçãosenoidal consiste exatamente em um sinal senoidal do mesmo tipo com amplitude e fase modificadas . As alterações de amplitude e fase que o sistema provoca naentrada u(t) para gerar a sáıda y(t) são dependentes das caracteŕısticas do circuitoe da freqüência do sinal de entrada u(t). Isto é evidenciado pela expressão de H ( jω)dada pela equação (2.43). Por isso, damos a esta técnica o nome de an´ alise da resposta em freq¨ ûencia . A maneira como o sistema altera amplitude e fase do sinalde entrada é dada diretamente pela sua função de transfer̂encia. A amplitude dosinal de entrada é multiplicada pela magnitude da função de transferência calculadaem ω = ω0, enquanto que a fase do sinal de entrada é somada com o ângulo de fase

da função de transferência, também para ω = ω0.À luz deste exemplo, podemos perceber que qualquer sinal que possa ser ex-

presso como superposição de autofunções, será processado pelos sistemas linearesdesta mesma forma: ganho de amplitude e deslocamento de fase . Por este motivo,é conveniente interpretarmos os sistemas lineares como dispositivos que alteram ascaracteŕısticas do sinal de entrada em função das freqüências de suas componentesexponenciais periódicas do tipo e jωt. Dáı vem o conceito de filtro de sinais. Umsistema linear pode ser projetado para atenuar as componentes de freqüências inde-sejadas. Se, por exemplo, um sinal de freqüência baixa está contaminado com rúıdode freqüências altas, um filtro corretamente projetado pode ser capaz de eliminar,

ou atenuar, essa interferência indesejada.Vejamos o caso do exemplo 2.5. Consideremos que R = 16, 0kΩ e C = 1, 0µF .A função de transferência H ( jω) fica

H ( jω) = 62, 5

62, 5 + jω

Suponha que a tensão de entrada represente a medição de uma variável de processocontaminada com rúıdo de 60Hz proveniente da alimentação elétrica dos instru-mentos. O circuito da figura 2.9 funcionará como filtro analógico, atenuando acomponente do rúıdo e permitindo a passagem das variações de processo, que nestecaso, são mais lentas que as do rúıdo, como pode ser visto no gráfico da figura 2.10.

Note como a variável de processo tem um comportamento dinâmico sub-amortecido.A freqüência desta variação é de 5Hz enquanto que o rúıdo é de 60Hz. Logicamente,as componentes do sinal referentes à variação própria do processo não é imune aosefeitos do uso do filtro. Estas também são alteradas pela função de transferênciado filtro. A melhor maneira de avaliar essa influência é representá-la graficamenteem função da freqüência. Traçamos então os chamados gráficos de resposta emfreqüência. Como a função de transferência é uma função complexa de variável real,sua representação gráfica teria que levar em conta parte real e parte imagin ária. Aoinvés disso, preferimos representar graficamente sua forma polar, pois já vimos que



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−0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

1

2

Sinal com ruido

−0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

1

2

Sinal filtrado

Figura 2.10: Resultado da filtragem de um sinal por um circuito RC dimensionadopara atenuar rúıdo de 60Hz.

a magnitude e o ângulo de fase tem um significado f́ısico de crucial importância nofuncionamento do filtro. A magnitude da função H ( jω) é então

|H ( jω)| =1

RC 1RC

2+ ω2

(2.46)

e o ângulo de fase é/H ( jω) = tg−1(ωRC ) (2.47)

A figura 2.11 traz os gráficos de magnitude e fase em função da freqüência angularω. Note os valores de magnitude e fase para a freqüência ωr do rúıdo e para afreqüência natural amortecida ωd da variação do processo.

O resultado que vimos no Exerćıcio 2.1 pode ser estendido para todos os quatrotipos de representações de Fourier. Portanto, os gráficos de resposta em freqüênciaH ( jω) também apresentam simetria par para o espectro de magnitude e sime-tria ı́mpar para o espectro de fase, como pode ser visto na figura 2.11. Por issocostuma-se representar graficamente apenas a metade direita do gráfico, correspon-dente às freqüências positivas. Além disso, para visualizarmos no gráfico uma faixade freqüências mais extensa, costuma-se usar escala logaŕıtmica para o eixo hori-zontal. No caso do gráfico de magnitude, como a mesma representa um ganho de

Felipe Borges Cunha

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Apostila Filtros Felipe Borges