Upload
dolien
View
216
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
4
Definicja aproksymacji
Dana jest funkcja jednej zmiennej:
y = f(x), x[a, b]
Należy dobrać taką funkcję
F(x,p1,...,pk), x[a, b],
aby w sensie przyjętego kryterium,
funkcja F(x,p1,...,pk)
możliwie dokładnie odtwarzała przebieg
funkcji f(x).
p1,...,pk – parametry
wzoru empirycznego
5
Definicja aproksymacji
Funkcja f(x) może być zadana w postaci:
- zbioru punktów (aproksymacja punktowa):
f(x1) = y1, f(x2) = y2, ..., f(xn) = yn
- wzoru analitycznego (aproksymacja integralna) – rzadziej spotykany przypadek
6
Definicja aproksymacji
Kryteria aproksymacji punktowej dla funkcji jednej zmiennej konstruuje się w taki sposób, aby zminimalizować różnice
między wartościami danej funkcji f(x) a wartościami funkcji
F(x, p1, ..., pk) w punktach (xi, yi), i = 1, 2, ..., n.
Odchyłka:
1( , ,..., )i i k iF x p p y
7
Definicja aproksymacji
Ogólna postać funkcji F(x,p1,...,pk) jest założona z góry,
natomiast optymalizacja dotyczy nieznanych parametrów
p1,...,pk
8
Definicja aproksymacji
Typowe metody aproksymacji funkcji jednej zmiennej
Dobór parametrów p1,...,pk wzoru empirycznego, w taki
sposób aby spełnione było założone kryterium dotyczące minimalizacji odchyłek
9
Definicja aproksymacji
Kryteria:
- metoda wybranych punktów
- metoda średnich
- metoda sumowania bezwzględnych wartości
- metoda najmniejszych kwadratów
11
Metoda najmniejszych kwadratów
Dobór współczynników funkcji F :
2
1
minn
i
i
Kryterium najmniejszych kwadratów:
2
1
1
( , ,..., ) minn
i k i
i
F x p p y
n – ilość punktów
12
Metoda najmniejszych kwadratów
Zalety:
- kryterium jest „mocne” – zawiera kwadraty odchyłek, czyli liczby nieujemne
- prostota obliczeń minimum funkcji, pod warunkiem że rozpatruje się aproksymację w klasie wielomianów uogólnionych, czyli:
1 1 1 2 2( , ,..., ) ( ) ( ) ... ( )k k kF x p p p x p x p x
14
Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej
Dany jest zbiór punktów:
1 1 2 2( , ) ( , ) ... ( , )n nx y x y x y
Funkcja aproksymująca:
1 2y p p x
Kryterium najmniejszych kwadratów:
2
1 2 1 2
1
( , ) minn
i i
i
S p p p p x y
15
Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej
Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych:
1 2
1
( , )0
S p p
p
1 2
2
( , )0
S p p
p
16
Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej
czyli:
1 21 2
11
( , )2 1 0
n
i i
i
S p pp p x y
p
1 21 2
12
( , )2 0
n
i i i
i
S p pp p x y x
p
17
Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej
1 2
1
0n
i i
i
p p x y
2
1 2
1
0n
i i i i
i
p x p x y x
1 2
1 1
n n
i i
i i
p n p x y
2
1 2
1 1 1
n n n
i i i i
i i i
p x p x y x
Układ ten zapisujemy w formie:
18
Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej
lub:
1 11
22
1 1 1
n n
i i
i i
n n n
i i i i
i i i
n x yp
px x y x
X P Y
Liczymy:
1 P X Y
20
Aproksymacja funkcji jednej zmiennej – inna funkcja aproksymująca
Dany jest zbiór punktów:
1 1 2 2( , ) ( , ) ... ( , )n nx y x y x y
Funkcja aproksymująca:
1 2 3
1y p p x p
x
Kryterium najmniejszych kwadratów:
2
1 2 3 1 2 3
1
1( , , ) min
n
i i
i i
S p p p p p x p yx
21
Aproksymacja funkcji jednej zmiennej – inna funkcja aproksymująca
czyli:
1 2 31 2 3
11
( , , ) 12 1 0
n
i i
i i
S p p pp p x p y
p x
1 2 31 2 3
12
( , , ) 12 0
n
i i i
i i
S p p pp p x p y x
p x
1 2 31 2 3
13
( , , ) 1 12 0
n
i i
i i i
S p p pp p x p y
p x x