ELETRICIDADE

REVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS

1. Por que saber?

Nos circuitos em CA, existe a necessidade de utilizarmos ferramentas mais adequadas para o estudo das grandezas envolvidas. A maioria dos equacionamentos envolvidos utilizam equações temporais do tipo: y ( t ) = y máx . ). Este nível de equacionamento exige os conhecimentos básicos de trigonometria ( as propriedades de soma e produto de arcos) e as resolução de equações íntegro-diferenciais com funções trigonométricas, aumentando ainda mais o nível de complexidade do estudo dos circuitos. Como o nosso objetivo principal não é nos aprofundarmos muito nestes estudos, utilizaremos a ferramenta dos números complexos, que solicitam uma matemática mais simples e precisa nas respostas do sistema alimentado em CA. Após a definição dos NC ( números complexos) e de suas operações básicas, será mostrado como transformar uma grandeza definida no campo do tempo para uma grandeza defenida no campo da frequência, que é o campo de ação dos NC`s.

2. Números complexos - definição

Números complexo é todo número escrito na forma:

= a + j.b

Onde: a = parte real do NC b = parte imaginária do NC j = ( -1 )0,5 ( nos livros de Matemática utiliza-se a letra i. Aqui, utiliza-se a letra j para não se confundir com a letra i da corrente elétrica)

3. Formas do número complexo

A forma de escrever o NC conforme a definição é denominada forma retangular ou cartesiana do NC. Outra forma de escrevermos o mesmo NC é a forma polar ou fasorial, que se define como sendo:

Onde: Z = módulo ou intensidade do NC = fase ou argumento do NC

3,1 Transformação

Para transformar uma na outra, basta utilizar –se das relações trigonométricas de um triângulo retângulo, isto é:

R P:

Z = ( a2+b2)0,5 = tg-1( b/a )

P R:

a = Z.cos b = Z..

3,2 Porquê da existência destas formas

Como veremos mais adiante, as operações entre os NC´s poderão ser sempre facilitadas pelo uso destas formas. Isto não quer dizer que estas operações não poderão ser feitas fora dos padrões quer serão descritos. Com certeza, se isto for feito, a complexidade destas operações poderão ser ainda maiores.

4 . Operações entre os NC´s

Como um número, os NC´s gozam das operações elementares normais como todo número matemático, mas com regras pré- estabelecidas.

As operações mais básicas são:

a) Adição e Subtração: podem ser feitas na forma polar, mas para facilitar sempre se faz na forma retangular.

Sejam dois números complexos abaixo definidos: = a1 + J.b1 = a2 + j.b2

Define-se, assim, as operações de adição e subtração entre eles como sendo:

a1 a2 ) + j. ( b1 b2 )

Isto é, parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária.

b) Multiplicação e Divisão: podem ser feitas na forma retangular, mas para facilitar sempre se faz na forma polar.

Sejam dois números complexos definidos com sendo:

1 2

Com Z2 0.

Definem-se as operações de multiplicação e divisão entre eles como sendo:

1 + 2 1 - 2

Obs. Importante: na multiplicação, as fases se somam. Na divisão, as fases se subtraem, com um detalhe: ( fase do NC de cima) – fase do NC de baixo).

5. NC conjugado

O NC conjugado se define como o NC onde somente a parte imaginária ( ou a fase) troca de sinal, assim definido:

Uma das funções do NC conjugado é podermos fazer a multiplicação e a divisão entre NC´s ainda na forma retangular

6. Utilização da HP 48G com NC´s

Com a HP, estas operações tornam-se mais simples, pois ela aceita o NC em qualquer forma para realizar qualquer operação. Antes de começar a utilizá-la, é necessário antes tomar-se algumas providências:

a) Mude o modo trigonométrico da HP para GEG ( isto é , fazes sempre em graus);b) Utilizando o MODE e o FIXED, programe a HP para 4 ( quatro ) casas decimais ( só por uma questão

de precisão, pois isto pesará muito na hora das operações mais complexas );c) Utilizando-se do POLAR, mantenha sua HP sempre na forma polar ( aparecerá, no canto superior

esquerdo do visor, um símbolo do tipo R . Isto significa que ela está preparada para trabalhar na forma polar).Isto feito, siga os passos abaixo, e, em seguida, tente efetuar as operações dadas no ítem 8:

- Abra um parênteses: (- Digite o número 30: 30.0000- Digite o símbolo de fase: - Digite o número 90: 90.0000- Digite ENTER. Aparecerá, na tela: ( 30.0000 90.0000 ). Isto significa: 30 com fase 90, na

forma polar.- Novamente, abra parênteses: (- Digite o número 40: 40.0000 - Digite o símbolo de fase: - Digite o número –90: -90.0000- Digite ENTER. Aparecerá, na tela: ( 40.0000 -90.0000 ). Isto significa: 40 com fase –90, na

forma polar.- Digite X ( multiplicar). Aparecerá, na tela: ( 1200.0000 0.0000 ). Isto significa: 1200 com fase O.

Verifique as regras da multiplicação e veja que o resultado confere.

Este exemplo foi dado para a multiplicação, mas poderia ser feito para todas as operações descritas anteriormente. O resultado, desta forma, será sempre na forma polar. O que, para Eletricidade, está completamente de acordo. Mas, e se pelo menos um dos NC`s estiver na forma retangular, e não polar? Vejamos um exemplo:- Limpe a tela anterior ;- Abra o parênteses: (- Digite o número 1: 1.0000- Digite a vírgula: ,- Digite o número 1: 1.0000- Digite ENTER. Aparecerá na tela: ( 1.4142 45.0000 ). O que é este número? É a transformação

do número complexo 1 + j.1, que está na forma retangular, para a forma polar. Porquê? Por quê a HP está trabalhando na forma polar. Por isto, ela fará a transformação automática para você.

A partir deste ponto, basta seguir todas as instruções anteriores do exemplo da multiplicação e você verificará que, uma vez a HP estando na forma polar, ela mostrará todos os resultados nesta forma, para todas as operações.

7.Passagem do domínio do tempo para o domínio da frequência

Isto significa sair das funções trigonométricas complexas de CA para o domínio das operações com NC`s, conforme já descrito no item 1.Para tal, basta utilizarmos simplificada da relação de Euler:

Por exemplo, se obtermos um sinal de corrente elétrica do tipo: I ( t ) = , pertencente a um circuito em CA, ela será transformada no seu NC correspondente, isto é: I = 1 90

Obs. geral: todo o semestre será baseado nesta pequena revisão dos Nc´s. Se você tiver, mesmo assim, qualquer tipo de dúvida, procure o professor e/ou monitor o mais rápido possível, pois, nas avaliações, a falta de prática com os NC´s o fará perder muito tempo precioso.

8. Exemplos de aplicação

Tendo você uma HP ou não, tente efetuar estas operações:

a) ( 2+j.2 ) + ( 4, fase 450 ) – ( 30 – j.40 ) b) ( 30, fase 300 ) – ( 120, - j.100 ) x ( 40, fase 90 )c) ( 45, fase – 90 ) : ( 100 – j. 120 )d) ( 300 – j. 180 ) x (400 + j. 500 ) : ( 250 + j. 300 )

Verificação

I)

II)