Upload
gilberto-marquiori-marquiori
View
3.938
Download
9
Embed Size (px)
Citation preview
Resistência dos Materiais – Parte II
RESISTÊNCIA DOS
MATERIAIS
(PARTE II)
Prof. Glauco José de Oliveira Rodrigues
CENTRO UNIVERSITÁRIO AUGUSTO MOTTA
Resistência dos Materiais – Parte II
i
Índice
1. TORÇÃO ____________________________________________________________________________2
1.1. TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR _________________________________________________________2 1.2. TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR VAZADA _________________________________________________5 1.3. TORÇÃO EM SEÇÕES NÃO CIRCULARES __________________________________________________6 1.4. TORÇÃO EM SEÇÕES DE PAREDES FINAS _________________________________________________8
2. ENERGIA DE DEFORMAÇÃO: APLICAÇÃO AO CÁLCULO DE DESL OCAMENTOS________9
2.1. INTRODUÇÃO ________________________________________________________________________9 2.2. TRABALHO EXTERNO DE DEFORMAÇÃO – O TEOREMA DE CLAPEYRON ______________________10 2.3. ESTADO TRIPLO DE TENSÕES _________________________________________________________12 2.4. COEFICIENTE DE POISSON____________________________________________________________12 2.5. LEI DE HOOKE GENERALIZADA _______________________________________________________13 2.6. TRABALHO INTERNO DE DEFORMAÇÃO . ENERGIA DE DEFORMAÇÃO (UI) _____________________15 2.7. TRABALHO INTERNO NA FLEXÃO (M)___________________________________________________16 2.8. TRABALHO INTERNO NA SOLICITAÇÃO AXIAL (N) ________________________________________17 2.9. TRABALHO INTERNO NO CISALHAMENTO (V) ____________________________________________18 2.10. TRABALHO INTERNO NA TORÇÃO (T)__________________________________________________19 2.11. ENERGIA INTERNA TOTAL (UI): ______________________________________________________20
3. O TEOREMA DE CASTIGLIANO _____________________________________________________30
3.1. INTRODUÇÃO _______________________________________________________________________30 3.2. COEFICIENTES DE INFLUÊNCIA ________________________________________________________30 3.3. DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE CASTIGLIANO _________________________________________31 3.4. OBSERVAÇÕES _____________________________________________________________________32 3.5. EXPRESSÃO DO TEOREMA DE CASTIGLIANO APLICÁVEL AOS PÓRTICOS PLANOS _______________33 3.6. DETERMINAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS MÁXIMOS NAS VIGAS FUNDAMENTAIS ________________34
4. LINHA ELÁSTICA DE VIGAS FLETIDAS ______________________________________________43
4.1. INTRODUÇÃO _______________________________________________________________________43 4.2. PROCESSO DA INTEGRAÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA LINHA ELÁSTICA __________________43 4.3. CONDIÇÕES DE CONTORNO DEVIDAS AOS APOIOS _________________________________________44 4.4. CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM VIGAS ATRAVÉS DA ANALOGIA DE MOHR __________________48
Bibliografia Recomendada:
� Resistência dos Materiais – Beer / Russel – 3a edição – Ed. Makron Books
� Resistência dos Materiais – R. C. Hibbeler – 5a edição – Ed. Pearson / Prentice Hall
Resistência dos Materiais – Parte II
2
1. TORÇÃO
1.1. TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR
Considere-se uma barra de seção transversal circular sofrendo torção por pelos momentos torçores de módulo T, mesma direção e sentidos contrários, que atuam em suas extremidades como mostrado na figura abaixo.
Uma barra carregada desse modo está sob torção pura. Pode-se demonstrar que as seções transversais da barra circular giram como corpos rígidos, em torno do eixo longitudinal, cujos raios permanecem retos e as seções continuam circulares se o ângulo total de torção for pequeno.
Considera-se ainda que nestas circunstâncias não haverá variação do comprimento da barra.
Durante a torção, haverá rotação em torno do eixo longitudinal, de uma extremidade da barra em
relação à outra. Considera-se então que uma extremidade da barra gira num ângulo φφφφ em relação à outra extremidade, como na figura anterior. Ao mesmo tempo, uma linha longitudinal na superfície da barra, tal como nn, gira num pequeno ângulo para a posição nn’. Como conseqüência, um elemento retangular na superfície da barra, tal como o que se vê na figura entre as duas seções transversais, na distância dx, sofre um distorção.
Na figura ao lado, esse elemento aparece novamente sobre um disco, isolado do restante da barra. A configuração inicial do elemento está designada por abdc. Durante a torção, a seção transversal da direita gira, e os pontos b e d movem-se para b’ e d’, respectivamente.
O comprimento do elemento não varia durante esta rotação, porém os ângulos dos vértices não continuam retos. Vê-se, então, que o elemento está em estado de cisalhamento puro e que o valor da deformação de cisalhamento, γγγγ, é igual ao decréscimo do ângulo bab’.
Para um ângulo muito pequeno podemos escrever que: γ =bb
ab
'
A distância bb’ é o comprimento de um pequeno arco de raio r, subtendido pelo ângulo dφ, que é o ângulo de rotação de uma seção transversal em relação à outra. Então bb’ = rdφ. A distância ab é igual a dx, comprimento do elemento.
Com esses valores na equação anterior temos: γφ
=rd
dx (a)
Resistência dos Materiais – Parte II
3
Quando um eixo está sujeito à torção pura, a taxa de variação dφ do ângulo de torção é constante ao longo do comprimento dx da barra. Esta constante é o ângulo de torção por unidade de comprimento que será designado por θ. Então, θ = φ/L, onde L é o comprimento da barra.
Da Eq.(a), vem: γ θφ
= =rr
L (b)
As tensões de cisalhamento, τ, que agem nos lados do elemento têm os sentidos vistos na primeira figura. No caso de material linearmente elástico, a intensidade da tensão de cisalhamento é pode ser definida pela Lei de Hooke Generalizada da seguinte forma:
τ γ θ= =G Gr (c)
As Eqs. (b) e (c) relacionam as deformações e tensões na superfície do eixo com o ângulo de torção por unidade de comprimento.
O estado de tensão no interior do eixo pode ser determinado de modo análogo ao que foi feito para a superfície. Como os raios das seções transversais permanecem retos e sem distorção durante a torção, vê-se que é válida a discussão precedente, feita para um elemento abcd da superfície lateral como, também, para um elemento semelhante, situado na superfície de um cilindro interior de raio ρρρρ, visto na figura ao lado.
Assim, este elemento está também, em torção pura e tanto a deformação como a tensão de cisalhamento podem ser calculadas pelas expressões seguintes:
ρθτρθγ G== ; (d)
Estas equações mostram que a deformação e a tensão de cisalhamento variam linearmente com o raio ρρρρ, tendo seus valores máximos na superfície do eixo. A distribuição da tensão está representada na anterior pelo diagrama triangular de tensões.
As tensões de cisalhamento, dadas pela Eq. (d/2), agem no plano da seção transversal e são acompanhadas por tensões de cisalhamento iguais, que atuam em planos longitudinais do eixo. Isto resulta do fato de sempre haver tensões de cisalhamento iguais atuando em planos ortogonais. Se o material for mais fraco ao cisalhamento longitudinal do que ao lateral (por exemplo, madeira), as primeiras fissuras no eixo aparecerão na superfície, na direção longitudinal.
O estado de cisalhamento puro na superfície do eixo é equivalente a tensões iguais de tração e compressão em um elemento a 45º. Se um material mais fraco à tração do que ao cisalhamento for torcido, a falha ocorrerá por tração ao longo de uma hélice com inclinação de 45° em relação ao eixo. Este tipo de falha pode facilmente ser demonstrado pela torção de um pedaço de giz.
Resistência dos Materiais – Parte II
4
Será estabelecida agora a relação entre o torque (momento de torção), T, aplicado e o ângulo de torção que ele ocasiona. A resultante das tensões de cisalhamento deve ser estaticamente equivalente ao torque total, T. A força de cisalhamento que atua num elemento de área dA (hachurado na figura abaixo) é τdA, e o momento desta força em torno da linha de centro da barra é τρdA.
Substituindo o valor ρθτ G= na equação do momento, vê-se que este momento infinitesimal
causado pela força sobre a área dA é igual a Gθ ρ2dA.
O torque total T é dado pela integral desse momento elementar sobre toda a área da seção transversal, isto é:
T G dA G dA G J= = =∫∫ θρ θ ρ θ2 2 (e)
Onde J dA= ∫ρ2 é o momento de inércia polar da seção transversal circular. Para um círculo de
raio r e diâmetro d, o momento de inércia polar é: 322
44 drJ
ππ ==
Rearranjando a Eq. (e) temos que: θ =T
GJ
Mostrando que o ângulo de torção por unidade de comprimento, θ, é diretamente proporcional ao torque T e inversamente proporcional ao produto GJ, conhecido como módulo de rigidez à torção do eixo.
O ângulo total de torção, φ, igual a θL, substituindo na Eq.(e) θ por φ/L temos:
φ =TL
GJ
Esta equação é de grande utilidade na verificação experimental da teoria e tem sido confirmada por inúmeras experiências, que justificam as hipóteses feitas na sua dedução. Deve-se notar também que a torção é usada em experiências para determinação do módulo de elasticidade transversal, G, de vários materiais. Medindo-se o ângulo de torção produzido por um determinado torque no eixo, o valor de G pode facilmente ser calculado pela Eq. anterior
Entrando com θ, da Eq. (3.7), na Eq. (3.2), obtém-se uma expressão para o cálculo da tensão máxima de cisalhamento em eixos circulares sujeitos a torção:
Entrando com θ =T
GJ na equação θτ Gr= expressão para o cálculo da tensão máxima de
cisalhamento em eixos circulares sujeitos a torção:
τmá x
Tr
J. =
Mostrando que a tensão máxima de cisalhamento é diretamente proporcional ao torque, T, aplicado e inversamente proporcional ao momento de inércia polar da seção transversal.
A tensão de cisalhamento em qualquer ponto da seção transversal, numa distância ρ do centro pode então ser definida como:
τρ
=T
J
Resistência dos Materiais – Parte II
5
1.2. TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR VAZADA
A tensão de cisalhamento numa barra de seção circular, como foi visto é máxima na superfície e nula no centro. Em conseqüência, grande parte do material trabalha com tensões bem inferiores à admissível. Se a redução de peso e a economia de material forem fatores importantes, é preferível usar eixos vazados.
A análise da torção de barras circulares vazadas baseia-se nas mesmas hipóteses levantadas anteriormente. Como os raios da seção transversal permanecem retos, as expressões para as tensões e deformações de cisalhamento deduzidas podem ser utilizadas.
É claro que a distância radial, ρ, que aparece naquelas expressões está limitada ao intervalo r1, r2 onde r1 é o raio interno e r2, o externo, da seção transversal do tubo, conforme a figura ao lado.
r1
r2
As relações entre o torque, T, aplicado e o ângulo de torção por unidade de comprimento, θ, podem ser encontradas nas, tomando-se os limites de integração como ρ = r1 e ρ = r2. Assim, a expressão T = GθJ ainda é válida, sendo J agora o momento de inércia polar da área da coroa circular:
)dd(32
)rr(2
J 41
42
41
42 −π=−π=
As equações básicas para θ, φ e τ podem ser empregadas desde que J seja calculado pela expressão acima.
Exemplo 1.1
Para a coluna da figura de diâmetro constante igual a 60 mm e cujos comprimentos estão em metros, pede-se:
� Calcular a tensão cisalhante em um ponto da seção à meia altura da base da coluna que dista 15 mm do centro de gravidade da seção;
� Calcular a tensão cisalhante máxima atuante.
Solução:
2
304×= πPJ ∴ 403.1272345 mmJP =
1503.1272345
103 6
××=τ ∴ MPa37.35=τ
3003.1272345
103 6
max ××=τ MPa74.70=τ
3kN
Resistência dos Materiais – Parte II
6
Exemplo 1.2
Considere a estrutura mostrada na figura abaixo, sujeita à torção pura, onde MPaBCAB
80== ττ :
Traçar o diagrama de momentos torçores e verificar se a estrutura atende ou falha.
Solução:
MParJ
TABAB
PAB 64100
32
200
101004
6
=∴××
×=∴= τπ
ττ
( ) MParJ
TBCBCBC
PBC 108250
4,924397930
10400250
32
480500
10400 6
44
6
=∴××=∴×−
×=∴= ττπ
ττ
O trecho AB atende, o trecho BC falha.
1.3. TORÇÃO EM SEÇÕES NÃO CIRCULARES
tW
T=maxτ e GJ
TL=θ
Onde:
Wt é o módulo de seção;
J é o momento de inércia polar da seção transversal.
Resistência dos Materiais – Parte II
7
Retangular J Wt
hb3β hb2α
No caso particular da seção transversal retangular, tem-se que:
maxτ , ocorre na metade do lado maior (h).
h/b 1,0 1,5 1,75 2,0 2,5 3,0 4,0 6,0 8,0 10,0 ∞
α 0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 1/3
β 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 1/3
b
h
Resistência dos Materiais – Parte II
8
1.4. TORÇÃO EM SEÇÕES DE PAREDES FINAS
meA
T
2=τ
Onde:
e = espessura da parede
Am = Área do núcleo da seção
Exemplo 1.3
Calcular a tensão cisalhante máxima (T=20kNm)
( )MPa13,0
7797001002
1020 6
1 =××
=τ
( ) ←=××
= MPa21,0779700602
1020 6
2τ
( )MPa11,0
7797001202
1020 6
3 =××
=τ
( )MPa16,0
779700802
1020 6
4 =××
=τ
120mm
60mm
100mm
80mm
2
1
3
4
Am = 779700m2
Resistência dos Materiais – Parte II
9
2. ENERGIA DE DEFORMAÇÃO: APLICAÇÃO AO CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS
2.1. INTRODUÇÃO
Considere um corpo deformável, como por exemplo, uma barra de uma estrutura metálica, submetido à ação de uma carga externa estaticamente aplicada, isto é, com valor gradualmente crescente, sem a produção de impacto ou vibrações.
O conceito de carga estaticamente aplicada pode ser melhor entendido, se for imaginada uma viga que servirá de suporte para uma caixa d’água. Se esta caixa d’água for colocada vazia sobre esta viga e for sendo enchida com uma mangueira, pode-se dizer que, quando cheia, esta caixa d’água será uma carga estaticamente aplicada. Caso contrário, se a mesma for posicionada já cheia sobre a viga de suporte, não se pode dizer o mesmo, pois haverá a produção de impacto ou vibração na viga mencionada.
Durante o processo de deformação da viga, os pontos de aplicação das cargas se deslocam, à medida que estas cargas crescem. Como existe uma força (P), bem como um deslocamento (∆ ) segundo a linha de ação desta força, diz-se que houve a produção de um trabalho ( ∆= PW ), denominado Trabalho Externo (trabalho das cargas externas).
Simultaneamente à aplicação das cargas externas, e como conseqüência delas, são despertadas tensões internas no material, que correspondem a forças elementares internas (produto das tensões pelas áreas elementares dos pontos em que atuam), que se deslocam em virtude das deformações que sempre acompanham as tensões. Na figura temos, por exemplo, ( )dxdydF zz σ= .
Consequentemente ocorre produção de Trabalho Interno (trabalho dos esforços internos), originado do produto das forças elementares internas pelos deslocamentos mencionados anteriormente ( zz ddFW ∆= ). Este trabalho fica armazenado sob a forma de Energia de Deformação.
Em Resistência dos Materiais, os sistemas são considerados conservativos, ou seja, são desprezadas quaisquer formas de dissipação de energia, de tal forma que a energia de deformação depende, exclusivamente, dos estados inicial e final do processo de carregamento, e não de estados intermediários.
Resistência dos Materiais – Parte II
10
Isto posto, segundo o Princípio da Conservação de Energia, podemos estabelecer que:
“Um sistema estrutural em equilíbrio conservativo está em equilíbrio, se a energia de deformação armazenada é igual a trabalho realizado pelas cargas externas”.
ei WU =
Nos estudos que se seguem, este princípio será aplicado às estruturas de comportamento linear, isto é, aquelas para as quais seja válida a Lei de Hooke (linearidade física, tensões diretamente proporcionais às deformações), sendo as cargas proporcionais aos deslocamentos (linearidade geométrica), caso em que se pode aplicar o Princípio da Superposição dos Efeitos (exceção feita ao cálculo da Energia de Deformação. Conforme se verá adiante, é uma função quadrática não linear).
2.2. TRABALHO EXTERNO DE DEFORMAÇÃO – O TEOREMA DE CLAPEYRON
Conforme definido anteriormente, é o trabalho realizado pelas cargas externas no processo de deformação. Para sua determinação, considere a viga da figura abaixo:
Conforme se pode observar, sendo as cargas proporcionais aos deslocamentos (linearidade geométrica), pode-se escrever:
Pα=∆ , onde α é uma constante que evidencia a relação de proporcionalidade direta entre as cargas aplicadas e os respectivos deslocamentos.
dPd α=∆
Quando a carga P sofrer um acréscimo dP ao longo do seu processo de crescimento lento e gradual (carga estaticamente aplicada, vide exemplo da caixa d’água), o deslocamento a ela correspondente, ao longo da sua linha de ação, sofrerá um acréscimo ∆d , realizando-se neste instante o trabalho elementar:
( ) ( ) ( )2dPPdPdWdPdPPdWddPPdW eee ααα +=∴+=∴∆+=
∆
Resistência dos Materiais – Parte II
11
Desprezando-se o infinitésimo de ordem superior vem:
PdPdWe α=
Logo, o trabalho das cargas externas ao final do processo de deformação será:
∫ ==P
e
PPdPW
0
2
2αα
Daí o enunciado do Teorema de Clapeyron:
“O trabalho realizado por cargas agindo estaticamente, isto é, de forma lenta e gradual, é igual à metade da soma dos produtos dos valores finais das cargas pelos valores finais dos deslocamentos de seus
pontos de aplicação, segundo suas linhas de ação”.
Portanto:
P
∆=α
Temos:
∆= PWe 2
1
O que sugere que o trabalho total realizado durante o processo de deformação de uma estrutura, ou parte dela, corresponde à área hachurada do gráfico apresentado na figura mostrada a seguir, que, conforme se pode observar, corresponde a um triângulo.
Resistência dos Materiais – Parte II
12
2.3. ESTADO TRIPLO DE TENSÕES
O estado triplo de tensões em um ponto infinitesimal (paralelepípedo elementar), caracteriza-se pela existência de tensões (normais e cisalhantes), oriundas de esforços solicitantes (Solicitação Axial – N, Momento Fletor – M, Força Cortante – V, e Momento Torçor – T) atuantes em mais de um plano de carregamento. Diz-se, neste caso, que qualquer ponto da seção transversal, no qual estes esforços solicitantes estejam sendo analisados estará submetido, de forma geral, a estado triplo de tensões, conforme mostram as figuras a seguir.
Pode-se observar o surgimento de tensões normais σ (perpendiculares às facetas do paralelepípedo elementar) e tangenciais τ (paralelas, ou seja, contidas no plano das facetas do paralelepípedo elementar).
2.4. COEFICIENTE DE POISSON
Considerando-se o paralelepípedo elementar da figura anterior, em estado triplo de tensões. Sejam
zyx εεε ,, as deformações lineares, e xzyzxy γγγ ,,
as deformações angulares (também denominadas distorções) do ponto considerado.
Ponto P
(ampliando)
dz
dx dy
Resistência dos Materiais – Parte II
13
2zε
x
z
dx 2xε
2xε
xσ xσ
2zε
A figura anterior, que corresponde a uma vista lateral no plano xz do paralelepípedo elementar (ou de qualquer outras facetas ou planos do paralelepípedo elementar que se queira analisar), mostra a ação individual da tensão trativa xσ , bem como as deformações correspondentes, xε (alongamento) e zε
(encurtamento).
Pode-se então concluir que, para que um corpo (ou um ponto deste corpo) se deforme linearmente em uma dada direção cartesiana, por ação de uma correspondente tensão normal, com volume (massa) constante, é necessário que haja uma “compensação ortogonal”. Em outras palavras, do alongamento na direção x, decorre o encurtamento na direção z, que é ortogonal à anterior, e que também está contida no plano da tensão original.
Define-se então como Coeficiente de Poisson (ou Razão de Poisson) a constante que relaciona de maneira proporcional deformações lineares longitudinais, com suas deformações lineares transversais decorrentes. Esta relação de proporcionalidade se traduz matematicamente, pelos módulos de elasticidade longitudinal (E) e transversal (G), a partir da seguinte equação:
( )ν+=
12
EG
Onde ν , representa o Coeficiente de Poisson do material, que se define matematicamente como uma constante e, assim como E e G, é propriedade específica de cada material, determinada por meio de ensaios de laboratório.
2.5. LEI DE HOOKE GENERALIZADA
A partir do Coeficiente de Poisson definido anteriormente, podemos concluir que a Lei de Hooke, na sua forma mais clássica ( εσ E= ), nada mais é que a simplificação (ou particularização) de uma lei mais geral, para o caso de deformações de barras esbeltas nas seguintes condições:
Dimensões da seção transversal, insignificantes na presença do comprimento da mesma;
Solicitadas exclusivamente de forma axial (força normal N de tração ou compressão).
Resistência dos Materiais – Parte II
14
Uma relação de proporcionalidade que faça a relação entre tensões e deformações, deve levar em conta os efeitos de encurtamento transversal em caso de alongamento (e vice e versa). Define-se então a Lei de Hooke Generalizada, aplicável diretamente às vigas prismáticas (que não possuem dimensões da seção transversal, insignificantes em relação ao seu comprimento), bem como despertam tensões normais provocadas por Momentos Fletores (M), além das provocadas pela força axial (N):
( )[ ]zyxx Eσσνσε +−= 1
( )[ ]zxyy Eσσνσε +−= 1
( )[ ]yxzz Eσσνσε +−= 1
Esta relação é extensiva às distorções (provocadas pelas tensões tangenciais τ ), porém de forma simplificada, uma vez que, em ensaios de laboratório, verificou-se que uma deformação angular ocorrida em um determinado plano de tensões, não influencia em distorções em planos ortogonais, tornando válidas as mesmas hipóteses simplificadoras da Lei de Hooke, em cada plano de observação ( γτ G= ):
Gxy
xy
τγ =
Gxz
xz
τγ = G
yzyz
τγ =
Com a observação da figura anterior, percebe-se que é inteiramente válido o Princípio da Reciprocidade das Tensões de Cisalhamento, ou seja, quando atuar uma tensão cisalhante perpendicularmente à aresta de um paralelepípedo elementar, atuará ortogonalmente à mesma aresta, em um plano ortogonal, tensão cisalhante de igual intensidade.
Resistência dos Materiais – Parte II
15
2.6. TRABALHO INTERNO DE DEFORMAÇÃO. ENERGIA DE DEFORMAÇÃO (UI)
Considerando o paralelepípedo elementar em estado triplo de tensões, apresentado anteriormente. Baseando-se na definição de Trabalho Interno, podemos separar as parcelas deste devidas, respectivamente às tensões normais e tangenciais:
(a) Trabalho interno correspondente às tensões normais:
( ) dxdydzdU zzyyxxi
++=
222
εσεσεσσ
(b) Trabalho interno correspondente às tensões tangencias:
( ) dxdydzdU yzyzxzxzxyxyi
++=
222
γτγτγττ
Observa-se que o coeficiente ½, advém do Teorema de Clapeyron, definido anteriormente.
O trabalho elementar interno total será:
( ) ( ) ( )τσ iii dUdUdU +=
( ) ( )dxdydzdU yzyzxzxzxyxyzzyyxxi γτγτγτεσεσεσ +++++=2
1
Aplicando-se a Lei de Hooke Generalizada e considerando dxdydzdv = , temos:
( ) ( ) ( ) dvGEE
dU yzxzxyzxzyyxzyxi
+++++−++= 222222
2
1
2
1 τττσσσσσσυσσσ
( ) ( ) ( )∫∫
+++++−++==v
yzxzxyzxzyyxzyx
v
ii dvGEE
dUU 222222
2
1
2
1 τττσσσσσσυσσσ
Devido à natureza extremamente particular da ação dos efeitos mecânicos (M, N, V e T) sobre os componentes estruturais por eles solicitados, pode-se particularizar o cálculo da Energia de Deformação produzida por tais efeitos, quantificando-os da seguinte forma:
Resistência dos Materiais – Parte II
16
2.7. TRABALHO INTERNO NA FLEXÃO (M)
Neste caso, tem-se:
0=====
=
yzxzxyzy
x yI
M
τττσσ
σ
Logo,
[ ] ∫=v
xMi dv
EU
2
2σ
[ ] ∫
=
vMi dv
I
yM
EU
2
22
2
1
[ ] ∫ ∫=l A
Mi dAydxEI
MU 2
2
2
2
1
Desdobra-se a integral de volume em duas integrais, respectivamente ao longo do comprimento (l ) e da superfície da seção transversal de área (A) e, observa-se que, no integrando ao longo de A, devem permanecer todas as grandezas que possam variar ao longo da seção transversal.
Por definição dAyIA∫= 2 (momento de inércia em relação à linha neutra gerada pela flexão, ver
Mecânica);
[ ] dxEI
MU Mi ∫=
l
2
2
1
Resistência dos Materiais – Parte II
17
2.8. TRABALHO INTERNO NA SOLICITAÇÃO AXIAL (N)
Neste caso, tem-se:
0=====
=
yzxzxyzy
x A
N
τττσσ
σ
Logo,
[ ] ∫=v
xNi dv
EU
2
2σ
[ ] ∫
=
vNi dv
A
N
EU
2
2
2
1
[ ] ∫ ∫=l A
Ni dAdxEA
NU
2
2
2
1
Desdobra-se a integral como no caso anterior, ou seja, mantendo na integral de comprimento as grandezas que veriam ao longo do comprimento e, na integral de área as grandezas que veriam ao longo da área de seção transversal.
Por definição, ∫=A
dAA (área da seção transversal);
[ ] dxEA
NU Ni ∫=
l
2
2
1
Resistência dos Materiais – Parte II
18
2.9. TRABALHO INTERNO NO CISALHAMENTO (V)
Neste caso, tem-se:
0=====
=
yzxzzyx
exy
bI
Vm
ττσσσ
τ
Logo,
[ ] ∫=v
xy
Vi GU
2
2τ
[ ] dvIb
mV
GU e
vVi 22
22
2
1∫=
[ ] dAb
mdx
GI
VU
A
eVi ∫∫=
2
2
2
2
2
1
l
,
Mas: 2AiI =
Onde i é o raio de giração da seção transversal, podendo-se escrever:
[ ] dAb
m
Aidx
GA
VU
A
eVi ∫∫=
2
2
4
2 1
2
1
l
dAb
m
Aif
A
ec ∫=
2
2
4
1
Verifica-se que o fator (fc) é uma constante que somente depende da forma da seção transversal, denominado Fator de Cisalhamento. Portanto, pode-se escrever então:
[ ] dxGA
VfU c
Vi ∫=l
2
2
Exemplos de fatores de cisalhamento:
Forma da seção transversal fc
Retangular 6/5=1,2
Circular 10/9=1,1
Perfil “I” dt
A
w
d tw
Resistência dos Materiais – Parte II
19
2.10. TRABALHO INTERNO NA TORÇÃO (T)
Neste caso, tem-se:
0=====
=
yzxzzyx
xy rJ
T
ττσσσ
τ
Logo,
[ ] ∫=v
xy
Ti GU
2
2τ
[ ] dvrJ
T
GU
vTi
22
2
2
1∫=
dArdxGJ
TU
A
T ∫∫= 22
2
2
1
l
Por definição, dArJ
A∫= 2
(momento de inércia em relação à linha neutra gerada pela flexão, ver Mecânica);
[ ] dxGJ
TU Ti ∫=
l
2
2
1
Exemplos de momento de inércia à torção (J) de algumas seções transversais:
Forma da seção transversal
J
−
4
44
132 D
dDπ
hb34
052,063,0
3
1
+−λ
λλ
b
h=λ
4
80
3a
b
h
d D
a a
a
Resistência dos Materiais – Parte II
20
2.11. ENERGIA INTERNA TOTAL (UI):
Para a ação simultânea de M, N, V e T, a expressão da energia interna é definida como sendo:
[ ] [ ] [ ] [ ]TiViNiMii UUUUU +++=
Ou seja,
dxGJ
Tdx
GA
Vfdx
EA
Ndx
EI
MU c
i ∫∫∫∫ +++=2222
2
1
22
1
2
1
E Módulo de elasticidade longitudinal do material (Módulo de Young);
G Módulo de elasticidade transversal do material (Módulo de Coulomb);
I Momento de inércia da seção em relação à linha neutra da flexão;
A Área da seção transversal;
J Momento de inércia à torção da seção transversal;
EI Rigidez à flexão (Rigidez flexional);
EA Rigidez axial (Rigidez longitudinal);
GA Rigidez ao cisalhamento (Rigidez transversal);
GJ Rigidez à torção (Rigidez torcional).
Em casos onde há predominância de atuação de um determinado efeito em detrimento de outro (por exemplo, em barras de treliças, o efeito predominante é a solicitação axial, seja de tração ou de compressão), a energia de deformação armazenada, será considerada de forma particular, conforme a ação, da forma mostrada na tabela a seguir:
As integrais são estendidas a todo comprimento da estrutura, podendo ser calculada membro a membro, conforme mostram os exemplos a seguir:
Resistência dos Materiais – Parte II
21
Exemplo 2.1
1. Calcular a energia de deformação armazenada na estrutura devida ao carregamento indicado no pórtico de seção constante da figura;
2. Calcular a translação vertical (flecha) da seção C, utilizando o “Princípio da Conservação da Energia”.
Solução:
As integrais serão realizadas barra a barra, considerando-se os inícios dos intervalos de integração, conforme indicado na figura acima. Não há necessidade de se estabelecer qualquer convenção de sinais, uma vez que as funções variáveis (M, N e V), aparecem elevadas ao quadrado na expressão da energia de deformação. Observe que não haverá o efeito da torção, uma vez que se trata de uma estrutura plana com cargas externas no seu próprio plano.
A partir da análise dos diagramas solicitantes, pode-se descrever a variação das solicitações ao longo de cada barra.
E = 2,1(108) kN/m2
3,0=ν
Resistência dos Materiais – Parte II
22
Barra M (kNm)
N (kN)
V (kN) ∫
BC 100x 0 100 ∫2
0
AB 200 100 0 ∫4
0
dxGA
Vfdx
EA
Ndx
EI
MU c
i ∫∫∫ ++=222
22
1
2
1
DM DN DV
Resistência dos Materiais – Parte II
23
Barra BC:
[ ]
[ ] ( )
[ ]
[ ]GAEI
U
xGA
x
EIU
dxGA
dxxEI
dxGA
dxEI
xU
dxGA
Vfdx
EI
MU
BCi
BCi
BCi
cBCi
12000
3
40000
2
100002,1
32
10000
100002
2,110000
2
1100
2
2,1100
2
1
22
1
2
0
2
0
3
2
0
22
0
2
0
22
0
2
22
+=
×+=
+=+=
+=
∫∫ ∫∫
∫∫
Barra AB:
[ ]
[ ] ( ) ( )
[ ]
[ ]EAEI
U
xEA
xEI
U
dxEA
dxEI
U
dxEA
Ndx
EI
MU
ABi
ABi
ABi
ABi
20000800002
10000
2
40000
100
2
1200
2
1
2
1
2
1
4
0
4
0
4
0
24
0
2
22
+=
+=
+=
+=
∫∫
∫∫
Energia total armazenada:
[ ] [ ]
GAEAEIU
GAEAEIEIU
UUU
i
i
BCiABii
1200020000
3
280000
1200020000
3
4000080000
++=
++
+=
+=
Cálculo da Rigidez:
( )
( ) ( )
( ) 3230769kN4,010,06,2
101,2
3,012
101,2
12
840000040,010,0101,2
112000kNm12
40,010,0101,2
8
8
8
23
8
=××=
+×=
+=
=×××=
=
×××=
GA
EG
kNEA
EI
ν
Logo;
Resistência dos Materiais – Parte II
24
839,3J0,8393kNm
0037,00023,08333,03230769
12000
8400000
20000
1120003
280000
==++=
++×
=
i
i
i
U
U
U
Pode-se observar que as parcelas da energia de deformação devidas à solicitação axial (2,3J) e ao cisalhamento (3,7J) representam, respectivamente, 0,27% e 0,44% da energia interna total armazenada no processo de deformação. Pode-se concluir então, que para estruturas planas em pórtico (assim como nas vigas), nas quais a solicitação predominante é a flexão, é bastante razoável que apenas a energia de deformação a ela correspondente necessita ser considerada.
Entretanto, em barras cujas seções transversais retangulares apresentam altura maior que 20% do respectivo vão, os efeitos de cisalhamento e de solicitação axial devem ser considerados.
Cálculo da flecha em C:
Sob a ação da carga vertical de 100kN no nó C (extremidade em balanço), espera-se que o pórtico se deforme conforme indicado na figura abaixo. Será aplicado o Princípio da Conservação da Energia, em conjunto com o Teorema de Clapeyron, para a determinação da translação vertical (flecha) do ponto C (extremidade em balanço), cδ :
0,016786m
8393,01002
18393,0
2
12
1
=
=∴=∴=
=
c
ccie
ce
PUW
PW
δ
δδ
δ
cmc 7,1≅δ
Caso se optasse por desprezar os efeitos da solicitação axial e do cisalhamento, teríamos:
cδ
Resistência dos Materiais – Parte II
25
0,016666m
8333,01002
18333,0
2
1
=
=∴=
c
ccP
δ
δδ
cmc 7,1≅δ
O que comprova ser insignificante sobre o resultado final, a consideração ou não de outros efeitos, além dos correspondentes à flexão, no caso de pórticos planos, conforme anteriormente afirmado.
Observação:
Quando ocorrem várias cargas atuando simultaneamente na estrutura, não se pode, para fins de cálculo da Energia Interna de Deformação (Ui), aplicar o Princípio da Superposição de Efeitos.
Desta forma, a energia acumulada por ação simultânea das cargas não é igual à soma das energias acumuladas por ação acumulada de cada uma das cargas.
Isto decorre do fato de a Energia Interna de Deformação, não ser uma função linear das cargas, e sim uma função quadrática. Deste fato, decorre ainda que o cálculo de deslocamentos aplicando-se o Princípio da Conservação de Energia, da forma como apresentado anteriormente, está limitado aos casos em que apenas uma força P, se encontre aplicada à estrutura. Esta limitação deixa de existir quando se aplica o Teorema de Castigliano, que será visto adiante.
Resistência dos Materiais – Parte II
26
Exemplo 2.2
Calcular a Energia de Deformação armazenada na treliça da figura, após a atuação do carregamento horizontal de 150kN no nó B, e, em seguida, calcular a translação horizontal do nó C,sabendo-se que:
E=200GPa
ABC=ACD=1500mm2
ABD=2000mm2
Solução:
Trata-se de uma treliça, onde o único tipo de esforços que se manifesta é a solicitação axial. Desta forma, toda energia de deformação armazenada no processo, dependerá única e exclusivamente da solicitação axial. Como a solicitação axial é constante nas barras da treliça, não haverá necessidade de integrar como no caso anterior.
Reações de apoio:
Cálculo dos esforços nas barras pelo método dos nós:
B
C
D
α
Resistência dos Materiais – Parte II
27
NN
NsenN
H
BD
BDBD
04,163
92,0
1500150
0
=
=∴=−
=Σ
α
kNN
NNN
V
BC
BCBCBD
6,63
39,05,1620cos
0
=×=∴=−
=Σα
kNNCD 150=
[ ] [ ] [ ]BCiBDiCDii UUUU ++=
[ ] NmmEA
LNU
CD
CDCDCDi 45000
1500200000
1200150000
2
1
2
1 22
=××==
[ ] NmmEA
LNU
BC
BCBCBCi 4,3369
1500200000
50063600
2
1
2
1 22
=××==
mLBD 3,15,02,1 22 =+=
[ ] NmmEA
LNU
BD
BDBDBDi 7,43197
2000200000
1300163043
2
1
2
1 22
=××==
JNmmU
U
i
i
6,911,91567
7,431974,336945000
==++=
Cálculo da translação horizontal do nó C:
ei WU =
CHPδ
2
16,91 =
PCH
6,912×=δ
( )310150
6,912×=CHδ
mCH 001221,0=δ
mmCH 22,1=δ
α NBD
NBC
( ) 39,0cos92,038,674,25,0
2,1 0 =∴=∴=== αααα sentg
Resistência dos Materiais – Parte II
28
Exemplo 2.3
Determinar a Energia de Elástica devida à flexão da viga em balanço, supondo que ela seja submetida a uma carga uniformemente distribuída w. Considerar EI constante.
Solução:
Determina-se o momento interno na viga, definido a coordenada x com origem no lado esquerdo, lado este representado na figura abaixo:
2
22wx
M
xwxM
=
=
L
i
L
i
L
i
L
i
i
x
EI
wUdxx
EI
wU
dxxw
EIUdx
EI
wx
U
dxEI
MU
0
52
0
42
0
42
0
22
2
588
42
12
2
1
=∴=
=∴
=
=
∫
∫∫
∫
EI
LwU i 40
52
=
Resistência dos Materiais – Parte II
29
Exemplo 2.4
A barra tubular da figura abaixo, está engastada na parede e sujeita a dois momentos torçores (T), conforme mostrado abaixo. Determinar a energia de deformação nela armazenada em virtude da solicitação atuante. Adotar G=75GPa.
Solução:
Inicialmente, deve-se determinar o valor do momento torçor (T), atuante em cada trecho. Vale lembrar, que assim como a solicitação axial, o momento torçor costuma ser constante ao longo de cada trecho das barras.
Temos:
NmTNmT BCAB 15;40 ==
( ) ( ) 44444 363001211301603232
mmJJdDJJ BCAB =∴−=∴−== ππ
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )JUU
U
GJ
LT
GJ
LTU
dxGJ
TU
ii
i
BC
BCBC
AB
ABABi
i
4-4-4-
129
32
129
32
22
2
102.327771012397,0)2,2038(10
1036300121110752
1030015
1036300121110752
1075040
22
2
1
=∴+=×××+
×××=
+=
=
−
−
−
−
∫
A B
C
Resistência dos Materiais – Parte II
30
3. O Teorema de Castigliano
3.1. INTRODUÇÃO
O teorema a seguir estudado permite que se determine o deslocamento (translação ou rotação) de uma seção transversal de uma estrutura, em que se encontre aplicada uma carga concentrada (força ou momento).
Trata-se do 2º Teorema de Castigliano, a saber:
“A derivada parcial da energia de deformação de um sistema, relativamente a uma carga P concentrada, é igual ao deslocamento da seção de aplicação desta carga, segundo sua linha de ação.”
Para a demonstração deste teorema, considere o sistema abaixo, ao qual se aplica a superposição de efeitos indicada.
(a) Sistema dado, sendo 1δ e 2δ os deslocamentos (translações), correspondentes às cargas P1 e P2
atuando simultaneamente; (b) Carga P1 atuando com valor unitário (P1=1), isoladamente. Nas seções 1 e 2, os deslocamentos
são 11δ e 21δ ; (c) Carga P2 atuando com valor unitário (P2=1), isoladamente. Nas seções 1 e 2, os deslocamentos
são 12δ e 22δ .
Observa-se que, a fim de que a superposição indicada recomponha o sistema dado, as cargas P1 e P2 têm que ser aplicadas com os seus verdadeiros valores. Tendo sido aplicadas com seus valores unitários, os resultados parciais das fases (b) e (c), deverão ser multiplicados por P1 e P2 respectivamente.
Em outras palavras, aplicar uma carga de valor P tem o mesmo significado que aplicá-la com valor 1, multiplicando-se todos os resultados (reações de apoio, esforços solicitantes e deslocamentos) por P.
Observando-se a figura anterior, pode-se concluir que:
+=+=
2221212
2121111
PP
PP
δδδδδδ
3.2. COEFICIENTES DE INFLUÊNCIA
A partir da análise do sistema de equações apresentado anteriormente, pode-se definir o coeficiente ijδ , denominado coeficiente de influência ou coeficiente de elasticidade, que representa o
deslocamento da seção i, devido à ação de uma carga unitária aplicada na seção j.
Resistência dos Materiais – Parte II
31
Estes coeficientes são amplamente utilizados na determinação dos esforços seccionais para traçado de diagramas de esforços solicitantes em estruturas hiperestáticas, a partir da utilização do Método das Forças, visto na disciplina de Hiperestática (também denominada Análise Estrutural ou Teoria da Estruturas).
O Método das Forças assim como o Princípio dos Trabalhos Virtuais, também são fundamentados em critérios de trabalho e energia de deformação, assim como o Teorema de Castigliano.
3.3. DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE CASTIGLIANO
Calculemos, a seguir, o trabalho realizado pelas cargas em decorrência dos deslocamentos ocorridos. Para tanto, consideremos isoladamente as fases (b) e (c).
Considerando a ação isolada de P1 (fase (b)),
Sabendo-se que o deslocamento do ponto de aplicação da força será 111Pδ trabalho realizado pela carga P1=1, estaticamente aplicada (que implica na multiplicação por ½, conforme visto na demonstração do Teorema de Clapeyron) será:
( )11112
1PP δ
Aplicando-se em seguida a carga P2=1
O trabalho das cargas será constituído por:
( )2121 PP δ Parcela correspondente ao trabalho da carga P1 que já se encontrava aplicada desde a fase (b), não mais considerada como estaticamente aplicada (portanto, não multiplicada por ½). Observa-se ainda que, ao atuar a carga P2=1, o deslocamento do ponto de aplicação de P1 será 212Pδ ;
( )22222
1PP δ Parcela correspondente ao trabalho da carga P2 =1, estaticamente aplicada.
O trabalho total das cargas externas realizado, correspondente à ação simultânea das cargas será:
( ) ( ) ( )222221211111 2
1
2
1PPPPPPWe δδδ ++=
Resistência dos Materiais – Parte II
32
22222112
2111 2
1
2
1PPPPWe δδδ ++=
( )22222112
2111 2
2
1PPPPWe δδδ ++=
Mas, pelo Princípio da Conservação da Energia, sabemos que ie UW = , logo pode ser escrito:
( )22222112
2111 2
2
1PPPPU i δδδ ++=
Derivando-se a expressão da Energia de Deformação parcialmente, em relação às cargas P1 e P2, obtém-se o seguinte:
=+=∂∂
=+=∂∂
22221122
12121111
δδδ
δδδ
PPP
U
PPP
U
i
i
Conclui-se, portanto que, de maneira geral, tem-se que:
kk
i
P
U δ=∂∂
O que constitui a expressão do 2º Teorema de Castigliano.
3.4. OBSERVAÇÕES
(a) O Teorema de Castigliano permite que se calcule o deslocamento de uma seção da estrutura, onde ocorra uma carga concentrada; o deslocamento calculado será o que ocorre na direção da linha de ação desta carga. Quando se deseja obter o deslocamento de uma seção, em uma dada direção, e nenhuma carga se encontre aí concentradamente aplicada, basta que se suponha a existência de uma carga fictícia P , aplicada na direção na qual se deseja obter o valor do deslocamento. O valor desta carga será nulo, posto que ela não existe. Porém seus efeitos são incluídos no cálculo de Ui, após o que se calculará:
P
U i
∂∂=δ
Nesta expressão de δ , ocorrerão termos contendo P ; substituindo-se nestes termos o valor de
P , qual seja 0=P , obter-se-á a expressão de δ em função das demais cargas realmente existentes.
Resistência dos Materiais – Parte II
33
(b) Para aplicação do Teorema de Castigliano, o cálculo de Ui deverá ser efetuado, expressando-se literalmente a carga P, correspondente ao deslocamento procurado. Somente após a obtenção da derivada, é que se poderá substituir P, por seu valor numérico que, conforme visto no item (a), poderá assumir, inclusive, o valor nulo.
3.5. EXPRESSÃO DO TEOREMA DE CASTIGLIANO APLICÁVEL AOS PÓRTICOS PLANOS
Neste caso, sabendo-se que:
dxGJ
Tdx
GA
Vfdx
EA
Ndx
EI
MU c
i ∫∫∫∫ +++=2222
2
1
22
1
2
1
Tem-se que:
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂= ∫ ∫ ∫ ∫
l l l l
0 0 0 0
2222
2
1dx
GJ
T
Pdx
GA
V
PXdx
EA
N
Pdx
EI
M
PP
U iδ
Como os limites das integrais são constantes (integrais definidas), a operação de derivação pode ser aplicada sobre o integrando, ou seja:
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂= ∫ ∫ ∫ ∫ dx
GJ
T
Pdx
GA
V
Pfdx
EA
N
Pdx
EI
M
P c
2222
2
1δ
Como os esforços solicitantes (M, N, V e T) são proporcionais às cargas, podendo ser escritos como funções lineares destas, tem-se que:
dxP
TT
GJdx
P
VV
GA
fdx
P
NN
EAdx
P
MM
EIc
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂= ∫∫∫∫ 2
1
2
12
1
22
1
2
12
1
2
1δ
Ou, finalmente:
dxP
T
GJ
Tdx
P
V
GA
Vfdx
P
N
EA
Ndx
P
M
EI
Mc ∂
∂+∂∂+
∂∂+
∂∂= ∫∫∫∫δ
Resistência dos Materiais – Parte II
34
3.6. DETERMINAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS MÁXIMOS NAS VIGAS FUNDAMENTAIS
Para determinação do deslocamento de uma seção em uma viga fundamental utilizando-se o Teorema de Castigliano, seja considerado o caso da viga com uma extremidade engastada e outra livre, com carga concentrada na extremidade livre, conforme mostra a figura a seguir, considerando-se apenas o efeito da flexão:
Conforme visto anteriormente, podemos considerar apenas o efeito da flexão para calcular a Energia de Deformação armazenada durante o processo de carregamento em vigas e pórticos planos. Desta forma temos que:
dxEI
MU i ∫=
2
2
1
No caso em estudo, têm-se que M=Px (lembrando-se sempre que não há necessidade de se convencionar sinal para o momento fletor, pois o mesmo se encontra elevado ao quadrado na expressão a utilizar no cálculo de δ ).
Logo:
EI
LPx
EI
Pdx
EI
xPU
LL
i 6322
1 32
0
32
0
22
=== ∫
Portanto, o deslocamento segundo a linha de ação de P, será:
EI
PL
P
U i
6
2 3
=∂
∂=δ
( )↓=EI
PL
3
3
δ (o sinal positivo significa que o deslocamento tem o mesmo sentido da carga
aplicada).
Determinar a flecha máxima para a viga bi – apoiada, com carregamento uniformemente distribuído ao longo de todo o vão, conforme mostra a figura abaixo, aplicando-se o Teorema de Castigliano, considerando-se apenas o efeito da flexão:
Resistência dos Materiais – Parte II
35
Conforme mencionado anteriormente, quando se deseja obter o deslocamento de uma seção na qual não se encontra aplicada nenhuma carga concentrada, deve-se supor uma carga concentrada fictícia P , e calcular a variação do momento fletor incluindo-se a referida carga fictícia. Em seguida, deve-se derivar este momento fletor em função da carga fictícia, para, finalmente, substituí-la pelo seu valor real, que neste caso será nulo.
Trecho M
P
M
∂∂
P
MM
∂∂
∫
AC 2
222
22
xq
xP
xqL
xqxx
PqL
−+=
=−+
x2
1 322
444x
qx
Px
qL −+ ∫2
0
L
BC 2
222x
qx
Px
qL −+ x2
1 322
444x
qx
Px
qL −+ ∫2
0
L
Sabendo-se que 0=P , tem-se que:
32
322
4444
0
4x
qqLxx
qxx
qL −=−+ e, pelo Teorema de Castigliano sabe-se que
dxP
M
EI
M
∂∂= ∫2
1δ
dxqxqLx
EIdxx
qqLx
EI
L LL
−=
−= ∫ ∫∫2
0
2
0
322
0
32
22
1
44
2δ (onde o fator multiplicador 2, significa que
os trechos AC e BC são iguais).
−=∴
−=∴
−=384
38
12848
1
86
1 44442
0
42
0
3 qLqLqLqL
EI
qxqLx
EI
LL
δδδ
( )↓=EI
qL
384
5 4
δ
De forma análoga, é possível determinar os deslocamentos para casos particulares de carregamentos de vigas fundamentais, apresentados na tabela a seguir:
Resistência dos Materiais – Parte II
36
Viga Deslocamento máximo
EI
PL
48
3
max −=δ
( )222max 6
abLEIL
Pba −−−=δ
EI
LM
243
20
max −=δ
EI
qL
384
5 4
max −=δ
Resistência dos Materiais – Parte II
37
Viga Deslocamento máximo
EI
PL
3
3
max −=δ
EI
PL
48
5 3
max −=δ
EI
LM
2
20
max −=δ
EI
qL
8
4
max −=δ
Resistência dos Materiais – Parte II
38
Exemplo 3.1
Determinar o deslocamento vertical do ponto C, da viga de aço mostrada na figura. Adotar E=200GPa e I=125(10-6)m4.
Solução:
Substituir a carga vertical de 5kN, por uma carga fictícia (literal) P e em seguida, calcular as reações de apoio, bem como os esforços seccionais (M1 e V1) em função desta carga P.
( )
PVP
V
PV
M
BB
B
A
6,0310
630
042
6461810
0
+=∴+=
=××−×−+×
=∑
( )
( ) PVPPV
PVV
V
AA
BA
4,096,0312
02
64
0
+=∴+−+=
=−×−+
=∑
( )
( )
11
3111
112
11
4,0
9
14,09
04,0933
1
xP
M
xxPM
xPx
xM
=∂
∂
−+=
=+−
+
( )( )
22
22
22
6,0
6,0318
06,0318
xP
M
xPM
MxP
=∂
∂++=
=−++
Resistência dos Materiais – Parte II
39
Sabendo-se que P = 5kN e, aplicando-se o Teorema de Castigliano, e, tem-se que:
( ) ( ) 3111
3111
3111 9
111
9
154,09
9
14,09 xxMxxMxxPM −=∴−×+=∴−+=
( ) ( ) 222222 61856,03186,0318 xMxMxPM +=∴×++=∴++=
dxP
M
EI
M
∂∂= ∫δ
( ) ( )( )
2
4
0
221
6
0
1311 6,0618
4,09
111
dxEI
xxdx
EI
xxx
c ∫∫++
−=δ
( ) ( )∴×
= −66 1012510200
9,410cδ ( )↓== mmmc 4,160164,0δ
Resistência dos Materiais – Parte II
40
Exemplo 3.2
Calcular a translação do apoio D do pórtico da figura, considerando apenas o efeito da flexão. Adotar IAB=ICD=0,5(10-3)m4; IBC= (10-3)m4; E=2,1(105) MPa.
Solução:
Uma vez que não se encontra nenhuma carga concentrada em D, aí aplicaremos uma carga P fictícia na direção da translação procurada. Observa-se que a translação horizontal é a única possível de ocorrer, devido à natureza do apoio.
Por outro lado, como ao longo da barra AB existe uma descontinuidade no momento fletor, devida à aplicação da carga concentrada horizontal, o intervalo de integração deverá ser parcelado em A1 e 1B. Este procedimento deverá ser adotado, sempre que ocorra, ao longo de uma barra, modificação da natureza das cargas atuantes.
A figura a seguir, indica as reações de apoio, e o início de cada intervalo de integração. Ao contrário do capítulo anterior, neste caso é necessário utilizar a convenção de sinais para consideração dos momentos fletores, uma vez que os termos aqui não estão elevados ao quadrado. Será adotado como positivo, todo momento fletor marcado na parte “interna” do pórtico.
Resistência dos Materiais – Parte II
41
Barra M P
M
∂∂
P
MM
∂∂
∫
A1 ( )
xPx
xP
+=
=+
100
100
x
2
22
100
100
x
xPx
==+
∫3
0
1B
( ) ( )
300
300100100
3100100
+=
=+−+=
=−−+
xP
xxPx
xxP
x x
xxP
300
3002
==+
∫6
3
BC
( ) ( )
3005,376
5,373006600
5,3731006100
+−=
=−−+=
=−−+
xP
xP
xP
6 x
xP
2251800
180022536
−=+−
∫8
0
CD xP x 0
2
==xP
∫6
0
Sabendo-se que, 0=P e aplicando-se o Teorema de Castigliano, tem-se que:
dx
P
M
EI
M
∂∂= ∫δ
( ) ∫∫∫∫ +−++=6
0
8
0
6
3
3
0
2 01
22518001
3001
1001
dxEI
dxxEI
xdxEI
dxxEI CDBCABAB
Dδ
PHPH
H
kNVVV
V
kNVV
M
AA
AAD
DD
A
+=∴=−−
==∴=−
==∴=×−×
=
∑
∑
∑
1000100
0
5,370
0
5,37031008
0
P
Resistência dos Materiais – Parte II
42
8
0
28
0
6
3
23
0
3
2
2251800150
3
100x
EIx
EIx
EIx
EI BCBCABABD −++=δ
( ) ( ) ( )
BCBCABABD
BCBCABABD EIEIEIEIEIEIEIEI
7200144004050900
2
6422581800936150
3
27100 −++=∴−+−+×= δδ
( ) ( ) ( )( ) 0343,00471,010101,2
7200
105,0101,2
49503838
+=+= −−Dδ
mD 0814,0=δ
( )→= cmD 15,8δ
Resistência dos Materiais – Parte II
43
4. Linha Elástica de Vigas Fletidas
4.1. INTRODUÇÃO
Conforme estudado nos capítulos 9 e 10 anteriores, concluímos que os elementos estruturais planos (tais como pórticos e vigas), se deformam. Estas deformações provocam deslocamentos nas infinitas seções que compõe as barras e, traduzindo-se para um modelo simplificado unifilar, pode-se se dizer que, determinados “pontos”, das barras sofrem translações (e/ou rotações), devidas às deformações estruturais, decorrentes da ação dos carregamentos.
A partir do Princípio da Conservação de Energia, generalizado pelo Teorema de Castigliano, aprendemos a quantificar numericamente os deslocamentos, dando-se ênfase às translações.
Neste capítulo, são apresentados mais dois processos destinados à determinação destes deslocamentos. O primeiro deles, por intermédio da Integração da Equação Diferencial da Linha Elástica, preconiza a formulação de uma função que descreva, de forma analítica, o comportamento deformável de vigas, dadas condições de contorno, inerentes aos tipos de vínculos da estrutura (apoios). O segundo, baseado na observação análoga de efeitos mecânicos, daí a denominação Analogia de Mohr, tem como fundamento o conceito de viga real e viga conjugada.
4.2. PROCESSO DA INTEGRAÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA LINHA ELÁSTICA
A equação da linha elástica de uma viga fletida, em sua forma diferencial é dada por:
( )EI
xM
dx
yd =2
2
Onde M(x), corresponde à função que descreve o comportamento analítico do momento fletor, no trecho no qual se deseja escrever a equação da linha elástica. A equação da linha elástica do referido trecho, será a função y=f(x), solução da equação diferencial apresentada anteriormente.
E corresponde ao módulo de elasticidade do material com o qual é constituída a viga, e I, o momento de inércia da seção transversal.
Resistência dos Materiais – Parte II
44
Para a determinação da função y=f(x) que traduz a estrutura deformada, ou seja, a função que defina o deslocamento vertical de uma dada seção (ou ponto) como função de sua posição ao longo do eixo horizontal (eixo dos x), basta que se integre sucessivamente a equação diferencial de segunda ordem apresentada anteriormente. Haverá que se efetuar, portanto, duas integrações:
1ª Integração:
( )EI
xM
dx
dy
dx
d
dx
yd =
=2
2
( ) ( )dx
EI
xM
dx
dyd
EI
xM
dx
dy
dx
d =
∴=
( ) ( )11 Cdx
EI
xM
dx
dyCdx
EI
xM
dx
dyd +
=∴+
=
∫∫∫
2ª Integração:
( )
( )21
1
CdxCdxdxEI
xMydyy
dxCdxdxEI
xMdy
++
=∴=
+
=
∫ ∫ ∫∫
∫
C1 e C2, são constantes de integração (uma vez que se trata de integração indefinida), que são determinadas através das condições de contorno da viga, descritas pelos tipos de apoio da mesma.
4.3. CONDIÇÕES DE CONTORNO DEVIDAS AOS APOIOS
Descrição Representação Condições de Contorno
Extremidade Apoiada
( )verticaltranslaçãoy 0=
Extremidade Engastada
( )( )rotação
dx
dy
verticaltranslaçãoy
0
0
=
=
Continuidade de barra
dir
S
esq
S
dirS
esqS
dx
dy
dx
dy
yy
=
=
esq dir
S
Resistência dos Materiais – Parte II
45
Exemplo 4.1
Determinar a equação da linha elástica da viga em balanço da figura. Em seguida, utilizando a expressão determinada, calcule a flecha máxima na extremidade em balanço, comparando o resultado com o obtido pela tabela de cálculo de deslocamentos nas vigas fundamentais apresentada no capítulo 10.
Solução:
( ) ( ) mmmEI
PL4004,0
1025,2100,23
0,320
3 48
33
=∴=∴××××
×== − δδδ
xxM 20)( −=
( ) ( ) ( )xdx
ydEI
EI
x
dx
yd
EI
xM
dx
yd20
202
2
2
2
2
2
−=∴−=∴=
1ª Integração: ( ) ( ) 121020 Cx
dx
dyEIdxx
dx
dyEI +−=∴−= ∫ Eq.01
2ª Integração: ( )[ ] 21
3
12
3
1010 CxC
xEIydxCxEIy ++
−=∴+−= ∫ Eq.02
Condições de contorno:
Eq.01 (a rotação é nula no engaste)
( ) ( ) 900,31000,30 112 =∴+×−=×⇒== CCEIx
dx
dy
Eq.02 (a translação vertical é nula no engaste)
( ) 1800,3903
0,31000,30 22
3
−=∴+×+
×−=×⇒== CCEIxy
A equação da linha elástica será: EIEI
x
EI
xyx
xEIy
18090
3
10189
3
33
−+
−=∴−+
−=
Cálculo do deslocamento vertical da extremidade em balanço, utilizando-se a equação da linha elástica:
( )( ) ( )↓=∴=∴
××−=
−=∴−×+
×−==
− mmm
EIEIEIEIy
4004,01025,2100,2
180
180180090
3
010
48
3
δδδ
δδ
y
x
Dados:
E = 2,0 x 108 kN/m2
I=2,25 x 10-4m4
P=20kN
L=3,0m
y
Resistência dos Materiais – Parte II
46
Sugestão: Utilizando o processo da integração diferencial, escrever a equação da linha elástica, para os demais casos apresentados na tabela de deslocamentos de vigas fundamentais apresentados no capítulo 10.
Exemplo 4.2
Determinar a equação da linha elástica da viga da figura e, em seguida, determinar o deslocamento vertical nas seções S1, S2 e C, a partir da equação determinada. E=2,0x107kN/m2.
Solução:
23
7 1280012
40,012,0100,2 kNmEI =
×××=
Trecho AB:
( ) xxM 4−=
( ) ( ) ( )xdx
ydEI
EI
x
dx
yd
EI
xM
dx
yd4
42
2
2
2
2
2
−=∴−=∴=
( ) 122 Cx
dx
dyEI +−=
Eq.01
213
3
2CxCxEIy ++
−= Eq.02
Condições de contorno:
Eq.02 (a translação vertical é nula no apoio A)
( ) 0003
2000 221
3 =∴+×+
×−=×⇒== CCCEIxy
Eq.02 (a translação vertical é nula no apoio B)
( ) 240663
2060 11
3 =∴+×+
×−=×⇒== CCEIxy
y
x
Resistência dos Materiais – Parte II
47
A equação da linha elástica no trecho AB, será:
xxEIy 243
2 3 +
−=
EI
x
EI
xyAB
24
3
2 3
+
−=
Trecho BC:
( ) 24−=xM
( ) ( ) ( )2424
2
2
2
2
2
2
−=∴−=∴=dx
ydEI
EIdx
yd
EI
xM
dx
yd
( ) 324 Cxdx
dyEI +−=
Eq.03
( ) 43212 CxCxEIy ++−= Eq.04
Condições de contorno:
Eq.03 (O valor da rotação na seção B é o mesmo, tanto pela esquerda, quanto pela direita )
( )0,6=
=
x
dx
dy
dx
dydiresq
O lado esquerdo da seção B, corresponde ao trecho AB, portanto, a rotação é dada pela Eq.01:
( ) ( ) 2422 21
2 +−=
∴+−=
x
dx
dyEICx
dx
dyEI
( ) ( ) 960,620,624242242424242 32
32
332 =∴×−×+=∴−+=∴+−=+− CCxxCCxx
Eq.04 (a translação vertical é nula no apoio B)
( ) ( ) 1440,6960,612060 442 −=∴+×+×−=×⇒== CCEIxy
A equação da linha elástica no trecho BC, será:
( ) 1449612 2 −+−= xxEIy
( )EI
xxyBC
1449612 2 −+−=
Cálculo dos deslocamentos das seções:
( )↑==×+
××−== mmmyS
x 33,300333,012800
0,224
128003
0,22 31
0,2
( )↑==×+
××−== mmmyS
x 17,400417,012800
0,424
128003
0,42 32
0,4
( ) ( )↓−=−=−×+×−== mmmyCx 25,1101125,0
12800
1440,8960,812 2
0,8
Resistência dos Materiais – Parte II
48
Linha Elástica:
4.4. CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM VIGAS ATRAVÉS DA ANALOGIA DE MOHR
Conforme sugerido pelo título, consiste em um processo de analogia (comparação), entre a condição de carregamento de uma viga e a variação do momento fletor produzido ao longo do vão da viga.
Sugere-se que a linha elástica de uma viga, seja o diagrama de momentos fletores da sua viga conjugada, quando solicitada por um carregamento que tenha as características de seu diagrama de momentos fletores original, dividido por sua rigidez.
( )xM Variação do momento fletor (M) em uma viga;
( ) ( )dx
xdMxV = Variação do esforço cortante (V) em uma viga;
( ) ( ) ( )2
2
dx
xMd
dx
xdVxq == Carregamento que ocasiona M e V.
Comparando-se:
( )2
2
dx
yd
EI
xM = (equação diferencial da linha elástica) com ( ) ( )2
2
dx
xMdxq = (que descreve o
carregamento em uma viga em função da distribuição de momentos fletores), conclui-se que:
q(x) (carregamento) é análogo à ( )
EI
xM, assim como d2M(x) (derivada segunda do momento
fletor) é análogo a d2y (derivada segunda do deslocamento). Ou seja, ao carregarmos uma viga,
denominada viga conjugada, com ( )
EI
xM, que representa o diagrama de momentos fletores na sua
configuração original, os valores dos momentos fletores seccionais obtidos, equivalerão aos deslocamentos seccionais desta viga, em sua configuração original.
3,33mm 4,17mm
11,25mm
EI
x
EI
xyAB
24
3
2 3
+
−=
( )EI
xxyBC
1449612 2 −+−=
A B
C
Resistência dos Materiais – Parte II
49
Resumo:
Objetivo: Determinação de translações verticais (ou deslocamentos verticais) de determinadas seções de vigas, a partir do processo da Analogia de Mohr.
� Viga Real – Traçar o diagrama de momentos fletores (DMF), considerando sua forma, como o tipo de carregamento que atuará na viga conjugada;
� Viga Conjugada – Definição da Viga Conjugada em função de suas condições de apoio ou extremidade;
� Viga Conjugada – Aplicar o DMF da Viga Real (incluindo seu sinal), como carregamento, dividindo os valores pela rigidez flexional (EI) da viga;
� Para determinar o valor da translação vertical de uma determinada seção transversal da Viga Real, basta que se calcule o valor do momento fletor nesta mesma seção na Viga Conjugada, e se estará obtendo a translação procurada na Viga Real;
� O “espelho” do diagrama de momentos fletores da Viga Conjugada representa a linha elástica da Viga Real.
Viga Real Viga Conjugada
apoio extremo apoio extremo
extremidade em balanço engaste
engaste extremidade em balanço
rótula apoio interno
apoio interno rótula
Exemplo:
Viga Real
Viga Conjugada
Resistência dos Materiais – Parte II
50
Exemplo 4.3
Calcular a translação vertical da extremidade em balanço do Exemplo 11.1, utilizando-se o Processo da Analogia de Mohr.
Dados:
E = 2,0 x 108 kN/m2
I=2,25 x 10-4m4
−=∴×
−=
EIR
EIR
90
2
0,360
−=∴×=EI
MRM AA
1800,2
( )( )
××−= −48 1025,2100,2
180AM
( )↓=−= mmmM A 4004,0
Resistência dos Materiais – Parte II
51
Exemplo 4.4
Determinar o deslocamento vertical nas seções S1, S2 e C, do exemplo 11.2, utilizando-se a Analogia de Mohr. E=2,0x107kN/m2.
−=EI
q24
Determinação das reações de apoio na Viga Conjugada:
−=∴×
−=
EIR
EIR
72
2
0,624
11
−=∴×
−=EI
REI
R48
0,224
22
( )rótulaM esqB 0=∑
−=∴=∴=×−×EI
VR
VRV AAA
24
300,20,6 1
1
∑ = 0V
−=∴=−−+EI
VRRVV CCA
96021
0=∑ CM
00,10,40,8 21 =×−×−×+ RRVM AC
AC VRRM 84 21 −+=
( )↓=−=∴
−=∴
−= mmmMMEI
M CCC 25,1101125,012800
144144
Resistência dos Materiais – Parte II
52
Determinação dos momentos nas seções S1 e S2 da Viga Conjugada (equivalentes aos deslocamentos nas respectivas seções da Viga Real), pelo lado esquerdo:
−=×
−=
EI
EIR
8
2
0,23
24
'1
−=∴
××
−−
−=∴
××−×=EI
MEIEI
MRVM esqS
esqSA
esqS
67,420,2
3
182420,2
3
10,2 11
'11
( )↓=−=∴
−= mmmMEI
M esqS
esqS 333,3003333,0
67,4211 (espelho)
−=×
×−=
EI
EIR
32
2
0,43
242
"1
−=∴
××
−−
−=∴
××−×=EI
MEIEI
MRVM esqS
esqSA
esqS
33,530,4
3
1322440,4
3
10,4 11
"12
( )↓=−=∴
−= mmmMEI
M esqS
esqS 167,4004167,0
33,5311 (espelho)