UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMTICA
DEPARTAMENTO DE ESTATSTICA NOTAS DE AULA MAT236 MTODOS ESTATSTICOS
1 UNIDADE Elaborada pelos professores:Giovana Silva, Lia
Moraes,Rosana Castro e Rosemeire Fiaccone Revisada em
2011.1Monitora: Tatiana Felix da Matta Revisada em 2012.1 Gecynalda
e Silvia Regina 1 1.INTRODUO 1.1. O que estatstica e suas divises
Para muitos a Estatstica no passa de conjuntosde tabelas de dados
numricos. Mas ser que a estatstica s isso?A Estatstica originou-se
com a coleta e construo de tabelas de dados para o governo. A
situao evoluiu e esta coleta de dados representa somente um dos
aspectos da Estatstica. Hoje em dia podemos adotar a seguinte
definio para a
Estatstica:AEstatsticaconstitui-senumconjuntodetcnicasemtodoscientficosquetratamda
coleta,anliseeinterpretaodeinformaesnumricas,cujoobjetivoprincipal
auxiliar na tomada de decises ou tirar concluses em situaes de
incerteza, a partir de informaes numricas. A Teoria Estatstica
moderna se divide em dois grandes campos:
EstatsticaDescritiva-consistenumconjuntodemtodosqueensinamareduziruma
quantidadededadosbastantenumerosaporumnmeropequenodemedidas,substitutase
representantes daquela massa de dados.
EstatsticaIndutivaouInfernciaEstatstica-consisteeminferir(deduziroutirar
concluses a respeito das) propriedades de um universo a partir de
uma amostra. O processo de
generalizao,quecaractersticodomtodoindutivo,estassociadoaumamargemde
incerteza. A medida da incerteza tratada mediante tcnicas e mtodos
que se fundamentam na Teoria das Probabilidades.
AEstatsticaDescritivaabrangemtodosgrficosenumricos,utilizadospararesumir
dados de maneira que caractersticas importantes da amostra possam
ser expostas.A disponibilidade de uma grande quantidade de dados e
de mtodos computacionais muito eficientes revigorou a rea da
Estatstica denominada Estatstica Descritiva. Na maioria das vezes
no podemos investigar o fenmeno que estamos interessados em estudar
em todos os elementos da populao por ser o custo muito alto, por
necessitar de muito
tempoparaolevantamentodosdados.Pararesolveroproblemadevemostrabalharcomum
subconjunto da populao, chamado de AMOSTRA.
Seselecionarmososelementosdaamostradeacordocomcritriosestatsticos,
podemos conhecer as informaes relativas populao atravs da amostra.
2 A inferncia estatstica procuracom base nos dados amostrais tirar
concluses sobrea populao. Considere o exemplo abaixo para ilustrar
as definies dadas. Exemplo: (Notas de Aula da Disciplina MAT116 -
USP) Numa pesquisa eleitoral um Instituto
dePesquisaprocuracombasenosresultadosde
umlevantamentoaplicadoaumaamostrada populao prever o resultado da
eleio. Considere o candidato A: a) Denomine por p a proporo de
pessoas que votaro em A na eleio. b)Denomineporp
aproporodepessoasnolevantamentodeopinio(amostra)que expressam
inteno de voto em A.Podemos usar o valor deppara estimar a proporo
p da populao. O esquema a seguir resume as etapas de um trabalho
estatstico: 1.2. Por que precisamos aprender Estatstica?
Quasetodaatividadeeexperinciahumanaenvolvemcoletaeanlisedealgumtipode
informao(dados).Nacoletadedadosrelativosaocomportamentoououtrascaractersticas
deumgrupodeindivduos,amostrasaleatriasdeumprocessoouresultadosderepetitivas
medies, sempre envolvem
variao.Mtodosestatsticosrepresentamasferramentasbsicasparacompreenderasvariaes,
porque a anlise estatstica a nica base para tentar entender
variabilidade.Osmtodosestatsticossoconscienteouinconscientementeusadosemvriassituaes,
especialmentenaapresentaodeinformaesoriundasdedadosnumricos.Diversasvezes,
apresentaessobaseadas,principalmente,emalgumtipodetcnicautilizandoteorias
Tcnicas de Amostragem Populao Amostra Anlise Descritiva Concluses
sobre as caractersticas da populao Inferncia Estatstica
Informaescontidas nos dados 3
matemticas;pormduranteapreparaoeapresentaodosdados,mtodosestatsticosso
utilizadosparadefiniratcnicadecoletadedadosechegaraumaconclusoatravsdas
informaes coletadas. Os mtodos estatsticos tm aplicaes em:
Indstrias:coletadedadosnalinhadeproduo,paramanterecontrolaroprocesso
produtivo,oqueasseguraonveldeproduoeospadresdequalidade;otimizaodo
processoprodutivo;detecodasvariveisquerealmenteinfluenciamoprocesso,
viabilizando-seasexperinciasquepossamlevaraalteraesefetivasnesseprocesso;
planejamento deexperimentos viveis, com vistas economia de
observaese, portanto, de custo; planejamento de mtodos de coleta e
anlise de dados para a explorao
mineral;Instituiespblicas:planejamentodacoleta,doarmazenamentoedoprocessamentode
informaes;processamentodedadoscomoobjetivodesintetizaredivulgarresultados;
montagemdetecnologiaadequadadegeraodeindicadoreseconmicos;previsode
safras, projeo de demandas;Hospitais e instituies de pesquisa
mdica: prestao de assessoria estatstica no exame da
validadedetestesclnicos;noestabelecimentodepadresdereferncia;nadeterminao
defatoresderiscodedoenas;nacomparaoderesultadosdediversostratamentos
clnicos e no planejamento de experimentos clnicos controlados, de
estudos de casos e de estudos
prospectivos;Empresasdepesquisadeopinioemercado:prestaodeassessoriaestatsticano
levantamentodeaudinciasdeprogramasdeteleviso,dapopularidadedecandidatosa
cargospolticos;naavaliaodaaceitaodenovosprodutos;narealizaodepesquisas
para determinao do perfil do consumidor e noplanejamento eexecuo e
pesquisa para determinao das caractersticas scio-econmicas dos
habitantes da
regio;Bancosecompanhiasdeseguro:elaboraodeprevisesaseremutilizadascomo
instrumentogerencial;trabalhoemassociaocomaaturianosclculosdas
probabilidadesdemorte,doena,roubodecarro,etc.;otimizaodeprocedimentosde
atendimento ao pblicoCentros de pesquisa: prestao de assessoria
estatstica em todas as fases de um projeto de pesquisa que envolva
coleta, tratamento e anlise de dados. Os empregados de uma empresa
devem tornar-se mais familiarizados com estatstica. Eles
devementendereconhecerastcnicasestatsticasdisponveis,eadaptaodedadosde
experimentosparaaanliseestatstica.UmprofissionaltreinadoemEstatsticatermaior
4
facilidadeemidentificarumproblemaemsuareadeatuao,determinarostiposdedados
queirocontribuirparaasuaanlise,coletarestesdadoseaseguirestabelecerconclusese
determinarumplanodeaoparaasoluodoproblemadetectado.Qualquerumquederive
informaes a partir de dados est agindo como um estatstico.
2.PROBABILIDADE 2.1. Breve histrico.
Dizsegeralmentequeateoriadaprobabilidadeoriginou-secomBlaisePascal(1623-1662)ePierredeFermat(1601-1665),devidocuriosidadedeumcavalheiroChevalierde
Mer,jogadorapaixonado,queemcartasdiscutiucomPascalproblemasrelativos
probabilidadedeganharemjogosdecartas.DespertadopeloassuntoPascaldiscutiucom
Fermatsobreoquehojechamaramosdeprobabilidadesfinitas.Masemverdadeateoria
elementar das probabilidades j tinha sido objeto de ateno bem
antes, uma vez que os jogos de azar sempre exerceram fascnio sobre
os homens. A primeira obra conhecida em que se estudam as
probabilidades o livro De Ludo Aleae
(Sobreosjogosdeazar)deGirolamoCardano(1501-1576),publicadoem1663.Tambm
Galileu(1564-1642)preocupou-secomasprobabilidades,estudandoosjogosdedadospara
responder a pergunta de um amigo.
Ateoriadasprobabilidadespassouadesenvolver-sedemaneiramaisorganizadaapartir
do sculo XVII e importantes contribuies de ilustres matemticos
devem ser registradas. No
famosolivro,ArsCnjectandideJaimeBernoulli(1654-1705)encontramosumteoremade
importnciadecisivaparaateoriadasprobabilidades,conhecidocomaLeidosGrandes
Nmeros,nomequelhefoidadopelomatemticofrancsSimonPoisson(1781-1840).
Poderamoscitarmuitosoutroscomimportantescontribuies,mascertamenteomatemtico
quemaiscontribuiuparaateoriadasprobabilidadesfoiLaplace(1749-1827).Seusinmeros
trabalhossobreasprobabilidadesforamincorporadosemseumonumentalTratadoAnaltico
das Probabilidades. Atualmente as teorias das probabilidades tm
extrema importncia nas mais diversas reas
desdeaengenharia,medicina,epidemiologia,demografia,economia,administrao,
meteorologia,fotografiasdesatlites,marketing,prediodedesastresnaturais,cincias
sociais entre outras.Alm das muitas aplicaes formais, oconceitode
probabilidade est no nosso dia a dia. Sempre ouvimos e falamos
frases como: Provavelmente vai chover amanh, provvel que 5 o avio
se atrase, H boas chances de que eu possa comparecer. Cada uma
desta expresses est baseada no conceito de probabilidade de que
certo evento ocorra. 2.2. Conceitos bsicos
Fenmenosouexperimentosaleatrios(E):Soaquelesemqueoprocessode
experimentao est sujeito a incertezas, logo, no possvel controlar
todas as circunstncias relevantes e, portanto, no possvel prever
com exatido os resultados individuais. Caractersticas de um
experimento aleatrio: a)Poder ser repetido um grande nmero de vezes
sob as mesmas condies;
b)Nopodemosafirmarqueumresultadoparticularocorrer,porm,podemosdescrevero
conjunto de todos os resultados possveis do experimento - as
possibilidades de resultado;
c)Quandooexperimentorepetidoumgrandenmerodevezes,surgirumaregularidade
nos resultados. Esta regularidade, chamada de regularidade
estatstica, que torna possvel construir um modelo matemtico preciso
com o qual se analisar o experimento.
ATeoriadaProbabilidadeutilizadaparadescrevermatematicamenteexperimentoscujos
resultadosnopodemsercompletamentepr-determinados,ouseja,visadefinirummodelo
matemtico que seja adequado descrio e interpretao de fenmenos
aleatrios. Exemplo 1: Considere o experimento aleatrio de jogar uma
moeda umanica vez. Antes da moeda ser jogada no se sabe o
resultado. Conhecem-se apenas os possveis resultados: cara ou
coroa.Admitindo-sequeamoedahonesta,cadaresultadotemamesmachancedeocorrer.
Nesteexemplo,modelospodemserestabelecidosparaquantificarasincertezasdasdiversas
ocorrncias. Fazendo-se algumas suposies adequadas, possvel escrever
distribuies de probabilidades
(modelosprobabilsticos)querepresentemmuitobemasdistribuiesdefreqncias,ques
so obtidas quando o fenmeno observado. Modelo probabilstico
definido por: a)Um espao amostral (); b)Uma probabilidade, P( ),
para cada ponto amostral. 6 Espao amostral ( ): conjunto de todos
os resultados possveis de um experimento aleatrio. Exemplos de
experimentos aleatrios e seus respectivos espaos amostrais: E1:
Jogar uma moeda e observar a face superior. 1 = { Cara, Coroa } E2:
Jogar um dado e observar a face superior. 2 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
E3: Determinar o tempo de vida til de uma lmpada. 3 = { t / t 0 }
Espaos amostrais podem ser finitos ou infinitos.
Evento:Qualquersubconjuntodeumespaoamostral.Representadopelasletraslatinas
maisculas A, B, C,... Exemplo 2: No lanamento de um dado
consideremos o evento ocorrer um nmero par. A: ocorrer um nmero
par, em que = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.A = {2, 4, 6} Exemplo 3:Vai chover
no litoral baiano no fim de semana? = {chove, no chove} Em geral,
temos interesse em eventos particulares do experimento. O evento A
pode representar a ocorrncia de chuva A = {chove} Os conjuntos e
tambm so eventos: o evento certo o evento impossvel Exerccio:
Descreva o espao amostral para cada um dos seguintes experimentos a
seguir: a)Numa linha de produo conta-se o nmero de peas defeituosas
num perodo de 1 hora; Resp.:
={0,1,2,...,N}emqueNonmeromximodepeasquepodemserproduzidasno perodo
de 1 hora. b)Mede-se a durao de lmpadas, deixando-as acesas at que
queimem; 7 Resp.: ={t / 0 t t0 } em que t0 o tempo mximo de durao
da lmpada acesa, at que ela se queime ou ={t / t 0 }. c)Lanar uma
moeda trs vezes, sucessivamente, e anotar a seqncia de caras e
coroas; Resp.: ={ (ca, ca, ca); (ca, ca, co); (ca, co, ca); (co,
ca, ca); (ca, co, co); (co, ca, co); (co, co, ca); (co, co, co)}.
d)Escolher ao acaso um ponto do crculo de raio um centrado na
origem. Resp.: ={( )2, y x ;12 2 + y x }. 2.3. Operaes com eventos
Aorealizarumexperimentoaleatriodiz-sequeoeventoAocorreuseoresultado
observado for um elemento do subconjunto A. Dados dois eventos A e
B de um mesmo espao amostral: AB o evento em que A e B ocorrem
simultaneamente;AB o evento em que A ocorre ou B ocorre (ou ambos
ocorrem); AcA ou o evento em que A no ocorre. Exemplo 4: E:
Lanamento de um dado = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento B: representa sair
face par => B = {2, 4, 6} Evento C: representa sair uma face
mpar => C = {1, 3, 5} Evento D: representa sair uma face maior
que 3 => D = {4, 5, 6} Evento E: representa sair face 1 => E
= {1} Evento B D: representa sair uma face par e maior que 3 =>
{2, 4, 6} {4, 5, 6} = {4, 6} Evento B C: representa sair uma face
par e mpar => {2, 4, 6} {1, 3, 5} = Evento B D: representa sair
uma face par ou maior que 3 => {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {2, 4, 5,
6} Evento B C: representa sair uma face par ou mpar => {2, 4, 6}
{1, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.O Evento Bc = Ceo Evento Cc =
BSedoiseventosquaisquertmintersecovazia,isto,elesnopodemocorrer
simultaneamente, dizemos que eles so mutuamente exclusivos ou
disjuntos. No exemplo 4, os eventos B e C so mutuamente exclusivos
ou disjuntos, visto que B C = . 8 2.4. Como atribuir probabilidade
a um evento?
Calcularumaprobabilidademediraincertezaouassociarumgraudeconfianaaos
resultados possveis de um experimento. Por exemplo, ao escolher, ao
acaso, uma carta de um baralho comum (bem embaralhado), o que mais
provvel, sair uma figura ( K, Q, J ) ou sair o dois de copas?As
probabilidades associam aos eventos um valor no intervalo [0,1].
Quanto maior o valor associado ao evento, maior a certeza de sua
possibilidade de
ocorrncia.Sejaumespaoamostral.UmafunoPdefinidaparatodosossubconjuntosde
(chamados eventos) chamada de probabilidade se: 1)0 P(A) 1, para
todo evento A 2)P() = 1 3)Se A1, A2,..., An forem, dois a dois,
eventos mutuamente exclusivos, isto , (Ai Aj) = para todo i j, ento
( ) ) ( ... ) ( ) ( 2 11nnii A P A P A P A P + + + ==U = =nii A P1)
( Existem vrias maneiras de atribuir probabilidade a um evento do
espao amostral. Vamos estudar duas formas. Uma das formas baseada
em espaos amostrais
finitos.Umespaoamostralequiprovvelquandotodososelementostmamesma
probabilidade de ocorrer, isto , todos os seus elementos so
igualmente provveis. Definio: Seja A um evento associado ao espao
amostral finito , no qual todos os resultados so igualmente
possveis (ou equiprovveis). Vamos definir a probabilidade do evento
A, P(A) como o quociente entre o nmero de elementos em A e o nmero
de elementos em : =##) (AA P , isto , a razo entre os casos
favorveis ao evento e o total de casos possveis. Limitaes:
Dificuldade em enumerar #A e # em alguns casos; infinito; 9
Modeloadequadoapenasparaaclassedefenmenoscujoespaoamostral
equiprovvel. Exemplo 5: Qual a probabilidade de obter um nmero par
no lanamento de um dado? = {1,2,3,4,5,6} A = nmero par = {2, 4, 6}
P(A) = 63
Para calcular probabilidade utilizando a definio clssica, em
geral utilizam-se os mtodos de enumerao: Combinaes, arranjos e
permutaes. Resumo de algumas tcnicas sistemticas de enumerao 1
Princpios bsicos da multiplicao
Dadosdoiseventos,oprimeirodosquaispodeocorrerdemmaneirasdistintaseo
segundopodeocorrerdenmaneirasdistintas,entoosdoiseventosconjuntamentepodem
ocorrer de m.n maneiras distintas.
Exemplo6:Umabandeiraformadapor7listrasquedevemsercoloridasusandoapenasas
cores verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e
no se pode usar cores iguais em listras adjacentes, de quantos
modos se pode colorir a bandeira? Soluo: Colorir a bandeira
equivale a escolher a cor de cada listra. H 3 modos de escolher a
cor da primeira listra e, a partir da, 2 modos de escolher a cor de
cada uma das outras 6 listras. A resposta 3x26 = 192. 2
PermutaesUma coleo de n objetos diferentes pode ser ordenada de n!
maneiras distintas. Portanto, o nmero de permutaes de n objetos
diferentes dado por Pn=n! (Essa regra de permutao, traduz o fato de
que o primeiro objeto pode ser escolhido de n maneiras diferentes,
o segundo objeto pode ser escolhido de n-1 maneiras distintas, e
assim por diante). Exemplo 7: De quantos modos podemos arrumar em
fila 5 livros diferentes de Matemtica, 3
livrosdiferentesdeEstatsticae2livrosdiferentesdeFsica,demodoquelivrosdeuma
mesma matria permaneam juntos? 10
Soluo:Podemosescolheraordemdasmatriasde3!Modos.Feitoisso,h5!Modosde
colocaroslivrosdeMatemticanoslugaresquelheforamdestinados,3!Modosparaosde
Estatsticas e 2! Modos para os de Fsica. A resposta : 3!5!3!2!= 6 x
120 x 6 x 2 = 8640. 3 - Arranjos o nmero de maneiras de escolher p
objetos dentre n objetos diferentes (sem repetio), sendo a ordem
importante, e permutar os escolhidos (0 p n). Portanto, o nmero de
arranjos dado por: )! (!p nnApn=
Exemplo8:NoplanejamentodeumprogramanoturnodarededetelevisoNBC,devemser
escolhidos 6 shows dentre 30 disponveis. Quantas programaes
diferentes so possveis?
Soluo:Devemosselecionarp=6dentren=30programasdisponveis.Aquiaordemtem
importncia,porqueosespectadoresvariamnodecorrerdotempo.Logodevemoscalcularo
nmero de arranjos000 . 518 . 427)! 6 30 (! 30)! (!===p nnApn. 4
Combinao o nmero de maneiras de selecionar p objetos distintos
dentre n objetos distintos dados, sem considerarmos a ordem. Cada
seleo de p objetos chamada de uma combinao simples de classe p dos
n objetos. Representamos o nmero de combinaes simples de classe p
de n elementospor pnC ou|||
\|pn.Assimonmerodecombinaesdepobjetosextradosdeum
conjuntodenobjetosdiferentes )! ( !!p n pnCpn=
.(Bastanotarqueselecionarpentreosn objetos equivale a dividir os n
objetos em um grupo de p objetos, que so selecionados, e um grupo
de n-p objetos, que so os no-selecionados.) Exemplo 9: Com 5 homens
e 4 mulheres, quantas comisses de 5 pessoas, com exatamente 3
homens, podem ser formadas?
Soluo:Paraformaracomissodevemosescolher3dos5homense2das4mulheres.H60!
2 ! 2! 4.! 2 ! 3! 524.35.2435= =|||
\||||
\|= C C 11
Exemplo10:Umloteformadode2artigosperfeitose1defeituoso.Doisartigosso
selecionados ao acaso: a)Quantos lotes de 2 artigos diferentes
podem ser formados sem considerarmos a ordem? Soluo: Trata-se aqui
do nmero de combinaes de p=2 artigos a serem selecionados dentre 3.
Temos3! 1 ! 2! 323= = C , (P1P2, DP1, P2D) b)Quantos lotes de 2
artigos diferentes podem ser formados considerando a ordem?
Soluo:Aqui,desejamosonmerodeseqncias(oupermutaes)dep=2artigosaserem
escolhidos dentre os 3. Temos6! 1! 323= = A , (P1P2, P2P1, D1P1,
P1D1, D1P2, P2D1). Exerccios: 1)Trs garotos e 3 garotas sentam-se
em fila. Encontre a probabilidade das 3 garotas sentarem juntas.
Resp.: 0,2. 2)Um lote formado de 10 artigos bons, 4 com defeitos
menores e 2 com defeitos graves. Dois artigos so escolhidos (sem
reposio) ache a probabilidade de que: a)Ambos tenham defeitos
graves? Resp.: 0,00833. b)Exatamente um seja perfeito? Resp.: 0,5.
3)Um produto montado em 3 estgios. No primeiro estgio, existem 5
linhas de montagem; no segundo estgio, existem 4 linhas de montagem
e no terceiro estgio, existem 6 linhas de montagem. De quantas
maneiras diferentes poder o produto se deslocar durante o processo
de montagem?Resp.: 120 4)Um inspetor visita 6 mquinas diferentes
durante um dia. A fim de evitar que os operrios saibam quando ele
os ir inspecionar, o inspetor varia a ordenao de suas visitas. De
quantas maneiras isto poder ser feito? Resp.: 720 5)Um mecanismo
complexo pode falhar em 15 estgios. De quantas maneiras poder
falhar em exatamente 3 desses estgios? Resp.: 455 6)Em uma sala, 10
pessoas esto usando emblemas numerados de 1 at 10. Trs pessoas so
escolhidas ao acaso e convidadas a sarem da sala simultaneamente. O
nmero de seu emblema anotado. a)Qual a probabilidade de que o menor
nmero de emblema seja cinco?Resp.: 0,0833 b)Qual a probabilidade de
que o maior nmero de emblema seja cinco? Resp.: 0,05 12 As limitaes
da definio clssica de probabilidade, que s se aplica a espaos
amostrais
finitoseequiprovveis,levaramaconsideraroutraformadecalcularprobabilidadedeum
eventopartindodafreqnciarelativadoeventoaoserepetiroexperimento,nvezes,sobas
mesmas condies. Em linguagem matemtica, quando n cresce, o limite
da freqncia relativa de ocorrncia de A igual a P(A), isto ,
P(A)nocorre Aque repeties de #lim ) ( lim = = nnnA f .
Exemplo11:Suponhaquevamosrealizarumexperimentodelanar20vezesumamoedae
observaronmerodecaras.Acadalanamentovamosconsideraronmerodecarasqueat
ento ocorreram (na) dividido pelo nmero de lanamentos (n), ou seja,
a freqncia relativa de caras. Os resultados referentes a esse
experimento encontram-se na tabela abaixo: nnafa= na/nnnafa= na/n
1111166/11 211/21277/12 322/31377/13 433/41488/14 533/51588/15
633/61688/16 733/71788/17 844/81888/18 955/91999/19 1055/102099/20
Vejamos o comportamento das freqncias relativas por meio do grfico
a seguir: A partir desta Figura vemos que a medida que aumenta o
nmero de lanamentos, a freqncia relativa se aproxima de 0,5. Em
linguagem matemtica dizemos que a freqncia Lanamentos sucessivos de
uma moedaNmero de repeties versus freqncia relativa de
carasFreqncia0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,01 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 2013 relativa converge para 0,5.
Dificuldade do ponto de vista matemtico: o nmero do limite real
pode no existir.
Exerccio(TRIOLA):Emumapesquisaentreestudantesdeumafaculdade,1162afirmaram
quecolavamnosexames,enquanto2468afirmaramnocolar[combaseemdadosdo
JosephsonInstituteofEthics(InstitutoJosephsondetica)].Selecionandoaleatoriamenteum
desses estudantes, determine a probabilidade deste estudante ter
colado em um exame. Resp.: 0,3201. Teoremas: 1)P() = 0 2)Se Ac o
evento complementar de A, ento P(Ac) = 1- P(A) 3)Sejam A e B dois
eventos quaisquer, ento: P (A B) = P(A) + P(B) - P(A B) Demonstrao:
AB = A[BAc] B = (A B) (BAc) P(AB) = P(A) + P (BAc) -P(B) = -P(A B)
- P (BAc) P (AB) = P(A) + P(B) - P(A B) 4)Se A, B e C forem trs
eventos quaisquer, ento: P (A B C)=P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) -
P(A C) - P(B C) + P(A B C)
Generalizao: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnr j ir j inj ij inii nA A P A
A A P A A P A P A A P + + + = < < < = K K K11111 ) (
Exemplo 12: Se P(ABc)=0,2 e P(Bc)=0,7. Achar P(AB)? (Use diagrama
de Veen) P(ABc)= P(A) P(AB) 0,2 = P(A) - P(AB) P(A) = 0,2 + P(AB)
P(Bc)= 1 P(B) 0,7 = 1 - P(B) P(B)= 0,3 P (A B) = 0,2 + 0,3 = 0,5 14
Exerccios:
1)Umloteformadopor10peasboas,4comdefeitosmenorese2comdefeitosgraves.
Uma pea escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que: a)a pea
no tenha defeito grave? Resp.:0,875. b)a pea no tenha defeito?
Resp.:0,625. c)a pea seja boa ou tenha defeito grave? Resp.:0,75.
2)DoisprocessadorestipoAeBsocolocadosemtestepor50milhoras.Aprobabilidade
que um erro de clculo acontea em um processador do tipo A de 301,
no tipo B, 801e em ambos, 10001 . Qual a probabilidade de que:
a)Pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro?
Resp.:0,045. b)Nenhum processador tenha apresentado erro?
Resp.:0,955. c)Apenas o processador A tenha apresentado erro?
Resp.:0,032 3)O seguinte grupo de pessoas est numa sala: 5 homens
maiores de 21 anos; 4 homens com
menosde21anosdeidade;6mulheresmaioresde21anose3mulheresmenoresde21
anos.Umapessoaescolhidaaoacaso.Define-seosseguinteseventos:A:apessoa
maior de 21anos;B: a pessoa menor de 21anos; C: a pessoa homeme D:
a pessoa mulher. Calcule: a)P(B D) b)P(C A ) c)P(A B) Resp.:
a)0,722; b)0,167; c)0
4)Umaremessade30arruelascontm5peasdefeituosase25perfeitas.Dezarruelasso
escolhidas ao acaso (sem reposio) e classificadas. a)Qual a
probabilidade de que sejam encontradas exatamente 3 peas
defeituosas? Resp.:0,160 b)Qual a probabilidade de que se encontrem
ao menos 2 peas defeituosas? Resp.: 0,5512 2.5. Probabilidade
condicional Considere o exemplo abaixo: Dados do Censo Demogrfico
de 91 publicado pelo IBGE relativos aos habitantes de Sergipe, na
faixa etria entre 20 e 24 anos com relao s variveis Sexo e Leitura.
15 SexoLNo lTotal Masculino39.5778.67248.249
Feminino46.3047.29753.601 Total85.88115.969101.850 E: Um jovem
entre 20 e 24 anos escolhido ao acaso em Sergipe. : conjunto de
jovens de Sergipe, com idade entre 20 e 24 anos. #=101.850. Eventos
de interesse: M: jovem sorteado do sexo masculino F: jovem sorteado
do sexo feminino L: jovem sorteado sabe ler M L: jovem sorteado do
sexo masculino e sabe ler M L: jovem sorteado do sexo masculino ou
sabe ler Podemos obter algumas probabilidades: 843 , 0850 . 101881
. 85de jovens de nlersabem que jovens de ) ( = ==nL P473 , 0850 .
101245 . 48de jovens de nmasculino sexo do jovens de ) ( = ==nM
PP(F) = P(Mc) = 1 - P(M) = 1 - 0,473 = 0,527 850 . 101557 .
39jovens de nlersabem que e masculino sexo do jovens de ) ( == nL M
P P (M L) = P(M) + P(L) - P(M L) = 0,473 + 0,843 - 0,388 = 0,928
Noexemploanterior,sesoubermosqueojovemsorteadodosexomasculino,quala
probabilidade de que saiba ler? Temos uma informao parcial: o jovem
do sexo masculino. Vamos designar a probabilidade de que o jovem
sabe ler quando se sabe que o jovem do sexo masculino por P (L M) e
denomin-la probabilidade condicional de L dado M. natural
atribuirmos: 0,82048.24939.577masculino sexo do jovens de total
nmasculino sexo do aqueles dentre lersabem que jovens de n) M (L P
= == = = == = = == =16 Note que: Por exemplo, a probabilidade de
ser do sexo masculino dado que l dada por: 0,460850 . 101881 .
85850 . 101577 . 39(L) PL) (M P) L (M P = == Definio de
probabilidade condicional: Sejam A eBeventos de umexperimento
aleatrio
qualquer,comP(B)>0.AprobabilidadecondicionaldeAdadoB(denota-seporP(A
B) definida como: P(B)B) P(AB) P(A = 2.6. Regra ou Teorema do
produto
Comoconseqnciadadefiniodeprobabilidadecondicional,podemoscalculara
probabilidade da ocorrncia conjunta de dois eventos A e B. ( ) ( )
) ( | ) () () (| B P B A P B A PB PB A PB A P = = Exemplo 13: Uma
urna contm fichas numeradas de 1 a 4. Retira-se uma ficha da urna
ao acaso e anota-se o nmero. Esta ficha ento recolocada na urna, e
retira-se novamente uma ficha, ao acaso, da urna. Qual a
probabilidade de ter sado a ficha com nmero 1, na primeira
retirada, e de ser 5 a soma dos nmeros das duas fichas retiradas?
Soluo: Evento A: sair o nmero 1 na primeira retirada =>P(A) = 41
Evento B: soma = 5
(M) PL) (M P) M (L Pjovens de total nmasculino sexo do jovens
njovens de total nlersabem que e masculino sexo do jovens n) M (L
P==17 Evento B|A: {soma = 5 | a primeira ficha 1}, se queremos que
a soma seja 5, ento preciso que a segunda ficha seja o nmero 4
P(B|A) = 41 Pelo teorema do produto temos que, ( )1614141) ( | ) (
= = = A P A B P B A P Exemplo 14: Duas vlvulas defeituosas se
misturam com duas vlvulas perfeitas. As vlvulas so ensaiadas, uma a
uma, at que ambas defeituosas sejam encontradas. Qual a
probabilidade de que a ltima vlvula defeituosa seja encontrada no
segundo ensaio? Soluo: Evento A: sair uma vlvula defeituosa
=>P(A) =2/4 Evento B: a ltima vlvula defeituosa Evento B|A: sair
a ltima vlvula defeituosa | saiu uma vlvula defeituosa P(B|A) = 31
Pelo teorema do produto temos que, ( )1223142) ( | ) ( = = = A P A
B P B A P De modo geral, considere 3 eventos A, B e C, tem-se que
Esta relao pode ser estendida para um nmero finito qualquer de
eventos. Exerccios:
1)Asfalhasnafundaodeumgrandeedifciopodemserdedoistipos:A(capacidadede
suportar) e B (fundao excessiva). Sabendo-se que P(A)=0,001,
P(B)=0,008 e P(A|B)=0,1, determinar a probabilidade: a)De haver
falha na fundao? Resp.:0,0082 b)De ocorrer A e no B?Resp.:0,0002
2)Um sistema eletrnico consta de dois sub-sistemas digamos A e B.
De testes prvios sabe-se que: P(A falhe)=0,20; P(A e B falhem)=0,15
e P(B falhe sozinho)=0,15. Calcule: a)P(A falhe | B falhou);
Respostas: 0,5 18 b)P(A falhe sozinho); Respostas: 0,05
3)Duaslmpadasqueimadasforamacidentalmentemisturadascomseislmpadasboas.Se
vamostestandoaslmpadas,umaporuma,atencontrarduasdefeituosas,quala
probabilidade de que a ltima defeituosa seja encontrada no quarto
teste? Resp.: 3/28 2.7. Regra da Probabilidade Total
SejamAeBdoiseventosdeumexperimentoqualquer.HduasmaneirasdeBocorrer,
considerando a ocorrncia ou no do evento A: ou A e B ocorrem (A B)
ou Ac e B ocorrem (Ac B). Deste modo, B = (A B) (Ac B), em que A B
e Ac B so conjuntos disjuntos. Ento, P(B) = P(A B) + P(Ac B). Pela
regra do produto P(B) = P(A). P(B | A) + P(Ac) P(B | Ac) DEFINIO DE
PARTIO: Tem-se uma partio de um espao amostral em um nmero finito
de eventos Ai ( i = 1,2,...,n) se: 1)SeA1,A2,...,An
forem,doisadois,eventosmutuamenteexclusivos,isto,(AiAj)= para todo
i j. 2) ==UniiA1, isto , os eventos A so exaustivos. B AC B A A Ac
B 19 Regra da Probabilidade Total: se a seqncia de eventos
aleatrios A1, A2,..., An formar uma partiode , ento: ( ) ( ) ( ) (
) = =niiiiiA B P A P B A P B Pn Exemplo 15: Um lote de 100 peas
compostade 20 peas defeituosase 80 peas perfeitas, do qual
extrairemos 2 peas sem reposio. Qual a probabilidade da segunda pea
extrada ser defeituosa? Soluo: Evento A: a primeira pea extrada
defeituosa Evento B: a segunda pea extrada defeituosa Pela regra da
probabilidade total temos que, P(B) = P(A). P(B | A) + P(Ac) P(B |
Ac) = 519920.100809919.10020= +
Exemplo16:Emumafbricadeparafusossoutilizadasnmquinas.SejamP(Ai)a
probabilidadedeumparafusoprovirdai-simamquina,i=1,2,...,neP(BiA)indicaa
probabilidade do parafuso ser defeituoso sabendo-se que foi
produzido pela isima mquina.
Dototaldeparafusosproduzidospelafbrica,escolhe-seaoacasoumparafuso.Quala
probabilidade de que o parafuso seja
defeituoso?Soluo:SeBrepresentaoeventoparafusoescolhidodefeituoso,pelaregrada
probabilidade total, temos que: P(B) = P(B 1A ) P(A1) + P(B 2A )
P(A2) + ......+ P(B nA ) P(An) Podemos ainda estar interessados em
saber a probabilidade da i-sima mquina ter produzido o parafuso
defeituoso. 2.8. Eventos Independentes Dois eventos so ditos
independentes quando a ocorrncia de um deles no interfere na
probabilidade de ocorrncia do outro.Em linguagem matemtica, dados
A,B , A e B so ditos independentes, se e somente se: P( AB) = P(A)
e P( BA) = P(B) B A1A2 A3 .....An 20 Nesse caso, temos que P(A B) =
P(A). P(B) Exemplo 19: A probabilidade de que A resolva um problema
de 2/3 e a probabilidade de que B resolva de 3/4. Se ambos tentarem
independentemente, qual a probabilidade do problema ser resolvido?
Soluo: A: A resolve B: B resolveA B: A e B resolvemA B: A ou B
resolvem => o problema resolvido Como so eventos independentes,
P(A B) = P(A).P(B) eP(A B) = P(A) +P(B) - P(A).P(B) = 2/3 + 3/4
(2/3)(3/4) = 2/3 + 3/4 2/4 = 125123 8=. Generalizando: Os eventos
A1, A2,..., An , so independentes se e somente se a independncia
for verificada para todos os subconjuntos de dois ou mais eventos
desta famlia.Para que trs eventos sejam independentes necessrio
verificar quatro igualdades: P(A B) = P(A) P(B) P(A C) = P(A) P(C)
P(B C) = P(B) P(C) P(A B C) = P(A) P(B) P(C) que corresponde 4 1
33332= + = ||
\|+ ||
\|, igualdades a serem verificadas Para quatro eventos necessrio
verificar onze igualdades que so: 11 1 4 6444342= + + = ||
\|+ ||
\|+ ||
\| Para n eventos necessrio verificar: 1 n2nknn2 k = ||
\|= igualdades 21 Se Ai`, i= 1, 2, 3,..., n, uma famlia finita
de eventos independentes, ento =||
\|= =n1 in1 i) A ( P A P i i IObservar que: = = ) ( ) | ( ) () (
) | ( ) (B P B A P B A PA P A B P B A Ppara eventos quaisquer
(condicional) { ) ( ) ( ) ( B P A P B A P = para eventos
independentes
Comoconseqnciadosresultadosacima,tm-sequeesoindependentesdequalquer
evento A,A . Para ver isto note que: 1)P( A) = P( ) = 0 = P() P(A)
2)P( A) = P(A) = P() P(A) Exerccios: 1)Uma mquina consiste de 4
componentes ligados em paralelo de tal forma que a mquina
falhaapenasquandotodososcomponentesfalharem.Supondoqueasfalhasso
independentes entre si e se cada componente tem respectivamente as
probabilidade 0,1, 0,2,
0,3,e0,4defalharquandoamquinaligada,qualaprobabilidadedamquinano
falhar ? Resp.: 0,9976. 2)A probabilidade de um homem viver, mais
dez anos e a probabilidade de uma mulher viver mais dez anos 1/3.
Encontre a probabilidade de ambos estarem vivos dentro de dez anos
e de ao menos um estar vivo dentro de dez anos. Resp.: 1/12 e 1/2.
1 LISTA DE EXERCCIOS
1)Descreveroespaoamostral(S)eeventosassociadosacadaumdosexperimentosa
seguir: E1: Lanam-se dois dados perfeitos e observam-se os nmeros
nas faces voltadas para cima;A1: A soma das faces sete; E2: Lanar
uma moeda trs vezes, sucessivamente, e anotar a seqncia de caras
(K) e coroas (C ); A2: Sair pelo menos duas caras; 22 E3: Lanar uma
moeda e um dado, simultaneamente, e registrar os resultados; A3:
Obteno de face impar no dado;E4: Lanar uma moeda trs vezes,
sucessivamente, e registrar o nmero de caras ocorrido; A4: Sair
pelo menos duas caras;E5: Numa linha de produo conta-se o nmero de
peas defeituosas num perodo de 1 hora; A5: Obter menos de 3
defeituosas E6: Mede-se a durao de lmpadas, deixando-as acesas at
que queimem;A6: O tempo de vida da lmpada inferior a 30 horas; E7:
Um fabricante produz um determinado artigo. Da linha de produo so
retirados 3 artigos e cada um classificado como bom(B) ou
defeituoso(D). A7: Pelo menos dois artigos so bons.
E8:Umlotededezpeascontmtrsdefeituosas.Aspeassoretiradasumaauma,sem
reposio, at que a ultima pea defeituosa seja encontrada. O nmero
total de peas retiradas registrado. A8: Menos de cinco peas foram
retiradas. E9: Peas so fabricadas at que dez peas perfeitas sejam
produzidas. O nmero total de peas fabricadas anotado. A9: Quinze ou
mais peas foram fabricadas 2)Suponha-se duas urnas contendo, cada
uma, quatro bolas numeradas de 1 a 4.
Considera-seoexperimentoqueconsiste,emretirar,aoacaso,umaboladecadaurna.Descrevao
espao amostral. Determine os seguintes eventos: a) a soma do nmero
de pontos mpar; b) a bola extrada da primeira urna contm o nmero
dois. 3)Sejam A, B e C trs eventos quaisquer. Estabelea uma
expresso para os eventos abaixo: a)A e B ocorrem;b)A ou B
ocorrem;c)B ocorre, mas A no ocorre;d)A no ocorre; e)no ocorre A e
no ocorre B;f)A e B ocorrem, mas C no corre;g)somente A ocorre, mas
B e C no ocorrem. 4)Dados P(A) = 1/2; P(B) = 3/8; P(A B) =1/8,
calcule: a)P(A B); b) P(A B); c) P(A B); d) P(A B); e) P(A B). 23
5)Uma empresa de fundos mtuos oferece a seus clientes diversos
fundos: um de mercado, trs de ttulos diferentes (curto, mdio e
longo prazos), dois fundos de aes (moderado e
dealtorisco)eummisto.Dentreosusuriosquepossuemcotasemapenasumfundo,
seguem as probabilidades de clientes dos diferentes fundos.
Mercado0,20 Ttulo curto prazo0,15 Ttulo mdio prazo0,10 Ttulo longo
prazo0,05 Ao de alto risco0,18 Ao de risco moderado0,25 Misto0,07
Um cliente que possui cotas em apenas um fundo selecionado
aleatoriamente. a)Qual a probabilidade de o indivduo selecionado ao
acaso possuir cotas do fundo misto?
b)Qualaprobabilidadedeoindivduoselecionadoaoacasopossuircotasemumfundo
de ttulos?
c)Qualaprobabilidadedeoindivduoselecionadoaoacasonopossuircotasemfundo
de aes? 6)Certo tipo de motor eltrico falha se ocorrer uma das
seguintes situaes: emperramento
dosmancais,queimadosenrolamentos,desgastedasescovas.Suponhaqueo
emperramentosejaduasvezesmaisprovveldoqueaqueima,estasendoquatrovezes
mais provvel do que o desgaste das escovas. Qual ser a
probabilidade de que a falta seja devida a cada uma dessas
circunstncias? 7)Uma urna U1 contem 5 bolas brancas e 2 pretas;
outra urna U2 contem 3 bolas brancas e 6 bolas pretas; e outra urna
U3 contem 4 bolas brancas e 4 bolas pretas. Tira-se uma bola de
cada urna. Calcular a probabilidade de que saiam uma bola branca e
duas bolas pretas.
8)Lana-seumamoedaviciadademodoqueaprobabilidadedecara(K)iguala2/3ea
probabilidadedecoroa(C)iguala1/3.Seaparecercara,entoseleciona-se
aleatoriamenteumnmerodentreosde1a9;seaparecercoroa,seleciona-se
aleatoriamente um nmero dentre os de 1 a 5. Ache a probabilidade de
um nmero par ser selecionado. Construa o diagrama em rvore.
9)SuponhaqueAeBsejameventosindependentesassociadosaumexperimento.Sea
probabilidadedeAouBocorreremforiguala0,6,enquantoaprobabilidadede
ocorrncia de A for igual a 0,4 determine a probabilidade de
ocorrncia de B. 24 10)
SeAeBsodoiseventosrelacionadoscomumaexperinciaEesoconhecidasas
probabilidadesP(A),P(B)eP(AB),deseja-seemfunodestas,asexpressesdas
probabilidades dos seguintes eventos: a)(A B);b) (AB);c) (A B);d)
(A B).11) Certo aparelho eletrnico tem duas lmpadas que podem estar
acesas ou apagadas, tendo
sidoobservadasasseguintesprobabilidadesapresentadanoquadroadiante.Oquadro
mostra por exemplo, que ambas as lmpadas estavam simultaneamente
apagadas 30% do tempo. Lmpada 1 Lmpada 2 AcesaApagada Acesa0,150,45
Apagada 0,100,30 Pergunta-se a)O fato Lmpada 1 acesa independente
de Lmpada 2 acesa? Justifique a resposta. b)O fato Lmpada 1 apagada
independente de Lmpada 2 acesa? Justifique a resposta. 12)
Umaassociaodeindstriastransformadorasderesinasplsticascompostade20
empresasqueproduzemsacosplsticos(S),10queproduzemgarrafas(G),8que
produzemutensliosdomsticos(U)e2queseencarregamdebrinquedos(B).Ao
escolhermos uma empresa ao acaso, achar a probabilidade de que:
a)seja uma indstria que produza sacos plsticos ou utenslios
domsticos; b)seja uma indstria produtora de sacos plsticos ou
brinquedos;c)no seja uma indstria que produza garrafas. 13)
Trsalarmesestodispostosdetalmaneiraquequalquerumdelesfuncionar
independentemente,quandoqualquercoisaindesejvelocorrer.Secadaalarmetem
probabilidade 0,9 de trabalhar eficientemente, qual a probabilidade
de se ouvir o alarme quando necessrio?14)
Suponhaquetodososcomponentesdafiguraaseguirtenhamamesmaconfiabilidade
(probabilidade de funcionar) p e funcionem independentemente,
obtenha a confiabilidade do sistema. 25 15) Suponha que X
represente o nmero de horas de atividades fsicas por semana.
Considere a tabela a seguir: Sexo Nmero de horas de atividades
fsicas 0 X < 33 X < 5X 5 Feminino2287 Masculino346 a)Qual a
probabilidade de sortear aleatoriamente uma menina com atividade
fsica semanal na faixa de [3, 5) horas? b)Calcule P(X 5)
c)Calculeaprobabilidadedeumindivduodedicarpelomenos5horasdeatividadefsica,
sabendo-se que ele do sexo masculino?
d)Calculeaprobabilidadedeumindivduodedicarpelomenos5horasdeatividadefsica,
sabendo-se que ele do sexo feminino? 16)
SejamAeBdoiseventosassociadosaumexperimento.SuponhaqueP(A)=0,4,
enquanto P(AUB) =0,7. Seja P(B) = p. a)Para que valor de p, A e B
sero mutuamente exclusivos? b)Para que valor de p, A e B sero
independentes?17)
SobaaodeumaforaF,asprobabilidadesdefalhanasbarrasa,becdaestrutura
mostrada na figura a seguir so respectivamente 0,06; 0,05 e 0,04.
Se ocorrer a falha em qualquer uma das barras, isto leva a falha em
toda a estrutura. Supondo que as falhas nas
barrassoestatisticamenteindependentes,acheaprobabilidadedeocorrerafalhada
estrutura.
ba c
18)
Umsistemacompostode3componentes1,2e3,comconfiabilidade0,9,0,8e0,7,
respectivamente. O componente 1 indispensvel ao funcionamento do
sistema; se 2 ou 3 26 no funcionam, o sistema funciona, mas com
rendimento inferior. A falha simultnea de 2
e3implicaonofuncionamentodosistema.Supondoqueoscomponentesfuncionem
independentemente, calcular a confiabilidade do sistema. 19)
Umprocessoindustrialproduz4%deitensdefeituosos.Aexperinciamostraque25%
dos itens defeituosos produzidos no so percebidos pelo inspetor de
qualidade. Os itens bons sempre so aceitos satisfatoriamente pela
inspeo. Qual a probabilidade de que, se voc comprar um desses
itens,seja um item defeituoso?20)
Umafbricadispede3mquinasparafabricaromesmoproduto.Essasmquinasso
antigaseapresentamfreqentementedefeitosdefuncionamentocomasseguintes
percentagens do tempo de utilizao:
MQUINATEMPO COM DEFEITO (%) A40 B35 C25 Verificam-se nas peas
produzidas as seguintes porcentagens de peas defeituosas:
MQUINAPEAS DEFEITUOSAS (%) A2 B4 C5
Agernciadecidesubstituirumadasmquinasafimdediminuiraporcentagemde
peas defeituosas. Qual das trs mquinas deve ser substituda?21) Um
artigo manufaturado que no pode ser usado se for defeituoso,
devepassar por duas
inspeesantesdereceberembalagem.Aexperinciamostraqueumdosinspetores
deixarpassar5%dosdefeituosos,aopassoqueosegundoinspetordeixarpassar4%
dostaisartigos.Seosartigossemdefeitosemprepassampelainspeoese10%dos
artigos processados so defeituosos, que percentagem dos artigos que
passaram pelas duas inspees so defeituosos? 22) Numa faculdade 30%
dos homens e 20% das mulheres estudam matemtica. Alm disso,
45%dosestudantessomulheres.Seumestudanteselecionadoaleatoriamenteest
estudando matemtica, qual a probabilidade de que este estudante
seja mulher?23)
Atabelaaseguirapresentainformaesdealunosdeumauniversidadequantos
variveis: Perodo, Sexo, e Opinio sobre a Reforma Agrria. Com base
na tabela adiante, determine a probabilidade de escolhermos: a)Uma
pessoa do sexo masculino e sem opinio sobre a reforma agrria? 27
b)Uma mulher contrria a reforma agrria? c)Dentre os estudantes do
noturno, um que seja a favor da reforma agrria? d)Uma pessoa sem
opinio, sabendo-se que ela do sexo feminino? PerodoSexo Reforma
Agrria ContraA FavorSem Opnio Diurno Feminino282 Masculino898
Noturno Feminino482 Masculino12101 24) Em uma provacaram dois
problemas. Sabe-se que 132 alunosacertaram o primeiro, 86
erraramosegundo,120acertaramosdoise54acertaramapenasumproblema.Quala
probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso: a)no tenha
acertado nenhum problema? b)Tenha acertado apenas o segundo
problema 25)
Umagrandeempresatemdoisdepartamentosdeproduo:ProdutosMartimose
Produtos para Oficinas. A probabilidade de que a diviso de Produtos
Martimos tenha no
correnteanofiscal,umamargemdelucrosdenomnimo10%estimadaem0,30;a
probabilidadedequeadivisodeEquipamentosparaOficinastenhaumamargemde
lucros de pelo menos 10% 0,20; e a probabilidade de que ambas as
divises tenham uma margem de lucros de no mnimo 10% 0,06. Determine
a probabilidade de que a diviso de Equipamentos para Oficinas tenha
uma margem de lucros de no mnimo 10% dado que a diviso de Produtos
Martimos tenha alcanado tal nvel de lucro.26) Suponha que temos
duas urnas 1 e 2, cada uma com duas gavetas. A urna 1 contm uma
moeda de ouro em uma gaveta e uma moeda de prata na outra gaveta;
enquanto a urna 2 contm uma moeda de ouro em cada gaveta. Uma urna
escolhida ao acaso; a seguir uma de suas gavetas aberta ao acaso.
Verifica-se que a moeda encontrada nesta gaveta de ouro. Qual a
probabilidade de que a moeda provenha da urna 2? 27)
Trsfbricasfornecemequipamentosdeprecisoparaolaboratriodequmicadeuma
universidade.Apesardeseremaparelhosdepreciso,existeumapequenachancede
subestimaoousuperestimaodasmedidasefetuadas.Atabelaaseguirapresentao
comportamento do equipamento produzido em cada fbrica: 28 Fbrica
ISubestimaExataSuperestima Probabilidade0,010,980,01 Fbrica
IISubestimaExataSuperestima Probabilidade0,0050,980,015 Fbrica
IIISubestimaExataSuperestima Probabilidade0,000,990,01
AsfbricasI,II,IIIfornecem,respectivamente,20%,30%e50%dosaparelhos
utilizados. Escolhemos, ao acaso, um desses aparelhos e perguntamos
a probabilidade de: a)Haver superestimao de medidas b)Sabendo que
as medidas do exatas, ter sido fabricado em III c)Ter sido
produzido por I, dado que no subestima as medidas. 28) Uma
companhia produz circuitos integrados em trs fbricas, I, II e III.
A fbrica I produz 40% dos circuitos, enquanto a II e III produzem
30 % cada uma. As probabilidades de que
umcircuitointegradoproduzidoporestasfbricasnofuncioneso0,01,0,04e0,03,
respectivamente.Escolhidoumcircuitodaproduoconjuntadastrsfbricas,Quala
probabilidade de o mesmo no funcionar?29)
Considereasituaodoproblemaanterior,massuponhaagoraqueumcircuito
escolhidoaoacasoesejadefeituoso.Determinarqualaprobabilidadedeeletersido
fabricado por I. 30)
Umaindstriaqumicaproduzumagrandevariedadedeprodutosusandoquatro
diferentes processos; amo de obra disponvel suficiente somente para
queapenas um processo seja executado num dado instante. O gerente
da indstria sabe que a descarga de uma poluio perigosa no rio que
passa em volta da mesma, depende do processo que est
emoperao.Asprobabilidadesdeocorrerpoluioperigosaparaosvriosprocessos,
denotandoporFumadescargadepoluioperigosa,so:P(F|A)=0,40;P(F|B)=0,05;
P(F|C)=0,30;P(F|D)=0,10.Todososoutrosprodutosdafbricasoconsiderados
inofensivos.Emumdeterminadomssabe-sequeem20%,40%,30%e10%dotempo
respectivamente usam-se os processos A, B, C e D. Deseja-se saber
qual a probabilidade de no termos uma descarga de poluio perigosa
no determinado ms? 29 Gabaritoda 1 Lista de Exerccios l)E1: 1 =
{(1,1); (1,2);.....; (1,6); (2,1); (2,2);.....; (2,6);.........;
(6,1); (6,2);.... ; (6,6) } A1 = {(1,6): (2,5); (3,4); (4,3);
(5,2); (6,1) } E2: 2 = {KKK; KKC: KCK; CKK; KCC; CKC; CCK; CCC } A2
= {KKK, KKC, KCK, CKK } E3: 3 = {(K,1); (K,2);......;(K,6); (C,1);
(C,2).....; (C,6) }A3 = {(K,1); (K,3); (K,5); (C,1); (C,3); (C,5) }
E4: 4 = {0, 1, 2, 3 } A4 = {2, 3} E5: 5 = {0, 1, 2, 3, ..., N }, N
o n. mximo de peas defeituosas no perodo de 1 h A5 = {0, 1, 2} E6:
6 = {t: t 0 } ou 6 = {t: 0 t to} onde to o tempo mximo de vida da
lmpada. A6 = {t: t < 30 } ou A6 = { t: 0 t < 30} E7: 7 =
{BBB, BBD, BDB, DBB, BDD, DBD, DDB, DDD } A7= {BBB; BBD; BDB; DBB }
E8: 8 = {3, 4, 5,...., 10 } A8 = { 3, 4} E9: 9 = {10, 11, 12,....}
A9 = { 15, 16, 17,...}
2)={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),
(4,3), (4,4)} a) A={(1,2), (1,4), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4),
(4,1), (4,3)} b) B = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4)} 3) a)A B; b)A B;
c)AB; d)A; e)A B; f) ABCg) (ABC). 4)a)0,70; b) 0,80; c) 0,20;
5)a)0,07b)0,30 c)0,576)8/13, 4/13 e 1/13 7)8/218) 0,4296 9)0,3333
10) a) 1 - P(AB);b) 1 - P(A) - P(B) + P(AB);c) 1 - P(A) + P(AB);d)
P(B) - P(AB). 11)a)Sim b)Sim 12)a) 0,7b) 0,55c) 0,75 13) 0,999 14)
p + 2p2 - 2p3 - p4 + p515) a)0,16; b) 0,26; c) 0,462;d) 0,189. 16)
a )0,3b ) 0,517)0,1427 18) 0,84619) 0,0120) B 21)0,02%22) 0,352923)
a)0,122b)0,081 c)0,486 d)0,154 24)a) 0,298 b ) 0,16925) 0,226)
0,6667 27)a)0,012b)0,503c)0,199 28)0,025 29)0,1630) 0,8 30
3.VARIVEL ALEATRIA 3.1. Conceitos bsicos
Definio1.SejamEumexperimentoeumespaoamostralassociadoaoexperimento.
UmafunoXqueassocieacadaelementowiumnmeroreal,X(wi),denominada
varivel aleatria. Uma varivel aleatriaX , portanto, uma funo cujo
domnio o espao amostral e contra-domnio conjunto dos nmeros reais,
ou seja, X:R Exemplo 1: a) E: Lanamento de uma moeda.Assim, =
{cara, coroa}={w1, w2} ( )===coroa der se secara der ou sew Xseja,
ou, w w , 0, se seja , w w , 121 b) E: Lanamento de duas moedas.
Seja X o nmero de caras obtidas no experimento. Vamos denotar c:
cara e k: coroa. Assim, = { cc, ck, kc, kk }= { w1, w2, w3, w4 }
X(w1) = 2;X(w2 ) = X(w3) = 1;X(w4) = 0 c) E: Escolher um ponto ao
acaso no intervalo [0,1] . Seja X o quadrado do valor escolhido.
Assim = [0,1], e X(w)= w2 w d) E: Escolher um ponto ao acaso no
crculo unitrio. Seja X a distncia do ponto escolhido origem. Assim,
= { (x,y) / x2 + y2 1} e X(w)= 2 2y x + 31 Definio 2.Seja X uma
varivel aleatria. Se X assume valores em um conjunto finito ou
infinito enumervel, ento X denominada varivel aleatria discreta.
Exemplo 2: Sorteio de n indivduos de uma populao. Seja X o nmero de
indivduos do sexo masculino sorteados => X() = {0, 1, 2, 3,...,
n} Definio 3.Seja X uma varivel aleatria. Se X assume valores em um
conjunto infinito no enumervel, ento X denominada varivel aleatria
contnua. Exemplo 3: Retirada ao acaso um parafuso da produo diria
de uma fbrica e registro de seu dimetro (em mm) e comprimento (em
mm).Suponha que esta fbrica produza parafusos com dimetro entre 3 e
10 mm e comprimento entre 20 e 35 mm X = Dimetro do parafuso =>
X() = [ 3, 10] Y = Comprimento do parafuso Y() = [20, 35] 3.2.
Distribuio de probabilidade de uma varivel aleatria discreta
SejaXumav.a.discretaqueassumeosvaloresx1,x2,...,xn....Adistribuiode
probabilidades de X o conjunto de pares de valores que associa a
cada valor da varivel xi a probabilidade P(X = xi): (x1, P(X =
x1)), (x2, P(X = x2)),..., (xn, P(X = xn)),... De maneira que, a) 1
) x (1= == = = == = = == = iiX P b) P(X = x) = p(x) 0 Exemplo 4: E:
lanamento de um dado honesto. X: nmero da face observada => X()
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} A distribuio de probabilidade (ou funo de
probabilidade) de X dada por: X123456 P(X=x)1/61/61/61/61/61/6 32
Exemplo 5: Considere novamente o exemplo do lanamento de duas
moedas. Seja X o nmero de carasResultados (w)X (w)Probabilidade P
(X = xi) (Cara, Cara)2 (Cara, Coroa)1 (Coroa, Cara)1 (Coroa,
Coroa)0 Obtemos ento, P (X = 0) = P (X = 1) = + = P (X = 2) =
Exemplo6:(MorettineBussab,2006)Umempresriopretendeestabelecerumafirmapara
montagem de um produto composto de uma esfera e um cilindro. As
partes so adquiridas em
fbricasdiferentes,eamontagemconsistiremjuntarasduaspartesepint-las.Oproduto
acabadodeveterocomprimento(definidopelocilindro)eaespessura(definidapelaesfera)
dentrodecertoslimites,eissospoderserverificadoapsamontagem.Paraestudara
viabilidade do seu empreendimento, o empresrio quer ter uma idia da
distribuio dos lucros por pea montada. Sabe-se que cada componente
pode ser classificado como BOM, LONGO ou CURTO,
conformesuamedidaestejadentrodaespecificao,sejaelamaioroumenorquea
especificada.Almdisso,foramobtidosdosfabricantesopreodecadacomponente(5
unidadesdedinheiro)easprobabilidadesdeproduodecadacomponentecomas
caractersticas BOM, LONGO e CURTO. Estes valores esto na tabela
abaixo: DistribuiodaproduodasfbricasAeB,deacordocomasmedidasdaspeas
produzidas ProdutoFbrica A Cilindro Fbrica B Esfera Dentro das
especificaes...... BOM (B)0,800,70 Maior que as especificaes......
LONGO (L)0,100,20 Menor que as especificaes...... CURTO (C)0,100,10
Fonte: Retirada das especificaes tcnicas das fbricas A e B 33
SeoprodutofinalapresentaralgumcomponentecomacaractersticaC,eleser
irrecupervel,eoconjuntoservendidocomosucataaopreode5unidades.Cada
componentelongopodeserrecuperadoaumcustoadicionalde5unidades.Seopreode
venda de cada unidade de 25 unidades, como seria a distribuio das
frequncias da varivel X: lucro por conjunto montado?
Aconstruodestadistribuiodefrequnciasvaidependerdecertassuposiesque
faremossobreocomportamentodosistemaconsiderado.Emvistadessassuposies,
estaremos trabalhando com um modelo da realidade, e a distribuio
que obteremos ser uma distribuio terica, tanto mais prxima da
distribuio de frequncias real quanto mais fiis realidade forem as
suposies.
Primeiramente,vejamosaconstruodoespaoamostralparaamontagemdos
conjuntossegundoascaractersticasdecadacomponenteesuasrespectivasprobabilidades.
Desdequeoscomponentesvmdefbricasdiferentes,vamossuporqueaclassificaodos
cilindrossegundosuascaractersticassejameventosindependentes;assim,obtemosa
configurao abaixo. CilindroEsferaB 0,70P(BB) = 0,56 B0,20 LP(BL) =
0,16 0,100,80 C P(BC) = 0,08 0,70B P(CB) = 0,07 0,10C 0,20L P(CL) =
0,02
0,10 CP(CC) = 0,01 BP(LB) = 0,07 0,10 0,70 L 0,20 L P(LL) = 0,02
0,10 C P(LC) = 0,01 O espao amostral em questo est apresentado na
tabela adiante, junto com as respectivas probabilidades. 34 Tabela:
Distribuio de probabilidade das possveis composies das montagens
MontagemProbabilidadeLucro por montagem (X) BB0,5615 BL0,1610
BC0,08-5 LB0,0710 LL0,0205 LC0,01-5 CB0,07-5 CL0,02-5 CC0,01-5
Fonte: Informaes no texto Assim, com os dados da tabela acima,
vemos que X pode assumir um dos seguintes valores: 15se ocorrer o
evento A1 = {BB} 10se ocorrer o evento A2 = {BL,LB} 05se ocorrer o
evento A3 = {LL} -5se ocorrer o evento A4 = {BC,LC,CB,CL,CC} Cada
um desses eventos tem uma probabilidade associada, ou seja, P(A1) =
0,56P(A2) = 0,23P(A3) = 0,02P(A4) = 0,19 o que nos permite escrever
adistribuio de probabilidade da varivel X, que o empresrio poder
usar para julgar a viabilidade econmica do projeto que ele pretende
realizar. xP(X = x) 150,56 100,23 050,02 -50,19 Total1,00
Exerccios: 1)Suponha que X seja uma v.a. discreta e sua funo
distribuio de probabilidade seja P(X = k) = ck, para k = 1,2,3,4 e
5. Determine o valor da constante c. Res. 1/15. 2)Considere um lote
de peas que contm 20% de defeituosas. Extramos ao acaso trs peas
comreposioparaanlise.SejaXavarivelaleatriaquerepresentaonmerodepeas
defeituosas. Estabelea a funo distribuio de probabilidade de
X.Resp.: x0123 P(X = x)0,5120,3840,0960,008 35 3)Determine o valor
de c para que p(x)= = ||
\|contrrio caso , 0,.... 3 , 2 , 1 x para ,32cx
seja uma funo distribuio de probabilidade. Resp.1/2 3.3.
Distribuio de probabilidade de uma varivel aleatria contnua Seja X
uma varivel aleatria contnua. A distribuio de probabilidade dada na
forma de uma funo, chamada de densidade de probabilidade e denotada
por f(x).Uma funo de densidade de probabilidade (fdp) satisfaz as
seguintes condies: a)f(x) 0,R x b) + = 1 f(x)dx Exemplos de funes
de densidade: 0 1 2 3 4 5 6 70.00.10.20.30.40.50.60.7xf(x)-4 -3 -2
-1 0 1 2 30.00.10.20.30.4xf(x) A funo densidade, por definio,
possui rea sob a curva limitada pelo eixo x igual a
1eaprobabilidadedeXtomarumvalorentreaebobtidacalculando-searea
compreendida entre esses dois valores. Isto , para qualquer a <
b em R ( ) ( )= < > < b X < b/2). Resp.:8 b7b33+
b)Calcule E(Y) e V(Y), em que Y = 2X 3/5. Resp.:203V(Y) e1021E(Y)
== 2. LISTA DE EXERCCIOS 1)Considere uma v.a. X com resultados
possveis: 0,1,2,.... Suponha queP( X = j) = (1-a) aj,
j=0,1,2,...Paraquevaloresdeaomodelorepresentaumalegtimadistribuiode
probabilidade.
2)Umaurnacontm5bolasdegudebrancase3pretas.Se2bolasdegudesoextradas
aleatoriamentesemreposioeXdenotaonumerodebolasbrancasobtidas,encontrea
distribuio de probabilidades de
X.3)OnmerodecarrosvendidossemanalmentenumstandumavarivelaleatriaXcoma
seguinte funo de probabilidade: X1234 P(X=x)cc/2c/3c/4 a)Encontre o
valor de c. 45 b) Determine a funo de distribuio de X. c)Calcule a
probabilidade do nmero de carros vendidos no chegar a 4, sabendo
que este valor superior a 1.d) Se os custos fixos semanais so de 30
unidades monetrias (u.m.) quando so vendidos 2 ou menos carros e 15
u.m. quando se vende mais de 2 carros e, alm disso, por cada carro
vendido h um lucro de 35 u.m., determine a funo de distribuio da
receita lquida semanal.
4)OsvaloresabaixorepresentamadistribuiodeprobabilidadedeD,aprocuradiriade
certo produto. Calcule E(D) e V(D): D12345 P(D=d)0,10,10,30,30,2
a)Calcule E(D) e V(D); b)Estabelea a funo de distribuio acumulada.
5)Onmerodevendasrealizadasporumagentedesegurosdiariamenteumav.a.com
funo de probabilidade: x01234 P(X=x)wztzw
a)Sabendo que em 10% dos dias as vendas so inferiores a um e que
em 70% dos dias so superiores a um, determine w, z e t. b)Determine
o nmero mdio de seguros vendidos diariamente. c)Determine E[2X 1] e
V [2X 1].
d)Determineaprobabilidadedeque,quandoconsideradosdoisdias,asvendassejam
superiores, em cada um deles, a duas unidades.
e)Secadasegurofeitopor15000unidadesmonetrias,determineafunode
probabilidade da receita obtida com a venda dos seguros num dia.
f)Senumdiaareceitaforinferiora50000unidadesmonetrias,determinea
probabilidade de que seja superior a 20000 unidades monetrias.
6)Considere a varivel aleatria discreta com a seguinte funo
distribuio: < < < 0). d)Determine a funo de distribuio
acumulada de X. 11) Seja X uma v.a. contnua, que representa o tempo
necessrio para a pintura de uma pea de automvel, em horas, com funo
densidade de probabilidade dada por: > s) =t1- -s1-t) s (1eees)
P(X) ts P(Xs) P(Xs) X e ts P(X= =>+ >=>> + >+ para
quaisquer s, t > 0
Esteltimoresultadomostraqueadistribuioexponencialapresentaapropriedadede
no possuir memria.Isto significa que a probabilidade desobreviver
mais t unidades de tempo a mesma, quer j se tenham passado s
unidades de tempo, ou 0 unidades. Ou seja, no
henvelhecimento.Estahiptesefrequentementerazovelparaavidademateriais
eletrnicos.
Exemplo5:Umalmpadatemaduraodeacordocomadensidadeexponencialcom
=1000. Determinar: a)a probabilidade de que essa lmpada queime
antes de 1.000 horas; b)a probabilidade de que ela queime depois de
sua durao mdia; c)a varincia da distribuio do tempo de durao dessa
lmpada. Soluo: Seja T o tempo de durao da lmpada. a) P( T <
1.000) == =1 -10000t10001 e - 1 dt e100011 - 0,3679 = 0, 6321 b) P(
T > 1000) = 0,3679 c) V(T) = (1000)2
4.2.2.Distribuio Weibull A distribuio Weibull tem uma aplicao
importante em Teoria de Confiabilidade. 63
Ohistogramaaseguirfoiconstrudoapartirdedadosprovenientesdeumadistribuio
Weibull.Acurvadesenhadasobreohistogramarepresentaafunodensidadedesta
distribuio, que tambm do tipo assimtrico positivo. Grfico da funo
densidade da Distribuio Weibull com parmetros =2 e =2 xf(x)0 1 2 3
40.00.10.20.30.4
UmavarivelaleatriacontnuaX,queassumevaloresno-negativos,teruma
distribuio Weibull com parmetros > 0 e > 0, se sua fdp for
dada por: contrrio caso ,00 x,xexp x) f(x1 -)`||
\|= Propriedades:a) E(X) = |||
\|+ 11 b) V(X) = )`((
|||
\|+ |||
\|+ 221112 c) )`||
\|=0 x xexp - 10 x0,F(x) 64 d)Se=1tem-se xe x f=1) (
.Portanto,adistribuioexponencialumcasoparticularda distribuio
Weibull. Obs: O smbolo denota a funo gama, que dada por: ( ) > =
0x 1 k0. kpara definida dx, e x kPode-se mostrar que se k for um
nmero inteiro positivo, obtm-se que (k) = (k-1)!
Exemplo7:Otempodevida,emhoras,deumcomponenteeletrnicosegueadistribuio
Weibull com = 0,4 e = 0,5. a)Qual a vida mdia? b)Calcule a varincia
do tempo de vida desse componente. c)Qual a probabilidade do tempo
de vida desse componente ultrapassar 30 horas? Soluo: T: tempo de
vida do componente eletrnico em horas a) E(T) =( ) 8 , 0 3 ) 4 , 0
( = b) V(T) =( ) [ ] { } 2 , 3 3 ) 5 ( ) 4 , 0 (2= c) P( T> 30 )
= )`||
\|5 , 00,430exp = 0,8909 4.2.3.Distribuio Normal (ou Gaussiana)
Existemvriasdistribuiestericasquepodemserusadaspararepresentarfenmenos
reais.Dentreestas,umadasmaisimportantesadistribuionormal.Aseguirfaremosum
breve estudo desta distribuio.Importncia da distribuio normal:
1.Representa com boa aproximao as distribuies de freqncias
observadas de muitos fenmenos naturais e fsicos; 2.Distribuies
importantes, como por exemplo a binomial e Poisson, podem ser
aproximadas pela normal, simplificando o clculo de probabilidades;
3.A distribuio amostral das mdias (e propores) em grandes amostras
se aproxima da distribuio normal, o que nos permite fazer estimaes
e testes estatsticos. 65 Uma varivel aleatria X, que assume valores
em R, tem distribuio normal com parmetros e 2 se sua funo de
densidade probabilidade dada por: 0 e , x , x21exp21f(x)22> <
< < < (((
||
\| = Notao: X~N(, 2 )
Ohistogramaaseguirfoiconstrudoapartirdedadosprovenientesdeumadistribuio
normal.Acurvadesenhadasobreohistogramarepresentaafunodensidadedeuma
distribuio normal. Vemos que este grfico do tipo simtrico. Grfico
da funo densidade da distribuio normal com parmetros =10 e 2=4
importante ressaltaradiferena que existe entre o histograma ea
curva: o histograma
umarepresentaodadistribuiodoselementos(dados)deumaamostraextradadeuma
populao,enquantoacurvarepresentaadistribuiotericaquemelhorseaproximado
histograma observado.Propriedades: a)E(X) = e V(X) = 2( -
desvio-padro); b)A curvanormal simtrica com relao a sua mdia , ou
seja: f(+x) = f (- x); 66 P( - x X ) = P( X x+ ); P(X> ) = P (X
< ) = 0,5. c)A moda e a mediana de X so iguais a; d)A distncia
entre e os pontos de inflexoda curva igual a ; Distribuio NormalN(
,,,, 2)-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 + Exemplos de curvas da distribuio
normal para diferentes valores dos parmetros mdias diferentes,
desvios padro iguais ( = 10 cm) 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03
0.035 0.04 0.045 123130137144151158165172179186193200207 altura
(cm) = 165 = 179 67 mesma mdia, desvios padro distintos = 172 cm 0
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
128132136140144148152156160164168172176180184188192196200204208
altura (cm) = 12 = 7 = 5 Clculo das probabilidades de uma
distribuio normal A probabilidade de uma varivel aleatria normal X
assumir valores entre dois nmeros a e b (a < b) igual rea sob a
curva no intervalo [a,b], isto , P(a < X < b) =dx(((
||
\| ba2x21exp21 Esta probabilidade pode ser obtida atravs de uma
transformao na varivel aleatria X como veremos a seguir.
Adistribuionormalpossuiumimportantepropriedadequepermitequequalquer
varivelaleatriacomestadistribuiopossasertransformadaemumaoutravarivelcom
distribuio normal com parmetros = 0 e 2=1. Teorema:Se X ~ N (, 2)
ento a varivel transformada( ) =XZtem distribuio N(0,1), isto ,
Portanto,) ( ) ( z Z Pa XP a X P = ||
\| = com( ) =XZ 68 As probabilidades para a distribuio normal
(0,1) tambm chamada de Normal Padro ou Normal Padronizada esto
tabeladas. Pelo exposto acima vemos que atravs desta tabela podemos
obter as probabilidades para qualquer outra distribuio normal. H
vrios tipos de tabelas que nos fornece as probabilidades para a
distribuio normal padro. Faremos uso do tipo que est em anexo. Essa
tabela fornece a rea sob a curva no intervalo de zero at o ponto z,
isto , P(0 Z z).Os elementos dessa tabela so: Na primeira coluna
encontra-se a parte inteira e a primeira casa decimal do valor de
z; A primeira linha refere-se segunda casa decimal do valor de z;
As probabilidades so encontradas no cruzamento das linhas com as
colunas. Graficamente, a probabilidade fornecida pela tabela a
seguinte: A rea sombreada no grfico corresponde seguinte
probabilidade: Como a curva normal padro uma funo simtrica em relao
0: f(z)=f (- z); P(- z Z 0)= P(0 Z z ); P(Z > 0 ) = P (Z < 0)
= 0,5. Exemplos de uso da tabela da distribuio normal padro:
Calcule P(0 Z 0,51 )A rea que representa esta probabilidade : z0
f(z) 69 A seguir, como obter essa probabilidade na tabela da
distribuio normal padro z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09
0.00.00000000.00398940.00797830.01196650.01595340.01993880.02392220.02790320.03188140.0358564
0.10.03982780.04379530.04775840.05171680.05567000.05961770.06355950.06749490.07142370.0753454
0.20.07925970.08316620.08706440.09095410.09483490.09870630.10256810.10641990.11026120.1140919
0.30.11791140.12171950.12551580.12930000.13307170.13683070.14057640.14430880.14802730.1517317
0.40.15542170.15909700.16275730.16640220.17003140.17364480.17724190.18082250.18438630.1879331
0.50.19146250.19497430.19846820.20194400.20540150.20884030.21226030.21566120.21904270.2224047
0.60.22574690.22906910.23237110.23565270.23891370.24215390.24537310.24857110.25174780.2549029
Calcule P(-2,35 Z 0) Calcule P(-1 Z 1)A rea que representa esta
probabilidade : Esta rea pode ser separada em duas subreas, que so:
P(-1 Z 1) = P(-1 Z 0) + P(0 Z 1) = 0, 3413 + 0, 3413 = 0, 6826 e 70
Calcule P(Z 1,62) Esta rea pode ser pensada da seguinte forma: P(Z
1,62) = 0,5 P(0 Z 1,62 ) = 0,5 0,4474 = 0,0526 Calcule P(1,03 Z
2,01 ) A rea que representa esta probabilidade : Esta rea pode ser
pensada da seguinte forma: P(1,03 Z 2,01 ) = P(0 Z 2,01) - P(0 Z
1,03) 71 Determine z tal que P(0 Z z0) = 0,395
Para encontrar o ponto z0, que corresponda probabilidade P(0 Z
z0)= 0,395, procure no meio da tabela da curva normal padro o valor
da rea exata ou o mais prximo possvel da requerida.Neste caso, o
ponto procurado 1,25. Logo, z0= 1,25 Exemplos: 1) Usando a tabela
da normal padro podemos obter: P(0 Z 1) = 0,3413P(-2,55 Z 1,2) = 0,
4946+ 0,3849 = 0,8795 P(Z1,93) =0,5 0, 4732 = 0,0268
2)Acaractersticadaqualidadedeinteresse,associadaaumprocessoqueestsobcontrole
estatstico,normalmentedistribudacommdia100edesvio-padro5.Asespecificaes
estabelecidas para esta caracterstica da qualidade so 95 10. a)Qual
e a proporo de no-conformidade referente a esta caracterstica?
b)Qualeaproporodeno-conformidadereferenteaestacaracterstica,seoprocesso
passasse a operar centrado no valor 95, chamado valor nominal da
especificao? Soluo: a)P(X > 105) + P(X < 85) = ||
\| < + ||
\| >5100 85Z P5100 105Z P== P(Z > 1) + P(Z < -3) =(0,5
- 0,3413) + (0,5 - 0,4987) = 0,1600 b) = 95 P(X > 105) + P(X
< 85) = ||
\| < + ||
\| >595 85Z P595 105Z P== P(Z > 2) + P(Z < -2)=2 (0,5
0,4772) = 0,0456 72 4 LISTA DE EXERCCIOS 1)Seja Z uma varivel
aleatria com distribuio normal padro. Determine o valor de z:
a)P(Z
