Apuntes de Geometria Descriptiva- Chesñevar

CHESRE'VAR

Naaional del Sur

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WiAgrim. CARLOS J , CHESÑEVAR

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I Profesor de la Universidad Nacional del Sur

y de la Universidad Nacional del Centro

la Provincia de Buenos Aires. Ex profesor

del Instituto Universitario de Trelew.

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EDITADO POR EL CENTRO DE ESTUDIANTES DELA FACULTAD DE INGENIERIA DE OLAVARRIAJImpreso en talleres propios en el mes de

abril de 1985.

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1985OLAVARRIAj "I

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la edicidn de 1984 {U.N«S& <?)

editaron por primera vez estos

tenfamos el proposito de

alumnado el material necesario

parci al mente- la tarea siem

imperfecta de tornar apun¬

agilizar asi el desarrollo

rescatar la saludable practj permanente entre profesor y

haber visto satisfechas esas

indica nuestra prop i a expe?

corrobora la gran demanda

anteriores9 ya agotadas,

esa demanda en. estos anos

alejado de la catedra que a hjD en fin, son las que justi-

esta nueva edicion, que res-

introduce otras modifica - correcciones de los errores

senalado, por ultimos diagramacion de estos Apuntes

parte, con el ya apuntado

contri b uyeran a complemejn azarl a. Por otro lado, se

nconveni enci a de promover la

procesos graficos, buscan_

actit'ud reflexiva, Nadie

el estudio de la hermosa

Geometria Descriptiva - material, el cual no prjs

una meditada guia para el

que requiere su aprendiza-

CARLOS J\ CHESNEVAR

la edición de 1984 {U.N.S,)

editaron por primera vez estos

teníamos el propósito de

alumnado el material necesario

parcialmente- la tarea siem

imperfecta de tomar apun¬

agilizar asi el desarrollo

rescatar la saludable prácti_

permanente entre profesor y

haber visto satisfechas esas

indica nuestra propia expjs

corrobora la gran demanda

anteriores, ya agotadas,

esa demanda en estos años

alejado de la cátedra que ah£en fin, son las que justi¬

esta nueva edición, que res¬

introduce otras modifica -correcciones de los errores

señalado, por ultimo,

diagramación de estos Apuntes

parte, con el ya apuntado

contri buyeran a compleme£reemplazarla. Por otro lado, se

inconveniencia de promover la

procesos gráficos, buscájiactitud reflexiva. Nadie

el estudio de la hermosa

la Geometría Descriptiva -material, el cual no pr£

una meditada guía para el

que requiere su aprendiza-

CARLOS «T. CHESÑEVAR

PROLOGO a la edición de 1984 {U.N.S,)

Cuando se editaron por primera vez estos

Apuntes, hace algunos años, teníamos el propósito de

poner al alcance del alumnado el material necesario

para suplantar -al menos parcialmente- la tarea siem

pre tediosa y generalmente imperfecta de tomar apun¬

tes en clase. Esperábamos agilizar asi el desarrollo

del curso, a la vez que rescatar la saludable prácti_

ca del diálogo franco y permanente entre profesor y

al umnos .Nos complace haber visto satisfechas esas

aspiraciones, conforme lo indica nuestra propia expjs

riencia en las clases y lo corrobora la gran demanda

registrada en las ediciones anteriores, ya agotadas,

asi como la continuidad de esa demanda en estos años

en que el autor estuvo alejado de la cátedra que ah£ra retoma. Tales razones, en fin, son las que justi¬

fican el lanzamiento de esta nueva edición, que res¬

pecto a las anteriores no introduce otras modifica -c i ones que no sean las correcciones de los errores

detectados en la revisión,I

i

Es oportuno dejar señalado, por ultimo,

que el contenido y la diagramación de estos Apuntes

se resolvieron, por una parte, con el ya apuntado

criterio de que los mismos contri buyeran a compleme£

la clase, no a reemplazarla. Por otro lado, setar

tuvo muy en cuenta la inconveniencia de promover la

simple memorización de los procesos gráficos, buscáji

dose estimular en cambio la actitud reflexiva. Nadie

espere entonces avanzar en el estudio de la hermosa

y necesaria disciplina de la Geometría Descriptiva -por la mera lectura de este material, el cual no pr£

tende ni puede ser más que una meditada guía para el

arduo trabajo intelectual que requiere su aprendiza-

í

je.

CARLOS «T. CHESÑEVAR

r

Pag.

Representacion de una recta dadas supendiente y su inclination ......Angulos de un piano con los cuadros'. . 26Representacion de un piano dadas supendiente y su’ inclinaci6n

24

27

III - Homologia Plana.

Paralelismo - Pertenencia.sterna de representacion ..

Representacion del punto ,.Representacion de la- rectaPendiente de una recta . ..Representacion del piano ..Puntos y rectas de un piano .Paralel ismo

*

Graficos.Interseccion de dos pianos .Interseccion de una recta y un piano . .. 6

Metricos*PerpendicularidadVerdadera forma de una figure plana . . .3Distancia entre dos puntosDistancia entre un punto y.un piano .Distancia entre un punto y una recta .. 9Distancia entre dos rectas alabeadas ;Distancia entre dos pianos paralelos ... 9Angulo entre 'dos rectas-.Angulo entre dcs pianos . . .Angulo entre recta y piano , ..Rectas de un piano con pendiente dis-tinta a la del pianoPianos qus contienen a una recta con pen-diehte distinta a la de la recta . . . .11Superficies topograficas

Perspectividad entre pianos ...... 1 proyeccion de dos figuras perspecti-

genera una homologia ....... 2

Rectas

particularslimites de una

. homologia ,

•.

. ’

45

IV - Metodo de las Proyecciones Aco-

tadas.

Representacion de los entes fundamental es -12345

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. 8.8• o

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10

11

V - Metodo de la Proyeccion Central.

Representacion de.los entes fundamentales - Pa

- Pertenencia.S.istema de representacion , ,

Representacion de la recta ..Representacion del punto . .Representacion del piano .. .Rectas paralelas . ,

Pianos paralelos , .

Recta y piano paralelos ...Recta de un piano ......Coplanaridad de dos rectas . ,Cambio de representacion del punto ...4Punto de un pianoPunto de una recta

112o

332

; .33

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pag.

Representación de una recta dadas supendiente y su inclinación ......Angulos de un plano con los cuadros- , . 26Representación de un plano dadas supendiente y su inclinación

24

27

III - Homología Plana.

Perspectividad entre planos .proyección de dos figuras perspecti¬genera una homología .......

Rectas límites de una homología . .. 4Casos particulares

IV - Método de las Proyecciones Aco¬tadas.

Representación de los entes fundamentales -Paralelismo - Pertenencia.

Sistema de representación .Representación del punto ,

Representación de la rectaPendiente de una recta . .Representación del plano .Puntos y rectas de un planoParalelismo.........

Problemas Gráficos.Intersección de dos planosIntersección de una recta y un plano . ,. 6

Problemas Métricos.PerpendicularidadVerdadera forma de una figura plana . . .5Distancia entre dos puntosDistancia éntre un punto y.un plano . ... .8Distancia entre un punto y una recta .. 9Distancia entre dos rectas alabeadas ;Distancia entre dos planos paralelos ... 9Angulo entre 'dos rectasAngulo entre dos planosAngulo entre recta y plano...10Rectas de un plano con pendiente dis¬tinta a la del planoPlanos que contienen a una recta con pen¬diente distinta a la de la recta ... .11Superficies topográficas

1

2

5

1123a5

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6

6

9

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10

10

11

V - Método de la Proyección Central.

Representación de.los entes fundamentales - Pji- Pertenencia.

Sistema de representaciónRepresentación de la rectaRepresentación del punto .Representación del plano .Rectas paralelasPlanos paralelos .....Recta y plano paralelos .Recta de un planoCoplanaridad de dos rectasCambio de representación del punto ...4Punto de un planoPunto de una recta

112<>

333

; .33

45

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INDICEi

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I!!

Pag.CAPITULO I - Introducción.

1.- Geometría Descriptiva - Objeto2.- Nomenclatura . ,3.- Proyecciones .4.- Punto impropio , '

5.- Recta impropia6.~ Plano impropio7.- Clasificación de las proyecciones . .8.- Métodoá de representación . ... . ,

i -CAPITULO II - Método de Monge

Representación de los entes fundamental es-per¬tenencia -¡paralelismo.1.- Sistema .de representación ....2.- Rectas ; Proyectantes . .... . . .3.- Representación delpunto ... .4.- Situación del punto .......5.- Tercera proyección del punto . .6.- Formas! de abatir el tercer cuadro ... .27.- Puntos; que pertenecen a planos bisec-

tores L .8.- Representación de la recta .....9,- Rectas en posiciones particulares ... .4

10.- Rectas! que se cortan11.- Rectas! paralelas . .12.- Intersección de una recta con los pla¬

nos bi$ectores*. . 513.- Rectas! paralelas a los planos bisectores 614.- Representación del plano ......... 6.15.- Planos! en posiciones particulares ... .6.16.- Recta ¡de ün plano17.- Rectas! particulares de un plano18.- Puntos; de un plano19.- Planos paralelos .......20.- Recta ¡y plano paralelos ; . . .Problemas Gráficos.21.- Intersección de dos planos '. .22,- Intersección de una recta y un. plano . .1023,- Intersección de un plano con los pla¬

nos bisectores .........26.- Plano determinado por. un. punto y

recta27.- Plano ¡que pasa por un punto dado, para¬

lelo á un plano dado ......... .1123.- Proyecciones de una figura plana ... .1129,- Afinidad homológica entre las dos pro¬

yecciones de una figura plana ..... 12

Problemas Métricos. .30.- Verdadera forma de una figura plana. . 1.331 .- .Abatimiento inverso......... .32,- Afinidad homológica entre la figura aba¬

tida y una de sus proyecciones 1633.- Giro del plano alrededor de una recta

horizontal (o frontal)34,- Perpendicularidad ....35.- Distancia entre dos puntos .....36.- Distancia entre un punto y un plano . . 2037.- Distancia entre un punto y una recta .2038.- Distancia' entre dos rectas alabeadas . .2039,- Distancia entre dos planos. paralelos . ,22

40.- Angulo entre dos rectas .41.- Angulb entre dos planos ¡

42.- Angulb entre recta y plano43.- Angulo de una recta con los cuadros . . 24

pag.

r 44.- Representación de una recta dadas su .pendiente y su inclinación

' 45.- Angulos de un plano con los cuadros- , . 2646.- Representación de un plano dadas su

pendiente y su inclinación

2 24234. 275

CAPITULO III - Homología Plana..5

1;- Perspectívidad entre planos .2.- La proyección de dos figuras perspecti¬

vas genera una homología ....3.- Rectas límites de una homología .4.- Casos particulares

1

9

5.11

CAPITULO IV - Método de las Proyecciones Aco-1tadas.2

2 Representación de los entes fundamentales -Paralelismo - Pertenencia.1,.- Sistema de representación2.- Representación del punto3.- Representación de la recta . .4.- Pendiente de una recta ....5.- Representación del plano ...6.- Puntos y rectas de un plano .7.- Paralelismo '

Problemas Gráficos.8.- Intersección de dos planos . .

.9,- Intersección de una recta y un plano . . 6

Problemas Métricos.10.- Perpendicularidad11.- Verdadera forma de una figura plana . . .512.- Distancia entre dos puntos13.- Distancia éntre un punto y. un plano , ... .814.- Distancia entre un punto y una recta . . 915,- Distancia entre dos rectas alabeadas ;

16.- Distancia entre dos planos paralelos ... 917.- Angulo entre dos rectas18.- Angulo entre des planos19.-' Angulo entre recta y plano...1020.- Rectas de un plano con pendiente dis¬

tinta a la del plano21.- Planos que contienen a una recta con pen¬

diente distinta a la de la recta ... .1122.- Superficies topográficas

13 1. . 3 . . 2

3. . 5'. 5 5

. . .S

6

77 6

. 88 39

9. 9

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1010una . 11

10

11

CAPITULO V - Método de la Proyección Central .15

Representación de .los entes fundamentales - P¿raleTismo - Pertenencia.1.- Sistema de representaciónZ.~ Representación de la recta3.- Representación del punto .4.- Representación del plano .5.- Rectas paralelas . . .

• 6.- Planos paralelos . . .7,- Recta y plano paralelos8.- Recta de un plano . . .9.- Coplanaridad de dos rectas

10.- Cambio de representación del punto ... 41 1 .- Punto de un plano12.- Punto de una recta

1117218

19 . 333

; .3322

234235

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pacj.

Superficies.

Clasificacion. Elementoscaracteristicos r. ... .. .1

de una superficie .....2Consideraciones sobre superficies regla-

radiadas ... ... o

Representation de superficies radiadas 4planas de una superficie ra-

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. * ;3 .•. 4.

. .4planas del cono. Curvas co-

revolucion .de superficies

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Triedros.

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Superficies.

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una superficie ..,..2sobre superficies regla-

.3radiadas

de superficies radiadas 4de una superficie ra¬

..._____

,4del cono. Curvas có¬

‘

v-';' ., .. ..

revolución .superficies

Resolución de triedros ...

Definiciones .. . ... .....

segmento .figura ....

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pag.-' pag.

:Probl énias Gráf i cos.'13.- Recta, que pasa por dos puntos dados . , .5:14,- Plano que contiene a un punto y una rec¬

ta .... . .15,- Interseccion.de dos planos . . . ,

16.- Intersección de una recta con un plano . 617.- Plano por un .punto, paralelo a una rec¬

ta dada ....i,...,,....,

Problemas Métricos,

18.- Abatimiento de un plano proyectante , . .719.- Abatimiento de un plano no proyectante . 8

CAPITULO IX - Superficies

1.- Generación - Clasificación- Elementoscaracterísticas . . . . .

2.- Proyecciones de una superficie . .... 23.- Consideraciones sobre superficies regla¬

das..........,. ... . . . . .3-a.- Superficies radiadas . . . ... 33-b.- Representación de superficies radiadas 43-c.- Secciones planas de una superficie ra¬

diada... ,. . .4.3-d.- Secciones planas del cono. Curvas có¬

nicas . .

.5'. 6

.3 ..6

20.- Correspondencia homolóqica entre pro¬yección y abatimiento ae una figuraplana .

21.- Perpendicularidad entre recta y plano . 1022.- Perpendicularidad entre rectas . .23.- Perpendicularidad entre planos . . .24.- Distancia entre dos puntos...... .1325.- Distancia entre un punto y un plano . .13

. 26.’-; 'Distancia éntre un punto y una recta .13. 27.- Distancia, entreidos planos, paralelos ,• ,14

28.-' Distancia de uní punto al cuadro . . . . 1429.-: Distancia entre. dos rectas alabeadas V .1530.- Angulo entre dos rectas . .31.-' Angulo entre dos planos . , . .32.- Angulo entre recta y plano , .33.- Angulo de una recta con el cuadro ... 1734.- Angulo de un plano con el cuadro ... .1835,- Rectal de un plano con inclinación dis¬

tinta a la' del plano36..- Planos que contienen a una recta con in¬

clinación distinta a la de la recta . . T9

. .5.3-e.- Poliedros . , y;..-.1 v". .3-f¿- He?ticoides . .. ..4,- Superficies de revolución .

5.- Intersección de superficies

. 9. .9 .. .12

. .1210

, . 12•. «

CAPITULO X - Triedros.

1.- Definición - Resqlución de triedros .;. .1

CAPITULO XI - Sombras.

\ 1.- Concepto - Definiciones2.- Sombra de un punto . .3.- Sombra de un segmento4.- Sombra de una figura .

. . 16

. . 16 • « «

16 2, 2

5.- Sombra de cuerpos. .2-.19

CAPITULO VI - Perspectiva Cónica.

1.- Fundamentos .2.- Sistema de representación ......3.- Perspectiva de un punto, ......"4.- Perspectiva de figuras contenidas en

. el geometral , i . . .5,- Medición de cotas en perspectiva .... 66,-. Perspectiva de un cuerpo .CAPITULO VI I - Perspectiva Paralela. o Axono-

niétrica.

Ir- Sistema de representación .......2.r- Axonometría ortogonal ...... .3.- Axonometría caballera ....

.CAPITULO VIII - Curvas.

1.- Generación- Clasificación - Elementoscaracterísticos .........

2.- Puntos singulares de una curva , .3.- Clasificación de curvas por su condición

en relación a otras . ......... 24.-. Curvas de error , •

5.- Forma de generación de algunas curvas . .4

112 .

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I ~1WTO?:ÿff«T W.:.ÿ«;.Ti!!%'>:.

sus antecedents en 1 osque Jos primeros escrftos

siglo l9 se atribuye a Gas°

Normal de Parts y devamente esta rama de la geo~permit16 raeionalizar las ar~

os • recursos de la 6eomeradescripcion objetFvamismos.

1798* Hon

1 a

de

publlcado en express

primero es dar metodos para re_

tsene dos d $ mens f ones: largo

que tienen tres: largo, an puedan def i nl r r i gurosamen te.

reconocer la forma de los deduct r de aqut todas las

posfeiones respect ? vas11 •

Descriptiva estudia. metodos o una superffeie plana, dew

individual izar r i gurosamen te , de

-en base a tales tecni¬ 11 1.a , sera posible que o~

tecnica9 pueda conocermiÿ fcuviera' a su di&posicidn el

representation. Ese conoc imiento indf-cado A en el graft co,

las condi clones part ecu I a_ element os del cuerpo (dfstaÿn

actuando en relacion a 1 prf- ejecuta la represen tac Ion '

definido; el sujeto B actuaea.

verdadera forma del objeto re- ’

que Is interesan sobre el

de la Geometrfa Des “

de la fngenterfa. en objetivo menclonado constituye

que no debe sar confundl- efecto, la Geometrfa DescrlptJÿ

para lograr de term!nada to pormenores relatlvos a los materia.

dibujos, d© las tecnicas i'dades ajemas al ambit© de 1®

ndepend'l en temente , con caracte-

una nietodol og f a , basada ert

resultados concratos a partlr do

determSnar la dlstancla entre dos

do que sesn procesos grÿi”

corsdisSona nl limit® las p£

adecuar objet Ivamente sus cos de cilculo. Es p rsc I sa

y slarament© los profo 1 ©"

analftieas” donde- reside

Geometrfa Descriptiva.

1=1

sus antecedentes en losque los primeros escritos

siglo I, se atribuye a Gas-Normal de París y de

definitivamente esta rama de la geo-permitió racionalizar las ar¬

los recursos de la Geome¬descripción objetivamismos.

publicado en 1798, expresa Monprimero es dar métodos para re_tiene dos dimensiones: largo

que tienen tres: largo, anpuedan def i n i r rigurosamente.

reconocer la forma de losdeducir de aquí todas lasposiciones respectivas".

1 a

de

Descriptiva estudia, métodosuna superficie plana, de¬

individualizar rigurosamente, de-en base a tales técni¬

silla, será posible que o~técnica, pueda conocer mj_

tuviera a su disposición elrepresentación. Ese conocimiento

indicado A en el gráfico,las condiciones partícula

elementos del cuerpo {distarÿ

o

actuando en relación al pri¬ejecuta la representac Son

definido; el sujeto B actúa enverdadera forms del objeto re-,

que la interesan sobre e?

importancia de la Geometríade la ingeniería, en cual

objetivo mencionado constituyeque no debe ser confundi¬

efecto, la Geometría Descr I pi:J_para lograr determ I nada ijn.

pormenores relativos a los materiadibujos, de las técnicas

formalidades ajenas al ámbito d© 1®ndepend f entemerst© , con caracte¬

una metodología, basada enresultados concretos a partirdeterminar la distancia entre dos

de que sean procesos grl”condiciona nf limita lasadecuar objetivamente sus

de cálculo. Es precisa¬y claramente los probl©"

analíticas” donde- resido laGeometría Descriptiva.

Des¬

da

\

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J. Chesñevar 1-1

CAPITULO I,-í

l.~ GEOMETRÍA DESCRIPTIVA - OBJETO,-

A pesar de; que la Geometría Descriptiva tiene sus antecedentes en losartesanos de! la piedra de la antigüedad, y de que los primeros escritoscon elaboraciones teóricas afines datan del siglo f» se atribuye a Gas¬par Monga ( 1¡7 46/ 1 81 8 ) s Profesor de la Escuela Horma I d® París y dePol i técn i ca ,! e 1 haber estructurado definitivamente esta rama de la geo~metría, que ¡él denominó Descriptiva. Ello permitió racionalizar las ar¬tes de la colnstriicción, a la vez que aumentar los recursos de la Geome¬tría Cartes íjana, desde que hizo compatible la descripción objetivalos cuerpos ¡con el estudio matemático de los mismos.

En su Tratado de Geometría Descriptiva, publicado en 1798, expresa Monge que su obra abarca dos objetivos: "El primero es dar métodos para r®_presentar en una hoja de dibujo, que sólo tiene dos dimensiones: largoy ancho, tod;os los cuerpos de la naturaleza, que tienen tres: largo, ancho y alto, ¡siempre que estos cuerpos se puedan ' def t ni r rigurosamente.El segundo objeto es proporcionar el medio de reconocer la forma de loscuerpos, luego de una descripción exacta, y deducir de aquí todas lasverdades que resultan en su forma y en sus posiciones respectivas".

De lo anteriortécnicas para representar los cuerpos sobre una superficie plana,bien do entenderse que "representar" es individualizar rigurosamente, demodo que si un .sujeto A representa en un plano -en base a tales técni¬cas- un objeto determinado, por ejemplo una silla, será posible que o~tro sujeto tí, adiestrado en el uso de la misma técnica, pueda conocer d

iosamente la referida silla, tal como si tuviera a su disposición elobjeto real* valiéndose tan sólo de la representación. Ese conocimientono estará limitado estrictamente a lo que ha indicado A en el gráfico,sino que B podrá deduc i r en la representación las condiciones pa r t i c u I a_res que sean de su interés en determinados elementos del cuerpo (distanÿcia entre ciertos puntos, ángulos, etc.).

1 a

de

surge que la Geometría Descriptiva estudia, métodos ode-

nuc

En el ejemplo anterior, el sujeto A está actuando en relación al pri¬mero de 1 os i ob j et i vos enunciados por Monge: ejecuta le representación'plana de uní objeto no plano perfectamente definido; e! sujeto B actúa enrelación a!¡segundo objetivo: conoce la verdadera forms del objetopresentado y deduce las verdades particulares que ]s interesan sobre elm i srno ,

re- ,

Lo anterior ya permite entrever la importancia de la Geometríacripfciva en la formación de ios profesionales de la ingeniería, en cuajÿquiera de sus especialidades. El primer objetivo mencionado constituyela furidamenjtac í ón teórica del dibujo técnico, que no debe ser confundí"da con la ejecución misma del dibujo. En efecto, 1 a Geometría Descrlpíjÿva enseña como disponer un conjunto de líneas para lograr de terral nada ijnter pret ac i óin , pero se desliga de los pormenores relativos a los materia,les y utensj líos necesarios para realizar los dibujos, de las técnicaspara reproducirlos, etc. Estas son formalidades ajenas ai ámbito de laGeometría Descriptiva, que evolucionan independientemente, con caracte¬rísticas príopfas en cada medio profesional,

El segundo objetivo Implica el dominio do una metodología, basadaconstrucciones gráficas, para obtener resultados concretos a partir dodeterminadas propuestas (verbigracia: determinar la distancia entra dospuntos dados en una representación). El hacho de que sean procesos grá¬ficos los que conducen a los resultados, no condiciona ni limita las p<a

s I b i 1 i da de sí ds esta disciplina, que permite adecuar objetivamente susmodelos a las reglas de los métodos analíticos de cálculo. Es precis®”mente en la posibilidad d© Interpretar rápida y claramente los probl®"mas y sus posibles soluciones -gráficas o analíticas” donde- resido i-sImportancia del segundo objetivo de la Geometría fíese r i pt I va .

Des “

en

1-2

"V .r--•r•*

gnadas por letras mi nus_(A, 8, Cgriego J • • •)•

elementos del espacio, e-establecer una correspondencia

punto del espacio co_'para efectuar la repre¬

conocerse 6 "reconÿcorrespondenc i a es-

que se satisfagan losormente enunciados.

de proyecciones. Caÿconven i en temen te e)e_

sobre el piano de repre_PROYECCION).-

centro 0 sobreuna recta r que pasa

Pa-

un

BProyectantes

sV,N

1b'

sr

denomina TRAZA de la rec

punto P desde un

slstema, la

se denomina RECTA

centrorayo proyectante que pa-

pos i c I on

el punto bastarfa,desgeometrica (flgura 6 cuerpoT

esta ordenado de determj_forma particular de repre

recta; los infinftosdefinen otra recta en e 1 cua_Interseccion del cuadro conproyectantes.

de una recta m desde uncon TT del piano que

1-2

designadas por letras minús_(A, 8, C Pa¬griego {<=< , p>, J • •)•

elementos del espacio, e-una correspondencia

punto del espacio c£efectuar la repre¬conocerse ó "recons_correspondencia es- •

que se satisfagan losanteriormente enunciados.

de proyecc i ones.. Ca_convenientemente ele_

sobre el plano de repr£PROYECCION).-

centro 0 sobre ununa recta r que pasa

BProyectantes

Vi9V

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b)

se denomina

denomina TRAZA de la rec

punto P desde

RECTA

un centroproyectante que pa-

sistema, la posición

el punto bastaría,desgeométrica (figura ó cuerpoT

ordenado de determj_particular de repre

recta; los infinitosotra recta en e 1 cua_

Intersección del cuadro conproyectantes.

una recta m desde unquecon TT del plano

" crCOM£TR|.A DESCRIPTIVA - Carlos J T Chesñevar 1-2

-vip2.--NOMENCLATURA.-

En lo que sigue, las rectas serán siempre designadas por letras minú¿culas (a, b, c...). Los puntos con letras mayúsculas (A, 8, C ...). Pa¬ra los píanos se utilizarán las letras del alfabeto griego (<=*

3 * - PROYECCIONES

La intención de representar en un plano los elementos del espacio, e -xige adoptar un procedimiento que permita establecer una correspondenciaestricta entre ambos sistemas, de modo que a cada punto del espacio cor res ponda un punto y sólo uno del plano elegido para efectuar la repre¬sentación. Debe quedar asegurado, además, que pueda conocerse ó "recons_truirse" cada punto representado. En definitiva, la correspondencia es¬tablecida debe ser rigurosamente biunfvoca, para que se satisfagan losdos objetivos de la Geometría Descriptiva anteriormente enunciados.-

Tal correspondencia quedará establecida por medio de p royecc i one s . . C¿da punto a representar, se proyecta desde un punto convenientemente el£gido (en adelante llamado CENTRO DE PROYECCION) sobre el plano de repre_sentáeíón (en adelante llamado CUADRO DE PROYECCION).-

Se define como proyección de un punto P desde un centro 0 sobre uncuadro Tf , al punto P* que define al cortar a ir una recta r que pasapor 0 y por P.

Br S 0r £ P

Rayos ProyectantesrnTT=P‘Centro deProyección) V.i-rProyección

del Punto Pxp

\\ AB'Xwp*

/af /

zr jr

Cuadro efe>A

Fig. 1 b)a)

que pasa por el centro de proyección, se denominaPROYECTANTE (o RAYO PROYECTANTE).

El. punto en que una recta corta a un plano se denomina TRAZA de la recta en el plano.

Puede ahora expresarse: “La proyección de un punto P desde un centro0 sobre un cuadro Tí , es la traza P1 en ff del rayo proyectante que pa¬sa por P .

Lo anterior vale cualquiera sea, en relación al sistema, la posicióndel punto proyectado, (fig. 1-b).

Toda recta RECTA

£1. mecanismo de. representación establecido para el punto ba s t a r fa , desde luego, para representar cualquier forma geométrica (figura ó cuerpoTPero en ocas i ones en que un conjunto de puntos está ordenado de de t e rmj_nada manera, puede resultar útil concebir una forma particular de representacíón para ese conjunto. Tal es el caso de la recta; los infinitospuntos que la componen, al ser proyectados, definen' otra recta en e 1 cua_dr© de proyección, recta que equivale a la Intersección del cuadro conel plano que contiene a los infinitos rayos proyectantes.

En consecuencia, puede definirse la proyección de una recta m desde uncentro 0 sobre un cuadro Tf , como la intersección con if del plano quepasa por 0. y contiene a m.

1-3

tS.0Tim TflrtT- ms

&Froy$ct&<U*g 0sa.

b)

se denomina PLANO PROÿ

superficie se denomina

recta m desde un centroproyectante que cont ie

proyectante i , proyectaa punto de tiene8 1 , C en C‘, etc).excepcioncs, de mo-

recta contlene a unponder* en el si sterna.el rayo r contlene

IMPROPIO de la recta a*

conclbe s!no solo un pun-etra mayuscul a , agre°=Ido - arh i t rar f o,

l

r --//JKVJ '/a ra

itnr-x?r=s3-TMssamat

ssociado al conceptmils rectas' se cortan en

direction, 6 que constj,, puede declrse

on cornua «?) punto ?mque

í-3

ts.oT-SB|Ifnlí"».rn5

ante @0’S.

b)

se denomina PLANO PR0_

superficie se denomina

recta m desde un centroproyectante que contÍ£

proyectante í , proyectaCada punto de a_ tiene

8 1 , C en C 1 , etc),excepciones, de me*

recta a, contiene a uncorresponden en el sistema.

el rayo r contieneIMPROPIO de la recta aÿ.

concibe sino sólo un pun-letra mayúscula, agre¬

sentido arbitrario.

8

r----.Ma I*6 i

asociado al concep¬más rectas se cortan sn

dirección, ó que cons t£Inversamente,, puede decirse

en común «1) punto imque

i!

1-3GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J. CTiesñevar:,-~ircrJT?.tÿ.’rWKSíCSCi.t

|

i 1f£0'3"£SWf i g . 2

Pí &no

Proyact&ntg;;

o @oi» 'X

ÁA

A*

Z£. zr.

(

a) b)

!

Todo piano qué contiene al centro de proyección se denomina PLANO P.R0_YECTANTE,

La if.nea que define un plano al cortar a otra superficie se denominaTRAZA DEL PLANOS

Puede ahora expresarse: "La proyección de una recta m desde un centro0 sobre un cuadro if , es la traza en 1T del plano proyectante que cont ie_ne a m ." \

!

PUNTO IMPROPIO,-

Todo rayo proyectante que pertenece al plano proyectante í , proyectaun punto de la recta a, contenida en % (fig-3). Cada punto de a_ tienesu correspondiente en a1 (A se proyecta en A'. B en 8’, C en C 1 , etc).Se adral te que esta correspondencia es bíunívoca sin excepciones, de rao”

do que aun el rayo proyectante r, paralelo a la recta a, contiene a unpar de puntos (uno de a y otro de a1) que se corresponden en el sistema.Para hacer posible esa generalización, se dice que el rayo r contieneal punto "al infinito" dg la recta a_, ó al PUNTO IMPROPIO de la recta aÿ.

En razón de la forma de establecerlo, no se concibe sino sólo un pun¬to Impropio por! cada recta. Se lo señala con una letra mayúscula, agre¬gando el símbolo 11 co " y una corta flecha con sentido arbitrario,

F i g . 3X®ÿ S. ei

f &G 1rn¥=X‘r s. Ija -j-.i

'0! ;

A Ir

X //

a I*&| iCJT zr e *ÿÿ4.a) C b)!

!

$3 observa, qua al concepto de punto impropio está asociado al concep¬to d© dirección, (no d© sentido). Decir qu© dos o mis restas se cortan enel punto impropio, ©s decir qu© tienen la misma dirección, ó que consejétuyan una familia de rectas paralelas, inversamente,, puede decirse quedos o más rectas paralelas se cortan en (o tienen en común «1) punto ímpropio.

I

!

i:

í

f

I -4\b

cualquiera a esta en gene¬por infinitos pun-

se proyecta en elen el punto impro-

nepesar i amente un pun_un punto propio en o

del piano no proyec-recta m, determlnando

recta m de .Para cuaj_deflnida su

paralelo al c< , se dicedel piano o< , o

correspond

a

j& OC

jSnTTr 1 5l

5•ÿ€ \

0\\

\

X --t*

jr

b)

minusculasino solo una rec-

ag regan-9

equivalente al deequTvale al de orlentaÿ

cortan en la rectaorlentaclon, o que const!"

puede declrse quecortan en) la recta lm

d i rec-i m “

compuesto por una rec¬"tangibles", que llama-

-del piano se prode oc se proyecta en

iamente una recta proimpropia en otra ra£

I -iiT.*;

cualquiera a está en gene¬por infinitos pun¬

se proyecta en elen el punto impro¬

necesariamente un pun_punto propio en o_

del plano no proyec¬recta m, determinando

recta m de .Para cuaj_definida su correspon¬

paralelo al <x , se dicedel plano o< , o a

j& OC

& £ 0e£ jjSnTTrt’ j£nT=j

5f \

0

\

i*

b)

sino sólo una rec-minúscula, agregan¬

en te al deequivale al de orientaÿ

cortan en la recta Im¬orientación, o que consti¬

puede decirse quecortan en) la recta im

compuesto por una rec¬"tangibles", que llama¬

-del plano o¿ se proda se proyectaen

necesariamente una rect® proImpropia en otra rec

d i rec-

1-4 -mGEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J Chesñevar

De acuerdo con lo que antecede, una recta cualquiera a está en gene¬ral compuesta por un punto Impropio, "intangible", y por infinitos pun-

tos "tangibles", que llamaremos PUNTOS PROPIOS.

Puede observarse (f'ig.3) que el punto impropio loo se proyecta en elpunto propio I', y que el punto propio J se proyecta en el punto impro¬pio J¿> de a'. Se advierte en consecuencia que no necesariamente un pun_to impropio se proyecta en otro punto impropio, ni un punto propio en £tro propio.

5.- RECTA IMPROPIA, -Todo plano proyectante puede proyectar una recta del plano no proyec¬

tante • Así, el plano (fig.4) corta a c*. en la recta m, determinandola traza de en TT la recta m‘ , proyección de la recta m de .Para cuaj_quier recta de ot , puede quedar del mismo modo definida su correspon¬diente recta en IT.

Cuando se considera el plano proyectante ¿ , paralelo al c< , se diceque ¿contiene (o proyecta) a la recta "al infinito" del plano , o ala RECTA IMPROPIA del plano .

•i

ííi es. £ ee

§ £ 0$ S Í*a

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I£mI£ 0

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& £ 0e£ jj Vn7T=m' jSnir=i'

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- . . AT

a) fig.4 b)

De acuerdo con el modo de concebirla, no se acepta sinosólo una rec¬ta impropia por cada plano. Se Indica con. una letra minúscula, agregan¬do el símbo lo o& .

Asf como el concepto de punto impropio era equivalente al de d i rec-cfón de una recta, el concepto de. recta Impropia equivale al de orientaÿción de un plano. Decir que dos o más planos se cortan en la rectapropia, equivale a decir que tienen la misma orientación, o que consti¬tuyen una familia de planos paralelos. Inversamente, puede decirse quedos o más planos paralelos tienen en común (o se cortan en) la recta Jimpropía.

i m -

Lutvgo, un plano cualquiera « estará en general compuesto por una rec¬ta impropia "intangible" y por infinitas rectas "tangibles", que llama¬remos RECTAS PROPIAS.

Puede observarse (flg.,4) que la recta Impropia í o» -del plano ©¿se pr£yecta en 'la recta propia {', y que la recta propia j de se proyectaenla recta impropia J de IT , de modo que no necesariamente una recta propia se proyecta en otra recta propia, ni una recta Impropia en otra recta Impropia.

f

AI ~

geometrica, se define el pianolos puntos hnproplos y rectanto solo uno (piano lm”

Justifica euancio es necesar io gene¬que "una recta y un punto queinguna restriccion. En efecto:

piano en Question es el

Impropia, el piano es el quecontlenen a la recta.

propia, el piano es el que cooque contlenen a! punto dado

piano es el piano impropio.

punto propio

se dice que la proyeccion esproyectantes son paralelos.

0RT0G0NAL si la dlrecclon del cersi no lo es. (fig.5)

que

pasa

la proyeccion se

/ cw0AG

c /%

A //a

?r A

Proyeccion fValela Oblicus

b)

el concepto de proyeccion* prlgurosldad de la correspondsun punto cualqulera P

queda conoctdofunclon de P $

•

establecorse dfstintos slst&fiImpropio* etc*)

REPRESENTACION cuando se adopts yn slst*la forma convene f ona 1 de ref

geometrical (punto* recta y planeIndlvlduallce a solo un element© defi

ser estudlados en las pag ini

no puede asf I rma rse que sopuntos con'tenf-dos en el ra

en def l n f 1 1 va 5

i

*lySfcvf. MKWOSSCI

geométr I ca „ se define el planolos puntos impropios y r©£tanto sólo uno (plano

Justifica cuando es necesario gene¬"una recta y un punto

ninguna restricción. En efecto:

f m -que

plano en cuestión es el que

el plano es el quecontienen a la recta.

propia, el plano es el que con¡que contienen ai punto dado

plano es el plano impropio.

pasa

propio, la proyección se

dice que la proyección esproyectantes son paralelos.

ORTOGONAL, si la dirección del carno lo es. (f í g.5)*

/ CL.56AQ

C /A

/a'>r/

Proyección ftaratsl® Oblicua

b)

concepto de proyección, prigurosidad de la correspond®

punto cualquiera P (ffg.ipuede afirmarse que solarapuntos contenidos sfi el- raconocido, en definitiva,de P‘.

establecerse distintos sísienImpropio, etc.)

cuando se adopta un sistíforma convencional de rej

geométricos (punto, recta y planeIndividualice a sólo un elemento «Jefi

ser estudiados ©n las págirii

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J. Chesñevar i

*lySfcvf. MKWOSSCI

6." PLANO IMPROPIO

Con el fin de completar ¡a estructura geomét r I ca „ se define el planoimpropio como el conjunto que integran todos los puntos impropios y r©£tas impropias que puedan existir. Hay por lo tanto sólo uno (planopropio "universal11) . Tal ficción se Justifica cuando es necesario gene¬ralizar uñó expresión, Asf puede decirse que "una recta y un punto

no le pertenece definen un plano", sin ninguna restricción. En efecto:

f m -que

a) Si el punto y la recta son propios., el plano en cuestión es elcontiene a; la recta y pasa por el punto.

que

b) Si el punto es propio y ía recta impropia, el plano es el quepor el punto y es paralelo a los planos que contienen a la recta.

c) Si el punto es impropio y la recta es propia, el plano es el que con¡tiene a la' recta y es paralelo a las rectas que contienen ai punto dado

d) Si el puntQ y la recta sen impropios, el plano es el plano impropio.

pasa

7-- CLASIFICACION DE LAS PROYECCIONES ,~

Cuando el centro de proyección es un punto propio, la proyección sedenomina CENTRAL ó CONICA (figuras 1 a k) .

Si el centro de proyección es impropio, se dice que la proyección esPARALELA ó CÍLINDRiCA. Los rayos proyectantes son paralelos.

Se agrega además la calificación de ORTOGONAL, si la dirección del cartro es perpendicular al cuadro, u OBLICUA si no lo es. ( f í g . 5 ) *

,CW/ CL.5F i g . 5 6ACA

B Q

C /ELÁ A A/C\ a'

>r/r7

Proyección ftaratsl® OblicuaProyección Paralela Ortogonal

a) b)

2.- METODOS DE REPRESENTACION.”

En lo que antecede ha quedado definido ©1 concepto de proyección, p

ro no ha sido asegurada, en general, la rigurosidad de la correspond®cía bíunívoca prevista. Está claro que a un punto cualquiera P (ffg.icorresponde sólo un punto P* de TT , pero no puede afirmarse que solarate el punto P se proyecta en P* (todos los puntos contenidos sfi el- raproyectante r se proyectan en P1). Mo queda conocido, en definitiva,

modo de "reconstruir" el punto P en función de P ‘ .Además, ha quedado dicha que pueden establecerse distintos sí sien

de proyección (de centro propio, de centro Impropio, etc.)

Se constituye un METODO DE REPRESENTACION cuando se adopta un sistíde proyecciones definido, y se establees la forma convencional de rej

sentar en ese sistema los elementos geométricos (punto, recta y planede modo que Cada rep re s en t ac i ón Individualice a sólo un elemento «Jefido ®n el espacio.

Los métodos más conocidos, que pasan a ser estudiados ©n las págirii

qu© § I gu©n , son :

;

’ ;. .

Proyecclon Ortogonalutllizan, comb i nadas,dos prcrperpend 1 cu 1 ares entrs sf,

reducldo a un sistema pl£cuadros aTrededor de la fee

se utlliza una pro-A la proyecclon de un

cota del punto en rel£

utiliza una proyec-amente. La individualize-proyeccion combinada de e-

es la sensacion queproyecclon (u observa-CONICA (Cap. VI); si esVII.').

refereneja al estud io de lassombras, en la medida quetecnicas degeometricos que

1-6

representa-puedan

• r

1-6

Proyección Ortogonalutilizan, comb i nadas,dos pro;perpendiculares entre sí,reducido a un sistema p¡£

alrededor de la /ec

se utiliza una pro¬la proyección de un

cota del punto en rela_

utiliza una proyec¬arbitrariamente. La individualiza¬

proyección combinada de e-

,

es la sensación queproyección (u observa¬CONICA (Cap. VI); si esVil).

referencia al estudio de lassombras, en la medida quetécnicas degeométricos que

representa-puedan

GEOMETRIA DESCRIPTIVA *- Carlos J. 1-6Chesñevari:

- EL METODO DE MQNGE (llamado también de la Doble Proyección Ortogonal

o De la Proyección Diédricá), en el cual se utilizan, comb i nadas , dos pro

yeccíones paralelas ortogonales, con cuadros perpendiculares entre sí,(uno horizontal y otro vertical).. El modelo es reducido a un sistema pla_ao (tridimensional) por medio del giro de los cuadros alrededor de !a reota común, hasta quedar superpuestos (Cap. 11),

- EL METODO DE LAS PROYECCIONES ACOTADAS, en el que se utiliza una pro¬

yección paralela ortogonal, con cuadro horizontal. A la p royecc i ón de unpunto se asocia un número que indica la altura ó cota del punto en rela_ción al cuadro (Cap. IV).

- EL METODO DE LA PROYECCION CENTRAL, en el que se utiliza una proyec¬

ción cónica, con el cuadro orientado arbitrariamente. La individualiza¬ción de los elementos se asegura mediante la proyección combinada de e-

lementos propios e impropios (Cap.v).t

-Los METODOS DE LA PERSPECTIVA, donde lo esencial es la sensación queproduce la representación. Cuando el centro de proyección (u observa¬ción) es propio, se dice que es una PERSPECTIVA CONICA (Cap. VI); si esimpropio, que es una PERSPECTIVA PARALELA (Cap. Vil).

Estos Apuntes Incluyen, además* una breve referencia al estudio de lascurvas y las superficies y a la teoría de las sombras, en la medida quetales conocimientos pueden complementar a las técnicas decion y aportar a la resolución de los problemas geométricos queabordarse dentro de las mismas.

representa-puedan

! i -1rfMKSTV*»

PERTENENCIA “ PARALEL1SMO

DIEDRO IT

j&ohfer/or

DIEDRO HI

ABAT1MIENTO"cerrando11 tos diedrosde ndmero par.

f i g. 1

PROYECTANTES

m,.

7

0,mmISSiiirÿ

/y

f

PJL¥2iti®ÿ

If

MRIi!

fig. 3

es proyectante en Ira.proyeccion. si es perpendicular

horizontal.es proyectante en 2da.

proyeccion, si es perpendicularvertical.

que es s i mu 1 taneamenteproyectante en Ira. y 2da. pro¬

se llama PLANO DE PEBFfLLT).

t.P*

<<iRi LTTSZTass

ip1

fig- 6

horizontal) de P, es la trazapasa por P.de P, es la traza depor P.

perpend i cu 1 ar a LT

11-1

PERTENENCIA - PARALELISMO

DIEDRO H

<?/y>/as?ofer/or

DIEDRO IH

ABATIMIENTO"cerrando”1 los diedrosde ntümero par.

fíg. 1

PROYECTANTES

//

Mpjur*

Am?

f íg • 3

es proyectante en 1ra.proyección- sí es perpendicular

horizontal.es proyectante en 2da.

proyección, si es perpendicularvertical.

que es simultáneamenteproyectante en Ira. y 2da. pro.-

llama PLANO DE PERFILLT).

í.P?i

I

I*P1

fíg. 6

horizontal) de P, es la trazapasa por P.de P, es la traza depor P.

perpend i cu 1 ar a LT


II) METODO DE MQNGE

REPRESENTACION DE LOS ENTES FUNDAMENTALES - PERTENENCIA - PARALELISMO

1 •” SISTEMA DE! REPRESENTACION

CUADRO VERTICAL(o rmiro ó plano

ortográfico)

SemiplanoSuperior

DIEDRO Ui.•Se’, vz/a/ar/ro

¿jo. fer/or/

//

/DIEDRO n/

/

Linea de Tierra

DIEDRO IABATIMIENTO

"cerrando tos diedrosde número par.CUADRO HORIZONTAL

íó suelo o plano; "/<icnográfico) \

Ses77//f/crvoo'szf'ezrsQr

SemiplanoInferiorDIEDRO 32

fig. 1

2.- RECTAS PROYECTANTES PLANOS PROYECTANTES/'bí o".

b xir¿b16 y

3 £ O’oo=» a JL Tí,

mJfc — -r-

//a m p-Lir2ac JJTÿ id

Xy

!o"*i7 V

fig. 3fig. 2 &

a) Un plano es proyectante en 1ra.proyección- sí es perpendicularal cuadro horizontal.

b) Un plano es proyectante en 2da.proyección, si es perpend í cu 1 aral cuadro vertical.

c) Un plano que es simultáneamenteproyectante en Ira. y 2da. pro¬yección se llama PLANO DE PERFIL( e s _L a LT-j .

a) Una recta ejs proyectante en Ira.proyección,| si es perpendicularal cuadro híor i zonta 1 .

b) Una recta es proyectante en 2da .proyección, s í es perpendicularal cuad ro vert íca 1 .

3.- REPRESENTACION DEL. PUNTO

Los puntos. FrjT ‘ 'r'“

P> PD» p1-P2 perteneÿcen a un ~plano deper f i 1 .

[*¿T”i

t.PaMI

Áfí, >-T/

ft I 05

A 1/

!I Ap

4P,1 77

___Jl

fig. 6fig. k fig. 5

-La primera proyección P1 (o proyección horizontal) de P, es la trazaasa por P .

de P, es la traza dede la recta proyectante en ;1ra. proyección que p

-La segunda proyección (° proyección vertical)Ja recta proyectante en 2da. proyécción que pasa por P.

-Las dos proyecciones de P lo individualizan.-La línea de referencia que une Pf y ?2 (fig.6) es perpendicular a LT

!

I 1-2

VCTt «Di-rDf *I J

\i! I 1I » It' II I

Ii iIICo ,Eo

Bo

4E2Br.*82

D EC

Diedro ,Semipiano

______-.Fbsterior

£2C0C1 Co i Di Do

DiedroK

Nula E2 EQ

Ei Eo

cuadro horizontal.al cuadro vertical.

cuadro de proye£es un piano de

proyecc i on P-j deproyecc ion ortogo-en IT

distancia de P a T 3alejamiento lateral de P.

3*es

zIgaHjafll

Pz 111i 1i

\

i&-Y1II

s ---iR,ZSTTsÿEtrÿzPZ I

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11-2

TCr TE,.DÿO|c2 I

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ICO !-D?¿Dn !F.nIBT

*E2Mc D E

Diedro 'Semipiano DiedroIT iFbsterior Iff

rsg'Tÿjrci Co"i"br5r

E2 EOEi Eo

cuadro horizontal.al cuadro vertical .

cuadro de proye£es un plano de

proyección P3 deoyecc i6n or togo-T *

distancia de P a T 3 esalejamiento lateral de P.

•

ZPz ~~]Pz

I1I¡

\

B<—4P,x

¿¿fílsE-TT2eÍTii2p¿ yy"

z*/ Yfz Po

t-

/

. V-ÿÉOMETRI A DESCRIPTIVA - Carlos J. Chesñevar

4.-- SITUACION DEL PUNTO

I 1-2

fAa=A. tCv •E,

c2 ;D-°C

4y—/A2=A // Co i.D? = Do ¡En!Aÿ£AOV

4/I

El¿C' DyD BoA j/

¡///! ¿E 2Mh¡AgAo -Co],//

f i g 7>& *82! Cÿ=DoS

!BV' .i-.; Ay Punto B EDC

Diedro Diedro Semiplano' Rasterior KT

Ubicación

CoJa

Ea- . Diedro)B2 EI?.

C2C0 |Nula

C i Co i Di DoB2 BDA2 A0 E2 EO

Alejam. Nulo*B Bi Bo Ei Eo

Cota de) Punto: es la distancia del punto al cuadro horizontal./ Alejamiento del Punto: es la distancia del punto al cuadro vertical .5.- TERCERA PROYECCION DEL PUNTO

V1Z

5 T2:i PjLir-*-

n -~~y

/ A -El tercer cuadro de proyección ( IT 3 ) es un plano deperfil.

-La tercera proyección Pÿ deP es la p roye ce ion ortogo¬nal de P en T

-La distancia de P a T esel alejamiento lateral de P.

j |* ' ' 1

/I I !/:

i <

°í?!I

3*-----\-Y /krb i

m/ f ig .8y'r-

y6 'IN¬ FORMAS DE ABATIR EL CUADRO T 3

\Z...... i rr~~ÿ~~>7/ 1 i A /: wm i w / t /

zfÿpf) Tz~Psf------p-—1

F? • P, , 7 Pz•L:M. rfí--r-r4--

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¿3T's ETFJ E-líj I ZTT27/ X" — <} I ---- A

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SECTORS8SegundoBisecfor pCi

B|=82 11I <?

Il

jBo jCoA 1 .Do©iw-»w-e=.-3

wo,

I. !!!

I4

A* *MD2Ac2

los diedros i y Ml.los diedros ii y !V.

bisectores, tfene cota y

proyecc i ones simetricamen

proyecciones co i nc i dentes.

Fa

r wiR/

mmm

mm

vT

S r2ÿ ¥ -k ¥2

(o proyec-es latraza

Proyeccion ri'ca 1) de rpiano proyectante

proyeccion £ que contiene a r.

29

en

1/

2 Hlli7

S'

Tlrr2

rtfSI r.f '1

13 1

individualizan.horizontal o primera traza de r)

Ifnea de referencia perpen¬

o segunda traza de r)«

Ifnea de referencia perpen¬r «j .

ecer sus trazas * Inversa-las proyecciones r-j r2.

M -3

SECTORESSegundo

secfor ,C,Aa* B|=02

_Ao! iBo ICo Do

<p"'.....'¡¿08!

!I!A

A) * D,= D2¿C2

los diedros I y ill.los diedros .11 y IV.

bisectores, tiene cota y

proyecciones simétrícame*

proyecciones co i nc i dentes.

TTz

¿m.

0;'ív $ £. r

F.k TI2m

(o proyec-es la traza

plano proyectante enproyección 8 que contiene a r.

Proyección r<,

vertical) de r , "

ill

rr2

1

Á0$[i!13 1

'Sr

individualizan.horizontal o primera traza de r)

línea de referencia perpen¬

r2.o segunda traza de r),

línea de referencia perpen¬r-j .

establecer1 sus trazas, inversa¬dibujar las proyecciones r-j r2.

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J. Chesfieyar M - 3

7*- PUNTOS QUE PERTENECEN A LOS PLANOS BI SECTORES

* M*Segundo8isec forI vfl Primer

Bisector — ,C,/ "A Aa* B| = 02/A T\

___; B

S3I 'iI v45°|45* _ Ao! iBo ICo DoISjañit»

<p"'.....'¡¿08!

! f ig. 1 1 ?l\

O/ S !! \ I

/i \ !: AD i / JS* A)ijlil * D, = D2C¿C2EáiÿpsiiaIV III

-Primer Bisector ( /3 ) : Es el plano bisector de los diedros I y ill.-Segundo Bisector ( f3 2 ) : " Es el plano bisector de los diedros .11 y IV.-Un punto que pertenece a uno de los planos bisectores, tiene cota yalejamiento iguales. Luego:

-Los puntos de (3 1 (y sólo ellos) tienen sus proyecciones simé trícame*te ubicadas respecto a la línea de tierra.

-Los puntos def3 2 ÍV sólo ellos) tienen sus proyecciones co i nc i de ntes.

8.- REPRESENTACION DE LA RECTA

H3SS3aSB|J £T

1 Jü TPi

TT2 TTz

Ms €>/¿m.í T,Íí'-T

«¿gh/

m •f ig. 12A 0

;'ív$ £. rF .k TI2

/ m

La Primera Proyección r-j (o proye£ción horizontal) deen ¥proyección que contiene

(o proyec-es la traza

en T 2 del plano proyectante en2d a. proyección 8 que contiene a r.

La 2da. Proyección r<,

ción vertical) de r , "

r , es la t razadel plano proyectante en 1ra.1

a r ,

I--1Í2 ill/ %

íÿ’Tr r% r2I r-1 1

/

Á0 \J 0$ /.

Jn 0 [ xui/ Sr !f ig. 13¿"Srs 1

'Sr

-Las dos proyecciones de la recta r la individualizan.-La''traza Sr de la recta r en T j (traza horizontal o primera traza de r)es el punto de r|que se encuentra sobre la línea de referencia perpen¬dicular a LT que pasa por el punto común a LT y r2.

-La traza Tr de la recta r en ¥'2 (traza vertical o segunda traza de r ) ,es el punto de r2 que se encuentra sobre la línea de referencia perpen¬dicular a LT que pasa por el punto común a LT y r-j .

-Dadas las proyecciones de r, es posible establecer1 sus trazas, inversa¬mente, dadas las trazas de r, es posible dibujar las proyecciones r-j r2 .

!1.1-4

VB&smi

12.

i

fi-4-fW/LT Sf

-Recta Frontalra 1 e 1 a a TT 2)

ZflT-12IT2

a////X

f

17~Rectas que Pertenecenlos Cuadros.

caso, la recta sindividualizada

s1 s2>agregar otro

tercera proyeccion,de dos puntos

nopor sus

Es nece-e 1 emeoto

de

11 ZJ¥ÿ Il

fTbsSb(?

*%b2UU&O

Sb

•<wwi>weta

20-Recta Perpendicular a(Trazas coincidentes)

II.,!-1»

i2,

II

f,//LT Sf

-Recta Frontal(paralela a IT 2)

A%ÿ¡

. ........2 , „

Zjr

7~Rectas que Pertenecenlos Cuadros..

la recta s noindividualizada por

s2<otro

tercera proyección,dos puntos de

susEs nece-elemento

IITbaSb ’

G

b1?b2Sb

III

fig.2G-Recta Perpendicular acoincidentes)

!GEOMETRIA DESCRIPTIVA Carlos J-. Chesñevar l.l -4

•ÿ'V:-0

9.- RECTAS EN POSICIONES PARTICULARES

atr2/hiíT* lí2

ThJ¡1 h2 h-r

t i

¿i fi rii-4

h2m_T fi//LT Sf

t¡•i,

f í g . 1 k- Recta Horizontal(paralela a Tj )

flg.15-Recta Frontal(paralela a ¥ 2ÿ

AM¡¥2 ir2m;

A bsb;/m

t1

bi bii a; a?/

m*1 /

ZA/ m, SaSA /

a,sami

f i g . 1 7“Rectas que Pertenecena los Cuadros..

fig.lé-Recta Paralela a LT.

/pT_L.LT

S2mm En este caso, la recta squeda Individual Izada por sus

Es nece-

•S no' ]

y proyecciones s1 s2<sarlo agregar otro(trazas, tercera proyección,proyección de dos puntos des, etc.)

/T-’’. : 've 1 ementoS, = S2't

ZJmf ig. 18-Recta de Perf I 1 .

I TB \F2 11•H I/ /MA2JbsSb 'TbTaP, 6Ta (I

ate3j

bisb2Til II/Sa Sb\

i

inIVSa

ÍVf í g . 19- Rec ta perpendicular a(i \ (Trazas ubicadas slmétrj_camente respecto a LT )

fig.2G-Recta Perpendicular a

2 (Trazas coincidentes)

M-5

P2a2.

>H2S?

-/ Pi

proyecciones homortimasa LT*

- l°*> » Scoj£[OVÿ]

=£> &a //

rastsapsts*

oc

7-:- a3£zwv i* b

•-#

J -fSScr

ab

£, a.k Tf'i

Sb £. bk TT2

proyecciones homonfmas.parelelismo de las ter

S{co

fig-22

BISECTOR.ES

B4<

p

///y

cÿ/®»Iwu823

n

ln?erseccidn de fcon (3ÿproyecciones simetricss resiguales). Una forma de23 (dlbujando una recta si

ones, hasta cortar a la a-

proyecciones co i nc i dentes,proyecciones de r).iCr/Bg),

1 o

se 1oca 1 F zsn per

I 1-5

b3

a2

P,

'1

proyecciones homónimasa LT.

¿b £ COVS»!=> 6a¡/K

ar&¡

'f'A

3’bi

£. aJL ITjc bJa, TT2

S.COFig.22

proyecciones homónimas.paralelismo de las ter_

~

SECTORES

&T5ÿV

/ÿ

/

1?

intersección deTcon (32proyecciones simétricas resiguales). Una forma de lo”23 (dibujando una recta si

proyecciones, hasta cortar a la o-

proyecciones co i nc i dentes,proyecciones de r).I(r/é2), se localizan por

GEOMETRIA DESCí'i ¡ PT I VA - Carlos J . Chesñevar N-5

10.- RECTAS QUE SE CORTAN

vTr2 \

bb

P2b

a2.a;

a i

b?R

f ig.21bWa, iP,\

¿Z 'h*

Dos rectas se cortan si las intersecciones de sus proyecciones homónimasestán sobre una línea de referencia perpendicular a IT.

11*” RECTAS PARALELAS

Oí»óa 6 tOco , 5coj¿b £ [OVS«0

Sa // ¿i,

4 ?- a4 k TU

"4 C. b

íb k ir,

4sC°»rs«3 yfÿYb?lP»(SjMJs

Sir "í

ir2TT2

©a-m aT / b;

*2,!

%/a a-/

b-/ n•Sa c a

Jk TT2Sb S. bSb Ja, ir2

>•ÿÿ /, 1 S,„

f I g •2 2/

7%'S*¿r

Dos rectas son paralelas si son paralelas sus proyecciones homónimas.(Sí las rectas son de perfil, debe verificarse el paralelismo de las terceras proyecciones).

12.- INTERSECCION DE UNA RECTA CON LOS PLANOS DISECTORES

MY2 /

IM,/

**.ÿWií

E2cr(M //

/[t /

<rry'K

>- Í*rpí)f i 3 -23 ns.t*

sD

ínierseccidn de T con (3) intersección de Tcon (V-El punto común a y r es el punto de r de proyecciones simétricas respecto de IT (punto I, con alejamiento y cota iguales). Una forma de lo¬calizar ese punto de r es la que indica la f i g . 23 (dibujando una recta sj_métrica respecto de LT con una de las proyecciones* hasta cortar a la o-tra proyección).

-El punto común a p 2 V r es punto de r de proyecciones co i nc i dentes ,(en consecuencia, es el punto común a las dos proyecciones de r).

-Si la recta es de perfil* los puntos I(r/ÿ) e I.ír/Sj), s© localizan pormedio de la 3ra. proyección.

. II -6 .•&.

TjS7

\tP

b2

'S'

Recta paralela a /3 2

punto propio.Lue-

una proyecc i 5n de 1 a

paralelas (fig.24b)es perpendicular a

cuando es perpendicular

i nd i v i dua 1 izah

4Tn «ira

06f i g • 27

' Fron ta 1

I alfzi’xie

ticsig.29

teaman

Proyecta.nte enProyeccion

b2

'Z

Recta paralela &(2 2

paralelas (f t g.24b)es perpendicular a

punto propio.Lúe-

una proyecc í ón de 1 a

cuando es perpendicular

individualizan

f ig.27

Frontal

ATi aTr2

tó¿íg.29

Proyectante enroyecc i ón

•w

7 r

. fchésñevar’GEOMETRIA DESCRIPTIVA Carlos :.VJ 1 -1.ÿ

13.- RECTAS PARALELAS A LOS PLANOS BI SECTORES

<p

b2/Vb)a)

x

ffX

Xi' b

Recta pa ra lela a f i g . 24x Recta paralela a [2"X“Una recta es paralela a un plano sí no lo corta en

go:-Una recta es paralela a $

un punto propio. Lúe-1 si la recta simétrica a una provece i ón de 1 a

recta es paralela a la otra proyección (fig,24-a).-Una recta es paralela a fl 2 si sus proyecciones son paralelas (fig.24b)-Si la recta es de perfil, sera paralela a /3 j cuando es pe r pend i cu 1 a r a

,a2as Coincí dentes) y será paralela a cuando es perpendiculara /3i (trazas simétricas). 1

14.- REPRESENTACION DEL 'PLANO

AT,3YZtU tUTraza Vertical

6 Segunda trazade Pe_

Traza Horizonte!ó Primera trazade oo

tSTsl tí:f ig.25

7

Plano en posición genérica

Las trazas de ¿p< 1 o i nd i v i dua 1 izan

15.- PLANOS EN POSICIONES PARTICULARES

¿Slfi ¿Tí 2oX/TT, ¿ífT57TT2W/T2tu ík

m:L%ÍII i,>--- ISIil

TWX tw

f ig.27vf ¡g.26

Plano Horizontal P 1 ano’ Fronta 1

JWo¿ÍTT¡ p2 ¿J TI alT2cxiJa-Tj P2t ai tu Toys-

i""p

t oí» Tu tuf ig.28f ig.29*7 7

Plano Proyectante en2da . Proyección

Plano proyectante en Ira. Proyección

¿

!I -7

si

lft*

-lipfpsw®Wf

/<KO

bÿCSSKCMYCT

fig.31”Plano de PerfM

En este caso, el piano<x, no q ueda individua-1 i zado por t y t"Es necesario agregar otro elemento (p.ej: latercera traza de «K}

o< *

pertenece asi las trazas

recta pertenecentrazas homonimas

piano.

£ x

/j “lh siTjir2\SSxf~ \tÿ

r~J

72a!ssr

oB&LlÿSicÿvriJKmsLSf%

ytc

fig.35~Recta Frontal de &(

_JUrttascwaron

j‘i»* EUKMWHWBTOp/: /IP?vK/

m2 iI\-u-

!rm sI tW VI

ySfni!

«Ett3fS2?7KKv5SrarcEi2!53R2£l!£r3AlZ

37-Recta decide Maxima1 inacion

M-7

(«4

líot,

fig.31-Plano de Perfil

En este caso, el planoex, no queda individua¬lizado por t ‘oí y t"0<*Es necesario agregar o_tro elemento (p.ej: latercera traza de «=<}

pertenece asi las trazas

recta pertenecentrazas homónimas

oc-E r

TTiJfe

\;v-,TT2 ü

Í2XT'V

t*r TS¡.|

4TT.Llv-. -SíN

..Y JfÍg.35~Recta Frontal de

/

ftCTmm,

— II rnr

IV*w.Sm

Jig.37~Recta decx.de Máxima

1 inaelon

U-7GEOMETRIA DESCRIPTIVA » Carlos J. ChesñevarKgygKÿwiiztGÿjmifrnKtÿacgtaqÿTSÿÿ

ÍKTJO

lfe Tfe12T«*

íii i"<2Ó,

'o¿\&-¿. oc- JLL T (cí>

— *ÿ--7''/ÿ m¿LHoC/ TST fa-í* /*-

-V u«y

fíg.30-Piano paralelo a LT f ig.31~Plano de Perf i I

H1al2¡s'ÍTj;

I E n este caso» el planoI <x, no queda individua-I I i zado por t y t .

necesario agregar o_f tro elemento (p.ej: la¡tercera traza ele «K )

=o£ LT&6

$06 5 t O* J °¿p {ó¿-

r!¿n,y?'P¿>

/

f i g . 32-P laño que contiene a LT

16.- RECTA DE UN PLANO

Una recta pertenece aun plano» si las trazasde la recta pertenecena las trazas homónimasdel plano.

TrJr

í i o<,$hfe:

y £, Tr

t'sc£ Sr }\Sr ac £ rirVi\

f ig.33

17.- RECTAS PARTICULARES DE UN PLANO

a. li¿IT21f2'1e HI'2Jet, í\m FU, v f! Ib|2 .

\' 1 \© ) . „ ..?h, ,.,V„

/ íiX

"»5

T/ OJLL.—hL %rTe* .

/fCfea, o*

y. _Jfig«35-Recta Frontal de @(F¡g.34-Recta horizontal de e<

ff2j5 lialsj /, teh

°* J/a-.-.r'ím-L I L; C-.t- s

tv 0i\Tmm-¿Lf'2 Oí

iÿr, ™

ftílISfe*S|" " r Jp""

I miy „vT ni*\|T->s ¿s

\ '• P©frV

Flg.37”Rec ta decx.dc Máximai nc 1 i nací 6n

fig.36-Recta decide MáximaPendiente

• .*

*4

i

ha_ P:

Vii

Pii

\ac

recta del piano.

p£hh £.C<j=$. P& £>4

i .1 •

/

un piano proyec-proyeccion, tie-

1

proyecciontraza del piano.

so-

de un piano proyec*

proyeccion, tie-proyeccion sobre

traza del piano.

\

\ m

?(3<

cs

paralelas.

-A

,: -8

4+

Pl

fi*i

recta del pl

P£.hh£o< P&.&

ano.

/

plano proyec¬proyección,proyeccióntraza del pl

t i e-so¬ano.

un plano proyec¬proyección, tie¬

proyección sobredel plano

paralelas.

GEOMETRIA DESCRIPTIVA Carios J . C hesfjeva r

18.- PUNTO DE UN FLANO

Jr IT2 Jr

Í kí é -ÿ{ .v®

ha_P:.2'i

I X2OCX

. I ,Wi I

m' ‘

•y

+3 i

ri ii

pi h>r $rfig .38

'!oc toeIIto*

Un punto pertenece a un plano, si pertenece a una recta del pl

P£.hhe.<< P&ci

ano .

/

<=tókHi ir2

¡ife» t'WsPj

i

Los puntos de un plano proyec¬tante en Ira. proyección, tie- '

nen la primera proyecciónbre la primera traza del pl

ii ¿L

so¬ano.ú 1%o f ¡g.39

%

<ÿ-LTl2

IV IV.tVV

/A i Los puntos de un plano proyec¬tante en 2da. proyección, tie¬nen su 2da. proyección sobrela 2da. traza del plano.

/ Tíyiii

¡V '

toe»Pl IéP,•y

f ig.]tO

y

19 •- PLANOS PARALELOS

T2m°Ctff tíc n»m' V

/ «•-“Sfeív*«'1

/ \v.¥Ve

4 oOf ig.ftlV)

aaiwvmtBuaBvxvaiwx

Las trazas homónimas de dos planos paralelos, son paralelas.

1 \ *j9

i*

*r

— ts&

TESsa

t's\\

\Sv

Pianos Paralelos

paralelos, sus terceras

!

r £ V J/teP/l OC

contenida en (o puede consdado.

'T|

{W

Intersecclon de dos pianosde las trazas homonimasparalelas la traza res-

I 1-9

'

*vi'Wj tg

T

\.-tv

Pianos Paralelos

paralelos, sus terceras

:

r £ TJfQ¿/3//0Í

contenida en (o puede con¿dado.

fTl

<uM»í{3}

intersección- de dos planosjntersecciones.de las trazas homónimas

paralelas, la traza res¬

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J. Chesñevar ! I - 9OnUiaKWHMMffgSCM*

¡rsann=ei7OTVC'ÿ'ÿcí.'ÿn

%'r t* ~frtsdm®Hgg*

tv

§/4®(P¡7~ - ~l

i lt's\\a— v_f ¿tí\m *'*m P figAl t/3—3/

Planos No Paralelos Planos Paralelos

Si dos planos paralelos a la Línea de Tierra son paralelos, sus tercerastrazas son paralelas.

20. - RECTA Y PLANO PARALELOS,.-i.

TTatí«

.Mm.amffitfíft :

m Trm

Hi

ü# ¡ .a*jr ÍCJ

f i g . A3 T//5 j *•“ rté*:'f3 P

'Sr

/Una recta es paralela a un plano, cuando está contenida en (o puede cons_truirse pasando por ella) un, plano paralelo al dado.

PROBLEMAS GRAFICOS

21»" INTERSECCION DE DOS PLANOST

/\ ’¡ fTl<0f HaI

r . * i

$¡3 faCUí3ÿ)'

ocm

ísm&pj»

7 IjhA/

f i g . A A/ÿ'

Las trazas horizontal y vertical de la recta intersección- de dos planosse encuentran en las respectivas Intersecciones, de las trazas homónimasde los planos. (En el caso de trazas homónimas paralelaspec l Iva de í será un p.unto impropio).

la traza res-

11-10ratryga

7f.tr-

contenido eri la recta Inter

Ti4?fr-6)

I

!

vlr<*)V*CSi

.i\tOs5

1ra. proyecc ion, queproyectantes permiten

pianos

• -*

aux i 1 fares genericos.

BISECTORES

h iTh"5

AÿaA; Il

i\

t’ochi hj

bisectores.establecido otro punto

simetricas).pianos cX Y /3j (recta \

hiTh1

12

se obtiene con auxi

H)t£?

pianos (X, y (recta dfe

• .

N -1 O

ysir

contenido en la recta Inter~

Ti

>(r«í)/!

Ir*)1

.{Oí

Ira. proyección, queproyectantes permiten

planos auxiliares genérIcos.

BISECTORES

t*

hThT5l

A|BA; I

I

toáHi

bísectores.establecido otro punto

.planos o( Y (recta

se obtiene con auxj_

planos p( y $2 (recta efe

\

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Cario-, J. Chesñevar S 1-10i-

22." INTERSECCION DE UNA RECTA CON UN PLANO

rT£.r

% ;

Vf I g . 45

El punto X (Intersección de r con ¡x.) estará contenido en la recta fnte£_sección de oí con cualquier plano que contenga a r.

,r./

TiTiJ2 £¿ *¿

>(r«s)

/ !T 1

i:

lI

& y(s\f ¡ g . 4 6rv& n

to4 ,t06.lóc

medio de un plano auxiliar (proyectante en Ira. proyección, quecontiene a r) se determina X ( X I2 Los planos proyectantes permitenconstrucciones gráficas más senci 1 las que los planos auxiliares genéricos.

23.- ÍNTERSECCÍON DE UN PLANO CON LOS PLANOS BISECTORES

Yot ik'tSí. y*#teThTh Ül ThLa

f A )AtaA>,, IAisAj 1

ÁÿwA- A1bA-! tjt

IÍLWwft)41(hft5

tesé. t’oLiQ hi híf i g . 4 7 ~ Intersección de xcon

-El punto A (A-¡ A2) pertenece a oí y a los dos planos bisectores.-Por medio de una recta cualquiera de c< , queda establecido otro punto

común a oi y /3| (Punto I, de proyecciones simétricas).-El par de puntos A X, define la recta común a los planos o( y /3] (recta

1 2ÿ :

\

i , de p royecc i ones i1

tí*íio 106

h¿ wt..Zj11">>. /¡Th

Th h¿— •oÁ,«A2

f ig.48 - Intersección de oi con j3„

-El punto I(hÿ2) de o( (de proyecciones co i nc i dentes ) se obtiene con auxj_lio de una recta cualquiera de U >

-El par de puntos AI define la recta común a los planos y 2 (recta deproyecciones co i nc i dentes ) .

AJWÁJVA2ü,tLí tl5-

l:*A .

n-11-az\?v>.-

r-Ta EL..'*2<?i*2 I

il

i

I

31

BSf\ ar X.1

iocXrecta que pasa por el puri-auxiliar que contenga a P.

tener con ella un'pun¬piano buscado es e 1 quese uso la recta au)d

UN PLANO DADOa\(3/

R> /T/

Th b?* i

ioCw P.

hpunto propio y una rectaque pasa por P y tienebuscado (3 seran entonuna recta que conten¬

determinar tin punto de pe¬medio de h).

obtener/S : las rectas partlcusoluciones mas expeditivas.

/

ffcTa

iTb,:ÿL<

JlfCfr 02!

*1

ui l

V*

Ci/Sc

i /

3 Sab*»

D1

\contenido en oC,de

ion.horizontal a .segunda proyeccion. a2

ento analogo secfe

rectas delEl lado AB,

Esta b 1 e

N -11

/

r

r?Ta EL»2<>P1 i ii

7i! !I

$''4*1rl X

Cxque pasa por el pu n-

auxiliar que contenga a P.tener con ella un pun¬plano buscado es e 1 quese usó la recta aux¿

UN PLANO DADO

í(3/ 7ÿ6/

3L_7Th J- b2/

1i

x5 <?£

7t’(3punto propio y una recta

por P y tienebuscado (3 serán ento£una recta que conten¬

determinar un punto de pa¬medio de h).; las rectas partícumas expeditivas.

que pasa

/

• /h///[Te

Ta ¡

¡32

@5 1

\W\3j

r;

Die1/Sc'

t;\

contenido en ot,de

cuestión. Elhorizontal aÿ.

_segunda proyección a2

procedimiento análogo se efe

rectas delLado A B ,Estable

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J. Chesíievar I i -•1 1WVÍC3H7Wsvsajtó.nv .«si»* ~u-i'.'-t.- A>ÿ?v.Tcÿ*;&ittccaaHwnMMe&9S!9CEas«acÿ-2aosgÿw3K,;ra>:.wr3ÿÿrcí

26.- PLANO DETERMINADO POR UN PUNTO Y UNA RECTA

Tr rr2«2 <?Ta?P2 ?T

I 2i í

!!

II Jl

! R, «rri Sr NkR $*P, St\rlrl.af i g . 49 j ¿X

Un plano contiene a un punto si contiene a una recta que pasa por e L p u n -v to. Es necesario entonces determinar una recta auxiliar que contenga a P.

También debe ser coplanar con r, para lo cual debe tener con ella un pun¬to común (un punto propio o el punto impropio) . El plano buscado es el quecontiene a. arabas rectas. En el ejemplo de la fig.49 se uso la recta auxjí_liar a , hor i zon tal.

27.~ PLANO QUE PASA POR UN PUNTO DADO/ PARALELO A UN PLANO DADO« J?

*íV S’í'oCru/Pz R> /TXThjf- bzh?P*t Ti| T

1

ii

i+ T?1

íUtu NjTPi cC

f í g - 50•h4i’|3

Se trata de representar el plano definido por un punto propio y una rectapor P y tiene

la misma "orientación" que oC (las trazas del plano buscado (3 serán ento£ces paralelas a las de c<, ) . Es necesario establecer una recta que conten¬ga a P y que sea a su vez generatriz de (i para determinar un punto de pa¬so de una de las trazas de (2> (en el ejemplo, Th por medio de h) .Cualquier recta por P paralela a o<. permite obtener ; las rectas particulares (horizontal, frontal, etc.) ofrecen soluciones más expeditivas.

impropia (la de o{) . Dicho de' otro modo, el plano que pasa

/

• H*yjs/>7>TC

X28.- PROYECCIONES DE UNA FIGURA PLANA&;

TaTa ií©*/ I

TbX?' 'Cv hz1:

iV 1MT\’2 I ii

A2 ' |a!i ! 1

«¡1/i

: BJ. Xii

XXiXSaV

A, <¡o|:AX§ #Ci1o

iraA B C D £. oc D» D,D,í'-í/STf i g . 51 tío*tí>6

ú

Dada la primera proyección del cuadrilátero ABCD, contenido en cA ,puede determinarse la segunda proyección por medio de rectas delplano que contengan puntos de la figura en cuestión. El lado AB,

pertenece a una recta a de cX de proyección horizontal aÿ. Estableÿcida ai (conteniendo a AÿB-¡) se determina la segunda proyección a2de a., á la cual pertenecen A2 y 82- Con procedimiento análogo se efe

terminan C2 y D 2

\

Vr

•V

* '

I IT 1 2

UNA FIGURA PLANA

flguraproyecciones de una recta

as las rectas decon segunda)se

en funcion

f i g.48).Consegunda p.foyeccionla mismb recta pue

permite dibujarpor medio deel punto deter-dibujar a2contiene a M 1 y

(o lados del po-2da.

ot.ÿ2) se

aux 1

rec

se

proyeccion

conoceminar a2, se es-

&U00rceniro

<2- $

1 D2i PL0i

C,riD,

1ta£

llamamcs par de ele-de puntos corres-la relacion quepuede expresarse:una corresponaen_

cortan en un puntofigura con el se-

correspondientes estan alinea-ares a LT“.

ponden en una relacionson dos conjuntos

homologica. A la recta

los pares de rec¬DE HQMOLQGIA.

alineados los pa¬llama CENTRO DE H0M0_

Al

ion del eje y el cert

punto. impropio,la

en.toaces que losi lies. Ahora

con-puede

son conjuntos afi-El eje de la afini-

piano cue contiene a

la afinidad es elLTnea de Tierra".

f IT 1 2

UNA FIGURA PLANA

figura en funciónproyecciones de una recta

todas las rectas decon segunda)se

i g.A8).Con auxisegunda p.foyecc i órT

misma recta puepermite dibujarpor medio de recel punto deter~dibujar a2contiene a H1 y

(o lados del po¬2da. proyección

i(oí./32) sedeterminar a2>

se

conocese es-

iUoorcenir!

iI

kD2|

& !IC,j:

1

D,

llamamos par de ele-de puntos corres-la relación quepuede expresarse:una corresponaen_

cortan en un puntefigura con el se¬

correspondientes están alinea¬a LT".

en una relacióndos conjuntos

homológica. A la rectalos pares de rec¬DE HOMOLOGIA. Alalineados los pa-

llama CENTRO DE HOMOÿ

del eje y el cenpunto impropio,la

entonces que los con¬afínes. Ahora puede

son conjuntos afi¬eje de la afini¬cue contiene a

la afinidad es elde Tierra".

i

"TT'“

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos * . Chesñevar -.5/ I 1-12

-9*~ AFINIDAD HOMOLOGICA ENTRE LAS DOS PROYECCIONES DE UNA FIGURA PLANA

También puede obtenerse una de las proyecciones de la figura en funciónde la otra, aplicando 1 a .p rop i edad' de 1 par de proyecciones de una rectade cortarse en un punto dé /S» (T if . 1 2 ; f i g .23) •Para todas las rectas deun mismo plano ©< , las respectivas proyecciones (primera con segunda) secortarán en un punto de la recta común a oí. y (T i t . 23 ; f i g . A8) . Con aux_i_lio de una recta cualquiera del plano, se obtiene la segunda p.foyecc i ónde uno de los puntos de la figura dada (frg.52) y con la mismá recta puede obtenerse el punto I (.1 I2) de la recta i (<*. ) que permite dibujarla. 'Los restantes puntos en 2da. proyección se obtienen por medio de rectas que los contienen; así la recta a2 contiene a 82 en el punto deter~minado por la perpendicular a LT llevada desde Bÿ. Para dibujar a2tuvo en cuenta que ella pasa por M2 y A2 (puesto que a 1 contiene a M1 yAj). En forma análoga se obtienen los restantes puntos (o lados del po~'lígono). Debe advertirse que sólo es posible dibujar la 2da . proyecciónde una recta, cuando además del punto respectivo de, I (ot /32 ) seotro"punto de paso’1 de la recta buscada (ej: para determinar a2,tableció previamente A2).

s e

conocese e s -

/ &U00’centro¡L

/ t'i 't at

*7/

'ilSiÿ T"/A= ¡h2 ./ lSb?

!HTJA

k!X!£1 1 'i AiA,

Ai / iA¿j-y? t

[

AD, AA rM1 =Mj

/tW / J -A; tU

fig. 52

Si al par de proyecciones de un ente geométrico lo llamamos par de ele-mentos correspondientes (ej: Aj A2 constituyen un par de puntos corres-

* pond i entes ; at a2 un Par rectas correspondientes), la relación queexiste entre las dos proyecciones de una figura plana puede expresarse:"Entre las dos proyecciones de una figura plana existe una corresponaencía tal que: a) Pares de rectas correspondientes se cortan en un puntode la recta intersección del plano que contiene a la figura con elgundo plano bisector; b) Pares de puntos correspondientes están alinea¬dos con el punto impropio de las rectas perpendiculares a LT".Cuando dos conjuntos de un mismo plano se corresponden en una relacióngeométrica como la que se ha señalado, se dice que son dos conjuntosHOMOLOGOS, o que los vincule una correspondencia homo lógica. A la rectadel plano (propia o impropia) sobre la cual se cortan los pares de rec¬tas correspondientes (u homologas) se la denomina EJE DE HOMOLOGIA. Alpunto del plano (propio o impropio) con el cual están alineados los pa¬res de puntos correspondientes (u homólogos) se lo llama CENTRO DE HOMOÿLOGIA.

se-

i

Las homologías se clasifican de acuerno a la situación del eje y el centro. Cuando el eje es una recta propia y el centro un punto impropio, larelación es llamada- A F'INIDAD HOMOLOGICA; se d íce entonces que losjuntos que en ella se corresponden son hoirólogos o afines. Ahoraexpresarse:

con-puede

"Las dos proyecciones de una figura plana son conjuntos afi¬nes (o se corresponden en una afinidad homológica). El eje de la afini¬dad es la proyección de la recta intersección del plano cue contiene ala figura con el segundo plano bisector; el centro de la afinidad es elpunto impropio de las rectas perpendiculares a la Línea de Tierra".

M • 1 3iwctzw* nzrinIW.fi: .-..•.If' "

1 ar i dad r verdadera to£

Abatimiento de un Plano no Proyectante.

modificadas en las proyecc i o~

gener ica , queda repreÿproyecPero

sus trazas-

a n (1ra. y 2da.figura objet iva.

giro una detraza en cuestion,

forma, ta expresionobvio que no

representan i nd i rectamenteestablecer cua 1 es la

en t re los puntoslos mismos, para obteÿ

estos en funcion de a'"

seua

d i s ponemos

de I

fcfplinDv 25 7C,

m C2At Bi\ (m

\ wi\

de un pianola]luego las caracter ist teaslos respect ivos metodos.

ma rgen

ra al rededor de. una rec-~pertenece (debe concebi rse a e

de giro o nbisagraM)cÿdescribe una

i ta es ta con t en i da en uncons iderado

i rayector ia

por* el puntoperpendicular a la recta eje.

ita es un.arco decent ro en el puntode giro con

c i r~I nter

el piano ci-

sterna de Monge (fig.55) yrededor de su traza horizon

de circunferenc\apor P y es 'perpendicular

con

i cu 1 a r a ir modode(fig *3)- Todo punto y to-

!a Ira. traza de £ (fig.33)(toda recta de <£ lo sera)

% 9

<p)t«L0<

debe 1 eerse:

Punto P de o( a batjt_do a 1 rededor de latraza horizontal deoc r

M - 1 3

perpendicularidad, verdadera tor_

Abatimiento de un Plano no Proyectante.

modificadas en las proyeccio¬

genérica, queda repreindividualizan (1ra. y 2da. proyec

figura objetiva. Perogiro una de sus trazas-

traza en cuestión, seforma. La expresión "a_

obvio que norepresentan

establecer cuál es laentre ios puntoslos mismos, para obt£

éstos en función de a~

d i 3 ponemo5indi rectamen.te

del

1$ ÍA)

i C2

de un plano, alluego las característicaslos respectivos métodos.

margen

cXgira alrededor de una rec¬pertenece (debe concebirse a e

de giro o "b i sag ra 11)cdescribe una

descrita está contenida en unpor el punto considerado

perpendicular a la recta r*je.descrita es un arco de cir¬

centro en el punto Intejÿde giro con el plano ci¬

trayectorfa

sistema de Monge (fig-55) yalrededor de su traza horizon

de circunferenciapor P y es perpendicular

pend 5 cu 1 a r a ir, , de(fig.3)- Todo punto y to¬

la 1ra. traza de £ (fig.39)(toda recta de <5 lo será)

con

modo

(P) debe leerse:

Punto P de oí a batdo alrededor de latraza horizontal de(X

ti

GEOMETRIA DESCRIPTIVA ~ Carlos J. Chesñevar M - 1 3«.tfW--:. IVi-X< i:

PROBLEMAS METRICOSEn ellos intervienen los conceptos de perpendicularidad, verdadera tor_

ma , medida (lineal y angular) etc,

30.- VERDADERA FORMA DE UNA FIGURA PLANA.- Abatimiento de un Plano no Proyectante.

Las formas y magnitudes están en general, modificadas en las proyeccio¬nes..Una figura plana contenida en un plano en posición genérica, queda representada por dos figuras planas que la individualizan (1ra. y 2da . proyeccíón); ninguna de ellas es igual ni semejante a la figura objetiva. Perosuponiendo que el plano gira -usando como eje de giro una de sus trazas-ha sta superponerse con el cuadro que contiene a la traza en cuestión, setendrá sobre el mismo a la figura en su verdadera forma. La expresión "a_batir el plano" se usa en sentido figurado; es obvio que nodel plano objetivo, sino de elementos que lo representanen el sistema bidimensional 1ÿ=7%. interesa entonces establecer cuál es lacorrespondencia geométrica que se establece en entre ios puntosplano supuestamente abatido y las proyecciones de los mismos, para obt£ner aquéllos en función de éstos, o inversamente, éstos en función de a~q ué 1 los .

d i 3 po nemo 5

indi rectamen.t e

del

1BH\ty 1TT2Tz

1$ ÍA)

Hf ig.53 iB /C2F

Mbw*-( BÍV fcr

Clmt'\c /.i= ÍC,

Es conveniente observar el proceso de abatimiento de un plano, alde todo método de representación, para adecuar luego las característicasdel modelo estudiado a la técnica operatoria de los respectivos métodos.

/%•

margen

Si un plano cXgira alrededor de una rec¬ta, que le pertenece (debe concebirse a esa recta como eje de giro o " b i s a g r a 11 ) cda punto de o< describe una

?ta 1 que:

a ) La curva descrita está contenida en unplano que pasa por el punto consideradoy es perpendicular a la recta r* j e .b) La curva descrita es un arco de cir¬cunferencia con centro en el punto Intejÿsección del eje de giro con el plano ci¬tado en a).

lj&SE

lili!!“& t rayectorfa' 4'

TK-\/\

V 'oA/

I

(P)

'¿r

f Ig.S*

Suponiendo que el plano o( está situado en el sistema de Monge (fig-55) yque el mismo es abatido sobre ir, , girando alrededor de su traza horizontal, resulta: El punto P de ot describirá un arco de circunferenciacentro en "t ¿ , contenido en un plano £ que pasa por P y es perpendiculara t¿, . Puesto que tj_ pertenece a TT,, , £ es pe r pend 5 cu 1 a r a ir, , deque es un plano proyectante en 1ra. proyección (fig.3)- Todo punto y to¬da recta de £ tendrá su primera proyección sobre la 1ra. traza de £ (fig.39)la cual es perpendicular a la Ira. traza de c< (toda recta de <5 lo será)

con

modo

-ÿ-¡¡sfP ,

JjffPfr»

F» /

&TD

/ (P) debe leerse:

Punto P de oí a ba tdo alrededor de latraza horizontal de(X

tiJipilillrÿypu

:e

f?/wys f i g ..55

V do<,\4y

* \

I 1-14

rededor de su traza ho¬quedara s i tuado (ya a_por la Ira. pr.oyec*

pendiente del pla-

entonces expresarse:

proyeccion de la recta de

el (P)toj_ >

_i a que describe P,

del t r i.angu 1 otraves(dada

represents -

es nece

hipotenusacatetos a

la-cota del puntopor la

hipotenusa P-R.

\

i

MmR\

sistematizar el proce¬de magnitud P2 - PQ

indica el radio del ar-ese radio y centro R,

la posicion de (P)tÿ .

realizada reproduce la dis-construccion

auxiliar £ sobre TIj , a l redela forma que senala

esa

un polfgono pertene-

posible conocer su ver

A2

c2B2

A,c,

Bi

(B)f-lot(A)U

I 1-14

rededor de su traza ho¬quedará s i tuado (ya a_por la Ira. proyec¬

pendiente del pla¬entonces expresarse:

proyección de la recta de

el (P) » es n.ececircunferencia que describe P,

hipotenusacatetos a

cota del puntopor la

hipotenusa P-R.

del triángulotravés(dada

representa - )

\

VL/S*

t'-o

sistematizar el proce¬de magnitud P2 - PQ

indica el radio del ar¬ese radío y centro R,la posición de (P)tÿ .

realizada reproduce la dis¬

¿.sobre TT¡ , a 1 redela forma que señala

polígono pertene¬posible conocer su ver_

construcciónesa

A2

C2B2

, A,

Ci

Bt| A

IA'IU

1 •’ GEQMETR I A 11-14Carle. J . Ches nevarDESCR I PT I VA

Puede entonces asegurarse que si. un plano g i ra a 1 rededor de su traza ho¬rizontal hasta superponerse con 71}, un punto P de oC queda rá s i tuado (ya a_batido) sobre la recta perpendicular a t¿ que pasa por la Ira. proyec¬ción del punto P.La recta intersección de c< y <S es una recta de máxima pendiente del pla¬no c< (t i t . 1 7 ; fig.36); la conclusión anterior puede entonces expresarse:El punto abatido (P)t¿ estará sobre la 1ra. proyección de la rectamáxima pendiente de c< que pasa por P.

Para- establecer cuál de los puntos de s 1 coincide con el (P)td '» es necesari-ó í legar a conocer el radio RP de la circunferencia que describe P,puesto que (P)-R = P-R. La magnitud P-R es la hipotenusa del triángulorectángu lo PRP j , recto en P » del cual se conocen los catetos a travésdel sistema de proyecciones. En efecto, P - P 1 es la cota del punto (dadapor P¿-P0) y Pÿ-R es la distancia de Pj a t¿ , dada por lación. En función de ellos, puede conocerse la hipotenusa P-R.

de

\

representa

a) b) c)

alp

s' R ÍP)¿í/ R (PUL.

S|/ /

Coit’-c

f i g . 56

La reconstrucción del triángulo, a los efectos de sistematizar el proce¬so gráfico, se realizará llevando por Pj un segmento de magnitud ?2~perpendicular a si; la unión de su extremo con R indica el radio del ar¬co de circunferencia descrito por P en su giro. Con ese radio y centro R,se dibuja un arco hasta cortar sÿ, quedando definida la posición de (P)tÿ .Puede observarse que la construcción gráfica realizada reproduce la dis¬posición geométrica contenida en £ ( f i g . 55 ) y que esa construcciónaux i 1 i a r equivale a un abatimiento del plano auxiliar £. sobre Tí} , a 1 rededor de t¿ . Por ello cabe indicar a los elementos en la forma que señala1 a f i g .56-c .Aplicando el mismo proceso a todos los vértices de un polígono pertene¬ciente a un plano -conocidas sus proyecciones- es posible conocer su ver_dade ra forma .

í; r< í*

A 2 tAZ A21ilI

I tC2 C2- C2<B2 l B2

tI II

>\A, • .AiSCA, i/V C, Clí CiI /

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ik/f ¡g.57 (A)ÿ Xty

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{A,t‘«h'

11-15

proyecciones de una figura planaproyecciones y las trazas

de los cuadros que co_dado el pianode figuras que corres”

de 1

aba t i do

(abatida segun ),se tr<ses analogo al estudiadose trata de efectuar

reconstruya la disposicion geo¬proyectante (el piano <£. de

/////

/ /

///

/B)tE/Vt'oc

describe esahora conocido

punto abatida segun tconsecuentemente de, A]abatimiento auxiliar de

abatiendo T

que si es posible obte-

ii’J

cua 1 -como lains>

t'UTsI

.59 \f \

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\\ i\

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(v.rtsLtod eO

son de inmediata deternn

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i JimIkB2

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J" >re,/

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/

/

II -15

proyecciones de una figura planaproyecciones y las trazas

de ios cuadros que co_dado el plano abatidode figuras que corres¬

(abatida según tk ),se tra_es análogo al estudiadose trata de

reconstruya la disposición geo¬proyectante (el plano EL de

d e 1

efectúa r

/////

/ /

///

describe es ahoraque si es posiblepunto abatida según t ,

consecuentemente de, A]abatimiento auxiliar de cual¬

abatiendo Ts, como la in

conocidoobte-

tki \i«g.59 \

.i \i \

1ItA

\ /\

/

(TSÿ.Tk

son de inmediata determj_

A*1

Ii

I Iiii I

T-iI

iiÁ,i

j.* I /

4/

/®>c/

/

II -15GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J. Chesñevar

ABATIMIENTO INVERSO,

La correspondencia que existe entre las proyecciones de una figura planay el abatimiento es bíunívoca. Dadas las proyecciones y las trazasplano, existe una y sólo una figura sobre cada uno. de ios cuadros que co_rresponde al abatimiento del plano. Inversamente, dado el plano abatido(y una figura contenida en él) existe sólo. un par de figuras que corres¬ponden rigurosamente a las proyecciones.

,Dada la figura ABC de <X en su verdadera forma (abatida según tk ),se tra_*?ta de obtener sus proyecc i onesj. El procedimiento es análogo al estudiadoanteriormente para el abatimiento directo, ya que se trata denuevamente una construcción auxiliar que reconstruya la disposición geo¬métrica que cada punto establece en el plano proyectante (el plano EL dela fig.55) al girar en sentido inverso.

d e 1

efectúa r

oL

///Wí //¡

to** ü;(CE / /

1

V ///

fíg.58/

( A)ÿ®_<A>tk

.¡Eiradiode la circunferencia que cada punto. describe es ahora(distancia del punto abatido a la tÿ ), de modo que si es posible

, ner la recta de máxima pendiente que contiene al punto abatida según t ,es inmediata la determinación de (A)t¿ y consecuentemente de, A]Para' obtener- (s) puede u tí.Tizarse el abatimiento auxiliar de cual¬quier punto de s. La construcción se simplifica abatiendo Ts, como la indica la siguiente figura.

conocidoobte-

tk%V/\

// 1

i \iM f «g.59 \

\m m .i \n '/\ it / / \///S 1 I/ / 1In . } r—n 1

f * / jj"

I/

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t? A/ /\ /x;\i

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(TSÿ.Tke

Las proyecciones de A y de los restantes puntos son de inmediata determj_‘nación.

Ts, O—N

A*\tk/ \ 1/ Ii

I I\ i\ i izA i I

./I I T-iI/2x~ i ii

Á,iXa' /' /Av \

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///(B)tc toe. f i g . 6 0 <A)4« /(A3v /z

/

•j-r—.*ÿ« *•

1 1-16

grafico es analogo en

piano o((en sent i ~

sobre Hÿ.Para ex

iones equivalentes a

abatimiento so¬

permutar en estas

vertical en lugarproyeccion2da.

alejamiento en lugar

DE SUS PROYECCIQ-

toda recta de o< g i ~

t*. su traza horizonÿmismo punto de

primera proyecc i on T*(a 1

elementos que se co

(ej: (R)Rj const i tu

de rectas correspon¬

abatimiento sobre TTÿcorrespondientes se

del piano que conte

estan al ineados con el

abatimiento de la

corresponden en una af i nj_

horizontal del piano

es e] punto impropio

m 1 sma

piano se efectua

terminos: Traza vertical

lugar de primera, etc.

so-en

la figura abatida,

errores de procedi"

roced im i ento usado en la

mencionada corresponden

11-16

gráfico es análogo enplano o((en senti¬sobre UÿPara exequivalentes a

abatimiento so¬permutar en éstasvertical en lugar2da. proyección

alejamiento en lugar

DE SUS PROYECCIO¬

toda recta de oí gi¬su traza horizonÿ

mismo punto de f o<.

primera proyección (a l

elementos que se co(ej:- (R)Ri const i t£

rectas correspon¬

abatimiento sobre TTtcorrespondientes se

plano que cont iealineados con el

abatimiento de lacorresponden en una af i nj_

horizontal delpunto

plano se efectúa so-,

Traza vertical ende primera, etc.

figura abatida,errores de procedi¬

procedimiento usado en lamencionada corresponden

mi sma

planoimpropio

.>.f '

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlo* J. Chesfvevar 11-16

m

NÿA)»ÿ-v:\

\/•tcJiJ \

El procedimiento gráfico es análogo encaso de abatirse el plano o< (en senti¬do directo o inverso) sobre TlÿPara expresar las conclusiones equivalentes alas obtenidas para el abatimiento so¬bre TT i , basta con permutar en éstaslos términos: traza vertical en lugarde traza horizontal, 2da. proyecciónen lugar de 1ra., alejamiento en lugarde cota , etc .

m.\\

\\i \

PaA{!! I .

I A,IC,

If i g . 6 1

32. - AFINIDAD HOMOLOGICA ENTRE LA FIGURA ABATIDA Y UNA DE SUS PROYECCIO¬NES,

T2 tí, Ui!

1x- yR

rCmr-iptfl /

i

is,u.V

(f i g . 62)

Si el plano o< gira alrededor de su traza horizontal, toda recta de oí gi¬ra alrededor del mismo ej e ,. manten i endo en común con t<¿ su traza horizonÿtal. Es decir, toda recta r de oí. abatida, concurre al mismo punto de fotque 1 a cor respond i ente recta objetiva r y que la primera proyección f*(alpunto S r ) . •

Llamando par de elementos correspondientes al par de elementos que se corresponden en la primera proyección y el abatimiento (e j : (R) R i

'

cons t i tu_yen un par de puntos correspondientes; (r)r; un par de rectas correspon¬dí en tes) puede enunciarse:Entre la primera proyección de una figura plana y su abatimiento sobre TTtexiste una correspondencia tal que: Pares de rectas correspondientes secortan en un punto de Va recta t ¿4 (traza horizontal del plano que contie

la -f i gu na¡) .pa res de puntos correspondientes están alineados con elpunto impropio de las rectas perpendiculares a t¿.

Y de acuerdo a lo definido en el Título 29:La primera proyección de una figura plana y el abatimiento de lafigura sobre TT; son dos conjuntos afines (o se corresponden en una afinj_dad homológica). El eje de la afinidad es la traza horizontal delque contiene a la figura; el centro de la afinidad es el puntode las rectas perpendiculares a t¿.

La conclusión es análoga cuando el abatimiento del plano se efectúa so-,bre 7T2 . Para expresarla, basta permutar los términos: Traza vertical enlugar de traza horizontal, segunda proyección en lugar de primera, etc.

Es útil aplicar el concepto de afinidad para obtener la figura abatida,lo cual facilita la construcción y permite detectar errores de procedi¬miento. Obtenido un primer punto abatido con el procedimiento usado en laf i g . 56 , se determinan los restantes aplicando la mencionada correspondencía homológica (fig.63) .

ne a

misma

planoimpropio

I 1-1733SSBXKTJrwrcr.

\A,

Cl

,lA)teB,

/A)ÿ

HORIZONTAL (0 FRONTAL)--

piano alrededor de una recformas o magnitudes.

cuadros, s i n.o que g i ra has-giro es una de sus rec-de sus . rectas fronta-

El

P2i

In\

R1

ILVYV /

1P),\-\h1s>

cuadro paralelo al ejenecesar io en consecuencia, es_

de la figura abatida V"'obtener, en funcion

de

de

surge que el radio delhipotenusa del triangulo rectan

de las cotas (la del pudistancia de la primera pro

La fig. 6ÿ indica el moabatido alrededor de la

figura y la verdaderacuyo eje es la primeraes el punto impropio de

frontal de c< , las propiedaterminos: segunda pro¬

lugar de cola, etc.

0

11-17

AiCy

Pur\B»

yíAh'cc,4,

HORIZONTAL (o FRONTAL)

plano alrededor de una rec_formas o magnitudes. El

cuadros, sino que gira has¬giro es una de sus rec¬de sus rectas fronta¬

tP2Í12.

i

PX\ /

i?)Sy 1

cuadro paralelo al eje denecesario en consecuencia, es_

de la figura abatida y"obtener, en función d e

30, surge que el radío delhipotenusa del triángulo rectán_

de Jas cotas (la del pundistancia déla primera pr£

La fig. 64 indica el moabatido alrededor de la

figura y la verdaderacuyo eje es la primeraes el punto impropio de

frontal de c< , las propiedaÿtérminos: segunda pro¬

lugar de cota, etc.

O


t'c* \'U

A2 9 A2I

i hAC2 ¡

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:ÍA & Ai1 l Cy

vA/ICf /l/

Pur\'<?/«j\ B»/Bi /t o¿ /

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yíAh'cc,A/

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4,f í g . 63

33.- GIRO DEL PLANO ALREDEDOR DE UNA RECTA HORIZONTAL (o FRONTAL)

Hay casos en que resulta conveniente girar el plano alrededor de una rec_ta horizontal o frontal para obtener verdaderas formas o magnitudes. Elplano no llega a superponerse con uno de los cuadros, sino que gira has¬ta situarse paralelo al horizontal (si el eje de giro es una de sus rec¬tas horizontales) o al vertical (si el eje es una de sus rectas fronta¬les).

TT2 TÍ2/ tP2t

/Í12.P|

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X ' ;~~ ~ A- :v v / !mgp

K:k ,i

IX

PX\ /

i?)V «ÿ//TT Sy 1

f i g . 6 4

La proyección de la figura (abatida) sobre el cuadro paralelo al eje degiro, es idéntica a la figura objetiva. Es necesario en consecuencia, es_tablecer qué relación existe entre la proyección de la figura abatida y"las proyecciones de la figura (ira. y 2da.) para obtener, en funciónéstas, la verdadera forma de la figura.De un análisis similar al efectuado en el Tit.

d e

30, surge que el radío delarco descripto por un punto de c< , e s la hipotenusa del triángulo rectán_guio cuyos catetos están dados por la diferencia de Jas cotas (la del puntp considerado y la del eje de giro) y por la distancia déla primera pr£yección del punto a la primera proyección del eje. La fig. 64 indica el modo de obtener la proyección en TTÿ del punto P de oí abatido alrededor de larecta h.También en este caso la primera proyección de la figura y la verdaderaforma se corresponden en una afinidad homológica, cuyo eje es la primeraproyección de la recta h (eje de giro); el centro es el punto impropio delas rectas perpendiculares a h j . ( F¡g. G5 ) ,

Si el giró se efectúa alrededor de una recta frontal de c< , las propiedaÿdes son las mismas, y se expresan permutando los términos: segunda pro¬yección en lugar de la primera, alejamiento en lugar de cota, etc.

O

II -18

i'U

C2B2

x C)h /Jri/

v vl (B)!* '

\

// A/ i>/ &/tic V*iA?

//

entre dos pianos se

que una de ellas espiano perpendicular a la

comprobarse que uno de e~

recta y un piano,

de Monge. Entermino la cond i c i on

fun-se-de pertenencia

pianos)

h

(

t*C0

proyectante en Tra.a o< - Puesto que el

(si un pianola recta interseca (toda recta de

r a t*,proyectante en 2da* pro-

por lo cual es r2 PeJL

proyecc iones de lapiano,

per pend i cu 1 a r i dad de ladel piano.

es

recta

II -18

t'4,

h

C2<S2

&/Si (Blh/

cí<J n/

AíA:h>/ tht£

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“o

entre dos planos serecta y un plano.

que una de ellas esperpendicular a la

comprobarse que uno de e~

término lade Monge. En

de pertenencia, se¬

condiciónfun-

planos)

£

tUr1

proyectante en ira.oí* Puesto que el

t,L (toda recta dea t¿.

proyectante en 2da. pro¬lo cual es r~2 PeH

proyecciones de la

del plano.

(si un plano esla recta intersec -

recta

perpendicularidad de la

II -1 8GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlo- J. Chesñeyar

t¡L iV4

A2 hA2

ibTh ,._h?i

C2; C2B2B2 i I

X >?/•<ÍA, I Vi

(B\ •/C,l .b

// [A]

-Í)1 / Uiú

A yBI te /f ig.65 434.- PERPENDICULARIDAD.La condición de perpendicularidad entre dos rectas y entre dos planos seempresa, en función de la perpendicularidad entre una recta y un plano.En efecto:a) Una recta es perpendicular a otra, si se comprueba que una de ellas es

(o puede pasarse por ella)tá conten i da en un plano perpendicular a laotra.

b) Un plano es perpendicular a otro, si puede comprobarse que uno de e~líos contiene a una recta perpendicular al otro

En consecuencia, debe quedar establecida en primer término lade perpendicularidad entre recta y plano en el método de Monge. Ención detal condición, compl emen tada con condiciones de' pertenencia,rán expresadas las restantes, (entre rectas y entre planos)

cond i c i 5nf un-se-

T2 ir2r L cu

If £ r mv\ fuS £ r

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\ x i 1M»ib:ijj.

7*X,

jUW r»

f ig, 66

Si la recta r es perpendicular al plano caí, el plano proyectante en ira.proyección que determina r-| es también perpendicular a p< . Puesto que elproyectante es también perpendicular a TTj , lo es a t¿, (si un planoperpendicular a otros dos planos, es perpendicular a la recta intersección de ambos). En consecuencia, es perpendicular a t¿, (toda recta deY es perpend i cu 1 a r a tÿ ), o sea, rj es perpendicular a t¿.Con similar análisis, se comprueba que el plano proyectante en 2da. pro¬yección S que determina es perpendicular a t , por lo cual es r£ per_pendicular a t¿¡ . Luego:

"S? una recta es pe rpend i cu 1 a r 'a un plano, las proyecciones de las.pn perpendiculares a las trazas homónimas del plano.

SÍ el plano es paralelo a LT, debe verificarse la per pend i cu 1 a r i dad de latercera proyección de la recta con la tercera traza del plano.

es

recta

11-19

rectas dadas por sus proyecÿpertenencia de una de ellas

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Ib

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Sb

i-aEi b € oc.

pianos dados por sus trazas,ellos contiene a una recta

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A 901a

AT

c)

triangulo rectangulo AMB;(distancia entre las p.rimeras

pue.de entonces reconsÿ

triangulo rectangulo ANB,que pu£las segundas proyeccioÿ

abatiendo el piano proyectan-pro¬ABB'jAj, o el piano

puntos AA2B2B.

11-19

rectas dadas por sus proye£pertenencia de una de ellas

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1b, I

I

Sb

«c -fci. ab £ ocVa!Pee

planos dados por sus trazas,ellos contiene a una recta

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c)

triángulo rectángulo(distancia entre las primeras

puede entonces recons

triángulo rectángulo ANB,que pu£las segundas proyecc¡£

abatiendo el plano proyectan¬ABB-¡Ai, o el plano pro¬puntos A A2B2B.

AMB;


Para asegurar la perpendicularidad entre dos rectas dadas por sus proye£ciones, es necesario y suficiente asegurar la pertenencia de una de ellasa un plano per pend i cu 1 a r a la otra.

Jb a2a2

tic £«cIII

I

bj Il

iU Sb*

Va i JSL ab £ oc.Va!Va1 íos:

fig.67

Para asegurar la perpendicularidad entre dos planos dados por sus trazas,

es necesario y suficiente asegurar que uno de ellos contiene a una rectaperpendicular al otro.

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I In2 ¡

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i

i

n .k oc

\ P £ n |=S>Qiis.{3I"i .1I

niA\Sn

ff» ,to¿ÍP tlf i g . 68 P

35.- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.

«HAÍABA2A2?/Ta/?<2 4*?B2lN /

i B2Ia) N|/

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I ij_

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Bi b) c)/

'A?3T

f i g . 69

La distancia entre A y B es la hipotenusa del triángulo rectángulo AMB;

los catetos AM (diferencia de cotas) y MB (distancia entre las primerasproyecciones) se conocen en el sistema (fig.69~b), puede entonces recons_truirse el triángulo, obteniéndose la magnitud'AB.El segmento AB es también hipotenusa del triángulo rectángulo AN B, que pue_de reconstruirse en función' de la distancia entre las segundas proyeccio_nes y la diferencia de alejamieiütos (fig.69~c).También es posible conocer la distancia AB abatiendo el plano proyectan¬

te en ira. proyección que contiene a los puntos ABBjAi, o el plano pro¬yectante en 2da . proyección que contiene a los puntos AA2B2B.

I I -20

perpendicular alel segrnento de

Intersecclon de la recta con

p 1 a n o/e5a

recta que contenga ahomonimas del piano, de-

de esa recta con ela c< ,

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II

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i

1

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y r esta dada por elpunto de r , El mismo que

perpendicular a r, cony<£. La distancia IP es

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1 iHI *-ÿ*<

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teproyecciones homonimas de r.

primer termino una recconocida la direc¬

recta horizontal de &tg). El punto T es un

dibujarse las trazas de &.r y £; la distancia

-N

por el segrnento queapoya sus extremoscumple esa condieion

perpendicular a to-(recta que 11amare-de la perpendicu-

representarse un piano defjÿlei a a la direccionperpend i cu 1 a r a £)ÿ.

I I -20

perpendicular alel segmento de

intersección de la recta con

recta que contenga ahomónimas del plano, de¬

de esa recta con ela c( ,

p 1 a no,esa

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y r esta dada por elpunto de r. El mismo que

perpendicular a r, con. La distancia IP es

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proyecciones homónimas de r.primer término una recconocida la direc¬

recta horizontal de <£•t¿). El punto T es un

dibujarse las trazas de £ÿ .r y £; la distancia

-\

por el segmento queapoya sus extremoscumple esa condición

perpendicular a to¬(recta que llamare¬de la perpendicu¬

representarse un plano def_Lparalela a la dirección

perpendicular a £).

Cñ rio C hesneva r I I -20GEOMETRIA DESCRIPTIVA

36.- DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO,

Cu»? i de rsndo la recta que pasa por el. • punto y es perpendicular alia distancia entre el punto y el plano esta dada por el segmento derecta definido por el punto dado y el punto intersección de la recta conel plano.En consecuencia, dados P y o(,debe representarse una recta que contenga aP» de proyecciones perpendiculares a las trazas homónimas del plano, de¬terminándose posteriormente el punto I, intersección de esa recta con elplano. La distancia PI (Tit.35) es la distancia de P a oc ,

plano,esa

(ir.n fi* XI \ 2

P2 £t“P t*s: yi

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/7'7 tL /•R V-f i g . 70 P!Ni TUnii

37. ~ DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA.Dados el punto P y la recta r, la distancia entre P y r está dada por elsegmento pe r pe nd i cu 1 a r a r, definido por P y un punto de r. El mismo queda determinado si se conduce por P un plano £ perpendicular a r, concual queda definido el punto I, intersección de r y <£ . La distancia IP esla distancia del punto P a la recta r-

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ífi\hia jieXíOSZVniuastnaa

f i g . 7 1 ri »iri

Las trazas de £ serán perpendiculares a las proyecciones homónimas de r.Para asegurar que £ contenga a P, se representa en primer término una reota que contenga a P y pueda pertenecer a £ . Como es conocida lación de las trazas de £ , puede representarse una recta horizontal de <£por P fhj con igual dirección a la que debe tener t¿). El punto Tÿ es unp • < o ¡M t£ , de modo que obtenido T pueden dibujarse las trazas de £ .Se determina posteriormente I, pun t o • i n te r secc i ón de r y £; la distanciaPI es la distancia del punto P a la recta r.

di rec-

38.- DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS ALABEADAS, •

La distancia entre dos rectas alabeadas esta medida por el segmento quesiendo perpendicular a ambas rectas simultáneamente, apoya sus extremosen cada una de ellas (hay uno y sólo un segmento que cumple esa condiciónpara el mismo par de rectas).

El segmento en cuestión pertenece a una recta que es perpendicular a to¬dos los planos que son paralelos a las rectas dadas, (rectaque llamare¬mos "perpendicular común a las rectas"). La dirección de la perpendicu¬lar común , queda en consecuencia conocida al representarse un plano def_iÿnido por dos rectas paralelas a las dadas (será paralela a la direcciónn establecida en la construcción auxiliar, fíg-72-d, perpendicular a £) .

t ;

suf i c i ente determiner elaas, 1 o que se 1 oo r a

perpendicular a I piano £ (en larecta a y a nj. Determi nadc

el la r ec t a p, oar ale

presentedeh-en q u e d a *•

i errs;.

r

r

cr-n i ac I o d e p con laB (Tit.35) es .1 a

a ue , a 1 cu Ifni na:so b r e una 1 » -

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0 * s r a:

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d - dUAB~ U5\ 2 t

Representation deComun y _

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la Perpend i *

Determi nacior ot

suficiente determinare!dadas

perpendicular ai plano £ (en la

él la i'?cta p,contacto de p con{T i t . 3S) es T a

presente aue, al culmina;

deben quedar sobre, una li¬tierra;.

lo que se logra P¿'í; C.

5 y a n). Determinado eDSrS I f r

1 a od i s r a: -

b2

2)

a.

a,t

i

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AN3V

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snX'7nixix

Vi,!N,Ss5ÿY

Determinación de cÿ(o¿ - A. «;-L c.

/

/

5-

A

¡r’A,

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a t

An,)

Representación de la Perpendi-Común y Determinación ot

X

GEOMETRIA DESCRIPTIVA Caries J . Cues ñ e v 5 r

i-ara establecer la ubicación exacta de p, es suficiente determinar el c '

to de contacto de ella con una de las rectas dadas, lo que se logra pa¬

san do por una de las rectas un plano perpendicular al plano £ (en la f i

72, se presenta el plano of conteniendo a la recta a y a n). Determinado 5

se punto (en la f i g . el punto B) se conduce cor él la r e c r 3 p . os r a i e • <ÿ

a n . Queda de inmediato dettrmi r. adc* el punte de contacto de p con la c •

t r a recta (el punto A } . La distancia entre A y B { T i t . 35 ) es .lac i a entre les rectas alabeadas a y b. (Téngase presente oue,

e i proceso gráfico, les dos proyecciones de A deten queda r

n e a de 'referencia perpendicular a ¡c línea tí e tierra;.

c.

dista: -al c u i m i n a

sobre una i ' -

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Representación de la Perpendi¬

cular Común y Deterra í nac i 5r

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I I -22,7IflUfl

distancia antre dos rectasperpendicular' a los pianos

perpendicular a d y /S ,maxima pendientemedir la distancia en(fig.73)*

de

ggaawwj

\

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fig.73

\\\

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1%

cuando las nriismas no sc¬alabeadas). En ta 1 caso, e 1

lei as a las rectas da

74),, se real izaparalelajs a las dadasÿque

una

Abatiendo el piano que las cona1 y b 1 , que es equi-

c)?2Ta 2Tb'

i

r-ri

i! i

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i I; t /Sa'%t* a1

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r

I I -22

distancia entre dos rectas,perpendicular' a los planos

perpendicular a o¿ y fé ,máxima pendiente demedir la distancia en(fig.73).

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fig.73

>ú<?\\\\\\

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\ / Id

cuando las mismas no se¬alabeadas). En tal caso, el

paralelas a las rectas da_

.'7-4),, se realiza unaparaleláis.a las dadas,que

Abatiendo el plano que las cona‘ y b 1 , que es equi¬i

c)?2

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¡ I -22GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlo J . Chesñevar

39." DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS «

La distancia entre dos planos paralelos es la distancia entre dos rectas,una de cada plano, que pertenezcan a un plano perpendicular a los planosdados .El plano £ perpendicular a ti. y t JL, (con ///3 ) es perpendicular a o¿ y /% ,Y define en los mismos dos rectas a y b (rectas de máxima pendiente de«.y/i respectivamente) . El abatimiento de £ permite medir la distancia en_tre a y b, equivalente a la distancia entre y fi> . (fig.73)*

T2TT2

y'/’’mmmm.i - '/-! 'A ,, .

*WkiámK \ ,

\i/t \/ \ \b) / \i >L ££ t

a) \ I I\ Vs m i

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w J fig.73te

TAtiti >ti;

% Tc) d)\

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i

uilteÿÿSa ía)te

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40 ANGULO ENTRE DOS RECTAS.Es posible medir el ángulo entreÿdos rectas aun cuando las mismas no se¬an coplanares (es decir, aun siendo gausas o alabeadas). En tal casoángulo es el que definen dos rectas coplanares paralelas a las rectas dadas.

e 1

Dadas entonces dos rectas no coplanares a y b (fíg.74),., se realiza unaconstrucción auxiliar representando dos rectas paraleláis. a las dadas,quepasan por un punto (rectas a1 y b1 por P). Abatiendo el plano que las cont í ene (plano-/, f i g . 7 4- c ) se mide el ángulo entre a‘ y b1, que es equi¬valente al ángulo entre a Y b

c)a)

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S{i j;

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«1*7b',

fig. 7ÿb')ÿ

T if(a'VV

to

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rectas a y b

la

def ini dasentre s< y (3 .

-75b) es necesario deter_diedro) para represen-

ones de £ con y ftangulo que las mismas forÿ

se abat i endo el piano

\\c Sa/

X /Si /

eN /2i

/

//

\W\ 1

I1I

'£oC

proyecc i oneses suf i c? ente

b y de ambas con tup)}proyecciones de

todas las(b)

las

angulo entre r ysupasando por r un|

recta iÿe. ,entre r y o<.

de una recta n£ permite medir el an

pro-piano £.

que forma

per-

entre r y <*.

Tte.

Tr 2

//Sn

11/

ir*ÿ&

t'*c

11-23

ida está dada por£ perpendicular a ía

rectas a y b definidasentre y j3.) es necesario deter

diedro) para represen¬intersecciones de £ÿ con y /2>

1 a

ángulo que las mismas for_medirse abatiendo el plano

Se\\c 7V(alÿ x /Ta /

%/

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i• ii

iTIN, i

:b)1

i

Lir/SiVp

todas las proyecciones(b)t¿ es suficienteb y de ambas conlas proyecciones de

ángulo entre r y su pro¬pasando por r un plano £

recta ue. , que formaentre r y <*,.

de una recta n per¬£ permite medir el án_entre r y oí.

Toe

Tr !2

bVR2Sn¡

±

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u

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J. Chesñevar I I -23

41-r ANGULO ENTRE DOS PLANOSDos planos o< y forman un ángulo diedro, cuya medida está dada por"sección normal", la cual está definida por un plano £ perpend i cul ara laarista del diedro (fíg.75). El ángulo entre las rectas a y bpor£ en o< y p respectivamente, equivale al ángulo entre e<y|2>.En consecuencia, dados oA y por sus trazas (f íg.75b) es necesario deterÿminar i (recta intersección de «c y p> , arista del diedro) para represen¬tar luego £ perpendicular a la misma. Las intersecciones de & con y /2>determinan respectivamente las rectas a y b. El. ángulo que las mismas fo£

equivalente ál ángulo entre oC y , puede medirse abatiendo el plano

la

definidas

man ,

Ti4 )<* *6 n o< Ub ~ocft

'

| gft.psb

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/\ tí // 1P/(b),V\/ %a ¿t\ ¡»r N, /a sy/

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IV b A/ i9 ¡b >ÿ

Mmmlap \ "M ¡ .

Xd// V

I

/yÿ«Vm fíg.75

Puede advertirse que no es necesario representar todas las proyeccionesde las rectas a y b, puesto que para obtener (a)t¿ y (b)t¿conocer Sa y Sjj y el punto N (intersección de a con b y depara establecerlo, sólo es necesario utilizar una de las proyecciones dea ó de b (f ig.75-b) .

es suficienteambas con Up)y

42.- ANGULO ENTRE RECTA Y PLANO,

El ángulo entre una recta r y un plano «< es el ángulo entre r y su pro¬yección ortogonal sobre °< . Dicho de otro modo, pasando por r un planog.

formaperpendicular a c< , queda determinada por £ y P4 la recta ue. , quecon r un ángulo cuya medida corresponde al ángulo entre r y .Dados entonces r y c(, se determina 6 con el auxilio de una recta npendiculara cA, y coplanar con r. El abatimiento de £ permite medir el án.guio entre r y iÿ

per¬

qué es por definición el ángulo entre r y <A .L

Ící.

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f ig-76/

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i I “24

por sus

piano (lit.42), el an_por el piano T proyec_

angulo entre la recta yEllo equivale ar con su primera pro

proyecc 1 otrata de avert guar la pen_

de~

es el angulo entre r

contienen a / (en pri-angulos y ‘fÿrTk

I

1 i~T

*| ri/Sr

TrPA

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r

Sr

PENDIENTE Y SU INCLINACION,

recta r, da rnodo que laIremos que prev i amente - es

Podemos ahora realizar e 1

angulo con tT, , ten-erenc i a con centre en 1}

segrnento Trj-Sr de rÿ*establecido T

opuesto a 1 cateto Tf -Trjies el radio cle la cirhorizontales de

<

se hace consr >

to¬angulo l?, con Tj .

sus trazas en las condj[if{ .

i I -24

por sus proyeccio¬trata de averiguar la pen_

plano (Tit.42), el arÿpor el plano f proyec_

ángulo entre la recta yEllo equivale a de¬r con su primera pro

fijes el ángulo entre r

contienen a r (en jÿri-ángulos y

Ir

!1 I i

Í3“!;

/Sr

Try\\r2 I t

r

Sr

PENDIENTE Y SU INCLINACION,

Podemos ahora realizar

recta r, de modo que laadmitiremos que prev í amente - es

eT

ángulo <fi con IT, ,circunferencia con centro en fq

segmento Tr -j ~Sr de r-¡.establecido Tr , se hace cons_

opuesto al cateto Tf - Trj7es el radio de la cirhorizontales de

ángulo T, con % .sus trazas en las condj_

ten¬

tó-if( .

1 1 -2 hGEOMETRÍA DESCRIPTIVA - Carlos J . Chesñévaftostissewe*

4 3„~ ANGULO DE UNA RECTA CON LOS CUADROS»Se trata de establecer el ángulo que una recta,, dada por sus proyeccio¬nes, forma con los cuadros TT, y líe . Es decir, se trata de averiguar la pen_diente y la inclinación de una recta.

De acuerdo con el concepto de ángulo entre recta y plano (Tit.-42), el á n_guio entre la recta r y el cuadro TT, queda definido por el plano i' proyec_tante en primera proyección que contiene a r. El ángulo entre la recta yla traza horizontal de ' es el ángulo entre r y TT, . Ello equivale a de¬cir que el ángjj 1 oÿen t r e r y TT, es el ángulo que forma r con su primera proy ecc i ó n r -j ( rír, s rr, ) .En forma análoga se deduce que el ángulo de r cony r 2 ( rf =ÿ rh )Abatiendo los respectivos planos proyectantes que contienen a jr (en pri¬mera y en segunda proyección) quedan conocí dqs los ángulos y

TT2es el ángulo entre r

líaTr Tr#

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TÍ ! \ ry i 1m

' j.,> — *ÿ.I1S3-

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1 \r2/ \

ii;y. i r

X' \ ri iyym Sr Sr

f íg.78/ ir,

;-4 . - REPRESENTACION DE UNA RECTA j DADAS SU PENDIENTE Y SU INCLINACION.Para determinar las dos proyecciones r-j r?misma forme con Tf, y TTZ los ángulos >f, y <f4. , ~tabiecemos el punto Tÿ , traza vertical de r. Podemos ahora realizars i g u lente análisis; ( í i g . 7 9 ) :

de la recta r, de modo que laadmitiremos que p r ev i amen te - es

eT

Toda recta con traza vertical en Tr y que forme un ángulo lfi con TT, ,drá su traza horizontal sobre un arco de c í rcunf erertci a con centro en Tr<(primera proyección de Tr), cuyo radio es el segmento Trÿ-Sr de r-j.La determinación de ese radio, conocido Mj y establecido Tr> se hace cons_truyendo el triángulo rectángulo con M*, como ángulo opuesto ai cateto Tf - Tr-¡,tal como 1 0' indica la f. ig.79~b. El cateto (Sr)-Trj es el radio de la circonferencia de centro T r i que contiene a las trazas horizontales dedas las rectas, con traza vertical Tr que forman el ángulo con TTj .La recta a de la fig.79_b, por ejemplo, al tener sus trazas en las condji_ciones precitadas

ten-

to-

rectá cuya pendiente vale tf „es una

i I -25wg»a«ircattffiT.&-sayT rrvrTgaraaarggvsgffiaca-j

Tr= Ta b)

a2

IA/

ai ///

Sa

del cono recto de ver-no todas forraan el mis-

de detectar cual o cua-taneamente el angulo con

sera necesario estable

cono antes definido)querectangulo Tr-Sr2“Sr.

funcion de 'f ), se puercunferencia corresponde a la tr£

obtener el valor d. En efe£con (r) (fig.80-b),la

distancia d de LT,quedos puntos Sr y S

angulos tf, y f-ft con ir, ycon un arco de centro(Sr)

el esquema de la fig>

t ram >

TrAn

\b)r2(r)

1

Tr,3 n —1 /0 dI /mt§m

/Sr\

ffi. los angulos y 4* ?

recta que pase por un punse puede realizar

luego por las proyeccio-obtenidas en la construccion

)a

i 1-25

Tr= Ta b)Ii

a2

7%/

al //7

-

del cono recto de vér¬no todas forman el mis¬detectar cuál o cuá¬

simultáneamente el ángulo conserá necesario establ£

cono antes definido)querectángulo Tr-Sr2-Sr.

función de %), se puecircunferencia corresponde a la tra_

obtener el valor d. En efe£con (r) (f i g.80~b), 1 a

distancia d de LT,quedos puntos Sr y Sángulos y con ir, ycon un arco de centro(Sr)

el esquema de la fíg.»

tram >

JrAjjs

b)r2(r)>2

Tr,

/d! /

\¡Srn\ /5f\ 7

fj. los ángulos tf, y ,recta que pase por un pun

se puede realizarluego por las proyeccio¬

obtenidas en la construcción

1 a

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA - Carlos J . Chesñevar i !-25Crnivy/aefgis

TT2/

/

,Tr Tr = Tab)!

(r)Ir).

a2 j/ ry\x/ &Cgfl

VsS / Ai\\ /ri r\

ai\ /Sr/\

i\ /f'íg-79

s¿¡V

Si bien todas esas rectas (todas tas generatrices del cono recto de vér¬tice Tr y eje Tr-Tr-{) formanrao ángu lo con TV% .les de las rectas de ese conjunto forman simultáneamente el ángulo conTTt y un determinado ángulo con Wt , para lo cual será necesario establecer una condición que complemente a la anterior.

Puede observarse, (fíg.8Q-<i) que la recta r (del cono antes definido)queforme el ángulo con TTi , define el triángulo rectángulo Tr-Sr2“Sr.Si puede conocerse el valor del cateto Sp-Sr2 (en función de v ) ,de establecer cuál de los puntos de', la circunferencia correspondeza horizontal de r (tal que I*7T4 * M’z ) •.

un ángulo con n t , no todas forman el mis-Analizaremos entonces el modo de detectar cuál o cuá-

se puea la tra

Puesto que la hipotenusa de ese triángulo es Tr-Sr, el esquema de la f i g.80- b contiene los elementos necesarios para obtener el valor d. En efe£to, pasando por Tr una recta que forme el ángulo <{2 con (r) (f i g .80- b) , 1 adistancia entre esa recta y (Sr) es la distancia d.

Trazando luego una recta auxiliar paralela a LT , a distancia d de LT,quedan definidos en la circunferencia de centro Tr-j dos puntos Sr y Szas horizontales de dos rectas r y m que forman ángulos tf, y 'j’j. con ir, yrespectivamente. El traslado del valor d se hace con un arco de centro(Sr)tangente a ( r£) .

m> tr2

TT2

JrAIsJrtfj) % b)r2(r)a) (n /

\dí A/

/ (Sr)\/Ye T 5 r-

ri\\ /' .T

•I /1\\\ d1 /Ji tnt\s 1 \ IQ -

i \!9m\_-/ Sr

\ /Srf ig.80 s

Todas las rectas paralelas a m y r forman con Tí, y fíi los ángulos tf, y ,de manera que, si es necesario representar una recta que pase por un punto dado , es tab 1 ec i endose pendiente e inclinación, se puede realizarconstrucción auxiliar de la fig. 80-b, llevando luego por las proyeccio¬nes del punto, paralelas a las proyecciones obtenidas en la construcciónauxiliar.

I a

1 1 -26

J_

rectas r y m , hayy v que forman an-cuadros (rectas,

el segmento T-S ubj_II, fig- 8l).punto, pasan cua-

forman los mismos angj£cuadros,

otro con el cua*

(tÿ. es ladiedro formado por

definida.s por pianosarista

Tc»C

Jsc)

•?

/

tSs

5XAt = *lf

pendiente y

<*-ir(

const i tuyen lo quesu primera

Puesto que el angulo end i remos que

angulo que forma cone 1i s

determinar su pendiente se rey se abate un piano

fig.82-c, se abate por

(incllnacion dey) esta dado porinclinacion

mZ5*8V*un

c)H2X

X

Sm

-.i*

I I -26

rectas r y m , hayy v que forman án¬cuadros (rectas,

el segmento T-S ubj_II, f i g. 8i).punto, pasan cua¬

forman los mismos ángu_cuadros.

otro con el cua¬definidas por planos(tÿ es ladiedro formado por

arista

*V

Jsc)X

I!

%Js<Ts)íV

Al5 fV

constituyen lo quependiente y su primera

¡2-IT,, diremos queángulo que forma con

su pendiente se re_se abate un plano

82-c, se abate por

ele m) está dado porinclinación (ti1.km,

Puesto que el ángulo enel

t'U

un

c)$

s

i

Sm

*8

GEOMETRIA DE SCR l PT! VA - Carle J . Chesñeva r I 1 -26'

XtA y

;>U /s

\Sv NOTA: Ademas de las rectas r y m , hayotras dos rectas u y v que forman án¬gulos M’, y con los cuadros (rectas,en este caso, con el segmento T-S ubj_ÿcado en el diedro II, fig. 8l).En general, por un punto, pasan cua¬tro rectas que forman los mismos ángu_los con los cuadros.

i/

\ d/ I ./I \/

T

\ ! di /¡/

Srrv SrA4

<0is

f i g . 8 1

45 ANGULOS DE UN PLANO CON LOS CUADROSün plano U. forma un ángulos diedro con el cuadro TT, y otro con el cua¬dro . Las respectivas secciones normales están definidas por planosperpendiculares a las respectivas trazas del plano (t¿ es lade! diedro formado por ©< y

<=< y \ ) •

arista; t¡¿¿ es la arista del diedro formado por

tí* *VTYJs Jsi"lk c)

a) /b)Ia¿ ! /! \ 2I /, i M

m iii*áÿ/

•seu*

I 'I /A t\

w;ss ss<TS)V*tac «í

vs! = hf i g .82 {**c

L. as rectas de oí. y Ti que son perpendiculares a t L , constituyen lo quehemos convenido en llamar recta de *< de máxima pendiente y su primeraproyección, respect i vamen te (T i t .1 7“f i g . 3 6) . Puesto que el ángulo entre s y s¡ es por definición la medida del diedro wl-lT, , diremos que elángulo que cí forma con TT» (pendiente de ) es el ángulo que forma con

una recta de Oí de máxima pendiente.

De modo que, dado oí por sus trazas, para determinar su pendiente se re_presenta una recta s de máxima pendiente ( S i -L tj. ) y se abate un planoque la contenga, midiéndose el ángulo (en la f i g .8 2 -c , se abate porcomodidad el plano proyectante '¡f ).

fcn forma análoga, el ángulo de oí con % (inclinación Je a) está dado porángulo que forma con una recta de oí de

lit. 1 7-f ig .37) .¡

máxima inclinación (tj’-k.m*<r

M t‘kíkV

'ÍTisi t'sÁ\

Tf 'r

m2 V- Cs*)4Ü2Íüka ) b) c)

yf\ / xi I& N

-¡ir

VIP* NI x

/ *7y Smío,

fig.83 *S

I I -27

paralela a s, forma con Tf]ogamente, toda rq'scta de DC

el que fprma m con .cul ares a las respectj_

pendiente y de maxima incl ina-

PENDIENTE Y SU INCLINACION

cond I c i o-que satisfagacual es necesario consj[

n perpendicular a -pC for_son angulos comp 1 ementa -

n

p

X £te

forma con T2 un angulo

%P

2m

90°-Y2

*7

incl i nac i on 4ÿ », e i ncl ina-

pendiente Y, ecrÿeÿion if, = 90-Ypiano perpendicular a la mis.

JSL n

n(ÿ= 30

20°

. %= 60®

= 70°V

recta es tf% 90°y pa_representar rectasi mpos i b t l i dad de realjÿ

o

I I -27ESm»*saai«&r£«8giMK

paralela a s, forma con Ti]Análogamente, toda roseta de ct

que forma m con Kz .(perpendiculares a las respectj_pendiente y de máxima inclina¬

PENDIENTE Y SU INCLINACION

que satisfaga condicio¬cual es necesario consj_

n perpendicular api. for_son ángulos complementa¬

n

P

£

forma con Tj un ángulo

fif\n

P„'2

m90®-Y2

pendiente 4>( e inclinación ,Tÿerlañÿéÿn tf, = 90-Y, e inclina¬

perpendicular a la m i s_

o¿ A. n

„íÿ = 30‘

IV 20“

%= 60®

y2= 70®

recta es tf, + 90°y pa_representar rectasimposibilidad de realjÿ

o

GEOMETRIA DESCRIPTIVA Carlos J . Chesñeva r I I -27tSXCRVf.VVSí'?-.-

NOTA: Es evidente que cualquier recta de oC no paralela a s, forma con TT¡un ángulo menor que el que forma s con Tf, . Análogamente, toda receta de Pt

no paralela a m, forma con lit un ángulo menor que el que forma m con Kz .De allf que rectas de X como la s y la m {perpendiculares a las respect|_vas trazas) se denominen rectas de máxima pendiente y de máxima inclina¬ción respectivamente.

46.- REPRESENTACION DE UN PLANO, DADAS SU PENDIENTE Y SU INCLINACION

cond i c i o-Se trata de representar por sus trazas un plano que satisfaganes en cuanto a pendiente e inclinación, para lo cual es necesario consj¡_derar lo siguiente:

Si un plano &í forma con Ti un ángulo *£? , una recta n perpendicular a 'í¿. forma con Tiunángulo *•? = 90o - . Es decir, IP y if son ángulos complementa¬rios ( f i g .8 4 ) .

T2

1 \s Ls na) b) 4njl I isi p

sxVv <~

/

s\90°-1í X e

"ieie¿r f i g . 81}

Análogamente, si forma con TT¡, un ángulo , n forma con Tj un ángulo

90-ip2 (f ig.85) •

ir2

%T \n

;' P

a ) 2mi b) m

90a-Y2/

A

f ig .85

De modo que para represen tar un plano con pen diente 4J(e inclinaciónÿ ,es suficiente representar una recta con 4\ÿerladÿé\0S_n if, = .

ífrO-'M1, e inclina¬

ción SO-Vi (Tit.44), y posteriormente un plano perpendicular a la mis

que será el plano requerido (fig.86).fTI3 j

tuJnLs'x2q n

I•o% = 60°

V2=70°vw ", = 30°

Y2= 20On *

¡X-

C

fig.86

MOTA: Debe tenerse presente que, para cualquier recta es tf( + 90°y pa_ra cualquier plano if, + 4ÿ 90°. Toda intención de representar rectasplanos que no cumplan esas relaciones, implica la imposibilidad de realj_zar los procesos gráficos señalados.

o

;

:

í'.1 i

I i l -1

re 1 a-homologies a lapiano, de forma tal que:

estan alineados con unhomologfa.

cortan en un punto dehomologfa

cuales se generan corres¬1 oca-1 i zac i on de una

distintos metodos de repre-beneficio de la sencillez

•»

se proyectan los puntosotro piano i>i0 , se esta-

correspondencia biunfvoca entre lostal que:0 ,

recta de , correspon¬una sola recta de c/0.

respect iva proyeccionun punto de la recta i,0(eje de la perspecti-

condiciones, diremos que losse corresponden en

centro S.

pun-una

*37

//

Si-"fm \

-m \

\

JpV\

<x

c)

(b en el cono, la p * ra-figuras perspect i vas (en

es impropio).

perspect i v i dad entreabatido (fig.3)* En efecto,

nueva posicion de los pun_proyectar los puntos

rpend i cu 1 a res al piano

So*

l\ oc.

\b)d\ÿdr

\

I i I -1

homológica a laplano, de forma tal que:

están alineados con unhomología.

cortan en un punto dehomología.,.

cuales se generan corres¬localización de una

distintos métodos de repre¬beneficio de la sencillez

re 1 a -

se proyectan los puntosotro plano ¿>¿0 , se esta¬

correspondencia bíunívocá entre los, tal que:

recta de , corresporruna sola recta de c/a.

respectiva proyecciónun punto de la recta i,(eje de la perspecti-

condiciones, diremos que los pun¬se corresponden en una

centro S.

\¡oc

¿3

Wr,

/

\<x

c)

(b en el cono, la pirá¬figuras perspectivas (en

es impropio).

pe rspeeti v i dad entreabatido (f i g.3)* En efecto,

nueva posición de los pun_proyectar los puntos

perpendiculares al plano

See

\ oc-

\b)

l

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA Carlos J . Ches nevar I i I -1T:.ÿQÿrtTS8OTaaBgaaEÿMa-r»tf<.-.!v«wtggÿÿ-=jsjgy:u-ÿ.>iwajaBa

III) HOMOLOGIA PLANAreía-Hemos anticipado que se denomina correspondencia homo lógica a la

ción que vincula a dos conjuntos de puntos de un plano, de forma tal que:

-Pares de puntos correspondientes (u homólogos) están alineados con unpunto fijo del plano, denominado centro de la homología.

-Pares de rectas correspondientes (u homologas) se cortan en un punto deuna recta fija del plano, denominada eje de la homología.,.

Se anal izarán a continuación situaciones en las cuales se generan corres¬pondencias homológicas. Ello tiende a facilitar la localización d e unahomología en ciertos modelos geométricos, en distintos métodos de repre¬sentación, con lo cual es posible aplicarla en beneficio de la sencillezy la precisión de las resoluciones gráficas.

!•- PERSPECTIVIDAD ENTRE PLANOS

Si desde un punto S se proyectan los puntosde un plano o( sobre otro plano ¡>i0 , se esta¬blece una correspondencia biunívocá entre loselementos de o( y de ¿Ve » tal que:

. g~A cada punto y cada recta de ¡>V , correspon¬da, de un solo punto y una sola recta de o/0 .

-Cada recta de pt y su respectiva proyecciónen o/„, se cortan en un punto de la recta i,intersección de y «¡í {eje de la perspecti¬ve dad) .En tales condiciones, diremos que los pun¬tos de c< y los de cxt0 se corresponden en unape r s pee t i v i dad de centro S.

m

L 'aa0'

f i g . 1

E j emp 1 os . -

V f ig.2 v

*\\

\

y '{/ ex

/

a) c)b)

Las dos secciones determinadas por los planos oL y (~> en el cono, la pirá¬mide y el cilindro (fig.2) constituyen pares de figuras perspectivas (en

el caso del cilindro, el centro de per spect i v i dad es impropio).

También el abatimiento de un plano equivale a una perspectividad entreel plano (en su posición original) y el plano abatido (fig-3)- En efecto,s i el. plano o( gira hasta superponerse con «><,'•, la nueva posición de los pun_tos de e<, (puntos abatidos) es la que resultaría de proyectar los puntosde D<! en desde el punto impropio de las rectas perpendiculares al plano

bisector del diedro que forman U y oí' .

SaoOí

BA\

\b)a ) _

A_

Z- \! 1\

! «c’ .I—--fig-3

•V*

I i I -2

UNA HOMOLOGIA

cede y CQ de

determinan entrlos

de puntos quese coalineados con U (proyec

se correspond fanla recta u (proyecÿ

estan vinculados por lodecir, son dos con¬

geometrico propuesto,

se corresponden enproyectados desde un

0entro

(eje de la perspec-

en

centrocorresponden en una0, de S e i res-

uu

WTT

elementos; tanto 0se proyecten en

que, con ciertas p<D

sistema indefinido

propiedad estudiada, ana*

de'Honge (fig* 5) >

que determi na o< ,i dad ; el eje decon el piano que

Al proyectarse eldeterminados dos con

centro - V-j y eje i “j*.

I II -2

UNA HOMOLOGIA

c*¿ ¿r -entro 0de y CG de

determinan ennrlos(eje de la perspec-

de puntos que se coalineados con U (proyec

se correspondían enla recta u (proye¿

están vinculados por lodecir, son dos con¬

geométrico propuesto,

se corresponden enproyectados desde un centro

corresponden en una0, de S e i res-

fuU

i»"""

Tí

elementos; tanto 0se proyecten en

que, con ciertas poÿsistema indefinido

propiedad estudiada, ana¬de’Monge (fíg. 5)>

que determina c< ,perspectivídad; el eje

con el plano que. proyectarse el

determinados dos con_centro V-¡ y eje i p

de

GEOMETRIA DESCRIPTIVA Car jos J . Cbesñevar I II -2

2 * “ LA PROYECCION DE DOS FIGURAS PERSPECTIVAS GENERA UNA HOMOLOGIA

Si un sistema similar al de la fig.1 es proyectólo do *- centro 0sobre un cuadro T (fig.4), los conjuntos perspectives C de y C0 de(que se corresponden en la pers pect i v i dad de centro S) determinan enivlosconjuntos C 1 y C¿ ; además» el centro S y la recta i (eje de la perspec-tividad) se proyectan en U y u respectivamente.

Es fácil comprobar que los pares de proyecciones en TT de puntos que se co¡"respondían en la perspect i v i dad (ej . A' A¿) está alineados con U (proyección de S) y que pares de proyecciones de rectas que se correspondían enla perspectiyidad (ej . a1 a¿) se cortan en un punto de la recta u (proyec_ción de i) ,

Se verifica entonces que los conjuntos C* C¿ de TT están vinculados por loque hemos I 1 amado una correspondencia homo 1 óg í ca ; es decir, son dos con¬juntos homólogos. Ello es consecuencia del modelo geométrico propuesto,por lo que puede enunciarse:

Si dos conjuntos planos C y C0 (o figuras planas) que se corresponden enuna perspect í v i dad de centro S y eje i, son proyectados desde un centro0 sobre un cuadroTT , sus proyecciones C1 C¿ en Tí se corresponden en unahomología de centro U y eje u (proyecciones en jí desde 0, de S e ipect iyamente) .

I

res -

//j\\

\ \

'tí \

\x\I \\\ \f

\/ Ia \/ / \ \ \/

/ / \1/ \\/

\ \Orf ' 7; \\

- ’/íSj

pY \/\/

\\/ \ fu\

U+T Wy/ //f

„ / Ii

v CCl '/

JLJrr

f í g . *4

Lo anterior vale cualquiera sea la naturaleza de los elementos; tanto 0como $ e i, pueden ser impropios (lo que no impide que se proyectenTT , en ciertos casos, como propios). Cabe advertir que, con ciertas p<a

siciones relativas de los elementos, se establece un sistema indefinido(ej: si 0 pertenece a í; si 0 coincide con $, etc.).

Como ejemplo de una aplicación concreta de la propiedad estudiada,lizaremos la proyección de una pirámide en el método de’Monge (fig. 5),seccionada con un plano c< . La base B y la sección F que determina oC ,son figuras perspectivas (V es el centro de perspect i v i dad ; el ejeperspectividad es la recta i, intersección del plano con el plano quecontiene a la base B, no representado en la figura). Al proyectarsesistema sobre TT, (en este caso 0 es impropio) quedan determinados dos con_juntos Bi y que se corresponden en una homología de centro Vÿ y eje i p.

e n

aña¬

de

e 1

111-3mrjssa.SOT

;*

fig.5 i

primera proyeccion de lacon *4 , bastarfa con

metodo, pudiendo obtenersesupone una construccionevaluarse la bondad delhomologos sobre el eje.importancia cuandode lados.

se

N,

M;m

B1 P

M M

b)

U

proyectar una perspecpianos o&4>) se superpo

coincide con elperspect iv i dad.

desde 0 de uno de los cori

conjunto

abatimiento de un piano en Mon-corresponden en una pers|(ortogona.l a TTi ,

(F) coincide conEl eje de la

desde 0yhomologas.la perspect i v i dad en-

un punto impropio (pueÿ

su

ta r io, se dedujo yPuede observarse que

presente capftulo, pudo preÿel abatimiento.

seen9

proyeccion- y

II I -3

¡g.5

primera proyección de lacon .bastaría con

método, pudiendo obtenersesupone una construcciónevaluarse la bondad delhomólogos sobre el eje.importancia cuandode lados.

se

JVN;

BK i P,

M' M,1

b)

u

proyectar una perspecplanos (tV ó <V>) se superpo

desde 0 de uno de los concoincide con el

perspect iv i dad.abatimiento de un plano en Mon-

corresponden en una pers_desde 0 (ortogonal a V ,

y (F) coincide con suhomologas. El ejede lala perspect i v i dad en¬

un punto impropio (pue¿

rudimentario, se dedujo y se

Puede observarse que, enpresente capítulo, pudo preÿproyección’ y el abatimiento.

conjunto

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J. Ches nevar II I -3JScSWKisscex&M;:»»-T

MN

V'\

V i .p-! \

v5

/

% \p/

v, f I g - 5M,

De modo que, en el supuesto de que se conozca la primera proyección de lapirámide y se pretenda determinar su intersección con oí. . bastaríadeterminar sólo un punto de F 1 , porel resto por medio de la homología (fig.6). Ello supone una construccióngráfica muy simple, con el agregado de que puede evaluarse la bondad del

resultado, al verificarse el corte de los lados homólogos sobre el eje.Desde luego, las ventajas señaladas son de mayor importancia cuandoestá determinando un polígono con un gran número de lados.

concualquier método, pudiendo obtenerse

s e

N, JVN;

BV B. s 1 PlV,

J?vn=uM'

M,iM,

a ) b)

ufig.6

La enunciación anterior sobre las consecuencias de proyectar una perspectividad, también es válida cuando uno de los planos ó ©/*.)• se supe r po

ne con el cuadro tí . En tal caso, ía proyección desde 0 de uno de los cori

juntos perspectívos (el del plano superpuesto) coincide con elmismo, y el eje de homología coincide con el de pe rspec t i v i dad .Tal situación existe, por ejemplo, en el abatimiento de un plano en Mon-

ge (f i g . 7) • La figura F de K¡ y su abatida (F) se corresponden en una pe r¿pectividad de centro Sea- Al proyectarse luego desde 0 (ortogonal a Tí\ ,primera proyección de Monge) , F se proyecta en Ff y (F) coincide con suproyección; en consecuencia, Fÿ y (F) son figuras homologas. El e je de la

homología es la traza horizontal del plano (ejÿe de la per.spect i v i dad en¬

tre (F) y F ) y eleentro déla perspectívidad es un punto impropio (pues_to que S y 0 son impropios).

NOTA: Esta propiedad, mediante un análisis rudimentario, se dedujo y se

aplicó en el Cap. X (Tit.32, figuras 62 y 63). Puede observarse que, en

base a la concepción general estudiada en el presente capítulo, pudo preÿ

verse la existencia de la homología entre la proyección' y el abatimiento.

conjunto

í

i

i I I -A

\\

F\\

b)

f i g •7

rectasrecta

hom51ogas,a, puesto que A

alineados con U (fig.8-b)

J;aoa'

lRsR u

d)a

impropio Iwde a,bastaparalela a la a) has

propio de a1, correspontodo punto de a, tiF

analoga, puede obtenerse en.

con

y C1 (fig*9)»impropios de C en C

puntos Impropios

HOMOLOG I A.

i compro, de-I

de

i

iL

i i 1 -J»

\

FX

b)

-i

f i g.7

rectas homologas,recta a, puesto que A

alineados con U (fig.8-b)

Ja>

aRsR1 u

RslT

d)a

impropio Iwde a,bastaparalela a la a) has

propio de a1, correspontodo punto de a, ti?

puede obtenerse en

C1 (fig.9)» comproimpropios de C en C‘, de-"

puntos impropios

HOMOLOGIA.

con

i

de

iü.

i I i “ijGEOMETRIA DESCRIPTIVA Cáelos L. Chesñevarñazausííí.

J/

&¿ps \/

\a)/

F\/oOF /

/ \i

i(F) b)V-ni_L -rR £l

(F)

f f g •77f}

3.- RECTAS LIMITES DE UNA HOMOLOGIA

Dados el centro y el eje de una homología y un par de rectas homologas,es fácil localizar el homólogo de un punto A de la recta a, puesto que A1debe pertenecer a a1, y que A y A' deben estar alineados con U (fíg.8-b)

J®

*U /u a*a* ta’ a' Xf/

XJ'ÁsR=Rk RsR' RsR1/u u u u

I«*/RaR"/

b)Aa ) a d)ca a aefig.8

Si nos proponemos ubicar el homólogo del punto impropio IMde a, basta conunir con una línea de referencia IM y U (recta por U paralela a la a) hasÿta cortar a1, quedando así determinado I1 (punto propio de a1, correspoFdiente al punto impropio de a; téngase presente que todo punto de a,

~

ne su homólogo en a1, y viceversa). En forma análoga, puede obtenerse ena, el punto J, homólogo, del punto impropio de a*.

Si aya1 fuesen parte de dos conjuntos homólogos C y C‘ (fig.9)» comproharíamos que los homólogos de todos los puntos impropios de C en C‘ , de~finen una recta i1, paralela a u.

En forma análoga, todos los puntos homólogos de los puntos impropiosC1, definen en C una recta j, paralela a u.

y j, se denominan RECTAS LIMITES DE LA HOMOLOGIA.

t i e

i

de

Las rectas i

u

r te i ifejy.

RSR1c

aloaf i g •9

! 1 I -5

paralelas a u. En efecto, sia, en R) ese punto ti<a

puntos del eje se denomj_una recta ifmite no pa¬

que t i ene por homologo ade recta Ifmite.

Ifmite al centro de homoIfmite al eje, para locual

en la figura .ITmites estan ubicadas en

eje y el centro estan si-

se denomfna HOMOTECIA.

C'

fig.10

respondenc i a se denom i na:ortogona 1 , obi i cua o es-

U«3u

c). Afinidad Especial

impropios, la homologfa es lla¬paralelos y de igual mag-figura dada, es la tras-

C'

m -5

paralelas a u. En efecto, sia, en R) ese punto tie_

puntos del eje se denomj_una recta límite no pa¬

que tiene por homólogo ade recta límite.

límite al centro de homolímite al eje, para To cual

en la figura °¡.límites están ubicadasÿ

y el centro están si¬

se denomina HOMOTECIA.

fig.ro

correspondencia seortogonal, oblicua o es¬

denom i na:

UoSu

c)..Afinidad Especial

impropios, la homología es lla¬paralelos y dé igual mag¬figura dada, es la tras¬

c'

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J. Chesñevar M 1-5rrawtsErja-t*;

Las rectas límites deben necesariamente ser paralelas a u. En efecto, siuna recta corta a u en un punto propio (ej: recta a, en R) ese punto ti£ne por homólogo al mismo punto (ej : R y R ' ; los puntos del eje se denomj_nan por eso puntos dobles). De modo que, admitir una recta límite no pa¬ralela a u, es admitir que hay un punto de ella que tiene por homólogo aun punto propio, lo cual contradice la definición de recta límite.

Puede comprobarse que la distancia de una recta límite al centro de homologia es igual a la distancia de la otra recta límite al eje, para lo cualbasta observar la simetría del cuadrilátero I'UJR en la figura .Cabe por último observar que, o bien las rectas límites están ubicadas entre el eje y el centro de homología, o bien el eje y el centro están si¬tuados entre las dos rectas límites.

4.- CASOS PARTICULARES

Si el eje de homología es impropio, la homología se denomina HOMOTECIA.Las figuras homotéticas son semejantes.

B'

B

,c'c

f ig.10A

A'

Si el centro de homología es impropio, la correspondencia seAFINIDAD HOMOLOG I CA , a la que se llama a su vez ortogonal, oblicua o es¬pecial, según la dirección del centro.

denomina:

'Af Íg-. l 1OL/

/ UoOUu/u

/

/

c). -Afinidad Especialb) Afinidad Oblicuaa) Afinidad Ortogonal

Si el eje y el centro son s ¡mu 1 táneamente impropios, la homología es lla¬mada EQUIPOLENCIA. Los segmentos homólogos son paralelos y de igual mag¬

nitud (equ i po 1 en t e s ) . La figura homologa de una figura dada, es la tras¬

lación- de -la misma .

u B

B'

C C'

A

A1

f i g . 1 2

.ÿ

'v !.

I V-1

PARALELISMO-PERTENENCIA

:'L - «.

? :> *<» ;-

utiliza como buadfode pro¬proyecta ortogonalmente

que, en lo que a proye£aplicado en la primera proen IT ; una recta r defi-togona 1 es de P y r enTT).

9

}

•» ~ i. x r'

\i * 1 r*

i:rD ?•* b) " '• •' *:- :

:A v-' i *•: 4

Xt ‘ i-' : Tv,s* ?.•;

.

sf. :A.C 1“

/ . ; i. - r:deify r defineestricta_

izan'a Pr y a r. En e-proyectante que pasa por Pque pertenecen al piano

proyeccion r0i

*•

;;

ementaba a la primera,se establecfa una rigu-

conjunto proyectado y sus pro¬proyeccion de cada e-

indican cotas oalturasexc 1 us i vamente grafico,sj_

[

mente apto para repre-sentfdo vertical (eje

medidas hor ?zonta 1 mente,la representac i on de ex_

pianos topograf i cos,etc.)

P0: y un! nutnero que seencuentra el puntodel cua

unidad puede ser un segmen-re 1 cent fmetro, el metrover-sa 1 mente como uni-

braza, equivalente a 1,67m).

:

r*

/ •

No(o) b)©R>(3)?•

>, ...

t

I V-1

PARALELISMOS-PERTENENCIAi ;- •: •: :í ; ,

utilizó como cuadro de pro-proyecta ortógonalmente,

que, en lo que a proye£aplicado en la primera pro

T ; una recta r defi¬ortogonales de P y r enlT).

: \

r0 : b)-

i i 'ÿ'( hi--

; : V - »:

;

:: ... i • ...

.

Tf y • r define estrictaÿizan a P; y a r. En e- .

proyectante que pasa por Pque pertenecen al plano

proyección r0b :

complementaba a la primerase establecía una rigu¬

proyectado y sus pro¬proyección de cada e~

indican cotas o alturasexclusivamente gráfico,sj_

mente apto para repre¬sentido vertical (eje

medidas hor izonta 1 mente,la representación de ex

planos topográficos,etc.)

PQ y un! número que seencuentra él püntodel cua

unidad puedefel' centímetro, el metrover-saImente como uni¬

braza, equivalente a 1,67m).

un segmen-

f

No(o) b)©» R>(3)

>ÿ

TT

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J. Chesñevar IV-1

IV) METODO; DE US PROYECCIONES ACOTADAS

REPRESENTACION DE LOS ENTES FUNDAMENTALES PARALELISMO-PERTENENCIA

1.- SISTEMA DE REPRESENTACION

:’L f, i ; • í £’lv •¡ » i :> 4i\

- ,T’i: ,Í V'j-v - . • •

En el método de las Proyecciones Acotadas se utiliza como cuadro de pro-ortogonalmente,yección un plano horizontal, sobre el cual se proyecta

(los rayos proyectantes son verticales). De modo que, eri lo que a proye£ciones se refiere, el principio es idéntico al aplicado en la primera proyección de Monge; un punto P define un punto P0. en Tf » una recta r defi¬ne, su proyección rQ (PQ y r0 son proyecciones ortogonales de P y r enTT).

I

?'ÿ

P r A\ ;ÿ .i*.-

a)i

r0Po i : b)«Po : '

i

zr.’’•ÿi i-

IT‘í¡. > i ) i-y ti

f i g . 1!

:: ¡i .v

Pero si b i en P define estrictamente un punto PQ de|y r define estrictalas proyecciones PQ y rQ no individual izan a P y a r. En e-

fecto, todos los puntos contenidos en elrayo proyectante que pasa por Ptienen la misma proyección P0; t-odás las rectas que pertenecen al planoproyectante que contiene aÿr, tienen la misma proyección r0¿

En el método de Monge, la segunda proyección complementaba a la primera,;informando la cota de cada elemento, con lo cual se establecía una rigu¬rosa correspondencia, biunívoca, entre el conjunto proyectado y sus pro¬yecciones. En el método que estamos estudiando, la proyección de cada e-lemento en T se complementará con números que indican cotas o alturas(distancias a Tí ) ; de modo que no es un método exclusivamente gráfico, sj_no gráfico-numérico.

mente a r o »

• i

El método de las proyecciones acotadas es iespéc ialmente apto para repre¬sentar conjuntos en los cuales las dimensiones en sentido vertical (ejez) son pequeñas comparadas con las dimensiones medidas hor i zonta 1 mente ,(ejes x e y). Por ello, es de gran aplicación en ia representación de extensiones territoriales (cartas geográficas, planos topográficos,etc.)

2.- REPRESENTACION DEL PUNTO

Un punto P quedará representado por su proyección' P0 y un; número que se¬ñala la distancia (altura o cota) a la cual se encuentra el puntodel cua¬dro Tí s expresada en la unidad adoptada. Esa unidad puede ser un segmen¬to de cua 1 qu i e r magn I tud en la práctica se usan reT centímetro, el metroo sus múltiplos (en las cartas marinas, se usa un iver-salmente como uni¬dad de cota el pie, equivalente a o, 30 m., o la braza, equivalente a 1,67 m).

í i

:

íf!

:a) í í

No (o)3u

l b)J K *ao) ”„N=NBPo >•il i

/?M» Mo(-2)zr. 9ir

2ü

f ig.2

I V-2A

los puntos ubicados enpunÿns situadosen el

:

Vo

b)3l

IT

se represents por suproyecc i on de los

individualizar a

consecutivos de r depar de puntos consecu¬

segmento (Xr en * 9 - 3)(distancia entre losINTERVALQ de la recta r.

puntos cuyas cotas di-proyecciones AQ - B0

tiene.a Ay B. Con elmQ. En tales condiciocero es la traza

r » es su

pun-

de

• <

*

m

6

b)

i

IT-

••• 1

entera de modo queel i nterva lo de

del segmento que une ala diferencia de

1 a1 a

co-

zr-fo

;

:

<bU

3 :IT

c}

; ;

i V-2

los puntos ubicados enles puncos situadosenel

XQ

b)32

IT

se representa por suproyección de

individualizar a r, es su1 os

consecutivos de r depar de puntos consecu¬

segmento (jr en la fig.3)(distancia entre los pun¬NTERVALO de la recta r.

;puntos cuyas cotas di¬

proyecciones AQ - B0Contiene .a Ay B. Con el

mQ. En tales condiciocero es la traza de

& i0o

b)

TT

entera de modo que.el intervalo de

del segmento que une ala diferencia de

1 ala

co-

*1b:

U2' ; '

IT

c)

\ -i i

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA - Carlos Chesñevar I V-2— * *ÿ’*

Convenimos en asignar signo positivo a la cota de los puntos ubicados enel semiespacfo superior, y negativo a 1 a cota de 1os puncos situadosenelsem i eSDa cd o'"* í nf e r l or (respecto de IT ) ..os pit ,v tos de ir , y sólo ellos, tienen cota nula.

3. ~ REPRESENTACION DE LA. RECTA ,

, ‘..i ns'® I « rsópo :?'i y’ S X "ty j f C ' -•..

i

i •j: <4 . t> *\¡p . i>

i” V ;> stf I 'í *v r •

íJi

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-i ‘i /Tr,,;3uIa) r«S' r, f 1|2U i

!1u'ÿ< i> h 'i V•'*

b)3fo ‘

2“\

0/

-A ! irf i g . 3

J r

Una rectaí en posición genérica (oblicua al cuadro) se representa por suproyección ortogonal rQ> señalándose en la misma la proyección de lospuntos de* r de cota entera. Desde luego, para individualizar a r, es suficiente con representar sólo dos puntos de r.

El segmento de r que tiene por extremosÿ dos puntos consecutivos de r decota entera, es de igual magnitud para cualquier par de puntos consecu¬tivos de la misma recta. La proyección de ese segmento (jr en la fig.3)es también una constante característica de r (distancia entre los pun¬tos de rQ: 0-1; 1-2; 2~3; etc.) y se llama INTERVALO de la recta r.. .T } i • - • ; iDe manera que , conoc i das: Las; proyecc i ones de-dos puntos cuyas cotas di¬fieren en ,1 a un i dad de. cota , la distancia entre las proyecciones AQ-B0(ffg.A) es e 1 . í n.te rva.l o Im de la recta m.que. Contiene .a Ay B. Con elmismo intervalo, se puede graduar otros puntos de mQ. En tales condicio

se dice que m está graduada (el punto de cota cero es la traza denes ,1 a recta) . r ,v ... ... . í- ... : . .

7 i

r. i ;

i

i i ; i* í .ÿ*.* íI.Vf - J :ÿ> ;

" i*- e• ?:•b * *

'i:•

zrÿ:>7.v \ 1

0.«OBo(5)AoU) ft

O 3n : í; ; b)a): i 1

‘Ú

y.•;

i\ i

~ b Tí! í ir'> i :ÿ :

.} ? O t,» O P 1 i ’í oc - ;ÿ p % ~

f i g . h

Si se conoce la proyección de dos puntos de cota entera de modo quediferencia de cotas es de -varias unidades (fig.5)» el intervalo de

recta que 1os; contiene .esta dado por la división del segmento que une alas proyec ciones, en, .tanta Sj partes como lo indique,' diferencia - detas..'

' ; v

la1 a

co-

íSsflO O i- i <•y .if ? •» ? < -3 <i ? : f

\ f- í!VÍ-ÿ*0 ., T • ;

V» "foNo(6) \Ao«

b:bbVt> U; H ?Qft;/-.í ;

. i ¥T i T1

í? 3! xv a) i c)b)

fig.5 0

i*?

4?

i

.»£». t.

d© igual cota. Se repre6*

cota (flg.é-®).. .": - i ¿ ‘ . - ‘

cota nula.

representada por un punte.¡i

.?

4 • ;

©•• I

i

’"i* ¿

<;

; ;i " v r¿.

e)

de una recta.r genéricaentera, puede efectuarse el a

r (fíg,7)*

§

&-:STáte&*3.

W- Üéc)

en dos fracciones (ffg,se considere) a le cota

cota si punto P. (en este,J.il..r.o) Por este medio pee

punto a una recta,

Identificaremos eon el de dírae,expresaremos Indi §.t Internen,grados) o 1á tangente d©

puede conocerse,dada lapuede obtenerse con igualííenep esa pendiente.

I

: i

;

e)

'‘ 9I0HETAIA DESCRIPTIVA

¡•‘I-,

, y-ÿjrv-S -'l- Carlos J. ehesflova.r 1

puntos d® una recta horizontal h son todos d© Igual cota. Se ropr©“§®nta a H por su proyección he, Indicando su cota {flg.6*fi)Y.

Los puntos d® una recta e del cuadro tlanan cota nula. S© representa epor su proyección fe % e0) (flg.6-b).

” Una recta n perpendicular al euadre queda representada por un punte.. (f fg.ó-c) .

' A®rw,

; b) i •

ir rc)a) fíg/é

Para dstornilnar la cota de un punto cualquiera de una recta r genérica»cuando su proyección no corresponde a cota entera , puede efectuarse @1 ebatimiento del plano proyectante que contiene a r (f lg.7) *

(f

\¿3J /ftéd&tra

1

vÿwXV <s

/r i e)

a) b)

fU.7.

§e observa que el punto P0 divide si segmento t* en; dos f race fortes (ffg#7"c) i uns de ellas, sumada o-restsda (según cual se considere) a le cotaentera deí puntó inmediato» permite asignarle cota st punto P (encaso» se util iza a ír como unidad graduar j» r») «ÿ Por este medio pug,de Imponerse o verificarse ía pe r tenencia de Ynpuhto a una recta.

V PENDIENTE DE ÜMA f?ECTA

II oófícepto de pendiente de una recta te Identificaremos con ©1 de dfre£eíón de la recta en relación sí cuadro- IT . La expresaremos lndf§ tintemen,te como @1 ángulo que la recta r forma con if (en grados) o 1á tangente de

tff ángulo (en fracciones o porcentaje).

§@n fi ggn§£rii§gf#r? grlfíps Indicada en la ffg.J puede conocerse,dada laf§§%9 P? #í Ingyf© tf * Iny'iffSftlifitf t dide , puede obtenerse con igual

sí fntgfvsíó 4§ Us-mtis g«s tísnsn esa pendiente.

este

•*'

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4\

S Jf i,

’t,

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AVIY*l*S?3a••,‘

I M-kn

4J es:

de una rectaJj»,_fRC®a l/J* » 1/2;uno en cuat ro, uno'/n.d ica que el i h-cdfcaf

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5

• i*r•,i •«.

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V

0,2. Luego, son ex-

20If 19'1

BoI*IT), es necesario

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'Xb)

n9jn

IiIi

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horizontaleshorizontales,

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las depiano).

una recta de deproyeccion es perpendi¬

a, se dibuja

(paralepara 1 e 1 as,en IT de

piano

a las proyeccionesenteracota

con

r*fc*s*;«{.ÿrfrÿ-yv* tí

I V -/+

ii eSJ¡v i.:- t ,.; v . •

de una recta;á¡e,.,,j..a,,.f 1/4• 1/2;

uno en cuatro,

'"'Indica que ¿1cótaJ

porcentaje, de modo que lala. re í ac i 6n que da

, •:. ~ 3-q n :¡ ..~- • • \ ¡f

se

unoi ñ-

. Luego, son ex-

20,1T 19‘'ll

lífó"

ir), es necesariola forma que lo

\A

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horizontales '(parale,horizontales, paralelas,

ortogonal en 7T deindividualizan al plano

deplano).

una recta de deproyección es perpendi¬

a, se dibuja con

las proyeccionescota entera

I-Vi

«ÿflggffigrcrcÿ IV-wat

s2 , «uoa f»M?í eb no<r, (§*d ., g i4) SíO O US o r¡ •; s, ;

Sitó5

* S ?í¡ & ‘ ;- ':•

H

i-1 $V =i ..... { d -ó •g S Ai y

eb9 u p*"$nÿslía

eifíaasTqs'i a 2 . oivv i :;.q - -; -v -.: ?:O

fé$&$q nú i \Á f'yíO'í q Sí -.ÿ 13{| í; ÍÍS tí « ... J r «•< - •

r\ I~ " •;. .

Por ello, la pendiente de una recta«AlÿJíÿaÿJWuaÿ nmente ...ásÿ-XÿU £RX®a \Ói 1/2;1/5 ... gtcKl (se lée: uno en cuatro, uno

I $ en dojH**etc .j) lo cual 'Xn.d i ca que el in~? cinccj . . .. y,e€és la ujnídad de coian-

Tambiénfle tangente de |{ $uel|er expresarse enj porcentaje, de modo que laf race i óii : ( con-100 comoJdenom íMÿadx>-r..)c_s.fta.-eqa.Íiva 1 enteja, la. re.l ac i ón que dala forma anterior (con uno como numerador).

Ejemplo: La tangente t r i gonomét r i ca de .,1 1 ° 13 vale 0 ,2 . Luego , son ex¬presiones equ i va 1 entes :

- La pendiente es de 11° 19• La pendiente es de uno en cinco (I/5-)

- La pendiente es del veinte por ciento (20%)

seV‘"~T\

1

t'i ’ÿ$*V 4

tervalofes cuatro, dos,::

i

20iff 19‘'’Ll;:

\

Bo5-~ REPRESENTACION DEL PLANO

Para representar un plano M gener l co ' (ob,l i cuo aljcuadfo ir) , es' necesariodefinir previamente un conjunto de rectas del plano,' en la forma queindica la fig. 10.

1 o

111® b)/fig.10 %í>y

A{i\ V;,lS

S\\>y?

< , .y>,:-r- • t wa)

~wr?

:t v i; 'ÿ> V

>K-'V n ¡ : - ! ” .• - ;T ..... ....

% S>PP0W, U.p. conjunto de planos paralelos horizontales (paralelos a IT) que definen en oí , a 1 cor|ar í o , rectas horizontales, paralelas,llamadas "líneas de nivel" del p 1 ahó'¿¿ . íá ' proyetc í 6h oftogona 1 en TT deLafs *lhí'ííe,a-5'' denivel vde? - o¿ fjíhcl iic'adas sus - cotas ; i ncl¡y i dua 1 i zan al planobÿuÿdlesde' 1 uego , :sOn; suficientes sólo dos para el lo) .

la denoWfnáci óri! "TTheas de: njlfél"- se extiende también a las proyeccionesde las líneas de nivel de <á . Comúnmente se indican las de cota entera

a Línea de cota cero corresponde a la traza del plano).

La representación se complementa con la proyección de una recta de demáxima pendiente (perpendicular a la traza) cuya proyección es perpendi¬cular a las líneas de nivel (f i g .11 ) ®Para d i f erenci árl a , se dibuja condo'b’l e... trazo.,

i

O

2

1f i g . 1 1 ,0

;1fe , ¡\ :

• TT

!V-5.vf . v 1

de maxima pendiente,, g ra_ITneas de nivel de o< (per_';esa . rec fca nescala de pen.

|i| »* \ 1 '• \ • .

escala de pendiente gra-

su, escala de pendiente.o -de .su escala de - pen

igual cota. Para represen./

(la cual conti ene a la pro-

7- f

pertenece a un piano oi ,si la,P a laIgual cota que P.

1 T nea

pertenece a un piano sidos puntos de r pertene-de otro modo, si r & ,unen los puntos de iguala escala tie pendiente dei cu 1 a res a esta ultima.

paralelas determ i nan dosy bQ tambien paralelas.

son iguales, y el sentidoes concordante (tengase

siendo paralelas, a y b de..cuyas ITneas de nivel re¬sus puntos de igual cota).

y /4 son paralelos, tam¬rectas de maxima pend i en

proyecciones de las mismas (a-*primera proyeccion de Monge).decirse: Dos pianos <2 y ft

si las escalas. de pendienÿparalelas, graduadas con igual

sentido concordante.

paralela a un piano c*; sipuede conduct rse por el la)

paralelo a ; paraparalelismo de r con o(. , serectas perpend i cu 1 a res a la

pendiente de , por dos puntosr de cota entera. Conce-

rectas como ITneas de nivel dela d i stan*

(i ntervalode i ),y e 1

ver i f i car

contiene amismasal intervalo de <=*£.

graduacion debe ser concordancondiciones, la recta r espiano o<

r >

IV-5

de máxima pendiente, g r a_líneas de nivel de cA Cper_

remos'/¡aÁ¡ésaÁré.cta . MeAca 1 a de pen_

escala de pendiente gra¬1 -<ÿ ¡! .

su,esca 1.a de pend i ente.intervalo ;de ,su escala de pen¬

igual cota. Para represenÿ

(la cual contiene a la pro¬

pertenece a un plano ,si laP¡pertenece a laigual cota que P,

línea

pertenece a un plano et , sidos puntos de r pertene¬de otro modo, si r 6 ,unen los puntos de iguala escala de pendiente de

perpendiculares a esta última.

paralelas determinan dosy bÿ también paralelas.

son iguales, y el sentidoes concordante (téngase

siendo paralelas, a y b de_.cuyas líneas de nivel re¬sus puntos de igual cota).

y son paralelos,rectas de- máxima pend i en

proyecciones de las mismas (a-primera proyección de Monge).decirse: Dos planos *< y ¿3

si las escalas de pendien_paralelas, graduadas con igual

sentido concordante.

tam-

paralela a un plano sipuede conducirse por ella)

paralelo a ¡A ; paraparalelismo de r con o<. , serectas perpendiculares a la

pendiente de <*C , por dos puntosr de cota entera. Conce¬

rectas como líneas de nivel decontiene a r, la distan¬mismas (intervalo de í ),al intervalo de oz y el

graduación debe ser concordarÿcondiciones, la recta r esplano d,

verificar

DESCRIPTIVA Carlos J. Ches nevar IV-5

Puede observarse que la proyección de una recta de máxima pendiente, g r a_duada, individualiza a las proyecciones de las líneas de nivel de cA Cper_roi te reconstruirlas). En adelante, 1 1 ama remos'/¡aÁ¡ésaÁré.cta . MeAca 1 a de pen_diente" del plano. Puede ahora decirse:

- Un plano ¡genérico oi queda representado por su escala de pendiente gra¬duada ¿ ; - '' ’... •

¡: 1 -, .. .. . y : * ;-4 [ . .y. <ÿ ¡ ! .- La pend i ente de. un p laño es la pendiente de su, esca 1.a de pend i ente .

- El intervalo i¿ de un plano k , es el intervalo ;de ,su escala de pen¬diente.

Los puntos de un p 1 ano hor i zonta 1. son todos de igual cota. Para represenÿt.arlo, es suficiente señalar la cota del plano.

Un plano vertical se representa por su traza (la cual contiene a la pro¬yección de todos los puntos del plano).

6.- PUNTOS Y RECTAS' DE UN PLANO,

3Un punto P pertenece a un plano ,si laP r o y ec c i ó n PQ de P ¡pertenece a lade nivel decide igual cota que P,

2 línea\\ R>(2,5)oto

f f g . 1 2Una recta r pertenece a un plano et , sise verifica que dos puntos de r pertene¬cen a o4. Dicho de otro modo, si r 6 ,las líneas que unen los puntos de igualcota dé r y de 1 a escala de pendiente deoC , son perpendiculares a esta última.

A\3 5

,2. A0¿«, f ig. 13

fi?

7.- PARALELISMO,

4 8 Dos rectas a y b paralelas determinan dosproyecciones aQ y bÿ también paralelas.Los intervalos son iguales, y el sentidode la graduación es concordante (téngasepresente que, siendo paralelas, a y b de_.fínen un plano cuyas líneas de nivel re¬sultan de unir. sus puntos de igual cota).

3 7f i g . 1 k

a0, bo

,5 Si dos planos c< y son paralelos,bien lo son sus rectas de- máxima pend i ente, y las proyecciones de las mismas (a-sociar con primera proyección de Monge) .Luego, puede decirse: Dos planos *< y ¿3

son paralelos, si las escalas de pendien_tes son paralelas, graduadas con igualintervalo y sentido concordante.

tam-

4

fíg.15 &aC0

Una recta r es paralela a un plano sir pertenece (o puede conducirse por ella)

un plano paralelo a ¡A ; paraentonces el paralelismo de r con o<. , sedibujan dos rectas perpendiculares a laescala de pendiente de <*C , por dos puntos

consecutivos de r de cota entera. Conce¬bidas esas rectas como líneas de nivel de

un plano t que contiene a r, la distan¬cia entre las mismas (intervalo de í ),debe ser igual al intervalo de oz y elsentido de graduación debe ser concordarÿte. En esas condiciones, la recta r esparalela al plano d,

verificar

;4{7

3

f ig.16To

i yP

determiner 1 a , escondicion de perte

i ’A!'i ... M' i ?*5» •< Mfe -v

>' ft ;

recta que cumple ea las Ifneas de

"t .* •

b)

i 'ÿ -piano auxiliare i r es 1 a in*1 •: i

V . .u

3

v[\P

condicion de perpen-iormente la cond i -(Cap. i I t Tit.34),

perpend i eular. a; c<ptvel de o< (analo

recta perpendicularescala de pend i erÿ

m.\

o°

b)f .

t

rÿcta f y qMP

on P0, lanecesario graduar ala

necesario nacpitlQ.ÿleplane

. .•»

hayi cond i ~

; . ..

JV-6.....".'"|'.| f-A Í • ‘

55 y f? M V.. f f-|*?»•< lift •>

determinarla escondición de perterecta que cumple e

a las líneas di"

'

b)

plano auxl 1 i ai- í :

e iÿ , es la1 ¡n-

\L'• 'ÿ -

A

°¿o

<\P

condición de pérpen-fórmente la cond i -(Cap. I I ¿ T f t.34).perpend i cular «r .<=<,,

nivel de <* (ánalorecta perpendicular

escala de pendiera

F)I

y que hayrecta,proyección no» la con?

necesario graduar a lahacer-lo .¡se ..¿ll*

plano *•Si,

MQMU,lh BESCftiPTIVA - Carlo;. J . G hesoever IV-6:t'* ajiiati!'- *

mmiÿ§ mmm |.| t?nj? } « 1 -ÿ •

i S'J f'M•r i n « ;

**I (’ f :4 $ M & •>.•? -i . E „ - 1)

iNTfR§gG®JQN PE 'DOS PLANOS.Hi5> <<fi Jt h ' rM H ?•> d.( 1* : ' :«!

Dos planos o< y |2» determinan al cortarse una recta. Para determinarla esnecesario, tener presente que la misma debe cumplir la condición de pórtenencia respecto de oc y de, (b s ímu 1 táneamente . La única recta que cumple esas condiciones, es la que determinan los puntos, comunes a las líneas denivel de *íy ¡i de igual

1 t* i i! 1 M

s. V i i

«. t !> ’

cota .

V> A.¡

f ig.17.u : uf

A

b)H Poa .?

to ;

• M19*~ INTERSECCION1 DE UNA RECTA Y UN' PLANO. i

Para determinar el punto común a r¡ y;<><: V s¿ ut i liza un' pVano iauxi 1 iát ique contenga a r (f f g .*»5, Cap . I l) . ’ La intersección de re L* , es Va- in¬tersección de r y c< . *

y¿f í g . 1 8 (5,3)U

4-í &3 '<3J- /

.2 f3: V °¿o

loóo b):í =a)n> S\Pfb

PROBLEMAS METRICOS,

10.-

Nuevamente es necesario establecer primeramente la condición de perpen-diqulpj-i dpd. VÓ.t re recta y p l.anb;,,; 'jáa.ra expresad pbster fórmente la condi-5ÍPP fcprpeqdi ciliar i dM entre 'rectas y éntre planos (Cap .11, T f t 34 ) .Nade observarse que, dados un plapp i* y una recta* h perpend i cu.l ar. a: <*, , .la proyección nQ de n será perpendicular a las líneas de nivel de <* (analogip con primera proyección de Mongé) ; es decir» Mna recta perpendiculara yn plano genético, tiene su proyección paralela a la escala de pendíenÿte del plano, ‘ '• ;

fv ¡i; k

PERPENDICULARIDAD.

i .

o?f ¿Y'

§)

k)f

; : •

•Y'ÍCL ’••••!. ' . .

Puesto que la proyección por sf no individual !¡?a a la recta, y RM®infinitas rectas (no perpendiculares a Sé) con proyocoion no, la -cion anterior es necesaria pero no suficiente. Es necesario graduar arecta para individual izarla, y en este caso es necesario hacerlo .Je

modo que - sea efstl i yimenje perpend i §u 1 ar al plano <*.

hay

W

"TV-/

P,

v=* I

TA.M'Rv /

Im = \a&

en el piano proyectanteestricta. entre los interva-esos elementos en ' funcion

n, definen un triangulovertical estan dados por

respect i vamente. Tambien dospend i ente) def i nen

intervalo iÿ de c-C y la u-esta dado en funcion de la

m; los angulos if = MPR y

grafica analoga a la rea-Intervalo de uno de los e-

intervalo del otro (el piano o

un

1

U

=L.sct In

recfprocos.

cotas de n y m crecen ha-consecuencia, las graduacio-

una recta n representa-ortogonales cond i c i o“son

proyeccion de la recta sea para-sus intervalos sean rec!

sentidos- opuestos.

o,3N - f 84 N

AJr, "ft /

7J

intervalo de n se realiza co

rectas y entre pianos, al i -funcion de las condicio¬

l!

J =s>b.kaab ilc*

5

A&0 bo b)

supondremos que la unldad de cota

TV-/

P.

=*l

1_*'RIm s iod

en el planoproyectanteestricta, entre los interva¬esos elementos en ' función

n, definen un triángulovertical están dados por

respectivamente. También dospend i ente) def i nen

intervalo i<* de y la u-dado en función de la

m; los ángulos tf= MPR y

gráfica análoga a la rea¬intervalo de uno de los e-

intervalo del otro (el plano o

un

1

-is1

recíprocos.

cotas de n y m crecen ha¬consecuencia, las graduacio¬

una recta n representa¬ortogonales, son

proyección de la recta sea para¬sus intervalos sean recí_

sentidos., opuestos.

-U““T"In

In

cond icio-

IOQ3 í - t 8

<// \%tIn K.7

7intervalo de n se realiza C£

y entre planos, alfunción de las

i -cond i c i o-

Á J=>b.kaab -fias.5

f> 6\* bo b): O

supondremos que la unidad de cota

TV “/ücontiKift utiCKiMivA - canos jrTnesnevar

P,ri YÿfV-C>

M_N=>i 3|

<N'! T :¿_Vb N KH

'RHo E m0 In I m = iad

fig. 20

Analizando la disposición geométrica que resulta en el plano proyectantet que contiene a n , se observa una relación estricta, entre los interva¬los de c=C y de n, que permite graduar a uno de esos elementos en ' funcióndel otro. En efecto:Dos puntos consecutivos de cota entera N y P de n, definen unrectángulo NRP tal que los catetos horizontal y vertical están dados porel intervalo In de n y la unidad de cota u respectivamente. También dospuntos de cota entera de m (recta de de máxima pend i ente) def i ne ntriángulo rectángulo MRP, cuyos catetos son el intervalo de ex' y la u-nidad de cota u. Cada uno de esos t r i ángu 1 os está dado en función deforma del otro, ya que siendo n perpendicular a m; los ángulos i|) = MPR y

NPR son complementarios.

En consecuencia, por medio de una construcción gráfica análoga a la rea¬lizada en la figura -20, es posible conocer el Intervalo de uno de los e-lementos (la recta o el plano) conocido el Intervalo del otro (el plano o1 a recta) .se observa que:

triángulo

u n

la

1del triángulo NPR : tg if =~~ =* Xn Xn

MPR ; tg - -iíí

es decir, los intervalos de oL y n son números recíprocos.

También puede observarse en la. fig. 20 que las cotas de n y m crecen ha¬cia derecha e izquierda respectivamente; en consecuencia, las graduacio¬nes de nQ y m0 crecen en sentidos opuestos.

Puede entonces expresarse: Para que un plano e< y. una recta n representa¬dos en Proyecciones Acotadas sean mutuamente ortogonales, sonnes necesarias y suficientes: a) que la proyección de la recta sea para¬lela a la escala de pendiente del plano; b) que sus intervalos sean rec_íprocos; c) que sus graduaciones procedan en sentidos; opuestos.

í

I-nIII I

cond i c I o-

fig *2i33 3 h4 4 \4

'4<r /A K./

73°¿o h i

La construcción auxiliar para determinar el intervalo de n se realiza c_omdnmente como lo indica la fig.21.

Las condiciones de perpendicularidad entre rectas y entre planos, algual que en el método de Monge , se expresan en función de lasnes establecidas para recta y plano (fig. 22).

i -cond i c i o-

J ~>b,kaa éQí

b kcw>6\2 5A

g n k. o*AtP A 6 Q

\*>§a) f i g . 22 bo b)A50*5 pO ;«¿0

NOTA: Salvo indicación en contrario, supondremos que la unidad de cotaes el centímetro.

I V -8

un piano No Pro

del piano (itnea-dela existencia de

Tit.2, fig.7*

“ 1 1 ado/- • o-aba-co }Jo r o

puede aplicarse law

%

Bo

D)'%! "7

//

/ /

'A/

cl/

y N0 es la hipoteÿdados por Mc — N0cotas). Por me-figura 24, queda

N0(5)

MN

Monge (Cap.II,Tit.36).al piano dado o<,

distancia entre P e

o

I V-8

un plano No Pro

tanto poro w

puede aplicarse ladel plano (linea de

la existencia deTit.2, fig.7.

• - -i ? ado o-aba-

Bo

D) / \CoBHr

/-•i/

/ i'A/

ti"03)

y N0 es la hipótedados por M0 — N0cotas).

figura 24,Por me¬

qued a

N0(5)

MN

Monge (Cap.ll,Tit.36).al plano dado o<,

distancia entre P e

loS

'

Js~

£

Carlos Chesñevar I V-8GEOMETRIA DESCR I PT I VAWi25«lOTfl3Wi«>v

11.- VERDADERA FORMA DE UNA FIGURA PLANA. Abatimiento de un plano No Proyectante.

c] problema no difiere, en concepción y procedió!porcunamente en el Metólto de Monge (Cap . I I , T i t . jü/ , tanto poro

_Cimiento directo como para el inverso. En ambos casos puede aplicarse laafinidad ortogonal que se genera, con eje en la recta del plano (línea-denivel) utilizada como eje de giro. La fundamentac ion de la existencia deesa homología es análoga a la señalada en el Cap. III, T?t.2, fig.7*

• ** ? ado o-aba-

/ot:

/"!ÿ>d) -A..ÍPOX/ s¿- f ¡g.23 BoJ. AQ /

1 P) r;d) 1 Ncr

pr'A

// rvty.!

y* c)__n, /-A' \\ LDo\ /(A) /

b) o / /Y 'As/

Si*

el"\ / /f

f'íp) (1B)/(n)/ \ \

12 •“ DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS,

La distancia entre dos puntos M y N de proyecciones M0 y N0 es la hipote_nusa del triángulo rectángulo MRN, cuyos cate,tos están dados por M0 — No(distancia entre las proyecciones) y R-N (diferencia de cotas). Pordio de una construcción gráfica como la indicada en la figura 24,sonocida la distancia MN .

me -queda

A4Ti

Rb)a)

N0(5)• _»No -- xjl

MpMJ.fig.24d MÑ

13. “ DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO,

:1 concepto es idéntico al aplicado en el Método de Monge (Cap . I I ,T i t . 3 6).’or el punto dado P se conduce una recta n perpendicular al plano dado o< ,leter minándose el punto I, intersección de n y oí. . La distancia entre P e. (Tít.12) equivale a la-distancia entre P y oí..

n„

9PO(4) „P0Í4)\7 V -A 5

U0(5.6)-S

6.fe

a) sxb) í<r~

&5.5,

f ig.25

I V-9ig:.

• .

37, seVepresenta un pianoterm i nandose e 1 punto I,(Tit.12) equi va 1 e a 1 a

<s n> v TosN/

1 51=<?sy

6

C)

alabeadas a y b por medio deprocedimiento que indica el es

1 a

3

,\A

rQ(33)

V©

,<0

kw dAB~ dab

.v.'0°

pianos dados <xf y [2 ,define dosrespect i vamente), siend.odistancia entre loS pianos.

distancia.

1 a

pos i b 1 e med i r 1 o aun cuandodefinido por el angulo que

dadas. Igual que en el Metob,se abate el planoauxiliar

b I

4 \\\5

\

\ :

A\ (PKÿ& (O')4/

I V -9

Tit.37, se 'representa un planoterm i nándose e 1 punto I,(X i t.12) equ i va I e a la

<s\'r° 'Jo

i, 5 \5

6

c)

alabeadas a y b por medio deprocedimiento que indica el es

1 a

ÁJ s/v«.

r0,(33)AM¡A*

f.A

A

Kx¡>>

(

planos dados exf y ,define dosrespectivamente), siendodistancia entre 1 o's planos.

distancia.

1 a

posible medirlo aundefinido por el ángulo que

dadas. Igual que en el Metose abate el plano aux iliarb1

cuando

\4, \\5 \

\\

\ l :

J,y— (PJ\bo (a'l

4/

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J. Chesñevar I V-9

- * -i

14 •- DISTANCIA ENTRE UN -PUNTO Y UNA RECTA,

Según el concepto aplicado en el Cap. II, T i t .37 > se representa un planoe< que contenga a P y sea perpendicular a r, de te rm i nándose e 1 punto I,intersección de oty r. La distancia entre P e l (Ti i-.12) ; equivale a ladistancia entre P y r.

% ó‘ 'r° Yo'r0 .

ÁTPo ( s) rhafJ(5)

l <0

A8-.16

<ÿo<y6 "76

c)f i g . 2 6a) - b).r0/

15.- DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS ALABEADAS,

Para medir la distncia entre dos rectas alabeadas a y b por medio deperpendicular común, es aplicable el mismo procedimiento que indica elquema de la figura 72-1 del Cap. II.

la

LL fTn A,b)a) A \

\ o\4 V>.

\1 ,(33)AJ4.2AX7- fu

3 L 0

A

[VdAB:: dab2 bo

a0 vV>f ig.27

16.- DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS

i AJO

(

Un plano proyectante Y perpendicular a los planos dados y [1 ¡define dosrectas a y b de máxima pendiente (en °i y ¡b respectivamente), siendodistancia entre las mismas equivalente a la distancia entre loS planos.El abatimiento de ~fí permite medir esa distancia.

1 a

a) b)A yT

0 /of i g . 28 a z y/QoA

17.- ANGULO ENTRE DOS RECTAS,

cuandoRecordemos que el ángulo entre dos rectas es pos i b 1 e med i r 1 o aunlas mismas son alabeadas, quedando en tal caso definido por el ángulo que

forman dos rectas coplanares paralelas a las dadas. Igual que en el Meto

do de Monge, para medir el ángulo entre a y b, se abate el plano a ux iliar

Y que contiene a las paralelas auxiliares a' y b f

A X.4,\

A?/ \*7 5,b) \a)

\¿&(5,7j2 ,7 \ 1I3,5)A-3 ,6 -Ai (B 1/ T

(FT,ac-tic, (O')bo 5/ÿ

f i g . 29 4/

I V - 10ISSB

.r- nuivalentedcunimu, , „ inter-

perpendicular a i, y serespect ivamente).&

'

es el angu-

< 3ab:eCi3lbo

4 £o

Mo to!

\5 6‘

Oft

s N

pianoangulo entre r eentre r y <xl.

represents un

4-ri z rocc.4

c*;6

b)no

PLANO

mayor que la pend i enes de maxima perÿ

un piano dado ,Problemas de esta natura-

situaciones (por ejerndebe estar apoya

determinada pendiente).

(Tit.4) de modo quesituation tal queentera sea Ir,a~

Ifneas de nivelasegurada la perte-de lograrlolo mues_

de

y P el punto de°<

nducirse a r, de

pendiente sea de 1/5 (es

circunfencia, quedan

R0 enla que

dedef i n i -

la 1 f nea decont iene

I V - 1 O

-¿IU I va 1 entedet&,,H,«u , , ínter-

perpendicular ai, y serespectivamente).<=

'

es el ánqu-

< *<>cñ>ab:Jí°

li. £„

dil¡Nolo

;S

*. *ri = roa,

b)n0

PLANO,

mayor que la pend i eriÿes de máxima pen_

un plano dado oz ,de esta natura¬

situaciones (por ejemdebe estar apoya

determinada pendiente),(Tit.A) de modo que

situación tal queentera sea Ir,a-

líneas de nivel deasegurada la perte-

lograrlo lo mues_

P el punto deconducirse a r, de

sea de 1/5 (es

circurifencía dequedan defini¬

R0 en la línea dela que contiene

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlo j. Chesfieyar IV-10«**

18 ANGULO INIRE DOS PLANOS,

Dados Ips planos »c y /?> } procedemos a represent‘ la í íg.75-p del Cap.íl; es decir, después ,Jt*. dete,.«

sección i de u. y (b , se representa un plano £. perpendicular a i, y seobtienen las rectas a y b (intersecciones de £, con ec y ¡h respectivamente).El ángulo entre a y b, medido mediante el abatimiento de ¿ , es el ángu¬lo entre <ÿy s

•n U i v a 1 e n t eínter-< •

i 1U í

< *Aa) b) ab:\ boY.V

4.K 4 £*5

f ig.30QCQ.Le.

\ 6:(t / \j

£ --•-i -ik/'Tÿ-/§

\

19. - ANGULO ENTRE RECTA Y PLANO,

?;»;!-?"*%*' ; de »* f¡g.76-adel Cap.íl, se representa un planoauxiliar £ que contiene a r y es perpendicular a <* , El ángulo entre r e’

me d i do mediante el abatimiento de £ , es el ángulo entre r y .i

\3 U

*. *4 f i g . 3 1 ,3, n = roí.3

In-7 /\2r»

/ C.-C6.4 4;3 3r<> Pi*a) b)/ n0

£o

20.- RECTAS DE UN PLANO CON PENDIENTE DISTINTA A LA DEL PLANO,

La pendiente de una recta no puede ser, desde luego, mayor que la pend i ente de un plano" que la contenga; será igual (sí la recta es de máxima pe¿líente) o menor . , .

4os proponemos representar una recta r perteneciente a un plano dado ,sstabíec i endo cuál debe ser 1á pendiente de r. Problemas de esta natura¬leza pueden presentarse en la práctica en diversas situaciones (por e j em

por las condiciones del proyecto, debe estar apoyadeterminada pendiente).

3 lo: un conducto queio eiT un techo, piso o rampa existente, y mantener

i

-a peno { en te’ de una recta es función de su intervalo (Tit.A) de modo que2stablecido el intervalo Ir de r, debe dibujarse rQ en situación tal quela distancia entre dos puntos consecutivos de r de cota entera sea Ir,a-segurando a la vez que esos puntos pertenezcan a las iíneas de nivelOí. con cotas iguales a las de los puntos. Q,ueda así asegurada la perte¬nencia de r a o¿ ,. y la pendiente de r. Un modo simple de lograrlo lo mués

t r a e. 1 s i g u i e n t e e j emp 1 o:

de

Sea c¿ el plano dado y P el punto de »<

por el cual debe conducirse a r, de

modo que su pendiente sea de 1/5 (esdecir, Ir= 5u ) .Dibujando un arco ele circunfencía de

centro PG y radio 5u, quedan defini¬dos dos puntos N0 y R0 en la línea denivel de oc. inmediata a la que contienea P .

*%a) 3X

2?

34 f ig.32

\ V\ •Po3? u~ 0,2 cm,b) /

2,

—.......-'rirrT.-—I V"1 1

...

1/5 y pertenÿ.cen

y m que confienenrespectivamente,

PENDIENTE DISTINTA A LA DE LA

pianos con pendiente que la

1* con centro en un pun-recciones de las Ifneas decontener a r« En efecto,

punto.de cota entera inmediatoarco, para lei a a 1 a ante-

u n p 1 a no; q ue, conven i en

tangentes al arco, resul tan_condiciones' requeridas.

Po

/

4

/3 */

3

Po3

por Ifneas de nivel corÿ$)* La equidistancla (dconsecutive) se adopta de

precision deseada.

10

la representacionIfneas de nivel consecutj_

calculo en determ inado entornoITneas inmediatas fueranes plana en el entorno es_

tanto mas preciso cuanto me-

se

I V-1 1rasas

y m que contienenrespectivamente,1/5 y pertenecen

PENDIENTE DISTINTA A LA DE LA

planos con pendiente i. que la

iÿ con centro en un pun¬direcciones de las líneas de

contener a r. En efecto,de cota entera inmediatoarco, paralela.ala ante¬

un plano; que, conven i en_

tangentes al arco, resultarÿcondiciones requeridas

n»

/

VA

á<3

3

A\3

comúnmente por líneas de nivel co¿(Tit.5)* La equidistancia (dJ_

consecutiva) se adopta deprecisión deseada.

10

ir

en la. representación,líneas de nivel consecutj_

cálculo en determinado entornolíneas inmediatas fueran lí_

es plana en el entorno es_tanto mas preciso cuanto me¬

se

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA - Carlos J. Chesñevar I V-1 1rasas

«

¡r° /

“ Ro

-22» Las dos rectas r y m que contienena Ro Po Y Mo Po respectivamente,son de pendiente 1/5 y pertenecena e< .

ftNo

f íg-32-cJ

2.1.- PLANOS OUE CONTIENEN A UNA RECTA CON PENDIENTE DISTINTA A LA DE LARECTA,

Dada r» nos proponemos determinar el o los planos con pendiente i. que lacont i enen ..Si se dibuja un arco de circunferencia de radio iÿ con centro en un pun¬to de r de cota entera, quedan definidas las direcciones de las líneas denivel de los planos con intervalo iÿ que pueden contener a r. En efecto,pasando una recta tangente al arco por el punto de cota entera inmediatoal usado como centro, y otra por el centro del arco, paralela. ala ante¬rior, quedan establecidas dos líneas de nivel de un plano; que, conven i en_teniente graduado, contiene a r.

Es evidente que por el mismo punto pasan dos tangentes al arco, resultarÿdo en defin i t i va dos planos que cumplen con las condiciones requeridas

n> \r0 n»

/

\4 V4 VA

á/loe./<3¥3\3

3'4

Af.ig.33 \3

22'.- SUPERFICIES TOPOGRAFICAS.

La superficie del suelo se representa comúnmente por líneas de nivel co¿cebidas en igual forma que las de un plano (Tit.5)* La equidistancia ( d J_ferencia. de cota entre una línea de nivel y la consecutiva) se adopta deacuerdo a los accidentes del terreno y a la precisión deseada.

10

5.

0,/r

irf i g •31*

Es importante tener presente que, al operarse en la. representación,acepta que. la superficie comprendida entre dos líneas de nivel consecutj_

es reglada. Es decir, al realizar un cálculo en determinado entorno

de la superficie, procedemos como si las dos líneas inmediatas fueran lí_neas de nivel de un plano, y que la superficie es plana en el entorno es_tudíado. En consecuencia, el resultado sera tanto mas preciso cuanto me¬

se

vas ,

I V -12en ese entorno.

inacjon de la cotasuperficie dada

p roced i m i ento sesera tanto mas pre-

a una recta hayasuperficie.

por

pertenece a una super_determinada pendiente

para tendido de con-

de nivel con equi-1:5.000 (fig.36).uniendo las zonas

comprendida entredosel intervalo de u -

pendiente del 2%,unidad de cota el me¬

m.

tanc i a entre Ifneasla porcion de rec¬

interesa ubicar entretres veces el in

Luego, el intervalo de

It » 3 Ir - 150 m.

escala natural, es nedel dibujo:

. ~ 3 cm.

sobre la Ifnea deIt “ 3 cm. determj_6; tanto m como n,ambas tienen pen¬cm. de radio hasÿ

hasta llegar a la zo¬trazados d f st i n tos . pa-

NTvo

I V - 1 2

en ese entorno.

determinación de la cotarf i c i e dadaprocedimiento se

será tanto más pre¬a una recta haya

superficie.

por

pertenece a una super_determinada pendiente

para tendido de con¬

de nivel con equi¬1:5.000 (fig.36).uniendo las zonas

comprendida entredósel intervalo de u -

pendiente del 2%,unidad de cota el me¬

m.

equidistancia entre líneasla porción de rec¬

interesa ubicar entretres veces el in_

Luego, el intervalo de

It - 3 Ir - 150 m.

escala natural, es nedel dibujo:

m. ~ 3 cm.

sobre ia línea deIt “ 3 cm. deterrru6; tanto m como n>ambas tienen

i

pen¬cm. de radio has_

hasta llegar a la zo¬trazados d í st i n tos pa-

B

"T\Q

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J C hesñeva r i V -1 2

TOS se aparte la superficie verdadera de la forma plana en ese entorno,

Por ejemplo, la determinación de la cotade P (punto, de una superficie dada porIfneas de nivel) por el procedimiento sehalado en la f í g - 35 » será tanto más pre¬cisa cuánto más próxima a una recta hayasido la línea MM de la superficie,

NSL /(N)10/

-ytp)

5 '-- f ig.35jMo

En el ejemplo siguiente se determina una línea que pertenece a una supe£fície dada, de modo tal que la línea conserva una determinada pendiente(de aplicación en estudios para trazado de caminos, para tendido de con¬ductos, etc.)

Supóngase conocida una porción territorial por líneas de nivel con equi¬distancia de 3„metros, en un plano dibujado en escala 1:5.000 (fig.36).interesa establecer una línea sobre el suelo tal que, uniendo las zonasA y B, tenga en todo momento una pendiente del 2%.

Recordando que debe admitirse plana a la superficie comprendida entredóslíneas de nivel consecutivas, es necesario establecer e1 intervalo de u -

na recta con pendiente del 2%.Tomando como unidad de cota el me¬tro, es Xr = 50 m .2

100

2 1Ir =100. _50

100 ~ Ir Como la equidistancia entre líneases de 3 metros, la porción de rec¬ta que nos interesa ubicar entredos de ellas vale tres veces el in_térvalo’ Ir. Luego, el intervalo detrabajo 11 vale

2

3ulOÜ

3 IrIt - 3 Ir - 150 m.

Considerando que la representación no está dada en escala natural, es necesarío hallar el valor equivalente a lt en la escala del dibujo:

0,03 m . - 3 cm.

De modo que, eligiendo un punto P de la zona A, situado sobre la línea denivel de cota 3, trazamos un arco de centro P y radio I t - 3 cm. determj_nando dos puntos M0 y N0 en la línea de nivel de cota 6; tanto m como n,son rectas contenidas en esa porción de superficie, y ambas tienen pen¬diente 1 en 50, Con centro en N0 se hace otro arco de 3 cm. de radio has_ta cortar la línea de cota 9, y así sucesivamente, hasta llegar a la zo¬na B. Es evidente que es posible localizar varios trazados distintos pa¬ra una línea con iguales condiciones de pendiente.

150 m. en escala 1: 5.000

)

4B B

4 21 ¿ i —~

18-- 18

1515-

12 12

9 9

6

1\o3, 3

A A

_JESCALA 1:50.00

b)a) fig.36

V - 1


proyecta desde un centre

en posicion aparentementeinterpretacion.de la figura,

pianos verticales u horizonta-relativas (en relacion al

p ro*asignauna ori.entacion particu-

cua-

de 0 respecto' a IT se in¬(llamado punto principally un

distancia)distancia

cuyo radio vale la dis_principal).

•O0

proyectante del sistema. La tra-proyeccion de los

proyectante del sistema. La trazaproyeccion de las rectas que

contiene a 0 y e.s paraleloespacio tres estratos:

el piano impropio.y el cuadro.

piano impropio.

puntos

al

0TT

J

IT

determinada por la tra-<

que r' coincide conmismo piano proyectante.

y la proyeccion I). desupartir de la representacion.

r. Puede entonces expre

1 a

V-l


proyecta desde un centrouna orientación particu¬

posición aparentementeinterpretación.de la figura,

verticales u horizonta¬relativas (en relación al cua¬

de 0 respecto a f se in¬(llamado punto principally un

i a). cuyo radio vale la di£principal).

pro-

*o0

proyectante del sistema.proyección de los

proyectante del sistema. La trazaproyección de las rectas que

contiene a 0 y es paraleloespacio tres estratos:

el plano impropio.y el cuadro.

plano impropio.

La tra-puntos

al

o ?TI'

.A Q». - IT

determinada por la tra-)*

coincide con 1 aque rmismo plano proyectante.

y la proyección 1ÿ desupartir de la representación.

r. Puede entonces expre

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J. Chesñevar V-1

V) METODO DE LA PROYECCION CENTRAL

REPRESENTACION DE LOS ENTES FUNDAMENTALES - PARALELISMO-PERTENENCIA

!ÿ- SISTEMA DE REPRESENTACION,

En el método de la Proyección Central se proyecta desde un centropío 0 sobre un cuadro lf , al cual no se asigna una orientación particu¬lar. En algunos casos el cuadro será dibujado en posición aparentementehorizontal, con el único fin de facilitar la interpretacion.de la figura,pero no hablaremos en general de rectas y planos verticales u horizonta¬les, sino de direcciones y orientaciones relativas (en relación ald r o ) .En la representación bidimensional , la posición de O respecto a 11 se in¬dividualiza con su proyección ortogona 1 O0 ( 1 1 amado punto principally uncírculo de centro 0o (llamado círculo de distancia) cuyo rad i o va 1 e la dis_tanda d (distancia de O a lí , llamada distancia principal).

p ro*

cu a -

2>-b)O

\ ¿d TT .a)

'\ú°•o0

f i g •1

Toda recta que pase por O, es una recta proyectante del sistema.za en Tí de cualquier recta proyectante, es la proyección de losque la misma contiene.

Todo plano que pasa por O, es un plano proyectante del sistema. La trazaen íf de cualquier plano, proyectante, es la proyección de las rectas queel mismo contiene.

Llamaremos plano anterior al plano Tí que contiene a O y es paralelocuadro Tí (fig.2). Quedan así definidos en el espacio tres estratos:

Primer Estrato: Limitado por el plano anterior y el plano impropio.Segundo Estrato: Limitado por el plano anterior y el cuadro.Tercer Estrato: Limitado por el cuadro y el plano impropio.

La tra-puntos

a 1

b)a) 7T I OT-0 7?ti=+ n i

V.¿SE.A 0o fig.2 IT

III

2." REPRESENTACION DE LA RECTA.

de una recta cualquiera r queda determinada por la tra-La proyección rza del plano proyectante que la contiene (fig-3).

coincide con laindividualiza a r, puesto que rEs evidente que rproyecciónÿ de todas las rectas contenidas en el mismo plano proyectante.

Es necesario entonces agregar otros elementos.

no

Si a la proyección r‘ se agrega la traza. Tr de r y la proyección Iÿde su

punto impropio I r , puede reconstruirse r a partir de la representación.

El punto 1ÿ es llamado punto de fuga de la recta r. Puede entonces expre

V-2iMSaaoic*.-'

imagen (proyeccion

Arr

c)

y 1

de r‘, un piano

, puesto que lael rayo proyectain

contenga a P, es posi~

decirse:

la imagen, traza

Im

es suficiente para

la recta impropiaa oc.)t el par dees decir, lo in¬

ahora decirse:

1

,0*

\T

V-2

imagen (proyección

„0o

r*

c)

y 1

de r1, un plano

puesto que larayo proyectarÿ

contenga a P, es post-decirse:

la imagen, traza

„0o

Im

suficiente pararecta impropiaoc), el par de

es decir, lo in¬

ahora decirse:

,0,

\ T

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J. Chesñevar V-2

sa r se:

Una recta r queda individualizada cuando se conoce su imagen (proyecciónr1), su traza y su fuga.

f i g . 3

Jo.loo\0o

? r r-í i .0.Ir 77 7T.Í0o r‘

Trr' IV,r1 r

\a) b) c)

De lo anterior se deduce que:

Ir= TrPara una recta proyectante» es r

Para una recta del cuadro, es r s r'; son impropios Tr y 1 'r- Para una recta paralela al cuadro, debe darse, además de r1, un

que la coatenga.plano

3." REPRESENTACION DEL PUNTO,

Un punto P no queda individualizado por su proyección P', puesto que lamisma coincide con la de todos los puntos que contiene el rayo proyectanÿtequecontieneaP.

Agregando a P1 la representación de una recta qué contenga a P, es posi¬ble reconstruir rigurosamente a P. Puede entonces decirse:

Un punto P queda individualizado por su proyección P' y la imagen, trazay fuga de una recta que lo contiene.

b) 4,m i ITa) 1,

I <A77"Oo \ jiX?

ni ImP'. Tm-&ÿ

f i g .rn

4-“ REPRESENTACION DEL PLANO,

Un piano genérico &< define su traza en H' ; ella no es suficiente paraindividualizar a oi . S i se agrega la proyección id de la recta impropia

iw de o< (determinada por un plano proyectante paralelo a <*: ) > el par derectas paralelas tÿ permite ahora reconstruir a , es decir, lo in¬dividualizan.

La recta i es llamada recta fuga del plano . Puede ahora decirse:

Un plano queda representado por su traza y su fuga.

a) b)a<

t <K.r° toe \ ,0oI 7T

\¿ Oo¡L\

Y

T i g . 5

V-3

son improplas. Es nece-zar 1 o.

rectas parale.las tienenel punto. impropio. En con

secuenciadentes.

en

sus fugas seran coirÿ

pianos paralelos tienen en cola recta impropia;

fugas seran co i nc i dentes.uego »

recta y un piano paralelos,en comun un punto impro¬punto impropio de la rec

pertenece a la recta impro¬piano). Luego:e! punto

de la recta pertenece a lafuga del piano.

de la recta estara con-impropio de la recta per¬

el punto fuga de r esta_

pertenece a t , y If pertenece

:Itec I06

_\Tr

r1

punto, propio o impropio.las caracte r fst i cas de la

V-3

son impropias. Es nece¬individualizarlo.

rectas paralelas tienen enel punto impropio. En corÿ

secuencia, sus fugas serán coinÿdentes.

planos paralelos tienenen corecta impropia; luego,

susfugas serán coincidentes.

recta y un plano paralelos,en común un punto impro¬punto impropio de la rec

pertenece a la recta impro¬plano). Luego: el puntola recta pertenece a la

fuga del plano.

de la recta estará con¬impropio de la recta per¬

el punto fuga de r esta_

pertenece a tÿ , y If pertenece

/fpiUU

Ir Ir r‘

punto, propio o impropio.las características de la

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J . Chesñevar V -3

De lo anterior se deduce:

- Para un plano proyectante, es tÿ a i L

- Para un plano paralelo al cuadro, traza y fuga son impropias. Es nece¬sario dar un punto del plano para Individualizarlo.

PARALELISMO Y PERTENENCIA,

5-.- RECTAS PARALELAS,

Dos rectas paralelas tienencomún el punto impropio. En co¿secuencia, sus fugas serán coinc i dentes .

en

'Tm

<5-r*

TrIr = I m

f íg.6

6» - PLANOS PARALELOS,

Dos planos paralelos tienenen c;ocomún la recta impropia; luego,sus fugas serán coincidentes.f ig.7

X

\7.- RECTA Y PLANO PARALELOS,

Una recta y un plano paralelos,tienen én común un punto impro¬pio, (el punto impropio de la recta pertenece a la recta impro¬pia del p laño) . Luego ; el puntofuga.de la recta pertenece a larecta fuga del plano.

A Te¿

riv .r' /f ig .8Tr /

8." RECTA DE Ull PLANO,

Si una recta r pertenece a un plano o£ , 1 a traza de la recta estará con¬tenida en la traza del plano. Además, el punto impropio de la recta per¬tenece a la recta impropia del plano, por lo que el punto fuga de r esta,rá contenido en la recta fuga de c¿ . Conclusión:

La recta r pertenece al plano , si Tr pertenece a tÿ , y If:a i U •

pertenece

d) b> AF'ÿ o,riUtoo«c

< Ii Trr’ a Ir r'Tr Ir f ig.9

\9-- COPLANARIDAD DE DOS RECTAS,

Dos rectas son coplanares si tienen en común un punto, propio o impropio.Según la situación de ese punto común, varían las característicasrepresentación.

de la

V-k

piano queque contie-

fugaes la para

son parale-1 a s

pertenecen alcuya traza y

y b'.

rectas tienencuadro (laspi .3 no que

recta

en cot ra1 as

que c.ontie-traza es la pa-= T b.

punto P. La tra¬contiene

contiene a TaI i, y

Las rectas tie

esy Tbi

T lb

ori de la recta a

cualquler ot ra recta rque r

necesarlo que lacontiene a Ia y 1

contiene a r y a).

1 contenga arecta

tr 9

A

;A!r

c)Ta ur

recta del piano.piano dado, para ve_carnbio de represenes posible, el pun_

.1

loC -rJC ioO

!Q t>)a

M-k

plano queque contie-

fuga.es la para_I¿.

son parale-1 as

pertenecen alcuya traza y

y b1.

rectas tienen en cocuadro (las traplano que

recta que contie¬traza es la pa¬2 T5,

1 as

Las rectas .tíe_punto P. La tra¬

contienecontiene a Ta

1¿ y

esy Jb>

representación de lacualquier otra recta r

que r* contenga anecesario que la

contiene a I¿ y 1,-»contiene a r y a).

recta a

recta

,/A

A’r1

c)t'rlá

recta del plano.plano dado, para vecambio de represenÿes posible, el pun_

>c 1

b)a

GEOMETRIA DESCRIPTIVA Carlos J. Chesñevar \l-k

a'II

a — í ¿las. La traza del plano quecontiene es la recta que contie-ne a Ta y T ; la fuga es la paralela a t* por I i, a. I¿.

. Las rectas son parale-1 a s

/1'aSlb toe f ig . 10/

Ib'¡ik

Taíb a1 = b'. Las rectas pertenecen alplano proyectante, cuya traza yfuga coincide con a* y b'.

Ibláa'

f i g . 1 1

a’1" q = Tÿ . Las rectas t ienen en comun un punto del cuadro (las tra_

1 a s

f i g •1 2

><ía zas). La fuga del plano quecontiene es la recta que contie¬ne a y I¿. La traza es lara le 1 a a ÍJ, por Ta = T b .

b'•I&cpa -

=

a1Ta " H a ~ 1¿ • Las rectas ti£nen en común el punto P. La tra¬za del plano que la contienela rectaque contiene a Ta yla fuga contiene a I ¿ y 1¿ .

t oOy

/ íbP' es

Ja f ig. 13/Tb -cIce.

10.- CAMBIO DE REPRESENTACION DE UN PUNTO,

Un punto A dado por su proyección A1 y la representación de laque lo contiene, puede quedar individualizado por cualquier otra recta rque lo contenga. Para ello, son condiciones necesarias que r* contenga a

A‘, y que r sea coplanar con a, para 1o cual es necesario que la rectaque contiene a Ta y Tr sea paralela a la recta que contiene a y 1(las paralelas equivalen a traza y fuga del plano que contiene a r y a).

recta a

f 9

/a1V a‘ XTrVTrTaf i g . 1 4 Tar /

k' tkr*b)a) c)

Xa Ika

11•- PUNTO DE UN PLANO,

Un punto P pertenece a un plano , sí pertenece a una recta del plano.Sí ei punto está dado por una recta r que no es del plano dado, para verif i car si P esta contenido en o¿, debe intentarse un cambio de represenÿ

tación de P por medio de una recta del plano. SI ello es posible, el pun_to pertenece al plano.

>C r

ío¿,i

i/ÿ' Tr

T’rP* PrU.

X¡xk/

a1 b)f i g . 1 5.a) a

V-5r*ÿ"1 a-'ÿiWTiWWMlflMSesxaxM

:: > :

un punto A dado por A',* pertenezca a la rec

necesario que m1 contervque la recta que con-y Tm sea paralelaa la

*.a e 1ÿ (es decir,cop 1 anares).

a >

contiene a I I

sean

genericas , no cop 1 anares.r1 conteniendo a A1 y a

conveniente camblar de representa-representado por una recta co

Sera asf determ inadopertenece r, siendo entonces p£

u n

t

b

Via— A*B'

TrTa. '**<

Jb

?!<• .a r; luego, Tr pertene¬

recta s1 conteniendo1 e 1 a a Ig v por que_Tu queda def in ida t ,

I a

paralela a r, la dete.r-

is'

laA- Ia - K':lo£

Ts /

IV -5 Ikr

/ bj>

V-5

un punto A dado por A',pertenezca a la rec

necesario que m1 contenque la recta que con¬y Tm sea paralela a la

contiene a e 1ÿ (es decir,sean cop 1 anares).

a »

genéricas, no cop 1 anares.r1 conteniendo a A1 y a

conveniente cambiar de representa¬representado por una recta co

Será así determinado unpertenece r, siendo entonces pío

Ib'\la l'bíIs

A’ iUB’

XaTs

Ib

recta s1 conteniendo a.-paralela a Ia - I¿ por lá qu£

T queda definida tÿ ,L? •

a r; luego, Tr pertene¬

i

paralela a r, la deter¬

s‘. I

JaA' &Js

I:•IIV 5Isr’

/

v-5C.Kes nevar'

’ ."IPIHiV''' y;ía ; ,:. i

2 .- PUNTO DE UNA RECTA.

B»Jft<rr?«W3«alg.

"•ÿ > '•.

/Para que un punto A dado por A' ,

Ta e I¿, pertenezca a la re£ta m, es necesario que m1 contenga a A 1 , y que la recta que con¬tiene a Tg y Tm sea paralela a laque contiene a e (es decir,

cop lanares) .

Jm/ A1/ / a .

/ f i g . 1 6// Im/

/Ta que a y m . seana

PROBLEMAS GRAFICOS.

13.- RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS DADOS.

Sean Ay B dos puntos dados por dos recta a y b genéricas, no coplanares.La recta r que los contiene, .tiene su proyección r 1 conteniendo a A' y aB ' .Para determinar traza y fuga de r, es conveniente cambiar de representa¬ción a uno de los puntos, de modo que queda representado por una recta coÿplanar con la que individualiza al otro punto. Sera así determinado unplano que contiene a los puntos, al cual pertenece r, siendo entonces posible localizar la traza y la fuga de r ....

b' b'b)a)a' '*>a’Ja Ib

,A‘ r' A’ '-jUB' B’Tr 'Y\Ta Ta

Tsf i g . 1 7i* to¿.Tb Jb

Ello es posible, por ejemplo, llevando por I¿ la recta s1 conteniendo aA1, de modo que coincida con I¿ • Con una para 1 e 1 a a “ I¿ por Tá queda determinada Ts; uniendo posteriormente Ts con T|j queda definida t ,y con una paralela a ella por J¿ s 1 a fuga i L? .El plano o<f contiene a A y a B y consecuentemente a r; luego, Tr pertene¬ce a tÿ e I pertenece a .14 •-PLANO QUE CONTIENE A UN PUNTO Y UNA RECTA.

Representando una recta s que contenga a A y sea paralela a r, la deter¬minación de iK.es inmediata.

s’ .

a'A1 a'

Ta JaA’\Ta Taí.U

Js!

A V

r*Ir - TsIr TrTr

/ b;a)f i g .18

;v-#

la.fntersecelon de

fntersecelon de las

cond fc f on

Tr

Yv(p

r. La IntersectP, cpmtin a r y

?

Tm

Tr

contenga a la recrecta fuga conten¬

queda definida ;

rectas, hay 5nfin!~

/tot,loi.

4

iVr!

Tr

?•!'

,V-6

la

Intersección deIntersección de las

cond I c I ón

Tr

Aÿt

r. La Intersec¬P, común a r y

V A

Tm

Tr

contenga a la recrecta fuga conten¬

queda definida ;

rectas, hay infini¬

A/

r'

Tr

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J V-6Chesfievar .wcteaaaaf

15. r'

INTERSECCION DE DOS PLANOS.

La recta común a los planos y /V.es aquélla que verifica lade pertenencia respecto tie los dos planos simultáneamente.En consecuencia, la traza de r queda determinada por la intersección delas trazas de los planos, y ©1 punto de fuga por la intersección de lasrectas de fuga .

cond felón

a) b) Trf í g . 1 9

\\*ü, -fXx

Aÿ>\Ut-

\16.- INTERSECCION DE UNA RECTA CON UN PUNO.

Se utiliza nuevamente un plano auxiliar f que contenga a r. La intersec¬ción' de- y determina en r* la proyección P' del punto P, común a r y

c*. . , •

«o* lV /t]fb) te*.

i'o*

Tm... ImA). r1

Pr1

IV Tr II-f i g . 20 Tr

17.~ PUNO POR UN PUNTO, PARALELO A UNA RECTA DADA.

Para que el plano contenga al punto, es suficiente que contenga a la recta a; para que sea paralelo a r, es suficiente que su recta fuga conten¬ga al punto fuga de r. De modo que uniendo I¿ con If queda definida ;la traza es una paralela a iÿ por Ta.Puesto que A puede estar representado por infinitas rectas, haytas soluciones para el problema.

í nf í n I -

aV /loeb)a)Ta'

/.*

Ta

A-

Taría

/ v'

TrTr

Ir r

fig.21

!

• •* • *.

V-7

0) es un elemento con u-abat f m lento como etapa pretuados eri poslclones ge¬

centro de proyecclon 0izado en,;al Cap. If, Tit.obtfene abat f endo el

con ese radio,permfte d£

10)Co-<sr

\

\R V0*,-v.

i

b)

abatimiento una recta r contetenerse en cuenta queal rayo proyectante

que pasa por Tr, para-

A.XV

t r>

-,0)

Tr 0,

RE; \

0*tr

Mwmn

, se obtiene mediante(P); ell.o equi vale al a~

.2A).

V-7asaos

es un elemento con u-abatimiento como etapa preÿsituados en posiciones ge¬

centro de proyección 0realizado envTé'l Cap. 11, T í t.

obtiene abatiendo elcon ese radio,permite de_

%=<r :

0.1®'\-4T

\

\

4..’: :• —’ycf

b)

abatimiento una recta r contetenerse en cuenta queal rayo proyectante

que pasa por Tr „ para-

. v;

(r>

¡0)Tr 0,

v.-\

tr

b)

, se obtiene mediante(P); ello equivale al a-

(f?g.2/s).

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J, Chesñevar V-7ttE

PROBLEMAS METRICOS

18-” ABATIMIENTO DE UN PLANO PROYECTANTE

Aunque el plano proyectante (plano que pasa por 0) es un elemento con u-bicaclón excepcional , es necesario estudiar su abatimiento como etapa p revía al análisis de los abatimientos de planos situados en posiciones ge¬néricas.

En princfpios interesa establecer la posición del centro de proyección 0abatido, para lo cual es válido el análisis realizado en,Té! Cap. H, T i t,30 , . f i g . 54. El radio de giro 0 ~ R del punto 0, se obtiene abatiendo eltriángulo 0RQo (fi.g.22—. b) ; el arco de centro R, con ese radio, permite de_terminar el centro abatido (0) .

V

W

41 /T-.*y=¡V

/

k= ’yi/ - síO)0o

/ -*jr(0)0oR \\

R \f íg.22 0*V --0 •

a)b)

Para determinar la posición que asume en el abatimiento una recta r conte_nida en el plano proyectante Y de la fig. 22, debe tenerse en cuenta quela recta abatida contiene a Tr y que r es paralela al rayo proyectanteauxiliar que determina 1¿. Luego, (r) es la recta que pasa por T r , para¬lela a la recta que une (o) con I ¡- (fig.23~b).

I

. í*;

riro, ir)

iizfelA'tyaJV2 r\ V// I/Tr Í0)

\// Tr <k/ £-EMtO)"/ /0»/ *ÿ

RE* \/

Ir fr'f I g .23

b)a)

El abatimiento de un punto P de r, de proyección P‘, se obtiene mediante

la recta que une (0) con P‘, que corta a (r) en (P); ello equivale al a-

batimiento dte 1 rayo proyectante que pasa por P (fig.24).

V-8

7(rj

/to

\\

Ho* .

Forma de una Ff-

superponerse con If , to¬siguiente:

mantiene en la traza

determina su pun¬

contenidos en elque determina su

piano

proyectante auxiliar,lasconservanproyectantes

de giro t,ÿ e i=4

queda estable-circunstancias:

recta abatida (r).

consecuentemen-conocer la direccion

\

lo<£-

Ob i(6)*7\

\ \s

r~70*if.

\

b)

de r, de proyeccontenga a (0) y P

que los segrnentoslos contiene.al

, (P) y (0). (fj_

1 a>

V-8

(r)

/Apryÿ \oj

1

\

Forma de una Fi¬

superponerse con 1f , to¬siguiente:

mantiene en la traza

determina su pun¬

en elque determina su

proyectante auxiliar,lasproyectantes conservan

giro tÿ e ij;

queda estable¬circunstancias:

recta abatida (r).

consecuentemen¬la dirección

plano

\ %-M)\

\ \

770“i?.

b)

de r, de proyeca (0) y P1, lalos segmentos

los contiene,al(P) y (O). (fj_

GEOMETRIA DESCRIPTIVA Carlos J. Chesñevar v-8

b)r V

ptysiyar'0 0')

p’ pva)I N/

/tpTvÿÿWTr /

"\óf/ / Try fj,-/ /Oo

/ RV'7/ R \ —/ ír, f i g . 2 4

/ 7 Ir

.9 . Verdadera Forma de una Fi¬gura plana.

il girar el plano c* alrededor de su traza hasta superponerse con 1í , to¬la recta de abatida puede obtenerse considerando lo siguiente:

En el abatimiento, el punto traza de la recta se mantiene en ladel plano.

El rayo proyectante auxiliar de cada recta (rayo que determina su pun¬to de fuga) es paralelo a la recta.

Los rayos auxiliares de las rectas de u están contenidos en elproyectante auxiliar de oi (plano por 0, paralelo a <* , que determina surecta de fuga ij, ) .Si son abatidos sobre TT tanto ot como el plano proyectante auxiliar, lasrectas de << y los res pect i vos rayos auxiliares proyectantesel paralelismo en el abatimiento, puesto que los ejes de giro tÿ e í,¿sonparalelos.

n consecuencia, 1 a d 1 s pos i c i ón de una recta de abatida queda estable¬ada mediante la utilización combinada de dos circunstancias:

) La traza Tr de la recta es un "punto de paso" de la recta abatida (r).

“ ABATIMIENTO DE UN PLANO NO PROYECTANTE

traza

plano

conservan

) El abatimiento del plano proyectante auxiliar de =* (y consecuentemen-1 a di rece i ón

i

te del rayo proyectante auxiliar de r) permite conocerde (r) (es paralela a la recta que une (0) con 1¿).

ZTrr<r. Lt«/rÁor' M ¡*\ \r'! \i

Av/LJ/i(0)

/ Tr \Ir/

l / N. \/ \f ig.25/ 7 7o»

/ Tra)

b)

!.

’ara conocer la posición en el abatimiento de un punto P de r, de proyec;íón P‘, debe construirse una recta auxiliar que contenga a (0) y P1, la

:ua 1 corta a (r) en (P). En efecto, puede comprobarse que los segmentos

* - ( P ) y 0“(ü) son paralelos, por lo que hay un plano que los contiene, al;ua 1 pertenece P1; en consecuencia, estarán alineados P 1

¡, (P) y (0). (fj_jura 26) .

V-9anmi

fa)

toe

\(P) 1

Tr R« \;\ \

s \\

0UI’r,

posible conocer la ve£dada por su proyeccion 6,'proyeccion una figura pla_

sera estudiada la homola cual se faciljta 1 a

abatido un p 1 a no,Harras_desp 1 azam i ento - de pun-igualdad de condicio-

Por ello es incorrectositua en (0), 6 que el

(O)-P1. La posicion de e_asociadas con el. aba¬

del mismo.

Y ABATIMIENTO DE UNA FI

pers pect i v i dad (Cap.una

una figura plana en Proÿhomologos.

corresponden en una pars-sobre IT, quedan esta-

hornologfa es tÿ (proyec-hornologfa es (0) (puestocentro de perspect i v i dad

de los pianos dela pers_consecuencia, una de las figuras

de hornologfa coincide

unaperspectivas genera

c Vo

X V\\\

\A—0o CO)(F)<

b)

proyeccion de todo punto impro-conjunto de << abatido,

que la recta de fugala hornologfa ex isten

puntos del piano, (fig.25)

V-9

b)

toe.(r)¿A iot

\- V-\/p>

Tr 'ÿ

•. NX \

0“£

posible conocer la ver_dada por su proyección ó,proyección una figura p 1 a_

sera estudiada la homocual se facil.ita 1 a

abatido un p 1 ano,"arras_desplazamiento de pun¬igualdad de

Por ello es incorrectositúa en (o), ó que el

(O)-P'. La posición de e_

cond icio-

aba¬asociadas con eldel mismo.

ABATIMIENTO DE UNA F1

una pers pect i v i dad (Cap.perspectivas genera una

una figura plana en Prohomólogos.

corresponden en una pers-sobre 1T , quedan esta¬homología es tÿ (proyec¬

homología es (0) (puestocentro de perspect i v i dad

de los planos de la pers_consecuencia, una de las figuras

de homología coincide

Xc Y0

\i \\\

\¿

u* 0o '01CF)Lb)

proyección de todo punto impro¬conjunto de << abatido,

anterior que la recta de fugala homología existen

puntos del plano. (fÍg.2Ü)

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J . Chesñevar V-9

b)a )

r

¡«( t«. •

{DÁ\LP‘ 77".P 0 P‘S.ZT — \ - >r*

ill '(P¡r''

Rv7r\ """'-yp roí . -áTn/ \IrT>/ ¡\X/' .\/ f ig.26

/ 0“£

Por medio del proceso que acaba de estudiarse, es posible conocer la ver_dadera forma de cualquier figura contenida en dada por su proyección ó,por el contrario, es posible representar por su proyecc i ón una figura p 1 a_na conocida (abat imiento inverso). Posteriormente será estudiada la homologia que se genera en el abatimiento, mediante la cual se facil.itaconstrucción gráfica,

1 a

NOTA: Es importante tener presente que, cuando es abatido un p 1 a no , Harras_tra" consigo a todos sus puntos y sólo a ellos. El desplazamiento de pun-

cond t c i o-tos ajenos al plano que gira no debe asociarse en igualdad denes, al desplazamiento de los puntos del plano. Por ello es incorrectodecir que, al abatirse oc sobre ff , el centro 0 se sitúa en (0), ó que elrayo proyectante 0 - P 1 se ubica, al girar o*. • , en ( 0 ) - P 1 . La posición de e_sos elementos se dedujo anal izando -circunstancias asociadas con elt ¡miento de oí.,- pero no son consecuencia directa del mismo.

a ba -

20.- CORRESPONDENCI A H0M0L0GICA ENTRE PROYECCION Y ABATIMIENTO DE UNA F1GURA PLANA.

Puesto que un abatimiento puede concebirse como una perspective dad (Cap.Ill, fig.3) y que la proyección de dos figuras perspectivas genera unahomología (Cap.lll, T i t . 2) , la representación de una figura plana en Pr£yeccíón Central y su abatimiento, son conjuntos homólogos.

En efecto, las figuras F de <* y (F) de IT , se corresponden en una pers-pectiyidad de centro ; al proyectarse desde 0 sobre 1T, quedan esta¬blecidas F’ y (F), figuras homologas. El eje de homología es tÿ (proyec¬ción del eje de p e r s pee t i v i dad ) y el centro de homología es (0) (puestoque (0) coincide con la proyección desde 0 del centro de per spect i v i dad$<*,). Se trata de un caso particular, ya que uno de los planos de la pers_pectivídad coincide con el cuadro; en consecuencia, una de las figuras

perspectivas coincide con su proyección, y el eje de homología coincidecon el eje de perspect i V i dad .

£>c ra) c Y\ 0¿/r, :o

{ \ Y\ O\\Fxa \1 \(F) TTOo iF' &ri* w 0o '01CFJ<-

f ig.27 b)

La recta de fuga del plano contiene a la proyección de todo punto impro¬pio del plano c< ; luego, todo punto impropio del conjunto de «< abatido,tfene su homólogo en i . Se deduce de lo anterior que la recta de fugade un plano es una recta límite (Cap.lll, T í t . 3 ) de la homología existente entre la proyección y el abatimiento de los puntos del plano. (fíg.2$)

V - 10

/9W

Ooÿ./"X

\R\~-s

/

VIVHH'

Ax* *

igura ABC, conten i

!klot

*/*

\

XX

- \ B'a'

1(a)

b)

ilA)

(M)ÿ

de fugacon el

fuga, y pianosque las trazas

recta 6 rectareccion relativa,

orientacion re

dlrecciones usf) podra ser

rayos y pianosproyectante <*. es per_paralelo a CK sera per_

pos i c i ones re_punto de fuga

a la construe-

de uncuad ro

pa-

de

V-10

/KO)=U-

'RV° \VX: o*

IVHK'

S-'S

i(M)aa

figura ABC, contení~

04

\

B'a'

b)

1(A)

(MU

de fuga de uncon el

y planos pa-que las trazas

recta ó recta dedirección relativa,

orientación re

direcciones u <3

sí) podrá serrayos y planos

proyectante =ÿ<. es per_paralelo a x será PeL

posiciones repunto de fuga

a la construc-

cuadro

GEOMETRIA DESCRIPTIVA Carlos J. Chesñevar V - 1 0

/(r),

wp'p'

'(p)

Jr \RvVTr0a

r'

IVHM.'IV f ig .28a )

\S-S

/rAxb) *i<c

Se determina a continuación la verdadera forma de 1da en el plano

a figura ABC, contení

/ÿ

/ 0*( (Bey-——//Ly/ l

*0o / oc/X

\ i

A\ r¿\\yX

\ i.VJtX

-A SÁ

toC. £)'X

X\X

XX\ ti tíB' (C)irf\ a'

(MÜ

C' \C' \ \ Ua)

Aa ) b)

(A)f ig . 29

(MU

Í1-* PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTA Y PLANO»

.a posición del punto de fuga de una recta o de la recta de fugaNano, depende del ángulo que la recta o el plano forman con el»sií es que rectas paralelas tienen el mismo punto dé fuga, y planos pa-

alelos la misma recta de fuga. En general, puede decirse que las trazasnd i v ? dua 1 I za.n la posición (punto de paso en TT de una recta ó recta de

) a s o en 1T de un plano) y las fugas individualizan la dirección relativa,

.ángulo de la recta con IT ó inclinación de la recta) ó la orientación reativa (ángulo del plano con 1f ó inclinación del plano).

* u ed e entonces preverse que toda cuestión subordinada a direcciones u1T ó de elementos entre sí) podrá ser

expresada o analizada sólo en función de fugas (o de los rayos y planos

¡royectantes auxiliares). En efecto, si un plano no proyectante <*. es pejÿjendicular a una recta no proyectante r, todo plano paralelo a ¡x. será pejÿ

sendicular a toda, recta paralela a r;

lativas de la recta de fuga común a todos los planos y del punto de fuga

:omún a todas .las rectas, quedan condicionadas de acuerdo a la construe-: i ón gráfica que indica la figura 30.

de uncuadro

tentaciones relativas (ángulos con

en consecuencia, las posiciones re_

V - 1 1-Wd

cA,

o\\\\\\i IT\

-*2-a,too i‘-C IVb)

(fig.31), parares a se comienza por lie

minando R; se dibuja un ra_recta anterior y sedetermi na el

determi -

unepunto

su proyeccion y su tra

In1/

0 x ti*v\ //

/

/

Rb)

la fuga de todossu fuga,forma ana 1 oga (f i g.32}.

0*

\\ i— --'TIr

0or'

Tr.> b)\cu.

entre un punto Ip y una recrespecto al cfrculo de dis-

de la recta iÿi, y que lacondicion de perpend i cu 1 a r i dad

del modo siguiente:

sf, si el punto de fugacorresponden en !a antipola

tambien decirse quesea el ant i po 1o de la re£

piano sea la antipolar

1 a

V-1 1

cA.

V\

I \\\N

Á y, TTOotÿc ¡w I'r

b)

(fig.31), para determi¬perpendiculares a ¡* se comienza por lie

determinando R; se dibuja un rarecta anterior y se unedetermí na el puntosu proyección y su tra

ínA/ \0o Aw

/

/

Rb)

fuga, la fuga de todosforma análoga (f-ig.32).

(f

\

\

. 0or'

Trb)i~.

entre un punto I,!, y una reerespecto al círculo de dis¬

la recta iei, y quecondición de perpendicularidad

modo siguiente:

sí, si el punto de fugacorresponden en la an.tipol¿

también deci rse quesea el antipolo de la re£

plano sea la antipolar

1 a

1 a

V-11GEOMETRÍA DESCRIPTIVA ~ Carlos J C hesñeva r

...r

cA

A 0a) />T\ N///.R Y \

\\ \

óK ¿\N s TTtoe.\ 1Tr r» Ootoo Ir\ i ocl¿oc

\\ b)

f i g - 30

Dado entonces un plano por su traza y su fuga (fig.'3l), parana'r el punto de fuga de las rectas perpendiculares a Oí se comienza por lievar una recta perpendicular a ieL por 0o, determinando R; se dibuja un radio, del círculo de distancia perpendicular a la recta anterior y sesu extremo 0“ con R, La perpendicular a R-0ÿ por 0* determina elbuscado. Una recta con fuga enza, es perpendicular a c< .

d e t e r m i -

unepunto I

cualquiera sea su proyección y su tran »

¿U. iV X'nA.lc¿.

\/Oo„0o X i*V\

/

/

f i g . 31 Rb)

a)

Dada una recta r por su proyección» su traza y su fuga, la fuga de todoslos planos perpendiculares a r se determina en forma análoga (f-ig.32).

\ 1/ \

i-v:ír°0o Rfe Oo

r'rlf f g -32

Tra) Trb)i OÍ.

La relación establecida en la forma estudiada entre un punto y una recta ijc del cuadro» se denomina an t i po 1 ar i dad respecto al círculo de dis¬tancia. Se dice que el punto 1ÿ es el antipolo de la recta ¡«i, y querecta es la antipolar del punto I,!,. La condición de perpendicularidadentre recta y plano puede entonces expresarse del modo siguiente:

!

lai

-Una recta y un plano son perpendiculares entre sí, si el punto de fugade la recta y la recta de fuga del plano se corresponden en la antipoU

ridad respecto al círculo de distancia. (Puede también decirse que lacondición es que el punto de fuga de la recta sea el an.tipolo de la re£ta de fuga del plano, ó que la recta de fuga del plano sea la antipolar

del punto de fuga de la recta).

V- 1 2

la otra.sea paralela

ultima formacondicion de paralel is

pertenencia.

si se demuestraEs cond ? -

unaen

que otra recta b eslos pianos perperid_i_

pertenecer a la

a1

b//p ;(3-ka. =?>b -ka.

antipolar del'otro seDos rectas son per_reef procos.

si seotro.

utilizar

compruebaFor la m i s-

la condicione e 1 1 os e$ pa ra 1 e_

perpendicular acuales tienen su

la fuga de P debe

.t

b)

(V/nn Jiutec

antipolo de la otra,

enunciarse: Bos pianosant i recfprocas.

seson

V- 1 2

otra, si se demuestrala otra. Es condi¬

sea paralela aultima forma en

condición de paralel Upertenencia.

que otra recta b eslos planos perpendi

pertenecer a la

un

b//pb -k<X

(3.ka

antipolar del'otro seDos rectas son per_rec íprocos.

si seotro. Por la mis¬

utilizar la condiciónde ellos es paraleÿ

perpendicular acuales tienen su

la fuga de P

comprueba

debe

b)

pifnn_ko<

antipolo de la otra,Dos planos

ant i recíprocas.

seson

GEOMETRIA DESCRIPTIVA Carlos J. Chesñevar V- I 235ÍSf7JS»'CK53*M« Z’STi'.MZKiiVSrKS«S«

22.- PERPENDI CULARIDAD ENTRE RECTAS,

Se puede asegurar que una recta es perpendicular a otra, si se demuestraque una de ellas pertenece a un plano perpendicular a la otra. Es condi¬ción equivalente a la anterior que una de las rectas sea paralela aplano perpendicular a la otra, resultando más útil esta ultima forma enel método de la proyección centra 1 , puesto que la condición de paralelémo tiene menores requerimientos que la condición de pertenencia.

Dada entonces una recta a (fig.33), puede asegurarse que otra recta b esperpendicular a la recta a, sí b es paralela a todos los planos perpendicularés a la misma; para ello, el punto de fuga I¿ debe

de fuga , que es la antipolar del punto f .

un

pertenecer a larecta

R .

><?\/

*0° /t

''Al'b \/Vo*\A

\

i,Tq

'ÿ'itr•“•a

b//(icP

j=í>b -ka.fig.33a) (3-k o.b)

Dos puntos tales que cada uno pertenece a la recta antipolar del'otro sellaman puntos ant í rec f procos . Luego, puede enunciarse: Dos rectas son per_pendículares entré st , cuando sus fugas son puntos a n t i rec í procos .

23.™ PERPENDICULARIDAD ENTRE PLANOS,

Se puede asegurar que un plano es perpendicular a otro, sí seque uno de ellos contiene a una recta perpendicular al otro. Por la mis¬ma razón que en el punto anterior, es conveniente utilizar la condiciónequivalente: Un plano es perpendicular a otro, si uno de ellos es paraleÿlo a una recta perpendicular al otro.

Dado entonces un plano (f i g •3ÿ) , otro plano /ñ será perpendicular asi /3 es paralelo á las rectas perpendiculares a , las cuales tienen supunto de-fuga en I , antipolo de la recta iÿ • Luego, la fuga de $contener a 1ÿ.

comprueba

debe

/,A (3

/I»-n

\

o\-í0o i

í\IU / b)\ r\a)

%f í 9 * 3 A (5// n j—> p-Ln

Dos rectas tales que cada una contiene al punto antipolo de la otra, se

llaman rectas ant i recíprocas . Puede entonces enunciarse: Dos planos

perpendiculares entre sí, cuando sus fugas son rectas antirecíprocas.son

V"13sa&atsam

y B que pertenecen a- unaproyectante que contiene a

asf,-en el aba1 1 m 1 ento, la ve.r

8'Q)

A' _

__L—{'A)/

\

VRr)

XVb)r*

es necesario obtener pre~fig.17)> o bien un piano que

caso, se puede apl fear elgeneral , el piano que se de.teÿr

y el piano (tÿ » < U.)seel Cap.II, fig,70- Es d£punto A y es perpendicular

interseccion de n con «<(Tit.l6)entre ese punto y el pun.

• t

/1'/\ fcexf,1/\

'O \a,\\ A\

R

Ua

Cap.11,recta dads

fig.71; es declr,r. Para deter-

on al punto A, por medioantipolar de If « .

37) conslsten en determinardistancia- entre ese punto y el pun

V “ 1 3

y B que pertenecen a unaproyectante que contiene a

en el abatimiento, la ver

B'IB)

\

A' ,

__L— \

Y(r) R

[-0V

fxVb)r*

es necesario obtener pre¬.1 7)> o bien un plano quecaso, se puede aplicar el

general, el plano que se deter_

y el piano «ÿ( , < Li.) seel Cap.II, f i g.70. Es d£punto A yes perpendicular

ntersecc i ón de n con »c(T i t.16)entre ese punto y el pun_

,0a

\\\\\

\

\AR

Ufab)

Cap.II, f * g -7? » es decir,recta dada r. Para deter-

representación al punto A, por medioantipolar de 1ÿ..

flg.37) consisten en determinardistancia entre ese punto y el purÿ

V “ 1 3GEOMETRIA DESCRIPTIVA -Carlos J. Cbesñevar

24.- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS»

Para determinar la distancia entre dos puntos A y B que pertenecen a unarecta r, se realiza el abatimiento del plano proyectante que contiene ala recta (Tit. 18, fig.22-24). Se obtiene así, en el abatimiento, la verdadera magnitud del segmento AB (fig.35)*

B'IB)

\r

A' ,

__L —B 0 >¥ \

Y

% (r) RSi[-0V

X /

fig.35ír fxVb)./7T Xr*

a )

Si los puntos estuviesen dados por dos rectas, es necesario obtener pre¬viamente la recta que los cont i ene (T i t . 1 3 , f i g . 1 7 ) > o bien un plano quepase por ellos (Tit.14, f i g ,18 ) ; en este ultimo caso, se puede aplicar elabatimiento estudiado en el título 19 (en general, el plano que se deter_mine tendrá una posición genérica).

25.- DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO.

Ti) y el piano «ÿ ( , < Li.) seA (A', aLa distancia entre el puntodetermina - con igual criterio que. e! aplicado en el Cap . II, f i g .70 . Es d£cir, se representa una recta n que contiene al punto A yes perpendicularal plano »¿(fig.36). Determinado el punto i ntersecc i ón de n con »c(T i t.1 6 )el problema se reduce a determinar la distancia entre ese punto y el pun_to A (Tit. 24) .

, T a »

,0atu1 —Uwy\ \\Iq4 \\o»\

\ AÁA’ R

n'f ig.36

UfaTa

b)n

a)

26.- DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA.

El procedimiento es análogo al aplicado en el Cap. II, f * g - 7 ? » es decir,se conduce por A un plano o< per pend i cu 1 a r a la recta dada r. Para deter-

o-c , se procede a cambiar de representación al punto A, por mediode una recta m que tenga su fuga Irj, en la antipolar de 1ÿ..Los pasos siguientes (no Incluidos en la flg.37) consisten en determinarel punto intersección de c< con r, y la distancia entre ese punto y el purÿto A, equivalente a la distancia entre r y A.'

¡vi i nar

V-14

. >a

TaA' \

\la \

\too

Tn

Tp

equfvalente a la d i s tan_piano Y perpendicular

contenga al segmento. Siendo proye£

por lo que es En-efecto, (a) contiene

paralela a (a). La dis_.

Oo

\\\

0*

a)

a

segmento PN * siendo NAbatiendo el piano

conocida llevan-determina previamerÿ

\0«\\\

/i /

/

r1IV

V-14

j_sfc~ Q

TaV \

Ya \\

too

Yn

Tr

equivalente a la distanÿplano Y perpendicular

contenga al segmento. Siendo proye£

por lo que es in¬efecto, (a) contiene

paralela a (a). La d¡£ft .

. Oo

\

0*

a)

s.a

segmento PN, siendo NAbatiendo el plano

conocida llevan¬determina previame£

'O*

\\

íMjL/

s. /

/

r*IV

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J. Chesñevar V- 14

a'Im Q

R

\/Ta/ / t

(fUfT<j A'A’ \A . \

\%\Xa \ \,\

\Af ig.37 too

l\l Tin\r'

\!r'Ira)

b)Tr Tr

27.- DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS,

La distancia entre dos planos paralelos y ft es equivalente a la dístan_cía entre dos recta a y b definidas en ¡>< y (2> por un plano ~i perpendiculara los mismos. Si el plano Y es situado de modo que contenga al- segmento0-0o, su traza es perpendicular a las trazas de y de (S> . Siendo proye£tante, Y contiene al rayo auxiliar de las recta a y b, por lo que es in¬mediata la determinación de las rectas abatidas. En efecto, (a) contienea Ta y es paralela a Iá“G*; (b) contiene a Tÿ y es paralela a (a). La dis_Lancia entre (a) y ( b ) equivale a la distancia entre =ÿ:y .

\I i T/ Oo/ o/

\< y /f O. \

p/kéi! \JaTí*

TvIQíI l(?j 'Cl® a)07"

%TQ

r /9K~í> /

a)f ig.38 /a

b)

28.- DISTANCIA DE UN PUNTO AL CUADRO,

La distancia entre P y el cuadro está dada por el segmento PN, siendo Nel pie de la perpendicular al cuadro que pasa por P. Abatiendo el. plano

Y , que contiene a 0-0o y a P, la distancia P-N queda conocida llevan¬do por N una perpendicular a t„.5¡¿ . El punto N- se determina previame£te llevando por Tr una paralela a I¿-Q0.

'O'*

oj \/

/i \\<pl±r

'4— —/p' o„ l /p'X

//r— r*7ÿ- Tr/ r*I'rÓ’T

b)f ig.39a)

V”15-.Kr.-.,1ÿ7

sobre la perpendicu¬aplicado en el Cap. I l,

representation de eseotros metodos de

perpendicular corounrecta (que con1 1a y b)* Los planos><

determinan al cortsrseperpend i cular a lasmlsÿ

v.erdadera entre A y B (intersecÿde acuerdo a lo esta-

entre- a y b.

repre-n

i

la

\\

b,\

l-- ta

*//\<3

4b)

rectas gausas si se conotra (fig.41), y se

b

- l

(i

~*kz 4

Ik

b}

AV*)88A J?,4.V/

vV-v>

V-15

sobre ¡a perpendicu-aplicado en el Cap.lí,fj_

representación de eseotros métodos de repre¬

perpendicular común nrecta i¿ (que contÍ£a y b). Los planos

determinan al cortarseperpendicular a las mís_

verdadera entre A y 8 (mterse£de acuerdo a lo esta¬

entre- a y b.

la

\\ b*\

W__--á-o* tk

V\

b)

rectas gausas si se conotra (ffg.41), y se m_i.

•tí*o.b—

I'b

Í£LTi /

ti

b)

sífJ». ¡j

V-15GEOMETRÍA DESCRIPTIVA Carlos J. Chesñevar

29.“ DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS ALABEADAS «

La distancia entre dos rectas gausas ay b, medida sobre ¡a perpendicu-lar común, se obtiene con igual criterio que el aplicado en el Cap.lí,fj_gura 72. En el método de la proyección central, la representación de esemodelo geométrico resulta mas simple que en los otros métodos de repre¬sentación. En efecto (fig.40), la fuga de la perpendicular común nqueda de inmediato establecida como antipolo de la recta i ¿ (que contÍ£ne a e I¿, puesto que £ es paralelo a las recta a y b) . Los planosy /$ por a y b, con sus fugas pasando por I determinan al cortarserecta n, que resulta asf coplanar con a y con b y perpendicular a las mís_mas (puesto que lo es a ¿ ) . La distancia verdadera entre A y 8 (mterse£ción de n con a y con b respectivamente), obtenida de acuerdo a lo esta¬blecido en el T i í . 2 4 , equivale a la distancia entre- a y b.

lan >

4{l‘n/ps

\\\1 b*\

b\ U&

ODtkOófta'a’ /

\i'b\J- As .la

i:*ay(jn

yy

°rh y/ TbTQ S?B'Ta

a)

n'A

f i g . 4 0 y/ b)

\

También puede determinarse la distancia entre dos rectas gausas si se conduce por cada una de ellas un plano paralelo a la otra (fig.4l), y se m_i.de luego la distancia entre los planos.

Úb' 1

„0a •tí*•°.hr~Ql

ta' /i',TRTT

bI'b~Q 1Q

!

Í£LTi /

A1a1

ti a-C,

\ f i g . 4 1 T«\V2* b)

(P

s íiYr

A. .9

vcJV

V - 16

equivalente al queLuego, los rayos

, igual alpiano proyectante Y

medir el angulo

for-pro-an-

\to) Vf\ 7-

-wb)

%

un diedro equiva¬queda definidalo que es lo misÿ

diedro). Luego, la fugarespect i vamente).angulo if entre

proyectantes auxiliares depor y .

.76 » serm i nandose el an-

recta dada. Para asefuga de £ por

conduce

angulo entre ryeentre r y .

el

V - 16

equivalente al queLuego, los

, igual al án¬plano proyectante Y

medir el ángulo

for-rayos pro-

\to)

•X\

\ 7-

b)

Xí-

un diedro equiva¬queda definidalo que es lo m i s_

diedro). Luego, la fugarespectivamente).ángulo entre

proyectantes auxiliares depor tx. y .

fig.76, sedeterminándose el án¬recta dada. Para asefuga de £ por elángulo entre r y eentre r y <**-.

conduce

GEOMETRIA DESCRIPTIVA Carlos J. Chesñevar V - 1 6

30.- ANGULO ENTRE DOS RECTAS,

El ángulo que forman dos rectas gausas a y b es equivalente al queman dos rectas coplanares paralelas a las mismas. Luego» los rayosyectantes auxiliares de a y b forman entre sf un ángulo , igual al án¬gulo que forman a y b (fíg.42). El abatimiento del plano proyectante Yque contiene a los citados: rayos proyectantes, permite medir el ánguloque forman a y b .

for-p ro -

b,

4 \T G t°)

\r

ibC&rO

X--:Xt \

i TaTa WtfOoi'b

Tb *Tb b)Á.Ic¿f ig.42

>a)

31.- ANGULO ENTRE DOS PLANOS,

Los planos proyectantes auxiliares de <=< y /2> determinan un diedro equiva¬lente al que forman y /3 . La sección normal del mismo queda definidapor un plano £ perpendicular a la arista del, diedro1 (ó, lo que es lo m iuto , perpend i cu 1 a r a los dos planos que forman el diedro). Luego, la fugade £ debe contener a los antipolos de i«L e i ¿ (1ÿ e 1ÿ respectivamente).El abatimiento del plano proyectante £ permite medir el ángulo if entrelas rectas a y b , ,i ntersecc i ones de £ con los proyectantes auxiliares de

y , que equivale a la medida del diedro forreado por *<ÿ y .

\(b)e >£,

ím,'2

S'S

'°íIW / \\\

X%\

f ig.43

32.- ANGULO ENTRE RECTA Y PLANO.

De acuerdo al procedimiento utilizado en el Cap. II, fig.76» sepor la recta un plano perpendicular al plano dado, determinándose el án-

recta intersección de los planos y la recta dada. Para ase

conduce

guio entre lagu.rar la perpendicularidad de £ con , se conduce la fuga de t por

ant i polo de ü . El abat imiento de t permi te me'd i r eí ángulo entre r y e(recta intersección de °*-y £ ), equivalente al ángulo entre r y

e 1

V-t7

»

le

\a

b)

Ta

(INCLINACION DE UNA RECTA)

se puede determinar a_cuadro que contiene al r£nd t ca la figura 45.funcion de la distanciacuyas fugas equidistanEl lugar geometrico de

misma inclinacion, es en-principal. En el ejem-

punto dela circunferen_(ej:las rectas m y s).

pi I'mI'm

b)

cuadro con centro en 0o seel cfrculo de inclina-

una1 1 eva por (0)dis.tancia un angulo comple¬

interesa determinar.perpendicular al

se

ra-

de inclinacion parainclinacion mayor ten-

exteriordistancia, y en elhan representado los70°.

V-T7

YSF

a

b)

Ta

DE UNA RECTA).

se puede determinar a_cuadro que contiene al ra

indica la figura 45.

misma inclinación, es en¬principal. En el ejem¬

punto de' la circunferen

función de la distanciacuyas fugas equidistanEl lugar geométrico de

¡las rectas m y s).

Tm

b)

cuadro con centro en 0o seel círculo de inclina¬se lleva por (0)

dís.tancia un ángulo comple¬interesa determinar.perpendicular al

de Inclinación parainclinación mayor ten¬

distancia, y en elhan representado los70°.

una

ra-

exterior

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA - Carlos J. Chesñevar V- 1 7

(0)

/je

T/ \ I N

/ÿ\a)laO0 s

j£\0o íale

\X \X

i X aX

V'\ \

W’\oÿ,f i g . 44 b)

Ta [Ta\c&

33.- ANGULO DE UNA RECTA CON EL CUADRO (INCLINACION DE UNA RECTA),

La inclinación de una recta (ángulo con el cuadro) se puede determinar abatiendo e! plano proyectante perpendicular al cuadro que contiene al

~

yo proyectante auxiliar de la recta, tal como lo índica la figura 45.Es evidente que la inclinación de una recta es función de la distanciade su fuga al punto principal; luego, las rectas cuyas fugas equidistandel punto principal, tienen la misma 'inclinación. El lugar geométrico detodos los puntos de fuga de las rectas con una misma inclinación, es en¬tonces una circunferencia, con centro en el punto principal. En el ejem¬plo de la figura 45, toda recta cuya fuga sea un punto dela c i rc.un f eren_cía que pasa por I , tendrá una inclinación . (e j ; 1 a s rectas m y s).

r a_

(01 (01

Y’scP-'f\ *

/ \ \\/

r'I

* * \ 'W\Oq 0o

l’rTS> Tm

X'm,Is

ia) b)Tr

f ig.45

Por la razón apuntada, las circunferencias del cuadro con centro en 0o sedenominan CIRCULOS DE INCLINACION. Para construir el círculo de inclina¬ción correspondiente a determinado valor angular, se lleva por (0)recta que forme con el radio del círculo de dis.tancia un ángulo comple¬

mentario del ángulo correspondiente al círculo que interesa determinar.Queda establecido así el radio del mismo, sobre la perpendicular ald i o

una

ra-

l.levada por 0o.Se observa que e¡ círculo de; distancia es el círculo de inclinación para

las rectas con inclinación de 45°. Las rectas con inclinación mayor ten-exteriordrán su fuga en el interior dpi círculo de distancia, y en el

las de inclinación menor de 45°. En la figura 46 se han representado los

círculos de inclinación, de 10° en 1.0o, entre 20° y 70°.

V - 1 8rt

PLANO').

de maxima incl i-con el cuadro. una

mismo)*

tendran su punto

por una recta que

m equi vale a la

para el angulo HJfpuede enunc larse:Las

incl inacion, son

v

Im

b)

V - 1 8

PLANO),

de máxima incli¬con el cuadro una

mismo).

tendrán su puntopor una recta que

m equivale a la

para el ángulo HJfenunc larse:Las

soninclinación,

y

ím

b)

GEOMETRIA DESCRIPTIVA Carlos J.. Chesñevar V-l 8

//

//

j / W' \/ \

// \\

iif CUÿ-U

V>- 1./ j.t

;/«b: !

/ I\

/Jo*/

t :

/

f í g . -46

34*- ANGULO DE UN PLANO CON EL CUADRO (INCLINACION DEL PLANO').

La inclinación de un plano es la de una recta del plano de máxima incli¬nación. (es decir, queda medida por el ángulo que forma con el cuadro unarecta del plano que es perpendicular a la traza del mismo).

Todas las rectas de máxima inclinación de un plano , tendrán su puntode fuga en la fuga del plano, en el punto definido por una recta quepasa por 0O y es perpendicular a i i*. . La inclinación de m equivale a lainclinación de <=<. ,

Puesto que GQ-I,], es el radio del círculo de inclinación para el ángulola fuga de] plano resulta tangente al mismo. Luego, puede enunc iarse: Las

sonrectas de fuga de todos los planos que tengan la misma inclinación,tangentes al círculo que corresponde a tal inclinación.

COI

v9Q°-y yO y‘\

\ y ¡s\ y ya OoI

\

í / \y

m l'm

fia. 47b)

a.)<

V-19

LA DEL PLANO;

Kenyan determ t rtada in-condiciones: Que ia t ra_

a la traza y la fu~pertenezcan al cfrcu lo de in

cfrculo con la recta deen cuestion. (Queda-

ubicaciSn del piano

con fuga en e

.30°

X

ibZ- V

b

Tb

b)

INCLINACION DISTI NTA A LA DE

pianos con inclinacion deseran rectas tangentes

; las fcrazas contie¬

la fuga de ia recta essolucion si la r uga

25°

/ÿ

rIV

.t?

b)

V-l9

LA DEL PLANO,

tengan determinada in¬condiciones: Que la t ra_

a la traza y la fu¬pertenezcan al circulo de ín

círculo con la recta deen cuestión. (Queda¬

ubicación del plano

con fuga en e I¿

,30o

—7

ibb

Tb

b)

INCLINACION DISTINTA A LA DE

planos con inclinación deserán rectas tangentes

; las trazas contie¬

la fuga de la recta essolución si la fuga

25°

/

JL¡iTrr

b)

V.-19GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J. Chesñevar

35.- RECTAS DE UN PLANO,, CON INCLINACION ?M '‘TINTA A LA DEL PLANO,

Si es necesario localizar rectas de un plano que tengan determinada in¬clinación, es necesario asegurar las respectivas condiciones: Que la t r a_za y la tuga de la recta pertenezcan respectivamente a la traza y la fu¬ga del plano, y que las fugas de las rectas pertenezcan al círculo de íjiclinación correspondiente. La intersección del círculo con la recta defuga del plano determinara las fugas de las rectas en cuestión. (Queda¬rán determ i nados dos puntos, uno o ninguno, según la ubicación del planoy el círculo considerado).

En el ejemplo de la figura *¡8, todas las rectas de con fuga en e I¿son rectas del plano con i nc I 5 nac i ón de 30°.

30°

(0)5»

JM* —X

'

\A y

0oib

b

a) Tb

b)\ÿyr’f i g . 48

\

36.- PLANOS QUE CONTIENEN A UNA RECTA, CON INCLINACION DISTINTA A LA DELA RECTA a

Dada la recta r, nos proponemos determinar los planos con inclinación de25° que la contienen. Las fugas de tales planos serán rectas tangentesal círculo de inclinación de 25°, y contendrán a ; las trazas contie¬nen a Tr y son paralelas a las respectivas fugas.

Se observa que el problema tiene dos soluciones si la fuga de ia recta esexterior al círculo de inclinación considerado, una solución si la rugapertenece a) círculo, y ninguna sí es interior.

25°

/(0) /

\)ÿ° yy\

A /\\>

0

A. JLÜpTr TrIV I'r

a)1A-"f ¡g . 49

b)*P

I

i

4 .

VI-1

objetos con el findemismos. A dfferencia de loscapftulos anteriores, en losrelacion a los elementos re

etc.), con la perspec¬observador que efectivamen-

temente elegido.del objeto y de la po-

ecer esa corresportdencia

situado a una distancfa fini-de proyeccion) es enton

visuales (o rayos proyec-cuerpo. El conjunto dede proyeccion, determj_

capftulo sigui'ente, suponeresultando paralelo-s los rayos

de cuerpos de escasasobservador, permit i endo dibujos

conica.

la perspectiva conicaproyeccion 0 representaque el cuadro

representa el suelo(o terreno)el cuerpo a represen-

observador.es un elemento auxi liar,establecida en IT , y e-ytT , como sucedfaen elalgunas tecnicas que adÿ

Tf,.siguientes elementos:

fundamental.

horizontal (u horizonte).

superior e inferior res

derecho e izquierdo res_

se man-

zfF 0

DQoA

0ixHif

l

V 1 -1

objetos con el fin de p£A diferencia de los

capítulos anteriores» en losrelación a los elementos re_

etc.), con la perspec¬observador que efectivamen¬

convenientemente elegido.del objeto y de la po¬

Establecer esa corresporidencia

a una distancia fini¬de proyección) es enton_

visuales (o rayos proyec-cuerpo. El conjunto dede proyección, determj_

capítulo siguiente, suponeresultando paralelos los rayos

de cuerpos de escasasobservador, permitiendo dibujos

cónica.

la perspectivaproyección 0 representaque el cuadro

representa el suelo(o terreno)el cuerpo a represen¬

observador.un elemento auxiliar,

establecida en Tí , y e-tí , como sucedía en el

algunas técnicas que ad_Tí,.siguientes elementos:

fundamenta 1.zonta 1 (u horizonte).

superior e inferior res

derecho e izquierdo res_

cónica

se man-

>6

[DQ>1L .....-P_ A

ü£i

i

VI-1os J Chesñeva rGEOMETRIA DESCRIPTIVA - C«.iu¡uau :«32; üíiicsatfl

VI) PERSPECTIVA CONICA

1-- FUNDAMENTOS

En los métodos de perspectiva se representan los objetos con el fin de poÿ1 osner de manifiesto la forma aparente de los mismos- A diferencia de

métodos de representación estudiados en los capítulos anteriores, en loscuales se resolvían problemas geométricos en relación a los elementos re_presentados (determinación de formas,, magnitudes, etc.), con la perspec¬tiva se pretende reproducir la sensación del observador que efectivamen¬te contempla el objeto desde un sitio conven i en teniente elegido.Desde luego, esa sensación es función de la forma del objeto y de la po¬sición relativa del puesto de observación. Establecer esa correspondenciaes el objeto del estudio déla perspectiva.La perspectiva cónica supone al observador situado a una distancia fini¬ta del objeto ; e V pun to de observación (o centro de proyección) es enton_ces propio, y en el mismo convergen los rayos visuales (o rayos proyec¬

tantes) dirigidos a los puntos s í gn i f i cat i vos del cuerpo. El conjunto de¡las trazas de los mismos en la pantalla o cuadro de proyección, determj_

na la perspectiva del cuerpo.La perspectiva paralela, que se estudia en el capítulo siguiente, suponeque el punto de observación es impropio, resultando paralelos los rayosproyectantes. Tal ficción se. justifica tratándose de cuerpos de escasasdimensiones o ubicados muy distantes del observador, permitiendo dibujosmás expeditivos que los realizados en perspectiva cónica.

2-- SISTEMA DE REPRESENTACION .ÿ

De acuerdo a las definiciones del punto, anterior, la perspectiva cónicaproyección central en la que el centro de proyección 0 representa

la ubicación del observador, suponiéndose además que el cuadrotiene vertical (fíg.1).El plano horizontal tf, (llamado geometral) representa el suelo (o terreno)

sobre. el cual generalmente se considera "apoyado" el cuerpo a represen¬tar.En relación al mismo sé mide la altura del observador.Debe advertirse que, en principio, el geometral es un elemento auxiliar,no un cuadro de proyección. La perspectiva queda establecida en Vi , y e-lio no requiere la superposición de los p 1 anos líj y 11 , como sucedía en elmétodo de Monge. No obstante se estudiarán luego algunas técnicas que aó_miten distintas formas de abatimiento del plano Tí,.En el modelo de la figura 1,quedan definidos los siguientes elementos:

- La recta f, intersección de tí, con IT , llamada fundamenta 1 .- La recta h, paralela a f por 0

es unase ntan-

1 1 amada hor i zonta 1 (u horizonte).

- Los puntos 0 y £, llamados puntos de distancia superior e inferior respect i vamente .

- Los puntos D y D, llamados puntos de distancia derecho e izquierdo re¿pect ivamente .

o •

Cuadroii

i

h_Q_ iOo iDíI

0 Geometral IVf

I/ Qi

üii

r—‘o-f

fíg 1

b)a) J

V 1-2

(Cap.V), se de

horizontal. En conseen h. En parti¬

(angulo con Tf ) ti£el izquierdo.

punto principal 0Q.concurren en un

perspectivas rec¬

ademas de las

superior poste

rayossemiabertura noma

V- - \

a la horizon-

proyectan-

casos, la posi¬un cuerpo es-

segunda proyeccion de

o.rtogonales x y z,definida la pos[

2

Oo

+ y

H

las

perpendicular, al cuadro,conteniendo a P.

principal 0o para n, yconsecuencia, es sufji_

cuestion, paracortarse definen a

perspecti-par de rectas de

V I -2

(Cap.V), se de

horizontal. En conseen h. En parti¬

(ángulo con 1T ) tie_izquierdo.

punto principal 0Q.concurren en un

perspectivas rec¬

a la horizon¬

además de las

superior poste

rayos proyectan¬semiabertura noma

casos, la posi¬un cuerpo es¬

segunda proyección de

ortogonales x y z,definida la posi_

kz

-A

H

las perspecti¬par de rectas de

perpendicular, al cuadro,conteniendo a P.

principal 0o para n, yconsecuencia, es sufji,

cuestión, paracortarse definen a

GEOMETRIA DESCRIPTIVA Carlos J. Chesñévar V I -2 l

De acuerdo a las ca racter íst i cas de la proyección central (Cap.V), se ded u c e :

a) El horizonte h es la recta de fuga de todo plano horizontal. En consecuencia, toda recta horizontal tiene su punto de fuga en h. En parti¬cular:a-l) Toda recta horizontal con inclinación de 45° (ángulo con 1T ) tieÿ

ne su fuga en el punto de distancia derecho o en el izquierdo.

a-2) Toda recta perpendicular a IT tiene su fuga en el punto principal 0Q.a-*3) Las perspectivas de rectas horizontales paralelas concurren en un

punto del horizonte (fugas coincidentes).

b) Rectas verticales (perpendiculares a ííj ) tienen por perspectivas rec¬tas perpendiculares a la horizontal.

;) Planos verticales tienen trazas y fugas perpendiculares a la horizon¬tal.

Es necesario tener presente la consideraciones anteriores, además de lassiguientes pautas:

- El objeto a representar se ubicará siempre en el diedro superior poster i or . ~

- El cono óptico (de vértice 0 y eje 0-Qo; conjunto de rayos proyectan¬tes dirigidos aí contorno del cuerpo) debe tener una sem i abertu ra no mayor de 30° . :

3-- PERSPECTIVA DE UN PUNTO

)el elemento a representar se debe conocer en todos los casos, la posi¬ción en relación al sistema cuadro-observador. En general, un cuerpo es¬tará dado por un sistema de proyecciones (primera y segunda proyección de3onge, llamadas planta y elevación respectivamente).En principio adoptaremos una ter-jrj* de ejes mutuamente ortogonales x y z,según lo indica- la figura 2, en rll ación a la cual queda definida la pos£ción de un punto P por sus tres coordenadas x , y , z

P yP P

Az

AZ

0oh

9 IZ -y f

/X'—~7H

f i g . 2otcowíü rjmttMjw/ewimít

a ) b)

La perspectiva P quedará definida por la intersección de. las perspecti¬vas de dos rectas: que contengan a P. La elección de ese par de rectas de_cidirá el proceso gráfico a seguir.Un modo de hacerlo es por medio de una recta n, perpendicular al cuadro,y otra .recta horizontal m, con inclinación de 45°, ambas conteniendo a P.Las fugas de esas rectas son ya conocidas (punto principal 0o para n, ypunto de distancia derecho o izquierdo para m) . En consecuencia, es suf_í_cíente determinar las trazas de n y m para el punto P en cuestión, paraque queden de inmediato determinados n' y m', que al cortarse definen aP(, perpectiva de P.

'•Ui

VI “3*BKSS»iMWJ*S5cams*#

rzar la construction gra_

coordenadas a las

punto, y se encuen t ra asegun x del punto (dado que

de I

A?

iIfcfia«sk<.Avi<»!.'0< ' JVf=•*5 i

-*P— 4i »-ÿVrw-

5-'p i TnP»h

"

\'

.>10b5lf,’ '*N

v

I

+y

ITT rsyp

es asociando . elMonge (llamaremosMonge)«

s i sternaesta ’

Se admits el piedado per sus dos proyeeoiocuenta que la perspective

per el punto consfdera-

por 0>j y P *j 9 y la segundavale a la perspeeti~

Tf& ).. (f f g.k)

a

0o=0%Pair rzR

. - alturaobwrViR1 I\

\ I „.M1\i\

7 alejam.obaerv.

i

la tecnlca. anterior,ndmero elevado de puntos, ya

proyecciones y la ffgura perspec”*

a u n

• VI "3

¡-zar la- construcción gr£

coordenadas a las

el punto, y se encuentra asegún x del punto (dado que

.

del

A?

W3MSWi :J5p_

:>,]$ - .... „

'/C.ZP*ii

... v-;}-<rTnP» i_ >ÿ4jrn¿D

:i I

i

+y—*<**«ITT nyP

es asociando . el sistemaMonga (llamaremos a estaMonge). Se admite e!pl<s

dado por sus dos proyaeoiocuenta que la perspectiva

por el punto considera¬

por 0-¡ y P -j „ y la segundaequivale a la perspecti¬

conTfÿ). (fíg.í})

PaTr

aPuraobserv,

1\i _J5H

7 ¡(alejam.\. j íobasrv.

'1

la técnica, anterior.numero elevado de puntos, ya

proyecciones y la figura perspec¬

aun

• VI "3GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Parios J. ChssñevarEB»

Puede' observarse (fig.3) que es posible % 1 s fcemat ¡-zar la- construcción gr£fica, teniendo en cuenta que:

a) La traza Tn tiene en el sistema zÿy idénticas coordenadas a laspunto considerado.

b) La traza Tm tiene igual coordenada en z que el punto, y se encuentra auna distancia de Tn igual a la coordenada según x del punto (dado quela Inclinación de m es de hS° > es P ~TfiB,TrV"Tm) .

del

A?

I?rn W3MSWi :% J5p_

:>,]$ - .... „

'/C. ZP*ii

pnr~ÿfTn ... v-;}-<r

Tn/ r / I P»Hg.3 i

.

,/ _ >ÿ4jrn¿D*5ÿ 1

Hni

V ¿ :0, i I

i4I !

/V +y”7% «.y —*<**«ITT nyP

™7HXp

a) b)

Otro modo de lograr la perspectiva de un punto, es asociando . el sistemacuadro-geometral con los cuadros del método de Monga (llamaremos a estatécnica Perspectiva Con i ca ASoc i ada al Método de Monge) . Se admite e!pl<sgado de los cuadros, resultando cada elemento dado por sus dos proyaeoiones, Incluso el centro 0. Se opera teniendo en cuenta que la perspectivade un punto P es la traza en tí del rayo que pasa por el punto considera¬do y por el centro de proyección 0.La primera proyección del rayo r se conduce por 0-¡ y P -j „ y la segundaproyección r 2 por y Pg- La traza, vertical Ir equivale a la perspecti¬va ,P 1 de P (pu esto que tí esta identificado conTfÿ). (fíg.í})

fit-f

PaTr0 J-0(|S 02

a Puraobserv,P' i- Rf1 \? i _J5H"Hi X\

7 ¡ (alejam.\. j íobasrv.

fig.i!

a) '1

Es conveniente tener presente la concepción de la técnica, anterior.cuando su aplicación no es :adecuada para un numero elevado de puntos, yaque se superponen en el dibujo las dos proyecciones y la figura perspec¬tiva.

a u n

V I -k

(oprimera proyecc ion o

nula)pe.r m i ten ,generalmente

de toda recta1 a horizontal ).

recuente que sela

co¬const rue-

en funcion de

la perspectiva

dos rectas a rb i -figura 5~a

se determina Vato principal. E

a \ y b \ ,1 1

se i n dT

que

de los dos pun

4,

R6'7

+ysf5=

Tbi .

utilizan ta.mbiendosA5~ (fig-6). Solo

que las fugasizquierdo) o .

RV

4

d2

V I -'4

nu 1 a)pe.rm i ten ,distintas, generalmente

de toda recta1 a horizontal ).

frecuentela

primera proyección o

en función

la perspectiva

rectas arbi -figura 5-a se indise determina Va"

punto principal. Eaí y b{,1 1

de los dos

que se co*i construc-

de

que

purÿ

4

P:ió'

+y=fía

V.

utilizan tambiéndos45a (fig.6),. Sólo

que las fugasizquierdo).

I+yg(

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J. Chesñevar V I -4

PERSPECTIVA DE FIGURAS CONTENIDAS EN EL GEOMETRAL.

.os elementos contenidos en el geometral (coordenada en z nu 1 a) perm i ten ,»or ?u situación particular, establecer técnicas distintas, generalmente\és simples, para obtener sus perspectivas (p.ej: la traza de toda recta(el geometral está contenida en la fundamental ; la fuga en 1 a horizontal ).;oanterioT* agregado a la circunstancia de que es frecuente que setozca a un cuerpo por su planta y su elevación, índica que la:ión de una perspectiva puede desdoblarse en dos aspectos*.

i) Representación de la perspectiva de la planta (o primera proyección oproyección ortogonal del cuerpo en el geómetra 1 ) .

i) Perspectiva de puntos que no pertenecen al geometral, en funciónla perspectiva de sus primeras proyecciones.

e describen a continuación algunas formas de establecer la perspectivae un puntp de 1 geomet ra 1 .na manera d,f hacerlo es, determinando la perspectiva de dos. rectas arbi-r a r i as . (de 1. ‘ geome t ral), que contengan a 1 punto. En la figura 5-a se india 1 a cónS truccfón rea íi zada en lí, , por raediode ¡acual se determina Va*osi c i onde las trazas y la distancia de las fugas al punto principal. Elo pert i me dibujar en TT , ( f i g - 5 ~ b } las' rectas perspectivas aí y b í ,e cortan en P¡.a técnica aplicada en este caso suele! denominarse "método de los dos punos de fuga". ; ~

co-cons t rue¬

de

q ue

!Tz/n;x

H-A =1a,“0«

H-B=l’br0opi

& 4OfcsS ü

B" +ysiA P:H 1Ta-i Tbi

fig.5 \6'

+y=f-y7*TsOí ii

\/ i a) b)

En el llamado "método de los puntos de distancia" se utilizan tambiéndosrectas que contienen al punto, pero con inclinación de 45a (fig.6),. Sóloes necesario determinar las trazas de esas rectas, puesto que las fugascoinciden con los. puntos de distancia (derecho o izquierdo).

zfi4 A¿TTi .x

v;6[

O»hf i g . 6 I'afD

$/

Jb45“,45o lit-J-r *ysf

H"•Tbí di

b)a)’•

;

V I -5

ana c..urv& 1.rregu 1 a r,pueCons iste. endibujar un

perpendiculares al cuadro. Obteauxilio de la recta m) se

cade cuadrado correspondeaproximada de la figura;reticula uti 1 izada.

hZ - ‘

Oo=InIm-DI

ML\

+y

TmSTa H\

supon.e el abatimiento del geo

sentido contrario al esta-

se llama a este sistema

queda situada, en el abatj_P] de un punto (Pj) secorresponded'en una homo

punto de distancia su¬sobre el cuadro equivale

proyectarse ese sistema des_Ill), en ,1a cual h es u-los puntos impropios del

, con auxilio deP1 una

Tfel-j0rU

7M' hsi*U Oo/•* /

P7\f/ fH

/i

;

Xp71Pi)/

y(+x)

b)

VI-5

irregu 1 a r ,pu£Consiste, en. dibujar un

perpendiculares al cuadro. Obt£auxilio de la recta m) se

una ,v ¡,; r v¡s

cada cuadrado correspondeaproximada de laretícula úti l izada.

figura;

: Az '

Oo=I‘ním=D

+7LKz?

+yHTmaTai

supone el abatimiento del geosentido contrario al esta¬

se llama a este sistemaí

queda situada, en el abat|_P] de un punto (P|-) secorresponden en una homo

punto de distancia su¬sobre el cuadro equivale

proyectarse ese sistema tfes_Ill),los puntos impropios del

en ,1 a cua 1 h es u-

, con auxilio deP1 una

Tfel,0=u

7hsi'-7-422

/

• / .1ÿ%-/ íü/1

i.*PTtPi)

b)

. GEOMETRIA DESCRIPTIVA V l -5Carlos J. Chesñevar

Cuando la figura del geometral está definida por una curva i.r regul a r , pu£de aplicarse el "método del cuad r i cu 1 ado" (f i g . 7 ) . Cons i ste en d í bu ja r uncuadriculédo en Tíi con rectas paralelas y perpendiculares al cuadro. 0 b te_nida la perspectiva de la cuadrícula en tí (con auxilio de la recta m) sedibuja sobre la misma el tramo de curva que a cada cuadrado correspondeen el geometral. Se obtiene así la perspectiva aproximada de la figura;será tanto más precisa cuanto más densa sea la retícula uti 1 izada.

ZF ,.z

Oo=I'nhf¡g.7

Im=D

.5-y +y-3vy=f

H/nñsTa•ÿTrns Tat Hi

a) b)

El procedimiento usado en las figuras 8 y 9 supone el abatimiento delgeometral sobre el cuadro, haciéndose el giro en sentido contrario al esta¬blecido para el método de Monge; por esa razón, se llama a este sistema"método de a ba t i m i en to i nd i recto" ¿ •

La figura del geometral (semiplano posterior) queda situada, en el abatj_miento, debajo de la fundamental . La perspectiva P; de un punto ( P|) sedetermina teniendo en cuenta que esos puntos se corresponden en una homologfa con eje en la fundamentalperior. En efecto, el abatimiento del geometral sobre el cuadro equivalea una perspect i v i dad de centro Se y eje f; al proyectarse ese sistema de¿de 0 sobre tí se genera la citada homología (Cap. Ill), en,la cual h es u-na recta límite (h contiene a las perspectiva de los puntos impropios delgeómetra 1 ) .En la figura 8- b se obtiene pj, perspectiva derecta cualquiera que pasa por el punto (Pÿ).

en el punto de distancia su-cent roy

, con auxilio dep1 una

IfeTi o su

75f i g .8

K\

h=ri u 52./

j?< 0id,/

l

7 7h t i4-/-yt.%/ i ! // i

i.Xp

Pl)/i\

/V\¡<iÿ a)

|(+x)

b)

V I -6

iangulo A*| B j Cj,

Li\ bsi\.

\/f\B

\\

y\\ .

Pi\'

\

CO

\\ .\

(B,l*

b)y(x)

necesario determi -tos que no pertenede determi narde su planta y su

la

aspecto, es con¬metodo que indi-

ra M).

que cont \ enemisma recta,

horizontal, y la distarieiafundamental), es

<

alsus

9

l -nar la perspect iva

perspective Pi de sudesde Ta<l (intersec-

la cota de P, quentersecc i on con h dela perpendicular a

punto P (se dicevamente tguales).

h

£* a' Ta:

It

hpal

f-&D-

T°i

V I -6

triángulo Ai Bj C|,

\.

A v'I

\13

V Vi

\ ?\

jr-r-*rico

\\

(B,

jcx) b)

necesario dete.rni-puntos que no pertene

de determinarde su planta y su

aspecto, es con¬método que indi¬

altura")

que contienemisma recta,

horizontal, y la distanciafundamenta 1) es i -

determinar la perspectivaperspectiva P] dedesde Tai (intersec¬

la cota de P, qü£(intersección con h de

la perpendicular apunto P (se dice

vamente iguales).

la

a 1sus

su

h

£!a\ Ta

4 hpprí

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos. Cb.e.sñe.V3 r .. V I - 6uÿS9eawoioct?»t

En la figura 9. se ha determinado la :perspecti v¡a <d.el triángulo A-| Bj Cj,contenido, en el geometral.

ZTrrÍTTÍZRT ,Z‘. tx5a

B, I V\M' i cL\

V \Ai'\{ÿ

o»'ci +y=f o* • \S• f 'f A VH ,

i>

\ "i -y \Ov R-Hp-,

fig.9 co\(A.\

i-

tB,

a) b)(X)

V*5-- MEMCION DE COTAS EN PERSPECTIVA,

Obtenida la perspectiva de la planta de un cuerpo , es necesario determi¬nar, en función de la misma, la perspectiva dé los puntos que no pertenecen al geometral. Es preciso entonces estudiar el modo de determinarperspectiva de un punto cuando se conoce la perspectiva de su planta y sucota o altura.

Si bien los sistemas de las figuras 3 y 4 resuelven ese aspecto, es con¬veniente considerar, por su sencillez y practicidad, el método que indi¬ca la figura 10 (llamado "método de la planta y. la altura").

Si se representa la perspectiva de una rectal-horizontal que contiene.punto considerado y la perspectiva.- de--' la planta de la misma recta,puntos de fuga coincidirán en un punto de la horizontal, y la distanciaentre sus trazas (ubicadas en una perpendicular a la fundamenta 1 ). esgúal a la cota del punto.

1 a

alsus

i-

De lo anterior se deduce el proced imí ento: para determinar la perspectivaP 1 de un punto P cuando se conoce su cota h y la perspectiva P 1 de suplanta: se conduce por P;j una recta cualquiera a] ; desde T‘ai (intersec¬ción ide ' lái misma con f ) se mide perpendicularmente a f la cota de P, queÿ

dando determinado el punto Ta; al unirse Ta con Ia (intersección con h dela- recta aj) queda determinada a * . La intersección de la perpendicular af '-l levada por Pj con a1 determina 1 a «per spect i va P 1 del punto P (se diceque los segmentos P“j - • P 1 y Ta -j - Tg són perspect i vamente iguales).

TTty

tirh’pv.. jf.

f i g . 1 0

Mil h$ CV

a'J Taft.1B-** P_ hP1

ía Ta!hp ---i o,íPl

zrr/ a)l

b)

V 1-7

un cuerpo dado enque combina los

10. Es aplicable a 1 a refrecuente su utilizationello se denomina a

pro-recursos de

es-

&6

b

AcCX 3oc

0,

V 1-7

un cuerpo dado en pro¬que combina los recursos de

10. Es aplicable alarefrecuente su utilizaciónello se denomina a es-

K

6

O,

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - V 1-7ríos J . Chesñeva r-'«« •- •- V-;1 1ii'.IV-.Ms’MnXliiaBtgü

6.- PERSPECTIVA DE UN CUERPO,

En la figura 11 se ha obtenido la perspectiva de un cuerpo dado en pro¬yecciones de Honge, siguiendo una metodología que combina los recursos de

las construcciones realizadas en las figuras h y 10. Es aplicable alarepresentación de paralelepípedos, por lo cual es frecuente su utilizaciónpara el dibujo de perspectivas de edificios. Por ello se denomina ata técnica "método de los arquitectos".

es-

f i g. 1 1

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.

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«..o i*

VI I -1

AXONOMETRICA)

de observacion) es Improÿparalelos, y rectas paralelas

Az

TT2

5e—_~7l'—YP 1

0

.//--'K1

b)

q ue existe entre el obje-que aquel esta referido a

ortogonales, que definen tres pianoscoordenadas Xp yp.Zp y tres

cuadro 1T la terna de ejes, .elquedan def tni.dos- en If el pun¬

punto P), los puntos Pproyeccion axonometrica de P)y las

perspective de. los ejes x y z). Lasfamilias de rectas p.aralelas.

i

¥2

y

VI I -I

AXONOMETRÍCA)

de observación) es improÿparalelos, y rectas paralelas

,\Z

ie.: P2/ '

/ 1—Yp !o

l /:

/—\b)

que existe entre el obje¬que aquél está referido aque definen tres planos

coordenadas Xp yp.Zp. y

cuadro 1F la terna de ejes, .elquedan definidos en IT e 1 -pun¬

familias de rectas paralelas.

tres

punto P), los puntos P'-jproyección axonométrica de P)y lasperspectiva de. los ejes x y z). Las

¥2

y

GEOMETRIA DESCRIPTIVA Carlos J. Chesñevar VI I -I

Vil) PERSPECTIVA PARALELA (o PERSPECTIVA AXONOMETRIA)

1*- SISTEMA DE REPRESENTACION

En este caso» el centro de proyección (o puntos de observación) es improÿpío. Los rayos de proyección son entonces paralelos, y rectas paralelasresultan paralelas en la proyección,

X

*2'/ /// / f ig. 1

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y /// 7 a)

//

A los efectos de establecer la correspondencia que existe entre el obje¬to representado y la representación, se supone que aquél está referido auna terna de ejes x y z, mutuamente ortogonales, que definen tres planostf, 0*2 IÍ3 ( f i g . 1 ) : cada punto P define tres coordenadas Xp yp.Zp. yproyecciones ortogonales P-j P2 p3*Al proyectarse desde un centro S«, sobre un cuadro 1T la terna de ejes, elpunto y las tres proyecciones ortogonales, quedan definidos en IT el -pun¬to P

P‘2 y Prectas xlíneas así obtenidas en tí configuran tres familias de rectas paralelas.

tres

(perspectiva axonométr i ca verdadera del punto P) , los puntos

3 (primera, segunda y tercera proyección axonométrica de P) y las.y1 z' (ejes axonomét r i eos , perspectiva de. los ejes x y z) . Las

P ’ 1!

I

s z

¥2

S-&m

¿HT 0‘\

iri

a)f ig.2 .//

H-¿f

‘‘

V I I -2

s

A/I

O'

/

proyecta en IT mod ifi-ransformac i on (el

proyectada) para cadava-lores Xp y£ Zp, sy

funcion del la ubica-direccion de 1

elementos,1 a axonbmetr fa.

co¬

/

b)

Ylr

vS'

//

l c)<p/v P t

V I 1-2

I2)>P2

y

proyecta en IT modifi¬transformación (el

proyectada) para cadavalores x¡í y¡!> Zp, 'y

función del la ubica-deldirección

elementos,la axonometría.

co-

b)

AY

y’

A///¿o* c)

V p

>

V I I -2GEOMETRIA DESCRIPTIVA Carlos J. Chesñevar

TT A*t

A2

4lpx zp

P'sV ‘Ktf, .V

;

o'l

xftlx'p i ipyx'. p; yX’

c)b)

Puesto que cada magnitud real {cada coordenada) se proyecta en TT modifi¬cada, se deduce que, si se conoce el' coeficiente de transformación (elque transforma la coordenada real en la coordenada proyectada) para cadauno de los ejes, es posible establecer en x 1 y 1 z 1 los valores x¡> y¡!> Zp, 'y

obtener en consecuencia P'. Los coeficientes serán función del la ubica¬ción del cuadro TT en relación a la terna x y z, y de la direccióncentro S» en relación al cuadro.

Se estudiarán a continuación dos formas de disponer esos elementos,

r res pond i endo en cada. caso una clasificación distinta a la axonometría .

de 1

co-

2.- AXONOMETRIA ORTOGONAL

Az

nz'

T2

c/Zf ¡9.3f

1/% kH / //

o‘! fé. /

& b)W•/_i\ V'v Yy~

/o/

V -ry k- Y

X y’

x\a)

\.jr-

OO'ITFk.-v

Azz'

ZCÿcP /

/\/\o‘ TSK (X) c)s0"f i g . h

/y\

V pr M Y lx X 0/o*S.

\0 b) 4»'Cí

0¡yxl

VI K3raOttrainriTOTOfic:

contenga n i ngyno de los ejeslas recta". perpendiculares al.

en tF de los pianos Tf1 1T2 Tfÿ ,sfempre acutangufo.

sfempre angulos obtusos.

alturas del ttrllngulo {cada eopuesto al vertice que con-

todo pi ano paralelo a IF puedecon fgual resultado. En conse

representado por un trfangulo funda¬mismo slno de su forma. tuego,

en una homotecia, individual

con la cual se rnjde la co-eje axonometrico, es equiva¬(la utilizada en los ejes reel eje axonometrico con el res

tar i os de los angulos p ylos ejes reales, resufta

entes:

(l-cosÿY) 83 t

reduccidn no pueden fijar*dos de el los, el tercero qw

coeficlente debe ser manor que la tla unidad)«

fgUales, cada uno vale

AXOMOMETR I A ORTOO0NAL - ISOMETRIC*equ i 1 d tero 4

del tercero, la perspectivitrfangulo fundamental es f

la AXONOMETRIA ORTOGGNAL TR<.de determ f nar, a part f r de

lo que hace posible conoce

0+/V

u'kf

c)

V I I.-3.contenga ninguno de Tosejeslas rect.>". perpend i cu 1ares al

en ff de los planos Tí, Tfa Tíá ,acutángu l o.ángulos obtusos.

alturas del triángulo (cada eopuesto al vértice que con-

plano paralelo a IT puedeigual resultado. En conse

representado por un triángulo funda¬sino de su forma. Luego,una homotecia, individua¬

con la cual se mide la co¬eje axonométrico, es equiva¬(la utilizada en los ejes re

eje axonométrico con el res

complementarios de los ángulos <*ÿ /2> ylos ejes reales, resulta

equivalentes:

Y) 1sa •

reducción no pueden fijar’dos de ellos» el tercero qut

coeficiente debe ser menor que la: t

1 a unidad)»iguales, cada uno vale

AXONOMETRIA ORTOGONAL ISOMETRIC;equi látero.

del tercero, la perspectivitriángulo fundamental es i-

la ÁXONOMETR I A ORTOGONAL TR

de determinar» a partir deíó que hace posible conoce

+

A/

|Á]*Uj< *® >cóSfeja

. Jí u

fO

GEOMETRIA DESCRIPTIVA -- Carlos J . Ches novar V I J »3

l§ superse ubicado §| sMadr© IT de modo que no contenga ninguno de los ejes

x y z} el centro So éi el punto Impropió de las recta", perpendiculares alcuadro (es decir, se proyecta or togona 1 men te) .De las condiciones anteriores se deduce:

a) El triángulo XY2 (definido por las trazas en lf de los planos Tí, TT2 Tí¿llamado triángulo fundamental) será s i empre. acutángu l o .

b) Los ejes x'y'.'y'z', z'x' , formarán siempre ángulog obtusos.

c) Los ejes axonomét r i eos contienen a las alturas del triángulo (cada eje axonométrico es perpend i cu 1 a r a 1 lado opuesto al vértice que con-t í ene ) .

d) Puesto que se proyecta or togona 1 mente , todo plano paralelo a IT puedeser utilizado cómo cuadro de proyección con igual resultado. En consecuenc i a , el sistema axonométrico representado por un triángulo funda¬mental dado no depende del tamaño del mismo sino de su forma. Luego,todos Tos triángulos que se corresponden en una homotecia, Individuaÿ

1 izan el mismo sistema axonométrico.

e) La unidad axonométrica (o unidad reducida, con la cual se mide la co¬ordenada en un eje axonométrico) en cada eje axonométrico, es equiva¬lente al producto de la unidad verdadera (la utilizada en los ejes reales) por el coseno del ángulo que forma el eje axonométrico con el respect i vo eje real .

f ) Llamando u.' $ y y'a los ángulos complementarios de los ángulos <x (b y

% que forman los ejes axonomét r icos con los ejes reales, resulta

2 tíC 42

1$ + eos2 t' - 1eos

Reemplazando por las expresiones equivalentes:

(1-eos2 o< ) + (T -eos2¡i ) + ( 1-eos2 Í ) »ÿ 1

eos

de donde res u 11a qu e:

2 rf 42 (b + eos2 ~Í =ÿ 2

Lo anterior indi cá que los coeficientes de reduce ion no puedan fijar*s;e arbitrariamente, sino que establecidos ;dos de ellos# el tercero qtnda unívocamente determinado (cada coeficiente debe ser menor que la]ni dad, y la s Urna de dos de ellos mayor que la unidad)»

Si los tres' coeficientes de reducción son iguales, cada uno vale \pjjf-En tal caso, la perspectiva se denomina AXONOMETRÍA ORTOGONAL ISOMETRIC:ó MON tíM ETR i C A . El triángulo fundamental es equi látero.SI. des, coeficientes son iguales y distintos del tercero, la perspéctívi

. se llama AXONOMETRIA ORTOGONAL Df METRICA, El triángulo fundamental es I-eosee Tes .•

Siendo distintas las tres escalas, se tiene la AXONOMETRIA ORTOGONAL TRMET R 1CA . El triángulo fundamental es escaleno.

En los gráf icos siguientes se muestra el modo de determinar, a partir detriángulo fundamental, los ángulos, cíe (h y / , íó que hace posi ble conocelas tres unidades reducidas.

eos eos

Az’&

4,

f ig.5 (óí o*,•}/\/ ’/\gft í di#

\ ! . -:rr.J..wXI:í

Ujt « , C OSes,>X f

X b)I/ .

'

>Ffo 5 HRA.............(árge centro- r*dfe %í4 te)¿í ¿ix)

if* *

VI 1-4-r- .-•“I V

«?V %- •.

reducidas (o dos.deobtfene con el

b)

Y

V

los ejes axonoproyeccion es obi i-

ux (unica unidadcentro S . En

modo que forme con

nvTf2

EiUy -Uy

b)

<>

.<

V 1 I - ¿i

reducidas (o dos deobtiene con el

Sÿy

y

los ejes axonoproyección es obli-

ux (única unidadcentro .que forme

Encon

ir=íf2

5Uz

y=y'-5»

U,2U'y

b)

,t

_ - ;> A ' v ¿ ' n ?GEOMETRI A D E SCR I PT I VA - Car 1 ós! "Ch e s ñ e V a r

a V f S. , . f

VI I - A

'ÿ ••

'TOSS»:? ••

J' “

Cuando se establecen previamente dos de las unidades- reducidas (o dos delos a n g u 1 os ), la disposición de los ejes axonomé tríeos se obtiene con elproceso gráfico señalado en la siguiente figura.'

ii

| i(o)CP)íx ÍK~~ A\ -->:

\// I\

I \ /(x)Q'

o's/ d'

a)X b)

x' X;

f ig.6-¿

(O) i

K—-X/ÿ '

/ i

A/

//

¿V

y i

í$á y/

x y

d)y x'c)arco centro o'

3-- ’AXONOMETRIA CABALLERA

El cuadro TT está superpuesto con el plano Hj? , dé modo que los ejes axonométricos y1 zl coinciden con los ejes reales y z. La proyección es obl¡~

jc.ua al cuadro; la ubicación del eje x' y la magnitud de ux (única unidad¡reducida) dependence la dirección que se adopte para el centro . Enj la práctica, se dibuja arbitrariamente al eje x‘, de modo que forme con

zr ¥=I29* Jkz sz‘

v3ÿy. Uz süz

0 =o‘

Uy=Uy,Uz! CxUy

j0 rt* Xx'Uxfyx‘

*fÁ/

f30o<« < 60’

L <Ük_< Jf ig.7

b)a ) T irUx

V 1 i -5

y se adopts arbitrariamencomprend i d-.

esos valores para

facilita aplicarido la ho_axonometrico con el sistema

equivale a una perspectiveestablece. una corresponden(primera proyeccion Monge)proyeccion axonomet r i ca).E 1

punto impropio de la recujC (se t rata de una aft-

conduce por (P]) una recmisma corta al eje de ho¬

Pasando por (Pj) una ITnea de, se determina en a] el

aplicable para determinar la priplanta). Para encontrarparalela al eje z y- se ml_

punto P (puesto que la u~verdadera), quedando asf deterÿ

tre 1/2 y 1/3abte-

** \

(puesto que , rectaseje x j

ITsfÿaCni)|n2ÿz.

p\//4 y= ySLLtf1

R\(1'<ux) \

\ \\

\ s

\\\iy \\

l\ t*i)\\v<x)

paralela un cubo de 2,5axonometrfa ortogonal 5 somet r i ca;en

cm.

/

b)

)ÿ

//

IKAIUIUI

V I I -5

rend idesos valores para

se adopta a r b i t ra r i amen_t re 1/2 y 1/3

obte-facilita aplicando la hoÿ

axonométrico con el sistemaequivale a una perspectivj_establece una corresponden¬(primera proyección Monge)proyección axonomét r i ca).E 1

punto impropio de la recu¿ (se trata de una afi¬

conduce por (Pj) una recmisma corta al eje de ho¬eje x1 (puesto que,rectas

Pasando por (P j) una línea deUQO , se determina en a -j el

aplicable para determinar la pnplanta). Para encontrarparalela al eje z y. se mj_

punto P (puesto que la u-verdadera), quedando así deter¬

A z

/I

0‘ i

:

i'<ux> \\ \\

fv\\\\

\\\

paralela un cubo de 2,5axonometría ortogonal i sométr i ca;en

cm.

z'A

¡I—: b)

y

GEOMETRIA DESCRIPTIVA arlos J. Chesñevar VI 1—5MftVSHJeeUHKMM

el eje y un ángulo comprendido entre 30 y ¿0°, y se adopta arbitrariamente la unidad reducida , de forma que esté comprendió-.: iré 1/2 y 1/3de la unidad verdadera. Es conveniente respetar esos valores para obte¬ner una buena perspectiva.

La construcción de una perspectiva caballera se facilita aplicando la h<amo logia que se genera al asociar el sistema axonométrico con elde Monge (fig.8). El abatimiento de Tfj sobre ]f equivale a una perspectivj_dad; al proyectarse el sistema desde S« , se establece una corresponden-'c i a homo 1 óg i ca entre los puntos de 1T, abatidos (primera proyección Monge)y la proyección en íf de esos puntos (primera proyección a xonome t r í ca ) . E 1eje de la homología es el eje'y; el centro es el punto impropio de la recta que une los extremos de los segmentos (ux) y u5'c (se trata de una afi¬nidad homológica).

s i sterna

Para determinar la perspectiva del punto P-j, se conduce por (p-j)ta (a]) paralela a (x) ; por el punto en que la-misma corta al eje de ho¬mología pasa la recta homologa a], paralela al eje xl (puesto que. rectasparalelas tienen proyecciones paralelas). Pasando por (P-j) una líneareferencia que contiene al centro de homología UQO , se determina en a] elpunto P].

una rec

de

Tengase presente que la homología sólo es aplicable para determinar la pr[proyección axonométrica (perspectiva de la planta). Para

la perspectiva del punto P, se lleva por P 1 una paralela al eje z y- se mi_de sobre ella, desde P ¡ , la cota verdadera del punto P (puesto que la unidad axonométrica según z es igual a la verdadera), quedando así deter¬minado P 1 .

mera encontrar

Ifelíÿd,1= Z .ai¥

Az y S0*Ir i=vy0‘i i/

p!/ uxKVL IR- y-\ai

Kux> \y\ \/ \x> 3/ \-S».x f;)

\u« /IR \iy \\/

W¡(a.)! / \! A \fig.8 |(x)x' b)

a)

En la figura 9 se representa en perspectiva paralela un cubo de 2,5de arista. En el primer caso, en una axonometría ortogonal í sométr i ca ;enel segundo, en una axonometría caballera.

c rn .

z'

l

b)l.

f i g . 9a) y-\

K

n ? 4>*

VI 1 I - i

CARACTERISTT r-J5.ende su def inicion, puede conresulta como i nterseccion de

geometrico de las sucesivas posi-ultima concepcion generalmentecurvas. El desp 1 azamiento del

movimiento para elmovimiento establecido para un con-

pertenece el punto.

dos puntos de la curva infj_segmento i nf ? n i tamente pe-

curva como el lfmite al cualinfinitos elementos rect i 1 f neos).

planas y alabeadas.pertenecen a un piano.

doble curvatura. El punto gen£iccion de permanecer en unestaran en el mismo piano.

en dos puntos no conti¬

puntos contiguos de 1 a cujrcuerda, o recta que con¬

tangente en un punto de lapunto comun al mismo y a

un punto, que pertenece al

que es normal al piano de

dos elementos rectilfne-contiguos). Para un arco de cur¬

que corresponden a esos pun

tres puntos cont?guos(culas mediatrices de los e-esos tres puntos).

osculador que correspondeABC, definen un cfrculo oscupara el punto B de la curva.osculador que corresponde al

punto

B

ifrc

decurvatura

osculador

V I I I - I

CARACTERISTICOS.

su definición, puede conresulta como intersección de

de las sucesivas posi¬concepc i ón generalmente

curvas. El desplazamiento delmovimiento para elestablecido para un con¬pertenece el punto.

puntos de la curva infj_segmento í nf i n i tamente pe¬curva como el límite al cual

elementos rectilíneos).

planas y alabeadas.

pertenecen a un plano.

curvatura. El punto gen£restricción de permanecer en

estarán en el mismo plano.

en dos puntos no conti¬

puntos contiguos de 1 a cu r_cuerda, o recta que con¬

tangente en un punto de lapunto común al mismo y a

un punto, que pertenece al

que es normal al plano cb

dos elementos rectilíne¬contiguos). Para un arco de cur¬

corresponden a esos pun

tres puntos cont iguos(culas mediatrices de los e-esos tres puntos).

oscuiador que correspondedefinen un círculo oscuel punto B de la curva.

oscuiador que corresponde al

punto

un

B

rr,e

decurvatura A

oscuiador

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J. Chesñevar V II I - iGgsssaaattsxaawai

ESSáO

VIII) CURVAS!•- GENERACION - CLASIFICACION - ELEMENTOS CARACTERISTICOS,

La forma de generación de una curva, y por ende su definición, puede concebirse de distintas maneras: en unos casos resulta como intersección dedos superficies; en otros, como lugar geométrico de las sucesivas posi¬ciones de un punto móvil, resultando esta ú 1 t i ma concepc i ón generalmentemás práctica para definir y clasificar las curvas. El desplazamiento delpunto generador puede ser dado por una ley de movimiento para elmismo, o puede estar condicionado al movimiento establecido para un con¬junto geométrico (línea, figura, etc.) al cual pertenece el punto.

Llamaremos puntos contiguos o consecutivos a dos puntos de la curva infj_Hitamente próximos, y elemento rectilíneo al segmento infinitamente pe¬queño que determinan (puede concebirse a la curva como el límite al cualtiende el polígono comprendido por los infinitos elementos rectilíneos).

Las curvas se clasifican, en principio, en planas y alabeadas.

CURVAS PLANAS: Todos los puntos de la curva pertenecen a un plano.

CURVAS ALABEADAS: Se denominan también de doble curvatura. El punto gen£rador se desplaza, en este caso, sin la restricción de permanecer en unplano. En- general, cuatro puntos contiguos no estarán en el mismo plano.

En relación a las curvas, se llama:

RECTA SECANTE: Es la recta que corta a la curva en dos puntos no conti¬guos.

RECTA TANGENTE: Es la recta que contiene a dos puntos contiguos de la air_

va (se puede expresar también como límite de la cuerda, o recta que con¬tiene a un segmento rectilíneo).

PLANO NORMAL: Es un plano perpendicular a la tangente en un punto de lacurva. Toda recta de ese plano que pasa por el punto común al mismo y ala curva, es una recta normal a la curva.

RECTA NORMAL PRINCIPAL: Es la recta normal, en un punto, que pertenece alplano de la curva,

RECTA B1N0RMAL: Es la recta normal en un punto, que es normal al plano da

la curva.

ANGULO DE CONTINGENCIA: Es el ángulo que forman dos elementos rectilíne¬os contiguos (definidos por tres puntos contiguos). Para un arco de cur¬va AB, es el ángulo que forman -las tangentes que corresponden a esos puntos.

CIRCULO OSCULADOR: Es el círculo que contiene a tres puntos contiguos(cuyo centro está definido por la intersección de las mediatrices de los e-

lementos rectilíneos contiguos comprendidos por esos tres puntos).

CENTRO DE CURVATURA: Es el centro del círculo osculador que corresponde

al punto considerado. Tres puntos contiguos ABC, definen un círculo osculador cuyo centro es el centro de curvatura para el punto B de la

RADIO DE CURVATURA: Es el radio del círculo osculador que corresponde al

punto considerado.

punto

curva.

íf i g . 1 BNormal Tangenle

A

VrP

7 leCentro decurvaturaa ) 1

b )Circulo osculador

V 1 M ”2

corno el cocienteen_sus tangentes extre-

expresada porrectilfneos consecuti-

= d If /ds.

un angulo interiorcurvatura:

punto cualquieraente) son recfprocos.

punto de una curvarectilfneos contiguos,

puntos contiguos ABCContiene al cfrculo oscu

respond i ente al pun-

osculador.es consecuti¬denomina torsion de lacurva plana, la torsion

1 a

de

divide a la curva,(para el punto B,

punto generador

el punto generadorPuede haber una o dos

pasa

angulososretroceso.

RELACION A OTRAS 8

C2 ...cn (que puedeil c),

"envuelve" (tise llama en-

i ene en comuntangente y la normal).

la familia dada, se

pero la curva e puedecir, puede

~

evoluta se

centros de curvaturaevoluta de la curva C.En

de

* r

tener1 1 aman

V I ¡ I -2

como el cociente ensus tangentes extre¬

expresada por larectilíneos consecuti¬

= dtf /ds.

un ángulo interiorcurvatura:

punto cualquiera decorrespondiente) son recíprocos.

punto de una curvarectilíneos contiguos.

puntos contiguos ABCene al círculo oscu

correspondiente al pun¬

osculador.es consecuti¬denomina torsión de lacurva plana, la torsión

divide a la curva,(para el punto B,

punto generador

el punto generadorPuede haber una o dos

pasa

v

\

angulososretroceso.

RELACION A OTRAS»

C£ ...móvil c),

"envuelve" (tiene

cn (que puedese 11 ama en¬

comúntangente y la normal).

familia dada,

en

se

de curvaturade la curva C.En

pero la curva e pu£decir, puede

~

evoiuta se

de

tenerI 1 aman

......."G E Ó M ET R I A DESCRIPTIVA - Carlos J . Chesnevar V III -2

CURVATURA: Se define la curvatura media de un arco AB corno el cociente entre el ángulo de contingencia ¿f (ángulo formado por sus tangentes extre¬mas) y la longitud del arco C = J/s.

La curvatura eri un punto cualquiera de una curva, está expresada porrelación entre el ángulo que forman dos elementos rectilíneos consecuti¬vos (ángulo de contingencia) y el arco comprendido: C = dtf /ds.

En un círculo de radio R, el arco s que corresponde a un ángulo interiory vale: s ** f ,R. Reemplazando en la expresión de la curvatura:

C = í/s = / . 2T . R — 1 / R

Luego, la curvatura y el radio de curvatura para un punto cualquiera deuna curva (o para el círculo osculador correspondiente) son. recíprocos.

Los 'conceptos que acaban de definirse valen para cada punto de una curvaalabeada, en el plano que definen los dos elementos rectilíneos contiguos,Para las curvas alabeadas, se define:

PLANO OSCULADOR: Es el plano determinado por tres puntos contiguos ABC(o los dos elementos rectilíneos consecutivos) . Contiene al círculo osculador y, en consecuencia, al centro de curvatura correspondiente al pun¬to B de la curva.La relación entro el. ángulo que forman dos planos osculador.es consecuti¬vos y el elemento de arco comprendido (dtf /ds) se denomina torsión de lacurva (es independiente de la curvatura; para una curva plana, la torsiónes nula-) •

la

2.- PUNTOS SINGULARES DE UNA CURVA.

PUNTO DE INFLEXION: Es un punto en el cual la tangente divide a la curva,y tiene en común con ella tres puntos contiguos ABC (para el punto B,el centro de curvatura es impropio).

PUNTO MULTIPLE O NUDO: Es el punto por el ' cual el punto generadormás de una vez. Puede haber una o más tangentes.

PUNTO ANGULOSO O DE RETROCESO; Es el punto en el cual el punto generadorcambia bruscamente el sentido de su des p 1 azamí en to . Puede haber una o dostangentes .

i

pasa

/ h

h v

W

Vi\

1*2 c) Puntos angulososo de retroceso.

a) Punto deInflexión.

b) PuntoMúltiple

f íg.2

3 ‘ ~ CLASIFICACION DE CURVAS POR SU CONDICION EN RELACION A OTRAS.

ENVOLVENTE E INVOLUTA: Dada una familia de curvasconcebirse como sucesivas posiciones dev o 1 vente de esa familia a la curva E que las "envuelve" (tiene encon cada curva, en el punto de contacto, la recta tangente y la normal).La-' curva móvil c que genera con su desplazamiento a la familia dada,denomina involuta de ese sistema.

EVOLUTA Y EVOLVENTE: El lugar geométrico de los centros de curvaturauna curva C, define una curva e que se denomina evoluta de la curva C.Enrelación a e, la curva C se denomina evolvente.A 1a curva C corresponde estrictamente la evoluta e; pero la curva e puede ser evoluta de otras curvas distintas de la C, Es decir, puede

~

varias evolventes. Todas las evolventes de una misma evoluta securvas para lelas .

cn (que puedeuna curva móvil c) , se llama en¬

común

C1 c2 •

se

de

tener1 1 aman

VI 1 I -3

Evolutq

Ckÿ

\sN.

\

Evolvente

otras conocidas, cuando se d£algun elemento caracterfs_

curvatura, etc.).- Se dan a conti-

trazan varias secantes porcentro en P. A partir de e_

segmento igual (o proporcioÿcomprendido en la curva. La u-error e, que corta al arco detangente t (el punto R corresÿ

Por el metodoel punto una perpendicular

Se dibujan varios arcosarcos con centro en los exradio igual a la magni-

secante con el punto interse£mismo, define dos triangulos

vertices A, B ... determinapunto N, por el cual pasaN corresponde al arco de

anterior

la

n

— <

0

c

Centro deun punto.

curvatura

V I I I -3

voluta.

C

\

Evolvente

conocidas, cuando se d e_algún elemento caracterís_etc.). Se dan a conti¬

trazan varias secantes porcentro en P. A partir de e_segmento igual (o proporcita

comprendido en la curva. La u-e, que corta al arco de

tangente t (el punto R corresÿ

Por el métodoel punto una perpendicular

Se dibujan varios arcosarcos con centro en los ex¬radio igual ala magni¬

secante con el punto interse£mismo, define dos triángulos

A, B ... determinapunto N, por el cual pasaN corresponde al arco de

anterior

la

n

P t

°¿z,c

Centro deun punto.

curvatu ra

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J. Chesñevar VI I I -3

£ Evolula

Envolvente C

Involu la \C3 e

,C2f í g 3

S b)Evolvente..

4°“ CURVAS DE ERROR

Son curvas que se construyen en relación a otras conocidas, cuando se de_sea determinar en éstas, por métodos gráficos, algún elemento caracterísÿtico (tangente en un punto, centro de curvatura, etc.)" Se dan a conti¬nuación algunos ejemplos.

4-a) TANGENTE EN UN PUNTO P DE LA CURVA.- Se trazan varias secantes porel punto P, y un arco de radio arbitrario con centro en P. A partir de e_se arco, se mide sobre cada recta secante un segmento igual (o proporci£nal) al segmento de la respectiva secante comprendido en la curva. La u-n ion de los extremos determina la curva de error e, que corta al arco decentro P en un punto R por el cual pasa la tangente t (el punto R corresÿponde a “cuerda nula").

4-b) NORMAL PRINCIPAL. EN UN PUNTO DE LA CURVA.- Por el métodose determina la tangente, y luego se traza por el punto una perpendiculara la misma, quedando determinada la normal.

4-c) NORMAL PRINCIPAL POR UN PUNTO EXTERIOR M.- Se dibujan varios arcosde centro M que cortan a la curva, y luego los arcos con centro en los extramos de los segmentos secantes definidos, con radio igual a la magni¬tud del segmento respectivo» Cada segmento secante con el punto interse£cíón de los arcos dibujados en función del mismo, define dos triánguloseq u i 1 á teros simétricos. La unión dé los vértices A » B ... determinacurva de error e, que corta a la curva c en el punto N, por el cual pasala normal principal' que contiene a M. (el punto N corresponde al arco decentro M que determina cuerda nula)-.

a) Tangentepunto de la

anterior

la

tpor uncurva. R

nP \®

P t

n

f ig.4\

\

B

~Q'L¿=~£¡C

N tíT"G?5®!

ÍC ,cc) Centro de

en un punto.cu rvatu ra

Ef

b) Normal principalun punto exterior.

A por<£

Vt I \-k

curvatura (cen¬principal, la que se ob

uego va-rias se-que determinant

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la normal es el(correspon.de al

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vinculado el punto genecfrculos , se ge¬

llama en este caso

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•

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rqada

Normal

Reducida

V 1 I 1 -4

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Mama en este

- '...

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acortada) o prolon¬

nom-

caso

es

HIPOCICLOIDE

rqada

Normal

Reducida

VI ¡ 1-4GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J. Chesnevar

4-d) CENTRO DE CURVATURA PARA UN PUNTO P.- El centro de curvatura (cen¬

tro del círculo osculador) estará sobre la normal principal, laque seobtiene por el método oportunamente estudiado. Se dibujan luego varias se¬cantes que pasan por P y las mediatrices de las cuerdas que determinan.Desde los puntos en que las mismas cortan a la normal, se miden perpend_i_cularmente segmentos iguales (o proporcionales) a las respectivas cuer¬das, quedando determinada la curva dé error e por la unión de los extre- .mos de esos segmentos. La intersección de la curva e con la normal es elcentro del círculo osculador correspondiente al punto P (corresponde alpunto de cuerda nula).

5.- FORMA DE GENERACION DE ALGUNAS CURVAS,

5-a) CONICAS.- Se. llaman así en razón de que se obtienen al seccionar uncono con un plano. De la ubicación del mismo depende la forma y elbre de la cónica (elipse, parábola, hipérbola). Volveremos- sobre el temaen ocasión de estudiar las secciones planas de un cono.

5-b) CURVAS C I C LO I DALES.- Una curva , puede ser generada por un punto de u-na curva móvil m que se desplaza apoyándose, sin resbalar, sobre otra cur_va fija f ( 11 amado mov ¡miento de rodadura).

Cuando la curva móvil a la cual pertenece o está vinculado el punto generador, y la curva fija en 1 a que se apóya la móv i 1, son círculos, se ge¬neran las curvas cicloidales. A la curva móvil se la llama en este"ruleta" y a la fija "base".

Según la ruleta sea interior o exterior a la base, la curva se denominahipocicloíde o pericícloíde respectivamente. Si el radio de la basei nf i n i to ( recta ) la curva se llama cicloide ordinaria.

El punto generador, en cada caso, puede pertenecer a la ruleta o bien serinterior o exterior a la misma (siempre en su plano). Según esa circuns¬tancia, se dice ¡qué la curva es normal ,o reducida (o acortada) o prolon¬gada (o alargada). •• • •'

nom-

ca s o

es

Reducida Ala rqada

Base Normal\

fig.5 HIPOCICLOIDE

X K

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VII 1-5HBtSCggft

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admitiendo que el punto generadorespiral es dextrogira,

La distancia entre dos pun_(desp 1 azam i ento de 1 punto en

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Vil 1-5

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punto que se desplaza sode uno de sus puntos;

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admitiendo que el punto generadorespiral es dextrógira,

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA - Carlos J. Chesñevar V I I 1-5

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5-c) ESPIRAL DE ARQU i MEDES . - Es generada por un punto que se desplaza sobre una recta» la que a su vez gira alrededor de uno de sus puntos;desplazamiento lineal del punto es proporciona] a) desplazamiento angu¬lar de la recta.

Según el sentido de giro de la recta , adm i t i endo que el punto generadorse eleja del centro de rotación, se dice que la espiral es dextrógira,(sentido de las agujas del reloj) o levógira. La distancia entre dos pun_tos de la curva situados en la recta móvil (desplazamiento del punto enun giro completo) se llama paso de la espiral.

e 1

Eig. 8

ESPIRAL DE

ARQU I MED ESPaso

5~d) HELICES.- Son curvas alabeadas, que pueden admitirse generadasun punto móvil que se desplaza (con movimiento uniforme) sobre una líneaplana, que a su vez gira (con movimiento angular uni forme) alrededorun eje.

por

de

V 1 I 1-6'JC'

iz de un ci1indro,la

contenidos en la mis

•?

(ambos movimientos sonordinaria, En el desa

helice determinan u

ento del punto gene¬fzquierda (s inistrorsa)derecha.cuando el sent!

tirabuzon que g i ra en i •

contrario.

L1NDR1CA

10-a) y la helice es*

HELICE ES.FEfUCA

f/

VI I 1-6

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hélice determinan u_contenidos en la mis_

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tirabuzón que gira encontrario.

i -

CILINDRICA

(fig-10— a) y la hélice es

HELICE ESFERICA

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J. Chesñevar V i I I -6iwsxaíatmaarecjcoia»<w>jff<oiogTOSCTiaicg.'»?

el punto generador se desplaza sobre una generatriz decual

un cilindro, laa su vez gira alrededor del eje del cilindro (ambos movimientos son

uniformes) se genera la hélice cilindrica o hélice ordinaria. En el desarrollo de la superficie cilindrica, los puntos de la hélice determinan u_na recta. La distancia entre dos puntos de la hélice contenidos en la mis_ma generatriz, se d enom ina "paso" de la hélice.

Según el sentido de giro de la recta y de desplazamiento del punto gene¬rador, la hélice puede ser derecha (dextrorsa) o izquierda ( s i n i s t ror sa )Aplicando la regla "del tirabuzón", 1.a hélice es derecha . cuando el sentído de avance del punto concuerda con el de un tirabuzón que gira engual sentido que la recta; es izquierda en caso contrario.

i •

T

'"V

\|

otf)

fOa,

/

2TTR

F í g . 9 - HELICE CILINDRICA

En forma similar, se generan la hélice cónica (fíg.10 — a) y la hélicefe rica, llamada también; loxodrómica (fig.lO-b).

es

b) HELICE ESFERICA

/

-h-V*

Fig. 10

a) HEL ICE CON I CA

!X-1

CARACTERISTICOS.

def i n i -ser generadas y

posiciones de una Ifnea (o la enque se desplaza con arre-

ten i endo 1 a constante para ca

superficie puede considerarse co*

misma superficie distint'os mopuede admitir

por una recta que gira apoposible claslficar de distintos

cac i ones necesa r I amen te se

ser) generadas por una recta

generadas por una curva en

total idad de sus elernentosproduzcan roturas ni defor-anares (se cortan en un pun

superponerse con un piano singeneratrices consecut i vas

generado

tangente a una Ifnea de la

determi nan dos rectas tangenÿrectas tangentes en un punto

smo punto)»

un punto contiene a lasuperficie reglada es de-cualq-uier punto de

tangente es en general distirÿ(dicho de otro mode, por una

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cuando t ie nen en cornun uncontiene al elemento comun es

tangente en el mismo punto.

una

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Pecla tangente

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x

\

b)

!X- 1•i

CARACTERISTICOS.

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que se-,desplaza con arre¬manteniéndola constante paraca

superficie distintos niopuede admitir

por una recta que gira apoposible clasificar de distintos

clasificaciones necesariamente se

generadas por una recta

generadas por una curva en

totalidad de susproduzcan roturas ni defor¬

coplanares (se cortan en un pun_

superponerse con un plano síngeneratrices consecutivas

tangente a una línea de la

generado

elementos

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cuando tienen en común uncontiene al elemento común es

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"H' Recia tangentey

_Punlo de tangenciaP/J

<

b)

i x-1GEOMETRIA DESCRIPTIVA Carlos, J. Chesñevarates

IX) SUPERFICIES,

!•- GENERACION - CLASIFICACION -.ELEMENTOS CARACTERISTICOS,

definí-Al igual que las curvas, las superficies pueden ser generadas ydas de diversos modos. En general, una superficie puede considerarse co¬mo el lugar geométrico de las sucesivas posiciones de una línea (o la e_n_volvente de las posiciones de otra superficie) que se. desplaza con arre¬glo a cierta ley, sea variando su forma o manteniéndola constante paracada posición.

En muchos casos, pueden aceptarse para una misma superficie distintos modos de generación. Un cilindro, por ejemplo, se puede admitirpor por una circunferencia que se desplaza, o por una recta que gira apo_yada en esa circunferencia. Por ello, es posible clasificar de distintosmodos a las superficies, sin que esas clasificaciones necesariamenteexcluyan. En pr i ncipio son:

SUPERFICIES REGLADAS: Las que son (o pueden ser) generadas por una rectaen movimiento.

generado

se

SUPERF 1C I ES CURVAS : Las que son (o pueden ser) generadas por una curva enmovimiento,

A su vez, las superficies pueden ser:

DESARROLLADLES: Son superficies tales que la totalidad de sus el ernen tospueden superponerse con un plano, sin que se produzcan roturas ni defor¬maciones. Dos generatrices contiguas son coplanares (se cortan en un pun_do propio o impropio),

ALABEADAS: Son las superfices que no pueden superponerse con un plano sinque se produzcan roturas y deformaciones. Dos generatrices consecutivasson a 1 abeadas .En relación a las superficies, se define:

RECTA TANGENTE EN UN PUNTO.- Es toda recta tangente a una línea de lasuperficie que pasa por el punto.

PLANO TANGENTE EN UN PUNTO: Es el plano que determinan dos rectas tangen_tes a la superficie en el punto (todas las rectas tangentes en un puntoestán conten i das en el plano tangente en el mismo punto),

En una superficie reglada, el plano tangente en un punto contiene a larecta generatriz que pasa por el punto. Si tal superficie reglada es de¬sarrolladle, el plano tangente es el mismo para cualquier punto demisma generatriz; si es alabeada, el plano tangente es en general d í s t s n.to para cada punto de una misma generatriz (dicho de otro modo, por unageneratriz de una superficie reglada desarro liable pasa sólo un plano tan_gente; por una generatriz de una superficie reglada alabeada, pasa un hazde planos tangentes a la superficie).

Se dice que una superficie es tangente a otra cuando tienen en comúnpunto o una línea, y el plano tangente que contiene al elemento común estangente a las dos superficies.

RECTA NORMAL EN UN PUNTO: Es la recta que contiene al punto consideradode la superficie y es perpendicular al plano tangente en el mismo punto.

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un

Normal

Plano tangente

-r- Rec ta tangen teV

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GEOMETRíA DESCRIPTIVA Carlos J« Chesñevar I X - 2

Rano tangente Plano tangentes

X

R ec la de /tangencia /

X/h X4¡ \ Recia de

langencia\/\

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-ri~ \/4 X\

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2.- PROYECCIONES DE UNA SUPERFICIE.

El conjunto de los rayos proyectantes (desde un centro de proyección propío o impropio) que son tangentes a una superficie S dada, determina unasuperficie circunscrita aperficie circunscrita es cónica, y es cilindrica si el centro espió,

La línea de contacto de ambas superficies se llama ’’contorno aparente“dela superficie S, y divide a la superficie en dos partes: una "visible”otra ”nb visible" (u oculta),

la superficie S . Si el centro es propio, la su-i mp ro-

Y

La traza en el cuadro de proyección de la superficie circunscrita que ge_neran los rayos proyectantes tangentes, es la proyección del contorno a-pa rente; ella en general no es suficiente para individualizar a la super_ficie. Las proyecciones de otras líneas de la superficie, que estarán s i emp re comprendidas en la figura que encierra la proyección del contorno a-párente, se di fe rene i an según estén situadas en la parte visible o en laoculta, dibujándolas con trazo continuo y discontinuo respectivamente.

V

A/-=r--o ----—:

S*sAAZ

f i g •3Contorno aparente

En la doble proyección ortogonal (Monge) , se tiene la proyección de

contornos aparentes. Tal sistema, agregado al conocimiento de las prop¡£

dades de la superficie representada (forma de generación, etc.} permite

resolver problemas inherentes a la misma.

dos

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I X“3MUCLSSBms: £32l

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pueden ser engend radas porapoyada en un punto fijoalabeada, tambten fija.

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caso anterior, es una cur

polfgono; el vertice un

polfgono, y e( vertice es

alabeada, Ert ciertos cases,{por ejemplo, si la

a r a la recta que coivtie-superficie radiada que se gene

revolucion).

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revolución).

apoyada en un punto fijoalabeada, también fija.

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punto

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CILINDRICAV///,

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rí) PRISMATICA

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J. Chesñevar I X-3

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3>- CONSIDERACIONES SOBRE SUPERFICIES REGLADAS *

3~a) SUPERFICIES RADIADAS: Son superficies que pueden ser engendradas poruna recta móvil (generatriz) que se desplaza apoyada en un punto fijo(vértice) y en una curva (directriz) plana o alabeada, también fija.

Son siempre des a r ro 1 1 ab 1es . Según la posición del vértice y la formala directriz, resulta:

Superficie Cónica: La directriz es una curva; el vértice es un punto proÿpío.

Superficie Cilindrica: La directriz, como en el caso anterior, es una curva; el vértice es un punto impropio.

Superficie Piramidal: La directriz es un polígono; e í vértice unpropio.

Superficie Prismática: La directriz es un polígono, y ai vértice espropio.

de

punto

i rn~

I aLa directriz puede ser una curva plana o alabeada. En ciertos casos,superficie radiada equivale a una de revolución (por ejemplo, si larectriz es un círculo cuyo plano es' perpendicular a la recta que contie¬ne al centro del círculo y al vértice; la superficie radiada que se genera en tales condiciones

d i -

de revo 1 u c i ón ) .es un cono

b) CILINDRICAVi //Ah

a) CONICA

é /Hj

1 '

I

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fig.5

SUPERFICIESRAD I ADAS

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c) PIRAMIDAL A /

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d) PRISMATICA

!X-k

constituido por recen conseeuenc i a,la superficie es

superficie; si es p_[_pianos que pasan por

generatrices que pasan por

una superficie y unla superficie

plana, que puede a-es

radiadas es que. dos seccando a las sucesi-

rayos p royectantes,dospers-corresponden en una

la proyeccioncualquier sistema

III). Elio permiti-por homologfa (con

proyeccion tie la rec¬superficie).

de

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obtenerse,(como recta

la seccioncambio, es sufi-

para obtener el prj_

desdei nd i v i -plana

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I X-J»

constituido por recen consecuencia,la superficie es

superficie; si es p_[_planos que pasan por

generatrices que pasan por

una superficie y unla superficie

plana, que puede a-es

radiadas es que. dos see(identificando a las sucesi-

rayos p royectantes,dospers-corresponden en una

la proyección decualquier sistema de

(Cap.lli). Ello permiti¬por homología (con

proyección de la rec¬superficie).

obtenerse,(como recta

la seccióncambio, es sufi¬

para obtener el prj_

desdei nd i v i -plana

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v;=u

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J, Chesñevar I X- A«a»»' u

3-b) REPRESENTACION DE SUPERFI C I ES RADIADAS.

El contorno aparente de una superficie radiada estará constituido por rectas .(generatrices),. La proyección del contorno aparente, en consecuencia,queda definida por t razas de planos proyectantes. Cuando la superficie escónica o cilindrica, esos planos son tangentes a la superficie; si es pj_ramidal o prismática, se dicen planos rasantes (son planos que pasan poralgunas aristas, entendí endose por tales a las generatrices que pasan porlos vértices del polígono directriz).

3-c) SECCIONES PLANAS DE UNA SUPERF Í C I E RAD 1 ADA.La curva (o figura) determinada como intersección de una superficie y unplano, se denomina sección plana de la superficie. Si la superficieradiada, cualquier sección plana determina una curva plana, que puede a-ceptar.se como directriz,.

Una característica importante de las superficies radiadas es que, dos seeciones planas cualesquiera son perspectivas (identificando a las sucesi"vas posiciones de la generatriz con un conjunto de rayos p royectantes,dossecciones planas de una superficie radiada se corresponden en una pers-

pec t i v i dad con centro en el vértice). En consecuencia, la proyección de

dos secciones planas de una superficie radiada, en cualquier sistema derepresentación, determina dos figuras homologas (Cap.111). Ello permiti¬rá, conocida una de las secciones, determinar la otra por homología (concentro en la proyección del vértice, con eje en la proyección de la rec¬ta intersección ile los dos planos que seccionan a la superficie).

La intersección de cualquier superficie radiada puede obtenerse,luego, determinando el punto en que cada generatriz (como rectadual) corta al plano; la unión de todos los puntos es la secciónbuscada. Para aplicar la correspondencia homológica, en cambio, es sufi¬ciente hallar la intersección de sólo una generatriz, para obtener el prj_mer par de puntos correspondientes.

es

desdei nd i v i -

plana

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Vf ig .6 - SECCION PLANA

DE UNA PIRAMIDEíX' /

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i

r1

CON UN PRISMA

es seccionada con un p I allamadas Conlcas.. Segun la ubica

generatrices en puntos propscon el piano perpend i cu 1 a r

distancias de cada uno de Jpiano, es una constante (1a cosemi-eje mayor).

generatriz. Cada punto depiano (foco) y de una recta

eje de la superficie.la hiperbola a dos

secciona, la base (circular)perspect f vas; luego, la p

homologa de la proyecc ion

puede obtenerse como homologasobre el cual se realiza

homologra es la traza de la ret

bisector del diedro que fseccion (Ver Cap. ill).

CAS.

La d i fpuni:

I X-5de una superficie con una

plano que contiene a la recta.queun plano proyectante

simple hallar ia sección pía

!

i

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CON UN PRISMA

CONICAS.

es seccionada con unllamadas Cónicas.. Según la

generatrices en puntos propicon el plano perpendicular

distancias de cada uno de í

plano, es una constante (1a cosemí-eje mayor).

generatriz. Cada punto deplano (foco) y de una recta

eje.de la superficie. La difla hipérbola a dos

secciona, la base (circular)guras’ perspect i vas; luego, la p

homologa de la proyección

puede obtenerse como homologasobre el cual se realiza

homología es la traza de la recbisector del diedro que í

sección (Ver Cap. ill).

p I aubica

puni:

GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J , Ches nevar I X -5

Cuando as necesario determinar < a intersección de una superficie con unarecta, se. recurre a la intersección con un plano que contiene a la recta.En tal caso, es conveniente usar como auxiliar un plano proyectantecontiene a la recta, enna (una de sus proyecciones es, un segmento).

que

razón de que es más simple hallar la sección pía

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Fig.7 “ INTERSECCION DE UNA RECTA CON UN PRISMA

3~d) S.ECC10NES PLANAS DEL. C0N0\- CURVAS CONICAS.‘\

Cuando una superficie cónica (dé,, revolución) es seccionada con unse obtienen curvas de segundo erado , llamadas Cónicas.. Según lación del plano, resulta:

ELIPSE: Cuando el plano corta a, todas las generatrices en puntos propi(la circunferencia es un caso particular, con el plano pe rpend i cu l a reje del cono). En la elipse, 1 a suma de las distancias de cada uno de :puntos a dos puntos fijos (focos) de su plano, es una constante (1a co

tante vale 2a, siendo a la longitud del semi-eje mayor).

PARABOLA: Cuando el plano es paralelo a una generatriz. Cada punto de

parábola equidista de un punto fijo de su plano (foco) y de una rectaja del mismo (directriz).

HIPERBOLA: Cuando el plano es paralelo al eje de la superficie. La díf

rencia entre las distancias de cada punto de la hipérbola a dosfijos de su plano (focos) es una constante.

SE se da un cono recto y un plano que lo secciona, la base (circular)la sección normal (curva cónica) son f t guras' perspect i vas ; luego, p

yección de la cónica puede obtenerse como homologa de la proyecciónla base.

También la verdadera forma de la cónica puede obtenerse como homologa

la base (estando ésta contenida «n el cuadro sobre el cual se realizaabatimiento); el centro de esta última homología es la traza de la rec

que pasa por el vértice y es normal al plano bisector del diedro que f

ma el plano de la base con el plano de la sección (Ver Cap. ill).

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3~e) POLIEDROS.

Los poliedros están definidos por unras), lo que justifica su inclusión entre las superficies regladas.

llama poliedros regulares a aquéllos cuyas caras son iguales entre Sí.

Son c i neo:

conjunto dé superficies planas (ca-Se

FORMA de las CARAS

Triángulo equiláteroCuadradoTriángulo equiláteroPentágono regularTriángulo equilátero

N - de CARASPOLI EDRO

kTet r aedroHexaedro o cuboOctaedroDodecaed roIcosaedro

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GEOMETRIA DESCRIPTIVA.- Carlos J. Chesñevar I X -8

a) Proyecciones

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b) Desarrollo

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b) Desarrollo

f ¡g.13 - OCTAEDRO

b) Desarrollo

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a) Proyecciones

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' "Yfig.H - DODECAEDROI

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i X~3Chesnevar

Desarrollo

El hellco iEl he 1 i co 1

como d i rectriz.tangentes a la helice.

mov i 1 que se apoya en la he-constant© el angulo que forrna cor

\\

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DESARROLLABLE

i X~3Chesñevar

\

Desarrollo

comotangentes a la hélice. El helicoj

móvil que se apoya en la hé¬constante el ángulo que forrna

directriz. El helicoí

cor,

7

f75

DESARROLLABLE

i X~3GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J. Chesñevar

\‘Ta) Proyeccionesv

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f i g . 1 5 - ICOSAEDRO

3- f ) HELICOIDES.

Son superficies que se generan con unade desar ro 1 1 a bl e está definido por las tangentes a la hélice.de axial (o no desar tollable) porlice y en el eje del cilindro,el mismo.

hélice como directriz. El helicojEl he 1 I co j

una recta móvil que se apoya en la he-

si e n d o constante el ángulo que for rn a cor,

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GEOMETRIA DESCRIPTIVA Carlos J. Chesñevar i X- 1 0

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HEL I CO IDEAXIAL

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'Kí

4---1--I-

SUPERFICIES DE REVOLUCION.

1 abeada) que g i raIon las superficies generadas por una línea (plana o a

ilrededor de una recta fija, llamada eje.

,a sección de una superficie de rotación con planos perpendiculares»je, determina círculos que se denominan paralelos. Los planos que con~~

:ienen al eje, cortan a la superficie en curvas (siempre iguales) lláma¬

las meridianos. Si: un meridiano coincide con el contorno aparente, se lo

llama mer i d i ano principal.

a 1

íIí

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F i g . 1 9 - SUPERFICIEDE ROTACION i Paralelos

I

A i

Meridianos

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71

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Según la naturaleza de la generatrízy su situación respecto de! eje, lasuperficie de rotación se. denomina:

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corta al eje en un punto pro

paralel'a a! eje.

gira alrededor de uno de sus

alrededor de una recta de

una elipse que gira alrede-

una elipse que gira alrede-

parabola que gira alrededor de

hiperbola que gira alrededorrecta alabeada respecto a un

hiperbola que gira alrededor

ROTACION.

vertical. Para deterrninar laun piano generico, se utjdefine en la superficie

meridiano principal) y una rec¬auxiliar permite obtener

de las puntos es la proyec

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F ? g.20

h1

un circulo, cuyocentro de la esfera,

ese punto y el diametro delobtiene como homologade la

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lx-11

corta al eje en un punto pro

paralela al eje.

gira alrededor de uno de sus

alrededor de una recta de

una elipse que gira alrede¬

una elipse que gira alrede¬

parábola que gira alrededor de

hipérbola que gira alrededorrecta alabeada respecto a un

hipérbola que gira alrededor

ROTACION.

. Para determinar laun plano genérico, se utjdefine en la superficie

meridiano principal) y una rec¬auxiliar permite obtener así

de los puntos es la proyec

i n -

t'V=h2

F ig.20

un círculo, cuyo centrocentro de la esfera, ñor-

ese punto y el diámetro deiobtiene como homologada la

i X -11GEOMETRIA DESCRIPTIVA - Carlos J. Chesñevar/UJE3SS

COMO DE ROTACION: Generado por una recta que corta al eje en un punto propió.

CILINDRO DE ROTACION: Generado por una recta paralela al eje.

ESFERA: Generada por una c¡ rcunferenqía que gira alrededor de uno de susdiámetros.

TORO: Generado por una circunferencia que gira alrededor de una recta desu plano, que no la corta.

ELIPSOIDE DE ROTACION APLANADO: Generado por una elipse- que gira alrede¬dor de su eje menor.

ELIPSOIDE DE ROTACION ALARGADO: Generado por una elipse que gira alrede¬dor de su eje mayor.

PARABOLOIDE DE ROTACION: Generado por una parábola que gira alrededor des u e j é .HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA: Generado por una hipérbola que gira alrededorde su eje transverso. También lo genera una recta alabeada respecto a uneje de rotación.

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS: Generado por una hipérbola que gira alrededorde su eje focal . . . •

A-a) SECCION PLANA DE UNA SUPERFICIE DE ROTACION.

Comúnmente el eje de rotación se ubica ve r t i ca 1 . Pa r a determinar latersección de la superficie de meridiano m con un plano genérico, se utjTizan planos auxiliares, horizontales. Cada uno defíneen la superficieun paralelo (cuyo radio se mide sobre el meridiano principal) y una rec¬ta horizontal en el plano dado. Cada plano auxiliar permite obtener asídos puntos de la curva intersección. La unión de los puntos es la proyección de la sección plana.

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que pasa por el centro de la esfera,

corta. Conocido ese punto y el diámetro del

centroñor-

En la esfera, cualquier sección plana determinaserá el punto en que una recta

uaS al plano de sección, locírculo, la proyección de la sección plana se obtiene como homologa da la

misma' sección (círculo) abatida.

I X- 12

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taneamente a las dos super¬definen en sus in

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IX-12

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GEOMETRIA DESCRIPTIVA Carlos J. Chesñeva r I X - 1 2

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F í g . 2 1 SECCION PLANA DE UNA ESFERA.

5." INTERSECCION DE SUPERFICIES,

Dos superficies que se cortan determinan una línea, en general alabeada.

Para obtener puntos de esa línea, se recurre a superficies aux{liares (generalmente planos) que cortan simultáneamente a las dos super¬

ficies dadas en líneas de fácil determinación, las que definen en sus in

tersecc i ones a los puntos comunes buscados .

Tratándose desuperficies, radiadas, se utilizan planos secan tes que

tengan a ips vértices; cada plano auxiliar corta en dos generatrices

cada una de las superficies, las que determinan, al ¡cortarse dos a

cuatro puntos de la curva de intersección. Con una adecuada cantidad de

planos auxiliares, se obtiene un conjunto de puntos que,permite dibujar

la curva,

con-a

dos ,

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Fig.22

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA - Carlos J. Chesñevar I X - 1 3

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SaJ*INTERSECCION DE DOS CONOSFf g.23

Si las superficies radiadas son prismáticas, es suficiente pasar un pla¬

no secante por cada arista. Quedan así conocidos los puntos de penetra--ción y salida de cada arista de una superficie en la otra, y por ende losvértices del polígono alabeado que determinan las superficies al cortar¬

se.

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INTERSECCION DE

CGNOS DE

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25

NTERSECC ION DE

CONOS DE

DE

PARALELOS

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2GEOMETRIA DESCRIPTIVA Carlos J. Chesnevar I X - 1 1?

Para conocer la dirección de las trazas de los planos secantes, se reaHza una construcción auxiliar, llevando por un punto dos rectas, cada unaparalela a una délas familias de generatrices (se trata de establecerlatraza horizontal de un plano paralelo a dos rectas alabeadas).

Si las superficies son de rotación, los planos auxiliares se ubicanmodo que las secciones planas auxiliares sean de fácil de t e rm i na c i ón . P e rpend i cu 1 a rmen te a los ejes, por ejemplo, con lo cualnes planas circulares.

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Fig.24 \ S/ I

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INTERSECCION

DE DOS PRISMASY

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sistema de representacion.elementos conocidost se procede a

es necesario estudiar, comorestantes el concepto de

aquel cuyas aristasdado. Puesto que dos rectas

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y los de su sup 1 ementa r i o

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180°

180°

180°

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punto, definen un ángulotriedro son seis: La medida

ángulo que forma cada par dediedros interiores (ángjj

de los seis valores ca¬conocidos tres de los ángulos,ha¬

sistema de representación.conocidos, se procede a

necesario estudiar, comotestantes el concepto de

aquel cuyas aristasdado. Puesto que dos rectas

forman entre sí un ángulo quelos elementos de un trÍ£los de su suplementario

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180°

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X-1Carlos J . C he s nevar.btUMtTRIA DESCRIPTIVA

X) TRIEDROS.Tres rectas no copl.anares que concurren en un punto, definen un ángulotriedro. Los valores, característicos de un triedrode cada una de sus tres caras (dada por el ángulo que forma cada par de

rectas entre sí) y la medida de cada uno de los diedros interiores (ángÿlo que forman entre sí cada par de caras).

Un triedro está definido cuando se conocen tres de los seis valores ca¬racterísticos. Resolver el triedro es, conocidos tres de los ángulos, ha¬llar los tres restantes.

La resolución se puede efectuar en cualquier sistema de representación.Situado el conjunto en función de los elementos conocidos, se procede aefectuar secciones y abatimientos.

De los seis casos de resolución posibles, no es necesario estudiar, comoqistema, más de tres casos; se aplica para ios restantes el concepto detriedro suplementario.

Se define como triedro s up 1 emen t a r i o de otro a aquel cuyas aristasperpendiculares a las tres caras del triedro dado. Puesto que dos rectasperpendiculares a los planos de un diedro forman entre sí un ángulo quees complementario del diedro, la relación entre los elementos de un tríedro de caras <*• (b K y died.ros jnterjores á b c y los de su suplementariode caras Oí.1ÿ í' y diedros á‘ b'c' es:

180°

1 80°

1 80°

son seis: La medida

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1 80°

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Luego, resolver un triedro del cual se conocen sus diedrospor ejemplo, equivale a resolver otro cuyas caras valen lossuplementos de esos ángulos (obtener los diedros de este ú 1 t ile a conocer Tas caras del primero).

+ 04 =

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GEOMETR i A DESCR i PT I VA - Carlos J. Chesñevar X -2

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la fuente luminosa es unen la direccion que in-del observador).indicara la posicion

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un lugar,fecha y hora de_estudia la Astronomfa de

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El "contorno aparente"aeterminan en una super

"separatriz", en razon de queiluminada de lo no iluminada,

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algunos ejemplos.

d esombra Sombra

proyecfada

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Sombrapropia

fig >2

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X!- 1

tipos de necesidades:un complemento de la

efectos que mejoran la sen¬técnica, para la cual int£otro en determinadas cir¬

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debido a la gran dis¬se consideran paralelos

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suficiente tener en cuenta laproyección. En efecto, si se j_

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El "contorno aparente"determinan en una super

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posición

de

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F i g.2

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X i - 1u cun Cl KTH......tnrSTTTC I I' TITA “ C3T T0‘5 J . Chesrteva r

Xí) SOMBRAS ,

E1 estudio de las sombras concurre a satisfacer dos tipos de necesidades:Una , puramente artística, para la cual la sombra es un complemento de larepresentación de un objeto, a la que agrega efectos que mejoran la sen¬sación de profundidad. La otra, de naturaleza técnica, para la cual ¡nte_resa la sombra que un elemento provocaré sobre otro en determinadas cir¬cunstancias, como una posibilidad concreta.

Para la primera, se acepta convene i ona 1 mente que la fuente luminosa es unpunto impropio (los rayos son paralelos) situado en la dirección que in¬dica la figura 2 (arriba, detrás y a la izquierda del observador).

En el segundo caso, sera la situación real la que indicará larelativa de cuerpos y fuente luminosa, la que puede ser- un punto propioo impropio. Los rayos de luz solar (luz natural), debido a la gran dis¬tancia que nos separa del punto de concurrencia, se consideran paralelos(Téngase presente que la sombra natural de un punto varía en cada instarÿte; la dirección instantánea de los rayos, para un lugar, fecha y hora de..terminados, se calcula con las ecuaciones que estudia la AstronomíaPosición) .Para determinar la sombra de un elemento, es suficiente tener en cuenta laanalogía del concepto de sombra con el de proyección. En efecto, si se j_dentifica la fuente luminosa con un centro de proyección, y los rayos deluz con rayos proyectantes, la sombra sobre un cuadro o sobre cualquiersuperficie equivale a la proyección del elementó. El "contorno aparente"que los rayos proyectantes (tangentes o rasantes) determinan en una superficie proyectada (Cap.lX) se llama ahora "separat r i z" , en razón de quesepara en el cuerpo o superficie, la parte iluminada de lo no iluminada,(sombra propia). La proyección (desde la fuente de luz) de la separatrizsobre una pantalla, define la sombra que el cuerpo provoca en la misma.

Resumiendo, determinar sombras consiste en determinar. trazas de rayos yplanos (llamados indistintamente "de -luz" o "de sombra") equivalentes arayos y planos proyectantes. En un sistema de varias superficies, la. sombra de un punto es la traza que el rayo de luz determina en la primerasuperficie opaca que encuentra en su trayectoria.

En las ilustraciones que siguen se ofrecen algunos ejemplos.

posición

de

V

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GEOMETRIA DESCRIPTIVA Carlos J. Chesñevar X I -2

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a) SOMBRA DE UNA, SEGMENTO

/b) SOMBRA DEUNA FIGURA

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Fig.6 - SOMBRA DE CUERPOS

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Apuntes de Geometria Descriptiva- Chesñevar