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analisis vectorial en el plano y en el espacio
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ANÁLISIS VECTORIAL
EN EL PLANO Y EN EL
ESPACIO
Autor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo
(Compilación)
UMSA –UCB – EISPDM: LA PAZ – BOLIVIA, 2015.
Hacia una Física para la vida y la
Investigación Científica
Editorial Crítica
x
y
z
zB
xByB
λϕ
ψ
Br
x
y
z
zB
xByB
λϕ
ψ
Br
PROLOGO A LA PRIMERA EDICIÓN
Desde hace tiempos inmemoriales el hombre ha tratado y tratará de conquistar el mundo entero, conquista que ha originado el
alejamiento del hombre a entender a la naturaleza, al tiempo que ahora se nos ha dividido en países desarrollado, sub – desarrollados y
en desarrollo. En esta conquista el pilar fundamental ha sido sin lugar a duda las ciencias exactas y aplicadas , por ello en esa lucha de
entender el comportamiento de la naturaleza la Física aportó grandemente, al punto de necesitar herramientas mas sofisticas como ser la
Matemática Abstracta y la Filosofía con su teoría materialista del conocimiento, hoy que hemos avanzado en enormes pasos gracias al
rápido avance de las ciencias informáticas y la electrónica creemos encontrarnos en la cúspide de nuestra creación, sin embargo el precio
que se nos avecina es un mundo sin agua, sin atmósfera y por sobre todo sin recursos naturales. Las ciencias antiguas no fueron creadas
con fines lucrativos ni con fines de destrucción entre nosotros, por el contrario fueron creados a fin de facilitar el trabajo pesado que
hacíamos, caso de la Dinamita por ejemplo, pero así como ningún ser humano es igual al otro no todos piensan igual, por ello es hora de
concienciar a los estudiantes desde niveles inferiores a fin de que puedan utilizar el conocimiento para el servicio de la humanidad y no
para su destrucción, por ello planteo empezar desde abajo, se ve que en algunos colegios secundarios y en las mismas universidades no
se fomenta el razonamiento, creatividad y percepción visual, sino se busca mecanizar al estudiante. En este sentido el análisis vectorial
constituye el pilar fundamental de la Física aplicada, ya que su lenguaje es elegante y formal y se apoya de la ciencia fáctica como es la
Matemática y la ventaja que se notará en lo posterior en las demás temáticas de la Física será que; expresar cualquier cantidad Física en
forma vectorial o escalar constituirá no solo un resultado sino estará envuelta en todo un cúmulo de interpretaciones y consecuencias.
Este capítulo se inicia con la conceptualización de vector, clasificaciones de los diferentes tipos de vectores, diferenciación entre
cantidades escalares y vectoriales, también se estudia en forma detallada el espacio tridimensional siendo este espacio el espacio real de
nuestra existencia, se estudian las diferentes operaciones vectoriales de forma completa y acompañada de sus respectivas
interpretaciones, al finalizar de leer el capítulo usted debe poder resolver cualquier problema que involucre el estudio de los vectores ya
que se muestran desarrolladas ejercicios poco usuales en la literatura Física y además se proponen ejercicios a fin de evaluar la
capacidad de razonamiento del estudiante.
El presente material bibliográfico está dedicado a mi fiel esposa que es la Física, mi amante la señorita Matemática y mi fiel compañera
la soledad, mismas que cambiaron mi concepción de espacio y del tiempo al cual les agradezco por darme la oportunidad de crecer
como ser humano y conocer otros mundos que no había conocido.
Prof. Lic. Evaristo Mamani Carlo
CATEDRÁTICO DE FÍSICA – MATEMÁTICA
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS
UNIVERSIDAD CATÓLICA BOLIVIANA SAN PABLO
ESCUELA INDUSTRIAL SUPERIOR “PEDRO DOMINGO MURILLO”
ÍNDICE
PRÓLOGO ÍNDICE 1. DEFINICIÓN ............................................................................................................................. 1 2. REPRESENTACIÓN ESQUEMÁTICA ................................................................................... 1 3. NOMBRAMIENTO DE UN VECTOR ..................................................................................... 1 4. REPASO DE TRIGONOMÉTRÍA EN EL PLANO ................................................................ 1 5. REPRERSENTACIÓN DEL MÓDULO DE UN VECTOR ..................................................... 3 6. CANTIDADES ESCALARES Y CANTIDADES VECTORIALES ........................................ 3 7. COMPONENTES CARTESIANAS Ó RECTANGULARE4S DE UN VECTOR EN EL PLANO ............................................................................................................................................. 3 8. COMPONENTES CARTESIANAS Ó RECTANGULARE4S DE UN VECTOR EN EL ESPACIO ......................................................................................................................................... 4 9. SIGNOS DEL PLANO CARTESIANO .................................................................................... 5 10. SIGNOS DEL PLANO ESPACIAL .......................................................................................... 6 11. TIPOS DE VECTORES ............................................................................................................. 6 11.1 Vectores Paralelos .................................................................................................................... 6 11.2 Vectores Concurrentes ............................................................................................................. 6 11.3 Vectores Colineales .................................................................................................................. 6 11.4 Vectores Coplanares ................................................................................................................. 7 11.5 Vectores Perpendiculares ......................................................................................................... 7 11.6 Vector cero ó nulo ................................................................................................................... 7 11.7 Vectores Unitarios .................................................................................................................... 7 12. VECTORES UNITARIOS EN EL PLANO .............................................................................. 7 13. VECTORES UNITARIOS EN EL ESPACIO ........................................................................... 8 14. REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR DE FORMA VECTORIAL ..................................... 8 15. OPERACIONES VECTORIALES ............................................................................................ 8 15.1 Suma y/o Resta de Vectores ..................................................................................................... 8 15.2 Producto Escalar ó Producto Interno Entre Vectores ............................................................... 9 15.3 Producto Vectorial ó Producto Cruz Entre Vectores ............................................................. 10 15.4 Triple Producto Escalar Entre Vectores ................................................................................. 12 15.5 Triple Producto Vectorial Entre Vectores .............................................................................. 13 16. TRANSFORMACIÓN DE UN VECTOR CUALQUIERA A UNITARIO .......................... 14 17. OPERACIONES VECTORIALES Y ESCALARES CON LOS VERSORES UNITARIOS EN EL PLANO Y ESPACIO ......................................................................................................... 14 15.4 PARALELISMO DE VECTORES ........................................................................................ 12 BIBLIOGRAFÍA
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE CIENCIAS PURAS Y NATURALES – CARRERA DE FISICA 5º DIPLOMADO EN FÍSICA PARA PROFESORES DE COLEGIO
ANÁLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIO Autor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 1
Los principios del análisis vectorial En el plano y en el espacio
1. DEFINICIÓN. Un vector es un elemento matemático que tiene tres elementos:
• Módulo o tamaño • Dirección • Sentido
2. REPRESENTACIÓN ESQUEMÁTICA. Todo vector esta representado por una línea continua, que tiene un origen y una flecha que indica su sentido, es decir: 3. NOMBRAMIENTO DE UN VECTOR . Al igual que todos los objetos tienes sus nombres, todo vector puede ser nombrado utilizando las letras del alfabeto, ya sean mayúsculas o minúsculas, algunas notaciones comunes son:
.,ˆ, etc E d ,b ,Avtr
Todas estas notaciones representan vectores, pero para una mejor comprensión utilizaremos la notación
universal, que es: Ar
. Antes de seguir adelante, hagamos un breve repaso de trigonometría: 4. REPASO DE TRIGONOMETRÍA EN EL PLANO.
Relación de ángulos:
Módulo o tamaño Dirección
Sentido
Módulo o tamaño Dirección
Sentido
Sistema Sexagesimal: ´´601
´60º1
==
Sistema Inglés
Sistema Centesimal: 100`` 1`
100`1g
==
Sistema Francés.
Sistema Radiánico :
[ ] g10090ºrad2
π ==
Existen tres maneras de vivir la vida; uno creer que todo es un milagro, dos creer que nada es un milagro y tres creer que el milagro lo hacemos nosotros mismos.
Autor: E=mc 2
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ANÁLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIO Autor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 2
Triángulos Rectángulos: Triángulos Oblicuángulos:
Conversión del seno al coseno y viceversa:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )α ctgα90ºtg
α senα90ºcos
α cosα90ºsen
=−=−=−
Identidades Trigonométricas:
a
b
cθ
βa
b
cθ
β
Teorema de Pitágoras : 222 bac +=
Relación de ángulos : [ ]rad2
º90πβθ ==+
Relaciones Trigonométricas:
tgθ ; ctgθ
senθ ; cscθ
cosθ secθ;
b
a
cosβ
senβ ; tg
c
bcos
;c
a sen;
a
b
cos
sen ; tgθ
c
a ; cosθ
c
bsenθ
111 ======
=====
ββ
βθθ
cd
pλ
φ
ω
cd
pλ
φ
ω
Ley de Senos : ( ) ( ) ( )φλω sen
p
sen
c
sen
d ==
Ley de Cosenos :
( )( )( )λcosdpdpc
coscdcdp
ωcoscpcpd
2
2
2
222
222
222
⋅⋅⋅−+=
⋅⋅⋅−+=⋅⋅⋅−+=
φ
Relación de ángulos : [ ]rad º180 πωλφ ==++
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )2
2αcos1αcos ;
2
2αcos1αsen
βαcosβαcos2
1βcosαcos
βαsenβαsen2
1βcosαsen
βαcosβαcos2
1βsenαsen
βtgαtg1
βtgαtgβαtg
βsenαsenβcosαcosβαcos
αcosβsenβcosαsenβαsen
1α2cosα2sen1αsenαcos2αcos
αcosαsen 22αsen
1αcosαsen
22
2222
22
+=−=
−++=⋅
−++=⋅
+−−=⋅
⋅±=±
=±±=±
−=−=−=
==+
m
m
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )( ) ( ) par) (Función αcosαcos
impar) (Función αsenαsen
Zn ; π 2
1n x 0xcos
Zn ; nπx 0xsen
2
αβ sen
2
βα 2senβcosαcos
2
βα cos
2
βα 2cosβcosαcos
2
βα sen
2
βα 2cosβsenαsen
2
βα cos
2
βα 2senβsenαsen
=−−=−
∈∀
+=⇒=
∈∀=⇒=
−
+=−
−
+=+
−
+=−
−
+=+
2 : mcEPor =
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5. REPRESENTACIÓN DEL MÓDULO DE UN VECTOR. El módulo de cualquier vector está representado por la siguiente notación:
⇒
⇒
Avector del Módulo A
Avector Arr
rr
Éste módulo representa el tamaño o magnitud de una cantidad vectorial 6. CANTIDADES ESCALARES Y CANTIDADES VECTORIALES. Una cantidad se dice vectorial cuanto para su determinación se requiere de tres elementos: Módulo, Dirección y Sentido. En cambio una cantidad se dice escalar cuando para su especificación solo se requiere de una sola cantidad que es precisamente su magnitud, número ó escalar, algunos de los ejemplos de estas cantidades son:
etc. Masa ,m ; Eléctrica Carga Q ;a TemperaturT ; distancia d ; tiempot
:Escalares Cantidades
etc. ,Eléctrico CampoE ;Fuerza F ; nAceleracióa ; Velocidadv ; Posiciónr
:sVectoriale Cantidades
:::::
:::::rrrrr
7. COMPONENTES CARTESIANAS Ó RECTANGULARES DE UN VE CTOR EN EL PLANO. Para obtener dichas componentes, se los debe descomponer es decir, proyectar al vector en los ejes cartesianos:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1360ºcos ; 0360ºsen 0270ºcos ; 1270ºsen
1180ºcos ; 0180ºsen 2
3150ºcos ;
2
1150ºsen
2
1120ºcos ;
2
3120ºsen
2
160ºcos ;
2
360ºsen
2
245ºcos ;
2
245ºsen
2
330ºcos ;
2
130ºsen
090ºcos ; 190ºsen 10ºcos ; 00ºsen
:Notables Angulos
===−=
−==−==
−====
====
====
Ar
xA
yA
x
y
Ar
θ
Ar
xA
yA
x
y
Ar
θ
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Donde:
⇒
⇒
y direcciónla en Avector del Componente A
x direcciónla en Avector del Componente A
y
xr
r
De la figura anterior puede verse que si se conocen el módulo del vector y la dirección, pueden obtenerse las componentes como:
( ) ( )θθ senA A ; cos AA yx
rr==
En cambio si se conocen las componentes cartesianas, el modulo y la dirección pueden obtenerse de las siguientes expresiones:
( ) ( ) ( )
=⇒=+= −
x
y
x
yyx A
Atg
A
Atg ; AAA 122 θθ
r
Es decir, los problemas que involucran vectores en el plano tienen soluciones conocidas que se los puede resolver utilizando las anteriores relaciones. 8. COMPONENTES CARTESIANAS O RECTANGULARES DE UN VE CTOR EN EL ESPACIO. Análogamente al caso anterior para obtener dichas componentes, se los debe descomponer es decir, proyectar al vector en los ejes cartesianos del plano espacial:
Donde:
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
z eje del respecto ángulo
y eje del respecto ángulo
x eje del respecto ángulo
Directores Ángulos
y direcciónla en Bvector del Componente B
y direcciónla en Bvector del Componente B
x direcciónla en Bvector del Componente B
resRectangula sComponente
z
y
x
λϕψ
r
r
r
Uniendo los vértices de cada componente con el vector, tenemos triángulos rectángulos a resolver:
x
y
z
zB
xByB
λϕ
ψ
Br
x
y
z
zB
xByB
λϕ
ψ
Br
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Ç Por otro lado tenemos: Finalmente, realizando la operación:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 1
1
222
2
2
2
222222
222
=++⇒
==++
=
+
+
=++
λϕψ
λϕψ
coscoscos
B
B
B
BBB
B
B
B
B
B
Bcoscoscos zyxzyx
r
r
rrrr
9. SIGNOS DEL PLANO CARTESIANO . Cuando se trata del plano cartesiano nos hacemos referencia a problemas bidimensionales, es decir los ejes x –y, en este caso se habla de cuadrantes y están dados por:
x
y
z
zB
xByB
λϕ
ψ
Br
xB
Br
ψ
x
y
z
zB
xByB
λϕ
ψ
Br
xB
Br
ψ
Por lo cual tenemos:
( ) ( )
( )
B
Bcos
B
Bcos ;
B
Bcos
z
yx
r
rr
=
==
λ
ϕψ
Mismos que se denominan Cosenos Directores , ya que direccional al vector.
x
y
z
zB
xB
yB
Br
( ) ( )22yx BB +
zB
x
y
z
zB
xB
yB
Br
( ) ( )22yx BB +
zB
Por el teorema de Pitágoras:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )222
22
22
zyx
zyx
BBBB
BBBB
++=⇒
+
+=
r
r
Que se denomina; El teorema de Pitágoras en el espacio .
x+
I CuadranteII Cuadrante
III Cuadrante IV Cuadrante
x−
y+
y−
x+
I CuadranteII Cuadrante
III Cuadrante IV Cuadrante
x−
y+
y−
Cuyos signos son:
( )( )( )( )( )−+
−−+−++
,Cuarto
,Tercero
,Segundo
,Primero
y ,x SignosCuadrante
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10. SIGNOS DEL PLANO ESPACIAL . Cuando se trata del plano espacial nos hacemos referencia a problemas tridimensionales, es decir los ejes x – y - z, en este caso se habla de octantes y están dados por: 11. TIPOS DE VECTORES. Dentro del análisis vectorial existen una infinidad de vectores, algunos de los cuales son: 11.1 Vectores Paralelos. Son vectores que pueden tener el mismo sentido ó sentido opuesto, y son aquellos de la forma: 11.2 Vectores Concurrentes. Son vectores que pueden concurrir a un punto ó pueden concurrir de un punto,y son aquellos de la forma: 11.3 Vectores Colineales. Son vectores que están ubicados a lo largo de una sola línea y pueden tener el mismo sentido ó sentidos opuestos y están dados del siguiente modo:
x+
x−
y+y−
z+
z−
I Octante
II OctanteIII Octante
IV Octante
V Octante
VI OctanteVII Octante
VIII Octante
x+
x−
y+y−
z+
z−
I Octante
II OctanteIII Octante
IV Octante
V Octante
VI OctanteVII Octante
VIII Octante
Cuyos signos son: ( )
( )( )( )( )( )( )( )( )−−+
−−−−+−−+++−++−−++−+++
, ,Octavo
, ,Séptimo
, ,Sexto
, ,Quinto
, ,Cuarto
, ,Tercero
, ,Segundo
, ,Primero
z y , ,x SignosOctante
Br
Br
cr
cr
sentidomismo del Paraleloslosantiparale ó
opuestos sentidosdel Paralelos
Br
Br
cr
cr
sentidomismo del Paraleloslosantiparale ó
opuestos sentidosdel Paralelos
cr
dr
er
ar
br
br
cr
dre
r
ar
punto un de esConcurrent punto una esConcurrent
cr
dr
er
ar
br
br
cr
dre
r
ar
punto un de esConcurrent punto una esConcurrent
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11.4 Vectores Coplanares. Son vectores que están ubicados en un mismo plano, y están dados por: 11.5 Vectores Perpendiculares. Son vectores que forman un ángulo recto, y están dados por:
11.6 Vector Cero ó nulo. Es aquel vector que se representa por: 0r
y cuyo módulo está dado por:
0 0 =r
11.7 Vectores Unitarios. Son aquellos vectores cuyo módulo está dado por la unidad y se los representan generalmente por:
1 A A
A=⇒
⇒
⇒
A UnitarioVector
AVector r
rr
A los vectores unitarios se los denomina también VERSORES. 12. VECTORES UNITARIOS EN EL PLANO. En el plano x – y, los vectores unitarios están dados por:
sentidomismo del Colineales
opuestos sentidosde Colineales
sentidomismo del Colineales
opuestos sentidosde Colineales
ar
br a
r
br
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13. VECTORES UNITARIOS EN EL ESPACIO. En el plano x – y - z, los vectores unitarios están dados por: 14. REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR DE FORMA VECTORIAL. Para representar un vector de forma vectorial ya sea en el plano ó en el espacio se debe utilizar las componentes cartesianas ó rectangulares y los vectores unitarios (versores), es decir:
( ) ( )( ) ( ) ( )
++=⇒++=
+=⇒+=
=⇒=
⇒
2z
2y
2xzyx
2y
2xyx
xx
AAAAk Aj Ai A A :espacio el en vectorial ciónRepresenta
AAAj Ai A A : plano el en vectorial ciónRepresenta
AAi A A : eje un en vectorial ciónRepresenta
A Vector
rr
rr
rr
r
ˆˆˆ
ˆˆ
ˆ
15. OPERACIONES VECTORIALES. Existen diferentes tipos de operaciones que se pueden realizar con los vectores, algunos de los cuales son:
vectorial Producto Triple
escalar Producto Triple
vectorial `Producto
escalar Producto
ciónMultiplica
Sustración ó Resta / Adiciónó Suma
15.1 Suma y/o resta de vectores. Para sumar y/o restar vectores, existen dos métodos por los cuales se los puede realizar, estos son:
• El método analítico • El método gráfico
x+x−
y+
y−i
j1 j
1 i
=
=
x+x−
y+
y−i
j1 j
1 i
=
=
x+
x−y+y− i
1 k
1 j
1 i
=
=
=
j
k
z+
z−x+
x−y+y− i
1 k
1 j
1 i
=
=
=
j
k
z+
z−
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a) Método analítico para sumar y/o restar vectores .
( ) ( ) ( ) kBAjBA iBABAkBjBiBB
kAjAiAAzzyyxx
zyx
zyx
3
:por dados están que ; VB ,A:vectores los Sean
±+±+±=±⇒
++=
++=
∈
rr
r
r
rr
b) Método Gráfico para sumar y/o restar vectores. Sean los vectores D ,C ,B ,Arrrr
, que están representados por: c) Propiedades de la suma y/o resta de vectores. Las principales propiedades son:
( ) ( )( )
AnAAAAAA
BrBr
BABA
A
AA
BrArBAr
CBACBA
ABBA
Rry VC ,B A Sean
rrrrrrr
rr
rrrr
rr
rrr
rrrr
rrrrrr
rrrr
rrr
=++++++
=
+≤+
=⋅
=±
⋅±⋅=±⋅
+±=±±
+±=±
∈∈
....)6
)6
)6
00)5
0)4
)3
)2
)1
,: 3
15.2 Producto Escalar ó producto interno entre vect ores. Sólo se puede multiplicar escalarmente entre vectores y se los representa por el símbolo: “o” y se lo define como:
Br
Ar
Cr
Dr
Br
Ar
Cr
Dr
Sr
DCBASrrrrr
+++=
Br
Ar
Cr
Dr
Br
Ar
Cr
Dr
Sr
DCBASrrrrr
+++=
Br
−Ar
Cr
Dr
−Pr
DCBAPrrrrr
−+−=
Br
−Ar
Cr
Dr
−Pr
DCBAPrrrrr
−+−=
n veces
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zzyyxx
zyx
zyx
3
BABA BABAkBjBiBB
kAjAiAA⋅+⋅+⋅=⇒
++=
++=
∈
:por dados están que ; VB ,A:vectores los Sean
ro
r
r
r
rr
Es decir el resultado de ésta operación es un escalar ó numero, otra definición alternativa de este producto escalar es:
( )θcosBABAkBjBiBB
kAjAiAA
zyx
zyx
3
⋅⋅=⇒
++=
++=
∈
rrro
r
r
r
rr
:por dados están que ; VB ,A:vectores los Sean
Donde θ es el ángulo menor entre ambos vectores. a) Propiedades del producto escalar entre vectores. Las principales propiedades son:
( )( ) ( ) ( )
( )
AAAAAA
ángulo un By A entrecos BABA
losantiparale sonBy ABABA
sentidomismo del paralelos sonBy ABABA
laresperpendicu sonBy ABA
Si
A
BrABArBAr
CABACBA
ABBA
Rry VC ,B A Sean
ro
rrrro
r
rrrrro
r
rrrrro
r
rrrrro
r
rrro
r
ro
r
ro
rro
rro
r
ro
rro
rrro
r
ro
rro
r
rrr
=⇒=
∃⇒⋅=
⇒⋅−=
⇒⋅=⇒=
=
⋅=⋅=⋅
±=±
=
∈∈
)6
0
:)5
00)4
)3
)2
)1
,:
2
3
θ
15.3 Producto Vectorial ó producto cruz entre vecto res. Sólo se puede multiplicar vectorialmente entre vectores y se los representa por el símbolo: “x” y se lo define como:
( ) ( ) ( ) kBABAjBABA iBABA
BBB
AAA
kji
BAkBjBiBB
kAjAiAAxyyxxzzxyzzy
zyx
zyx
zyx
zyx
3
:por dados están que ; VB ,A:vectores los Sean
⋅−⋅+⋅−⋅−⋅−⋅==×⇒
++=
++=
∈
rr
r
r
rr
El resultado de ésta operación es otro vector, que nada tiene que ver con los vectores originales. Otra definición alternativa para el módulo del vector resultante de ésta operación es:
Ar
Br
θAr
Br
θ
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( )θsenBABAkBjBiBB
kAjAiAA
zyx
zyx
3
⋅⋅=×⇒
++=
++=
∈
rrrr
r
r
rr
:por dados están que ; VB ,A:vectores los Sean
Donde θ es el ángulo menor entre ambos vectores. En cuyo caso ésta resultante obedece la regla de la mano derecha, es decir: a) Propiedades del producto vectorial entre vectore s. Las principales propiedades son:
( )( ) ( ) ( )
( )0)6
0
:)5
000)4
)3
)2
)1
,: 3
rrr
rrrrrr
rrrrrr
rrrrr
rrrrr
rrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrr
=×
∃⇒⋅=×
⇒⋅=×⇒=×
=×=×
⋅×=×⋅=×⋅
×±×=±×
×−=×
∈∈
AA
ángulo un By A entre senBABA
laresperpendicu sonBy ABABA
losantiparale y/o paralelos sonBy ABA
Si
AA
BrABArBAr
CABACBA
ABBA
Rry VC ,B A Sean
θ
b) Interpretación geométrica del producto Vectorial entre dos vectores. De la definición alternativa para el módulo del producto vectorial entro dos vectores cualesquiera tenemos: ( )θsenBABA ⋅⋅=×
rrrr, en
cuyo caso tenemos la siguiente interpretación geométrica:
Ar
Br
θAr
Br
θ
Ar
Br
BArr
×
θ
º90
º90
Ar
Br
BArr
×
θ
º90
º90
Ar
Br
θ( )θ senB
r
Br
Ar
amoParalelogr
Ar
Br
θ( )θ senB
r
Br
Ar
amoParalelogr
Ar
( )θ senBr Rectángulo
Ar
( )θ senBr Rectángulo
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ANÁLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIO Autor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 12
De las figuras anteriores puede verse que el área del paralelogramo formado entre los vectores BArr
y es idéntico al área del rectángulo equivalente, es decir:
( ) BAθsenBArrrr
×=⋅⋅== rectángulo delÁrea amoparalelogr delÁrea
Por lo cual, sea: BA
rry vectores los entre formado amoparalelogr delÁrea A = , entonces:
BArr
×=A
Es decir; el módulo del producto vectorial entre dos vectores representa el área que encierra dichos vectores al formar una figura geométrica denominado paralelogramo. 15.4 Triple Producto Escalar entre vectores. Definido exclusivamanete para tres vectores cualesquiera, y cuyo resultado arroja un escalar ó número, y se define de la siguiente manera:
( ) ( ) ( ) ( )xyyxzxzzxyyzzyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
3
CBCBACBCBA CBCBA
CCC
BBB
AAA
CBA
kCjCiCC
kBjBiBB
kAjAiAA
⋅−⋅+⋅−⋅−⋅−⋅==×⇒
++=
++=
++=
∈
:por dados están que ; VC ,B ,A:vectores los Sean
rro
r
r
r
r
rrr
a) Propiedades del triple producto escalar entre ve ctores. Las principales propiedades son:
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )( )
( ) AA:queya VB ,A ABA
coplanares vectores sonCy B ACBA si ó
CBvector allar perpendicu es ACBA Si
C ,B A vectores lospor formado pedoparalelepí del VolumenCBA
ACBBACCBA
ACBCBA
Rry VC ,B A Sean
00)6
,0
0:)5
,)3
)2
)1
,:
3
3
rrrrrrro
r
rrrrro
r
rrrrro
r
rrrrro
r
rro
rrro
rrro
r
ro
rrrro
r
rrr
=×∈∀=×
⇒=×
×⇒=×
=×
×=×=×
×=×
∈∈
b) Interpretación geométrica del Triple producto Es calar entre vectores. De la definición alternativa para el módulo del producto vectorial entro dos vectores cualesquiera tenemos: ( )θsenBABA ⋅⋅=×
rrrr, y
de la definición alternativa del producto escalar entre vectores, tenemos la siguiente interpretación geométrica:
( ) ( ) ( ) ( )θλθ cossenCBAcosCBACBA ⋅⋅⋅⋅=⋅×⋅=×rrrrrrrr
or
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Por lo cual de la figura puede verse que el volumen del paralelepípedo curvo es idéntico al volumen del paralelepípedo curvo pero ahora los lados tienen diferentes valores, es decir:
( ) ( )θλ cosAsenCBrecto pedoparalelepí del Volumencurvo pedoparalelepí del Volumen ⋅⋅⋅⋅==rrr
Por lo cual, sea: CB,Arrr
y vectores los entre formado pedoparalelepí del VolumenV = , entonces:
( )CBAVrr
or
×=
Para asegurar que el volumen sea una cantidad positiva, ya que se corre el riesgo de que el producto escalar resulte una cantidad negativa, es conveniente aplicar valor absoluto, por lo cual:
( )CBAVrr
or
×=
Es decir; el valor absoluto del triple producto escalar entre tres vectores representa el volumen que encierra dichos vectores al formar una figura geométrica denominado paralelepípedo. . 15.5 Triple Producto Vectorial entre vectores. Definido exclusivamanete para tres vectores cualesquiera, y cuyo resultado arroja otro vector, y se define de la siguiente manera:
( ) ( ) ( )CBABCACBA
kCjCiCC
kBjBiBB
kAjAiAA
zyx
zyx
zyx
3
rro
rrro
rrrr
r
r
r
rrr
:por dados están que ; VC ,B ,A:vectores los Sean
−=××⇒
++=
++=
++=
∈
a) Propiedades del triple producto vectorial entre vectores. Las principales propiedades son:
Br
Ar
Cr
CBrr
×
θ
λº90
º90
curvo pedoParalelepí
Br
Ar
Cr
CBrr
×
θ
λº90
º90
curvo pedoParalelepí
Br
( )θcos Ar
( )λ senCr
recto pedoParalelepí
Br
( )θcos Ar
( )λ senCr
recto pedoParalelepí
Br
( )θcos Ar
( )λ senCr
recto pedoParalelepí
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( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) BB:queya VB ,A BBA
A CBB CACBA
C BAB CACBA
CBACBA
Rry VC ,B A Sean
00)4
)3
)2
)1
,:
3
3
rrrrrrrrr
rro
rrro
rrrr
rro
rrro
rrrr
rrrrrr
rrr
=×∈∀=××
−=××
−=××
××≠××
∈∈
16. TRANSFORMACIÓN DE UN VECTOR CUALQUIERA A UNITAR IO. Sea A
r cualquier vector, que
no es unitario, para convertirlo en unitario se debe realizar la operación:
A
AA r
r
=
17. OPERACIONES VECTORIALES Y ESCALARES CON LOS VER SORES UNITARIOS EN EL PLANO Y ESPACIO. 18. PARALELISMO DE VECTORES Sean los vectores A
r, B vectores en el espacio, si ambos son vectores paralelos del mismo sentido o de
sentidos contrarios, entonces se cumple que:
RmnAmBóBnABASi ∈∀==⇒ ,;|| rrrrrr
Es decir, que uno de los vectores se puede expresar como múltiplo de otro vector o viceversa. 19. COMPONENTE Y PROYECCIÓN DE UN VECTOR EN LA DIRECCION DE OTRO Para mayor claridad, sea d la componente de A
r en la dirección de B , como se muestra a continuación:
0kjkiji
1kkjjii
===
===
ooo
ooo
:escalar ciónMultiplica
ijkikjjki
jikkij kji
0kkjjii
−=×=×−=×
=×−=×=×
=×=×=×
:vectorial ciónMultiplicar
Del diagrama tenemos:
θθ coscos AdA
d r
r =⇒=
Como:
BA
BAAd
BA
BArr
ro
rr
rr
ro
r
=⇒=θcos
De donde:
B
BAACompd B r
r
orr
r ==
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NOTA 1: Hay que remarcar que para encontrar la componente de Ar
en la dirección de B debemos multiplicar (producto escalar) el vector A
r por el vector unitario B / B .
NOTA 2. El signo de la componente de A
r en la dirección de B es positiva si el ángulo entre A
ry B es
menor que 90º, si el ángulo es mayor que 90º dicha componente será negativa. NOTA 3. Si nos interesa el vector proyección de A
r sobre B , entonces simplemente hay que ampliar el
vector unitario B / B en ACompB
rr veces. Es decir, la proyección de A
r sobre B es:
B
B
B
BA
B
BACompAoy BB r
r
r
r
or
r
rrr
rr
==Pr
De donde:
BB
BAAoyB
r
r
ro
rr
r
=2
Pr
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PROBLEMAS DE ENTRENAMIENTO
Problema 1 Determinar el valor del Br
y el ángulo α para que el vector resultante de los tres vectores
sea nulo, para los cálculos considere que: 4=Ar
y 6=Cr
.
( ) ( ) jsensenBcosicoscosBsenS ˆ 6 4ˆ 6 4 αααααα ++−+−+=rrr
Pero por condición del problema: ji S ˆ 0ˆ00 +==rr
, por lo cual dos vectores son iguales; si y solo si sus
componentes son iguales; de este modo queda: (b) sensenBcos
(a) coscosBsen
0 6 4
0 6 4
=++−
=−+
ααα
αααr
r
Resolviendo (a) y (b), entonces dividiendo la ecuación (a) por αcos y la ecuación (b) por αsen y
recordando que; αααα
αα
ctgsen
cosy tg
cos
sen == tenemos: )(b Bctg
)(a Btg
'6 4
' 6 4
+=
−=r
r
α
α
Multiplicando (a’) por (b’) y recordando que; 1=⋅ αα ctgtg , tenemos: ( )( ) 236 6 6 16 BB B
rrr−=+−= ,
B 2016362
=−=⇒r
52=⇒ Br
y de la ecuación (a’):
−= −
4
61
Btg
r
α º9,20=⇒ α
Problema 2 Sean los vectores: k 4j 2ˆk 2j 3ˆ2 +−=+−= i mB ; i Arr
, determinar:
a) El valor de “m” tal que el ángulo entre ambos vectores sea de 60º
b) Si m = 1, calcular la siguiente operación: ( ) ( )[ ] ABAAABArrrrr
orr
×+××
Solución. a) Recordando la definición de producto escalar tenemos: cosβBABA ⋅⋅=rrr
or
, según el
problema; º60=β , por lo cual calculando los módulos antes de insertar en la anterior ecuación;
( ) 17232 222 =+−+=Ar
y ( ) 2042 2222 +=+−+= mmBr
, luego calculando el producto escalar de
ambos vectores; mmBA 214862 +=++=r
or
; finalmente insertando en la ecuación de la definición;
º6020 17214 2 cos mm ⋅+⋅=+ , como 2
1º60 =cos , entonces la anterior ecuación se transforma en:
34017 428 2 +=+ mm
Br
Ar
Cr
αα
αx
y
Br
Ar
Cr
αα
αx
y
Solución. Sea Sr
el vector suma que está dado por:
CBASrrrr
++= , descomponiendo cada vector en sus componentes tenemos:
jsenCi cosCC
jcosAi senAA ;jsenBi cosBB
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
αα
ααααrrr
rrrrrr
+−=
−=+=,
Pero según el problema: 4=Ar
y 6=Cr
, por lo cual el
vector suma será:
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Elevando al cuadrado para hacer perder la raíz cuadrada, se reduce a: 04442242 =−− mm , resolviendo
la ecuación cuadrática para m: 2
51952224±=m 90226 21 ≈≈⇒ my m
b) si 1=m , entonces los vectores serán: kji B ; kji A ˆ 4ˆ 2ˆˆ 2ˆ 3ˆ2 +−=+−=rr
, y por propiedades del
producto vectorial: 0rrr
=× AA , entonces, solo debe realizarse la operación: ABrr
× , que está dado por:
( ) ( ) ( ) kjikji
kji
AB ˆ ˆ 6ˆ 8ˆ 43ˆ 82ˆ 124
232
421
ˆˆˆ
++=+−+−−+−=−−=×
rr
Por lo cual la operación dada será: ( ) ( )[ ] kjiABAAABA ˆ ˆ 6ˆ 8 ++=×+××rrrrr
orr
Problema 3. El coseno del ángulo que deben formar dos vectores de igual módulo para que su resultante sea la mitad del valor de uno de ellos es:
ninguno e d c b a )8
5)
5
7)
7
5)
8
7) −−
Solución. Sean los vectores By Arr
cuyos módulos son iguales, y su configuración es:
Considerando que: 122 =+ θθ sencos y según la condición del problema: ASrr
2
1= , por lo cual
tenemos: 4
12222
2
1 =+⇒+= θθ coscosAArr
8
7−=⇒ θcos
Problema 4. Completar las siguientes frases. a) Si el producto escalar de dos vectores es cero entonces estos vectores son:
Perpendiculares
b) Si el producto vectorial de dos vectores es nulo, entonces estos vectores son:
Paralelos ó antiparalelos
c) El valor absoluto del resultado del triple producto escalar entre tres vectores es el:
Volumen del paralelepípedo formado poi los tres vectores.
d) El modulo de un vector unitario es: uno e) Por que el modulo de un vector cualquiera no puede ser negativo Ya que , para hallar el módulo
se debe elevar cada componente al cuadrado para luego sacar la raíz cuadrada.
θ
Ar
Br
θ
Ar
Br
Descomponiendo los vectores:
j senBi cosBB ; iA A ˆ ˆ ˆ θθrrrrr
+==
Y considerando que: BArr
= , la resultante será:
( ) j senA icosAAB AS ˆ ˆ θθrrrrrr
++=+=
Cuyo módulo es:
( ) θθθθθ 2222 211 sencoscosAsencosAS +++=++=rrr
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Problema 5. Dado el vector br
cuyo ángulo respecto del eje +z es 60º, y ángulo respecto del eje +y es 120º de forma que su modulo vale 5; se pide hallar:
a) las componentes del vector br
respecto de los ejes x , y , z. b) El ángulo que forma respecto del eje +x.
c) Representar al vector br
en forma vectorial d) Grafique e identifique en que octante está ubicado.
e) Hallar el vector unitario asociado al vector br
Solución. a) De la definición de cosenos directores, sea: λϕψ ,, los ángulos que forma con los ejes
zyx ,, respectivamente, entonces: ( ) ( ) ( )
; b
bcos
b
bcos ;
b
bcos zyx
rrr === λϕψ , de las condiciones
del problema: 5º60,º120 === b ,r
λϕ , por lo cual: ( ) ( )2
5
2
5 =⇒⋅=−=⇒⋅= zzyy bcosbby ; bcosbb λϕ
rr
y de la definición de módulo de un vector:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
5
2
25
2
5
2
55
2222222222 ±=⇒=
−
−−=−−=⇒++= xzyxzyx bbbbbbbbbrr
.
b) De la ecuación: ( ) º4552
5
=⇒
=⇒
=⇒= −
+
− ψψψψ 1
b
x1x cosb
bcos
b
bcos
x
rr , por otro lado
cuando ésta componente en x es negativa: º1355
2
5
=⇒
−=⇒ −
−ψψ 1
bcos
x
.
c) El vector representado de forma vectorial será:
⇒+−−=
⇒+−=⇒++=
octanteTercer k j i b ó
octante Cuartok j i b
k bj bi bb zyx
ˆ2
5ˆ2
5ˆ2
5
ˆ2
5ˆ2
5ˆ2
5
ˆˆˆr
r
r
d) La gráfica correspondiente será: Problema 6. Sean los vectores dados en la siguiente figura:
x+
x−
y+y−
z+
z−
2
5
2
5−
2
5
2
5−
2
5−2
5
br b
r
x+
x−
y+y−
z+
z−
2
5
2
5−
2
5
2
5−
2
5−2
5
br b
r
e) El vector unitario asociado al vector br
será:
+−−=+−−
=
+−=+−
=⇒=
k j i k j i
b
k j i k j i
b
b
bb
ˆ2
1ˆ2
1ˆ2
1
5
ˆ25ˆ
25ˆ
2
5
ˆ
ˆ2
1ˆ2
1ˆ2
1
5
ˆ25ˆ
25ˆ
2
5
ˆ
ˆ r
r
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Solución.
a) De la figura los vectores expresados de forma vectorial serán: k j i B ; j i A ˆ3ˆ4ˆ2ˆ4ˆ2 −−=−−=rr
y
k j i C ; ˆ6ˆ2ˆ2 ++−=r
b) De la definición de producto escalar: ( ) ( )CA
CAcoscosCACA rr
ro
rrrr
or
⋅=⇒⋅⋅= θθ
⋅=⇒ −
CA
CAcos rr
ro
r
1θ , calculando cada término por separado: ( )( ) ( )( ) ( )( )602422 +−+−−=CAr
or
4−=⇒ CAr
or
, ( ) ( ) ( ) 5220042 222 ==⇒+−+−= AArr
y ( ) ( ) ( )222 622 ++−=Cr
11244 ==⇒ Cr
, por lo cual:
⋅⋅⋅−= −
11252
41cosθ º7,97=⇒θ
c) El volumen del paralelepípedo formado por los vectores esta dado por la operación: ( )CBAVrr
or
×= ,
entonces:
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) 60242202362423642
622
342
042
=−−−+−−−−−−−−−=−
−−−−
=×CBArr
or
, por
lo cual el volumen será: 6060 ==V
d) Para calcular: ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]CAC B AAC BA C rr
orrr
orrrr
or
×−× , observemos que el termino ( )CACrr
or
× multiplica al otro término, y cuyo resultado de ésta cantidad es un número, y el resultado de:
( )[ ] ( ) B AAC BA C rr
orrrr
or
−× es un vector, por lo cual la multiplicación de un número por un vector es posible y el resultado será otro vector, ya que el número no hace otra cosa que aumentar o disminuir al
vector, pero observemos que por propiedades: ( ) ( ) ( ) 0=×=×=× CCAACCCACrr
orrr
orrr
or
ya que:
0rrr
=×CC , por lo cual ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] 0rrr
orrr
orrrr
or
=×−× CAC B AAC BA C
x+
y+
z+
Ar
BrC
r
a
b
c
6
4
2
===
c
b
a
x+
y+
z+
Ar
BrC
r
a
b
c
6
4
2
===
c
b
a
Hallar:
a) Los Vectores Ar
, Br
y Cr
en forma vectorial.
b) El ángulo entre los vectores Ar
y Cr
. c) El volumen del paralelepípedo formado por los
vectores Ar
, Br
y Cr
.
d) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]CAC B AAC BA C rr
orrr
orrrr
or
×−×
e) ( )[ ] ( ) ( )BC AAC BACrrrrrrrr
×××−×××
f) ( )( )( )CACA
CA
ro
rr
orr
or
g) ( )( )( ) CABCArrrrr
××××
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e) Para la operación: ( )[ ] ( ) ( )BC AAC BACrrrrrrrr
×××−××× , calculemos por partes: 0rrr
=× AA , por lo
cual ( ) ( ) 0rrrrr
=××× BC AA , luego: k j i
kji
BA ˆ16ˆ6ˆ12
342
042
ˆˆˆ
+−=−−
−−=×rr
y luego:
( ) k j i
kji
BAC ˆ12ˆ104ˆ68
16612
622
ˆˆˆ
−+=−
−=××rrr , y ( )[ ] k j i
kji
C BAC ˆ242ˆ432ˆ648
622
1210468
ˆˆˆ
+−=−
−=×××rrrr
finalmente: ( )[ ] ( ) ( ) k j i BC AAC BAC ˆ242ˆ432ˆ648 +−=×××−×××rrrrrrrr
f) ( )( )( )CACA
CA
ro
rr
orr
or
, del anterior inciso: 4−=CAr
or
entonces:
( )( )( )( )( ) ( ) ∃/−=−=−=
−− CACA
CA 2562561
4 4444
ro
rr
orr
or
, es decir no existe la raíz par de un número negativo.
g) la operación ( )( )( ) CABCArrrrr
×××× haciendo por partes: k j i
kji
CA ˆ4ˆ12ˆ24
622
042
ˆˆˆ
++−=−
−−=×rr ,
luego: ( ) k j i
kji
BCA ˆ72ˆ64ˆ20
342
41224
ˆˆˆ
+−−=−−
−=××rrr y ( )( ) k j i
kji
ABCA ˆ48ˆ144ˆ288
042
726420
ˆˆˆ
−−=−−
−−=×××rrrr y
finalmente: ( )( )( ) k j i
kji
CABCA ˆ288ˆ1632ˆ768
622
48144288
ˆˆˆ
+−−=−
−−=××××rrrrr Entonces:
( )( )( ) k j i CABCA ˆ288ˆ1632ˆ768 +−−=××××rrrrr
Problema 7. Demostrar la ley de los senos y de los cosenos de forma vectorial. Solución. De la siguiente configuración:
Finalmente: ( ) ( ) ( )φθλ sen
c
sen
b
sen
ar
rr
== .
ar
br
cr
θ
λ
φ
ar
br
cr
θ
λ
φ
Ley de Senos: Utilizando la interpretación del módulo del producto vectorial, el área del triángulo anterior será:
( ) ( ) ( )abbccaArrrrrr −×=−×−=×=
2
1
2
1
2
1
Y como: aarr −= , entonces:
( ) ( ) ( )φλθ senabsenbcsenca ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ rrrrrr
2
1
2
1
2
1
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Por otro lado para la ley de Cosenos, de la figura puede verse que: ⇒=+ cbarrr
( ) ( ) babacbbabbaaababaccr
orrrrr
orr
orr
orr
orrr
orrr
or
2222 ++=⇒+++=++= , ya que el producto
escalar es conmutativo, utilizando su definición alternativa, tenemos:
( )φ−⋅⋅++= 180º 2222
cosbabacrrrrr
, como el coseno de la resta de ángulos está dado por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )φφφφ cossensencoscoscos −=+=− 180º180º180º
Finalmente la ley de cosenos para el lado del vector cr
será: ( )φcosbabac ⋅⋅−+=rrrrr
2222
, de forma
análoga se pueden obtener para otros lado. Problema 8. Demostrar las siguientes relaciones por las propiedades de los vectores:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ] AB2
ABAAA f) A2kAkjAjiAi e)
2CBAACCBBA d) D CBAC DBADCBA c)
0BACACBCBA b) 2
BA2
B2
A2
BA a)
rrrrrrrrrrr
rro
rrrrro
rrrrro
rrrro
rrrrr
rrrrrrrrrrro
rrrrr
×=×××=××+××+××
×=×××××−×=×××
=××+××+××−=×
Solución. a)
( )( ) ( ) ( )( )θθθ 222222221 cosBAsenBAsenBABA −⋅=⋅⋅=⋅⋅=×
rrrrrrrr
( ) ( )( ) ( )22222222222
BABAcosBABAcosBABAr
orrrrrrrrrrr
−⋅=⋅⋅−⋅=⋅−⋅= θθ
donde θ es el ángulo entre los vectores By Arr
. b) utilizando la definición alternativa del triple producto vectorial y recordando que el producto escalar es conmutativo tenemos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 rrr
orrr
orrr
orrr
orrr
orrr
orrrrrrrrrr
=−+−+−=××+××+×× BACABCACBCABCBABCABACACBCBA
c) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]D BACC BADD CBAC DBADCBArrr
orrrr
orrr
orrrr
orrrrrr
×−×=×−×=××× haciendo rotar
dos veces en el triple producto escalar ( )[ ] ( )[ ] D CBAC DBArrr
orrrr
or
×−×=
d) Utilizando la propiedad del triple producto vectorial, recordadn que el producto escalar es conmutativo y considerando la propiedad ciclica del triple producto escalr tenemos:
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ][ ]=×−××=×××× A CCBC ACBBAACCBBArr
orrrr
orr
orrrrrr
orr
( ) ( )[ ] ( )[ ][ ] ( ) ( )[ ][ ] ( )[ ] ( )[ ]CBCBAC CBABAA CBCC CBABA Ar
orrr
orrrr
or
orrrrr
orrrr
or
orr r
××=××=×−××
Luego: ( ) ( ) ( ) ( )CBACAA ABBCCBrrrrrr
or
orr
orr
or
×××× === , finalmente reemplazando en la anterior
ecuación: ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]2 CBAACCBBArr
orrrrr
orr
×=×××× .
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ANÁLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIO Autor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 22
e) Sea el vector Ar
de la forma: kajaiaA zyxˆ ˆ ˆ ++=
r, entonces:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k AkA kkj AjA jji AiA iikAkjAjiAi ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆr
or
or
or
or
or
orrr
−+−+−=××+××+×× ,
recordando que: zyx aAk aAj ,aAiy kkjjii ======r
or
or
oooo ˆ,ˆˆ1ˆˆˆˆˆˆ , se tiene que:
( ) ( ) ( ) ( ) AAAk aj ai aAkAkjAjiAi zyx
rrrrrrr23ˆˆˆ3ˆˆˆˆˆˆ =−=++−=××+××+××
f) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ABABAAB AAA BAABAAArrrrrrrr
orrr
orrrrrr
×=×−=−×=×××2 2
Problema 9. Calcular el área del triángulo de vértices: (-2 , 1 , 0) , (3 , 0 , 6) y (4 , 5 , -1). Solución. Dibujando los puntos en el plano espacial, tenemos:
Entonces: ( ) ( ) ( ) 2886264123 222 =++−=×GFrr
, luego el área del triángulo será: 2
2886=A .
Problema 10. Analizar cuando: BABArrrr
−=+
Solución. Sean los vectores 3 , VBA ∈rr
, entonces por propiedades:
( ) ( ) ( ) ( )BABABABABABArr
orrrrrrrr
orr
++=+⇒+=++2
, desarrollando el lado derecho, tenemos:
222 BBAABBABBAAABA
rro
rrro
rro
rro
rro
rrr++=+++=+ , por otro lado:
( ) ( ) ( ) ( )BABABABABABArr
orrrrrrrr
orr
−−=−⇒−=−−2
, desarrollando igual que en el anterior caso:
222 BBAABBABBAAABA
rro
rrro
rro
rro
rro
rrr+−=+−−=− , entonces ambos desarrollo serán iguales
si y solo si: Ba lar perpendicu es ABABABArrr
orrrrr
0⇒=⇔−=+⇒ , es decir ambos resultados
serán iguales solamente cuando los vectores serán ortogonales.
x+
x−
y+y−
z+
z−
ar
br
cr
1P2P
3P
FrG
r
x+
x−
y+y−
z+
z−
ar
br
cr
1P2P
3P
FrG
r
El vector que corresponde al punto 1 es:
jib ˆ ˆ 2 +−=r
, el correspondiente al punto 2:
kia ˆ 6 ˆ 3 +=r y el correspondiente al punto 3 es:
kjic ˆ ˆ 5 ˆ 4 −+=r , por otro lado, de la figura puede verse también que:
kjicbFbFc ˆˆ 4ˆ 6 +−−=−=⇒=+ rrrrrr, por otro
lado: kjicaGaGc ˆ7ˆ 5ˆ +−−=−=⇒=+ rrrrrr,
finalmente el área del triángulo estará dado por:
k j i
kji
GFGFA ˆ26ˆ41ˆ23
751
146
ˆˆˆ
2
1 ++−=−−−−=×⇒×=
rrrr
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Problema 11. Encontrar un vector yr
que sea colineal al vector: ( )1- 1, 2,b =r
, de tal forma que se
verifique: 3 by =r
or
.
Solución. Como se quiere que el vector yr
sea colineal al vector br
, entonces se cumple que:
Rm bm y ∈∀=rr
, por lo tanto de la condición: ( ) ( )2
33
b mbbm bbm by
r
ro
rro
rro
r =⇒=== , por otro lado:
6ˆˆˆ 2 =⇒−+= bkjibrr
, entonces: ( ) kji bm y ˆˆˆ 26
3 −+==rr
kjiy ˆ2
1ˆ2
1ˆ −+=⇒r
Problema 12. Determine el vector resultante zyxrrr ++ en términos de los vectores a
r y b
r. El dibujo
muestra a una semicircunferencia inscrita en un rectángulo. Los vectores zyxrrr
,, forman 60º , 45º y 30º
respectivamente con la horizontal.
De la figura anterior tenemos: cdzrrr += , pero como Rn b ndb con paralelo es d ∈∀=⇒
rrrr y
Rm a mca con paralelo es c ∈∀=⇒rrrr
, por lo cual: a mb nzrrr += , ahora hallemos n y m,
multiplicando escalarmente la anterior ecuación por br
y luego por ar
tenemos:
( ) ( )
( ) ( )
⋅=⇒
⋅⋅==⇒+=→
⋅=⇒
⋅⋅==⇒+=→
⇒+=
b
coszn
b
cosbz
bb
bznba mbb nbz
a
coszm
a
cosaz
aa
azmaa mab naz
a mb nz
b
a
r
r
r
rr
ro
r
ro
rro
rro
rro
r
r
r
r
rr
ro
r
ro
rr
orr
orr
or
rrr
ro
ro
º30º30
º60º60
2
2
Ya que 0=ba r
or
pues son perpendiculares, por otro lado resolviendo el triángulo isósceles:
ar
br
xr y
r
zr
ar
br
xr y
r
zr
Solución. trabajando para el vector zr
, tenemos:
ar
br
zr
cr
dr
º30
ar
br
zr
cr
dr
º30
º30
ar
ar
zr
a brr
2=
º30
ar
ar
zr
a brr
2=
Por la ley de cosenos:
( ) ( )30º 230º 2222
cosazcos zazaa ⋅=⇒⋅−+= rrrrrrr
Luego:
( ) ( ) ( )30º30º 2
2
30º 2 cosb
z cos
b
zy cos
a
z=⇒⋅=⋅= r
r
r
r
r
r
por lo cual: ( ) ( )2
360º30º2 == cos cos m
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Y ( ) ( )4
330º30º == cos cos n , finalmente: a b z
rrr
2
3
4
3 += , de forma análoga deben hacerse para los demas
vectores: Rqp a qb py ∈∀+= ,rrr
, por lo tanto:
( ) ( )
( ) ( )
⋅=⇒
⋅⋅==⇒+=→
⋅=⇒
⋅⋅==⇒+=→
⇒+=
b
cosyp
b
cosby
bb
bypba qbb pby
a
cosyq
a
cosay
aa
ayqaa qab pay
a qb py
b
a
r
r
r
rr
ro
r
ro
rr
orr
orr
or
r
r
r
rr
ro
r
ro
rr
orr
orr
or
rrr
ro
ro
º45º45
º45º45
2
2
Ya que 0=ba r
or
pues son perpendiculares, por otro lado resolviendo el triángulo isósceles:
Y ( ) ( )2
145º45º == cos cos p , finalmente: a b y
rrr +=2
1 , Finalmente para el último vector tenemos::
Rsr a sbr x ∈∀+= ,rrr
, por lo tanto:
( ) ( )
( ) ( )
⋅=⇒
⋅⋅==⇒+=→
⋅=⇒
⋅⋅==⇒+=→
⇒+=
b
cosxr
b
cosbx
bb
bxrba sbbr bx
a
cosxs
a
cosax
aa
axsaa sabr ax
a sbr x
b
a
r
r
r
rr
ro
r
ro
rr
orr
orr
or
r
r
r
rr
ro
r
ro
rr
orr
orr
or
rrr
ro
ro
º60º60
º30º30
2
2
Ya que 0=ba r
or
pues son perpendiculares, por otro lado resolviendo el triángulo isósceles:
Por la ley de cosenos:
( ) ( )45º 245º 2222
cosaycos yayaa ⋅=⇒⋅−+= rrrrrrr
Luego:
( ) ( ) ( )45º45º 2
2
45º 2 cosb
y cos
b
y y cos
a
y=⇒⋅=⋅= r
r
r
r
r
r
por lo cual: ( ) ( ) 145º45º2 == cos cos q
º45
ar
ar
yr
a brr
2=
º45
ar
ar
yr
a brr
2=
Por la ley de cosenos:
( ) ( )60º 260º 2222
cosaxcos yaxaa ⋅=⇒⋅−+= rrrrrrr
Luego:
( ) ( ) ( )60º60º 2
2
60º 2 cosb
x cos
b
x y cos
a
x=⇒⋅=⋅= r
r
r
r
r
r
por lo cual: ( ) ( )2
330º60º2 == cos cos s
º60
ar
ar
xr
a brr
2=
º60
ar
ar
xr
a brr
2=
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Y ( ) ( )4
160º60º == cos cosr , finalmente: a b x
rrr
2
3
4
1 += , por lo cual el resultado buscado es:
( ) b aa b a b a b zyxrrrrrrrrrrr
2
3 13
2
3
4
3
2
1
2
3
4
1 ++=+++++=++ .
Problema 13. Hallar el ángulo λ entre las diagonales de un cubo de lado “ a ”, como se muestra en la figura: Solución. Expresando las diagonales de forma vectorial como se muestra: Problema 2.
El vector diagonal Cr
, está dado por: k j i C aaa ++=r
,mientras que el otro
vector diagonal está dado por: k j i E aaa −+=r
, luego de la definición de
producto escalar: ( )
⋅=⇒⋅⋅= −
EC
ECcoscosECEC 1
rr
ro
rrrr
or
λλ , luego
calculando cada termino:
( )
70.5º 3
1cos
3 3cos
E ; 3C ; EC
12
1
2222222222
=∴
=
⋅=⇒
−++==++==−+=
−− λλaa
a
aaaaaaaaaaarrr
or
BIBLIOGRAFIA
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