Apresentação · Hoje, com o avanço da tecnologia e a evolução da informática, a cripto-grafia tem tido avanços enormes, realizando senhas ou chaves cada vez mais

EQUIPE UNITINS

Organização de Conteúdos Acadêmicos Paulo Alexandre de OliveiraVabson Guimarães Borges

Coordenação Editorial Maria Lourdes F. G. Aires

Revisão Lingüístico-Textual Domenico Sturiale

Gerente de Divisão de Material Impresso Katia Gomes da Silva

Revisão Digital Katia Gomes da Silva

Projeto Gráfico Katia Gomes da Silva

Ilustração Geuvar S. de Oliveira

Capas Igor Flávio Souza

EQUIPE EADCON

Coordenador Editorial William Marlos da Costa

Assistentes de Edição Ana Aparecida Teixeira da CruzJanaina Helena Nogueira BartkiwLisiane Marcele dos Santos

Programação Visual e Diagramação Denise Pires PierinKátia Cristina Oliveira dos SantosMonica ArdjomandRodrigo SantosSandro NiemiczWilliam Marlos da Costa

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Caro aluno,

Seja bem vindo à disciplina de Fundamentos de Matemática III. Esta matéria é de grande importância para você, acadêmico do curso de Matemática e futuro professor. Nela vamos ampliar alguns dos conceitos fundamentais que você estudou no ensino médio, em continuidade com a disciplina de Fundamentos de Matemática II. Graças a este caderno e às tele-aulas, você observará algumas aplicações dentro e fora da Matemática, aprimorando assim os seus conhecimentos.

Iniciaremos estudando seqüências. Após entendermos as séries, passa-remos a estudar definição, classificação e fórmula do termo geral, as suas propriedades, a interpolação, a soma dos termos e o produto dos termos da progressão aritmética e geométrica. Enfim, trataremos de um assunto bastante interessante que é o estudo das matrizes e dos determinantes.

Desejamos que você tenha êxito nos seus estudos.

Um grande abraço.

Prof. Paulo Alexandre de Oliveira

Prof. Vabson Guimarães Borges

EMENTA

Seqüências, progressões, matrizes e determinantes.

OBJETIVOS

Reconhecer uma seqüência numérica.•

Resolver problemas envolvendo seqüências numéricas.•

Reconhecer uma progressão aritmética.•

Determinar os termos de uma progressão aritmética.•

Reconhecer uma progressão geométrica.•

Determinar os elementos de uma progressão geométrica.•

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

Seqüências•

Tipos de seqüências•

Classificação de uma progressão aritmética•

Fórmula do termo geral da PA•

Interpolação aritmética•

Soma dos termos de uma PA•

Classificação de uma progressão geométrica•

Fórmula do termo geral da PG•

Interpolação geométrica•

Soma dos termos de uma PG finita•

Soma dos termos de uma PG infinita•

Produto dos termos de uma progressão geométrica•

Introdução ao estudo das matrizes•

Representação de uma matriz genérica•

Plan

o de

Ens

ino

Operações com matrizes•

Introdução aos determinantes•

Matrizes inversas•

BIBLIOGRAFIA BÁSICA

BONJORNO, J. R. et al. Matemática fundamental: 2º grau. São Paulo: FTD, 1994.

IEZZI, G; HAZZAN, S. Fundamentos de matemática elementar. São Paulo: Atual, 1991. v. 5.

SPIEGEL, M. R. Probabilidade estatística. São Paulo: McGraW-Hill, 2004. (Schaum)

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

DOMÊNICO, L. C. de. Matemática: curso completo de 2º grau. São Paulo: IBEP, [s. d.].

GENTIL, M. et al. Matemática. São Paulo: Ática, 1990.

unitins • matemática • 3º PeRÍODO 9

Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de:

reconhecer uma seqüência numérica;•

resolver problemas que envolvem seqüências numéricas.•

Para você entender bem esta aula, é necessário ter conhecimento do conjunto dos Números Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais, com as suas correspondentes representações, que você já estudou na disciplina de Fundamentos de Matemática I.

Em meados do século XVII, o matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz escreveu uma frase representada por essa seqüência de símbolos:

1–12/1/19/5/12/1’/19/9/3/1–5’–1–8/14/13/17/1–4/14–5/18/15/9’/17/9/19/1914–8/20/12/1/13/14

Para decifrar essa frase, ele estabeleceu

que as chaves do processo de cifragem fossem constituídas pelas respec-a) tivas associações entre as letras da língua portuguesa, em ordem alfabé-tica, e os números naturais de 1 a 23;

que cada traço representasse um espaço;b)

que cada número acompanhado de um acento agudo representasse c) uma letra acentuada.

Será que você seria capaz de escrever o que Leibniz queria dizer nessa frase? Vamos lá! Tente e terá uma surpresa.

aula 1 • funDamentOs Da matemática iii



reconhecer uma seqüência numérica;•

resolver problemas que envolvem seqüências numéricas.•

Para você entender bem esta aula, é necessário ter conhecimento do conjunto dos Números Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais, com as suas correspondentes representações, que você já estudou na disciplina de Fundamentos de Matemática I.

Em meados do século XVII, o matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz escreveu uma frase representada por essa seqüência de símbolos:

1–12/1/19/5/12/1’/19/9/3/1–5’–1–8/14/13/17/1–4/14–5/18/15/9’/17/9/19/1914–8/20/12/1/13/14

Para decifrar essa frase, ele estabeleceu

que as chaves do processo de cifragem fossem constituídas pelas respec-a) tivas associações entre as letras da língua portuguesa, em ordem alfabé-tica, e os números naturais de 1 a 23;

que cada traço representasse um espaço;b)

que cada número acompanhado de um acento agudo representasse c) uma letra acentuada.

Será que você seria capaz de escrever o que Leibniz queria dizer nessa frase? Vamos lá! Tente e terá uma surpresa.

Seqüências

Aula 1


12 3º PeRÍODO • matemática • unitins

A mensagem cifrada também é conhecida como mensagem criptografada. A criptografia é uma ciência que estuda princípios e técnicas de modificação codificada da escrita, para torná-la ininteligível aos que não têm acesso às convenções combinadas, por meio de símbolos, números, letras ou desenhos. Um dos principais fundamentos da criptografia é o conceito de seqüência.

Hoje, com o avanço da tecnologia e a evolução da informática, a cripto-grafia tem tido avanços enormes, realizando senhas ou chaves cada vez mais complexas e impenetráveis, a serviço de bancos, internet e outras entidades que necessitam de segurança para seus documentos eletrônicos.

1.1 Seqüências

Chamamos de seqüência ou sucessão um conjunto ordenado de valores algebricamente representados por:

(a1, a2, a3, . . . , an, . . . )

em que a1 indica o primeiro termo da seqüência, a2, o segundo termo da seqüência e assim por diante. O termo an indica o enésimo termo, também chamado de termo geral da seqüência, em que n ∈ |N* = { 1, 2, 3, . . . }.

Existem vários tipos de seqüências, entre as quais podemos destacar a seqüência de Fibonacci (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8 ...).

As seqüências podem ser classificadas como finitas ou infinitas.

1.2 Seqüências finitas

Uma seqüência é classificada como finita quando apresenta um último termo.

Exemplos

a) (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21)

b) (Maria, Pedro, Lucas, Guilherme)

1.3 Seqüências infinitas

Uma seqüência é dita infinita quando é marcada por reticências no final. Nesse caso, a seqüência não terá fim.

Exemplos

a) (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . )

b) conjunto dos números |R

Agora é com você. Descubra oque significa razão áurea e oque tem a ver a concha do

Nautilus marinho com aseqüência de Fibonacci.



1.4 Igualdade

Duas seqüências serão iguais, se e somente se tiverem os mesmos elementos dispostos na mesma ordem.

Exemplos

a) As seqüências (a, b, c, d, e, f) e (2, 4, 6, 8, 10, 12) só serão iguais, se e somente se a = 2, b = 4, c = 6, d = 8, e = 10 e f = 12.

b) Observe que as seqüências (3, 6, 2, 1, 1, 4, 7, 3) e (3, 6, 2, 1, 1, 7, 4, 3) apresentam os mesmos elementos, mas não apresentam a mesma ordem. Logo são seqüências diferentes, que podem representar, por exemplo, os números de telefones de duas casas diferentes.

1.5 Lei de formação de uma seqüência

Denomina-se lei de formação de uma seqüência um grupo de informações capazes de determinar todos os termos de uma seqüência e a ordem em que se apresentam.

Exemplos

a) Observe a seguinte seqüência:

( ) 1n n N*

n+1 n

a =2a tal que:

a = 2+a∈

Atribuindo-se a n os valores 1, 2, 3, 4, . . . , obtemos os seguintes termos da seqüência:

n = 1 ⇒ a2 = 2 + a1 ⇒ a2 = 2 + 2 = 4

n = 2 ⇒ a3 = 2 + a2 ⇒ a3 = 2 + 4 = 6

n = 3 ⇒ a4 = 2 + a3 ⇒ a4 = 2 + 6 = 8

n = 4 ⇒ a5 = 2 + a4 ⇒ a5 = 2 + 8 = 10

Assim a seqüência é (2, 4, 6, 8, 10, . . .)

b) De acordo com a seqüência (an)n ∈N* tal que an = n2 + 1, atribuindo-se a n os valores 1, 2, 3, 4, . . . , obtemos os seguintes termos da seqüência:

n = 1 ⇒ a1 = 12 +1 = 2

n = 2 ⇒ a2 = 22 +1 = 5

n = 3 ⇒ a3 = 32 +1 = 10

n = 4 ⇒ a4 = 42 +1 = 17

Assim a seqüência é (2, 5, 10, 17, . . .)



1.6 Lei de recorrência

Outra maneira de definir uma seqüência consiste em fixar um valor de um dos termos e uma fórmula que permita calcular cada um dos termos conhecendo sempre o termo anterior (antecedente) da sucessão. Nesse caso, dizemos que a seqüência é definida por uma lei de recorrência.

Observamos que, em função do agrupamento de um conjunto de números, você pode obter uma seqüência. Tal seqüência poderá ser definida como finita ou infinita, dependendo da sua lei de formação. Vimos exemplos de seqüências famosas, entre as quais destacamos a seqüência de Fibonacci.

1. Sendo n ∈ N*, obtenha os quatro primeiros termos da seqüência dada por:

a) an = 2n + 1

b) an = n2 + n

c) n

2n 1a3+

=

2. O valor da soma dos cinco primeiros termos da seqüência definida por an = 3n2 + 2, n ∈ N* é:

a) 128 b) 175 c) 220 d) 98

3. De acordo com a seqüência definida por an = 3n – 16, n ∈ N*, qual o valor de a5 + a6?

a) 3 b) 1 c) 0 d) 2

4. Escreva sob a forma de (a1, a2, a3, a4, . . . ) os quatro termos da seqüência

Na atividade um, você acertou se utilizou os valores 1, 2, 3 e 4 substituindo-os em cada seqüência.

a) an = 2n + 1

n = 1 ⇒ a1 = 2 . 1 +1 = 3

n = 2 ⇒ a2 = 2 . 2 +1 = 5

n = 3 ⇒ a3 = 2 . 3 +1 = 7

n = 4 ⇒ a4 = 2 . 4 +1 = 9


b) an = n2 + n

n = 1 ⇒ a1 = 12 + 1 = 2

n = 2 ⇒ a2 = 22 + 2 = 6

n = 3 ⇒ a3 = 32 + 3 = 12

n = 4 ⇒ a4 = 42 + 4 = 20


c)

n = 1 ⇒ a1 = (2 . 1 + 1)/ 3 = 1

n = 2 ⇒ a2 = (2 . 2 + 1)/3 = 5/3

n = 3 ⇒ a3 = (2 . 3 + 1)/3 = 7/3

n = 4 ⇒ a4 = (2 . 4 + 1)/3 = 3

Assim a seqüência é (1, 5/3, 7/3, 3, . . .)

Na atividade dois, você acertou se substituiu para n os valores 1, 2, 3, 4 e 5, pois o exercício requer a soma dos 5 primeiros termos da seqüência.

an = 3n2 + 2

n = 1 ⇒ a1 = 3.12 + 2 = 5

n = 2 ⇒ a2 = 3.22 + 2 = 14

n = 3 ⇒ a3 = 3.32 + 2 = 29



4. Escreva sob a forma de (a1, a2, a3, a4, . . . ) os quatro termos da seqüência

( ) 1n n *

n 1 n

a 6a talque :

a 9 a∈+

= = +

Na atividade um, você acertou se utilizou os valores 1, 2, 3 e 4 substituindo-os em cada seqüência.

a) an = 2n + 1

n = 1 ⇒ a1 = 2 . 1 +1 = 3

n = 2 ⇒ a2 = 2 . 2 +1 = 5

n = 3 ⇒ a3 = 2 . 3 +1 = 7

n = 4 ⇒ a4 = 2 . 4 +1 = 9


b) an = n2 + n

n = 1 ⇒ a1 = 12 + 1 = 2

n = 2 ⇒ a2 = 22 + 2 = 6

n = 3 ⇒ a3 = 32 + 3 = 12

n = 4 ⇒ a4 = 42 + 4 = 20


c) n2n 1a

3+

=

n = 1 ⇒ a1 = (2 . 1 + 1)/ 3 = 1

n = 2 ⇒ a2 = (2 . 2 + 1)/3 = 5/3

n = 3 ⇒ a3 = (2 . 3 + 1)/3 = 7/3

n = 4 ⇒ a4 = (2 . 4 + 1)/3 = 3

Assim a seqüência é (1, 5/3, 7/3, 3, . . .)

Na atividade dois, você acertou se substituiu para n os valores 1, 2, 3, 4 e 5, pois o exercício requer a soma dos 5 primeiros termos da seqüência.

an = 3n2 + 2

n = 1 ⇒ a1 = 3.12 + 2 = 5

n = 2 ⇒ a2 = 3.22 + 2 = 14

n = 3 ⇒ a3 = 3.32 + 2 = 29



n = 4 ⇒ a4 = 3.42 + 2 = 50

n = 5 ⇒ a5 = 3.52 + 2 = 77

A soma é dada por: 5 + 14 + 29 + 50 + 77 = 175. Assim a alternativa correta é a letra (b). As demais alternativas não correspondem ao solicitado.

Na atividade três, você acertou se calculou a soma a5 + a6, utilizando para n os valores 5 e 6, pois não há necessidade de calcular todos os valores. Veja.

an = 3n – 16

n = 5 ⇒ a5 = 3.5 – 16 = – 1

n = 6 ⇒ a6 = 3.6 – 16 = 2

Assim, a5 + a6 = – 1 + 2 = 1. Sendo assim, a alternativa correta é a letra (b). As demais alternativas não correspondem ao solicitado.

Na atividade quatro, você acertou se seguiu o mesmo procedimento do exemplo da aula. Observe.

( ) 1n n N*

n+1 n

a =6a tal que:

a = 9+a∈

Como o exercício solicitou os quatro termos da seqüência, você calculou, então, para n = 1, 2, 3 e 4.

n = 1 ⇒ a2 = 9 + a1 ⇒ a2 = 9 + 6 = 15

n = 2 ⇒ a3 = 9 + a2 ⇒ a3 = 9 + 15 = 24

n = 3 ⇒ a4 = 9 + a3 ⇒ a4 = 9 + 24 = 33

n = 4 ⇒ a5 = 9 + a4 ⇒ a5 = 9 + 33 = 42

Assim a seqüência é (6, 15, 24, 33, 42, . . .)

Com a realização correta das atividades, você alcançou os objetivos propostos para esta aula: reconhecer uma seqüência e resolver problemas apli-cados às seqüências.

Agora que você já se acostumou à linguagem das seqüências, ficará mais fácil entender o conceito de progressão aritmética, que veremos na aula 2.


reconhecer uma progressão aritmética;•

determinar os termos de uma progressão aritmética.•

Para que você possa entender bem esta aula, faz-se necessário reconhecer uma sucessão ou seqüência numérica, que foi objeto de estudo da aula anterior. Esse conhecimento é importante, porque será usado para determinar os compo-nentes da seqüência numérica, a partir de sua lei de formação.

Em 1785, um professor de matemática, em uma escola da Alemanha, para obter disciplina em uma sala bastante agitada, pediu que seus alunos fizessem a seguinte tarefa: somar todos os termos de 1 até 100. Para sua surpresa, um pequeno jovem de apenas oito anos de idade, chamado Johann Friederich Carl Gauss, após alguns minutos, resolveu o problema. O professor, mal viu a reso-lução de Gauss, disse que o resultado estava errado. Mas o pequeno Gauss insistiu que o resultado estava correto, deixou o seu caderno com o professor e foi sentar em sua cadeira.

Após três horas, os alunos começaram a entregar a tarefa e, para surpresa do professor, havia somente um resultado correto, o de Gauss. Estava desco-berta a fórmula da soma de uma progressão aritmética (MARCONDES, 2003).

2.1 Progressão aritmética

Chama-se de progressão aritmética (PA) toda seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r. Essa constante r é denominada razão da progressão aritmética.

Anotações




reconhecer uma progressão aritmética;•

determinar os termos de uma progressão aritmética.•

Para que você possa entender bem esta aula, faz-se necessário reconhecer uma sucessão ou seqüência numérica, que foi objeto de estudo da aula anterior. Esse conhecimento é importante, porque será usado para determinar os compo-nentes da seqüência numérica, a partir de sua lei de formação.

Em 1785, um professor de matemática, em uma escola da Alemanha, para obter disciplina em uma sala bastante agitada, pediu que seus alunos fizessem a seguinte tarefa: somar todos os termos de 1 até 100. Para sua surpresa, um pequeno jovem de apenas oito anos de idade, chamado Johann Friederich Carl Gauss, após alguns minutos, resolveu o problema. O professor, mal viu a reso-lução de Gauss, disse que o resultado estava errado. Mas o pequeno Gauss insistiu que o resultado estava correto, deixou o seu caderno com o professor e foi sentar em sua cadeira.

Após três horas, os alunos começaram a entregar a tarefa e, para surpresa do professor, havia somente um resultado correto, o de Gauss. Estava desco-berta a fórmula da soma de uma progressão aritmética (MARCONDES, 2003).

2.1 Progressão aritmética

Chama-se de progressão aritmética (PA) toda seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r. Essa constante r é denominada razão da progressão aritmética.

Progressão aritmética

Aula 2



(a1, a2, a3, a4, . . . an, . . .) é uma PA ⇒ an = a n – 1 + r, com n ≥ 2 e n ∈ N

Assim:

a• 1 é o primeiro termo da PA;

a• 2 = a1 + r;

a• 3 = a2 + r;

. . .•

a• n = a n – 1 + r ⇒ Chamada de fórmula do termo geral da PA.

Assim, podemos deduzir que, quando subtraímos cada termo do seu ante-rior, encontramos o valor da razão r.

a• 2 = a1 + r ⇒ r = a2 – a1

a• 3 = a2 + r ⇒ r = a3 – a2

Logo podemos dizer que: a2 – a1 = a3 – a2 = r

Exemplos

a) (1, 3, 5, 7, . . . ) é uma PA de razão r = 2

b) (. . . ,10, 5, 0, – 5,– 10, . . .) é uma PA de razão r = – 5

2.2 Classificação de uma progressão aritmética

Toda progressão aritmética pode ser classificada, de acordo com sua razão r, como crescente, decrescente e constante. Vejamos, a seguir, as características de cada uma delas.

2.2.1 Progressão aritmética crescente (r > 0)

Uma progressão aritmética será crescente quando sua razão tiver um valor positivo.

Exemplos

a) (2, 7, 12, 17, . . . )

a2 – a1 = 7 – 2 => 5

Como a razão é maior que zero, a PA é crescente.

b) (– 10, – 5, 0, 5, 10, . . . )

a4 – a3 = 5 – 0 => 5

A razão é maior que zero. Logo a PA é crescente.

2.2.2 Progressão aritmética decrescente (r < 0)

Toda progressão aritmética que possui razão menor que zero é considerada decrescente.



Exemplos

a) (10, 7, 4, 1, – 2, . . . )

a2 – a1 = 7 – 10 => – 3

b) (5/2, 2, 3/2, 1, . . . )

a2 – a1 = 2 – 5/2 => – 1/2

2.2.3 Progressão aritmética constante (r = 0)

Em uma progressão aritmética constante, todos os termos são iguais e a razão r é sempre igual a zero.

Exemplos

a) (5, 5, 5, 5, 5, 5, . . . )

a2 – a1 = 5 – 5 => 0

b) (– 1/2, – 1/2, – 1/2, – 1/2, . . . )

a2 – a1 = – 1/2 – (– 1/2) = 0

2.3 Fórmula do termo geral da progressão aritmética

Como já sabemos, uma PA de razão r pode ser escrita assim:

(a1, a2, a3, a4, . . . an, . . .)

Utilizando a definição de PA, podemos escrevê-la da seguinte maneira:

( ) )n3 52 4

1

aa aa a

1 1 1 1 1a , a r, a 2r , a 3r , a 3r ,...,a n 1 r+ + + + + −

Logo podemos escrever a fórmula do termo geral da seguinte forma:

( )n 1a a n 1 r,para n N*= + − ∈

an = termo geral da PA

a1 = primeiro termo da PA

n = número de termos da PA

r = razão da PA

Exemplos

1) Determine o 25º termo da PA (2, 6, 10, 14, . . .).

Para resolver esse problema, vamos primeiramente retirar os dados do exercício.

an = a25 = ?



a1 = 2

n = como a PA vai até o 25º termo, logo teremos 25 termos

r = a2 – a1 = 6 – 2 = 4

Aplicando a fórmula do termo geral temos

a25 = 2 + ( 25 – 1 ) . 4

a25 = 2 + 24 . 4

a25 = 2 + 96

a25 = 98

Outra possível resolução desse exercício seria a seguinte:

a25 = a1 + 24r

a25 = 2 + 24 . 4

a25 = 98

2) Escreva uma PA, cuja soma de seus três termos é igual a 9 e cujo produto é igual a 15.

a1, a2, a3 = (x – r), x, (x + r)

Primeiramente, vamos calcular a soma dos termos.

x – r + x + x + r = 9 ⇒ x = 3

Calcularemos agora o produto dos três números.

(x – r) . x . (x + r) = 15

Como x = 3, temos:

(3 – r) . 3 . (3 + r) = 15

3( 9 – r2 ) = 15

27 – 3x2 = 15

3x2 = 12

x = ± 2

x = 3 e r = 2 ⇒ (1, 3, 5)

x = 3 e r = – 2 ⇒ (5, 3, 1)

3) Determine o número de múltiplos de 7, compreendidos entre 20 e 250.

A progressão será (21, 28, 35, ..., 245).

Então vamos descobrir o valor de n para saber quantos múltiplos de 7 existem entre 20 e 250.



a1 = 21

n = ?

r = 7

an = 245

an = a1 + (n – 1) . r ⇒ 245 = 21 + (n – 1) . 7

245 – 21 = 7n – 7 ⇒ 224 + 7 = 7n ⇒ n = 33

Como o valor de n = 33, logo temos 33 múltiplos de 7 entre 20 e 250.

2.4 Interpolação aritmética

O termo interpolar significa inserir valores entre dois termos de forma que a diferença entre eles seja constante.

Exemplos

1. Interpole sete meios aritméticos entre – 2 e 22.

Observe como vamos escrever essa PA:

– 2, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, 22

a1 = – 2

n = 9

r = ?

an = 22

Utilizando a fórmula do termo geral, temos:

( )n 1a a n 1 r= + −

22 = – 2 + (9 – 1) . r

22 + 2 = 8r

r = 3

Logo a PA será: (– 2, 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22)

2. Interpole nove meios aritméticos entre 15 e 45. A seguir, determine qual é o décimo segundo termo dessa seqüência.

a1 = 15

n = 9 + 2 = 11

r = ?

an = 45

( )n 1a a n 1 r= + −



45 = 15 + (11 – 1). r

45 + 15 = 10r

r = 3

PA = (15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45)

O décimo segundo termo é 48.

2.5 Soma dos termos de uma progressão aritmética

Às vezes, é necessário determinar a soma dos elementos de uma progressão aritmética sem, necessariamente, saber quais são os seus elementos.

( )1 nn

a a .nS

2+

=

Em uma progressão aritmética, a soma dos extremos ou a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é sempre a mesma.

Exemplos

1. Determine a soma dos 25 primeiros termos da PA (–4, –2, 0, 2, ... ).

a1= – 4

r = – 2 – (– 4) = 2

n = 25

an = a1 + (n – 1) . r ⇒ an = – 4 + (25 – 1) . 2 ⇒ an = 44

( )

( )

( )

1 nn

25

25 25

a a .nS

24 44 25

S2

40 25S S 500

2

+=

− + ⋅=

⋅= ⇒ =

2. Determine a PA em que o vigésimo termo é 2 e a soma dos cinqüenta primeiros termos é 650.

a1= ?

r = ?

a20= a1 + 19r ⇒ 2 = a1 + 19r

Sn = ?

Resolvendo o sistema de equações

( )1

1

a 19r 2 22a 49r 26

+ = ⋅ −

+ =

Multiplicando por –2, temos:

Somando membro a membro: 11r = 22 ⇒ r = 2

Com a razão, é possível determinar a1:

2 = a1 + 19r ⇒Ÿ a1 = – 36

Logo a PA procurada é (– 36, – 34, – 32, – 30, – 28, ...).

Concluímos que interpolar os termos de uma PA consiste em inserir valores entre dois termos e que a soma dos termos eqüidistantes de uma PA resulta sempre no mesmo valor, o que nos permite encontrar sempre a soma dos termos de uma PA.

Aprendemos que, em toda seqüência, a diferença de um de seus termos menos o termo anterior tem um valor constante, chamado de razão e represen-tado por r. Aprendemos a classificar uma PA em crescente, decrescente e cons-tante, em função do valor da razão r. Sabendo que a soma dos extremos ou a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é sempre a mesma, aprendemos a elaborar a fórmula da soma dos termos de uma PA.

1. Determine o trigésimo primeiro termo de uma PA cujo primeiro termo é 2 e cuja razão é 3.

a) 63 c) 92

b) 65 d) 95

2. Determine quantos termos tem a PA (5, 7/2, 2, 1/2, ..., – 55).

a) 60 c) 41

b) 75 d) 125

3. Determine o número de múltiplos de 5, compreendidos entre 250 e 3000.

4. Qual é a quantidade de meios aritméticos que podemos inserir ente 15 e 30, sabendo que o valor da razão é 3?

5. Determine a soma dos termos da PA cuja razão é 2, sabendo que o primeiro termo é cinco e o último termo é 459.



Multiplicando por –2, temos:

1

1

–2a –38r=–42a +49r=26

Somando membro a membro: 11r = 22 ⇒ r = 2

Com a razão, é possível determinar a1:

2 = a1 + 19r ⇒Ÿ a1 = – 36

Logo a PA procurada é (– 36, – 34, – 32, – 30, – 28, ...).

Concluímos que interpolar os termos de uma PA consiste em inserir valores entre dois termos e que a soma dos termos eqüidistantes de uma PA resulta sempre no mesmo valor, o que nos permite encontrar sempre a soma dos termos de uma PA.

Aprendemos que, em toda seqüência, a diferença de um de seus termos menos o termo anterior tem um valor constante, chamado de razão e represen-tado por r. Aprendemos a classificar uma PA em crescente, decrescente e cons-tante, em função do valor da razão r. Sabendo que a soma dos extremos ou a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é sempre a mesma, aprendemos a elaborar a fórmula da soma dos termos de uma PA.

1. Determine o trigésimo primeiro termo de uma PA cujo primeiro termo é 2 e cuja razão é 3.

a) 63 c) 92

b) 65 d) 95

2. Determine quantos termos tem a PA (5, 7/2, 2, 1/2, ..., – 55).

a) 60 c) 41

b) 75 d) 125

3. Determine o número de múltiplos de 5, compreendidos entre 250 e 3000.

4. Qual é a quantidade de meios aritméticos que podemos inserir ente 15 e 30, sabendo que o valor da razão é 3?

5. Determine a soma dos termos da PA cuja razão é 2, sabendo que o primeiro termo é cinco e o último termo é 459.



Na atividade um, você acertou se determinou que o valor do trigésimo primeiro termo da PA é 92.

an = a31 = ?

a1 = 2

n = 31

r = 3

Utilizando a fórmula do termo geral:

( )n 1a a n 1 r= + − ⋅

a31 = 2 + ( 31 – 1 ) . 3

a31 = 2 + 30 . 3

a31 = 92

Assim, o trigésimo termo vale 92 e a alternativa correta é letra (c). As demais alternativas não correspondem ao solicitado.

Na atividade dois, você acertou se, para calcular a quantidade de elementos que possui a PA, calculou o valor de n.

an = – 55

a1 = 5

n = ?

r = – 1,5

an = a1 + (n – 1). r

– 55 = 5 + ( n – 1 ). (–1,5)

– 55 – 5 = –1,5 n + 1,5

– 60 – 1,5 = – 1,5n

n = 41

Assim, a PA possui 41 termos. A alternativa correta é a letra (c). As demais alternativas não correspondem ao solicitado.

Na atividade três, assim como na segunda atividade, para resolver o problema, você encontrou o valor de n, que é 549.

an = 2995

a1 = 255

n = ?



r = 5

an = a1 + (n – 1). r

2995 = 255 + (n – 1). 5

2995 – 255 = 5n – 5

5n = 2745

n = 549

Na atividade quatro, para encontrar a quantidade de elementos que podem ser introduzidos entre 15 e 30, você acertou se procurou o valor de n.

an = 30

a1 = 15

n = ?

r = 3

an = a1 + (n – 1). r

30 = 15 + (n – 1). 3

30 – 15 = 3n – 3

3n = 18

n = 6

A quantidade de valores que devem ser inseridos nessa PA é de 6 elementos.

Na atividade cinco, o exercício pede para calcular a soma da PA. Logo você acertou se recolheu os dados que o problema apresenta e, em seguida, aplicou a fórmula da soma.

r = 2

a1 = 5

an = 459

( )1 nn

a a nS

2+ ⋅

=

an = a1 + (n – 1) . r

459 = 5 + ( n – 1 ) . 2 ( )

( )n

n

n

5 459 .228S

2464 228

S2

S 52.896

+=

+=

=

454 = 2n – 2

2n = 456

n = 228



Nesta última atividade, você percebeu que foi necessário calcular, primeiro, o valor de n utilizando a fórmula do termo geral, para, só depois, calcular a soma dos termos. A matemática é assim mesmo: às vezes, faz-se necessário procurar um caminho alternativo para encontrarmos a resposta de um problema.

Com a realização correta das atividades, você alcançou os objetivos propostos para esta aula: reconhecer uma progressão aritmética e determinar seus termos.

MARCONDES, Gentil Sérgio. Matemática. São Paulo: Ática, 2003.

Até agora, estudamos a progressão aritmética, a interpolação e a soma de n elementos. Na próxima aula, estudaremos outra seqüência, na qual a razão não é adicionada e sim multiplicada. Ela recebe o nome de progressão geométrica e complementa o nosso estudo sobre progressões.


reconhecer uma progressão geométrica;•

determinar os elementos de uma progressão geométrica.•

Você aprendeu, na aula anterior, a encontrar o primeiro termo, a razão e o número dos elementos de uma PA. Isso ajudará você a entender que, assim como na PA utilizamos a soma para encontrar a razão, na progressão geométrica (PG), utilizamos a multiplicação.

Na PA, a razão é um valor constante, que pertence ao conjunto dos números reais e que é adicionado ao termo anterior. Vamos estudar, nesta aula, um caso em que a razão não é somada, e sim multiplicada ao termo anterior.

3.1 Progressão geométrica

Podemos representar uma PG de acordo com a seguinte sentença:

(a1, a2, a3, a4, ... an-1, an ), em que o primeiro termo é a1 e a razão é q:

an = a n -1 . q, ∀ n ∈ N e n ≥ 2

A PG é uma seqüência de números reais não nulos em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do anterior por uma constante q chamada de razão da PG.

Exemplos

(2, 4, 8, 16, 32, ... ) a) ⇒ a1 = 2; q = 2

Anotações




reconhecer uma progressão geométrica;•

determinar os elementos de uma progressão geométrica.•

Você aprendeu, na aula anterior, a encontrar o primeiro termo, a razão e o número dos elementos de uma PA. Isso ajudará você a entender que, assim como na PA utilizamos a soma para encontrar a razão, na progressão geométrica (PG), utilizamos a multiplicação.

Na PA, a razão é um valor constante, que pertence ao conjunto dos números reais e que é adicionado ao termo anterior. Vamos estudar, nesta aula, um caso em que a razão não é somada, e sim multiplicada ao termo anterior.

3.1 Progressão geométrica

Podemos representar uma PG de acordo com a seguinte sentença:

(a1, a2, a3, a4, ... an-1, an ), em que o primeiro termo é a1 e a razão é q:

an = a n -1 . q, ∀ n ∈ N e n ≥ 2

A PG é uma seqüência de números reais não nulos em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do anterior por uma constante q chamada de razão da PG.

Exemplos

(2, 4, 8, 16, 32, ... ) a) ⇒ a1 = 2; q = 2

Progressão geométrica

Aula 3



(–3, –6, –12, –24, –48, ...) b) ⇒ a1 = –3; q = 2

(1/2, 1/6, 1/18/ 1/36, ...) c) ⇒ a1 = 1/2; q = 3

(–2, 2, –2, 2, –2, ...) d) ⇒ a1 = –2; q = –1

(12, 0, 0, 0, 0, 0, ... ) e) ⇒ a1 = 12 ; q = 0

3.2 Classificação de uma progressão geométrica

Toda progressão geométrica pode ser classificada como crescente, decres-cente, constante, alternante e estacionária. Vejamos, a seguir, as características de cada uma delas.

3.2.1 Progressão geométrica crescente

Em uma progressão geométrica crescente, cada termo é maior que o ante-rior. Isso ocorre em duas situações: quando a razão é maior que 1 (q > 1) e quando a razão é maior que 0 e menor que 1 (0 < q < 1).

Exemplos

a) (1, 3, 9, 27, ...) ⇒ q = 3

b) (–4, –2, –1, –1/2, –1/4,...) ⇒ q = ½

3.2.2 Progressão Geométrica Decrescente

Também para as progressões geométricas decrescentes existem duas situa-ções: quando a razão é q > 1 e quando a razão é 0 < q < 1.

Exemplos

a) (–1, –2, –4, –8, –16, ...) ⇒ q = 2

b) (4, 2, 1, 1/2, 1/4,...) ⇒ q = ½

3.2.3 Progressão Geométrica Constante

Na progressão geométrica constante, cada termo é igual ao anterior. Logo sua razão q será igual a 1.

Exemplo

(–11, –11, –11, –11, –11, ...) ⇒ q = 1

3.2.4 Progressão geométrica alternante

Na progressão geométrica alternante, cada termo tem o sinal oposto do seu antecessor. Nesse caso, q < 0.

Exemplo

(10, –20, 40, –80, ...) ⇒ q = –2



3.2.5 Progressão geométrica estacionária

Na progressão geométrica estacionária, cada termo, a partir do segundo, é igual a zero e o primeiro é diferente de zero (a2 = 0 e a1 = 0).

Exemplo

(16, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...) ⇒ q = 0 e a1 = 16.

3.3 Fórmula geral de uma progressão geométrica

A fórmula geral da progressão geométrica é demonstrada com base na observação de como são encontrados os termos da progressão, a partir do valor do segundo termo a2.

a2 = a1 . q

a3 = a2 . q = a1 . q2

a4 = a3 . q = a1 . q3

" " "

" " "

" " "

an–1 = an–2 . q = a1 . q(n–2)

an= an–1 . q = a1 . q(n–1)

Assim, podemos escrever a fórmula do termo geral:

an = a1 . q(n–1)

Os nomes continuam idênticos aos da PA. Veja só:

an = enésimo termo ou termo geral da PG

n = número de termos da PG

q = razão da PG

a1 = primeiro termo da PG

Exemplos

a) Determine o 9º e o 13º termo da PG (2, 4, 8, ...).

Primeiro, vamos retirar os dados do problema, para encontrar o 9o termo.

a1 = 2

n = 9

a1 = 2

q = 2



a9 = ?

an = a1 . q(n–1)

a9 = 2 . 2 9 – 1

a9 = 29

a9 = 512

Para calcularmos o 13º termo, vamos aproveitar a fórmula anterior e mudar somente o valor de n para 13.

an = a1 . q(n-1)

a13 = 2 . 2 13 – 1

a9 = 213

a9 = 8192

b) Dada a PG (x, 3x +2, 10x + 12, ...), determine o valor da razão e escreva a progressão geométrica.

Sabendo que a razão n 2(n 1)

1

a a 3x 2qa xq −

+= = = a mesma razão pode ser

calculada utilizando o segundo e o terceiro termo.

Podemos também dizer que 3n(n 1)

2

aa 10x 12qa 3x 2q −

+= = =

+ portanto podemos

escrever 3x 2 10x 12x 3x 2+ +

=+

, pois a razão é igual. Resolvendo, temos:

10x2 + 12x = 9x2 + 12x + 4 ⇒ x2 + 4 = 0 ⇒ x’ = 2 e x’’ = –2

Se x = 2, então a PG (x, 3x +2, 10x + 12, ...) = (2, 8, 32, ...)

Se x = –2, então a PG (x, 3x +2, 10x + 12, ...) = (–2, – 4, –8, ...)

3.4 Principais propriedades da progressão geométrica

1a propriedade

Em toda e qualquer PG, um termo é a média geométrica dos termos imedia-tamente anteriores e posteriores.

Exemplo

Dada a PG (a, b, c, d, e, f), temos, então: b2 = a . c; c2 = b . d; d2 = c . e;

e2 = d . f ∴ (an)2 = an–1 . an+1

2a propriedade

O produto dos termos eqüidistantes dos extremos de uma PG é constante.



Exemplo

Seja a PG (a, b, c, d,e, f), temos, então: a . f = b . e = c . d

3.5 Interpolação geométrica

Na interpolação geométrica, introduzimos, entre dois extremos, um certo número de meios geométricos que satisfaçam as condições da progressão geométrica.

Exemplo

Interpolar dois meios geométricos entre 3 e –24.

Primeiramente, vamos retirar os dados fornecidos pelo problema.

a1 =3

n = 2 + 2 = 4

an = –24

an = a1 . q(n-1)

– 24 = 3 . q4 – 1

q3 = –8

q = –2

Resposta: (3, –6, 12, –24)

3.6 Soma dos termos de uma progressão geométrica finita

A PG (a1, a2, a3, a4, ... an-1, an) pode ser escrita também da seguinte maneira:

(a1, a1q, a1q2, a1q

3, ... a1qn-2, a1q

n-1) ∴ Sn = a1 + a1q + a1q2 + a1q

3 + ... + a1q

n-2 + a1qn-1 .

Assim, multiplicamos ambos os termos da igualdade por q:

Sn q = a1q + a1q2 + a1q

3 + ... + a1qn-1 + a1q

n

Multiplicando a primeira igualdade por (–1) e somando a segunda, encontramos:

2 3 n 2 n 11 1 1 1 1 1

2 3 n 1 nn 1 1 1 1 1

nn n 1 1

Sn a a q a q a q ... a q a q

S q a q a q a q ... a q a q

S q S a a q

− −

−

− = − − − − − − −

= + + + + +

− = − +



Colocando Sn em evidência temos:

Sn (q –1) = a1qn – a1 ⇒ colocando a1 em evidência Sn (q –1) = a1(q

n – 1), logo:

( )1 nn

a .q q 1S

q 1−

=−

Exemplo

De acordo com a progressão geométrica (1, 2, 4, 8, 16, 32, ...), determine:

a) a soma do 6o ao 11ª termo;

b) o número dos primeiros termos para que a sua soma seja 32 767.

Respostas

a) a6 = 32

q = 2

n = 6

( )n1

n

a q 1S

q 1

−=

−

6

n n32.6532 .(2 –1) S S 2080

2 1 1= ⇔ = =

−

b) Nesse caso, observe que não usaremos a6 e sim a1; a fórmula não necessita do último termo.

a1 = 1

q = 2

Sn = 32767

( )n1

n

a q 1S

q 1

⋅ −=

−

( )nn

1. 2 132767 2 1 32767

2 1

−= ⇒ − =

−

2n = 32768 ⇔ 2n = 215 ⇔ n= 15

3.7 Soma dos termos de uma progressão geométrica infinita

A soma dos termos de uma progressão geométrica infinita somente pode ser calculada quando –1 < q < 1.

Veja o exemplo da PG (1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...).

11a2

=

2 2

1 1a4 2

= =



3 3

4 4

1 1a8 21 1a

16 2

= =

= =

" "

n n

1a2

=

Assim temos a soma n

2 3 4 n n

2 11 1 1 1 1Sn ...2 2 2 2 2 2

−= + + + + + =

Simplificando, n n

1S 12

= −

É possível observar que, quanto maior for o valor de n, o quociente n

12

tende a zero. Logo o valor da soma dos termos da PG infinita é 1. Assim, a fórmula geral para o cálculo da soma dos termos de uma PG finita é:

1n

aS

1 q=

−

A PG é convergente quando sua razão q for – 1 < q < 1.

Exemplo

Determinar a soma dos seis primeiros termos da PG

1 1 1; ; ;...3 6 12

1

1n

n

n n

1a31q2

aS

1 q13S

112

123S S

1 32

=

=

=−

=−

= ⇔ =

3.8 Produto dos termos de uma progressão geométrica

Vamos relembrar os termos de uma PG (a1, a2, a3, a4, ... an-1, an).

a2 = a1 . q

a3 = a2 . q = a1 . q2

a4 = a3 . q = a1 . q3



" " "

" " "

" " "

an-1 = an-2 . q = a1 . q(n-2)

an= an-1 . q = a1 . q(n-1)

Logo o produto será Pn = a1 . a1q . a1q2 . a1q

3 . ... . a1qn-2 . a1q

n-1

Assim, reagrupando o produto de Pn , temos:

Pn = (a1 . a1 . a1 . ... . a1 . a1 ) ( q . q2 . q3 . ... . qn-1)

( )n(n 1)

n1 2 3 ... n 1n 21 n 1a .q P a .q

−+ + + + − ⇒ =

Exemplo

Determine o produto dos seis primeiros termos da PG (–8, –4, –2, –1,... ).

Retirando os dados do problema, temos:

a1= – 81q2

=

n = 6

( )

( )( )

( )

( )

n(n 1)n 2

n 1

6 6 126

n

156

n

18 15n

n

P a .q

1P 8 .2

1P 8 .2

P 2 . 2P 8

−

−

−

=

= −

= −

= −

=

A fórmula ( )n

1n

a q 1S

q 1

−=

− nos permite encontrar a soma dos termos da

progressão aritmética. A fórmula

( )( )n n 1

n 2n 1P a q

−

= ⋅ nos permite encontrar o produto dos termos de uma progressão geométrica e resolver muitos problemas de adição e de produto de termos de progressões geométricas.

Vimos que, na interpolação geométrica, inserimos, entre dois meios geomé-tricos, números que satisfaçam a condição de a PG ter uma razão q sempre constante. Aprendemos, também, que somente é possível determinar a soma dos

termos de uma PG se ela for decrescente. Também vimos que, em uma PG infinita e decrescente, an tende para o zero. Então, a fórmula geral para o cálculo

da soma dos termos de uma PG convergente é . Assim, quando for

necessário resolver problemas que envolvam produtos dos termos de uma PG,

usaremos a fórmula

.

1. De acordo com o que aprendemos sobre PA, três números iguais compõem:

uma PA de razão 1.a)

uma PG de razão 0.b)

uma PA de razão 0 e uma PG de razão 1.c)

uma PA e uma PG de razões iguais.d)

2. Quando a razão de uma progressão geométrica tem um valor maior que 1 e o primeiro termo (a1) é negativo, esta PG é chamada de:

decrescentea)

crescenteb)

constantec)

alternanted)

3. Qual é o sétimo termo de uma progressão geométrica, na qual dois meios geométricos estão inseridos entre 3 e –24?

4. Determine o produto dos cinco primeiros termos da PG (3, 9, 27,...).

Na atividade um, você acertou se apontou como alternativa correta a letra (c), pois, como os três valores são iguais, teremos uma PA de razão nula e uma PG de razão 1. As demais alternativas não correspondem ao solicitado.

Na atividade dois, você acertou se entendeu que uma PG cuja razão tem um valor maior que 1 e cujo elemento a1 é negativo deve ser classificada como decrescente. A alternativa correta é, portanto, a letra (a). As demais alternativas não correspondem ao solicitado.

Na atividade três, você acertou se indicou que o sétimo termo vale 192. Veja a demonstração dos cálculos a seguir.



termos de uma PG se ela for decrescente. Também vimos que, em uma PG infinita e decrescente, an tende para o zero. Então, a fórmula geral para o cálculo

da soma dos termos de uma PG convergente é 1n

aS

1 q=

−. Assim, quando for

necessário resolver problemas que envolvam produtos dos termos de uma PG,

usaremos a fórmula

( )( )n n 1

n 2n 1P a q

−

= ⋅ .

1. De acordo com o que aprendemos sobre PA, três números iguais compõem:

uma PA de razão 1.a)

uma PG de razão 0.b)

uma PA de razão 0 e uma PG de razão 1.c)

uma PA e uma PG de razões iguais.d)

2. Quando a razão de uma progressão geométrica tem um valor maior que 1 e o primeiro termo (a1) é negativo, esta PG é chamada de:

decrescentea)

crescenteb)

constantec)

alternanted)

3. Qual é o sétimo termo de uma progressão geométrica, na qual dois meios geométricos estão inseridos entre 3 e –24?

4. Determine o produto dos cinco primeiros termos da PG (3, 9, 27,...).

Na atividade um, você acertou se apontou como alternativa correta a letra (c), pois, como os três valores são iguais, teremos uma PA de razão nula e uma PG de razão 1. As demais alternativas não correspondem ao solicitado.

Na atividade dois, você acertou se entendeu que uma PG cuja razão tem um valor maior que 1 e cujo elemento a1 é negativo deve ser classificada como decrescente. A alternativa correta é, portanto, a letra (a). As demais alternativas não correspondem ao solicitado.

Na atividade três, você acertou se indicou que o sétimo termo vale 192. Veja a demonstração dos cálculos a seguir.



a7 = ?

a1 = 3

an = –24

n = 4

q = ?

Utilizando a fórmula do termo geral temos:

an = a1 . q(n-1)

–24 = 3 . q3

q = –2

Assim, escrevendo a PG até o sétimo termo, temos:

3, –6, 12, –24, 48, –96, 192.

Na atividade quatro, você utilizou a fórmula da soma do produto dos termos de uma progressão geométrica.

a1 = 3

q = 3

n = 5

( )( )

( )

15

n n 1n 2

n 1

5 5 15 2

n

n

P a q

P 3 3

P 3

−

−

= ⋅

= ⋅

=

Como o resultado é um valor muito grande, deixaremos o produto indicado por 315.

Com a realização correta das atividades, você alcançou os objetivos propostos para esta aula: reconhecer uma progressão geométrica e determinar seus elementos.

Começaremos a estudar matrizes e determinantes, um conteúdo muito espe-cial, com uma grande variedade de aplicações no nosso dia-a-dia.


reconhecer uma matriz e os seus elementos;•

classificar os diferentes tipos de matrizes.•

Para melhor aproveitamento desta aula, é importante que você revise as noções de ensino médio sobre linhas, colunas e diagonais, que aqui adquirem relevância por serem utilizadas nos processos de classificação das matrizes.

As matrizes são muito utilizadas, em matemática, no estudo dos sistemas algébricos e dos espaços vetoriais, e em outras ciências, como na computação, na engenharia e na estatística. Nesta aula, abordaremos as matrizes, apresen-tando sua definição, classificação, notação, representação e comparação.

4.1 Definição

Uma matriz m x n é uma tabela de m.n entradas, dispostas em m linhas (filas horizontais) e n colunas (filas verticais). Vejamos alguns exemplos.

é uma matriz 2x3 (leia: matriz dois por três).

é uma matriz 3x3 (leia: matriz três por três).

é uma matriz 2x2 (leia: matriz dois por dois).

Anotações




reconhecer uma matriz e os seus elementos;•

classificar os diferentes tipos de matrizes.•

Para melhor aproveitamento desta aula, é importante que você revise as noções de ensino médio sobre linhas, colunas e diagonais, que aqui adquirem relevância por serem utilizadas nos processos de classificação das matrizes.

As matrizes são muito utilizadas, em matemática, no estudo dos sistemas algébricos e dos espaços vetoriais, e em outras ciências, como na computação, na engenharia e na estatística. Nesta aula, abordaremos as matrizes, apresen-tando sua definição, classificação, notação, representação e comparação.

4.1 Definição

Uma matriz m x n é uma tabela de m.n entradas, dispostas em m linhas (filas horizontais) e n colunas (filas verticais). Vejamos alguns exemplos.

2 1 5A

3 0 12−

= − é uma matriz 2x3 (leia: matriz dois por três).

2 4 5B 0 17 1

11 0 3

− =

é uma matriz 3x3 (leia: matriz três por três).

a bC

c a−

= − é uma matriz 2x2 (leia: matriz dois por dois).

Introdução ao estudo das matrizes

Aula 4



Podemos encontrar as matrizes em várias situações do dia-a-dia. Um técnico de um time de basquete deseja anotar as cestas durante uma partida. Sabendo que o jogo tem quatro tempos e que as cestas valem um, dois ou três pontos, ele obteve a seguinte tabela.

Tabela 1 Pontos durante uma partida de basquete.

1º TEMPO 2º TEMPO 3º TEMPO 4º TEMPO1 ponto 4 5 2 32 pontos 5 4 4 33 pontos 3 2 0 2

Analisando a tabela, podemos responder a várias perguntas. Quantas cestas de dois pontos o time fez? Para responder a essa pergunta, basta somar as entradas da segunda linha: 16 cestas de dois pontos. Qual foi o total de pontos na partida? Essa é com você! Em qual dos quatro tempos o time fez mais cestas de um ponto? Muito fácil: no 2º tempo. A matriz do nosso exemplo tem três linhas e quatro colunas, logo é uma matriz 3x4. Veja como se apresenta na linguagem matemática:

4 5 2 3P 5 4 4 3

3 2 0 2

=

4.2 Classificação das matrizes

Uma matriz m x n pode ser classificada de acordo com sua ordem.

Matriz quadrada: é a matriz que possui a mesma quantidade de linhas •e colunas, ou seja, m = n.

Exemplo: 2 3

A1 7

− = −

é uma matriz quadrada 2x2.

Matriz retangular: é a matriz que possui quantidade de linhas e colunas •diferentes, ou seja, m ≠ n.

Exemplo:

4 5 2 3P 5 4 4 3

3 2 0 2

=

é uma matriz retangular 3x4.

Matriz linha: é a matriz que possui apenas uma linha, ou seja, m = 1. •Exemplo: C= [2 –4 1] é uma matriz linha 1x3.

Matriz coluna: é a matriz que possui apenas uma coluna, ou seja, n = 1.•

Exemplo:

10

D26

− =

é uma matriz coluna 4x1.



As matrizes quadradas possuem propriedade e operações especiais que estudaremos nas aulas 6 e 7 deste caderno.

4.3 Notação

Nos livros, as matrizes aparecem representadas de três maneiras dife-rentes, por meio de chaves, colchetes ou barras duplas, como no exemplo a seguir. Observe que, para identificar uma matriz, utilizamos letras maiúsculas do alfabeto.

2 3 4 2 3 4 2 3 4A ,A ,A

5 6 0 3 6 0 5 6 0

= = =

Neste caderno, daremos preferência às duas primeiras, pois são as mais utilizadas na literatura.

4.4 Representação de uma matriz genérica

Representamos uma matriz genérica indicando cada um de seus elementos por uma letra minúscula acompanhada de dois índices: o primeiro índice designa a linha e o segundo, a coluna a que pertence o elemento. Por exemplo, uma matriz A2x3 é representada da seguinte maneira.

11 12 13

21 22 23

a a aA

a a a

=

Uma matriz A do tipo m x n, genérica é representada conforme o exemplo a seguir.

11 12 13 1n

21 22 23 2n

31 32 33 3n

m1 m2 m3 mn

a a a aa a a a

A com m e n N*.a a a a

a a a a

= ∈

Os elementos de uma matriz A do tipo m x n são indicados por

A = (aij) m x n,

em que o índice “i” refere-se à linha em que se encontra o elemento, com i ∈ {1, 2, 3, ... m}, e o índice “j” refere-se à coluna em que se encontra o elemento com j ∈ {1, 2, 3, ... n}. Trabalharemos esta notação no próximo exemplo.

Exemplo

Definir os elementos da matriz A = (aij)3 x 2 dados por aij = i + 2j.



Solução

A matriz possui três linhas e duas colunas, logo sua forma genérica é:

11 12

21 22

31 33

a aA a a

a a

=

Determinando o valor de cada elemento na sua respectiva posição temos:

11

12

21

22

31

32

a 1 2.1 3a 1 2.2 5a 2 2.1 4a 2 2.2 6a 3 2.1 5a 3 2.2 7

= + == + == + = ⇒= + == + == + =

3 5A 4 6

5 7

=

A matriz 3 5

A 4 65 7

=

é a matriz procurada.

Para as próximas definições, consideraremos uma matriz quadrada An x n. Nesse caso, diremos simplesmente uma matriz A de ordem n.

4.5 Diagonal principal e diagonal secundária

Sendo A = (aij) uma matriz quadrada, os elementos aij para os quais i = j formam a diagonal principal de A. Veja o exemplo:

3 8A 2 1

5 2

=

14

0

os elementos a11 = 1, a22 = 4 e a33 = 0 formam a diagonal principal.

A diagonal secundária é formada pelos elementos aij para os quais i + j = n + 1, em que n é a ordem da matriz. Vejamos:

1 3A 2 1

2 0

=

84

5

Os elementos a13 = 8, a22 = 4 e a31 = 5 formam a diagonal secundária.

4.6 Matriz diagonal

Uma matriz quadrada A = (aij) de ordem n (n > 1) diz-se matriz diagonal se aij = 0 para todo i ≠ j, isto é, se todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos.



4Assim,A 3 ématriz diagonal.

1

=

0 00 00 0

4.7 Matriz nula

Chamamos de matriz nula aquela que tem todos os seus elementos iguais a zero. Indica-se uma matriz nula por 0.

Exemplo:0 0 0

0 = 0 0 0

4.8 Matriz oposta

Chamamos de matriz oposta de A, que se indica por – A, a matriz que se obtém de A trocando-se o sinal de cada um de seus elementos.

Exemplo: 2 3 2 3

A A4 5 4 5

− − = ⇒ − = − −

4.9 Matriz identidade ou unidade

Denominamos de matriz identidade (ou unidade) de ordem n, que se indica por In, toda matriz quadrada de ordem n tal que os elementos da diagona

l principal são iguais a um, e os demais elementos são iguais a zero.

Exemplo:

2 3 4

1 0 0 01 0 0

1 0 0 1 0 0I I 0 1 0 I

0 1 0 0 1 00 0 1

0 0 0 1

= = =

A primeira matriz do exemplo é a matriz identidade de ordem 2, a segunda é a matriz identidade de ordem 3, a última é a de ordem 4. Nas operações matriciais, a matriz identidade possui propriedades importantes.

4.10 Igualdade entre matrizes

Em várias ocasiões, precisaremos compararar duas matrizes. Para isso preci-saremos da definição de igualdade entre matrizes. Dadas duas matrizes A = (aij) e B = (bij), de mesma ordem m x n, os elementos que ocupam, respectivamente, a mesma posição, nas duas matrizes, e que possuem os mesmos índices serão denominados elementos correspondentes dessas matrizes.

Assim, se 1 6 4 5 0 2

A e B3 0 2 7 3 4

= =

, os elementos a13 = 4 e b13 = 2

são elementos correspondentes.



Duas matrizes A e B são iguais e escrevemos A = B, se e somente se são do mesmo tipo e seus elementos correspondentes são iguais. Para melhor compreen-dermos essa definição, observemos com atenção os exemplos a seguir.

Exemplo

Encontre o valor de a, b, c e d na igualdade matricial a seguir.

1 0 2a b c8 3 1d 3 1

=

Solução: comparando os termos correspondentes nas matrizes, temos:

a = 1, b = 0, c = 2 e d = 8.

Exemplo

Determine o valor de x e y, de modo que as matrizes 2 1

A x 2y 41 5

− = +

e

2 1B 5 4

2x 2y 5

− = −

sejam iguais.

Solução

Para que as matrizes sejam iguais, todos os elementos correspondentes devem ser iguais.

x 2y 52x 2y 1

+ = − =

, isolando x na primeira equação temos.

x 2y 5x 5 2y (I)

+ == −

Substituindo (I) na segunda equação do sistema chegamos ao seguinte resultado.

2x 2y 12(5 2y) 2y 110 4y 2y 1

6y 93y2

− =− − =

− − =− = −

=

Substituindo o valor de y em (I), podemos determinar o valor de x.

x 5 2y3x 5 22

x 2

= −

= −

=

Assim, as matrizes A e B serão iguais se:

.

Trabalhamos os conceitos e as definições fundamentais no estudo das matrizes. Enfocamos sua classificação: matriz quadrada (que pode ser matriz diagonal e matriz identidade ou unidade), retangular, linha, coluna, nula, oposta. Apresentamos suas diversas representações: com chaves, colchetes ou barras duplas. Realizamos algumas comparações entre matrizes.

1. Determine a matriz B = (bij), de ordem 3 × 4, em que bij = i2 – j.

2. Determine a diferença entre a soma dos elementos da diagonal secundária e a soma dos elementos da diagonal principal, da matriz A = aij de ordem 3, em que aij = 2i – j2.

a) 5 c) 2

b) – 2 d) 3

3. Dada a matriz , determine o valor de x, y e z, para que

a matriz A seja igual à matriz identidade de ordem 2.

a)

c) x = 2, y = 1, z = 0

b) x = 2, y = 2, z = –1 d)

4. Considere a matriz e responda às seguintes perguntas.

Qual é a ordem de A?a)

Quais são os elementos da diagonal principal?b)

A matriz A é uma matriz quadrada?c)



Assim, as matrizes A e B serão iguais se:

3x 2 e y2

= = .

Trabalhamos os conceitos e as definições fundamentais no estudo das matrizes. Enfocamos sua classificação: matriz quadrada (que pode ser matriz diagonal e matriz identidade ou unidade), retangular, linha, coluna, nula, oposta. Apresentamos suas diversas representações: com chaves, colchetes ou barras duplas. Realizamos algumas comparações entre matrizes.

1. Determine a matriz B = (bij), de ordem 3 × 4, em que bij = i2 – j.

2. Determine a diferença entre a soma dos elementos da diagonal secundária e a soma dos elementos da diagonal principal, da matriz A = aij de ordem 3, em que aij = 2i – j2.

a) 5 c) 2

b) – 2 d) 3

3. Dada a matriz 2x 3 y 1

A0 z y− −

= + , determine o valor de x, y e z, para que

a matriz A seja igual à matriz identidade de ordem 2.

a) 3x , y 1, z 12

= = = −

c) x = 2, y = 1, z = 0

b) x = 2, y = 2, z = –1 d) 3x , y 2, z 22

= = = −

4. Considere a matriz

1 2 10 5 31 0 6 3 15

A 9 11 13 21 311 7 1 17 104 22 8 18 16

− − − = −

− − −

e responda às seguintes perguntas.

Qual é a ordem de A?a)

Quais são os elementos da diagonal principal?b)

A matriz A é uma matriz quadrada?c)



Na atividade um, exploramos a determinação de matrizes, a capacidade de identificar suas linhas e colunas e de trabalhar seus índices. Como a matriz possui ordem 3 × 4,

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

b b b bB b b b b

b b b b

=

Seguindo a lei de formação bij = i2 – j

1 1 1 2 1 3 1 4B 4 1 4 2 4 3 4 4

9 1 9 2 9 3 9 4

− − − − = − − − − − − − −

0 1 2 3B 3 2 1 0

8 7 6 5

− − − =

A matriz B é a matriz procurada.

Na atividade dois, foram explorados os elementos da matriz, como suas diagonais. Para encontrar o resultado desta atividade, não foi preciso que você determinasse todos os seus elementos, apenas os elementos das diagonais.

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aA a a a

a a a

=

Considerando a lei de formação da matriz, você identificou os elementos de suas diagonais.

Os elementos da diagonal principal são:

a11 = 2 – 1 = 1

a22 = 4 – 4 = 0

a33 = 6 – 9 = –3

Os elementos da diagonal secundária são:

a13 = 2 – 9 = –7

a22 = 4 – 4 = 0

a31 = 6 – 1 = 5

A soma dos elementos da diagonal principal é Sp = –2; a soma dos elementos da diagonal secundária é Ss = –2. Desse modo, a diferença é Ss – Sp = 0.

Na atividade três, foram explorados os conceitos de igualdade entre matrizes.

O primeiro passo foi construir a matriz identidade de ordem 2.

Comparado com a matriz A, temos:

Portanto:

Para que a matriz A seja igual a I2, os valores de x, y e z devem ser iguais respectivamente a 2, 1 e 0.

Na atividade quatro, exploramos alguns conceitos teóricos relacionados à matriz.

No item (a), você determinou o número de linhas e colunas da matriz. A ordem da matriz é 5 × 5.

No item (b), os elementos da diagonal principal consistem nos elementos aij nos quais i = j. São eles: 1, 0, 13, 17 e 16.

No item (c), a resposta correta é sim, pois a matriz possui a mesma quanti-dade de linhas e colunas.

Com a realização correta das atividades, você alcançou os objetivos propostos para esta aula: reconhecer e classificar uma matriz, seus elementos e seus tipos.

Já sabemos classificar e reconhecer as matrizes, e escrever seus elementos. Estamos prontos para saber quais operações podem ser realizadas por meio das matrizes. Na próxima aula, estudaremos soma, subtração e multiplicação por escalar e por outra matriz.



A soma dos elementos da diagonal principal é Sp = –2; a soma dos elementos da diagonal secundária é Ss = –2. Desse modo, a diferença é Ss – Sp = 0.

Na atividade três, foram explorados os conceitos de igualdade entre matrizes.

O primeiro passo foi construir a matriz identidade de ordem 2.

2

1 0I

0 1

=

Comparado com a matriz A, temos:

2x 3 y 1 1 00 z y 0 1− −

= +

Portanto:

2x 3 1 y 1 0 z y 1x 2 y 1 z 1 1

z 0

− = − = + == = + =

=

Para que a matriz A seja igual a I2, os valores de x, y e z devem ser iguais respectivamente a 2, 1 e 0.

Na atividade quatro, exploramos alguns conceitos teóricos relacionados à matriz.

No item (a), você determinou o número de linhas e colunas da matriz. A ordem da matriz é 5 × 5.

No item (b), os elementos da diagonal principal consistem nos elementos aij nos quais i = j. São eles: 1, 0, 13, 17 e 16.

No item (c), a resposta correta é sim, pois a matriz possui a mesma quanti-dade de linhas e colunas.

Com a realização correta das atividades, você alcançou os objetivos propostos para esta aula: reconhecer e classificar uma matriz, seus elementos e seus tipos.

Já sabemos classificar e reconhecer as matrizes, e escrever seus elementos. Estamos prontos para saber quais operações podem ser realizadas por meio das matrizes. Na próxima aula, estudaremos soma, subtração e multiplicação por escalar e por outra matriz.




conhecer as operações inerentes às matrizes;•

aplicar as propriedades operacionais das matrizes.•

Para melhor andamento desta aula, é importante a consolidação dos conteúdos da aula anterior. Você deve saber escrever uma matriz e usar seus índices e suas classificações.

Como no conjunto dos números reais, também no conjunto das matrizes, podemos somar, subtrair, multiplicar e efetuar potências. Porém, pela sua estrutura diferenciada, as matrizes obedecem a alguns axiomas e a algumas propriedades particulares. Uma matriz pode conter números reais, números complexos, funções ou operadores. Em nosso estudo, trabalharemos com matrizes de números reais. Nesta aula, veremos algumas propriedades das operações com matrizes e das matrizes transpostas.

5.1 Adição de matrizes

Chamamos de soma entre duas matrizes A e B (A + B), da mesma ordem m x n, a matriz do tipo m x n cujos elementos são iguais à soma sij = aij + bij. Cada elemento da matriz A + B é a soma dos elementos corres-pondentes de A e B.

Observe que só podemos somar matrizes da mesma ordem. Quanto às matrizes de ordens diferentes, a adição não é definida. Veja os exem-plos a seguir.

Anotações




conhecer as operações inerentes às matrizes;•

aplicar as propriedades operacionais das matrizes.•

Para melhor andamento desta aula, é importante a consolidação dos conteúdos da aula anterior. Você deve saber escrever uma matriz e usar seus índices e suas classificações.

Como no conjunto dos números reais, também no conjunto das matrizes, podemos somar, subtrair, multiplicar e efetuar potências. Porém, pela sua estrutura diferenciada, as matrizes obedecem a alguns axiomas e a algumas propriedades particulares. Uma matriz pode conter números reais, números complexos, funções ou operadores. Em nosso estudo, trabalharemos com matrizes de números reais. Nesta aula, veremos algumas propriedades das operações com matrizes e das matrizes transpostas.

5.1 Adição de matrizes

Chamamos de soma entre duas matrizes A e B (A + B), da mesma ordem m x n, a matriz do tipo m x n cujos elementos são iguais à soma sij = aij + bij. Cada elemento da matriz A + B é a soma dos elementos corres-pondentes de A e B.

Observe que só podemos somar matrizes da mesma ordem. Quanto às matrizes de ordens diferentes, a adição não é definida. Veja os exem-plos a seguir.

Operações com matrizes

Aula 5



Exemplo

Dadas as matrizes

1 0 1 6 5 2A e B

3 1 4 0 4 1

= = − , determine A + B.

Solução

Primeiramente, verificamos se as matrizes possuem a mesma ordem. As ordens de A2×3 e B2×3 são iguais. Portanto a soma é definida.

Assim sendo, somamos cada elemento correspondente e teremos:

1 6 0 5 1 2 7 5 3A B A B

3 0 1 4 4 1 3 3 5+ + +

+ = ⇒ + = + − + +

Exemplo

Dadas as matrizes 1 1

1 2A e B 2 3

3 45 7

= =

, analise suas ordens e, se

possível, determine a soma A + B.

Solução

Note que não podemos somar 1 1

1 2A com B 2 3

3 45 7

= =

, pois não possuem a mesma ordem.

Sabemos que os números reais possuem propriedades para cada operação, as matrizes também. A seguir, estudaremos algumas propriedades relativas à soma de matrizes.

5.2 Propriedades da adição de matrizes

Sendo A, B e C matrizes da mesma ordem m × n, e 0 a matriz nula da mesma ordem das anteriores, temos as seguintes propriedades.

1. A + (B + C) = (A + B) + C (Propriedade associativa da adição)

Demonstração da propriedade associativa da adição de matrizes

Sejam as matrizes: 11 12 11 1211 12

21 22 21 2221 22

a a c cb bA ,B eC

a a c cb b

= = =

,

sendo seus elementos aij, bij e cij ∈R.

11 12 11 1211 12

21 22 21 2221 22

a a c cb ba a c cb b

+ + =

11 12 11 1211 12

21 22 21 2221 22

a a c cb ba a c cb b

+ +



11 12 11 1211 11 12 12 11 11 12 12

21 22 21 2221 21 22 22 21 21 22 22

a a c cb c b c a b a ba a c cb c b c a b a b

+ + + + + = + + + + +

11 11 11 12 12 12 11 11 11 12 12 12

21 21 21 22 22 22 21 21 21 22 22 22

a b c a b c a b c a b ca b c a b c a b c a b c

+ + + + + + + + = + + + + + + + +

Observe a ordem dos parênteses, lembrando as expressões numéricas estudadas no ensino fundamental.

Vejamos outras propriedades relativas às somas de matrizes.

2. A + B = B + A (Propriedade comutativa da adição)

3. A + 0 = A (Existência da matriz nula)

4. A + (–A) = 0 (Existência da matriz oposta)

Demonstração da existência da matriz nula

Considere a matriz 11 12

21 22

a aA

a a

=

com seus elementos aij ∈R. Lembre

que para todo número real k existe um simétrico – k. Portanto

11 12 11 12

21 22 21 22

11 11 12 12

21 21 22 22

a a a a 0 0?

a a a a 0 0

a a a a 0 0a a a a 0 0

− − + = − −

− − = − −

As demonstrações da propriedade comutativa e da existência da matriz oposta ficam a cargo do aluno, como exercícios.

5.3 Subtração de matrizes

Denominamos diferença entre duas matrizes A e B (A – B), da mesma ordem m x n, a soma da matriz A com a oposta da matriz B.

A – B = A + (–B)

Exemplo

Dadas as matrizes: 2 5 3 7

A e B5 4 8 2

− = = −

, determine a diferença A – B.

Solução

Substituindo as matrizes na expressão, temos:

2 3 3 7A B A ( B)

5 4 8 2 −

− = + − + − = −



2 3 3 7A B

5 4 8 2

5 4A B

3 6

− − = + = − − −

− = − −

5.4 Multiplicação de um escalar por uma matriz

Dada a matriz A e dado o número real k, o produto de k por A é a matriz obtida a partir de A, multiplicando-se todos os seus elementos pelo número k. Simbólicamente temos:

Dada a matriz

11 12 13 1n

21 22 23 2n

31 32 33 3n

m1 m2 m3 mn

a a a aa a a a

A a a a a

a a a a

=

de ordem n × m e k ∈ R,

a multiplicação de A pelo escalar k é representada da seguinte maneira:

11 12 13 1n

21 22 23 2n

31 32 33 3n

m1 m2 m3 mn

ka ka ka kaka ka ka ka

kA ka ka ka ka

ka ka ka ka

=

Exemplo

Determinar o seguinte produto kA, sendo: 2 4 2

A e k 33 6 0

− = =

.

Solução

2 5 2 6 15 6kA 3.

3 6 1 9 18 3− −

= = − −

5.5 Propriedades da multiplicação de um número real por uma matriz

Sendo A e B matrizes de mesma ordem e k e w números reais, temos as seguintes propriedades.

1. k (wA) = (kw) A (Propriedade associativa da multiplicação de um número real por uma matriz).



Demonstração da propriedade associativa da multiplicação de um número real por uma matriz

Seja a matriz 11 12

21 22

a aA

a a

=

, sendo seus elementos aij, k e w ∈ R.

k(wA) = (Kw)A

11 12 11 12

21 22 21 22

11 12 11 12

21 22 21 22

a a a ak w kw

a a a a

wa wa kwa kwak

wa wa kwa kwa

=

=

Aplicando novamente a propriedade de multiplicação por escalar, no primeiro membro da igualdade, temos:

11 12 11 12

21 22 21 22

kwa kwa kwa kwakwa kwa kwa kwa

=

Isso comprova a validade da propriedade.

2. k (A + B) = k A + k B (Propriedade distributiva em relação à soma de matrizes).

3. (r + s) A = rA + sA (Propriedade distributiva em relação à soma de escalares).

Demonstração da propriedade distributiva em relação à soma de escalares

Seja a matriz 11 12

21 22

a aA

a a

=

, sendo seus elementos aij, k e w ∈ R.

(k+w)A = kA + wA

( )

( ) ( )( ) ( )

11 12 11 12 11 12

21 22 21 22 21 22

11 12 11 1211 12

21 22 21 2221 22

a a a a a ak w k w

a a a a a a

k w a k w a wa waka kak w a k w a wa waka ka

+ = +

+ +

= + + +

( ) ( )( ) ( )

11 12 11 11 12 12

21 22 21 21 22 22

k+w a k+w a ka +wa ka +wa=

k+w a k+w a ka +wa ka +wa

Aplicando a propriedade distributiva em relação à soma de escalares, no primeiro membro da igualdade, chegamos ao seguinte resultado:

11 11 12 12 11 11 12 12

21 21 22 22 21 21 22 22

ka wa ka wa ka wa ka wa

ka wa ka wa ka wa ka wa

+ + + + =

+ + + +



Verificamos que a igualdade é verdadeira.

4. 1 . A = A (Elemento neutro).

As demonstrações da propriedade distributiva em relação à soma de matrizes e da propriedade do elemento neutro ficam a cargo do aluno, como atividades.

5.6 Multiplicação de matrizes

Dadas as matrizes A, do tipo m x n, e B, do tipo n x p, chamamos de produto A por B (AB) a matriz C, do tipo m x p, tal que cada elemento cij é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B, e somando-se os produtos assim obtidos.

Em símbolos, temos: cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ai3 b3i + ... + ain bnj

Assim, dadas as matrizes 1 3

6 7A 0 4 e B

8 92 5

= =

, a matriz C, produto de A por B, é da forma:

11 12

21 22 3x2 2x2

31 32

c cC AB c c ,pois A B

c c

= = ⋅

Cada elemento cij da matriz c é obtido a partir da linha i de A e da coluna j de B. Assim:

c• ij (linha 1 de A, coluna 1 de B) ⇒ c11 = 1 . 6 + 3 . 8 = 30

c• 12 (linha 1 de A, coluna 2 de B) ⇒ c12 = 1 . 7 + 3 . 9 = 34





Portanto a matriz C = AB é 30 3432 3652 59

.

Observações

Somente existe o produto de uma matriz A por outra matriz B se o •número de colunas de A é igual ao número de linhas de B.

Se existir o produto de A por B, o tipo da matriz produto é dado pelo •número de linhas de A e pelo número de colunas de B.



Pode existir o produto de A por B, mas não existir o produto de B por A. Portanto a multi-•plicação de matrizes não é comutativa.

5.7 Propriedades da multiplicação de matrizes

Sejam A, B e C matrizes e α um número real. Supondo o número de colunas da primeira matriz igual ao número de linhas da segunda matriz, temos que as seguintes propriedades.

1. A(BC) = (AB)C (Propriedade associativa da multiplicação de matrizes).

2. A (B + C) = AB + AC (Propriedade distributiva em relação à adição, à esquerda).

Demonstração da propriedade associativa da multiplicação de matrizes

Sejam as matrizes 11 12 11 1211 12

21 22 21 2221 22

a a c cb bA ,B e C

a a c cb b

= = =

, sendo seus

elementos aij, bij e cij ∈ R.

A(BC)= (AB) C

11 12 11 1211 12

21 22 21 2221 22

11 12 11 1211 12

21 22 21 2221 22

a a c cb b. .

a a c cb b

a a c cb b. .

a a c cb b

=

Desenvolvendo o primeiro membro da expressão, temos:

11 12 11 11 12 21 11 12 12 22

21 22 21 11 22 21 11 11 12 21

a a b c b c b c b c.

a a b c b c b c b c⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

11 11 11 12 21 12 21 11 22 21 11 11 12 12 22 12 11 11 12 21

21 11 11 12 21 22 21 11 22 21 21 11 12 12 22 22 11 11 12 21

a b c b c a b c b c a b c b c a b c b c

a b c b c a b c b c a b c b c a b c b c

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅=

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

11 11 11 11 12 21 12 21 11 12 22 21 11 11 12 11 12 22 12 11 11 12 12 21

21 11 11 21 12 21 22 21 11 22 22 21 21 11 12 21 12 22 22 11 11 22 12 21

a b c a b c a b c a b .c a b c a b c a b c a b ca b c a b c a b c a b .c a b c a b c a b c a b c

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

11 1211 11 12 21 11 12 12 22

21 2221 11 22 21 11 11 12 21

c ca b a b a b a bc ca b a b a b a b

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

3. (A + B) C = AC + BC (Propriedade distributiva em relação à soma, à direita).

4. Am x n . In = A (In = identidade de ordem n).

5. Im . Am X n = A (Im = identidade de ordem m).

6. (αA) B = A (αB) = α(A . B).



5.8 Matriz transposta

Dada a matriz A = (aij), de ordem m x n, chama-se transposta de A (At) a matriz de ordem n x m tal que At = (aji).

Considerando a matriz 11 12 13

21 22 23

a a aA

a a a

=

, temos a matriz transposta

11 21t

12 22

13 23

a aA a a

a a

=

.

Exemplo

Dada a matriz 2 0 5

A1 3 4

=

, determine a sua transposta At.

Solução

De acordo com a definição, permutamos as linhas pelas colunas obtendo a seguinte matriz:

t

2 1A 0 3

5 4

=

5.9 Propriedades da matriz transposta

Sendo a e b matrizes e k ∈ R, supondo que a ordem das matrizes satisfaça as condições de uma das operações, temos as seguintes propriedades.

1. (A + B)t = At + Bt (Transposta da soma).

2. (k A)t = k . At (Multiplicação por escalar).

3. (At)t = A (Transposta da transposta, propriedade da simetria).

4. (AB)t = Bt ⋅ At (Transposta do produto).

Estudamos as operações elementares entre matrizes, uma ferramenta importantíssima para tornar úteis os resultados da aula anterior. Conhecer as propriedades das operações de adição de matrizes, de subtração de matrizes, de multiplicação de matrizes, de um escalar por uma matriz, de um número real por uma matriz, e de transposição de matrizes também é muito impor-tante, pois todas essas propriedades validam e facilitam as próprias opera-ções, objeto do nosso estudo.

1. Dada a ordem das matrizes, verifique em quais delas é possível realizar as operações.

a) A1x2 + B1x2

b) A2x2 + B2x1

c) A5x2 . B2x1

d) A2x3 . B5x2

e) A3x3 . B5x3+ C3x5

2. Dada a matriz , calcule x e y, de modo que .

3. Dada a função f(x) = x2 – x, determine f(A), sendo .

4. Sabendo que , determine B para que AB = I2.

Na atividade um, você deve ter observado a ordem das matrizes, para esta-belecer se as operações são definidas.

a) A1x2 + B1x2

As matrizes possuem a mesma ordem, portanto a adição é definida.

b) A2x2 + B2x1

As matrizes não possuem a mesma ordem, portanto a adição não é definida.

c) A5x2 . B2x1

A condição para que a operação de multiplicação seja definida é que a quantidade de colunas do primeiro fator deve ser igual à quantidade de linhas do segundo fator. Neste caso, a multiplicação entre as matrizes A e B não é definida.

d) A2x3 . B5x2

O número de linhas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B. Desse modo, o produto entre as matrizes é definido.

e) A3x3 . B5x3+ C3x5



1. Dada a ordem das matrizes, verifique em quais delas é possível realizar as operações.

a) A1x2 + B1x2

b) A2x2 + B2x1

c) A5x2 . B2x1

d) A2x3 . B5x2

e) A3x3 . B5x3+ C3x5

2. Dada a matriz 3 5

Ax y

=

, calcule x e y, de modo que 2 9 4

A8 17

− = −

.

3. Dada a função f(x) = x2 – x, determine f(A), sendo 1 0

A2 3

=

.

4. Sabendo que 3 5

A2 3

=

, determine B para que AB = I2.

Na atividade um, você deve ter observado a ordem das matrizes, para esta-belecer se as operações são definidas.

a) A1x2 + B1x2

As matrizes possuem a mesma ordem, portanto a adição é definida.

b) A2x2 + B2x1

As matrizes não possuem a mesma ordem, portanto a adição não é definida.

c) A5x2 . B2x1

A condição para que a operação de multiplicação seja definida é que a quantidade de colunas do primeiro fator deve ser igual à quantidade de linhas do segundo fator. Neste caso, a multiplicação entre as matrizes A e B não é definida.

d) A2x3 . B5x2

O número de linhas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B. Desse modo, o produto entre as matrizes é definido.

e) A3x3 . B5x3+ C3x5



Podemos observar que a multiplicação não é definida. Pois o número de colunas de A é diferente do número de linhas de B. Portanto o produto AB tem ordem 3 × 5. A adição é definida.

Na atividade dois, primeiramente, você deve ter elevado a matriz A ao quadrado da seguinte maneira: A ⋅ A.

2 3 5 3 5 9 5x 15 5yA

x y x y 3x xy 5x y+ +

= ⋅ = + +

Igualando com a matriz apresentada pelo problema, temos:

2

9 5x 15 5y 9 43x yx 5x y 8 17

+ + − = + + −

Pela igualdade de matrizes, o termo a11 deve ser igual ao termo b11. Desse modo, podemos encontrar o valor x = 4. Comparando a12 com o termo b12, encontramos y = – 3. As outras equações também são verdadeiras.

Na atividade três, você deve ter utilizado os conceitos de função e substi-tuído x pela matriz A. Desse modo, temos:

2

2

f(A) A A

1 0 1 0f(A)

2 3 2 3

1 0 1 0f(A)

8 9 2 3

0 0f(A)

6 6

= −

= −

= −

=

Na atividade quatro, primeiramente, você deve ter montado um sistema, para encontrar uma matriz que satisfaça a seguinte relação:

3 5 1 0a b× =

2 3 0 1c d

.

Resolvendo a multiplicação, temos:

1 03a 5c 3b 5d.

0 12a 3c 2b 3d+ +

= + +

Comparando as matrizes, temos:

3a 5c 1 3b 5d 02a 3c 0 2b 3d 1

+ = + = + = + =

Resolvendo os sistemas, encontramos a matriz3 52 3

− −

.

Com a realização correta das atividades, você alcançou os objetivos propostos para esta aula: conhecer as operações e aplicar as propriedades operacionais das matrizes.

Estudaremos conceitos relacionados ao determinante de uma matriz, que nos possibilitarão resolver sistemas lineares, calcular matrizes inversas e verificar a dependência linear entre matrizes.



Com a realização correta das atividades, você alcançou os objetivos propostos para esta aula: conhecer as operações e aplicar as propriedades operacionais das matrizes.

Estudaremos conceitos relacionados ao determinante de uma matriz, que nos possibilitarão resolver sistemas lineares, calcular matrizes inversas e verificar a dependência linear entre matrizes.

Anotações




calcular os determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3;•

conhecer as propriedades inerentes aos determinantes de ordem qualquer.•

Para um melhor aproveitamento desta aula, é bom ter compreendido as classificações e as operações das matrizes, estudadas nas aulas 4 e 5, além de conhecer as propriedades da soma e da multiplicação de números reais.

Certamente, você já estudou os determinantes das matrizes de ordem 1, 2 e 3, e já os utilizou na regra de Cramer. E os determinantes de matrizes de ordem maior que 3? Será que temos uma fórmula para determiná-los? Responderemos a esse quesito no decorrer desta aula.

Os determinantes foram estudados, primeiramente, pelos chineses para resolver pequenos problemas que envolvem sistemas lineares. Ao longo da história da matemática, o conceito de determinante se transformou. Nesta aula, estudaremos sua definição e algumas técnicas para calculá-lo.

6.1 Permutação

Permutação é o rearranjo dos elementos de um conjunto. No nosso estudo, vamos considerar o conjunto dos .

Sabemos que a quantidade possível de permutação dos elementos de um conjunto de inteiros {1, 2, 3, ... n} é dada por:

n! = n . (n – 1) . (n – 2)... 3 . 2 . 1




calcular os determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3;•

conhecer as propriedades inerentes aos determinantes de ordem qualquer.•

Para um melhor aproveitamento desta aula, é bom ter compreendido as classificações e as operações das matrizes, estudadas nas aulas 4 e 5, além de conhecer as propriedades da soma e da multiplicação de números reais.

Certamente, você já estudou os determinantes das matrizes de ordem 1, 2 e 3, e já os utilizou na regra de Cramer. E os determinantes de matrizes de ordem maior que 3? Será que temos uma fórmula para determiná-los? Responderemos a esse quesito no decorrer desta aula.

Os determinantes foram estudados, primeiramente, pelos chineses para resolver pequenos problemas que envolvem sistemas lineares. Ao longo da história da matemática, o conceito de determinante se transformou. Nesta aula, estudaremos sua definição e algumas técnicas para calculá-lo.

6.1 Permutação

Permutação é o rearranjo dos elementos de um conjunto. No nosso estudo, vamos considerar o conjunto dos *Z+ .

Sabemos que a quantidade possível de permutação dos elementos de um conjunto de inteiros {1, 2, 3, ... n} é dada por:

n! = n . (n – 1) . (n – 2)... 3 . 2 . 1

Introdução aos determinantes

Aula 6



Consideremos o seguinte exemplo.

Exemplo

Qual é a quantidade de permutações possíveis e quais são as permutações possíveis para o conjunto {1, 2, 3}?

Solução

Determinamos, primeiramente, a quantidade de permutações possíveis:

n! = n . (n – 1) . (n – 2)... 3 . 2 . 1

3!=3 .2 . 1

3! = 6

Portanto a quantidade de permutações possíveis é 6.

Determinamos, agora, quais são as possíveis permutações:

{1, 2, 3}, {2, 1, 3}, {3, 1, 2}, {1, 3, 2}, {2, 1, 3} e {3, 2, 1}.

Chamamos de permutação principal a permutação em que os elementos do conjunto estão em ordem crescente. No exemplo anterior, a permutação prin-cipal é {1, 2, 3}.

A inversão é representada pelo número de trocas de posição de que precisamos para, a partir de uma permutação qualquer, chegar à permutação principal.

O sinal de uma permutação (σ (p)) é definido em função da paridade do número de inversões (p) necessárias para a permutação voltar à permutação original. Simbólicamente representamos a função como segue.

+ 1, se p retorna à permutação original com uma quantidade par de inversões.

( (p))– 1, se p retorna à permutação original com uma quantidade ímpar de inversões.

σ

6.2 Determinantes

Sabemos que matriz é uma tabela de números dispostos em linhas e colunas. A toda matriz quadrada está associado um número, denominado determinante dessa matriz.

Tendo em mente o conceito de permutação definido na seção anterior podemos definir o determinante. Para uma matriz de ordem n,

A = [aij] (dimensão

n × n), o determinante de A é definido como sendo o número escalar

1 1 2 2 n ni

det(A) (pi).a .p .a .p ...a p= σ∑



em que σ(pi) representa o sinal da permutação e pi = (p1, p2..., pn) representa uma permutação da seqüência de números inteiros ordenados = (1, 2, ..., n). Trabalharemos essa fórmula para as matrizes de ordem 1, 2 e 3. Porém é interes-sante estendermos essa definição a uma matriz de ordem qualquer.

O determinante de uma matriz não quadrada não é definido.

O determinante de uma matriz A é notado por det(A) ou |A|.

Entre as inúmeras aplicações matemáticas dos determinantes, temos:

cálculo da matriz inversa;•

resolução de alguns sistemas de equações lineares;•

cálculo da área de um triângulo, quando são conhecidas as coorde-•nadas dos vértices.

6.3 Determinante de primeira ordem

A aplicação da definição de determinante torna imediato que uma matriz quadrada de primeira ordem M = [a11] tem como determinante o número real a11. Lembrando que p = 1 e σ(p)=+, temos:

1 1

1 1

11

pii

p

det(A) (p )a

det(A) (p)adet(A) a

= σ

= σ=

∑

Exemplos

1. M1 = [7] ⇒ det M1 = 7 ou | 7 | = 7

2. M2 = [– 9] ⇒ det M2 = – 9 ou |– 9 | = – 9

6.4 Determinante de segunda ordem

Dada a matriz M = 11 12

21 22

a aa a

, de segunda ordem, vamos encontrar a sua

fórmula geral aplicando a definição de determinante.

Como o determinante é de segunda ordem, temos n = 2. Portanto as permu-tações possíveis são:

( ) ( )( ) ( )

1 2

1 2

p 1, 2 e p 1, 2

p 1 e p 1

= =

σ = + σ = −

Considerando a definição:

i 1 1 2 2 n n

1 1 1 2 2 2 1 1 2 2

11 22 12 21

i

det(A) (p ).a p .a p ...a p

det(A) (p ).ap .a p (p ).a p .a pdet(A) a .a a .a

+

= σ

= σ σ= −

∑



Ou de forma prática:

11 1211 22 12 21

21 22

11 22 12 21

a adet (M) a a a a

a aAssim :det (M) a a a a

= = ⋅ − ⋅

= ⋅ − ⋅

Exemplo

Dada a matriz 2 3

M4 5

=

, qual o seu determinante?

Solução

2 3det M = = 2 × 5 – 4 × 3 = 10 –12 = –2

4 5Logo:

det (M) = –2

O determinante de uma matriz de segunda ordem é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

6.5 Propriedades

Entre as diversas propriedades dos determinantes, serão relacionadas a seguir aquelas que, de uma forma ou outra, facilitam o cálculo dos determi-nantes de matrizes de qualquer ordem ou se relacionam com as propriedades de vetores (considerando as linhas ou colunas de uma matriz uma a uma como vetores).

As demonstrações serão realizadas utilizando matrizes de segunda ordem, mas sem perda da generalização para a matriz quadrada de qualquer ordem.

Consideramos uma matriz 11 12

21 22

a aA

a a

=

.

6.5.1 Primeira propriedade

O determinante de uma matriz A é igual ao determinante de sua transposta At.

Demonstração

Sendo 11 12 11 12t t

21 22 21 22

11 12 11 12

21 22 21 22

a a a aA e A ,então det(A) det(A )

a a a a

a a a aa a a a

= = =

=

Desenvolvendo o determinante em ambos os membros da igualdade, temos:11 22 12 21 11 22 21 12a a a a a a a a⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅



Sabendo que a multiplicação entre escalares é comutativa, podemos escrever:

11 22 12 21 11 22 12 21a a a a a a a a⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅

Exemplo

Dada a matriz 2 31 3

−

, calcular o det(A) e det(At).

Solução

t

t

t

t

2 3det (A)

1 3det (A) 2 3– 3 ( 1)det (A) 6 3det (A) 9

2 1det (A )

3 3

det (A ) 2 3 ( 1) 3det (A ) 6 3det (A ) 9

=−

= ⋅ ⋅ −= +=

−=

= ⋅ − − ⋅

= +

=

6.5.2 Segunda propriedade

Se a matriz A tem uma linha (ou uma coluna) construída de elementos todos nulos, o determinante é nulo.

Demonstração

Sendo A= 11

21

a 0a 0

, o seu determinante é:

11

21

11 21

a 0det (A)

a 0det (A) a 0 0 adet (A) 0

=

= ⋅ − ⋅=

Exemplo

Dada a matriz 0 0

11 5 −

, calcular o det(A).

Solução0 0

det (A)11 5

det (A) 0 ( 5) 0 11det (A) 0

=−

= ⋅ − − ⋅=



Conhecendo a propriedade, quando observamos uma linha ou coluna nula em uma matriz quadrada, concluímos de imediato que o seu determinante é nulo.

6.5.3 Terceira propriedade

Se a matriz A tem duas linhas (ou duas colunas) iguais, o determinante é nulo.

Demonstração

Sendo 1 2

1 2

a aA

a a

=


1 2 2 1det (A) a a a a= ⋅ − ⋅

Sendo que a multiplicação de escalares é comutativa, a diferença de valores iguais é nula.

6.5.4 Quarta propriedade

Se, na matriz A, duas linhas (ou duas colunas) têm seus elementos correspon-dentes proporcionais, o determinante é nulo.

Demonstração

Considerando 1 2

1 2

a aA e k R

ka ka

= ∈


1 2 2 1

1 2 2 1

det(A) a ka a kadet(A) k(a a a a )det(A) k 0det(A) 0

= ⋅ − ⋅= ⋅ − ⋅= ⋅=

6.5.5 Quinta propriedade

Se, na matriz A, cada elemento de uma linha (ou de uma coluna) é uma soma de duas parcelas, o determinante de A pode ser expresso sob a forma de uma soma dos determinantes de duas matrizes.

1 11 1 1 1 1

2 22 2 2 2 2

a ca b c a ba ca b c a b

= +

Demonstração

Considerando 1 1 1

2 2 2

a b cA

a b c

=


1 1 1

2 2 2

1 2 2 2 2 2

a b cdet (A)

a b cdet (A) a (b c ) (b c )a (I)

=

= ⋅ + − +



O determinante do segundo membro da igualdade pode ser assim desenvolvido:

1 11 11 2 1 2 1 2 1 2

2 22 2

a ca bab b a a c c a

a ca b+ = − + −

Colocando a1 e a2 em evidência, temos:

1 11 11 2 2 2 1 1

2 22 2

a ca ba (b c ) a (b c ) (II)

a ca b+ = + − +

A expressão I é equivalente à expressão II e, portanto, mostra que a proprie-dade é válida.

6.5.6 Sexta propriedade

O determinante de uma matriz diagonal A (superior ou inferior) é igual ao termo principal, isto é, é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

Demonstração

Dada a matriz superior 11 12

22

a aA

0 a

=


11 12

22

11 12 12

11 12

a adet (A)

0 adet (A) a a a 0det (A) a a

=

= −=

A demonstração para a matriz inferior é feita de modo análogo.

6.5.7 Sétima propriedade

Trocando entre si duas linhas (ou duas colunas) da matriz A, o determinante muda de sinal, isto é, fica multiplicado por –1.

Demonstração

Consideramos 1 2 1 2

1 2 1 2

a a b bA , B

b b a a

= =

, e seus respectivos determinantes:

1 2

1 2

1 2 2 1

a adet(A)

b bdet(A) ab a b

=

= − e

1 2

1 2

1 2 2 1

b bdet(A)

a adet(A) b a b a

=

= −

Como os termos da subtração se alternam, os sinais ficam trocados.

6.5.8 Oitava propriedade

Quando multiplicamos por um número real todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) da matriz A, o determinante fica multiplicado por esse número.



1 21 2 1 2

1 21 2 1 2

a aa ka a kaSeja A e k R. Então k

b bb kb b kb

= ∈ = .

Demonstração

1 2

1 2

1 2 2 1

1 1 2 1

a kadet(A)

b kbdet(A) a kb ka bdet(A) k(ab a b )

=

= −= −

Observe que, nesta propriedade, nem todos os termos são multiplicados por k, apenas o termo de uma linha ou coluna, como no produto de uma matriz por um escalar.

6.5.9 Nona propriedade

Um determinante não se altera quando somamos aos elementos de uma linha (ou de uma coluna) da matriz A os elementos correspondentes de outra linha (ou de outra coluna), previamente multiplicados por um número real dife-rente de zero.

1 2 1 2

1 2 1 1 2 2

a a a ab b b ka b ka

=+ +

Demonstração

Calculamos o determinante do primeiro membro da igualdade:

1 2

1 2

1 2 2 1

a adet(A)

b bdet(A) ab a b (I)

=

= −

Repetimos o processo para o segundo membro da igualdade:

1 2

1 1 2 2

1 2 2 2 1 1

1 2 1 2 2 1 1 2

1 2 2 1

a adet(A)

b ka b ka

det(A) a (b ka ) a (b ka )det(A) ab ka a a b ka adet(A) ab a b (II)

=+ +

= + − +

= + − −

= −

Comparando I e II, concluímos que a propriedade é válida.

Fizemos uma abordagem algébrica do determinante de segunda ordem. Para outras ordens o raciocínio é análogo.

Considere todas as permutações e tente realizar a mesma abordagem e o

mesmo raciocínio usando uma matriz de ordem 3. Observe que o nosso primeiro

exemplo de permutações terá uma fórmula com seis parcelas:

. Finalizando, então, vale lembrar que todas

as propriedades mostradas para um determinante de ordem 2 também são

válidas para um determinante de ordem 3 ou de ordem maior.

Vimos um método importante para o cálculo do determinante. A utilização de determinado método depende do tipo de problema que está sendo traba-lhado e da experiência adquirida na resolução de tal problema. Ressaltamos que outros métodos práticos, como o método de Sarrus e o método do cofator, decorrem da definição estudada nesta aula.

1. Dada as matrizes e , calcule o determinante de AB.

2. Determine o maior valor de x, sabendo que .

a) x = 8

b) x = – 4

c) x = 3

d) x = 4

3. Dada a matriz , quais os valores de a e b para que o

determinante seja nulo?

4. Em uma matriz quadrada A com det (A) ≠ 0, se multiplicarmos uma coluna de A por um número real k diferente de zero, qual será o efeito no seu determinante.

a) O seu determinante será multiplicado por .

b) O seu determinante será nulo.

c) O seu determinante será multiplicado por k.

d) Não podemos afirmar nada.



Considere todas as permutações e tente realizar a mesma abordagem e o

mesmo raciocínio usando uma matriz de ordem 3. Observe que o nosso primeiro

exemplo de permutações terá uma fórmula com seis parcelas:

1 1 2 2 n n

i

det(A) (pi) . a p . a p ...a p= σ∑ . Finalizando, então, vale lembrar que todas

as propriedades mostradas para um determinante de ordem 2 também são

válidas para um determinante de ordem 3 ou de ordem maior.

Vimos um método importante para o cálculo do determinante. A utilização de determinado método depende do tipo de problema que está sendo traba-lhado e da experiência adquirida na resolução de tal problema. Ressaltamos que outros métodos práticos, como o método de Sarrus e o método do cofator, decorrem da definição estudada nesta aula.

1. Dada as matrizes 1 0 1 2

A e B2 3 5 3

− = =

e , calcule o determinante de

AB.

2. Determine o maior valor de x, sabendo que 2 x

0x 8

= .

a) x = 8

b) x = – 4

c) x = 3

d) x = 4

3. Dada a matriz 8 5

A6 2a 42 3b

− = + −

, quais os valores de a e b para que o

determinante seja nulo?

4. Em uma matriz quadrada A com det (A) ≠ 0, se multiplicarmos uma coluna de A por um número real k diferente de zero, qual será o efeito no seu determinante.

a) O seu determinante será multiplicado por 1k

.

b) O seu determinante será nulo.

c) O seu determinante será multiplicado por k.

d) Não podemos afirmar nada.



Na atividade um, primeiramente você multiplicou as matrizes AB:

1 0 1 2AB .

2 3 5 3

1 0 2 0AB

2 15 4 9

1 2AB

17 5

− =

+ − +

= + − + −

=

A seguir, você calculou o determinante de AB:

1 2det(AB)

17 5det(AB) 5 ( 2).17det(AB) 5 34det(AB) 39

−=

= − −= +=

Na atividade dois, você calculou o determinante e igualou a zero:

2

2

2 x0

x 8

16 x 0x 16

x 4 e x 4

=

− =

− = −= = −

Como desejamos o maior valor, o resultado é x = 4.

Na atividade três, para que o determinante seja nulo, uma das linhas ou das colunas deve possuir todos os elementos iguais a zero.

8 5A

6 2a 42 3b−

= + −

Portanto, na segunda linha, devemos ter:

6 2a 02a 6a 3

+ =−

= −

42 3b 03b 42

b 14

− =− = −

=

Esta atividade poderia ser resolvida utilizando outras propriedades tais como:

uma matriz com duas linhas ou duas colunas iguais tem determinante nulo;•

uma matriz com uma linha (ou uma coluna) múltipla escalar de uma •outra qualquer tem determinante nulo.

Na atividade quatro, de acordo com a oitava propriedade, você multiplicou o determinante por k.

Com a realização correta das atividades, você alcançou os objetivos propostos para esta aula: calcular os determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3, e conhecer as propriedades inerentes aos determinantes de ordem qualquer.

Após ter estudado as propriedades dos determinantes, na aula seguinte, você estudará as matrizes inversas e suas propriedades, em que poderá observar uma aplicação do determinante de uma matriz.



uma matriz com uma linha (ou uma coluna) múltipla escalar de uma •outra qualquer tem determinante nulo.

Na atividade quatro, de acordo com a oitava propriedade, você multiplicou o determinante por k.

Com a realização correta das atividades, você alcançou os objetivos propostos para esta aula: calcular os determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3, e conhecer as propriedades inerentes aos determinantes de ordem qualquer.

Após ter estudado as propriedades dos determinantes, na aula seguinte, você estudará as matrizes inversas e suas propriedades, em que poderá observar uma aplicação do determinante de uma matriz.

Anotações




definir as matrizes inversas e os processos para determiná-las;•

conhecer as propriedades das matrizes inversas.•

Para um bom desenvolvimento do conteúdo desta aula, você precisa dos conhecimentos sobre as propriedades de matrizes quadradas, o conceito de determinante e as suas propriedades.

Entre as várias aplicações das matrizes inversas, podemos destacar a reso-lução de sistemas lineares.

Na computação gráfica, a inversão de matrizes desempenha um papel impor-tante, em particular na redenrização de gráficos 3D e nas simulações em 3D.

O problema é constituído, usualmente, pela complexidade numérica do cálculo das inversas de matrizes de ordem 3 e 4. Leve em consideração que, para simulações e efeitos 3D em tempo real, são necessárias milhares de inver-sões por segundo.

Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invertível, ou não-singular, se e somente se existir uma matriz que indicamos por A-1, tal que:

A⋅A-1 = A-1⋅A = InUma matriz quadrada A = [aij] cujo determinante é nulo é denominada de

matriz singular.

A segunda, terceira e quarta propriedade, estudadas na aula 3 deste caderno, auxiliam na verificação de uma matriz singular.




definir as matrizes inversas e os processos para determiná-las;•

conhecer as propriedades das matrizes inversas.•

Para um bom desenvolvimento do conteúdo desta aula, você precisa dos conhecimentos sobre as propriedades de matrizes quadradas, o conceito de determinante e as suas propriedades.

Entre as várias aplicações das matrizes inversas, podemos destacar a reso-lução de sistemas lineares.

Na computação gráfica, a inversão de matrizes desempenha um papel impor-tante, em particular na redenrização de gráficos 3D e nas simulações em 3D.

O problema é constituído, usualmente, pela complexidade numérica do cálculo das inversas de matrizes de ordem 3 e 4. Leve em consideração que, para simulações e efeitos 3D em tempo real, são necessárias milhares de inver-sões por segundo.

Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invertível, ou não-singular, se e somente se existir uma matriz que indicamos por A-1, tal que:

A⋅A-1 = A-1⋅A = InUma matriz quadrada A = [aij] cujo determinante é nulo é denominada de

matriz singular.

A segunda, terceira e quarta propriedade, estudadas na aula 3 deste caderno, auxiliam na verificação de uma matriz singular.

Matrizes inversas

Aula 7



Exemplo

Verificar se a matriz 1 4 7

A 2 5 83 6 9

=

é singular:

1 4 7 1 4det(A) 2 5 8 2 5

3 6 9 3 6det(A) 45 96 84 (72 48 105)det(A) 225 225det(A) 0

=

= + + − + += −=

Portanto, a matriz é singular e não tem inversa.

Chamamos uma matriz quadrada de não-singular se e somente se o seu determinante é diferente de zero.

Exemplo

Verifique se a matriz 2 3 1

A 5 2 23 1 3

=

é não-singular.

Solução

2 3 1 2 3det(A) 5 2 2 5 3

3 1 3 3 1det(A) 12 18 5 (45 4 6)det(A) 35 55det(A) 20

=

= + + − + += −= −

Portanto a matriz é não-singular e toda matriz não-singular tem inversa.

7.1 Propriedades da matriz inversa

Considere as matrizes quadradas A e B de ordem n e não-singulares. A elas podemos atribuir as seguintes propriedades.

A matriz inversa A1. –1 é única.

Se a matriz A é não-singular, sua inversa A2. -1 também é não-singular. A matriz inversa de A–1 é A, ou seja, (A–1)–1=A.

A matriz identidade é não-singular e é sua própria inversa: 3. I=I-1.

A matriz transposta A4. t será não-singular se A for não-singular. A matriz inversa de At é (A–1)t.

O produto AB é uma matriz não-singular. A matriz inversa de AB é a 5. matriz B–1A–1.



Exemplo

Verificar se a matriz 5 3 2 3

A é inversa de B3 2 3 5

− = = −

.

Solução

Considerando a definição de matriz inversa temos

1n

2

A A IA B I5 3 2 3 10 9 15 15

.3 2 3 5 6 6 9 10

5 3 2 3 1 0.

3 2 3 5 0 1

−⋅ =⋅ =

− − − + = − − − +

− = −

Portanto a matriz A é inversa de B ou vice-versa.

7.2 Operações elementares por linha ou coluna

Em uma matriz, podemos efetuar algumas operações, transformando-a em uma matriz equivalente, com o objetivo de tornar as propriedades mais evidentes ou os cálculos mais simples.

Por motivo de simplicidade, trabalharemos apenas com linhas, mas todas as operações e as propriedades também são validas para as colunas.

Denominamos de operações elementares por linhas ou por colunas de uma matriz as seguintes operações:

permutação de duas linhas (ou de duas colunas);1.

multiplicação de todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) 2. por um número real diferente de zero;

substituição dos elementos de uma linha (ou de uma coluna) pela soma 3. desses elementos com os elementos correspondentes de outra linha (ou de outra coluna), previamente multiplicados por um número real dife-rente de zero.

Exemplo

Aplicando operações elementares por linhas e colunas, transformar a matriz

3

1 2 1A 1 5 3 na matriz I

1 3 2

− = − −

.

Nosso objetivo é transformar todos os elementos da diagonal principal em 1 e transformar os demais elementos em zero. Começamos pela primeira linha.



1. Somamos a primeira linha com a segunda (L2 = L1 + L2):

1 2 1 1 2 11 5 3 0 3 21 3 2 1 3 2

− − − − ≈ −

2. L3 = –L1 + L3

1 2 1 1 2 10 3 2 0 3 21 3 2 0 1 3

− − − ≈ −

3. L2 ↔ L3

1 2 1 1 2 10 3 2 0 1 30 1 3 0 3 2

− − − ≈ −

4. L3 = 3L2 + L3

1 2 1 1 2 10 1 3 0 1 30 3 2 0 0 11

− − ≈ −

5. 33

LL

11=

1 2 1 1 2 10 1 3 0 1 30 0 11 0 0 1

− − ≈

6. L1 = –2L2 + L1

1 2 1 1 0 70 1 3 0 1 30 0 1 0 0 1

− − ≈

7. L1 = –7L3 + L1

1 0 7 1 0 00 1 3 0 1 30 0 1 0 0 1

− ≈

8. L2 = –3L3 + L2

1 0 0 1 0 00 1 3 0 1 00 0 1 0 0 1

≈



Como podemos observar, depois de uma sucessão finita de operações elementares, chegamos à matriz identidade que tem determinante igual a 1 e que, portanto, tem inversa, assim como a matriz A.

As operações 3 e 5 alteraram o determinante de A. Para compensar a alte-ração, faremos as devidas operações:

det(A) = (–1).11. det (L3)

det(A) = –11

7.3 Inversão de uma matriz por meio de operações elementares

Uma das formas de encontrar a matriz inversa A-1 de A é aplicar a mesma sucessão finita de operações elementares à matriz In, utilizada em A, para trans-formá-la em In.

Para tornar mais prático o processo de inversão da matriz A, seguimos as orientações a seguir:

1. colocamos ao lado da matriz A a matriz I, separada por um traço vertical;

2. transformamos, por meio de operações elementares, a matriz A na matriz I, aplicando, simultaneamente, à matriz I, colocada ao lado da matriz A, as mesmas operações elementares.

Exemplo

Utilizando as operações do exemplo anterior, determine a matriz inversa de A.

Solução

Preparamos a matriz:

1 2 1 1 0 01 5 3 0 1 01 3 2 0 0 1

− − −

1. Somamos a primeira linha com a segunda (L2 = L1 + L2):

1 2 1 1 0 00 3 2 1 1 01 3 2 0 0 1

− −

2. L3 = –L1 + L3

1 2 1 1 0 0 1 2 1 1 0 00 3 2 1 1 0 0 3 2 1 1 01 3 2 0 0 1 0 1 3 1 0 1

− − − ≈ − −



3. L2 ↔ L3

1 2 1 1 0 0 1 2 1 1 0 00 3 2 1 1 0 0 1 3 1 0 10 1 3 1 0 1 0 3 2 1 1 0

− − − ≈ − − −

4. L3 = 3L2 + L3

1 2 1 1 0 0 1 2 1 1 0 00 1 3 1 0 1 0 1 3 1 0 10 3 2 1 1 0 0 0 11 2 1 3

− − − ≈ − − −

5. 33

LL

11=

1 2 1 1 0 0 1 2 1 1 0 00 1 3 1 0 1 0 1 3 1 0 10 0 11 2 1 3 0 0 11 2 1 3

11 11 11

− − − ≈ − − −

6. L1 = –2L2 + L1

1 2 1 1 0 0 1 0 7 3 0 20 1 3 1 0 1 0 1 3 1 0 10 0 1 2 1 3 0 0 1 2 1 3

11 11 11 11 11 11

− − −

− ≈ −

− −

7. L1 = –7L3 + L1

47 7 431 0 7 3 0 2 1 0 0 11 11 110 1 3 1 0 1 0 1 3 1 0 10 0 1 2 1 3 0 0 1 2 1 3

11 11 11 11 11 11

− − −

− ≈ −

− −

8. L2 = –3L3 + L2

47 7 4347 7 4311 11 111 0 0 1 0 011 11 11 5 36 20 1 3 1 0 1 0 1 011 11 11

0 0 1 2 1 3 0 0 1 2 1 311 11 11 11 11 11

− − − − − ≈ − − − −



Assim a matriz

47 7 4311 11 11

5 36 211 11 112 1 311 11 11

− − − − −

é a matriz inversa de A.

7.4 Matriz adjunta

A transposta da matriz dos co-fatores é denominada de matriz adjunta. Dada uma matriz quadrada A de ordem n, lembrando que Cij = (–1)i+j . Dij são os co-fatores de A, a matriz adjunta é representada simbólicamente por:

adj(A) = Ct.

Exemplo

Determine a matriz adjunta da matriz 1 3

A2 1

= −

.

Solução

Calculando os co-fatores de A, temos:

1 111 11

211

11

c ( 1) Dc ( 1) 1c 1

+= −

= − ⋅

=

2 121 21

321

21

21

c ( 1) Dc ( 1) 3

c 3c 3

+= −

= − ⋅

=

= −

1 212 12

312

12

12

c ( 1) D Sc ( 1) 2

c 2c 2

+= −

= − ⋅ −

= −

=

2 122 21

322

22

22

c ( 1) Dc ( 1) 1

c 1c 1

+= −

= − ⋅

=

= −

Lembramos que a matriz A = [a11] e o det(A) = a11.

A matriz dos co-fatores é 1 2 1 3

C e a adj(A)3 1 2 1

− = = − − −

7.5 Propriedades da matriz adjunta

As propriedades da matriz adjunta são:

1. adj(In) = In;

2. adj(AB) = adj(A)⋅adj(B);

3. adj(At) = adj(A)t;;

4. det[adj(A)] = det(A)n – 1.



7.6 Matriz inversa pela matriz adjunta

Utilizando a matriz adjunta e os determinantes, podemos encontrar a matriz inversa, dada uma matriz A de ordem n, através da seguinte expressão:

1 adj(A)A

det(A)− =

Lembramos que este método é eficiente apenas para matrizes de ordem menor que 5, devido à quantidade de determinantes que devemos calcular.

Exemplo

Determine a matriz inversa de 1 2

A3 5

− = −

.

Solução

Calculando a matriz adjunta, temos:

1 111 11

211

11

c ( 1) Dc ( 1) 5c 5

+= −

= − ⋅ −

= −

2 121 21

321

21

21

c ( 1) Dc ( 1) 2

c 2c 2

+= −

= − ⋅ −

= − −

=

1 212 12

312

12

12

c ( 1) Dc ( 1) 3

c 3c 3

+= −

= − ⋅

= −

= −

2 222 22

422

22

22

c ( 1) Dc ( 1) 1

c 1c 1

+= −

= − ⋅

=

=

Portanto a matriz do co-fator é

5 3C e a adjunta

2 1− −

=

5 2adj(A) .

3 1−

= −

O determinante de A é dado por:

1 2det(A)

3 5det(A) 5 ( 6)det(A) 1

−=

−

= − − −=

A matriz inversa é dada por:



1

1

5 23 1

A1

5 2A

3 1

−

−

− − =

− = −

Provamos, agora, que a matriz encontrada realmente é a inversa:

12A A I

1 2 5 2 5 6 2 2 1 03 5 3 1 15 15 6 5 0 1

−⋅ =

− − − + − ⋅ = = − − − + −

7.7 Cálculo da matriz inversa por meio da definição

Entre os processos de cálculo da matriz inversa, o mais conhecido é o que aplica diretamente a definição, formando assim sistemas lineares. Se a matriz tem uma matriz inversa, a unicidade desta garante que o sistema linear tenha uma única solução.

Vamos apresentar esse processo de cálculo, por meio de um exemplo.

Exemplo

Dada a matriz 2 5

A3 7

=

, determine sua inversa.

Solução

Considerando a definição de matriz inversa, temos:

A . A –1 = In

O que procuramos é uma matriz 1 a bA

c d−

=

tal que:

1nA A I

2 5 1 0a b3 7 0 1c d

−⋅ =

⋅ =

Multiplicando as matrizes, chegamos ao resultado:

2 5 1 0a b3 7 0 1c d

1 02a 5c 2b 5d0 13a 7c 3b 7d

⋅ =

+ +

= + +



Comparando as matrizes para que a igualdade seja verdadeira, os valores procurados devem ser solução dos seguintes sistemas lineares:

1 02a 5c 2b 5d0 13a 7c 3b 7d

2a 5c 1 2b 5d 0 e

3a 7c 0 3b 7d 1

+ + = + +

+ = + = + = + =

Resolvendo os sistemas, encontramos os valores a = –7, b = 5, c = 3 e d = –2.

Estudamos os processos para encontrar a matriz inversa de uma matriz quadrada, suas propriedades e condições de existência. A condição para que uma matriz tenha inversa é de fundamental importância para a resolução de sistemas lineares.

1. Determine a inversa de 1 1 0

A 0 1 21 0 1

= −

.

2. Mostre que a inversa da matriz é

1 0 0 1 0 01 1A 0 B 1 3 12 2

1 2 01 312 2

= − =

−

.

3. Verifique se a matriz é singular ou não-singular 2 5 1

A 3 7 21 2 1

=

.

4. Determine o valor de x para que a matriz seja singular 1 3 2

A 0 7 32 1 x

− = −

.

Na atividade um, você aplicou o método das operações elementares. Anexando a matriz identidade à matriz A, temos:

1 1 0 1 0 00 1 2 0 1 01 0 1 0 0 1

−



1. L3 = –L1 + L3

1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 00 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 01 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1

− ≈ − − −

2. L2 = –L2

1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 00 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 00 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1

− ≈ − − − − − −

3. L3 = L2 + L3

1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 00 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 00 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1

− − ≈ − − − − − − −

4. L3 = –L3

1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 00 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 00 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

− − ≈ − − − − − −

5. L1 = –L2 + L1

1 1 0 1 0 0 1 0 2 1 1 00 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 00 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

− − ≈ − − − −

6. L3 = –2L3 + L1

1 0 2 1 1 0 1 0 0 1 1 20 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 00 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

− − − − ≈ − − − −

7. L3 = 2L3 + L2

1 0 0 1 1 2 1 0 0 1 1 20 1 2 0 1 0 0 1 0 2 1 20 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

− − − − − − ≈ − − −



Portanto a matriz inversa de A é 1

1 1 2A 2 1 2

1 1 1

−

− − = − −

.

Na atividade dois, você aplicou a definição de matriz inversa. Se a matriz resultante da multiplicação AB = I, a matriz B é a inversa de A.

1nA A I

1 0 0 1 0 0 1 0 01 10 1 3 1 0 1 02 2

1 2 0 0 0 11 312 2

−⋅ =

− ⋅ =

−

Portanto a matriz B é a inversa de A.

Na atividade três, você verificou se uma matriz é singular ou não-singular, calculando o seu determinante. Se o determinante for igual a zero a matriz será singular; caso contrário, será não-singular.

2 5 1 2 5det(A) 3 7 2 3 7

1 2 1 1 2

det(A) 14 10 6 (15 8 7)det(A) 30 30det(A) 0

=

= + + − + += −=

Portanto a matriz é singular.

Na atividade quatro, para que a matriz seja singular, devemos ter o deter-minante igual a zero. Utilizando a regra de Sarrus, temos:

det(A) = 0

1 3 2 1 3det(A) 0 7 3 0 7

2 1 x 2 1

det(A) 7x 18 0 (0 4 28)det(A) 7x 18 32det(A) 7x 14

− − = −

= − − + − + += − − −= − −

Portanto:

–7x –14

x=–7



Para que a matriz seja singular, o valor de x deve ser –7.

Com a realização correta das atividades, você alcançou os objetivos propostos para esta aula: definir as matrizes inversas e os processos para deter-miná-las, e conhecer as propriedades das matrizes inversas.

Anotações



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Apresentação · Hoje, com o avanço da tecnologia e a evolução da informática, a cripto-grafia tem tido avanços enormes, realizando senhas ou chaves cada vez mais