Aprendizaje basado en problemas de matemáticas

Eduardo Ordoyo Peña

María del Pilar Benito Clavijo y Luz Roncal Gómez

Facultad de Ciencias, Estudios Agroalimentarios e Informática

Grado en Matemáticas

2013-2014

Título

Director/es

Facultad

Titulación

Departamento

TRABAJO FIN DE GRADO

Curso Académico

Aprendizaje basado en problemas de matemáticas

Autor/es

© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2014

publicaciones.unirioja.esE-mail: [email protected]

Aprendizaje basado en problemas de matemáticas, trabajo fin de gradode Eduardo Ordoyo Peña, dirigido por María del Pilar Benito Clavijo y Luz Roncal Gómez

(publicado por la Universidad de La Rioja), se difunde bajo una LicenciaCreative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported.

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Aprendizaje basado enproblemas de matematicas

Autor: Eduardo Ordoyo Pena

Tutoras: Marıa Del Pilar Benito Clavijo y Luz Roncal Gomez

Grado en Matematicas

Facultad de Ciencias, Estudios Agroalimentarios e Informatica

Universidad de La Rioja

Curso academico 2013/2014

Resumen

Esta memoria podrıa considerarse una breve guıa de geometrıa dentrodel nivel academico que engloban los cursos de 3o/4o ESO y de Bachillerato.Aparecen teoremas fundamentales de la geometrıa ası como problemas paraafianzar todos los conceptos teoricos alejandonos de los ejercicios tipo.La primera parte de la memoria contiene un estudio con datos concretos comoson los informes PISA y el currıculo educativo de la Ensenanza SecundariaObligatoria y del Bachillerato. Con esta informacion se observa que existencarencias en la ensenanza de una de las ramas mas importantes de las ma-tematicas como es la geometrıa. Esto es debido a que se estudia de maneraanalıtica y metodica y se aleja de la resolucion de problemas mediante ra-zonamientos logico-deductivos y de su relacion con la geometrıa que apareceen la asignatura de dibujo tecnico.La ultima parte del trabajo es la mas extensa y en ella se encuentran algu-nos de los principales teoremas de geometrıa, separados en aquellos que seestudian en los cursos que estamos tratando y los que no. Ademas apareceuna coleccion de problemas que utilizan estos teoremas y otros contenidos delcurrıculo. Los problemas incluidos intentan fomentar la resolucion estrategi-ca, el analisis de figuras y la relacion de los diferentes conceptos a los quehacen referencia.

I

II RESUMEN

Summary

This report could be considered a brief geometric manual of the academiclevel that comprehends the final four years of the secondary school. It containsfundamental geometric theorems and problems to secure all the theoreticalnotions, getting away from the common exercises.The first part contains a study based on concrete information such as thePISA particulars and the teaching plan of the Secondary School in La Rioja.Using this information we can notice that there are lacks in one of the mostimportant discipline in maths, the geometry. This is because this subject isstudied in an analytical way instead being based on the synthetic resolutionof the problems and on the connection with the geometry that is studied inthe subject called technical drawing.The last part of the project is the most extensive and it contains some ofthe most important geometric theorems, separated in two groups, those thatare contained in the teaching plan and those which are not included. Inaddition, there are a collection of problems that use all this theorems andother contents of the teaching plan. The goal of this problems is to encouragethe synthetic resolution, the analysis of figures and the connections betweenall the contents.

III

IV SUMMARY

Indice general

Resumen I

Summary III

Lista de figuras VII

1. Introduccion 11.1. Informe PISA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Objetivo del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Currıculo 72.1. Contenidos y competencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. ¿Se puede mejorar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Problemas frente a ejercicios 113.1. Definiciones y citas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1.1. Ejercicio matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1.2. Problema matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2. Como resolver problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3. Aprendizaje basado en problemas . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4. Contenidos matematicos 154.1. Recogidos en el currıculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.1.1. Teorema de Pitagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.1.2. Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.1.3. Teoremas del seno y del coseno . . . . . . . . . . . . . 17

4.2. Fuera del currıculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.1. Formula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.2. Teorema de Stewart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.3. Teorema de la bisectriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2.4. Teorema de Ceva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2.5. Teorema de Menelao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

V

VI INDICE GENERAL

4.2.6. Teorema de Ptolomeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5. Taller de problemas 235.1. Recogidos en el currıculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.1.1. Teorema de Pitagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.1.2. Semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.1.3. Resolucion de triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.1.4. Areas y volumenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.1.5. Trigonometrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.1.6. Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.1.7. Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2. Fuera del currıculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2.1. Formula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2.2. Teoremas de Stewart y de la bisectriz . . . . . . . . . . 425.2.3. Teorema de Ceva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2.4. Teorema de Menelao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2.5. Teorema de Ptolomeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Conclusion 49

Bibliografıa 51

Indice de figuras

1.1. PISA 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. PISA 2012, Espana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Indice de paro en Espana 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.1. Desarrollo del proceso ABP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.1. Teorema de Pitagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2. Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3. Teoremas del seno y del coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.4. Teorema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.5. Teorema de Stewart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.6. Teorema de la bisectriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.7. Teorema de Ceva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.8. Teorema de Menelao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.9. Teorema de Ptolomeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.1. Representacion grafica problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 245.2. Representacion grafica problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 265.3. Representacion grafica problema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 295.4. Representacion grafica problema 6 . . . . . . . . . . . . . . . . 305.5. Representacion grafica problema 7 . . . . . . . . . . . . . . . . 325.6. Representacion grafica problema 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 345.7. Representacion grafica problema 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 355.8. Representacion grafica a problema 10 . . . . . . . . . . . . . . 375.9. Representacion grafica b problema 10 . . . . . . . . . . . . . . 375.10. Representacion grafica problema 11 . . . . . . . . . . . . . . . 395.11. Representacion grafica problema 12 . . . . . . . . . . . . . . . 405.12. Representacion grafica problema 13 . . . . . . . . . . . . . . . 415.13. Representacion grafica problema 14 . . . . . . . . . . . . . . . 425.14. Representacion grafica problema 15 . . . . . . . . . . . . . . . 445.15. Representacion grafica a problema 16 . . . . . . . . . . . . . . 45

VII

VIII INDICE DE FIGURAS

5.16. Representacion grafica b problema 16 . . . . . . . . . . . . . . 465.17. Representacion grafica problema 17 . . . . . . . . . . . . . . . 47

Capıtulo 1

Introduccion

Que Espana tiene desde hace tiempo una asignatura pendiente con laeducacion no nos suena a nuevo a ninguno de nosotros. Desde hace decadaslos informes sobre este ambito reflejan que nuestro paıs no solo se encuentrapor debajo de la media de los paıses de la OCDE, sino que ademas sufrede un estancamiento. Los resultados no mejoran con el paso de los anos adiferencia de otros paıses como Portugal o Polonia, si ellos lo han conseguido,¿por que nosotros no?

1.1. Informe PISA

El informe del Programa Internacional para la Evaluacion de Estudianteso informe PISA (acronimo que proviene de sus siglas en ingles: Programmefor International Student Assessment) se basa en el analisis del rendimien-to de estudiantes a partir de unos examenes que se realizan cada tres anosen varios paıses con el fin de determinar la valoracion internacional de losalumnos. Este informe es llevado a cabo por la OCDE, que se encarga de larealizacion de pruebas estandarizadas a estudiantes de 15 anos.Estos informes son utilizados en este trabajo como una referencia mas o me-nos objetiva para contrastar el nivel academico en Espana, pero tampocodeben de ser considerados el Santo Grial. El ultimo informe que se ha rea-lizado es el de 2012 en el que, como se comentaba anteriormente, Espanaha suspendido, ya que se encuentra por debajo de la media. Analizando lamateria que nos compete, las matematicas, podemos ver los resultados en laFigura 1.1.

1

2 CAPITULO 1. INTRODUCCION

Figura 1.1: PISA 2012

Estos resultados deberıan hacer saltar la alarma ya que nos encontramos10 puntos por debajo de la media de la OCDE y muy lejos de paıses comoFrancia, Irlanda, Alemania, Polonia... Parece que nuestro sistema educativono funciona como debiera por lo que habrıa que reflexionar sobre lo que,en materia de educacion estan haciendo los paıses con un buen promedio, eintentar copiar los exitos de sus sistemas educativos para corregir los erroresdel nuestro.El informe PISA de 2012 ademas ofrece el resultado de Espana dividido encomunidades autonomas a excepcion de Canarias, Castilla-La Mancha y laComunidad Valenciana que no participaron en las pruebas realizadas paraelaborar este informe. Los datos aparecen en la Figura 1.2.

Figura 1.2: PISA 2012, Espana

Del estudio podemos remarcar dos aspectos fundamentales:

· En primer lugar, tan solo un tercio de las CCAA estan por encima dela media.

1.1. INFORME PISA 3

· Ademas, se observa una diferencia notable entre el norte y el sur delpaıs, siendo Navarra y Castilla y Leon las comunidades mejor posicio-nadas.

Las competencias en educacion otorgadas a las distintas comunidades pareceque han propiciado, dentro del mismo marco general del sistema educativoespanol, la aparicion de marcadas diferencias curriculares en las distintascomunidades autonomas. Esto puede ser debido a diferentes factores, algunosdatos sobre este tema los recoge un informe elaborado por FETE-UGT [3],donde por ejemplo se observa que Navarra (517 puntos) dedica 15 horassemanales a la ensenanza de matematicas, mientras que otras comunidadescomo Baleares (475 puntos) tan solo 12, ya que se invierten horas en laensenanza de la lengua catalana.Otro dato llamativo, dentro del marco de la crisis en la que esta inmersaEspana desde hace anos, es que si observamos los datos sobre el paro en elano 2012 en las distintas comunidades autonomas que aparece en la Figura1.3, las comunidades con mayor media tienen un menor ındice de desempleo.¿Influye la competencia matematica en la tasa de desempleo?, ¿la actual crisiso los recortes han impactado en los resultados de PISA 2012? Casualidad ono, los datos estan ahı.

Figura 1.3: Indice de paro en Espana 2012

Lo que sı que queda claro es que en Espana tenemos comunidades conresultados comparables a los mejores paıses europeos. Por tanto, no resul-tarıa complicado hacer un analisis objetivo sobre lo que se hace en estascomunidades en materia de educacion y lo que no se hace o se hace mal enotras.


1.2. Objetivo del trabajo

Ante la situacion de los informes PISA en competencia matematica yel fracaso escolar en esta disciplina, nos proponemos analizar el currıculoen matematicas en segundo ciclo de ESO y Bachillerato centrando nuestraatencion en la observacion de contenidos relacionados con geometrıa. No sepretende proporcionar una mejora del sistema que remonte la situacion, tansolo reflexionar sobre lo que hay y lo que se hace y presentar una propuestade aprendizaje basado en problemas de matematicas. Para ello se ha elabo-rado un Taller de Problemas que, creemos, puede ser interesante para alejara los alumnos de la resolucion mecanica y acercarlos a la resolucion razona-da mediante la geometrıa de las construcciones (con frecuencia abandonadaen estos cursos). Todo ello realizado con el apoyo de un software libre co-mo GeoGebra (http://www.geogebra.org/cms/es/ ) que puede permitir a losalumnos manipular figuras y modificar enunciados con facilidad a la hora deabordar los problemas.Para continuar este apartado que mejor que esta cita del profesor D. GonzaloSanchez Vazquez recogida en [4]:

“Esta revolucion informatica y los nuevos contenidos de la Matematica actual no

pueden ser desconocidos por la ensenanza. Las Matematicas no deben ensenarse

ya de una manera expositiva, estatica, transmitida por el profesor a un conjunto de

alumnos pasivos. Es preciso que estos participen, observen, exploren, hagan conje-

turas y se enfrenten con problemas que les interesan. El profesor es un director de

orquesta que apenas se ve, pero que sugiere y orienta constantemente”

Lo que vamos a buscar por tanto es intentar dar pautas para orientar laensenanza a la participacion de los alumnos, para que no solo utilicen los con-tenidos dados por el profesor al resolver los ejercicios tipificados (aprendizajetradicional que, sin duda es necesario), sino que interioricen lo aprendido, lorelacionen y lo sepan usar en todo tipo de problemas. Esto es, intentamosseguir la metodologıa del llamado, Aprendizaje Basado en Problemas.Adentrandonos mas en el tema que nos concierne, que es la geometrıa, en estetrabajo vamos a analizar el currıculo actual para ver los contenidos que sedeben impartir y las competencias que se tienen que alcanzar. Observaremosdebilidades en los contenidos y/o en la forma de impartirlos y ampliaremoscontenidos con una seleccion de teoremas clasicos en geometrıa. El aprendi-zaje de estos teoremas se basara en una coleccion de problemas relacionadoscon ellos. La idea clave es usar la resolucion de problemas para el aprendizajede los contenidos en geometrıa, y la mejora en el razonamiento logico y laelaboracion de estrategias.

http://www.geogebra.org/cms/es/

1.2. OBJETIVO DEL TRABAJO 5

Una ultima reflexion bajo la experiencia del que redacta. Uno de los princi-pales problemas que existe en la ensenanza de la geometrıa es lo ligada queesta a la resolucion analıtica (uso de coordenadas y calculos algebraicos enla resolucion de ejercicios y problemas). Sin embargo, se presenta lejos delas construcciones, lo que sorprende tratandose de geometrıa, que, al nivelde contenidos en educacion secundaria, estudia propiedades y mediadas delas figuras en el plano y en el espacio. De hecho, la geometrıa es la baseteorica del dibujo tecnico y da fundamento a instrumentos como la regla y elcompas. La relacion entre las dos asignaturas, sin embargo, es practicamentenula como comenta M. J. Luelmo en [5]:

“La ensenanza de la geometrıa, desde el punto de vista del dibujo y de las ma-

tematicas, adolece de una falta de relacion altamente empobrecedora”.

Desde el dibujo tecnico, se trabajan construcciones geometricas con reglay compas, que no aportan demasiado a la comprension de sus propiedades.En las matematicas de estos cursos, estos objetos geometricos se convier-ten en meras ecuaciones o matrices de las que se desconoce su proceso deconstruccion. Los intentos de acercamiento entre ambas disciplinas suelentropezar con la falta de tiempo, la rigidez del currıculo, como veremos en elCapıtulo 2, o el recelo de muchos profesores.Lo que se va a intentar por tanto es ofrecer una serie de problemas geometricosen los que las construcciones no se dejen de lado y se busque una resolucionreflexiva y razonada, algo de lo que habitualmente se huye por el rechazo delos alumnos que estan acostumbrados a los mismos tipos de ejercicios dondesiempre se sigue la misma metodologıa y no se requiere apenas comprension.


Capıtulo 2

Currıculo

El diccionario de la RAE proporciona dos acepciones para el terminocurrıculo:

• Plan de estudios.

• Conjunto de estudios y practicas destinadas a que el alumno desarrolleplenamente sus posibilidades.

La segunda auna la ensenanza y el aprendizaje, deben fijarse unos objetivosy asegurar su correcta consecucion. En este sentido, el termino currıculo serefiere al conjunto de objetivos, contenidos, criterios metodologicos y tecni-cas de evaluacion que orientan la actividad academica: ¿que ensenar?, ¿comoensenarlo?, ¿cuando ensenarlo? En este capıtulo se va a analizar el currıcu-lo relativo al segundo ciclo de la ESO y Bachillerato en La Rioja de loscontenidos correspondiente a geometrıa, observando que aspectos se podrıanmejorar.

El estudio esta centrado en la opcion B de Matematicas de la ESO y enMatematicas I y Matematicas II de Bachillerato, es decir aquellas orientadasa las Ciencias y Tecnologıa. Esta eleccion viene determinada por la mayorcantidad de contenidos relacionados con la geometrıa que podemos encontraren las mismas. De hecho, en las Matematicas aplicadas a las Ciencias Socialesno aparece ni una nocion de geometrıa, lo que es bastante llamativo.

2.1. Contenidos y competencias

Algunos de los contenidos recogidos en el bloque de geometrıa del currıcu-lo de matematicas en La Rioja que aparecen en el Boletın Oficial de La Rioja,(en adelante BOR) [6] para el segundo ciclo de la ESO (cursos 3o y 4o) sonlos siguientes:

7

8 CAPITULO 2. CURRICULO

3o ESO:

− Geometrıa del plano.

− Teorema de Tales.

− Teorema de Pitagoras.

− Movimientos en el espacio.

− Figuras geometricas. Areas y volumenes.

Se trata de un curso donde se hace hincapie en dos de los teoremas fun-damentales de la geometrıa, el de Tales y el de Pitagoras, que ya se hanestudiado en el primer ciclo de la ESO. Se introduce el estudio de triangulosy angulos. Ademas aparecen las areas y volumenes de los principales elemen-tos geometricos.

4o ESO:

− Semejanza en figuras.

− Resolucion de triangulos rectangulos.

− Razones trigonometricas del angulo agudo.

− Iniciacion a la geometrıa analıtica plana.

Con base en los incipientes conceptos y teoremas introducidos en 3o ESO,se profundiza en la resolucion de triangulos y la utilizacion de los teoremasde Tales y de Pitagoras. Ademas se anaden nuevos conceptos que se van adesarrollar en profundidad durante el Bachillerato como son la trigonometrıay la geometrıa analıtica plana.

Algunas de las competencias que se pretenden alcanzar en estos cursos de laESO pueden resumirse en las siguientes nociones:

− Describir e interpretar la realidad y actuar sobre ella.

− Expresarse y comunicarse en el lenguaje matematico.

− Discriminacion de formas, relaciones y estructuras geometricas.

− Cultivar la sensibilidad, la creatividad y la autonomıa.

− Manejar herramientas tecnologicas para el aprendizaje y la resolucionde problemas.

En cuanto a Bachillerato, algunos de los contenidos recogidos en el bloquede geometrıa del currıculo de matematicas que aparecen en el BOR [7] son:

2.2. ¿SE PUEDE MEJORAR? 9

− Radianes. Trigonometrıa. Teoremas del seno y del coseno.

− Vectores. Producto escalar y vectorial.

− Ecuaciones de rectas y planos. Posiciones relativas.

− Resolucion de problemas de posiciones relativas.

− Resolucion de problemas metricos relacionados con el calculo de angu-los, distancias, areas, volumenes...

− Conicas.

Aparecen nuevos conceptos como radian y vector junto con el estudio denuevos elementos como las conicas. Emergen muchos resultados con omisionde demostraciones por falta de tiempo y que hay que aprender a manejar.Observamos la especial referencia que se hace a la resolucion de problemas.

Durante el Bachillerato se pretende alcanzar las siguientes competencias enmatematicas (observar que, a diferencia de la ESO, estas competencias enfa-tizan la necesidad de mejorar en razonamiento):

− Capacidad para realizar demostraciones, definiciones formales y enca-denamientos logicos.

− Adquisicion de estrategias para la resolucion de problemas.

− Manejo de herramientas como calculadoras o software matematico.

− Uso adecuado del lenguaje y comprension de enunciados.

Conviene destacar ademas los contenidos que recoge el BOR sobre dibujotecnico en Bachillerato, ya que esta muy ligado con la rama de la geometrıa:

− Trazado de polıgonos. Resolucion de triangulos.

− Proporcionalidad y semejanza.

− Transformaciones geometricas.

− Trazado de curvas y conicas.

2.2. ¿Se puede mejorar?

Para comenzar esta reflexion podemos senalar algunos parrafos literalesque aparecen en las competencias del currıculo de Bachillerato en matemati-cas de acuerdo con [7]:

10 CAPITULO 2. CURRICULO

“[...]senalar que no todas las formas de ensenar matematicas contribuyen porigual a la adquisicion de la competencia matematica: el enfasis en la funcionali-dad de los aprendizajes, su utilidad para comprender el mundo que nos rodea o lamisma seleccion de estrategias para la resolucion de un problema, determinan laposibilidad real de aplicar las matematicas a diferentes campos de conocimiento oa distintas situaciones de la vida cotidiana[...]”

“La discriminacion de formas, relaciones y estructuras geometricas, especial-

mente con el desarrollo de la vision espacial y la capacidad para transferir formas

y representaciones entre el plano y el espacio contribuye a profundizar la compe-

tencia en el conocimiento y la interaccion con el mundo fısico.”

Las propias competencias vienen a recoger el objetivo principal de es-te trabajo, buscar que los alumnos adquieran la capacidad de enfrentarse aproblemas buscando estrategias para su resolucion. Ademas relacionado conla geometrıa, busca desarrollar la vision espacial. Esto es inalcanzable si elestudio de la geometrıa queda en meros calculos algebraicos sin ir mas alla ensu relacion con las figuras y los elementos espaciales correspondientes.La geometrıa que se estudia al final de la ESO y al comienzo de Bachilleratoes casi en su totalidad analıtica (formulas de areas y volumenes, ecuacionesque representan rectas, matrices que representan planos...), es decir relacio-nada con la manipulacion de numeros, matrices, determinantes, sistemas...Se abandonan las construcciones y las propiedades para dar paso a las formu-las y las ecuaciones.Como se ha mencionado en la introduccion y se ha observado en el currıculolos contenidos matematicos en Bachillerato en el bloque de la geometrıa estanmuy ligados al dibujo tecnico. La gran diferencia reside en que en el primerose estudian ejercicios analıticos donde se usan tecnicas basicas del algebraen un determinado sistema coordenado en el estudio de figuras geometricas.En dibujo tecnico sin embargo, los ejercicios son sinteticos, el tratamiento deresolucion es logico-deductivo y el calculo algebraico es prescindible. Lo cualno parece un problema, porque se complementa, pero bajo mi experienciano lo suficiente. A lo largo de este trabajo se va a intentar buscar problemasmatematicos basados en construcciones geometricas y teoremas clasicos de lageometrıa. Creemos que el combinado construccion-teorema permite manejarlos conceptos basicos en geometrıa y fomenta el planteamiento de estrategiasy la presentacion de soluciones.

Capıtulo 3

Problemas frente a ejercicios

Vamos a intentar distinguir entre ejercicios y verdaderos problemas. Lamayorıa de las actividades que se suelen proponer en los libros de texto al finalde cada capıtulo, no son verdaderos problemas, sino sugerencias para ejercitarlas ideas, conceptos y tecnicas expuestas en el capıtulo correspondiente. Porello vamos a separar ambos terminos, fomentar el planteamiento de problemasy dar metodos de resolucion de los mismos.

3.1. Definiciones y citas

Algunas nociones que nos pueden acercar a la diferencia de ambos termi-nos y que aparecen en [8], [9], [1] y [2] podrıan ser:

3.1.1. Ejercicio matematico

“Trabajar sobre cierto numero de ejemplos identicos o casi identicos a los queha resuelto en clase el profesor o se han explicado ya en el texto, es decir, situacionque plantea una cuestion matematica cuyo metodo de solucion es inmediatamenteaccesible al sujeto que intenta responderla, porque dispone de un algoritmo querelaciona lo que se da y lo que se pide.” Llivina (1998)

“Un ejercicio matematico tiene las mismas caracterısticas que un ejercicio fısi-

co. El es el uso repetido de destrezas tal que estas se desarrollen, sean retenidas,

y sean puestas a tono. Un cantante practica la escala musical para tener precision

en el tono; un atleta trota para mantenerse en forma; un alumno hace ejercicios

matematicos para mantener e incrementar sus habilidades.” Dwyer y Elligett

(1970)

11

12 CAPITULO 3. PROBLEMAS FRENTE A EJERCICIOS

De lo anterior podemos dar una definicion de ejercicio como una situacionconocida para el sujeto que es solucionable a traves de una secuencia depasos o algoritmos matematicos ya conocidos. Esto es, que una vez explicadoun nuevo concepto a los alumnos el planteamiento de ejercicios esta bienpara reforzar su aprendizaje pero posteriormente debemos afianzarlo y hacerque el alumno lo aplique y lo relacione con otros contenidos a traves de losproblemas.

3.1.2. Problema matematico

“Tener un problema significa buscar de forma consciente una accion apropiada

para lograr un objetivo claramente concebido, pero no alcanzable de manera inme-

diata.” Polya (1961)

“Es cuando me encuentro en una situacion desde la que quiero llegar a otra, unas

veces bien conocida, otras un tanto confusamente perfiladas, y no conozco el ca-

mino que me puede llevar.” de Guzman (1991)

Entendemos un problema por tanto como una situacion que provoca unbloqueo inicial, ya que las tecnicas de resolucion habituales no son aplica-bles. Debemos buscar mediante una exploracion nuevos metodos para darlesolucion. La principal dificultad consistira en aclarar la situacion y dar conun camino adecuado que nos lleve a la meta.

3.2. Como resolver problemas

Muchos matematicos han abordado la busqueda de una serie de direc-trices para la correcta resolucion de problemas matematicos. Entre ellos ysin lugar a dudas podemos destacar a George Polya [2] y a nuestro ilustreMiguel de Guzman [1]. A continuacion se exponen una serie de pautas quepueden ayudar a la resolucion de un problema a partir de las ideas de ambosmatematicos que aparecen expuestas en las referencias:

I. Familiarizacion con el problema. Consiste en realizar una lecturadetallada del enunciado, las veces que sean necesarias, con el fin de compren-der todos los terminos, el posible lugar que ocupa cada una de las piezas quelo componen y como se relacionan unas con otras. Aunque a priori parezcaque es perder tiempo dedicarle un rato a este paso, las pautas siguientes seranmucho mas rapidas si hemos realizado un buen analisis.

3.3. APRENDIZAJE BASADO EN PROBLEMAS 13

II. Concebir un plan. En esta fase del proceso, se debe tratar de con-seguir unos cuantos posibles modos de atacar el problema, lo que podrıamosllamar una lluvia de ideas por muy estrafalarias que parezca. Para facilitareste flujo de ideas se pueden seguir una serie de pautas:

− Buscar semejanza con otros problemas.

− Hacer facil lo difıcil, intentar crear un enunciado similar pero mas sen-cillo.

− Ayudarnos de elementos graficos que nos ayuden a comprender lo pe-dido por el enunciado.

− Pensar en metodos generales: divide y venceras, ataque recurrente,metodo forward-backward, prueba por contradiccion...

− Hacer un esquema con los datos y las condiciones dadas para usarlasen nuestro proceso.

III. Ejecucion del plan. Vuelta al problema, es el momento de juzgarcuales de las estrategias que hemos seleccionado tiene mas probabilidadesde exito. Comprobando siempre que cada uno de los pasos que demos seacorrecto.

IV. Analisis de lo realizado. Una vez hemos obtenido el resultado de-bemos comprobar si es coherente con el enunciado propuesto, si disponemosde algun metodo de verificacion. Plantearnos ademas si existıan otras formasalternativas para resolverlo y analizar cual es la solucion mas natural.Por ultimo es conveniente reflexionar sobre todo el proceso seguido para ha-cernos una idea de cuales fueron las dificultades y como podrıamos procederen un futuro para resolver mejor otros problemas. Esta fase es una de lasmas importantes y que pocas veces llegamos a realizar.

3.3. Aprendizaje basado en problemas

Una vez hemos visto lo que son los problemas y las fases de resolucionsugeridas por Polya y de Guzman se concluira esta seccion con una meto-dologıa llamada Aprendizaje Basado en Problemas, en adelante usaremosel acronimo ABP; (sus siglas en ingles son PBL haciendo referencia a Pro-blem Based Learning). El ABP se presenta como un metodo docente dondeel estudiante es el protagonista de su propio aprendizaje. Consiste en quelos estudiantes se reunan en pequenos grupos, y de manera autonoma, aun-que guiados, encuentren solucion a diferentes problemas dentro de un mismomarco tematico. En la busqueda de soluciones, los alumnos deben entender,

14 CAPITULO 3. PROBLEMAS FRENTE A EJERCICIOS

integrar y aplicar los conceptos basicos del contenido de cada problema.Barrows [10] y Prieto [11] defienden que el ABP es garante del aprendizajeactivo, y lo definen como:

“Un metodo de aprendizaje basado en el principio de usar problemas como

punto de partida para la adquisicion e integracion de los nuevos conocimientos.”

Barrows (1986)

“El aprendizaje basado en problemas representa una estrategia eficaz y flexible

que, a partir de lo que hacen los estudiantes, puede mejorar la calidad de su apren-

dizaje en aspectos muy diversos.”. Prieto (2006)

Segun Morales y Landa [12] el desarrollo del proceso de ABP ocurre enocho fases que se observan en la Figura 3.1 y que vienen a completar lassenaladas en el apartado anterior por Polya y de Guzman.

Figura 3.1: Desarrollo del proceso ABP

La implementacion de esta metodologıa para el aprendizaje de las matemati-cas requiere de la elaboracion de talleres de problemas muy bien pensados enfuncion del nivel y los contenidos que se quieren ensenar. Esto es, el docentetiene que saber y saber ensenar. El tamano de los grupos y las limitaciones detiempo hacen necesario combinar este tipo de metodologıa con el aprendizajetradicional.

Capıtulo 4

Contenidos matematicos

La rama de la geometrıa contiene algunos de los teoremas mas impor-tantes y conocidos de las matematicas como el de Pitagoras y el de Tales.Tambien incluye otros de gran relevancia que no aparecen como contenidonecesario en el currıculo de la ESO ni de Bachillerato. Trabajar con estosteoremas descatalogados podrıa ser interesante a la hora de fomentar la reso-lucion logico-deductiva de problemas, esto es, dar soluciones a los problemasque involucren una cadena de razonamientos. En este capıtulo se presentanalgunos de los teoremas mas importantes conocidos en geometrıa divididosen dos categorıas, los que aparecen en el currıculo y los que no. A lo largo delmismo supondremos que el lector esta familiarizado con las nociones basicasde geometrıa (triangulo y tipos, hipotenusa, cateto, circuncentro, incentro,mediana, bisectriz...)1

4.1. Recogidos en el currıculo

Los dos primeros teoremas incluidos en esta seccion, aparecen en el currıcu-lo del segundo ciclo de ESO, si bien Pitagoras se trabaja ya en el primerciclo. Los conceptos de seno y coseno se introducen en 4o de ESO con me-todologıa de calculo aproximado con calculadora. El estudio serio de razonestrigonometricas y resultados relacionados queda para 1o de Bachillerato. Lasdemostraciones de estos teoremas se pueden encontrar en cualquier libro detexto, de geometrıa o en multiples webs, dada su importancia.

1Este capıtulo contenıa inicialmente una seccion que incluıa un glosario de definicio-nes basicas en geometrıa. La limitacion de la extension del TFG ha hecho imposible suinclusion. La mayor parte de las nociones aparecen en libros de secundaria a excepcion,posiblemente, del termimo ceviana, nombre que recibe cualquier segmento de recta queune un vertice de un triangulo con el lado opuesto de este. Las medianas y las bisectricesde un triangulo son, por tanto, cevianas.

15

16 CAPITULO 4. CONTENIDOS MATEMATICOS

4.1.1. Teorema de Pitagoras

Teorema 4.1. En todo triangulo rectangulo el cuadrado de la hipotenusa ces igual a la suma de los cuadrados de los catetos a y b:

c2 = a2 + b2.

Figura 4.1: Teorema de Pitagoras

4.1.2. Teorema de Tales

Teorema 4.2. Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas para-lelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales alos segmentos correspondientes en la otra.

AB

A′B′ =BC

B′C ′ =AC

A′C ′ .

Figura 4.2: Teorema de Tales

4.2. FUERA DEL CURRICULO 17

4.1.3. Teoremas del seno y del coseno

Teorema 4.3 (Teorema del seno). Dado el triangulo ABC, siendo α, β, γ,los angulos y, a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos angulos comose puede observar en la Figura 4.3, entonces:

a

senα=

b

sen β=

c

sen γ.

Teorema 4.4 (Teorema del coseno). Dado el triangulo ABC, siendo α, β,γ, los angulos y, a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos anguloscomo se puede observar en la Figura 4.3, entonces:

a2 = b2 + c2 − 2bc cosα.

Figura 4.3: Teoremas del seno y del coseno

4.2. Fuera del currıculo

Existen multitud de importantes teoremas de geometrıa que no se estu-dian en secundaria (Desargues, Pappus, Apolonio, Napoleon, Morley, Brian-chon,...). Dada la extension del trabajo, solo vamos a destacar una pequenaseleccion de los mismos.El interes de los teoremas seleccionados esta en que estos teoremas tienenenunciados simples y claros y tratan sobre tres tipos de figuras planas basi-cas (circunferencia, triangulo y cuadrilatero) que involucran medida. Estasfiguras y sus propiedades son de uso frecuente en problemas geometricos enel plano y en el espacio (cortes por planos).La demostracion de estos teoremas se pueden encontrar en libros especiali-zados en geometrıa como [13] (o preguntando a Google que, de seguro nosproporcionarıa un buen monton de entradas).


4.2.1. Formula de Euler

Teorema 4.5. Sea la circunferencia circunscrita al triangulo ABC con cen-tro O y radio R y la inscrita con centro I y radio r. Si d es la distancia entreambos centros como observamos en la Figura 4.4 se tiene que:

d2 = R2 − 2Rr.

Figura 4.4: Teorema de Euler

4.2.2. Teorema de Stewart

El teorema de Stewart es una generalizacion del teorema de la mediana.Establece una relacion entre la longitud de los lados de un triangulo y lalongitud de una ceviana.

Teorema 4.6 (Teorema de la mediana). En cualquier triangulo la suma delos cuadrados de dos de sus lados, es igual al la mitad del cuadrado del tercerlado mas el doble del cuadrado de su mediana correspondiente.

Teorema 4.7 (Teorema de Stewart). Dado un triangulo ABC y una cevianad del mismo tal que divide el lado BC en dos segmentos m y n como seobserva en la Figura 4.5 se tiene que:

d2a = nc2 +mb2 − nma.


Figura 4.5: Teorema de Stewart

4.2.3. Teorema de la bisectriz

Teorema 4.8. Dado el triangulo ABC, sea d la bisectriz del angulo internocorrespondiente al vertice A tal y como observamos en la Figura 4.6 , entoncesse cumple la proporcion:

BA

AC=BC

DC.

Es decir, que en un triangulo, la razon entre dos lados es igual a la razon delas partes en las que queda dividido el tercer lado por la bisectriz del angulointerno opuesto.

Figura 4.6: Teorema de la bisectriz

4.2.4. Teorema de Ceva

Teorema 4.9 (Teorema de Ceva). Dado el triangulo ABC, consideramos lospuntos D, E y F sobre los lados BC, AC y AB respectivamente. Entonceslos segmentos AD, BE y CF son concurrentes si y solo si:

AF

FB· BDDC· CEEA

= 1.


Figura 4.7: Teorema de Ceva

4.2.5. Teorema de Menelao

Teorema 4.10 (Teorema de Menelao). Dado el triangulo ABC y conside-rando los puntos D,E y F que se encuentran en las lıneas BC, AC y AB;entonces el teorema establece que D,E y F son colineales si y solo si:

AE

EC· CDDB· BFFA

= 1.

Figura 4.8: Teorema de Menelao

4.2.6. Teorema de Ptolomeo

Teorema 4.11 (Teorema de Ptolomeo). En todo cuadrilatero inscriptible elproducto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los ladosopuestos del cuadrilatero:

D1 ·D2 = ac+ bd.


Figura 4.9: Teorema de Ptolomeo

Ademas de estos teoremas los problemas que se presentan en el siguientecapıtulo contienen otros resultados que hemos visto en el Capıtulo 3.


Capıtulo 5

Taller de problemas

Este capıtulo proporciona una coleccion de problemas para reforzar elaprendizaje de los conceptos de geometrıa que aparecen en los teoremaspresentados en el Capıtulo 4, ası como otros que aparecen en el currıcu-lo de la ESO y del Bachillerato. Los problemas aparecen clasificados conetiquetas de nivel, teorema y conceptos relacionados y se agrupan en sec-ciones relacionadas con los contenidos genericos de los citados currıculos.El material de problemas seleccionado ha sido extraıdo de los Concursos dePrimavera de los ultimos cinco anos, (web de A-prima, Sociedad Riojanade Profesores de Matematica, (http://www.a-prima.es/), de las OlimpiadasMatematicas nacionales (web de la RSME, Real Sociedad Matematica Es-panola, http://www.rsme.es), y del Taller de Creatividad Matematica que elDpto. de Matematicas y Computacion de la Universidad de La Rioja vienedesarrollando en los ultimos anos en colaboracion con varios profesores desecundaria (http://www.unirioja.es/talleres/creatividad_matematica/).

5.1. Recogidos en el currıculo

Todos los contenidos recogidos en el currıculo tienen ejercicios y proble-mas en los libros de texto para reforzar su aprendizaje pero suelen ser muymetodicos, lo que ayuda a fortalecer el aprendizaje pero no a profundizaren el mismo. En esta seccion hemos realizado una seleccion de problemascuyas soluciones requieren una concatenacion de razonamientos ası como lautilizacion de apoyo grafico para su comprension.

23

http://www.a-prima.es/

http://www.rsme.es

http://www.unirioja.es/talleres/creatividad_matematica/

24 CAPITULO 5. TALLER DE PROBLEMAS

5.1.1. Teorema de Pitagoras

Los ejercicios sobre el teorema de Pitagoras son en los que mas hinca-pie se suele hacer ya que es un teorema que se utiliza frecuentemente comoherramienta auxiliar en la resolucion de problemas matematicos de todo ti-po. Cuando aparecen las palabras triangulo rectangulo en el enunciado de unejercicio o de un problema, la solucion llama al uso del teorema de Pitagoras.Esto es lo que ocurre en los Problemas 1 y 2 propuestos. En otros casos, ladificultad reside en la fase de analisis donde podemos encontrar un triangulorectangulo para aplicarlo como ocurre en el ultimo problema.

Palabras clave:Triangulo, cateto, hipotenusa, area, Pitagoras.

Nivel: 3o/4o ESO.

Problema 1:

En un triangulo rectangulo de hipotenusa 4 cm, la suma de suscatetos es

√18 cm. ¿Cual es en cm2 el area de dicho triangulo?

Solucion:Tomamos un triangulo rectangulo como podrıa ser el de la Figura 5.1. Ahora

Figura 5.1: Representacion grafica problema 1

analizando los datos de los que disponemos y dado que conocemos la suma delos dos catetos podemos usar el desarrollo del binomio de la suma al cuadradoque ademas se estudia en estos cursos de la ESO:

(a+ b)2 = a2 + b2 + 2ab,

5.1. RECOGIDOS EN EL CURRICULO 25

sustituyendo los datos del enunciado:

18 = a2 + b2 + 2ab.

Ahora dado que se trata de un triangulo rectangulo, si aplicamos el teoremade Pitagoras sabemos que a2 + b2 = 42 y sustituyendo:

2ab = 2,

Sabemos ahora que el area de un triangulo rectangulo esab

2ası pues:

A =ab

2=

1

2cm2 ♦

Palabras clave:Triangulo, perımetro, area, Pitagoras, parametrizacion, paridad.

Nivel: Bachillerato.

Problema 2:

Hallar los triangulos rectangulos de lados enteros tales que el numeroque mide su perımetro es igual al numero que mide su area.

Solucion:Para resolver este problema tenemos que encontrar los lados a, b y c de lostriangulos rectangulos que cumplan las condiciones del enunciado.Lo primero que debemos notar es que al ser un triangulo rectangulo susnumeros forman una terna pitagorica, es decir que a2 + b2 = c2. Podemosusar por tanto una parametrizacion de la forma:

a = 2uvtb = (u2 − v2)tc = (u2 + v2)t

Con u, v primos entre sı, de distinta paridad y u > v.Se debera ayudar al alumno con la parametrizacion ya que no es obvia paraun estudiante de Bachillerato.Tenemos ahora aplicando la condicion restante de que el perımetro es igualal area:

t2uv(u2 − v2) = (2uv + u2 − v2 + u2 + v2)t

tuv(u− v)(u+ v) = 2u2 + 2uv

tv(u− v) = 2


Ası pues los posibles triangulos que dan solucion al problema son lossiguientes:

u v t a b c2 1 2 8 6 103 1 1 8 6 103 2 1 12 5 13

♦

Palabras clave:Triangulo, cuadrado, cırculo, radio, analisis, Pitagoras.


Problema 3:

El lado del cuadrado de la figura es igual a 1. ¿Cuanto mide elradio del cırculo pequeno?

Solucion:Lo mas complicado de este problema es analizar bien la figura, ya hemosdicho anteriormente de la importancia de la fase de analisis. Una vez hechoun buen estudio de la misma ya unicamente habra que aplicar el teorema consencillas operaciones. Llamamos r al radio del cırculo pequeno como vemosen la Figura 5.2.



Ası pues, por el teorema de Pitagoras se tiene:

(1 + r)2 = 2(1− r)2 =⇒ r2 − 6r + 1 = 0.

Luego:r = 3− 2

√2 = (

√2− 1)2. ♦

5.1.2. Semejanza

La utilizacion de la semejanza es clave en geometrıa para fomentar elanalisis de figuras y mejorar la vision espacial. Se utiliza como herramientaen la resolucion de una gran cantidad de problemas de estos cursos, sobretodo en aquellos con manipulacion de triangulos y de angulos, como es elcaso de los problemas propuestos en esta subseccion. En ambos se utilizanlas razones de semejanza para obtener datos sobre triangulos, el primero demanera mas sencilla y aumentando el nivel con el segundo. La comprensionde la semejanza facilita ademas el aprendizaje de otros conceptos geometricoscomo la homotecia o las escalas que sobre todo se estudian en dibujo tecnico.

Palabras clave:Triangulo, cuadrado, Pitagoras, semejanza.

Nivel: 3o/4o ESO.

Problema 4:

En la figura que se adjunta a continuacion, OEF es un triangulorectangulo y ABCD es un cuadrado. Si OA = 48 y OD = 36, ¿cuantomide EF?


Solucion:Observamos, en primer lugar, que los triangulos OAD, DCE y ABF sonsemejantes pues son rectangulos y los angulos en A, D y F respectivamenteson iguales.Por otra parte tenemos por el teorema de Pitagoras:

AD =√

482 + 362 = 60 = AB = BC = CD

aplicando ahora razones de semejanza tenemos:

CE

60=

36

48=⇒ CE = 45

yBF

60=

48

36=⇒ BF = 80,

con todo lo obtenido podemos obtener el segmento que se pedıa:

EF = EC + CB +BF = 45 + 60 + 80 = 185. ♦

Palabras clave:Triangulo, baricentro, semiplano, razon de semejanza, trapecio.


Problema 5:

Demostrar que en un triangulo se verifica: si r es una recta quepasa por su baricentro y no pasa por ningun vertice, la suma delas distancias a dicha recta de los vertices que quedan en un mismosemiplano es igual a la distancia del tercer vertice a dicha recta.

Solucion:Visualizamos en la Figura 5.3 la situacion reflejada en el enunciado.



Vamos a ir deduciendo razones de semejanza entre los elementos de nues-tra figura para demostrar que AA′ = BB′ +CC ′ ya que en nuestro trianguloA queda en el semiplano inferior y tanto B como C en el superior:

· El triangulo GMM ′ es semejante a GAA′ con razon de semejanza 2(pues AG = 2GM). Por tanto, AA′ = 2MM ′.

· MM’ es la paralela media del trapecio BB′C ′C, de donde MM ′ =(BB′ + CC ′)/2.

· AA′ = 2MM ′ = BB′ + CC ′. ♦

5.1.3. Resolucion de triangulos

Este tipo de problemas son muy comunes en dibujo tecnico I, donde seproporciona algun dato sobre un triangulo y se pide la construccion total delmismo. Vamos a realizar la misma idea con un problema matematico, lo querefleja que ambas asignaturas se podrıan complementar bien.


Palabras clave:Triangulo, perımetro, hipotenusa, area.


Problema 6:

Determina los lados del triangulo rectangulo del que se conocen el

perımetro, p = 96, y la altura sobre la hipotenusa, h =96

5.

Solucion:Consideramos el triangulo rectangulo de la Figura 5.4.


Buscamos relaciones entre los diferentes segmentos a partir de los datos pro-porcionados por el enunciado:

· El area del triangulo es:bc

2=ah

2, de donde se deduce que:

bc = ah (5.1)

· Dado que el perımetro p = a + b + c, se tiene b + c = p − a, luego(b+ c)2 = (p−a)2, y de aquı, utilizando que a2 = b2 + c2, se tiene 2bc =p2 − 2pa. Ahora utilizando (5.1) se tiene: 2ah = p2 − 2pa. Finalmente,a la podemos definir como:

a =p2

2(h+ p)

· Dado que conocemos a, y que tenemos las relaciones: b+c = p−a y bc =ah, podemos calcular b y c como las soluciones de la ecuacion de segundo


grado z2−(b+c)z+bc = 0, esto es de la ecuacion z2−(p−a)z+ah = 0.En nuestro caso, con los valores dados, se tiene:

p = 96

h =96

5

a =p2

2(h+ p)=

962

2(96 + 96/5= 40

· Falta calcular b y c, que son raıces de la ecuacion z2−(p−a)z+ah = 0,esto es, de la ecuacion z2 − 56z + 768 = 0, y cuyas raıces son: 32 y 24.

Los lados del triangulo dado por tanto son: 40, 32 y 24. ♦

5.1.4. Areas y volumenes

Hablar de areas y volumenes en estos cursos parece sinonimo de memori-zar formulas y aplicarlas. Sin embargo, existen problemas como el propuestoque, a priori pueden parecer complicados pero con la idea de corte trans-versal, con la que tambien se trabajan las competencias del tratamiento defiguras y la vision espacial, se reduce a un problema de triangulos y seme-janza. Por si fuera poco, la solucion es uno de los numeros mas importantesen la geometrıa, que aparece en elementos como el rectangulo de Euclides olos solicos platonicos: el numero aureo.

Palabras clave:Prisma recto, cuadrado, tronco, piramide, volumen, seccion, triangulo, seme-janza, relacion aurea.


Problema 7:

De un prisma recto de base cuadrada, con lado de longitud L1, yaltura H, extraemos un tronco de piramide, no necesariamente recto, debases cuadradas, con lados de longitud L1 (para la inferior) y L2 (parala superior), y altura H. Las dos piezas obtenidas aparecen en la imagensiguiente.Si el volumen del tronco de piramide es 2/3 del total del volumen delprisma, ¿cual es el valor de L1/L2?


Solucion:Si prolongamos una altura h el tronco de piramide hasta obtener una pirami-de completa de altura H + h, tendra una seccion como la que se muestra enla Figura 5.5.


Por semejanza de triangulos sabemos que:

h+H

L1

=h

L2

y, por tanto:

h =HL2

L1 − L2


Ademas, podemos observar que:

Volumen tronco de piramide =1

3(L2

1(H + h)− L22h)

=1

3

(HL3

1

L1 − L2

− HL31

L1 − L2

)=H

3(L2

1 + L1L2 + L22)

Ası, teniendo en cuenta que:

Volumen tronco de piramide =2

3Volumen prisma

tendremos la ecuacion:

H

3(L2

1 + L1L2 + L22) =

2

3HL2

1

que se transforma en: (L1

L2

)2

− L1

L2

− 1 = 0

cuya unica solucion positiva es:

L1

L2

=1 +√

5

2.

Es decir, los lados deben estar en relacion aurea. ♦

5.1.5. Trigonometrıa

La trigonometrıa se introduce en 4o de ESO utilizando triangulos rectangu-los y se profundiza en Bachillerato. Se ensenan muchas formulas que relacio-nan las razones trigonometricas y se relaciona mucho con la manipulacionnumerica en lugar de hacer tratamientos con figuras. Sin embargo, puede seruna herramienta muy util en problemas matematicos que parece que pocotienen que ver con la trigonometrıa como es el caso del propuesto con elcalculo de un perımetro.


Palabras clave:Circunferencia, perımetro, coseno, arco.

Nivel: 4o ESO.

Problema 8:

En la figura se aprecian dos circunferencias de perımetro 6, colo-cadas de tal manera que cada una pasa por el centro de la otra.¿Que perımetro tiene la figura total?

Solucion:El perımetro total de ambas circunferencias por separado es 12, ahora bienambas tienen un arco en comun, es lo que tenemos que calcular para obtenerel perımetro pedido. Analizamos una de las circunferencias para buscar lalongitud del arco: Se tiene por tanto que usando trigonometrıa:


cosα =r/2

r=

1

2=⇒ α =

π

3

Sabiendo ahora que el perımetro p de la circunferencia completa equivale

a un arco de 2π, tendremos que el perımetro de nuestro arco esp

6. Como


hemos analizado la semicircunferencia para trabajar con mas comodidad el

arco total sera de2π

3y por tanto el perımetro

p

3, que en el caso del problema

queda como:

parco =p

3=

6

3= 2

Ası pues el perımetro de la figura total queda como:

ptotal = p− 2 · parco = 12− 4 = 8. ♦

5.1.6. Teorema de Tales

Este teorema junto con el de Pitagoras son los que mas se utilizan sobretodo en la etapa de la ESO. Sin embargo el teorema de Tales parece que pasaa un segundo plano durante el Bachillerato. A continuacion se proponen dosproblemas, el primero se trata de una demostracion que utiliza este teoremacon el fin de completar tambien la competencia de la expresion matematica.El segundo de nuevo muestra la relacion de las matematicas con el dibujotecnico ya que requiere de mucho manejo y analisis de figuras.

Palabras clave:Demostracion, bisectriz, Tales, paralela, isosceles.Nivel: Bachillerato.

Problema 9:

Demostrar el teorema de la bisectriz usando el teorema de Tales.

Solucion:



Sea AN la bisectriz interior del angulo A. Trazamos por C una paralela aAN que corta a la prolongacion del lado AB en el punto P como indica laFigura 5.7. El triangulo APC es isosceles ya que los angulos marcados en lafigura APC, ACP y NAC son iguales. Luego AP = AC = b.Por el teorema de Tales, BN = kc y NC = kb se tiene que:

BN

NC=c

b

Ademas, como kc+ kb = a, se tiene que k =a

b+ c.

Por ello, BN =ac

b+ cy NC =

ab

b+ c. ♦

Palabras clave:Semicircunferencia, diametro, Pitagoras, Tales.


Problema 10:

Los segmentos AB, AC y BC son diametros de las semicircunfe-rencias que se ven en la figura. Las circunferencias pequenas sontangentes a dos de las semicircunferencias y a la recta perpendicular aAB por el punto C. Probar que DE = BC y que FG = AC.

Solucion:Sea O el centro de la semicircunferencia mas grande y P el pie de la perpen-


dicular trazada desde el centro G de uno de los cırculos pequenos al diametroAB; si llamamos x = OP , se tiene segun las notaciones de la Figura 5.8:

x = r1 − (r + r2) = r1 − r2 − r.

Figura 5.8: Representacion grafica a problema 10

Usando el teorema de Pitagoras, se tiene:

h2 = (R− r)2 − x2 = (R− r − x)(R− r + x) = 4r2(r1 − r)h2 = (r1 + r)2 − (r1 − r)2 = 4r1r,

de donde resulta:

r1r = r2(r1 − r) =⇒ r =r1r2r1 + r2

. (5.2)

El mismo resultado se obtiene para el otro cırculo pequeno, resultando queambos tienen el mismo radio. Tomamos ahora la situacion de la Figura 5.9:

Figura 5.9: Representacion grafica b problema 10


y aplicando el teorema de Tales a los triangulos O1EC y O1GP , se tiene:

O1E

r1=r1 + r

r1 − r

de donde, usando la expresion para r obtenida en (5.2), se obtiene O1E =2r2 + r1, y de aquı, restando r1, que:

DE = 2r2 = BC

Para el otro segmento las operaciones resultan analogas para obtener queFG = AC. ♦

5.1.7. Angulos

Los problemas sobre angulos mas comunes son aquellos en los que enuna figura conocemos un dato y queremos llegar a otros. La resolucion esdiferente para cada uno pero lo mas importante es ir analizando la situacione ir resolviendo paso a paso utilizando propiedades de angulos.

Palabras clave:Triangulo, angulo, semejanza.

Nivel: 3o/4o ESO.

Problema 11:

En un triangulo ABC se tiene ∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 4. Pro-

bar que1

AB+

1

AC=

1

BC.

Solucion:Podemos simplificar lo que queremos probar de la siguiente forma:

1

AB+

1

AC=

1

BC=AB + AC

AB=AC

BC.

Para conseguir esto construiremos unos triangulos semejantes de la manerasiguiente:Prolongamos AB hasta un punto D tal que BC = AC. Ahora prolongamostambien BC hasta un punto E tal que AC = AE. Tracemos los segmentosDE y AE y obtenemos una situacion como la de la Figura 5.10.



Como observamos, hemos llamado ∠A = α, ası pues por la relacion dadaen el enunciado tenemos que ∠B = 2α y ∠C = 4α; como forman parte deun triangulo se tiene que 7α = 2π.De esto se obtiene si observamos la Figura 5.10 que los triangulos DAE yABC son semejantes ya que tienen los tres angulos iguales, y por ello:

AD

AB=AE

BC=⇒ AB + AC

AB=AC

BC

que es la relacion que se pedıa probar. ♦

Palabras clave:Circunferencia, perımetro, coseno, arco.


Problema 12:

En un cuadrado ABCD, α = 15o. Probar que el triangulo ABEes equilatero.


Solucion:Tomamos un triangulo equilatero con base DC, como en la Figura 5.11.


Como ya hemos dicho, lo mejor para resolver este tipo de problemas es irobteniendo informacion poco a poco. Observamos por ejemplo que podemoscalcular ζ ya que los angulos del triangulo equilatero valen π/3 y α vienedado por el enunciado por lo tanto:

γ = π/3 + π/12 = 5π/12

Se tiene que β forma un triangulo rectangulo con α, ademas es el mismoangulo que δ, que tambien podrıa calcularse como complementario de α, conesto:

β = π/2− π/12 = 5π/12 = δ

Ası pues, β = γ, y por lo tanto EF = CF . Ademas como γ = δ, EC es labisectriz de ∠FCB.Por tanto, AE = EB = EF = FC = DC, y queda demostrado que se tratade un triangulo rectangulo. ♦

5.2. Fuera del currıculo

En esta seccion se van a proponer una serie de problemas para el aprendi-zaje y utilizacion de los teoremas que no pertenecen al currıculo y que serıaninteresantes para el refuerzo del estudio de la geometrıa fundamentalmente


en el Bachillerato dado el nivel de dificultad.Los cinco problemas propuestos son complejos e incluyen calculos algebraicos(frecuentes en estos niveles) pero no son mecanicos. La fase de analisis debeculminar con un reconocimiento de teoremas que pueden ser usados en suresolucion y finalmente las cuentas deben ser minuciosas.

5.2.1. Formula de Euler

Palabras clave: Euler, triangulo, puntos notables, incentro, circuncentro,mediatriz, circunferencia circunscrita.

Problema 13:

En un triangulo llamaremos O al circuncentro, I al incentro y ral radio de la circunferencia inscrita. Si la mediatriz del segmento OIcorta a la circunferencia circunscrita en L y LI vuelve a cortarla en M ,demuestra que IM = 2r.

Solucion:Para resolver este problema comenzamos buscando una representacion graficaque refleje la situacion planteada en el enunciado como podemos ver en laFigura 5.12.


Por el Teorema de Euler, (OI)2 = R2− 2Rr. Sean T y Q los puntos de cortede la recta OI con la circunferencia circunscrita tenemos:

IL · IM = IT · IQ


Por simetrıa, IL = OL = R. Ademas tenemos que IT = OI +OT = OI +Ry tambien IQ = OQ−OI = R−OI. Por lo tanto sustituyendo en la ecuacionanterior, obtenemos:

R · IM = (R +OI)(R−OI) = R2 − (OI)2 = 2Rr ♦

5.2.2. Teoremas de Stewart y de la bisectriz

Palabras clave: Stewart, bisectriz, triangulo, rectangulo, obtusangulo, cua-drilatero, Pitagoras.

Problema 14:

Sean A, B y C los vertices de un triangulo y P , Q y R los res-pectivos pies de las bisectrices trazadas desde esos mismos vertices.Sabiendo que PQR es un triangulo rectangulo en P , se pide probar doscosas:

a) Que ABC ha de ser obtusangulo.

b) Que en el cuadrilatero ARPQ, pese a no ser cıclico, la suma de susangulos opuestos es constante.

Solucion:Reflejamos la situacion del enunciado graficamente en la Figura 5.13.


Vamos a utilizar dos herramientas fundamentales en los problemas geometri-cos relativos a triangulos: el teorema de la bisectriz y el teorema de Stewart.Sea el punto P . Por el teorema de la bisectriz tenemos que:

PB =ac

b+ cy PC =

ab

b+ c


Ahora, aplicando el teorema de Stewart queda:

AP 2 =bc

(b+ c)2(b2 + 2bc+ c2 − a2)

y, substituyendo a2 por su expresion obtenida del teorema del coseno:

AP =2bc

(b+ c)2cos

A

2

Calculemos ahora los lados del triangulo PQR utilizando el teorema delcoseno y los teoremas de la bisectriz y de Stewart:

PR2 = AP 2 +QA2 − 2APRA cosA =4b2c2(a− b) cos2A/2

(b+ c)2(a+ b)+

b2c2

(a+ b)2

QR2 = QA2 +RA2 − 2QARA cosA =4b2c2(a− b) cos2A/2

(b+ c)2(a+ b)+

b2c2

(a+ b)2

PR2 = AP 2 +QA2 − 2APRA cosA =b2c

2

(a+ c)2+

b2c2

(a+ b)2− 2b2c2 cosA

(a+ b)(a+ c)

Como el triangulo PQR es rectangulo, por el teorema de Pitagoras: PQ2 +PR2 = QR2, sustituyendo y simplificando, tenemos:

2a2 − b2 − c2 + (2a2 + 2bc) cosA

de donde obtenemos que cosA = −1/2, A =2π

3y de aquı R +Q =

5π

6. ♦

Palabras clave: Bisectriz, triangulo, perpendicular, isosceles, Pitagoras.

Problema 15:

Las bisectrices interiores de los angulos A, B, y C de un trianguloABC cortan a los lados opuestos en los puntos D, E y F respectivamen-te. Demuestra que si las rectas perpendiculares a los lados en los puntosD, E y F son concurrentes en un mismo punto, el triangulo es isosceles.

Solucion:Suponemos concurrentes las perpendiculares por D, E y F en un punto K,utilizando el teorema de Pitagoras y el teorema de la bisectriz tenemos conla notacion de la Figura 5.14 lo siguiente:



(bc

a+ c

)2

−(

bc

a+ b

)2

= y2 − x2(ca

a+ b

)2

−(

ca

b+ c

)2

= z2 − y2(ab

b+ c

)2

−(

ab

a+ c

)2

= x2 − z2

de donde, sumando, obtenemos:(bc

a+ c

)2

+

(ca

a+ b

)2

+

(ab

b+ c

)2

=

(bc

a+ b

)2

+

(ca

b+ c

)2

+

(ab

a+ c

)2

.

De aquı, agrupando las fracciones con igual denominador:

b2(c2 − a2

(a+ c)2+c2(a2 − b2

(a+ b)2+a2(b2 − c2

(b+ c)2= 0

que simplificando y quitando denominadores queda:

b2(c− a)(a+ b)(b+ c) + c2(a− b)(a+ c)(b+ c) + a2(b− c)(a+ b)(a+ c) = 0,

expresion que se puede factorizar de la forma:

(a+ b+ c)2(a− b)(c− a)(b− c) = 0,

lo que indica que, o bien a = b, o bien a = c, o bien b = c. Luego el triangulodebe de ser isosceles. ♦


5.2.3. Teorema de Ceva

Palabras clave: Ceva, triangulo, area, ceviana, semejanza,

Problema 16:

Sea ABC un triangulo y D, E, y F tres puntos cualesquiera so-bre los lados AB, BC y CA respectivamente. Llamemos P al puntomedio de AE, Q al punto medio de BF y R al punto medio de CD.Probar que el area del triangulo PQR es la cuarta parte del area deltriangulo DEF .

Solucion:Comenzamos buscando una representacion grafica aclaratoria como puedeser la Figura 5.15:

Figura 5.15: Representacion grafica a problema 16

Como P , Q y R son puntos medios de cevianas del triangulo, pertenecena los lados del triangulo MaMbMc que tiene de vertices los puntos mediosde los lados del triangulo ABC como muestra la Figura 5.16. Los triangulosABC y MaMbMc son semejantes con razon de semejanza 1/2, por lo que setiene:

McQ

AF=QMa

FC= 1/2

MaR

BD=RMb

DA= 1/2

MbP

EC=PMc

EB= 1/2


Figura 5.16: Representacion grafica b problema 16

Sean ahora u =AD

AB, v =

BE

BCy w =

CF

CA. Se tiene:

DB

AB= 1− u, EC

BC= 1− v, FA

CA= 1− w

y, por la semejanza de los triangulos ABC y MaMbMc:

RMb

MaMb

= u,PMc

MbMc

= vQMa

McMa

= w,

RMa

MaMb

= 1− u, PMb

MbMc

= 1− v, QMc

McMa

= 1− w.

Con esto podemos calcular las areas de los triangulos complementarios altrianguloDEF del trianguloABC (denotamos por [ABC] el area del triangu-lo ABC):

[AFD] = FA · AD senA = (1− w)uCA · AB senA = (1− w)u[ABC],

[BED] = DB ·BE senB = (1− u)vAB ·BC senB = (1− u)v[ABC],

[CFE] = EC · CF senC = (1− v)wBC · CA senC = (1− v)w[ABC].

Haciendo lo mismo con los triangulos complementarios del PQR dentro deMaMbMc se tiene:

[MaRQ] = QMa ·MaR senA = (1− u)wMaMb ·MaMc senA = (1− u)w[MaMbMc]

[MbPR] = RMb ·MbP senB = (1− v)uMaMb ·MbMc senB = (1− v)u[MaMbMc]

[McQP ] = PMc ·McQ senC = (1− w)vMbMc ·MaMc senC = (1− w)v[MaMbMc].


Teniendo en cuenta que [ABC] = 4[MaMbMc] y que:

(1− u)w + (1− v)u+ (1− w)v = (1− w)u+ (1− u)v + (1− v)w,

se sigue el resultado pedido. ♦

5.2.4. Teorema de Menelao

Palabras clave:Menelao, tangente, esfera, plano, triangulo.

Problema 17:

Sean A,B,C,D cuatro puntos en el espacio, tales que no hay ningunplano que pasa por los cuatro a la vez. Los segmentos AB, BC, CD yDA son tangentes a una misma esfera. Demostrar que los cuatro puntosde tangencia estan en un mismo plano.

Solucion:Comenzamos buscando una representacion grafica de la situacion como en laFigura 5.17:


Donde R, S, T, U son los puntos de tangencia en los segmentos AB, BC,CD y DA.Observamos que la seccion de la esfera con el plano que contiene al trianguloABD muestra una circunferencia y dos rectas, AB, AD, tangentes a ella enlos puntos R,U . Por tanto AR = AU .


Si aplicamos lo anterior para todos los vertices y llamamos a, b, c, d a laslongitudes en cada uno de los mismos.Tenemos ahora el triangulo ABD con un punto R en el lado AB y un puntoU en el AD. Sea ahora F la interseccion de la recta BD con la recta UR ynotando que F es exterior a BD, por el teorema de Menelao se tiene:

BR

RA

AU

UD

DF

FB= 1

O lo que es lo mismo,b

a

a

d

DF

FB= 1

Luego tenemos la siguiente relacion:

DF

FB=d

b

Usando este mismo argumento en el vertice C, usando el triangulo CBD yllamando E al punto de interseccion del segmento ST con el lado BD setiene:

DE

EB=d

b

Ası pues E = F .Consideramos el plano que contiene a los puntos E = F,R, S, contiene a lasrectas FR y ES luego a U y a T . ♦

5.2.5. Teorema de Ptolomeo

El numero aureo se puede calcular usando el teorema de Ptolomeo sobreun pentagono regular, de hecho este teorema fue desarrollado por ClaudioPtolomeo para trazar un pentagono regular mediante regla y compas. Ladeduccion del numero aureo usando este teorema es un problema que se pue-de plantear en el segundo ciclo de ESO (al eliminar uno de los vertices delpentagono, obtenemos un cuadrilatero).El teorema de Ptolomeo ademas permite dar una construccion para pro-bar los teoremas de Simson, el de Pascal sobre cırculos y el de la mariposageneralizado (ver [13, Capıtulo 3]). Pero esto es otra historia a incluir enuna miscelanea de ejercicios y problemas que deberıa realizarse para que losestudiantes se adiestren en la resolucion razonada.

Conclusion

La realizacion de este proyecto me he permitido adentrarme por primeravez en la docencia matematica. He analizado las competencias y los conteni-dos del currıculo viendo las posibles carencias en la educacion de la geometrıay ese ha sido el punto de partida del desarrollo posterior.Comenzamos aprendiendo la importante diferencia entre un ejercicio y unproblema de la mano de matematicos tan importantes como Polya o Mi-guel de Guzman. Esta distincion puede ser determinante de cara a enfocarla ensenanza de los alumnos ya que se puede optar por ejercicios tipos queaparecen en los libros de texto, pero plantear problemas que requieran deuna buena fase de analisis permite interiorizar mejor los conceptos.Posteriormente se presentan algunos de los teoremas mas importantes de lageometrıa, que desconocıa despues incluso de acabar la carrera. Esto resultasorprendente ya que decadas atras sı que se estudiaban y poco a poco hansido eliminados del currıculo.Tambien aparece una recopilacion de problemas sobre geometrıa, que requie-ren una resolucion sintetica alejados de la geometrıa analıtica que ocupa casiel cien por ciento en la ESO y en Bachillerato. Este tipo de problemas mehan permitido darme cuenta de que en Dibujo Tecnico I y II nos estabanensenando con figuras lo mismo que hacıamos en matematicas con numeros,un buen ejemplo es la resolucion de triangulos. Ademas con software comoGeoGebra, que ha sido el utilizado en este trabajo, se pueden elaborar ymodificar figuras de forma dinamica para analizar las diferentes situacionesque nos planteen los enunciados de los problemas.

49

50 CONCLUSION

Bibliografıa

[1] de Guzman Ozamiz, Miguel: Como hablar, demostrar y resolver en Ma-tematicas. Anaya, Madrid, 2003.

[2] Polya, George: Como plantear y resolver problemas. Traduccion de Howto solve it por Julian Zugazagoitia, Trillas, Mexico, 1965.

[3] FETE-UGT: Estudio de los nuevos horarios escolares en la educacionsecundaria obligatoria de las diferentes CCAA. Gabinete tecnico , 2007.

[4] 8o Congreso Internacional de Educacion Matematica (ICME-8). Diariode Sevilla, 14-21 julio 1996.

[5] Luelmo, Marıa Jesus: Construcciones geometricas: una experiencia inter-disciplinar de autoformacion, en Epsilon: Revista de la Sociedad Andaluzade Educacion Matematica “Thales”, 38, pags. 131-154, 1997.

[6] Boletın Oficial de La Rioja, decreto 5/11 que establece el currıculo de laESO de la Comunidad Autonoma de La Rioja. BOR de 4 de febrero de2011.

[7] Boletın Oficial de La Rioja, decreto 45/08 que establece el currıculo deBachillerato de la Comunidad Autonoma de La Rioja. BOR de 3 de juliode 2008.

[8] Llivina Lavigne, Miguel Jorge: La capacidad para resolver problemas dematematicas vista con un enfoque personalizado. Barros Argote, 1998.

[9] C. Dwyer, Robert; K. Elligett, Jane: Teaching children through naturalmathematics. Parker Publishing Co., 1970.

[10] Barrows, H.S: A Taxonomy of problem-based learning methods, en Me-dical Education,20/6, 481–486, 1986.

51

52 BIBLIOGRAFIA

[11] Prieto, L: Aprendizaje activo en el aula universitaria: el caso del apren-dizaje basado en problemas, en Miscelanea Comillas. Revista de CienciasHumanas y Sociales, vol.64, num.124, pags. 173-196, 2006

[12] Morales, P. Y Landa, V.: Aprendizaje basado en problemas, en Theoria,vol.13, pags. 145-157, 2004.

[13] Chou, Shang-Ching; Gao, Xiao-Shan; Zhang, Jing-Zhong: Machineproofs in geometry, World Scientific Publishing Co., 1994.

Documents

Aprendizaje basado en problemas de matemáticas