Apunte U3 - Señales · Unidad 3: Señales Hoja 4 de 38 c) Vincular los resultados de los factores característicos asociados a una señal senoidal con los de una señal cuadrada

Control Eléctrico y Accionamientos

Teoría de Circuitos I

Unidad 3: Señales

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Objetivos



Unidad 3: Señales

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Objetivos Direccionales: Que el alumno:

• Actúe con sentido crítico en la problemática abordada y procure la búsqueda de la fun-damentación científica.

• Disponga de los suficientes recursos técnicos y metodológicos para su integración inter-disciplinaria.

• Abarque suficiente información teórica y aplicación práctica, que le permita avanzar en el logro de sus metas.

Motivaciones del Presente Trabajo: Estructurar una secuencia y organización de objetivos y contenidos, sobre un tema especí-fico; seleccionados en función de los requerimientos del ciclo superior de la especialidad para que los alumnos los apliquen en situaciones concretas. Cooperar con los profesores que están dictando las asignaturas Teoría de Circuitos I y Electrotecnia, facilitándoles su tarea y al mismo tiempo posibilitarles la utilización de nuevos medios y recursos didácticos que redundarán en beneficio de los alumnos, incentivándolos en la carrera elegida.

Objetivos Generales de la Unidad Didáctica: Se espera que los alumnos:

Comprendan los principios y leyes que rigen los distintos tipos de señales. Aplique correctamente conocimientos de física y matemáticas en la resolución de proble-mas específicos de circuitos. Adquieran juicio crítico para la elección de técnicas y métodos de análisis de cada proble-ma.

Objetivos Específicos: Área Cognoscitiva. Se espera que el alumno logre:

Módulo 1: a) Clasificar las señales según su ley de variación en el tiempo. b) Representar gráficamente señales Aperiódicas, Pseudoperiódicas, y Periódicas. c) Reconocer la diferencia existente entre señales de valor medio nulo y señales de valor

medio no nulo.

Módulo 2: a) Enumerar los elementos característicos de una señal periódica. b) Interpretar la relación existente entre período y frecuencia. c) Calcular la diferencia de fase que mantienen dos señales.

Módulo 3: a) Relacionar los valores característicos asociados a una señal periódica con su interpre-

tación Física. b) Aplicar los conceptos de Análisis Matemático para poder demostrar el valor medio de

una señal periódica. c) Analizar las diferentes interpretaciones del valor eficaz de una señal periódica. d) Calcular los valores característicos asociados en una señal senoidal y en una cuadra-

da.

Módulo 4: a) Distinguir los conceptos asociados a los factores de Forma, Cresta, y de Media de Mó-

dulo. b) Evaluar, mediante los factores característicos asociados a una señal periódica real, su

apartamiento respecto del valor ideal.



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c) Vincular los resultados de los factores característicos asociados a una señal senoidal con los de una señal cuadrada.

Área Socio Afectiva. Se espera que los alumnos sean capaces de:

a) Adquirir actitud favorable para la búsqueda de mayor información y esclarecimiento de los temas propuestos.

b) Interpretar la importancia de los conceptos que se utilizan para analizar sistemas de la especialidad elegida.

c) Contribuir a la discusión del grupo con preguntas que estimulen el pensamiento o apor-ten ideas.

d) Aceptar la conveniencia de verificar por si mismos los problemas planteados. e) Interesarse en la aplicación del método científico. f) Sentir incentivado su gusto por la investigación personal.



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Contenido Temático



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Clasificación de las Señales según su Ley de Variación en el Tiempo. Señales Constantes o Continuas. Señales Variables. Señales Aperiódicas. Señales Pseuperiódicas. Señales Periódicas.

Magnitudes Propias de las Señales Periódicas: a) Período. b) Ciclo. c) Frecuencia. d) Forma de la Señal. e) Fase. f) Diferencia de Fase. g) Frecuencia Angular o Pulsación Angular.

Valores Característicos Asociados a Señales Periódicas. a) Valor Instantáneo. b) Valor Máximo o Pico. c) Valor Pico a Pico. d) Valor Medio. e) Valor Medio de Módulo. f) Valor Eficaz.

Cálculo de los Valores Característicos Asociados. a) En una Señal Senoidal. b) En una Señal Cuadrada.

Factores Característicos Asociados. a) Factor de Media. b) Factor de Cresta. c) Factor de Forma.

Cálculo de los Factores Característicos Asociados. a) En una Señal Senoidal.

Nota: el contenido temático, está basado en líneas generales, en el texto "Análisis de Mode-los Circuitales” de Pueyo y Marco.Editorial Arbó.



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Señales: Se entiende por señales, a aquellas Funciones Matemáticas, llevadas a una realidad Física. Clasificación de Señales: Las señales pueden clasificarse de acuerdo a su ley de variación en el tiempo, según se mues-tra en el siguiente cuadro.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

as AperiódicódicasPseudoperi

Periódicas Variables

Constantes

Señales

Señales Constantes o Continuas: Son aquellas en las cuales la amplitud (variable dependiente) es independiente del tiempo (va-riable independiente), comúnmente se las denomina continuas. Un ejemplo gráfico sería:

Señales Variables: Son aquellas en las cuales la amplitud se modifica en el tiempo; dentro de éstas existen diver-sos gru-pos, como se ha visto en el cuadro anterior, a saber: Señales Aperiódicas: Son aquellas para las cuales la amplitud se modifica permanentemente en el tiempo, sin repe-tirse cíclicamente la misma en ningún instante; tal como se muestra en el ejemplo de la figura.



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Señales Pseudoperiódicas: Son aquellas señales en las cuales ciertos puntos característicos se repiten a intervalos regula-res de tiempo, pero con distinta amplitud; tal como se muestra en el ejemplo de la figura 3.

Señales Periódicas: Son aquellas señales que, luego de pasar por una serie de valores con una dada secuencia; éstos vuelven a repetirse con igual secuencia en forma cíclica e indefinida, tal como se muestra en los ejemplos de las figuras 4a, 4b y 4c



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Nota: cabe destacar que algunos autores hacen un distingo entre señales periódicas de valor medio nulo y señales

periódicas de valor medio no nulo. También puede decirse que estas últimas, en ocasiones son la combina-ción entre una señal periódica y un cierto nivel de continua, tal el caso del ejemplo que se muestra a en la fi-gura 4c.



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Después de realizada esta clasificación, se particularizará el estudio de las señales periódicas; por lo cual se hace necesario destacar ciertos elementos característicos, propios de las mis-mas, como ser: Período: Es el tiempo que debe transcurrir para abarcar un juego completo de valores de una señal. La letra "T" es la nomenclatura habitual conque se designa al período; siendo la unidad del mismo el segundo.

Ciclo: Es un juego completo de valores, contenidos en un tiempo igual a un período, de la señal en cuestión. Frecuencia: Se define como el número de ciclos por unidad de tiempo. La letra "f" es la nomenclatura habi-tual conque se designa a la frecuencia.

dotranscurri tiempociclos de Númerof =



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Si particularmente se considera un ciclo de la señal en estudio, el tiempo que habrá transcurri-do será de T segundos; reemplazando en la ecuación anterior, ésta se reduce a:

T1

Período1

(segundos) Tciclo 1

==

Por lo tanto se concluye en que la frecuencia es la inversa del período, siendo su unidad [1/seg]. Normalmente, de acuerdo con la definición, se utiliza ciclos por segundo, lo cual, se designó internacionalmente como Hertz [Hz]. Forma de la Señal: Se dice así, a la representación gráfica de la señal. Fase: Se llama así, a la abscisa que corresponde a un punto arbitrario de la señal. Diferencia de Fase: Se llama así, a la diferencia que existe entre las fases individuales de dos señales, tomando a éstas del mismo punto característico de cada señal, tal como se ve en el ejemplo:

Frecuencia Angular o Velocidad Angular: En la mayoría de los casos, se hace necesario expresar la fase o la diferencia de fase, en án-gulos, dado que resulta más cómodo su manejo; que en lugar de hacerlo en unidades de tiem-po. Pero para poder realizar esta operación se hace necesario definir un elemento de conver-sión que permita pasar de tiempos a ángulos. Por ello, recordando movimiento circular unifor-me, el parámetro que relaciona ángulos con tiempos es la velocidad angular, en este caso será la velocidad conque se mueve un punto de la señal, al recorrer un espacio de 2π radianes; en un tiempo igual a un período T.

[seg][rad]

T2.π

t ω ===α

Recordando que la frecuencia f es la inversa del período, la anterior puede escribirse como: [ ]rad/seg 2.π.π ω ==



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Valores Característicos Asociados a una Señal Periódica: Debido a la gran dificultad que presenta manejar magnitudes que instante a instante varían su amplitud, se hace necesario crear una serie de valores que faciliten los cálculos, semejante al tratamiento de fenómenos de corriente continua. Por supuesto que dichos valores no pueden ser arbitrarios sino que tienen que poseer un justificativo físico válido. Por consiguiente los va-lores característicos asociados a las señales periódicas son: Valor Instantáneo: Se define como, la ordenada que corresponde a una dada fase de la señal, se indica con letras minúsculas, como ser e(t), i(t), p(t), etc. Valor Máximo o Valor Pico: Es el máximo valor que toma la señal, dentro de las ordenadas correspondientes a un período de la misma. Cabe la salvedad que pueda existir un máximo positivo y otro negativo, e inclusive de distinto valor. La nomenclatura con que habitualmente se designa al valor pico o máximo es: Amáx o por razones de rapidez en la escritura se agrega un sombrerito "^" (indicando un pico) encima de la letra mayúscula correspondiente. Puede agregarse que el significado físico del valor pico es que, caracteriza al mayor transporte instantáneo de carga tanto en un sentido (positivo) como en otro (negativo). Valor Pico a Pico: Es el valor entre el máximo positivo y el máximo negativo. La nomenclatura conque habitual-mente se designa al valor pico a pico: App o por razones de rapidez en la escritura se agregan dos sombreritos "^" encima de la letra mayúscula correspondiente. Valor Medio: Se define como, el valor que debería tener una señal constante, para transportar en el mismo sentido que la señal periódica, idéntica carga neta, en un intervalo de tiempo igual a un período de ésta; la nomenclatura conque habitualmente se lo designa es: Ume, Ime, Pme, etc. Para poder determinar la expresión que permite obtener su valor, se recurre al siguiente con-cepto: se entiende por corriente eléctrica a la variación de la carga en el tiempo.

dtdq(t) i(t) =

Pero si se quisiera determinar la carga transportada por la corriente i(t) en el tiempo dt, seria: i(t).dt dq(t) =

Y para obtener la carga en un período de la señal, será:

∫=T

0T i(t).dt Q



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Por otra parte, la carga correspondiente a la señal constante, tomada durante un tiempo equi-valente a un período de la señal periódica, será:

TI dtI .dtI Q me

T

me

T

0meT ..

0

=== ∫∫

Como lo que se busca es una identidad entre la señal periódica y la señal constante, igualando ambas expresiones, se obtiene:

∫=T

0me i(t).dt TI .

∫=T

0me i(t).dt

T1 I

Como el valor medio no solo puede ser utilizado para corriente, sino que también es extensivo a cualquier magnitud; se utilizará la siguiente nomenclatura para generalizar Ame.

∫=T

0me a(t).dt

T1 A

La ecuación expresa el valor medio buscado, y éste posee diversas interpretaciones, que son: Interpretación Algebraica: Es el promedio de los valores instantáneos Interpretación Geométrica: Es la altura de un rectángulo, que encierra en un período, igual área neta que la señal periódica en cuestión. Interpretación Física: Es el transporte neto de carga. Valor Medio de Módulo: Se define como, el valor que debería tener, una señal constante para transportar en un tiempo igual a un período, la misma cantidad bruta de carga, que dicha señal periódica. La nomenclatura con que habitualmente se identifica al valor medio de módulo es: U│me│, I│me│, P│me│, etc. Volviendo a la definición, el concepto de transporte bruto de carga, indica que no se tiene en cuenta la polaridad de la señal, sino su módulo; siendo ésta la diferencia sustancial con el valor medio. Por lo tanto la expresión que permite su cálculo es:

∫=T

0me .dt(t)a

T1 A

También al igual que en el caso del valor medio, el valor medio de módulo posee diversas in-terpretaciones, que son: Interpretación Algebraica: Es el promedio de los módulos de los valores instantáneos. Interpretación Geométrica: Es la altura de un rectángulo que encierra en un período, igual área, que el módulo de la señal en cuestión. Interpretación Física: Caracteriza el transporte bruto de carga. Valor Eficaz:



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Es el valor que debería tener una señal constante para disiparen un intervalo de tiempo igual a un período, sobre idéntico resistor, igual cantidad de energía que la señal periódica en cues-tión. La nomenclatura con que habitualmente se lo representa, es simplemente, letras mayús-culas de imprenta, por ejemplo: V; I; P; etc. Para poder determinar su expresión de cálculo, se recurre al concepto de que la potencia en una resistencia, alimentada por una señal periódica es:

R(t)i u(t).i(t) p(t) 2 .== Además recordando que por definición, la potencia instantánea representa la velocidad conque se intercambia energía, se tiene que:

dtdW(t) p(t) =

Igualando ambas expresiones:

(t).Ri dt

dW(t) 2=

La energía puesta en juego a través del tiempo será:

(t).R.dti dW(t) 2= La misma a lo largo de un tiempo igual a un período será:

∫∫ ==T

0

2T

0

2T (t).dtiR. (t).R.dti W

Pero como de acuerdo con la definición de valor eficaz, se debe comparar la energía de la se-ñal periódica con la de una señal constante o continua; en la misma resistencia y en el lapso de un período, se hace necesario calcular la energía disipada por la señal constante que será:

∫=T

0

2T .R.dtI W

Pero como I es independiente del tiempo y R es una constante, la anterior resulta:

R.TI W 2T .=

Realizando la comparación de ambas, se tiene:

∫=T

0

22 (t).dtiR. .R.TI

Como la resistencia es la misma:

∫=T

0

22 (t).dti .TI

Por lo tanto el valor eficaz de la corriente buscada, será:

∫=T

0

2 (t).dti T1 I .

Generalizando la expresión para cualquier magnitud, será:

∫=T

0

2 (t).dta T1 A .

El valor eficaz al igual que los otros valores determinados, tiene diversas interpretaciones, que son:



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Hoja 15 de 38

Interpretación Algebraica Es el promedio cuadrático de los valores instantáneos. Interpretación Física Caracteriza la capacidad de transporte de energía de la señal. Cálculo de los Valores Característicos Asociados para una Señal Senoidal: Se utilizará la letra a, para generalizar las magnitudes. Por de tanto al tratarse de una señal senoidal el valor pico positivo es igual al valor pico negativo. Valor Instantáneo:

ω.t sen A a(t) máx .= T t 0 para ≤≤ Valor Pico a Pico:

máxpp 2.AA =

Valor Medio:

=⋅==⋅= ∫∫∫ .t.dtsenT

A.t.dt.senA

T1a(t).dt

T1A

T

0máxT

0 máx

T

0med ϖϖ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−

⋅=−

⋅=+

+ ϖϖϖ

ϖϖ cos0.Tcos

TA.tcos

TA

A máxT

0

máxmed

Pero como 2.πω.T = , resulta:

011T

Acos0cos2.πT

AA máxmáx

med =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−

⋅=ϖϖϖϖ

Por tanto el valor medio de una señal senoidal es: 0Amed =

Valor Medio de Módulo:

.dtω.t senT

A .dtω.t .senA

T1.dta(t)

T1A

T

0máxT

0 máx

T

0med ∫∫∫ ⋅=⋅=⋅=

Para la resolución de la integral, por el tipo de función, se hace necesario integrar entre 0 y T/2 y entre T/2 y T:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⋅= ∫∫ .dtω.t sen.dtω.t sen

TA

AT

2T

2T

0máx

med

Pero como ambas integrales son iguales, se hace:

2T

0

máx2T

0

máxmed ω

ω.t cosT

2.A.dtω.t sen.

T2.A

A −⋅== ∫

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +⋅=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

=ω1

ω1

T2.A

ωcos0

ω2Tω. cos

.T

2.AA máxmáx

med

Nota: π T/2 =

[ ]2.π

4.Aω.T

4.A11

ω.T2.A

A máxmáxmáxmed ==+⋅=

Por lo tanto:

máxmáxmed 0,636.AAπ2A =⋅=



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Hoja 16 de 38

Valor Eficaz:

∫∫ ⋅⋅=⋅=T

0

22max

T

0

2 dtωtsenAT1dt(t)a

T1A

∫ ⋅=T

0

22

max dtωtsenT

AA

Por trigonometría se sabe que:

α) cos2(121αsen2 −⋅=

Por tanto:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅−= ∫∫

T

0

T

0

2max dtt cos2ω12T

AA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−=

20 ω 2 sen

2T ω 2 sen0T

2T1AA max

2A

21A

2TTAA max

maxmax ===

max707,0 AA ⋅=

La representación gráfica de todos los valores característicos asociados a una señal senoidal es:

Cálculo de los Valores Característicos Asociados para una Señal Rectangular: Valor Instantáneo.

max

max

2T

2T

Aa(t) Aa(t)

Tt

t0−=

=

⎩⎨⎧

<<<<

Valor Pico a Pico:

maxpp A2A ⋅=

Valor Medio:



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Hoja 17 de 38

∫ ⋅=T

0me dta(t)T1A

Por el tipo de función, se hace necesario, integrar a la misma como se muestra a continuación:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅−⋅= ∫∫

T

0 max

T

0 maxme dtAdtAT1A

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

2T

2T

TA

2TT0

2T

TA

A maxmaxme

0Ame = Valor Medio de Módulo:

∫ ∫ ⋅=⋅=T

0

T

0maxme dtA

T1dta(t)

T1A

TT

Adt

TA

A maxT

0

maxme ⋅== ∫

maxme AA =

Valor Eficaz:

∫∫ ⋅=⋅=T

0

2max

T

0

2 dtAT1dt(t)a

T1A

TT

Adt

TA

A2max

T

0

2max ⋅== ∫

maxAA = La representación gráfica de todos los valores característicos asociados a una señal rectangu-lar es:

Factores Característicos Asociados a las Señales Periódicas: Estos factores se definen por razones específicamente tecnológicas, concretamente, para sa-ber cuanto más alejada está la señal real obtenida, respecto de la teórica pretendida. Estos factores son:



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Hoja 18 de 38

Factor de Media de Módulo: Se define como el cociente entre el valor máximo y el valor medio de módulo de una señal. Se lo identifica habitualmente como f|me|. Representa la capacidad relativa de transporte bruto de carga de una señal cualquiera respecto de la señal rectangular. Siendo ésta última la señal de referencia, ya que por su forma representa el máximo transporte bruto de carga que se puede obtener de señal alguna.

me

maxme A

Af =

Factor de Cresta: Se define como el cociente entre el valor máximo, y el valor eficaz. Se lo identifica como fc. Re-presenta el transporte de energía relativo de una señal cualquiera respecto de la rectangular.

AA

f maxc =

Factor de Forma: Se define como el cociente entre el factor de media de módulo y el factor de cresta de una se-ñal, o lo que es lo mismo, como el cociente entre el valor eficaz y el valor medio de módulo de dicha señal. Se lo identifica como ff. Representa una comparación global entre una señal cual-quiera y la rectangular.

memax

me

max

c

mef A

A

AAAA

f

ff ===

Estos factores para la señal rectangular o comúnmente cuadrada, como se sabe, valen la uni-dad, ya que: Amáx = A|me| = A = 1. Pero para la señal senoidal valdrán:

1,57 2π

π2.AA

AA

fmáx

máx

me

máxme ====

1,41 2

2AA

A

A f

máx

máxmáxc ====

1,11 22.

π

AAAA

f

f f

máx

me

máx

c

mef ====



Unidad 3: Señales

Hoja 19 de 38

Ejercicios Propuestos



Unidad 3: Señales

Hoja 20 de 38

Ejercicio N°1: Para la siguiente figura se pide:

a.- Indique, según su ley de variación en el tiempo, que tipo de señal es:

…………………………………………………………………………………………………………..

b.- Calcule en segundos el Período de la señal y acótelo sobre la figura.

T= …………….. seg.

c.- Calcule la frecuencia de la señal

f = …………….. Hz.

d.- Indique cuantos ciclos de la señal hay dibujados en la figura

N° de ciclos dibujados: ………..

e.- Remarque con color la forma de la señal, para un ciclo de la misma.

f.- Calcule la corriente para una fase de 2,5 ms

I(2,5 ms)= ……..…… A

g.- Calcule la velocidad angular o frecuencia angular de la señal.

ω = …………. rad/seg

h.- Calcule y acote la diferencia de fase o desfasaje en la figura que se muestra a continuación.

Desfasaje = …………… s

i.- Verifique si ambas señales poseen la misma frecuencia y período.

( ) Hz ................... f I = ( ) Hz ................... f U =



Unidad 3: Señales

Hoja 21 de 38

( ) ms ................. T I = ( ) ms ................. T U =

j.- Exprese la fase y la diferencia de fase, antes obtenidas en milisegundos, en grados sexage-simales.

Fase = ……… ° Desfasaje = ……… °

k.- Indique la expresión correspondiente al valor instantáneo de ambas señales

=(t) i …………………………………………

=(t) u ………………………………….…….

l.- Calcule y acote el valor máximo o valor pico, tanto el positivo como el negativo, de ambas señales.

A............. Imáx =+ A............. Imáx =−

...V.......... Umáx =+ ...V.......... Umáx =−

m.- Calcule y acote el valor pico a pico de ambas señales.

A............. Ipp = V............. Upp =

n.- Calcule y acote el valor medio de ambas señales (trabajar geométricamente)

A............. Ime = V............. Ume =

ñ.- Calcule y acote el Valor Medio de Módulo de ambas señales (trabajar geométricamente)

A............. I me = V............. U me =

o.- Calcule y acote el Valor Eficaz de ambas señales. (Trabajar analíticamente)



Unidad 3: Señales

Hoja 22 de 38

A............ I = V............ U =

p.- Calcule el factor de Media de Módulo de ambas señales. Verifique si ambos resultados son coincidentes, y si así fuera explique el porqué.

.............. fIme = .............. f

Ume =

Conclusión:…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………….

q.- Calcule el Factor de Cresta de ambas señales

.............. f Ic = .............. f Uc =

r.- Calcule el Factor de Forma de ambas señales.

.............. f If = .............. f Uf =



…………………………………………………………………………………………………………..


T= …………….. seg.


f = …………….. Hz.





Unidad 3: Señales

Hoja 23 de 38


f.- Calcule la corriente para una fase de 35 µs

I(35 µs)= ……..…… A




Desfasaje = …………… s.


( ) Hz ................... f I = ( ) Hz ................... f U =

( ) seg ................. T I = ( ) seg ................. T U =




=(t) i …………………………………………

=(t) u ………………………………….…….


A............. Imáx =+ A............. Imáx =−



Unidad 3: Señales

Hoja 24 de 38

...V.......... Umáx =+ ...V.......... Umáx =−


A............. Ipp = V............. Upp =


A............. Ime = V............. Ume =


A............. I me = V............. U me =

o.- Calcule y acote el Valor Eficaz de ambas señales. (trabajar analíticamente)

A............ I = V............ U =


.............. fIme = .............. f

Ume =

Conclusión:…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………….


.............. f Ic = .............. f Uc =


.............. f If = .............. f Uf =




Unidad 3: Señales

Hoja 25 de 38


…………………………………………………………………………………………………………..


T= …………….. seg.


f = …………….. Hz.





I(350 µs)= ……… A




Desfasaje = ……………seg.



Unidad 3: Señales

Hoja 26 de 38


( ) Hz ................... f I = ( ) Hz ................... f U =

( ) ms ................. T I = ( ) ms ................. T U =




=(t) i …………………………………………

=(t) u ………………………………….…….


A............. Imáx =+ A............. Imáx =−

...V.......... Umáx =+ ...V.......... Umáx =−


A............. Ipp = V............. Upp =


A............. Ime = V............. Ume =




Unidad 3: Señales

Hoja 27 de 38

A............. I me = V............. U me =


A............ I = V............ U =


.............. fIme = .............. f

Ume =

Conclusión:…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………….


.............. f Ic = .............. f Uc =


.............. f If = .............. f Uf =



Unidad 3: Señales

Hoja 28 de 38

Solución de los Ejercicios Propuestos



Unidad 3: Señales

Hoja 29 de 38

Solución ejercicio N°1: a.- Indique, según su ley de variación en el tiempo, que tipo de señal es:

SEÑAL PERIÓDICA DE VALOR MEDIO NO NULO


T= 0,006 seg.


f = 166,66 Hz.


N° de ciclos dibujados: 2


f.- Calcule la corriente para una fase de 2,5 ms

i(2,5 ms)= 2,5 A


ω = 1047,15 rad/seg


Desfasaje = 0,002 s


f(I) = 166,66 Hz f(U) = 166,66 Hz

T(I) = 0,006 seg. T(U) = 0,006 seg.


Fase = 150° Desfasaje = 120°

k.- Indique la expresión correspondiente al valor instantáneo de ambas señales.

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≤≤=

≤≤=

T t T65 para t

TI

- i(t)

T 65 t 0 para t

T 65I i(t)

máx

máx



Unidad 3: Señales

Hoja 30 de 38

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≤≤=

≤≤=

T t T65 para t

TU

- u(t)

T 65 t 0 para t

T 65

U u(t)

máx

máx


+Imáx = 5 A -Imáx = 0 A +Umáx = 7,4 V -Umáx = 0 V


Ipp = 5 A Upp = 7,4 V


12 121

125 . I

T 612

I . T 61

T

652

I . T 65

Base

2 Altura. Base

Base

2 Altura. Base

Base

Superficie I máx

máxmáx

2

2

1

1

me =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=+=+==

El cálculo de la tensión es idéntico al efectuado con la corriente, por lo tanto:

Ime = Imáx/2 = 2,5 A Ume = Umáx/2 = 3,7 V


Para esta señal el Valor Medio y el Valor Medio de Módulo son coincidentes, por lo tanto:

I|me| = Imáx/2 = 2,5 A U|me| = Umáx/2 = 3,7 V


⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+= ∫∫

Tb

0

22b

2máx

Ta

0

22a

2máx2 dt . t .

TI

dt . t . TI

T1 I

Como Ta = 5/6 T y Tb = T/6, por lo tanto Ta + Tb = T

3I

3

T TI

T1 dt . t .

TI

T1 I

2máx

3

2máx

T

0

22

2máx2 === ∫

2

Por lo tanto, máxmáx I 0,577.

3I

I ==

De la misma forma que se procedió para la corriente, se procede con la tensión, por lo tanto

I = 2,886 A U = 4,274 V




Unidad 3: Señales

Hoja 31 de 38

2 A2,5

A5

2II

II

fmáx

máx

me

máxme ====

f|me| I = 2 f|me| U = 2


1,732 3

3II

I

I f

máx

máxmáxIc ====

Por lo tanto

fc I = 1,732 fc U = 1,732


1,154 3

2 f

f f

c

meIf ===

Por lo tanto

ff I = 1,154 ff U = 1,154



Unidad 3: Señales

Hoja 32 de 38


SEÑAL PERIÓDICA DE VALOR MEDIO NULO


T= 0,0005 seg.


f = 2000 Hz.





i(35 µs)= 75 mA = 0,075 A


ω = 12566,4 rad/seg


Desfasaje = 0,0001 s


f(I) = 2000 Hz f(U) = 2000 Hz

T(I) = 0,0005 seg. T(U) = 0,0005 seg.


Fase = 25,2° Desfasaje = 72°




Unidad 3: Señales

Hoja 33 de 38

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤≤−=

≤≤=

≤≤+=

≤≤=

≤≤=

T t T109 para I 10 t

T 101I

i(t)

T109 t T

53 para I- i(t)

T 53 t T

52 para I 5 t

T 101I

i(t)

T 52 t T

101 para I i(t)

T 101 t 0 para t

T 101I

i(t)

máxmáx

máx

máxmáx

máx

máx

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤≤−=

≤≤=

≤≤+=

≤≤=

≤≤=

T t T109 para U 10 t

T 101

U u(t)

T109 t T

53 para U- u(t)

T 53 t T

52 para U 5 t

T 101

U u(t)

T52 t T

101 para U u(t)

T 101 t 0 para t

T 101

U u(t)

máxmáx

máx

máxmáx

máx

máx


+Imáx = 0,1 A -Imáx = -0,1 A +Umáx = 150 V -Umáx = -150 V


Ipp = 0,2 A Upp = 300 V


Es evidente que el valor medio es nulo

Ime = 0 A Ume = 0 V


máxmáxmáxmáx

máxmáx

máxmáx

me I 0,8 I 54 I

51 - I

T

T . 5

I - T . I

T

10 . 2T . I . 4

- T . I

BaseSuperficie I ======



Unidad 3: Señales

Hoja 34 de 38

Por lo tanto:

I|me| = 0,08 A U|me| = 120 V


[ ] =+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+== ∫ ∫∫ t I

T4

3t

TI . 400

dt . I dt . t . T

I . 100

T4 dt . (t)i

T1 I T/4

T/102máx

T/10

0

3

3

2máx

T/10

0

T/4

T/10

2máx

22b

2máx

T

0

22

222222

máxmáxmáxmáxmáx3

3máx2 I

1511 I

159 2 I

53 I

152

10T -

4T I

T4

3000 . TT . I . 400

I =+

=+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+=

Por lo tanto

máxmáx I 0,856 I 1511 I == 2


I = 0,0856 A U = 128,4 V


1,25 I . 0,8

I

II

fmáx

máx

me

máxme ===

Por lo tanto

f|me| I = 1,25 f|me| U = 1,25


1,168 I . 0,856

I

II

fmáx

máxmáxIc ===

Por lo tanto

fc I = 1,168 fc U = 1,168


1,07 1,1681,25

f

f f

c

meIf ===

Por lo tanto

ff I = 1,07 ff U = 1,07



Unidad 3: Señales

Hoja 35 de 38



Unidad 3: Señales

Hoja 36 de 38


SEÑAL PERIÓDICA DE VALOR MEDIO NO NULO


T= 0,0009 seg.


f = 1111,11 Hz.





i(350 µs)= -0,02 A


ω = 6981,3 rad/seg


Desfasaje = 0,0004 s


f(I) = 1111,11 Hz f(U) = 1111,11 Hz

T(I) = 0,0009 seg. T(U) = 0,0009 seg.


Fase = 140° Desfasaje = 160°


⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤≤=

≤≤=

T t T31 para I - i(t)

T 31 t 0 para I i(t)

máx2

máx1

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤≤=

≤≤=

T t T31 para U - u(t)

T 31 t 0 para U u(t)

máx2

máx1




Unidad 3: Señales

Hoja 37 de 38

+Imáx = 0,05 A -Imáx = -0,02 A

+Umáx = 100 V -Umáx = -40 V


Ipp = 0,07 A Upp = 140 V


( ) A0,00333

30,01

30,04 - 0,05

T2.I - I T

T

3T . 2.I -

3T . I

Base

Superficie I máx2máx1máx2máx1

me ======

( ) V6,667

320

380 - 100

T2.U - U T

Base

Superficie U máx2máx1me =====

Ime = 0,00333 A Ume = 6,667 V


( ) A0,03

30,09

30,04 0,05

T2.I I T

T

3T . 2.I

3T . I

Base

Superficie I máx2máx1máx2máx1

me ==+

=+

=+

==

( ) V60

3180

380 100

T2.U U T

Base

Superficie U máx2máx1me ==

+=

+==

I|me| = 0,03 A U|me| = 60 V


[ ] [ ] =+=+=+== ∫ ∫∫ 3

2.I

3I

t . I T1 t . I

T1 dt . I

T1 dt . I

T1 dt . (t)i

T1 I

2máx2

2máx1T

T/32máx2

T/30

2máx1

T/3

0

T

T/3

2máx2

2máx1

T

0

22

Por lo tanto

A0,0452

32

I

3I

I máx2máx1 =+=


I = 0,0452 A U = 90,4 V


4,5 23 3

3I . 2

I

3II

II

fmáx2

máx2

máx1

máx1

me

máxme =+=+==

Por lo tanto

f|me| I = 4,5 f|me| U = 4,5




Unidad 3: Señales

Hoja 38 de 38

2,956 3/2 3 I

3/2 . I

I3 . I

I

I f

máx2

máx2

máx1

máx1máxIc =+=+==

Por lo tanto

fc I = 2,956 fc U = 2,956


1,522 2,956

4,5 f

f f

c

meIf ===

Por lo tanto

ff I = 1,522 ff U = 1,522

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Apunte U3 - Señales · Unidad 3: Señales Hoja 4 de 38 c) Vincular los resultados de los factores característicos asociados a una señal senoidal con los de una señal cuadrada