1

TEORIA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

1 Implicazione e coimplicazione Implicazione materiale

Dati gli enunciati A e B lrsquoimplicazione materiale A B che leggiamo laquoA implica Braquo oppure laquoSe A allora Braquo egrave lrsquoenunciato che egrave falso se A egrave vero e B egrave falso altrimenti egrave vero

A B A BV V VV F FF V VF F V

Nella logica formale lrsquoimplicazione laquose A allora Braquo non sottolinea un nesso di causa-effetto tra A e B ma un collegamento dato dalla tavola di veritagrave

Quindi possiamo anche scrivere implicazioni che non hanno senso comune e i cui valori di veritagrave non hanno senso comune Per esempio se A laquoNon ho piugrave di due maniraquo e B laquoI gatti non hanno due coderaquo possiamo scrivere che laquoSe non ho piugrave di due mani allora i gatti non hanno due coderaquo egrave una proposizione logica vera anche se non ha senso

Quindi dellrsquoimplicazione materiale laquose A allora Braquo possiamo dire che bull se A B egrave vera allora dalla veritagrave di A possiamo dedurre la veritagrave di B bull A B egrave sempre vera quando A egrave falsa indipendentemente dal valore di veritagrave di

B percheacute da una premessa falsa si puograve dedurre qualunque conclusione

Queste proprietagrave sono piugrave facilmente comprensibili quando si usano implicazioni che hanno un senso comune che derivano dal linguaggio naturale o da quello matematico

Consideriamo per esempio le proposizioni A laquoHo la febbre altaraquo e B laquoSono malatoraquo Se A e B sono entrambe vere lrsquoenunciato A B diventa laquoSe ho la febbre alta allora sono malatoraquo che in questo caso ha un senso comune di veritagrave

In particolare esiste un rapporto di causa-effetto tra A e B che ci permette di dire che da una premessa vera deduciamo una conseguenza vera (prima riga della tavola di veritagrave)

Ma lrsquoenunciato A B risulta sempre vero anche quando lrsquoenunciato A egrave falso (terza e quarta riga della tabella di veritagrave) Infatti laquoNon ho la febbre altaraquo puograve significare sia che io sia malato (con febbre non alta) sia che io non sia malato quindi le propo-sizioni laquoNon ho la febbre alta quindi sono malatoraquo e laquoNon ho la febbre alta quindi non sono malatoraquo sono entrambe vere

DEFINIZIONE

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

2

TEORIA

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Coimplicazione materiale

Dati gli enunciati A e B la coimplicazione ma-teriale A B) che leggiamo laquoA coimplica Braquo oppure laquoA se e solo se Braquo egrave lrsquoenunciato che egrave vero se A e B sono entrambi veri o entrambi falsi altrimenti egrave falso

A B A B)V V VV F FF V FF F V

Anche la coimplicazione materiale come lrsquoimplicazione materiale non egrave un discorso logico ma un collegamento dato dalla tavola di veritagrave Egrave quindi possibile scrivere coimplicazioni che non hanno senso comune

Consideriamo A laquoTi faccio un regaloraquo e B laquoSei promossoraquo Lrsquoenunciato A B) egrave laquoTi faccio un regalo se e solo se sei promossoraquo Si tratta di una coimplicazione che ha senso comune Questo enunciato egrave vero se sei promosso e ti faccio un regalo oppure se non sei promosso e non ti faccio un regalo

2 Espressioni logiche e schemi di ragionamento

ESPRESSIONI LOGICHECome con le operazioni tra numeri scriviamo espressioni numeriche cosigrave nella lo-gica scriviamo espressioni logiche utilizzando i connettivi

Nelle espressioni logiche lrsquooperatore che ha la precedenza su tutti gli altri egrave quello della negazione seguono poi quelli di congiunzione e disgiunzione e infine quelli di implicazione materiale e coimplicazione materiale Quindi lrsquoordine di precedenza degli operatori logici egraveJ 0 0 )

Inoltre come nel caso delle espressioni numeriche utilizziamo le parentesi per cam-biare lrsquoordine con cui si eseguono le operazioni e usiamo le lettere dette variabili logiche per indicare enunciati generici

Di unrsquoespressione logica possiamo compilare la tavola di veritagrave a partire dai valori di veritagrave delle variabili presenti

Scriviamo la tavola di veritagrave dellrsquoespressione A B0 Dopo aver scritto

A B A A B0

V V F VV F F FF V V VF F V V

tutte le possibili coppie di valori di veritagrave per A e B scriviamo la colonna di A ottenendola da A con la negazione Poi guardiamo le colonne di A e B e scriviamo quella di A B0

Due espressioni logiche con le stesse variabili sono equivalenti se hanno la stessa tavola di veritagrave

DEFINIZIONE

ESEMPIO

3

TEORIA

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Per indicare lrsquoequivalenza usiamo il simbolo = e per verificarla utilizziamo una tavola di veritagrave

Verifichiamo con una tavola di veritagrave che ( )A B B A B B 0 0 = Per ottenere ( )A B B 0 calcoliamo prima la colonna di A B e usiamola poi con BPer calcolare ( )A B B0 abbiamo bisogno della colonna di A B0 Quindi dob-biamo compilare la tavola di veritagrave seguente

A B A B0 A B A B B 0 ( )A B B0

V V V V V VV F V F F FF V V F V VF F F F F F

Le colonne di ( )A B B 0 e ( )A B B0 sono uguali quindi le espressioni sono equivalenti

PROPRIETAgrave DELLE OPERAZIONI LOGICHEMediante lrsquoequivalenza di espressioni possiamo scrivere proprietagrave di cui godono le operazioni logiche

Proprietagrave commutativa della congiunzioneA B B A =

Proprietagrave associativa della congiunzione( ) ( )A B B CC A =

Proprietagrave distributiva della congiun-zione rispetto alla disgiunzione

( ) ( ) ( )A B C A B CA 0 0 =

Idempotenza della congiunzioneA A A =

Proprietagrave commutativa della disgiunzioneA B B A00 =

Proprietagrave associativa della disgiunzione( ) ( )A B C A B C0 0 00 =

Proprietagrave distributiva della disgiun-zione rispetto alla congiunzione

( ) ( ) ( )A B C A B A C0 0 0 =

Idempotenza della disgiunzioneA A A0 =

Doppia negazione A A= Leggi di De Morgan 1 A B A B 0= 2 A B A B0 =

Applichiamo la prima legge di De Morgan agli enunciatiA laquoRoberta dipingeraquo B laquoRoberta cantaraquo

Lrsquoenunciato laquoNon egrave vero che Roberta dipinge e cantaraquo A B

equivale a laquoRoberta non dipinge oppure non cantaraquo

A

0

B

ESEMPIO

ESEMPIO

4

TEORIA

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Essendo unrsquoequivalenza fra espressioni logiche ognuna delle proprietagrave che abbiamo elencato puograve essere verificata con una tavola di veritagrave

Verifichiamo la prima legge di De MorganA B A B A B A B A B0

V V F F V F FV F F V F V VF V V F F V VF F V V F V V

Compiliamo la tavola e notiamo che le co-lonne di A B e A B0 sono uguali quindi A B A B 0=

TAUTOLOGIE E CONTRADDIZIONI

Una tautologia egrave unrsquoespressione logica vera per qualsiasi valore di veritagrave attribuito alle sue variabiliUna contraddizione egrave unrsquoespressione logica falsa per qualsiasi valore di veritagrave attri-buito alle sue variabili

A A0 egrave una tautologia Infatti

A A A A0

V F VF V V

sempre vera

A A egrave una contraddizione Infatti

A A A A

V F FF V F

sempre falsa

La negazione di una tautologia egrave una contraddizione e viceversa

SCHEMI DI RAGIONAMENTONella vita reale e nella matematica siamo interessati alle deduzioni logiche cioegrave a quei ragionamenti che basandosi sulle relazioni di causa-effetto partono da premesse vere e giungono a conclusioni vere Gli schemi di ragionamento non vanno confusi con lrsquoimplicazione materiale e la coimplicazione materiale

Premesse e conclusioneEsaminiamo il seguente ragionamento

Se ho fame allora mangio A BA

B

conA laquoho fameraquoB laquomangioraquo

Ho fame premessequindimangio conclusione

Nella prima colonna abbiamo scritto il ragionamento nella seconda abbiamo tra-dotto in simboli lo schema di ragionamento che egrave indipendente dai particolari enunciati assegnati alle variabiliIl ragionamento dellrsquoesempio egrave costituito da due premesse A B e A e da una conclusione

ESEMPIO

ESEMPIO

5

TEORIA

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Modus ponensLo schema di ragionamento dellrsquoesempio che abbiamo esaminato si chiama modus ponens Possiamo scriverlo con lrsquoespressione

[( ) ]A B A B si legge A implica B e A implica B

Modus tollensEsaminiamo ora il seguente ragionamento

Se guido allora ho la patente A BB

A

conA laquoguidoraquoB laquoho la patenteraquo

Non ho la patente premessequindinon guido conclusione

Lo schema di ragionamento di questo esempio egrave detto modus tollens e puograve essere scritto mediante lrsquoespressione logica

( )[ ]A B B A Uno schema di ragionamento egrave valido se e solo se la sua espressione logica egrave una tautologia

A BA

B

modus ponens

A BB

A

modus tollens

6

ES

ER

CIZ

I

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

ESERCIZI

1 Implicazione e coimplicazioneTRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Scrivi in simboli le seguenti proposizioni laquoIl numero 18 egrave divisibile

per 6 se e solo se 18 egrave divisibile per 3 e per 2raquo e laquoUn rombo egrave un quadrato se ha tutti gli angoli congruentiraquo

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE Considera le proposizioni laquo3 9raquoA 2 B laquo3 egrave un numero primoraquo e C laquo9 32= raquo Traduci in parole le seguenti proposizioni e attribuisci a ciascuna di esse il valore di veritagrave

A B B A A B) C B) C B

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Le seguenti proposizioni sono proposizioni composte costituite da enunciati distinti (componenti) legati da connettivi logici Riscrivile in simboli indicando con una lettera maiuscola ogni componentea laquoSe 17 egrave un numero egrave primo allora 17 ha esattamente due divisoriraquob laquoSe MCD(12 28) = 4 i due numeri 12 e 28 sono pariraquoc laquoUn rombo egrave un quadrato se e solo se ha tutti gli angoli rettiraquod laquoSe il numero 264 egrave multiplo di 88 allora 264 egrave pariraquoe laquoIl reciproco del numero 8 esiste se e solo se il numero 8 egrave diverso da 0raquof laquoVado a scuola in bicicletta se e solo se il cielo egrave serenoraquog laquoSe 3 51 allora 3

1512 raquo

2 Espressioni logiche e schemi di ragionamento

ESPRESSIONI LOGICHETRADUCI in parole le espressioni che seguono considerando gli enunciati A B e C

A laquoVado in vacanza in montagnaraquo B laquoLeggo molti libriraquo C laquoVado in vacanza al mareraquoA B A B A B A B C B C B A C A C0

A laquoIl numero 56 egrave pariraquo B laquoIl numero 56 egrave divisibile per 7raquo C laquoIl numero 56 egrave il risultato di 7 8$ raquoA B C B C A B C 0 A C A B C

A laquoCompro il giornaleraquo B laquoCompro il paneraquo C laquoCompro un paio di scarperaquoA C0 A B0 C B0 A B0 ( )A C B0

A laquoTelefono a Marcoraquo B laquoNon vado al corso di musicaraquo C laquoStudio storiaraquoA B B C A C A B C C B A B A B A B C

1

2 3 4 5 6

7

8

9

10

11

7

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE le proposizioni composte indicate e attribuisci a ciascuna di esse il valore di veritagrave

A laquoIl quadrato ha tre angoliraquo B laquoLrsquoesagono regolare ha tutti i lati ugualiraquo C laquoIl quadrato non egrave un rettangoloraquo( )A B B0 B C0 B C0 ( )A B B0 ( )C B B 0 A B C0 0

C A B) 0

A laquo9 182 = raquo B laquo12 6 2$= raquo C laquo4 2 6+ raquoA B C 0

B C A B A C) ( )A B C)0 ( )B A C

A laquo5 egrave maggiore di 6raquo B laquo 31 egrave un numero interoraquo C laquo12 egrave un numero pariraquo

A B B C A B0 A C0 A B C A0 A C0 A B B C0 B C

A laquo5 71 raquo B laquoFebbraio egrave il primo mese dellrsquoannoraquo C laquoFebbraio egrave il mese con piugrave giorniraquo D laquo7 egrave un numero primoraquoA C B D0 C D D B0 A B0 A D C B0 B C

A laquoLa somma di 2 e 3 egrave 5raquo B laquoIl prodotto di 2 e 3 egrave 8raquo C laquo2 egrave maggiore di 3raquoA C0 B C0 A B0 A B A B0 A C0 B C0 A C B C B C

A laquo18 egrave un multiplo di 6raquo B laquo6 non egrave un divisore di 24raquo C laquo9 egrave un numero primoraquoA B C A B ( )A B C A C B C ( )A C B

A laquo 41 egrave un quadrato perfettoraquo B laquo21 egrave un numero primoraquo C laquo7 egrave un divisore di 28raquo

A B0 B C A C0 A C A B C0 0

A laquo12 111 egrave un multiplo di 11raquo B laquo66 egrave un multiplo di 6raquo C laquo12 111 e 66 sono primi tra lororaquoA B0 B C0 A C A B C 0 A B C0 0

A B C0

A laquoI giorni dellrsquoanno sono 300raquo B laquoI mesi dellrsquoanno sono 13raquo C laquoI giorni della settimana sono 7raquoA B C0 0 A C B0 0 A B C0 A B C 0 A B C0 0 A B C A B C0

Attribuisci il valore di veritagrave agli enunciati A laquo5 egrave un numero pariraquo B laquo 25 egrave un numero razionaleraquo

C laquo15 15= raquo e poi stabilisci il valore di veritagrave delle seguenti espressionia A B0 ( )A B C0

( )A B C0 0

b ( )A B C0 0 ( )A B C0 0

( )A B C0 0 ( )A B C0

Dati gli enunciati A laquo 51 5 1$ = raquo B laquo5 10 = raquo e C laquo2 86 3= raquo traduci in parole i seguenti enunciati e attri-

buisci a ciascuno di essi il valore di veritagraveA B) A C) B A C) 0 B A A C)0 ( )[ ]C A B C )0

Attribuisci il valore di veritagrave ad A B e C quindi determina il valore di veritagrave delle espressioni indicateA laquo12 ha sei divisoriraquo B laquo14 e 27 sono primi tra lororaquo C laquoIl triangolo ha 4 angoliraquoa A C B b ( )A C B0 c A B C

Attribuisci il valore di veritagrave ad A B C quindi determina il valore di veritagrave delle espressioni indicateA laquo7 egrave un divisore di 2870raquo B laquo9185 egrave un multiplo di 11raquo C laquo6303 egrave divisibile per 6raquoa A B A B0 A C A C B C A B B A) b ( ) CA B0

[( ) ] ( )A A B C B A A B) 0 0 0

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

8

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE Dati gli enunciati A laquoOggi fa caldoraquo B laquoOggi pioveraquo C laquoEsco con lrsquoombrelloraquo e D laquoVado a scuola in biciclettaraquo traduci in parole le seguenti espressioni

A B C B D A C A A D) DB A D C) D B A 0

Scriviamo in simboli lrsquoespressione laquoSe 187 11 17$= 187 non egrave un numero primo ed egrave multiplo di 11raquoIndichiamo con una variabile logica ogni enunciato componente

laquoSe 187 11 17$= (allora) 187 non egrave un numero primo ed egrave multiplo di 11raquo

In simboli ( )A B C

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Riscrivi in simboli le seguenti espressioni indicando con una variabile logica ogni enunciato componente

a laquoLuisa va al mare ma non fa il bagnoraquob laquoOggi vedo Stefano e lo invito a cenaraquoc laquoMaria non legge giornali e non guarda la televisioneraquo

d laquoIl numero 57 non egrave razionale egrave positivo e maggiore di 1raquo

e laquoLuca deve risolvere un problema portare fuori il cane telefonare a Rita e a Paoloraquo

a laquoIl cubo egrave un solido ha otto facce e le sue facce sono quadratiraquob laquoIl numero 6 non egrave divisibile per 4 ed egrave pariraquoc laquoNon egrave vero che o porti la pizza o non partecipi alla festaraquod laquo18 egrave multiplo di 9 divisore di 36 ma non egrave divisibile per 5raquo

a laquoSe non pianto la tenda e piove il sacco a pelo si bagnaraquob laquoSe r egrave parallela a s e s egrave parallela a t allora r egrave parallela a traquoc laquoSe vai in palestra non ci vediamo e non fai i compitiraquod laquoIl libro egrave tuo se e solo se lrsquoarancione non egrave il tuo colore preferitoraquo

YOU amp MATHS Write the sentences below in terms of the followingr strawberries are ripe along the path b snails have been seen in the area w walking on the path is safea Strawberries are ripe along the path and snails have not been seen in the areab Snails have not been seen in the area and walking on the path is safe and strawberries are ripe along the pathc If strawberries are ripe along the path then walking is safe if and only if snails have not been seen in the aread It is not safe to walk along the path snails have not been seen in the area and the strawberries along

the path are ripe

INTORNO A NOI Negli ascensori di solito egrave presente unrsquoetichetta con una frase simile a quella indicata a lato Individua tre propo-sizioni P Q R in modo da poter scrivere lrsquoavviso come espressione in cui P Q e R sono legate con connettivi logici Qual egrave lrsquoespressio-ne in simboli

25 26

COME SI FA

implicazione materiale

A laquo187 = 11 17raquo

negazione

B laquo187 egrave un numero primoraquo

congiunzione

C laquo187 egrave multiplo di 11raquo

27

28

29

30

31NON POSSONO USARE LrsquoASCENSORE

PERSONE MINORI DI 12 ANNISE NON ACCOMPAGNATE

9

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

TRADUCI Considera le seguenti proposizioni A laquoSabato telefono a Ugoraquo B laquoSabato Ugo mi telefonaraquo C laquoSabato finisco il lavororaquo D laquoSabato guardo la TVraquoa Traduci in parole le proposizioni

A D0 B C B B0 A C D C B C) A B0 ( )D C A ( ) ( )A B C D

b Traduci le seguenti proposizioni composte in simboli laquoSabato se Ugo mi telefona finisco il lavoro e non guardo la TVraquo laquoSabato finisco il lavoro o guardo la TV e non telefono a Ugoraquo laquoSabato se Ugo non mi telefona io telefono a Ugo e finisco il lavororaquo laquoSabato o telefono a Ugo o mi telefona lui e finisco il lavororaquo

INTORNO A NOI Sono date le proposizioniA laquoIl mio cane abbaiaraquoB laquoLa luna egrave pienaraquo

C laquoPioveraquoD laquoIl mio cane ulularaquo

Utilizza le variabili logiche e i connettivi adeguati per rappresentare schematicamente le seguenti proposizionia laquoSe la luna egrave piena il mio cane o abbaia o ulularaquob laquoChe piova o che la luna sia piena il mio cane abbaiaraquoc laquoSe il mio cane ulula allora la luna egrave piena e se piove allora il mio cane abbaiaraquo

Espressioni e valori di veritagrave

Consideriamo le proposizioni A laquo63 egrave un multiplo di 7raquo B laquo3 egrave un divisore di 63raquo e C laquo63 egrave un numero pariraquo

Stabiliamo il valore di veritagrave di A B B C0 B C A0

Costruiamo la tavola di veritagrave

A B C A B A B B C B C0 B C0 B C A0

V V F V F F V V F V

Espressioni e tavole di veritagraveCACCIA ALLrsquoERRORE Esamina la seguente tavola di veritagrave e scopri in essa almeno cinque errori

A B C A B C A0 C B0 C A C B0 0 ( ) [ ]A B C A C B 0 0

V V V V V V V VV V F V V V V VV F V F F V V VV F F V V F F VF V V V V V V VF V F V F F F VF F V V V V F VF F F V F F V V

32

33

COME SI FA

63 non egrave un numero pari63 3 = 2163 = 7 9

34

10

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

COMPLETA la seguente tavola di veritagrave inserendo lrsquoespressione corretta scelta fra( )A B C 0 ( )A B C ( )A B C 0

A B C0

A B CV V V VV V F FV F V FV F F VF V V FF V F VF F V FF F F V

COMPLETA la seguente tavola inserendo i valori di veritagrave e gli operatori mancanti

A B A B A B A B0 A BV V F V

F F F VF F V V

F V V F

Date due proposizioni generiche A e B costruiamo la tavola di veritagrave dellrsquoespressione ( )A B A0

A B A B A ( )A B A0

V V F V VV F F F FF V V F VF F V F V

tutti i possibili casi per A e B aggiungiamo le colonne A e B A

Per ciascuna delle seguenti espressioni costruisci la tavola di veritagrave considerando A e B proposizioni generiche

A B A B A B A B0 A B0

A B0 A B0 A B0 A B0 A B0

A B A B A B A B

A B) A B) A B) A B)

A B A A B ( )A A B ( )A B B

A B0 A A B0 0 ( )A A B0 0 ( )A B B0 0

A A B 0 A A B 0 ( )A B B0 ( )A B B0

35

36

COME SI FA

37

38

39

40

41

42

43

11

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Per ciascuna delle seguenti espressioni costruisci la tavola di veritagrave considerando A e B e C proposizioni generiche

( )A B C0 ( )A B C 0 ( ) ( )A B C A 0

( )B A C0 ( )A B C0 ( ) ( )A CC B) )

( )B CA 0 ( )B C A 0 A B C 0

( )B C A ( ) ( )A C B C0 ( )A CB)

VERO O FALSO Considera A e B proposizioni generichea Se A egrave falsa allora anche A egrave falsa V F

b Se A B egrave falsa allora o A o B egrave falsa V F

c A B0 egrave vera se e solo se A e B non sono entrambe vere o entrambe false V F

d Se A e B sono false allora ( ) ( )A B A B0 0

egrave falsa V F

VERO O FALSO a Se A B) egrave falsa allora A e B non sono

entrambe vere o entrambe false V F

b A B egrave falsa se e solo se A egrave vera V F

c A B non puograve essere falsa se A egrave falsa V F

d A B) egrave vera se e solo se anche A e B lo sono V F

PROPRIETAgrave DELLE OPERAZIONI LOGICHEEnuncia le seguenti proprietagrave delle operazioni logiche e verificale utilizzando una tavola di veritagrave

Negazione della negazione

Idempotenza della disgiunzione

Commutativa della disgiunzione

Associativa della congiunzione

Distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione

Distributiva della disgiunzione rispetto alla congiunzione

FAI UN ESEMPIO di applicazione della seconda legge di De Morgan e verifica poi la legge mediante la tavola di veritagrave

EquivalenzeTEST Dato lrsquoenunciato laquoNon egrave vero che 2- non egrave un numero pariraquo quale dei seguenti egrave equivalenteA laquo 2- non egrave un numero pariraquoB laquoNon egrave vero che 2- egrave un numero pariraquo

C laquo 2- egrave un numero pariraquoD laquo 2- non egrave un numero non pariraquo

Verifichiamo che ( )B B A B A B0 0 0= Possiamo procedere in due modi bull Compiliamo la tavola di veritagrave

A B A B A0 B A0 ( )B B A0 0 B B A B A B 0

V V F V F V F F VV F F F V V V V VF V V V F V F F VF F V V F F V F F

Le colonne relative alle due espressioni sono uguali quindi le espressioni sono equivalenti

44

45

46

47

48 49

50

51

52

53

54

55

56

57

COME SI FA

colonne uguali

12

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

bull Utilizziamo le proprietagrave delle operazioni logiche per passare da unrsquoespressione allrsquoaltra attraverso espres-sioni equivalenti

( ) ( ) ( )B B A B B A B B A B A B0 0 0 0 0= = =

Verifica le seguenti equivalenze utilizzando il metodo che preferisci( ) ( )A B A A A B0 0 =

( ) ( )B B A B B A 0 0 =

A B B A B 0 0=

( )A B B A B0 =

( ) ( )A B A A A B0 0 =

( ) ( ) ( ) ( )A B A B B A A B0 0 0 =

Utilizzando le tavole di veritagrave verifica le seguenti equivalenzeB A A B = B A A B A B 0 0=

( ) ( )A B C A B C =

TAUTOLOGIE E CONTRADDIZIONIAL VOLO Stabilisci se le seguenti espressioni sono tautologie o contraddizioni

a ( )B B B0 b ( ) ( )A A A A0 c C C) d A A)

Utilizzando le tavole di veritagrave stabilisci quali fra le seguenti sono tautologie e quali contraddizioni( )B B A 0 A A B ( )A B A B0 0

( )B B B [( ) ]A B A A ( ) ( )B C C B

Fra le seguenti espressioni indica quali sono tautologie quali contraddizioni e quali non sono neacute tautologie neacute contraddizioni A A A B A0 A A) B B) A B B

Senza utilizzare le tavole di veritagrave individua fra le seguenti proposizioni una tautologia e una contraddizio-ne spiega il tuo ragionamento Verifica poi le tue risposte compilando le tavole di veritagrave

( ) ( )A B A B0 0 B B A A0 A B B A0 A A B B)0

SCHEMI DI RAGIONAMENTOTEST Quale fra i seguenti non egrave un ragionamento valido laquoSe non accordo la chitarra non suonoraquoA Suono quindi accordo la chitarraB Se suono allora accordo la chitarra

C Accordo la chitarra quindi suonoD Non accordo la chitarra quindi non suono

SPIEGALO TU Percheacute i seguenti ragionamenti non sono validia laquoSe un cane abbaia allora non morde Quel cane non abbaia allora morderaquob laquoSe lrsquoacqua non bolle la pasta non cuoce Lrsquoacqua bolle allora la pasta cuoceraquo

Verifica che la legge di contrapposizione ( ) ( )A B B A egrave uno schema di ragionamento valido

negazione della negazione

2a legge di De Morgan commutativa della disgiunzione

58

59

60

61

62

63

64 65 66

67

68

69

70

71

72

73

74

13

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Il seguente ragionamento egrave valido mostralo con lrsquoaiuto di un diagramma di VennlaquoOgni multiplo di 12 egrave multiplo di 6raquolaquoOgni multiplo di 6 egrave multiplo di 3raquo

laquoOgni multiplo di 12 egrave multiplo di 3raquo

Riconoscere uno schema

Riconosciamo lo schema applicato in laquoSe un numero egrave una potenza di 3 allora non egrave pariraquo laquoUn numero egrave pari quindi non egrave una potenza di 3raquo

Scriviamo in simboli

laquoSe un numero egrave una potenza di 3 allora non egrave pariraquo A BlaquoUn numero egrave pari hellip B

hellipquindihellip

hellipnon egrave una potenza di 3raquo A

Lo schema di ragionamento egrave [( ) ]A B B A Poicheacute B egrave la negazione di ( )B B B= lo schema egrave il modus tollens

Riconosci gli schemi di ragionamento applicati scrivendo ognuno di essi in forma simbolicalaquoSe non hai il biglietto dellrsquoautobus prendi la multaraquolaquoNon prendi la multa quindi hai il biglietto dellrsquoautobusraquo

laquoSe arrivi in ritardo non entri a teatroraquolaquoArrivi in ritardo quindi non entri a teatroraquo

laquoSe passo col rosso mi ferma il vigile se mi ferma il vigile pagoraquolaquoSe passo col rosso pagoraquo

laquoSe penso allora sonoraquolaquoSe non sono allora non pensoraquo

laquoSe ingrasso non entro nei pantaloni se non entro nei pantaloni devo rifare il guardarobaraquolaquoSe ingrasso devo rifare il guardarobaraquo

laquoSe ho il foglio protocollo a righe crsquoegrave il temaraquolaquoNon crsquoegrave il tema quindi non ho il foglio protocollo a righeraquo

laquoSe lavo i vetri piove se piove i vetri si sporcanoraquolaquoSe lavo i vetri i vetri si sporcanoraquo

laquoSe sono bassa salgo sulla sediaraquolaquoSono bassa quindi salgo sulla sediaraquo

laquoSe un numero egrave naturale allora egrave intero se un numero egrave intero allora egrave razionaleraquolaquoSe un numero non egrave razionale allora non egrave naturaleraquo

75

COME SI FA

A laquoUn numero egrave una potenza di 3raquo B laquoUn numero egrave pariraquo

B

A

76

77

78

79

80

81

82

83

84

14

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Stabilisci se i seguenti ragionamenti sono validi e in caso affermativo indicane il tipolaquoSe suona il telefono rispondoraquolaquoNon rispondo quindi non suona il telefonoraquo

laquoSe accendo il forno non avvio la lavastoviglie se non avvio la lavastoviglie i piatti restano sporchiraquolaquoSe accendo il forno i piatti restano sporchiraquo

laquoSe il gatto miagola ha fameraquolaquoSe il gatto non ha fame non miagolaraquo

laquoSe il triangolo egrave rettangolo applico il teorema di PitagoraraquolaquoIl triangolo egrave rettangolo quindi applico il teorema di Pitagoraraquo

Applica il modus ponens il modus tollens e la legge di contrapposizione alle seguenti premessea laquoSe un rombo ha gli angoli congruenti allora egrave un quadratoraquob laquoSe in ogni materia la media dei miei voti egrave maggiore o uguale a 6 vengo promossoraquo

RIEPILOGO Altri esercizi di logicaEnunciati e connettivi logici

TEST Solo una delle seguenti frasi egrave un enunciato logico QualeA laquoStrano esercizioraquoB laquoLa risposta a questo esercizio egrave la Craquo

C laquoQuale esercizioraquoD laquoQuesto esercizio non mi piaceraquo

VERO O FALSO Egrave un enunciato logicoa laquoOggi vieni a giocare a calcio con noiraquo V F

b laquo15 egrave un multiplo di 2raquo V F

c laquoLa mia borsa egrave molto voluminosaraquo V F

d laquoCorriraquo V F

e laquoTutti i poligoni hanno 4 latiraquo V F

f laquo 10 5 2= raquo V F

g laquoPer favore sii puntualeraquo V F

h laquoChe cosa farai per il tuo compleannoraquo V F

Stabilisci quali tra i seguenti sono enunciati logici Per quelli che lo sono indica il valore di veritagravea laquoeuro 15 egrave un prezzo basso per una T-shirtraquo

b laquo2 44 21 raquo

c laquoIl doppio di 43 egrave 15raquo

d laquoMarzo ha 30 giorniraquo

Attribuisci a ciascuna delle seguenti proposizioni il valore di veritagravea laquoTutti i multipli di 4 sono anche multipli di 16raquob laquoLrsquouguaglianza x 62 = non egrave mai verificata

in Nraquoc laquoIl prodotto di due numeri dispari egrave sempre

un numero pariraquod laquoVenere egrave una stellaraquoe laquoIl rettangolo egrave un particolare parallelo-

grammaraquo

a laquoLa disuguaglianza x7 02+ puograve non esse-re verificata in Nraquo

b laquoIl massimo comune divisore fra due nume-ri pari egrave un numero pariraquo

c laquoIl Sole egrave un satellite del pianeta Terraraquod laquoLrsquoopposto di 4 egrave 4

1 raquoe laquoIl prodotto cartesiano tra insiemi egrave com-

mutativoraquo

85

86

87

88

89

90

91

92

93 94

15

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

COMPLETA le seguenti frasi in modo che risultino enunciati veria laquoIl numero egrave maggiore di 0raquob laquoLrsquouguaglianza egrave sempre verificata in Qraquoc laquoI numeri sono i divisori di 42raquod laquoIl numero egrave pari e multiplo di 7raquoe laquoOgni ha tre angoli congruentiraquo

Compila le tabelle a doppia entrata relative a congiunzione disgiunzione inclusiva disgiunzione esclusiva implicazione materiale coimplicazione materiale

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Le seguenti proposizioni sono proposizioni composte costituite da enunciati distinti (componenti) legati da connettivi logici Riscrivile in simboli indicando con una lettera maiuscola ogni componentea laquoTorino egrave una cittagrave piemontese ed egrave stata la prima capitale drsquoItaliaraquob laquoI palloni da calcio non sono sferici e nemmeno quelli da basketraquoc laquoIl numero 7 egrave positivo ed egrave un numero primoraquod laquoUn numero o egrave pari o egrave 42raquoe laquoI giorni dellrsquoanno sono 365 o 366raquof laquoO vado al mare o sul Monte Biancoraquog laquoIl numero 2 egrave minore di 3 e metagrave di 4raquo

Dati gli enunciati A laquo7 egrave il quarto numero primoraquo e B laquo7 egrave un divisore di 165raquo attribuisci il valore di veritagrave aa A B0 b A B c A B0 d A B e B A)

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE Considera le seguenti proposizioni tutte vereA laquosono in vacanzaraquo B laquonon lavororaquo C laquofaccio delle passeggiateraquo D laquosono al mareraquoTraduci in parole le seguenti proposizioni e determina il loro valore di veritagrave

B C A C D B C B A B0 D C A D0 A C

SPIEGALO TU Considera gli enunciati A laquoLaura ha 18 anniraquo e B laquoLaura ha la patenteraquo In quali casi gli enunciati A B e A B0 sono veri e in quali falsi E A B

INTORNO A NOI Tre imputati di un delitto Aldo Bruno e Carlo rilasciano le seguenti dichiarazioniAldo laquoNon sono colpevoleraquo Bruno laquoIl colpevole egrave Carloraquo Carlo laquoIl colpevole egrave AldoraquoSe sappiamo che uno solo dei tre imputati ha dichiarato il falso chi egrave il colpevole

Enunciati e quantificatoriINVALSI 2013 Indica se ciascuna delle seguenti proposizioni egrave vera o falsa

a Se un numero egrave multiplo di 9 allora egrave multiplo di 3 V F

b Un numero egrave multiplo di 6 solo se egrave pari V F

c Un numero egrave multiplo di 5 se e solo se egrave multiplo di 10 V F

d Se un numero egrave pari allora egrave multiplo di 4 V F

TEST Lrsquoenunciato aperto A(x) laquox 1- egrave un numero naturaleraquo con x N si trasforma in un enunciato vero in uno solo dei seguenti modi qualeA Sostituendo a x il valore 1- C Sostituendo a x il valore 0B Sostituendo a x il valore 1 D Lrsquoinsieme di veritagrave coincide con lrsquoinsieme universo

95

96

97

98

99 100

101

102

103

104

16

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

FAI UN ESEMPIO Fai un esempio di enunciato aperto e opportuno insieme universo per i quali le propo-sizioni ottenute con i quantificatori risultinoa entrambe vere b entrambe false

Per ognuno dei seguenti enunciati aperti scegli un dominio U appropriato e individua un suo elemento che rende vero lrsquoenunciato e uno che lo rende falso scrivi le proposizioni per tali elementi

A(x) laquox egrave una persona con la patenteraquoB(x) laquox egrave un felinoraquo

A(x) laquox egrave una verdura verderaquoB(y) laquoIl fiume Po attraversa la regione yraquoC(z) laquoz egrave un monte italianoraquo

Consideriamo i tre enunciati apertiA(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un multiplo di 5raquo C(x) laquox egrave un multiplo di 4raquoe come dominio U lrsquoinsieme N dei numeri naturali minori o uguali a 20

Rappresentiamo con un diagramma di Venn lrsquoinsieme di veritagravea dei tre enunciati b di ( ) ( ) ( )A x B x C x e di ( ) ( )A x B x0

UA

B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713 UA

B A(x) v B(x) verain A U B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713

A(x) v (B(x) C(x)vera in A U B U C

v vU U

ndashndash

Per ogni terna A(x) B(x) C(x) dato il dominio U indicato rappresenta con diagrammi di Venn lrsquoin-sieme di veritagrave a dei tre enunciati b degli enunciati ( )C x ( ) ( )A x B x0 ( ) ( )A x C x ( ) ( )A x C x0 ( ) ( ) ( )[ ]A x C x B x0

A(x) laquox egrave un poligono equilateroraquo B(x) laquox egrave un rettangoloraquo C(x) laquox egrave un quadratoraquo U egrave lrsquoinsieme dei poligoni

A(x) laquox egrave un uomoraquo B(x) laquox egrave una donnaraquo C(x) laquox egrave suoceraraquo U egrave lrsquoinsieme delle persone

A(x) laquox egrave un erbivororaquo B(x) laquox egrave un carnivororaquo C(x) laquox egrave un onnivororaquo U egrave lrsquoinsieme degli animali

INVALSI 2003 Quale delle seguenti affermazioni egrave falsaA Alcuni multipli di 4 sono anche multipli di 8B Tutti i multipli di 8 sono anche multipli di 4C Tutti i numeri pari sono fra i multipli di 8

D Alcuni numeri pari non sono multipli di 8E Alcuni numeri pari sono multipli di 8

INVALSI 2004 Quale delle seguenti proposizioni egrave veraA Ogni numero intero divisibile per 3 egrave divisibile per 9B Ogni numero intero divisibile per 4 egrave divisibile per 2C Se il prodotto di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno dei due interi egrave divisibile per 5D Se la somma di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno degli addendi egrave divisibile per 5

105

106 107

COME SI FA

108

109

110

111

112

17

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

INVALSI 2004 Osserva le figure Quale delle seguenti affer-mazioni egrave falsaA Non tutti i quadrati sono bianchiB Qualche triangolo egrave neroC Almeno un cerchio egrave neroD Non tutti i cerchi sono bianchi

Indica per ogni enunciato il suo valore di veritagravea x Z6 x 3 0+ = b x xN7 egrave un numero primoc x xrette del piano7 egrave parallela a una retta r datad x Z6 x 022

TEST Dato il dominio U composto dalle figure del piano e lrsquoenunciato A(x) laquox egrave un quadrilateroraquo con x U quale enunciato egrave falsoA x U6 x egrave un quadrilateroB x A6 x egrave una figura del piano

C x U x7 egrave un quadrilateroD x A x7 egrave una figura del piano

TEST Quale delle seguenti egrave equivalente alla proposizione laquoSe un numero egrave divisibile per 18 allora egrave divi-sibile per 2 e per 3raquoA laquoSe un numero non egrave divisibile per 18 allora non egrave divisibile per 2 e per 3raquoB laquoSe un numero egrave divisibile per 2 e per 3 allora egrave divisibile per 18raquoC laquoSe un numero non egrave divisibile neacute per 2 neacute per 3 allora non egrave divisibile per 18raquoD laquoSe un numero non egrave divisibile per 2 o per 3 allora non egrave divisibile per 18raquo

Scriviamo le proposizioni che si ottengono dallrsquoenunciato ( )A x laquox egrave minore del suo doppioraquo utilizzando i quantificatori 6 e 7 nellrsquoinsieme universo U dei numeri interi Stabiliamo il valore di veritagrave delle proposizioni ottenute

quantificatore proposizione valore di veritagrave6 x U6 x x21 F7 x U x x27 1 V

Per ognuno dei seguenti enunciati scrivi le proposizioni che si ottengono utilizzando i quantificatori 6 e 7 e stabilisci il corrispondente valore di veritagrave

U x xN= egrave multiplo di 8 A(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un divisore di 16raquo ( )B x

U x x= egrave un felino A(x) laquox egrave una linceraquo B(x) laquox egrave un quadrupederaquo ( )B x

U x x= egrave una figura piana di area 16 A(x) laquox egrave un quadratoraquo B(x) laquox egrave un cerchioraquo C(x) laquox egrave un rettangolo di dimensioni 2 e 8raquo

Sia lrsquoinsieme N dei numeri naturali lrsquoinsieme in cui si considera la variabile x Lrsquoespressione laquoNon esiste alcun numero naturale n che moltiplicato per un numero naturale x qualsiasi dia come risultato x stessoraquo di quale tra le seguenti proposizioni logiche egrave la traduzione Tale proposizione egrave vera o falsaA ( )n x n x xN N $b 7 = B n N6 x n x xN $b = C n xN Nb 6 n x x$ =

113

114

115

116

COME SI FA

per esempio ndash3 Z ma ndash3 gt 2 sdot (ndash3)

per esempio 2 Z e 2 lt 2 sdot 2

117

118

119

120

18

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Sono date le proposizioni

A laquoOgni pagina del libro ha una figuraraquo

B laquoEsiste una pagina del libro in cui non compare il colore bluraquo

Scriviamo la loro negazioneA laquoEsiste una pagina del libro che non ha una figuraraquo

B laquoIn ogni pagina del libro compare il colore bluraquo

Per ognuna delle seguenti proposizioni scrivi la negazionelaquoOgni tavolo ha quattro gamberaquo

laquoNon esiste un multiplo di 5 che non termina per 0raquo

laquoTutti i numeri naturali sono interiraquo

laquoEsiste un numero naturale che egrave minore del suo cuboraquo

INVALSI 2012 Quale tra le seguenti frasi egrave la negazione della proposizione laquoTutti i numeri naturali sono dispariraquoA Tutti i numeri naturali sono pariB Nessun numero naturale egrave dispariC Almeno un numero naturale non egrave dispariD Qualche numero naturale egrave dispari

IN GARA Nel paese di Oz oltre alle persone normali (che possono mentire o dire la veritagrave) vivono cava-lieri (che dicono sempre la veritagrave) e furfanti (che mentono sempre) Una strana legge impone che in ogni matrimonio i coniugi siano entrambi normali oppure uno cavaliere e lrsquoaltro furfante Arrivati alla villetta bifamiliare dei coniugi Allegri e Bianchi chiedete se il sig Bianchi che egrave assente egrave un cavaliere ottenendo risposta affermativa sia dalla sigra Bianchi sia da entrambi i coniugi Allegri Che cosa potete concludere riguardo ai sig BianchiA Il sig Bianchi egrave un cavaliereB Il sig Bianchi egrave un furfanteC Il sig Bianchi egrave normaleD Egrave impossibile che le risposte date siano quelle riportateE Non potete concludere nulla

[Olimpiadi di matematica italiane Gara di 2deg livello Biennio 2003]

COME SI FA

X

Y

X

Y

121

122

123

124

125

126

2

TEORIA

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Coimplicazione materiale

Dati gli enunciati A e B la coimplicazione ma-teriale A B) che leggiamo laquoA coimplica Braquo oppure laquoA se e solo se Braquo egrave lrsquoenunciato che egrave vero se A e B sono entrambi veri o entrambi falsi altrimenti egrave falso

A B A B)V V VV F FF V FF F V

Anche la coimplicazione materiale come lrsquoimplicazione materiale non egrave un discorso logico ma un collegamento dato dalla tavola di veritagrave Egrave quindi possibile scrivere coimplicazioni che non hanno senso comune

Consideriamo A laquoTi faccio un regaloraquo e B laquoSei promossoraquo Lrsquoenunciato A B) egrave laquoTi faccio un regalo se e solo se sei promossoraquo Si tratta di una coimplicazione che ha senso comune Questo enunciato egrave vero se sei promosso e ti faccio un regalo oppure se non sei promosso e non ti faccio un regalo

2 Espressioni logiche e schemi di ragionamento

ESPRESSIONI LOGICHECome con le operazioni tra numeri scriviamo espressioni numeriche cosigrave nella lo-gica scriviamo espressioni logiche utilizzando i connettivi

Nelle espressioni logiche lrsquooperatore che ha la precedenza su tutti gli altri egrave quello della negazione seguono poi quelli di congiunzione e disgiunzione e infine quelli di implicazione materiale e coimplicazione materiale Quindi lrsquoordine di precedenza degli operatori logici egraveJ 0 0 )

Inoltre come nel caso delle espressioni numeriche utilizziamo le parentesi per cam-biare lrsquoordine con cui si eseguono le operazioni e usiamo le lettere dette variabili logiche per indicare enunciati generici

Di unrsquoespressione logica possiamo compilare la tavola di veritagrave a partire dai valori di veritagrave delle variabili presenti

Scriviamo la tavola di veritagrave dellrsquoespressione A B0 Dopo aver scritto

A B A A B0

V V F VV F F FF V V VF F V V

tutte le possibili coppie di valori di veritagrave per A e B scriviamo la colonna di A ottenendola da A con la negazione Poi guardiamo le colonne di A e B e scriviamo quella di A B0

Due espressioni logiche con le stesse variabili sono equivalenti se hanno la stessa tavola di veritagrave

DEFINIZIONE

ESEMPIO

3

TEORIA

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Per indicare lrsquoequivalenza usiamo il simbolo = e per verificarla utilizziamo una tavola di veritagrave

Verifichiamo con una tavola di veritagrave che ( )A B B A B B 0 0 = Per ottenere ( )A B B 0 calcoliamo prima la colonna di A B e usiamola poi con BPer calcolare ( )A B B0 abbiamo bisogno della colonna di A B0 Quindi dob-biamo compilare la tavola di veritagrave seguente

A B A B0 A B A B B 0 ( )A B B0

V V V V V VV F V F F FF V V F V VF F F F F F

Le colonne di ( )A B B 0 e ( )A B B0 sono uguali quindi le espressioni sono equivalenti

PROPRIETAgrave DELLE OPERAZIONI LOGICHEMediante lrsquoequivalenza di espressioni possiamo scrivere proprietagrave di cui godono le operazioni logiche

Proprietagrave commutativa della congiunzioneA B B A =

Proprietagrave associativa della congiunzione( ) ( )A B B CC A =

Proprietagrave distributiva della congiun-zione rispetto alla disgiunzione

( ) ( ) ( )A B C A B CA 0 0 =

Idempotenza della congiunzioneA A A =

Proprietagrave commutativa della disgiunzioneA B B A00 =

Proprietagrave associativa della disgiunzione( ) ( )A B C A B C0 0 00 =

Proprietagrave distributiva della disgiun-zione rispetto alla congiunzione

( ) ( ) ( )A B C A B A C0 0 0 =

Idempotenza della disgiunzioneA A A0 =

Doppia negazione A A= Leggi di De Morgan 1 A B A B 0= 2 A B A B0 =

Applichiamo la prima legge di De Morgan agli enunciatiA laquoRoberta dipingeraquo B laquoRoberta cantaraquo

Lrsquoenunciato laquoNon egrave vero che Roberta dipinge e cantaraquo A B

equivale a laquoRoberta non dipinge oppure non cantaraquo

A

0

B

ESEMPIO

ESEMPIO

4

TEORIA

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Essendo unrsquoequivalenza fra espressioni logiche ognuna delle proprietagrave che abbiamo elencato puograve essere verificata con una tavola di veritagrave

Verifichiamo la prima legge di De MorganA B A B A B A B A B0

V V F F V F FV F F V F V VF V V F F V VF F V V F V V

Compiliamo la tavola e notiamo che le co-lonne di A B e A B0 sono uguali quindi A B A B 0=

TAUTOLOGIE E CONTRADDIZIONI

Una tautologia egrave unrsquoespressione logica vera per qualsiasi valore di veritagrave attribuito alle sue variabiliUna contraddizione egrave unrsquoespressione logica falsa per qualsiasi valore di veritagrave attri-buito alle sue variabili

A A0 egrave una tautologia Infatti

A A A A0

V F VF V V

sempre vera

A A egrave una contraddizione Infatti

A A A A

V F FF V F

sempre falsa

La negazione di una tautologia egrave una contraddizione e viceversa

SCHEMI DI RAGIONAMENTONella vita reale e nella matematica siamo interessati alle deduzioni logiche cioegrave a quei ragionamenti che basandosi sulle relazioni di causa-effetto partono da premesse vere e giungono a conclusioni vere Gli schemi di ragionamento non vanno confusi con lrsquoimplicazione materiale e la coimplicazione materiale

Premesse e conclusioneEsaminiamo il seguente ragionamento

Se ho fame allora mangio A BA

B

conA laquoho fameraquoB laquomangioraquo

Ho fame premessequindimangio conclusione

Nella prima colonna abbiamo scritto il ragionamento nella seconda abbiamo tra-dotto in simboli lo schema di ragionamento che egrave indipendente dai particolari enunciati assegnati alle variabiliIl ragionamento dellrsquoesempio egrave costituito da due premesse A B e A e da una conclusione

ESEMPIO

ESEMPIO

5

TEORIA

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Modus ponensLo schema di ragionamento dellrsquoesempio che abbiamo esaminato si chiama modus ponens Possiamo scriverlo con lrsquoespressione

[( ) ]A B A B si legge A implica B e A implica B

Modus tollensEsaminiamo ora il seguente ragionamento

Se guido allora ho la patente A BB

A

conA laquoguidoraquoB laquoho la patenteraquo

Non ho la patente premessequindinon guido conclusione

Lo schema di ragionamento di questo esempio egrave detto modus tollens e puograve essere scritto mediante lrsquoespressione logica

( )[ ]A B B A Uno schema di ragionamento egrave valido se e solo se la sua espressione logica egrave una tautologia

A BA

B

modus ponens

A BB

A

modus tollens

6

ES

ER

CIZ

I

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

ESERCIZI

1 Implicazione e coimplicazioneTRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Scrivi in simboli le seguenti proposizioni laquoIl numero 18 egrave divisibile

per 6 se e solo se 18 egrave divisibile per 3 e per 2raquo e laquoUn rombo egrave un quadrato se ha tutti gli angoli congruentiraquo

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE Considera le proposizioni laquo3 9raquoA 2 B laquo3 egrave un numero primoraquo e C laquo9 32= raquo Traduci in parole le seguenti proposizioni e attribuisci a ciascuna di esse il valore di veritagrave

A B B A A B) C B) C B

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Le seguenti proposizioni sono proposizioni composte costituite da enunciati distinti (componenti) legati da connettivi logici Riscrivile in simboli indicando con una lettera maiuscola ogni componentea laquoSe 17 egrave un numero egrave primo allora 17 ha esattamente due divisoriraquob laquoSe MCD(12 28) = 4 i due numeri 12 e 28 sono pariraquoc laquoUn rombo egrave un quadrato se e solo se ha tutti gli angoli rettiraquod laquoSe il numero 264 egrave multiplo di 88 allora 264 egrave pariraquoe laquoIl reciproco del numero 8 esiste se e solo se il numero 8 egrave diverso da 0raquof laquoVado a scuola in bicicletta se e solo se il cielo egrave serenoraquog laquoSe 3 51 allora 3

1512 raquo

2 Espressioni logiche e schemi di ragionamento

ESPRESSIONI LOGICHETRADUCI in parole le espressioni che seguono considerando gli enunciati A B e C

A laquoVado in vacanza in montagnaraquo B laquoLeggo molti libriraquo C laquoVado in vacanza al mareraquoA B A B A B A B C B C B A C A C0

A laquoIl numero 56 egrave pariraquo B laquoIl numero 56 egrave divisibile per 7raquo C laquoIl numero 56 egrave il risultato di 7 8$ raquoA B C B C A B C 0 A C A B C

A laquoCompro il giornaleraquo B laquoCompro il paneraquo C laquoCompro un paio di scarperaquoA C0 A B0 C B0 A B0 ( )A C B0

A laquoTelefono a Marcoraquo B laquoNon vado al corso di musicaraquo C laquoStudio storiaraquoA B B C A C A B C C B A B A B A B C

1

2 3 4 5 6

7

8

9

10

11

7

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE le proposizioni composte indicate e attribuisci a ciascuna di esse il valore di veritagrave

A laquoIl quadrato ha tre angoliraquo B laquoLrsquoesagono regolare ha tutti i lati ugualiraquo C laquoIl quadrato non egrave un rettangoloraquo( )A B B0 B C0 B C0 ( )A B B0 ( )C B B 0 A B C0 0

C A B) 0

A laquo9 182 = raquo B laquo12 6 2$= raquo C laquo4 2 6+ raquoA B C 0

B C A B A C) ( )A B C)0 ( )B A C

A laquo5 egrave maggiore di 6raquo B laquo 31 egrave un numero interoraquo C laquo12 egrave un numero pariraquo

A B B C A B0 A C0 A B C A0 A C0 A B B C0 B C

A laquo5 71 raquo B laquoFebbraio egrave il primo mese dellrsquoannoraquo C laquoFebbraio egrave il mese con piugrave giorniraquo D laquo7 egrave un numero primoraquoA C B D0 C D D B0 A B0 A D C B0 B C

A laquoLa somma di 2 e 3 egrave 5raquo B laquoIl prodotto di 2 e 3 egrave 8raquo C laquo2 egrave maggiore di 3raquoA C0 B C0 A B0 A B A B0 A C0 B C0 A C B C B C

A laquo18 egrave un multiplo di 6raquo B laquo6 non egrave un divisore di 24raquo C laquo9 egrave un numero primoraquoA B C A B ( )A B C A C B C ( )A C B

A laquo 41 egrave un quadrato perfettoraquo B laquo21 egrave un numero primoraquo C laquo7 egrave un divisore di 28raquo

A B0 B C A C0 A C A B C0 0

A laquo12 111 egrave un multiplo di 11raquo B laquo66 egrave un multiplo di 6raquo C laquo12 111 e 66 sono primi tra lororaquoA B0 B C0 A C A B C 0 A B C0 0

A B C0

A laquoI giorni dellrsquoanno sono 300raquo B laquoI mesi dellrsquoanno sono 13raquo C laquoI giorni della settimana sono 7raquoA B C0 0 A C B0 0 A B C0 A B C 0 A B C0 0 A B C A B C0

Attribuisci il valore di veritagrave agli enunciati A laquo5 egrave un numero pariraquo B laquo 25 egrave un numero razionaleraquo

C laquo15 15= raquo e poi stabilisci il valore di veritagrave delle seguenti espressionia A B0 ( )A B C0

( )A B C0 0

b ( )A B C0 0 ( )A B C0 0

( )A B C0 0 ( )A B C0

Dati gli enunciati A laquo 51 5 1$ = raquo B laquo5 10 = raquo e C laquo2 86 3= raquo traduci in parole i seguenti enunciati e attri-

buisci a ciascuno di essi il valore di veritagraveA B) A C) B A C) 0 B A A C)0 ( )[ ]C A B C )0

Attribuisci il valore di veritagrave ad A B e C quindi determina il valore di veritagrave delle espressioni indicateA laquo12 ha sei divisoriraquo B laquo14 e 27 sono primi tra lororaquo C laquoIl triangolo ha 4 angoliraquoa A C B b ( )A C B0 c A B C

Attribuisci il valore di veritagrave ad A B C quindi determina il valore di veritagrave delle espressioni indicateA laquo7 egrave un divisore di 2870raquo B laquo9185 egrave un multiplo di 11raquo C laquo6303 egrave divisibile per 6raquoa A B A B0 A C A C B C A B B A) b ( ) CA B0

[( ) ] ( )A A B C B A A B) 0 0 0

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

8

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE Dati gli enunciati A laquoOggi fa caldoraquo B laquoOggi pioveraquo C laquoEsco con lrsquoombrelloraquo e D laquoVado a scuola in biciclettaraquo traduci in parole le seguenti espressioni

A B C B D A C A A D) DB A D C) D B A 0

Scriviamo in simboli lrsquoespressione laquoSe 187 11 17$= 187 non egrave un numero primo ed egrave multiplo di 11raquoIndichiamo con una variabile logica ogni enunciato componente

laquoSe 187 11 17$= (allora) 187 non egrave un numero primo ed egrave multiplo di 11raquo

In simboli ( )A B C

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Riscrivi in simboli le seguenti espressioni indicando con una variabile logica ogni enunciato componente

a laquoLuisa va al mare ma non fa il bagnoraquob laquoOggi vedo Stefano e lo invito a cenaraquoc laquoMaria non legge giornali e non guarda la televisioneraquo

d laquoIl numero 57 non egrave razionale egrave positivo e maggiore di 1raquo

e laquoLuca deve risolvere un problema portare fuori il cane telefonare a Rita e a Paoloraquo

a laquoIl cubo egrave un solido ha otto facce e le sue facce sono quadratiraquob laquoIl numero 6 non egrave divisibile per 4 ed egrave pariraquoc laquoNon egrave vero che o porti la pizza o non partecipi alla festaraquod laquo18 egrave multiplo di 9 divisore di 36 ma non egrave divisibile per 5raquo

a laquoSe non pianto la tenda e piove il sacco a pelo si bagnaraquob laquoSe r egrave parallela a s e s egrave parallela a t allora r egrave parallela a traquoc laquoSe vai in palestra non ci vediamo e non fai i compitiraquod laquoIl libro egrave tuo se e solo se lrsquoarancione non egrave il tuo colore preferitoraquo

YOU amp MATHS Write the sentences below in terms of the followingr strawberries are ripe along the path b snails have been seen in the area w walking on the path is safea Strawberries are ripe along the path and snails have not been seen in the areab Snails have not been seen in the area and walking on the path is safe and strawberries are ripe along the pathc If strawberries are ripe along the path then walking is safe if and only if snails have not been seen in the aread It is not safe to walk along the path snails have not been seen in the area and the strawberries along

the path are ripe

INTORNO A NOI Negli ascensori di solito egrave presente unrsquoetichetta con una frase simile a quella indicata a lato Individua tre propo-sizioni P Q R in modo da poter scrivere lrsquoavviso come espressione in cui P Q e R sono legate con connettivi logici Qual egrave lrsquoespressio-ne in simboli

25 26

COME SI FA

implicazione materiale

A laquo187 = 11 17raquo

negazione

B laquo187 egrave un numero primoraquo

congiunzione

C laquo187 egrave multiplo di 11raquo

27

28

29

30

31NON POSSONO USARE LrsquoASCENSORE

PERSONE MINORI DI 12 ANNISE NON ACCOMPAGNATE

9

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

TRADUCI Considera le seguenti proposizioni A laquoSabato telefono a Ugoraquo B laquoSabato Ugo mi telefonaraquo C laquoSabato finisco il lavororaquo D laquoSabato guardo la TVraquoa Traduci in parole le proposizioni

A D0 B C B B0 A C D C B C) A B0 ( )D C A ( ) ( )A B C D

b Traduci le seguenti proposizioni composte in simboli laquoSabato se Ugo mi telefona finisco il lavoro e non guardo la TVraquo laquoSabato finisco il lavoro o guardo la TV e non telefono a Ugoraquo laquoSabato se Ugo non mi telefona io telefono a Ugo e finisco il lavororaquo laquoSabato o telefono a Ugo o mi telefona lui e finisco il lavororaquo

INTORNO A NOI Sono date le proposizioniA laquoIl mio cane abbaiaraquoB laquoLa luna egrave pienaraquo

C laquoPioveraquoD laquoIl mio cane ulularaquo

Utilizza le variabili logiche e i connettivi adeguati per rappresentare schematicamente le seguenti proposizionia laquoSe la luna egrave piena il mio cane o abbaia o ulularaquob laquoChe piova o che la luna sia piena il mio cane abbaiaraquoc laquoSe il mio cane ulula allora la luna egrave piena e se piove allora il mio cane abbaiaraquo

Espressioni e valori di veritagrave

Consideriamo le proposizioni A laquo63 egrave un multiplo di 7raquo B laquo3 egrave un divisore di 63raquo e C laquo63 egrave un numero pariraquo

Stabiliamo il valore di veritagrave di A B B C0 B C A0

Costruiamo la tavola di veritagrave

A B C A B A B B C B C0 B C0 B C A0

V V F V F F V V F V

Espressioni e tavole di veritagraveCACCIA ALLrsquoERRORE Esamina la seguente tavola di veritagrave e scopri in essa almeno cinque errori

A B C A B C A0 C B0 C A C B0 0 ( ) [ ]A B C A C B 0 0

V V V V V V V VV V F V V V V VV F V F F V V VV F F V V F F VF V V V V V V VF V F V F F F VF F V V V V F VF F F V F F V V

32

33

COME SI FA

63 non egrave un numero pari63 3 = 2163 = 7 9

34

10

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

COMPLETA la seguente tavola di veritagrave inserendo lrsquoespressione corretta scelta fra( )A B C 0 ( )A B C ( )A B C 0

A B C0

A B CV V V VV V F FV F V FV F F VF V V FF V F VF F V FF F F V

COMPLETA la seguente tavola inserendo i valori di veritagrave e gli operatori mancanti

A B A B A B A B0 A BV V F V

F F F VF F V V

F V V F

Date due proposizioni generiche A e B costruiamo la tavola di veritagrave dellrsquoespressione ( )A B A0

A B A B A ( )A B A0

V V F V VV F F F FF V V F VF F V F V

tutti i possibili casi per A e B aggiungiamo le colonne A e B A

Per ciascuna delle seguenti espressioni costruisci la tavola di veritagrave considerando A e B proposizioni generiche

A B A B A B A B0 A B0

A B0 A B0 A B0 A B0 A B0

A B A B A B A B

A B) A B) A B) A B)

A B A A B ( )A A B ( )A B B

A B0 A A B0 0 ( )A A B0 0 ( )A B B0 0

A A B 0 A A B 0 ( )A B B0 ( )A B B0

35

36

COME SI FA

37

38

39

40

41

42

43

11

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Per ciascuna delle seguenti espressioni costruisci la tavola di veritagrave considerando A e B e C proposizioni generiche

( )A B C0 ( )A B C 0 ( ) ( )A B C A 0

( )B A C0 ( )A B C0 ( ) ( )A CC B) )

( )B CA 0 ( )B C A 0 A B C 0

( )B C A ( ) ( )A C B C0 ( )A CB)

VERO O FALSO Considera A e B proposizioni generichea Se A egrave falsa allora anche A egrave falsa V F

b Se A B egrave falsa allora o A o B egrave falsa V F

c A B0 egrave vera se e solo se A e B non sono entrambe vere o entrambe false V F

d Se A e B sono false allora ( ) ( )A B A B0 0

egrave falsa V F

VERO O FALSO a Se A B) egrave falsa allora A e B non sono

entrambe vere o entrambe false V F

b A B egrave falsa se e solo se A egrave vera V F

c A B non puograve essere falsa se A egrave falsa V F

d A B) egrave vera se e solo se anche A e B lo sono V F

PROPRIETAgrave DELLE OPERAZIONI LOGICHEEnuncia le seguenti proprietagrave delle operazioni logiche e verificale utilizzando una tavola di veritagrave

Negazione della negazione

Idempotenza della disgiunzione

Commutativa della disgiunzione

Associativa della congiunzione

Distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione

Distributiva della disgiunzione rispetto alla congiunzione

FAI UN ESEMPIO di applicazione della seconda legge di De Morgan e verifica poi la legge mediante la tavola di veritagrave

EquivalenzeTEST Dato lrsquoenunciato laquoNon egrave vero che 2- non egrave un numero pariraquo quale dei seguenti egrave equivalenteA laquo 2- non egrave un numero pariraquoB laquoNon egrave vero che 2- egrave un numero pariraquo

C laquo 2- egrave un numero pariraquoD laquo 2- non egrave un numero non pariraquo

Verifichiamo che ( )B B A B A B0 0 0= Possiamo procedere in due modi bull Compiliamo la tavola di veritagrave

A B A B A0 B A0 ( )B B A0 0 B B A B A B 0

V V F V F V F F VV F F F V V V V VF V V V F V F F VF F V V F F V F F

Le colonne relative alle due espressioni sono uguali quindi le espressioni sono equivalenti

44

45

46

47

48 49

50

51

52

53

54

55

56

57

COME SI FA

colonne uguali

12

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

bull Utilizziamo le proprietagrave delle operazioni logiche per passare da unrsquoespressione allrsquoaltra attraverso espres-sioni equivalenti

( ) ( ) ( )B B A B B A B B A B A B0 0 0 0 0= = =

Verifica le seguenti equivalenze utilizzando il metodo che preferisci( ) ( )A B A A A B0 0 =

( ) ( )B B A B B A 0 0 =

A B B A B 0 0=

( )A B B A B0 =

( ) ( )A B A A A B0 0 =

( ) ( ) ( ) ( )A B A B B A A B0 0 0 =

Utilizzando le tavole di veritagrave verifica le seguenti equivalenzeB A A B = B A A B A B 0 0=

( ) ( )A B C A B C =

TAUTOLOGIE E CONTRADDIZIONIAL VOLO Stabilisci se le seguenti espressioni sono tautologie o contraddizioni

a ( )B B B0 b ( ) ( )A A A A0 c C C) d A A)

Utilizzando le tavole di veritagrave stabilisci quali fra le seguenti sono tautologie e quali contraddizioni( )B B A 0 A A B ( )A B A B0 0

( )B B B [( ) ]A B A A ( ) ( )B C C B

Fra le seguenti espressioni indica quali sono tautologie quali contraddizioni e quali non sono neacute tautologie neacute contraddizioni A A A B A0 A A) B B) A B B

Senza utilizzare le tavole di veritagrave individua fra le seguenti proposizioni una tautologia e una contraddizio-ne spiega il tuo ragionamento Verifica poi le tue risposte compilando le tavole di veritagrave

( ) ( )A B A B0 0 B B A A0 A B B A0 A A B B)0

SCHEMI DI RAGIONAMENTOTEST Quale fra i seguenti non egrave un ragionamento valido laquoSe non accordo la chitarra non suonoraquoA Suono quindi accordo la chitarraB Se suono allora accordo la chitarra

C Accordo la chitarra quindi suonoD Non accordo la chitarra quindi non suono

SPIEGALO TU Percheacute i seguenti ragionamenti non sono validia laquoSe un cane abbaia allora non morde Quel cane non abbaia allora morderaquob laquoSe lrsquoacqua non bolle la pasta non cuoce Lrsquoacqua bolle allora la pasta cuoceraquo

Verifica che la legge di contrapposizione ( ) ( )A B B A egrave uno schema di ragionamento valido

negazione della negazione

2a legge di De Morgan commutativa della disgiunzione

58

59

60

61

62

63

64 65 66

67

68

69

70

71

72

73

74

13

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Il seguente ragionamento egrave valido mostralo con lrsquoaiuto di un diagramma di VennlaquoOgni multiplo di 12 egrave multiplo di 6raquolaquoOgni multiplo di 6 egrave multiplo di 3raquo

laquoOgni multiplo di 12 egrave multiplo di 3raquo

Riconoscere uno schema

Riconosciamo lo schema applicato in laquoSe un numero egrave una potenza di 3 allora non egrave pariraquo laquoUn numero egrave pari quindi non egrave una potenza di 3raquo

Scriviamo in simboli

laquoSe un numero egrave una potenza di 3 allora non egrave pariraquo A BlaquoUn numero egrave pari hellip B

hellipquindihellip

hellipnon egrave una potenza di 3raquo A

Lo schema di ragionamento egrave [( ) ]A B B A Poicheacute B egrave la negazione di ( )B B B= lo schema egrave il modus tollens

Riconosci gli schemi di ragionamento applicati scrivendo ognuno di essi in forma simbolicalaquoSe non hai il biglietto dellrsquoautobus prendi la multaraquolaquoNon prendi la multa quindi hai il biglietto dellrsquoautobusraquo

laquoSe arrivi in ritardo non entri a teatroraquolaquoArrivi in ritardo quindi non entri a teatroraquo

laquoSe passo col rosso mi ferma il vigile se mi ferma il vigile pagoraquolaquoSe passo col rosso pagoraquo

laquoSe penso allora sonoraquolaquoSe non sono allora non pensoraquo

laquoSe ingrasso non entro nei pantaloni se non entro nei pantaloni devo rifare il guardarobaraquolaquoSe ingrasso devo rifare il guardarobaraquo

laquoSe ho il foglio protocollo a righe crsquoegrave il temaraquolaquoNon crsquoegrave il tema quindi non ho il foglio protocollo a righeraquo

laquoSe lavo i vetri piove se piove i vetri si sporcanoraquolaquoSe lavo i vetri i vetri si sporcanoraquo

laquoSe sono bassa salgo sulla sediaraquolaquoSono bassa quindi salgo sulla sediaraquo

laquoSe un numero egrave naturale allora egrave intero se un numero egrave intero allora egrave razionaleraquolaquoSe un numero non egrave razionale allora non egrave naturaleraquo

75

COME SI FA

A laquoUn numero egrave una potenza di 3raquo B laquoUn numero egrave pariraquo

B

A

76

77

78

79

80

81

82

83

84

14

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Stabilisci se i seguenti ragionamenti sono validi e in caso affermativo indicane il tipolaquoSe suona il telefono rispondoraquolaquoNon rispondo quindi non suona il telefonoraquo

laquoSe accendo il forno non avvio la lavastoviglie se non avvio la lavastoviglie i piatti restano sporchiraquolaquoSe accendo il forno i piatti restano sporchiraquo

laquoSe il gatto miagola ha fameraquolaquoSe il gatto non ha fame non miagolaraquo

laquoSe il triangolo egrave rettangolo applico il teorema di PitagoraraquolaquoIl triangolo egrave rettangolo quindi applico il teorema di Pitagoraraquo

Applica il modus ponens il modus tollens e la legge di contrapposizione alle seguenti premessea laquoSe un rombo ha gli angoli congruenti allora egrave un quadratoraquob laquoSe in ogni materia la media dei miei voti egrave maggiore o uguale a 6 vengo promossoraquo

RIEPILOGO Altri esercizi di logicaEnunciati e connettivi logici

TEST Solo una delle seguenti frasi egrave un enunciato logico QualeA laquoStrano esercizioraquoB laquoLa risposta a questo esercizio egrave la Craquo

C laquoQuale esercizioraquoD laquoQuesto esercizio non mi piaceraquo

VERO O FALSO Egrave un enunciato logicoa laquoOggi vieni a giocare a calcio con noiraquo V F

b laquo15 egrave un multiplo di 2raquo V F

c laquoLa mia borsa egrave molto voluminosaraquo V F

d laquoCorriraquo V F

e laquoTutti i poligoni hanno 4 latiraquo V F

f laquo 10 5 2= raquo V F

g laquoPer favore sii puntualeraquo V F

h laquoChe cosa farai per il tuo compleannoraquo V F

Stabilisci quali tra i seguenti sono enunciati logici Per quelli che lo sono indica il valore di veritagravea laquoeuro 15 egrave un prezzo basso per una T-shirtraquo

b laquo2 44 21 raquo

c laquoIl doppio di 43 egrave 15raquo

d laquoMarzo ha 30 giorniraquo

Attribuisci a ciascuna delle seguenti proposizioni il valore di veritagravea laquoTutti i multipli di 4 sono anche multipli di 16raquob laquoLrsquouguaglianza x 62 = non egrave mai verificata

in Nraquoc laquoIl prodotto di due numeri dispari egrave sempre

un numero pariraquod laquoVenere egrave una stellaraquoe laquoIl rettangolo egrave un particolare parallelo-

grammaraquo

a laquoLa disuguaglianza x7 02+ puograve non esse-re verificata in Nraquo

b laquoIl massimo comune divisore fra due nume-ri pari egrave un numero pariraquo

c laquoIl Sole egrave un satellite del pianeta Terraraquod laquoLrsquoopposto di 4 egrave 4

1 raquoe laquoIl prodotto cartesiano tra insiemi egrave com-

mutativoraquo

85

86

87

88

89

90

91

92

93 94

15

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

COMPLETA le seguenti frasi in modo che risultino enunciati veria laquoIl numero egrave maggiore di 0raquob laquoLrsquouguaglianza egrave sempre verificata in Qraquoc laquoI numeri sono i divisori di 42raquod laquoIl numero egrave pari e multiplo di 7raquoe laquoOgni ha tre angoli congruentiraquo

Compila le tabelle a doppia entrata relative a congiunzione disgiunzione inclusiva disgiunzione esclusiva implicazione materiale coimplicazione materiale

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Le seguenti proposizioni sono proposizioni composte costituite da enunciati distinti (componenti) legati da connettivi logici Riscrivile in simboli indicando con una lettera maiuscola ogni componentea laquoTorino egrave una cittagrave piemontese ed egrave stata la prima capitale drsquoItaliaraquob laquoI palloni da calcio non sono sferici e nemmeno quelli da basketraquoc laquoIl numero 7 egrave positivo ed egrave un numero primoraquod laquoUn numero o egrave pari o egrave 42raquoe laquoI giorni dellrsquoanno sono 365 o 366raquof laquoO vado al mare o sul Monte Biancoraquog laquoIl numero 2 egrave minore di 3 e metagrave di 4raquo

Dati gli enunciati A laquo7 egrave il quarto numero primoraquo e B laquo7 egrave un divisore di 165raquo attribuisci il valore di veritagrave aa A B0 b A B c A B0 d A B e B A)

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE Considera le seguenti proposizioni tutte vereA laquosono in vacanzaraquo B laquonon lavororaquo C laquofaccio delle passeggiateraquo D laquosono al mareraquoTraduci in parole le seguenti proposizioni e determina il loro valore di veritagrave

B C A C D B C B A B0 D C A D0 A C

SPIEGALO TU Considera gli enunciati A laquoLaura ha 18 anniraquo e B laquoLaura ha la patenteraquo In quali casi gli enunciati A B e A B0 sono veri e in quali falsi E A B

INTORNO A NOI Tre imputati di un delitto Aldo Bruno e Carlo rilasciano le seguenti dichiarazioniAldo laquoNon sono colpevoleraquo Bruno laquoIl colpevole egrave Carloraquo Carlo laquoIl colpevole egrave AldoraquoSe sappiamo che uno solo dei tre imputati ha dichiarato il falso chi egrave il colpevole

Enunciati e quantificatoriINVALSI 2013 Indica se ciascuna delle seguenti proposizioni egrave vera o falsa

a Se un numero egrave multiplo di 9 allora egrave multiplo di 3 V F

b Un numero egrave multiplo di 6 solo se egrave pari V F

c Un numero egrave multiplo di 5 se e solo se egrave multiplo di 10 V F

d Se un numero egrave pari allora egrave multiplo di 4 V F

TEST Lrsquoenunciato aperto A(x) laquox 1- egrave un numero naturaleraquo con x N si trasforma in un enunciato vero in uno solo dei seguenti modi qualeA Sostituendo a x il valore 1- C Sostituendo a x il valore 0B Sostituendo a x il valore 1 D Lrsquoinsieme di veritagrave coincide con lrsquoinsieme universo

95

96

97

98

99 100

101

102

103

104

16

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

FAI UN ESEMPIO Fai un esempio di enunciato aperto e opportuno insieme universo per i quali le propo-sizioni ottenute con i quantificatori risultinoa entrambe vere b entrambe false

Per ognuno dei seguenti enunciati aperti scegli un dominio U appropriato e individua un suo elemento che rende vero lrsquoenunciato e uno che lo rende falso scrivi le proposizioni per tali elementi

A(x) laquox egrave una persona con la patenteraquoB(x) laquox egrave un felinoraquo

A(x) laquox egrave una verdura verderaquoB(y) laquoIl fiume Po attraversa la regione yraquoC(z) laquoz egrave un monte italianoraquo

Consideriamo i tre enunciati apertiA(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un multiplo di 5raquo C(x) laquox egrave un multiplo di 4raquoe come dominio U lrsquoinsieme N dei numeri naturali minori o uguali a 20

Rappresentiamo con un diagramma di Venn lrsquoinsieme di veritagravea dei tre enunciati b di ( ) ( ) ( )A x B x C x e di ( ) ( )A x B x0

UA

B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713 UA

B A(x) v B(x) verain A U B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713

A(x) v (B(x) C(x)vera in A U B U C

v vU U

ndashndash

Per ogni terna A(x) B(x) C(x) dato il dominio U indicato rappresenta con diagrammi di Venn lrsquoin-sieme di veritagrave a dei tre enunciati b degli enunciati ( )C x ( ) ( )A x B x0 ( ) ( )A x C x ( ) ( )A x C x0 ( ) ( ) ( )[ ]A x C x B x0

A(x) laquox egrave un poligono equilateroraquo B(x) laquox egrave un rettangoloraquo C(x) laquox egrave un quadratoraquo U egrave lrsquoinsieme dei poligoni

A(x) laquox egrave un uomoraquo B(x) laquox egrave una donnaraquo C(x) laquox egrave suoceraraquo U egrave lrsquoinsieme delle persone

A(x) laquox egrave un erbivororaquo B(x) laquox egrave un carnivororaquo C(x) laquox egrave un onnivororaquo U egrave lrsquoinsieme degli animali

INVALSI 2003 Quale delle seguenti affermazioni egrave falsaA Alcuni multipli di 4 sono anche multipli di 8B Tutti i multipli di 8 sono anche multipli di 4C Tutti i numeri pari sono fra i multipli di 8

D Alcuni numeri pari non sono multipli di 8E Alcuni numeri pari sono multipli di 8

INVALSI 2004 Quale delle seguenti proposizioni egrave veraA Ogni numero intero divisibile per 3 egrave divisibile per 9B Ogni numero intero divisibile per 4 egrave divisibile per 2C Se il prodotto di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno dei due interi egrave divisibile per 5D Se la somma di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno degli addendi egrave divisibile per 5

105

106 107

COME SI FA

108

109

110

111

112

17

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

INVALSI 2004 Osserva le figure Quale delle seguenti affer-mazioni egrave falsaA Non tutti i quadrati sono bianchiB Qualche triangolo egrave neroC Almeno un cerchio egrave neroD Non tutti i cerchi sono bianchi

Indica per ogni enunciato il suo valore di veritagravea x Z6 x 3 0+ = b x xN7 egrave un numero primoc x xrette del piano7 egrave parallela a una retta r datad x Z6 x 022

TEST Dato il dominio U composto dalle figure del piano e lrsquoenunciato A(x) laquox egrave un quadrilateroraquo con x U quale enunciato egrave falsoA x U6 x egrave un quadrilateroB x A6 x egrave una figura del piano

C x U x7 egrave un quadrilateroD x A x7 egrave una figura del piano

TEST Quale delle seguenti egrave equivalente alla proposizione laquoSe un numero egrave divisibile per 18 allora egrave divi-sibile per 2 e per 3raquoA laquoSe un numero non egrave divisibile per 18 allora non egrave divisibile per 2 e per 3raquoB laquoSe un numero egrave divisibile per 2 e per 3 allora egrave divisibile per 18raquoC laquoSe un numero non egrave divisibile neacute per 2 neacute per 3 allora non egrave divisibile per 18raquoD laquoSe un numero non egrave divisibile per 2 o per 3 allora non egrave divisibile per 18raquo

Scriviamo le proposizioni che si ottengono dallrsquoenunciato ( )A x laquox egrave minore del suo doppioraquo utilizzando i quantificatori 6 e 7 nellrsquoinsieme universo U dei numeri interi Stabiliamo il valore di veritagrave delle proposizioni ottenute

quantificatore proposizione valore di veritagrave6 x U6 x x21 F7 x U x x27 1 V

Per ognuno dei seguenti enunciati scrivi le proposizioni che si ottengono utilizzando i quantificatori 6 e 7 e stabilisci il corrispondente valore di veritagrave

U x xN= egrave multiplo di 8 A(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un divisore di 16raquo ( )B x

U x x= egrave un felino A(x) laquox egrave una linceraquo B(x) laquox egrave un quadrupederaquo ( )B x

U x x= egrave una figura piana di area 16 A(x) laquox egrave un quadratoraquo B(x) laquox egrave un cerchioraquo C(x) laquox egrave un rettangolo di dimensioni 2 e 8raquo

Sia lrsquoinsieme N dei numeri naturali lrsquoinsieme in cui si considera la variabile x Lrsquoespressione laquoNon esiste alcun numero naturale n che moltiplicato per un numero naturale x qualsiasi dia come risultato x stessoraquo di quale tra le seguenti proposizioni logiche egrave la traduzione Tale proposizione egrave vera o falsaA ( )n x n x xN N $b 7 = B n N6 x n x xN $b = C n xN Nb 6 n x x$ =

113

114

115

116

COME SI FA

per esempio ndash3 Z ma ndash3 gt 2 sdot (ndash3)

per esempio 2 Z e 2 lt 2 sdot 2

117

118

119

120

18

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Sono date le proposizioni

A laquoOgni pagina del libro ha una figuraraquo

B laquoEsiste una pagina del libro in cui non compare il colore bluraquo

Scriviamo la loro negazioneA laquoEsiste una pagina del libro che non ha una figuraraquo

B laquoIn ogni pagina del libro compare il colore bluraquo

Per ognuna delle seguenti proposizioni scrivi la negazionelaquoOgni tavolo ha quattro gamberaquo

laquoNon esiste un multiplo di 5 che non termina per 0raquo

laquoTutti i numeri naturali sono interiraquo

laquoEsiste un numero naturale che egrave minore del suo cuboraquo

INVALSI 2012 Quale tra le seguenti frasi egrave la negazione della proposizione laquoTutti i numeri naturali sono dispariraquoA Tutti i numeri naturali sono pariB Nessun numero naturale egrave dispariC Almeno un numero naturale non egrave dispariD Qualche numero naturale egrave dispari

IN GARA Nel paese di Oz oltre alle persone normali (che possono mentire o dire la veritagrave) vivono cava-lieri (che dicono sempre la veritagrave) e furfanti (che mentono sempre) Una strana legge impone che in ogni matrimonio i coniugi siano entrambi normali oppure uno cavaliere e lrsquoaltro furfante Arrivati alla villetta bifamiliare dei coniugi Allegri e Bianchi chiedete se il sig Bianchi che egrave assente egrave un cavaliere ottenendo risposta affermativa sia dalla sigra Bianchi sia da entrambi i coniugi Allegri Che cosa potete concludere riguardo ai sig BianchiA Il sig Bianchi egrave un cavaliereB Il sig Bianchi egrave un furfanteC Il sig Bianchi egrave normaleD Egrave impossibile che le risposte date siano quelle riportateE Non potete concludere nulla

[Olimpiadi di matematica italiane Gara di 2deg livello Biennio 2003]

COME SI FA

X

Y

X

Y

121

122

123

124

125

126

3

TEORIA

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Per indicare lrsquoequivalenza usiamo il simbolo = e per verificarla utilizziamo una tavola di veritagrave

Verifichiamo con una tavola di veritagrave che ( )A B B A B B 0 0 = Per ottenere ( )A B B 0 calcoliamo prima la colonna di A B e usiamola poi con BPer calcolare ( )A B B0 abbiamo bisogno della colonna di A B0 Quindi dob-biamo compilare la tavola di veritagrave seguente

A B A B0 A B A B B 0 ( )A B B0

V V V V V VV F V F F FF V V F V VF F F F F F

Le colonne di ( )A B B 0 e ( )A B B0 sono uguali quindi le espressioni sono equivalenti

PROPRIETAgrave DELLE OPERAZIONI LOGICHEMediante lrsquoequivalenza di espressioni possiamo scrivere proprietagrave di cui godono le operazioni logiche

Proprietagrave commutativa della congiunzioneA B B A =

Proprietagrave associativa della congiunzione( ) ( )A B B CC A =

Proprietagrave distributiva della congiun-zione rispetto alla disgiunzione

( ) ( ) ( )A B C A B CA 0 0 =

Idempotenza della congiunzioneA A A =

Proprietagrave commutativa della disgiunzioneA B B A00 =

Proprietagrave associativa della disgiunzione( ) ( )A B C A B C0 0 00 =

Proprietagrave distributiva della disgiun-zione rispetto alla congiunzione

( ) ( ) ( )A B C A B A C0 0 0 =

Idempotenza della disgiunzioneA A A0 =

Doppia negazione A A= Leggi di De Morgan 1 A B A B 0= 2 A B A B0 =

Applichiamo la prima legge di De Morgan agli enunciatiA laquoRoberta dipingeraquo B laquoRoberta cantaraquo

Lrsquoenunciato laquoNon egrave vero che Roberta dipinge e cantaraquo A B

equivale a laquoRoberta non dipinge oppure non cantaraquo

A

0

B

ESEMPIO

ESEMPIO

4

TEORIA

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Essendo unrsquoequivalenza fra espressioni logiche ognuna delle proprietagrave che abbiamo elencato puograve essere verificata con una tavola di veritagrave

Verifichiamo la prima legge di De MorganA B A B A B A B A B0

V V F F V F FV F F V F V VF V V F F V VF F V V F V V

Compiliamo la tavola e notiamo che le co-lonne di A B e A B0 sono uguali quindi A B A B 0=

TAUTOLOGIE E CONTRADDIZIONI

Una tautologia egrave unrsquoespressione logica vera per qualsiasi valore di veritagrave attribuito alle sue variabiliUna contraddizione egrave unrsquoespressione logica falsa per qualsiasi valore di veritagrave attri-buito alle sue variabili

A A0 egrave una tautologia Infatti

A A A A0

V F VF V V

sempre vera

A A egrave una contraddizione Infatti

A A A A

V F FF V F

sempre falsa

La negazione di una tautologia egrave una contraddizione e viceversa

SCHEMI DI RAGIONAMENTONella vita reale e nella matematica siamo interessati alle deduzioni logiche cioegrave a quei ragionamenti che basandosi sulle relazioni di causa-effetto partono da premesse vere e giungono a conclusioni vere Gli schemi di ragionamento non vanno confusi con lrsquoimplicazione materiale e la coimplicazione materiale

Premesse e conclusioneEsaminiamo il seguente ragionamento

Se ho fame allora mangio A BA

B

conA laquoho fameraquoB laquomangioraquo

Ho fame premessequindimangio conclusione

Nella prima colonna abbiamo scritto il ragionamento nella seconda abbiamo tra-dotto in simboli lo schema di ragionamento che egrave indipendente dai particolari enunciati assegnati alle variabiliIl ragionamento dellrsquoesempio egrave costituito da due premesse A B e A e da una conclusione

ESEMPIO

ESEMPIO

5

TEORIA

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Modus ponensLo schema di ragionamento dellrsquoesempio che abbiamo esaminato si chiama modus ponens Possiamo scriverlo con lrsquoespressione

[( ) ]A B A B si legge A implica B e A implica B

Modus tollensEsaminiamo ora il seguente ragionamento

Se guido allora ho la patente A BB

A

conA laquoguidoraquoB laquoho la patenteraquo

Non ho la patente premessequindinon guido conclusione

Lo schema di ragionamento di questo esempio egrave detto modus tollens e puograve essere scritto mediante lrsquoespressione logica

( )[ ]A B B A Uno schema di ragionamento egrave valido se e solo se la sua espressione logica egrave una tautologia

A BA

B

modus ponens

A BB

A

modus tollens

6

ES

ER

CIZ

I

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

ESERCIZI

1 Implicazione e coimplicazioneTRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Scrivi in simboli le seguenti proposizioni laquoIl numero 18 egrave divisibile

per 6 se e solo se 18 egrave divisibile per 3 e per 2raquo e laquoUn rombo egrave un quadrato se ha tutti gli angoli congruentiraquo

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE Considera le proposizioni laquo3 9raquoA 2 B laquo3 egrave un numero primoraquo e C laquo9 32= raquo Traduci in parole le seguenti proposizioni e attribuisci a ciascuna di esse il valore di veritagrave

A B B A A B) C B) C B

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Le seguenti proposizioni sono proposizioni composte costituite da enunciati distinti (componenti) legati da connettivi logici Riscrivile in simboli indicando con una lettera maiuscola ogni componentea laquoSe 17 egrave un numero egrave primo allora 17 ha esattamente due divisoriraquob laquoSe MCD(12 28) = 4 i due numeri 12 e 28 sono pariraquoc laquoUn rombo egrave un quadrato se e solo se ha tutti gli angoli rettiraquod laquoSe il numero 264 egrave multiplo di 88 allora 264 egrave pariraquoe laquoIl reciproco del numero 8 esiste se e solo se il numero 8 egrave diverso da 0raquof laquoVado a scuola in bicicletta se e solo se il cielo egrave serenoraquog laquoSe 3 51 allora 3

1512 raquo

2 Espressioni logiche e schemi di ragionamento

ESPRESSIONI LOGICHETRADUCI in parole le espressioni che seguono considerando gli enunciati A B e C

A laquoVado in vacanza in montagnaraquo B laquoLeggo molti libriraquo C laquoVado in vacanza al mareraquoA B A B A B A B C B C B A C A C0

A laquoIl numero 56 egrave pariraquo B laquoIl numero 56 egrave divisibile per 7raquo C laquoIl numero 56 egrave il risultato di 7 8$ raquoA B C B C A B C 0 A C A B C

A laquoCompro il giornaleraquo B laquoCompro il paneraquo C laquoCompro un paio di scarperaquoA C0 A B0 C B0 A B0 ( )A C B0

A laquoTelefono a Marcoraquo B laquoNon vado al corso di musicaraquo C laquoStudio storiaraquoA B B C A C A B C C B A B A B A B C

1

2 3 4 5 6

7

8

9

10

11

7

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE le proposizioni composte indicate e attribuisci a ciascuna di esse il valore di veritagrave

A laquoIl quadrato ha tre angoliraquo B laquoLrsquoesagono regolare ha tutti i lati ugualiraquo C laquoIl quadrato non egrave un rettangoloraquo( )A B B0 B C0 B C0 ( )A B B0 ( )C B B 0 A B C0 0

C A B) 0

A laquo9 182 = raquo B laquo12 6 2$= raquo C laquo4 2 6+ raquoA B C 0

B C A B A C) ( )A B C)0 ( )B A C

A laquo5 egrave maggiore di 6raquo B laquo 31 egrave un numero interoraquo C laquo12 egrave un numero pariraquo

A B B C A B0 A C0 A B C A0 A C0 A B B C0 B C

A laquo5 71 raquo B laquoFebbraio egrave il primo mese dellrsquoannoraquo C laquoFebbraio egrave il mese con piugrave giorniraquo D laquo7 egrave un numero primoraquoA C B D0 C D D B0 A B0 A D C B0 B C

A laquoLa somma di 2 e 3 egrave 5raquo B laquoIl prodotto di 2 e 3 egrave 8raquo C laquo2 egrave maggiore di 3raquoA C0 B C0 A B0 A B A B0 A C0 B C0 A C B C B C

A laquo18 egrave un multiplo di 6raquo B laquo6 non egrave un divisore di 24raquo C laquo9 egrave un numero primoraquoA B C A B ( )A B C A C B C ( )A C B

A laquo 41 egrave un quadrato perfettoraquo B laquo21 egrave un numero primoraquo C laquo7 egrave un divisore di 28raquo

A B0 B C A C0 A C A B C0 0

A laquo12 111 egrave un multiplo di 11raquo B laquo66 egrave un multiplo di 6raquo C laquo12 111 e 66 sono primi tra lororaquoA B0 B C0 A C A B C 0 A B C0 0

A B C0

A laquoI giorni dellrsquoanno sono 300raquo B laquoI mesi dellrsquoanno sono 13raquo C laquoI giorni della settimana sono 7raquoA B C0 0 A C B0 0 A B C0 A B C 0 A B C0 0 A B C A B C0

Attribuisci il valore di veritagrave agli enunciati A laquo5 egrave un numero pariraquo B laquo 25 egrave un numero razionaleraquo

C laquo15 15= raquo e poi stabilisci il valore di veritagrave delle seguenti espressionia A B0 ( )A B C0

( )A B C0 0

b ( )A B C0 0 ( )A B C0 0

( )A B C0 0 ( )A B C0

Dati gli enunciati A laquo 51 5 1$ = raquo B laquo5 10 = raquo e C laquo2 86 3= raquo traduci in parole i seguenti enunciati e attri-

buisci a ciascuno di essi il valore di veritagraveA B) A C) B A C) 0 B A A C)0 ( )[ ]C A B C )0

Attribuisci il valore di veritagrave ad A B e C quindi determina il valore di veritagrave delle espressioni indicateA laquo12 ha sei divisoriraquo B laquo14 e 27 sono primi tra lororaquo C laquoIl triangolo ha 4 angoliraquoa A C B b ( )A C B0 c A B C

Attribuisci il valore di veritagrave ad A B C quindi determina il valore di veritagrave delle espressioni indicateA laquo7 egrave un divisore di 2870raquo B laquo9185 egrave un multiplo di 11raquo C laquo6303 egrave divisibile per 6raquoa A B A B0 A C A C B C A B B A) b ( ) CA B0

[( ) ] ( )A A B C B A A B) 0 0 0

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

8

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE Dati gli enunciati A laquoOggi fa caldoraquo B laquoOggi pioveraquo C laquoEsco con lrsquoombrelloraquo e D laquoVado a scuola in biciclettaraquo traduci in parole le seguenti espressioni

A B C B D A C A A D) DB A D C) D B A 0

Scriviamo in simboli lrsquoespressione laquoSe 187 11 17$= 187 non egrave un numero primo ed egrave multiplo di 11raquoIndichiamo con una variabile logica ogni enunciato componente

laquoSe 187 11 17$= (allora) 187 non egrave un numero primo ed egrave multiplo di 11raquo

In simboli ( )A B C

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Riscrivi in simboli le seguenti espressioni indicando con una variabile logica ogni enunciato componente

a laquoLuisa va al mare ma non fa il bagnoraquob laquoOggi vedo Stefano e lo invito a cenaraquoc laquoMaria non legge giornali e non guarda la televisioneraquo

d laquoIl numero 57 non egrave razionale egrave positivo e maggiore di 1raquo

e laquoLuca deve risolvere un problema portare fuori il cane telefonare a Rita e a Paoloraquo

a laquoIl cubo egrave un solido ha otto facce e le sue facce sono quadratiraquob laquoIl numero 6 non egrave divisibile per 4 ed egrave pariraquoc laquoNon egrave vero che o porti la pizza o non partecipi alla festaraquod laquo18 egrave multiplo di 9 divisore di 36 ma non egrave divisibile per 5raquo

a laquoSe non pianto la tenda e piove il sacco a pelo si bagnaraquob laquoSe r egrave parallela a s e s egrave parallela a t allora r egrave parallela a traquoc laquoSe vai in palestra non ci vediamo e non fai i compitiraquod laquoIl libro egrave tuo se e solo se lrsquoarancione non egrave il tuo colore preferitoraquo

YOU amp MATHS Write the sentences below in terms of the followingr strawberries are ripe along the path b snails have been seen in the area w walking on the path is safea Strawberries are ripe along the path and snails have not been seen in the areab Snails have not been seen in the area and walking on the path is safe and strawberries are ripe along the pathc If strawberries are ripe along the path then walking is safe if and only if snails have not been seen in the aread It is not safe to walk along the path snails have not been seen in the area and the strawberries along

the path are ripe

INTORNO A NOI Negli ascensori di solito egrave presente unrsquoetichetta con una frase simile a quella indicata a lato Individua tre propo-sizioni P Q R in modo da poter scrivere lrsquoavviso come espressione in cui P Q e R sono legate con connettivi logici Qual egrave lrsquoespressio-ne in simboli

25 26

COME SI FA

implicazione materiale

A laquo187 = 11 17raquo

negazione

B laquo187 egrave un numero primoraquo

congiunzione

C laquo187 egrave multiplo di 11raquo

27

28

29

30

31NON POSSONO USARE LrsquoASCENSORE

PERSONE MINORI DI 12 ANNISE NON ACCOMPAGNATE

9

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

TRADUCI Considera le seguenti proposizioni A laquoSabato telefono a Ugoraquo B laquoSabato Ugo mi telefonaraquo C laquoSabato finisco il lavororaquo D laquoSabato guardo la TVraquoa Traduci in parole le proposizioni

A D0 B C B B0 A C D C B C) A B0 ( )D C A ( ) ( )A B C D

b Traduci le seguenti proposizioni composte in simboli laquoSabato se Ugo mi telefona finisco il lavoro e non guardo la TVraquo laquoSabato finisco il lavoro o guardo la TV e non telefono a Ugoraquo laquoSabato se Ugo non mi telefona io telefono a Ugo e finisco il lavororaquo laquoSabato o telefono a Ugo o mi telefona lui e finisco il lavororaquo

INTORNO A NOI Sono date le proposizioniA laquoIl mio cane abbaiaraquoB laquoLa luna egrave pienaraquo

C laquoPioveraquoD laquoIl mio cane ulularaquo

Utilizza le variabili logiche e i connettivi adeguati per rappresentare schematicamente le seguenti proposizionia laquoSe la luna egrave piena il mio cane o abbaia o ulularaquob laquoChe piova o che la luna sia piena il mio cane abbaiaraquoc laquoSe il mio cane ulula allora la luna egrave piena e se piove allora il mio cane abbaiaraquo

Espressioni e valori di veritagrave

Consideriamo le proposizioni A laquo63 egrave un multiplo di 7raquo B laquo3 egrave un divisore di 63raquo e C laquo63 egrave un numero pariraquo

Stabiliamo il valore di veritagrave di A B B C0 B C A0

Costruiamo la tavola di veritagrave

A B C A B A B B C B C0 B C0 B C A0

V V F V F F V V F V

Espressioni e tavole di veritagraveCACCIA ALLrsquoERRORE Esamina la seguente tavola di veritagrave e scopri in essa almeno cinque errori

A B C A B C A0 C B0 C A C B0 0 ( ) [ ]A B C A C B 0 0

V V V V V V V VV V F V V V V VV F V F F V V VV F F V V F F VF V V V V V V VF V F V F F F VF F V V V V F VF F F V F F V V

32

33

COME SI FA

63 non egrave un numero pari63 3 = 2163 = 7 9

34

10

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

COMPLETA la seguente tavola di veritagrave inserendo lrsquoespressione corretta scelta fra( )A B C 0 ( )A B C ( )A B C 0

A B C0

A B CV V V VV V F FV F V FV F F VF V V FF V F VF F V FF F F V

COMPLETA la seguente tavola inserendo i valori di veritagrave e gli operatori mancanti

A B A B A B A B0 A BV V F V

F F F VF F V V

F V V F

Date due proposizioni generiche A e B costruiamo la tavola di veritagrave dellrsquoespressione ( )A B A0

A B A B A ( )A B A0

V V F V VV F F F FF V V F VF F V F V

tutti i possibili casi per A e B aggiungiamo le colonne A e B A

Per ciascuna delle seguenti espressioni costruisci la tavola di veritagrave considerando A e B proposizioni generiche

A B A B A B A B0 A B0

A B0 A B0 A B0 A B0 A B0

A B A B A B A B

A B) A B) A B) A B)

A B A A B ( )A A B ( )A B B

A B0 A A B0 0 ( )A A B0 0 ( )A B B0 0

A A B 0 A A B 0 ( )A B B0 ( )A B B0

35

36

COME SI FA

37

38

39

40

41

42

43

11

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Per ciascuna delle seguenti espressioni costruisci la tavola di veritagrave considerando A e B e C proposizioni generiche

( )A B C0 ( )A B C 0 ( ) ( )A B C A 0

( )B A C0 ( )A B C0 ( ) ( )A CC B) )

( )B CA 0 ( )B C A 0 A B C 0

( )B C A ( ) ( )A C B C0 ( )A CB)

VERO O FALSO Considera A e B proposizioni generichea Se A egrave falsa allora anche A egrave falsa V F

b Se A B egrave falsa allora o A o B egrave falsa V F

c A B0 egrave vera se e solo se A e B non sono entrambe vere o entrambe false V F

d Se A e B sono false allora ( ) ( )A B A B0 0

egrave falsa V F

VERO O FALSO a Se A B) egrave falsa allora A e B non sono

entrambe vere o entrambe false V F

b A B egrave falsa se e solo se A egrave vera V F

c A B non puograve essere falsa se A egrave falsa V F

d A B) egrave vera se e solo se anche A e B lo sono V F

PROPRIETAgrave DELLE OPERAZIONI LOGICHEEnuncia le seguenti proprietagrave delle operazioni logiche e verificale utilizzando una tavola di veritagrave

Negazione della negazione

Idempotenza della disgiunzione

Commutativa della disgiunzione

Associativa della congiunzione

Distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione

Distributiva della disgiunzione rispetto alla congiunzione

FAI UN ESEMPIO di applicazione della seconda legge di De Morgan e verifica poi la legge mediante la tavola di veritagrave

EquivalenzeTEST Dato lrsquoenunciato laquoNon egrave vero che 2- non egrave un numero pariraquo quale dei seguenti egrave equivalenteA laquo 2- non egrave un numero pariraquoB laquoNon egrave vero che 2- egrave un numero pariraquo

C laquo 2- egrave un numero pariraquoD laquo 2- non egrave un numero non pariraquo

Verifichiamo che ( )B B A B A B0 0 0= Possiamo procedere in due modi bull Compiliamo la tavola di veritagrave

A B A B A0 B A0 ( )B B A0 0 B B A B A B 0

V V F V F V F F VV F F F V V V V VF V V V F V F F VF F V V F F V F F

Le colonne relative alle due espressioni sono uguali quindi le espressioni sono equivalenti

44

45

46

47

48 49

50

51

52

53

54

55

56

57

COME SI FA

colonne uguali

12

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

bull Utilizziamo le proprietagrave delle operazioni logiche per passare da unrsquoespressione allrsquoaltra attraverso espres-sioni equivalenti

( ) ( ) ( )B B A B B A B B A B A B0 0 0 0 0= = =

Verifica le seguenti equivalenze utilizzando il metodo che preferisci( ) ( )A B A A A B0 0 =

( ) ( )B B A B B A 0 0 =

A B B A B 0 0=

( )A B B A B0 =

( ) ( )A B A A A B0 0 =

( ) ( ) ( ) ( )A B A B B A A B0 0 0 =

Utilizzando le tavole di veritagrave verifica le seguenti equivalenzeB A A B = B A A B A B 0 0=

( ) ( )A B C A B C =

TAUTOLOGIE E CONTRADDIZIONIAL VOLO Stabilisci se le seguenti espressioni sono tautologie o contraddizioni

a ( )B B B0 b ( ) ( )A A A A0 c C C) d A A)

Utilizzando le tavole di veritagrave stabilisci quali fra le seguenti sono tautologie e quali contraddizioni( )B B A 0 A A B ( )A B A B0 0

( )B B B [( ) ]A B A A ( ) ( )B C C B

Fra le seguenti espressioni indica quali sono tautologie quali contraddizioni e quali non sono neacute tautologie neacute contraddizioni A A A B A0 A A) B B) A B B

Senza utilizzare le tavole di veritagrave individua fra le seguenti proposizioni una tautologia e una contraddizio-ne spiega il tuo ragionamento Verifica poi le tue risposte compilando le tavole di veritagrave

( ) ( )A B A B0 0 B B A A0 A B B A0 A A B B)0

SCHEMI DI RAGIONAMENTOTEST Quale fra i seguenti non egrave un ragionamento valido laquoSe non accordo la chitarra non suonoraquoA Suono quindi accordo la chitarraB Se suono allora accordo la chitarra

C Accordo la chitarra quindi suonoD Non accordo la chitarra quindi non suono

SPIEGALO TU Percheacute i seguenti ragionamenti non sono validia laquoSe un cane abbaia allora non morde Quel cane non abbaia allora morderaquob laquoSe lrsquoacqua non bolle la pasta non cuoce Lrsquoacqua bolle allora la pasta cuoceraquo

Verifica che la legge di contrapposizione ( ) ( )A B B A egrave uno schema di ragionamento valido

negazione della negazione

2a legge di De Morgan commutativa della disgiunzione

58

59

60

61

62

63

64 65 66

67

68

69

70

71

72

73

74

13

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Il seguente ragionamento egrave valido mostralo con lrsquoaiuto di un diagramma di VennlaquoOgni multiplo di 12 egrave multiplo di 6raquolaquoOgni multiplo di 6 egrave multiplo di 3raquo

laquoOgni multiplo di 12 egrave multiplo di 3raquo

Riconoscere uno schema

Riconosciamo lo schema applicato in laquoSe un numero egrave una potenza di 3 allora non egrave pariraquo laquoUn numero egrave pari quindi non egrave una potenza di 3raquo

Scriviamo in simboli

laquoSe un numero egrave una potenza di 3 allora non egrave pariraquo A BlaquoUn numero egrave pari hellip B

hellipquindihellip

hellipnon egrave una potenza di 3raquo A

Lo schema di ragionamento egrave [( ) ]A B B A Poicheacute B egrave la negazione di ( )B B B= lo schema egrave il modus tollens

Riconosci gli schemi di ragionamento applicati scrivendo ognuno di essi in forma simbolicalaquoSe non hai il biglietto dellrsquoautobus prendi la multaraquolaquoNon prendi la multa quindi hai il biglietto dellrsquoautobusraquo

laquoSe arrivi in ritardo non entri a teatroraquolaquoArrivi in ritardo quindi non entri a teatroraquo

laquoSe passo col rosso mi ferma il vigile se mi ferma il vigile pagoraquolaquoSe passo col rosso pagoraquo

laquoSe penso allora sonoraquolaquoSe non sono allora non pensoraquo

laquoSe ingrasso non entro nei pantaloni se non entro nei pantaloni devo rifare il guardarobaraquolaquoSe ingrasso devo rifare il guardarobaraquo

laquoSe ho il foglio protocollo a righe crsquoegrave il temaraquolaquoNon crsquoegrave il tema quindi non ho il foglio protocollo a righeraquo

laquoSe lavo i vetri piove se piove i vetri si sporcanoraquolaquoSe lavo i vetri i vetri si sporcanoraquo

laquoSe sono bassa salgo sulla sediaraquolaquoSono bassa quindi salgo sulla sediaraquo

laquoSe un numero egrave naturale allora egrave intero se un numero egrave intero allora egrave razionaleraquolaquoSe un numero non egrave razionale allora non egrave naturaleraquo

75

COME SI FA

A laquoUn numero egrave una potenza di 3raquo B laquoUn numero egrave pariraquo

B

A

76

77

78

79

80

81

82

83

84

14

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Stabilisci se i seguenti ragionamenti sono validi e in caso affermativo indicane il tipolaquoSe suona il telefono rispondoraquolaquoNon rispondo quindi non suona il telefonoraquo

laquoSe accendo il forno non avvio la lavastoviglie se non avvio la lavastoviglie i piatti restano sporchiraquolaquoSe accendo il forno i piatti restano sporchiraquo

laquoSe il gatto miagola ha fameraquolaquoSe il gatto non ha fame non miagolaraquo

laquoSe il triangolo egrave rettangolo applico il teorema di PitagoraraquolaquoIl triangolo egrave rettangolo quindi applico il teorema di Pitagoraraquo

Applica il modus ponens il modus tollens e la legge di contrapposizione alle seguenti premessea laquoSe un rombo ha gli angoli congruenti allora egrave un quadratoraquob laquoSe in ogni materia la media dei miei voti egrave maggiore o uguale a 6 vengo promossoraquo

RIEPILOGO Altri esercizi di logicaEnunciati e connettivi logici

TEST Solo una delle seguenti frasi egrave un enunciato logico QualeA laquoStrano esercizioraquoB laquoLa risposta a questo esercizio egrave la Craquo

C laquoQuale esercizioraquoD laquoQuesto esercizio non mi piaceraquo

VERO O FALSO Egrave un enunciato logicoa laquoOggi vieni a giocare a calcio con noiraquo V F

b laquo15 egrave un multiplo di 2raquo V F

c laquoLa mia borsa egrave molto voluminosaraquo V F

d laquoCorriraquo V F

e laquoTutti i poligoni hanno 4 latiraquo V F

f laquo 10 5 2= raquo V F

g laquoPer favore sii puntualeraquo V F

h laquoChe cosa farai per il tuo compleannoraquo V F

Stabilisci quali tra i seguenti sono enunciati logici Per quelli che lo sono indica il valore di veritagravea laquoeuro 15 egrave un prezzo basso per una T-shirtraquo

b laquo2 44 21 raquo

c laquoIl doppio di 43 egrave 15raquo

d laquoMarzo ha 30 giorniraquo

Attribuisci a ciascuna delle seguenti proposizioni il valore di veritagravea laquoTutti i multipli di 4 sono anche multipli di 16raquob laquoLrsquouguaglianza x 62 = non egrave mai verificata

in Nraquoc laquoIl prodotto di due numeri dispari egrave sempre

un numero pariraquod laquoVenere egrave una stellaraquoe laquoIl rettangolo egrave un particolare parallelo-

grammaraquo

a laquoLa disuguaglianza x7 02+ puograve non esse-re verificata in Nraquo

b laquoIl massimo comune divisore fra due nume-ri pari egrave un numero pariraquo

c laquoIl Sole egrave un satellite del pianeta Terraraquod laquoLrsquoopposto di 4 egrave 4

1 raquoe laquoIl prodotto cartesiano tra insiemi egrave com-

mutativoraquo

85

86

87

88

89

90

91

92

93 94

15

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

COMPLETA le seguenti frasi in modo che risultino enunciati veria laquoIl numero egrave maggiore di 0raquob laquoLrsquouguaglianza egrave sempre verificata in Qraquoc laquoI numeri sono i divisori di 42raquod laquoIl numero egrave pari e multiplo di 7raquoe laquoOgni ha tre angoli congruentiraquo

Compila le tabelle a doppia entrata relative a congiunzione disgiunzione inclusiva disgiunzione esclusiva implicazione materiale coimplicazione materiale

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Le seguenti proposizioni sono proposizioni composte costituite da enunciati distinti (componenti) legati da connettivi logici Riscrivile in simboli indicando con una lettera maiuscola ogni componentea laquoTorino egrave una cittagrave piemontese ed egrave stata la prima capitale drsquoItaliaraquob laquoI palloni da calcio non sono sferici e nemmeno quelli da basketraquoc laquoIl numero 7 egrave positivo ed egrave un numero primoraquod laquoUn numero o egrave pari o egrave 42raquoe laquoI giorni dellrsquoanno sono 365 o 366raquof laquoO vado al mare o sul Monte Biancoraquog laquoIl numero 2 egrave minore di 3 e metagrave di 4raquo

Dati gli enunciati A laquo7 egrave il quarto numero primoraquo e B laquo7 egrave un divisore di 165raquo attribuisci il valore di veritagrave aa A B0 b A B c A B0 d A B e B A)

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE Considera le seguenti proposizioni tutte vereA laquosono in vacanzaraquo B laquonon lavororaquo C laquofaccio delle passeggiateraquo D laquosono al mareraquoTraduci in parole le seguenti proposizioni e determina il loro valore di veritagrave

B C A C D B C B A B0 D C A D0 A C

SPIEGALO TU Considera gli enunciati A laquoLaura ha 18 anniraquo e B laquoLaura ha la patenteraquo In quali casi gli enunciati A B e A B0 sono veri e in quali falsi E A B

INTORNO A NOI Tre imputati di un delitto Aldo Bruno e Carlo rilasciano le seguenti dichiarazioniAldo laquoNon sono colpevoleraquo Bruno laquoIl colpevole egrave Carloraquo Carlo laquoIl colpevole egrave AldoraquoSe sappiamo che uno solo dei tre imputati ha dichiarato il falso chi egrave il colpevole

Enunciati e quantificatoriINVALSI 2013 Indica se ciascuna delle seguenti proposizioni egrave vera o falsa

a Se un numero egrave multiplo di 9 allora egrave multiplo di 3 V F

b Un numero egrave multiplo di 6 solo se egrave pari V F

c Un numero egrave multiplo di 5 se e solo se egrave multiplo di 10 V F

d Se un numero egrave pari allora egrave multiplo di 4 V F

TEST Lrsquoenunciato aperto A(x) laquox 1- egrave un numero naturaleraquo con x N si trasforma in un enunciato vero in uno solo dei seguenti modi qualeA Sostituendo a x il valore 1- C Sostituendo a x il valore 0B Sostituendo a x il valore 1 D Lrsquoinsieme di veritagrave coincide con lrsquoinsieme universo

95

96

97

98

99 100

101

102

103

104

16

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

FAI UN ESEMPIO Fai un esempio di enunciato aperto e opportuno insieme universo per i quali le propo-sizioni ottenute con i quantificatori risultinoa entrambe vere b entrambe false

Per ognuno dei seguenti enunciati aperti scegli un dominio U appropriato e individua un suo elemento che rende vero lrsquoenunciato e uno che lo rende falso scrivi le proposizioni per tali elementi

A(x) laquox egrave una persona con la patenteraquoB(x) laquox egrave un felinoraquo

A(x) laquox egrave una verdura verderaquoB(y) laquoIl fiume Po attraversa la regione yraquoC(z) laquoz egrave un monte italianoraquo

Consideriamo i tre enunciati apertiA(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un multiplo di 5raquo C(x) laquox egrave un multiplo di 4raquoe come dominio U lrsquoinsieme N dei numeri naturali minori o uguali a 20

Rappresentiamo con un diagramma di Venn lrsquoinsieme di veritagravea dei tre enunciati b di ( ) ( ) ( )A x B x C x e di ( ) ( )A x B x0

UA

B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713 UA

B A(x) v B(x) verain A U B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713

A(x) v (B(x) C(x)vera in A U B U C

v vU U

ndashndash

Per ogni terna A(x) B(x) C(x) dato il dominio U indicato rappresenta con diagrammi di Venn lrsquoin-sieme di veritagrave a dei tre enunciati b degli enunciati ( )C x ( ) ( )A x B x0 ( ) ( )A x C x ( ) ( )A x C x0 ( ) ( ) ( )[ ]A x C x B x0

A(x) laquox egrave un poligono equilateroraquo B(x) laquox egrave un rettangoloraquo C(x) laquox egrave un quadratoraquo U egrave lrsquoinsieme dei poligoni

A(x) laquox egrave un uomoraquo B(x) laquox egrave una donnaraquo C(x) laquox egrave suoceraraquo U egrave lrsquoinsieme delle persone

A(x) laquox egrave un erbivororaquo B(x) laquox egrave un carnivororaquo C(x) laquox egrave un onnivororaquo U egrave lrsquoinsieme degli animali

INVALSI 2003 Quale delle seguenti affermazioni egrave falsaA Alcuni multipli di 4 sono anche multipli di 8B Tutti i multipli di 8 sono anche multipli di 4C Tutti i numeri pari sono fra i multipli di 8

D Alcuni numeri pari non sono multipli di 8E Alcuni numeri pari sono multipli di 8

INVALSI 2004 Quale delle seguenti proposizioni egrave veraA Ogni numero intero divisibile per 3 egrave divisibile per 9B Ogni numero intero divisibile per 4 egrave divisibile per 2C Se il prodotto di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno dei due interi egrave divisibile per 5D Se la somma di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno degli addendi egrave divisibile per 5

105

106 107

COME SI FA

108

109

110

111

112

17

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

INVALSI 2004 Osserva le figure Quale delle seguenti affer-mazioni egrave falsaA Non tutti i quadrati sono bianchiB Qualche triangolo egrave neroC Almeno un cerchio egrave neroD Non tutti i cerchi sono bianchi

Indica per ogni enunciato il suo valore di veritagravea x Z6 x 3 0+ = b x xN7 egrave un numero primoc x xrette del piano7 egrave parallela a una retta r datad x Z6 x 022

TEST Dato il dominio U composto dalle figure del piano e lrsquoenunciato A(x) laquox egrave un quadrilateroraquo con x U quale enunciato egrave falsoA x U6 x egrave un quadrilateroB x A6 x egrave una figura del piano

C x U x7 egrave un quadrilateroD x A x7 egrave una figura del piano

TEST Quale delle seguenti egrave equivalente alla proposizione laquoSe un numero egrave divisibile per 18 allora egrave divi-sibile per 2 e per 3raquoA laquoSe un numero non egrave divisibile per 18 allora non egrave divisibile per 2 e per 3raquoB laquoSe un numero egrave divisibile per 2 e per 3 allora egrave divisibile per 18raquoC laquoSe un numero non egrave divisibile neacute per 2 neacute per 3 allora non egrave divisibile per 18raquoD laquoSe un numero non egrave divisibile per 2 o per 3 allora non egrave divisibile per 18raquo

Scriviamo le proposizioni che si ottengono dallrsquoenunciato ( )A x laquox egrave minore del suo doppioraquo utilizzando i quantificatori 6 e 7 nellrsquoinsieme universo U dei numeri interi Stabiliamo il valore di veritagrave delle proposizioni ottenute

quantificatore proposizione valore di veritagrave6 x U6 x x21 F7 x U x x27 1 V

Per ognuno dei seguenti enunciati scrivi le proposizioni che si ottengono utilizzando i quantificatori 6 e 7 e stabilisci il corrispondente valore di veritagrave

U x xN= egrave multiplo di 8 A(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un divisore di 16raquo ( )B x

U x x= egrave un felino A(x) laquox egrave una linceraquo B(x) laquox egrave un quadrupederaquo ( )B x

U x x= egrave una figura piana di area 16 A(x) laquox egrave un quadratoraquo B(x) laquox egrave un cerchioraquo C(x) laquox egrave un rettangolo di dimensioni 2 e 8raquo

Sia lrsquoinsieme N dei numeri naturali lrsquoinsieme in cui si considera la variabile x Lrsquoespressione laquoNon esiste alcun numero naturale n che moltiplicato per un numero naturale x qualsiasi dia come risultato x stessoraquo di quale tra le seguenti proposizioni logiche egrave la traduzione Tale proposizione egrave vera o falsaA ( )n x n x xN N $b 7 = B n N6 x n x xN $b = C n xN Nb 6 n x x$ =

113

114

115

116

COME SI FA

per esempio ndash3 Z ma ndash3 gt 2 sdot (ndash3)

per esempio 2 Z e 2 lt 2 sdot 2

117

118

119

120

18

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Sono date le proposizioni

A laquoOgni pagina del libro ha una figuraraquo

B laquoEsiste una pagina del libro in cui non compare il colore bluraquo

Scriviamo la loro negazioneA laquoEsiste una pagina del libro che non ha una figuraraquo

B laquoIn ogni pagina del libro compare il colore bluraquo

Per ognuna delle seguenti proposizioni scrivi la negazionelaquoOgni tavolo ha quattro gamberaquo

laquoNon esiste un multiplo di 5 che non termina per 0raquo

laquoTutti i numeri naturali sono interiraquo

laquoEsiste un numero naturale che egrave minore del suo cuboraquo

INVALSI 2012 Quale tra le seguenti frasi egrave la negazione della proposizione laquoTutti i numeri naturali sono dispariraquoA Tutti i numeri naturali sono pariB Nessun numero naturale egrave dispariC Almeno un numero naturale non egrave dispariD Qualche numero naturale egrave dispari

IN GARA Nel paese di Oz oltre alle persone normali (che possono mentire o dire la veritagrave) vivono cava-lieri (che dicono sempre la veritagrave) e furfanti (che mentono sempre) Una strana legge impone che in ogni matrimonio i coniugi siano entrambi normali oppure uno cavaliere e lrsquoaltro furfante Arrivati alla villetta bifamiliare dei coniugi Allegri e Bianchi chiedete se il sig Bianchi che egrave assente egrave un cavaliere ottenendo risposta affermativa sia dalla sigra Bianchi sia da entrambi i coniugi Allegri Che cosa potete concludere riguardo ai sig BianchiA Il sig Bianchi egrave un cavaliereB Il sig Bianchi egrave un furfanteC Il sig Bianchi egrave normaleD Egrave impossibile che le risposte date siano quelle riportateE Non potete concludere nulla

[Olimpiadi di matematica italiane Gara di 2deg livello Biennio 2003]

COME SI FA

X

Y

X

Y

121

122

123

124

125

126

4

TEORIA

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Essendo unrsquoequivalenza fra espressioni logiche ognuna delle proprietagrave che abbiamo elencato puograve essere verificata con una tavola di veritagrave

Verifichiamo la prima legge di De MorganA B A B A B A B A B0

V V F F V F FV F F V F V VF V V F F V VF F V V F V V

Compiliamo la tavola e notiamo che le co-lonne di A B e A B0 sono uguali quindi A B A B 0=

TAUTOLOGIE E CONTRADDIZIONI

Una tautologia egrave unrsquoespressione logica vera per qualsiasi valore di veritagrave attribuito alle sue variabiliUna contraddizione egrave unrsquoespressione logica falsa per qualsiasi valore di veritagrave attri-buito alle sue variabili

A A0 egrave una tautologia Infatti

A A A A0

V F VF V V

sempre vera

A A egrave una contraddizione Infatti

A A A A

V F FF V F

sempre falsa

La negazione di una tautologia egrave una contraddizione e viceversa

SCHEMI DI RAGIONAMENTONella vita reale e nella matematica siamo interessati alle deduzioni logiche cioegrave a quei ragionamenti che basandosi sulle relazioni di causa-effetto partono da premesse vere e giungono a conclusioni vere Gli schemi di ragionamento non vanno confusi con lrsquoimplicazione materiale e la coimplicazione materiale

Premesse e conclusioneEsaminiamo il seguente ragionamento

Se ho fame allora mangio A BA

B

conA laquoho fameraquoB laquomangioraquo

Ho fame premessequindimangio conclusione

Nella prima colonna abbiamo scritto il ragionamento nella seconda abbiamo tra-dotto in simboli lo schema di ragionamento che egrave indipendente dai particolari enunciati assegnati alle variabiliIl ragionamento dellrsquoesempio egrave costituito da due premesse A B e A e da una conclusione

ESEMPIO

ESEMPIO

5

TEORIA

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Modus ponensLo schema di ragionamento dellrsquoesempio che abbiamo esaminato si chiama modus ponens Possiamo scriverlo con lrsquoespressione

[( ) ]A B A B si legge A implica B e A implica B

Modus tollensEsaminiamo ora il seguente ragionamento

Se guido allora ho la patente A BB

A

conA laquoguidoraquoB laquoho la patenteraquo

Non ho la patente premessequindinon guido conclusione

Lo schema di ragionamento di questo esempio egrave detto modus tollens e puograve essere scritto mediante lrsquoespressione logica

( )[ ]A B B A Uno schema di ragionamento egrave valido se e solo se la sua espressione logica egrave una tautologia

A BA

B

modus ponens

A BB

A

modus tollens

6

ES

ER

CIZ

I

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

ESERCIZI

1 Implicazione e coimplicazioneTRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Scrivi in simboli le seguenti proposizioni laquoIl numero 18 egrave divisibile

per 6 se e solo se 18 egrave divisibile per 3 e per 2raquo e laquoUn rombo egrave un quadrato se ha tutti gli angoli congruentiraquo

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE Considera le proposizioni laquo3 9raquoA 2 B laquo3 egrave un numero primoraquo e C laquo9 32= raquo Traduci in parole le seguenti proposizioni e attribuisci a ciascuna di esse il valore di veritagrave

A B B A A B) C B) C B

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Le seguenti proposizioni sono proposizioni composte costituite da enunciati distinti (componenti) legati da connettivi logici Riscrivile in simboli indicando con una lettera maiuscola ogni componentea laquoSe 17 egrave un numero egrave primo allora 17 ha esattamente due divisoriraquob laquoSe MCD(12 28) = 4 i due numeri 12 e 28 sono pariraquoc laquoUn rombo egrave un quadrato se e solo se ha tutti gli angoli rettiraquod laquoSe il numero 264 egrave multiplo di 88 allora 264 egrave pariraquoe laquoIl reciproco del numero 8 esiste se e solo se il numero 8 egrave diverso da 0raquof laquoVado a scuola in bicicletta se e solo se il cielo egrave serenoraquog laquoSe 3 51 allora 3

1512 raquo

2 Espressioni logiche e schemi di ragionamento

ESPRESSIONI LOGICHETRADUCI in parole le espressioni che seguono considerando gli enunciati A B e C

A laquoVado in vacanza in montagnaraquo B laquoLeggo molti libriraquo C laquoVado in vacanza al mareraquoA B A B A B A B C B C B A C A C0

A laquoIl numero 56 egrave pariraquo B laquoIl numero 56 egrave divisibile per 7raquo C laquoIl numero 56 egrave il risultato di 7 8$ raquoA B C B C A B C 0 A C A B C

A laquoCompro il giornaleraquo B laquoCompro il paneraquo C laquoCompro un paio di scarperaquoA C0 A B0 C B0 A B0 ( )A C B0

A laquoTelefono a Marcoraquo B laquoNon vado al corso di musicaraquo C laquoStudio storiaraquoA B B C A C A B C C B A B A B A B C

1

2 3 4 5 6

7

8

9

10

11

7

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE le proposizioni composte indicate e attribuisci a ciascuna di esse il valore di veritagrave

A laquoIl quadrato ha tre angoliraquo B laquoLrsquoesagono regolare ha tutti i lati ugualiraquo C laquoIl quadrato non egrave un rettangoloraquo( )A B B0 B C0 B C0 ( )A B B0 ( )C B B 0 A B C0 0

C A B) 0

A laquo9 182 = raquo B laquo12 6 2$= raquo C laquo4 2 6+ raquoA B C 0

B C A B A C) ( )A B C)0 ( )B A C

A laquo5 egrave maggiore di 6raquo B laquo 31 egrave un numero interoraquo C laquo12 egrave un numero pariraquo

A B B C A B0 A C0 A B C A0 A C0 A B B C0 B C

A laquo5 71 raquo B laquoFebbraio egrave il primo mese dellrsquoannoraquo C laquoFebbraio egrave il mese con piugrave giorniraquo D laquo7 egrave un numero primoraquoA C B D0 C D D B0 A B0 A D C B0 B C

A laquoLa somma di 2 e 3 egrave 5raquo B laquoIl prodotto di 2 e 3 egrave 8raquo C laquo2 egrave maggiore di 3raquoA C0 B C0 A B0 A B A B0 A C0 B C0 A C B C B C

A laquo18 egrave un multiplo di 6raquo B laquo6 non egrave un divisore di 24raquo C laquo9 egrave un numero primoraquoA B C A B ( )A B C A C B C ( )A C B

A laquo 41 egrave un quadrato perfettoraquo B laquo21 egrave un numero primoraquo C laquo7 egrave un divisore di 28raquo

A B0 B C A C0 A C A B C0 0

A laquo12 111 egrave un multiplo di 11raquo B laquo66 egrave un multiplo di 6raquo C laquo12 111 e 66 sono primi tra lororaquoA B0 B C0 A C A B C 0 A B C0 0

A B C0

A laquoI giorni dellrsquoanno sono 300raquo B laquoI mesi dellrsquoanno sono 13raquo C laquoI giorni della settimana sono 7raquoA B C0 0 A C B0 0 A B C0 A B C 0 A B C0 0 A B C A B C0

Attribuisci il valore di veritagrave agli enunciati A laquo5 egrave un numero pariraquo B laquo 25 egrave un numero razionaleraquo

C laquo15 15= raquo e poi stabilisci il valore di veritagrave delle seguenti espressionia A B0 ( )A B C0

( )A B C0 0

b ( )A B C0 0 ( )A B C0 0

( )A B C0 0 ( )A B C0

Dati gli enunciati A laquo 51 5 1$ = raquo B laquo5 10 = raquo e C laquo2 86 3= raquo traduci in parole i seguenti enunciati e attri-

buisci a ciascuno di essi il valore di veritagraveA B) A C) B A C) 0 B A A C)0 ( )[ ]C A B C )0

Attribuisci il valore di veritagrave ad A B e C quindi determina il valore di veritagrave delle espressioni indicateA laquo12 ha sei divisoriraquo B laquo14 e 27 sono primi tra lororaquo C laquoIl triangolo ha 4 angoliraquoa A C B b ( )A C B0 c A B C

Attribuisci il valore di veritagrave ad A B C quindi determina il valore di veritagrave delle espressioni indicateA laquo7 egrave un divisore di 2870raquo B laquo9185 egrave un multiplo di 11raquo C laquo6303 egrave divisibile per 6raquoa A B A B0 A C A C B C A B B A) b ( ) CA B0

[( ) ] ( )A A B C B A A B) 0 0 0

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

8

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE Dati gli enunciati A laquoOggi fa caldoraquo B laquoOggi pioveraquo C laquoEsco con lrsquoombrelloraquo e D laquoVado a scuola in biciclettaraquo traduci in parole le seguenti espressioni

A B C B D A C A A D) DB A D C) D B A 0

Scriviamo in simboli lrsquoespressione laquoSe 187 11 17$= 187 non egrave un numero primo ed egrave multiplo di 11raquoIndichiamo con una variabile logica ogni enunciato componente

laquoSe 187 11 17$= (allora) 187 non egrave un numero primo ed egrave multiplo di 11raquo

In simboli ( )A B C

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Riscrivi in simboli le seguenti espressioni indicando con una variabile logica ogni enunciato componente

a laquoLuisa va al mare ma non fa il bagnoraquob laquoOggi vedo Stefano e lo invito a cenaraquoc laquoMaria non legge giornali e non guarda la televisioneraquo

d laquoIl numero 57 non egrave razionale egrave positivo e maggiore di 1raquo

e laquoLuca deve risolvere un problema portare fuori il cane telefonare a Rita e a Paoloraquo

a laquoIl cubo egrave un solido ha otto facce e le sue facce sono quadratiraquob laquoIl numero 6 non egrave divisibile per 4 ed egrave pariraquoc laquoNon egrave vero che o porti la pizza o non partecipi alla festaraquod laquo18 egrave multiplo di 9 divisore di 36 ma non egrave divisibile per 5raquo

a laquoSe non pianto la tenda e piove il sacco a pelo si bagnaraquob laquoSe r egrave parallela a s e s egrave parallela a t allora r egrave parallela a traquoc laquoSe vai in palestra non ci vediamo e non fai i compitiraquod laquoIl libro egrave tuo se e solo se lrsquoarancione non egrave il tuo colore preferitoraquo

YOU amp MATHS Write the sentences below in terms of the followingr strawberries are ripe along the path b snails have been seen in the area w walking on the path is safea Strawberries are ripe along the path and snails have not been seen in the areab Snails have not been seen in the area and walking on the path is safe and strawberries are ripe along the pathc If strawberries are ripe along the path then walking is safe if and only if snails have not been seen in the aread It is not safe to walk along the path snails have not been seen in the area and the strawberries along

the path are ripe

INTORNO A NOI Negli ascensori di solito egrave presente unrsquoetichetta con una frase simile a quella indicata a lato Individua tre propo-sizioni P Q R in modo da poter scrivere lrsquoavviso come espressione in cui P Q e R sono legate con connettivi logici Qual egrave lrsquoespressio-ne in simboli

25 26

COME SI FA

implicazione materiale

A laquo187 = 11 17raquo

negazione

B laquo187 egrave un numero primoraquo

congiunzione

C laquo187 egrave multiplo di 11raquo

27

28

29

30

31NON POSSONO USARE LrsquoASCENSORE

PERSONE MINORI DI 12 ANNISE NON ACCOMPAGNATE

9

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

TRADUCI Considera le seguenti proposizioni A laquoSabato telefono a Ugoraquo B laquoSabato Ugo mi telefonaraquo C laquoSabato finisco il lavororaquo D laquoSabato guardo la TVraquoa Traduci in parole le proposizioni

A D0 B C B B0 A C D C B C) A B0 ( )D C A ( ) ( )A B C D

b Traduci le seguenti proposizioni composte in simboli laquoSabato se Ugo mi telefona finisco il lavoro e non guardo la TVraquo laquoSabato finisco il lavoro o guardo la TV e non telefono a Ugoraquo laquoSabato se Ugo non mi telefona io telefono a Ugo e finisco il lavororaquo laquoSabato o telefono a Ugo o mi telefona lui e finisco il lavororaquo

INTORNO A NOI Sono date le proposizioniA laquoIl mio cane abbaiaraquoB laquoLa luna egrave pienaraquo

C laquoPioveraquoD laquoIl mio cane ulularaquo

Utilizza le variabili logiche e i connettivi adeguati per rappresentare schematicamente le seguenti proposizionia laquoSe la luna egrave piena il mio cane o abbaia o ulularaquob laquoChe piova o che la luna sia piena il mio cane abbaiaraquoc laquoSe il mio cane ulula allora la luna egrave piena e se piove allora il mio cane abbaiaraquo

Espressioni e valori di veritagrave

Consideriamo le proposizioni A laquo63 egrave un multiplo di 7raquo B laquo3 egrave un divisore di 63raquo e C laquo63 egrave un numero pariraquo

Stabiliamo il valore di veritagrave di A B B C0 B C A0

Costruiamo la tavola di veritagrave

A B C A B A B B C B C0 B C0 B C A0

V V F V F F V V F V

Espressioni e tavole di veritagraveCACCIA ALLrsquoERRORE Esamina la seguente tavola di veritagrave e scopri in essa almeno cinque errori

A B C A B C A0 C B0 C A C B0 0 ( ) [ ]A B C A C B 0 0

V V V V V V V VV V F V V V V VV F V F F V V VV F F V V F F VF V V V V V V VF V F V F F F VF F V V V V F VF F F V F F V V

32

33

COME SI FA

63 non egrave un numero pari63 3 = 2163 = 7 9

34

10

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

COMPLETA la seguente tavola di veritagrave inserendo lrsquoespressione corretta scelta fra( )A B C 0 ( )A B C ( )A B C 0

A B C0

A B CV V V VV V F FV F V FV F F VF V V FF V F VF F V FF F F V

COMPLETA la seguente tavola inserendo i valori di veritagrave e gli operatori mancanti

A B A B A B A B0 A BV V F V

F F F VF F V V

F V V F

Date due proposizioni generiche A e B costruiamo la tavola di veritagrave dellrsquoespressione ( )A B A0

A B A B A ( )A B A0

V V F V VV F F F FF V V F VF F V F V

tutti i possibili casi per A e B aggiungiamo le colonne A e B A

Per ciascuna delle seguenti espressioni costruisci la tavola di veritagrave considerando A e B proposizioni generiche

A B A B A B A B0 A B0

A B0 A B0 A B0 A B0 A B0

A B A B A B A B

A B) A B) A B) A B)

A B A A B ( )A A B ( )A B B

A B0 A A B0 0 ( )A A B0 0 ( )A B B0 0

A A B 0 A A B 0 ( )A B B0 ( )A B B0

35

36

COME SI FA

37

38

39

40

41

42

43

11

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Per ciascuna delle seguenti espressioni costruisci la tavola di veritagrave considerando A e B e C proposizioni generiche

( )A B C0 ( )A B C 0 ( ) ( )A B C A 0

( )B A C0 ( )A B C0 ( ) ( )A CC B) )

( )B CA 0 ( )B C A 0 A B C 0

( )B C A ( ) ( )A C B C0 ( )A CB)

VERO O FALSO Considera A e B proposizioni generichea Se A egrave falsa allora anche A egrave falsa V F

b Se A B egrave falsa allora o A o B egrave falsa V F

c A B0 egrave vera se e solo se A e B non sono entrambe vere o entrambe false V F

d Se A e B sono false allora ( ) ( )A B A B0 0

egrave falsa V F

VERO O FALSO a Se A B) egrave falsa allora A e B non sono

entrambe vere o entrambe false V F

b A B egrave falsa se e solo se A egrave vera V F

c A B non puograve essere falsa se A egrave falsa V F

d A B) egrave vera se e solo se anche A e B lo sono V F

PROPRIETAgrave DELLE OPERAZIONI LOGICHEEnuncia le seguenti proprietagrave delle operazioni logiche e verificale utilizzando una tavola di veritagrave

Negazione della negazione

Idempotenza della disgiunzione

Commutativa della disgiunzione

Associativa della congiunzione

Distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione

Distributiva della disgiunzione rispetto alla congiunzione

FAI UN ESEMPIO di applicazione della seconda legge di De Morgan e verifica poi la legge mediante la tavola di veritagrave

EquivalenzeTEST Dato lrsquoenunciato laquoNon egrave vero che 2- non egrave un numero pariraquo quale dei seguenti egrave equivalenteA laquo 2- non egrave un numero pariraquoB laquoNon egrave vero che 2- egrave un numero pariraquo

C laquo 2- egrave un numero pariraquoD laquo 2- non egrave un numero non pariraquo

Verifichiamo che ( )B B A B A B0 0 0= Possiamo procedere in due modi bull Compiliamo la tavola di veritagrave

A B A B A0 B A0 ( )B B A0 0 B B A B A B 0

V V F V F V F F VV F F F V V V V VF V V V F V F F VF F V V F F V F F

Le colonne relative alle due espressioni sono uguali quindi le espressioni sono equivalenti

44

45

46

47

48 49

50

51

52

53

54

55

56

57

COME SI FA

colonne uguali

12

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

bull Utilizziamo le proprietagrave delle operazioni logiche per passare da unrsquoespressione allrsquoaltra attraverso espres-sioni equivalenti

( ) ( ) ( )B B A B B A B B A B A B0 0 0 0 0= = =

Verifica le seguenti equivalenze utilizzando il metodo che preferisci( ) ( )A B A A A B0 0 =

( ) ( )B B A B B A 0 0 =

A B B A B 0 0=

( )A B B A B0 =

( ) ( )A B A A A B0 0 =

( ) ( ) ( ) ( )A B A B B A A B0 0 0 =

Utilizzando le tavole di veritagrave verifica le seguenti equivalenzeB A A B = B A A B A B 0 0=

( ) ( )A B C A B C =

TAUTOLOGIE E CONTRADDIZIONIAL VOLO Stabilisci se le seguenti espressioni sono tautologie o contraddizioni

a ( )B B B0 b ( ) ( )A A A A0 c C C) d A A)

Utilizzando le tavole di veritagrave stabilisci quali fra le seguenti sono tautologie e quali contraddizioni( )B B A 0 A A B ( )A B A B0 0

( )B B B [( ) ]A B A A ( ) ( )B C C B

Fra le seguenti espressioni indica quali sono tautologie quali contraddizioni e quali non sono neacute tautologie neacute contraddizioni A A A B A0 A A) B B) A B B

Senza utilizzare le tavole di veritagrave individua fra le seguenti proposizioni una tautologia e una contraddizio-ne spiega il tuo ragionamento Verifica poi le tue risposte compilando le tavole di veritagrave

( ) ( )A B A B0 0 B B A A0 A B B A0 A A B B)0

SCHEMI DI RAGIONAMENTOTEST Quale fra i seguenti non egrave un ragionamento valido laquoSe non accordo la chitarra non suonoraquoA Suono quindi accordo la chitarraB Se suono allora accordo la chitarra

C Accordo la chitarra quindi suonoD Non accordo la chitarra quindi non suono

SPIEGALO TU Percheacute i seguenti ragionamenti non sono validia laquoSe un cane abbaia allora non morde Quel cane non abbaia allora morderaquob laquoSe lrsquoacqua non bolle la pasta non cuoce Lrsquoacqua bolle allora la pasta cuoceraquo

Verifica che la legge di contrapposizione ( ) ( )A B B A egrave uno schema di ragionamento valido

negazione della negazione

2a legge di De Morgan commutativa della disgiunzione

58

59

60

61

62

63

64 65 66

67

68

69

70

71

72

73

74

13

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Il seguente ragionamento egrave valido mostralo con lrsquoaiuto di un diagramma di VennlaquoOgni multiplo di 12 egrave multiplo di 6raquolaquoOgni multiplo di 6 egrave multiplo di 3raquo

laquoOgni multiplo di 12 egrave multiplo di 3raquo

Riconoscere uno schema

Riconosciamo lo schema applicato in laquoSe un numero egrave una potenza di 3 allora non egrave pariraquo laquoUn numero egrave pari quindi non egrave una potenza di 3raquo

Scriviamo in simboli

laquoSe un numero egrave una potenza di 3 allora non egrave pariraquo A BlaquoUn numero egrave pari hellip B

hellipquindihellip

hellipnon egrave una potenza di 3raquo A

Lo schema di ragionamento egrave [( ) ]A B B A Poicheacute B egrave la negazione di ( )B B B= lo schema egrave il modus tollens

Riconosci gli schemi di ragionamento applicati scrivendo ognuno di essi in forma simbolicalaquoSe non hai il biglietto dellrsquoautobus prendi la multaraquolaquoNon prendi la multa quindi hai il biglietto dellrsquoautobusraquo

laquoSe arrivi in ritardo non entri a teatroraquolaquoArrivi in ritardo quindi non entri a teatroraquo

laquoSe passo col rosso mi ferma il vigile se mi ferma il vigile pagoraquolaquoSe passo col rosso pagoraquo

laquoSe penso allora sonoraquolaquoSe non sono allora non pensoraquo

laquoSe ingrasso non entro nei pantaloni se non entro nei pantaloni devo rifare il guardarobaraquolaquoSe ingrasso devo rifare il guardarobaraquo

laquoSe ho il foglio protocollo a righe crsquoegrave il temaraquolaquoNon crsquoegrave il tema quindi non ho il foglio protocollo a righeraquo

laquoSe lavo i vetri piove se piove i vetri si sporcanoraquolaquoSe lavo i vetri i vetri si sporcanoraquo

laquoSe sono bassa salgo sulla sediaraquolaquoSono bassa quindi salgo sulla sediaraquo

laquoSe un numero egrave naturale allora egrave intero se un numero egrave intero allora egrave razionaleraquolaquoSe un numero non egrave razionale allora non egrave naturaleraquo

75

COME SI FA

A laquoUn numero egrave una potenza di 3raquo B laquoUn numero egrave pariraquo

B

A

76

77

78

79

80

81

82

83

84

14

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Stabilisci se i seguenti ragionamenti sono validi e in caso affermativo indicane il tipolaquoSe suona il telefono rispondoraquolaquoNon rispondo quindi non suona il telefonoraquo

laquoSe accendo il forno non avvio la lavastoviglie se non avvio la lavastoviglie i piatti restano sporchiraquolaquoSe accendo il forno i piatti restano sporchiraquo

laquoSe il gatto miagola ha fameraquolaquoSe il gatto non ha fame non miagolaraquo

laquoSe il triangolo egrave rettangolo applico il teorema di PitagoraraquolaquoIl triangolo egrave rettangolo quindi applico il teorema di Pitagoraraquo

Applica il modus ponens il modus tollens e la legge di contrapposizione alle seguenti premessea laquoSe un rombo ha gli angoli congruenti allora egrave un quadratoraquob laquoSe in ogni materia la media dei miei voti egrave maggiore o uguale a 6 vengo promossoraquo

RIEPILOGO Altri esercizi di logicaEnunciati e connettivi logici

TEST Solo una delle seguenti frasi egrave un enunciato logico QualeA laquoStrano esercizioraquoB laquoLa risposta a questo esercizio egrave la Craquo

C laquoQuale esercizioraquoD laquoQuesto esercizio non mi piaceraquo

VERO O FALSO Egrave un enunciato logicoa laquoOggi vieni a giocare a calcio con noiraquo V F

b laquo15 egrave un multiplo di 2raquo V F

c laquoLa mia borsa egrave molto voluminosaraquo V F

d laquoCorriraquo V F

e laquoTutti i poligoni hanno 4 latiraquo V F

f laquo 10 5 2= raquo V F

g laquoPer favore sii puntualeraquo V F

h laquoChe cosa farai per il tuo compleannoraquo V F

Stabilisci quali tra i seguenti sono enunciati logici Per quelli che lo sono indica il valore di veritagravea laquoeuro 15 egrave un prezzo basso per una T-shirtraquo

b laquo2 44 21 raquo

c laquoIl doppio di 43 egrave 15raquo

d laquoMarzo ha 30 giorniraquo

Attribuisci a ciascuna delle seguenti proposizioni il valore di veritagravea laquoTutti i multipli di 4 sono anche multipli di 16raquob laquoLrsquouguaglianza x 62 = non egrave mai verificata

in Nraquoc laquoIl prodotto di due numeri dispari egrave sempre

un numero pariraquod laquoVenere egrave una stellaraquoe laquoIl rettangolo egrave un particolare parallelo-

grammaraquo

a laquoLa disuguaglianza x7 02+ puograve non esse-re verificata in Nraquo

b laquoIl massimo comune divisore fra due nume-ri pari egrave un numero pariraquo

c laquoIl Sole egrave un satellite del pianeta Terraraquod laquoLrsquoopposto di 4 egrave 4

1 raquoe laquoIl prodotto cartesiano tra insiemi egrave com-

mutativoraquo

85

86

87

88

89

90

91

92

93 94

15

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

COMPLETA le seguenti frasi in modo che risultino enunciati veria laquoIl numero egrave maggiore di 0raquob laquoLrsquouguaglianza egrave sempre verificata in Qraquoc laquoI numeri sono i divisori di 42raquod laquoIl numero egrave pari e multiplo di 7raquoe laquoOgni ha tre angoli congruentiraquo

Compila le tabelle a doppia entrata relative a congiunzione disgiunzione inclusiva disgiunzione esclusiva implicazione materiale coimplicazione materiale

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Le seguenti proposizioni sono proposizioni composte costituite da enunciati distinti (componenti) legati da connettivi logici Riscrivile in simboli indicando con una lettera maiuscola ogni componentea laquoTorino egrave una cittagrave piemontese ed egrave stata la prima capitale drsquoItaliaraquob laquoI palloni da calcio non sono sferici e nemmeno quelli da basketraquoc laquoIl numero 7 egrave positivo ed egrave un numero primoraquod laquoUn numero o egrave pari o egrave 42raquoe laquoI giorni dellrsquoanno sono 365 o 366raquof laquoO vado al mare o sul Monte Biancoraquog laquoIl numero 2 egrave minore di 3 e metagrave di 4raquo

Dati gli enunciati A laquo7 egrave il quarto numero primoraquo e B laquo7 egrave un divisore di 165raquo attribuisci il valore di veritagrave aa A B0 b A B c A B0 d A B e B A)

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE Considera le seguenti proposizioni tutte vereA laquosono in vacanzaraquo B laquonon lavororaquo C laquofaccio delle passeggiateraquo D laquosono al mareraquoTraduci in parole le seguenti proposizioni e determina il loro valore di veritagrave

B C A C D B C B A B0 D C A D0 A C

SPIEGALO TU Considera gli enunciati A laquoLaura ha 18 anniraquo e B laquoLaura ha la patenteraquo In quali casi gli enunciati A B e A B0 sono veri e in quali falsi E A B

INTORNO A NOI Tre imputati di un delitto Aldo Bruno e Carlo rilasciano le seguenti dichiarazioniAldo laquoNon sono colpevoleraquo Bruno laquoIl colpevole egrave Carloraquo Carlo laquoIl colpevole egrave AldoraquoSe sappiamo che uno solo dei tre imputati ha dichiarato il falso chi egrave il colpevole

Enunciati e quantificatoriINVALSI 2013 Indica se ciascuna delle seguenti proposizioni egrave vera o falsa

a Se un numero egrave multiplo di 9 allora egrave multiplo di 3 V F

b Un numero egrave multiplo di 6 solo se egrave pari V F

c Un numero egrave multiplo di 5 se e solo se egrave multiplo di 10 V F

d Se un numero egrave pari allora egrave multiplo di 4 V F

TEST Lrsquoenunciato aperto A(x) laquox 1- egrave un numero naturaleraquo con x N si trasforma in un enunciato vero in uno solo dei seguenti modi qualeA Sostituendo a x il valore 1- C Sostituendo a x il valore 0B Sostituendo a x il valore 1 D Lrsquoinsieme di veritagrave coincide con lrsquoinsieme universo

95

96

97

98

99 100

101

102

103

104

16

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

FAI UN ESEMPIO Fai un esempio di enunciato aperto e opportuno insieme universo per i quali le propo-sizioni ottenute con i quantificatori risultinoa entrambe vere b entrambe false

Per ognuno dei seguenti enunciati aperti scegli un dominio U appropriato e individua un suo elemento che rende vero lrsquoenunciato e uno che lo rende falso scrivi le proposizioni per tali elementi

A(x) laquox egrave una persona con la patenteraquoB(x) laquox egrave un felinoraquo

A(x) laquox egrave una verdura verderaquoB(y) laquoIl fiume Po attraversa la regione yraquoC(z) laquoz egrave un monte italianoraquo

Consideriamo i tre enunciati apertiA(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un multiplo di 5raquo C(x) laquox egrave un multiplo di 4raquoe come dominio U lrsquoinsieme N dei numeri naturali minori o uguali a 20

Rappresentiamo con un diagramma di Venn lrsquoinsieme di veritagravea dei tre enunciati b di ( ) ( ) ( )A x B x C x e di ( ) ( )A x B x0

UA

B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713 UA

B A(x) v B(x) verain A U B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713

A(x) v (B(x) C(x)vera in A U B U C

v vU U

ndashndash

Per ogni terna A(x) B(x) C(x) dato il dominio U indicato rappresenta con diagrammi di Venn lrsquoin-sieme di veritagrave a dei tre enunciati b degli enunciati ( )C x ( ) ( )A x B x0 ( ) ( )A x C x ( ) ( )A x C x0 ( ) ( ) ( )[ ]A x C x B x0

A(x) laquox egrave un poligono equilateroraquo B(x) laquox egrave un rettangoloraquo C(x) laquox egrave un quadratoraquo U egrave lrsquoinsieme dei poligoni

A(x) laquox egrave un uomoraquo B(x) laquox egrave una donnaraquo C(x) laquox egrave suoceraraquo U egrave lrsquoinsieme delle persone

A(x) laquox egrave un erbivororaquo B(x) laquox egrave un carnivororaquo C(x) laquox egrave un onnivororaquo U egrave lrsquoinsieme degli animali

INVALSI 2003 Quale delle seguenti affermazioni egrave falsaA Alcuni multipli di 4 sono anche multipli di 8B Tutti i multipli di 8 sono anche multipli di 4C Tutti i numeri pari sono fra i multipli di 8

D Alcuni numeri pari non sono multipli di 8E Alcuni numeri pari sono multipli di 8

INVALSI 2004 Quale delle seguenti proposizioni egrave veraA Ogni numero intero divisibile per 3 egrave divisibile per 9B Ogni numero intero divisibile per 4 egrave divisibile per 2C Se il prodotto di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno dei due interi egrave divisibile per 5D Se la somma di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno degli addendi egrave divisibile per 5

105

106 107

COME SI FA

108

109

110

111

112

17

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

INVALSI 2004 Osserva le figure Quale delle seguenti affer-mazioni egrave falsaA Non tutti i quadrati sono bianchiB Qualche triangolo egrave neroC Almeno un cerchio egrave neroD Non tutti i cerchi sono bianchi

Indica per ogni enunciato il suo valore di veritagravea x Z6 x 3 0+ = b x xN7 egrave un numero primoc x xrette del piano7 egrave parallela a una retta r datad x Z6 x 022

TEST Dato il dominio U composto dalle figure del piano e lrsquoenunciato A(x) laquox egrave un quadrilateroraquo con x U quale enunciato egrave falsoA x U6 x egrave un quadrilateroB x A6 x egrave una figura del piano

C x U x7 egrave un quadrilateroD x A x7 egrave una figura del piano

TEST Quale delle seguenti egrave equivalente alla proposizione laquoSe un numero egrave divisibile per 18 allora egrave divi-sibile per 2 e per 3raquoA laquoSe un numero non egrave divisibile per 18 allora non egrave divisibile per 2 e per 3raquoB laquoSe un numero egrave divisibile per 2 e per 3 allora egrave divisibile per 18raquoC laquoSe un numero non egrave divisibile neacute per 2 neacute per 3 allora non egrave divisibile per 18raquoD laquoSe un numero non egrave divisibile per 2 o per 3 allora non egrave divisibile per 18raquo

Scriviamo le proposizioni che si ottengono dallrsquoenunciato ( )A x laquox egrave minore del suo doppioraquo utilizzando i quantificatori 6 e 7 nellrsquoinsieme universo U dei numeri interi Stabiliamo il valore di veritagrave delle proposizioni ottenute

quantificatore proposizione valore di veritagrave6 x U6 x x21 F7 x U x x27 1 V

Per ognuno dei seguenti enunciati scrivi le proposizioni che si ottengono utilizzando i quantificatori 6 e 7 e stabilisci il corrispondente valore di veritagrave

U x xN= egrave multiplo di 8 A(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un divisore di 16raquo ( )B x

U x x= egrave un felino A(x) laquox egrave una linceraquo B(x) laquox egrave un quadrupederaquo ( )B x

U x x= egrave una figura piana di area 16 A(x) laquox egrave un quadratoraquo B(x) laquox egrave un cerchioraquo C(x) laquox egrave un rettangolo di dimensioni 2 e 8raquo

Sia lrsquoinsieme N dei numeri naturali lrsquoinsieme in cui si considera la variabile x Lrsquoespressione laquoNon esiste alcun numero naturale n che moltiplicato per un numero naturale x qualsiasi dia come risultato x stessoraquo di quale tra le seguenti proposizioni logiche egrave la traduzione Tale proposizione egrave vera o falsaA ( )n x n x xN N $b 7 = B n N6 x n x xN $b = C n xN Nb 6 n x x$ =

113

114

115

116

COME SI FA

per esempio ndash3 Z ma ndash3 gt 2 sdot (ndash3)

per esempio 2 Z e 2 lt 2 sdot 2

117

118

119

120

18

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Sono date le proposizioni

A laquoOgni pagina del libro ha una figuraraquo

B laquoEsiste una pagina del libro in cui non compare il colore bluraquo

Scriviamo la loro negazioneA laquoEsiste una pagina del libro che non ha una figuraraquo

B laquoIn ogni pagina del libro compare il colore bluraquo

Per ognuna delle seguenti proposizioni scrivi la negazionelaquoOgni tavolo ha quattro gamberaquo

laquoNon esiste un multiplo di 5 che non termina per 0raquo

laquoTutti i numeri naturali sono interiraquo

laquoEsiste un numero naturale che egrave minore del suo cuboraquo

INVALSI 2012 Quale tra le seguenti frasi egrave la negazione della proposizione laquoTutti i numeri naturali sono dispariraquoA Tutti i numeri naturali sono pariB Nessun numero naturale egrave dispariC Almeno un numero naturale non egrave dispariD Qualche numero naturale egrave dispari

IN GARA Nel paese di Oz oltre alle persone normali (che possono mentire o dire la veritagrave) vivono cava-lieri (che dicono sempre la veritagrave) e furfanti (che mentono sempre) Una strana legge impone che in ogni matrimonio i coniugi siano entrambi normali oppure uno cavaliere e lrsquoaltro furfante Arrivati alla villetta bifamiliare dei coniugi Allegri e Bianchi chiedete se il sig Bianchi che egrave assente egrave un cavaliere ottenendo risposta affermativa sia dalla sigra Bianchi sia da entrambi i coniugi Allegri Che cosa potete concludere riguardo ai sig BianchiA Il sig Bianchi egrave un cavaliereB Il sig Bianchi egrave un furfanteC Il sig Bianchi egrave normaleD Egrave impossibile che le risposte date siano quelle riportateE Non potete concludere nulla

[Olimpiadi di matematica italiane Gara di 2deg livello Biennio 2003]

COME SI FA

X

Y

X

Y

121

122

123

124

125

126

5

TEORIA

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Modus ponensLo schema di ragionamento dellrsquoesempio che abbiamo esaminato si chiama modus ponens Possiamo scriverlo con lrsquoespressione

[( ) ]A B A B si legge A implica B e A implica B

Modus tollensEsaminiamo ora il seguente ragionamento

Se guido allora ho la patente A BB

A

conA laquoguidoraquoB laquoho la patenteraquo

Non ho la patente premessequindinon guido conclusione

Lo schema di ragionamento di questo esempio egrave detto modus tollens e puograve essere scritto mediante lrsquoespressione logica

( )[ ]A B B A Uno schema di ragionamento egrave valido se e solo se la sua espressione logica egrave una tautologia

A BA

B

modus ponens

A BB

A

modus tollens

6

ES

ER

CIZ

I

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

ESERCIZI

1 Implicazione e coimplicazioneTRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Scrivi in simboli le seguenti proposizioni laquoIl numero 18 egrave divisibile

per 6 se e solo se 18 egrave divisibile per 3 e per 2raquo e laquoUn rombo egrave un quadrato se ha tutti gli angoli congruentiraquo

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE Considera le proposizioni laquo3 9raquoA 2 B laquo3 egrave un numero primoraquo e C laquo9 32= raquo Traduci in parole le seguenti proposizioni e attribuisci a ciascuna di esse il valore di veritagrave

A B B A A B) C B) C B

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Le seguenti proposizioni sono proposizioni composte costituite da enunciati distinti (componenti) legati da connettivi logici Riscrivile in simboli indicando con una lettera maiuscola ogni componentea laquoSe 17 egrave un numero egrave primo allora 17 ha esattamente due divisoriraquob laquoSe MCD(12 28) = 4 i due numeri 12 e 28 sono pariraquoc laquoUn rombo egrave un quadrato se e solo se ha tutti gli angoli rettiraquod laquoSe il numero 264 egrave multiplo di 88 allora 264 egrave pariraquoe laquoIl reciproco del numero 8 esiste se e solo se il numero 8 egrave diverso da 0raquof laquoVado a scuola in bicicletta se e solo se il cielo egrave serenoraquog laquoSe 3 51 allora 3

1512 raquo

2 Espressioni logiche e schemi di ragionamento

ESPRESSIONI LOGICHETRADUCI in parole le espressioni che seguono considerando gli enunciati A B e C

A laquoVado in vacanza in montagnaraquo B laquoLeggo molti libriraquo C laquoVado in vacanza al mareraquoA B A B A B A B C B C B A C A C0

A laquoIl numero 56 egrave pariraquo B laquoIl numero 56 egrave divisibile per 7raquo C laquoIl numero 56 egrave il risultato di 7 8$ raquoA B C B C A B C 0 A C A B C

A laquoCompro il giornaleraquo B laquoCompro il paneraquo C laquoCompro un paio di scarperaquoA C0 A B0 C B0 A B0 ( )A C B0

A laquoTelefono a Marcoraquo B laquoNon vado al corso di musicaraquo C laquoStudio storiaraquoA B B C A C A B C C B A B A B A B C

1

2 3 4 5 6

7

8

9

10

11

7

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE le proposizioni composte indicate e attribuisci a ciascuna di esse il valore di veritagrave

A laquoIl quadrato ha tre angoliraquo B laquoLrsquoesagono regolare ha tutti i lati ugualiraquo C laquoIl quadrato non egrave un rettangoloraquo( )A B B0 B C0 B C0 ( )A B B0 ( )C B B 0 A B C0 0

C A B) 0

A laquo9 182 = raquo B laquo12 6 2$= raquo C laquo4 2 6+ raquoA B C 0

B C A B A C) ( )A B C)0 ( )B A C

A laquo5 egrave maggiore di 6raquo B laquo 31 egrave un numero interoraquo C laquo12 egrave un numero pariraquo

A B B C A B0 A C0 A B C A0 A C0 A B B C0 B C

A laquo5 71 raquo B laquoFebbraio egrave il primo mese dellrsquoannoraquo C laquoFebbraio egrave il mese con piugrave giorniraquo D laquo7 egrave un numero primoraquoA C B D0 C D D B0 A B0 A D C B0 B C

A laquoLa somma di 2 e 3 egrave 5raquo B laquoIl prodotto di 2 e 3 egrave 8raquo C laquo2 egrave maggiore di 3raquoA C0 B C0 A B0 A B A B0 A C0 B C0 A C B C B C

A laquo18 egrave un multiplo di 6raquo B laquo6 non egrave un divisore di 24raquo C laquo9 egrave un numero primoraquoA B C A B ( )A B C A C B C ( )A C B

A laquo 41 egrave un quadrato perfettoraquo B laquo21 egrave un numero primoraquo C laquo7 egrave un divisore di 28raquo

A B0 B C A C0 A C A B C0 0

A laquo12 111 egrave un multiplo di 11raquo B laquo66 egrave un multiplo di 6raquo C laquo12 111 e 66 sono primi tra lororaquoA B0 B C0 A C A B C 0 A B C0 0

A B C0

A laquoI giorni dellrsquoanno sono 300raquo B laquoI mesi dellrsquoanno sono 13raquo C laquoI giorni della settimana sono 7raquoA B C0 0 A C B0 0 A B C0 A B C 0 A B C0 0 A B C A B C0

Attribuisci il valore di veritagrave agli enunciati A laquo5 egrave un numero pariraquo B laquo 25 egrave un numero razionaleraquo

C laquo15 15= raquo e poi stabilisci il valore di veritagrave delle seguenti espressionia A B0 ( )A B C0

( )A B C0 0

b ( )A B C0 0 ( )A B C0 0

( )A B C0 0 ( )A B C0

Dati gli enunciati A laquo 51 5 1$ = raquo B laquo5 10 = raquo e C laquo2 86 3= raquo traduci in parole i seguenti enunciati e attri-

buisci a ciascuno di essi il valore di veritagraveA B) A C) B A C) 0 B A A C)0 ( )[ ]C A B C )0

Attribuisci il valore di veritagrave ad A B e C quindi determina il valore di veritagrave delle espressioni indicateA laquo12 ha sei divisoriraquo B laquo14 e 27 sono primi tra lororaquo C laquoIl triangolo ha 4 angoliraquoa A C B b ( )A C B0 c A B C

Attribuisci il valore di veritagrave ad A B C quindi determina il valore di veritagrave delle espressioni indicateA laquo7 egrave un divisore di 2870raquo B laquo9185 egrave un multiplo di 11raquo C laquo6303 egrave divisibile per 6raquoa A B A B0 A C A C B C A B B A) b ( ) CA B0

[( ) ] ( )A A B C B A A B) 0 0 0

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

8

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE Dati gli enunciati A laquoOggi fa caldoraquo B laquoOggi pioveraquo C laquoEsco con lrsquoombrelloraquo e D laquoVado a scuola in biciclettaraquo traduci in parole le seguenti espressioni

A B C B D A C A A D) DB A D C) D B A 0

Scriviamo in simboli lrsquoespressione laquoSe 187 11 17$= 187 non egrave un numero primo ed egrave multiplo di 11raquoIndichiamo con una variabile logica ogni enunciato componente

laquoSe 187 11 17$= (allora) 187 non egrave un numero primo ed egrave multiplo di 11raquo

In simboli ( )A B C

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Riscrivi in simboli le seguenti espressioni indicando con una variabile logica ogni enunciato componente

a laquoLuisa va al mare ma non fa il bagnoraquob laquoOggi vedo Stefano e lo invito a cenaraquoc laquoMaria non legge giornali e non guarda la televisioneraquo

d laquoIl numero 57 non egrave razionale egrave positivo e maggiore di 1raquo

e laquoLuca deve risolvere un problema portare fuori il cane telefonare a Rita e a Paoloraquo

a laquoIl cubo egrave un solido ha otto facce e le sue facce sono quadratiraquob laquoIl numero 6 non egrave divisibile per 4 ed egrave pariraquoc laquoNon egrave vero che o porti la pizza o non partecipi alla festaraquod laquo18 egrave multiplo di 9 divisore di 36 ma non egrave divisibile per 5raquo

a laquoSe non pianto la tenda e piove il sacco a pelo si bagnaraquob laquoSe r egrave parallela a s e s egrave parallela a t allora r egrave parallela a traquoc laquoSe vai in palestra non ci vediamo e non fai i compitiraquod laquoIl libro egrave tuo se e solo se lrsquoarancione non egrave il tuo colore preferitoraquo

YOU amp MATHS Write the sentences below in terms of the followingr strawberries are ripe along the path b snails have been seen in the area w walking on the path is safea Strawberries are ripe along the path and snails have not been seen in the areab Snails have not been seen in the area and walking on the path is safe and strawberries are ripe along the pathc If strawberries are ripe along the path then walking is safe if and only if snails have not been seen in the aread It is not safe to walk along the path snails have not been seen in the area and the strawberries along

the path are ripe

INTORNO A NOI Negli ascensori di solito egrave presente unrsquoetichetta con una frase simile a quella indicata a lato Individua tre propo-sizioni P Q R in modo da poter scrivere lrsquoavviso come espressione in cui P Q e R sono legate con connettivi logici Qual egrave lrsquoespressio-ne in simboli

25 26

COME SI FA

implicazione materiale

A laquo187 = 11 17raquo

negazione

B laquo187 egrave un numero primoraquo

congiunzione

C laquo187 egrave multiplo di 11raquo

27

28

29

30

31NON POSSONO USARE LrsquoASCENSORE

PERSONE MINORI DI 12 ANNISE NON ACCOMPAGNATE

9

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

TRADUCI Considera le seguenti proposizioni A laquoSabato telefono a Ugoraquo B laquoSabato Ugo mi telefonaraquo C laquoSabato finisco il lavororaquo D laquoSabato guardo la TVraquoa Traduci in parole le proposizioni

A D0 B C B B0 A C D C B C) A B0 ( )D C A ( ) ( )A B C D

b Traduci le seguenti proposizioni composte in simboli laquoSabato se Ugo mi telefona finisco il lavoro e non guardo la TVraquo laquoSabato finisco il lavoro o guardo la TV e non telefono a Ugoraquo laquoSabato se Ugo non mi telefona io telefono a Ugo e finisco il lavororaquo laquoSabato o telefono a Ugo o mi telefona lui e finisco il lavororaquo

INTORNO A NOI Sono date le proposizioniA laquoIl mio cane abbaiaraquoB laquoLa luna egrave pienaraquo

C laquoPioveraquoD laquoIl mio cane ulularaquo

Utilizza le variabili logiche e i connettivi adeguati per rappresentare schematicamente le seguenti proposizionia laquoSe la luna egrave piena il mio cane o abbaia o ulularaquob laquoChe piova o che la luna sia piena il mio cane abbaiaraquoc laquoSe il mio cane ulula allora la luna egrave piena e se piove allora il mio cane abbaiaraquo

Espressioni e valori di veritagrave

Consideriamo le proposizioni A laquo63 egrave un multiplo di 7raquo B laquo3 egrave un divisore di 63raquo e C laquo63 egrave un numero pariraquo

Stabiliamo il valore di veritagrave di A B B C0 B C A0

Costruiamo la tavola di veritagrave

A B C A B A B B C B C0 B C0 B C A0

V V F V F F V V F V

Espressioni e tavole di veritagraveCACCIA ALLrsquoERRORE Esamina la seguente tavola di veritagrave e scopri in essa almeno cinque errori

A B C A B C A0 C B0 C A C B0 0 ( ) [ ]A B C A C B 0 0

V V V V V V V VV V F V V V V VV F V F F V V VV F F V V F F VF V V V V V V VF V F V F F F VF F V V V V F VF F F V F F V V

32

33

COME SI FA

63 non egrave un numero pari63 3 = 2163 = 7 9

34

10

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

COMPLETA la seguente tavola di veritagrave inserendo lrsquoespressione corretta scelta fra( )A B C 0 ( )A B C ( )A B C 0

A B C0

A B CV V V VV V F FV F V FV F F VF V V FF V F VF F V FF F F V

COMPLETA la seguente tavola inserendo i valori di veritagrave e gli operatori mancanti

A B A B A B A B0 A BV V F V

F F F VF F V V

F V V F

Date due proposizioni generiche A e B costruiamo la tavola di veritagrave dellrsquoespressione ( )A B A0

A B A B A ( )A B A0

V V F V VV F F F FF V V F VF F V F V

tutti i possibili casi per A e B aggiungiamo le colonne A e B A

Per ciascuna delle seguenti espressioni costruisci la tavola di veritagrave considerando A e B proposizioni generiche

A B A B A B A B0 A B0

A B0 A B0 A B0 A B0 A B0

A B A B A B A B

A B) A B) A B) A B)

A B A A B ( )A A B ( )A B B

A B0 A A B0 0 ( )A A B0 0 ( )A B B0 0

A A B 0 A A B 0 ( )A B B0 ( )A B B0

35

36

COME SI FA

37

38

39

40

41

42

43

11

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Per ciascuna delle seguenti espressioni costruisci la tavola di veritagrave considerando A e B e C proposizioni generiche

( )A B C0 ( )A B C 0 ( ) ( )A B C A 0

( )B A C0 ( )A B C0 ( ) ( )A CC B) )

( )B CA 0 ( )B C A 0 A B C 0

( )B C A ( ) ( )A C B C0 ( )A CB)

VERO O FALSO Considera A e B proposizioni generichea Se A egrave falsa allora anche A egrave falsa V F

b Se A B egrave falsa allora o A o B egrave falsa V F

c A B0 egrave vera se e solo se A e B non sono entrambe vere o entrambe false V F

d Se A e B sono false allora ( ) ( )A B A B0 0

egrave falsa V F

VERO O FALSO a Se A B) egrave falsa allora A e B non sono

entrambe vere o entrambe false V F

b A B egrave falsa se e solo se A egrave vera V F

c A B non puograve essere falsa se A egrave falsa V F

d A B) egrave vera se e solo se anche A e B lo sono V F

PROPRIETAgrave DELLE OPERAZIONI LOGICHEEnuncia le seguenti proprietagrave delle operazioni logiche e verificale utilizzando una tavola di veritagrave

Negazione della negazione

Idempotenza della disgiunzione

Commutativa della disgiunzione

Associativa della congiunzione

Distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione

Distributiva della disgiunzione rispetto alla congiunzione

FAI UN ESEMPIO di applicazione della seconda legge di De Morgan e verifica poi la legge mediante la tavola di veritagrave

EquivalenzeTEST Dato lrsquoenunciato laquoNon egrave vero che 2- non egrave un numero pariraquo quale dei seguenti egrave equivalenteA laquo 2- non egrave un numero pariraquoB laquoNon egrave vero che 2- egrave un numero pariraquo

C laquo 2- egrave un numero pariraquoD laquo 2- non egrave un numero non pariraquo

Verifichiamo che ( )B B A B A B0 0 0= Possiamo procedere in due modi bull Compiliamo la tavola di veritagrave

A B A B A0 B A0 ( )B B A0 0 B B A B A B 0

V V F V F V F F VV F F F V V V V VF V V V F V F F VF F V V F F V F F

Le colonne relative alle due espressioni sono uguali quindi le espressioni sono equivalenti

44

45

46

47

48 49

50

51

52

53

54

55

56

57

COME SI FA

colonne uguali

12

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

bull Utilizziamo le proprietagrave delle operazioni logiche per passare da unrsquoespressione allrsquoaltra attraverso espres-sioni equivalenti

( ) ( ) ( )B B A B B A B B A B A B0 0 0 0 0= = =

Verifica le seguenti equivalenze utilizzando il metodo che preferisci( ) ( )A B A A A B0 0 =

( ) ( )B B A B B A 0 0 =

A B B A B 0 0=

( )A B B A B0 =

( ) ( )A B A A A B0 0 =

( ) ( ) ( ) ( )A B A B B A A B0 0 0 =

Utilizzando le tavole di veritagrave verifica le seguenti equivalenzeB A A B = B A A B A B 0 0=

( ) ( )A B C A B C =

TAUTOLOGIE E CONTRADDIZIONIAL VOLO Stabilisci se le seguenti espressioni sono tautologie o contraddizioni

a ( )B B B0 b ( ) ( )A A A A0 c C C) d A A)

Utilizzando le tavole di veritagrave stabilisci quali fra le seguenti sono tautologie e quali contraddizioni( )B B A 0 A A B ( )A B A B0 0

( )B B B [( ) ]A B A A ( ) ( )B C C B

Fra le seguenti espressioni indica quali sono tautologie quali contraddizioni e quali non sono neacute tautologie neacute contraddizioni A A A B A0 A A) B B) A B B

Senza utilizzare le tavole di veritagrave individua fra le seguenti proposizioni una tautologia e una contraddizio-ne spiega il tuo ragionamento Verifica poi le tue risposte compilando le tavole di veritagrave

( ) ( )A B A B0 0 B B A A0 A B B A0 A A B B)0

SCHEMI DI RAGIONAMENTOTEST Quale fra i seguenti non egrave un ragionamento valido laquoSe non accordo la chitarra non suonoraquoA Suono quindi accordo la chitarraB Se suono allora accordo la chitarra

C Accordo la chitarra quindi suonoD Non accordo la chitarra quindi non suono

SPIEGALO TU Percheacute i seguenti ragionamenti non sono validia laquoSe un cane abbaia allora non morde Quel cane non abbaia allora morderaquob laquoSe lrsquoacqua non bolle la pasta non cuoce Lrsquoacqua bolle allora la pasta cuoceraquo

Verifica che la legge di contrapposizione ( ) ( )A B B A egrave uno schema di ragionamento valido

negazione della negazione

2a legge di De Morgan commutativa della disgiunzione

58

59

60

61

62

63

64 65 66

67

68

69

70

71

72

73

74

13

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Il seguente ragionamento egrave valido mostralo con lrsquoaiuto di un diagramma di VennlaquoOgni multiplo di 12 egrave multiplo di 6raquolaquoOgni multiplo di 6 egrave multiplo di 3raquo

laquoOgni multiplo di 12 egrave multiplo di 3raquo

Riconoscere uno schema

Riconosciamo lo schema applicato in laquoSe un numero egrave una potenza di 3 allora non egrave pariraquo laquoUn numero egrave pari quindi non egrave una potenza di 3raquo

Scriviamo in simboli

laquoSe un numero egrave una potenza di 3 allora non egrave pariraquo A BlaquoUn numero egrave pari hellip B

hellipquindihellip

hellipnon egrave una potenza di 3raquo A

Lo schema di ragionamento egrave [( ) ]A B B A Poicheacute B egrave la negazione di ( )B B B= lo schema egrave il modus tollens

Riconosci gli schemi di ragionamento applicati scrivendo ognuno di essi in forma simbolicalaquoSe non hai il biglietto dellrsquoautobus prendi la multaraquolaquoNon prendi la multa quindi hai il biglietto dellrsquoautobusraquo

laquoSe arrivi in ritardo non entri a teatroraquolaquoArrivi in ritardo quindi non entri a teatroraquo

laquoSe passo col rosso mi ferma il vigile se mi ferma il vigile pagoraquolaquoSe passo col rosso pagoraquo

laquoSe penso allora sonoraquolaquoSe non sono allora non pensoraquo

laquoSe ingrasso non entro nei pantaloni se non entro nei pantaloni devo rifare il guardarobaraquolaquoSe ingrasso devo rifare il guardarobaraquo

laquoSe ho il foglio protocollo a righe crsquoegrave il temaraquolaquoNon crsquoegrave il tema quindi non ho il foglio protocollo a righeraquo

laquoSe lavo i vetri piove se piove i vetri si sporcanoraquolaquoSe lavo i vetri i vetri si sporcanoraquo

laquoSe sono bassa salgo sulla sediaraquolaquoSono bassa quindi salgo sulla sediaraquo

laquoSe un numero egrave naturale allora egrave intero se un numero egrave intero allora egrave razionaleraquolaquoSe un numero non egrave razionale allora non egrave naturaleraquo

75

COME SI FA

A laquoUn numero egrave una potenza di 3raquo B laquoUn numero egrave pariraquo

B

A

76

77

78

79

80

81

82

83

84

14

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Stabilisci se i seguenti ragionamenti sono validi e in caso affermativo indicane il tipolaquoSe suona il telefono rispondoraquolaquoNon rispondo quindi non suona il telefonoraquo

laquoSe accendo il forno non avvio la lavastoviglie se non avvio la lavastoviglie i piatti restano sporchiraquolaquoSe accendo il forno i piatti restano sporchiraquo

laquoSe il gatto miagola ha fameraquolaquoSe il gatto non ha fame non miagolaraquo

laquoSe il triangolo egrave rettangolo applico il teorema di PitagoraraquolaquoIl triangolo egrave rettangolo quindi applico il teorema di Pitagoraraquo

Applica il modus ponens il modus tollens e la legge di contrapposizione alle seguenti premessea laquoSe un rombo ha gli angoli congruenti allora egrave un quadratoraquob laquoSe in ogni materia la media dei miei voti egrave maggiore o uguale a 6 vengo promossoraquo

RIEPILOGO Altri esercizi di logicaEnunciati e connettivi logici

TEST Solo una delle seguenti frasi egrave un enunciato logico QualeA laquoStrano esercizioraquoB laquoLa risposta a questo esercizio egrave la Craquo

C laquoQuale esercizioraquoD laquoQuesto esercizio non mi piaceraquo

VERO O FALSO Egrave un enunciato logicoa laquoOggi vieni a giocare a calcio con noiraquo V F

b laquo15 egrave un multiplo di 2raquo V F

c laquoLa mia borsa egrave molto voluminosaraquo V F

d laquoCorriraquo V F

e laquoTutti i poligoni hanno 4 latiraquo V F

f laquo 10 5 2= raquo V F

g laquoPer favore sii puntualeraquo V F

h laquoChe cosa farai per il tuo compleannoraquo V F

Stabilisci quali tra i seguenti sono enunciati logici Per quelli che lo sono indica il valore di veritagravea laquoeuro 15 egrave un prezzo basso per una T-shirtraquo

b laquo2 44 21 raquo

c laquoIl doppio di 43 egrave 15raquo

d laquoMarzo ha 30 giorniraquo

Attribuisci a ciascuna delle seguenti proposizioni il valore di veritagravea laquoTutti i multipli di 4 sono anche multipli di 16raquob laquoLrsquouguaglianza x 62 = non egrave mai verificata

in Nraquoc laquoIl prodotto di due numeri dispari egrave sempre

un numero pariraquod laquoVenere egrave una stellaraquoe laquoIl rettangolo egrave un particolare parallelo-

grammaraquo

a laquoLa disuguaglianza x7 02+ puograve non esse-re verificata in Nraquo

b laquoIl massimo comune divisore fra due nume-ri pari egrave un numero pariraquo

c laquoIl Sole egrave un satellite del pianeta Terraraquod laquoLrsquoopposto di 4 egrave 4

1 raquoe laquoIl prodotto cartesiano tra insiemi egrave com-

mutativoraquo

85

86

87

88

89

90

91

92

93 94

15

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

COMPLETA le seguenti frasi in modo che risultino enunciati veria laquoIl numero egrave maggiore di 0raquob laquoLrsquouguaglianza egrave sempre verificata in Qraquoc laquoI numeri sono i divisori di 42raquod laquoIl numero egrave pari e multiplo di 7raquoe laquoOgni ha tre angoli congruentiraquo

Compila le tabelle a doppia entrata relative a congiunzione disgiunzione inclusiva disgiunzione esclusiva implicazione materiale coimplicazione materiale

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Le seguenti proposizioni sono proposizioni composte costituite da enunciati distinti (componenti) legati da connettivi logici Riscrivile in simboli indicando con una lettera maiuscola ogni componentea laquoTorino egrave una cittagrave piemontese ed egrave stata la prima capitale drsquoItaliaraquob laquoI palloni da calcio non sono sferici e nemmeno quelli da basketraquoc laquoIl numero 7 egrave positivo ed egrave un numero primoraquod laquoUn numero o egrave pari o egrave 42raquoe laquoI giorni dellrsquoanno sono 365 o 366raquof laquoO vado al mare o sul Monte Biancoraquog laquoIl numero 2 egrave minore di 3 e metagrave di 4raquo

Dati gli enunciati A laquo7 egrave il quarto numero primoraquo e B laquo7 egrave un divisore di 165raquo attribuisci il valore di veritagrave aa A B0 b A B c A B0 d A B e B A)

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE Considera le seguenti proposizioni tutte vereA laquosono in vacanzaraquo B laquonon lavororaquo C laquofaccio delle passeggiateraquo D laquosono al mareraquoTraduci in parole le seguenti proposizioni e determina il loro valore di veritagrave

B C A C D B C B A B0 D C A D0 A C

SPIEGALO TU Considera gli enunciati A laquoLaura ha 18 anniraquo e B laquoLaura ha la patenteraquo In quali casi gli enunciati A B e A B0 sono veri e in quali falsi E A B

INTORNO A NOI Tre imputati di un delitto Aldo Bruno e Carlo rilasciano le seguenti dichiarazioniAldo laquoNon sono colpevoleraquo Bruno laquoIl colpevole egrave Carloraquo Carlo laquoIl colpevole egrave AldoraquoSe sappiamo che uno solo dei tre imputati ha dichiarato il falso chi egrave il colpevole

Enunciati e quantificatoriINVALSI 2013 Indica se ciascuna delle seguenti proposizioni egrave vera o falsa

a Se un numero egrave multiplo di 9 allora egrave multiplo di 3 V F

b Un numero egrave multiplo di 6 solo se egrave pari V F

c Un numero egrave multiplo di 5 se e solo se egrave multiplo di 10 V F

d Se un numero egrave pari allora egrave multiplo di 4 V F

TEST Lrsquoenunciato aperto A(x) laquox 1- egrave un numero naturaleraquo con x N si trasforma in un enunciato vero in uno solo dei seguenti modi qualeA Sostituendo a x il valore 1- C Sostituendo a x il valore 0B Sostituendo a x il valore 1 D Lrsquoinsieme di veritagrave coincide con lrsquoinsieme universo

95

96

97

98

99 100

101

102

103

104

16

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

FAI UN ESEMPIO Fai un esempio di enunciato aperto e opportuno insieme universo per i quali le propo-sizioni ottenute con i quantificatori risultinoa entrambe vere b entrambe false

Per ognuno dei seguenti enunciati aperti scegli un dominio U appropriato e individua un suo elemento che rende vero lrsquoenunciato e uno che lo rende falso scrivi le proposizioni per tali elementi

A(x) laquox egrave una persona con la patenteraquoB(x) laquox egrave un felinoraquo

A(x) laquox egrave una verdura verderaquoB(y) laquoIl fiume Po attraversa la regione yraquoC(z) laquoz egrave un monte italianoraquo

Consideriamo i tre enunciati apertiA(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un multiplo di 5raquo C(x) laquox egrave un multiplo di 4raquoe come dominio U lrsquoinsieme N dei numeri naturali minori o uguali a 20

Rappresentiamo con un diagramma di Venn lrsquoinsieme di veritagravea dei tre enunciati b di ( ) ( ) ( )A x B x C x e di ( ) ( )A x B x0

UA

B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713 UA

B A(x) v B(x) verain A U B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713

A(x) v (B(x) C(x)vera in A U B U C

v vU U

ndashndash

Per ogni terna A(x) B(x) C(x) dato il dominio U indicato rappresenta con diagrammi di Venn lrsquoin-sieme di veritagrave a dei tre enunciati b degli enunciati ( )C x ( ) ( )A x B x0 ( ) ( )A x C x ( ) ( )A x C x0 ( ) ( ) ( )[ ]A x C x B x0

A(x) laquox egrave un poligono equilateroraquo B(x) laquox egrave un rettangoloraquo C(x) laquox egrave un quadratoraquo U egrave lrsquoinsieme dei poligoni

A(x) laquox egrave un uomoraquo B(x) laquox egrave una donnaraquo C(x) laquox egrave suoceraraquo U egrave lrsquoinsieme delle persone

A(x) laquox egrave un erbivororaquo B(x) laquox egrave un carnivororaquo C(x) laquox egrave un onnivororaquo U egrave lrsquoinsieme degli animali

INVALSI 2003 Quale delle seguenti affermazioni egrave falsaA Alcuni multipli di 4 sono anche multipli di 8B Tutti i multipli di 8 sono anche multipli di 4C Tutti i numeri pari sono fra i multipli di 8

D Alcuni numeri pari non sono multipli di 8E Alcuni numeri pari sono multipli di 8

INVALSI 2004 Quale delle seguenti proposizioni egrave veraA Ogni numero intero divisibile per 3 egrave divisibile per 9B Ogni numero intero divisibile per 4 egrave divisibile per 2C Se il prodotto di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno dei due interi egrave divisibile per 5D Se la somma di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno degli addendi egrave divisibile per 5

105

106 107

COME SI FA

108

109

110

111

112

17

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

INVALSI 2004 Osserva le figure Quale delle seguenti affer-mazioni egrave falsaA Non tutti i quadrati sono bianchiB Qualche triangolo egrave neroC Almeno un cerchio egrave neroD Non tutti i cerchi sono bianchi

Indica per ogni enunciato il suo valore di veritagravea x Z6 x 3 0+ = b x xN7 egrave un numero primoc x xrette del piano7 egrave parallela a una retta r datad x Z6 x 022

TEST Dato il dominio U composto dalle figure del piano e lrsquoenunciato A(x) laquox egrave un quadrilateroraquo con x U quale enunciato egrave falsoA x U6 x egrave un quadrilateroB x A6 x egrave una figura del piano

C x U x7 egrave un quadrilateroD x A x7 egrave una figura del piano

TEST Quale delle seguenti egrave equivalente alla proposizione laquoSe un numero egrave divisibile per 18 allora egrave divi-sibile per 2 e per 3raquoA laquoSe un numero non egrave divisibile per 18 allora non egrave divisibile per 2 e per 3raquoB laquoSe un numero egrave divisibile per 2 e per 3 allora egrave divisibile per 18raquoC laquoSe un numero non egrave divisibile neacute per 2 neacute per 3 allora non egrave divisibile per 18raquoD laquoSe un numero non egrave divisibile per 2 o per 3 allora non egrave divisibile per 18raquo

Scriviamo le proposizioni che si ottengono dallrsquoenunciato ( )A x laquox egrave minore del suo doppioraquo utilizzando i quantificatori 6 e 7 nellrsquoinsieme universo U dei numeri interi Stabiliamo il valore di veritagrave delle proposizioni ottenute

quantificatore proposizione valore di veritagrave6 x U6 x x21 F7 x U x x27 1 V

Per ognuno dei seguenti enunciati scrivi le proposizioni che si ottengono utilizzando i quantificatori 6 e 7 e stabilisci il corrispondente valore di veritagrave

U x xN= egrave multiplo di 8 A(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un divisore di 16raquo ( )B x

U x x= egrave un felino A(x) laquox egrave una linceraquo B(x) laquox egrave un quadrupederaquo ( )B x

U x x= egrave una figura piana di area 16 A(x) laquox egrave un quadratoraquo B(x) laquox egrave un cerchioraquo C(x) laquox egrave un rettangolo di dimensioni 2 e 8raquo

Sia lrsquoinsieme N dei numeri naturali lrsquoinsieme in cui si considera la variabile x Lrsquoespressione laquoNon esiste alcun numero naturale n che moltiplicato per un numero naturale x qualsiasi dia come risultato x stessoraquo di quale tra le seguenti proposizioni logiche egrave la traduzione Tale proposizione egrave vera o falsaA ( )n x n x xN N $b 7 = B n N6 x n x xN $b = C n xN Nb 6 n x x$ =

113

114

115

116

COME SI FA

per esempio ndash3 Z ma ndash3 gt 2 sdot (ndash3)

per esempio 2 Z e 2 lt 2 sdot 2

117

118

119

120

18

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Sono date le proposizioni

A laquoOgni pagina del libro ha una figuraraquo

B laquoEsiste una pagina del libro in cui non compare il colore bluraquo

Scriviamo la loro negazioneA laquoEsiste una pagina del libro che non ha una figuraraquo

B laquoIn ogni pagina del libro compare il colore bluraquo

Per ognuna delle seguenti proposizioni scrivi la negazionelaquoOgni tavolo ha quattro gamberaquo

laquoNon esiste un multiplo di 5 che non termina per 0raquo

laquoTutti i numeri naturali sono interiraquo

laquoEsiste un numero naturale che egrave minore del suo cuboraquo

INVALSI 2012 Quale tra le seguenti frasi egrave la negazione della proposizione laquoTutti i numeri naturali sono dispariraquoA Tutti i numeri naturali sono pariB Nessun numero naturale egrave dispariC Almeno un numero naturale non egrave dispariD Qualche numero naturale egrave dispari

IN GARA Nel paese di Oz oltre alle persone normali (che possono mentire o dire la veritagrave) vivono cava-lieri (che dicono sempre la veritagrave) e furfanti (che mentono sempre) Una strana legge impone che in ogni matrimonio i coniugi siano entrambi normali oppure uno cavaliere e lrsquoaltro furfante Arrivati alla villetta bifamiliare dei coniugi Allegri e Bianchi chiedete se il sig Bianchi che egrave assente egrave un cavaliere ottenendo risposta affermativa sia dalla sigra Bianchi sia da entrambi i coniugi Allegri Che cosa potete concludere riguardo ai sig BianchiA Il sig Bianchi egrave un cavaliereB Il sig Bianchi egrave un furfanteC Il sig Bianchi egrave normaleD Egrave impossibile che le risposte date siano quelle riportateE Non potete concludere nulla

[Olimpiadi di matematica italiane Gara di 2deg livello Biennio 2003]

COME SI FA

X

Y

X

Y

121

122

123

124

125

126

6

ES

ER

CIZ

I

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

ESERCIZI

1 Implicazione e coimplicazioneTRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Scrivi in simboli le seguenti proposizioni laquoIl numero 18 egrave divisibile

per 6 se e solo se 18 egrave divisibile per 3 e per 2raquo e laquoUn rombo egrave un quadrato se ha tutti gli angoli congruentiraquo

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE Considera le proposizioni laquo3 9raquoA 2 B laquo3 egrave un numero primoraquo e C laquo9 32= raquo Traduci in parole le seguenti proposizioni e attribuisci a ciascuna di esse il valore di veritagrave

A B B A A B) C B) C B

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Le seguenti proposizioni sono proposizioni composte costituite da enunciati distinti (componenti) legati da connettivi logici Riscrivile in simboli indicando con una lettera maiuscola ogni componentea laquoSe 17 egrave un numero egrave primo allora 17 ha esattamente due divisoriraquob laquoSe MCD(12 28) = 4 i due numeri 12 e 28 sono pariraquoc laquoUn rombo egrave un quadrato se e solo se ha tutti gli angoli rettiraquod laquoSe il numero 264 egrave multiplo di 88 allora 264 egrave pariraquoe laquoIl reciproco del numero 8 esiste se e solo se il numero 8 egrave diverso da 0raquof laquoVado a scuola in bicicletta se e solo se il cielo egrave serenoraquog laquoSe 3 51 allora 3

1512 raquo

2 Espressioni logiche e schemi di ragionamento

ESPRESSIONI LOGICHETRADUCI in parole le espressioni che seguono considerando gli enunciati A B e C

A laquoVado in vacanza in montagnaraquo B laquoLeggo molti libriraquo C laquoVado in vacanza al mareraquoA B A B A B A B C B C B A C A C0

A laquoIl numero 56 egrave pariraquo B laquoIl numero 56 egrave divisibile per 7raquo C laquoIl numero 56 egrave il risultato di 7 8$ raquoA B C B C A B C 0 A C A B C

A laquoCompro il giornaleraquo B laquoCompro il paneraquo C laquoCompro un paio di scarperaquoA C0 A B0 C B0 A B0 ( )A C B0

A laquoTelefono a Marcoraquo B laquoNon vado al corso di musicaraquo C laquoStudio storiaraquoA B B C A C A B C C B A B A B A B C

1

2 3 4 5 6

7

8

9

10

11

7

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE le proposizioni composte indicate e attribuisci a ciascuna di esse il valore di veritagrave

A laquoIl quadrato ha tre angoliraquo B laquoLrsquoesagono regolare ha tutti i lati ugualiraquo C laquoIl quadrato non egrave un rettangoloraquo( )A B B0 B C0 B C0 ( )A B B0 ( )C B B 0 A B C0 0

C A B) 0

A laquo9 182 = raquo B laquo12 6 2$= raquo C laquo4 2 6+ raquoA B C 0

B C A B A C) ( )A B C)0 ( )B A C

A laquo5 egrave maggiore di 6raquo B laquo 31 egrave un numero interoraquo C laquo12 egrave un numero pariraquo

A B B C A B0 A C0 A B C A0 A C0 A B B C0 B C

A laquo5 71 raquo B laquoFebbraio egrave il primo mese dellrsquoannoraquo C laquoFebbraio egrave il mese con piugrave giorniraquo D laquo7 egrave un numero primoraquoA C B D0 C D D B0 A B0 A D C B0 B C

A laquoLa somma di 2 e 3 egrave 5raquo B laquoIl prodotto di 2 e 3 egrave 8raquo C laquo2 egrave maggiore di 3raquoA C0 B C0 A B0 A B A B0 A C0 B C0 A C B C B C

A laquo18 egrave un multiplo di 6raquo B laquo6 non egrave un divisore di 24raquo C laquo9 egrave un numero primoraquoA B C A B ( )A B C A C B C ( )A C B

A laquo 41 egrave un quadrato perfettoraquo B laquo21 egrave un numero primoraquo C laquo7 egrave un divisore di 28raquo

A B0 B C A C0 A C A B C0 0

A laquo12 111 egrave un multiplo di 11raquo B laquo66 egrave un multiplo di 6raquo C laquo12 111 e 66 sono primi tra lororaquoA B0 B C0 A C A B C 0 A B C0 0

A B C0

A laquoI giorni dellrsquoanno sono 300raquo B laquoI mesi dellrsquoanno sono 13raquo C laquoI giorni della settimana sono 7raquoA B C0 0 A C B0 0 A B C0 A B C 0 A B C0 0 A B C A B C0

Attribuisci il valore di veritagrave agli enunciati A laquo5 egrave un numero pariraquo B laquo 25 egrave un numero razionaleraquo

C laquo15 15= raquo e poi stabilisci il valore di veritagrave delle seguenti espressionia A B0 ( )A B C0

( )A B C0 0

b ( )A B C0 0 ( )A B C0 0

( )A B C0 0 ( )A B C0

Dati gli enunciati A laquo 51 5 1$ = raquo B laquo5 10 = raquo e C laquo2 86 3= raquo traduci in parole i seguenti enunciati e attri-

buisci a ciascuno di essi il valore di veritagraveA B) A C) B A C) 0 B A A C)0 ( )[ ]C A B C )0

Attribuisci il valore di veritagrave ad A B e C quindi determina il valore di veritagrave delle espressioni indicateA laquo12 ha sei divisoriraquo B laquo14 e 27 sono primi tra lororaquo C laquoIl triangolo ha 4 angoliraquoa A C B b ( )A C B0 c A B C

Attribuisci il valore di veritagrave ad A B C quindi determina il valore di veritagrave delle espressioni indicateA laquo7 egrave un divisore di 2870raquo B laquo9185 egrave un multiplo di 11raquo C laquo6303 egrave divisibile per 6raquoa A B A B0 A C A C B C A B B A) b ( ) CA B0

[( ) ] ( )A A B C B A A B) 0 0 0

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

8

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE Dati gli enunciati A laquoOggi fa caldoraquo B laquoOggi pioveraquo C laquoEsco con lrsquoombrelloraquo e D laquoVado a scuola in biciclettaraquo traduci in parole le seguenti espressioni

A B C B D A C A A D) DB A D C) D B A 0

Scriviamo in simboli lrsquoespressione laquoSe 187 11 17$= 187 non egrave un numero primo ed egrave multiplo di 11raquoIndichiamo con una variabile logica ogni enunciato componente

laquoSe 187 11 17$= (allora) 187 non egrave un numero primo ed egrave multiplo di 11raquo

In simboli ( )A B C

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Riscrivi in simboli le seguenti espressioni indicando con una variabile logica ogni enunciato componente

a laquoLuisa va al mare ma non fa il bagnoraquob laquoOggi vedo Stefano e lo invito a cenaraquoc laquoMaria non legge giornali e non guarda la televisioneraquo

d laquoIl numero 57 non egrave razionale egrave positivo e maggiore di 1raquo

e laquoLuca deve risolvere un problema portare fuori il cane telefonare a Rita e a Paoloraquo

a laquoIl cubo egrave un solido ha otto facce e le sue facce sono quadratiraquob laquoIl numero 6 non egrave divisibile per 4 ed egrave pariraquoc laquoNon egrave vero che o porti la pizza o non partecipi alla festaraquod laquo18 egrave multiplo di 9 divisore di 36 ma non egrave divisibile per 5raquo

a laquoSe non pianto la tenda e piove il sacco a pelo si bagnaraquob laquoSe r egrave parallela a s e s egrave parallela a t allora r egrave parallela a traquoc laquoSe vai in palestra non ci vediamo e non fai i compitiraquod laquoIl libro egrave tuo se e solo se lrsquoarancione non egrave il tuo colore preferitoraquo

YOU amp MATHS Write the sentences below in terms of the followingr strawberries are ripe along the path b snails have been seen in the area w walking on the path is safea Strawberries are ripe along the path and snails have not been seen in the areab Snails have not been seen in the area and walking on the path is safe and strawberries are ripe along the pathc If strawberries are ripe along the path then walking is safe if and only if snails have not been seen in the aread It is not safe to walk along the path snails have not been seen in the area and the strawberries along

the path are ripe

INTORNO A NOI Negli ascensori di solito egrave presente unrsquoetichetta con una frase simile a quella indicata a lato Individua tre propo-sizioni P Q R in modo da poter scrivere lrsquoavviso come espressione in cui P Q e R sono legate con connettivi logici Qual egrave lrsquoespressio-ne in simboli

25 26

COME SI FA

implicazione materiale

A laquo187 = 11 17raquo

negazione

B laquo187 egrave un numero primoraquo

congiunzione

C laquo187 egrave multiplo di 11raquo

27

28

29

30

31NON POSSONO USARE LrsquoASCENSORE

PERSONE MINORI DI 12 ANNISE NON ACCOMPAGNATE

9

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

TRADUCI Considera le seguenti proposizioni A laquoSabato telefono a Ugoraquo B laquoSabato Ugo mi telefonaraquo C laquoSabato finisco il lavororaquo D laquoSabato guardo la TVraquoa Traduci in parole le proposizioni

A D0 B C B B0 A C D C B C) A B0 ( )D C A ( ) ( )A B C D

b Traduci le seguenti proposizioni composte in simboli laquoSabato se Ugo mi telefona finisco il lavoro e non guardo la TVraquo laquoSabato finisco il lavoro o guardo la TV e non telefono a Ugoraquo laquoSabato se Ugo non mi telefona io telefono a Ugo e finisco il lavororaquo laquoSabato o telefono a Ugo o mi telefona lui e finisco il lavororaquo

INTORNO A NOI Sono date le proposizioniA laquoIl mio cane abbaiaraquoB laquoLa luna egrave pienaraquo

C laquoPioveraquoD laquoIl mio cane ulularaquo

Utilizza le variabili logiche e i connettivi adeguati per rappresentare schematicamente le seguenti proposizionia laquoSe la luna egrave piena il mio cane o abbaia o ulularaquob laquoChe piova o che la luna sia piena il mio cane abbaiaraquoc laquoSe il mio cane ulula allora la luna egrave piena e se piove allora il mio cane abbaiaraquo

Espressioni e valori di veritagrave

Consideriamo le proposizioni A laquo63 egrave un multiplo di 7raquo B laquo3 egrave un divisore di 63raquo e C laquo63 egrave un numero pariraquo

Stabiliamo il valore di veritagrave di A B B C0 B C A0

Costruiamo la tavola di veritagrave

A B C A B A B B C B C0 B C0 B C A0

V V F V F F V V F V

Espressioni e tavole di veritagraveCACCIA ALLrsquoERRORE Esamina la seguente tavola di veritagrave e scopri in essa almeno cinque errori

A B C A B C A0 C B0 C A C B0 0 ( ) [ ]A B C A C B 0 0

V V V V V V V VV V F V V V V VV F V F F V V VV F F V V F F VF V V V V V V VF V F V F F F VF F V V V V F VF F F V F F V V

32

33

COME SI FA

63 non egrave un numero pari63 3 = 2163 = 7 9

34

10

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

COMPLETA la seguente tavola di veritagrave inserendo lrsquoespressione corretta scelta fra( )A B C 0 ( )A B C ( )A B C 0

A B C0

A B CV V V VV V F FV F V FV F F VF V V FF V F VF F V FF F F V

COMPLETA la seguente tavola inserendo i valori di veritagrave e gli operatori mancanti

A B A B A B A B0 A BV V F V

F F F VF F V V

F V V F

Date due proposizioni generiche A e B costruiamo la tavola di veritagrave dellrsquoespressione ( )A B A0

A B A B A ( )A B A0

V V F V VV F F F FF V V F VF F V F V

tutti i possibili casi per A e B aggiungiamo le colonne A e B A

Per ciascuna delle seguenti espressioni costruisci la tavola di veritagrave considerando A e B proposizioni generiche

A B A B A B A B0 A B0

A B0 A B0 A B0 A B0 A B0

A B A B A B A B

A B) A B) A B) A B)

A B A A B ( )A A B ( )A B B

A B0 A A B0 0 ( )A A B0 0 ( )A B B0 0

A A B 0 A A B 0 ( )A B B0 ( )A B B0

35

36

COME SI FA

37

38

39

40

41

42

43

11

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Per ciascuna delle seguenti espressioni costruisci la tavola di veritagrave considerando A e B e C proposizioni generiche

( )A B C0 ( )A B C 0 ( ) ( )A B C A 0

( )B A C0 ( )A B C0 ( ) ( )A CC B) )

( )B CA 0 ( )B C A 0 A B C 0

( )B C A ( ) ( )A C B C0 ( )A CB)

VERO O FALSO Considera A e B proposizioni generichea Se A egrave falsa allora anche A egrave falsa V F

b Se A B egrave falsa allora o A o B egrave falsa V F

c A B0 egrave vera se e solo se A e B non sono entrambe vere o entrambe false V F

d Se A e B sono false allora ( ) ( )A B A B0 0

egrave falsa V F

VERO O FALSO a Se A B) egrave falsa allora A e B non sono

entrambe vere o entrambe false V F

b A B egrave falsa se e solo se A egrave vera V F

c A B non puograve essere falsa se A egrave falsa V F

d A B) egrave vera se e solo se anche A e B lo sono V F

PROPRIETAgrave DELLE OPERAZIONI LOGICHEEnuncia le seguenti proprietagrave delle operazioni logiche e verificale utilizzando una tavola di veritagrave

Negazione della negazione

Idempotenza della disgiunzione

Commutativa della disgiunzione

Associativa della congiunzione

Distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione

Distributiva della disgiunzione rispetto alla congiunzione

FAI UN ESEMPIO di applicazione della seconda legge di De Morgan e verifica poi la legge mediante la tavola di veritagrave

EquivalenzeTEST Dato lrsquoenunciato laquoNon egrave vero che 2- non egrave un numero pariraquo quale dei seguenti egrave equivalenteA laquo 2- non egrave un numero pariraquoB laquoNon egrave vero che 2- egrave un numero pariraquo

C laquo 2- egrave un numero pariraquoD laquo 2- non egrave un numero non pariraquo

Verifichiamo che ( )B B A B A B0 0 0= Possiamo procedere in due modi bull Compiliamo la tavola di veritagrave

A B A B A0 B A0 ( )B B A0 0 B B A B A B 0

V V F V F V F F VV F F F V V V V VF V V V F V F F VF F V V F F V F F

Le colonne relative alle due espressioni sono uguali quindi le espressioni sono equivalenti

44

45

46

47

48 49

50

51

52

53

54

55

56

57

COME SI FA

colonne uguali

12

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

bull Utilizziamo le proprietagrave delle operazioni logiche per passare da unrsquoespressione allrsquoaltra attraverso espres-sioni equivalenti

( ) ( ) ( )B B A B B A B B A B A B0 0 0 0 0= = =

Verifica le seguenti equivalenze utilizzando il metodo che preferisci( ) ( )A B A A A B0 0 =

( ) ( )B B A B B A 0 0 =

A B B A B 0 0=

( )A B B A B0 =

( ) ( )A B A A A B0 0 =

( ) ( ) ( ) ( )A B A B B A A B0 0 0 =

Utilizzando le tavole di veritagrave verifica le seguenti equivalenzeB A A B = B A A B A B 0 0=

( ) ( )A B C A B C =

TAUTOLOGIE E CONTRADDIZIONIAL VOLO Stabilisci se le seguenti espressioni sono tautologie o contraddizioni

a ( )B B B0 b ( ) ( )A A A A0 c C C) d A A)

Utilizzando le tavole di veritagrave stabilisci quali fra le seguenti sono tautologie e quali contraddizioni( )B B A 0 A A B ( )A B A B0 0

( )B B B [( ) ]A B A A ( ) ( )B C C B

Fra le seguenti espressioni indica quali sono tautologie quali contraddizioni e quali non sono neacute tautologie neacute contraddizioni A A A B A0 A A) B B) A B B

Senza utilizzare le tavole di veritagrave individua fra le seguenti proposizioni una tautologia e una contraddizio-ne spiega il tuo ragionamento Verifica poi le tue risposte compilando le tavole di veritagrave

( ) ( )A B A B0 0 B B A A0 A B B A0 A A B B)0

SCHEMI DI RAGIONAMENTOTEST Quale fra i seguenti non egrave un ragionamento valido laquoSe non accordo la chitarra non suonoraquoA Suono quindi accordo la chitarraB Se suono allora accordo la chitarra

C Accordo la chitarra quindi suonoD Non accordo la chitarra quindi non suono

SPIEGALO TU Percheacute i seguenti ragionamenti non sono validia laquoSe un cane abbaia allora non morde Quel cane non abbaia allora morderaquob laquoSe lrsquoacqua non bolle la pasta non cuoce Lrsquoacqua bolle allora la pasta cuoceraquo

Verifica che la legge di contrapposizione ( ) ( )A B B A egrave uno schema di ragionamento valido

negazione della negazione

2a legge di De Morgan commutativa della disgiunzione

58

59

60

61

62

63

64 65 66

67

68

69

70

71

72

73

74

13

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Il seguente ragionamento egrave valido mostralo con lrsquoaiuto di un diagramma di VennlaquoOgni multiplo di 12 egrave multiplo di 6raquolaquoOgni multiplo di 6 egrave multiplo di 3raquo

laquoOgni multiplo di 12 egrave multiplo di 3raquo

Riconoscere uno schema

Riconosciamo lo schema applicato in laquoSe un numero egrave una potenza di 3 allora non egrave pariraquo laquoUn numero egrave pari quindi non egrave una potenza di 3raquo

Scriviamo in simboli

laquoSe un numero egrave una potenza di 3 allora non egrave pariraquo A BlaquoUn numero egrave pari hellip B

hellipquindihellip

hellipnon egrave una potenza di 3raquo A

Lo schema di ragionamento egrave [( ) ]A B B A Poicheacute B egrave la negazione di ( )B B B= lo schema egrave il modus tollens

Riconosci gli schemi di ragionamento applicati scrivendo ognuno di essi in forma simbolicalaquoSe non hai il biglietto dellrsquoautobus prendi la multaraquolaquoNon prendi la multa quindi hai il biglietto dellrsquoautobusraquo

laquoSe arrivi in ritardo non entri a teatroraquolaquoArrivi in ritardo quindi non entri a teatroraquo

laquoSe passo col rosso mi ferma il vigile se mi ferma il vigile pagoraquolaquoSe passo col rosso pagoraquo

laquoSe penso allora sonoraquolaquoSe non sono allora non pensoraquo

laquoSe ingrasso non entro nei pantaloni se non entro nei pantaloni devo rifare il guardarobaraquolaquoSe ingrasso devo rifare il guardarobaraquo

laquoSe ho il foglio protocollo a righe crsquoegrave il temaraquolaquoNon crsquoegrave il tema quindi non ho il foglio protocollo a righeraquo

laquoSe lavo i vetri piove se piove i vetri si sporcanoraquolaquoSe lavo i vetri i vetri si sporcanoraquo

laquoSe sono bassa salgo sulla sediaraquolaquoSono bassa quindi salgo sulla sediaraquo

laquoSe un numero egrave naturale allora egrave intero se un numero egrave intero allora egrave razionaleraquolaquoSe un numero non egrave razionale allora non egrave naturaleraquo

75

COME SI FA

A laquoUn numero egrave una potenza di 3raquo B laquoUn numero egrave pariraquo

B

A

76

77

78

79

80

81

82

83

84

14

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Stabilisci se i seguenti ragionamenti sono validi e in caso affermativo indicane il tipolaquoSe suona il telefono rispondoraquolaquoNon rispondo quindi non suona il telefonoraquo

laquoSe accendo il forno non avvio la lavastoviglie se non avvio la lavastoviglie i piatti restano sporchiraquolaquoSe accendo il forno i piatti restano sporchiraquo

laquoSe il gatto miagola ha fameraquolaquoSe il gatto non ha fame non miagolaraquo

laquoSe il triangolo egrave rettangolo applico il teorema di PitagoraraquolaquoIl triangolo egrave rettangolo quindi applico il teorema di Pitagoraraquo

Applica il modus ponens il modus tollens e la legge di contrapposizione alle seguenti premessea laquoSe un rombo ha gli angoli congruenti allora egrave un quadratoraquob laquoSe in ogni materia la media dei miei voti egrave maggiore o uguale a 6 vengo promossoraquo

RIEPILOGO Altri esercizi di logicaEnunciati e connettivi logici

TEST Solo una delle seguenti frasi egrave un enunciato logico QualeA laquoStrano esercizioraquoB laquoLa risposta a questo esercizio egrave la Craquo

C laquoQuale esercizioraquoD laquoQuesto esercizio non mi piaceraquo

VERO O FALSO Egrave un enunciato logicoa laquoOggi vieni a giocare a calcio con noiraquo V F

b laquo15 egrave un multiplo di 2raquo V F

c laquoLa mia borsa egrave molto voluminosaraquo V F

d laquoCorriraquo V F

e laquoTutti i poligoni hanno 4 latiraquo V F

f laquo 10 5 2= raquo V F

g laquoPer favore sii puntualeraquo V F

h laquoChe cosa farai per il tuo compleannoraquo V F

Stabilisci quali tra i seguenti sono enunciati logici Per quelli che lo sono indica il valore di veritagravea laquoeuro 15 egrave un prezzo basso per una T-shirtraquo

b laquo2 44 21 raquo

c laquoIl doppio di 43 egrave 15raquo

d laquoMarzo ha 30 giorniraquo

Attribuisci a ciascuna delle seguenti proposizioni il valore di veritagravea laquoTutti i multipli di 4 sono anche multipli di 16raquob laquoLrsquouguaglianza x 62 = non egrave mai verificata

in Nraquoc laquoIl prodotto di due numeri dispari egrave sempre

un numero pariraquod laquoVenere egrave una stellaraquoe laquoIl rettangolo egrave un particolare parallelo-

grammaraquo

a laquoLa disuguaglianza x7 02+ puograve non esse-re verificata in Nraquo

b laquoIl massimo comune divisore fra due nume-ri pari egrave un numero pariraquo

c laquoIl Sole egrave un satellite del pianeta Terraraquod laquoLrsquoopposto di 4 egrave 4

1 raquoe laquoIl prodotto cartesiano tra insiemi egrave com-

mutativoraquo

85

86

87

88

89

90

91

92

93 94

15

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

COMPLETA le seguenti frasi in modo che risultino enunciati veria laquoIl numero egrave maggiore di 0raquob laquoLrsquouguaglianza egrave sempre verificata in Qraquoc laquoI numeri sono i divisori di 42raquod laquoIl numero egrave pari e multiplo di 7raquoe laquoOgni ha tre angoli congruentiraquo

Compila le tabelle a doppia entrata relative a congiunzione disgiunzione inclusiva disgiunzione esclusiva implicazione materiale coimplicazione materiale

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Le seguenti proposizioni sono proposizioni composte costituite da enunciati distinti (componenti) legati da connettivi logici Riscrivile in simboli indicando con una lettera maiuscola ogni componentea laquoTorino egrave una cittagrave piemontese ed egrave stata la prima capitale drsquoItaliaraquob laquoI palloni da calcio non sono sferici e nemmeno quelli da basketraquoc laquoIl numero 7 egrave positivo ed egrave un numero primoraquod laquoUn numero o egrave pari o egrave 42raquoe laquoI giorni dellrsquoanno sono 365 o 366raquof laquoO vado al mare o sul Monte Biancoraquog laquoIl numero 2 egrave minore di 3 e metagrave di 4raquo

Dati gli enunciati A laquo7 egrave il quarto numero primoraquo e B laquo7 egrave un divisore di 165raquo attribuisci il valore di veritagrave aa A B0 b A B c A B0 d A B e B A)

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE Considera le seguenti proposizioni tutte vereA laquosono in vacanzaraquo B laquonon lavororaquo C laquofaccio delle passeggiateraquo D laquosono al mareraquoTraduci in parole le seguenti proposizioni e determina il loro valore di veritagrave

B C A C D B C B A B0 D C A D0 A C

SPIEGALO TU Considera gli enunciati A laquoLaura ha 18 anniraquo e B laquoLaura ha la patenteraquo In quali casi gli enunciati A B e A B0 sono veri e in quali falsi E A B

INTORNO A NOI Tre imputati di un delitto Aldo Bruno e Carlo rilasciano le seguenti dichiarazioniAldo laquoNon sono colpevoleraquo Bruno laquoIl colpevole egrave Carloraquo Carlo laquoIl colpevole egrave AldoraquoSe sappiamo che uno solo dei tre imputati ha dichiarato il falso chi egrave il colpevole

Enunciati e quantificatoriINVALSI 2013 Indica se ciascuna delle seguenti proposizioni egrave vera o falsa

a Se un numero egrave multiplo di 9 allora egrave multiplo di 3 V F

b Un numero egrave multiplo di 6 solo se egrave pari V F

c Un numero egrave multiplo di 5 se e solo se egrave multiplo di 10 V F

d Se un numero egrave pari allora egrave multiplo di 4 V F

TEST Lrsquoenunciato aperto A(x) laquox 1- egrave un numero naturaleraquo con x N si trasforma in un enunciato vero in uno solo dei seguenti modi qualeA Sostituendo a x il valore 1- C Sostituendo a x il valore 0B Sostituendo a x il valore 1 D Lrsquoinsieme di veritagrave coincide con lrsquoinsieme universo

95

96

97

98

99 100

101

102

103

104

16

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

FAI UN ESEMPIO Fai un esempio di enunciato aperto e opportuno insieme universo per i quali le propo-sizioni ottenute con i quantificatori risultinoa entrambe vere b entrambe false

Per ognuno dei seguenti enunciati aperti scegli un dominio U appropriato e individua un suo elemento che rende vero lrsquoenunciato e uno che lo rende falso scrivi le proposizioni per tali elementi

A(x) laquox egrave una persona con la patenteraquoB(x) laquox egrave un felinoraquo

A(x) laquox egrave una verdura verderaquoB(y) laquoIl fiume Po attraversa la regione yraquoC(z) laquoz egrave un monte italianoraquo

Consideriamo i tre enunciati apertiA(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un multiplo di 5raquo C(x) laquox egrave un multiplo di 4raquoe come dominio U lrsquoinsieme N dei numeri naturali minori o uguali a 20

Rappresentiamo con un diagramma di Venn lrsquoinsieme di veritagravea dei tre enunciati b di ( ) ( ) ( )A x B x C x e di ( ) ( )A x B x0

UA

B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713 UA

B A(x) v B(x) verain A U B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713

A(x) v (B(x) C(x)vera in A U B U C

v vU U

ndashndash

Per ogni terna A(x) B(x) C(x) dato il dominio U indicato rappresenta con diagrammi di Venn lrsquoin-sieme di veritagrave a dei tre enunciati b degli enunciati ( )C x ( ) ( )A x B x0 ( ) ( )A x C x ( ) ( )A x C x0 ( ) ( ) ( )[ ]A x C x B x0

A(x) laquox egrave un poligono equilateroraquo B(x) laquox egrave un rettangoloraquo C(x) laquox egrave un quadratoraquo U egrave lrsquoinsieme dei poligoni

A(x) laquox egrave un uomoraquo B(x) laquox egrave una donnaraquo C(x) laquox egrave suoceraraquo U egrave lrsquoinsieme delle persone

A(x) laquox egrave un erbivororaquo B(x) laquox egrave un carnivororaquo C(x) laquox egrave un onnivororaquo U egrave lrsquoinsieme degli animali

INVALSI 2003 Quale delle seguenti affermazioni egrave falsaA Alcuni multipli di 4 sono anche multipli di 8B Tutti i multipli di 8 sono anche multipli di 4C Tutti i numeri pari sono fra i multipli di 8

D Alcuni numeri pari non sono multipli di 8E Alcuni numeri pari sono multipli di 8

INVALSI 2004 Quale delle seguenti proposizioni egrave veraA Ogni numero intero divisibile per 3 egrave divisibile per 9B Ogni numero intero divisibile per 4 egrave divisibile per 2C Se il prodotto di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno dei due interi egrave divisibile per 5D Se la somma di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno degli addendi egrave divisibile per 5

105

106 107

COME SI FA

108

109

110

111

112

17

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

INVALSI 2004 Osserva le figure Quale delle seguenti affer-mazioni egrave falsaA Non tutti i quadrati sono bianchiB Qualche triangolo egrave neroC Almeno un cerchio egrave neroD Non tutti i cerchi sono bianchi

Indica per ogni enunciato il suo valore di veritagravea x Z6 x 3 0+ = b x xN7 egrave un numero primoc x xrette del piano7 egrave parallela a una retta r datad x Z6 x 022

TEST Dato il dominio U composto dalle figure del piano e lrsquoenunciato A(x) laquox egrave un quadrilateroraquo con x U quale enunciato egrave falsoA x U6 x egrave un quadrilateroB x A6 x egrave una figura del piano

C x U x7 egrave un quadrilateroD x A x7 egrave una figura del piano

TEST Quale delle seguenti egrave equivalente alla proposizione laquoSe un numero egrave divisibile per 18 allora egrave divi-sibile per 2 e per 3raquoA laquoSe un numero non egrave divisibile per 18 allora non egrave divisibile per 2 e per 3raquoB laquoSe un numero egrave divisibile per 2 e per 3 allora egrave divisibile per 18raquoC laquoSe un numero non egrave divisibile neacute per 2 neacute per 3 allora non egrave divisibile per 18raquoD laquoSe un numero non egrave divisibile per 2 o per 3 allora non egrave divisibile per 18raquo

Scriviamo le proposizioni che si ottengono dallrsquoenunciato ( )A x laquox egrave minore del suo doppioraquo utilizzando i quantificatori 6 e 7 nellrsquoinsieme universo U dei numeri interi Stabiliamo il valore di veritagrave delle proposizioni ottenute

quantificatore proposizione valore di veritagrave6 x U6 x x21 F7 x U x x27 1 V

Per ognuno dei seguenti enunciati scrivi le proposizioni che si ottengono utilizzando i quantificatori 6 e 7 e stabilisci il corrispondente valore di veritagrave

U x xN= egrave multiplo di 8 A(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un divisore di 16raquo ( )B x

U x x= egrave un felino A(x) laquox egrave una linceraquo B(x) laquox egrave un quadrupederaquo ( )B x

U x x= egrave una figura piana di area 16 A(x) laquox egrave un quadratoraquo B(x) laquox egrave un cerchioraquo C(x) laquox egrave un rettangolo di dimensioni 2 e 8raquo

Sia lrsquoinsieme N dei numeri naturali lrsquoinsieme in cui si considera la variabile x Lrsquoespressione laquoNon esiste alcun numero naturale n che moltiplicato per un numero naturale x qualsiasi dia come risultato x stessoraquo di quale tra le seguenti proposizioni logiche egrave la traduzione Tale proposizione egrave vera o falsaA ( )n x n x xN N $b 7 = B n N6 x n x xN $b = C n xN Nb 6 n x x$ =

113

114

115

116

COME SI FA

per esempio ndash3 Z ma ndash3 gt 2 sdot (ndash3)

per esempio 2 Z e 2 lt 2 sdot 2

117

118

119

120

18

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Sono date le proposizioni

A laquoOgni pagina del libro ha una figuraraquo

B laquoEsiste una pagina del libro in cui non compare il colore bluraquo

Scriviamo la loro negazioneA laquoEsiste una pagina del libro che non ha una figuraraquo

B laquoIn ogni pagina del libro compare il colore bluraquo

Per ognuna delle seguenti proposizioni scrivi la negazionelaquoOgni tavolo ha quattro gamberaquo

laquoNon esiste un multiplo di 5 che non termina per 0raquo

laquoTutti i numeri naturali sono interiraquo

laquoEsiste un numero naturale che egrave minore del suo cuboraquo

INVALSI 2012 Quale tra le seguenti frasi egrave la negazione della proposizione laquoTutti i numeri naturali sono dispariraquoA Tutti i numeri naturali sono pariB Nessun numero naturale egrave dispariC Almeno un numero naturale non egrave dispariD Qualche numero naturale egrave dispari

IN GARA Nel paese di Oz oltre alle persone normali (che possono mentire o dire la veritagrave) vivono cava-lieri (che dicono sempre la veritagrave) e furfanti (che mentono sempre) Una strana legge impone che in ogni matrimonio i coniugi siano entrambi normali oppure uno cavaliere e lrsquoaltro furfante Arrivati alla villetta bifamiliare dei coniugi Allegri e Bianchi chiedete se il sig Bianchi che egrave assente egrave un cavaliere ottenendo risposta affermativa sia dalla sigra Bianchi sia da entrambi i coniugi Allegri Che cosa potete concludere riguardo ai sig BianchiA Il sig Bianchi egrave un cavaliereB Il sig Bianchi egrave un furfanteC Il sig Bianchi egrave normaleD Egrave impossibile che le risposte date siano quelle riportateE Non potete concludere nulla

[Olimpiadi di matematica italiane Gara di 2deg livello Biennio 2003]

COME SI FA

X

Y

X

Y

121

122

123

124

125

126

7

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE le proposizioni composte indicate e attribuisci a ciascuna di esse il valore di veritagrave

A laquoIl quadrato ha tre angoliraquo B laquoLrsquoesagono regolare ha tutti i lati ugualiraquo C laquoIl quadrato non egrave un rettangoloraquo( )A B B0 B C0 B C0 ( )A B B0 ( )C B B 0 A B C0 0

C A B) 0

A laquo9 182 = raquo B laquo12 6 2$= raquo C laquo4 2 6+ raquoA B C 0

B C A B A C) ( )A B C)0 ( )B A C

A laquo5 egrave maggiore di 6raquo B laquo 31 egrave un numero interoraquo C laquo12 egrave un numero pariraquo

A B B C A B0 A C0 A B C A0 A C0 A B B C0 B C

A laquo5 71 raquo B laquoFebbraio egrave il primo mese dellrsquoannoraquo C laquoFebbraio egrave il mese con piugrave giorniraquo D laquo7 egrave un numero primoraquoA C B D0 C D D B0 A B0 A D C B0 B C

A laquoLa somma di 2 e 3 egrave 5raquo B laquoIl prodotto di 2 e 3 egrave 8raquo C laquo2 egrave maggiore di 3raquoA C0 B C0 A B0 A B A B0 A C0 B C0 A C B C B C

A laquo18 egrave un multiplo di 6raquo B laquo6 non egrave un divisore di 24raquo C laquo9 egrave un numero primoraquoA B C A B ( )A B C A C B C ( )A C B

A laquo 41 egrave un quadrato perfettoraquo B laquo21 egrave un numero primoraquo C laquo7 egrave un divisore di 28raquo

A B0 B C A C0 A C A B C0 0

A laquo12 111 egrave un multiplo di 11raquo B laquo66 egrave un multiplo di 6raquo C laquo12 111 e 66 sono primi tra lororaquoA B0 B C0 A C A B C 0 A B C0 0

A B C0

A laquoI giorni dellrsquoanno sono 300raquo B laquoI mesi dellrsquoanno sono 13raquo C laquoI giorni della settimana sono 7raquoA B C0 0 A C B0 0 A B C0 A B C 0 A B C0 0 A B C A B C0

Attribuisci il valore di veritagrave agli enunciati A laquo5 egrave un numero pariraquo B laquo 25 egrave un numero razionaleraquo

C laquo15 15= raquo e poi stabilisci il valore di veritagrave delle seguenti espressionia A B0 ( )A B C0

( )A B C0 0

b ( )A B C0 0 ( )A B C0 0

( )A B C0 0 ( )A B C0

Dati gli enunciati A laquo 51 5 1$ = raquo B laquo5 10 = raquo e C laquo2 86 3= raquo traduci in parole i seguenti enunciati e attri-

buisci a ciascuno di essi il valore di veritagraveA B) A C) B A C) 0 B A A C)0 ( )[ ]C A B C )0

Attribuisci il valore di veritagrave ad A B e C quindi determina il valore di veritagrave delle espressioni indicateA laquo12 ha sei divisoriraquo B laquo14 e 27 sono primi tra lororaquo C laquoIl triangolo ha 4 angoliraquoa A C B b ( )A C B0 c A B C

Attribuisci il valore di veritagrave ad A B C quindi determina il valore di veritagrave delle espressioni indicateA laquo7 egrave un divisore di 2870raquo B laquo9185 egrave un multiplo di 11raquo C laquo6303 egrave divisibile per 6raquoa A B A B0 A C A C B C A B B A) b ( ) CA B0

[( ) ] ( )A A B C B A A B) 0 0 0

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

8

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE Dati gli enunciati A laquoOggi fa caldoraquo B laquoOggi pioveraquo C laquoEsco con lrsquoombrelloraquo e D laquoVado a scuola in biciclettaraquo traduci in parole le seguenti espressioni

A B C B D A C A A D) DB A D C) D B A 0

Scriviamo in simboli lrsquoespressione laquoSe 187 11 17$= 187 non egrave un numero primo ed egrave multiplo di 11raquoIndichiamo con una variabile logica ogni enunciato componente

laquoSe 187 11 17$= (allora) 187 non egrave un numero primo ed egrave multiplo di 11raquo

In simboli ( )A B C

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Riscrivi in simboli le seguenti espressioni indicando con una variabile logica ogni enunciato componente

a laquoLuisa va al mare ma non fa il bagnoraquob laquoOggi vedo Stefano e lo invito a cenaraquoc laquoMaria non legge giornali e non guarda la televisioneraquo

d laquoIl numero 57 non egrave razionale egrave positivo e maggiore di 1raquo

e laquoLuca deve risolvere un problema portare fuori il cane telefonare a Rita e a Paoloraquo

a laquoIl cubo egrave un solido ha otto facce e le sue facce sono quadratiraquob laquoIl numero 6 non egrave divisibile per 4 ed egrave pariraquoc laquoNon egrave vero che o porti la pizza o non partecipi alla festaraquod laquo18 egrave multiplo di 9 divisore di 36 ma non egrave divisibile per 5raquo

a laquoSe non pianto la tenda e piove il sacco a pelo si bagnaraquob laquoSe r egrave parallela a s e s egrave parallela a t allora r egrave parallela a traquoc laquoSe vai in palestra non ci vediamo e non fai i compitiraquod laquoIl libro egrave tuo se e solo se lrsquoarancione non egrave il tuo colore preferitoraquo

YOU amp MATHS Write the sentences below in terms of the followingr strawberries are ripe along the path b snails have been seen in the area w walking on the path is safea Strawberries are ripe along the path and snails have not been seen in the areab Snails have not been seen in the area and walking on the path is safe and strawberries are ripe along the pathc If strawberries are ripe along the path then walking is safe if and only if snails have not been seen in the aread It is not safe to walk along the path snails have not been seen in the area and the strawberries along

the path are ripe

INTORNO A NOI Negli ascensori di solito egrave presente unrsquoetichetta con una frase simile a quella indicata a lato Individua tre propo-sizioni P Q R in modo da poter scrivere lrsquoavviso come espressione in cui P Q e R sono legate con connettivi logici Qual egrave lrsquoespressio-ne in simboli

25 26

COME SI FA

implicazione materiale

A laquo187 = 11 17raquo

negazione

B laquo187 egrave un numero primoraquo

congiunzione

C laquo187 egrave multiplo di 11raquo

27

28

29

30

31NON POSSONO USARE LrsquoASCENSORE

PERSONE MINORI DI 12 ANNISE NON ACCOMPAGNATE

9

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

TRADUCI Considera le seguenti proposizioni A laquoSabato telefono a Ugoraquo B laquoSabato Ugo mi telefonaraquo C laquoSabato finisco il lavororaquo D laquoSabato guardo la TVraquoa Traduci in parole le proposizioni

A D0 B C B B0 A C D C B C) A B0 ( )D C A ( ) ( )A B C D

b Traduci le seguenti proposizioni composte in simboli laquoSabato se Ugo mi telefona finisco il lavoro e non guardo la TVraquo laquoSabato finisco il lavoro o guardo la TV e non telefono a Ugoraquo laquoSabato se Ugo non mi telefona io telefono a Ugo e finisco il lavororaquo laquoSabato o telefono a Ugo o mi telefona lui e finisco il lavororaquo

INTORNO A NOI Sono date le proposizioniA laquoIl mio cane abbaiaraquoB laquoLa luna egrave pienaraquo

C laquoPioveraquoD laquoIl mio cane ulularaquo

Utilizza le variabili logiche e i connettivi adeguati per rappresentare schematicamente le seguenti proposizionia laquoSe la luna egrave piena il mio cane o abbaia o ulularaquob laquoChe piova o che la luna sia piena il mio cane abbaiaraquoc laquoSe il mio cane ulula allora la luna egrave piena e se piove allora il mio cane abbaiaraquo

Espressioni e valori di veritagrave

Consideriamo le proposizioni A laquo63 egrave un multiplo di 7raquo B laquo3 egrave un divisore di 63raquo e C laquo63 egrave un numero pariraquo

Stabiliamo il valore di veritagrave di A B B C0 B C A0

Costruiamo la tavola di veritagrave

A B C A B A B B C B C0 B C0 B C A0

V V F V F F V V F V

Espressioni e tavole di veritagraveCACCIA ALLrsquoERRORE Esamina la seguente tavola di veritagrave e scopri in essa almeno cinque errori

A B C A B C A0 C B0 C A C B0 0 ( ) [ ]A B C A C B 0 0

V V V V V V V VV V F V V V V VV F V F F V V VV F F V V F F VF V V V V V V VF V F V F F F VF F V V V V F VF F F V F F V V

32

33

COME SI FA

63 non egrave un numero pari63 3 = 2163 = 7 9

34

10

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

COMPLETA la seguente tavola di veritagrave inserendo lrsquoespressione corretta scelta fra( )A B C 0 ( )A B C ( )A B C 0

A B C0

A B CV V V VV V F FV F V FV F F VF V V FF V F VF F V FF F F V

COMPLETA la seguente tavola inserendo i valori di veritagrave e gli operatori mancanti

A B A B A B A B0 A BV V F V

F F F VF F V V

F V V F

Date due proposizioni generiche A e B costruiamo la tavola di veritagrave dellrsquoespressione ( )A B A0

A B A B A ( )A B A0

V V F V VV F F F FF V V F VF F V F V

tutti i possibili casi per A e B aggiungiamo le colonne A e B A

Per ciascuna delle seguenti espressioni costruisci la tavola di veritagrave considerando A e B proposizioni generiche

A B A B A B A B0 A B0

A B0 A B0 A B0 A B0 A B0

A B A B A B A B

A B) A B) A B) A B)

A B A A B ( )A A B ( )A B B

A B0 A A B0 0 ( )A A B0 0 ( )A B B0 0

A A B 0 A A B 0 ( )A B B0 ( )A B B0

35

36

COME SI FA

37

38

39

40

41

42

43

11

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Per ciascuna delle seguenti espressioni costruisci la tavola di veritagrave considerando A e B e C proposizioni generiche

( )A B C0 ( )A B C 0 ( ) ( )A B C A 0

( )B A C0 ( )A B C0 ( ) ( )A CC B) )

( )B CA 0 ( )B C A 0 A B C 0

( )B C A ( ) ( )A C B C0 ( )A CB)

VERO O FALSO Considera A e B proposizioni generichea Se A egrave falsa allora anche A egrave falsa V F

b Se A B egrave falsa allora o A o B egrave falsa V F

c A B0 egrave vera se e solo se A e B non sono entrambe vere o entrambe false V F

d Se A e B sono false allora ( ) ( )A B A B0 0

egrave falsa V F

VERO O FALSO a Se A B) egrave falsa allora A e B non sono

entrambe vere o entrambe false V F

b A B egrave falsa se e solo se A egrave vera V F

c A B non puograve essere falsa se A egrave falsa V F

d A B) egrave vera se e solo se anche A e B lo sono V F

PROPRIETAgrave DELLE OPERAZIONI LOGICHEEnuncia le seguenti proprietagrave delle operazioni logiche e verificale utilizzando una tavola di veritagrave

Negazione della negazione

Idempotenza della disgiunzione

Commutativa della disgiunzione

Associativa della congiunzione

Distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione

Distributiva della disgiunzione rispetto alla congiunzione

FAI UN ESEMPIO di applicazione della seconda legge di De Morgan e verifica poi la legge mediante la tavola di veritagrave

EquivalenzeTEST Dato lrsquoenunciato laquoNon egrave vero che 2- non egrave un numero pariraquo quale dei seguenti egrave equivalenteA laquo 2- non egrave un numero pariraquoB laquoNon egrave vero che 2- egrave un numero pariraquo

C laquo 2- egrave un numero pariraquoD laquo 2- non egrave un numero non pariraquo

Verifichiamo che ( )B B A B A B0 0 0= Possiamo procedere in due modi bull Compiliamo la tavola di veritagrave

A B A B A0 B A0 ( )B B A0 0 B B A B A B 0

V V F V F V F F VV F F F V V V V VF V V V F V F F VF F V V F F V F F

Le colonne relative alle due espressioni sono uguali quindi le espressioni sono equivalenti

44

45

46

47

48 49

50

51

52

53

54

55

56

57

COME SI FA

colonne uguali

12

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

bull Utilizziamo le proprietagrave delle operazioni logiche per passare da unrsquoespressione allrsquoaltra attraverso espres-sioni equivalenti

( ) ( ) ( )B B A B B A B B A B A B0 0 0 0 0= = =

Verifica le seguenti equivalenze utilizzando il metodo che preferisci( ) ( )A B A A A B0 0 =

( ) ( )B B A B B A 0 0 =

A B B A B 0 0=

( )A B B A B0 =

( ) ( )A B A A A B0 0 =

( ) ( ) ( ) ( )A B A B B A A B0 0 0 =

Utilizzando le tavole di veritagrave verifica le seguenti equivalenzeB A A B = B A A B A B 0 0=

( ) ( )A B C A B C =

TAUTOLOGIE E CONTRADDIZIONIAL VOLO Stabilisci se le seguenti espressioni sono tautologie o contraddizioni

a ( )B B B0 b ( ) ( )A A A A0 c C C) d A A)

Utilizzando le tavole di veritagrave stabilisci quali fra le seguenti sono tautologie e quali contraddizioni( )B B A 0 A A B ( )A B A B0 0

( )B B B [( ) ]A B A A ( ) ( )B C C B

Fra le seguenti espressioni indica quali sono tautologie quali contraddizioni e quali non sono neacute tautologie neacute contraddizioni A A A B A0 A A) B B) A B B

Senza utilizzare le tavole di veritagrave individua fra le seguenti proposizioni una tautologia e una contraddizio-ne spiega il tuo ragionamento Verifica poi le tue risposte compilando le tavole di veritagrave

( ) ( )A B A B0 0 B B A A0 A B B A0 A A B B)0

SCHEMI DI RAGIONAMENTOTEST Quale fra i seguenti non egrave un ragionamento valido laquoSe non accordo la chitarra non suonoraquoA Suono quindi accordo la chitarraB Se suono allora accordo la chitarra

C Accordo la chitarra quindi suonoD Non accordo la chitarra quindi non suono

SPIEGALO TU Percheacute i seguenti ragionamenti non sono validia laquoSe un cane abbaia allora non morde Quel cane non abbaia allora morderaquob laquoSe lrsquoacqua non bolle la pasta non cuoce Lrsquoacqua bolle allora la pasta cuoceraquo

Verifica che la legge di contrapposizione ( ) ( )A B B A egrave uno schema di ragionamento valido

negazione della negazione

2a legge di De Morgan commutativa della disgiunzione

58

59

60

61

62

63

64 65 66

67

68

69

70

71

72

73

74

13

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Il seguente ragionamento egrave valido mostralo con lrsquoaiuto di un diagramma di VennlaquoOgni multiplo di 12 egrave multiplo di 6raquolaquoOgni multiplo di 6 egrave multiplo di 3raquo

laquoOgni multiplo di 12 egrave multiplo di 3raquo

Riconoscere uno schema

Riconosciamo lo schema applicato in laquoSe un numero egrave una potenza di 3 allora non egrave pariraquo laquoUn numero egrave pari quindi non egrave una potenza di 3raquo

Scriviamo in simboli

laquoSe un numero egrave una potenza di 3 allora non egrave pariraquo A BlaquoUn numero egrave pari hellip B

hellipquindihellip

hellipnon egrave una potenza di 3raquo A

Lo schema di ragionamento egrave [( ) ]A B B A Poicheacute B egrave la negazione di ( )B B B= lo schema egrave il modus tollens

Riconosci gli schemi di ragionamento applicati scrivendo ognuno di essi in forma simbolicalaquoSe non hai il biglietto dellrsquoautobus prendi la multaraquolaquoNon prendi la multa quindi hai il biglietto dellrsquoautobusraquo

laquoSe arrivi in ritardo non entri a teatroraquolaquoArrivi in ritardo quindi non entri a teatroraquo

laquoSe passo col rosso mi ferma il vigile se mi ferma il vigile pagoraquolaquoSe passo col rosso pagoraquo

laquoSe penso allora sonoraquolaquoSe non sono allora non pensoraquo

laquoSe ingrasso non entro nei pantaloni se non entro nei pantaloni devo rifare il guardarobaraquolaquoSe ingrasso devo rifare il guardarobaraquo

laquoSe ho il foglio protocollo a righe crsquoegrave il temaraquolaquoNon crsquoegrave il tema quindi non ho il foglio protocollo a righeraquo

laquoSe lavo i vetri piove se piove i vetri si sporcanoraquolaquoSe lavo i vetri i vetri si sporcanoraquo

laquoSe sono bassa salgo sulla sediaraquolaquoSono bassa quindi salgo sulla sediaraquo

laquoSe un numero egrave naturale allora egrave intero se un numero egrave intero allora egrave razionaleraquolaquoSe un numero non egrave razionale allora non egrave naturaleraquo

75

COME SI FA

A laquoUn numero egrave una potenza di 3raquo B laquoUn numero egrave pariraquo

B

A

76

77

78

79

80

81

82

83

84

14

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Stabilisci se i seguenti ragionamenti sono validi e in caso affermativo indicane il tipolaquoSe suona il telefono rispondoraquolaquoNon rispondo quindi non suona il telefonoraquo

laquoSe accendo il forno non avvio la lavastoviglie se non avvio la lavastoviglie i piatti restano sporchiraquolaquoSe accendo il forno i piatti restano sporchiraquo

laquoSe il gatto miagola ha fameraquolaquoSe il gatto non ha fame non miagolaraquo

laquoSe il triangolo egrave rettangolo applico il teorema di PitagoraraquolaquoIl triangolo egrave rettangolo quindi applico il teorema di Pitagoraraquo

Applica il modus ponens il modus tollens e la legge di contrapposizione alle seguenti premessea laquoSe un rombo ha gli angoli congruenti allora egrave un quadratoraquob laquoSe in ogni materia la media dei miei voti egrave maggiore o uguale a 6 vengo promossoraquo

RIEPILOGO Altri esercizi di logicaEnunciati e connettivi logici

TEST Solo una delle seguenti frasi egrave un enunciato logico QualeA laquoStrano esercizioraquoB laquoLa risposta a questo esercizio egrave la Craquo

C laquoQuale esercizioraquoD laquoQuesto esercizio non mi piaceraquo

VERO O FALSO Egrave un enunciato logicoa laquoOggi vieni a giocare a calcio con noiraquo V F

b laquo15 egrave un multiplo di 2raquo V F

c laquoLa mia borsa egrave molto voluminosaraquo V F

d laquoCorriraquo V F

e laquoTutti i poligoni hanno 4 latiraquo V F

f laquo 10 5 2= raquo V F

g laquoPer favore sii puntualeraquo V F

h laquoChe cosa farai per il tuo compleannoraquo V F

Stabilisci quali tra i seguenti sono enunciati logici Per quelli che lo sono indica il valore di veritagravea laquoeuro 15 egrave un prezzo basso per una T-shirtraquo

b laquo2 44 21 raquo

c laquoIl doppio di 43 egrave 15raquo

d laquoMarzo ha 30 giorniraquo

Attribuisci a ciascuna delle seguenti proposizioni il valore di veritagravea laquoTutti i multipli di 4 sono anche multipli di 16raquob laquoLrsquouguaglianza x 62 = non egrave mai verificata

in Nraquoc laquoIl prodotto di due numeri dispari egrave sempre

un numero pariraquod laquoVenere egrave una stellaraquoe laquoIl rettangolo egrave un particolare parallelo-

grammaraquo

a laquoLa disuguaglianza x7 02+ puograve non esse-re verificata in Nraquo

b laquoIl massimo comune divisore fra due nume-ri pari egrave un numero pariraquo

c laquoIl Sole egrave un satellite del pianeta Terraraquod laquoLrsquoopposto di 4 egrave 4

1 raquoe laquoIl prodotto cartesiano tra insiemi egrave com-

mutativoraquo

85

86

87

88

89

90

91

92

93 94

15

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

COMPLETA le seguenti frasi in modo che risultino enunciati veria laquoIl numero egrave maggiore di 0raquob laquoLrsquouguaglianza egrave sempre verificata in Qraquoc laquoI numeri sono i divisori di 42raquod laquoIl numero egrave pari e multiplo di 7raquoe laquoOgni ha tre angoli congruentiraquo

Compila le tabelle a doppia entrata relative a congiunzione disgiunzione inclusiva disgiunzione esclusiva implicazione materiale coimplicazione materiale

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Le seguenti proposizioni sono proposizioni composte costituite da enunciati distinti (componenti) legati da connettivi logici Riscrivile in simboli indicando con una lettera maiuscola ogni componentea laquoTorino egrave una cittagrave piemontese ed egrave stata la prima capitale drsquoItaliaraquob laquoI palloni da calcio non sono sferici e nemmeno quelli da basketraquoc laquoIl numero 7 egrave positivo ed egrave un numero primoraquod laquoUn numero o egrave pari o egrave 42raquoe laquoI giorni dellrsquoanno sono 365 o 366raquof laquoO vado al mare o sul Monte Biancoraquog laquoIl numero 2 egrave minore di 3 e metagrave di 4raquo

Dati gli enunciati A laquo7 egrave il quarto numero primoraquo e B laquo7 egrave un divisore di 165raquo attribuisci il valore di veritagrave aa A B0 b A B c A B0 d A B e B A)

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE Considera le seguenti proposizioni tutte vereA laquosono in vacanzaraquo B laquonon lavororaquo C laquofaccio delle passeggiateraquo D laquosono al mareraquoTraduci in parole le seguenti proposizioni e determina il loro valore di veritagrave

B C A C D B C B A B0 D C A D0 A C

SPIEGALO TU Considera gli enunciati A laquoLaura ha 18 anniraquo e B laquoLaura ha la patenteraquo In quali casi gli enunciati A B e A B0 sono veri e in quali falsi E A B

INTORNO A NOI Tre imputati di un delitto Aldo Bruno e Carlo rilasciano le seguenti dichiarazioniAldo laquoNon sono colpevoleraquo Bruno laquoIl colpevole egrave Carloraquo Carlo laquoIl colpevole egrave AldoraquoSe sappiamo che uno solo dei tre imputati ha dichiarato il falso chi egrave il colpevole

Enunciati e quantificatoriINVALSI 2013 Indica se ciascuna delle seguenti proposizioni egrave vera o falsa

a Se un numero egrave multiplo di 9 allora egrave multiplo di 3 V F

b Un numero egrave multiplo di 6 solo se egrave pari V F

c Un numero egrave multiplo di 5 se e solo se egrave multiplo di 10 V F

d Se un numero egrave pari allora egrave multiplo di 4 V F

TEST Lrsquoenunciato aperto A(x) laquox 1- egrave un numero naturaleraquo con x N si trasforma in un enunciato vero in uno solo dei seguenti modi qualeA Sostituendo a x il valore 1- C Sostituendo a x il valore 0B Sostituendo a x il valore 1 D Lrsquoinsieme di veritagrave coincide con lrsquoinsieme universo

95

96

97

98

99 100

101

102

103

104

16

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

FAI UN ESEMPIO Fai un esempio di enunciato aperto e opportuno insieme universo per i quali le propo-sizioni ottenute con i quantificatori risultinoa entrambe vere b entrambe false

Per ognuno dei seguenti enunciati aperti scegli un dominio U appropriato e individua un suo elemento che rende vero lrsquoenunciato e uno che lo rende falso scrivi le proposizioni per tali elementi

A(x) laquox egrave una persona con la patenteraquoB(x) laquox egrave un felinoraquo

A(x) laquox egrave una verdura verderaquoB(y) laquoIl fiume Po attraversa la regione yraquoC(z) laquoz egrave un monte italianoraquo

Consideriamo i tre enunciati apertiA(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un multiplo di 5raquo C(x) laquox egrave un multiplo di 4raquoe come dominio U lrsquoinsieme N dei numeri naturali minori o uguali a 20

Rappresentiamo con un diagramma di Venn lrsquoinsieme di veritagravea dei tre enunciati b di ( ) ( ) ( )A x B x C x e di ( ) ( )A x B x0

UA

B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713 UA

B A(x) v B(x) verain A U B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713

A(x) v (B(x) C(x)vera in A U B U C

v vU U

ndashndash

Per ogni terna A(x) B(x) C(x) dato il dominio U indicato rappresenta con diagrammi di Venn lrsquoin-sieme di veritagrave a dei tre enunciati b degli enunciati ( )C x ( ) ( )A x B x0 ( ) ( )A x C x ( ) ( )A x C x0 ( ) ( ) ( )[ ]A x C x B x0

A(x) laquox egrave un poligono equilateroraquo B(x) laquox egrave un rettangoloraquo C(x) laquox egrave un quadratoraquo U egrave lrsquoinsieme dei poligoni

A(x) laquox egrave un uomoraquo B(x) laquox egrave una donnaraquo C(x) laquox egrave suoceraraquo U egrave lrsquoinsieme delle persone

A(x) laquox egrave un erbivororaquo B(x) laquox egrave un carnivororaquo C(x) laquox egrave un onnivororaquo U egrave lrsquoinsieme degli animali

INVALSI 2003 Quale delle seguenti affermazioni egrave falsaA Alcuni multipli di 4 sono anche multipli di 8B Tutti i multipli di 8 sono anche multipli di 4C Tutti i numeri pari sono fra i multipli di 8

D Alcuni numeri pari non sono multipli di 8E Alcuni numeri pari sono multipli di 8

INVALSI 2004 Quale delle seguenti proposizioni egrave veraA Ogni numero intero divisibile per 3 egrave divisibile per 9B Ogni numero intero divisibile per 4 egrave divisibile per 2C Se il prodotto di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno dei due interi egrave divisibile per 5D Se la somma di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno degli addendi egrave divisibile per 5

105

106 107

COME SI FA

108

109

110

111

112

17

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

INVALSI 2004 Osserva le figure Quale delle seguenti affer-mazioni egrave falsaA Non tutti i quadrati sono bianchiB Qualche triangolo egrave neroC Almeno un cerchio egrave neroD Non tutti i cerchi sono bianchi

Indica per ogni enunciato il suo valore di veritagravea x Z6 x 3 0+ = b x xN7 egrave un numero primoc x xrette del piano7 egrave parallela a una retta r datad x Z6 x 022

TEST Dato il dominio U composto dalle figure del piano e lrsquoenunciato A(x) laquox egrave un quadrilateroraquo con x U quale enunciato egrave falsoA x U6 x egrave un quadrilateroB x A6 x egrave una figura del piano

C x U x7 egrave un quadrilateroD x A x7 egrave una figura del piano

TEST Quale delle seguenti egrave equivalente alla proposizione laquoSe un numero egrave divisibile per 18 allora egrave divi-sibile per 2 e per 3raquoA laquoSe un numero non egrave divisibile per 18 allora non egrave divisibile per 2 e per 3raquoB laquoSe un numero egrave divisibile per 2 e per 3 allora egrave divisibile per 18raquoC laquoSe un numero non egrave divisibile neacute per 2 neacute per 3 allora non egrave divisibile per 18raquoD laquoSe un numero non egrave divisibile per 2 o per 3 allora non egrave divisibile per 18raquo

Scriviamo le proposizioni che si ottengono dallrsquoenunciato ( )A x laquox egrave minore del suo doppioraquo utilizzando i quantificatori 6 e 7 nellrsquoinsieme universo U dei numeri interi Stabiliamo il valore di veritagrave delle proposizioni ottenute

quantificatore proposizione valore di veritagrave6 x U6 x x21 F7 x U x x27 1 V

Per ognuno dei seguenti enunciati scrivi le proposizioni che si ottengono utilizzando i quantificatori 6 e 7 e stabilisci il corrispondente valore di veritagrave

U x xN= egrave multiplo di 8 A(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un divisore di 16raquo ( )B x

U x x= egrave un felino A(x) laquox egrave una linceraquo B(x) laquox egrave un quadrupederaquo ( )B x

U x x= egrave una figura piana di area 16 A(x) laquox egrave un quadratoraquo B(x) laquox egrave un cerchioraquo C(x) laquox egrave un rettangolo di dimensioni 2 e 8raquo

Sia lrsquoinsieme N dei numeri naturali lrsquoinsieme in cui si considera la variabile x Lrsquoespressione laquoNon esiste alcun numero naturale n che moltiplicato per un numero naturale x qualsiasi dia come risultato x stessoraquo di quale tra le seguenti proposizioni logiche egrave la traduzione Tale proposizione egrave vera o falsaA ( )n x n x xN N $b 7 = B n N6 x n x xN $b = C n xN Nb 6 n x x$ =

113

114

115

116

COME SI FA

per esempio ndash3 Z ma ndash3 gt 2 sdot (ndash3)

per esempio 2 Z e 2 lt 2 sdot 2

117

118

119

120

18

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Sono date le proposizioni

A laquoOgni pagina del libro ha una figuraraquo

B laquoEsiste una pagina del libro in cui non compare il colore bluraquo

Scriviamo la loro negazioneA laquoEsiste una pagina del libro che non ha una figuraraquo

B laquoIn ogni pagina del libro compare il colore bluraquo

Per ognuna delle seguenti proposizioni scrivi la negazionelaquoOgni tavolo ha quattro gamberaquo

laquoNon esiste un multiplo di 5 che non termina per 0raquo

laquoTutti i numeri naturali sono interiraquo

laquoEsiste un numero naturale che egrave minore del suo cuboraquo

INVALSI 2012 Quale tra le seguenti frasi egrave la negazione della proposizione laquoTutti i numeri naturali sono dispariraquoA Tutti i numeri naturali sono pariB Nessun numero naturale egrave dispariC Almeno un numero naturale non egrave dispariD Qualche numero naturale egrave dispari

IN GARA Nel paese di Oz oltre alle persone normali (che possono mentire o dire la veritagrave) vivono cava-lieri (che dicono sempre la veritagrave) e furfanti (che mentono sempre) Una strana legge impone che in ogni matrimonio i coniugi siano entrambi normali oppure uno cavaliere e lrsquoaltro furfante Arrivati alla villetta bifamiliare dei coniugi Allegri e Bianchi chiedete se il sig Bianchi che egrave assente egrave un cavaliere ottenendo risposta affermativa sia dalla sigra Bianchi sia da entrambi i coniugi Allegri Che cosa potete concludere riguardo ai sig BianchiA Il sig Bianchi egrave un cavaliereB Il sig Bianchi egrave un furfanteC Il sig Bianchi egrave normaleD Egrave impossibile che le risposte date siano quelle riportateE Non potete concludere nulla

[Olimpiadi di matematica italiane Gara di 2deg livello Biennio 2003]

COME SI FA

X

Y

X

Y

121

122

123

124

125

126

8

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE Dati gli enunciati A laquoOggi fa caldoraquo B laquoOggi pioveraquo C laquoEsco con lrsquoombrelloraquo e D laquoVado a scuola in biciclettaraquo traduci in parole le seguenti espressioni

A B C B D A C A A D) DB A D C) D B A 0

Scriviamo in simboli lrsquoespressione laquoSe 187 11 17$= 187 non egrave un numero primo ed egrave multiplo di 11raquoIndichiamo con una variabile logica ogni enunciato componente

laquoSe 187 11 17$= (allora) 187 non egrave un numero primo ed egrave multiplo di 11raquo

In simboli ( )A B C

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Riscrivi in simboli le seguenti espressioni indicando con una variabile logica ogni enunciato componente

a laquoLuisa va al mare ma non fa il bagnoraquob laquoOggi vedo Stefano e lo invito a cenaraquoc laquoMaria non legge giornali e non guarda la televisioneraquo

d laquoIl numero 57 non egrave razionale egrave positivo e maggiore di 1raquo

e laquoLuca deve risolvere un problema portare fuori il cane telefonare a Rita e a Paoloraquo

a laquoIl cubo egrave un solido ha otto facce e le sue facce sono quadratiraquob laquoIl numero 6 non egrave divisibile per 4 ed egrave pariraquoc laquoNon egrave vero che o porti la pizza o non partecipi alla festaraquod laquo18 egrave multiplo di 9 divisore di 36 ma non egrave divisibile per 5raquo

a laquoSe non pianto la tenda e piove il sacco a pelo si bagnaraquob laquoSe r egrave parallela a s e s egrave parallela a t allora r egrave parallela a traquoc laquoSe vai in palestra non ci vediamo e non fai i compitiraquod laquoIl libro egrave tuo se e solo se lrsquoarancione non egrave il tuo colore preferitoraquo

YOU amp MATHS Write the sentences below in terms of the followingr strawberries are ripe along the path b snails have been seen in the area w walking on the path is safea Strawberries are ripe along the path and snails have not been seen in the areab Snails have not been seen in the area and walking on the path is safe and strawberries are ripe along the pathc If strawberries are ripe along the path then walking is safe if and only if snails have not been seen in the aread It is not safe to walk along the path snails have not been seen in the area and the strawberries along

the path are ripe

INTORNO A NOI Negli ascensori di solito egrave presente unrsquoetichetta con una frase simile a quella indicata a lato Individua tre propo-sizioni P Q R in modo da poter scrivere lrsquoavviso come espressione in cui P Q e R sono legate con connettivi logici Qual egrave lrsquoespressio-ne in simboli

25 26

COME SI FA

implicazione materiale

A laquo187 = 11 17raquo

negazione

B laquo187 egrave un numero primoraquo

congiunzione

C laquo187 egrave multiplo di 11raquo

27

28

29

30

31NON POSSONO USARE LrsquoASCENSORE

PERSONE MINORI DI 12 ANNISE NON ACCOMPAGNATE

9

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

TRADUCI Considera le seguenti proposizioni A laquoSabato telefono a Ugoraquo B laquoSabato Ugo mi telefonaraquo C laquoSabato finisco il lavororaquo D laquoSabato guardo la TVraquoa Traduci in parole le proposizioni

A D0 B C B B0 A C D C B C) A B0 ( )D C A ( ) ( )A B C D

b Traduci le seguenti proposizioni composte in simboli laquoSabato se Ugo mi telefona finisco il lavoro e non guardo la TVraquo laquoSabato finisco il lavoro o guardo la TV e non telefono a Ugoraquo laquoSabato se Ugo non mi telefona io telefono a Ugo e finisco il lavororaquo laquoSabato o telefono a Ugo o mi telefona lui e finisco il lavororaquo

INTORNO A NOI Sono date le proposizioniA laquoIl mio cane abbaiaraquoB laquoLa luna egrave pienaraquo

C laquoPioveraquoD laquoIl mio cane ulularaquo

Utilizza le variabili logiche e i connettivi adeguati per rappresentare schematicamente le seguenti proposizionia laquoSe la luna egrave piena il mio cane o abbaia o ulularaquob laquoChe piova o che la luna sia piena il mio cane abbaiaraquoc laquoSe il mio cane ulula allora la luna egrave piena e se piove allora il mio cane abbaiaraquo

Espressioni e valori di veritagrave

Consideriamo le proposizioni A laquo63 egrave un multiplo di 7raquo B laquo3 egrave un divisore di 63raquo e C laquo63 egrave un numero pariraquo

Stabiliamo il valore di veritagrave di A B B C0 B C A0

Costruiamo la tavola di veritagrave

A B C A B A B B C B C0 B C0 B C A0

V V F V F F V V F V

Espressioni e tavole di veritagraveCACCIA ALLrsquoERRORE Esamina la seguente tavola di veritagrave e scopri in essa almeno cinque errori

A B C A B C A0 C B0 C A C B0 0 ( ) [ ]A B C A C B 0 0

V V V V V V V VV V F V V V V VV F V F F V V VV F F V V F F VF V V V V V V VF V F V F F F VF F V V V V F VF F F V F F V V

32

33

COME SI FA

63 non egrave un numero pari63 3 = 2163 = 7 9

34

10

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

COMPLETA la seguente tavola di veritagrave inserendo lrsquoespressione corretta scelta fra( )A B C 0 ( )A B C ( )A B C 0

A B C0

A B CV V V VV V F FV F V FV F F VF V V FF V F VF F V FF F F V

COMPLETA la seguente tavola inserendo i valori di veritagrave e gli operatori mancanti

A B A B A B A B0 A BV V F V

F F F VF F V V

F V V F

Date due proposizioni generiche A e B costruiamo la tavola di veritagrave dellrsquoespressione ( )A B A0

A B A B A ( )A B A0

V V F V VV F F F FF V V F VF F V F V

tutti i possibili casi per A e B aggiungiamo le colonne A e B A

Per ciascuna delle seguenti espressioni costruisci la tavola di veritagrave considerando A e B proposizioni generiche

A B A B A B A B0 A B0

A B0 A B0 A B0 A B0 A B0

A B A B A B A B

A B) A B) A B) A B)

A B A A B ( )A A B ( )A B B

A B0 A A B0 0 ( )A A B0 0 ( )A B B0 0

A A B 0 A A B 0 ( )A B B0 ( )A B B0

35

36

COME SI FA

37

38

39

40

41

42

43

11

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Per ciascuna delle seguenti espressioni costruisci la tavola di veritagrave considerando A e B e C proposizioni generiche

( )A B C0 ( )A B C 0 ( ) ( )A B C A 0

( )B A C0 ( )A B C0 ( ) ( )A CC B) )

( )B CA 0 ( )B C A 0 A B C 0

( )B C A ( ) ( )A C B C0 ( )A CB)

VERO O FALSO Considera A e B proposizioni generichea Se A egrave falsa allora anche A egrave falsa V F

b Se A B egrave falsa allora o A o B egrave falsa V F

c A B0 egrave vera se e solo se A e B non sono entrambe vere o entrambe false V F

d Se A e B sono false allora ( ) ( )A B A B0 0

egrave falsa V F

VERO O FALSO a Se A B) egrave falsa allora A e B non sono

entrambe vere o entrambe false V F

b A B egrave falsa se e solo se A egrave vera V F

c A B non puograve essere falsa se A egrave falsa V F

d A B) egrave vera se e solo se anche A e B lo sono V F

PROPRIETAgrave DELLE OPERAZIONI LOGICHEEnuncia le seguenti proprietagrave delle operazioni logiche e verificale utilizzando una tavola di veritagrave

Negazione della negazione

Idempotenza della disgiunzione

Commutativa della disgiunzione

Associativa della congiunzione

Distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione

Distributiva della disgiunzione rispetto alla congiunzione

FAI UN ESEMPIO di applicazione della seconda legge di De Morgan e verifica poi la legge mediante la tavola di veritagrave

EquivalenzeTEST Dato lrsquoenunciato laquoNon egrave vero che 2- non egrave un numero pariraquo quale dei seguenti egrave equivalenteA laquo 2- non egrave un numero pariraquoB laquoNon egrave vero che 2- egrave un numero pariraquo

C laquo 2- egrave un numero pariraquoD laquo 2- non egrave un numero non pariraquo

Verifichiamo che ( )B B A B A B0 0 0= Possiamo procedere in due modi bull Compiliamo la tavola di veritagrave

A B A B A0 B A0 ( )B B A0 0 B B A B A B 0

V V F V F V F F VV F F F V V V V VF V V V F V F F VF F V V F F V F F

Le colonne relative alle due espressioni sono uguali quindi le espressioni sono equivalenti

44

45

46

47

48 49

50

51

52

53

54

55

56

57

COME SI FA

colonne uguali

12

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

bull Utilizziamo le proprietagrave delle operazioni logiche per passare da unrsquoespressione allrsquoaltra attraverso espres-sioni equivalenti

( ) ( ) ( )B B A B B A B B A B A B0 0 0 0 0= = =

Verifica le seguenti equivalenze utilizzando il metodo che preferisci( ) ( )A B A A A B0 0 =

( ) ( )B B A B B A 0 0 =

A B B A B 0 0=

( )A B B A B0 =

( ) ( )A B A A A B0 0 =

( ) ( ) ( ) ( )A B A B B A A B0 0 0 =

Utilizzando le tavole di veritagrave verifica le seguenti equivalenzeB A A B = B A A B A B 0 0=

( ) ( )A B C A B C =

TAUTOLOGIE E CONTRADDIZIONIAL VOLO Stabilisci se le seguenti espressioni sono tautologie o contraddizioni

a ( )B B B0 b ( ) ( )A A A A0 c C C) d A A)

Utilizzando le tavole di veritagrave stabilisci quali fra le seguenti sono tautologie e quali contraddizioni( )B B A 0 A A B ( )A B A B0 0

( )B B B [( ) ]A B A A ( ) ( )B C C B

Fra le seguenti espressioni indica quali sono tautologie quali contraddizioni e quali non sono neacute tautologie neacute contraddizioni A A A B A0 A A) B B) A B B

Senza utilizzare le tavole di veritagrave individua fra le seguenti proposizioni una tautologia e una contraddizio-ne spiega il tuo ragionamento Verifica poi le tue risposte compilando le tavole di veritagrave

( ) ( )A B A B0 0 B B A A0 A B B A0 A A B B)0

SCHEMI DI RAGIONAMENTOTEST Quale fra i seguenti non egrave un ragionamento valido laquoSe non accordo la chitarra non suonoraquoA Suono quindi accordo la chitarraB Se suono allora accordo la chitarra

C Accordo la chitarra quindi suonoD Non accordo la chitarra quindi non suono

SPIEGALO TU Percheacute i seguenti ragionamenti non sono validia laquoSe un cane abbaia allora non morde Quel cane non abbaia allora morderaquob laquoSe lrsquoacqua non bolle la pasta non cuoce Lrsquoacqua bolle allora la pasta cuoceraquo

Verifica che la legge di contrapposizione ( ) ( )A B B A egrave uno schema di ragionamento valido

negazione della negazione

2a legge di De Morgan commutativa della disgiunzione

58

59

60

61

62

63

64 65 66

67

68

69

70

71

72

73

74

13

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Il seguente ragionamento egrave valido mostralo con lrsquoaiuto di un diagramma di VennlaquoOgni multiplo di 12 egrave multiplo di 6raquolaquoOgni multiplo di 6 egrave multiplo di 3raquo

laquoOgni multiplo di 12 egrave multiplo di 3raquo

Riconoscere uno schema

Riconosciamo lo schema applicato in laquoSe un numero egrave una potenza di 3 allora non egrave pariraquo laquoUn numero egrave pari quindi non egrave una potenza di 3raquo

Scriviamo in simboli

laquoSe un numero egrave una potenza di 3 allora non egrave pariraquo A BlaquoUn numero egrave pari hellip B

hellipquindihellip

hellipnon egrave una potenza di 3raquo A

Lo schema di ragionamento egrave [( ) ]A B B A Poicheacute B egrave la negazione di ( )B B B= lo schema egrave il modus tollens

Riconosci gli schemi di ragionamento applicati scrivendo ognuno di essi in forma simbolicalaquoSe non hai il biglietto dellrsquoautobus prendi la multaraquolaquoNon prendi la multa quindi hai il biglietto dellrsquoautobusraquo

laquoSe arrivi in ritardo non entri a teatroraquolaquoArrivi in ritardo quindi non entri a teatroraquo

laquoSe passo col rosso mi ferma il vigile se mi ferma il vigile pagoraquolaquoSe passo col rosso pagoraquo

laquoSe penso allora sonoraquolaquoSe non sono allora non pensoraquo

laquoSe ingrasso non entro nei pantaloni se non entro nei pantaloni devo rifare il guardarobaraquolaquoSe ingrasso devo rifare il guardarobaraquo

laquoSe ho il foglio protocollo a righe crsquoegrave il temaraquolaquoNon crsquoegrave il tema quindi non ho il foglio protocollo a righeraquo

laquoSe lavo i vetri piove se piove i vetri si sporcanoraquolaquoSe lavo i vetri i vetri si sporcanoraquo

laquoSe sono bassa salgo sulla sediaraquolaquoSono bassa quindi salgo sulla sediaraquo

laquoSe un numero egrave naturale allora egrave intero se un numero egrave intero allora egrave razionaleraquolaquoSe un numero non egrave razionale allora non egrave naturaleraquo

75

COME SI FA

A laquoUn numero egrave una potenza di 3raquo B laquoUn numero egrave pariraquo

B

A

76

77

78

79

80

81

82

83

84

14

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Stabilisci se i seguenti ragionamenti sono validi e in caso affermativo indicane il tipolaquoSe suona il telefono rispondoraquolaquoNon rispondo quindi non suona il telefonoraquo

laquoSe accendo il forno non avvio la lavastoviglie se non avvio la lavastoviglie i piatti restano sporchiraquolaquoSe accendo il forno i piatti restano sporchiraquo

laquoSe il gatto miagola ha fameraquolaquoSe il gatto non ha fame non miagolaraquo

laquoSe il triangolo egrave rettangolo applico il teorema di PitagoraraquolaquoIl triangolo egrave rettangolo quindi applico il teorema di Pitagoraraquo

Applica il modus ponens il modus tollens e la legge di contrapposizione alle seguenti premessea laquoSe un rombo ha gli angoli congruenti allora egrave un quadratoraquob laquoSe in ogni materia la media dei miei voti egrave maggiore o uguale a 6 vengo promossoraquo

RIEPILOGO Altri esercizi di logicaEnunciati e connettivi logici

TEST Solo una delle seguenti frasi egrave un enunciato logico QualeA laquoStrano esercizioraquoB laquoLa risposta a questo esercizio egrave la Craquo

C laquoQuale esercizioraquoD laquoQuesto esercizio non mi piaceraquo

VERO O FALSO Egrave un enunciato logicoa laquoOggi vieni a giocare a calcio con noiraquo V F

b laquo15 egrave un multiplo di 2raquo V F

c laquoLa mia borsa egrave molto voluminosaraquo V F

d laquoCorriraquo V F

e laquoTutti i poligoni hanno 4 latiraquo V F

f laquo 10 5 2= raquo V F

g laquoPer favore sii puntualeraquo V F

h laquoChe cosa farai per il tuo compleannoraquo V F

Stabilisci quali tra i seguenti sono enunciati logici Per quelli che lo sono indica il valore di veritagravea laquoeuro 15 egrave un prezzo basso per una T-shirtraquo

b laquo2 44 21 raquo

c laquoIl doppio di 43 egrave 15raquo

d laquoMarzo ha 30 giorniraquo

Attribuisci a ciascuna delle seguenti proposizioni il valore di veritagravea laquoTutti i multipli di 4 sono anche multipli di 16raquob laquoLrsquouguaglianza x 62 = non egrave mai verificata

in Nraquoc laquoIl prodotto di due numeri dispari egrave sempre

un numero pariraquod laquoVenere egrave una stellaraquoe laquoIl rettangolo egrave un particolare parallelo-

grammaraquo

a laquoLa disuguaglianza x7 02+ puograve non esse-re verificata in Nraquo

b laquoIl massimo comune divisore fra due nume-ri pari egrave un numero pariraquo

c laquoIl Sole egrave un satellite del pianeta Terraraquod laquoLrsquoopposto di 4 egrave 4

1 raquoe laquoIl prodotto cartesiano tra insiemi egrave com-

mutativoraquo

85

86

87

88

89

90

91

92

93 94

15

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

COMPLETA le seguenti frasi in modo che risultino enunciati veria laquoIl numero egrave maggiore di 0raquob laquoLrsquouguaglianza egrave sempre verificata in Qraquoc laquoI numeri sono i divisori di 42raquod laquoIl numero egrave pari e multiplo di 7raquoe laquoOgni ha tre angoli congruentiraquo

Compila le tabelle a doppia entrata relative a congiunzione disgiunzione inclusiva disgiunzione esclusiva implicazione materiale coimplicazione materiale

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Le seguenti proposizioni sono proposizioni composte costituite da enunciati distinti (componenti) legati da connettivi logici Riscrivile in simboli indicando con una lettera maiuscola ogni componentea laquoTorino egrave una cittagrave piemontese ed egrave stata la prima capitale drsquoItaliaraquob laquoI palloni da calcio non sono sferici e nemmeno quelli da basketraquoc laquoIl numero 7 egrave positivo ed egrave un numero primoraquod laquoUn numero o egrave pari o egrave 42raquoe laquoI giorni dellrsquoanno sono 365 o 366raquof laquoO vado al mare o sul Monte Biancoraquog laquoIl numero 2 egrave minore di 3 e metagrave di 4raquo

Dati gli enunciati A laquo7 egrave il quarto numero primoraquo e B laquo7 egrave un divisore di 165raquo attribuisci il valore di veritagrave aa A B0 b A B c A B0 d A B e B A)

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE Considera le seguenti proposizioni tutte vereA laquosono in vacanzaraquo B laquonon lavororaquo C laquofaccio delle passeggiateraquo D laquosono al mareraquoTraduci in parole le seguenti proposizioni e determina il loro valore di veritagrave

B C A C D B C B A B0 D C A D0 A C

SPIEGALO TU Considera gli enunciati A laquoLaura ha 18 anniraquo e B laquoLaura ha la patenteraquo In quali casi gli enunciati A B e A B0 sono veri e in quali falsi E A B

INTORNO A NOI Tre imputati di un delitto Aldo Bruno e Carlo rilasciano le seguenti dichiarazioniAldo laquoNon sono colpevoleraquo Bruno laquoIl colpevole egrave Carloraquo Carlo laquoIl colpevole egrave AldoraquoSe sappiamo che uno solo dei tre imputati ha dichiarato il falso chi egrave il colpevole

Enunciati e quantificatoriINVALSI 2013 Indica se ciascuna delle seguenti proposizioni egrave vera o falsa

a Se un numero egrave multiplo di 9 allora egrave multiplo di 3 V F

b Un numero egrave multiplo di 6 solo se egrave pari V F

c Un numero egrave multiplo di 5 se e solo se egrave multiplo di 10 V F

d Se un numero egrave pari allora egrave multiplo di 4 V F

TEST Lrsquoenunciato aperto A(x) laquox 1- egrave un numero naturaleraquo con x N si trasforma in un enunciato vero in uno solo dei seguenti modi qualeA Sostituendo a x il valore 1- C Sostituendo a x il valore 0B Sostituendo a x il valore 1 D Lrsquoinsieme di veritagrave coincide con lrsquoinsieme universo

95

96

97

98

99 100

101

102

103

104

16

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

FAI UN ESEMPIO Fai un esempio di enunciato aperto e opportuno insieme universo per i quali le propo-sizioni ottenute con i quantificatori risultinoa entrambe vere b entrambe false

Per ognuno dei seguenti enunciati aperti scegli un dominio U appropriato e individua un suo elemento che rende vero lrsquoenunciato e uno che lo rende falso scrivi le proposizioni per tali elementi

A(x) laquox egrave una persona con la patenteraquoB(x) laquox egrave un felinoraquo

A(x) laquox egrave una verdura verderaquoB(y) laquoIl fiume Po attraversa la regione yraquoC(z) laquoz egrave un monte italianoraquo

Consideriamo i tre enunciati apertiA(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un multiplo di 5raquo C(x) laquox egrave un multiplo di 4raquoe come dominio U lrsquoinsieme N dei numeri naturali minori o uguali a 20

Rappresentiamo con un diagramma di Venn lrsquoinsieme di veritagravea dei tre enunciati b di ( ) ( ) ( )A x B x C x e di ( ) ( )A x B x0

UA

B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713 UA

B A(x) v B(x) verain A U B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713

A(x) v (B(x) C(x)vera in A U B U C

v vU U

ndashndash

Per ogni terna A(x) B(x) C(x) dato il dominio U indicato rappresenta con diagrammi di Venn lrsquoin-sieme di veritagrave a dei tre enunciati b degli enunciati ( )C x ( ) ( )A x B x0 ( ) ( )A x C x ( ) ( )A x C x0 ( ) ( ) ( )[ ]A x C x B x0

A(x) laquox egrave un poligono equilateroraquo B(x) laquox egrave un rettangoloraquo C(x) laquox egrave un quadratoraquo U egrave lrsquoinsieme dei poligoni

A(x) laquox egrave un uomoraquo B(x) laquox egrave una donnaraquo C(x) laquox egrave suoceraraquo U egrave lrsquoinsieme delle persone

A(x) laquox egrave un erbivororaquo B(x) laquox egrave un carnivororaquo C(x) laquox egrave un onnivororaquo U egrave lrsquoinsieme degli animali

INVALSI 2003 Quale delle seguenti affermazioni egrave falsaA Alcuni multipli di 4 sono anche multipli di 8B Tutti i multipli di 8 sono anche multipli di 4C Tutti i numeri pari sono fra i multipli di 8

D Alcuni numeri pari non sono multipli di 8E Alcuni numeri pari sono multipli di 8

INVALSI 2004 Quale delle seguenti proposizioni egrave veraA Ogni numero intero divisibile per 3 egrave divisibile per 9B Ogni numero intero divisibile per 4 egrave divisibile per 2C Se il prodotto di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno dei due interi egrave divisibile per 5D Se la somma di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno degli addendi egrave divisibile per 5

105

106 107

COME SI FA

108

109

110

111

112

17

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

INVALSI 2004 Osserva le figure Quale delle seguenti affer-mazioni egrave falsaA Non tutti i quadrati sono bianchiB Qualche triangolo egrave neroC Almeno un cerchio egrave neroD Non tutti i cerchi sono bianchi

Indica per ogni enunciato il suo valore di veritagravea x Z6 x 3 0+ = b x xN7 egrave un numero primoc x xrette del piano7 egrave parallela a una retta r datad x Z6 x 022

TEST Dato il dominio U composto dalle figure del piano e lrsquoenunciato A(x) laquox egrave un quadrilateroraquo con x U quale enunciato egrave falsoA x U6 x egrave un quadrilateroB x A6 x egrave una figura del piano

C x U x7 egrave un quadrilateroD x A x7 egrave una figura del piano

TEST Quale delle seguenti egrave equivalente alla proposizione laquoSe un numero egrave divisibile per 18 allora egrave divi-sibile per 2 e per 3raquoA laquoSe un numero non egrave divisibile per 18 allora non egrave divisibile per 2 e per 3raquoB laquoSe un numero egrave divisibile per 2 e per 3 allora egrave divisibile per 18raquoC laquoSe un numero non egrave divisibile neacute per 2 neacute per 3 allora non egrave divisibile per 18raquoD laquoSe un numero non egrave divisibile per 2 o per 3 allora non egrave divisibile per 18raquo

Scriviamo le proposizioni che si ottengono dallrsquoenunciato ( )A x laquox egrave minore del suo doppioraquo utilizzando i quantificatori 6 e 7 nellrsquoinsieme universo U dei numeri interi Stabiliamo il valore di veritagrave delle proposizioni ottenute

quantificatore proposizione valore di veritagrave6 x U6 x x21 F7 x U x x27 1 V

Per ognuno dei seguenti enunciati scrivi le proposizioni che si ottengono utilizzando i quantificatori 6 e 7 e stabilisci il corrispondente valore di veritagrave

U x xN= egrave multiplo di 8 A(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un divisore di 16raquo ( )B x

U x x= egrave un felino A(x) laquox egrave una linceraquo B(x) laquox egrave un quadrupederaquo ( )B x

U x x= egrave una figura piana di area 16 A(x) laquox egrave un quadratoraquo B(x) laquox egrave un cerchioraquo C(x) laquox egrave un rettangolo di dimensioni 2 e 8raquo

Sia lrsquoinsieme N dei numeri naturali lrsquoinsieme in cui si considera la variabile x Lrsquoespressione laquoNon esiste alcun numero naturale n che moltiplicato per un numero naturale x qualsiasi dia come risultato x stessoraquo di quale tra le seguenti proposizioni logiche egrave la traduzione Tale proposizione egrave vera o falsaA ( )n x n x xN N $b 7 = B n N6 x n x xN $b = C n xN Nb 6 n x x$ =

113

114

115

116

COME SI FA

per esempio ndash3 Z ma ndash3 gt 2 sdot (ndash3)

per esempio 2 Z e 2 lt 2 sdot 2

117

118

119

120

18

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Sono date le proposizioni

A laquoOgni pagina del libro ha una figuraraquo

B laquoEsiste una pagina del libro in cui non compare il colore bluraquo

Scriviamo la loro negazioneA laquoEsiste una pagina del libro che non ha una figuraraquo

B laquoIn ogni pagina del libro compare il colore bluraquo

Per ognuna delle seguenti proposizioni scrivi la negazionelaquoOgni tavolo ha quattro gamberaquo

laquoNon esiste un multiplo di 5 che non termina per 0raquo

laquoTutti i numeri naturali sono interiraquo

laquoEsiste un numero naturale che egrave minore del suo cuboraquo

INVALSI 2012 Quale tra le seguenti frasi egrave la negazione della proposizione laquoTutti i numeri naturali sono dispariraquoA Tutti i numeri naturali sono pariB Nessun numero naturale egrave dispariC Almeno un numero naturale non egrave dispariD Qualche numero naturale egrave dispari

IN GARA Nel paese di Oz oltre alle persone normali (che possono mentire o dire la veritagrave) vivono cava-lieri (che dicono sempre la veritagrave) e furfanti (che mentono sempre) Una strana legge impone che in ogni matrimonio i coniugi siano entrambi normali oppure uno cavaliere e lrsquoaltro furfante Arrivati alla villetta bifamiliare dei coniugi Allegri e Bianchi chiedete se il sig Bianchi che egrave assente egrave un cavaliere ottenendo risposta affermativa sia dalla sigra Bianchi sia da entrambi i coniugi Allegri Che cosa potete concludere riguardo ai sig BianchiA Il sig Bianchi egrave un cavaliereB Il sig Bianchi egrave un furfanteC Il sig Bianchi egrave normaleD Egrave impossibile che le risposte date siano quelle riportateE Non potete concludere nulla

[Olimpiadi di matematica italiane Gara di 2deg livello Biennio 2003]

COME SI FA

X

Y

X

Y

121

122

123

124

125

126

9

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

TRADUCI Considera le seguenti proposizioni A laquoSabato telefono a Ugoraquo B laquoSabato Ugo mi telefonaraquo C laquoSabato finisco il lavororaquo D laquoSabato guardo la TVraquoa Traduci in parole le proposizioni

A D0 B C B B0 A C D C B C) A B0 ( )D C A ( ) ( )A B C D

b Traduci le seguenti proposizioni composte in simboli laquoSabato se Ugo mi telefona finisco il lavoro e non guardo la TVraquo laquoSabato finisco il lavoro o guardo la TV e non telefono a Ugoraquo laquoSabato se Ugo non mi telefona io telefono a Ugo e finisco il lavororaquo laquoSabato o telefono a Ugo o mi telefona lui e finisco il lavororaquo

INTORNO A NOI Sono date le proposizioniA laquoIl mio cane abbaiaraquoB laquoLa luna egrave pienaraquo

C laquoPioveraquoD laquoIl mio cane ulularaquo

Utilizza le variabili logiche e i connettivi adeguati per rappresentare schematicamente le seguenti proposizionia laquoSe la luna egrave piena il mio cane o abbaia o ulularaquob laquoChe piova o che la luna sia piena il mio cane abbaiaraquoc laquoSe il mio cane ulula allora la luna egrave piena e se piove allora il mio cane abbaiaraquo

Espressioni e valori di veritagrave

Consideriamo le proposizioni A laquo63 egrave un multiplo di 7raquo B laquo3 egrave un divisore di 63raquo e C laquo63 egrave un numero pariraquo

Stabiliamo il valore di veritagrave di A B B C0 B C A0

Costruiamo la tavola di veritagrave

A B C A B A B B C B C0 B C0 B C A0

V V F V F F V V F V

Espressioni e tavole di veritagraveCACCIA ALLrsquoERRORE Esamina la seguente tavola di veritagrave e scopri in essa almeno cinque errori

A B C A B C A0 C B0 C A C B0 0 ( ) [ ]A B C A C B 0 0

V V V V V V V VV V F V V V V VV F V F F V V VV F F V V F F VF V V V V V V VF V F V F F F VF F V V V V F VF F F V F F V V

32

33

COME SI FA

63 non egrave un numero pari63 3 = 2163 = 7 9

34

10

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

COMPLETA la seguente tavola di veritagrave inserendo lrsquoespressione corretta scelta fra( )A B C 0 ( )A B C ( )A B C 0

A B C0

A B CV V V VV V F FV F V FV F F VF V V FF V F VF F V FF F F V

COMPLETA la seguente tavola inserendo i valori di veritagrave e gli operatori mancanti

A B A B A B A B0 A BV V F V

F F F VF F V V

F V V F

Date due proposizioni generiche A e B costruiamo la tavola di veritagrave dellrsquoespressione ( )A B A0

A B A B A ( )A B A0

V V F V VV F F F FF V V F VF F V F V

tutti i possibili casi per A e B aggiungiamo le colonne A e B A

Per ciascuna delle seguenti espressioni costruisci la tavola di veritagrave considerando A e B proposizioni generiche

A B A B A B A B0 A B0

A B0 A B0 A B0 A B0 A B0

A B A B A B A B

A B) A B) A B) A B)

A B A A B ( )A A B ( )A B B

A B0 A A B0 0 ( )A A B0 0 ( )A B B0 0

A A B 0 A A B 0 ( )A B B0 ( )A B B0

35

36

COME SI FA

37

38

39

40

41

42

43

11

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Per ciascuna delle seguenti espressioni costruisci la tavola di veritagrave considerando A e B e C proposizioni generiche

( )A B C0 ( )A B C 0 ( ) ( )A B C A 0

( )B A C0 ( )A B C0 ( ) ( )A CC B) )

( )B CA 0 ( )B C A 0 A B C 0

( )B C A ( ) ( )A C B C0 ( )A CB)

VERO O FALSO Considera A e B proposizioni generichea Se A egrave falsa allora anche A egrave falsa V F

b Se A B egrave falsa allora o A o B egrave falsa V F

c A B0 egrave vera se e solo se A e B non sono entrambe vere o entrambe false V F

d Se A e B sono false allora ( ) ( )A B A B0 0

egrave falsa V F

VERO O FALSO a Se A B) egrave falsa allora A e B non sono

entrambe vere o entrambe false V F

b A B egrave falsa se e solo se A egrave vera V F

c A B non puograve essere falsa se A egrave falsa V F

d A B) egrave vera se e solo se anche A e B lo sono V F

PROPRIETAgrave DELLE OPERAZIONI LOGICHEEnuncia le seguenti proprietagrave delle operazioni logiche e verificale utilizzando una tavola di veritagrave

Negazione della negazione

Idempotenza della disgiunzione

Commutativa della disgiunzione

Associativa della congiunzione

Distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione

Distributiva della disgiunzione rispetto alla congiunzione

FAI UN ESEMPIO di applicazione della seconda legge di De Morgan e verifica poi la legge mediante la tavola di veritagrave

EquivalenzeTEST Dato lrsquoenunciato laquoNon egrave vero che 2- non egrave un numero pariraquo quale dei seguenti egrave equivalenteA laquo 2- non egrave un numero pariraquoB laquoNon egrave vero che 2- egrave un numero pariraquo

C laquo 2- egrave un numero pariraquoD laquo 2- non egrave un numero non pariraquo

Verifichiamo che ( )B B A B A B0 0 0= Possiamo procedere in due modi bull Compiliamo la tavola di veritagrave

A B A B A0 B A0 ( )B B A0 0 B B A B A B 0

V V F V F V F F VV F F F V V V V VF V V V F V F F VF F V V F F V F F

Le colonne relative alle due espressioni sono uguali quindi le espressioni sono equivalenti

44

45

46

47

48 49

50

51

52

53

54

55

56

57

COME SI FA

colonne uguali

12

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

bull Utilizziamo le proprietagrave delle operazioni logiche per passare da unrsquoespressione allrsquoaltra attraverso espres-sioni equivalenti

( ) ( ) ( )B B A B B A B B A B A B0 0 0 0 0= = =

Verifica le seguenti equivalenze utilizzando il metodo che preferisci( ) ( )A B A A A B0 0 =

( ) ( )B B A B B A 0 0 =

A B B A B 0 0=

( )A B B A B0 =

( ) ( )A B A A A B0 0 =

( ) ( ) ( ) ( )A B A B B A A B0 0 0 =

Utilizzando le tavole di veritagrave verifica le seguenti equivalenzeB A A B = B A A B A B 0 0=

( ) ( )A B C A B C =

TAUTOLOGIE E CONTRADDIZIONIAL VOLO Stabilisci se le seguenti espressioni sono tautologie o contraddizioni

a ( )B B B0 b ( ) ( )A A A A0 c C C) d A A)

Utilizzando le tavole di veritagrave stabilisci quali fra le seguenti sono tautologie e quali contraddizioni( )B B A 0 A A B ( )A B A B0 0

( )B B B [( ) ]A B A A ( ) ( )B C C B

Fra le seguenti espressioni indica quali sono tautologie quali contraddizioni e quali non sono neacute tautologie neacute contraddizioni A A A B A0 A A) B B) A B B

Senza utilizzare le tavole di veritagrave individua fra le seguenti proposizioni una tautologia e una contraddizio-ne spiega il tuo ragionamento Verifica poi le tue risposte compilando le tavole di veritagrave

( ) ( )A B A B0 0 B B A A0 A B B A0 A A B B)0

SCHEMI DI RAGIONAMENTOTEST Quale fra i seguenti non egrave un ragionamento valido laquoSe non accordo la chitarra non suonoraquoA Suono quindi accordo la chitarraB Se suono allora accordo la chitarra

C Accordo la chitarra quindi suonoD Non accordo la chitarra quindi non suono

SPIEGALO TU Percheacute i seguenti ragionamenti non sono validia laquoSe un cane abbaia allora non morde Quel cane non abbaia allora morderaquob laquoSe lrsquoacqua non bolle la pasta non cuoce Lrsquoacqua bolle allora la pasta cuoceraquo

Verifica che la legge di contrapposizione ( ) ( )A B B A egrave uno schema di ragionamento valido

negazione della negazione

2a legge di De Morgan commutativa della disgiunzione

58

59

60

61

62

63

64 65 66

67

68

69

70

71

72

73

74

13

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Il seguente ragionamento egrave valido mostralo con lrsquoaiuto di un diagramma di VennlaquoOgni multiplo di 12 egrave multiplo di 6raquolaquoOgni multiplo di 6 egrave multiplo di 3raquo

laquoOgni multiplo di 12 egrave multiplo di 3raquo

Riconoscere uno schema

Riconosciamo lo schema applicato in laquoSe un numero egrave una potenza di 3 allora non egrave pariraquo laquoUn numero egrave pari quindi non egrave una potenza di 3raquo

Scriviamo in simboli

laquoSe un numero egrave una potenza di 3 allora non egrave pariraquo A BlaquoUn numero egrave pari hellip B

hellipquindihellip

hellipnon egrave una potenza di 3raquo A

Lo schema di ragionamento egrave [( ) ]A B B A Poicheacute B egrave la negazione di ( )B B B= lo schema egrave il modus tollens

Riconosci gli schemi di ragionamento applicati scrivendo ognuno di essi in forma simbolicalaquoSe non hai il biglietto dellrsquoautobus prendi la multaraquolaquoNon prendi la multa quindi hai il biglietto dellrsquoautobusraquo

laquoSe arrivi in ritardo non entri a teatroraquolaquoArrivi in ritardo quindi non entri a teatroraquo

laquoSe passo col rosso mi ferma il vigile se mi ferma il vigile pagoraquolaquoSe passo col rosso pagoraquo

laquoSe penso allora sonoraquolaquoSe non sono allora non pensoraquo

laquoSe ingrasso non entro nei pantaloni se non entro nei pantaloni devo rifare il guardarobaraquolaquoSe ingrasso devo rifare il guardarobaraquo

laquoSe ho il foglio protocollo a righe crsquoegrave il temaraquolaquoNon crsquoegrave il tema quindi non ho il foglio protocollo a righeraquo

laquoSe lavo i vetri piove se piove i vetri si sporcanoraquolaquoSe lavo i vetri i vetri si sporcanoraquo

laquoSe sono bassa salgo sulla sediaraquolaquoSono bassa quindi salgo sulla sediaraquo

laquoSe un numero egrave naturale allora egrave intero se un numero egrave intero allora egrave razionaleraquolaquoSe un numero non egrave razionale allora non egrave naturaleraquo

75

COME SI FA

A laquoUn numero egrave una potenza di 3raquo B laquoUn numero egrave pariraquo

B

A

76

77

78

79

80

81

82

83

84

14

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Stabilisci se i seguenti ragionamenti sono validi e in caso affermativo indicane il tipolaquoSe suona il telefono rispondoraquolaquoNon rispondo quindi non suona il telefonoraquo

laquoSe accendo il forno non avvio la lavastoviglie se non avvio la lavastoviglie i piatti restano sporchiraquolaquoSe accendo il forno i piatti restano sporchiraquo

laquoSe il gatto miagola ha fameraquolaquoSe il gatto non ha fame non miagolaraquo

laquoSe il triangolo egrave rettangolo applico il teorema di PitagoraraquolaquoIl triangolo egrave rettangolo quindi applico il teorema di Pitagoraraquo

Applica il modus ponens il modus tollens e la legge di contrapposizione alle seguenti premessea laquoSe un rombo ha gli angoli congruenti allora egrave un quadratoraquob laquoSe in ogni materia la media dei miei voti egrave maggiore o uguale a 6 vengo promossoraquo

RIEPILOGO Altri esercizi di logicaEnunciati e connettivi logici

TEST Solo una delle seguenti frasi egrave un enunciato logico QualeA laquoStrano esercizioraquoB laquoLa risposta a questo esercizio egrave la Craquo

C laquoQuale esercizioraquoD laquoQuesto esercizio non mi piaceraquo

VERO O FALSO Egrave un enunciato logicoa laquoOggi vieni a giocare a calcio con noiraquo V F

b laquo15 egrave un multiplo di 2raquo V F

c laquoLa mia borsa egrave molto voluminosaraquo V F

d laquoCorriraquo V F

e laquoTutti i poligoni hanno 4 latiraquo V F

f laquo 10 5 2= raquo V F

g laquoPer favore sii puntualeraquo V F

h laquoChe cosa farai per il tuo compleannoraquo V F

Stabilisci quali tra i seguenti sono enunciati logici Per quelli che lo sono indica il valore di veritagravea laquoeuro 15 egrave un prezzo basso per una T-shirtraquo

b laquo2 44 21 raquo

c laquoIl doppio di 43 egrave 15raquo

d laquoMarzo ha 30 giorniraquo

Attribuisci a ciascuna delle seguenti proposizioni il valore di veritagravea laquoTutti i multipli di 4 sono anche multipli di 16raquob laquoLrsquouguaglianza x 62 = non egrave mai verificata

in Nraquoc laquoIl prodotto di due numeri dispari egrave sempre

un numero pariraquod laquoVenere egrave una stellaraquoe laquoIl rettangolo egrave un particolare parallelo-

grammaraquo

a laquoLa disuguaglianza x7 02+ puograve non esse-re verificata in Nraquo

b laquoIl massimo comune divisore fra due nume-ri pari egrave un numero pariraquo

c laquoIl Sole egrave un satellite del pianeta Terraraquod laquoLrsquoopposto di 4 egrave 4

1 raquoe laquoIl prodotto cartesiano tra insiemi egrave com-

mutativoraquo

85

86

87

88

89

90

91

92

93 94

15

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

COMPLETA le seguenti frasi in modo che risultino enunciati veria laquoIl numero egrave maggiore di 0raquob laquoLrsquouguaglianza egrave sempre verificata in Qraquoc laquoI numeri sono i divisori di 42raquod laquoIl numero egrave pari e multiplo di 7raquoe laquoOgni ha tre angoli congruentiraquo

Compila le tabelle a doppia entrata relative a congiunzione disgiunzione inclusiva disgiunzione esclusiva implicazione materiale coimplicazione materiale

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Le seguenti proposizioni sono proposizioni composte costituite da enunciati distinti (componenti) legati da connettivi logici Riscrivile in simboli indicando con una lettera maiuscola ogni componentea laquoTorino egrave una cittagrave piemontese ed egrave stata la prima capitale drsquoItaliaraquob laquoI palloni da calcio non sono sferici e nemmeno quelli da basketraquoc laquoIl numero 7 egrave positivo ed egrave un numero primoraquod laquoUn numero o egrave pari o egrave 42raquoe laquoI giorni dellrsquoanno sono 365 o 366raquof laquoO vado al mare o sul Monte Biancoraquog laquoIl numero 2 egrave minore di 3 e metagrave di 4raquo

Dati gli enunciati A laquo7 egrave il quarto numero primoraquo e B laquo7 egrave un divisore di 165raquo attribuisci il valore di veritagrave aa A B0 b A B c A B0 d A B e B A)

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE Considera le seguenti proposizioni tutte vereA laquosono in vacanzaraquo B laquonon lavororaquo C laquofaccio delle passeggiateraquo D laquosono al mareraquoTraduci in parole le seguenti proposizioni e determina il loro valore di veritagrave

B C A C D B C B A B0 D C A D0 A C

SPIEGALO TU Considera gli enunciati A laquoLaura ha 18 anniraquo e B laquoLaura ha la patenteraquo In quali casi gli enunciati A B e A B0 sono veri e in quali falsi E A B

INTORNO A NOI Tre imputati di un delitto Aldo Bruno e Carlo rilasciano le seguenti dichiarazioniAldo laquoNon sono colpevoleraquo Bruno laquoIl colpevole egrave Carloraquo Carlo laquoIl colpevole egrave AldoraquoSe sappiamo che uno solo dei tre imputati ha dichiarato il falso chi egrave il colpevole

Enunciati e quantificatoriINVALSI 2013 Indica se ciascuna delle seguenti proposizioni egrave vera o falsa

a Se un numero egrave multiplo di 9 allora egrave multiplo di 3 V F

b Un numero egrave multiplo di 6 solo se egrave pari V F

c Un numero egrave multiplo di 5 se e solo se egrave multiplo di 10 V F

d Se un numero egrave pari allora egrave multiplo di 4 V F

TEST Lrsquoenunciato aperto A(x) laquox 1- egrave un numero naturaleraquo con x N si trasforma in un enunciato vero in uno solo dei seguenti modi qualeA Sostituendo a x il valore 1- C Sostituendo a x il valore 0B Sostituendo a x il valore 1 D Lrsquoinsieme di veritagrave coincide con lrsquoinsieme universo

95

96

97

98

99 100

101

102

103

104

16

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

FAI UN ESEMPIO Fai un esempio di enunciato aperto e opportuno insieme universo per i quali le propo-sizioni ottenute con i quantificatori risultinoa entrambe vere b entrambe false

Per ognuno dei seguenti enunciati aperti scegli un dominio U appropriato e individua un suo elemento che rende vero lrsquoenunciato e uno che lo rende falso scrivi le proposizioni per tali elementi

A(x) laquox egrave una persona con la patenteraquoB(x) laquox egrave un felinoraquo

A(x) laquox egrave una verdura verderaquoB(y) laquoIl fiume Po attraversa la regione yraquoC(z) laquoz egrave un monte italianoraquo

Consideriamo i tre enunciati apertiA(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un multiplo di 5raquo C(x) laquox egrave un multiplo di 4raquoe come dominio U lrsquoinsieme N dei numeri naturali minori o uguali a 20

Rappresentiamo con un diagramma di Venn lrsquoinsieme di veritagravea dei tre enunciati b di ( ) ( ) ( )A x B x C x e di ( ) ( )A x B x0

UA

B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713 UA

B A(x) v B(x) verain A U B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713

A(x) v (B(x) C(x)vera in A U B U C

v vU U

ndashndash

Per ogni terna A(x) B(x) C(x) dato il dominio U indicato rappresenta con diagrammi di Venn lrsquoin-sieme di veritagrave a dei tre enunciati b degli enunciati ( )C x ( ) ( )A x B x0 ( ) ( )A x C x ( ) ( )A x C x0 ( ) ( ) ( )[ ]A x C x B x0

A(x) laquox egrave un poligono equilateroraquo B(x) laquox egrave un rettangoloraquo C(x) laquox egrave un quadratoraquo U egrave lrsquoinsieme dei poligoni

A(x) laquox egrave un uomoraquo B(x) laquox egrave una donnaraquo C(x) laquox egrave suoceraraquo U egrave lrsquoinsieme delle persone

A(x) laquox egrave un erbivororaquo B(x) laquox egrave un carnivororaquo C(x) laquox egrave un onnivororaquo U egrave lrsquoinsieme degli animali

INVALSI 2003 Quale delle seguenti affermazioni egrave falsaA Alcuni multipli di 4 sono anche multipli di 8B Tutti i multipli di 8 sono anche multipli di 4C Tutti i numeri pari sono fra i multipli di 8

D Alcuni numeri pari non sono multipli di 8E Alcuni numeri pari sono multipli di 8

INVALSI 2004 Quale delle seguenti proposizioni egrave veraA Ogni numero intero divisibile per 3 egrave divisibile per 9B Ogni numero intero divisibile per 4 egrave divisibile per 2C Se il prodotto di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno dei due interi egrave divisibile per 5D Se la somma di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno degli addendi egrave divisibile per 5

105

106 107

COME SI FA

108

109

110

111

112

17

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

INVALSI 2004 Osserva le figure Quale delle seguenti affer-mazioni egrave falsaA Non tutti i quadrati sono bianchiB Qualche triangolo egrave neroC Almeno un cerchio egrave neroD Non tutti i cerchi sono bianchi

Indica per ogni enunciato il suo valore di veritagravea x Z6 x 3 0+ = b x xN7 egrave un numero primoc x xrette del piano7 egrave parallela a una retta r datad x Z6 x 022

TEST Dato il dominio U composto dalle figure del piano e lrsquoenunciato A(x) laquox egrave un quadrilateroraquo con x U quale enunciato egrave falsoA x U6 x egrave un quadrilateroB x A6 x egrave una figura del piano

C x U x7 egrave un quadrilateroD x A x7 egrave una figura del piano

TEST Quale delle seguenti egrave equivalente alla proposizione laquoSe un numero egrave divisibile per 18 allora egrave divi-sibile per 2 e per 3raquoA laquoSe un numero non egrave divisibile per 18 allora non egrave divisibile per 2 e per 3raquoB laquoSe un numero egrave divisibile per 2 e per 3 allora egrave divisibile per 18raquoC laquoSe un numero non egrave divisibile neacute per 2 neacute per 3 allora non egrave divisibile per 18raquoD laquoSe un numero non egrave divisibile per 2 o per 3 allora non egrave divisibile per 18raquo

Scriviamo le proposizioni che si ottengono dallrsquoenunciato ( )A x laquox egrave minore del suo doppioraquo utilizzando i quantificatori 6 e 7 nellrsquoinsieme universo U dei numeri interi Stabiliamo il valore di veritagrave delle proposizioni ottenute

quantificatore proposizione valore di veritagrave6 x U6 x x21 F7 x U x x27 1 V

Per ognuno dei seguenti enunciati scrivi le proposizioni che si ottengono utilizzando i quantificatori 6 e 7 e stabilisci il corrispondente valore di veritagrave

U x xN= egrave multiplo di 8 A(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un divisore di 16raquo ( )B x

U x x= egrave un felino A(x) laquox egrave una linceraquo B(x) laquox egrave un quadrupederaquo ( )B x

U x x= egrave una figura piana di area 16 A(x) laquox egrave un quadratoraquo B(x) laquox egrave un cerchioraquo C(x) laquox egrave un rettangolo di dimensioni 2 e 8raquo

Sia lrsquoinsieme N dei numeri naturali lrsquoinsieme in cui si considera la variabile x Lrsquoespressione laquoNon esiste alcun numero naturale n che moltiplicato per un numero naturale x qualsiasi dia come risultato x stessoraquo di quale tra le seguenti proposizioni logiche egrave la traduzione Tale proposizione egrave vera o falsaA ( )n x n x xN N $b 7 = B n N6 x n x xN $b = C n xN Nb 6 n x x$ =

113

114

115

116

COME SI FA

per esempio ndash3 Z ma ndash3 gt 2 sdot (ndash3)

per esempio 2 Z e 2 lt 2 sdot 2

117

118

119

120

18

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Sono date le proposizioni

A laquoOgni pagina del libro ha una figuraraquo

B laquoEsiste una pagina del libro in cui non compare il colore bluraquo

Scriviamo la loro negazioneA laquoEsiste una pagina del libro che non ha una figuraraquo

B laquoIn ogni pagina del libro compare il colore bluraquo

Per ognuna delle seguenti proposizioni scrivi la negazionelaquoOgni tavolo ha quattro gamberaquo

laquoNon esiste un multiplo di 5 che non termina per 0raquo

laquoTutti i numeri naturali sono interiraquo

laquoEsiste un numero naturale che egrave minore del suo cuboraquo

INVALSI 2012 Quale tra le seguenti frasi egrave la negazione della proposizione laquoTutti i numeri naturali sono dispariraquoA Tutti i numeri naturali sono pariB Nessun numero naturale egrave dispariC Almeno un numero naturale non egrave dispariD Qualche numero naturale egrave dispari

IN GARA Nel paese di Oz oltre alle persone normali (che possono mentire o dire la veritagrave) vivono cava-lieri (che dicono sempre la veritagrave) e furfanti (che mentono sempre) Una strana legge impone che in ogni matrimonio i coniugi siano entrambi normali oppure uno cavaliere e lrsquoaltro furfante Arrivati alla villetta bifamiliare dei coniugi Allegri e Bianchi chiedete se il sig Bianchi che egrave assente egrave un cavaliere ottenendo risposta affermativa sia dalla sigra Bianchi sia da entrambi i coniugi Allegri Che cosa potete concludere riguardo ai sig BianchiA Il sig Bianchi egrave un cavaliereB Il sig Bianchi egrave un furfanteC Il sig Bianchi egrave normaleD Egrave impossibile che le risposte date siano quelle riportateE Non potete concludere nulla

[Olimpiadi di matematica italiane Gara di 2deg livello Biennio 2003]

COME SI FA

X

Y

X

Y

121

122

123

124

125

126

10

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

COMPLETA la seguente tavola di veritagrave inserendo lrsquoespressione corretta scelta fra( )A B C 0 ( )A B C ( )A B C 0

A B C0

A B CV V V VV V F FV F V FV F F VF V V FF V F VF F V FF F F V

COMPLETA la seguente tavola inserendo i valori di veritagrave e gli operatori mancanti

A B A B A B A B0 A BV V F V

F F F VF F V V

F V V F

Date due proposizioni generiche A e B costruiamo la tavola di veritagrave dellrsquoespressione ( )A B A0

A B A B A ( )A B A0

V V F V VV F F F FF V V F VF F V F V

tutti i possibili casi per A e B aggiungiamo le colonne A e B A

Per ciascuna delle seguenti espressioni costruisci la tavola di veritagrave considerando A e B proposizioni generiche

A B A B A B A B0 A B0

A B0 A B0 A B0 A B0 A B0

A B A B A B A B

A B) A B) A B) A B)

A B A A B ( )A A B ( )A B B

A B0 A A B0 0 ( )A A B0 0 ( )A B B0 0

A A B 0 A A B 0 ( )A B B0 ( )A B B0

35

36

COME SI FA

37

38

39

40

41

42

43

11

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Per ciascuna delle seguenti espressioni costruisci la tavola di veritagrave considerando A e B e C proposizioni generiche

( )A B C0 ( )A B C 0 ( ) ( )A B C A 0

( )B A C0 ( )A B C0 ( ) ( )A CC B) )

( )B CA 0 ( )B C A 0 A B C 0

( )B C A ( ) ( )A C B C0 ( )A CB)

VERO O FALSO Considera A e B proposizioni generichea Se A egrave falsa allora anche A egrave falsa V F

b Se A B egrave falsa allora o A o B egrave falsa V F

c A B0 egrave vera se e solo se A e B non sono entrambe vere o entrambe false V F

d Se A e B sono false allora ( ) ( )A B A B0 0

egrave falsa V F

VERO O FALSO a Se A B) egrave falsa allora A e B non sono

entrambe vere o entrambe false V F

b A B egrave falsa se e solo se A egrave vera V F

c A B non puograve essere falsa se A egrave falsa V F

d A B) egrave vera se e solo se anche A e B lo sono V F

PROPRIETAgrave DELLE OPERAZIONI LOGICHEEnuncia le seguenti proprietagrave delle operazioni logiche e verificale utilizzando una tavola di veritagrave

Negazione della negazione

Idempotenza della disgiunzione

Commutativa della disgiunzione

Associativa della congiunzione

Distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione

Distributiva della disgiunzione rispetto alla congiunzione

FAI UN ESEMPIO di applicazione della seconda legge di De Morgan e verifica poi la legge mediante la tavola di veritagrave

EquivalenzeTEST Dato lrsquoenunciato laquoNon egrave vero che 2- non egrave un numero pariraquo quale dei seguenti egrave equivalenteA laquo 2- non egrave un numero pariraquoB laquoNon egrave vero che 2- egrave un numero pariraquo

C laquo 2- egrave un numero pariraquoD laquo 2- non egrave un numero non pariraquo

Verifichiamo che ( )B B A B A B0 0 0= Possiamo procedere in due modi bull Compiliamo la tavola di veritagrave

A B A B A0 B A0 ( )B B A0 0 B B A B A B 0

V V F V F V F F VV F F F V V V V VF V V V F V F F VF F V V F F V F F

Le colonne relative alle due espressioni sono uguali quindi le espressioni sono equivalenti

44

45

46

47

48 49

50

51

52

53

54

55

56

57

COME SI FA

colonne uguali

12

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

bull Utilizziamo le proprietagrave delle operazioni logiche per passare da unrsquoespressione allrsquoaltra attraverso espres-sioni equivalenti

( ) ( ) ( )B B A B B A B B A B A B0 0 0 0 0= = =

Verifica le seguenti equivalenze utilizzando il metodo che preferisci( ) ( )A B A A A B0 0 =

( ) ( )B B A B B A 0 0 =

A B B A B 0 0=

( )A B B A B0 =

( ) ( )A B A A A B0 0 =

( ) ( ) ( ) ( )A B A B B A A B0 0 0 =

Utilizzando le tavole di veritagrave verifica le seguenti equivalenzeB A A B = B A A B A B 0 0=

( ) ( )A B C A B C =

TAUTOLOGIE E CONTRADDIZIONIAL VOLO Stabilisci se le seguenti espressioni sono tautologie o contraddizioni

a ( )B B B0 b ( ) ( )A A A A0 c C C) d A A)

Utilizzando le tavole di veritagrave stabilisci quali fra le seguenti sono tautologie e quali contraddizioni( )B B A 0 A A B ( )A B A B0 0

( )B B B [( ) ]A B A A ( ) ( )B C C B

Fra le seguenti espressioni indica quali sono tautologie quali contraddizioni e quali non sono neacute tautologie neacute contraddizioni A A A B A0 A A) B B) A B B

Senza utilizzare le tavole di veritagrave individua fra le seguenti proposizioni una tautologia e una contraddizio-ne spiega il tuo ragionamento Verifica poi le tue risposte compilando le tavole di veritagrave

( ) ( )A B A B0 0 B B A A0 A B B A0 A A B B)0

SCHEMI DI RAGIONAMENTOTEST Quale fra i seguenti non egrave un ragionamento valido laquoSe non accordo la chitarra non suonoraquoA Suono quindi accordo la chitarraB Se suono allora accordo la chitarra

C Accordo la chitarra quindi suonoD Non accordo la chitarra quindi non suono

SPIEGALO TU Percheacute i seguenti ragionamenti non sono validia laquoSe un cane abbaia allora non morde Quel cane non abbaia allora morderaquob laquoSe lrsquoacqua non bolle la pasta non cuoce Lrsquoacqua bolle allora la pasta cuoceraquo

Verifica che la legge di contrapposizione ( ) ( )A B B A egrave uno schema di ragionamento valido

negazione della negazione

2a legge di De Morgan commutativa della disgiunzione

58

59

60

61

62

63

64 65 66

67

68

69

70

71

72

73

74

13

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Il seguente ragionamento egrave valido mostralo con lrsquoaiuto di un diagramma di VennlaquoOgni multiplo di 12 egrave multiplo di 6raquolaquoOgni multiplo di 6 egrave multiplo di 3raquo

laquoOgni multiplo di 12 egrave multiplo di 3raquo

Riconoscere uno schema

Riconosciamo lo schema applicato in laquoSe un numero egrave una potenza di 3 allora non egrave pariraquo laquoUn numero egrave pari quindi non egrave una potenza di 3raquo

Scriviamo in simboli

laquoSe un numero egrave una potenza di 3 allora non egrave pariraquo A BlaquoUn numero egrave pari hellip B

hellipquindihellip

hellipnon egrave una potenza di 3raquo A

Lo schema di ragionamento egrave [( ) ]A B B A Poicheacute B egrave la negazione di ( )B B B= lo schema egrave il modus tollens

Riconosci gli schemi di ragionamento applicati scrivendo ognuno di essi in forma simbolicalaquoSe non hai il biglietto dellrsquoautobus prendi la multaraquolaquoNon prendi la multa quindi hai il biglietto dellrsquoautobusraquo

laquoSe arrivi in ritardo non entri a teatroraquolaquoArrivi in ritardo quindi non entri a teatroraquo

laquoSe passo col rosso mi ferma il vigile se mi ferma il vigile pagoraquolaquoSe passo col rosso pagoraquo

laquoSe penso allora sonoraquolaquoSe non sono allora non pensoraquo

laquoSe ingrasso non entro nei pantaloni se non entro nei pantaloni devo rifare il guardarobaraquolaquoSe ingrasso devo rifare il guardarobaraquo

laquoSe ho il foglio protocollo a righe crsquoegrave il temaraquolaquoNon crsquoegrave il tema quindi non ho il foglio protocollo a righeraquo

laquoSe lavo i vetri piove se piove i vetri si sporcanoraquolaquoSe lavo i vetri i vetri si sporcanoraquo

laquoSe sono bassa salgo sulla sediaraquolaquoSono bassa quindi salgo sulla sediaraquo

laquoSe un numero egrave naturale allora egrave intero se un numero egrave intero allora egrave razionaleraquolaquoSe un numero non egrave razionale allora non egrave naturaleraquo

75

COME SI FA

A laquoUn numero egrave una potenza di 3raquo B laquoUn numero egrave pariraquo

B

A

76

77

78

79

80

81

82

83

84

14

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Stabilisci se i seguenti ragionamenti sono validi e in caso affermativo indicane il tipolaquoSe suona il telefono rispondoraquolaquoNon rispondo quindi non suona il telefonoraquo

laquoSe accendo il forno non avvio la lavastoviglie se non avvio la lavastoviglie i piatti restano sporchiraquolaquoSe accendo il forno i piatti restano sporchiraquo

laquoSe il gatto miagola ha fameraquolaquoSe il gatto non ha fame non miagolaraquo

laquoSe il triangolo egrave rettangolo applico il teorema di PitagoraraquolaquoIl triangolo egrave rettangolo quindi applico il teorema di Pitagoraraquo

Applica il modus ponens il modus tollens e la legge di contrapposizione alle seguenti premessea laquoSe un rombo ha gli angoli congruenti allora egrave un quadratoraquob laquoSe in ogni materia la media dei miei voti egrave maggiore o uguale a 6 vengo promossoraquo

RIEPILOGO Altri esercizi di logicaEnunciati e connettivi logici

TEST Solo una delle seguenti frasi egrave un enunciato logico QualeA laquoStrano esercizioraquoB laquoLa risposta a questo esercizio egrave la Craquo

C laquoQuale esercizioraquoD laquoQuesto esercizio non mi piaceraquo

VERO O FALSO Egrave un enunciato logicoa laquoOggi vieni a giocare a calcio con noiraquo V F

b laquo15 egrave un multiplo di 2raquo V F

c laquoLa mia borsa egrave molto voluminosaraquo V F

d laquoCorriraquo V F

e laquoTutti i poligoni hanno 4 latiraquo V F

f laquo 10 5 2= raquo V F

g laquoPer favore sii puntualeraquo V F

h laquoChe cosa farai per il tuo compleannoraquo V F

Stabilisci quali tra i seguenti sono enunciati logici Per quelli che lo sono indica il valore di veritagravea laquoeuro 15 egrave un prezzo basso per una T-shirtraquo

b laquo2 44 21 raquo

c laquoIl doppio di 43 egrave 15raquo

d laquoMarzo ha 30 giorniraquo

Attribuisci a ciascuna delle seguenti proposizioni il valore di veritagravea laquoTutti i multipli di 4 sono anche multipli di 16raquob laquoLrsquouguaglianza x 62 = non egrave mai verificata

in Nraquoc laquoIl prodotto di due numeri dispari egrave sempre

un numero pariraquod laquoVenere egrave una stellaraquoe laquoIl rettangolo egrave un particolare parallelo-

grammaraquo

a laquoLa disuguaglianza x7 02+ puograve non esse-re verificata in Nraquo

b laquoIl massimo comune divisore fra due nume-ri pari egrave un numero pariraquo

c laquoIl Sole egrave un satellite del pianeta Terraraquod laquoLrsquoopposto di 4 egrave 4

1 raquoe laquoIl prodotto cartesiano tra insiemi egrave com-

mutativoraquo

85

86

87

88

89

90

91

92

93 94

15

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

COMPLETA le seguenti frasi in modo che risultino enunciati veria laquoIl numero egrave maggiore di 0raquob laquoLrsquouguaglianza egrave sempre verificata in Qraquoc laquoI numeri sono i divisori di 42raquod laquoIl numero egrave pari e multiplo di 7raquoe laquoOgni ha tre angoli congruentiraquo

Compila le tabelle a doppia entrata relative a congiunzione disgiunzione inclusiva disgiunzione esclusiva implicazione materiale coimplicazione materiale

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Le seguenti proposizioni sono proposizioni composte costituite da enunciati distinti (componenti) legati da connettivi logici Riscrivile in simboli indicando con una lettera maiuscola ogni componentea laquoTorino egrave una cittagrave piemontese ed egrave stata la prima capitale drsquoItaliaraquob laquoI palloni da calcio non sono sferici e nemmeno quelli da basketraquoc laquoIl numero 7 egrave positivo ed egrave un numero primoraquod laquoUn numero o egrave pari o egrave 42raquoe laquoI giorni dellrsquoanno sono 365 o 366raquof laquoO vado al mare o sul Monte Biancoraquog laquoIl numero 2 egrave minore di 3 e metagrave di 4raquo

Dati gli enunciati A laquo7 egrave il quarto numero primoraquo e B laquo7 egrave un divisore di 165raquo attribuisci il valore di veritagrave aa A B0 b A B c A B0 d A B e B A)

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE Considera le seguenti proposizioni tutte vereA laquosono in vacanzaraquo B laquonon lavororaquo C laquofaccio delle passeggiateraquo D laquosono al mareraquoTraduci in parole le seguenti proposizioni e determina il loro valore di veritagrave

B C A C D B C B A B0 D C A D0 A C

SPIEGALO TU Considera gli enunciati A laquoLaura ha 18 anniraquo e B laquoLaura ha la patenteraquo In quali casi gli enunciati A B e A B0 sono veri e in quali falsi E A B

INTORNO A NOI Tre imputati di un delitto Aldo Bruno e Carlo rilasciano le seguenti dichiarazioniAldo laquoNon sono colpevoleraquo Bruno laquoIl colpevole egrave Carloraquo Carlo laquoIl colpevole egrave AldoraquoSe sappiamo che uno solo dei tre imputati ha dichiarato il falso chi egrave il colpevole

Enunciati e quantificatoriINVALSI 2013 Indica se ciascuna delle seguenti proposizioni egrave vera o falsa

a Se un numero egrave multiplo di 9 allora egrave multiplo di 3 V F

b Un numero egrave multiplo di 6 solo se egrave pari V F

c Un numero egrave multiplo di 5 se e solo se egrave multiplo di 10 V F

d Se un numero egrave pari allora egrave multiplo di 4 V F

TEST Lrsquoenunciato aperto A(x) laquox 1- egrave un numero naturaleraquo con x N si trasforma in un enunciato vero in uno solo dei seguenti modi qualeA Sostituendo a x il valore 1- C Sostituendo a x il valore 0B Sostituendo a x il valore 1 D Lrsquoinsieme di veritagrave coincide con lrsquoinsieme universo

95

96

97

98

99 100

101

102

103

104

16

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

FAI UN ESEMPIO Fai un esempio di enunciato aperto e opportuno insieme universo per i quali le propo-sizioni ottenute con i quantificatori risultinoa entrambe vere b entrambe false

Per ognuno dei seguenti enunciati aperti scegli un dominio U appropriato e individua un suo elemento che rende vero lrsquoenunciato e uno che lo rende falso scrivi le proposizioni per tali elementi

A(x) laquox egrave una persona con la patenteraquoB(x) laquox egrave un felinoraquo

A(x) laquox egrave una verdura verderaquoB(y) laquoIl fiume Po attraversa la regione yraquoC(z) laquoz egrave un monte italianoraquo

Consideriamo i tre enunciati apertiA(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un multiplo di 5raquo C(x) laquox egrave un multiplo di 4raquoe come dominio U lrsquoinsieme N dei numeri naturali minori o uguali a 20

Rappresentiamo con un diagramma di Venn lrsquoinsieme di veritagravea dei tre enunciati b di ( ) ( ) ( )A x B x C x e di ( ) ( )A x B x0

UA

B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713 UA

B A(x) v B(x) verain A U B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713

A(x) v (B(x) C(x)vera in A U B U C

v vU U

ndashndash

Per ogni terna A(x) B(x) C(x) dato il dominio U indicato rappresenta con diagrammi di Venn lrsquoin-sieme di veritagrave a dei tre enunciati b degli enunciati ( )C x ( ) ( )A x B x0 ( ) ( )A x C x ( ) ( )A x C x0 ( ) ( ) ( )[ ]A x C x B x0

A(x) laquox egrave un poligono equilateroraquo B(x) laquox egrave un rettangoloraquo C(x) laquox egrave un quadratoraquo U egrave lrsquoinsieme dei poligoni

A(x) laquox egrave un uomoraquo B(x) laquox egrave una donnaraquo C(x) laquox egrave suoceraraquo U egrave lrsquoinsieme delle persone

A(x) laquox egrave un erbivororaquo B(x) laquox egrave un carnivororaquo C(x) laquox egrave un onnivororaquo U egrave lrsquoinsieme degli animali

INVALSI 2003 Quale delle seguenti affermazioni egrave falsaA Alcuni multipli di 4 sono anche multipli di 8B Tutti i multipli di 8 sono anche multipli di 4C Tutti i numeri pari sono fra i multipli di 8

D Alcuni numeri pari non sono multipli di 8E Alcuni numeri pari sono multipli di 8

INVALSI 2004 Quale delle seguenti proposizioni egrave veraA Ogni numero intero divisibile per 3 egrave divisibile per 9B Ogni numero intero divisibile per 4 egrave divisibile per 2C Se il prodotto di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno dei due interi egrave divisibile per 5D Se la somma di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno degli addendi egrave divisibile per 5

105

106 107

COME SI FA

108

109

110

111

112

17

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

INVALSI 2004 Osserva le figure Quale delle seguenti affer-mazioni egrave falsaA Non tutti i quadrati sono bianchiB Qualche triangolo egrave neroC Almeno un cerchio egrave neroD Non tutti i cerchi sono bianchi

Indica per ogni enunciato il suo valore di veritagravea x Z6 x 3 0+ = b x xN7 egrave un numero primoc x xrette del piano7 egrave parallela a una retta r datad x Z6 x 022

TEST Dato il dominio U composto dalle figure del piano e lrsquoenunciato A(x) laquox egrave un quadrilateroraquo con x U quale enunciato egrave falsoA x U6 x egrave un quadrilateroB x A6 x egrave una figura del piano

C x U x7 egrave un quadrilateroD x A x7 egrave una figura del piano

TEST Quale delle seguenti egrave equivalente alla proposizione laquoSe un numero egrave divisibile per 18 allora egrave divi-sibile per 2 e per 3raquoA laquoSe un numero non egrave divisibile per 18 allora non egrave divisibile per 2 e per 3raquoB laquoSe un numero egrave divisibile per 2 e per 3 allora egrave divisibile per 18raquoC laquoSe un numero non egrave divisibile neacute per 2 neacute per 3 allora non egrave divisibile per 18raquoD laquoSe un numero non egrave divisibile per 2 o per 3 allora non egrave divisibile per 18raquo

Scriviamo le proposizioni che si ottengono dallrsquoenunciato ( )A x laquox egrave minore del suo doppioraquo utilizzando i quantificatori 6 e 7 nellrsquoinsieme universo U dei numeri interi Stabiliamo il valore di veritagrave delle proposizioni ottenute

quantificatore proposizione valore di veritagrave6 x U6 x x21 F7 x U x x27 1 V

Per ognuno dei seguenti enunciati scrivi le proposizioni che si ottengono utilizzando i quantificatori 6 e 7 e stabilisci il corrispondente valore di veritagrave

U x xN= egrave multiplo di 8 A(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un divisore di 16raquo ( )B x

U x x= egrave un felino A(x) laquox egrave una linceraquo B(x) laquox egrave un quadrupederaquo ( )B x

U x x= egrave una figura piana di area 16 A(x) laquox egrave un quadratoraquo B(x) laquox egrave un cerchioraquo C(x) laquox egrave un rettangolo di dimensioni 2 e 8raquo

Sia lrsquoinsieme N dei numeri naturali lrsquoinsieme in cui si considera la variabile x Lrsquoespressione laquoNon esiste alcun numero naturale n che moltiplicato per un numero naturale x qualsiasi dia come risultato x stessoraquo di quale tra le seguenti proposizioni logiche egrave la traduzione Tale proposizione egrave vera o falsaA ( )n x n x xN N $b 7 = B n N6 x n x xN $b = C n xN Nb 6 n x x$ =

113

114

115

116

COME SI FA

per esempio ndash3 Z ma ndash3 gt 2 sdot (ndash3)

per esempio 2 Z e 2 lt 2 sdot 2

117

118

119

120

18

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Sono date le proposizioni

A laquoOgni pagina del libro ha una figuraraquo

B laquoEsiste una pagina del libro in cui non compare il colore bluraquo

Scriviamo la loro negazioneA laquoEsiste una pagina del libro che non ha una figuraraquo

B laquoIn ogni pagina del libro compare il colore bluraquo

Per ognuna delle seguenti proposizioni scrivi la negazionelaquoOgni tavolo ha quattro gamberaquo

laquoNon esiste un multiplo di 5 che non termina per 0raquo

laquoTutti i numeri naturali sono interiraquo

laquoEsiste un numero naturale che egrave minore del suo cuboraquo

INVALSI 2012 Quale tra le seguenti frasi egrave la negazione della proposizione laquoTutti i numeri naturali sono dispariraquoA Tutti i numeri naturali sono pariB Nessun numero naturale egrave dispariC Almeno un numero naturale non egrave dispariD Qualche numero naturale egrave dispari

IN GARA Nel paese di Oz oltre alle persone normali (che possono mentire o dire la veritagrave) vivono cava-lieri (che dicono sempre la veritagrave) e furfanti (che mentono sempre) Una strana legge impone che in ogni matrimonio i coniugi siano entrambi normali oppure uno cavaliere e lrsquoaltro furfante Arrivati alla villetta bifamiliare dei coniugi Allegri e Bianchi chiedete se il sig Bianchi che egrave assente egrave un cavaliere ottenendo risposta affermativa sia dalla sigra Bianchi sia da entrambi i coniugi Allegri Che cosa potete concludere riguardo ai sig BianchiA Il sig Bianchi egrave un cavaliereB Il sig Bianchi egrave un furfanteC Il sig Bianchi egrave normaleD Egrave impossibile che le risposte date siano quelle riportateE Non potete concludere nulla

[Olimpiadi di matematica italiane Gara di 2deg livello Biennio 2003]

COME SI FA

X

Y

X

Y

121

122

123

124

125

126

11

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Per ciascuna delle seguenti espressioni costruisci la tavola di veritagrave considerando A e B e C proposizioni generiche

( )A B C0 ( )A B C 0 ( ) ( )A B C A 0

( )B A C0 ( )A B C0 ( ) ( )A CC B) )

( )B CA 0 ( )B C A 0 A B C 0

( )B C A ( ) ( )A C B C0 ( )A CB)

VERO O FALSO Considera A e B proposizioni generichea Se A egrave falsa allora anche A egrave falsa V F

b Se A B egrave falsa allora o A o B egrave falsa V F

c A B0 egrave vera se e solo se A e B non sono entrambe vere o entrambe false V F

d Se A e B sono false allora ( ) ( )A B A B0 0

egrave falsa V F

VERO O FALSO a Se A B) egrave falsa allora A e B non sono

entrambe vere o entrambe false V F

b A B egrave falsa se e solo se A egrave vera V F

c A B non puograve essere falsa se A egrave falsa V F

d A B) egrave vera se e solo se anche A e B lo sono V F

PROPRIETAgrave DELLE OPERAZIONI LOGICHEEnuncia le seguenti proprietagrave delle operazioni logiche e verificale utilizzando una tavola di veritagrave

Negazione della negazione

Idempotenza della disgiunzione

Commutativa della disgiunzione

Associativa della congiunzione

Distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione

Distributiva della disgiunzione rispetto alla congiunzione

FAI UN ESEMPIO di applicazione della seconda legge di De Morgan e verifica poi la legge mediante la tavola di veritagrave

EquivalenzeTEST Dato lrsquoenunciato laquoNon egrave vero che 2- non egrave un numero pariraquo quale dei seguenti egrave equivalenteA laquo 2- non egrave un numero pariraquoB laquoNon egrave vero che 2- egrave un numero pariraquo

C laquo 2- egrave un numero pariraquoD laquo 2- non egrave un numero non pariraquo

Verifichiamo che ( )B B A B A B0 0 0= Possiamo procedere in due modi bull Compiliamo la tavola di veritagrave

A B A B A0 B A0 ( )B B A0 0 B B A B A B 0

V V F V F V F F VV F F F V V V V VF V V V F V F F VF F V V F F V F F

Le colonne relative alle due espressioni sono uguali quindi le espressioni sono equivalenti

44

45

46

47

48 49

50

51

52

53

54

55

56

57

COME SI FA

colonne uguali

12

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

bull Utilizziamo le proprietagrave delle operazioni logiche per passare da unrsquoespressione allrsquoaltra attraverso espres-sioni equivalenti

( ) ( ) ( )B B A B B A B B A B A B0 0 0 0 0= = =

Verifica le seguenti equivalenze utilizzando il metodo che preferisci( ) ( )A B A A A B0 0 =

( ) ( )B B A B B A 0 0 =

A B B A B 0 0=

( )A B B A B0 =

( ) ( )A B A A A B0 0 =

( ) ( ) ( ) ( )A B A B B A A B0 0 0 =

Utilizzando le tavole di veritagrave verifica le seguenti equivalenzeB A A B = B A A B A B 0 0=

( ) ( )A B C A B C =

TAUTOLOGIE E CONTRADDIZIONIAL VOLO Stabilisci se le seguenti espressioni sono tautologie o contraddizioni

a ( )B B B0 b ( ) ( )A A A A0 c C C) d A A)

Utilizzando le tavole di veritagrave stabilisci quali fra le seguenti sono tautologie e quali contraddizioni( )B B A 0 A A B ( )A B A B0 0

( )B B B [( ) ]A B A A ( ) ( )B C C B

Fra le seguenti espressioni indica quali sono tautologie quali contraddizioni e quali non sono neacute tautologie neacute contraddizioni A A A B A0 A A) B B) A B B

Senza utilizzare le tavole di veritagrave individua fra le seguenti proposizioni una tautologia e una contraddizio-ne spiega il tuo ragionamento Verifica poi le tue risposte compilando le tavole di veritagrave

( ) ( )A B A B0 0 B B A A0 A B B A0 A A B B)0

SCHEMI DI RAGIONAMENTOTEST Quale fra i seguenti non egrave un ragionamento valido laquoSe non accordo la chitarra non suonoraquoA Suono quindi accordo la chitarraB Se suono allora accordo la chitarra

C Accordo la chitarra quindi suonoD Non accordo la chitarra quindi non suono

SPIEGALO TU Percheacute i seguenti ragionamenti non sono validia laquoSe un cane abbaia allora non morde Quel cane non abbaia allora morderaquob laquoSe lrsquoacqua non bolle la pasta non cuoce Lrsquoacqua bolle allora la pasta cuoceraquo

Verifica che la legge di contrapposizione ( ) ( )A B B A egrave uno schema di ragionamento valido

negazione della negazione

2a legge di De Morgan commutativa della disgiunzione

58

59

60

61

62

63

64 65 66

67

68

69

70

71

72

73

74

13

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Il seguente ragionamento egrave valido mostralo con lrsquoaiuto di un diagramma di VennlaquoOgni multiplo di 12 egrave multiplo di 6raquolaquoOgni multiplo di 6 egrave multiplo di 3raquo

laquoOgni multiplo di 12 egrave multiplo di 3raquo

Riconoscere uno schema

Riconosciamo lo schema applicato in laquoSe un numero egrave una potenza di 3 allora non egrave pariraquo laquoUn numero egrave pari quindi non egrave una potenza di 3raquo

Scriviamo in simboli

laquoSe un numero egrave una potenza di 3 allora non egrave pariraquo A BlaquoUn numero egrave pari hellip B

hellipquindihellip

hellipnon egrave una potenza di 3raquo A

Lo schema di ragionamento egrave [( ) ]A B B A Poicheacute B egrave la negazione di ( )B B B= lo schema egrave il modus tollens

Riconosci gli schemi di ragionamento applicati scrivendo ognuno di essi in forma simbolicalaquoSe non hai il biglietto dellrsquoautobus prendi la multaraquolaquoNon prendi la multa quindi hai il biglietto dellrsquoautobusraquo

laquoSe arrivi in ritardo non entri a teatroraquolaquoArrivi in ritardo quindi non entri a teatroraquo

laquoSe passo col rosso mi ferma il vigile se mi ferma il vigile pagoraquolaquoSe passo col rosso pagoraquo

laquoSe penso allora sonoraquolaquoSe non sono allora non pensoraquo

laquoSe ingrasso non entro nei pantaloni se non entro nei pantaloni devo rifare il guardarobaraquolaquoSe ingrasso devo rifare il guardarobaraquo

laquoSe ho il foglio protocollo a righe crsquoegrave il temaraquolaquoNon crsquoegrave il tema quindi non ho il foglio protocollo a righeraquo

laquoSe lavo i vetri piove se piove i vetri si sporcanoraquolaquoSe lavo i vetri i vetri si sporcanoraquo

laquoSe sono bassa salgo sulla sediaraquolaquoSono bassa quindi salgo sulla sediaraquo

laquoSe un numero egrave naturale allora egrave intero se un numero egrave intero allora egrave razionaleraquolaquoSe un numero non egrave razionale allora non egrave naturaleraquo

75

COME SI FA

A laquoUn numero egrave una potenza di 3raquo B laquoUn numero egrave pariraquo

B

A

76

77

78

79

80

81

82

83

84

14

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Stabilisci se i seguenti ragionamenti sono validi e in caso affermativo indicane il tipolaquoSe suona il telefono rispondoraquolaquoNon rispondo quindi non suona il telefonoraquo

laquoSe accendo il forno non avvio la lavastoviglie se non avvio la lavastoviglie i piatti restano sporchiraquolaquoSe accendo il forno i piatti restano sporchiraquo

laquoSe il gatto miagola ha fameraquolaquoSe il gatto non ha fame non miagolaraquo

laquoSe il triangolo egrave rettangolo applico il teorema di PitagoraraquolaquoIl triangolo egrave rettangolo quindi applico il teorema di Pitagoraraquo

Applica il modus ponens il modus tollens e la legge di contrapposizione alle seguenti premessea laquoSe un rombo ha gli angoli congruenti allora egrave un quadratoraquob laquoSe in ogni materia la media dei miei voti egrave maggiore o uguale a 6 vengo promossoraquo

RIEPILOGO Altri esercizi di logicaEnunciati e connettivi logici

TEST Solo una delle seguenti frasi egrave un enunciato logico QualeA laquoStrano esercizioraquoB laquoLa risposta a questo esercizio egrave la Craquo

C laquoQuale esercizioraquoD laquoQuesto esercizio non mi piaceraquo

VERO O FALSO Egrave un enunciato logicoa laquoOggi vieni a giocare a calcio con noiraquo V F

b laquo15 egrave un multiplo di 2raquo V F

c laquoLa mia borsa egrave molto voluminosaraquo V F

d laquoCorriraquo V F

e laquoTutti i poligoni hanno 4 latiraquo V F

f laquo 10 5 2= raquo V F

g laquoPer favore sii puntualeraquo V F

h laquoChe cosa farai per il tuo compleannoraquo V F

Stabilisci quali tra i seguenti sono enunciati logici Per quelli che lo sono indica il valore di veritagravea laquoeuro 15 egrave un prezzo basso per una T-shirtraquo

b laquo2 44 21 raquo

c laquoIl doppio di 43 egrave 15raquo

d laquoMarzo ha 30 giorniraquo

Attribuisci a ciascuna delle seguenti proposizioni il valore di veritagravea laquoTutti i multipli di 4 sono anche multipli di 16raquob laquoLrsquouguaglianza x 62 = non egrave mai verificata

in Nraquoc laquoIl prodotto di due numeri dispari egrave sempre

un numero pariraquod laquoVenere egrave una stellaraquoe laquoIl rettangolo egrave un particolare parallelo-

grammaraquo

a laquoLa disuguaglianza x7 02+ puograve non esse-re verificata in Nraquo

b laquoIl massimo comune divisore fra due nume-ri pari egrave un numero pariraquo

c laquoIl Sole egrave un satellite del pianeta Terraraquod laquoLrsquoopposto di 4 egrave 4

1 raquoe laquoIl prodotto cartesiano tra insiemi egrave com-

mutativoraquo

85

86

87

88

89

90

91

92

93 94

15

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

COMPLETA le seguenti frasi in modo che risultino enunciati veria laquoIl numero egrave maggiore di 0raquob laquoLrsquouguaglianza egrave sempre verificata in Qraquoc laquoI numeri sono i divisori di 42raquod laquoIl numero egrave pari e multiplo di 7raquoe laquoOgni ha tre angoli congruentiraquo

Compila le tabelle a doppia entrata relative a congiunzione disgiunzione inclusiva disgiunzione esclusiva implicazione materiale coimplicazione materiale

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Le seguenti proposizioni sono proposizioni composte costituite da enunciati distinti (componenti) legati da connettivi logici Riscrivile in simboli indicando con una lettera maiuscola ogni componentea laquoTorino egrave una cittagrave piemontese ed egrave stata la prima capitale drsquoItaliaraquob laquoI palloni da calcio non sono sferici e nemmeno quelli da basketraquoc laquoIl numero 7 egrave positivo ed egrave un numero primoraquod laquoUn numero o egrave pari o egrave 42raquoe laquoI giorni dellrsquoanno sono 365 o 366raquof laquoO vado al mare o sul Monte Biancoraquog laquoIl numero 2 egrave minore di 3 e metagrave di 4raquo

Dati gli enunciati A laquo7 egrave il quarto numero primoraquo e B laquo7 egrave un divisore di 165raquo attribuisci il valore di veritagrave aa A B0 b A B c A B0 d A B e B A)

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE Considera le seguenti proposizioni tutte vereA laquosono in vacanzaraquo B laquonon lavororaquo C laquofaccio delle passeggiateraquo D laquosono al mareraquoTraduci in parole le seguenti proposizioni e determina il loro valore di veritagrave

B C A C D B C B A B0 D C A D0 A C

SPIEGALO TU Considera gli enunciati A laquoLaura ha 18 anniraquo e B laquoLaura ha la patenteraquo In quali casi gli enunciati A B e A B0 sono veri e in quali falsi E A B

INTORNO A NOI Tre imputati di un delitto Aldo Bruno e Carlo rilasciano le seguenti dichiarazioniAldo laquoNon sono colpevoleraquo Bruno laquoIl colpevole egrave Carloraquo Carlo laquoIl colpevole egrave AldoraquoSe sappiamo che uno solo dei tre imputati ha dichiarato il falso chi egrave il colpevole

Enunciati e quantificatoriINVALSI 2013 Indica se ciascuna delle seguenti proposizioni egrave vera o falsa

a Se un numero egrave multiplo di 9 allora egrave multiplo di 3 V F

b Un numero egrave multiplo di 6 solo se egrave pari V F

c Un numero egrave multiplo di 5 se e solo se egrave multiplo di 10 V F

d Se un numero egrave pari allora egrave multiplo di 4 V F

TEST Lrsquoenunciato aperto A(x) laquox 1- egrave un numero naturaleraquo con x N si trasforma in un enunciato vero in uno solo dei seguenti modi qualeA Sostituendo a x il valore 1- C Sostituendo a x il valore 0B Sostituendo a x il valore 1 D Lrsquoinsieme di veritagrave coincide con lrsquoinsieme universo

95

96

97

98

99 100

101

102

103

104

16

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

FAI UN ESEMPIO Fai un esempio di enunciato aperto e opportuno insieme universo per i quali le propo-sizioni ottenute con i quantificatori risultinoa entrambe vere b entrambe false

Per ognuno dei seguenti enunciati aperti scegli un dominio U appropriato e individua un suo elemento che rende vero lrsquoenunciato e uno che lo rende falso scrivi le proposizioni per tali elementi

A(x) laquox egrave una persona con la patenteraquoB(x) laquox egrave un felinoraquo

A(x) laquox egrave una verdura verderaquoB(y) laquoIl fiume Po attraversa la regione yraquoC(z) laquoz egrave un monte italianoraquo

Consideriamo i tre enunciati apertiA(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un multiplo di 5raquo C(x) laquox egrave un multiplo di 4raquoe come dominio U lrsquoinsieme N dei numeri naturali minori o uguali a 20

Rappresentiamo con un diagramma di Venn lrsquoinsieme di veritagravea dei tre enunciati b di ( ) ( ) ( )A x B x C x e di ( ) ( )A x B x0

UA

B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713 UA

B A(x) v B(x) verain A U B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713

A(x) v (B(x) C(x)vera in A U B U C

v vU U

ndashndash

Per ogni terna A(x) B(x) C(x) dato il dominio U indicato rappresenta con diagrammi di Venn lrsquoin-sieme di veritagrave a dei tre enunciati b degli enunciati ( )C x ( ) ( )A x B x0 ( ) ( )A x C x ( ) ( )A x C x0 ( ) ( ) ( )[ ]A x C x B x0

A(x) laquox egrave un poligono equilateroraquo B(x) laquox egrave un rettangoloraquo C(x) laquox egrave un quadratoraquo U egrave lrsquoinsieme dei poligoni

A(x) laquox egrave un uomoraquo B(x) laquox egrave una donnaraquo C(x) laquox egrave suoceraraquo U egrave lrsquoinsieme delle persone

A(x) laquox egrave un erbivororaquo B(x) laquox egrave un carnivororaquo C(x) laquox egrave un onnivororaquo U egrave lrsquoinsieme degli animali

INVALSI 2003 Quale delle seguenti affermazioni egrave falsaA Alcuni multipli di 4 sono anche multipli di 8B Tutti i multipli di 8 sono anche multipli di 4C Tutti i numeri pari sono fra i multipli di 8

D Alcuni numeri pari non sono multipli di 8E Alcuni numeri pari sono multipli di 8

INVALSI 2004 Quale delle seguenti proposizioni egrave veraA Ogni numero intero divisibile per 3 egrave divisibile per 9B Ogni numero intero divisibile per 4 egrave divisibile per 2C Se il prodotto di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno dei due interi egrave divisibile per 5D Se la somma di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno degli addendi egrave divisibile per 5

105

106 107

COME SI FA

108

109

110

111

112

17

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

INVALSI 2004 Osserva le figure Quale delle seguenti affer-mazioni egrave falsaA Non tutti i quadrati sono bianchiB Qualche triangolo egrave neroC Almeno un cerchio egrave neroD Non tutti i cerchi sono bianchi

Indica per ogni enunciato il suo valore di veritagravea x Z6 x 3 0+ = b x xN7 egrave un numero primoc x xrette del piano7 egrave parallela a una retta r datad x Z6 x 022

TEST Dato il dominio U composto dalle figure del piano e lrsquoenunciato A(x) laquox egrave un quadrilateroraquo con x U quale enunciato egrave falsoA x U6 x egrave un quadrilateroB x A6 x egrave una figura del piano

C x U x7 egrave un quadrilateroD x A x7 egrave una figura del piano

TEST Quale delle seguenti egrave equivalente alla proposizione laquoSe un numero egrave divisibile per 18 allora egrave divi-sibile per 2 e per 3raquoA laquoSe un numero non egrave divisibile per 18 allora non egrave divisibile per 2 e per 3raquoB laquoSe un numero egrave divisibile per 2 e per 3 allora egrave divisibile per 18raquoC laquoSe un numero non egrave divisibile neacute per 2 neacute per 3 allora non egrave divisibile per 18raquoD laquoSe un numero non egrave divisibile per 2 o per 3 allora non egrave divisibile per 18raquo

Scriviamo le proposizioni che si ottengono dallrsquoenunciato ( )A x laquox egrave minore del suo doppioraquo utilizzando i quantificatori 6 e 7 nellrsquoinsieme universo U dei numeri interi Stabiliamo il valore di veritagrave delle proposizioni ottenute

quantificatore proposizione valore di veritagrave6 x U6 x x21 F7 x U x x27 1 V

Per ognuno dei seguenti enunciati scrivi le proposizioni che si ottengono utilizzando i quantificatori 6 e 7 e stabilisci il corrispondente valore di veritagrave

U x xN= egrave multiplo di 8 A(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un divisore di 16raquo ( )B x

U x x= egrave un felino A(x) laquox egrave una linceraquo B(x) laquox egrave un quadrupederaquo ( )B x

U x x= egrave una figura piana di area 16 A(x) laquox egrave un quadratoraquo B(x) laquox egrave un cerchioraquo C(x) laquox egrave un rettangolo di dimensioni 2 e 8raquo

Sia lrsquoinsieme N dei numeri naturali lrsquoinsieme in cui si considera la variabile x Lrsquoespressione laquoNon esiste alcun numero naturale n che moltiplicato per un numero naturale x qualsiasi dia come risultato x stessoraquo di quale tra le seguenti proposizioni logiche egrave la traduzione Tale proposizione egrave vera o falsaA ( )n x n x xN N $b 7 = B n N6 x n x xN $b = C n xN Nb 6 n x x$ =

113

114

115

116

COME SI FA

per esempio ndash3 Z ma ndash3 gt 2 sdot (ndash3)

per esempio 2 Z e 2 lt 2 sdot 2

117

118

119

120

18

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Sono date le proposizioni

A laquoOgni pagina del libro ha una figuraraquo

B laquoEsiste una pagina del libro in cui non compare il colore bluraquo

Scriviamo la loro negazioneA laquoEsiste una pagina del libro che non ha una figuraraquo

B laquoIn ogni pagina del libro compare il colore bluraquo

Per ognuna delle seguenti proposizioni scrivi la negazionelaquoOgni tavolo ha quattro gamberaquo

laquoNon esiste un multiplo di 5 che non termina per 0raquo

laquoTutti i numeri naturali sono interiraquo

laquoEsiste un numero naturale che egrave minore del suo cuboraquo

INVALSI 2012 Quale tra le seguenti frasi egrave la negazione della proposizione laquoTutti i numeri naturali sono dispariraquoA Tutti i numeri naturali sono pariB Nessun numero naturale egrave dispariC Almeno un numero naturale non egrave dispariD Qualche numero naturale egrave dispari

IN GARA Nel paese di Oz oltre alle persone normali (che possono mentire o dire la veritagrave) vivono cava-lieri (che dicono sempre la veritagrave) e furfanti (che mentono sempre) Una strana legge impone che in ogni matrimonio i coniugi siano entrambi normali oppure uno cavaliere e lrsquoaltro furfante Arrivati alla villetta bifamiliare dei coniugi Allegri e Bianchi chiedete se il sig Bianchi che egrave assente egrave un cavaliere ottenendo risposta affermativa sia dalla sigra Bianchi sia da entrambi i coniugi Allegri Che cosa potete concludere riguardo ai sig BianchiA Il sig Bianchi egrave un cavaliereB Il sig Bianchi egrave un furfanteC Il sig Bianchi egrave normaleD Egrave impossibile che le risposte date siano quelle riportateE Non potete concludere nulla

[Olimpiadi di matematica italiane Gara di 2deg livello Biennio 2003]

COME SI FA

X

Y

X

Y

121

122

123

124

125

126

12

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

bull Utilizziamo le proprietagrave delle operazioni logiche per passare da unrsquoespressione allrsquoaltra attraverso espres-sioni equivalenti

( ) ( ) ( )B B A B B A B B A B A B0 0 0 0 0= = =

Verifica le seguenti equivalenze utilizzando il metodo che preferisci( ) ( )A B A A A B0 0 =

( ) ( )B B A B B A 0 0 =

A B B A B 0 0=

( )A B B A B0 =

( ) ( )A B A A A B0 0 =

( ) ( ) ( ) ( )A B A B B A A B0 0 0 =

Utilizzando le tavole di veritagrave verifica le seguenti equivalenzeB A A B = B A A B A B 0 0=

( ) ( )A B C A B C =

TAUTOLOGIE E CONTRADDIZIONIAL VOLO Stabilisci se le seguenti espressioni sono tautologie o contraddizioni

a ( )B B B0 b ( ) ( )A A A A0 c C C) d A A)

Utilizzando le tavole di veritagrave stabilisci quali fra le seguenti sono tautologie e quali contraddizioni( )B B A 0 A A B ( )A B A B0 0

( )B B B [( ) ]A B A A ( ) ( )B C C B

Fra le seguenti espressioni indica quali sono tautologie quali contraddizioni e quali non sono neacute tautologie neacute contraddizioni A A A B A0 A A) B B) A B B

Senza utilizzare le tavole di veritagrave individua fra le seguenti proposizioni una tautologia e una contraddizio-ne spiega il tuo ragionamento Verifica poi le tue risposte compilando le tavole di veritagrave

( ) ( )A B A B0 0 B B A A0 A B B A0 A A B B)0

SCHEMI DI RAGIONAMENTOTEST Quale fra i seguenti non egrave un ragionamento valido laquoSe non accordo la chitarra non suonoraquoA Suono quindi accordo la chitarraB Se suono allora accordo la chitarra

C Accordo la chitarra quindi suonoD Non accordo la chitarra quindi non suono

SPIEGALO TU Percheacute i seguenti ragionamenti non sono validia laquoSe un cane abbaia allora non morde Quel cane non abbaia allora morderaquob laquoSe lrsquoacqua non bolle la pasta non cuoce Lrsquoacqua bolle allora la pasta cuoceraquo

Verifica che la legge di contrapposizione ( ) ( )A B B A egrave uno schema di ragionamento valido

negazione della negazione

2a legge di De Morgan commutativa della disgiunzione

58

59

60

61

62

63

64 65 66

67

68

69

70

71

72

73

74

13

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Il seguente ragionamento egrave valido mostralo con lrsquoaiuto di un diagramma di VennlaquoOgni multiplo di 12 egrave multiplo di 6raquolaquoOgni multiplo di 6 egrave multiplo di 3raquo

laquoOgni multiplo di 12 egrave multiplo di 3raquo

Riconoscere uno schema

Riconosciamo lo schema applicato in laquoSe un numero egrave una potenza di 3 allora non egrave pariraquo laquoUn numero egrave pari quindi non egrave una potenza di 3raquo

Scriviamo in simboli

laquoSe un numero egrave una potenza di 3 allora non egrave pariraquo A BlaquoUn numero egrave pari hellip B

hellipquindihellip

hellipnon egrave una potenza di 3raquo A

Lo schema di ragionamento egrave [( ) ]A B B A Poicheacute B egrave la negazione di ( )B B B= lo schema egrave il modus tollens

Riconosci gli schemi di ragionamento applicati scrivendo ognuno di essi in forma simbolicalaquoSe non hai il biglietto dellrsquoautobus prendi la multaraquolaquoNon prendi la multa quindi hai il biglietto dellrsquoautobusraquo

laquoSe arrivi in ritardo non entri a teatroraquolaquoArrivi in ritardo quindi non entri a teatroraquo

laquoSe passo col rosso mi ferma il vigile se mi ferma il vigile pagoraquolaquoSe passo col rosso pagoraquo

laquoSe penso allora sonoraquolaquoSe non sono allora non pensoraquo

laquoSe ingrasso non entro nei pantaloni se non entro nei pantaloni devo rifare il guardarobaraquolaquoSe ingrasso devo rifare il guardarobaraquo

laquoSe ho il foglio protocollo a righe crsquoegrave il temaraquolaquoNon crsquoegrave il tema quindi non ho il foglio protocollo a righeraquo

laquoSe lavo i vetri piove se piove i vetri si sporcanoraquolaquoSe lavo i vetri i vetri si sporcanoraquo

laquoSe sono bassa salgo sulla sediaraquolaquoSono bassa quindi salgo sulla sediaraquo

laquoSe un numero egrave naturale allora egrave intero se un numero egrave intero allora egrave razionaleraquolaquoSe un numero non egrave razionale allora non egrave naturaleraquo

75

COME SI FA

A laquoUn numero egrave una potenza di 3raquo B laquoUn numero egrave pariraquo

B

A

76

77

78

79

80

81

82

83

84

14

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Stabilisci se i seguenti ragionamenti sono validi e in caso affermativo indicane il tipolaquoSe suona il telefono rispondoraquolaquoNon rispondo quindi non suona il telefonoraquo

laquoSe accendo il forno non avvio la lavastoviglie se non avvio la lavastoviglie i piatti restano sporchiraquolaquoSe accendo il forno i piatti restano sporchiraquo

laquoSe il gatto miagola ha fameraquolaquoSe il gatto non ha fame non miagolaraquo

laquoSe il triangolo egrave rettangolo applico il teorema di PitagoraraquolaquoIl triangolo egrave rettangolo quindi applico il teorema di Pitagoraraquo

Applica il modus ponens il modus tollens e la legge di contrapposizione alle seguenti premessea laquoSe un rombo ha gli angoli congruenti allora egrave un quadratoraquob laquoSe in ogni materia la media dei miei voti egrave maggiore o uguale a 6 vengo promossoraquo

RIEPILOGO Altri esercizi di logicaEnunciati e connettivi logici

TEST Solo una delle seguenti frasi egrave un enunciato logico QualeA laquoStrano esercizioraquoB laquoLa risposta a questo esercizio egrave la Craquo

C laquoQuale esercizioraquoD laquoQuesto esercizio non mi piaceraquo

VERO O FALSO Egrave un enunciato logicoa laquoOggi vieni a giocare a calcio con noiraquo V F

b laquo15 egrave un multiplo di 2raquo V F

c laquoLa mia borsa egrave molto voluminosaraquo V F

d laquoCorriraquo V F

e laquoTutti i poligoni hanno 4 latiraquo V F

f laquo 10 5 2= raquo V F

g laquoPer favore sii puntualeraquo V F

h laquoChe cosa farai per il tuo compleannoraquo V F

Stabilisci quali tra i seguenti sono enunciati logici Per quelli che lo sono indica il valore di veritagravea laquoeuro 15 egrave un prezzo basso per una T-shirtraquo

b laquo2 44 21 raquo

c laquoIl doppio di 43 egrave 15raquo

d laquoMarzo ha 30 giorniraquo

Attribuisci a ciascuna delle seguenti proposizioni il valore di veritagravea laquoTutti i multipli di 4 sono anche multipli di 16raquob laquoLrsquouguaglianza x 62 = non egrave mai verificata

in Nraquoc laquoIl prodotto di due numeri dispari egrave sempre

un numero pariraquod laquoVenere egrave una stellaraquoe laquoIl rettangolo egrave un particolare parallelo-

grammaraquo

a laquoLa disuguaglianza x7 02+ puograve non esse-re verificata in Nraquo

b laquoIl massimo comune divisore fra due nume-ri pari egrave un numero pariraquo

c laquoIl Sole egrave un satellite del pianeta Terraraquod laquoLrsquoopposto di 4 egrave 4

1 raquoe laquoIl prodotto cartesiano tra insiemi egrave com-

mutativoraquo

85

86

87

88

89

90

91

92

93 94

15

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

COMPLETA le seguenti frasi in modo che risultino enunciati veria laquoIl numero egrave maggiore di 0raquob laquoLrsquouguaglianza egrave sempre verificata in Qraquoc laquoI numeri sono i divisori di 42raquod laquoIl numero egrave pari e multiplo di 7raquoe laquoOgni ha tre angoli congruentiraquo

Compila le tabelle a doppia entrata relative a congiunzione disgiunzione inclusiva disgiunzione esclusiva implicazione materiale coimplicazione materiale

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Le seguenti proposizioni sono proposizioni composte costituite da enunciati distinti (componenti) legati da connettivi logici Riscrivile in simboli indicando con una lettera maiuscola ogni componentea laquoTorino egrave una cittagrave piemontese ed egrave stata la prima capitale drsquoItaliaraquob laquoI palloni da calcio non sono sferici e nemmeno quelli da basketraquoc laquoIl numero 7 egrave positivo ed egrave un numero primoraquod laquoUn numero o egrave pari o egrave 42raquoe laquoI giorni dellrsquoanno sono 365 o 366raquof laquoO vado al mare o sul Monte Biancoraquog laquoIl numero 2 egrave minore di 3 e metagrave di 4raquo

Dati gli enunciati A laquo7 egrave il quarto numero primoraquo e B laquo7 egrave un divisore di 165raquo attribuisci il valore di veritagrave aa A B0 b A B c A B0 d A B e B A)

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE Considera le seguenti proposizioni tutte vereA laquosono in vacanzaraquo B laquonon lavororaquo C laquofaccio delle passeggiateraquo D laquosono al mareraquoTraduci in parole le seguenti proposizioni e determina il loro valore di veritagrave

B C A C D B C B A B0 D C A D0 A C

SPIEGALO TU Considera gli enunciati A laquoLaura ha 18 anniraquo e B laquoLaura ha la patenteraquo In quali casi gli enunciati A B e A B0 sono veri e in quali falsi E A B

INTORNO A NOI Tre imputati di un delitto Aldo Bruno e Carlo rilasciano le seguenti dichiarazioniAldo laquoNon sono colpevoleraquo Bruno laquoIl colpevole egrave Carloraquo Carlo laquoIl colpevole egrave AldoraquoSe sappiamo che uno solo dei tre imputati ha dichiarato il falso chi egrave il colpevole

Enunciati e quantificatoriINVALSI 2013 Indica se ciascuna delle seguenti proposizioni egrave vera o falsa

a Se un numero egrave multiplo di 9 allora egrave multiplo di 3 V F

b Un numero egrave multiplo di 6 solo se egrave pari V F

c Un numero egrave multiplo di 5 se e solo se egrave multiplo di 10 V F

d Se un numero egrave pari allora egrave multiplo di 4 V F

TEST Lrsquoenunciato aperto A(x) laquox 1- egrave un numero naturaleraquo con x N si trasforma in un enunciato vero in uno solo dei seguenti modi qualeA Sostituendo a x il valore 1- C Sostituendo a x il valore 0B Sostituendo a x il valore 1 D Lrsquoinsieme di veritagrave coincide con lrsquoinsieme universo

95

96

97

98

99 100

101

102

103

104

16

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

FAI UN ESEMPIO Fai un esempio di enunciato aperto e opportuno insieme universo per i quali le propo-sizioni ottenute con i quantificatori risultinoa entrambe vere b entrambe false

Per ognuno dei seguenti enunciati aperti scegli un dominio U appropriato e individua un suo elemento che rende vero lrsquoenunciato e uno che lo rende falso scrivi le proposizioni per tali elementi

A(x) laquox egrave una persona con la patenteraquoB(x) laquox egrave un felinoraquo

A(x) laquox egrave una verdura verderaquoB(y) laquoIl fiume Po attraversa la regione yraquoC(z) laquoz egrave un monte italianoraquo

Consideriamo i tre enunciati apertiA(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un multiplo di 5raquo C(x) laquox egrave un multiplo di 4raquoe come dominio U lrsquoinsieme N dei numeri naturali minori o uguali a 20

Rappresentiamo con un diagramma di Venn lrsquoinsieme di veritagravea dei tre enunciati b di ( ) ( ) ( )A x B x C x e di ( ) ( )A x B x0

UA

B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713 UA

B A(x) v B(x) verain A U B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713

A(x) v (B(x) C(x)vera in A U B U C

v vU U

ndashndash

Per ogni terna A(x) B(x) C(x) dato il dominio U indicato rappresenta con diagrammi di Venn lrsquoin-sieme di veritagrave a dei tre enunciati b degli enunciati ( )C x ( ) ( )A x B x0 ( ) ( )A x C x ( ) ( )A x C x0 ( ) ( ) ( )[ ]A x C x B x0

A(x) laquox egrave un poligono equilateroraquo B(x) laquox egrave un rettangoloraquo C(x) laquox egrave un quadratoraquo U egrave lrsquoinsieme dei poligoni

A(x) laquox egrave un uomoraquo B(x) laquox egrave una donnaraquo C(x) laquox egrave suoceraraquo U egrave lrsquoinsieme delle persone

A(x) laquox egrave un erbivororaquo B(x) laquox egrave un carnivororaquo C(x) laquox egrave un onnivororaquo U egrave lrsquoinsieme degli animali

INVALSI 2003 Quale delle seguenti affermazioni egrave falsaA Alcuni multipli di 4 sono anche multipli di 8B Tutti i multipli di 8 sono anche multipli di 4C Tutti i numeri pari sono fra i multipli di 8

D Alcuni numeri pari non sono multipli di 8E Alcuni numeri pari sono multipli di 8

INVALSI 2004 Quale delle seguenti proposizioni egrave veraA Ogni numero intero divisibile per 3 egrave divisibile per 9B Ogni numero intero divisibile per 4 egrave divisibile per 2C Se il prodotto di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno dei due interi egrave divisibile per 5D Se la somma di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno degli addendi egrave divisibile per 5

105

106 107

COME SI FA

108

109

110

111

112

17

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

INVALSI 2004 Osserva le figure Quale delle seguenti affer-mazioni egrave falsaA Non tutti i quadrati sono bianchiB Qualche triangolo egrave neroC Almeno un cerchio egrave neroD Non tutti i cerchi sono bianchi

Indica per ogni enunciato il suo valore di veritagravea x Z6 x 3 0+ = b x xN7 egrave un numero primoc x xrette del piano7 egrave parallela a una retta r datad x Z6 x 022

TEST Dato il dominio U composto dalle figure del piano e lrsquoenunciato A(x) laquox egrave un quadrilateroraquo con x U quale enunciato egrave falsoA x U6 x egrave un quadrilateroB x A6 x egrave una figura del piano

C x U x7 egrave un quadrilateroD x A x7 egrave una figura del piano

TEST Quale delle seguenti egrave equivalente alla proposizione laquoSe un numero egrave divisibile per 18 allora egrave divi-sibile per 2 e per 3raquoA laquoSe un numero non egrave divisibile per 18 allora non egrave divisibile per 2 e per 3raquoB laquoSe un numero egrave divisibile per 2 e per 3 allora egrave divisibile per 18raquoC laquoSe un numero non egrave divisibile neacute per 2 neacute per 3 allora non egrave divisibile per 18raquoD laquoSe un numero non egrave divisibile per 2 o per 3 allora non egrave divisibile per 18raquo

Scriviamo le proposizioni che si ottengono dallrsquoenunciato ( )A x laquox egrave minore del suo doppioraquo utilizzando i quantificatori 6 e 7 nellrsquoinsieme universo U dei numeri interi Stabiliamo il valore di veritagrave delle proposizioni ottenute

quantificatore proposizione valore di veritagrave6 x U6 x x21 F7 x U x x27 1 V

Per ognuno dei seguenti enunciati scrivi le proposizioni che si ottengono utilizzando i quantificatori 6 e 7 e stabilisci il corrispondente valore di veritagrave

U x xN= egrave multiplo di 8 A(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un divisore di 16raquo ( )B x

U x x= egrave un felino A(x) laquox egrave una linceraquo B(x) laquox egrave un quadrupederaquo ( )B x

U x x= egrave una figura piana di area 16 A(x) laquox egrave un quadratoraquo B(x) laquox egrave un cerchioraquo C(x) laquox egrave un rettangolo di dimensioni 2 e 8raquo

Sia lrsquoinsieme N dei numeri naturali lrsquoinsieme in cui si considera la variabile x Lrsquoespressione laquoNon esiste alcun numero naturale n che moltiplicato per un numero naturale x qualsiasi dia come risultato x stessoraquo di quale tra le seguenti proposizioni logiche egrave la traduzione Tale proposizione egrave vera o falsaA ( )n x n x xN N $b 7 = B n N6 x n x xN $b = C n xN Nb 6 n x x$ =

113

114

115

116

COME SI FA

per esempio ndash3 Z ma ndash3 gt 2 sdot (ndash3)

per esempio 2 Z e 2 lt 2 sdot 2

117

118

119

120

18

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Sono date le proposizioni

A laquoOgni pagina del libro ha una figuraraquo

B laquoEsiste una pagina del libro in cui non compare il colore bluraquo

Scriviamo la loro negazioneA laquoEsiste una pagina del libro che non ha una figuraraquo

B laquoIn ogni pagina del libro compare il colore bluraquo

Per ognuna delle seguenti proposizioni scrivi la negazionelaquoOgni tavolo ha quattro gamberaquo

laquoNon esiste un multiplo di 5 che non termina per 0raquo

laquoTutti i numeri naturali sono interiraquo

laquoEsiste un numero naturale che egrave minore del suo cuboraquo

INVALSI 2012 Quale tra le seguenti frasi egrave la negazione della proposizione laquoTutti i numeri naturali sono dispariraquoA Tutti i numeri naturali sono pariB Nessun numero naturale egrave dispariC Almeno un numero naturale non egrave dispariD Qualche numero naturale egrave dispari

IN GARA Nel paese di Oz oltre alle persone normali (che possono mentire o dire la veritagrave) vivono cava-lieri (che dicono sempre la veritagrave) e furfanti (che mentono sempre) Una strana legge impone che in ogni matrimonio i coniugi siano entrambi normali oppure uno cavaliere e lrsquoaltro furfante Arrivati alla villetta bifamiliare dei coniugi Allegri e Bianchi chiedete se il sig Bianchi che egrave assente egrave un cavaliere ottenendo risposta affermativa sia dalla sigra Bianchi sia da entrambi i coniugi Allegri Che cosa potete concludere riguardo ai sig BianchiA Il sig Bianchi egrave un cavaliereB Il sig Bianchi egrave un furfanteC Il sig Bianchi egrave normaleD Egrave impossibile che le risposte date siano quelle riportateE Non potete concludere nulla

[Olimpiadi di matematica italiane Gara di 2deg livello Biennio 2003]

COME SI FA

X

Y

X

Y

121

122

123

124

125

126

13

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Il seguente ragionamento egrave valido mostralo con lrsquoaiuto di un diagramma di VennlaquoOgni multiplo di 12 egrave multiplo di 6raquolaquoOgni multiplo di 6 egrave multiplo di 3raquo

laquoOgni multiplo di 12 egrave multiplo di 3raquo

Riconoscere uno schema

Riconosciamo lo schema applicato in laquoSe un numero egrave una potenza di 3 allora non egrave pariraquo laquoUn numero egrave pari quindi non egrave una potenza di 3raquo

Scriviamo in simboli

laquoSe un numero egrave una potenza di 3 allora non egrave pariraquo A BlaquoUn numero egrave pari hellip B

hellipquindihellip

hellipnon egrave una potenza di 3raquo A

Lo schema di ragionamento egrave [( ) ]A B B A Poicheacute B egrave la negazione di ( )B B B= lo schema egrave il modus tollens

Riconosci gli schemi di ragionamento applicati scrivendo ognuno di essi in forma simbolicalaquoSe non hai il biglietto dellrsquoautobus prendi la multaraquolaquoNon prendi la multa quindi hai il biglietto dellrsquoautobusraquo

laquoSe arrivi in ritardo non entri a teatroraquolaquoArrivi in ritardo quindi non entri a teatroraquo

laquoSe passo col rosso mi ferma il vigile se mi ferma il vigile pagoraquolaquoSe passo col rosso pagoraquo

laquoSe penso allora sonoraquolaquoSe non sono allora non pensoraquo

laquoSe ingrasso non entro nei pantaloni se non entro nei pantaloni devo rifare il guardarobaraquolaquoSe ingrasso devo rifare il guardarobaraquo

laquoSe ho il foglio protocollo a righe crsquoegrave il temaraquolaquoNon crsquoegrave il tema quindi non ho il foglio protocollo a righeraquo

laquoSe lavo i vetri piove se piove i vetri si sporcanoraquolaquoSe lavo i vetri i vetri si sporcanoraquo

laquoSe sono bassa salgo sulla sediaraquolaquoSono bassa quindi salgo sulla sediaraquo

laquoSe un numero egrave naturale allora egrave intero se un numero egrave intero allora egrave razionaleraquolaquoSe un numero non egrave razionale allora non egrave naturaleraquo

75

COME SI FA

A laquoUn numero egrave una potenza di 3raquo B laquoUn numero egrave pariraquo

B

A

76

77

78

79

80

81

82

83

84

14

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Stabilisci se i seguenti ragionamenti sono validi e in caso affermativo indicane il tipolaquoSe suona il telefono rispondoraquolaquoNon rispondo quindi non suona il telefonoraquo

laquoSe accendo il forno non avvio la lavastoviglie se non avvio la lavastoviglie i piatti restano sporchiraquolaquoSe accendo il forno i piatti restano sporchiraquo

laquoSe il gatto miagola ha fameraquolaquoSe il gatto non ha fame non miagolaraquo

laquoSe il triangolo egrave rettangolo applico il teorema di PitagoraraquolaquoIl triangolo egrave rettangolo quindi applico il teorema di Pitagoraraquo

Applica il modus ponens il modus tollens e la legge di contrapposizione alle seguenti premessea laquoSe un rombo ha gli angoli congruenti allora egrave un quadratoraquob laquoSe in ogni materia la media dei miei voti egrave maggiore o uguale a 6 vengo promossoraquo

RIEPILOGO Altri esercizi di logicaEnunciati e connettivi logici

TEST Solo una delle seguenti frasi egrave un enunciato logico QualeA laquoStrano esercizioraquoB laquoLa risposta a questo esercizio egrave la Craquo

C laquoQuale esercizioraquoD laquoQuesto esercizio non mi piaceraquo

VERO O FALSO Egrave un enunciato logicoa laquoOggi vieni a giocare a calcio con noiraquo V F

b laquo15 egrave un multiplo di 2raquo V F

c laquoLa mia borsa egrave molto voluminosaraquo V F

d laquoCorriraquo V F

e laquoTutti i poligoni hanno 4 latiraquo V F

f laquo 10 5 2= raquo V F

g laquoPer favore sii puntualeraquo V F

h laquoChe cosa farai per il tuo compleannoraquo V F

Stabilisci quali tra i seguenti sono enunciati logici Per quelli che lo sono indica il valore di veritagravea laquoeuro 15 egrave un prezzo basso per una T-shirtraquo

b laquo2 44 21 raquo

c laquoIl doppio di 43 egrave 15raquo

d laquoMarzo ha 30 giorniraquo

Attribuisci a ciascuna delle seguenti proposizioni il valore di veritagravea laquoTutti i multipli di 4 sono anche multipli di 16raquob laquoLrsquouguaglianza x 62 = non egrave mai verificata

in Nraquoc laquoIl prodotto di due numeri dispari egrave sempre

un numero pariraquod laquoVenere egrave una stellaraquoe laquoIl rettangolo egrave un particolare parallelo-

grammaraquo

a laquoLa disuguaglianza x7 02+ puograve non esse-re verificata in Nraquo

b laquoIl massimo comune divisore fra due nume-ri pari egrave un numero pariraquo

c laquoIl Sole egrave un satellite del pianeta Terraraquod laquoLrsquoopposto di 4 egrave 4

1 raquoe laquoIl prodotto cartesiano tra insiemi egrave com-

mutativoraquo

85

86

87

88

89

90

91

92

93 94

15

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

COMPLETA le seguenti frasi in modo che risultino enunciati veria laquoIl numero egrave maggiore di 0raquob laquoLrsquouguaglianza egrave sempre verificata in Qraquoc laquoI numeri sono i divisori di 42raquod laquoIl numero egrave pari e multiplo di 7raquoe laquoOgni ha tre angoli congruentiraquo

Compila le tabelle a doppia entrata relative a congiunzione disgiunzione inclusiva disgiunzione esclusiva implicazione materiale coimplicazione materiale

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Le seguenti proposizioni sono proposizioni composte costituite da enunciati distinti (componenti) legati da connettivi logici Riscrivile in simboli indicando con una lettera maiuscola ogni componentea laquoTorino egrave una cittagrave piemontese ed egrave stata la prima capitale drsquoItaliaraquob laquoI palloni da calcio non sono sferici e nemmeno quelli da basketraquoc laquoIl numero 7 egrave positivo ed egrave un numero primoraquod laquoUn numero o egrave pari o egrave 42raquoe laquoI giorni dellrsquoanno sono 365 o 366raquof laquoO vado al mare o sul Monte Biancoraquog laquoIl numero 2 egrave minore di 3 e metagrave di 4raquo

Dati gli enunciati A laquo7 egrave il quarto numero primoraquo e B laquo7 egrave un divisore di 165raquo attribuisci il valore di veritagrave aa A B0 b A B c A B0 d A B e B A)

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE Considera le seguenti proposizioni tutte vereA laquosono in vacanzaraquo B laquonon lavororaquo C laquofaccio delle passeggiateraquo D laquosono al mareraquoTraduci in parole le seguenti proposizioni e determina il loro valore di veritagrave

B C A C D B C B A B0 D C A D0 A C

SPIEGALO TU Considera gli enunciati A laquoLaura ha 18 anniraquo e B laquoLaura ha la patenteraquo In quali casi gli enunciati A B e A B0 sono veri e in quali falsi E A B

INTORNO A NOI Tre imputati di un delitto Aldo Bruno e Carlo rilasciano le seguenti dichiarazioniAldo laquoNon sono colpevoleraquo Bruno laquoIl colpevole egrave Carloraquo Carlo laquoIl colpevole egrave AldoraquoSe sappiamo che uno solo dei tre imputati ha dichiarato il falso chi egrave il colpevole

Enunciati e quantificatoriINVALSI 2013 Indica se ciascuna delle seguenti proposizioni egrave vera o falsa

a Se un numero egrave multiplo di 9 allora egrave multiplo di 3 V F

b Un numero egrave multiplo di 6 solo se egrave pari V F

c Un numero egrave multiplo di 5 se e solo se egrave multiplo di 10 V F

d Se un numero egrave pari allora egrave multiplo di 4 V F

TEST Lrsquoenunciato aperto A(x) laquox 1- egrave un numero naturaleraquo con x N si trasforma in un enunciato vero in uno solo dei seguenti modi qualeA Sostituendo a x il valore 1- C Sostituendo a x il valore 0B Sostituendo a x il valore 1 D Lrsquoinsieme di veritagrave coincide con lrsquoinsieme universo

95

96

97

98

99 100

101

102

103

104

16

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

FAI UN ESEMPIO Fai un esempio di enunciato aperto e opportuno insieme universo per i quali le propo-sizioni ottenute con i quantificatori risultinoa entrambe vere b entrambe false

Per ognuno dei seguenti enunciati aperti scegli un dominio U appropriato e individua un suo elemento che rende vero lrsquoenunciato e uno che lo rende falso scrivi le proposizioni per tali elementi

A(x) laquox egrave una persona con la patenteraquoB(x) laquox egrave un felinoraquo

A(x) laquox egrave una verdura verderaquoB(y) laquoIl fiume Po attraversa la regione yraquoC(z) laquoz egrave un monte italianoraquo

Consideriamo i tre enunciati apertiA(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un multiplo di 5raquo C(x) laquox egrave un multiplo di 4raquoe come dominio U lrsquoinsieme N dei numeri naturali minori o uguali a 20

Rappresentiamo con un diagramma di Venn lrsquoinsieme di veritagravea dei tre enunciati b di ( ) ( ) ( )A x B x C x e di ( ) ( )A x B x0

UA

B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713 UA

B A(x) v B(x) verain A U B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713

A(x) v (B(x) C(x)vera in A U B U C

v vU U

ndashndash

Per ogni terna A(x) B(x) C(x) dato il dominio U indicato rappresenta con diagrammi di Venn lrsquoin-sieme di veritagrave a dei tre enunciati b degli enunciati ( )C x ( ) ( )A x B x0 ( ) ( )A x C x ( ) ( )A x C x0 ( ) ( ) ( )[ ]A x C x B x0

A(x) laquox egrave un poligono equilateroraquo B(x) laquox egrave un rettangoloraquo C(x) laquox egrave un quadratoraquo U egrave lrsquoinsieme dei poligoni

A(x) laquox egrave un uomoraquo B(x) laquox egrave una donnaraquo C(x) laquox egrave suoceraraquo U egrave lrsquoinsieme delle persone

A(x) laquox egrave un erbivororaquo B(x) laquox egrave un carnivororaquo C(x) laquox egrave un onnivororaquo U egrave lrsquoinsieme degli animali

INVALSI 2003 Quale delle seguenti affermazioni egrave falsaA Alcuni multipli di 4 sono anche multipli di 8B Tutti i multipli di 8 sono anche multipli di 4C Tutti i numeri pari sono fra i multipli di 8

D Alcuni numeri pari non sono multipli di 8E Alcuni numeri pari sono multipli di 8

INVALSI 2004 Quale delle seguenti proposizioni egrave veraA Ogni numero intero divisibile per 3 egrave divisibile per 9B Ogni numero intero divisibile per 4 egrave divisibile per 2C Se il prodotto di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno dei due interi egrave divisibile per 5D Se la somma di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno degli addendi egrave divisibile per 5

105

106 107

COME SI FA

108

109

110

111

112

17

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

INVALSI 2004 Osserva le figure Quale delle seguenti affer-mazioni egrave falsaA Non tutti i quadrati sono bianchiB Qualche triangolo egrave neroC Almeno un cerchio egrave neroD Non tutti i cerchi sono bianchi

Indica per ogni enunciato il suo valore di veritagravea x Z6 x 3 0+ = b x xN7 egrave un numero primoc x xrette del piano7 egrave parallela a una retta r datad x Z6 x 022

TEST Dato il dominio U composto dalle figure del piano e lrsquoenunciato A(x) laquox egrave un quadrilateroraquo con x U quale enunciato egrave falsoA x U6 x egrave un quadrilateroB x A6 x egrave una figura del piano

C x U x7 egrave un quadrilateroD x A x7 egrave una figura del piano

TEST Quale delle seguenti egrave equivalente alla proposizione laquoSe un numero egrave divisibile per 18 allora egrave divi-sibile per 2 e per 3raquoA laquoSe un numero non egrave divisibile per 18 allora non egrave divisibile per 2 e per 3raquoB laquoSe un numero egrave divisibile per 2 e per 3 allora egrave divisibile per 18raquoC laquoSe un numero non egrave divisibile neacute per 2 neacute per 3 allora non egrave divisibile per 18raquoD laquoSe un numero non egrave divisibile per 2 o per 3 allora non egrave divisibile per 18raquo

Scriviamo le proposizioni che si ottengono dallrsquoenunciato ( )A x laquox egrave minore del suo doppioraquo utilizzando i quantificatori 6 e 7 nellrsquoinsieme universo U dei numeri interi Stabiliamo il valore di veritagrave delle proposizioni ottenute

quantificatore proposizione valore di veritagrave6 x U6 x x21 F7 x U x x27 1 V

Per ognuno dei seguenti enunciati scrivi le proposizioni che si ottengono utilizzando i quantificatori 6 e 7 e stabilisci il corrispondente valore di veritagrave

U x xN= egrave multiplo di 8 A(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un divisore di 16raquo ( )B x

U x x= egrave un felino A(x) laquox egrave una linceraquo B(x) laquox egrave un quadrupederaquo ( )B x

U x x= egrave una figura piana di area 16 A(x) laquox egrave un quadratoraquo B(x) laquox egrave un cerchioraquo C(x) laquox egrave un rettangolo di dimensioni 2 e 8raquo

Sia lrsquoinsieme N dei numeri naturali lrsquoinsieme in cui si considera la variabile x Lrsquoespressione laquoNon esiste alcun numero naturale n che moltiplicato per un numero naturale x qualsiasi dia come risultato x stessoraquo di quale tra le seguenti proposizioni logiche egrave la traduzione Tale proposizione egrave vera o falsaA ( )n x n x xN N $b 7 = B n N6 x n x xN $b = C n xN Nb 6 n x x$ =

113

114

115

116

COME SI FA

per esempio ndash3 Z ma ndash3 gt 2 sdot (ndash3)

per esempio 2 Z e 2 lt 2 sdot 2

117

118

119

120

18

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Sono date le proposizioni

A laquoOgni pagina del libro ha una figuraraquo

B laquoEsiste una pagina del libro in cui non compare il colore bluraquo

Scriviamo la loro negazioneA laquoEsiste una pagina del libro che non ha una figuraraquo

B laquoIn ogni pagina del libro compare il colore bluraquo

Per ognuna delle seguenti proposizioni scrivi la negazionelaquoOgni tavolo ha quattro gamberaquo

laquoNon esiste un multiplo di 5 che non termina per 0raquo

laquoTutti i numeri naturali sono interiraquo

laquoEsiste un numero naturale che egrave minore del suo cuboraquo

INVALSI 2012 Quale tra le seguenti frasi egrave la negazione della proposizione laquoTutti i numeri naturali sono dispariraquoA Tutti i numeri naturali sono pariB Nessun numero naturale egrave dispariC Almeno un numero naturale non egrave dispariD Qualche numero naturale egrave dispari

IN GARA Nel paese di Oz oltre alle persone normali (che possono mentire o dire la veritagrave) vivono cava-lieri (che dicono sempre la veritagrave) e furfanti (che mentono sempre) Una strana legge impone che in ogni matrimonio i coniugi siano entrambi normali oppure uno cavaliere e lrsquoaltro furfante Arrivati alla villetta bifamiliare dei coniugi Allegri e Bianchi chiedete se il sig Bianchi che egrave assente egrave un cavaliere ottenendo risposta affermativa sia dalla sigra Bianchi sia da entrambi i coniugi Allegri Che cosa potete concludere riguardo ai sig BianchiA Il sig Bianchi egrave un cavaliereB Il sig Bianchi egrave un furfanteC Il sig Bianchi egrave normaleD Egrave impossibile che le risposte date siano quelle riportateE Non potete concludere nulla

[Olimpiadi di matematica italiane Gara di 2deg livello Biennio 2003]

COME SI FA

X

Y

X

Y

121

122

123

124

125

126

14

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Stabilisci se i seguenti ragionamenti sono validi e in caso affermativo indicane il tipolaquoSe suona il telefono rispondoraquolaquoNon rispondo quindi non suona il telefonoraquo

laquoSe accendo il forno non avvio la lavastoviglie se non avvio la lavastoviglie i piatti restano sporchiraquolaquoSe accendo il forno i piatti restano sporchiraquo

laquoSe il gatto miagola ha fameraquolaquoSe il gatto non ha fame non miagolaraquo

laquoSe il triangolo egrave rettangolo applico il teorema di PitagoraraquolaquoIl triangolo egrave rettangolo quindi applico il teorema di Pitagoraraquo

Applica il modus ponens il modus tollens e la legge di contrapposizione alle seguenti premessea laquoSe un rombo ha gli angoli congruenti allora egrave un quadratoraquob laquoSe in ogni materia la media dei miei voti egrave maggiore o uguale a 6 vengo promossoraquo

RIEPILOGO Altri esercizi di logicaEnunciati e connettivi logici

TEST Solo una delle seguenti frasi egrave un enunciato logico QualeA laquoStrano esercizioraquoB laquoLa risposta a questo esercizio egrave la Craquo

C laquoQuale esercizioraquoD laquoQuesto esercizio non mi piaceraquo

VERO O FALSO Egrave un enunciato logicoa laquoOggi vieni a giocare a calcio con noiraquo V F

b laquo15 egrave un multiplo di 2raquo V F

c laquoLa mia borsa egrave molto voluminosaraquo V F

d laquoCorriraquo V F

e laquoTutti i poligoni hanno 4 latiraquo V F

f laquo 10 5 2= raquo V F

g laquoPer favore sii puntualeraquo V F

h laquoChe cosa farai per il tuo compleannoraquo V F

Stabilisci quali tra i seguenti sono enunciati logici Per quelli che lo sono indica il valore di veritagravea laquoeuro 15 egrave un prezzo basso per una T-shirtraquo

b laquo2 44 21 raquo

c laquoIl doppio di 43 egrave 15raquo

d laquoMarzo ha 30 giorniraquo

Attribuisci a ciascuna delle seguenti proposizioni il valore di veritagravea laquoTutti i multipli di 4 sono anche multipli di 16raquob laquoLrsquouguaglianza x 62 = non egrave mai verificata

in Nraquoc laquoIl prodotto di due numeri dispari egrave sempre

un numero pariraquod laquoVenere egrave una stellaraquoe laquoIl rettangolo egrave un particolare parallelo-

grammaraquo

a laquoLa disuguaglianza x7 02+ puograve non esse-re verificata in Nraquo

b laquoIl massimo comune divisore fra due nume-ri pari egrave un numero pariraquo

c laquoIl Sole egrave un satellite del pianeta Terraraquod laquoLrsquoopposto di 4 egrave 4

1 raquoe laquoIl prodotto cartesiano tra insiemi egrave com-

mutativoraquo

85

86

87

88

89

90

91

92

93 94

15

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

COMPLETA le seguenti frasi in modo che risultino enunciati veria laquoIl numero egrave maggiore di 0raquob laquoLrsquouguaglianza egrave sempre verificata in Qraquoc laquoI numeri sono i divisori di 42raquod laquoIl numero egrave pari e multiplo di 7raquoe laquoOgni ha tre angoli congruentiraquo

Compila le tabelle a doppia entrata relative a congiunzione disgiunzione inclusiva disgiunzione esclusiva implicazione materiale coimplicazione materiale

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Le seguenti proposizioni sono proposizioni composte costituite da enunciati distinti (componenti) legati da connettivi logici Riscrivile in simboli indicando con una lettera maiuscola ogni componentea laquoTorino egrave una cittagrave piemontese ed egrave stata la prima capitale drsquoItaliaraquob laquoI palloni da calcio non sono sferici e nemmeno quelli da basketraquoc laquoIl numero 7 egrave positivo ed egrave un numero primoraquod laquoUn numero o egrave pari o egrave 42raquoe laquoI giorni dellrsquoanno sono 365 o 366raquof laquoO vado al mare o sul Monte Biancoraquog laquoIl numero 2 egrave minore di 3 e metagrave di 4raquo

Dati gli enunciati A laquo7 egrave il quarto numero primoraquo e B laquo7 egrave un divisore di 165raquo attribuisci il valore di veritagrave aa A B0 b A B c A B0 d A B e B A)

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE Considera le seguenti proposizioni tutte vereA laquosono in vacanzaraquo B laquonon lavororaquo C laquofaccio delle passeggiateraquo D laquosono al mareraquoTraduci in parole le seguenti proposizioni e determina il loro valore di veritagrave

B C A C D B C B A B0 D C A D0 A C

SPIEGALO TU Considera gli enunciati A laquoLaura ha 18 anniraquo e B laquoLaura ha la patenteraquo In quali casi gli enunciati A B e A B0 sono veri e in quali falsi E A B

INTORNO A NOI Tre imputati di un delitto Aldo Bruno e Carlo rilasciano le seguenti dichiarazioniAldo laquoNon sono colpevoleraquo Bruno laquoIl colpevole egrave Carloraquo Carlo laquoIl colpevole egrave AldoraquoSe sappiamo che uno solo dei tre imputati ha dichiarato il falso chi egrave il colpevole

Enunciati e quantificatoriINVALSI 2013 Indica se ciascuna delle seguenti proposizioni egrave vera o falsa

a Se un numero egrave multiplo di 9 allora egrave multiplo di 3 V F

b Un numero egrave multiplo di 6 solo se egrave pari V F

c Un numero egrave multiplo di 5 se e solo se egrave multiplo di 10 V F

d Se un numero egrave pari allora egrave multiplo di 4 V F

TEST Lrsquoenunciato aperto A(x) laquox 1- egrave un numero naturaleraquo con x N si trasforma in un enunciato vero in uno solo dei seguenti modi qualeA Sostituendo a x il valore 1- C Sostituendo a x il valore 0B Sostituendo a x il valore 1 D Lrsquoinsieme di veritagrave coincide con lrsquoinsieme universo

95

96

97

98

99 100

101

102

103

104

16

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

FAI UN ESEMPIO Fai un esempio di enunciato aperto e opportuno insieme universo per i quali le propo-sizioni ottenute con i quantificatori risultinoa entrambe vere b entrambe false

Per ognuno dei seguenti enunciati aperti scegli un dominio U appropriato e individua un suo elemento che rende vero lrsquoenunciato e uno che lo rende falso scrivi le proposizioni per tali elementi

A(x) laquox egrave una persona con la patenteraquoB(x) laquox egrave un felinoraquo

A(x) laquox egrave una verdura verderaquoB(y) laquoIl fiume Po attraversa la regione yraquoC(z) laquoz egrave un monte italianoraquo

Consideriamo i tre enunciati apertiA(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un multiplo di 5raquo C(x) laquox egrave un multiplo di 4raquoe come dominio U lrsquoinsieme N dei numeri naturali minori o uguali a 20

Rappresentiamo con un diagramma di Venn lrsquoinsieme di veritagravea dei tre enunciati b di ( ) ( ) ( )A x B x C x e di ( ) ( )A x B x0

UA

B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713 UA

B A(x) v B(x) verain A U B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713

A(x) v (B(x) C(x)vera in A U B U C

v vU U

ndashndash

Per ogni terna A(x) B(x) C(x) dato il dominio U indicato rappresenta con diagrammi di Venn lrsquoin-sieme di veritagrave a dei tre enunciati b degli enunciati ( )C x ( ) ( )A x B x0 ( ) ( )A x C x ( ) ( )A x C x0 ( ) ( ) ( )[ ]A x C x B x0

A(x) laquox egrave un poligono equilateroraquo B(x) laquox egrave un rettangoloraquo C(x) laquox egrave un quadratoraquo U egrave lrsquoinsieme dei poligoni

A(x) laquox egrave un uomoraquo B(x) laquox egrave una donnaraquo C(x) laquox egrave suoceraraquo U egrave lrsquoinsieme delle persone

A(x) laquox egrave un erbivororaquo B(x) laquox egrave un carnivororaquo C(x) laquox egrave un onnivororaquo U egrave lrsquoinsieme degli animali

INVALSI 2003 Quale delle seguenti affermazioni egrave falsaA Alcuni multipli di 4 sono anche multipli di 8B Tutti i multipli di 8 sono anche multipli di 4C Tutti i numeri pari sono fra i multipli di 8

D Alcuni numeri pari non sono multipli di 8E Alcuni numeri pari sono multipli di 8

INVALSI 2004 Quale delle seguenti proposizioni egrave veraA Ogni numero intero divisibile per 3 egrave divisibile per 9B Ogni numero intero divisibile per 4 egrave divisibile per 2C Se il prodotto di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno dei due interi egrave divisibile per 5D Se la somma di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno degli addendi egrave divisibile per 5

105

106 107

COME SI FA

108

109

110

111

112

17

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

INVALSI 2004 Osserva le figure Quale delle seguenti affer-mazioni egrave falsaA Non tutti i quadrati sono bianchiB Qualche triangolo egrave neroC Almeno un cerchio egrave neroD Non tutti i cerchi sono bianchi

Indica per ogni enunciato il suo valore di veritagravea x Z6 x 3 0+ = b x xN7 egrave un numero primoc x xrette del piano7 egrave parallela a una retta r datad x Z6 x 022

TEST Dato il dominio U composto dalle figure del piano e lrsquoenunciato A(x) laquox egrave un quadrilateroraquo con x U quale enunciato egrave falsoA x U6 x egrave un quadrilateroB x A6 x egrave una figura del piano

C x U x7 egrave un quadrilateroD x A x7 egrave una figura del piano

TEST Quale delle seguenti egrave equivalente alla proposizione laquoSe un numero egrave divisibile per 18 allora egrave divi-sibile per 2 e per 3raquoA laquoSe un numero non egrave divisibile per 18 allora non egrave divisibile per 2 e per 3raquoB laquoSe un numero egrave divisibile per 2 e per 3 allora egrave divisibile per 18raquoC laquoSe un numero non egrave divisibile neacute per 2 neacute per 3 allora non egrave divisibile per 18raquoD laquoSe un numero non egrave divisibile per 2 o per 3 allora non egrave divisibile per 18raquo

Scriviamo le proposizioni che si ottengono dallrsquoenunciato ( )A x laquox egrave minore del suo doppioraquo utilizzando i quantificatori 6 e 7 nellrsquoinsieme universo U dei numeri interi Stabiliamo il valore di veritagrave delle proposizioni ottenute

quantificatore proposizione valore di veritagrave6 x U6 x x21 F7 x U x x27 1 V

Per ognuno dei seguenti enunciati scrivi le proposizioni che si ottengono utilizzando i quantificatori 6 e 7 e stabilisci il corrispondente valore di veritagrave

U x xN= egrave multiplo di 8 A(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un divisore di 16raquo ( )B x

U x x= egrave un felino A(x) laquox egrave una linceraquo B(x) laquox egrave un quadrupederaquo ( )B x

U x x= egrave una figura piana di area 16 A(x) laquox egrave un quadratoraquo B(x) laquox egrave un cerchioraquo C(x) laquox egrave un rettangolo di dimensioni 2 e 8raquo

Sia lrsquoinsieme N dei numeri naturali lrsquoinsieme in cui si considera la variabile x Lrsquoespressione laquoNon esiste alcun numero naturale n che moltiplicato per un numero naturale x qualsiasi dia come risultato x stessoraquo di quale tra le seguenti proposizioni logiche egrave la traduzione Tale proposizione egrave vera o falsaA ( )n x n x xN N $b 7 = B n N6 x n x xN $b = C n xN Nb 6 n x x$ =

113

114

115

116

COME SI FA

per esempio ndash3 Z ma ndash3 gt 2 sdot (ndash3)

per esempio 2 Z e 2 lt 2 sdot 2

117

118

119

120

18

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Sono date le proposizioni

A laquoOgni pagina del libro ha una figuraraquo

B laquoEsiste una pagina del libro in cui non compare il colore bluraquo

Scriviamo la loro negazioneA laquoEsiste una pagina del libro che non ha una figuraraquo

B laquoIn ogni pagina del libro compare il colore bluraquo

Per ognuna delle seguenti proposizioni scrivi la negazionelaquoOgni tavolo ha quattro gamberaquo

laquoNon esiste un multiplo di 5 che non termina per 0raquo

laquoTutti i numeri naturali sono interiraquo

laquoEsiste un numero naturale che egrave minore del suo cuboraquo

INVALSI 2012 Quale tra le seguenti frasi egrave la negazione della proposizione laquoTutti i numeri naturali sono dispariraquoA Tutti i numeri naturali sono pariB Nessun numero naturale egrave dispariC Almeno un numero naturale non egrave dispariD Qualche numero naturale egrave dispari

IN GARA Nel paese di Oz oltre alle persone normali (che possono mentire o dire la veritagrave) vivono cava-lieri (che dicono sempre la veritagrave) e furfanti (che mentono sempre) Una strana legge impone che in ogni matrimonio i coniugi siano entrambi normali oppure uno cavaliere e lrsquoaltro furfante Arrivati alla villetta bifamiliare dei coniugi Allegri e Bianchi chiedete se il sig Bianchi che egrave assente egrave un cavaliere ottenendo risposta affermativa sia dalla sigra Bianchi sia da entrambi i coniugi Allegri Che cosa potete concludere riguardo ai sig BianchiA Il sig Bianchi egrave un cavaliereB Il sig Bianchi egrave un furfanteC Il sig Bianchi egrave normaleD Egrave impossibile che le risposte date siano quelle riportateE Non potete concludere nulla

[Olimpiadi di matematica italiane Gara di 2deg livello Biennio 2003]

COME SI FA

X

Y

X

Y

121

122

123

124

125

126

15

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

COMPLETA le seguenti frasi in modo che risultino enunciati veria laquoIl numero egrave maggiore di 0raquob laquoLrsquouguaglianza egrave sempre verificata in Qraquoc laquoI numeri sono i divisori di 42raquod laquoIl numero egrave pari e multiplo di 7raquoe laquoOgni ha tre angoli congruentiraquo

Compila le tabelle a doppia entrata relative a congiunzione disgiunzione inclusiva disgiunzione esclusiva implicazione materiale coimplicazione materiale

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI Le seguenti proposizioni sono proposizioni composte costituite da enunciati distinti (componenti) legati da connettivi logici Riscrivile in simboli indicando con una lettera maiuscola ogni componentea laquoTorino egrave una cittagrave piemontese ed egrave stata la prima capitale drsquoItaliaraquob laquoI palloni da calcio non sono sferici e nemmeno quelli da basketraquoc laquoIl numero 7 egrave positivo ed egrave un numero primoraquod laquoUn numero o egrave pari o egrave 42raquoe laquoI giorni dellrsquoanno sono 365 o 366raquof laquoO vado al mare o sul Monte Biancoraquog laquoIl numero 2 egrave minore di 3 e metagrave di 4raquo

Dati gli enunciati A laquo7 egrave il quarto numero primoraquo e B laquo7 egrave un divisore di 165raquo attribuisci il valore di veritagrave aa A B0 b A B c A B0 d A B e B A)

TRADUCI DAI SIMBOLI ALLE PAROLE Considera le seguenti proposizioni tutte vereA laquosono in vacanzaraquo B laquonon lavororaquo C laquofaccio delle passeggiateraquo D laquosono al mareraquoTraduci in parole le seguenti proposizioni e determina il loro valore di veritagrave

B C A C D B C B A B0 D C A D0 A C

SPIEGALO TU Considera gli enunciati A laquoLaura ha 18 anniraquo e B laquoLaura ha la patenteraquo In quali casi gli enunciati A B e A B0 sono veri e in quali falsi E A B

INTORNO A NOI Tre imputati di un delitto Aldo Bruno e Carlo rilasciano le seguenti dichiarazioniAldo laquoNon sono colpevoleraquo Bruno laquoIl colpevole egrave Carloraquo Carlo laquoIl colpevole egrave AldoraquoSe sappiamo che uno solo dei tre imputati ha dichiarato il falso chi egrave il colpevole

Enunciati e quantificatoriINVALSI 2013 Indica se ciascuna delle seguenti proposizioni egrave vera o falsa

a Se un numero egrave multiplo di 9 allora egrave multiplo di 3 V F

b Un numero egrave multiplo di 6 solo se egrave pari V F

c Un numero egrave multiplo di 5 se e solo se egrave multiplo di 10 V F

d Se un numero egrave pari allora egrave multiplo di 4 V F

TEST Lrsquoenunciato aperto A(x) laquox 1- egrave un numero naturaleraquo con x N si trasforma in un enunciato vero in uno solo dei seguenti modi qualeA Sostituendo a x il valore 1- C Sostituendo a x il valore 0B Sostituendo a x il valore 1 D Lrsquoinsieme di veritagrave coincide con lrsquoinsieme universo

95

96

97

98

99 100

101

102

103

104

16

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

FAI UN ESEMPIO Fai un esempio di enunciato aperto e opportuno insieme universo per i quali le propo-sizioni ottenute con i quantificatori risultinoa entrambe vere b entrambe false

Per ognuno dei seguenti enunciati aperti scegli un dominio U appropriato e individua un suo elemento che rende vero lrsquoenunciato e uno che lo rende falso scrivi le proposizioni per tali elementi

A(x) laquox egrave una persona con la patenteraquoB(x) laquox egrave un felinoraquo

A(x) laquox egrave una verdura verderaquoB(y) laquoIl fiume Po attraversa la regione yraquoC(z) laquoz egrave un monte italianoraquo

Consideriamo i tre enunciati apertiA(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un multiplo di 5raquo C(x) laquox egrave un multiplo di 4raquoe come dominio U lrsquoinsieme N dei numeri naturali minori o uguali a 20

Rappresentiamo con un diagramma di Venn lrsquoinsieme di veritagravea dei tre enunciati b di ( ) ( ) ( )A x B x C x e di ( ) ( )A x B x0

UA

B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713 UA

B A(x) v B(x) verain A U B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713

A(x) v (B(x) C(x)vera in A U B U C

v vU U

ndashndash

Per ogni terna A(x) B(x) C(x) dato il dominio U indicato rappresenta con diagrammi di Venn lrsquoin-sieme di veritagrave a dei tre enunciati b degli enunciati ( )C x ( ) ( )A x B x0 ( ) ( )A x C x ( ) ( )A x C x0 ( ) ( ) ( )[ ]A x C x B x0

A(x) laquox egrave un poligono equilateroraquo B(x) laquox egrave un rettangoloraquo C(x) laquox egrave un quadratoraquo U egrave lrsquoinsieme dei poligoni

A(x) laquox egrave un uomoraquo B(x) laquox egrave una donnaraquo C(x) laquox egrave suoceraraquo U egrave lrsquoinsieme delle persone

A(x) laquox egrave un erbivororaquo B(x) laquox egrave un carnivororaquo C(x) laquox egrave un onnivororaquo U egrave lrsquoinsieme degli animali

INVALSI 2003 Quale delle seguenti affermazioni egrave falsaA Alcuni multipli di 4 sono anche multipli di 8B Tutti i multipli di 8 sono anche multipli di 4C Tutti i numeri pari sono fra i multipli di 8

D Alcuni numeri pari non sono multipli di 8E Alcuni numeri pari sono multipli di 8

INVALSI 2004 Quale delle seguenti proposizioni egrave veraA Ogni numero intero divisibile per 3 egrave divisibile per 9B Ogni numero intero divisibile per 4 egrave divisibile per 2C Se il prodotto di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno dei due interi egrave divisibile per 5D Se la somma di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno degli addendi egrave divisibile per 5

105

106 107

COME SI FA

108

109

110

111

112

17

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

INVALSI 2004 Osserva le figure Quale delle seguenti affer-mazioni egrave falsaA Non tutti i quadrati sono bianchiB Qualche triangolo egrave neroC Almeno un cerchio egrave neroD Non tutti i cerchi sono bianchi

Indica per ogni enunciato il suo valore di veritagravea x Z6 x 3 0+ = b x xN7 egrave un numero primoc x xrette del piano7 egrave parallela a una retta r datad x Z6 x 022

TEST Dato il dominio U composto dalle figure del piano e lrsquoenunciato A(x) laquox egrave un quadrilateroraquo con x U quale enunciato egrave falsoA x U6 x egrave un quadrilateroB x A6 x egrave una figura del piano

C x U x7 egrave un quadrilateroD x A x7 egrave una figura del piano

TEST Quale delle seguenti egrave equivalente alla proposizione laquoSe un numero egrave divisibile per 18 allora egrave divi-sibile per 2 e per 3raquoA laquoSe un numero non egrave divisibile per 18 allora non egrave divisibile per 2 e per 3raquoB laquoSe un numero egrave divisibile per 2 e per 3 allora egrave divisibile per 18raquoC laquoSe un numero non egrave divisibile neacute per 2 neacute per 3 allora non egrave divisibile per 18raquoD laquoSe un numero non egrave divisibile per 2 o per 3 allora non egrave divisibile per 18raquo

Scriviamo le proposizioni che si ottengono dallrsquoenunciato ( )A x laquox egrave minore del suo doppioraquo utilizzando i quantificatori 6 e 7 nellrsquoinsieme universo U dei numeri interi Stabiliamo il valore di veritagrave delle proposizioni ottenute

quantificatore proposizione valore di veritagrave6 x U6 x x21 F7 x U x x27 1 V

Per ognuno dei seguenti enunciati scrivi le proposizioni che si ottengono utilizzando i quantificatori 6 e 7 e stabilisci il corrispondente valore di veritagrave

U x xN= egrave multiplo di 8 A(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un divisore di 16raquo ( )B x

U x x= egrave un felino A(x) laquox egrave una linceraquo B(x) laquox egrave un quadrupederaquo ( )B x

U x x= egrave una figura piana di area 16 A(x) laquox egrave un quadratoraquo B(x) laquox egrave un cerchioraquo C(x) laquox egrave un rettangolo di dimensioni 2 e 8raquo

Sia lrsquoinsieme N dei numeri naturali lrsquoinsieme in cui si considera la variabile x Lrsquoespressione laquoNon esiste alcun numero naturale n che moltiplicato per un numero naturale x qualsiasi dia come risultato x stessoraquo di quale tra le seguenti proposizioni logiche egrave la traduzione Tale proposizione egrave vera o falsaA ( )n x n x xN N $b 7 = B n N6 x n x xN $b = C n xN Nb 6 n x x$ =

113

114

115

116

COME SI FA

per esempio ndash3 Z ma ndash3 gt 2 sdot (ndash3)

per esempio 2 Z e 2 lt 2 sdot 2

117

118

119

120

18

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Sono date le proposizioni

A laquoOgni pagina del libro ha una figuraraquo

B laquoEsiste una pagina del libro in cui non compare il colore bluraquo

Scriviamo la loro negazioneA laquoEsiste una pagina del libro che non ha una figuraraquo

B laquoIn ogni pagina del libro compare il colore bluraquo

Per ognuna delle seguenti proposizioni scrivi la negazionelaquoOgni tavolo ha quattro gamberaquo

laquoNon esiste un multiplo di 5 che non termina per 0raquo

laquoTutti i numeri naturali sono interiraquo

laquoEsiste un numero naturale che egrave minore del suo cuboraquo

INVALSI 2012 Quale tra le seguenti frasi egrave la negazione della proposizione laquoTutti i numeri naturali sono dispariraquoA Tutti i numeri naturali sono pariB Nessun numero naturale egrave dispariC Almeno un numero naturale non egrave dispariD Qualche numero naturale egrave dispari

IN GARA Nel paese di Oz oltre alle persone normali (che possono mentire o dire la veritagrave) vivono cava-lieri (che dicono sempre la veritagrave) e furfanti (che mentono sempre) Una strana legge impone che in ogni matrimonio i coniugi siano entrambi normali oppure uno cavaliere e lrsquoaltro furfante Arrivati alla villetta bifamiliare dei coniugi Allegri e Bianchi chiedete se il sig Bianchi che egrave assente egrave un cavaliere ottenendo risposta affermativa sia dalla sigra Bianchi sia da entrambi i coniugi Allegri Che cosa potete concludere riguardo ai sig BianchiA Il sig Bianchi egrave un cavaliereB Il sig Bianchi egrave un furfanteC Il sig Bianchi egrave normaleD Egrave impossibile che le risposte date siano quelle riportateE Non potete concludere nulla

[Olimpiadi di matematica italiane Gara di 2deg livello Biennio 2003]

COME SI FA

X

Y

X

Y

121

122

123

124

125

126

16

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

FAI UN ESEMPIO Fai un esempio di enunciato aperto e opportuno insieme universo per i quali le propo-sizioni ottenute con i quantificatori risultinoa entrambe vere b entrambe false

Per ognuno dei seguenti enunciati aperti scegli un dominio U appropriato e individua un suo elemento che rende vero lrsquoenunciato e uno che lo rende falso scrivi le proposizioni per tali elementi

A(x) laquox egrave una persona con la patenteraquoB(x) laquox egrave un felinoraquo

A(x) laquox egrave una verdura verderaquoB(y) laquoIl fiume Po attraversa la regione yraquoC(z) laquoz egrave un monte italianoraquo

Consideriamo i tre enunciati apertiA(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un multiplo di 5raquo C(x) laquox egrave un multiplo di 4raquoe come dominio U lrsquoinsieme N dei numeri naturali minori o uguali a 20

Rappresentiamo con un diagramma di Venn lrsquoinsieme di veritagravea dei tre enunciati b di ( ) ( ) ( )A x B x C x e di ( ) ( )A x B x0

UA

B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713 UA

B A(x) v B(x) verain A U B

C

13

95

0

17

20

816

412

21419

18

116

1510

713

A(x) v (B(x) C(x)vera in A U B U C

v vU U

ndashndash

Per ogni terna A(x) B(x) C(x) dato il dominio U indicato rappresenta con diagrammi di Venn lrsquoin-sieme di veritagrave a dei tre enunciati b degli enunciati ( )C x ( ) ( )A x B x0 ( ) ( )A x C x ( ) ( )A x C x0 ( ) ( ) ( )[ ]A x C x B x0

A(x) laquox egrave un poligono equilateroraquo B(x) laquox egrave un rettangoloraquo C(x) laquox egrave un quadratoraquo U egrave lrsquoinsieme dei poligoni

A(x) laquox egrave un uomoraquo B(x) laquox egrave una donnaraquo C(x) laquox egrave suoceraraquo U egrave lrsquoinsieme delle persone

A(x) laquox egrave un erbivororaquo B(x) laquox egrave un carnivororaquo C(x) laquox egrave un onnivororaquo U egrave lrsquoinsieme degli animali

INVALSI 2003 Quale delle seguenti affermazioni egrave falsaA Alcuni multipli di 4 sono anche multipli di 8B Tutti i multipli di 8 sono anche multipli di 4C Tutti i numeri pari sono fra i multipli di 8

D Alcuni numeri pari non sono multipli di 8E Alcuni numeri pari sono multipli di 8

INVALSI 2004 Quale delle seguenti proposizioni egrave veraA Ogni numero intero divisibile per 3 egrave divisibile per 9B Ogni numero intero divisibile per 4 egrave divisibile per 2C Se il prodotto di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno dei due interi egrave divisibile per 5D Se la somma di due numeri interi egrave divisibile per 5 ognuno degli addendi egrave divisibile per 5

105

106 107

COME SI FA

108

109

110

111

112

17

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

INVALSI 2004 Osserva le figure Quale delle seguenti affer-mazioni egrave falsaA Non tutti i quadrati sono bianchiB Qualche triangolo egrave neroC Almeno un cerchio egrave neroD Non tutti i cerchi sono bianchi

Indica per ogni enunciato il suo valore di veritagravea x Z6 x 3 0+ = b x xN7 egrave un numero primoc x xrette del piano7 egrave parallela a una retta r datad x Z6 x 022

TEST Dato il dominio U composto dalle figure del piano e lrsquoenunciato A(x) laquox egrave un quadrilateroraquo con x U quale enunciato egrave falsoA x U6 x egrave un quadrilateroB x A6 x egrave una figura del piano

C x U x7 egrave un quadrilateroD x A x7 egrave una figura del piano

TEST Quale delle seguenti egrave equivalente alla proposizione laquoSe un numero egrave divisibile per 18 allora egrave divi-sibile per 2 e per 3raquoA laquoSe un numero non egrave divisibile per 18 allora non egrave divisibile per 2 e per 3raquoB laquoSe un numero egrave divisibile per 2 e per 3 allora egrave divisibile per 18raquoC laquoSe un numero non egrave divisibile neacute per 2 neacute per 3 allora non egrave divisibile per 18raquoD laquoSe un numero non egrave divisibile per 2 o per 3 allora non egrave divisibile per 18raquo

Scriviamo le proposizioni che si ottengono dallrsquoenunciato ( )A x laquox egrave minore del suo doppioraquo utilizzando i quantificatori 6 e 7 nellrsquoinsieme universo U dei numeri interi Stabiliamo il valore di veritagrave delle proposizioni ottenute

quantificatore proposizione valore di veritagrave6 x U6 x x21 F7 x U x x27 1 V

Per ognuno dei seguenti enunciati scrivi le proposizioni che si ottengono utilizzando i quantificatori 6 e 7 e stabilisci il corrispondente valore di veritagrave

U x xN= egrave multiplo di 8 A(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un divisore di 16raquo ( )B x

U x x= egrave un felino A(x) laquox egrave una linceraquo B(x) laquox egrave un quadrupederaquo ( )B x

U x x= egrave una figura piana di area 16 A(x) laquox egrave un quadratoraquo B(x) laquox egrave un cerchioraquo C(x) laquox egrave un rettangolo di dimensioni 2 e 8raquo

Sia lrsquoinsieme N dei numeri naturali lrsquoinsieme in cui si considera la variabile x Lrsquoespressione laquoNon esiste alcun numero naturale n che moltiplicato per un numero naturale x qualsiasi dia come risultato x stessoraquo di quale tra le seguenti proposizioni logiche egrave la traduzione Tale proposizione egrave vera o falsaA ( )n x n x xN N $b 7 = B n N6 x n x xN $b = C n xN Nb 6 n x x$ =

113

114

115

116

COME SI FA

per esempio ndash3 Z ma ndash3 gt 2 sdot (ndash3)

per esempio 2 Z e 2 lt 2 sdot 2

117

118

119

120

18

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Sono date le proposizioni

A laquoOgni pagina del libro ha una figuraraquo

B laquoEsiste una pagina del libro in cui non compare il colore bluraquo

Scriviamo la loro negazioneA laquoEsiste una pagina del libro che non ha una figuraraquo

B laquoIn ogni pagina del libro compare il colore bluraquo

Per ognuna delle seguenti proposizioni scrivi la negazionelaquoOgni tavolo ha quattro gamberaquo

laquoNon esiste un multiplo di 5 che non termina per 0raquo

laquoTutti i numeri naturali sono interiraquo

laquoEsiste un numero naturale che egrave minore del suo cuboraquo

INVALSI 2012 Quale tra le seguenti frasi egrave la negazione della proposizione laquoTutti i numeri naturali sono dispariraquoA Tutti i numeri naturali sono pariB Nessun numero naturale egrave dispariC Almeno un numero naturale non egrave dispariD Qualche numero naturale egrave dispari

IN GARA Nel paese di Oz oltre alle persone normali (che possono mentire o dire la veritagrave) vivono cava-lieri (che dicono sempre la veritagrave) e furfanti (che mentono sempre) Una strana legge impone che in ogni matrimonio i coniugi siano entrambi normali oppure uno cavaliere e lrsquoaltro furfante Arrivati alla villetta bifamiliare dei coniugi Allegri e Bianchi chiedete se il sig Bianchi che egrave assente egrave un cavaliere ottenendo risposta affermativa sia dalla sigra Bianchi sia da entrambi i coniugi Allegri Che cosa potete concludere riguardo ai sig BianchiA Il sig Bianchi egrave un cavaliereB Il sig Bianchi egrave un furfanteC Il sig Bianchi egrave normaleD Egrave impossibile che le risposte date siano quelle riportateE Non potete concludere nulla

[Olimpiadi di matematica italiane Gara di 2deg livello Biennio 2003]

COME SI FA

X

Y

X

Y

121

122

123

124

125

126

17

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

INVALSI 2004 Osserva le figure Quale delle seguenti affer-mazioni egrave falsaA Non tutti i quadrati sono bianchiB Qualche triangolo egrave neroC Almeno un cerchio egrave neroD Non tutti i cerchi sono bianchi

Indica per ogni enunciato il suo valore di veritagravea x Z6 x 3 0+ = b x xN7 egrave un numero primoc x xrette del piano7 egrave parallela a una retta r datad x Z6 x 022

TEST Dato il dominio U composto dalle figure del piano e lrsquoenunciato A(x) laquox egrave un quadrilateroraquo con x U quale enunciato egrave falsoA x U6 x egrave un quadrilateroB x A6 x egrave una figura del piano

C x U x7 egrave un quadrilateroD x A x7 egrave una figura del piano

TEST Quale delle seguenti egrave equivalente alla proposizione laquoSe un numero egrave divisibile per 18 allora egrave divi-sibile per 2 e per 3raquoA laquoSe un numero non egrave divisibile per 18 allora non egrave divisibile per 2 e per 3raquoB laquoSe un numero egrave divisibile per 2 e per 3 allora egrave divisibile per 18raquoC laquoSe un numero non egrave divisibile neacute per 2 neacute per 3 allora non egrave divisibile per 18raquoD laquoSe un numero non egrave divisibile per 2 o per 3 allora non egrave divisibile per 18raquo

Scriviamo le proposizioni che si ottengono dallrsquoenunciato ( )A x laquox egrave minore del suo doppioraquo utilizzando i quantificatori 6 e 7 nellrsquoinsieme universo U dei numeri interi Stabiliamo il valore di veritagrave delle proposizioni ottenute

quantificatore proposizione valore di veritagrave6 x U6 x x21 F7 x U x x27 1 V

Per ognuno dei seguenti enunciati scrivi le proposizioni che si ottengono utilizzando i quantificatori 6 e 7 e stabilisci il corrispondente valore di veritagrave

U x xN= egrave multiplo di 8 A(x) laquox egrave un numero pariraquo B(x) laquox egrave un divisore di 16raquo ( )B x

U x x= egrave un felino A(x) laquox egrave una linceraquo B(x) laquox egrave un quadrupederaquo ( )B x

U x x= egrave una figura piana di area 16 A(x) laquox egrave un quadratoraquo B(x) laquox egrave un cerchioraquo C(x) laquox egrave un rettangolo di dimensioni 2 e 8raquo

Sia lrsquoinsieme N dei numeri naturali lrsquoinsieme in cui si considera la variabile x Lrsquoespressione laquoNon esiste alcun numero naturale n che moltiplicato per un numero naturale x qualsiasi dia come risultato x stessoraquo di quale tra le seguenti proposizioni logiche egrave la traduzione Tale proposizione egrave vera o falsaA ( )n x n x xN N $b 7 = B n N6 x n x xN $b = C n xN Nb 6 n x x$ =

113

114

115

116

COME SI FA

per esempio ndash3 Z ma ndash3 gt 2 sdot (ndash3)

per esempio 2 Z e 2 lt 2 sdot 2

117

118

119

120

18

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Sono date le proposizioni

A laquoOgni pagina del libro ha una figuraraquo

B laquoEsiste una pagina del libro in cui non compare il colore bluraquo

Scriviamo la loro negazioneA laquoEsiste una pagina del libro che non ha una figuraraquo

B laquoIn ogni pagina del libro compare il colore bluraquo

Per ognuna delle seguenti proposizioni scrivi la negazionelaquoOgni tavolo ha quattro gamberaquo

laquoNon esiste un multiplo di 5 che non termina per 0raquo

laquoTutti i numeri naturali sono interiraquo

laquoEsiste un numero naturale che egrave minore del suo cuboraquo

INVALSI 2012 Quale tra le seguenti frasi egrave la negazione della proposizione laquoTutti i numeri naturali sono dispariraquoA Tutti i numeri naturali sono pariB Nessun numero naturale egrave dispariC Almeno un numero naturale non egrave dispariD Qualche numero naturale egrave dispari

IN GARA Nel paese di Oz oltre alle persone normali (che possono mentire o dire la veritagrave) vivono cava-lieri (che dicono sempre la veritagrave) e furfanti (che mentono sempre) Una strana legge impone che in ogni matrimonio i coniugi siano entrambi normali oppure uno cavaliere e lrsquoaltro furfante Arrivati alla villetta bifamiliare dei coniugi Allegri e Bianchi chiedete se il sig Bianchi che egrave assente egrave un cavaliere ottenendo risposta affermativa sia dalla sigra Bianchi sia da entrambi i coniugi Allegri Che cosa potete concludere riguardo ai sig BianchiA Il sig Bianchi egrave un cavaliereB Il sig Bianchi egrave un furfanteC Il sig Bianchi egrave normaleD Egrave impossibile che le risposte date siano quelle riportateE Non potete concludere nulla

[Olimpiadi di matematica italiane Gara di 2deg livello Biennio 2003]

COME SI FA

X

Y

X

Y

121

122

123

124

125

126

18

ES

ER

CIZ

I

APPROFONDIMENTO DI LOGICA

Copyright copy 2019 Zanichelli editore SpA BolognaQuesto file egrave una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi

Sono date le proposizioni

A laquoOgni pagina del libro ha una figuraraquo

B laquoEsiste una pagina del libro in cui non compare il colore bluraquo

Scriviamo la loro negazioneA laquoEsiste una pagina del libro che non ha una figuraraquo

B laquoIn ogni pagina del libro compare il colore bluraquo

Per ognuna delle seguenti proposizioni scrivi la negazionelaquoOgni tavolo ha quattro gamberaquo

laquoNon esiste un multiplo di 5 che non termina per 0raquo

laquoTutti i numeri naturali sono interiraquo

laquoEsiste un numero naturale che egrave minore del suo cuboraquo

INVALSI 2012 Quale tra le seguenti frasi egrave la negazione della proposizione laquoTutti i numeri naturali sono dispariraquoA Tutti i numeri naturali sono pariB Nessun numero naturale egrave dispariC Almeno un numero naturale non egrave dispariD Qualche numero naturale egrave dispari

IN GARA Nel paese di Oz oltre alle persone normali (che possono mentire o dire la veritagrave) vivono cava-lieri (che dicono sempre la veritagrave) e furfanti (che mentono sempre) Una strana legge impone che in ogni matrimonio i coniugi siano entrambi normali oppure uno cavaliere e lrsquoaltro furfante Arrivati alla villetta bifamiliare dei coniugi Allegri e Bianchi chiedete se il sig Bianchi che egrave assente egrave un cavaliere ottenendo risposta affermativa sia dalla sigra Bianchi sia da entrambi i coniugi Allegri Che cosa potete concludere riguardo ai sig BianchiA Il sig Bianchi egrave un cavaliereB Il sig Bianchi egrave un furfanteC Il sig Bianchi egrave normaleD Egrave impossibile che le risposte date siano quelle riportateE Non potete concludere nulla

[Olimpiadi di matematica italiane Gara di 2deg livello Biennio 2003]

COME SI FA

X

Y

X

Y

121

122

123

124

125

126