Upload
didac-rodriguez
View
262
Download
8
Embed Size (px)
Citation preview
7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
1/50
Fonaments Matemtics (segona part)
Jos Luis RuizDepartament de Matemtica Aplicada II
Facultat dInformtica de Barcelona
Universitat Politcnica de Catalunya
Juliol 2015
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 1 / 50
http://find/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
2/50
Lanell dels nombres enters
Lanell dels enters
Nombre naturals: N = {0, 1, 2, . . .}Nombres enters: Z = {0, 1, 2, . . .}
Operacions amb entersLa suma i el producte de dos enters s un altre enter; s a dir, snoperacions binries internesen el conjunt Z:
+ : ZZ
Z,
: Z
Z
Z
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 2 / 50
http://goback/http://find/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
3/50
Lanell dels nombres enters
Propietats de les operacions: la suma
La suma denters satisf les propietats:
Associativa: sia, b, c
Z, llavorsa+ (b+c) = (a+b) +c.
Commutativa: sia, b Z, llavorsa+b=b+a.Existncia delement neutre: sia Z, llavors 0+a=a.Existncia delement invers: sia Z, llavorsa+ (a) =0.
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 3 / 50
http://goback/http://find/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
4/50
Lanell dels nombres enters
Propietats de les operacions: el producte
El producte denters satisf les propietats:
Associativa: sia, b, c Z, llavorsa(bc) = (ab)c.Commutativa: sia, b Z, llavorsab=ba.Existncia delement neutre: sia Z, llavors 1 a=a.
A ms, la suma i el producte denters satisfan la propietat distributiva:
Distributiva: sia, b, c
Z, llavorsa(b+c) =ab+ac.
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 4 / 50
L ll d l b
http://find/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
5/50
Lanell dels nombres enters
Z s un anell
DefiniciUn anells un conjunt amb dues operacions que satisfan totes lespropietats anteriors.
Un coss un conjunt amb dues operacions que satisfan totes lespropietats anteriors i, a ms, lequaci ax =1 t soluci per a tota =0.
Exemples
Zs un anell amb lasumai elproducteusuals.
Qs un cos amb les operacions usuals.A Zno sempre hi ha inversos: lequaci ax=1 t soluci si, i nomssi,a=1 oa= 1.Per tant, Zno s uncos.
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 5 / 50
L ll d l b t
http://find/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
6/50
Lanell dels nombres enters
Altres propietats de Z
Llei de cancel.laciPer a tota, b, c Z, sia c=b c ic=0, aleshoresa=b.
Relaci dordre
Sia, b Z, aleshores:a
7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
7/50
Divisibilitat
La relaci de divisibilitat
Siguina, b Z.Definici
a divideix b si existeix un enter x Ztal que ax=b. s a dir, si ax =b tsoluci entera en x.
Tamb diem: as undivisordeb;bs unmltipleda;bsdivisibleper a.
Notaci: a | b. Siano divideix b, escrivima | b.
Observaci:
0 no divideix cap enter diferent de 0.
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 7 / 50
Divisibilitat
http://find/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
8/50
Divisibilitat
Propietats de la relaci de divisibilitat
1) Per a tot a Z, 1 | a.2) Per a tot a Z,a | 0.
3) Per a tot a, b, c Z, sia | b, llavorsa | bc.4) Reflexiva: per a tot a Z,a | a.5) Transitiva: per a tot a, b, c Z, sia | b ib | c, llavorsa | c.6) Linealitat: per a tot a, b, c Z, sia | bia | c, llavors per a tot
x,y Z,a | bx+cy.
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 8 / 50
Divisibilitat
http://find/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
9/50
Divisibilitat
Propietats addicionals
1) Sia, b Z, llavors: a | b a | b.2) Sia, b, c
Zia
|b, llavorsac
|bc.
3) Sia, b, c Ziac| bc ic=0, llavors a | b.4) Sia, b Zia | bib=0, llavors|a| |b|.5) Sia, b Zia | bib | a, llavors|a| = |b|.6) Sia, b
Zia
|bia
=0, llavors b
a
|b.
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 9 / 50
Divisibilitat
http://find/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
10/50
Divisibilitat
Divisi euclidiana
Teorema de la divisi euclidiana
SiaZib
Z
{0}
, aleshores existeixen enters nics q irque satisfan:
a=bq+r, 0 r< |b|.
Els entersq ir sanomenen, respectivament, el quocientiel residude ladivisi entera de aper b.
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 10 / 50
Nombres primers i factoritzaci denters
http://find/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
11/50
p
Nombres primers
DefiniciUn enter p>1 s primer si, i noms si, els nics divisors positius de psn1i p.
Un nombre enter n>1 s compost si no s primer.
Exemples
Els primers ms petits que 50 sn:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47
El primer conegut ms gran (gener de 2013) s: 2 57885161 1, que t17425170 digits decimals.
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 11 / 50
Nombres primers i factoritzaci denters
http://goback/http://find/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
12/50
p
Propietats dels nombres primers
Teorema de factoritzaci denters (existncia)Tot enter n>1 s un nombre primer o un producte de nombres primers.
Teorema dEuclides
Hi ha infinits nombres primers.
Proposici
Tot enter compost N t un factor primer p N.
Test de primalitat
SiguiN>1 un enter. Si per a tot primer q Nse satisf q| N, llavorsNs primer.
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 12 / 50
Nombres primers i factoritzaci denters
http://find/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
13/50
Garbell dEratstenes
N>3 enter. Trobar tots els primers p N.Garbell dEratstenes
SiguiLla llista dels enters senarsentre 3 iN. Els elements de Lpodenestar en 3 estats: marcats com a primers, eliminats, no eliminats.
1 Siguipel primer element deLque no est marcat com a primer niest eliminat.
2 Marquem pcom a primer. Si p>
N, acabem i marquem com aprimers els enters deLque encara no estan eliminats.
3 Sip N, eliminem els enters de Lque siguin mltiples de p.Tornem al pas 1.
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 13 / 50
Nombres primers i factoritzaci denters
http://find/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
14/50
Primers < 100
Apliquem lalgorisme anterior a N=100.
3 5 7 9 11 13 15 17 19 2123 25 27 29 31 33 35 37 39 4143 45 47 49 51 53 55 57 59 6163 65 67 69 71 73 75 77 79 8183 85 87 89 91 93 95 97 99
Aix doncs, els primers ms petits que 100 sn:
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 3741 43 47 53 59 67 71 73 79 83 89 97
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 14 / 50
El mxim com divisor
http://find/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
15/50
El mxim com divisor
Mxim com divisorPer definici: mcd(0, . . . , 0) =0.d Zsel mxim com divisordea1, . . . , an Z(no tots nuls) si, inoms si,dsatisf:
1) ds un divisor com dels enters a1, . . . , an;2) sid s un divisor com de a1, . . . , an, aleshoresd d.
Notaci: d=mcd(a1, . . . , an). Observem que d>0.
Enters primers entre ells:a, b Zsnprimers entre ellssi, i noms si, els nics divisors comuns d aidebsn1. s a dir, si mcd(a, b) =1.
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 15 / 50
El mxim com divisor
http://find/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
16/50
Propietats del mcd
mcd(a, 0) = |a|.El mxim com divisor dun conjunt finit denters existeix i s nic.
El mxim com divisor no depn del signe:
mcd(a, b) =mcd(a, b) =mcd(a, b) =mcd(a, b).
Sia, b Z,b=0 ib | a, aleshores mcd(a, b) = |b|.Sid=mcd(a, b), llavorsa/d, b/dsn enters primers entre ells; s adir: mcd(a/d, b/d) =1.
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 16 / 50
El mxim com divisor
http://find/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
17/50
Teorema dEuclides
Teorema
Si a, b Z, aleshoresmcd(a, b) =mcd(a b, b).
Conseqncia
Sia 0 ib>0 sn enters i a=bq+r, amb 0 r
7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
18/50
Identitat de Bzout
TeoremaSi a, b Zi d=mcd(a, b), aleshores existeixen enters x i y tals que:
d=ax+by.
s a dir, el mxim com divisor de dos nombres enters s una combinacilineal, amb coeficients enters, daquests nombres.
Observaci
Els coeficientsx iyde la identitat de Bzout no sn nics. Per exemple, six iysatisfanax+by=d, llavors:
t Z(a(x bt) +b(y+at) =d)
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 18 / 50
La identitat de Bzout
http://find/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
19/50
Conseqncies de la identitat de Bzout (1)
Proposici
Siguin a, b Z, d=mcd(a, b). Si d s un divisor com de a i b, llavorsd|d.
Definici alternativa del mcd
Siguina, b Zno nuls. Llavors d Zs el mxim com divisor de aibsi,i noms si:
1 d|aid|b;2 sid
|aid
|b, llavorsd
|d;
3 d>0.
Associativitat del mcd
mcd(mcd(a, b), c) =mcd(a, mcd(b, c)) =mcd(a, b, c).
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 19 / 50
La identitat de Bzout
http://goback/http://find/http://goforward/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
20/50
Conseqncies de la identitat de Bzout (2)
Proposici
Siguin a, b Z. Llavors: a i b sn primers entre ells si, i noms si,existeixen x,y Ztals que ax+by=1.
Lema de Gauss
Sia, b, c Z,a | bc i mcd(a, b) =1, aleshoresa | c.
Lema dEuclides
Sips un primer i aibsn enters tals quep| ab, aleshoresp| aop| b.
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 20 / 50
Lalgorisme dEuclides
http://goback/http://find/http://goforward/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
21/50
Algorisme dEuclides
Siguina 0 ib>0 nombres enters. Aplicant el teorema de la divisientera successives vegades, obtenim lesquema segent:
a=bq1+r1, q1 0, 0 r1
7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
22/50
Organitzaci dels clculs
X x
1 =1 x0 =0 x1 x2 . . . xn
2 xn
1 xnY y1 =0 y0 =1 y1 y2 . . . yn2 yn1 ynQ q1 q2 q3 . . . qn1 qn qn+1R a b r 1 r2 . . . rn2 rn1 rn
r1 r2 r3 r4 . . . rn 0
xk+1 =xk1 qk+1xk, x1 =1, x0 =0,yk+1 =yk1 qk+1yk, y1 =0, y0 =1.
Proposici
Per a tot k 0, se satisf: rk=axk+byk. En particular:
rn =mcd(a, b) =axn+byn
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 22 / 50
Lalgorisme dEuclides
http://find/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
23/50
Exemple
Clcul de mcd(4999, 1109)i de la identitat de Bzout.
X 1 0 1 1 2 65 522Y 0 1 4 5 9 293 2353Q 4 1 1 32 8 2
R 4999 1109 563 546 17 2 1563 546 17 36 1 0
2
Per tant:
mcd(4999, 1109) =1
4999 522+1109 (2353) =1
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 23 / 50
El mnim com mltiple
http://find/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
24/50
El mnim com mltiple
Mnim com mltiple
Siguina1, . . . , an enters.Per definici, si algun dels enters aj=0, el mnim com mltiple s 0.
Si tots els enters a1, . . . , an sn no nuls, el mnim com mltiple mslentermtal que:
1) per a totj,aj| m;2) sir>0 i per a tot j,aj| r, llavorsm r;
3) m>0.Notaci: mcm(a1, . . . , an).
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 24 / 50
El mnim com mltiple
http://goback/http://find/http://goforward/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
25/50
Propietats del mcm
El mnim com mltiple dun conjunt finit denters existeix i s nic.
El mnim com mltiple no depn del signe:
mcm(a, b) =mcm(a, b) =mcm(a, b) =mcm(a, b).
Sia, b Z,b=0 ib | a, aleshores mcm(a, b) = |a|.Sim=mcm(a, b)irs un mltiple com dai deb, llavorsm | r.Associativitat:
mcm(a, b, c) =mcm(mcm(a, b), c) =mcm(a, mcm(b, c)).
Clcul: mcm(a, b) mcd(a, b) = |ab|.
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 25 / 50
Teorema fonamental de laritmtica
http://goback/http://find/http://goforward/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
26/50
Teorema fonamental de laritmtica
Teorema
Tot enter n 2factoritza de manera nica com a producte de primers.(Llevat de lordre en qu escrivim els primers.)
Corol.lari
Tot enter n=0, 1es pot escriure de manera nica com:
n=
pa11 p
a22
parr ,
on = 1, r 1, ai>0 i els pisn primers diferents.
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 26 / 50
Teorema fonamental de laritmtica
http://find/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
27/50
Aplicacions
Siguinn, m
Z,n, m>0.
Escrivim la factoritzaci com: n=pe11 pe2
2 pett , onpisn primersdiferents i els ei>0.
Sin=pe11 pe22 pett , ambei >0, llavors els divisors positius de nsn
de la forma pf11pf22
pftt, amb 0
fi
ei.
El nombre de divisors positius de nst
i=1
(ei+1).
Sin=pe11 perr im=pf11 pfrr, on els exponents ei 0 i els fi 0,aleshores:
mcd(n, m) =pmin(e1,f1)1 pmin(er,fr)r ,mcm(n, m) =pmax(e1,f1)1 pmax(er,fr)r .
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 27 / 50
Equacions diofntiques
http://find/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
28/50
Equacions diofntiques: lequaci ax+ by= c
Siguina, b, c Z,d=mcd(a, b).Teorema
1 Lequaci ax+by=c t soluci entera en x,y si, i noms si, d| c.2 Si(x0,y0)s una soluci, llavors totes les solucions sn de la forma:
x=x0 bd t
y=y0+a
dt
on t Zs arbitrari.
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 28 / 50
Equacions diofntiques
d f l
http://find/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
29/50
Equacions diofntiques: exemple
ExempleTrobeu totes les solucions enteres de212x+400y=20.
mcd(212, 400) =4 | 20. Per tant, lequaci t solucions enteres.Identitat de Bzout: 400
(
9) +212
17=4.
Soluci particular: 400 (45) +212 85= 20.Soluci general:
x=85
400
4 t=85
100t
y= 45+ 2124
t= 45+53t
t Z.
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 29 / 50
La relaci de congruncia
L l d
http://goback/http://find/http://goforward/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
30/50
La relaci de congruncia
Nombres congruents
m 1 enter. a, b Zsncongruents mdul m sim | b a. Notaci:a b (mod m)o b simplementa b(m).
s a dir:
a b (mod m) m | b a k Z :b=a+km residu deaper m=residu debper m.
Exemplesa, b Z a b (mod 1).n Zs parell n 0 (mod 2).n
Zs senar
n
1 (mod 2).
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 30 / 50
La relaci de congruncia
P i d l i (1)
http://goback/http://find/http://goforward/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
31/50
Propietats de les congruncies (1)
Proposici
m 1enter. La relaci de congruncia mdul m s dequivalncia a Z. sa dir, si a, b, c Z:1) Reflexiva: a a (mod m).2) Simtrica: si a b (mod m), llavors b a (mod m).3) Transitiva: si a b (mod m)i b c (mod m), llavors a c (mod m).
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 31 / 50
La relaci de congruncia
P i d l i (2)
http://find/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
32/50
Propietats de les congruncies (2)
ProposiciLes congruncies mdul un enter positiu m es poden sumar i multiplicarterme a terme. Concretament, si a b (mod m)i a b (mod m),llavors:
a+a b+b
(mod m), aa bb
(mod m).
Observaci
En general, no es pot simplificar un factor com dels dos membres duna
congruncia. s a dir:ra rb (mod m) no implica que a b (mod m).
Contraexemple: 5 12 5 18 (mod 10), per 12 18 (mod 10).
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 32 / 50
La relaci de congruncia
P i t t d l i (3)
http://goback/http://find/http://goforward/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
33/50
Propietats de les congruncies (3)
Simplificaci de congruncies
m>1 enter. Si a, b, r
Zi mcd(m, r) =1, aleshores:
ra rb (mod m) a b (mod m).
Per tant, noms podem eliminar un factor com en una congruncia si sprimer amb el mdul.
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 33 / 50
La relaci de congruncia
P i t t ddi i l d l i (4)
http://find/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
34/50
Propietats addicionals de les congruncies (4)
1 a b (mod m) ak bk (mod mk).2 Sia
b (mod m)id
|m, llavorsa
b (mod d).
3 Sia b (mod r)ia b (mod s), aleshoresa b (mod m), onm=mcm(r, s).
4 ra rb (mod m) a b (mod m/d), ond=mcd(r, m).
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 34 / 50
Classes de congruncia
Classes de congruncies
http://goback/http://find/http://goforward/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
35/50
Classes de congruncies
Fixem un enter m 1.La relaci de congruncia mdul ms una relaci dequivalncia a Z.
Les classes dequivalncia sanomenenclasses de congruncia mdul m.
Sia Z, escrivim la seva classe de congruncia: a. Un elementqualsevol deaes diurepresentantde la classe.
a b (mod m) a=b.a= {x Z :x a (mod m)} = {x Z :k Z,x=a+mk}.
Notaci: Zm = {a :a Z}.Propietat: Zm = {0, 1, . . . , m 1}.
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 35 / 50
Classes de congruncia
Exemple: Z
http://goback/http://find/http://goforward/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
36/50
Exemple: Z4
Determinem les classes de congruncia mdul 4:
0= {x:x 0 (mod 4)} = {4k:k Z} = {0, 4, 8, . . .}1= {x:x 1 (mod 4)} = {4k+1 :k Z} = {1, 3, 5, 7, . . .}
2= {x:x 2 (mod 4)} = {4k+2 :k Z} = {2, 2, 6, 6, . . .}3= {x:x 3 (mod 4)} = {4k+3 :k Z} = {3, 1, 7, 5, . . .}
En total hi ha 4 classes de congruncia mdul 4, que es corresponen ambels possibles residus de dividir un enter per 4. s a dir:
Z4 = {0, 1, 2, 3}.
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 36 / 50
Operacions amb clases de congruncia
Suma i producte de classes
http://goback/http://find/http://goforward/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
37/50
Suma i producte de classes
m 2 enter.Definici
Definim la suma i el producte de classes mdul m per les frmules:
a+b:=a+b,a b:=ab.
Proposici
La suma i el producte de classes estan ben definides a Zm. s a dir, lesfrmules de les definicions no depenen dels representants triats.
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 37 / 50
Operacions amb clases de congruncia
Propietats de les operacions
http://find/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
38/50
Propietats de les operacions
Teorema
Amb la suma i el producte de classes, el conjuntZm s un anell.
Aix vol dir que:
la suma satisf les propietats: associativa, commutativa, hi ha unaclasse neutra 0 i cada classe t una classe simtrica a+ a=0;el producte s associatiu, commutatiu i t element neutre: 1;
la suma i el producte satisfan la propietat distributiva.
En general, no podem dividir una classe per una altra; o dit duna altramanera, no sempre existeix la classe inversa duna classe respecte delproducte.
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 38 / 50
Operacions amb clases de congruncia
Exemple: Z6
http://goback/http://find/http://goforward/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
39/50
Exemple: Z6
Fem les taules de la suma i el producte de Z6.
+ 0 1 2 3 4 50 0 1 2 3 4 51 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 13 3 4 5 0 1 24 4 5 0 1 2 35 5 0 1 2 3 4
0 1 2 3 4 50 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 0 2 43 0 3 0 3 0 34 0 4 2 0 4 25 0 5 4 3 2 1
Observem que 2 no t invers respecte del producte. s a dir, no hi ha capclassex Z6 tal que 2 x=1. O, equivalentment, la congruncia 2x 1(mod 6)no t soluci entera (proveu aix).Per tant, Z6 no s un cos.
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 39 / 50
Operacions amb clases de congruncia
Classes invertibles
http://goback/http://find/http://goforward/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
40/50
Classes invertibles
Definici
Diem que a Zm s invertible (respecte del producte) si t un invers; s adir, si existeix b Zm tal que a b=1.
Notaci
Zm = {x Zm:xs invertible}.
Observaci
Si una classeas invertible, la seva classe inversa s nica. La denotem
per a1
.
Proposici
Una classe a Zm s invertible si, i noms si, mcd(a, m) =1.
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 40 / 50
Operacions amb clases de congruncia
Clcul de 61
a Z13
http://goback/http://find/http://goforward/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
41/50
Clcul de 6 a Z13
ObservaciSia Zm, llavorsa1 es pot calcular aplicant lalgorisme dEuclides ests(identitat de Bzout) als enters aim.
6 Z
13, ja que mcd(6, 13) =1.Escrivim la identitat de Bzout de 6 i 13:
6 (2) +13 1=1.
Per tant: 6 2+13 1= 1. s a dir:61
= 2=11.
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 41 / 50
Operacions amb clases de congruncia
Quan s Zm un cos?
http://goback/http://find/http://goforward/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
42/50
Quan s Zm un cos?
Recordem que un cos s un anell on cada element no nul t invers respectedel producte.
Teorema
LanellZm s un cos si, i noms si, lenter m s un nombre primer.
Observaci
Sips un nombre primer, aleshores el conjunt Zps un cos que t unnombre finit delements: s un cos finit. Per exemple: Z2, Z3 i Z13 sn
cossos finits. Per Z4, Z6 no sn cossos (noms anells).
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 42 / 50
Exponenciaci modular
Teorema petit de Fermat
http://goback/http://find/http://goforward/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
43/50
Teorema petit de Fermat
Teorema
Si p s primer i p| a, llavors ap1
1 (mod p).
O b, en termes de classes: si a Zp ia =0, llavorsap1 =1.
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 43 / 50
Exponenciaci modular
Exponenciaci modular
http://goback/http://find/http://goforward/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
44/50
po e c ac odu a
ProblemaDonats entersa,n 0,m 1, calcularan (mod m).
Expressem lexponent en binari: n=nknk1. . . n1n0(2).
Calculem, mdul m, els termes de la successi:b0 =a, b1 =b
20 =a
2, b2 =b21 =a
22 , . . . , bk=b2k1 =a
2k.
Multipliquem, mdul m, els termesbitals queni=1.
En efecte:an =a
k
i=0ni2i
=
ki=0
a2
ini
=
ki=0
bnii .
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 44 / 50
Exponenciaci modular
Exponenciaci modular: Exemple
http://find/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
45/50
p p
Exemple
Calcular231690 (mod 350).
1690=11010011010(2).Calculem els bi,i=0, . . . , 10, mdul 350:
b0 =23 b1 =232 179 b2 1792 191b3 1912 81 b4 812 261 b5 2612 221b6 2212 191 b7 81 b8 261b9
221 b10
191
Finalment:
231690 =b1b3b4b7b9b10 179 81 261 81 221 191 179 81 149
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 45 / 50
Teorema xins dels residus
Teorema xins dels residus: motivaci
http://find/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
46/50
Problema (Sun-Tsu, segle I)
Trobeu un nombre que al dividir per 3 dna residu 2, al dividir per 5 dnaresidu 3 i al dividir per 7 dna residu 2.
s a dir, una soluci del sistema de congruncies lineals:
x 2 (mod 3)x 3 (mod 5)
x 2 (mod 7)
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 46 / 50
Teorema xins dels residus
Teorema xins dels residus
http://goback/http://find/http://goforward/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
47/50
Teorema
Siguin a1, . . . , akenters arbitraris i m1, . . . , mkenters positius primers entreells dos a dos. Llavors el sistema de congruncies lineals:
x a1 (mod m1). . .
x ak (mod mk)
t soluci en x i s nica mdul m =m1 mk.
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 47 / 50
Teorema xins dels residus
Teorema xins dels residus (mduls arbitraris)
http://goback/http://find/http://goforward/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
48/50
( )
Teorema
Siguin a1, . . . , akenters arbitraris i m1, . . . , mkenters positius. Si per acada i,j ,mcd(mi, mj) | (ai aj), llavors el sistema de congruncies lineals:
x a1 (mod m1). . .
x ak (mod mk)
t soluci en x i s nica mdul m =mcm(m1 mk).
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 48 / 50
Teorema xins dels residus
Teorema xins dels residus: demostraci
http://goback/http://find/http://goforward/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
49/50
SiguinMi = (m1 mk)/mi,i=1, . . . , k.mcd(mi, Mi) =1 Miy 1 (mod mi)t soluci.Siguiyiuna soluci: Miyi 1 (mod mi).Llavorsx=a1M1y1+ +akMkyks una soluci del sistema.
Finalment, donades dues solucions x,x del sistema, tenim:
(i : x x (mod mi)) x x (mod m)
onm=mcm(m1, . . . , mk) =m1 mk.
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 49 / 50
Teorema xins dels residus
Teorema xins dels residus: exemple
http://find/7/25/2019 Apuntes Fonaments Matemtics de la FIB
50/50
El sistema:
x 2 (mod 3), x 3 (mod 5), x 2 (mod 7)
t soluci perqu els mduls sn primers entre ells dos a dos.Organitzem els clculs:
M1 =5 7=35 35y 1 (mod 3) y1 =2M2 =3 7=21 21y 1 (mod 5) y2 =1M3 =3 5=15 15y 1 (mod 7) y3 =1
La soluci del sistema s:
xi
aiMiyi =2 35 2+3 21 1+2 15 1= 233 23 (mod 105)
Ruiz (MA2/FIB/UPC) Fonaments Matemtics (segona part) Juliol 2015 50 / 50
http://find/