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Scilab Unibh
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1
Centro Universitário de Belo Horizonte Instituto de Engenharia e Tecnologia - IET
1ALGORITMO E ESTRUTURAS DE DADOS
PRÁTICAS DE LABORATÓRIO
2014/2
1 Rafael Pinheiro Amantéa
2
Sumário
LINK PARA DOWNLOAD DO SOFTWARE SCILAB 4
INTRODUÇÃO 4
O AMBIENTE SCILAB 4
A JANELA CONSOLE SCILAB 4
JANELA DE COMANDO 5
A JANELA HISTÓRICO DE COMANDOS 6
SCINOTES 6
NAVEGADOR DE VARIÁVEIS 7
NAVEGADOR AJUDA 8
DESENVOLVENDO ARQUIVOS .SCE 8
DECLARAÇÃO DE VARIÁVEIS E CONSTANTES 9
COMANDOS BÁSICOS DE ENTRADA E SAÍDA 9
COMANDO DE SAÍDA 9
COMANDOS DE ENTRADA 11
OPERADORES 11
1. ESTRUTURA SEQUENCIAL 17
EXERCÍCIOS – ESTRUTURA SEQUENCIAL: 19
PROJETO FINAL 1 : CÁLCULO DE CARGA TÉRMICA PARA UMA
CÂMARA DE RESFRIAMENTO. 23
2. ESTRUTURA CONDICIONAL 26
O COMANDO IF – ELSE. 26
ESTRUTURA CONDICIONAL - IF-ELSEIF-ELSE 27
EXERCÍCIOS – ESTRUTURA CONDICIONAL: 29
PROJETO FINAL 2 : DESENVOLVIMENTO DE UM CONVERSOR DE
UNIDADES. 34
3
3. ESTRUTURAS DE REPETIÇÃO 37
3.1 O COMANDO “FOR” 37
3.2 O COMANDO “WHILE” 44
EXERCÍCIOS – LAÇOS DE REPETIÇÃO 48
4. VETORES E GRÁFICOS 51
INSERINDO VALORES EM UM VETOR 53
INSERÇÃO DIRETA 53
INSERÇÃO POR MEIO DE UM USUÁRIO 53
MOSTRANDO OS VALORES DE UM VETOR (SAÍDA DE DADOS) 53
SAÍDA DIRETA 53
SAÍDA POR LAÇO DE REPETIÇÃO 53
CONSTRUINDO GRÁFICOS 54
CONSTRUINDO GRÁFICOS 2D 54
AJUSTANDO TÍTULOS E EIXOS 56
EXERCÍCIOS - VETOR 64
PROJETO FINAL 3 : SIMULAÇÃO ! 66
5. MATRIZ 68
INSERINDO VALORES EM UMA MATRIZ 70
INSERÇÃO DIRETA 70
INSERÇÃO POR MEIO DE UM USUÁRIO 70
MOSTRANDO OS VALORES DE UMA MATRIZ (SAÍDA DE DADOS) 70
SAÍDA DIRETA 70
SAÍDA POR LAÇO DE REPETIÇÃO 70
PROJETO FINAL 4 : COMPREENDENDO MATRIZES PARA A GERAÇÃO DE GRÁFICOS
TRIDIMENSIONAIS 77
APENDICE 1 – GERAÇÃO DE NÚMEROS ALEATÓRIOS 84
APENDICE 2 – LISTA DE COMANDOS ÚTEIS EM SCILAB 89
4
Link para download do software SCILAB
http://www.scilab.org
Introdução
Existem várias abordagens para se ensinar os fundamentos do SCILAB. Este
material tem como objetivo fazer uma introdução ao SCILAB do ponto de
vista de um usuário da linguagem C.
Como C/C++ e outras linguagens de programação, o SCILAB, possui
operadores: aritméticos, lógicos, condicionais, repetição e outros mais.
Este capítulo vai introduzir a ferramenta SCILAB e explorar os seguintes
conceitos:
O ambiente SCILAB
Com o passar dos anos o SCILAB vêm se popularizando não apenas pela
versatilidade, mas também pela sua interface, que permite um ambiente
amigável e interativo em que algoritmos básicos e avançados, envolvendo
cálculos e simulações podem ser facilmente executados.
O SCILAB apresenta várias janelas que ajudam e permitem que todas as
atividades sejam realizadas pelo usuário. As janelas possuem funções
distintas e serão exemplificadas e explicadas nas seções a seguir.
A janela console SCILAB
A janela principal é chamada de console. Esta é a janela inicial onde as
principais interações no SCILAB acontecem. A janela console gerencia as
sub-janelas associadas a ela. Estas sub-janelas estão localizadas e visíveis
junto da janela console.
5
Figura 1 Janela console SCILAB
Janela de comando
A janela de comando é uma sub-janela em que o usuário pode digitar
comandos ou instruções a serem processadas no SCILAB. A janela de
comando vai mostrar o prompt --> , sinal que simboliza que o SCILAB está
pronto para receber instruções. Uma vez digitada a instrução e a tecla enter for digitada, a instrução é imediatamente executada.
Figura 2 Janela de comando SCILAB.
6
A janela Histórico de Comandos
A janela de histórico contém todos os comandos ou estruturas anteriormente
executadas na janela de comando.
Figura 3 Janela histórico de comandos
SciNotes
A janela SciNotes (editor) disponibiliza um espaço onde os arquivos .sci
poderão ser criados e editados para a execução. Arquivos .sci também
podem ser abertos ou re-editados e executados. Para ter acesso ao SciNotes
basta clicar na opção aplicativos da janela (principal) console SCILAB.
7
Figura 4 Janela do editor SciNotes
Navegador de variáveis
É a sub-janela onde são carregadas, consultadas e salvas as variáveis.
Figura 5 Janela navegador de variáveis
Perceba na figura acima que todas as variáveis que foram criadas, foram
listadas e classificadas quanto ao seu tipo, dimensão e visibilidade. Um duplo
clique em cada uma destas variáveis, na janela navegador de variáveis,
permitirá que você acesse o conteúdo da variável selecionada.
8
Navegador Ajuda
A janela ajuda permite acesso a todo o conteúdo de ajuda do SCILAB. Você
pode fazer a busca por informação de ajuda por diretórios organizados por
pacotes de aplicação, ou fazer uma busca por nome de comando, função ou
até mesmo aplicação desejada. Para acessar o conteúdo ajuda, basta clicar
no ícone da janela principal (console SCILAB). É importante salientar
que o help possui a descrição de todos os comandos e trechos práticos de
implementação, que podem ser copiados e colados no SciNotes e em
seguida executados.
Figura 6 Janela Ajuda.
Desenvolvendo arquivos .sce
Digitar um pequeno número de instruções na janela de comando pode ser
fácil e conveniente. Porém o aumento do número de instruções, ou o uso
aplicações mais complexas comprometem toda a praticidade e facilidade da
abordagem utilizando o prompt de comando ( --> ). Uma maneira mais
adequada é descrever estas instruções em um “arquivo texto”, onde a edição
é mais simples e depois solicitar ao SCILAB para carregar este arquivo e
executar estas instruções como se estivessem sido digitadas na janela de
9
comando. Desta maneira fica mais fácil para o usuário editar e modificar os
programas e identificar possíveis erros na execução. Este tipo de arquivo
texto contendo as instruções ao ( SCILAB ) é chamado de arquivo .sce. O
arquivo ganha este nome devido a extensão do nome do arquivo a ser
reconhecido pelo SCILAB ser “ .sce ”. Todo o nosso conteúdo será
trabalhado utilizando os arquivos “.sce”.
Declaração de variáveis e constantes
Assim como C/C++, o SCILAB possui algumas regras para a escolha dos
nomes na declaração de variáveis e constantes. Estas limitações devem ser
consideradas e estão descritas a seguir:
x Os nomes de variáveis e constantes devem ser compostos por letras,
números e / ou “underscores”. Os nomes também devem sempre
iniciar com letras.
x As variáveis ou constantes que por ventura vierem a ter palavras
compostas não podem ter espaços entre as palavras. Neste caso
aconselha-se fazer uso do “underscore” entre as palavras.
x O SCILAB é “case sensitive” (difere letras maiúsculas de letras
minúsculas), portanto a variável de nome “numero” é distinta da
variável “Numero”.
Comandos básicos de entrada e saída
Comando de saída
O comando de saída utilizado será o mprintf(). Ele permite mostrar
mensagens, valores de variáveis e/ou a combinação de ambos no prompt de
comando.
Sequência de chamada
mprintf(< texto >,< variável >)
10
O campo texto pode ser qualquer caracter, texto, equação ou uma
informação qualquer. A impressão do valor de uma variável pode ser feita por
meio da escolha do formato do tipo de dado seguido pelo nome da variável.
Veja o exemplo:
mprintf(“O valor da pressão calculada é %5.3f. \n”,pressao)
O formato de uso deste comando é semelhante ao formato utilizado para o
comando printf em C. No exemplo acima, o especificador de formato é
%5.3f. Podemos interpretar este especificador como sendo:
x % Æ Deve ser incluído toda vez que se deseja especificar o formato
de uma variável.
x Tamanho (5 ou qualquer número) Æ Esta parte do comando é
opcional e indica o tamanho total do valor mostrado, incluindo o ponto
decimal.
x Precisão (3 ou qualquer número) Æ Define a quantidade de casas
decimais que serão mostradas na saída.
x Tipo de dado (d,f,e,g,c,s) Æ Este tipo de informação é
necessária e as letras indicam o tipo de dado da variável como
indicado na tabela a seguir:
Tabela 1 Tipos de especificadores
Especificador Saída
%d Inteiro
%f Real
%e Exponencial
%g Menor formato possível
%c Caractere
%s String
11
Tabela 2 Caracteres de controle
Caracteres Significado
\b backspace
\n Nova linha
\t Tab
\\ Mostrar o caractere \
%% Mostrar o caractere %
Uma alternativa para mostrar mensagens no prompt de comando é o
comando disp(),ao contrário do comando mprintf() ele não permite
que valores de variáveis sejam mostrados conjugados com mensagens na
tela. Ao optar pelo comando disp(),você deverá optar por mostrar a
mensagem ou o valor da variável, apenas um por comando. Veja no exemplo
a seguir:
disp(“ A temperatura medida no motor é de 25 graus “)
Comandos de entrada
O comando de entrada de dados utilizado no SCILAB é o comando
input(). Este comando permite que mensagens de texto sejam utilizadas
para indicar a entrada de valores para uma variável indicada. Veja um
exemplo:
temperatura=input(“Digite a temperatura de ajuste do forno: ”)
Após digitado um valor pelo usuário, este valor será atribuído à variável
temperatura.
Operadores
Após atribuir valores por meio do comando input() , o próximo passo é
então processar os valores por meio das seguintes opções de operadores.
12
Tabela 3 Operadores Aritméticos
Símbolo Significado
+ Adição
- Subtração
* Multiplicação
/ Divisão
^ Potência
= Atribuição
( ) Parênteses ( utilize-o
para impor regras)
Tabela 4 Operadores relacionais
Símbolo Significado
> Maior
>= Maior ou igual
< Menor
<= Menor ou igual
== Igualdade
~= Diferença
13
Tabela 5 Operadores lógicos
Símbolo Significado
& Operador e
| Operador ou
~ Negação
Para saber mais sobre a implementação de funções complexas (números
complexos), exponenciais (raiz quadrada e logaritmos), trigonométricas
(seno, cosseno, tangente), etc; vá até o menu ajuda e consulte como é feito o
uso da função de sua necessidade. Veja como é fácil:
Exemplo de como utilizar o ajuda em busca de uma função desconhecida
“ Eu gostaria de saber como eu faço para implementar o seno de um número
e a raiz quadrada de um número”
Passo 1: Vá até a janela principal do SCILAB e clique no botão ajuda
Passo 2: Na janela que se abrir você visualizará à esquerda da janela de
ajuda o seguinte menu de opções.
14
Figura 7 Pacotes de funções específicas do menu ajuda.
Passo 3: Escolha a pasta Funções Elementares. Você deverá visualizar as
novas opções de funções como na figura a seguir. Observe que você terá um
conjunto de funções relacionadas para diversos conteúdos como: números
complexos, funções exponenciais, operações com matrizes, ordenação e
procura de valores, trigonometria, etc.
15
Figura 8 Conjunto de funções elementares do menu ajuda.
Passo 4: Para visualizar como implementar o seno de um número vamos
abrir a pasta trigonometria e selecionar a função sin. Ao escolher a função
seno você deverá visualizar a seguinte janela;
16
Figura 9 Tela de ajuda para a função seno.
A janela apresentada na figura 9, possui informações do tipo nome,
sequência de chamamento, parâmetros, descrição e exemplos que podem
ser copiados, colados e executados no scinote.
Passo 5: Para calcular o seno de um número ou uma variável a partir das
informações encontradas no menu ajuda, devemos então executar o seguinte
comando:
y = sin(x);
Passo 6: Se executarmos os passos de 1 a 3 e selecionarmos a pasta
exponencial vamos chegar a seguinte informação para calcular a raiz
quadrada de um número.
y = sqrt(x);
17
1. ESTRUTURA SEQUENCIAL Chegou a hora de tentarmos apresentar alguns exemplos e desenvolver
pequenos programas aplicando o que vimos anteriormente.
Veja o exemplo 1.1:
Desenvolva um programa que realize a soma entre dois números
1 clear; 2 clc; 3 mprintf("Entre com dois numeros. \n"); 4 num1 = input(" Primeiro numero: "); 5 num2 = input(" Segundo numero: "); 6 soma = num1 + num2; 7 mprintf("\n O resultado da soma é %f ",soma); Linha 1: O comando clear limpa a memória do sistema.
Linha 2: O comando clc limpa a janela de saída do SCILAB.
Linhas 3 Mensagem para digitar 2 números
Linhas 4 e 5 : A função input() solicita dois valores ao usuário e armazena
os valores nas variáveis num1 e num2.
Linha 6: As duas variáveis são processadas utilizando o sinal + para realizar
a soma gerando um resultado, o qual é armazenado na variável soma.
Linha 7: O comando mprintf() mostra a mensagem de saída e o valor da
variável soma.
Comentários: Uma prática comum na programação em softwares de
computação científica é a utilização dos comandos clear e clc. Aconselhamos
a você a sempre utilizar esses dois comandos ao iniciar um novo programa!
18
Resumo do capítulo
Você aprendeu diversos recursos importantes do SCILAB neste capítulo,
incluindo a exibição de informações na tela do console, entrada de dados
pelo teclado e realização de cálculos. Após a leitura deste capítulo você
deverá será capaz de:
x Conhecer o Ambiente SCILAB e identificar as telas principais e suas
funções.
x Utilizar a Ajuda para consultar funções diversas e como utilizá-las.
x Inserir comentários para documentar programas e aprimorar sua
legibilidade.
x Identificar de maneira coerente os tipos das variáveis a serem
utilizadas.
x Escolher e declarar nomes coerentes para as variáveis. O SCILAB é
case-sensitive (diferencia letras maiúsculas de minúsculas).
x Realizar a saída de informações através da tela do console por meio
dos comandos mprintf e disp.
x Realizar a leitura de informações a partir do comando de entrada input.
x Utilizar de maneira correta os operadores aritméticos (tabela 3 –
pág12).
x Utilizar os parênteses para estabelecer uma hierarquia de operações
a serem realizadas. (Ex: Se uma operação tiver parênteses
aninhados, o conjunto mais interno dentro dos parênteses é avaliado
primeiro).
x Desenvolver algoritmos em SCILAB utilizando a estrutura de entrada,
processamento e saída.
19
Exercícios – estrutura sequencial:
Exercício 1. Determine se cada um dos exemplos é verdadeiro ou falso. Se
falso explique por quê.
a) Os comentários fazem com que o computador imprima o texto depois
de // na tela quando o programa executa.
b) O SCILAB considera que as variáveis numero e NuMeRo são
idênticas.
c) Os operadores aritméticos * , / , + e – têm todos, o mesmo nível de
precedência.
Exercício 2 Escreva instruções para cada uma das tarefas a seguir:
a) Solicite que o usuário digite um número.
b) Inserir um inteiro e atribuir o valor à variável valor.
c) Mostrar na tela “Este é um programa em SCILAB”.
Exercício 3 Escreva instruções ou comentários que realizam cada uma das
tarefas a seguir.
a) Solicite ao usuário que leia um número e o armazene-o na variável x.
b) Solicite ao usuário que leia um numero e armazene-o na variável y.
c) Solicite ao usuário que leia um numero inteiro e armazene-o na
variável z.
d) Compute o produto dos três inteiros contidos nas variáveis x, y e z e
atribua à variável produto.
e) Exiba a mensagem “O produto das três números é” seguida pelo valor
da variável produto.
Exercício 4. Faça um programa que solicite como entrada um valor de
temperatura em graus Celsius (oC). Após realizada a entrada faça a
conversão da temperatura para Kelvin (K). Após realizada a conversão
mostre na saída do seu programa a temperatura em Kelvin e a temperatura
20
em graus Celsius. Para realizar a conversão utilize a relação: K = °C + 273,15;
Veja um exemplo de como pode ser feita a saída do seu programa !
Figura 10 Solução exercício 1
Exercício 5: É hora de dar mais um passo a frente. Com base no seu
programa anterior, acrescente a ele a conversão da temperatura em graus
Celsius para Kelvin e graus Celsius para grau Fahrenheit. Mantenha o
mesmo padrão de saída sugerido, acrescentando a conversão para graus
Fahrenheit. Para realizar a conversão utilize a relação: K = °C + 273,15; °F = °C × 1,8 + 32
Exercício 6: Adaptado de Holloway e Holloway (2006). Suponha que a
altura h(t) de uma bola seja dada pela seguinte função;
h(t)= v0t gt2
2
em que:
V0 é a velocidade inicial da bola em metros por segundo (m/s);
t é o tempo em segundos (s);
g é a gravidade da terra = 9,81 m/s2
21
Escreva um programa que calculará a altura de uma bola em um
determinado tempo t. Esteja certo de usar nomes adequados para variáveis e
para todos os símbolos da fórmula.
Dica: Quais são as entradas deste problema? ( Que tipo de informação eu preciso do usuário para que eu possa calcular a altura da bola?)
O que deverá ser feito como processamento? ( O que este programa deve fazer?)
O que você espera como saída deste programa? Veja um exemplo !
Exercício 7, proposto por Holloway e Holloway (2006): Uma aproximação
ainda mais real pode ser feita para o problema apresentado no exercício
número 2. Desta vez temos uma equação que descreve a altura e outra
equação que descreve a velocidade após o lançamento.
Suponha que uma bola de massa qualquer seja arremessada para cima
numa velocidade v0 . Qual é a velocidade v(t) e sua altura acima do
lançamento h(t) no instante t? A resposta, se desprezamos a resistência do
ar e um conjunto de outras pequenas influências, é
22
v(t) = v0 gt
h(t)= v0t gt2
2
Onde = 9,81 m/s2 é a aceleração da gravidade na superfície da terra.
Escrevamos um código em SCILAB que solicita V0 e t e então informa as
particularidades da bola (velocidade e altura).
Exercício 8, proposto por Holloway e Holloway (2006). Consideremos um
problema da eletrônica. Suponha que nós tenhamos três resistores elétricos
montados em paralelos, como mostrado na figura abaixo, e gostaríamos de
tratá-lo como um simples resistor. Criemos um algoritmo para calcular a
resistência equivalente dos três resistores paralelos, mas tratado como um.
A lei de Ohm diz que a corrente I i através do i-ésimo resistor é proporcional
à queda da tensão V sobre o resistor, assim estas quantidades são
associadas por V = RiI i onde Ri é chamada a resistência do resistor. A
corrente total passando pelos três resistores é justamente a soma das três
correntes e a queda da tensão é a mesma para todos os três, assim:
I total =VR1
+VR2
+VR3
=V 1R1
+1R2
+1R3
Consequentemente, a lei de Ohm se aplica ao grupo completo de três
resistores, com a resistência Rparalela dada por:
1Rparalela
=1R1
+1R2
+1R3
Figura 11 Holloway e Holloway (2006).
23
Observe que tivemos que analisar o problema antes que pudéssemos
escrever qualquer código; frequentemente este é o caso, e a análise do
problema e a confecção da solução são usualmente mais difíceis do que a
implementação.
Escrevamos um código em SCILAB que solicita ao usuário os valores das
três resistências (R1 , R2 , R3) e retorna a resistência dos três em paralelo
(Rparalela).
PROJETO FINAL 1 : CÁLCULO DE CARGA TÉRMICA PARA UMA CÂMARA
DE RESFRIAMENTO.
A parcela de carga térmica englobada sob o título de diversos, é devida aos
equipamentos mecânicos, iluminação, pessoas e, demais elementos que
constituem fonte de calor no interior das câmaras.
Os equipamentos mecânicos são normalmente, os ventiladores dos UNIT
COOLERS cuja potência é da ordem de 0,5 a 1 c.v. por cada T.R bombas,
empilhadeiras, etc.
O calor dissipado pelos mesmos pode ser calculado como segue,
dependendo da situação:
Motor e carga no interior da câmara;
Qmotor =Pc.v
motor
632 kcal / dia
em que:
“ ” é o número de horas de funcionamento por dia de equipamento;
“ ” é o rendimento do motor elétrico de acionamento.
A dissipação provocada pela iluminação é dada por;
Qiluminação = 0,86w A kcal /dia
motor
24
em que ;
“ W “ é a potencia da lâmpada (W/m2)
“ ” é o número de horas de funcionamento por dia de equipamento;
“A” é a área da câmara.
As pessoas por sua vez liberam pelo seu metabolismo, uma quantidade de
calor que nos é dada por:
Qpessoas = n×q× kcal / dia
em que:
"n"é o número de pessoas;
"q" o calor liberado por pessoa e por hora, o qual cresce com o
abaixamento de temperatura.
Prática !
Você deve ter percebido que as informações necessárias para o cálculo de
carga térmica devido a fatores diversos leva em consideração a quantidade
de pessoas, máquinas e lâmpadas no interior da câmara. Que tal
construirmos um programa em SCILAB para realizar estes cálculos? Para
isto leia com atenção o enunciado a seguir.
Elabore um programa para calcular a carga térmica de uma câmara frigorifica
com as seguintes características:
x Área da câmara 200 m2.
x Para realizar o transporte de carga dentro da câmara serão
necessários 10 homens/hora por 24 horas. (Utilize como 300 kcal/hora
o calor liberado por pessoa)
25
x Uma empilhadeira será utilizada 2 horas por dia. Ela possui um motor
com potência de 10 c.v. e eficiência 0,85.
x No interior da câmara teremos lâmpadas fluorescente especial para
baixas temperaturas na proporção de 10 W/m2 (acendimento 4
horas/dia).
x Serão previstas também lâmpadas germicidas na proporção de 2
W/m2 (acendimento 24 horas).
Utilize a saída a seguir como forma de conferir os seus resultados!
Após desenvolver o seu programa e verificar o funcionamento, realize
pequenas simulações variando a quantidade de pessoas, empilhadeiras ou
lâmpadas. Veja dentre estes três fatores qual é o responsável por dissipar
maior quantidade de calor dentro da câmara2.
Figura 12 Solução, projeto câmara de resfriamento.
2 Toda a formulação para o cálculo de carga térmica foi adaptada de COSTA,
ENNIO CRUZ da. Refrigeração. Editora Edgard Blucher, 3 edição, 2011.
26
2. ESTRUTURA CONDICIONAL A estrutura condicional permite que o programa usufrua de um mecanismo de
seleção e um conjunto de instruções em um processo qualquer.
O comando if – else.
Na indústria de um modo geral, ambientes com temperatura e umidade
relativa controlados são necessários para a manutenção da qualidade de
processos de fabricação e armazenamento.
Na indústria de refratários especificamente, a manutenção da umidade
relativa em baixos teores faz-se necessária no processo de composição de
moldes, tendo em vista que altas umidades relativas no ambiente podem
ocasionar danos significativos no processo de produção (lembre-se do saleiro
na sua casa em semanas chuvosas). Portanto, a direção da fábrica solicitou
ao engenheiro responsável que desenvolvesse uma lógica de controle de
umidade relativa no ambiente de composição de moldes da fábrica. Para que
os moldes atendessem aos padrões de qualidade da fábrica era necessário
que a umidade relativa ambiente fosse mantida abaixo de 40%. Caso
contrário uma mensagem de alerta deveria ser exibida.
O engenheiro responsável desenvolveu um programa em SCILAB que
recebia como entrada o valor da umidade relativa no ambiente e exibia uma
mensagem de alerta caso ela estivesse fora dos padrões de qualidade da
fábrica.
Veja o código no exemplo 2.1 a seguir:
27
1 clear;
2 clc; 3 mprintf("------------Software para controle de umidade relativa---- ");
4 umidade=input(" Digite a umidade relativa atual em decimal : "); 5 if (umidade<=0.4) then
6 mprintf("\n Umidade relativa dentro dos padrões"); 7 else
8 mprintf("\n -----ALERTA !!! ------ALERTA !!!! -------"); 9 mprintf("\n UMIDADE RELATIVA FORA DOS PADRÕES !!!");
10 end
11 mprintf("\n Fim de programa");
Linha 1: O comando clear limpa a memória do sistema.
Linha 2: O comando clc limpa a janela de saída do SCILAB.
Linha 3: Mostra mensagem na tela por meio do comando mprintf().
Linha 4: A função input() solicita o valor da umidade relativa e armazena o
valor na variável umidade .
Linhas 5 e 6: Verifica se a variável umidade possui um valor armazenado
menor ou igual a 0.4. Quando esta condição for verdadeira a mensagem é
mostrada.
Linhas 7 a 10: Caso a condição imposta na linha 5 seja falsa as mensagens
de alerta são mostradas na tela.
Estrutura condicional - if-elseif-else
Um exemplo prático da utilização deste comando pode ser encontrado no
menu ajuda do SCILAB. Veja um trecho de código disponibilizado:
Imagine um copo de isopor com um buraco no fundo. Se você, em seguida,
derramar mel no copo você vai achar que o copo drena muito lentamente.
Isso é porque a viscosidade do mel é grande em comparação com
viscosidades de outros líquidos. Se eu encher o mesmo copo com água, por
exemplo, o copo irá drenar mais rapidamente.
28
A viscosidade descreve a fricção interna de um fluido em movimento. Um
fluido com grande viscosidade resiste ao movimento. Um fluido com baixa
viscosidade flui facilmente.
A viscosidade é uma propriedade dos fluidos que também varia em função da
temperatura com ilustra a tabela a seguir:
Tabela 6 Variação da viscosidade com a temperatura.
Temperatura (oF) Viscosidade (lb/ft/hr)
0 ≤ Temperatura < 50 242
50 ≤ Temperatura < 100 82,1
100 ≤ Temperatura <150 30,5
150 ≤ Temperatura < 200 12,6
Temperatura ≥ 200 5,7
Diante das informações sobre a viscosidade dos fluidos, desenvolva um
programa em SCILAB que receba como entrada a temperatura do fluido e
mostre na saída a sua viscosidade. Veja o exemplo 2.2 a seguir.
1 mprintf("------------Cálculo da viscosidade de um fluido----------------");
2 temperatura=input(" Digite a temperatura do fluido em graus fahrenheit (F) 5: ");
3 if (temperatura>=0 & temperatura<50) then
4 mprintf("\n Viscosidade do fluido = 242 (lb/ft/hr) "); 5 elseif(temperatura>=50 & temperatura<100) then
6 mprintf("\n Viscosidade do fluido = 82.1 (lb/ft/hr) ");
7 elseif(temperatura>=100 & temperatura<150) then
8 mprintf("\n Viscosidade do fluido = 30.5 (lb/ft/hr) "); 9 elseif(temperatura>=150 & temperatura<200) then
10 mprintf("\n Viscosidade do fluido = 12.6 (lb/ft/hr) ");
11 elseif (temperatura>=200)
12 mprintf("\n Viscosidade do fluido = 5.7 (lb/ft/hr) ");
29
13 else 14 mprintf("\n Valor inválido !!! ");
15 end
linhas 7, 9, 11: Por meio do comando elseif() as condições de temperatura
do fluido são verificadas. Repare que o operador lógico & foi necessário para
esta verificação.
Figura 13 Tela de saída para exemplo de cálculo de viscosidade
Resumo do capítulo
Neste capítulo mostramos as estruturas de condição única if e instrução de
condição composta if - else. Após a leitura deste capítulo você deverá
ser capaz de:
x Identificar a necessidade de uso de uma instrução do tipo condicional.
x Implementar por meio do SCILAB uma instrução do tipo condicional.
x Saber diferenciar as estruturas condicionais simples das estruturas
condicionais compostas e identificar aplicações diversas.
x Saber ler e interpretar as tabelas de operadores relacionais e lógicos
(tabelas 4 e 5 páginas 12 e 13).
x Utilizar os operadores relacionais e lógicos e criar condições simples e
ou compostas em estruturas condicionais.
Exercícios – estrutura condicional:
Exercício 1: Escreva instruções para cada uma das tarefas a seguir:
30
a) Solicite que o usuário digite um número.
b) Inserir um inteiro e atribuir o valor à variável valor.
c) Escreva a mensagem “O número digitado é maior ou igual
a zero” Se a variável valor for maior ou igual a zero.
Exercício 2 Escreva instruções ou comentários que realizam cada uma das
tarefas a seguir.
a) Solicite ao usuário que leia um número e o armazene-o na variável x.
b) Solicite ao usuário que leia um numero e armazene-o na variável y.
c) Verifique se o valor de x é maior que -3 ou valor de y é menor que 0 e
escreva a mensagem “O valor de x é menor que 3 ou o
valor de y é menor que zero”.
d) Verifique se o valor de x é maior que -3 e valor de y é menor que 0 e
escreva a mensagem “O valor de x é menor que 3 e o
valor de y é menor que zero”.
e) Verifique se o valor de x e y estão fora dos intervalos especificados
nas letras c) e d) e escreva na tela o valor de x e o valor de y.
Exercício 3: Questão adaptada de (IFTRN).
Sendo v1 = 15, v2 = 10, v3 = 5, v4 = 0, defina qual será a resposta
(verdadeiro ou falso) para as sentenças lógicas abaixo.
I) (v1 = 10) E (v2 = 10)
II) (v1 = 15) E (v2 = 10)
III) (v1 = 15) E (v3 = v2)
IV) (v2 > 5) OU (v3 < 10)
V) (v4 = 1) OU (v3 = 4)
VI) (v2 = 10) OU (v4 = 5)
VII) (v1 > 10 E v2 < 15) E (v3 < 10 E v4 = 0)
VIII) (v1 < 10 E v2 > 15) OU (v3 > 5 OU v4 = 0)
31
Exercício 4: Desenvolva um programa em SCILAB que receba como entrada
a temperatura do fluido e mostre na saída a viscosidade do fluido. Utilize a
tabela mostrada no exemplo 2 desta unidade. Você deverá fazer a leitura da
temperatura do fluido em graus Celsius na entrada (oC ).
Dica: Tenha cuidado com as unidades. Observe que a tabela que você vai
utilizar está em graus Fahrenheit (oF) mas você deverá fazer a entrada em
graus Celsius (oC).
Exercício 5: Adaptado de Raymond e Kapuno Jr (2008). Desenvolva um
programa em SCILAB que recebe como entrada um valor de temperatura em
graus Celsius (oC) e retorne como saída a fase que se encontraria a água
nesta temperatura (sólido, líquido ou gasoso).
Exercício 6: Adaptado de Raymond e Kapuno Jr (2008). O número de
Reynolds pode ser utilizado para caracterizar diferentes regimes de
escoamento, tais como laminar, transição ou turbulento. O escoamento
laminar ocorre para baixos números de Reynolds (Re 2100), onde as forças
viscosas são dominantes, e é caracterizado por suave movimento do fluido.
O fluxo turbulento ocorre em um elevado número de Reynolds (Re> 4000) e
é dominado por forças de inércia, que tendem a produzir redemoinhos
aleatórios, vórtices e instabilidades. Para valores entre 2100 e 4000,
classificamos o escoamento como escoamento em transição.
Diante das informações sobre o número de Reynolds desenvolva um
programa em SCILAB que classifique um escoamento dado o número de
Reynolds.
Exercício 7: Implemente um algoritmo em SCILAB que retorne o valor da
função abaixo após receber um valor qualquer de entrada.
°¿
°¾
½
°¯
°®
dd
xxx
xxxf
3,32,3
2,22
Exercício 8: Vamos recordar o problema proposto no exercício 3 da
unidade1.
32
Suponha que uma bola de massa qualquer seja arremessada para cima
numa velocidade v0 . Qual é a velocidade v(t) e sua altura acima do
lançamento h(t) no instante t? A resposta, se desprezamos a resistência do
ar e um conjunto de outras pequenas influências, é
v(t) = v0 gt
h(t)= v0t gt2
2
Onde = 9,81 m/s2 é a aceleração da gravidade na superfície da terra.
O que aconteceria se jogássemos esta bola em outro planeta? Como
poderíamos fazer este tipo de estudo?
Que tal implementarmos um menu de opções e deixarmos que o usuário
escolha o planeta em que esta bola será jogada!?
Escrevamos um código em SCILAB que permita que o usuário escolha um
planeta em que quer jogar a bola e solicita v0 e t e então informa as
particularidades da bola (velocidade e altura). Aproveite o seu programa para
verificar qual a relação existente entre a gravidade, altura da bola e
velocidade da bola. Utilize a tabela a seguir para a sua implementação.
Tabela 7 Gravidade dos planetas do sistema solar.
Planeta Gravidade (m/s2)
Mercúrio 3,7
Vênus 8,8
Terra 9,8
Marte 3,8
Júpter 26,4
Saturno 11,5
Urano 9,3
33
Netuno 12,2
Plutão 0,6
Veja um exemplo do menu de opções !
Figura 14 Exemplo menu de opções.
Exercício 9: Olimpíada Brasileira de Informática – OBI2005 – Modalidade
Programação Nível 1
A Companhia de Taxi Tabajara (CTT) é uma das maiores empresas de
transporte do país. Possui uma vasta frota de carros e opera em todas as
grandes cidades. Recentemente a CTT modernizou a sua frota, adquirindo
um lote de 500 carros bicombustíveis (carros que podem utilizar como
combustível tanto álcool quanto gasolina). Além do maior conforto para os
passageiros e o menor gasto com manutenção, com os novos carros é
possível uma redução adicional de custo: como o preço da gasolina está
sujeito a variações muito bruscas e pode ser vantagem, em certos
momentos, utilizar álcool como combustível. Entretanto, os carros possuem
um melhor desempenho utilizando gasolina, ou seja, em geral, um carro
percorre mais quilômetros por litro de gasolina do que por litro de álcool.
TAREFA
Você deve escrever um programa que, dados o preço do litro de álcool, o
preço do litro de gasolina e os quilômetros por litro que um carro
34
bicombustível realiza com cada um desses combustíveis, determine se é
mais econômico abastecer os carros da CTT com álcool ou com gasolina. No
caso de não haver diferença de custo entre abastecer com álcool ou gasolina
a CTT prefere utilizar gasolina.
ENTRADA
A entrada é composta por uma linha contendo quatro números reais com
precisão de duas casas decimais A, G, Ra e Rg, representando
respectivamente o preço por litro do álcool, o preço por litro da gasolina, o
rendimento (km/l) do carro utilizando álcool e o rendimento (km/l) do carro
utilizando gasolina. A entrada deve ser lida do dispositivo de entrada padrão
(normalmente o teclado).
SAÍDA
A saída deve ser composta por uma única linha contendo o caractere ‘A’ se é
mais econômico abastecera frota com álcool ou o caractere ‘G’ se é mais
econômico ou indiferente abastecer a frota com gasolina.
A saída deve ser escrita no dispositivo de saída padrão (normalmente a tela).
RESTRIÇÕES
0.01 ≤ A ≤ 10.00
0.01 ≤ G ≤ 10.00
0.01 ≤ Ra ≤ 20.00
0.01 ≤ Rg ≤ 20.00
PROJETO FINAL 2 : DESENVOLVIMENTO DE UM CONVERSOR DE
UNIDADES.
Caro aluno, a seguir apresentaremos algumas informações importantes para o desenvolvimento do seu conversor de unidades.
35
Algumas relações de conversão de unidades:
Força: 1 N = 0,102 kgf= 0,2249 lbf
1 N = 1 kg m / s2
Pressão: 1Pa = 1 N / m2 = 0,102 kgf / m2 = 0,000145 lbf / pol2
1 atm = 101.325 Pa
1 bar = 105 Pa
1 lbf / pol2 = 1 psi (pounds per square inch)
Energia: 1 J = 0,0009478 BTU = 0,00023884 kcal
1 BTU = 252 cal
Potência: 1 W = 3,412 BTU / h = 0,85984 kcal / h = 0,001359 CV = 0,001341 HP
Prática!
É hora de desenvolver o seu próprio conversor de unidades. Você deverá
utilizar as informações fornecidas no texto sobre conversão de unidades. O
seu conversor deverá ter um menu inicial com as seguintes opções
x Temperatura
x Força
x Pressão
x Energia
x Potência
O usuário deverá escolher qual o tipo de unidade ele quer realizar a
conversão. Após o usuário realizar a escolha, ele deverá escolher em
qual unidade o valor a ser convertido vai ser digitado.
Exemplo:
x Caso o usuário escolha converter temperaturas ele vai selecionar a
opção referente à temperatura no menu;
36
x Após ter selecionado temperatura ele deverá escolher em qual
unidade de temperatura será feita a entrada; Celsius, Kelvin ou
Fahrenheit.
x Como saída o programa deverá então mostrar a temperatura digitada
pelo usuário em todas as três unidades de temperatura.
Veja como exemplo a tela de saída após utilizar o conversor
Figura 15 Exemplo de saída para o programa conversor de unidades
37
3. ESTRUTURAS DE REPETIÇÃO
3.1 O comando “for”
O comando “for” repete um conjunto de instruções a partir de um número
conhecido de repetições. Este comando segue o seguinte formato:
for variável = início : incremento : fim
Bloco de comandos
end
Exemplo
Em um exercício do roteiro anterior analisamos a importância do termo
“gravidade” (g), no modelo proposto;
v(t) = v0 gth(t)= v0t gt2 / 2
Analisaremos agora, qual o comportamento da velocidade e da altura diante
da variação do tempo. Perceba que tanto a velocidade v(t), quanto a altura
h(t) , são em função do tempo. Este tipo de análise é semelhante a
questionarmos; o que acontecerá com a velocidade e altura da bola no
intervalo de tempo de 0 a 2 segundos? Mostre o comportamento a cada 0,5
segundos. Utilize como v0 = 15 (m/s).
Se você fosse fazer esta análise no seu caderno você seria orientado pelo
seu professor de cálculo a desenvolver o seguinte raciocínio:
38
Tabela 8 Exemplo de cálculo manual.
T (s) v(t) - (m/s) h(t) (m)
0 15 0
0.5 10,095 6,274
1 5,190 10,095
1.5 0,285 11,464
2 -4.620 10,380
Este tipo de tratamento (manual), só é viável quando o número de repetições
é pequeno. Imagine se precisarmos de observar o comportamento das
variáveis diante de um número grande de repetições ? Veja o exemplo a
seguir !
O que acontecerá com a velocidade e altura da bola no intervalo de tempo de
0 a 2 segundos? Mostre o comportamento a cada 0,1 segundos. Utilize como
v0 = 15 (m/s). Desenvolva um programa em SCILAB que mostre o resultado
da velocidade e da altura da bola para cada iteração. (exemplo 3.1)
1 clear;
2 clc; 3 g=9.81;
4 mprintf("Simulação do arremeço de uma bola no planeta terra \n\n"); 5 v0 = input(" Digite a velocidade inicial do arremeço (m/s) : ");
6 mprintf("\n t (s) h(t) (m) v(t) (m/s)") 7 for t=0:0.1:2
8 altura= v0*t - (g*(t^2))/2;
9 velocidade = v0 - g*t;
10 mprintf("\n %2.2f %2.2f %2.2f ",t,altura,velocidade); 11 mprintf("\n");
12 end
39
linha 7 Observe a estrutura do comando for. A variável t é a variável de
controle. Ela foi inicializada com o valor 0, será incrementada a cada 0,1
segundos até que t alcance o valor de 2 segundos.
linhas 8 a 11 Estas linhas constituem o bloco de comandos que será
executado a cada iteração. Portanto a cada iteração os cálculos são
efetuados nas linhas 8 e 9 e mostrados nas linhas 10 e 11.
Veja a saída dos resultados a seguir:
Figura 16 Tabela de solução utilizando comando for
Como você pode perceber, de maneira rápida e segura os cálculos foram
efetuados e a simulação nos permite visualizar alguns resultados
interessantes.
A primeira observação que os resultados acima nos permitem fazer é que as
equações conseguem descrever o movimento de subida e decida da bola.
Veja os valores de altura durante a simulação. Do tempo 0 ao tempo 1,5 a
bola vai ganhando altura, até que no tempo = 1,5 segundos ela atinge a sua
altura máxima ! Após 1,5 segundos a bola então começa a perder altura.
40
De maneira semelhante a mesma análise pode ser feita quanto a velocidade
da bola. Veja que no tempo 0 a bola sai com a velocidade máxima, a
velocidade v0 (15 m/s). A partir do tempo zero a velocidade vai diminuindo
até chegar ao tempo 1,5 segundos em que a sua velocidade é igual a 0,29
(m/s) . A partir do tempo igual a 1,5 segundos a bola volta a ganhar
velocidade, desta vez com sinal negativo, ela está agora em uma trajetória
descendente, caindo !
Exemplo 2 : Somatórios
O uso de somatórios abrange diversas áreas do conhecimento. Possui
aplicações variadas em estatística, ciência da computação, engenharias,
matemática, física, química, etc.
Observe a tabela a seguir.
Tabela 9 Representação matemática e em SCILAB para um somatório
S= ii=0
n
for i:1:n
s = s+i;
end
A tabela acima apresenta um paralelo entre a representação matemática de
um somatório e a sua implementação em SCILAB. Veja a seguir um exemplo
da implementação desta estrutura.
A temperatura ambiente de uma região pode ser obtida a partir de um ajuste
de dados experimentais por uma série de Fourier (DUCHON e HALE 2012).
A equação a seguir foi obtida a partir dos dados experimentais de
temperatura da cidade de Belo Horizonte no mês de agosto de 2013.
41
T(t)=19,06+0,211cos 0,08721×t( ) +[ 5.51sen(0,08721×t)]
em que:
T = Temperatura ambiente ( oC );
t = tempo em horas.
Utilizando o modelo proposto para estimar a temperatura a partir da hora
fornecida desenvolva um programa em SCILAB que calcule a temperatura
média do mês de agosto. (Exemplo 3.2)
1 clear; 2 clc; 3 mprintf("Cálculo da temperatura média no mês de agosto - 2013 \n\n"); 4 soma = 0; 5 for t=0:720 6 temperatura = 19.06 + (0.211*cos(0.08721*t)) + (-5.51*sin(0.08721*t)) 7 soma = soma + temperatura; 8 end 9 media = soma/720; 10 mprintf("\n A temperatura média do mês de agosto-2013 em BH foi de %2.2f (C) ",media);
linha 4 Inicializa a variável soma.
linha 5 A variável t é a variável de controle. Ela foi inicializada com o valor 0,
será incrementada a cada 1 hora até que t alcance o valor de 720 horas.
Perceba que quando o incremento for feito de “1 em 1” não é necessário
ajustar o incremento. Lembre-se t final foi ajustado como 720 horas, afinal em
um mês temos 30 dias de 24 horas.
linha 6 A variável temperatura guarda o resultado da temperatura calculada
para a hora t.
linha 7 Nesta linha temos a implementação do somatório. Em diversos livros
de algoritmos você irá encontrar esta estrutura também chamada de
acumulador.
linha 9 A média é calculada por meio da divisão do somatório das
temperaturas pela quantidade de amostras.
linha 10 Mostra a média calculada.
42
Figura 17 Tela de saída após processamento da média.
Resumo do item 3.1
Nesta seção mostramos a estrutura de repetição for. Após a leitura deste
capítulo você deverá ser capaz de:
x Identificar a necessidade de uso da estrutura de repetição for.
x Identificar os parâmetros que compõem o comando for (início,
incremento e fim) e implementar o comando for por meio do SCILAB.
x Identificar quando e como implementar somatórios.
Exercícios – Laços de repetição comando for
Exercício 1 Escreva uma instrução em SCILAB ou um conjunto de instruções
em SCILAB para realizar cada uma das seguintes tarefas:
a) Imprima os inteiros de 1 a 20 utilizando o comando for.
b) Imprima os números ímpares entre 1 e 9 utilizando o comando for.
Realize esta tarefa ajustando apenas os parâmetros de inicio,
incremento e fim do comando for.
c) Mostre a soma dos números pertencentes ao intervalo 45 e 55
inclusive.
Exercício 2 Faça um programa em SCILAB que faça a leitura de 3 valores e
mostre os valores digitados pelo usuário. Você deverá utilizar o comando for. Utilize como referência a tela de saída a seguir.
43
Figura 18 Exemplo de entrada e saída de dados utilizando estrutura de repetição
Exercício 3 Desenvolva um programa em SCILAB que calcule a
exponenciação entre dois números x e y escolhidos pelo usuário (xy). Para
realizar os cálculos você não poderá utilizar o comando (^).
Dica: A operação 53 deve ser feita da seguinte maneira: 5 x 5 x 5 = 125. A
operação de multiplicação foi repetida 3 vezes. Quais serão as entradas
deste programa ?
Exercício 4 Vimos no exemplo que ilustra a utilização de somatórios que a
temperatura ambiente de uma região pode ser obtida a partir de um ajuste de
dados experimentais por uma série de Fourier. A função a seguir foi obtida a
partir dos dados experimentais de temperatura da cidade de Belo Horizonte
no mês de agosto de 2013.
T(t)=19,06+0,211cos 0,08721×t( ) +[ 5.51sen(0,08721×t)] em que:
T = Temperatura ambiente ( oC );
t = tempo em horas.
Utilizando o modelo proposto para estimar a temperatura a partir da hora
fornecida desenvolva um programa em SCILAB que calcule e mostre as
seguintes informações sobre a temperatura em Belo Horizonte nas primeiras
48 horas de agosto:
a) A temperatura média do período
44
b) A maior temperatura registrada no período
c) A menor temperatura registrada no período
d) Quantas horas a temperatura ficou acima de 19 oC.
e) Quantas horas a temperatura ficou abaixo de 16 oC.
3.2 O Comando “While”
O comando while ou (enquanto em pseudocódigo) é um comando de
repetição indicado para situações em que não se conhece o número de
repetições a serem realizadas. Sua sintaxe em SCILAB é a seguinte:
while (condição)
Bloco de comandos
end
Exemplo
Um programa foi desenvolvido para ler um conjunto não determinado de
valores e mostrar na saída;
a) o valor lido;
b) o quadrado do número lido;
c) o cubo do número lido;
d) a raiz quadrada do número lido;
e) se é par ou ímpar.
Para encerrar a digitação um número menor ou igual a zero deverá ser
digitado.
Veja uma sugestão de implementação para este problema no código a
seguir:
45
1 clear; 2 clc; 3 numero=input("Digite um número inteiro"); 4 while numero>0 5 quadrado=numero^2; 6 mprintf("\n O Quadrado de %d é = %2.2f",numero,quadrado); 7 cubo=numero^3; 8 mprintf("\n O cubo de %d é = %2.2f",numero,cubo); 9 raiz=sqrt(numero); 10 mprintf("\n A raiz quadrada de %d é = %2.2f",numero,raiz); 11 if modulo(numero,2)==0 then 12 mprintf("\n O numero %d é par ",numero); 13 else 14 mprintf("\n O número %d é ímpar ",numero); 15 end 16 mprintf("\n\n\n"); 17 numero=input("Digite um número inteiro"); 18 end
linhas 1 e 2 Limpa a memória e tela
linha 3 Inicialização da variável numero.
Linha 4 Início do bloco de repetições. É importante destacar a inicialização
da variável numero feita na linha 3. O valor atribuído a esta variável é quem
vai decidir se o algoritmo executará o bloco de repetições ou não. Lembrando
que o comando de repetição while é composto por uma condição. Caso a
condição seja verdadeira as instruções pertencentes ao corpo do comando
serão executadas, caso contrário o comando de repetição não é executado.
Na linha 4 em específico se a variável numero conter um valor igual ou
inferior a zero o comando while não será executado.
linha 11 Para verificar se um número é par ou não utilizou-se o comando
modulo(numero,2). Este comando retorna o resto da divisão de numero por 2. Consequentemente se o resto retornado for igual a zero, podemos
afirmar que a variável número contém um valor par.
Linhas 17 Uma nova leitura para a variável numero deve ser feita. Nesta
linha é que o programa possibilita ao usuário escolher um novo número para
uma nova sequência de processamento ou escolher um valor para terminar
laço de repetição.
46
Veja um exemplo de aplicação.
Nas indústrias química, agrícola e de alimentos é muito comum o uso de
equações empíricas para estimar a secagem de diversos produtos. Estas
equações são válidas para determinadas faixas de temperaturas e umidades
relativas. O objetivo destas equações é estimar após um determinado tempo
de secagem qual o teor de umidade do produto. Estas equações possuem
formas diversificadas, uma das formas mais utilizadas é conhecida pelo
seguinte formato (BROOKER et al, 1992):
U(t)= e ktn
em que :
U(t) é o teor de água do produto,
t é o tempo de secagem em horas,
k e n são parâmetros que dependem do produto;
3Um engenheiro químico gostaria de conhecer o comportamento da secagem
de um determinado produto e decidiu elaborar um programa em SCILAB que
faça a simulação da secagem de um produto enquanto o teor de água do
mesmo seja maior ou igual a 0,13. Mostre na tela a cada hora o valor do teor
de água do produto. Utilize para a implementação os valores de 0,365 para k
e 0,663 para n. (Exemplo 3.3)
1 clear; 2 clc; 3 k=0.365; 4 n=0.663; 5 t=0; 6 teor_umidade=1; 7 mprintf("-------Simulação de secagem--------- \n\n"); 8 mprintf("\n\t\t t(h)\t\t U(%%) ");
3 Informação o estudo da cinética de secagem de grãos e alimentos é de extrema
importância para a manutenção da qualidade do produto e para o projeto de secadores.
47
9 while(teor_umidade>=0.13) 10 teor_umidade= exp(-k*(t^n)); 11 mprintf("\n\t\t %2.3f\t\t %2.2f ",t,teor_umidade*100); 12 t=t+1;
13 end
linhas 3 a 5 Inicialização das variáveis.
linha 6 A variável teor de umidade foi inicializada em 1 (equivalente a 100%).
Basta você ver que para o tempo igual a zero a equação vale 1. Perceba a
importância desta inicialização, é esta inicialização que permite o programa
executar as instruções no bloco de comandos do comando while. Em outras
palavras esta inicialização torna a condição no comando while verdadeira e
assim permite a repetição do bloco de comandos.
Linhas 9 a 12 Bloco de comandos pertencente ao comando while. O teor de
umidade é calculado, mostrado na tela e o tempo incrementado. Na linha 12 surge uma estrutura conhecida por muitos autores como contador. O
contador é incrementado em 1 toda vez que um cálculo é efetuado e logo
após mostrado na tela.
Veja a saída da simulação feita em SCILAB
Figura 19 Tela de saída para simulação de secagem.4
4 É importante lembrar que o modelo proposto para a simulação da secagem neste material está em uma forma extremamente simplificada. A simulação de secagem em modelos complexos pode envolver programas com diversas variáveis e funções, podendo levar até dias para se obter os resultados simulados.
48
Observe que a tabela de resultados mostrada na saída indica que, para o
produto simulado secar até 13% de umidade, precisaríamos de 15 horas de
secagem.
Será que você saberia explicar, por que o último resultado t = 15 horas e U = 12,25% apareceu na lista de resultados ??? Este resultado deveria ter aparecido ???
Resumo do item 3.2
Neste capítulo mostramos a estrutura de repetição while. Após a leitura
desta seção você deverá será capaz de:
x Identificar a necessidade de uso da estrutura de repetição while.
x Implementar o comando while por meio do SCILAB.
x Utilizar contadores e somatórios.
Exercícios – Laços de Repetição
Exercício 1
Faça um programa em SCILAB que faça a leitura de 5 valores e mostre os
valores digitados pelo usuário. Você deverá utilizar o comando while.
Exercício 2 Adaptado de Raymond e Kapuno Jr (2008)
Desenvolva um programa em SCILAB que receba como entrada o valor de
potência em Watt (W) e converta este valor para BTU/h. Mostre na tela o
resultado da conversão e em seguida pergunte ao usuário se ele deseja
realizar uma nova conversão. O usuário deverá digitar 0 (zero) para terminar
o programa. Veja na figura a seguir um exemplo de saída para este
programa.
49
Figura 20 Saída para conversão de potência
Exercício 3
Escreva um programa que mostre todos os números divisíveis por um
número indicado pelo usuário dentro de um intervalo também indicado pelo
usuário. O usuário deve entrar com um valor correspondente ao divisor e em
seguida ele irá fornecer o valor inicial e final do intervalo. Veja a tela de saída
a seguir.
Figura 21 Saída exemplo para o exercício 3
Exercício 4
Devido ao uso frequente, a descarga da bateria de equipamentos eletrônicos
pode se comportar de acordo com a função proposta a seguir;
y(t)= y0 ×2 0,1( )t
em que;
y0 é a carga inicial da bateria;
y(t) é a quantidade de carga após t horas de uso.
50
a) Desenvolva um programa em SCILAB, que tenha como entrada a
carga inicial da bateria e mostre como saída a carga da bateria a cada
hora enquanto a carga fique maior ou igual a 1%.
b) Acrescente ao programa feito na letra a) um sistema de aviso que
obedeça a seguinte tabela:
Carga (%) Aviso
10% < carga ≤ 20% Bateria fraca !
1% ≤ carga ≤ 10% Conecte ao carregador
Dica: Procure identificar qual laço de repetição utilizar. Existe algum critério
de parada ?
Veja um exemplo de saída para o exemplo 1
Figura 22 Exemplo de saída para o exercício 1 - descarga de bateria
51
4. VETORES E GRÁFICOS
Um vetor é um tipo de variável que pode armazenar um ou mais valores do
mesmo tipo de dado.
Vejamos como isto funciona na prática. Imagine que você precisa armazenar
os valores 15, 23, 40, 12, 37. Até então você faria o seguinte raciocínio para
armazenar estes valores:
clear; clc; num1=15; num2=23; num3=40; num4=12; num5=37; mprintf("\n Valor armazenado na variável num1 = %i",num1); mprintf("\n Valor armazenado na variável num2 = %i",num2); mprintf("\n Valor armazenado na variável num3 = %i",num3); mprintf("\n Valor armazenado na variável num4 = %i",num4); mprintf("\n Valor armazenado na variável num5 = %i",num5);
Perceba que até então não havia outra alternativa para você armazenar estes
5 valores a não ser criando 5 variáveis distintas para guardar o mesmo tipo
de valor. Perceba também que para mostrar os 5 valores na saída você
precisaria de novas 5 linhas de comando para mostrar os 5 valores distintos
na saída do programa. Veja a saída após a execução do código acima.
Figura 23 Exemplo de saída para diferentes variáveis.
Este tipo de abordagem torna-se inviável na medida em que a quantidade de
dados a serem armazenados aumenta. Imagine se você precisar armazenar
centenas ou milhões de dados do mesmo tipo ? (Isto ocorre com frequência
na engenharia) O que você faria ? Criar centenas ou milhões de variáveis
52
para armazenar cada valor será inviável. Nesta situação, a utilização de um
vetor é a saída mais indicada.
Que tal então tentarmos armazenar os nossos 5 valores do exemplo
apresentado anteriormente em um vetor ? Deixe-me te mostrar como isto
será feito. Observe o exemplo a seguir: (Exemplo 4.1)
1 clear; 2 clc; 3 num=[15 23 40 12 37]; 4 for i=1:5 5 mprintf("\n O valor %i esta armazenado na posição %i do vetor num",num(i),i); 6 end
Vamos começar pela linha 3 do código acima. Na linha 3 os nossos 5 valores
foram guardados em uma única variável chamada num. Isto é um vetor ! Veja
a ilustração abaixo:
num = 15 23 40 12 37
1 2 3 4 5
A variável num comporta-se como a ilustração acima. Cada um dos 5 valores
ganhou um espaço na variável num e cada espaço possui um índice
responsável por identificar em qual posição do vetor o valor foi armazenado.
Portanto o valor 15 está armazenado na posição 1; o valor 23 está
armazenado na posição 2; o valor 40 está armazenado na posição 3 ; o valor
12 está armazenado na posição 4 e o valor 37 está armazenado na posição
5.
Para compreender melhor esta associação entre posições e valores observe
as linhas 4 a 6 do código acima. Para fazer a saída dos valores do vetor
num, utilizamos uma estrutura de repetição. A estrutura definida na linha 4
utiliza a variável i como controle. Aproveitaremos então a variável i para
percorrer todo o vetor, executando o comando de saída, mostrando na tela o
valor armazenado Æ num(i) para cada posição Æ i como mostra a figura a
seguir.
53
Figura 24 Exemplo de saída de valores de um vetor
Inserindo valores em um vetor
A inserção de valores em um vetor pode ser feita de diferentes maneiras. A
seguir apresentaremos as mais usuais.
Inserção direta
num = [ 5 10 12 32 45 48 23 64 ... ];
Inserção por meio de um usuário
for i=1:5 mprintf("Digite um valor para a posição %i do vetor",i); num(i)=input(""); end
Mostrando os valores de um vetor (Saída de dados)
Saída direta
disp(num);
Saída por laço de repetição
for i=1:5 mprintf("\n O valor %i esta armazenado na posição %i ",vetor(i),i); end
54
Construindo Gráficos
Construindo gráficos 2D
A construção de um gráfico 2D em SCILAB pode ser feita por meio da função
plot( ) . O forma básica para o comando é;
plot(x,y)
em que x é um vetor que contém os valores para a coordenada-x do gráfico e
y é o vetor que contém os valores para a coordenada-y do gráfico.
Exemplo: Plote o gráfico da função f (x)= 3x2 +4x+1 . Faça x variar no
intervalo de -5 a 4 com incrementos de 0,5. Veja o código em SCILAB a
seguir;
Opção 1: Na opção 1 o vetor x é declarado de maneira direta. Repare que o
vetor y é automaticamente criado pelo SCILAB. Basta atribuir a y a
expressão da função desejada e o SCILAB realiza o cálculo de y para cada
posição do vetor x. Em seguida a função plot ( ) e os vetores x e y foram
utilizados para fazer o gráfico da função.
clear; clc; x = [-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4]; y = 3*x^2 + 4*x + 1; plot(x,y); Opção 2: A opção 2 apenas se difere da opção 1 quanto a criação do vetor x.
O vetor x foi criado a partir da função linspace(valor 1, valor2 ,
valor 3 ). A função linspace() funciona da seguinte maneira: o
primeiro valor dentro do parênteses representa o valor inicial do vetor a ser
criado, o segundo valor representa o fim do intervalo a ser criado e o último
valor dentro do parênteses representa o número de elementos que serão
criados para este vetor.
clear; clc; x = linspace(-5,4,19); y = 3*x^2 + 4*x + 1;
55
plot(x,y);
Opção 3. A opção 3 apresenta uma estrutura de criação dos vetores por
meio de laços de repetição. Os vetores x e y vão sendo criados na medida
em que as iterações, ou repetições, vão acontecendo. Perceba que o
contador i a cada iteração é utilizado para calcular um novo valor de x e um
novo valor de y para a posição i.
clear; clc; i=1; x(1)=-5; y(1)=3*x(1)^2 + 4*x(1) + 1; while x(i)<4 i=i+1; x(i)=x(i-1)+0.5; y(i)= 3*x(i)^2 + 4*x(i) + 1; end plot(x,y); O gráfico a seguir foi gerado para a função proposta no exemplo.
Independente da opção escolhida pelo usuário para criar gráfico da função
proposta o resultado esperado é o apresentado a seguir.
56
Figura 25 Janela de saída gráfica.
Ajustando Títulos e eixos
O SCILAB permite que façamos ajustes nos títulos e eixos dos gráficos. Veja
as opções disponíveis:
title() Ajusta o título na parte superior do gráfico.
xlabel() Ajusta o título para o eixo x.
ylabel() Ajusta o título do eixo y.
Veja o código e a nova figura após a inclusão dos comandos de formatação
de eixos e títulos.
clear; clc; i=1; x(1)=-5; y(1)=3*x(1)^2 + 4*x(1) + 1; while x(i)<=4 i=i+1; x(i)=x(i-1)+0.5; y(i)= 3*x(i)^2 + 4*x(i) + 1;
57
end plot(x,y); title("Gráfico de f(x)= 3*x^2 + 4*x + 1"); xlabel("Eixo x"); ylabel("Eixo y");
Figura 26 Novo gráfico após formatação de título e eixos.
DICA: Ajuda sobre diferentes estilos de linhas, cores e formatações podem ser encontrados no menu ajuda ou clicando no menu editar após aparecer a janela do gráfico. A figura a seguir ilustra o menu editar.
58
Figura 27 Opções de configuração de gráfico
Figura 28 Editor de gráfico.
59
Dica: para plotar um gráfico com várias curvas, siga o exemplo a seguir:
Como plotar um gráfico da função f (x)= ax+b para diferentes
valores de a = ( 1, 3, 5, 7) e b = 1, no intervalo 0 ≤ x ≤ 10? Estude o código a seguir !
clear; clc; i=1; b=1; x(1)=0; y1(1)=1*x + b; y2(1)=3*x + b; y3(1)=5*x + b; y4(1)=7*x + b; incremento=0.1; while x(i)<10 i=i+1; x(i)=x(i-1)+incremento; y1(i)=1*x(i) + b; y2(i)=3*x(i) + b; y3(i)=5*x(i) + b; y4(i)=7*x(i) + b; end plot(x,[y1 y2 y3]); title("Gráfico de f(x)= a*x^2 + b"); xlabel("X"); ylabel("Y");
60
Figura 29 Exemplo de gráfico com múltiplos comportamentos.
Exemplo de aplicação: (exemplo 4.2)
Um engenheiro decidiu acompanhar o funcionamento do secador de grãos
representado pela figura abaixo.
Figura 30 Secador de grãos (RODRIGUES, 2010)
Para realizar esta inspeção, o engenheiro instalou um sensor de temperatura
na câmara de aquecimento de ar e um tubo de pitot para medir a velocidade
61
do ar na entrada da câmara de aquecimento. Para coletar as informações de
temperatura e velocidade do ar durante às dez horas de funcionamento o
engenheiro desenvolveu um programa em SCILAB que fosse capaz de
coletar estas informações a cada 0,5horas (meia hora) e mostrar:
x a temperatura média na câmara de secagem;
x a velocidade média do ar de secagem;
x A maior temperatura e velocidade registradas durante as 10 horas;
x A menor temperatura e velocidade do ar registradas durante as 10
horas;
x Os gráficos mostrando o comportamento da temperatura e velocidade
do ar durante as 10 horas.
Veja o código fonte comentado e os resultados a seguir.
1 clear; 2 clc; 3 tempo(1)=0; 4 temperatura(1)=grand(1,"nor",70,5); 5 velocidade(1)=grand(1,"nor",1.5,0.1); 6 i=1; 7 while tempo(i)<10 8 i=i+1; 9 tempo(i)=tempo(i-1)+0.5; 10 temperatura(i)=grand(1,"nor",70,2.5); 11 velocidade(i)=grand(1,"nor",1.5,0.05); 12 end 13 scf(1); 14 title("Variação da velocidade durante 10 horas"); 15 xlabel("Tempo (h)"); 16 ylabel("Velocidade (m/s)"); 17 plot(tempo,velocidade,'bo-'); 18 scf(2); 19 title("Variação da Temperatura durante 10 horas"); 20 xlabel("Tempo (h)"); 21 ylabel("Temperatura (Celsius)"); 22 plot(tempo,temperatura,'r-');
62
23 temperatura_media=mean(temperatura); 24 velocidade_media=mean(velocidade); 25 maior_temperatura=max(temperatura); 26 menor_temperatura=min(temperatura); 27 maior_velocidade=max(velocidade); 28 menor_velocidade=min(velocidade); 29 mprintf("\n ------Relatorio de experimento------------"); 30 mprintf("\n A temperatura media durante as dez horas foi de %2.2f 31Celsius",temperatura_media); 32 mprintf("\n A velocidade media durante as dez horas foi de %2.2f m/s",velocidade_media); 33 mprintf("\n A maior temperatura atingida durante as dez horas foi de %2.2f Celsius", maior_temperatura); 34 mprintf("\n A menor temperatura atingida durante as dez horas foi de %2.2f Celsius",menor_temperatura); 35 mprintf("\n A maior velocidade atingida durante as dez horas foi de %2.2f m/s", maior_velocidade); 36 mprintf("\n A menor velocidade atingida durante as dez horas foi de %2.2f m/s",menor_velocidade); linhas 3 a 6 Observe que nestas linhas os vetores temperatura, tempo e velocidade são inicializados na sua primeira posição (posição 1) com os valores de tempo inicial. linhas 7 a 12 Nesta parte do código é feita a simulação da aquisição de dados a cada tempo. Para isto foi utilizado o comando grand(1, distribuição normal, media, desvio padrão) , este comando gera números aleatórios obedecendo uma distribuição normal, uma média e um desvio padrão pré definidos. Para cada tempo simulado valores de temperatura e velocidade são gerados e armazenados em seus respectivos vetores. A variável i é incrementada a cada iteração até que o critério de parada (tempo<10) for alcançado. linhas 13 a 22. Nesta parte do código são executados os comandos para a geração dos gráficos (plot), títulos das figuras (title) e título das eixos (xlabel e ylabel). Os comandos scf( ) dão nome às janelas de gráficos, identificando-os e permitindo criar figuras distintas uma das outras. linhas 23 a 28 Neste trecho foram calculadas as médias através do comando mean( ), os maiores e menores valores dos vetores, por meio dos comandos max( ) para o maior valor e min( ) para o menor valor. Saídas
63
Figura 31 Tela de saída em SCILAB para exemplo1 vetor.
Figura 32 Variação da velocidade do ar de secagem.
64
Figura 33 Variação da temperatura de secagem na câmara de secagem
Resumo do capítulo 4
Neste capítulo mostramos o uso de vetores. Após a leitura deste capítulo
você deverá ser capaz de:
x Identificar a necessidade de uso de vetores.
x Inicializar um vetor de maneira direta ou por meio do usuário.
x Realizar a saída de dados de um vetor.
x Implementar operações de soma e busca de valores em um vetor.
x Plotar gráficos para as mais diversas aplicações.
Exercícios - Vetor
Exercício 1 Determine se cada um dos seguintes é verdadeiro ou falso. Se
falso justifique.
65
a) Para referir-se a uma localização particular ou elemento dentro de um
vetor, especificamos o nome do vetor e o valor do elemento particular.
b) Um algoritmo que inicializa os elementos de um vetor de 15 elementos
como zero deve conter pelo menos uma instrução for.
Exercício 2 Escreva instruções em SCILAB para realizar cada uma das
seguintes tarefas:
a) Exiba o valor do sétimo elemento de um vetor.
b) Inicialize cada um dos cinco elementos de um vetor como 8.
c) Copie o vetor A de 11 elementos para as primeiras 11 posições de um
vetor B que contém 34 elementos.
Exercício 3 Faça um programa em SCILAB que solicite ao usuário a
digitação de 10 números distintos. Armazene estes valores em um vetor. A
saída do seu programa deverá mostrar ao usuário o valor digitado e as
posições em que estes valores foram armazenados no vetor.
Exercício 4 Faça um programa em SCILAB para gerar o gráfico das
seguintes funções, obedecendo os intervalos propostos. Você saberia
interpretá-los ?
a) seno(x); -π ≤ x ≤ π;
b) cosseno(x); -π ≤ x ≤ π;
c) ln(x); 0,001 ≤ x ≤ 10
d) ex; 0 ≤ x ≤ 10
e) f (x)=1x2 +2x+1 ; qual intervalo utilizar ? Existe algum critério para
escolher o intervalo ?
f) f (t) =
t +1 0 t <10 1 t < 22 t 2 t < 30 t 3
66
Exercício 5 Utilize o código do programa em SCILAB desenvolvido no
exemplo de aplicação (secador de grãos) e calcule novamente a temperatura
média, a velocidade média, a maior temperatura, a menor temperatura, e
maior velocidade e a menor velocidade. Desta vez você não poderá utilizar
as funções mean( ), max( ) e min( ). Você deverá desenvolver toda a lógica
para efetuar os cálculos. Você poderá utilizar as funções mean( ), max( ) e min( ) apenas para comparar os seus resultados obtidos com os resultados
obtidos pelas funções.
PROJETO FINAL 3 : Simulação !
No instante t=0 (min) um tanque contém Q0 (lb) de sal dissolvido em 100 (gal)
(cerca de 455 litros). Suponha que água contendo 1/4 (lb) (cerca de 113g de
sal por galão) está entrando no tanque a uma taxa de r galões por minuto, e
que o líquido, bem misturado, está saindo do tanque à mesma taxa. O
fenômeno é ilustrado pela figura abaixo.
Figura 34 Tanque de água com misturador. (Boyce e Diprima, 2012)
A função a seguir expressa a quantidade de sal Q(t) no tanque em qualquer
estante t.
Q(t)= 25+ (Q0 25)e r t/100
Desenvolva um programa em SCILAB que simule a quantidade de sal
presente no tanque durante 100 minutos.
67
a) Como saída você deverá mostrar a quantidade de sal presente no
tanque e o tempo de simulação a cada 10 minutos. Utilize Q0 = 50 lb e
r = 3.
b) Faça um gráfico mostrando o comportamento da quantidade de sal no
tanque durante os 100 minutos. Utilize Q0 = 50 lb e r = 3.
c) Faça um único gráfico contendo 4 curvas com as seguintes condições:
x Curva 1: Deverá representar a quantidade de sal em 100 minutos
com r = 3 e Q0 = 50 lb.
x Curva 2: Deverá representar a quantidade de sal em 100 minutos
com r = 3 e Q0 = 40 lb.
x Curva 3: Deverá representar a quantidade de sal em 100 minutos
com r = 3 e Q0 = 25 lb.
x Curva 4: Deverá representar a quantidade de sal em 100 minutos
com r = 3 e Q0 = 10 lb.
x Interprete o fenômeno ilustrado pelo gráfico !
d) O que aconteceria se o valor da taxa de fluxo aumentasse para 5 após
20 minutos de simulação ? Utilize como condição de simulação Q0 =
50 lb. Mostre o gráfico da simulação e interprete-o.
e) Qual seria a taxa de fluxo necessária (r) para que o valor de t não
exceda 45 minutos para alcançar o equilíbrio ? Utilize Q0 = 50 lb. Dica: O sistema entra em equilíbrio quando Q(t) = 25.
68
5. MATRIZ
Uma matriz é um tipo de variável que pode armazenar um ou mais valores do
mesmo tipo de dado, porém este armazenamento pode estar associado a
duas propriedades distintas. Esta associação para muitos é chamada de
dimensão. Em vetores, associávamos o armazenamento de informação a
apenas uma propriedade, “uma dimensão”. Por exemplo, associa-se que o
vetor idade armazena diferentes idades; o vetor temperatura armazena
diferentes temperaturas, o vetor velocidade diferentes valores de velocidade,
etc. Quando tratamos de matrizes associamos os valores da matriz a duas ou
mais propriedades ou duas ou mais dimensões.
Veja um exemplo: (Exemplo 5.1)
Um engenheiro resolveu montar um sistema de aquisição de dados para
coletar os dados de pressão do gás refrigerante e temperatura do gás
refrigerante em um sistema de refrigeração. Para isto o engenheiro instalou
em diferentes pontos do sistema três sensores de pressão e temperatura. O
engenheiro desenvolveu um programa em SCILAB que durante cinco horas
coletava as informações dos sensores e armazenava as informações a cada
hora. Veja o código desenvolvido pelo engenheiro;
clear; clc; for tempo=1:5 for sensor=1:3 temperatura(tempo,sensor)=grand(1,"nor",70,2.5); //simula os sensores de temperatura pressao(tempo,sensor)=grand(1,"nor",250000,10000); //simula os sensores de velocidade end end disp("Matriz Temperatura (C)"); disp(temperatura); disp("Matriz Pressao (Pa)"); disp(pressao);
A lógica utilizada pelo engenheiro foi de armazenar em uma matriz chamada
temperatura os dados dos três sensores a cada hora durante 5 horas.
69
Veja a disposição dos valores como ficaria em formato de matriz.
Tabela 10 Matriz Temperatura
Tempo (h) Sensor de
Temperatura (1)
Sensor de
Temperatura (2)
Sensor de
Temperatura (3)
1hora
2horas
3horas
4horas
5horas
A matriz temperatura foi organizada da seguinte maneira: para cada hora
foram registradas três temperaturas distintas, uma para cada sensor.
Portanto a nossa matriz de duas dimensões (tempo,sensor) é uma matriz
5x3 (5 linhas e 3 colunas). O mesmo raciocínio foi aplicado ao sensor de
pressão.
Veja a saída após executarmos o programa em SCILAB;
Figura 35 Saída das matrizes temperatura e pressão
70
Inserindo valores em uma matriz
A inserção de valores em uma matriz pode ser feita de diferentes maneiras. A
seguir apresentaremos as mais usuais.
Inserção direta
Inicializando de maneira direta uma matriz 3 x 3.
matriz = [ 5 2 7; 1 0 -3; 3 10 -9];
Observe que o “;;” foi utilizado para distinguir uma linha de outra da
matriz.
Inserção por meio de um usuário
Inicializando por meio de um usuário uma matriz 3 x 3.
for i=1:3 for j=1:3 mprintf("\n Digite um valor para a matriz na posicao linha %i coluna %i ",i,j); matriz(i,j)=input(" "); end end
Mostrando os valores de uma matriz (Saída de dados)
Saída direta
disp(matriz);
Saída por laço de repetição
for i=1:3 for j=1:3 mprintf("\n Valor digitado para a matriz na posicao linha %i coluna %i = %i",i,j,matriz(i,j)); end end
71
Exemplo 5.2 Desenvolva em SCILAB um programa que permita ao usuário
preencher 2 matrizes quadradas A e B. Após preencher as matrizes A e B o
usuário deverá escolher de acordo com as opções abaixo, qual tipo de
operação irá realizar com as matrizes A e B para gerar uma matriz C com a
resposta da operação selecionada. Veja as opções:
1) Adição
2) Subtração
Solução
1 clc; 2 clear; 3 dimensao = input ('Informe a dimensão das duas matrizes quadradas: '); 4 mprintf("Para a matriz A "); 5 mprintf("\n\n"); 6 for linha = 1:dimensao 7 for coluna = 1:dimensao 8 mprintf ("Elemento da matriz A posição A(%i,%i): ",linha,coluna); 9 A(linha,coluna) = input (""); 10 end 11 end 12 13 mprintf("Para a matriz B."); 14 for linha = 1:dimensao 15 for coluna = 1:dimensao 16 mprintf ("Elemento da matriz B posição B(%i,%i): ",linha,coluna); 17 B(linha,coluna) = input (" "); 18 end 19 end 20 mprintf("\n Matriz A "); 21 disp(A); 22 mprintf("\n Matriz B "); 23 disp(B); 24 mprintf("\n ______________________________________"); 25 mprintf("\n 1) Adição "); 26 mprintf("\n 2) Subtração "); 27 mprintf("\n\n"); 28 29 operacao=input("Escolha a operação: "); 30 31 if operacao==1 then 32 for i=1:dimensao 33 for j=1:dimensao 34 C(i,j)=A(i,j)+B(i,j); 35 end
72
36 end 37 mprintf("\n Matriz C "); 38 disp(C); 39 elseif operacao==2 then 40 for i=1:dimensao 41 for j=1:dimensao 42 C(i,j)=A(i,j)-B(i,j); 43 end 44 end 45 mprintf("\n Matriz C "); 46 disp(C); 47 else 48 mprintf("\n Escolha inválida"); 49 end
linha 3 A variável dimensão armazena a dimensão das matrizes A e B. Este
valor é escolhido pelo usuário.
linhas 6 a 19 Neste bloco de comandos do programa são feitas as leituras de
valores para as matrizes A e B. Observe que para realizar a operação de
leitura elemento por elemento é necessário o uso de dois laços de repetição.
O primeiro laço varia da posição 1 ao número de linhas. O segundo laço varia
da posição 1 ao número de colunas. Os índices linha e coluna são
controlados pelos laços de repetição.
linhas 20 a 23 Nesta parte do programa são mostradas as matrizes A e B.
Observe que o comando disp( ) foi utilizado para realizar esta tarefa. Este
comando permite que as matrizes e vetores sejam mostrados na tela sem o
uso de laços de repetição.
linhas 24 a 30 Menu de opções para que o usuário escolha qual operação
deseja realizar com as matrizes A e B.
Linhas 31 a 49 Bloco de comandos responsáveis por realizar as operações
com as matrizes de acordo com a opção escolhida pelo usuário.
Veja um exemplo de solução a seguir:
73
Figura 36 Saída exemplo 1 matriz.
Resumo do capítulo 5
Neste capítulo mostramos o uso de matrizes. Após a leitura deste capítulo
você deverá ser capaz de:
x Identificar a necessidade de uso de matrizes.
x Inicializar uma matriz de maneira direta ou por meio do usuário.
x Realizar a saída de dados de uma matriz.
x Implementar operações matemáticas e busca de valores em uma
matriz.
x Plotar gráficos de superfície para as mais diversas aplicações.
Exercícios – Matriz
Exercício 1 Determine se cada um dos seguintes é verdadeiro ou falso. Se
falso justifique.
74
a) Para referir-se a uma localização particular ou elemento dentro de uma
matriz, especificamos o nome do vetor e o valor do elemento
particular.
b) Um algoritmo que inicializa os elementos de uma matriz de dimensões
3x3 como zero deve conter pelo menos uma instrução for.
c) Um algoritmo que soma os elementos de uma matriz deve conter
instruções for aninhadas.
Exercício 2 Considere uma matriz de dimensões 2 x 3;
a) Escreva uma instrução para criar esta matriz 2 x 3.
b) Quantas linhas possui esta matriz ?
c) Quantas colunas possui esta matriz ?
d) Quantos elementos possui esta matriz ?
e) Escreva todos os elementos da segunda linha desta matriz.
f) Escreva todos os elementos da terceira coluna desta matriz.
g) Escreva uma única instrução que configura o elemento desta matriz na
linha 1 e coluna 2 como zero.
h) Escreva uma instrução for aninhada que inicializa cada elemento da
matriz como 0.
i) Escreva uma instrução for aninhada que insere os valores da matriz
a partir do usuário.
Exercício 3 Desenvolva em SCILAB um algoritmo que faça a leitura de
valores para uma matriz 2 x 2. Após a inserção dos valores mostre;
x a matriz digitada pelo usuário,
x o maior valor da matriz,
x o menor valor da matriz.
Exercício 4 Escreva um programa em SCILAB que mostre na tela uma
tabela de conversão de temperaturas. Esta tabela deve mostrar a conversão
de temperaturas em graus Celsius na faixa de 150 oC a 350 oC com
75
incrementos de 50 oC. Faça as conversões de Celsius para Kelvin e
Fahrenheit. Veja um modelo de saída esperada.
Figura 37 Exemplo de saída exercício 2 matriz.
Exercício 5 Para que duas ou mais matrizes sejam consideradas iguais elas
devem obedecer a algumas regras:
x Devem ter a mesma ordem, ou seja, o mesmo número de linhas e o
mesmo número de colunas.
x Os elementos devem ser iguais aos seus correspondentes.
A partir dos conceitos acima, elabore um programa em SCILAB que solicite
ao usuário a digitação de duas matrizes 2x2. Após a digitação das matrizes
verifique se as matrizes digitadas são iguais ou não.
Exercício 6 (Olimpíadas Nacionais de Informática ; Portugal – 2008)
Finalmente, o local do novo aeroporto de Lisboa está escolhido: Alcochete. O
aeroporto terá um imenso volume de aviões sempre a decolar e a aterrizar.
Gerir todo este tráfego aéreo não é nada fácil. A missão dos controladores de
tráfego aéreo é precisamente garantir um fluxo de aviões seguro. São eles
que, a partir da torre de controle, fornecem indicações e autorizações de vôo,
de acordo com as características da aeronave e do contexto do momento.
Podem pedir aos pilotos para alterar fatores como a rota, a altitude ou a
velocidade. Programas de computador muito elaborados auxiliam os
controladores e garantem a eficácia do sistema.
Uma empresa que faz software de controle aéreo te contratou. Um dos
muitos sistemas instalados avisa do perigo de colisão entre dois aviões. Se
dois aviões estiverem próximos, um alarme dispara imediatamente.
76
Basicamente, a empresa quer que você programe uma maneira eficiente de
detectar isto, descobrindo no meio de todo o tráfego aéreo quais são os dois
aviões mais próximos um do outro. Como simplificação, as posições dos
aviões são dadas como em coordenadas (X,Y), em relação a uma
determinada origem. A altitude, direção e velocidade do avião podem ser
ignoradas. Se dois aviões tiverem posições (X1,Y1) e (X2,Y2), a distância entre
eles é dada pela fórmula X1 X2( )2 + Y1 Y2( )2 .
O trecho de código a seguir gera uma matriz com as coordenadas (x,y) para
a posição de 4 aviões no espaço aéreo.
for i=1:4 for j=1:2 coordenadas(i,j)=rand()*10; end mprintf("\n Coordenadas do avião %d ( %2.2f , %2.2f )",i,coordenadas(i,1),coordenadas(i,2)); end
A matriz foi organizada de modo que a linhas se referem ao avião e as
colunas se referem às suas coordenadas x e y.
Escreva um programa em SCILAB que dadas as localizações (X,Y) de um
conjunto de aviões, calcula qual o par de aviões que está mais perto um do
outro. Utilize o trecho de código disponibilizado acima para gerar a matriz que
contém as coordenadas dos quatro aviões. Veja a seguir uma sugestão para
a tela de saída.
77
PROJETO FINAL 4 : Compreendendo matrizes para a geração de
gráficos tridimensionais
A geração de gráficos tridimensionais não é uma tarefa trivial. Apesar do
SCILAB conseguir simplificar de maneira considerável a criação destes
gráficos precisamos entender o conceito de matriz que está por trás dos
comandos em SCILAB que facilitam a criação destes gráficos.
Vamos tomar como exemplo a função u(x, y) = 5e x+
73y. Para plotarmos o
gráfico desta função a primeira coisa a fazer é conhecer para quais valores
de x e y desejamos calcular u(x, y) . Vamos supor que desejamos saber o
valor de u(x, y) para 0 x 3 e 0 y 3 . Ótimo, agora temos a função que
queremos plotar o gráfico e o intervalo definido para x e y. O passo seguinte
é decidir em quais coordenadas (x,y) eu quero calcular o valor de u(x, y) .
Vamos supor que eu queira calcular o valor de u(x, y) em 5 pontos
igualmente espaçados entre 0 x 3 e 0 y 3 , portanto os pontos que
queremos calcular o valor da função são:
78
x y
0 0
0,75 0,75
1,5 1,5
2,25 2,25
3 3
É importante lembrar que a nossa função, é uma função em duas dimensões,
portanto para cada coordenada x temos os pares com as coordenadas y
gerando assim o conjunto de pontos (malha) ilustrado a seguir (uma matriz !)
Tabela 11 Exemplo de uma subdivisão de pontos para uma função bidimensional.
u(0,3) u(0.75,3) u(1.5,3) u(2.25,3) u(3,3)
u(0,2.25) u(0.75,2.25) u(1.5,2.25) u(2.25,2.25) u(3,2.25)
u(0,1.5) u(0.75,1.5) u(1.5,1.5) u(2.25,1.5) u(3,1.5)
u(0,0.75) u(0.75,0.75) u(1.5,0.75) u(2.25,0.75) u(3,0.75)
u(0,0) u(0.75,0) u(1.5,0) u(2.25,0) u(3,0)
Finalmente após a subdivisão dos pontos podemos então calcular o valor da
função nas coordenadas, conforme ilustrado a seguir.
Tabela 12 Matriz de solução para a função u(x,y).
5.0 2.36 1.11 0.52 0.2489
28.77 13.59 6.42 3.03 1.43
165.57 78.21 36.94 17.45 8.24
952.83 450.08 212.60 100.42 47.43
5483.16 2590.06 1223.45 577.92 272.99
79
Utilizando o SCILAB para gerar o gráfico da função u(x, y) = 5e x+
73y
Vamos agora aprender então como executar todos os passos descritos
acima utilizando o SCILAB.
1. Para gerar os intervalos das funções ; 0 x 3 e 0 y 3faremos uso
da função linspace( ). Conforme explicado no capítulo de vetores a
função linspace(valor1, valor2, valor3 ) funciona da seguinte
maneira; o primeiro valor dentro do parênteses representa o valor
inicial do vetor a ser criado, o segundo valor representa o fim do
intervalo a ser criado e o último valor dentro do parênteses representa
o número de elementos que serão criados para este vetor. Portanto se
quisermos 5 pontos dentro do intervalo 0 x 3 e 5 pontos dentro do
intervalo 0 y 3 utilizaremos o comando da seguinte forma;
intervalox=linspace(0,3,5); intervaloy=linspace(0,3,5);
2. Para gerar a matriz ilustrada pela tabela 11 utilizaremos o comando
meshgrid(). O comando meshgrid() recebe os pontos gerados pelo
comando linspace( ) e gera as coordenadas x e y, conforme a tabela 11.
[x,y]=meshgrid(intervalox,intervaloy);
80
3. A partir das coordenadas geradas x e y podemos então calcular o
valor da função u(x, y) = 5e x+
73y para cada ponto gerado.
for i=1:5 for j=1:5 u(i,j)= 5*exp(-x(i)+((7/3)*y(i))); end end
4. Finalmente por meio das matrizes x, y e u podemos gerar o gráfico
para a função proposta. Veja um exemplo utilizando o comando
mesh().
intervalox=linspace(0,3,5); intervaloy=linspace(0,3,5); [x,y]=meshgrid(intervalox,intervaloy); for i=1:5 for j=1:5 u(i,j)= 5*exp(-x(i,j)+((7/3)*y(i,j))); end end mesh(x,y,u);
81
Figura 38 Exemplo de gráfico 3d utilizando o comando mesh().
5. Que tal aumentarmos o número de pontos para 100 ao invés de 5 ?
Veja o resultado desta modificação !
Figura 39 Exemplo de gráfico 3d com 100 pontos
PRÁTICA !!!
Exercício 1. Utilize a metodologia descrita acima para plotar o gráfico das
seguintes funções.
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a) u(x, t)= 5e 4 2tsen(2 x) para 0 ≤ x ≤ 1 e t ≥ 0
b) u(x, t)= sen( x)cos( t) para 0 ≤ x ≤ 1 e t ≥ 0
c) u(x, t)=1+ x e t para 0 ≤ x ≤ 1 e t ≥ 0
d) u(x, y)= 5e 32 tsen(4 x) 3e 128 2t sen(8 x)+2e 200 2tsen(10 x)
Exercício 2 A função a seguir representa a distribuição de temperatura em
uma placa de 1cm de espessura durante o tempo (Hoffman,2001).
T(x, t)= 800 2
( 1)m
(2m+1)2sen[(2m+1) x]e (2m+1)2 2 t
m=0
10
em que ;
T(x, t) é a temperatura na posição x da placa no tempo t.
é a condutividade térmica da placa.
Construa um gráfico tridimensional com a distribuição de temperatura da
placa. Lembre-se a espessura é de 1cm portanto seu intervalo para x será
0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ t ≤ 10
83
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ASCENCIO, A. F. G; CAMPOS, E. A. V. Fundamentos da Programação de Computadores Algoritmos, Pascal, C/C++ e Java. 3ª edição, Pearson, 2012.
BOYCE,W. E.; DIPRIMA, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. Wiley, 10th Edition, 2012.
BROOKER, D.B.; BAKKER-ARKEMA, F.W.; HALL, C.W. Drying and storage of oilseeds, The AVI Publishing Company, New York, 1992. 450p
COSTA, E. Da Cruz . Refrigeração. Editora Edgard Blucher, 3 edição, 2011.
RODRIGUES, C. L. C. Sistema de controle automático para um secador de produtos agrícolas com reaproveitamento do ar de secagem. Tese de Doutorado, Universidade Federal de Viçosa, 2010.
DEITEL, H. M.; DEITEL, P. J. JAVA Como programar 6a edição. Pearson, 2005.
DUCHON, C.; HALE, R. Time series analysis in meteorology and climatology. An introduction. Wiley, 2012.
HOFFMAN, J. D; FRANKEL, S. Numerical Methods for Engineers and Scientists. CRC Press; 2 edition, 2001.
HOLLOWAY, J. P.; HOLLOWAY, J. P. Introdução À Programação para Engenharia - Resolvendo Problemas com Algoritmos. Editora Ltc, 2006.
KUO, B.C; GOLNARAGHI, F. Automatic Control Systems. Wiley; 8 edition 2002.
OLIMPÍADA BRASILEIRA DE INFORMÁTICA. http://olimpiada.ic.unicamp.br/. Acesso em 03/08/2014.
OLIMPÍADAS NACIONAIS DE INFORMÁTICA http://oni.dcc.fc.up.pt/2014/. Acesso em 03/08/2014.
RAYMOND, KAPUNO JR. R. Programming for Chemical Engineers Using C, C++, and MATLAB. Jones & Bartlett Learning, 2008.
84
APENDICE 1 – GERAÇÃO DE NÚMEROS ALEATÓRIOS
Em diversas áreas do conhecimento o uso de números aleatórios em
algoritmos é uma prática trivial. Especificamente no aprendizado de
algoritmos a utilização de números aleatórios pode nos ajudar a simular
cenários diversificados e situações inesperadas. A partir de tais situações
podemos criar e avaliar lógicas de programação independente de valores
digitados pelo programador e ou usuário, que muitas vezes podem escolher
valores tendenciosos à lógica implementada.
A seguir apresentaremos como podemos gerar números aleatórios utilizando
duas funções disponíveis em SCILAB, a função rand( ) e a função grand(
). É importante lembrar que as informações mais detalhadas sobre a
utilização destes comandos estão disponíveis no menu Ajuda do SCILAB.
1. A função rand( )
A função rand( )é a primeira função que apresentaremos para geração de
números aleatórios. O código a seguir mostra na tela 5 números gerados
aleatoriamente pela função rand( ).
mprintf("\n Gerando 5 números aleatórios com a função rand() \n"); for i=1:5 mprintf("\n\n %f ",rand()); end
Veja a saída no console após a execução do código acima.
Figura 40 Exemplo de aplicação do comando rand( )
85
Algumas observações devem ser feitas quanto ao uso do comando rand( ).
Perceba que os cinco números gerados estão entre 0 e 1. Esta é a primeira
característica do comando. Ao gerar os valores o computador sempre vai
trabalhar na faixa de valores entre 0 e 1. Outra característica que devemos
observar é que o SCILAB como já dito anteriormente trabalha com as
variáveis numéricas apenas em formato real, portanto todos os valores
gerados pela função rand( )estarão no formato real.
a. Gerando valores aleatórios inteiros a partir do comando rand( )
Conforme já definido os valores gerados estarão sempre no formato real.
Portanto para utilizarmos os valores no formato inteiro devemos utilizar uma
outra função disponível no SCILAB a função int( ), veja como é fácil. O
código a seguir vai gerar 5 valores inteiros aleatórios.
clear; clc; mprintf("\n Gerando 5 números aleatórios inteiros com a função rand() \n"); for i=1:5 mprintf("\n\n %f ",int(rand())); end Veja a tela de saída a seguir.
Figura 41 Utilizando a função int( ) e rand( )
Mas o que aconteceu !? Estão todos os valores zerados ? Vamos ver o por
que disso ?
Os números gerados aleatoriamente pela função rand( ) estão no intervalo
entre 0 e 1. Portanto quando utilizamos a função int( ) ficamos apenas
86
com a parte inteira do número gerado que era zero ! Veja um exemplo; se o
numero gerado para a variável x foi x=0.867 e em seguida aplicamos a
função int(x), consequentemente o resultado será 0.
Veja então como faríamos para gerar 5 números inteiros aleatórios entre 0 e
100.
mprintf("\n Gerando 5 números inteiros aleatórios com a função rand() \n"); for i=1:5 mprintf("\n\n %f ",int(100*rand())); end
Observe que a única modificação feita foi multiplicar os números gerados
aleatoriamente por 100. Veja a saída a seguir;
Figura 42 Gerando números aleatórios inteiros entre 0 e 100.
b. Gerando vetores e matrizes aleatoriamente por meio da função rand( )
A função rand( ) acrescida das informações de quantidade de linhas e
colunas também nos possibilita gerar automaticamente vetores e matrizes
com valores aleatórios. Se desejarmos gerar um vetor de 7 posições com
valores aleatórios basta acrescentarmos as seguintes informações no
comando rand( ) veja;
vetor=rand(7,1);
Para gerar o vetor de 7 posições com valores aleatórios foi necessário
acrescentar as informações de linhas e colunas. Portanto o comando
rand(7,1) gerou valores para uma matriz de 7 linhas e 1 coluna, ou um vetor
87
com 7 posições. Experimente gerar uma matriz de valores aleatórios com 3
linhas e 5 colunas !.
2. A função grand( )
Existem situações em que necessitamos de gerar valores aleatórios,
entretanto estes valores devem respeitar uma faixa de valores desejados.
Imagine que você criou toda a lógica de funcionamento de um radar que foi
instalado na avenida Cristiano Machado. A lógica é simples, porém você
precisa testar se a lógica do seu radar está funcionando. Em outras palavras
você precisa verificar se os carros que passam com velocidades maiores que
60 km/h são registrados. Para testar a sua lógica você vai precisar de simular
a velocidade dos carros que passam onde foi instalado o seu radar. Sabemos
que a velocidade média dos carros na avenida é de 60 km/h, mas pode
acontecer que automóveis trafeguem acima ou abaixo desta velocidade.
Surge então o seguinte questionamento, como vou simular estes veículos ? Como vou garantir que os valores simulados estejam nesta faixa para tornar o meu teste o mais próximo possível da realidade ?
Resposta:
Utilizaremos então a função grand( ), como um gerador de números aleatórios.
Para garantir que os valores estejam na faixa usual de tráfego na avenida, a função grand( ) nos permite escolher o valor médio dos números gerados e seu desvio padrão, todos estes obedecendo a uma distribuição de probabilidade. Enfim a geração dos números aleatórios será feita a partir da seguinte configuração grand(5,1,”nor”,60,5). Tal configuração pode
ser interpretada como “a função grand vai gerar uma matriz de 5 linhas e uma coluna (vetor de 5 posições) com valores aleatórios, obedecendo a distribuição normal, de média 60 e desvio padrão 5”.
Veja a seguir o código e a tela de saída a pós a sua execução.
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clear; clc; carros=grand(5,1,"nor",60,10); for i=1:5 mprintf("\n Velocidade do carro %d = %f (km/h)",i,carros(i)); if carros(i)>60 then mprintf(" Multado !!!"); end end
Figura 43 Exemplo de uso do gerador de números aleatórios grand( )
Lembre-se que para gerar apenas um valor basta alterar o comando para grand(1,1,”nor”,60,5), gerando apenas um valor, não mais um vetor.
Todas as configurações feitas para o comando rand( ) são válidas para o comando grand( )
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APENDICE 2 – LISTA DE COMANDOS ÚTEIS EM SCILAB
A seguir apresenta-se uma lista com alguns comandos usuais em
programação e engenharia. Maiores detalhes sobre a utilização destes
podem ser facilmente encontrados na seção “Ajuda” do SCILAB.
Esta lista não tem intenção de substituir o menu “Ajuda” do SCILAB. O menu “Ajuda” deve ser a sua principal fonte de busca durante suas implementações.
%i – Unidade imaginária utilizada para números complexos.
%inf - Retorna uma representação para um número infinito. ( ∞ ).
%pi - Retorna um valor aproximado para o número pi (π).
abs( )- Retorna o valor absoluto de um elemento.
acos( ) – Arco-cosseno.
acosh( ) – Arco-cosseno hiperbólico.
asec( ) – Arco secante.
asech( ) – Arco-secante hiperbólico.
asin( ) – Arco-seno.
asinh( ) – Arco-seno hiperbólico.
atan( ) – Arco-tangente.
atang( ) – Arco-tangente hiperbólico.
break - Dentro de um laço for ou while loop, o comando break força o
fim do laço.
cos( ) – Cosseno.
cosh( ) – Cosseno hiperbólico.
cotg( ) – Cotangente.
coth( ) – Cotangente hiperbólica.
det( ) – Calcula o determinante de uma matriz.
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disp( ) – Exibição de variáveis ou texto.
exp( ) – Retorna o valor para a expressão ex.
eye( ) – Matriz identidade.
factorial( ) – Retorna o fatorial de um número.
fix( ) – Arredonda em direção à zero.
floor( ) - retorna uma matriz de inteiros feita a partir de
"arredondamentos para baixo".
gsort( ) – Ordenação em ordem decrescente.
imag( ) – Retorna a parte imaginária de um número complexo.
input( ) – Comando de entrada de dados via usuário.
int( ) - retorna a parte inteira de um número real. É o mesmo que fix.
inv( ) – Retorna a matriz inversa.
linsolve( ) – Resolvedor de equações lineares.
linspace( ) – Retorna um vetor linearmente espaçado.
log( ) – Retorna o valor para ln.
log10( ) – Retorna o valor para o logaritmo na base 10.
log2( ) – Retorna o valor para o logaritmo na base 2.
max( ) – Retorna o maior valor de um vetor ou matriz.
mean( ) – Retorna a média dos elementos de um vetor / matriz.
min( ) – Retorna o menor valor de um vetor ou matriz.
modulo( ) – retorna o resto da divisão de x por y (x e y inteiros).
nthroot( ) – Retorna a n-ésima raiz de um número.
plot( ) – Gráfico em 2D.
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primes( ) – Retorna todos os números primos de 1 ao valor atribuído à
função.
rand( ) – Gerador de números aleatórios.
real( ) – Retorna a parte real de um número complexo.
round( ) - arredonda os elementos de x para os inteiros mais próximos.
sec( ) – Secante.
sech( ) – Secante hiperbólica.
sin( ) – Função seno.
sinh( ) – Seno hiperbólico.
solve( ) – Solucionador de sistemas lineares.
sqrt( ) – Retorna o valor para a raiz quadrada de um número.
sum( ) – Retorna a soma dos elementos de um vetor ou matriz.
tan( ) – Tangente.
tanh( ) – Tangente hiperbólica.
zeros( ) – Gera uma matriz feita de zeros.
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