Applied Grouptheory in Applied Grouptheory in Condensed Matter Condensed Matter

PhysicsPhysics

Dave de Jonge

Een groep, wat was dat ook Een groep, wat was dat ook alweer?alweer?

Een verzameling G die aan de volgende axioma’s voldoet:

Als a in G en b in G dan ook ab en ba in G

Eénheidselement e

ae = ea = a Inverse aa-1 = a-1a = e Associatief: a(bc) = (ab)c

VoorbeeldenVoorbeelden

Z (de gehele getallen) R (de reële getallen) De symetrieën van

geometrische figuren. De symetrieën van dit

plaatje. De symetrieën van een

kristalrooster (de “space group”).

De Point GroupDe Point Group

Ieder element van de spacegroup is te schrijven als produkt van een translatie en een transformatie die minstens één punt vast houdt:S = T T-1S = TR

De elementen R vormen de zogenaamde “point group”

Point group van het bcc roosterPoint group van het bcc rooster

•Rotaties rond de Rotaties rond de diagonalendiagonalen

•Rond het midden van Rond het midden van een zijvlakeen zijvlak

•Rond het midden van Rond het midden van een ribbeeen ribbe

•SpiegelingenSpiegelingen

Bravais RoostersBravais Roosters

De groep van de SchrDe groep van de Schröödinger dinger vergelijkingvergelijking

Als T in de spacegroup, dan is de Als T in de spacegroup, dan is de Hamiltoniaan van een elektron invariant Hamiltoniaan van een elektron invariant onder T: onder T:

H(H(rr) = H(T ) = H(T rr))

PPTTΨ(Ψ(rr) := Ψ(T ) := Ψ(T rr))

H(H(rr))PPTTΨ(Ψ(rr) = H() = H(rr)Ψ(T )Ψ(T rr) = H(T ) = H(T rr) Ψ(T ) Ψ(T rr) = ) = EΨ(T EΨ(T rr) = E) = EPPTTΨ(Ψ(rr))

Conclusie: Conclusie: PPTTΨ(Ψ(rr) is een oplossing van de ) is een oplossing van de Schrödinger vergelijking met dezelfde Schrödinger vergelijking met dezelfde energie als Ψ(energie als Ψ(rr) .) .

De operatoren PDe operatoren PT T vormen ook een groep.vormen ook een groep.

Bloch’s TheoremBloch’s Theorem

We nemen aan dat We nemen aan dat Ψ op grote schaal Ψ op grote schaal periodiek is en dat de spacegroup alleen uit periodiek is en dat de spacegroup alleen uit translaties bestaat:translaties bestaat:

Ψ(Ψ(rr) = Ψ() = Ψ(rr +N +N1 1 xx)) = Ψ( = Ψ(rr +N +N2 2 yy) = Ψ() = Ψ(rr +N +N3 3 zz))

Dan is de spacegroup een eindige groep met Dan is de spacegroup een eindige groep met N = N N = N11NN22NN33 elementen. elementen.

Ψ(Ψ(rr + + xx) ) = P= PT T Ψ(Ψ(rr) = c Ψ) = c Ψ((rr))

Ψ(Ψ(rr) = Ψ() = Ψ(rr +N +N1 1 xx) = ) = PPTTN1N1

Ψ(Ψ(rr) = c) = cN1 N1 Ψ(Ψ(rr) =>) =>

ccN1N1= 1 => c = exp(2πi p= 1 => c = exp(2πi p11/N/N11))

Bloch’s TheoremBloch’s Theorem

Ψ(Ψ(rr + +xx) = ) = exp(2πi pexp(2πi p11/N/N11) Ψ() Ψ(rr) = exp(i) = exp(ikk xx) ) Ψ(Ψ(rr))

kk = p = p11/N/N1 1 aa

Voor iedere keuze van pVoor iedere keuze van p1 1 vinden we een vinden we een andere vector andere vector kk in de reciproke ruimte. in de reciproke ruimte.

We kunnen We kunnen kk vervangen door vervangen door kk’’ = (p = (p11++

NN11)) /N/N1 1 a a zonder fysische gevolgen.zonder fysische gevolgen.

Voorbeeld (NVoorbeeld (N11 = 4) = 4)c = exp(2πi pc = exp(2πi p11/N/N11) )

pp11=1 => c=i p=1 => c=i p11 =2 =2 => c= -1=> c= -1

pp11 =3 => c= -i p =3 => c= -i p11 =4 => =4 => c= 1c= 1

3 Dimensies3 DimensiesIn drie dimensies wordt dit:In drie dimensies wordt dit:kk = p = p11/N/N11 aa + p + p22/N/N22 bb + p + p33/N/N33 cc

Als -½ NAls -½ Nii < < pi < ½ Ni Voor i = 1, 2 en 3Dan zit kk in de eerste Brillouin zone

DegeneratieDegeneratieWe kunnen nu ook de pointgroup We kunnen nu ook de pointgroup meenemen:meenemen:

Als RAls Rkk ≠ ≠kk dan geven R dan geven Rkk en en kk twee twee verschillende oplossingen met dezelfde verschillende oplossingen met dezelfde energie. energie. Als G Als G00 de point group is en de point group is en GG00((kk) de ondergroep waarvoor geldt R) de ondergroep waarvoor geldt Rkk ==kk

Dan vinden we #GDan vinden we #G00/#G/#G00((kk) ) verschillende gedegenereede verschillende gedegenereede oplossingen.oplossingen.