Appunti di radiometria ultravioletta in banda

larga

Henri Diémoz (ARPA Valle d'Aosta)

25 giugno 2009

1 La radiometria ultravioletta

1.1 Richiami delle nozioni di base

La misura della radiazione ultravioletta solare a terra è principalmente condottain termini di due grandezze siche derivate: la radianza (detta anche intensità)e l'irradianza (detta anche usso).

L'irradianza, che nel seguito indicheremo con F , è la potenza di un fasiodi radiazione elettromagnetica in arrivo su una supercie, nell'unità di area(gura 1). Si misura, perciò, in W

m2 . Più il piano di riferimento per la misura èinclinato rispetto al fascio di radiazione, minore è la potenza intercettata dallasupercie, in proporzione al coseno dell'angolo formato tra la normale al pianoe la direzione del fascio (angolo zenitale, ϑ). Tale caratteristica dell'irradianzaviene denominata legge del coseno.

La radianza è la potenza per unità di supercie proveniente da una specicadirezione (cioè da un determinato angolo zenitale, ϑ, e azimutale, ϕ), gura2. In questo caso, contrariamente al primo, il piano di riferimento è assuntosempre perpendicolare alla direzione in esame (e dunque non si applica la leggedel coseno). La radianza, che indicheremo con I, si esprime in W

m2·sr (con sr siindica lo steradiante, unità di misura dell'angolo solido).

θ

Σ′Σ

Figura 1: Più il piano di riferimento per la misura è inclinato rispetto al fa-scio di radiazione, minore è la potenza intercettata dalla supercie. Confrontala supercie blu, proiezione lungo la direzione del fascio della supercie nerainclinata di un angolo ϑ, con l'area nera non inclinata.

1

dΣ

∆Ω

θ

φ

Figura 2: La radianza è la potenza per unità di supercie proveniente da unaspecica direzione.

Se la radiazione elettromagnetica proviene da tutte le direzioni, l'irradianzamisurata su un piano è esprimibile in termini di radianza secondo la relazione:

F =∫

∆Ω

I(Ω) cos(ϑ)dΩ (1)

dove con Ω si indica l'angolo solido, specicato dagli angoli (ϑ, ϕ). In genera-le, l'angolo solido totale di integrazione, ∆Ω, coincide con un intero emisfero (adesempio, la radiazione solare misurata da un sensore proviene da tutto il cielo)e Ω, perciò, vale 2π. Da notare la comparsa nell'integrale del fattore cos(ϑ) perla legge del coseno.

L'integrale nell'equazione 1 è, in realtà, un integrale doppio, perché la di-rezione della radiazione è individuata da due angoli. L'equazione si può alloraanche scrivere, in coordinate sferiche:

F =∫dϕ

∫dϑ cos(ϑ) sin(ϑ)I(ϑ, ϕ) (2)

Il fattore sin(ϑ) è il determinante jacobiano coinvolto nella trasformazioneda coordinate cartesiane a coordinate sferiche (da non confondere con il cos(ϑ)della legge del coseno), gura 3.

Radianza e irradianza possono essere anche riferite ad una singola lunghez-za d'onda. Si parla, allora di radianza e di irradianza spettrali. L'irradian-za spettrale, Fλ, si misura in W

m2·nm e la radianza spettrale, Iλ, in Wm2·sr·nm .

Ovviamente, le relazioni che legano le grandezze spettrali a quelle integrali sono:

F =∫

∆λ

Fλ(λ)dλ (3)

I =∫

∆λ

Iλ(λ)dλ (4)

2

Figura 3: Calcolo dell'irradianza in coordinate sferiche.

Figura 4: Spettro solare e bande UV.

3

Figura 5: Esempio di radiometro Yankee a banda larga.

Figura 6: Esempio di fotometro a banda stretta.

1.2 Strumenti per la misura della radiazione solare ultra-

violetta

Gli strumenti per la misura dell'UV al suolo si possono classicare a secondadel tipo di ottica:

• radiometri: misurano un'irradianza (gura 5);

• fotometri: misurano una radianza (gura 6);

• attinometri: misurano il usso attinico, cioè l'irradianza che giunge nonsu un piano, ma su una sfera.

I radiometri utilizzati per lo studio della radiazione solare a terra sono ge-neralmente posti in posizione orizzontale. Essi sono in grado di misurare l'ir-radianza globale, la somma, cioè, del contributo di radiazione diretta dal sole e

4

Figura 7: Radiometro con rotating shadow band.

Figura 8: Descrizione schematica delle componenti di uno spettroradiometro.

del contributo di radiazione diusa, in arrivo da tutto il resto del cielo. Si puòscrivere, perciò, che:

Fglo = Fdir + Fdif (5)

Alcuni radiometri, per mezzo di una barra rotante, sono in grado di fareombra sul sensore, in modo da poter misurare solo la componente diusa (e, perdierenza dalla globale, la componente diretta), gura 7.

Un'altra classicazione è per risoluzione:

• spettroradiometri o spettrofotometri: misurano un'irradianza spettrale ouna radianza spettrale, con una larghezza di banda di solito inferiore a 1nm, gura 8;

• radiometri o fotometri a banda stretta: misurano con una risoluzionegeneralmente compresa tra i 2 nm e i 10 nm;

• radiometri a banda larga: misurano su una banda intera (come l'UV-A,l'UV-B o il visibile), in un intervallo di lunghezze d'onda maggiore di 10nm.

5

Figura 9: Rappresentazione delle componenti interne di un radiometro a bandalarga.

2 I radiometri UV in banda larga

2.1 Grandezze misurate

I radiometri a banda larga misurano l'irradianza su un determinato intervallodi lunghezze d'onda (gura 4), secondo la 3, dove si è indicata con Fλ(λ) l'irra-dianza spettrale ad una precisa lunghezza d'onda, così come la misurerebbe unospettroradiometro. Questa equazione è semplicemente una rappresentazionematematica, da non confondere con l'eettivo funzionamento dello strumento: iradiometri a banda larga non misurano l'irradianza spettrale ad ogni lunghezzad'onda (come invece fanno gli spettroradiometri) per poi integrarla! La misurain banda, invece, è il risultato del passaggio della radiazione solare attraversoalcuni ltri ottici interni allo strumento (gura 9), che isolano solo certe compo-nenti dello spettro. Talvolta, i ltri sono studiati in modo che la funzione passabanda abbia una forma (chiamata spettro d'azione, risposta spettrale o curva diponderazione) particolare. Per esempio, molti strumenti cercano di riprodurrela curva di sensibilità dell'uomo all'eritema, che è una funziona nota e denitadalla Commission Internationale pour l'Éclairage (CIE).

Considerando lo spettro d'azione, allora, la 3 diventa:

FCIE =∫Fλ(λ) · CIE(λ) · dλ (6)

dove CIE(λ) è una qualiasi curva di ponderazione. Ad esempio, lo spettrod'azione può essere quello eritemale. Tuttavia, si può trattare anche di unafunzione a scalino 0 ÷ 1 che lascia passare le lunghezze d'onda comprese in undeterminato intervallo spettrale e blocca tutte le altre. Ad esempio

UV A(λ) =

1 se λ è compreso tra 320 e 400 nm0 altrove

(7)

6

Figura 10: Esempio di acquisitore in tensione.

2.2 Funzionamento dei radiometri a banda larga

I radiometri a banda larga sono strumenti relativamente semplici da utilizzare.Sono dotati di uscite in tensione, la cui dierenza di potenziale è proporzionaleall'irradianza misurata dallo strumento. Il radiometro a doppia banda largaKipp&Zonen, ad esempio, ha tre uscite in tensione (4 li in tutto, di cui unamassa in comune alle 3 tensioni):

1. ∆Varancione: misura della banda UV-A;

2. ∆Vverde: misura in ponderazione eritemale;

3. ∆Vgiallo: misura della temperatura interna dello strumento (per controllo)

Per acquisire una serie temporale di misure, è possibile utilizzare dei modulidi collegamento con un computer, i quali, ad intervalli regolari, registrano latensione in Volt ai capi dello strumento (gura 10). Per convertire il dato ditensione in irradianza ( Wm2 ) si può poi pensare di moltiplicare la tensione peruna costante:

F = K ·∆V (8)

Questa è la formula approssimata che si utilizzava qualche anno fa. Ma oraè possibile raggiungere una precisione migliore...

2.3 Limiti strumentali e correzioni

L'attuale tecnologia non consente di costruire radiometri perfetti. I ltri e l'ot-tica, ad esempio, semplicemente tentano di approssimare la risposta desiderata,senza però riuscirci completamente. Ignorare le deviazioni strumentali può por-tare anche a commettere errori di diverse decine di punti percentuali. Sarà alloranecessario correggere la misura grezza, anche attraverso l'utilizzo di modelli.

7

2.3.1 Calcolo dell'oset

Un primo limite strumentale è rappresentato dal fatto che l'intera catena dimisura (radiometro e modulo di acquisizione) può introdurre dei piccoli osetdi tensione. In altre parole, può capitare che quando ci si attende un segnalenullo, la tensione misurata risulta molto bassa, ma non pari a zero. La solu-zione, in questo caso, è abbastanza semplice: si misura la tensione durante lanotte, quando l'irradianza solare misurabile è nulla (ipotizzando l'assenza, inprossimità dello strumento, di fonti UV articiali), e si sottrae questo contri-buto (∆Voffset) da tutte le misure durante il giorno successivo. L'equazione 8diventa, così

F = K · (∆V −∆Voffset) (9)

2.3.2 Risposta spettrale

Un limite dei radiometri a banda larga, decisamente peggiore del precedente, ècostituito dal fatto che la risposta strumentale, ottenuta con un sistema di ltriottici, non coincide mai perfettamente con la curva di ponderazione desiderata(ad esempio, lo spettro d'azione eritemale o una funzione simile alla 7), ma neè solo una approssimazione (gura 11). Dunque, l'irradianza calcolata con la 9,che possiamo indicare con FSRF (cioè ponderata secondo la Spectral ResponseFunction del rivelatore dello strumento), non è ancora FCIE , perché:

FCIE =∫Fλ(λ) · CIE(λ) · dλ (10)

FSRF =∫Fλ(λ) · SRF (λ) · dλ (11)

Ammesso che riusciamo a conoscere SFR(λ) (la misura di questa funzionepuò essere eettuata in laboratori specializzati), come facciamo a valutarnel'eetto sull'irradianza? Tanto per complicare le cose, le due risposte, SRFe CIE, entrano nell'integrale e vengono moltiplicate per l'irradianza spettralevera, Fλ. La deviazione tra FCIE e FSRF , allora, non dipenderà solo da SRFe CIE, ma anche dall'irradianza spettrale in arrivo!

Ecco un trucco per risolvere il problema:

FCIE = FSRF · FCIE

FSRF(12)

Non sembrerebbe un grande progresso. Tuttavia, il rapporto

ζ =FCIE

FSRF(13)

=∫Fλ(λ) · CIE(λ) · dλ∫Fλ(λ) · SRF (λ) · dλ

(14)

può facilmente essere calcolato tramite un modello di trasporto radiativo. Ilfattore ζ è il fattore di correzione della risposta spettrale, perché permette dipassare dalla FSRF alla FCIE .

8

Figura 11: Dierenza tra la risposta spettrale strumentale (blu) e la curvadesiderata (rosso, spettro d'azione eritemale CIE), in un radiometro di ARPAValle d'Aosta.

Dalla 14 si vede che ζ generalmente varia al variare di Fλ(λ). Tuttavia, inun caso particolare il rapporto non cambia: se la variazione di Fλ(λ) è la stessaper tutte le lunghezze d'onda (ad esempio, F ′λ(λ) = k · Fλ(λ)), allora il fattorecostante esce dall'integrale e si semplica nel rapporto, con il risultato che ζnon cambia. In altre parole, ciò che fa variare ζ sono i fattori ambientali checambiano forma allo spettro. Tra i molti fattori di questo tipo, ci limiteremo aconsiderare ora solo i due più importanti: l'ozono totale in atmosfera (O3), cheinterviene principalmente sulle lunghezze d'onda basse, e l'angolo solare zenitale(ϑ). Tali fattori variano con una certa rapidità (l'ozono su tempi scala delleore e dei giorni, l'angolo solare zenitale su tempi dei secondi e minuti). Sarànecessario, allora, considerare per ogni singolo campionamento la correzione ζriferita al preciso istante.

Dalle equazioni 9, 12 e 14 e dalle considerazioni precedenti si ottiene che

FCIE(O3, ϑ) = ζ(O3, ϑ) · FSRF (O3, ϑ) (15)

= ζ(O3, ϑ) ·K · (∆V −∆Voffset) (16)

Poiché nella formula sopra ζ e K non compaiono singolarmente, ma mol-tiplicate, allora possiamo normalizzare a piacimento una delle due variabili, apatto di non cambiare il prodotto. Si sceglie, per convenzione, di normalizzareζ nel seguente modo

ζ(O3, ϑ) =ζ(O3, ϑ)

ζ(300DU, 40)(17)

prendendo, cioè, come riferimento una quantità di ozono totale in atmosferadi 300 unità Dobson (DU) e un angolo zenitale solare di 40. Anche K dovràessere ridenito come

9

Figura 12: Dierenza tra la risposta angolare strumentale (in blu) e la rispostacoseno ideale, in un radiometro di ARPA Valle d'Aosta.

K = K · ζ(300DU, 40) (18)

in modo che

K · ζ(O3, ϑ) = K · ζ(O3, ϑ) (19)

Giungiamo, dunque, all'equazione

FCIE(O3, ϑ) = ζ(O3, ϑ) · K · (∆V −∆Voffset) (20)

che tiene conto della reale risposta spettrale dello strumento. Ma non niscequi...

2.3.3 Risposta angolare

Per la legge del coseno, l'intensità in arrivo su una supercie piana dovrebbeessere pesata, ai ni del calcolo dell'irradianza, secondo il coseno dell'angolo ze-nitale. Tuttavia, le attuali ottiche dei radiometri a banda larga non rispondonoesattamente come il coseno (gura 12), ma secondo una funzione C(ϑ), dipen-dente dall'angolo zenitale (e, in caso di ottiche mal progettate o malfunzionanti,anche dall'angolo azimutale). L'equazione 2 diventa, così:

FC =∫dϕ

∫dϑC(ϑ) sin(ϑ)I(ϑ, ϕ) (21)

Anche in questo caso è necessario ricorrere ad alcune correzioni, facendo usodi modelli. Introduciamo il fattore di correzione della risposta coseno, α(...),tale per cui riusciamo ad ottenere l'irradianza giusta, Fcos, misurata con unarisposta coseno, a partire da quella sbagliata, FC , misurata con una risposaC(ϑ):

Fcos = α(...) · FC (22)

10

e proviamo a ricavare α e a conoscere i parametri da cui essa dipende. Nellaletteratura scientica, si preferisce lavorare non con la correzione coseno, macon il suo inverso, l'errore coseno globale:

fglo = α−1 =FCFcos

(23)

Sfruttando la 5, possiamo scrivere l'errore coseno come

fglo =FdirC + FdifC

Fcos(24)

Deniamo separatamente gli errori coseno sulle componenti diretta e diusacome

fdir =FdirC

Fdircos

(25)

fdif =FdifC

Fdifcos

(26)

Così la 24 diventa

fglo = fdir · Fdircos

Fcos+ fdif · F

difcos

Fcos(27)

= fdir · Fdircos

Fcos+ fdif · (1− F

dircos

Fcos) (28)

Notiamo cheFdir

cos

FcoseFdif

cos

Fcossono le frazioni rispettivamente della componente

diretta e diusa rispetto alla radiazione totale misurabile a terra. I due rapporticambiano a seconda delle condizioni ambientali e dell'istante. Iniziamo a consi-derare, come già fatto per la correzione spettrale, unicamente l'ozono e l'angolosolare zenitale. Tuttavia, esiste un altro fattore che inuenza enormemente lepercentuali di radiazione diusa e diretta: le nubi (si pensi, ad esempio, a unagiornata molto nuvolosa: la componente diretta è nulla, gli oggetti non proietta-no ombre!). Una miglioria degli attuali algoritmi di correzione, perciò, potrebbeessere eettuata tenendo conto della distribuzione di nubi nel cielo, gura 13.

Prendiamo in esame dalla 25 l'errore coseno sulla componente diretta. Dalladenizione stessa di risposta coseno, l'errore sarà

fdir =C(ϑ)cos(ϑ)

(29)

Più dicile è determinare fdif . Dalle equazioni 2, 21 e 26 otteniamo l'e-spressione esplicita per fdif :

fdif =∫dϕ∫dϑC(ϑ) sin(ϑ)Idif (ϑ, ϕ)∫

dϕ∫dϑ cos(ϑ) sin(ϑ)Idif (ϑ, ϕ)

(30)

Non possiamo evitare l'integrale, perché la radiazione diusa proviene datutte le direzioni, non solo dal sole (come, invece, succedeva per Fdir. Pos-siamo, tuttavia, operare una grande semplicazione, assumendo che la radia-zione diusa sia isotropa, cioè che la sua intensità non dipenda dalla direzioneconsiderata:

11

Figura 13: Le nubi possono far variare il rapporto tra radiazione diretta eradiazione diusa.

Idif (ϑ, ϕ) ≡ Idif (31)

La stima dell'errore commesso con questa semplicazione è trattata in lette-ratura scientica. Senza questa semplicazione avremmo dovuto calcolare i dueintegrali per ogni valore dei fattori ambientali (come nei passaggi precedenti,per ogni coppia di valori (O3, ϑ) o, semplicando ulteriormente, solo di ϑ) ingrado di modicare la distribuzione spettrale di Idif (ϑ, ϕ). Ora, invece, la 26non è più una funzione, ma una semplice costante!

fdif =∫dϕ∫dϑC(ϑ) sin(ϑ)∫

dϕ∫dϑ cos(ϑ) sin(ϑ)

(32)

Nel caso semplice di orizzonte piano, ϕ varia tra 0 e 2π e ϑ tra 0 e π/2. Se lemontagne coprono una parte dell'orizzonte, il calcolo si complica, perché il limitesuperiore di integrazione di ϑ non è π/2, ma dipende da ϕ. Se ci riconduciamoal primo caso, però, la formula si semplica ulteriormente in

fdif =

∫ π/20

dϑC(ϑ) sin(ϑ)∫ π/20

dϑ cos(ϑ) sin(ϑ)(33)

Il numeratore si risolve attraverso integrazione numerica (trasformando l'in-tegrale in sommatoria) e conoscendo C(ϑ), misurabile in laboratorio. Il deno-minatore è un semplice integrale analitico (che vale 1/2). Si arriva, allora, allaformulazione nale:

fdif = 2∫ π/2

0

dϑC(ϑ) sin(ϑ) (34)

Tornando alla 28, ci accorgiamo ora che l'errore sul coseno f e, di conse-guenza, la sua correzione α variano al variare dell'angolo solare zenitale ϑ e,meno sensibilmente, in funzione dell'ozono (tanto che questo viene solitamentetrascurato).

La formula nale per l'uso dei radiometri a banda larga diventa, così:

FCIE(O3, ϑ) = α(ϑ) · ζ(O3, ϑ) · K · (∆V −∆Voffset) (35)

12

Figura 14: Esempio di matrice di calibrazione per radiometri in banda larga.

Se non si ha esigenza di tenere separati tutti i fattori, spesso la 35 si scrive

FCIE(O3, ϑ) =M(O3, ϑ) · (∆V −∆Voffset) (36)

con

M(O3, ϑ) = α(ϑ) · ζ(O3, ϑ) · K (37)

doveM(O3, ϑ) è una tabella (matrice) fornita dal costruttore o da chi ca-libra lo strumento, simile a quella in gura 14. Per ogni misurazione di UVè dunque necessario conoscere il contenuto di ozono e l'angolo solare zenitale,al ne di prendere il giusto fattore di calibrazione nella tabella M. L'ozono èsolitamente ricavato da satellite o da previsione o, se disponibile, da spettrofoto-metro Brewer. L'angolo solare zenitale si calcola tramite algoritmi astronomiciben conosciuti, dati l'istante di misura e le coordinate geograche del sito dimisura.

2.3.4 Correzione per la temperatura

Nel caso in cui il radiometro non sia internamente termostatato, è necessarioeettuare una correzione anche per la temperatura, ε(T ). Questo richiede nonsolo la misura della temperatura interna allo strumento (anche perché è dicilestabilire in quale punto preciso dello strumento occorre misurarla...), ma pu-re una calibrazione completa della dipendenza della risposta strumentale dallatemperatura. Tutti i radiometri moderni hanno un sistema di termostatazionee, dunque, la correzione per la temperatura non verrà qui trattata.

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