SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR

DIRECCIÓN GENERAL DE BACHILLERATO

PREPARATORIA FEDERAL POR COOPERACIÓN

“RICARDO FLORES MAGÓN”

CLAVE: 20SBC2181V

APUNTES DE CALCULO DIFERENCIAL

Titular: Ing. Doroteo Morales Sánchez.

Callejón “Los Sánchez” S/N, Barrio Agua Blanca, Santos Reyes Nopala, Oax., C. P. 71960 Tel. 954 58 6 01 51, Cel. 954 130 32 47 E-mail: doroteomorales@hotmail.com Facebook: www.facebook.com/teomorales Twitter: @teo_ms

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PROGRAMA DE ESTUDIOS.

Bloque I.- Argumentas el estudio del cálculo

mediante el análisis de su evolución, sus

modelos matemáticos y su relación con hechos

reales.

1.1. Evolución del Cálculo.

1.1.1. Introducción.

1.1.2. Origen histórico: los problemas que

dieron origen al cálculo.

1.1.3. El problema de las tangentes.

1.1.4. Problemas de máximos y mínimos.

1.1.5. Problemas de integración.

1.1.6. Personajes y contribuciones en la

antigüedad.

1.1.7. Personajes y contribuciones en los

siglos XVI-XVII.

1.1.8. El cálculo según Newton.

1.1.9. El cálculo según Leibnitz.

1.1.10. El siglo XVII y la disputa por la

creación del cálculo.

1.1.11. Aportes en los siglos XVIII y XIX.

1.1.12. Siglo XX y nuestros días.

1.1.13. Conclusiones.

1.2. Modelos matemáticos: un acercamiento a

máximos y mínimos.

Bloque II.- Resuelves problemas de límites en

situaciones de carácter económico,

administrativo, natural y social.

2.1. Los límites: su interpretación en una tabla, en

una gráfica y su aplicación en funciones

algebraicas.

2.1.1. Noción intuitiva de límite y límites

laterales.

2.1.2. Definición informal de límite.

2.1.3. Los límites y su interpretación gráfica.

2.2. El cálculo de límites en funciones algebraicas:

polinomiales y racionales.

2.2.1. Propiedades de los límites.

2.2.2. Límite de un polinomio.

2.2.3. Límite de una función racional.

2.2.4. Límites laterales.

2.2.5. Límites infinitos y límites en el infinito.

2.2.6. Teorema de continuidad de una función.

2.2.7. Condiciones de continuidad.

2.2.8. Teorema del valor intermedio y de

valores extremos.

Bloque III.- Calculas, interpretas y analizas

razones de cambio en fenómenos naturales,

sociales, económicos y administrativos.

3.1. La derivada.

3.1.1. Interpretación geométrica de la

derivada.

3.2. El problema de la recta tangente.

3.2.1. Definición de la recta tangente.

3.3. La derivada de una función.

3.3.1. Definición de la derivada de una

función.

3.4. Razón de cambio promedio e instantánea.

3.4.1. Definición de velocidad media.

3.4.2. Definición de velocidad instantánea.

3.4.3. Definición de aceleración.

3.5. Reglas de derivación.

3.5.1. Reglas básicas.

3.5.2. Regla de las potencias.

3.5.3. Regla del producto.

3.5.4. Regla del cociente.

3.5.5. Regla de la cadena.

3.5.6. Regla general de las potencias.

3.6. Derivadas de funciones exponenciales y

logarítmicas.

3.7. Derivadas de funciones trigonométricas

directas e inversas.

Bloque IV.- Calculas e interpretas máximos y

mínimos aplicados a problemas de

optimización.

4.1. Producciones, máximos y mínimos.

4.1.2. Extremos en un intervalo.

4.1.3. Teorema de los valores extremos.

4.1.4. Teorema del punto crítico.

4.1.5. Criterio de la primera derivada para

máximos y mínimos.

4.2. Variaciones en las producciones, máximos y

mínimos relativos.

4.2.1. Problemas de aplicación de máximos y

mínimos.

4.2.2. Funciones crecientes y decrecientes.

4.3. Cálculo de valores máximos y mínimos con el

criterio de la segunda derivada.

4.4. Concavidad y puntos de inflexión.

4.5. Aplicaciones en las ciencias naturales,

económico-administrativas y sociales.

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INTRODUCCION.

El Cálculo Diferencial e Integral es una herramienta matemática que surgió en el siglo XVII para resolver

algunos problemas de geometría y de física. El problema de hallar una recta tangente a la gráfica de una

función en un punto dado y la necesidad de explicar racionalmente los fenómenos de la astronomía o la

relación entre distancia, tiempo, velocidad y aceleración, estimularon la invención y el desarrollo de los

métodos del Cálculo. Sobresalieron entre sus iniciadores John Wallis, profesor de la Universidad de Oxford e

Isaac Barrow, profesor de Newton en la Universidad de Cambridge, Inglaterra. Pero un método general de

diferenciación e integración fue descubierto solo hacia 1665 por el Inglés Isaac Newton y posteriormente por

Gottfried Wilhelm Von Leibniz, nacido en Leipziy, Alemania, por lo que a ellos se les atribuye la invención

del Cálculo.

En la actualidad el Cálculo se aplica al estudio de problemas de diversas áreas de la actividad humana

y de la naturaleza: la economía, la industria, la física, la química, la biología, para determinar los valores

máximos y mínimos de funciones, optimizar la producción y las ganancias o minimizar costos de operación y

riesgos.

En esta asignatura estudiarás una parte del Cálculo conocida como Cálculo Diferencial. Para abordar

estos contenidos es necesario que apliques los conocimientos que adquiriste de álgebra, geometría,

trigonometría y geometría analítica.

La asignatura de Cálculo Diferencial, tiene como finalidad analizar cualitativa y cuantitativamente la

razón de cambio instantáneo y promedio, lo que permitirá dar soluciones a problemas del contexto real del

estudiante al facilitarle la formulación de modelos matemáticos de problemas financieros, económicos,

químicos, ecológicos, físicos y geométricos. Una segunda finalidad es la resolución de problemas de

optimización.

Actualmente la enseñanza del Cálculo Diferencial se caracteriza por ser abstracta, consiste en

aprender de manera mecánica a resolver límites de funciones algebraicas, trascendentes y la obtención de sus

derivadas, el contexto real en el que se desenvuelve el estudiante influía poco en la resolución de problemas.

Ahora se pretende dar un nuevo enfoque en el cual el alumno comience a construir sus propios conceptos a

partir de la resolución e interpretación de los cambios en el medio ambiente inmediato en el cual se encuentra

inmerso, en el estudio de la producción de las diferentes empresas de su localidad, en la producción agrícola

y en situaciones sociales.

El Cálculo Diferencial es una asignatura completa que integra los contenidos de Álgebra, Geometría,

Trigonometría y Geometría Analítica; el alumno debe de comprender que el estudio de ésta permite modelar

el mundo real e interpretar diversos fenómenos relacionados con el tiempo y la optimización, el uso de la

tecnología facilitará el planteamiento de modelos y estudiar sus variaciones de una forma dinámica, para el

planteamiento de problemas, su resolución, análisis y toma de decisiones en situaciones de su vida familiar,

social, escolar y laboral.

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Bloque I.- argumentas el estudio del cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos

matemáticos y su relación con hechos reales

1.1. Evolución del Cálculo.

El Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte

siglos. Una larga lista de personas trabajaron con los métodos "infinitesimales" pero hubo que esperar hasta

el siglo XVII para tener la madurez social, científica y matemática que permitiría construir el Cálculo que

utilizamos en nuestros días.

Sus aplicaciones son difíciles de cuantificar porque toda la matemática moderna, de una u otra forma,

ha recibido su influencia; y las diferentes partes del andamiaje matemático interactúan constantemente con

las ciencias naturales y la tecnología moderna.

Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo pero solo representan un eslabón en

una larga cadena iniciada muchos siglos antes.

A continuación se resumen algunos hechos y aportaciones de personajes que hicieron posible el

nacimiento del Cálculo.

1.1.2. Origen histórico: los problemas que dieron origen al cálculo.

La situación de los problemas matemáticos a mediados del siglo XVII era aproximadamente la siguiente:

además de tener readquiridos los resultados y métodos de la matemática griega, el desarrollo de la geometría

analítica (el método de las coordenadas) habría permitido plantear y resolver algunos problemas relacionados

con curvas, de las cuales se conocían muchos tipos. Por otra parte, la física proporcionaba un punto de vista

cinemático: una curva podía interpretarse como la trayectoria de un punto material móvil.

En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas científicos y

matemáticos:

Encontrar la tangente a una curva en un punto.

Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad.

Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido.

Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la

velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante. Recíprocamente, dada una fórmula en la que

se especifique la aceleración o la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia recorrida por el

cuerpo en un período de tiempo conocido.

En parte estos problemas fueron analizados por las mentes más brillantes de este siglo, concluyendo

en la obra cumbre del filósofo-matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz y el físico-matemático inglés

Issac Newton: la creación del cálculo. Se sabe que los dos trabajaron en forma casi simultánea pero sus

enfoques fueron diferentes.

La aparición del análisis infinitesimal fue la culminación de un largo proceso, cuya esencia

matemática interna consistió en la acumulación y asimilación teórica de los elementos del cálculo diferencial

e integral y la teoría de las series. Para el desarrollo de este proceso se contaba con: el álgebra; las técnicas de

cálculo; introducción a las matemáticas variables; el método de coordenadas; ideas infinitesimales clásicas,

especialmente de Arquímedes; problemas de cuadraturas; búsqueda de tangentes. Las causas que motivaron

este proceso fueron, en primer término, las exigencias de la mecánica, la astronomía y la física. En la

resolución de problemas de este género, en la búsqueda de problemas generales de resolución y en la

creación del análisis infinitesimal tomaron parte muchos científicos: Kepler, Galileo, Cavalieri, Torricelli,

Pascal, Wallis, Roberval, Fermat, Descartes, Barrow, Euler, Newton y Leibniz, entre otros.

1.1.3. El problema de las tangentes.

Es el problema de hallar la ecuación de la tangente a una curva dada, en un punto. Su origen es geométrico y

técnico. Geométricamente, proviene del tiempo de los antiguos griegos, que obtuvieron las tangentes de

algunas curvas. Por otra parte, era necesario resolver este problema para el diseño de lentes ópticas (una

cuestión importante en la época de la que hablamos, el siglo XVII). También desde un punto de vista físico

tenía su relevancia, por cuanto era importante conocer la dirección instantánea de un movimiento curvo.

Apolonio (190 a.C.).- Construyó las tangentes a las cónicas. Arquímedes (287-212 a.C.) hizo lo

propio para las espirales. Sin embargo, el punto de vista griego era estático": la tangente era la recta que

cortaba a la curva en un solo punto, dejándola a un lado". No había, pues, proceso de paso al límite.

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Fermat (1601-1665).- Obtuvo un método para hallar la tangente a una curva definida por un polinomio:

, método que, en realidad, no hacia ninguna referencia al paso al límite, sino

que se apoyaba en el siguiente razonamiento: si f(x) es un polinomio, entonces f(x+h)-f(x) es un polinomio en

h divisible por h, de modo que se hace la división y se eliminan los términos en h, y se obtiene así la ecuación

de la recta tangente.

Descartes (1596-1650).- Afirma que el problema geométrico que más desea solucionar es el de las

tangentes. Su procedimiento es todavía menos infinitesimal que el de Fermat y consiste en trazar la

circunferencia con centro en el corte de la normal a la curva (en el punto que se considere) con el eje de

abscisas y que pase por el punto en cuestión. Se impone la condición de que la circunferencia no corte a la

curva en ningún otro punto y de esta manera se tiene como tangente la de la circunferencia en este punto.

Este método es útil para curvas y = f(x) tales que (f(x))2 sea un polinomio sencillo. Con él se retorna a la

situación griega, completamente estática". Tanto este método como el anterior fueron mejorados con

posterioridad.

Barrow (1630-1677).- Utiliza la idea de que la tangente es el límite de las secantes para aplicar el

método de Fermat a curvas dadas en forma implícita: f(x; y) = 0. Ya se verá más adelante que, no obstante,

Barrow seguía con la idea griega de que la tangente era la recta que cortaba a la curva en un solo punto.

Por otro lado, en esos mismos años (hacia 1650), se consiguió determinar la tangente a algunas curvas

por métodos cinemáticos". Para ello se daba la curva en forma paramétrica (con parámetro el tiempo) y se

interpretaba la velocidad como la suma (vectorial) de las velocidades según los ejes.

Era, pues, necesario que los dos movimientos tuvieran “buenas" velocidades. De este modo se

determinó la tangente a la cicloide, a la parábola y a la elipse.

1.1.4. Problemas de máximos y mínimos.

Un problema importante relacionado con el origen del Cálculo es encontrar máximos y mínimos de una

función. Por ejemplo, Euclides probó que entre todos los rectángulos de igual perímetro, el cuadrado es el

que tiene el área mayor. Fermat (que nació en 1601) abordó el problema de un modo diferente y se interesó

por la tangente a una curva y la relación de esta tangente con el máximo (o mínimo) de una función. Antes

que Fermat, Kepler (1571-1630) fue consciente de esta relación, aunque no en el sentido de funciones y

derivadas, quien tuvo que diseñar cubas de vino de manera que tuvieran la máxima capacidad, lo cual motivó

su estudio sobre la cuestión. Escribió "Nova Stereometria doliorum vinariorum" (1615) un libro sobre el

volumen de los barriles de vino y de otros cuerpos.

Encontró que el paralelepípedo de base cuadrada y volumen máximo inscrito en una esfera es el cubo

(lo obtuvo midiendo muchas formas distintas). Lo esencialmente importante es su comentario de que, al

acercarse al valor máximo, para un cambio fijo en las dimensiones, el volumen crece cada vez más

lentamente. La lectura actual de este hecho es que la derivada se anula en un máximo relativo.

Fermat parece que da un método de hallar extremos por medio de lo que él denomina

“pseudoigualdades”. Afirma que en un punto se alcanza un máximo si para un incremento infinitesimal de la

variable la función no varía. La esencia es semejante a la ya comentada sobre el problema de la tangente.

1.1.5. Problemas de integración.

Son los problemas de determinar longitudes de curvas, áreas encerradas por curvas, centroides, etc. Y

también problemas dinámicos, como hallar el espacio recorrido por un móvil conocida la expresión de su

velocidad, o el espacio recorrido por un cuerpo sometido a la atracción gravitatoria de otro cuerpo puntual.

Los griegos, sobre todo Arquímedes, habían resuelto algunos casos particulares del cálculo de áreas y

volúmenes por el método llamado “exhaustivo" o “método de llenado": se supone que el área encerrada por

una curva existe y se halla una sucesión de polígonos regulares inscritos en la curva, cuya suma de áreas se

aproxime a la deseada.

Estos métodos y los resultados de Arquímedes se conocieron en Europa en el siglo XVI. Se

mejoraron y aplicaron a gran variedad de problemas sin temor al paso al límite, ni al infinito ni a los números

irracionales. Ello produjo una amalgama de procedimientos, con una base muy pobre, pero muy poderosos.

Algunos de ellos son los que, a continuación, se describen de forma rápida:

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Kepler (1571-1630).- Estudió la manera de hallar el volumen de cuerpos de revolución, descomponiéndolos

en partes indivisibles de la forma adecuada a cada problema. Así determino el volumen de más de noventa

cuerpos diferentes.

Galileo (1564-1642).- Justificó que el espacio recorrido por un móvil era igual al _área comprendida

entre la curva de la velocidad y el eje del tiempo. Esta idea es muy importante, dado que unificaba dos

problemas de orígenes bien diferentes: la longitud de una curva y el área bajo otra.

Cavalieri (1598-1647).- Un alumno de Galileo, utilizo de manera sistemática técnicas infinitesimales

para resolver este tipo de problemas. Comparo las áreas (o volúmenes) de los indivisibles" que forman una

figura con los que forman otra, deduciendo que si aquellas se hallaban en una determinada relación, también

lo estaban en esa misma las de las figuras correspondientes.

Además, Cavalieri descompuso las _guras en indivisibles de magnitud inferior. Así, para calcular

volúmenes, cortaba los cuerpos y medía las áreas de las secciones. Esto suponía una ruptura con los

procedimientos previos de los griegos y de Kepler.

El llamado teorema de Cavalieri fue enunciado de la siguiente forma: si dos cuerpos solidos tienen la

misma altura y al hacer secciones paralelas a la base las áreas de las secciones están siempre en una

proporción fija, entonces en esa misma proporción están los volúmenes". Su justificación la hizo

transformando un sólido en otro mediante la transformación de las secciones a lo largo de la altura. Este

resultado fue expuesto en 1635 en su libro Geometría de los indivisibles.

Otro de sus resultados fue la fórmula que hoy se escribe en la forma: y que

obtuvo estudiando el cuerpo engendrado al girar la curva de ecuación y = xn en torno al eje de abscisas.

Evidentemente, el resultado general lo conjeturó, tras haberlo demostrado para valores pequeños de n.

Los problemas de hallar el área entre un arco de curva y el eje de abscisas se denominaron problemas

de cuadratura y fueron arduamente trabajados. Para llegar a probar la expresión de la integral anterior, fue

necesario obtener previamente que (donde k es un número natural), lo que dio lugar a

trabajos de Fermat, Pascal y del mismo Cavalieri. También se consiguió calcular esa integral en el caso en

que el exponente es un número racional. El trabajo principal es de Wallis (1616-1703), que lo probó para n =

1/q. El resultado general es de Fermat y también de Torricelli (1608-1647), que era otro discípulo de Galileo.

Neil (1637-1670).- Rectifica la parábola semicúbica y2 = x3, Wreu (1632-1723) rectifica la cicloide,

Fermat hace lo propio con otras varias y Gregory (1638-1675) da en 1668 un método general para rectificar

curvas. Los primeros resultados se obtuvieron inscribiendo polígonos, aumentando el número de lados y

disminuyendo así la longitud de éstos; aunque se ayudaban con curvas auxiliares y métodos esféricos para

calcular las sumas que se obtenían.

1.1.6. Personajes y contribuciones en la antigüedad.

El trabajo prehelénico de los Egipcios y Babilonios, aunque tuvo una ausencia de generalidad y atención a las

características esenciales sobre la naturaleza lógica del pensamiento matemático y su necesidad de pruebas

deductivas, logró un acervo tal de cálculos y procedimientos concretos, que tuvo sin duda, una clara

influencia en los trabajos iniciales de los filósofos y matemáticos griegos:

Tales de Mileto.- Fue quien inicialmente introdujo los métodos deductivos, no exentos de cierto

empirismo y falta de generalidad, a través de procesos sistemáticos de abstracción, que ciertamente fueron la

base para los Pitagóricos. Para ellos la perfecta consonancia de la realidad observada con la naturaleza de los

conocimientos matemáticos les llevaron a pensar que las matemáticas estaban en la realidad última, en la

esencia del universo y por lo tanto, “un entendimiento de los principios matemáticos debía preceder cualquier

interpretación válida de la naturaleza”. “Todo es número”. “Dios es un Geómetra”.

Zenón de Elea (490 - 430 a.C.).- Los sofismas de Zenón constituyen la huella más vieja que se

conserva del pensamiento infinitesimal desarrollado muchos siglos después.

Demócrito (460-370 a.C.).- No se hicieron esperar los problemas que implicaban el concepto de

límites, por lo que, grandes pensadores como Demócrito, intentan darles respuesta con la unificación de las

matemáticas y la teoría filosófica del atomismo. Considerando de esta forma la primera concepción del

método a límite.

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Eudoxo de Cnido (408-355 a.C.).- Trabajó enormemente en la resolución y demostración de distintos

problemas, como en la trisección de un ángulo, y en la cuadratura de áreas acotadas por una curva. Esto

conllevó al avance en el cálculo del número pi y a la creación del método de exahución (predecesor del

cálculo de límites).

Arquímedes de Siracusa (287 - 212 a.C.).- Fue uno de los más grandes pensadores de la antigüedad

y uno de los matemáticos más originales de todos los tiempos. Fue autor de innumerables inventos como el

tornillo sin fin, el engranaje con ruedas dentadas, el uso de la palanca en catapultas militares, el espejo

ustorio. Creo un novedoso método teórico para el cálculo de áreas y volúmenes basado en secciones

infinitesimales. Estos trabajos fueron retomados por Newton y Leibniz casi 2000 años después en el

desarrollo del Cálculo.

No hubo más progresos hasta el siglo XVI cuando la mecánica empezó a llevar a los matemáticos a

examinar problemas como el de los centros de gravedad. Luca Valerio (1552-1618) publicó “De Quadratura

Parabolae” en Roma (1606) que continuaba los métodos griegos para atacar este tipo de problemas de

calcular áreas.

1.1.7. Personajes y contribuciones en los siglos XVI-XVII.

Una época de avances hacia la formulación posterior del Cálculo como estudio de la variación, una época en

la que se enfrentó la necesidad de herramientas matemáticas que no tenían más fundamento que la geometría

arquimediana para tratar con los inconmensurables; método cuya visión de rigor había obstaculizado trabajar

más libremente con los infinitésimos, relacionados a la variación y al continuo.

Johannes Kepler (1571-1630).- Nació en Leonberg, Sacro Imperio Romano, hoy Alemania. En su

trabajo sobre el movimiento planetario, tuvo que encontrar el área de sectores de una elipse; para ello su

método consistió en determinar las áreas como sumas de líneas. En cambio, en su trabajo Nueva Geometría

Sólida de los Barriles de Vino calculó en forma exacta o aproximada el volumen de más de 90 sólidos de

revolución, considerando el sólido compuesto de infinitos cuerpos infinitesimales de volúmenes conocidos.

Bonaventura Cavalieri (1598-1647).- Publicó su “Geometria Indivisibilis Continuorum Nova” en

1635 donde expone el principio que lleva ese nombre. Su método consiste en comparar proporcionalmente

los indivisibles de volúmenes o áreas de cuerpos o figuras por encontrar, con los respectivos indivisibles de

figuras o cuerpos cuyas áreas o volúmenes se conocen. Se puede referir este procedimiento en forma general

como un método de “Suma de potencias de líneas”.

Pierre de Fermat (1601-1665).- Los primeros conceptos profundos en el orden de lo infinitesimal se

debe a estudios casi simultáneos de Fermat, Roberval y Torricelli, sobre todo a Fermat. Éste con su estudio

sobre las tangentes y sus trabajos sobre máximos y mínimos, problema que abordó del mismo modo que se

hace hoy día en el cálculo. Con esto se dijo que Fermat es inventor del cálculo diferencial. Uno de los más

grandes matemáticos del siglo XVIII, Lagrange, así lo aceptó.

Gilles Persone de Roberval (1602- 1675).- Cálculo de tangentes como vectores de “velocidad

instantánea”. Definió que área del Cicloide es 3 veces la del círculo que la genera.

Evangelista Torricelli (1608-1647).- Tempranamente hizo uso de los métodos infinitesimales y

determinó el punto en el plano de un triángulo, tal que la suma de sus distancias de los vértices es la mínima

(conocida como el centro isogónico).

John Wallis (1616-1703).- Escribió su Arithmetica Infinitorum en 1655. Abordó sistemáticamente,

por primera vez, la cuadratura de las curvas de la forma 𝑦 = 𝑥𝑘 donde k no es necesariamente un entero

positivo. Su trabajo en la determinación de los límites implicados fue empírico. Tuvo una influencia decisiva

en los primeros desarrollos del trabajo matemático de Newton.

Isaac Barrow (1630-1677).- Maestro de Newton. Competente en árabe y griego, mejoró traducciones

de textos griegos. Punto de vista conservador en matemáticas.

Sus “Lectiones Geométriae”, publicadas en 1670, incluyen los procedimientos infinitesimales

conocidos por él. La mayoría de los problemas presentados tratan tangentes y cuadraturas desde un punto de

vista clásico (geométrico en lugar de analítico). Incluye su método del “triángulo característico” en el que

implícitamente se toma a la recta tangente como la posición límite de la secante.

En su obra aparece localizado el Teorema Fundamental del Cálculo en el sentido de presentar el

carácter inverso entre problemas de tangentes y áreas, en un sentido estrictamente geométrico, no como un

algoritmo de cómputo.

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Johann Bernoulli (1654-1807).- La familia Bernoulli, de Basilea, Suiza, produjo 8 matemáticos importantes

en 3 generaciones.

El nombre de Johann Bernoulli está relacionado con el marqués de L’ Hópital, matemático

aficionado, quien lo contrató como profesor. En 1696, L’ Hópital publicó, sin nombre de autor, el primer

libro de texto de cálculo infinitesimal. En ediciones posteriores figuraba el nombre de L’ Hópital como autor.

Posteriormente al haberse encontrado correspondencia entre maestro y discípulo se supo que ese famoso

libro era una copia de las enseñanzas de Bernoulli.

1.1.8. El cálculo según Newton.

Isaac Newton (1643–1727), fué un físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés, autor

de los Philosophiae naturalis principia mathematica, más conocidos como los Principia, donde describió la

ley de la gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásica mediante las leyes que llevan su

nombre. Entre sus otros descubrimientos científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la

óptica (que se presentan principalmente en su obra Opticks) y el desarrollo del cálculo matemático.

De 1667 a 1669 emprendió investigaciones sobre óptica y fue elegido fellow del Trinity College. En

1669, su mentor, Isaac Barrow, renunció a su Cátedra Lucasiana de matemática, puesto en el que Newton le

sucedería hasta 1696. El mismo año envió a John Collins, por medio de Barrow, su Analysis per aequationes

número terminorum infinitos. Para Newton, este manuscrito representa la introducción a un potente método

general, que desarrollaría más tarde: su cálculo diferencial e integral.

En 1666 introdujo las “fluxiones", que es lo que hoy se conoce con el nombre de derivadas. Newton

imaginaba una curva como una ecuación f(x, y) = 0, donde “x” e “y” eran funciones del tiempo; es decir,

partía de la imagen cinemática de curva como trayectoria de un móvil. La velocidad en cada punto tenía

como componentes las velocidades según las direcciones de los ejes, “x” e “y”; funciones que el denominaba

fluxiones. Para hallar la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto calculaba el cociente �̅�/�̅�. (Hay

que señalar que esta notación es posterior, Newton la usó hacia 1690). De esta manera, calculaba las

tangentes fácilmente. Seguidamente se propuso el problema inverso: conocido el cociente 𝑓(𝑥) = �̅�/�̅� como

hallar “y” en función de “x”. Newton estudió casos particulares de la función f y de las variables que en ella

intervienen. Es lo que hoy se conoce como resolución de ecuaciones diferenciales o antidiferenciación.

Newton afirmaba que de esta manera se podían resolver todos los problemas, lo cual da idea de su visión de

futuro, aun cuando el solo pudiera resolver casos particulares.

Para estudiar el cálculo del área bajo una curva por métodos de antidiferenciacion, primero investigo

la variación del área al variar la abscisa. Así obtuvo el teorema fundamental del cálculo (exactamente igual a

como hoy se enseña, con funciones continuas y usando la propiedad de aditividad del área). Debe señalarse

que para Newton todas las funciones eran continuas, ya que se trataba de las trayectorias de movimientos

continuos (que era el concepto que en su tiempo se tenía de continuidad).

Newton desarrollo métodos de derivación e integración, en particular, la regla de la cadena y el

método de sustitución, así como la propiedad de linealidad y construyó, además, tablas de derivadas e

integrales.

Al abordar los problemas de máximos y mínimos, llego de inmediato a la conclusión de que la

derivada es nula en un extremo. Aquí se dio cuenta de que no siempre la variable va a ser el tiempo, cosa que

comenta: “el tiempo se puede sustituir por otra variable (fluente) que fluya con continuidad".

Sobre el problema de rectificación de curvas, Newton dio las formulas integrales que se explican en

los cursos de cálculo, y las aplicó a muchos casos concretos.

Como ya se ha comentado, el trabajo de Newton no acaba aquí. En realidad se puede decir que partió

de una visión de la naturaleza y construyó el cálculo infinitesimal como una necesidad para explicar y

desarrollar esa visión. A este respecto hay que añadir que, desde luego, no era indiferente a los problemas

matemáticos de su tiempo, pero tampoco a todos los demás, y a todos dedicó parte de sus energías.

1.1.9. El cálculo según Leibnitz.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), nació en Leipzig, Alemania; fue diplomático, lingüista, filósofo y

matemático. Empezó a estudiar matemáticas cuando tenía 26 años. Realizó importantes contribuciones a la

lógica simbólica, a la filosofía, perfeccionó la máquina de calcular inventada por Pascal; pero su mayor fama

se debe a la invención, igual que Newton, del cálculo.

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El punto de partida de Leibnitz es distinto al de Newton. Este parte de ideas físicas, mientras que aquél lo

hace de ideas filosóficas, tratando de buscar un lenguaje universal y quizás, su mayor contribución al cálculo

sea precisamente dicho lenguaje, que aún es usado. Leibnitz creó un lenguaje mediante el cual, por sencillas

manipulaciones, se obtienen fórmulas que resultan ser las verdaderas y que, naturalmente, hay que

comprobar.

Ya ha sido comentado que Newton no publicó sus trabajos sobre el cálculo hasta muy posteriormente.

En el caso de Leibnitz la situacion es peor todavía, puesto que, prácticamente, ni siquiera lo escribió en forma

ordenada, salvo pequeñas contribuciones. Su Historia y origen del cálculo Diferencial fue escrito mucho más

tarde de su creación. Así solo se tienen muchos papeles en los que iba anotando sus ideas y resultados.

Sus primeros estudios matemáticos datan de 1666 y versan sobre progresiones aritméticas de orden

superior, en concreto, sobre como la suma de las diferencias está relacionada con los términos de la sucesión.

De hecho, este es el origen de su desarrollo del cálculo: obtener y calcular sumas.

Hacia 1673 está convencido de la importancia del problema de las tangentes y del problema inverso,

sobre el cual tiene la certeza de que consiste en hallar áreas y volúmenes. Su primer trabajo sobre el cálculo

de áreas lo efectúa integrando las funciones polinómicas, de las cuales da las reglas de integración; queda

claro que entiende la integral como el área bajo la curva y ésta como límite de infinitésimos. Además va

cambiando la notación continuamente, en busca de la mejor, que es la que hoy en día se usa.

Interpreta la derivada como el cociente de los infinitésimos 𝑑𝑦 𝑑𝑥⁄ , aunque es incapaz de aclarar qué

son dichos ifnitésimos. Incluso, en algún momento, llega a escribir que no cree en ellos, a pesar de haber

escrito abundantes paginas tratando de justicarlos y explicarlos.

Al igual que Newton, resuelve en uno solo todos los problemas que estaban abiertos: tangentes,

integración y máximos y mínimos. Además es consciente de que el cálculo infinitesimal es una ruptura con

todo lo precedente, en el sentido de que es un paso adelante sin retorno.

1.1.10. El siglo XVII y la disputa por la creación del cálculo.

Resulta muy interesante la larga y lamentable polémica desatada a raíz de la prioridad en el descubrimiento.

Al principio la disputa se realizó en el marco de la cortesía pero al cabo de tres décadas comenzó a ser

ofensiva hasta que en el siglo XVIII se convirtieron en mutuas acusaciones de plagio. La polémica se tornó

cada vez mayor y finalmente se convirtió en una rivalidad entre los matemáticos británicos y los

continentales.

Aunque Newton y Leibniz se les atribuyen la invención del cálculo de manera simultánea, los dos lo

conceptualizaron de forma distinta:

Los trabajos de Newton están motivados por sus propias investigaciones físicas "cantidades que fluyen".

Leibniz conserva un carácter más geométrico y trata a la derivada como un cociente incremental, y no

como una velocidad.

La discusión siguió hasta mucho después de la muerte de los dos grandes protagonistas y,

afortunadamente, hoy ha perdido interés y la posteridad ha distribuido equitativamente las glorias. Hoy está

claro que ambos descubrieron este cálculo en forma independiente y casi simultánea entre 1670 y 1677,

aunque fueron publicados unos cuantos años más tarde.

La difusión de las nuevas ideas fue muy lenta y al principio sus aplicaciones escasas. Los nuevos

métodos tuvieron cada vez más éxito y permitieron resolver con facilidad muchos problemas. Los nuevos

logros fueron sometidos a severas críticas, la justificación y las explicaciones lógicas y rigurosas de los

procedimientos empleados no se dieron hasta avanzado el siglo XIX, cuando aparecieron otros matemáticos,

más preocupados por la presentación final de los métodos que por su utilización en la resolución de

problemas concretos.

1.1.11. Aportes en los siglos XVIII y XIX.

El concepto de Cálculo y sus ramificaciones se introdujo en el siglo XVIII, con el gran desarrollo que obtuvo

el análisis matemático, creando ramas como el cálculo diferencial, integral y de variaciones.

Los fundamentos de la matemática fueron completamente transformados durante el siglo XIX, sobre

todo por el matemático inglés Boole en su libro Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854).

10

Leonard Euler (1707-1783).- Alumno de J. Bernoulli. Sin duda alguna el matemático más sobresaliente del

siglo XVIII, a él se debe en gran medida, después de Newton y Leibniz, el desarrollo del cálculo. Con la

publicación de su famoso libro “Introducción al análisis de las magnitudes infinitamente pequeñas” en 1748.

A Euler se debe la notación de función mediante el símbolo f(x); también la expresión 𝑒𝜋𝑖+ 1 = 0 que

deslumbró a los matemáticos de la época. Escribió más de 860 obras originales.

Jean le Rond D’ Alembert (1717-1783), Joseph-Louis LaGrange (1736-1813), Pierre Simón de

Laplace (1749-1827), Carl Friedrich Gauss (1777-1855).- Se postularon los fundamentos de las

matemáticas modernas. Avances en la resolución de ecuaciones. En cálculo, hicieron de esta época la de

mayor riqueza para esta parte de las matemáticas. Entre los grandes desarrollos de esta época se puede

mencionar, la resolución de ecuaciones algebraicas radicales, el desarrollo del concepto de grupo, avances en

los fundamentos de la geometría hiperbólica no euclidiana, además de la realización una muy profunda

reconstrucción sobre la base de la creada teoría de límites y la teoría del número real.

Se separaron y crearon varias ramas de las matemáticas como ecuaciones diferenciales, la teoría de funciones

de variable real y la teoría de funciones de variable compleja.

En relación con el análisis matemático en este siglo, se fundamentó en un conjunto de procedimientos

y métodos de solución de numerosos problemas que crecía rápidamente. Todos estos métodos aún podían

dividirse en tres grandes grupos, constituidos en el cálculo diferencial, el cálculo integral y la teoría de

ecuaciones diferenciales. Con estos fundamentos se llegó a lo que se conoce como teoría de límites y de

funciones, que fueron el tema central en este siglo.

Bernard Bolzano (1781-1848).- Es el pionero en el análisis de funciones, en sus trabajos estudió del

criterio de convergencia de sucesiones y dio una definición rigurosa de continuidad de funciones. Estudió

profundamente las propiedades de las funciones continuas y demostró en relación con éstas una serie de

notables teoremas, destacando el denominado teorema de Bolzano: una función continua toma todos los

valores comprendidos entre su máximo y su mínimo.

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857).- Matemático francés, impulsor del Cálculo Diferencial e

Integral, autor de La Teoría de las Funciones de las Variables Complejas, se basó en el método de los límites;

las definiciones de "función de función" y la de "función compuesta" se deben a él. El concepto de función

continua fue introducido por primera vez por él en 1821.

Bernhard Riemann (1826 – 1866).- La tesis con la cual se doctoró en 1857, Fundamentos de una

teoría general de las funciones de una variable compleja, es de trascendental importancia para el cálculo,

pues en tal Memoria se señala como una función viene definida por sus puntos singulares y valores en los

límites. Sus Memorias sobre representación de una función por serie trigonométrica y sobre funciones

abelianas (publicada esta última en el Journal de Crelle), son también de importancia considerable.

Su método de Integración de ecuaciones diferenciales es de gran relevancia, sobre todo por las

aplicaciones cotidianas que tiene, como lo es la hidrodinámica.

1.1.12. Siglo XX y nuestros días.

El aporte realizado por Lebesgue referido a la integración y a la teoría de la medida y las modificaciones y

generalizaciones realizadas por matemáticos que lo sucedieron.

Algunos matemáticos que hicieron aportes importantes al cálculo, en el recién pasado siglo XX, se

enlistan a continuación.

Henri Léon Lebesgue (1875-1941).- Matemático francés. Profesor en las universidades de Rennes,

Nancy y París y miembro de la Academia de Ciencias. Estudió las series geométricas y la teoría de funciones

de variable real y dio una nueva definición de la integral definida (integral de Lebesgue) a partir de las

sucesiones. Escribió Lecciones sobre la integración y la obtención de funciones primitivas.

David Hilbert (1862-1943).- Su obra es fundamental en la mayoría de sectores de las matemáticas y

de la física matemática. Muchos de sus trabajos sirvieron de fundamento para áreas de investigación

autónomas. En 1900, Hilbert presentó una lista muy completa e influyente de 23 problemas matemáticos no

resueltos. Se le considera el fundador y más importante representante de la línea del Formalismo en la

matemática. Levantó la exigencia de establecer la matemática como un sistema axiomático completo que

fuese desmostrable y carente de contradicciones. Este afán se conoce como programa de Hilbert.

John Von Neumann (1903-1957).- Fué un matemático de origen austrohúngaro. Realizó notables

contribuciones en muchas ramas de las matemáticas. Von Neumann desarrolló la teoría del álgebra de

11

operadores limitados en espacios de Hilbert, cuyos objetos fueron denominados más tarde álgebras de von

Neumann y que actualmente encuentran aplicación en la teoría cuántica de campos y en la estadística de

partículas. Von Neumann fue consultor para problemas de balística del ejército y la marina de EE.UU. y

colaboró en el Proyecto Manhattan. Contribuyó de manera decisiva al desarrollo de las primeras

computadoras electrónicas.

André Weil (1906-1998).- Fué un matemático francés. El énfasis central de su trabajo estuvo puesto

en áreas de la geometría algebraica y la teoría de números, entre las que encontró sorprendentes

vinculaciones. Weil demostró la hipótesis de Riemann para curvas sobre campos finitos. Formuló las

conjeturas de Weil, que llevan su nombre y que influyeron en la formulación de la conjetura de Taniyama-

Shimura, que relaciona curvas elípticas con formas modulares, resuelta totalmente en 2001 y con unas

implicaciones muy profundas en matemáticas.

Andrew Wiles (1953- ).- Es considerado uno de los matemáticos más importantes del presente. En

1984 demostró, en conjunto con el matemático estadounidense Barry Mazur la hipótesis central de la teoría

de Iwasawa acerca de los números racionales, la que luego amplió también para todo cuerpo real total. En

1995 logró en conjunto con uno de sus estudiantes la demostración del último teorema de Fermat. A partir de

este momento se denomina también como teorema de Fermat-Wiles.

El avance originado por la invención de la computadora digital programable dio un gran impulso a

ciertas ramas de la matemática, como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y generó nuevas áreas de

investigación matemática como el estudio de los algoritmos.

1.1.13. Conclusiones.

El progreso de las ideas no se da en el tiempo a través de una trayectoria perfectamente delineada y

preconcebida; existen muchos elementos que en la construcción son desechados, reformulados o agregados.

Las concepciones filosóficas sobre la realidad, el papel de la ciencia, y en especial las concepciones sobre las

características que debe reunir el conocimiento matemático para ser considerado como conocimiento

científico, determinaron los enfoques realizados en cada época. El impacto que tuvieron los personajes y las

contribuciones consignadas en la historia difícilmente puede ser comprendida cabalmente si estas

consideraciones no se toman en cuenta.

Dada que la historia del cálculo, comienza desde los inicios de la historia del hombre, cuando este vio

la necesidad de contar, ya que han sido muchos los grandes matemáticos que han influido en el desarrollo

que actualmente posee el cálculo, igualmente que han sido muchas las culturas que han influido en sus

avances, donde las matemáticas, actualmente son la base de todas las ciencias que maneja el hombre, debido

a que su campo de acción cubre la totalidad de los conocimientos científicos.

Trayendo así el desarrollo y uso del cálculo ha tenido efectos muy importantes en casi todas las áreas

de la vida moderna: es fundamento para el cálculo numérico aplicado en casi todos los campos técnicos y/o

científicos cuya principal característica es la continuidad de sus elementos, en especial en la física.

Prácticamente todos los desarrollos técnicos modernos como la construcción, aviación, transporte,

meteorología, etc. hacen uso del cálculo. Muchas fórmulas algebraicas se usan hoy en día en balística,

calefacción, refrigeración, etc.; donde se demuestra que tan importante es el cálculo hoy en día.

12

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Bloque II.- Resuelves problemas de límites en situaciones de carácter económico, administrativo,

natural y social.

2.1. Los límites: su interpretación en una tabla, en una gráfica y su aplicación en funciones algebraicas.

Los temas tratados hasta ahora, constituyen lo que se conoce como: precálculo; es decir, proporcionan las

herramientas básicas para el cálculo, pero no son cálculo. Nuestro propósito ahora, es establecer, inicialmente

de una manera intuitiva por medio de ejemplos, y posteriormente presentar la definición precisa, del concepto

más importante del cálculo, como es el concepto de Límite. De hecho algunos autores, definen el cálculo

como el estudio de los límites.

El límite de una función está íntimamente unido a su representación gráfica y a la interpretación de la misma

debido a que lo que nos indica es el comportamiento o tendencia de la gráfica. Por esta razón, el concepto de

límite es básico en el Análisis Matemático.

2.1.1. Noción intuitiva de límite y límites laterales.

Supongamos que se nos pide esbozar la gráfica de la función f dada por:

𝑓(𝑥) =𝑥3 − 1

𝑥 − 1

Para evaluarla podemos usar todos los valores de x distintos de 1, dado que su dominio es: {𝑥 ≠ 1}. Sin

embargo, en x = 1 no tenemos muy claro qué cabe esperar. Para tener una idea del comportamiento de la

gráfica de f en las proximidades de x = 1, usamos dos conjuntos de valores de x, uno que se acerque hacia 1

por la izquierda y otro por la derecha, como se ve en la siguiente tabla:

x 0.5 0.75 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1 1.25 1.5

f(x) 1.750 2.313 2.710 2.970 2.997 ? 3.003 3.030 3.310 3.813 4.750

Al marcar estos puntos, resulta que la gráfica de f es una parábola con un hueco en el punto (1, 3), tal como indica la

gráfica siguiente. Aunque x no puede ser 1, podemos ir tan cerca como queramos de 1 y, como consecuencia, f(x) se

hace tan próximo como queramos a 3. Usando notación de límites, decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a 1 es

3, y escribimos simbólicamente: lim𝑥→1

𝑓(𝑥) = 3.

Esta discusión conduce a la siguiente definición informal de límite.

2.1.2. Definición informal de límite.

Sí f(x) se hace arbitrariamente próximo a un único número L cuando x se aproxima hacia c por ambos lados,

decimos que el límite de f(x), cuando x tiende a c, es L, y escribimos:

lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) = 𝐿

x f(x)

-3 7

-2 3

-1 1

-0.5 0.75

0 1

0.5 1.750

0.75 2.313

0.9 2.710

1 ?

1.1 3.310

1.25 3.813

1.5 4.750

2 7

(1, 3)

13

-1

0

1

2

3

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2 3

De aquí en adelante cuando escribamos: lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) = 𝐿 sobreentenderemos dos cosas: que existe el límite y

que el límite es L. Algunas funciones no tienen un mismo limite cuando x → c, sino dos límites diferentes.

En otras palabras, si el límite de una función existe, es único.

Para muchas funciones podremos estimar el valor del límite L usando una calculadora para evaluar la

función en varios puntos muy próximos a c.

Ejemplo1. Evaluar en varios puntos próximos a x = 0 y usar el resultado para estimar el límite.

Para solucionar este caso construimos la siguiente tabla, usando valores de x que se acerquen a 0 por

la izquierda y por la derecha.

x -0.5 -0.25 -0.1 -0.01 -0.001 0 0.001 0.01 0.1 0.25 0.5

f(x)

x f(x)

-1

-0.5

-0.25

-0.1

0

0.1

0.25

0.5

2

En el ejemplo anterior, debemos notar que la función no está definida en x=0, a pesar de lo cual f(x) parece

aproximarse a un límite cuando x → 0. Esto sucede a menudo y es importante darse cuenta de que la

existencia o no existencia de f(x) en x = c no afecta la existencia del límite de f(x) cuando x tiende a c.

Ejemplo2. Hallar el límite, cuando x tiende a 2, de la función: 𝑓(𝑥) = {1; 𝑥 ≠ 20; 𝑥 = 2

Para este caso construiremos la gráfica de la función, para hallar el límite.

Se hizo notar que el límite de f(x) cuando x → c no depende del valor de f en x = c. Sin embargo si se da la

circunstancia de que el límite es precisamente f(c), entonces decimos que el límite se puede calcular por

sustitución directa. Esto es:

lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐)

x f(x)

-1

0

1

1.5

1.9

2

2.1

2.5

3

4

5

𝑓(𝑥) =𝑥

√𝑥 + 1 − 1

14

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

𝑓(𝑥) =𝑥3 − 1

𝑥 − 1 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 1

𝑓(𝑥) =𝑥3 − 1

𝑥 − 1

Las funciones que poseen un buen comportamiento en c se dice que son continuas en c; esto se examinará

más adelante.

Una importante aplicación de la sustitución directa se plantea en el siguiente teorema:

Teorema.- Sea c un número real y f(x) = g(x) para todos los x ≠ c en un intervalo abierto que contiene a c. Si

el límite de g(x) cuando x → c existe, entonces también existe el límite de f(x) y además:

lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑐

𝑔(𝑥)

Ejemplo3. Determinar el límite por sustitución directa de la función , hallando otra función

g(x) equivalente.

Factorizando el numerador de f(x) tenemos:

𝑥3 − 1

𝑥 − 1=

𝑥3 − 13

𝑥 − 1=

(𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)

𝑥 − 1= 𝑥2 + 𝑥 + 1 → 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 1

Por tanto, en todos los puntos distintos de x = 1 las funciones f y g son iguales. Eso se muestra en la gráfica

siguiente:

Observemos que en esta grafica no hay hueco en la gráfica de la función polinómica y por lo tanto

aplicando el Teorema anterior concluímos que el límite de f(x) cuando x tiende a 1 es simplemente:

lim𝑥→1

x3−1

x−1= lim

x→1x2 + x + 1 = (1)2 + (1) + 1 = 3

Esta discusión nos lleva a la siguiente estrategia para hallar límites:

1. Aprender a reconocer qué limites se pueden calcular por sustitución directa.

2. Si el límite f(x) cuando x → c no se puede evaluar por sustitución directa, inténtese encontrar una función

g(x) que coincida con f en todos los x salvo en x = c. (Encuéntrese g(x) de manera que su límite pueda

calcularse por sustitución directa.)

3. Aplicar el Teorema mencionado anteriormente para llegar a la conclusión de que:

lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑐

𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑐)

Ejemplo4. Determinar los siguientes límites, hallando una función g(x) equivalente y usar ésta para encontrar el límite.

𝑎) lim𝑥→−3

𝑥2 + 𝑥 − 6

𝑥 + 3

15

𝑏) lim𝑥→1

𝑥 − 1

𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1

𝑐) lim𝑥→−1

2𝑥2 − 𝑥 − 3

𝑥 + 1

Ejemplo 7. Calcular los siguientes límites, hallando una función equivalente; haciendo una racionalización de

la función original.

𝑎) lim𝑥→0

√𝑥 + 1 − 1

𝑥

𝑏) lim𝑥→3

√𝑥 + 1 − 2

𝑥 − 3

𝑐) lim𝑥→0

√3 + 𝑥 − √3

𝑥

16

2.2. El cálculo de límites en funciones algebraicas: polinomiales y racionales.

Analizaremos ahora el límite de algunas funciones algebraicas básicas como las que se enuncian en el

siguiente teorema.

Si b y c son números reales y n un entero (positivo si c = 0), entonces se cumple que:

lim𝑥→𝑐

𝑏 = 𝑏 lim𝑥→𝑐

𝑥 = 𝑐 lim𝑥→𝑐

𝑥𝑛 = 𝑐𝑛

Ejemplo. Calcular los siguientes límites.

𝑎) lim 𝑥→2

3 =

𝑏) lim𝑥→1

𝑥 =

𝑐) lim𝑥→2

𝑥2 =

2.2.1. Propiedades de los límites.

Si b y c son números reales, n un entero positivo y f, g funciones que tienen límite cuando x c, entonces son

ciertas las siguientes propiedades:

1. Múltiplo escalar: lim𝑥→𝑐

[𝑏(𝑓(𝑥))] = 𝑏 [lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥)]

2. Suma o diferencia: lim𝑥→𝑐

[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) ± lim𝑥→𝑐

𝑔(𝑥)

3. Producto: lim𝑥→𝑐

[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = [lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥)] [lim𝑥→𝑐

𝑔(𝑥)]

4. Cociente: lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑐

𝑔(𝑥)

5. Potencia: lim𝑥→𝑐

[𝑓(𝑥)]𝑛 = [lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥)]𝑛

2.2.2. Límite de un polinomio.

Si p es un polinomio y c es un número real, entonces:

lim𝑥→𝑐

𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑐)

Ejemplo. Hallar el límite del siguiente polinomio.

lim𝑥→2

(4𝑥2 + 3) =

2.2.3. Límite de una función racional.

Si r es una función racional dada por )(/)()( xqxpxr y c es un número real tal que 0)( cq , entonces:

lim𝑥→𝑐

𝑟(𝑥) = 𝑟(𝑐) =𝑝(𝑐)

𝑞(𝑐)

Ejemplo. Determinar el límite siguiente.

lim𝑥→1

𝑥2 + 𝑥 + 2

𝑥 + 1=

17

-1

0

1

2

3

-1 0 1 2 3 4 5 6

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2 3

2.2.4. Límites laterales.

Un límite puede no existir debido a que la función en cuestión tiende a valores distintos por la derecha y por

la izquierda de c. Con el fin de investigar más a fondo este fenómeno, es preciso fijarse de antemano en un

tipo diferente de «límite», llamado límite lateral. Por ejemplo, cuando hablamos del límite por la derecha,

queremos decir que x se aproxima hacia c por valores mayores que el propio c. Denotamos esa situación por:

Análogamente, limite por la izquierda significa que x se acerca a c por valores menores que c. Esto se denota

a su vez por:

Los límites laterales resultan útiles a la hora de calcular límites de funciones que contienen radicales. Por ejemplo, si n es un entero par, entonces:

Ejemplo1. Calcular el límite de 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 cuando x tiende a 1 por la derecha.

x f(x)

1 0

2 1

3 1.4

4 1.7

5 2

Otra utilidad de los límites laterales consiste en investigar el comportamiento de funciones paso (o escalón).

Un ejemplo típico de estas funciones es la llamada función parte entera, denotada por ⟦𝑥⟧ que se define

como:

⟦𝑥⟧ = 𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑛 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑛 ≤ 𝑥

Ejemplo2. Hallar el límite de 𝑓(𝑥) = ⟦𝑥⟧ cuando x tiende a O por la izquierda y cuando tiende a O por la

derecha.

En la gráfica anterior, se observa que la función parte entera tiende hacia números diferentes según vayamos

por la izquierda o por la derecha hacia 0. En casos como este decimos que no existe el límite (bilateral). El

siguiente teorema insiste en este aspecto.

Teorema.- Si f es una función y si c y L son números reales, el límite de f(x) cuando x tiende hacia c es L si y sólo sí.

lim𝑥→𝑐−

𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑦 lim𝑥→𝑐+

𝑓(𝑥) = 𝐿

Este teorema es particularmente apropiado para verificar que un límite no existe, como se muestra en el

siguiente ejemplo.

x f(x)

-1 -1

-0.5 -1

-0.1 -1

0 0

0.5 0

0.9 0

1 1

1.5 1

1.9 1

18

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-3 -2 -1 0 1 2 3

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Ejemplo3. Calcular donde: 𝑓(𝑥) = {2𝑥 − 𝑥3; 𝑥 < 1

2𝑥2 − 2; 𝑥 ≥ 1

x f(x)

-1.5 0.4

-1 -1

-0.5 -0.9

0 0

0.5 0.9

0.9 1.1

1 0

1.25 1.1

1.5 2.5

1.75 4.1

2.2.5. Límites infinitos y límites en el infinito.

El concepto de "infinito" ha inspirado y hechizado a los matemáticos desde tiempo inmemorial. Los

problemas y paradojas más profundos de las matemáticas a menudo van unidos a esta palabra. Aunque el

progreso puede estimarse en función de la comprensión del concepto de infinito. Hemos usado ya los

símbolos ∞ y -∞ en nuestra notación para ciertos intervalos. Así, (3, ∞) es nuestra manera de designar el

conjunto de todos los números reales mayores que 3. Hay que aclarar que nunca nos hemos referido a ∞

como un número. Por ejemplo, nunca lo hemos sumado o dividido con números. Usaremos los símbolos ∞ y

-∞ en una nueva forma en este tema, pero seguirán sin representar números.

Límites infinitos.

Aquí analizaremos otra causa importante de la inexistencia del límite. Empezaremos por un ejemplo. Sea la función:

𝑓(𝑥) =3

𝑥 − 2

La gráfica y la tabla anteriores nos dicen que la función f(x) decrece sin tope cuando x tiende a 2 por la

izquierda, y crece sin tope cuando x tiende a 2 por la derecha. Simbólicamente, escribimos

lim 𝑥2−

3

𝑥 − 2= ∞ 𝑦 lim

𝑥2−

3

𝑥 − 2= −∞

x f(x)

-4 -0.5

-3 -0.6

-2 -0.8

-1 -1

0 -1.5

1 -3

1.5 -6

2.5 6

3 3

4 1.5

5 1

6 0.8

lim𝑥→1

𝑓(𝑥)

Como f está definida de manera

distinta para x < 1 que para x ≥ 1,

consideramos los siguientes límites

laterales.

lim𝑥→1−

𝑓(𝑥) =

lim𝑥→1+

𝑓(𝑥) =

Al ser distintos estos dos límites

laterales, concluimos que el límite de

f(x) cuando x 1 no existe.

19

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

𝑓(𝑥) =1

𝑥 − 1 -2

-1

0

1

2

3

4

5

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

𝑓(𝑥) =1

(𝑥 − 1)2

En general, los tipos de límites en los que f(x) crece o decrece sin tope cuando x tiende a e se llaman limites

infinitos.

Definición de límites infinitos.

La afirmación significa que f(x) crece sin tope cuando x tiende a c.

La afirmación significa que f(x) decrece sin tope cuando x tiende a c.

El signo de igualdad en no significa que el límite existe. Por el contrario, nos explica cómo

falla la existencia del límite, poniendo de manifiesto el comportamiento no acotado de f(x) cuando x tiende a

c. Así pues, al decir “el límite de f(x) es infinito cuando x tiende a c”, queremos decir de hecho que “el límite

no existe y f tiene una discontinuidad infinita en x = c”.

Los límites infinitos por la izquierda y por la derecha se definen análogamente. Los cuatro posibles

límites laterales infinitos son:

Si f(x) ∞ (o si f(x) -∞) por la izquierda o por la derecha, decimos que f tiene en x = c una discontinuidad

infinita.

Ejemplo. Usando las gráficas, hallar el límite de cada función cuando x 1 por ambos lados.

x f(x)

-2 -0.3

-1 -0.5

0 -1

0.5 -2

0.75 -4

1.25 4

1.5 2

2 1

3 0.5

4 0.3

x f(x)

-2 0.3

-1 0.5

0 1

0.5 2.0

0.75 4

1.25 -4

1.5 -2

2 -1

3 -0.5

4 -0.3

x f(x)

-2 0.1

-1 0.3

0 1

0.5 4

1.5 4

2 1

3 0.3

4 0.1

lim𝑥𝑐

𝑓(𝑥) = ∞

lim𝑥𝑐

𝑓(𝑥) = −∞

lim𝑥𝑐

𝑓(𝑥) = ∞

x f(x)

-2 -0.1

-1 -0.3

0 -1

0.5 -4

1.5 -4

2 -1

3 -0.3

4 -0.1

𝑓(𝑥) = −1

𝑥 − 1

𝑓(𝑥) = −1

(𝑥 − 1)2

lim𝑥1−

1

𝑥 − 1= lim

𝑥1+

1

𝑥 − 1=

lim𝑥1−

1

(𝑥 − 1)2=

lim𝑥1+

1

(𝑥 − 1)2=

lim𝑥1−

−1

𝑥 − 1= lim

𝑥1+−

1

𝑥 − 1=

lim𝑥1−

−1

(𝑥 − 1)2=

lim𝑥1+

−1

(𝑥 − 1)2=

20

-2

-1

0

1

2

3

4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Límites en el infinito.

En este tema analizaremos con más detalle el comportamiento de funciones en intervalos infinitos.

Consideremos la gráfica de:

𝑓(𝑥) =3𝑥2

𝑥2 + 1

La siguiente tabla sugiere que el valor de f(x) tiende a 3 cuando x crece sin cota (x ∞). Análogamente, f(x)

tiende a 3 para x - ∞. Denotaremos esos límites en el infinito por:

lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = 3 lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = 3

Decir que una afirmación es cierta cuando x crece sin cota (o sin límite) significa que para cualquier número

(grande) real M, la afirmación es válida en todo x del intervalo {x > M}. La siguiente definición utiliza esta

noción.

Definición de límites en el infinito.

La afirmación significa que para cada > 0 existe un M > 0 tal que │f(x) - L│ siempre que x > M.

La afirmación significa que para cada > 0 existe un N 0 tal que │f(x) - L│ siempre que x N.

Cuando escribimos significa que el límite existe y es igual al número L.

La definición de un límite en el infinito se ilustra en la figura anterior. Notemos en ella que para un

número positivo dado , existe un número positivo M tal que, a la derecha de x = M, la gráfica de f está entre

las rectas horizontales dadas por y = L ± . La gráfica de f se aproxima a la recta y = L cuando x crece sin

tope. Decimos que la recta y = L es una asíntota horizontal de la gráfica de f.

Otro teorema importante para los límites en el infinito es el que se enuncia enseguida:

Teorema.- Si r es positivo y racional y c cualquier número real, entonces:

Además, si xr está definido cuando x < 0, entonces:

x f(x)

-4 2.8

-3 2.7

-2 2.4

-1 1.5

0 0

1 1.5

2 2.4

3 2.7

4 2.8

lim𝑥→∞

𝑐

𝑥𝑟= 0

lim𝑥→−∞

𝑐

𝑥𝑟= 0

21

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Ejemplo1. Hallar los siguientes límites:

𝑎) lim𝑥→∞

(5 −2

𝑥2) =

𝑏) lim𝑥→∞

(2𝑥 − 1

𝑥 + 1) =

Podemos observar que en este caso al sustituir directamente el límite en la función, tanto el numerador como

el denominador tienden a infinito cuando x tiende a infinito. Para eliminar esa dificultad, dividimos

numerador y denominador por x, tras lo cual se procede así:

lim𝑥→∞

(2𝑥 − 1

𝑥 + 1) =

Por tanto, la recta y = 2 es asíntota horizontal por la derecha. Tomando el límite para x -∞, podemos ver

que y = 2 también es asíntota horizontal por la izquierda, como se muestra en la siguiente gráfica.

En el ejemplo 2, nuestro primer intento de evaluar el límite ha desembocado en la forma

indeterminada ∞/∞. Hemos sido capaces de superar la dificultad reescribiendo la expresión dada en otra

forma equivalente; concretamente, dividiendo numerador y denominador por x. En general, sugerimos dividir

por la potencia más alta de x en el denominador, como ilustra el siguiente ejemplo.

x f(x)

-6 2.6

-5 2.8

-4 3

-3 3.5

-2 5

-1.5 8

-0.5 -4

0 -1

1 0.5

2 1

3 1.3

4 1.4

5 1.5

Ejemplo2. Hallar los límites siguientes:

a)

b)

c)

lim𝑥→−∞

2𝑥 + 5

3𝑥2 + 1=

lim𝑥→−∞

2𝑥2 + 5

3𝑥2 + 1=

lim𝑥→−∞

2𝑥3 + 5

3𝑥2 + 1=

22

-2

-1

0

1

2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Comparando las tres funciones racionales del Ejemplo2. En a) el grado del numerador es menor que el del

denominador y el límite de la función es cero. En b) los grados son iguales y el límite es sencillamente el cociente

de los dos coeficientes dominantes 2 y 3. Finalmente, en c) el grado del numerador es mayor que el del

denominador y no existe el límite. Esto parece razonable si nos damos cuenta de que para grandes valores de x el

término con mayor potencia de x es el que domina. Por ejemplo, el límite, cuando x tiende a infinito, de:

𝑓(𝑥) =1

𝑥2 + 1

es cero, puesto que el denominador excede en potencia al numerador, como se muestra en la gráfica anterior.

En este caso vemos la función tiende hacia la misma asíntota horizontal por la izquierda y por la

derecha esto es:

lim𝑥−∞

𝑓(𝑥) = 0 = lim𝑥∞

𝑓(𝑥)

Siempre ocurre así con funciones racionales. Sin embargo, funciones no racionales pueden tener asíntotas

horizontales distintas a la izquierda y a la derecha, como ilustra el ejemplo siguiente.

Ejemplo4. Hallar los siguientes límites:

En este caso para x > 0, tenemos 𝑥 = √𝑥2. Por tanto, dividiendo numerador y

denominador por x se obtiene:

Para x < 0, tenemos 𝑥 = −√𝑥2. Por consiguiente, dividiendo arriba y abajo por x

vemos que:

x f(x)

-3 0.1

-2 0.2

-1 0.5

0 1

1 0.5

2 0.2

3 0.1

23

2.2.6. Teorema de continuidad de una función.

El término continuo tiene el mismo sentido en matemáticas que en el lenguaje cotidiano. Decir que una

función f es continua en x = c significa que su gráfica no sufre interrupción en c, que ni se rompe ni tiene

saltos o huecos. Por ejemplo, la figura siguiente, muestra tres valores de x en los que f no es continua.

En los demás puntos del intervalo (a, b) la gráfica no se interrumpe y decimos que f es continua en ellos. Así

pues, la continuidad de una función en x = c se destruye por alguna de estas causas:

1. La función no está definida en x = c.

2. El límite de f(x) en x = c no existe.

3. El límite de f(x) en x = c existe, pero no coincide con f(c).

2.2.7. Condiciones de continuidad.

Continuidad en un punto.- Una función f se dice que es continua en c si se verifican las condiciones

siguientes:

1.- f(c) está definido 2.- existe 3.-

Continuidad en un intervalo abierto.- Una función f se dice que es continua en un intervalo (a, b) si lo es

en todos los puntos de ese intervalo.

Se dice que f es discontinua en c si f está definida en un intervalo

abierto que contiene a c (excepto quizás en c) y f no es continua en c.

Las discontinuidades caen en dos categorías: evitables y no evitables. Se

dice que una discontinuidad en x = c es evitable si f puede hacerse

continua redefiniéndola en x = c. Así, en la siguiente figura, la función f

tiene dos discontinuidades evitables y una no evitable.

Si f es continua en toda la recta real (- ∞, ∞) diremos a veces por

brevedad que es una función continua.

x f(x)

-4 -2.4

-3 -2.5

-2 -2.7

-1 -2.9

0 -2

1 0.6

2 1.3

3 1.6

4 1.7

5 1.8

6 1.9 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

es asíntota horiz.

por la derecha

es asíntota horiz.

por la izquierda

lim𝑥𝑐

𝑓(𝑥) lim𝑥𝑐

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐)

24

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Ejemplo1. Determinar si las siguientes funciones son continuas en el intervalo dado.

x f(x)

-2 -6

-1 0

-0.5 0.4

0 0

0.5 -0.4

1 0

2 6

Continuidad en un intervalo cerrado.- Una función es continua en el intervalo cerrado [a, b] si es continua en

el intervalo abierto (a, b) y además:

lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 𝑦 lim𝑥→𝑏−

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏)

La función f se dice que es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b.

Definiciones análogas cubren el caso de intervalos semiabiertos de la forma (a, b] o [a, b), o intervalos infinitos.

x f(x)

-4 -0.25

-3 -0.33

-2 -0.5

-1 -1

-0.5 -2

-0.25 -4

0.25 4

0.5 2

1 1

2 0.5

3 0.33

4 0.25

x f(x)

-4 -3

-3 -2

-2 -1

-1 0

0 1

0.9 1.9

1.1 2.1

2 3

3 4

𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥

𝑎) 𝑓(𝑥) =1

𝑥, (0, 1)

𝑐) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥, (−∞, ∞)

𝑏) 𝑓(𝑥) =𝑥2 − 1

𝑥 − 1, (0, 2)

𝑓(𝑥) =1

𝑥

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

𝑓(𝑥) =𝑥2 − 1

𝑥 − 1

25

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-2

-1

0

1

2

3

4

-3 -2 -1 0 1 2 3

-2

-1

0

1

2

3

4

-3 -2 -1 0 1 2 3

Ejemplo2. Discutir la continuidad de las siguientes funciones:

x f(x)

0 0

1 1

2 1.4

3 1.7

4 2

5 2.2

6 2.4

7 2.6

8 2.8

9 3

x f(x)

-2 5

-1 4

0 3

1 2

2 3

3 8

Ejemplo3. Hallar los intervalos en los que las tres funciones siguientes son continuas.

x f(x)

-2 0

-1.75 1

-1 1.7

0 2

1 1.7

1.75 1

2 0

x f(x)

-1.95 2.3

-1.9 1.6

-1.75 1

-1 0.6

0 0.5

1 0.6

1.75 1

1.9 1.6

1.95 2.3

a) 𝑓(𝑥) = √𝑥

b) 𝑓(𝑥) = {3 − 𝑥; −2 ≤ 𝑥 ≤ 1

𝑥2 − 1; 1 < 𝑥 ≤ 3

a) 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥2

b) 𝑓(𝑥) =1

√4 − 𝑥2

26

-2

-1

0

1

2

3

4

-3 -2 -1 0 1 2 3

x f(x)

-2 3

-1 0

-0.5 0.8

0 1

0.5 0.8

1 0

2 3

c) 𝑓(𝑥) = |𝑥2 − 1|

27

BLOQUE III.- Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales,

económicos y administrativos.

3.1. La derivada.

El cálculo nació a partir de cuatro problemas sobre los que los matemáticos europeos trabajaron durante el

siglo XVII.

1. El problema de la recta tangente.

2. El problema de la velocidad y la aceleración.

3. El problema de los máximos y mínimos.

4. El problema del área.

Cada uno de ellos requiere la noción de límite y es por sí solo suficiente para introducir el cálculo.

Aunque soluciones parciales al problema las fueron dando Pierre de Fermat (1601-1655), René Descartes

(1596-1650), Christian Huygens (1629-1695), e Isaac Barrow (1630-1677), se atribuye la primera solución

general a Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716). La obra de Newton sobre este

problema surgió de su interés por la óptica y la refracción de la luz.

3.2. El problema de la recta tangente.

Para un círculo, podemos caracterizar la recta tangente en un punto P como la recta perpendicular a la recta

radial que pasa por P. Ver figura siguiente:

Sin embargo, para una curva arbitraria el problema se torna más difícil; como por ejemplo definir las rectas

tangentes que muestran en la siguiente figura.

Esencialmente, el problema de hallar la recta tangente en un punto P se reduce al de hallar su pendiente. Y

ésta puede aproximarse mediante rectas que pasen por P y por otro punto de la curva, a las que llamaremos

rectas secantes.

Si (𝑐, 𝑓(𝑐)) es el punto de tangencia y (𝑐 + ∆𝑥, 𝑓(𝑐 + ∆𝑥)) es otro punto de la gráfica de f, la pendiente de la

recta secante que pasa por ambos puntos es:

𝑚𝑠𝑒𝑐 =𝑓(𝑐 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑐)

(𝑐 + ∆𝑥) − 𝑐=

𝑓(𝑐 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑐)

∆𝑥

28

El miembro de la derecha de esta ecuación se llama cociente incremental. El denominador ∆x se llama

incremento de x, y el numerador ∆y = f(c + ∆x) − f(c) incremento de y.

El atractivo de este proceso es que obtendremos cada vez mejores aproximaciones a la pendiente de la

tangente sin más que acercar el otro punto al de tangencia, como se ve en la siguiente figura:

Definición de la recta tangente.

Si f está definida en un intervalo que contiene a c y existe el límite entonces:

𝑚 = lim∆𝑥→0

∆𝑦

∆𝑥= lim

∆𝑥→0

𝑓(𝑐 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑐)

∆𝑥

llamaremos a la recta que pasa por (𝑐, 𝑓(𝑐)) con pendiente m la recta tangente a la gráfica de f en el punto (𝑐, 𝑓(𝑐)). A menudo hablaremos de la pendiente de la tangente a la gráfica de f en (𝑐, 𝑓(𝑐)) simplemente

como la pendiente de la gráfica de f en x = c.

Ejemplo1. Hallar la pendiente de f(x) = 2x - 3 en el punto (2, 1).

𝑚 = lim∆𝑥→0

𝑓(2 + ∆𝑥) − 𝑓(2)

∆𝑥= lim

∆𝑥→0

2(2 + ∆𝑥) − 3 − [2(2) − 3]

∆𝑥=

lim∆𝑥→0

4 + 2∆𝑥 − 3 − [1]

∆𝑥= lim

∆𝑥→0

2∆𝑥

∆𝑥= 2

Ejemplo2. Hallar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) = x2 + 1 en los puntos (0,1) y (-1, 2), que

muestra en la figura de la izquierda.

Para resolver este caso, consideremos un punto (x, f(x)) de la gráfica de f.

La pendiente de la recta tangente en el viene dada por:

lim∆𝑥→0

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)

∆𝑥= lim

∆𝑥→0

(𝑥 + ∆𝑥)2 + 1 − (𝑥2 + 1)

∆𝑥=

lim∆𝑥→0

𝑥2 + 2𝑥(∆𝑥) + (∆𝑥)2 + 1 − 𝑥2 − 1)

∆𝑥=

lim∆𝑥→0

2𝑥(∆𝑥) + (∆𝑥)2

∆𝑥= lim

∆𝑥→0

∆𝑥(2𝑥 + ∆𝑥)

∆𝑥= lim

∆𝑥→0(2𝑥 + ∆𝑥) = 2𝑥 + (0) = 2𝑥

Por lo tanto la pendiente de f en (2, 1) es m = 2, como se muestra en la

gráfica de la derecha.

Sabemos que una función lineal tiene la misma pendiente en todos

sus puntos. Pero no ocurre lo mismo en funciones no lineales, como se ve

en el siguiente ejemplo.

y

yy

x

x

x

)(, cfc

)(, xcfxc

29

Por tanto, la pendiente en cualquier punto (x, f(x)) de la gráfica de f viene dada por m = 2x.

En el punto (0, 1), la pendiente es: 𝑚 = 2𝑥 = 2(0) = 0

En el punto (-1, 2) es: 𝑚 = 2𝑥 = 2(−1) = −2

3.3. La derivada de una función.

Hemos llegado a un punto crucial. El límite utilizado para definir la pendiente de la tangente se usa también

para definir una de las dos operaciones fundamentales del cálculo: la derivada.

Definición de la derivada de una función.

Suponiendo que el límite existe, la derivada de f en x viene dada por:

𝑓´(𝑥) = lim∆𝑥→0

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)

∆𝑥

El proceso de cálculo de la derivada de una función se llama derivación. Una función se dice que es derivable en x si

existe su derivada en x, y derivab1e en un intervalo abierto (a, b) si lo es en todos los puntos de ese intervalo.

Además de f ́ (x), leído “f prima de x”, otras notaciones comunes para la derivada de y = f(x) son:

La notación dy/dx se lee “derivada de y respecto de x”. En notación de límites, se tiene:

Ejemplo. Hallar la derivada de las siguientes funciones por el proceso de límite.

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥

b) 2

1)(

xxf

c) 𝑓(𝑥) = √𝑥

30

3.4. Razón de cambio promedio e instantánea.

Hemos visto cómo utilizar la derivada para calcular pendientes, Ahora nos ocuparemos de otra de sus

aplicaciones: hallar la razón (o ritmo) de cambio de una magnitud respecto de otra, Es una cuestión que

aparece en multitud de problemas prácticos, Unos pocos ejemplos son crecimiento de poblaciones, ritmos de

producción, flujos de agua, velocidad y aceleración, etc.

Una aplicación común de las razones de cambio ocurre en la descripción del movimiento por una recta, lo

que se conoce como movimiento rectilíneo. Suele usarse una recta horizontal o vertical, con un cierto origen, para

representar la línea de movimiento. El movimiento hacia la derecha (o hacia arriba) se considera en dirección

positiva; el movimiento hacia la izquierda (o hacia abajo) se considera en dirección negativa.

La función s que da la posición (respecto del origen) del móvil como función del tiempo t se llama

función de posición. Si sobre un cierto lapso de tiempo Δt el objeto cambia su posición una cantidad,

entonces el cambio en distancia se denota por:

∆𝑠 = 𝑠(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑠(𝑡)

Por la formula bien conocida: 𝑣 = 𝑑/𝑡; la razón media de cambio de la distancia respecto al tiempo

viene dada por:

𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =∆𝑠

∆𝑡=

𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎

𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

Definición de velocidad media.

Si s(t) da la posición en el tiempo t de un objeto que se mueve por una recta, la velocidad media del objeto en

el intervalo [t, t+Δt] viene dada por:

𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =∆𝑠

∆𝑡=

𝑠(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑠(𝑡)

∆𝑡

Ejemplo1. Se deja caer desde 100 pies de altura un objeto, su altura en el instante t viene dada por la función

de posición 𝑠(𝑡) = −16𝑡2 + 100, con s medida en pies y t en segundos. Hallar la razón media de cambio de

la altura en los intervalos: a) [1, 2], b) [1, 1.5], c) [1, 1.1].

Utilizando el resultado anterior, podemos encontrar las velocidades medias en los intervalos propuestos como

se muestra a continuación:

a) 𝑣𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎[1,2] =

b) 𝑣𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎[1,1.5] =

c) 𝑣𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎[1,1.1] =

𝑣𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =∆𝑠

∆𝑡=

𝑠(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑠(𝑡)

∆𝑡=

31

Supongamos que en el ejemplo anterior, queremos hallar la velocidad en un cierto instante, digamos t = 1. La

llamaremos velocidad instantánea o simplemente velocidad del objeto cuando t = 1. Igual que aproximába-

mos la pendiente de la tangente mediante secantes, la velocidad en t = 1 se puede aproximar calculando la

velocidad media en pequeños intervalos [1, t+Δt], como muestra en la siguiente tabla:

t 0.5 0.9 0.99 0.999 0.9999 1 1.0001 1.001 1.01 1.1 1.5

∆𝑠

∆𝑡 -24 -30.4 -31.84 -31.984 -31.9984 -32.0016 -32.016 -32.16 -33.6 -40

A la vista de la tabla, parece razonable concluir que la velocidad cuando t = 1 es -32 ft/s. Verificaremos esta

conclusión tras introducir la siguiente definición.

Definición de velocidad instantánea.

Si s(t) es la función de posición de un objeto en movimiento rectilíneo, la velocidad del objeto en el instante

t viene dada por:

𝑣(𝑡) = 𝑠´(𝑡) = lim∆𝑡→0

𝑠(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑠(𝑡)

∆𝑡

Ejemplo2. Hallar la velocidad en t = 1 y t = 2 de un objeto en caída libre cuya función de posición es:

𝑠(𝑡) = −16𝑡2 + 100, con s medida en pies y t en segundos.

Según la definición de la derivada mediante límite, vemos que la función que se obtiene es:

𝑣(𝑡) = 𝑠´(𝑡) = lim∆𝑡→0

𝑠(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑠(𝑡)

∆𝑡=

Así como, la función velocidad se obtiene derivando la función posición, la función aceleración se obtiene

derivando la función velocidad.

Definición de aceleración.

Si s(t) es la función de posición de un objeto en movimiento rectilíneo, su aceleración en el instante t viene

dada por:

𝑎(𝑡) = 𝑣´(𝑡) = lim∆𝑡→0

𝑣(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑣(𝑡)

∆𝑡

32

Ejemplo3. Calcular la aceleración de un objeto en caída libre cuya función de posición es: 𝑠(𝑡) = −16𝑡2 + 100.

Del ejemplo anterior sabemos que: 𝑣(𝑡) = −32𝑡, por lo tanto:

𝑎(𝑡) = 𝑣´(𝑡) = lim∆𝑡→0

𝑣(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑣(𝑡)

∆𝑡=

La aceleración hallada en el ejemplo anterior se llama aceleración debida a la gravedad, denotada por g, su valor

exacto depende del lugar de la Tierra donde se mida. El valor estándar de g es -32.174 ft/s2 (es decir, -9.81 m/s2).

En general, la posición de un objeto en caída libre (despreciando la resistencia del aire) bajo la

influencia de la gravedad puede representarse por la ecuación.

𝑠(𝑡) =1

2𝑔𝑡2 + 𝑣0𝑡 + 𝑠0

donde 𝑠0 es la altura inicial del objeto y 𝑣0 la velocidad inicial con que se suelta. Considerando el valor g = -32 ft/s2

para la aceleración debida a la gravedad, tenemos como función de posición:

𝑠(𝑡) = −16𝑡2 + 𝑣0𝑡 + 𝑠0

Si consideramos el valor g = -9.81 ft/s2 para la aceleración debida a la gravedad, entonces la función de

posición es:

𝑠(𝑡) = −49

10𝑡2 + 𝑣0𝑡 + 𝑠0

Hay que recordar que para objetos en movimiento vertical consideramos la velocidad positiva si el objeto

sube, y negativa si baja.

Ejemplo4. Supuesto que la velocidad en m/s de un automóvil que arranca del reposo viene dada por:

hallar su aceleración cuando t = 0, 5, 10 y 60 segundos.

5

80)(

t

ttv

33

Ejemplo5. Se lanza un proyectil hacia arriba desde la superficie de la tierra con velocidad inicial de 384 ft/s.

Hallar:

a) Su velocidad tras 10 y 15 segundos.

b) El tiempo que tarda subiendo.

c) La altura total que alcanza.

La aceleración determinada anteriormente se obtiene de la función aceleración, derivando dos veces.

𝑠(𝑡) Función posición

𝑣(𝑡) = 𝑠´(𝑡) Función velocidad

𝑎(𝑡) = 𝑣´(𝑡) = 𝑠´´(𝑡) Función aceleración

Decimos que a(t) es la segunda derivada de s(t) y la denotaremos por s´´(t). La segunda derivada es un ejemplo de derivada de orden superior. Podemos definir derivadas de cualquier orden entero positivo. Así, la tercera derivada es la derivada de la segunda derivada. Denotaremos las derivadas de orden superior así:

Primera derivada y´ f´(x) 𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑑[𝑓(𝑥)]

𝑑𝑥 𝐷𝑥(𝑦)

Segunda derivada y´´ f´´(x) 𝑑2𝑦

𝑑𝑥

𝑑2[𝑓(𝑥)]

𝑑𝑥2 𝐷𝑥

2(𝑦)

n-ésima derivada yn f (n)(x) 𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑛[𝑓(𝑥)]

𝑑𝑥𝑛 𝐷𝑥

𝑛(𝑦)

Interpretación geométrica de la derivada.

Si la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es derivable en x, su derivada:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓´(𝑥) = lim

∆𝑥→0

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)

∆𝑥; denota a la vez:

1. La pendiente de la gráfica de f en x.

2. La razón instantánea de cambio en y con respecto a x.

34

3.5. Reglas de derivación.

En temas anteriores hemos utilizado la definición por límites para hallar derivadas. En este tema

estudiaremos varias “reglas de derivación” que permitirán hallar derivadas sin recurrir a la definición.

Regla de la constante.

La derivada de una constante es cero.

𝑑

𝑑𝑥[𝑐] = 0

Regla del múltiplo constante.

Si f es una función derivable y c un número real, entonces:

𝑑

𝑑𝑥[𝑐𝑓(𝑥)] = 𝑐𝑓´(𝑥)

Regla de la suma y la diferencia

La derivada de una suma o diferencia de dos funciones derivables es la suma o diferencia de sus derivadas.

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = 𝑓´(𝑥) ± 𝑔´(𝑥)

Regla de las potencias.

Si n es un número racional, entonces:

𝑑

𝑑𝑥[𝑥𝑛] = 𝑛𝑥𝑛−1; en el caso particular de que 𝑛 = 1, se tiene:

𝑑

𝑑𝑥[𝑥] = 1

Ejemplo. Derivar las siguientes funciones, aplicando las reglas básicas de derivación.

a) 𝑓(𝑥) = −3

b) 𝑓(𝑥) = 𝑥3

c) 2

1

xy

d) x

xf3

2)(

e) xxx

y 232

34

Regla del producto.

El producto de dos funciones derivables f y g es a su vez derivable. Además, la derivada de (f)(g) es igual al

producto de la primera función por la derivada de la segunda más la segunda por la derivada de la primera.

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥)𝑔´(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓´(𝑥)

35

Ejemplo. Derivar las siguientes funciones, aplicando la regla del producto.

a) 𝑓(𝑥) = (3𝑥 − 2𝑥2)(5 + 4𝑥)

b) 𝑦 = (𝑥3 − 3𝑥)(2𝑥2 + 3𝑥 + 5)

c) 𝑓(𝑥) = (1 +1

𝑥) (√𝑥 − 1)

Regla del cociente.

El cociente f /g de dos funciones derivables f y g es también derivable en todos los valores de x para los que

g(x) ≠ 0. Además, la derivada de f /g es igual al denominador por la derivada del numerador menos el nume-

rador por la derivada del denominador, dividido todo ello por el cuadrado del denominador.

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)] =

𝑔(𝑥)𝑓´(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔´(𝑥)

[𝑔(𝑥)]2

Ejemplo. Hallar la derivada de las siguientes funciones, aplicando la regla del cociente.

a) 1

252

x

xy

b) 1

23)(

2

3

x

xxxf

c) 5

13

x

xy

Regla de la cadena.

Si Mary puede mecanografiar dos veces más rápido que David y éste puede mecanografiar tres veces más

rápido que Pedro, entonces Mary puede mecanografiar (2)(3)=6 veces más rápido que Pedro, simbólicamente

esto se puede representar como sigue:

y → Mary u → David x → Pedro

𝑑𝑦

𝑑𝑢= 2; número de veces en que escribe más rápido Mary con respecto a David.

𝑑𝑢

𝑑𝑥= 3; número de veces en que escribe más rápido David con respecto a Pedro.

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 6; número de veces en que escribe más rápido Mary con respecto a Pedro.

36

Básicamente la regla de la cadena dice que si “y” cambia du

dy veces más rápido “u”, y “u” cambia

dx

du veces

más rápido que “x”, entonces “y” cambia

dx

du

du

dy veces más rápido que “x”. En otras palabras, la razón

de cambio de “y” con respecto a “x” es igual al producto de la razón de cambio de “y” con respecto a “u” por

la de “u” con respecto a “x”; por lo cual escribimos:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= (

𝑑𝑦

𝑑𝑢) (

𝑑𝑢

𝑑𝑥)

Definición de la regla de la cadena.

Si y = f(u) es función derivable de u y u = g(x) es función derivable de x, entonces 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) es función

derivable de x, por tanto:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= (

𝑑𝑦

𝑑𝑢) (

𝑑𝑢

𝑑𝑥) ó

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑔(𝑥))] = 𝑓´(𝑔(𝑥)) 𝑔´(𝑥)

Ejemplo. Determinar la derivada usando la regla de la cadena.

a) 𝑦 = (𝑥2 + 1)3

b) 𝑦 = √9𝑥2 + 43

Las funciones del ejemplo anterior son los tipos más frecuentes de funciones compuestas, 𝑦 = [𝑢(𝑥)]𝑛. La

regla de derivación para tales funciones potencia se llama regla general de las potencias y es un caso

particular de la regla de la cadena.

Regla general de las potencias.

Si 𝑦 = [𝑢(𝑥)]𝑛, donde u es una función derivable de x y n es un número racional, entonces:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑛[𝑢(𝑥)]𝑛−1

𝑑𝑢

𝑑𝑥 ó

𝑑

𝑑𝑥[𝑢𝑛] = 𝑛𝑢𝑛−1𝑢´

Ejemplo. Derivar las siguientes funciones aplicando la regla general de las potencias.

a) 𝑓(𝑥) = (3𝑥 − 2𝑥2)3

b) 𝑓(𝑥) = [(𝑥 − 2)(𝑥 + 4)]2

c) 𝑦 = 𝑥2 √1 − 𝑥2

d)

2

2 3

13

x

xy

37

3.6. Derivada de la función exponencial natural de base e.

Uno de los rasgos más intrigantes, y más útiles, de la función exponencial natural es que su derivada es ella

misma. Este resultado se enuncia en el próximo teorema.

Sea u una función derivable de x, entonces:

𝑑(𝑒𝑥)

𝑑𝑥= 𝑒𝑥 →

𝑑(𝑒𝑢)

𝑑𝑥= 𝑒𝑥

𝑑𝑢

𝑑𝑥

Ejemplo. Hallar la derivada de las siguientes funciones exponenciales de base e.

a) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥

b) 𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥

c) 𝑦 = 𝑒1𝑥

d) 𝑦 = (3𝑥 + 1)𝑒−3𝑥

e) 𝑦 =𝑒𝑥−𝑒−𝑥

𝑒𝑥+𝑒−𝑥

3.7. Derivada de la función logaritmo natural.

Si u es una función derivable de x, entonces:

𝑑(𝑙𝑛𝑥)

𝑑𝑥=

1

𝑥 →

𝑑(𝑙𝑛𝑢)

𝑑𝑥=

1

𝑢 𝑑𝑢

𝑑𝑥

Ejemplo. Derivar las siguientes funciones logarítmicas.

a) 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥4

b) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑙𝑛𝑥

c) 𝑓(𝑥) = ln (𝑙𝑛𝑥)

d) 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥2

1+𝑥2

e) 𝑦 = 𝑙𝑛√3 − 2𝑥2

38

3.8. Derivadas de funciones trigonométricas directas e inversas.

Derivadas de funciones trigonométricas directas.

Suponiendo que u es una función derivable de x entonces:

𝑑[𝑠𝑒𝑛 𝑥]

𝑑𝑥= 𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑑[𝑠𝑒𝑛 𝑢]

𝑑𝑥= 𝑐𝑜𝑠 𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑[𝑐𝑜𝑠 𝑥]

𝑑𝑥= −𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑑[𝑐𝑜𝑠 𝑢]

𝑑𝑥= −sen 𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑[𝑡𝑎𝑛 𝑥]

𝑑𝑥= 𝑠𝑒𝑐2 𝑥

𝑑[𝑡𝑎𝑛 𝑢]

𝑑𝑥= 𝑠𝑒𝑐2 𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑[𝑐𝑠𝑐 𝑥]

𝑑𝑥= −c𝑠𝑐 𝑥 𝑐𝑡𝑔 𝑥

𝑑[𝑐𝑠𝑐 𝑢]

𝑑𝑥= −c𝑠𝑐 𝑢 𝑐𝑡𝑔 𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑[𝑠𝑒𝑐 𝑥]

𝑑𝑥= 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥

𝑑[𝑠𝑒𝑐 𝑢]

𝑑𝑥= 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑡𝑎𝑛 𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑[𝑐𝑡𝑔 𝑥]

𝑑𝑥= −c𝑠𝑐2 𝑥

𝑑[𝑐𝑡𝑔 𝑢]

𝑑𝑥= −c𝑠𝑐2 𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥

Ejemplo. Derivar las siguientes funciones trigonométricas directas.

a) 𝑓(𝑥) =𝑐𝑜𝑠𝑥

5

b) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥4

c) 𝑦 = 𝑐𝑡𝑔24𝑥

d) 𝑦 =2

√𝑠𝑒𝑐 𝑥

e) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛2−𝑥

2+𝑥

f) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥5 𝑐𝑜𝑠 𝑥3

g) 𝑓(𝑥) =𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑠𝑒𝑛 𝑥

h) 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛2𝑥 𝑠𝑒𝑐2𝑥

i) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥

39

Derivadas de funciones trigonométricas inversas. Si u es una función derivable de x entonces se tiene:

𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥]

𝑑𝑥=

1

√1 − 𝑥2

𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑢]

𝑑𝑥=

1

√1 − 𝑢2 𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑥]

𝑑𝑥= −

1

√1 − 𝑥2

𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑢]

𝑑𝑥= −

1

√1 − 𝑢2 𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛 𝑥]

𝑑𝑥=

1

1 + 𝑥2

𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛 𝑢]

𝑑𝑥=

1

1 + 𝑢2 𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑠𝑐 𝑥]

𝑑𝑥= −

1

𝑥√𝑥2 − 1

𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑠𝑐 𝑢]

𝑑𝑥= −

1

𝑢√𝑢2 − 1 𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐 𝑥]

𝑑𝑥=

1

𝑥√𝑥2 − 1

𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐 𝑢]

𝑑𝑥=

1

𝑢√𝑢2 − 1 𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑡𝑔 𝑥]

𝑑𝑥= −

1

1 + 𝑥2

𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑡𝑔 𝑢]

𝑑𝑥= −

1

1 + 𝑢2 𝑑𝑢

𝑑𝑥

Ejemplo. Determinar las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas inversas.

a) 𝑦 = 𝑥2𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛 𝑥

b) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 5𝑥2

c) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑡𝑔√1 + 𝑥2

d) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐3−𝑥

𝑥

e) 𝑦 = 𝑥2𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 2𝑥

f) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑡𝑔1+𝑥

1−𝑥

40

RESUMEN DE FORMULAS DE DERIVACION.

𝑑

𝑑𝑥[𝑐] = 0

𝑑[𝑠𝑒𝑛 𝑢]

𝑑𝑥= 𝑐𝑜𝑠 𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥[𝑐𝑓(𝑥)] = 𝑐𝑓´(𝑥)

𝑑[𝑐𝑜𝑠 𝑢]

𝑑𝑥= −sen 𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = 𝑓´(𝑥) ± 𝑔´(𝑥)

𝑑[𝑡𝑎𝑛 𝑢]

𝑑𝑥= 𝑠𝑒𝑐2 𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥[𝑥𝑛] = 𝑛𝑥𝑛−1

𝑑[𝑐𝑠𝑐 𝑢]

𝑑𝑥= −c𝑠𝑐 𝑢 𝑐𝑡𝑔 𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥[𝑥] = 1

𝑑[𝑠𝑒𝑐 𝑢]

𝑑𝑥= 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑡𝑎𝑛 𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥)𝑔´(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓´(𝑥)

𝑑[𝑐𝑡𝑔 𝑢]

𝑑𝑥= −c𝑠𝑐2 𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)] =

𝑔(𝑥)𝑓´(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔´(𝑥)

[𝑔(𝑥)]2

𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑢]

𝑑𝑥=

1

√1 − 𝑢2 𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑛[𝑢(𝑥)]𝑛−1

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑢]

𝑑𝑥= −

1

√1 − 𝑢2 𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑(𝑒𝑢)

𝑑𝑥= 𝑒𝑥

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛 𝑢]

𝑑𝑥=

1

1 + 𝑢2 𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑(𝑙𝑛𝑢)

𝑑𝑥=

1

𝑢 𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑠𝑐 𝑢]

𝑑𝑥= −

1

𝑢√𝑢2 − 1 𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐 𝑢]

𝑑𝑥=

1

𝑢√𝑢2 − 1 𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑[𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑡𝑔 𝑢]

𝑑𝑥= −

1

1 + 𝑢2 𝑑𝑢

𝑑𝑥

41

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-2 -1 0 1 2 3] [

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-2 -1 0 1 2 3) (

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-2 -1 0 1 2 3] [

Bloque IV.- Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización.

A menudo la vida nos enfrenta con el problema de encontrar el mejor modo de hacer algo. Por ejemplo, un

agricultor quiere escoger la mezcla de cultivos que sea la más apropiada para obtener el mayor

aprovechamiento. Un médico desea escoger y aplicar la menor dosis de una droga que curará cierta

enfermedad. Un fabricante desea minimizar el costo de distribución de productos. Algunas veces, en

problemas de esta naturaleza puede formularse, de tal manera que involucre maximizar o minimizar, una

función sobre un conjunto específico. Si es así, los métodos de cálculo proveen una poderosa herramienta

para resolver el problema, que es lo que se verá en este bloque.

4.1. Producciones, máximos y mínimos.

4.1.1. Extremos en un intervalo.

En el cálculo se dedica gran esfuerzo a la determinación del comportamiento de una función en un intervalo,

es decir a cuestiones como: ¿Tiene un valor máximo o mínimo? ¿Dónde es creciente o decreciente la

función?. En este tema y en el resto del curso se contestaran este tipo de preguntas gracias a la derivada.

Veremos además por qué tales preguntas son importantes en las aplicaciones.

Comenzamos con los máximos y mínimos de una función en un intervalo.

Definición de extremos.

Sea f definida en un intervalo I, conteniendo c.

1. f(c) es el mínimo de f en I si f(c) ≤ f(x) para todo x en I.

2. f(c) es el máximo de f en I si f(c) ≥ f(x) para todo x en I.

El mínimo y el máximo de una función en un intervalo se llaman valores extremos o extremos de la función

en ese intervalo. El máximo y el mínimo de una función en un intervalo se llaman a veces máximo absoluto y

mínimo absoluto en ese intervalo, respectivamente.

Una función no tiene necesariamente un máximo o un mínimo en un intervalo. Por ejemplo en las

gráficas siguientes se muestran tres posibilidades. Comparando la primera gráfica con la segunda vemos que

la función 1)( 2 xxf tiene máximo y mínimo en el intervalo cerrado [-1, 2], pero no tiene máximo en el

intervalo abierto (-1, 2). Además, en la tercera gráfica vemos que una discontinuidad (en x = 0) puede afectar

a la existencia de un extremo en el intervalo. Esto sugiere el siguiente teorema, que impone condiciones que

garantizan la existencia de un máximo y de un mínimo de la función en un intervalo.

De los casos anteriores se puede deducir que los extremos ocurren en ocasiones en puntos interiores del

intervalo y otras veces en puntos terminales.

𝑓(𝑥) = {𝑥2 + 1; 𝑥 ≠ 02; 𝑥 = 0

Máximo

Mínimo Mínimo

No hay máximo Máximo

No hay

mínimo

f es continua

[-1, 2] es cerrado

f es continua

(-1, 2) es abierto f es discontinua

[-1, 2] es cerrado

1)( 2 xxf 1)( 2 xxf

42

4.1.2. Teorema de los valores extremos.

Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f tiene un máximo

y también un mínimo en ese intervalo.

El teorema del valor extremo, al igual que el del valor intermedio,

es un teorema de existencia, ya que asegura que existen valores máximo y

mínimo, pero no dice cómo hallarlos.

Extremos relativos.

En la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 se tiene un máximo relativo en el punto

(0,0) y un mínimo relativo en el punto (2, -4). De manera coloquial se

puede decir que un máximo relativo ocurre en una “cima” de la gráfica y

un mínimo relativo en un “valle”. Tales cimas y valles pueden aparecer de

dos formas. Si son redondeados y suaves, la gráfica tiene en ellos tangente

horizontal. Si son abruptos y angulosos, la gráfica representa una función

que no es derivable en ese punto de cima o valle.

Definición de extremos relativos.

1. Si existe un intervalo abierto que contiene a c y en el que f(c) es máximo,

entonces f(c) se llama un máximo relativo de f.

2. Si existe un intervalo abierto que contiene a c y en el que f(c) es mínimo,

entonces f(c) se llama minimo relativo de f.

4.1.3. Teorema del punto crítico.

4.1.4. Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos.

4.2. Variaciones en las producciones, máximos y mínimos relativos.

4.2.1. Problemas de aplicación de máximos y mínimos.

4.2.2. Funciones crecientes y decrecientes.

4.3. Cálculo de valores máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada.

4.4. Concavidad y puntos de inflexión.

4.5. Aplicaciones en las ciencias naturales, económico-administrativas y sociales.

2.2.8. Teorema del valor intermedio y de valores extremos.

43