Apunte de Ayudantia HA

Universidad de Santiago de Chile

Departamento de Ingeniería en Obras Civiles

Hormigón Armado

Resumen y Ejercicios Propuestos

Curso de Diseño en Hormigón

Armado

Leonardo Brescia Norambuena

Estudiante de Ingeniería Civil en Obras Civiles

Versión 2.0

Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería en Obras Civiles

Diseño en Hormigón Armado

Leonardo Brescia Norambuena Página I

Índice

Pagina

Prologo

Bibliografía

1-. Compresión Simple

Ejercicio 1

Ejercicio 2

2-. Flexión Simple

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

3-. Diseño Armadura de Corte

Ejercicio 1

4-. Flexo - Compresión

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

5-. Diseño de Losas

Ejercicio 1

Ejercicio 2

I

II

2

3

4

6

9

12

16

18

20

22

31

36

41

44

51

53



Leonardo Brescia Norambuena Página I

Prologo

Los siguientes apuntes son un resumen de la materia que se ve en el curso de Hormigón armado

de la carrera de ingeniería civil en obras civiles de la USACH, están basados en los apuntes de clase

de la profesora Silvana Cominetti y ACI 2008.

Estos solo representan un resumen de los pasos para poder desarrollar el diseño de elementos de

H.A., lo que no indica que sean la única manera de realizar dichos diseños, y se recomienda revisar

factores y consideraciones de acuerdo a los códigos de diseños que estén vigentes en el país.

Se recuerda que se presentan métodos basados diseño LRFD y bajo indicaciones de ACI. También

se sugiere revisar manuales de diseño que entregan empresas dedicadas al tema.

Se recomienda al estudiante desarrollar sus propias planillas digitales para el diseño de elementos,

ya un buen uso de herramientas computacionales puede favorecer el trabajo a realizar.

Finalmente se recuerda a los alumnos que esta versión puede estar sujeta a mejoras, por lo que es

importante que quienes puedan realizar su aporte a esta, estarán ayudando a los futuros alumnos

de la carrera y que bajo ningún punto de vista, es suficiente para la aprobación de la asignatura.



Leonardo Brescia Norambuena Página II

Bibliografía

Apunte de Hormigón Armado, Profesora Silvana Cominetti Cotti-Cometti

ACI 318 – versión 2005

ACI 318 – versión 2008



Leonardo Brescia Norambuena Compresión Simple Página 2

1-. Compresión Simple

Consideraciones Previas - Toda ecuación aquí presentada puede ser deducida por equilibrio de fuerzas y deformaciones - Se está diseñando bajo método LRFD, puede que valores de factores cambien de acuerdo a la versión del código ACI Vigente.

Pu Pn (1.1)

Pu: Carga obtenida ya mayorada a través de combinaciones de norma NCh3171 y efectos del pandeo Pn: Carga Nominal que puede resistir el elemento (Carga que resisten materiales) ϕ: Factor de seguridad. ϕ=0.65

Pn 0.85Ac fć As fy (1.2)

Pn 0.85Ag As( )fć As fy (1.3)

Ag: Área global del elemento (área transversal) Ac: Área de Concreto (Área Global menos Área Acero, (2) equivalente a (3)) As: Área de Acero (transformar al final a áreas comerciales) fć: Resistencia a compresión del hormigón en probeta cilíndrica fy: Limite de fluencia del acero

Nota: Pu debe mayorarse por un factor ω, para prevenir problemas de pandeo. Este factor ω se obtiene de tablas aunque en algunos textos den ecuaciones para determinarlo, y además el ACI para evitar riesgos por posibles excentricidades se disminuye la resistencia del hormigón a un 80%, por lo que la ecuación (1) puede reescribirse como:

Pu 0.8 Pn (1.4)

Tabla 1.1: Factor ω por pandeo

También es bueno verificar que se esté bajo la carga crítica de pandeo, dado que esta dependerá de condiciones geométricas del elemento.

Pu Pcrit (1.5)

Pcrit

2Ec I

K l( )2

(1.6)

Ec: Modulo de elasticidad del Hormigón (Se puede aproximar entre 15000*fć^.5 a 15400*fć^.5) I: Inercia de la Sección K: Factor de Largo de Empotramiento l: Largo del elemento Se recomienda verificar en ambos sentidos pandeo, dado que si bien se puede tomar la inercia menor, el factor K puede tomar relevancia en cuanto a la diferencia de resultados Según ACI 2008 en su punto 10.9.1, las cuantías mínimas y máximas son de 0.01 y 0.08 respectivamente.




Ejercicio 1 Para la estructura mostrada en la figura determine la máxima sobrecarga que puede resistir el elemento central indicado en esta si se está utilizando H30 y A63-42. No considere falla por funcionamiento de la losa y verifique la carga crítica de pandeo para el caso más favorable y desfavorable.

Desarrollo

1-. Se debe determinar el facto ω, para esto se debe determinar el caso más desfavorable, dado que no hay mayor información, para esto se considerara K=0.5 (si la losa aporta rigidez suficiente junto a los otros elementos para empotrar la columna en la parte superior) y K=2 (si la columna se comporta como voladizo)

l 2.2m b 30cm h 30cm 0.65

Si K 0.5 Caso más favorable

l K( )

b3.667 ==> 1 (de tabla 1.1)

Si K 2 Caso más desfavorable

l K( )

b14.667 ==> 1 (de tabla 1.1)

2-. Calculo de Pn

Ag 900cm2

As 4 2.54 cm2

fy 4200kg

cm2

fć 250kg

cm2

Pn 0.85Ag As( )fć As fy

Pn 231763kg

3-. Calculo de SC max: Viendo las combinaciones de la NCh3171of2010, se tiene que el caso más desfavorable será: Pu max=1.2PP+1.6SC Para la carga de PP será necesario Cubicar el AREA TRIBUTARIA que descarga al elemento




horm 2500

kg

m3

Plosa 9m2

0.15 m horm Plosa 3375kg

Ppilar 0.3m 0.3 m 2.2 m horm Ppilar 495kg

PP Plosa Ppilar PP 3870kg se considera peso pilar porque es el caso más desfavorable para este

Pumax 0.8Pn Pumax 120516.76kg

SCmaxPumax 1.2PP( )

1.6 SCmax 72420.475kg

Pero la SC debe darse distribuida en el Área Tributaria

SCSCmax

9m2

SC 8046.719kg

m2

4-. Calculo de Cargas Críticas de Pandeo

I bh

3

12 I 67500cm

4 Ec 15000

kg

cm2

fćcm

2

kg Ec 237170.825

kg

cm2

K 0.5

Pcrit1

2Ec I

K l( )2

Pcrit1 13058082.596kg

K 2

Pcrit1

2Ec I

K l( )2

Pcrit1 816130.162kg

Nota: Se ve que la carga crítica de pandeo es muy superior a la carga que se resiste por materiales

Ejercicio 2 Determine la armadura para una columna de 6 m de alto, de sección bruta de 30x30, libre en su extremo superior y empotrada en el extremo inferior, sometida a una carga ultima de 50 toneladas, con acero A44-28, y hormigón H25.

L 6m

fć 200kg

cm2

fy 2800kg

cm2

0.65

At 30cm 30 cm Ac cm2

Ac Ast

w* Pu 0.8 Pn w=3 (a=2, L*a/b=40)

Pn 0.85 fć At Ast( ) fy Ast Ast

Pu 50000 kg




Ast 51.506cm2

Asmin 0.01At Asmin 9cm2

Asmax 0.08At Asmax 72cm2

Por lo que se está dentro de los rangos permitidos. La armadura se escogerá de la siguiente tabla obtenida de Gerdau Aza

Con 12 ϕ28 se tiene un área de:

12 4.83 cm2

57.96cm2

Se obtiene con un recubrimiento de 2 cm una separación libre entre refuerzos de 5cm aproximadamente, con el siguiente esquema de diseño:

Recordar que no deben existir refuerzos a distancias mayores a 30cm, no obstante cuando se trabaja con compresión simple se asumen deformaciones planas, por lo que todos los elementos de refuerzo se consideran, por lo que si se agregan estos aumentan la cuantía de trabajo del elemento

Ast

wPu

0.8 0.85 f ´ c At

fy 0.85 f ´ c



Leonardo Brescia Norambuena Diseño Armadura Flexión Simple Página 12

2-. Flexión Simple

Consideraciones Previas - Toda ecuación aquí presentada puede ser deducida por equilibrio de fuerzas y deformaciones - Se está diseñando bajo método LRFD, puede que valores de factores cambien de acuerdo a la versión del código ACI Vigente.

Armadura Simple

I) Caso 1: Cálculo de Resistencia

a) Calculo de Equilibrio de fuerzas

(2.1)

(2.2) (1) Rectángulo de compresión según ACI

(2) Área de Hormigón Comprimida (cambia para viga no rectangular)

T: Tracción C: Compresión As: Área de Acero (de manuales comerciales) fy: Limite de fluencia del Acero fć: Resistencia en probeta cilíndrica del Hormigón a: Altura que alcanza la compresión del Hormigón b: Ancho Viga

b) Determinar a y con esto c (C=a/β1, donde β1 depende de fć) c) Determinar el momento nominal de la viga

Mn da

2

As fy (2.3)

Mn: Momento nominal que resiste la viga d: Altura libre de Grieta de la viga (sección transversal). d = H - recubrimiento

d) Calcular el Momento Ultimo de la viga

Mu Mn (2.4)

ϕ: Factor de reducción que minora resistencia de la viga. ϕ=0.9

Fig. 2.1 a( ) b( ) c( )

Fig. 2.1 (a): Esquema básico viga con armadura simple. Fig. 2.1 (b): Diagrama deformación viga Fig. 2.1 (c): Esquemas de tensiones en viga




II) Caso 2: Diseñar la Armadura

a) Determinar Mu al cual está sometida la viga. Se recomienda mayoría los momentos para cada punto y no las cargas, con los factores dados por NCh3171

b) Con la ecuación dada a continuación obtener armadura necesaria (y la cuantía):

(2.5)

As

b d (2.6)

As: Área de armadura necesaria para satisfacer el momento que solicita la viga fy: Limite de fluencia del Acero fć: Resistencia en probeta cilíndrica del Hormigón b: Ancho Viga d: Altura libre de Grieta de la viga (sección transversal). d = H - recubrimiento ρ: Cuantía

Nota: - Si As es mayor que 0, se debe verificar los límites máximos y mínimos de armadura - Si As es menor o igual a 0, no requiere armadura, no obstante se utiliza armadura mínima - Si As es un n° complejo, se requerirá refuerzo de acero a compresión.

c) Determinar la cuantía de balance

bal0.85 fć 1

fy

0.003Es

fy 0.003Es (2.7)

ρbal: Cuantía de Balance Es: Modulo de elasticidad del Acero

d) Comparar Cuantía obtenida

max 0.75bal CasoEstaticoif

0.025 Caso Sismicoif

min max

14

fy

0.8 fć

fy

(2.8) (2.9)

Nota: - Si As es menor a ρmin, se utiliza armadura mínima - Si ρ es mayor que ρmax, se aumenta sección, o se aumenta calidad del acero, o se cambia a armadura doble - Se aclara que la armadura que estamos diseñando es para la zona en Tracción, dado que se asume que la resistencia del hormigón a tracción es cero

As0.85 fć b d

fy

0.85 fć b d

fy

21.89 Mu b fć( )

fy2




Armadura Doble

Nota: Se mantiene Nomenclatura utilizada para Armadura Simple y principios utilizados en esta.

I) Caso 1: Cálculo de Resistencia

La resistencia de la viga se lograra mediante un proceso iterativo, del cual se describen los pasos a continuación.

a) Realizar equilibrio de fuerzas y con esto determinar a

Cc Cs Ts (2.10)

0.85 fć a b As´ fs´ As fs (2.11)

aAs fs As´ fs´( )

0.85fć b (2.12)

Nota: aquellos términos con ´ en su final son para denotar la armadura que trabaja a compresión, en este caso además, se desconoce la tensión de trabajo del acero. Para la primera iteración se ingresa con fs=fs´=fy

b) Determinar c=a/β1 c) Realizar diagrama de deformación unitaria, y obtener deformación unitaria del acero. Se recomienda usar congruencia de triángulos

Fig. 2.2

a( ) b( ) c( )

Fig. 2.2 (a): Esquema básico viga con armadura doble. Fig. 2.2 (b): Diagrama deformación viga Fig. 2.2 (c): Esquemas de tensiones en viga

d) Verificar hipótesis de que acero trabaja a fluencia, de no ser así se debe volver al paso a), donde el valor para fs=εs*Es y fs´=εs´*Es (si fs o fs´ mayor a fy, usar fy para este) e) Iterar entre el paso a) y el paso d), hasta que converjan los valores de fs´ y fs.

f) Determinar el momento que resiste la viga, para esto hay diversa ecuaciones.

Mn 0.85 fć a b ca

2

As´ fs´ c h1( ) As fs d c( ) (2.13)

h1: Distancia entre As´ y borde de la viga.




II) Caso 2: Determinar Armadura de la viga (método recomendado)

a) Determinar una armadura base sobre la cual se comienza a trabajar, esta debe estar contenida entre As máxima y As mínima para armadura simple.

b) Determinar el momento nominal que resiste la viga con esta armadura, con ecuaciones de armadura simple

c) Determinar el ΔMn requerido

MnMu

Mn

(2.14)

d) Determinar armadura que falta para cumplir con momento requerido

AsrMn

d d´( ) fy (2.15)

Asr: Armadura necesaria Agregar, esta se agrega tanto en zona de compresión como en zona de tracción. d´: Distancia entre borde viga y armadura de refuerzo a compresión (generalmente igual a recubrimiento)

e) Verificar:

As 2Asr14

fy (2.16)

c t 0.75bal (2.17)

ρc: Cuantía Armadura a compresión ρt: Cuantía Armadura a Tracción

Nota: - La distribución de armaduras debe mantenerse para las condiciones aquí dadas, es decir, se deben repartir a la altura utilizada en las ecuaciones, o estas dejan de ser válidas. - En la sección transversal no deben haber fierros a una distancia mayor a 30 cm entre ellos. - La armadura longitudinal se debe diseñar para más de un punto, para lo cual se utiliza la envolvente de momentos, escogiendo para cada punto el momento positivo y negativo máximo, analizando todas las combinaciones, por esto es que se aconseja utilizar una armadura base y calcular refuerzos en zonas requeridos (usar traslape de 40ϕ es recomendado). - Para diseño sísmico la resistencia para momentos positivos la resistencia no debe ser menor que la mitad de los momentos negativos en los apoyos y en los tramos no debe ser menor que un cuarto de la resistencia en los apoyos para momentos positivos o negativos

Fig. 2.3: Envolvente de momentos




Ejercicios

1-. Determine el momento máximo que puede resistir una viga V30/40, cuyo recubrimiento es de 2 cm, una armadura inferior de 14cm2, y superior de 8cm2, considere H30 con acero A63-42 Es=2.1x10^6

As 14cm2

As´ 8cm2

d 38cm b 30cm

d1 2cm

fć 250kg

cm2

fy 4200kg

cm2

Es 2.1 106

kg

cm2

c 0.003

aAs fs As´ fs´( )

0.85fć b c

a

1

es cd c( )

c es´ c

c d1( )

c

fs es Es fs´ es´ fs´

Mu 0.9 0.85 fć a b ca

2

As´ fs´ c h1( ) As fs d c( )

Iter. fsi fs'i a c es e's fss fs's Mn Mu

1 4200 4200.00 3.95 4.65 0.02151 0.00171 45178.13 3590.63 21236860.5 19113174.4

2 4200 3590.63 4.72 5.55 0.01754 0.00192 36833.79 4029.80 16943933.6 15249540.2

3 4200 4029.80 4.17 4.90 0.02026 0.00178 42539.26 3729.51 19873068.6 17885761.7

4 4200 3729.51 4.54 5.35 0.01833 0.00188 38488.47 3942.71 17790235.9 16011212.3

5 4200 3942.71 4.28 5.03 0.01966 0.00181 41290.96 3795.21 19229718.7 17306746.8

6 4200 3795.21 4.46 5.25 0.01872 0.00186 39316.26 3899.14 18214671.3 16393204.2

7 4200 3899.14 4.33 5.09 0.01938 0.00182 40690.11 3826.84 18920506.5 17028455.9

8 4200 3826.84 4.42 5.20 0.01892 0.00185 39725.70 3877.59 18424850.5 16582365.4

9 4200 3877.59 4.36 5.13 0.01924 0.00183 40398.49 3842.18 18770541.2 16893487.1

10 4200 3842.18 4.40 5.18 0.01901 0.00184 39927.09 3867.00 18528283.9 16675455.5

11 4200 3867.00 4.37 5.14 0.01917 0.00183 40256.38 3849.66 18697488.6 16827739.7

12 4200 3849.66 4.39 5.17 0.01906 0.00184 40025.87 3861.80 18579030.2 16721127.2

13 4200 3861.80 4.38 5.15 0.01914 0.00183 40186.99 3853.32 18661825.9 16795643.3

14 4200 3853.32 4.39 5.16 0.01908 0.00184 40074.25 3859.25 18603890 16743501

15 4200 3859.25 4.38 5.15 0.01912 0.00184 40153.08 3855.10 18644397.9 16779958.1

16 4200 3855.10 4.39 5.16 0.01909 0.00184 40097.93 3858.00 18616059.5 16754453.6

17 4200 3858.00 4.38 5.16 0.01911 0.00184 40136.50 3855.97 18635876.6 16772289

18 4200 3855.97 4.38 5.16 0.01910 0.00184 40109.52 3857.39 18622014.7 16759813.2

19 4200 3857.39 4.38 5.16 0.01911 0.00184 40128.39 3856.40 18631709.2 16768538.2

20 4200 3856.40 4.38 5.16 0.01910 0.00184 40115.19 3857.10 18624928.3 16762435.5




fss y fs´s de la fila i se copian en fsi y fsí de la fila i+1 respectivamente, y se itera nuevamente hasta converger

Se ve con cada iteración se acerca más a un valor, lo cual se puede observar en los siguientes gráficos

3550.000

3600.000

3650.000

3700.000

3750.000

3800.000

3850.000

3900.000

3950.000

4000.000

4050.000

0 5 10 15 20

f´s (kg/cm2) vs N° Iteraciones

1892000.00

1894000.00

1896000.00

1898000.00

1900000.00

1902000.00

1904000.00

1906000.00

1908000.00

0 5 10 15 20 25

Mu (kgcm) vs Iteracion




2-. Para una viga V25/45 determine la armadura necesaria si se usa hormigón H30 y Acero A63-42, si se presenta la siguiente tabla de momentos

punto 1 2 3 4 5

Comb1 320711 416732 873529 750316 537703

Comb2 300916 169501 50133 132 139669

Comb3 903512 50713 163021 290332 330735

*Momentos en Kg*cm

Desarrollo

fć 250kg

cm2

fy 4200kg

cm2

b 25cm d 43cm

d1 2cm 1 0.85 Es 2.1 106

kg

cm2

a) Se calculara armadura base:

Asmin max 14kg

cm2

bd

fy

0.8 fćkg

cm2

fyb d

Asmin 3.583cm2

Asmax 0.750.85 fć 1 0.003 Es( )

fy fy 0.003Es( ) b d Asmax 20.804cm

2

se utilizaran 2ϕ16 para enseñar a usar refuerzo de armadura a compresión.

As 2 2 cm2

tabla obtenida de www.gerdauaza.cl

b) Se determina momento que puede resistir la viga con esta armadura

aAs fy

0.85fć b a 3.162cm

ca

1 c 3.72 cm




Mn As fy da

2

Mn 6.958 105

kg cm Mu 0.9Mn Mu 6.263 105

kg cm

c) La envolvente queda:

punto 1 2 3 4 5

Mu 903512 416732 873529 750316 537703

Por lo que se requeriría refuerzo en los puntos 1, 3 y 4

Mn1903512

0.9kg cm Mn Mn1 3.081 10

5 kg cm

Mn3873529

0.9kg cm Mn Mn3 2.748 10

5 kg cm

Mn4750316

0.9kg cm Mn Mn4 1.378 10

5 kg cm

Asr1Mn1

d d1( ) fy Asr1 1.789cm

2 Asr1 116

Asr3Mn3

d d1( ) fy Asr3 1.596cm

2 Asr3 116

Asr4Mn4

d d1( ) fy Asr4 0.801cm

2 Asr4 112

Nota: Podrían reajustarse las áreas de la armadura a tracción y compresión determinando el nuevo momento máximo de la viga, ya que está claro que por varios motivos en la zona superior de la viga debería ir armadura, la cual para este caso se omitirá. El diseño queda




3-. Para la viga mostrada en la figura, y en función de los datos entregados determine el valor de t para que el área comprimida quede solo en la parte superior de la viga. Determine además el momento último que resiste.

Datos:

fć 250kg

cm2

As1 10cm2

As2 8cm2

fy 2800kg

cm2

As3 6cm2

r 2cm

1 0.85

Desarrollo

i) Determinar ecuaciones que se utilizaran

Equilibrio de fuerzas

Cc Cas3 Tas1 Tas2 ==> 0.85 fć a b As3 fs3 As1 fs1 As2 fs2

aAs1 fs1 As2 fs2 As3 fs3( )

0.85 fć b

ca

1

tal que c<t

Compatibilidad de deformaciones

d h r ===> d 50 t r

1 cd c( )

c fs1 Es 1

2 cd c 5( )

c fs2 Es 2

3 cc r( )

c fs3 Es 3

Momento ultimo

Mu As1 fs1 d c( ) As2 fs2 d c 5( ) As3 fs3 c r( ) 0.85 fć b a ca

2

con ϕ=0.9




Se obtiene la siguiente tabla de iteraciones

iter fs1i fs2i fs3i a c t d es1 es2 es3 fs1s fs2s fs3s Mu

1 4200 4200 4200.00 3.9529 4.6505 5 53 0.03119 0.02796 0.00171 65498.44 58725.00 3590.63 3319907

2 4200 4200 3590.63 4.2397 4.9879 5 53 0.02888 0.02587 0.00180 60642.14 54326.85 3773.88 3313009

3 4200 4200 3773.88 4.1535 4.8864 5 53 0.02954 0.02647 0.00177 62032.06 55585.64 3721.43 3315183

4 4200 4200 3721.43 4.1781 4.9155 5 53 0.02935 0.02630 0.00178 61628.39 55220.05 3736.66 3314569

5 4200 4200 3736.66 4.1710 4.9070 5 53 0.02940 0.02635 0.00178 61745.14 55325.78 3732.26 3314748

6 4200 4200 3732.26 4.1731 4.9095 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61711.33 55295.17 3733.53 3314697

7 4200 4200 3733.53 4.1725 4.9088 5 53 0.02939 0.02634 0.00178 61721.12 55304.03 3733.17 3314712

8 4200 4200 3733.17 4.1726 4.9090 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.28 55301.46 3733.27 3314707

9 4200 4200 3733.27 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61719.10 55302.21 3733.24 3314708

10 4200 4200 3733.24 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.87 55301.99 3733.25 3314708

11 4200 4200 3733.25 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.94 55302.05 3733.25 3314708

12 4200 4200 3733.25 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.92 55302.04 3733.25 3314708

13 4200 4200 3733.25 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.92 55302.04 3733.25 3314708

14 4200 4200 3733.25 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.92 55302.04 3733.25 3314708

15 4200 4200 3733.25 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.92 55302.04 3733.25 3314708

16 4200 4200 3733.25 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.92 55302.04 3733.25 3314708

17 4200 4200 3733.25 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.92 55302.04 3733.25 3314708

18 4200 4200 3733.25 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.92 55302.04 3733.25 3314708

19 4200 4200 3733.25 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.92 55302.04 3733.25 3314708

20 4200 4200 3733.25 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.92 55302.04 3733.25 3314708

21 4200 4200 3733.25 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.92 55302.04 3733.25 3314708

22 4200 4200 3733.25 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.92 55302.04 3733.25 3314708

23 4200 4200 3733.25 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.92 55302.04 3733.25 3314708

24 4200 4200 3733.25 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.92 55302.04 3733.25 3314708

25 4200 4200 3733.25 4.1726 4.9089 5 53 0.02939 0.02633 0.00178 61718.92 55302.04 3733.25 3314708

* Todo en cm y kg según sea el caso



Leonardo Brescia Norambuena Diseño Armadura Corte Página 6

3-. Diseño Armadura de Corte

Como es habitual, en el diseño a corte también debemos verificar que el corte que resiste el elemento Vn (Corte nominal), al ser disminuido por un factor de seguridad sea mayor a la máxima solicitación, lo cual queda expresado por la ecuación 2.1

Vu Vn (3.1)

Vu: Corte Ultimo que existe en el elemento Vn: Corte Nominal que resiste el elemento ϕ: Factor de Seguridad que reduce resistencia del elemento

Nota: El diseño de armadura de corte debe ser determinada para cada uno de los puntos de interés (según se explicara a continuación), respetando las consideraciones de la combinación que predomine para el diseño.

Consideraciones especiales a tomar - Corte sísmico se obtiene por capacidad aportada por armadura longitudinal - Se diseña para caso más desfavorable (Vu=max(Vcomb1, Vcomb2,... ,Vcomb n)) - Por seguridad se busca que se produzca rotula plástica en vigas y no en columnas - Corte por momento plástico no se mayora en combinaciones de NCh3171, ACI y NCh433 - Buscando el caso más desfavorable, en zona rotula plástica (ZRP) se despreciara resistencia del Hormigón a la resistencia al corte que posee elemento - fy debe ser siempre menor o igual a 4000 kg/cm2 - Ante situaciones que no se pueda asegurar 100% la simetría de las condiciones del elemento, se debe calcular la acción de Sismo a la izquierda y a la derecha

Vn Vs Vc (3.2) Resistencia al corte total elemento

VsAv fy d( )

s (3.3) Resistencia al corte por Acero

Vc 0.53 b d fć (3.4) Resistencia al corte por Hormigón

Av: Área de Acero requerida (Av=2As) As: Área de Acero de Estribo fy: Limite de fluencia del acero d: Altura sección transversal libre de grietas b: Ancho del elemento s: Separación entre estribos (recordar que esta se debe definir para que sea constructiva, se recomiendan múltiplos de 5cm)

Nota: - Recordar que en ZRP Vc=0 - Si se está fuera de ZRP, aunque no se requiera armadura (Vc>Vu/ϕ) se debe usar cuantía minima




Fig. 3.1: Alcance ZRP

Consideraciones de espaciamiento de estribos y condiciones de resistencia

i) En ZRP

Smax mind

430cm

(3.5) y 3.5 b d Vs kg( ) 2.1 fć b d (3.6)

ii) Fuera de ZRP

Smax mind

430cm

(3.7) si Vs kg( ) 1.1 fć b d (3.8)

Smax mind

260cm

(3.9) si Vs kg( ) 1.1 fć b d (3.10)

Nota: Siempre se debe cumplir

Avmin3.5 b s

fy (3.11) y Vs kg( ) 2.1 fć b d (3.12)

Calculo de Vu

Para calcular Vu, se debe tener el corte estático y el corte sísmico. El corte estático viene del análisis estructural por cargas tales como PP, SC, etc..., destacándose que los cortes obtenidos deben ser mayorados de acuerdo a las indicaciones de la NCh3171. El corte sísmico se calcula por capacidad y a continuación se indican los pasos para este.

i) Determinar cuantías

siAssi

b d (3.13.a) sd

Assi

b d (3.13.b) ii

Assi

b d (3.13.c) id

Assi

b d (3.13.d)

xy ==> x: Superior o Inferior y: Izquierda o Derecha




ii) si 1.25 sify

fć (3.14.a) sd 1.25si

fy

fć (3.14.b) ii 1.25si

fy

fć (3.14.c)

id 1.25 sify

fć (3.14.d)

xy ==> x: Superior o Inferior y: Izquierda o Derecha

iii) Calculo de Momento Plástico

MPdsi id b d2

fć 1 0.59id( ) (3.15.a) MPisi si b d2

fć 1 0.59si( ) (3.15.b)

MPdsd sd b d2

fć 1 0.59sd( ) (3.15.c) MPisd ii b d2

fć 1 0.59ii( ) (3.15.d)

MPxsy ==> x: En la izquierda o En la derecha sy: Por sismo a la derecha o a la izquierda

iv) Calculo de corte sísmico

VsiMPisi MPdsi( )

L (3.16.a) En L se recomienda tomar L* dado que aumenta el corte sísmico

VsdMPisd MPdsd( )

L (3.16.b)

Nota: Aquí se ve que reforzar excesivamente los elementos de hormigón armado con armadura a la flexión no es lo más favorable para esta.

Cuando se analizan los diagramas de corte finales para el diseño de estribos, también se debe desarrollar una envolvente para cada punto, pero esta vez se debe tomar el modulo para cada valor, como se ve en el ejemplo que se presenta a continuación:

Fig. 3.2: Ejemplo envolvente de Corte

Hay que recordar que lo que uno diseñe debe ser construible (no solo su instalación, sino también que se respete las condiciones impuestas en el diseño) y fácilmente entendible, por lo que se recomienda que diámetros de enfierradura y distancias se mantengan constante en su zona de acción. Para el ejemplo se recomienda diseñar para el punto (1) la ZRP1, con (2) la zona central y con (3) la ZRP2.




Ejercicio

Para la viga mostrada en la figura se pide diseñar la armadura de corte. Use H30 y A63-42

Considere sc 12kg

cm2

Desarrollo

i) Se calculara la carga de PP

horm 2500kg

m3

pp horm 0.25 m 0.35 m pp 2.188kg

cm

ii) Se pueden asumir los diagramas de corte estático como

Diagramas por cortes de PP y SC

iii) Se calculan los cortes sísmicos

As

b d 1.25

fy

fć MP b d

2 fć 1 0.59( ) Vs

MPi MPd( )

L

L 4.3m b 25cm d 33cm fć 250kg

cm2

fy 4000kg

cm2

Punto As r w Mp Vs

SI 6.03 0.007309 0.146182 909138.28

ID 6.03 0.007309 0.146182 909138.28

SD 4.02 0.004873 0.097455 625161.46

II 6.03 0.007309 0.146182 909138.28

4228.55

3568.14

Diagramas de corte por sismo (capacidad)




iv) Se debe tener el Corte Para cada punto de relevancia, se tomaran los apoyos, fin de las ZRP y en el centro. (Para los cortes estáticos en este caso se pueden obtener por congruencia de triángulos)

Punto Vpp Vsc Vsi Vsd

Apoyo 1 470.42 2580 4228.55 3568.14

ZRP1 398.216 2184 4228.55 3568.14

Centro 0 0 4228.55 3568.14

ZRP2 -398.216 -2184 4228.55 3568.14

Apoyo2 -470.42 -2580 4228.55 3568.14

v) Se calculan las combinaciones

Se ve que se tomara ambos sismos con valor positivo y negativo, dado que así buscamos obtener los valores mas extremos en solicitudes, no obstante, se recuerda que si existe simetría los cálculos se pueden resistir

Punto Apoyo 1 ZRP1 Centro ZRP2 Apoyo2

1.4PP 658.59 557.50 0.00 -557.50 -658.59

1.2PP+1.6SC 4692.50 3972.26 0.00 -3972.26 -4692.50

1.2PP+SC+VSI 7373.05 6890.41 4228.55 1566.69 1084.05

1.2PP+SC+VSD 6712.64 6230.00 3568.14 906.28 423.63

1.2PP+SC-VSI -1084.05 -1566.69 -4228.55 -6890.41 -7373.05

1.2PP+SC-VSD -423.63 -906.28 -3568.14 -6230.00 -6712.64

0.9PP+VSI 4651.93 4586.94 4228.55 3870.16 3805.17

0.9PP+VSD 3991.52 3926.53 3568.14 3209.74 3144.76

0.9PP-VSI -3805.17 -3870.16 -4228.55 -4586.94 -4651.93

0.9PP-VSD -3144.76 -3209.74 -3568.14 -3926.53 -3991.52

SE TOMA 7373.05 6890.41 4228.55 -6890.41 -7373.05

vi) Se diseñara para Apoyo 1, Apoyo 2 y ZRP1

para determinar la separación de los estribos se debe calcular:

1.1 fć b d 1.1 250 25 33 14348.835

Dado que este determina la separación en el centro del elemento

También debe verificare que no se exceda 2.1 fć b d 2.1 250 25 33 27393.23




Punto Apoyo 1 ZRP1 Apoyo2 Comentario

Vu 7373.05 6890.41 7373.05 Maximo Corte

Vn 9830.74 9187.21 9830.74 Ver 2.1

Vc 0.00 6913.53 0.00 De acuerdo a diseño sismico

Vs 9830.74 2273.68 9830.74 ver 2.2

1.1raiz(fć)bd Limite para 2.5 a 2.9

s 8.25 16.5 8.25 Separacion Requerida

sreal 5 15 5 Separacion para construccion

Av 0.372 0.258 0.372 Ver 2.3

As 0.186 0.129 0.186 Area estribo

f 0.487 0.406 0.487 Diametro estribo

Avmin 0.109 0.328 0.109 Area min Estribo (2.11)

freal 0.8 0.8 0.8 Diametro Comercial Estribo

Asreal 0.50 0.50 0.50 Area Real Estribo

Avreal 1.01 1.01 1.01 Area real resistente al corte

Vsreal 26540.17 8846.72 26540.17 Resistencia real al corte (Acero)

14348.83

8a5 8a15

8a5

Diseño Final



Leonardo Brescia Norambuena Diseño en Flexo-Compresión Página 22

4-. Flexo - Compresión

4.1-. Flexo- Compresión (Métodos Analíticos)

Consideraciones Especiales: Siempre se prefiere una falla dúctil sobre una falla frágil Toda Ecuación puede ser determinada a partir del equilibrio de fuerzas y momentos Al momento de diseñar la armadura se estará penalizando el momento máximo que pueda resistir dicho elemento. Se considerara armadura As=As' Las consideraciones de diseño, verificación u otras no modificaran las ecuaciones del diseño de flexo-compresión, no obstante, los criterios pueden variar, de acuerdo a lo que demande la situación. Se recuerda que el diseño de hormigón armado debe obedecer a las estipulaciones del código ACI en su versión actualizada, y las normas chilenas que hagan inferencia en algún punto especial del diseño.

1-. Diseño de armadura i) Lo primero es saber que existe un punto de balance que nos determina dos zonas en una curva de interacción de P vs M, independiente a si se considera cargas nominales o cargas últimas, para determinar el punto de balance en que trabaja el elemento (pb, Mb) se sabe:

Pb 0.851 f́ c b d0.003Es( )

0.003Es fy (4.1)

Mb 0.85f́ c b a d d´´ 0.5a( ) As fy d d´ d´´( ) As fs d´´ (4.2)

a0.003Es( )

0.003Es fy1 d (4.3)

Dónde:

fć: Resistencia en Probeta cilíndrica del Hormigón b: Ancho del elemento a: Largo área comprimida del Hormigón d: Largo Libre de grietas del elemento (sección Transversal) As: Área de Acero que posee el elemento (Parte sup. o inf) d': H-d d'': H/2-d' fy: Limite de fluencia del Acero fs: Esfuerzo al cual está sometido acero a compresión, para la condición de balance fs=fy

ii) Analizar si se está sobre o bajo el punto de balance:

Fig 4.1: Falla del elemento según tipo de solicitación




ii.1) Si se está bajo el punto de balance:

a

Pu

0.85 f́ c b (4.4) ** fs=fy

(4.5) As

Mu

0.85f́ c b a d d´´ 0.5a( )

fy d d´( )

ii. 2) Si se está sobre el punto de balance: - Existen dos formas de resolverlo, una es a través de un sistema iterativo, y otra es a través de la resolución de la ecuación propuesta por P. Pizarro, donde la tecnología actual permite realizarlo fácilmente

Para la ecuación de P. Pizarro se determinó que la única incógnita es fs, la cual se determina mediante:

PuMu

0.85f́ c

0.003Es 1 d

fs 0.003Es

b d d´´0.003Es 1 d

2 fs 0.003Es( )

fy fs( )

fs d´´ fy d d´ d´´( )

0.00255Es 1 d f́ c b

fs 0.003Es

(4.6)

Luego con fs determino a

a 1 d0.003Es

fs 0.003Es

(4.7)

Luego con

Pu 0.85f́ c a b As fy fs( )[ ]

Se determina el valor de As. Se recomienda verificar el valor de las deformaciones para cumplir todos los supuestos, por ejemplo, f´s>fy. De no cumplirse deben utilizarse las ecuaciones de diseño y en forma iterativa determinar el valor de f´s y fs

ii. 3) Para diseño se debe considerar lo siguiente: - Sobre el punto de balance, ϕ toma el valor de ϕreal - Bajo el punto de balance, ϕ toma el valor ϕreal. La explicación viene del análisis de una curva de interacción, al momento de diseñar para seguridad se busca obtener la máxima resistencia la cual está relacionada a la cuantía, si para un elemento se trazaran diversas curvas para diferentes armadura (manteniendo calidad de acero), a mayor cuantía se vería mayor resistencia a carga axial y , por lo que se busca que para una carga axial se resista menos momento, luego al dividir las solicitaciones ultimas por un factor menor a uno vemos que estos se alejan del origen y coinciden con un una curva de mayor cuantía.

El valor de ϕreal es dado por:

0.90.2Pu

0.1 f́ c Ag Si Pb 0.1f́ c Ag (4.8)

0.90.2Pu

0.7Pb Si Pb 0.1f́ c Ag (4.9)




Fig. 4.2: Comparación resultado para obtener armadura

Destáquese que las variables independientes son Pu y Mu, y la variable dependiente es Pn y Mn

Notar que el valor de ϕ varía entre 0.65 y 0.9 que son los valores de ϕ para compresión simple y flexión simple respectivamente

2) Análisis de un elemento ya existente Cuando tenemos un elemento ya con su armadura el cálculo del área de esta deja de ser nuestra incógnita y pasa a ser la resistencia de esta, no obstante la resistencia del elemento puede utilizarse para dos ámbitos: i) Se puede utilizar para el diseño de armadura de corte de este, dado que al igual que en condiciones de flexión simple el corte sísmico en el elemento no queda determinado por el análisis estructural de la estructura sino por la capacidad plástica del elemento, las consideraciones tomadas por el diseño de armadura de corte no cambian, no obstante para el corte por capacidad se debe considerar que sobre el punto de balance el ϕ a tomar equivale a ϕ=1 y bajo el punto de balance ϕ=ϕreal, la explicación es inversa al diseño, ya que de esta manera obtenemos mayores momentos en el elemento, los cuales son nombrados como momento plástico.

Fig 4.3: Análisis uso de ϕ para momentos plásticos Nótese que el factor de ϕreal modifica a la carga axial, pero no al momento (Mp son con ϕ=1) por lo que Mn=Mu pero Pu no es igual Pn




Como resumen podemos determinar los momentos plásticos de la siguiente manera:

a) Bajo Pb:

real a

Pu

real

0.85 f́ c b (4.10) f́ s 0.003Es

a 1 d´

a (4.11) Verificar f´s>fy

Si f´s es menor que fy, se debe iterar con las siguientes ecuaciones

(4.12) f́ s 0.003Esa 1 d´


a

Pu

realAs f́ s fs( )

0.85 f́ c b

Mp 0.85f́ c a b d d´á

2

As f́ s d d´ d´´( ) As fy d´ (4.14)

Se asume que fs>fy, por la zona en que nos encontramos

b) Sobre Pb:

1 aPu

0.85f́ c b (4.15) f́ s 0.003Es

a 1 d´


fs 0.003Esd 1 a( )

a (4.17) Si c<d Verificar si fs>fy

fs 0.003Esd

c (4.18) Si c>d Verificar si fs>fy

Si alguna de las hipótesis no se cumple, se debe iterar, se recalcula a con:

f́ s 0.003Esa 1 d´


a

Pu

realAs f́ s fs( )

0.85 f́ c b (4.19)

fs 0.003Esd 1 a( )

a (4.21) Si c<d Verificar si fs>fy

fs 0.003Esd

c (4.22) Si c>d Verificar si fs>fy

Mp 0.85f́ c a b d d´á

2

As f́ s d d´ d´´( ) As fs d´´ (4.23)

Se recuerda que con los momentos plásticos se puede determinar los cortes por capacidad del elemento

ii) La segunda opción que tenemos es la verificación del criterio de viga débil fuerte impuesta por el código ACI, para esto debemos comprobar:

Me6

5Mg (4.25)

Me: Momentos en el centro de la unión, aportados por las columnas Mg: Momentos en el centro de la unión, aportados por las vigas

Mg deben ser determinados bajo los criterios de flexión simple Me deben calcularse con los métodos de flexo-compresión, la importancia es que en este punto el valor de ϕ sobre el punto de balance es ϕ=ϕreal, y bajo el punto de balance ϕ=1, dado que en esta condición tenemos el caso más desfavorable para comprobar el criterio (ver Fig 4.3), los momentos se multiplican por ϕreal.




Para calcular Me en una columna debo:

i) Determinar el punto de balance:

Pb 0.851 f́ c b d0.003Es( )

0.003Es fy (4.26)

Mb 0.85f́ c b a d d´´ 0.5a( ) As fy d d´ d´´( ) As fs d´´ (4.27)

a0.003Es( )

0.003Es fy1 d

(4.28)

ii) si Pu<Pb

aPu

0.85f́ c b (4.29) ** fs=fy

Mu real 0.85f́ c b a d d´´ 0.5a( ) fy d d´( )[ ] (4.30)

iii) Si Pu>Pb

Con un método iterativo determino el valor de fs (se asume f´s>fy, aunque al final puede comprobarse y si no cumple debe también ser recalculado)

a 1 d0.003Es

fs 0.003Es

(4.31) Pu 0.85f́ c a b As fy fs( )[ ] (4.32)

Mu 0.85f́ c b a d d´´ 0.5a( ) As fy d d´ d´´( ) As fs d´´[ ] (4.33)

Nota: El criterio de viga débil - columna fuerte debe determinarse para sismo a la izquierda y sismo a la derecha.

Consideraciones especiales en diseño

El momento que se obtiene del cálculo estructural debe ser amplificado por un factor δ, este se puede determinar mediante:

Estructuras sin desplazamiento lateral (ACI 2008 10.12)

Cm

1Pu

Pc

1 (4.34)

Cm 0.6 0.4M1

M2 0 (4.35) Con M1<M2

real Recordar que ϕ varía entre 0.65 y 0.9

M2 Pu 1.5 0.03h( ) Con 1.5 y h en centímetros

ACI 2008




M1

M2 Es mayor a 0 si la curvatura es simple y menor a 0 si es de doble curvatura.

Para elementos con cargas laterales en los apoyos Cm=1

Pc: Es la carga critica propuesta por Euler para pandeo

Pc

2EI( )

K Lu( )2

(4.36)

K: es el factor que modifica el largo del elemento llevándolo al largo de pandeo, obteniendo la longitud efectiva del elemento. Lu: es el largo del elemento EI: puede describirse como la rigidez del elemento, el código ACI dice que puede ser calculado como:

EIEc Ig( )

2.5

1

1 dns (4.37) Según ec. 10-12 ACI 2008

Ec: Modulo de elasticidad del hormigón, el cual se calcula según lo estipulado en 8.5.1 en código ACI 2008. Puede tomarse como:

Ec wc1.5

0.136 f́ c (4.38) Ec en Kg/cm2 y con wc entre 1440 y 2560, ACI recomienda

Ec 15100 f́ c (4.39)

Ig: Inercia global de la columna

Igb h

3

12 (4.40)

βdns: Es la relación entre la máxima carga axial mayorada sostenida dentro de un piso y la máxima carga axial mayorada asociada a la misma combinación de carga. Debe ser mayor a 1

Según ACI 10.10.1 si Klu

r 34 12

M1

M2 40 Se puede despreciar la magnificación del momento

r 0.3b (4.41)

Estructuras con desplazamiento lateral (10.10.7 ACI 2008)

Para estas se tiene:

M1 M1ns s M1s (4.42)

M2 M2ns s M2s (4.43)




M1 = el menor momento mayorado de uno de los extremos de un elemento en compresión, debe tomarse como positivo si el elemento presenta curvatura simple y negativo si tiene curvatura doble

M1ns = momento mayorado en el extremo del elemento en compresión en el cual actúa M1, y que se debe a cargas que no causan un desplazamiento lateral apreciable, calculado por medio de un análisis estructural elástico de primer orden

M1s = momento mayorado en el extremo del elemento en compresión en el cual actúa M1, y que se debe a cargas que causan un desplazamiento lateral apreciable, calculado por medio de un análisis estructural elástico de primer orden

M2 = el mayor momento mayorado de uno de los extremos de un elemento en compresión, siempre positivo M2, min = valor mínimo de M2 M2ns = momento mayorado en el extremo del elemento en compresión en el cual actúa M2, y que se debe a cargas que no causan un desplazamiento lateral apreciable, calculado por medio de un análisis estructural elástico de primer orden

M2s = momento mayorado en el extremo del elemento en compresión en el cual actúa M2, y que se debe a cargas que causan un desplazamiento lateral apreciable, calculado por medio de un análisis estructural elástico de primer orden

ACI 2008, Definiciones

δs puede calcularse directamente con:

ACI 2008:

s1

1PU

real Pc

(4.44)

Pc

2EI( )

K Lu( )2

Al igual que caso anterior

Para determinar el factor K se debe seguir el punto 10.10.4 del ACI, a continuación se expone una metodología simplificada

- Se debe determinar el factor Ψa y Ψb en los extremos de la columna

(4.45)

EcIc

Lc

EcIv

Lv

Ec: Modulo elasticidad hormigón (véase que si todo es del mismo hormigón puede simplificarse) se calcula con la ec. Ya propuesta Ic: Inercia Columna Lc: Largo Columna Iv: Inercia Viga Lv: Largo Viga




El código ACI en 10.10.4.1 (b), permite determinar en forma simplificada Ic e Iv como:

Ic 0.7Igc (4.46) Iv 0.35Igv (4.47)

Nota: Si existen cargas laterales, Ic debe dividirse Ic por (1+βd)

- Luego con Ψa y Ψb se entra en el siguiente ábaco y se determina K

Fig. 4.4: Ábacos para obtener K

Nota: El valor de K se calcula por cada plano de análisis, por lo que solo aportan elementos en el plano analizado para determinar Ψa y Ψb

Finalmente como ultima indicación de consideración dada por ACI, el elemento con su 80% de resistencia a compresión debe resistir los esfuerzos de compresión simple (ACI 2008 10.3.6.3)




4.2-. Flexo- Compresión (métodos Gráficos)

Para determinar armaduras y resistencias de elementos sometidos a flexo-compresión, se permite el uso de ábacos. En estos las consideraciones expuestas anteriormente no cambian, la diferencia es que la obtención de resultados no se basara en ecuaciones, sino en gráficos. Dichos gráficos están aceptados por el ACI y la NCh 427 of 76

i) Lo primero es determinar el ábaco a utilizar, dependiendo de la calidad del acero ii) Se debe analizar que estoy haciendo: a) si estoy diseñando mis variables conocidas son P y M (nominales o últimos), de ser así, debo determinar:

k´Pn

f́ c b h

Pu

f́ c b h (4.48) Si Pu>Pb ϕ=ϕreal

Si Pu<Pb ϕ=ϕreal (4.49) ké

h

Mn

f́ c b h2

Mu

f́ c b h2

Con estos valores los intersecto en el gráfico y determino la curva ρ*μ, con esta determino la armadura con:

(4.50) 2As

b h (4.51)

fy

0.85f́ c (4.53)

As 0.85 f́ c b h

2fy (4.54)

b) Si estoy determinando los Momentos plásticos, mi incógnita es el momento y mis variables son P y mi armadura, con esto debo determinar:

Si Pu<Pb ϕ=ϕreal Si Pu>Pb ϕ=1 2

As

b h (4.55)

fy

0.85f́ c (4.56) k´

Pn

f́ c b h

Pu

f́ c b h (4.57)

Con ´ 1.25 Determino mi curva, y junto a k´ determino ké y con este Mu

Mp ké f́ c b h2

(4.58) (Para Mp ϕ=1)

c) Si estoy comprobando el criterio de columna fuerte - viga débil, mi incógnita es el momento y mis variables son P y mi armadura, con esto debo determinar:

Si Pu>Pb ϕ=ϕreal Si Pu<Pb ϕ=1 2

As

b h (4.59)

fy

0.85f́ c (4.60) k´

Pn

f́ c b h

Pu

f́ c b h (4.61)

Con Determino mi curva, y junto a k´ determino ké y con este Mu

Mu kéreal f́ c b h2




Ejercicios

1-. Para un 20x40, sometida a una carga de 100 ton, y un momento de 15ton*m y 13ton*m, con curvatura simple y sin desplazamientos laterales, se pide determinar la armadura para que resista dicha solicitación, si se utilizara H30 y A44-28 (tomar wc=2300). La situación de la columna es la mostrada en la figura. Considere βd=1, si no se puede utilizar A44-28 diga por qué y de solución

fy 2800kg

cm2

f́ c 250kg

cm2

Pu 100000kg Mu 15ton m

wc 2300 Ec wc1.5

0.136 f́ ckg

cm2

Ec 237192.344kg

cm2

H 40cm b 20cm d 1

Lo primero es determinar el factor δ, para esto necesito K

a

Ec 0.7b H

3

12 300 1 d( )

Ec 0.3520 20

3

12 260Ec 0.35

20 203

12 260

a 3.467cm4

b

Ec 0.7b H

3

12 320 1 d( )Ec 0.7

b H3

12 300 1 d( )

Ec 0.3520 20

3

12 260Ec 0.35

20 203

12 260

b 6.717cm4




Con esto K 0.91

Para ver si se considera efectos de esbeltez

Klu

r 34 12

M1

M2 40

Lu 300cm Ig bH

3

12

KLu

0.3b 45.5 Por lo que si se considera efectos de esbeltez

EIEc Ig( )

2.5

1

1 d EI 5060103336.319kg cm

2

Pc

2EI( )

K Lu( )2

Pc 670091.081kg

M2 15ton m M1 13ton m

Cm 0.6 0.4M1

M2 Cm 0.947

1 0.85 Tomamos d´ 2cm d 38cm d´´ 18cm Es 2100000kg

cm2

Pb 0.851 f́ c b d0.003Es( )

0.003Es fy Pb 95036.538kg

Calculando ϕreal:

0.90.2Pu

0.1 f́ c Ag Si Pb 0.1f́ c Ag

0.90.2Pu

0.7Pb Si Pb 0.1f́ c Ag

Ag b H Ag 800 cm2

0.1f́ c Ag 20000kg

0.9 0.2Pu

0.1f́ c Ag( ) 0.1 Pb 9503.654 kg

0.90.2Pu

0.7Pb 0.599

Pero ϕmin: 0.65 0.65

Cm

1Pu

Pc

1.229

Luego tenemos:

Pu 100000kg Mu 1500000kg cm Mu 1843174.209kg cm




Luego con la ec. De P. Pizarro determinamos fs

PuMu

0.85f́ c

0.003Es 1 d

fs 0.003Es

b d d´´0.003Es 1 d

2 fs 0.003Es( )

fy fs( )

fs d´´ fy d d´ d´´( )

0.00255Es 1 d f́ c b

fs 0.003Es

Resolviéndolo se determina fs 1341.6kg

cm2

a 1 d0.003Es

fs 0.003Es

a 0.266m

As

Pu

0.85 f́ c a b

fy fs As 27.888cm

2

As

b d0.037

Esto cumple con una cuantía estática y sísmica en su extremo, al pasar está a área real tenemos con 4ϕ36

Asreal 4 7.99 cm2

Asreal 31.96cm2

realAsreal

b d real 0.042

Si calculamos con fy=4200kg/cm2

fy 4200kg

cm2

f́ c 250kg

cm2

Pu 100000kg Mu 28ton m

wc 2300 Ec wc1.5

0.136 f́ ckg

cm2

Ec 237192.344kg

cm2

H 40cm b 20cm d 1

Lo primero es determinar el factor δ, para esto necesito K

a

Ec 0.7b H

3

12 300 1 d( )

Ec 0.3520 20

3

12 260Ec 0.35

20 203

12 260

a 3.467cm4

b

Ec 0.7b H

3

12 320 1 d( )Ec 0.7

b H3

12 300 1 d( )

Ec 0.3520 20

3

12 260Ec 0.35

20 203

12 260

b 6.717cm4

Con esto K 0.91

Para ver si se considera efectos de esbeltez




Klu

r 34 12

M1

M2 40

Lu 300cm Ig bH

3

12

KLu

0.3b 45.5 Por lo que si se considera efectos de esbeltez

EIEc Ig( )

2.5

1

1 d EI 5060103336.319kg cm

2

Pc

2EI( )

K Lu( )2

Pc 670091.081kg

M2 15ton m M1 13ton m

Cm 0.6 0.4M1

M2 Cm 0.947

1 0.85 Tomamos d´ 2cm d 38cm d´´ 18cm Es 2100000kg

cm2

Pb 0.851 f́ c b d0.003Es( )

0.003Es fy Pb 82365kg

Calculando ϕreal

0.90.2Pu


0.90.2Pu

0.7Pb Si Pb 0.1f́ c Ag

Ag b H Ag 800 cm2

0.1f́ c Ag 20000kg

0.9 0.2Pu

0.1f́ c Ag( ) 0.1 Pb 8236.5 kg

0.90.2Pu

0.7Pb 0.553


Cm

1Pu

Pc

1.229

Luego tenemos:

Pu 100000kg Mu 1500000kg cm Mu 1843174.209kg cm




Luego con la ec. De P. Pizarro determinamos fs

PuMu

0.85f́ c

0.003Es 1 d

fs 0.003Es

b d d´´0.003Es 1 d

2 fs 0.003Es( )

fy fs( )

fs d´´ fy d d´ d´´( )

0.00255Es 1 d f́ c b

fs 0.003Es

Resolviéndolo se determina fs 1758.7kg

cm2

a 1 d0.003Es

fs 0.003Es

a 0.253m

As

Pu

0.85 f́ c a b

fy fs As 19.059cm

2

As

b d0.025

Con este acero obtenemos una armadura menor, la cual puede ser 5ϕ25

Utilizando ábacos podemos decir

Para fy=2800kg/cm2

fy 2800kg

cm2

k´Pu

f́ c b H

Pu

f́ c b H( )0.769

ké

h

Mu

f́ c b H2

ké

h

Mu

f́ c b H2

0.354

1.05 Excede el máximo por lo cual se debería modificar el elemento, no obstante se continuara

As 0.85f́ c b H

2fy As 31.875cm

2

Para fy=4200kg/cm2

fy 4200kg

cm2

k´Pu

f́ c b H

ké

h

Mu

f́ c b H2

ké

h

Mu

f́ c b H2

0.354

1.05

As 0.85f́ c b H

2fy As 21.25cm

2

Se ve que el método gráfico es más conservador




2-. a) Determine para una columna 20x30, con una armadura de 10 cm2 en cada extremo, el diagrama de la curva de interacción Pn vs Mn para un acero A63-42, A44-28, A42-27. Utiliza un método analítico b) Determine con esta el momento plástico para una carga equivalente de Pu1=70000kg y Pu2=30000kg, para fy=4200kg/cm2

Recubrimiento de 2 cm, hormigón H30

Desarrollo

Para realizar estas curvas debemos realizar la siguiente tabla, dado que trabajaremos con resistencias nominales podemos hacer valer ϕ=1 para todos los casos, dado que no sabemos si estamos diseñando o analizando otro caso.

As 10cm2

f́ c 250kg

cm2

H 30cm b 20cm d 28cm d´ 2cm d´´ 13cm

1 0.85 c 0.003

Caso 1: fy 4200kg

cm2

Pb 0.851 f́ c b d0.003Es( )

0.003Es fy Pb 60690kg

Caso 2: fy 2800kg

cm2

Pb 0.851 f́ c b d0.003Es( )

0.003Es fy Pb 70026.923kg

Caso 3: fy 2400kg

cm2

Pb 0.851 f́ c b d0.003Es( )

0.003Es fy Pb 73246.552kg




Tabla Caso 1

Pn fsa=0.003Es b1 d

/(fs+0.003Es)

Pn=0,85fć a b +

As (fy-fs)

Mn=0,85fć a b (d-d´´-0,5a)

+Asfy(d-d´-d´´)+As fs d´´

60690 4200 14,28 60690 1569023,4

Pn fsa=0.003Es b1 d

/(fs+0.003Es)

Pn=0,85fć a b +

As (fy-fs)

Mn=0,85fć a b (d-d´´-0,5a)


206040 -1904,94 34,12 206040 0,16

200000 -1760,92 33,03 200000 104168,69

185000 -1371,14 30,42 185000 340546,49

170000 -931,01 27,93 170000 547988,69

155000 -434,92 25,56 155000 730399,21

143150 0,00 23,80 143150 859565,00

140000 122,33 23,35 140000 891986,20

125000 745,15 21,28 125000 1037115,92

110000 1436,68 19,38 110000 1170118,36

95000 2198,41 17,64 95000 1295070,25

80000 3030,04 16,07 80000 1415593,84

65000 3929,49 14,66 65000 1534709,56

Pn fsa= Pn/

(0,85*fć*b)

Pn=0,85fć a b +

As (fy-fs)

Mn=0,85fć a b (d-d´´-0,5a)


60000 4200 14,12 60000 1568470,59

45000 4200 10,59 45000 1528764,71

30000 4200 7,06 30000 1436117,65

15000 4200 3,53 15000 1290529,41

0 4200 0,00 0 1092000,00

Pb

Sobre

Pb

Bajo

Pb




Tabla Caso 2

Pn fsa=0.003Es b1 d

/(fs+0.003Es)

Pn=0,85fć a b +

As (fy-fs)

Mn=0,85fć a b (d-d´´-0,5a)


70026.9 2800 16,48 70026,92 1201489,73

Pn fsa=0.003Es b1 d

/(fs+0.003Es)

Pn=0,85fć a b +

As (fy-fs)

Mn=0,85fć a b (d-d´´-0,5a)


181273 -1643,18 32,20 181273 0,00

170000 -1343,43 30,25 170000 173234,97

155000 -899,74 27,77 155000 378882,98

140000 -399,73 25,41 140000 559771,68

129150 0,00 23,80 129150 677565,00

125000 161,77 23,20 125000 720124,95

110000 789,09 21,15 110000 864313,11

95000 1485,27 19,26 95000 996656,04

80000 2251,69 17,53 80000 1121206,05

Pn fsa= Pn/

(0,85*fć*b)

Pn=0,85fć a b +

As (fy-fs)

Mn=0,85fć a b (d-d´´-0,5a)


60000 2800 14,12 60000 1204470,59

45000 2800 10,59 45000 1164764,71

30000 2800 7,06 30000 1072117,65

15000 2800 3,53 15000 926529,41

0 2800 0,00 0 728000,00

Pb

Sobre

Pb

Bajo

Pb

Tabla Caso 3

Pn fsa=0.003Es b1 d

/(fs+0.003Es)

Pn=0,85fć a b +

As (fy-fs)

Mn=0,85fć a b (d-d´´-0,5a)


73246.6 2400 17,23 73246,55 1091515,06

Pn fsa=0.003Es b1 d

/(fs+0.003Es)

Pn=0,85fć a b +

As (fy-fs)

Mn=0,85fć a b (d-d´´-0,5a)


181273 -1559,06 31,63 174004 0,00

170000 -1452,94 30,93 170000 61704,16

155000 -1023,34 28,42 155000 274632,82

140000 -538,88 26,03 140000 461721,02

125150 0,00 23,80 125150 625565,00

125000 5,76 23,78 125000 627125,92

110000 615,17 21,68 110000 775196,46

95000 1292,78 19,75 95000 910286,99

80000 2040,43 17,98 80000 1036542,10

Pn fsa= Pn/

(0,85*fć*b)

Pn=0,85fć a b +

As (fy-fs)

Mn=0,85fć a b (d-d´´-0,5a)


60000 2400 14,12 60000 1100470,59

45000 2400 10,59 45000 1060764,71

30000 2400 7,06 30000 968117,65

15000 2400 3,53 15000 822529,41

0 2400 0,00 0 624000,00

Pb

Sobre

Pb

Bajo

Pb




Con las tablas Obtenidas podemos realizar el siguiente gráfico:

0

50000

100000

150000

200000

1,00 500001,00 1000001,00 1500001,00

Pn (kg)

Mn (kg*cm)

Curvas Pn vs Mn

fy=4200kg/cm2 fy=2800kg/cm2 fy=2400kg/cm2

b) Para calcular los momentos plásticos para Pu1=70ton y Pu2=30ton tenemos

Pu1 70000kg Esta sobre Pb 1

Por gráfico tenemos MP: 1490000 kg*cm

Pu2 30000kg Esta sobre Pb real real

0.90.2Pu


Ag b H Ag 600 cm2

0.90.2Pu

0.7Pb Si Pb 0.1f́ c Ag 0.1f́ c Ag 15000kg

0.9 0.2Pu

0.1f́ c Ag( ) 0.433 Pb 31740.172 kg

0.90.2Pu

0.7Pb 0.51 Pero ϕmin: 0.65 0.65

Pu2´Pu2

Pu2́ 46153.846kg

Por gráfico tenemos MP: 1525000 kg*cm







3-. Para la sección mostrada en la figura, diseñe la armadura para flexo-compresión, compruebe el criterio de viga débil - columna fuerte, y determine el corte por capacidad que produce en la columna la armadura de flexo-compresión, desprecie efectos de esbeltez. Considere hormigón H25 y fy=2800 kg/cm2. Se recomienda usar ábacos. (Asuma columna sup armada igual a columna inferior

As1 10cm2

As2 8cm2

Comb. PU (kg) Mu (kg*cm)

1 30000 987400

2 35600 763000

3 42000 859000

4 70000 679000

Combinaciones no sujetas a las propuestas por ACI, NCh3170 u otras.

Desarrollo

Se utilizara ábacos para resolver el problema, por lo que primero haremos el diseño

1 0.85 b 20cm d 28cm H 30cm f́ c 200kg

cm2

Es 2100000kg

cm2

fy 2800kg

cm2

Pb 0.851 f́ c b d0.003Es( )

0.003Es fy Pb 56021.538kg

ϕreal se calcula solo para PU=70ton, dado que es el único que lo utiliza

0.90.2Pu


Ag b H Ag 600 cm2

0.90.2Pu


0.9 0.2Pu

0.1f́ c Ag( ) 0.767 Pb 42949.846 kg

0.90.2Pu

0.7Pb 0.39 Pero ϕmin: 0.65 0.65




Comb Pu Mu f k´ ké/h rm As

1 30000 987400 0.65 0.385 0.4220 0.93 16.94

2 35600 763000 0.65 0.456 0.3261 0.66 12.02

3 42000 859000 0.65 0.538 0.3671 0.82 14.94

4 70000 679000 0.65 0.897 0.2902 0.94 17.12

Asreal

17.9 6f22

Criterio columna fuerte - viga débil

Dada la simetría, sismo a la izquierda equivale a sismo a la derecha

Se repite ϕreal solo para C4

219cm

2

b H 0.063

fy

0.85 f́ c 16.471

1.043

Columnas

Comb Pu f k´ rm ké/h Mu

1 30000 1 0.250 1.043 0.43 1006200

2 35600 1 0.297 1.043 0.44 1029600

3 42000 1 0.350 1.043 0.443 1036620

4 70000 0.65 0.897 1.043 0.313 732420

Me 2 732420 kg cm

Para vigas tenemos:

Mp As fy dc 0.59Asfy

f́ c b( )

dc 28cm d de las columnas = d Vigas

Mp1 0.9As1 fy dc 0.59As1fy

f́ c b( )

Mp2 0.9As2 fy dc 0.59As2fy

f́ c b( )

Mg Mp1 Mp2




Me

1.2Mg1.11 Por lo que se cumple el criterio, finalmente la cuantía es

19cm2

b d0.034 Esta está entre 0.01 y 0.06 Límites permitidos por ACI en su punto 21.6.3.1

Ahora debemos determinar los momentos plásticos, para esto debemos recalcular ρ*μ

´ 1.25 ´ 1.304

Ahora se debe calcular ϕreal para C1, C2, C3

0.90.2Pu


Ag b H Ag 600 cm2

0.90.2Pu


C1: Pu1 30000kg

0.9 0.2Pu1

0.1f́ c Ag( ) 0.4 Pb 22408.615kg


C2: Pu2 35600kg

0.9 0.2Pu2

0.1f́ c Ag( ) 0.307 Pb 17179.938kg


C3: Pu3 42000kg

0.9 0.2Pu3

0.1f́ c Ag( ) 0.2 Pb 11204.308kg

0.90.2Pu

0.7Pb 0.39 Pero ϕmin: 0.65 0.65

Para las columnas se tendrá:

Comb Pu f k´ rm´ ké/h Mu

1 30000 0.65 0.385 1.304 0.452 1627200

2 35600 0.65 0.456 1.304 0.456 1641600

3 42000 0.65 0.538 1.304 0.440 1584000

4 70000 1 0.583 1.304 0.420 1512000

Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería Civil en Obras Civiles


Leonardo Brescia Norambuena Diseño de Losas Página 44

5-. Diseño de Losas

Consideraciones previas Las losas podrán ser trabajadas de manera distinta de acuerdo a las condiciones geométricas y de entorno en el cual se encuentren, no siendo necesariamente los métodos exclusivos entre ellos. El diseño deberá seguir respetando las condiciones de ACI en su versión más actualizada, por lo que ciertos valores pueden estar desactualizados, pero no por esto el método deja de ser válido. El diseño de losas, como el diseño de otros elementos no solo debe respetar condiciones de cálculo y diseño estructural, sino también de servicialidad con lo que todo esto lleva. Finalmente recordar, que las condiciones que uno impone al diseño y cálculo se correspondan, dado que si uno para calculo estructural impone losas rígidas que relacionen grados de libertad de los elementos unidos a través de estas, se debe cumplir para mantener las hipótesis dadas, destacándose para losas de formas complejas como se solicita en la NCh 433. Las losas son placas de pequeño espesor, que generan un alto % del peso de un edificio, por lo que no se puede incrementar su espeso en manera indiscriminada por las cargas sísmicas que esto genera (recordando el método estático de diseño tenemos un ejemplo de esto)

Tabla 5.1: Espesores mínimos de losa, según tabla 9.5 (c) ACI, sin embargo L/36 es un valor aceptado y usado como base en este apunte

A demás debe cumplirse que el espesor sea mayor a 11 cm, por la ley de venta de pisos

5.1-. Diseño de Losas Aisladas

Fig. 5.1: Ejemplo Losa aislada

Debe cumplirse

h<<a h<<b Δmax/h < 1/5, para deformaciones pequeñas




5.1.1-. Diseño de Losas Aisladas que trabajan en 1 dirección

Para esto deberán respetarse que el lado mayor (a) y el lado menor (b) respeten la condición de:

a

b2 (5.1)

Una vez cumplido esto el análisis se nos simplifica, dado que estructuralmente la losa solo necesitara armadura en la sección corta, dejando la dirección larga solo con armadura mínima por retracción, que según ACI será:

Tabla 5.2: Cuantía mínima en losas. Las cuantías indicadas en ningún punto deben ser menores a 0.0014, según se dice en 7.12.2.1 ACI 2005. La separación máxima será de 450 mm o 5 veces el espesor. No obstante a lo anterior se tomara una cuantía mínima de diseño de ϕ8@25 como criterio

Para diseñar la armadura se de tomar una franja de esta, de 1m de ancho, la cual se debe modelar como una viga, para esto se analizan las condiciones de borde de la losa, como se indican a continuación:

Fig. 5.2: Modulación losa

Luego el diseño se realiza bajo las condiciones de flexión simple, donde el largo de la viga es el largo de la modulación (para determinar momentos máximos se recomiendan tablas de vigas tipos), la altura es el espesor de la viga, y el ancho es de 1m. El largo de la viga de modulación se debe tomar de acuerdo a recomendaciones incluyendo altura de losa o distancia entre ejes, o según el caso en particular, aquí se tomara como simplificación la distancia entre ejes dados. La armadura se calcula mediante

As0.85 fć b d

fy

0.85 fć b d

fy

21.89 Mu b fć( )

fy2

(5.2)

max 0.75bal CasoEstaticoif

0.025 Caso Sismicoif

min max

14

fy

0.8 fć

fy

(5.3) (5.4)




ACI permite en que la cuantía requerida sea menor que la mínima usar 1.33As, siempre y cuando no sea menor que la de retracción

Como se sabe, el peso del acero es aproximadamente 3 veces el del Hormigón, por lo que para disminuir pesos y costos, se recomienda trazar en el elemento la armadura mínima de retracción y completar las áreas requeridas con suples, dándoles traslapos de 40ϕ. Se deben diseñar las armaduras para los momentos positivos y negativos por separado.

5.1.2 Diseño de Losas Aisladas que trabajan en 2 direcciones

Las condiciones de diseño se mantiene constante, independiente de la clasificación de la losa en cuestión, lo que varía es la forma en que se determinan los esfuerzos máximos. Para losas que trabajan en dos direcciones utilizaremos el método de Marcus en una forma simplificada, sabiendo que su deducción proviene de la teoría de placas. Para estas se cumple:

a

b2 (5.5)

Se define una dirección X e Y en la losa para la cual la carga ultima queda determinada según la dirección de análisis, luego se determinan los momentos máximos y se diseña la armadura al igual que el caso anterior.

Siendo q qult

(5.6) qx

qy

q (5.7)

qx

q 1

x

y

lx

ly

4

1

(5.8) qy

q 1

y

x

ly

lx

4

1

(5.9)

La Fig. 5.3 muestra ejemplos de cómo obtener los coeficientes αx y αy

Fig. 5.3: Ejemplos de coef. α

Nótese que con (5.8) y (5.7) se puede obtener (5.9). Posterior a la obtención de las cargas se utiliza la ecuación 5.2 para determinar el área de acero necesaria.

5.2-. Diseño de Campos de Losas Continuas Cuando existen diversas cantidades de losas pertenecientes a un mismo campo de losa debemos determinar la solicitaciones en las dos direcciones de estas, el problema surge al hacer las diferentes combinaciones, ya que puede que estas se comporten como la modelación de una viga continua con varios apoyos, complicando la obtención de momentos de tramos y momentos en apoyos o vigas centrales. Cabe destacar que dentro de las losas continuas podemos realizar la separación entre losas semejantes y no semejantes, sin que las segundas excluyan a las primeras, es decir, los campos de losas semejantes son un subtipo de campo de los, cuyo análisis es más sencillo.




5.2.1-. Diseño de Campos de Losas Continuas, con Losas Semejantes

Para que un campo de losas se considere semejante se debe cumplir que para cada losa la relación entre el lado largo (a) y el lado corto (b) sea menor o igual a 1.2, es decir:

a

b1.2 (5.10)

Una vez teniendo esto, se definen 3 casos:

Caso 1 o Estado "0": en todos los bordes internos se considerara que están empotrados, y se cargara el campo de losas con una carga q, tal que:

q PPSC

2 (5.11)

Caso 2 o Estado "1": en todos los bordes internos se considerara que están con un apoyo simple, y se cargara el campo de losas con una carga q, tal que:

qSC

2 (5.12)

Caso 3 o Estado "2": En los apoyos que se esté buscando se considerara que están empotrados, y se cargara el campo de losas con una carga q, tal que:

qSC

2 (5.13)

Nótese que apoyos externos respetan condiciones previamente impuestas en el modelo Luego de tener los casos listos, debemos obtener los momentos de tramos y apoyos para cada losa, para lo cual se utilizan tablas donde se obtienen los factores η para determinar los momentos, antes de explicar el uso de tablas se explicara la nomenclatura que es utiliza

Fig. 5.4: Nomenclatura de términos

Nota: La dirección mostrada aquí como a, puede ser a o b indicando si es el lado largo o corte, sin decir que sea X o Y necesariamente, también en ocasiones se indica como ij, que indica que el coeficiente o momento está en la dirección que describen la losa i hacia la losa j.

Luego para obtener los momentos debemos realizar los cálculos:

Momentos de Tramo: Estado (0) + Estado (1) losa i Momentos en apoyos: [(Estado (0) + Estado (1) losa i)+ (Estado (0) + Estado (1) losa j)]/2 Momentos en empotrados externos: max (Estado (0) + Estado (1) losa i, Estado (0) + Estado (2) losa i) Claro está, referido a los que se está buscando.




Casos

Fig. 5.5: Casos para coeficientes η

Tabla 5.3: Valores para coeficientes η




Luego de obtener los esfuerzos máximos (positivos y negativos), se diseña como ya se ha explicado antes

5.2.2-. Diseño de Campos de Losas Continuas, con Losas no Semejantes

Cuando la relación entre el lado mayor y el lado menor de las losas (cualquiera) es mayor a 1.2, la metodología cambia, para esto se propone el método aproximado en el cual se debe:

i) Calcular los coeficientes α, β, γ y δ, que se obtienen al dividir la dimensión de la losa (según sea el caso) por la de la losa adjunta, luego se debe cumplir

(5.14)

ii) Con estos determinar la forma de obtención de los esfuerzos internos con la siguiente tabla:

Tipo Definicion Mon. Tramo Mom. Apoyo

A a<1,25 ; d>0,8 Tabla q/g q/g

B a>1,25 ; d>0,8 Tabla qf/g q/g

C a<1,25 ; d<0,8 Tabla q/g Losa Aisl., Empo. Periferico

D a>1,25 ; d<0,8 Tabla qf/g Losa Aisl., Empo. Periferico

Tabla 5.4: Método determinación esfuerzos internos, campos de losas no semejantes.

q SC (5.15)

g PP SC (5.16)

Los valores de qf se obtienen al considerar el coeficiente α por el largo de la losa, dado que estos en losas de mayor longitud incrementan los momentos en tramo.

Valor qf/g

1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

0,2 0,38 0,42 0,47 0,50 0,53 0,56 0,59 0,61

0,3 0,47 0,51 0,55 0,58 0,61 0,64 0,67 0,69

0,4 0,56 0,60 0,64 0,67 0,69 0,72 0,74 0,76

0,5 0,65 0,68 0,72 0,75 0,78 0,80 0,82 0,84

Mayor valor entre losas continuas aq/g

III) Para determinar los momentos, a diferencia del caso de losas semejantes, el caso "0" debe definirse como: Caso 0: empotramiento entre losas continuas (pp+sc/2) Caso 1: empotrado solo entre las losas que se desean determinar los esfuerzos para los apoyos (exceptuando condiciones naturales de empotramiento). (sc/2) Con esto los momentos de tramo se obtienen al igual que losas semejantes y momentos de apoyos como el promedio de momentos del apoyo en cuestión (como se especificó para losas semejantes)




Empalmes de refuerzos

Para calcular empalmes utilizaremos como simplificación las siguientes longitudes de momentos

Fig. 5.6: Viga simplemente apoyada, solo momento positivo

Fig. 5.7: Viga doblemente apoyada, 40% momento negativo aproximadamente

Fig. 5.8: Viga con empotrado y apoyo simple, se aproxima como un promedio




1 -.Diseñe la losa mostrada en la figura, utiliza A63-42 y H30 (utilize largos de losa dados). La sobrecarga es de 300 kg/m^2

Desarrollo

Datos

L1 2m L2 4.6m

fć 250kg

cm2

fy 4200kg

cm2

L2

L12.3 Esto implica losa aislada que trabaja en una sola dirección

Espesor losa: L2

3612.778cm e 13cm

Peso propio: PP 2500kg

m3

e PP 325kg

m2

Sc 300kg

m2

Comb1 1.4PP Comb1 455kg

m2

Comb2 1.2PP 1.6Sc Comb2 870kg

m2

q max Comb1 Comb2( ) q 0.087kg

cm2

Para diseñar para 1m de losa: Q 100cm q Q 870kg

m

Modelación Viga:

b 100cm d 11.5cm

Recubrimiento de 1.5 cm

Ejercicios




Mpos9

128Q L1

2 Mpos 24468.75kg cm

Mneg1

8Q L1

2 Mneg 43500kg cm

Asinf0.85 fć b d

fy

0.85 fć b d

fy

21.89 Mpos b fć( )

fy2

Asinf 0.566cm2

Assup0.85 fć b d

fy

0.85 fć b d

fy

21.89 Mneg b fć( )

fy2

Assup 1.01 cm2

fy 4200 fć 250

min max14

fy

0.8 fć

fy

Asmin min b d Asmin 3.833cm2

1.33Asinf 0.753cm2

1.33Assup 1.343cm2

ϕ8@25 dan un área de 2 cm2, y como se dijo que sería la armadura mínima el diseño queda




2-. Diseñe la Armadura para la losa mostrada en la figura. Utilize H30 y A63-24. La sobrecarga es de 1100 kg/m2

Desarrollo

Datos

L1 6m L2 8m

fć 250kg

cm2

fy 4200kg

cm2

L2

L11.333 Esto implica losa aislada que trabaja en dos direcciones

Espesor losa: L2

3622.222cm e 23cm

Peso propio: PP 2500kg

m3

e PP 575kg

m2

(Carga Distribuida)

Sc 1100kg

m2

Comb1 1.4PP Comb1 805kg

m2

Comb2 1.2PP 1.6Sc Comb2 2450kg

m2

q max Comb1 Comb2( ) q 0.245kg

cm2




Modelación Viga X:

b 100cm d 21.5cm

Recubrimiento de 1.5 cm

Modelación Viga Y:

Lx L1 Ly L2

x1

384 y

2

384

qx q 1x

y

Lx

Ly

4

1

qx 2115.346kg

m2

qy q 1y

x

Ly

Lx

4

1

qy 334.654kg

m2

qx qy 2450kg

m2

Qx 1m qx Qy 1m qy

Mposx1

24Qx L1

2 Mposx 317301.855kg cm

Mnegx1

12Qx L1

2 Mnegx 634603.71kg cm

Asinfx0.85 fć b d

fy

0.85 fć b d

fy

21.89 Mposx b fć( )

fy2

Asinfx 3.979cm2

Assupx0.85 fć b d

fy

0.85 fć b d

fy

21.89 Mnegx b fć( )

fy2

Assupx 8.116cm2

Mposy9

128Qy L1

2 Mposy 84709.37kg cm

Mnegy1

8Qy L1

2 Mnegy 150594.435kg cm

Asinfy0.85 fć b d

fy

0.85 fć b d

fy

21.89 Mposy b fć( )

fy2

Asinfy 1.048cm2

Assupy0.85 fć b d

fy

0.85 fć b d

fy

21.89 Mnegy b fć( )

fy2

Assupy 1.87 cm2




Fy 4200 Fć 250 1 0.85 Es 2.1 106

kg

cm2

min max14

Fy

0.8 Fć

Fy

Asmin min b d Asmin 3.833cm2

Asmax 0.0025b d Asmax 5.375cm2

ba0.85 fć 1

fy

0.003Es

fy 0.003Es 0.75ba b d 41.608cm

2

1.33Asinfy 1.394cm2

1.33Assupy 2.487cm2

ϕ8@25 dan un área de 2 cm2, y como se dijo que sería la armadura mínima el diseño queda

Armadura en X inferior: ϕ8@25+suple ϕ8@25 Armadura en X superior: ϕ8@20+ suple ϕ12@20 Armadura en Y inferior: ϕ8@25 Armadura en Y superior: ϕ8@20

Largos Suples

Armadura en X inferior

0.66 m 2 8 mm40 424 cm

Armadura en X superior

15cm 20cm 0.26 m 8mm40 187 cm

Detalle Losa

Detalle Armadura en X




Detalle Armadura en Y

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Apunte de Ayudantia HA