Apuntes Intro Ec Dif

8/7/2019 Apuntes Intro Ec Dif

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ECUACIONES DIFERENCIALES

¿ Qué es una ecuación diferencial?

Ö Toda ecuación que establece la dependencia de unavariable respecto a otra u otras involucrando derivadases una ecuación diferencial

Ejemplos :1) Los puntos (x,y(x)) de la curva que refleja en formaparalela los rayos que salen de un punto fijo en el origen

dydx =

−x ! x 2 + y2

y

2) El voltaje v(t) en el capacitor del circuito de la figurasiguiente

dv (t )dt + 1

RC v (t ) = V s (t )

3) La temperatura T(t) de un cuerpo expuesto a unambiente cuya temperatura es T a

dT dt = k (T − T a )

... etc.- ED1 -

1) Solución Analítica

toR

Cv(t)

+

-

+

--

Vs(t)



Otros Ejemplos :4) y’’ + 2y’ = sen(x)

5) y’’ + 2y’ = 0 6) y’ + p(x)y + q(x)y 2 = f(x) (Ecuación de Riccati)

Ejemplo: 7) y’ +x 2 y 2 = x 3 -1

8) $$x +e −t sen (t ) $x = 1

9) y = xy’ + y (y’) (Ecuación de Clairaut)Ejemplo: 10) y = xy’- (y’) 2

11) ¹ r ¹ x +

¹ r ¹ y − 2xy ¹ r

¹ z = 1

Ö Una ecuación diferencial (ED) puede ser:

Ordinaria .- Cuando no contiene derivadas parciales.En general tiene la forma:

F(x,y,y’,y’’,...,y (n))=0 (12)Y representa la dependencia de la variable (y) respectoa una sola variable independiente (x). (Ejemplos 1 al10).

Parcial .- Cuando contiene derivadas parciales. En estecaso representa la dependencia de una variablerespecto a varias variables independientes. (Porejemplo, la ecuación (11) describe la dependencia de r respecto de x , y y z ).

- ED2 -



de orden n .- Cuando el orden de derivación más altoque aparece en la ecuación es n . Así, el ejemplo (1) esuna ecuación diferencial ordinaria (ODE) de orden 1,

mientras que el (5) es una ODE de orden 2.de primer orden .- Cuando es de orden 1. En estecaso, la forma general es

F(x,y,y’)=0 (13)y cobra importancia la forma

y’=f(x,y) (14)denominada resuelta respecto a la derivada .

de grado n .- Cuando el grado máximo de elevación apotencia de la derivada es n . Por ejemplo, la ecuaciónde Clairaut (10) es de segundo grado, pero de primerorden.

Lineal .- Es una ODE de la forma:

(15)Donde los coeficientes a 1(t),...,a n(t) son funcionescontinuas de t. Ejemplos: ecuaciones del (2) al (5) y la(8).

Lineal con coeficientes constantes .- Es una ED linealdonde los coeficientes de las derivadas (las funciones

a 1(t),...,a n(t)) son constantes. Ejemplos del (2) al (5).Lineal con coeficientes variables .- Enfatiza el hechode que al menos una de las funciones a 1(t),...,a n(t) NOes constante.

- ED3 -



No lineal .- Es cualquier ED que NO se puede escribirde la forma (15). Ejemplos (1), (6), (7), (9) y (10)

Lineal Homogénea .- Es una ED lineal cuyo términoindependiente φ(x) es cero. Ejemplo (5).

@Tarea : Escribir dos ejemplos de cada tipo anterior.

¿Qué es la solución de una ecuación diferencial?

Ö La solución , también llamada integral de una ED de laforma general (12) es la función y=f(x,c) que satisfacedicha ecuación.

Ejemplo .- Es fácil ver que las funciones y = ! 2cx + c 2son soluciones de la ecuación del ejemplo (1).

Ö Como puede verse, la solución en realidad es unafamilia de funciones parametrizadas por unaconstante desconocida (c)

@ Ejercicio : Dibujar la familia de curvas solución parael ejemplo anterior para diversos valores de c

@Tarea : Para el ejemplo (3), si k=0.1°C/seg. ¿Cuántotiempo tardará en enfriarse una taza de café a unatemperatura ambiente de 15°C ?.Dibujar la familia decurvas solución para diferentes temperaturas inicialesde la taza de café.

- ED4 -



La Ecuación diferencial como campo vectorial

Ö Un enfoque geométrico que nos puede ayudar aentender visualmente el comportamiento descrito poruna ecuación diferencial de primer orden se puedeobtener al advertir que la ecuación resuelta respecto ala derivada:

dy dx = f (x , y )

establece una dependencia entre las coordenadas (x,y)de un punto y la pendiente de la curva y(x) que pasady

dx por ese punto.

Ejemplo : la ecuación nos dice que a lody dx = x 2 + y 2

largo de la curva x 2 + y 2 = 1 , la solución de la ecuacióntiene pendiente , es decir, cruza la circunferencia de radio

1 con un ángulo de 45°.

Dando valores constantes a la derivada , podemosdy dx = K

encontrar las curvas x 2 + y 2 = k en donde las solucionespasan con un mismo ángulo de inclinación. A estascurvas se les llama isoclinas y para el ejemplo soncircunferencias de radio y centro en el origen. Lask

isoclinas facilitan el trazado del campo de direccionesdefinido por la ecuación diferencial y por lo tanto sussoluciones. Esto se ilustra en la figura siguiente

- ED5 -



@Tarea : a) Encontrar la ecuación de las isoclinas para laecuación diferencial . b) ¿qué tipo de curvas son

dy dx = x

y

estas isoclinas? c) Dibujar las isoclinas y con ayuda deéstas dibujar el campo de direcciones y algunas curvassolución.

¿ Cómo encontrar la solución analítica de una ED?

Ö NO existe un método general para resolver ED’s, esdecir, dada una ecuación diferencial no tenemos unprocedimiento para hallar su solución. Sin embargo, enalgunos casos particulares sencillos, especialmente deprimer orden sí hay métodos:

- ED6 -



Ö Separación de variables .- La idea más simple de losmétodos de solución es reescribir la ecuación comouna ecuación de variables separables de la forma

dy dx = f 1 (x )f 2 (y )

Si se logra lo anterior, la solución se encuentraseparando variables :

dy f 2 (y ) = f 1 (x )dx

E integrando ambos miembros:

° dy

f 2 (y )= ° f 1 (x )dx + c

Ejemplo : Resolver la ecuacióndy dx = − x

y .Solución : Separando variables

ydy = -xdx integrando

y 2

2 = − x 22 + c 1

reescribiendo x 2 +y 2 =c 2

Ö Si la ecuación ya es de variables separables elproblema está resuelto, pero si no lo es, la alternativaes ubicarla dentro de un caso ya estudiado .

Ö De aquí que la principal arma para resolver ED’s es laclasificación dentro de casos ya resueltos. Dentro deestos casos podemos citar los siguientes para ED’s deprimer orden :

- ED7 -



] Ecuaciones de variables separables o separadas .-Ya descrito

] Ecuaciones que sólo dependen de unacombinación lineal de x e y .- Es decir, ecuaciones dela forma:

dy dx = f (ax + by )

donde a, b son constantes.

Solución : Estas se convierten a variables separableshaciendo el cambio de variable z = ax + by .

] Ecuaciones diferenciales homogéneas de primerorden .- Son de la forma

dy dx = f (

y x )

solución : se convierten a variables separableshaciendo el cambio z = y/x

] Ecuaciones reducibles a homogéneas .- son de laforma

dy dx = f

a 1 x + b 1 y + c 1a 2 x + b 2 y + c 2

donde a 1, b 1, c 1, a 2 , b 2 y c 2 son constantes

Solución : Se convierten a homogéneas haciendo elcambio X=x-x 1, Y=y-y 1 donde ( x 1,y 1) es el punto deintersección de las rectas a 1x+ b 1y+ c 1=0 y a 2 x + b 2 y + c 2 =0.

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] Ecuaciones lineales de primer orden .- Son ED de laforma

dy dx + p (x )y = f (x )

donde p(x), f(x) son funciones continuas de x.Solución : Se resuelven usando variación de laconstante c(x) para obtener:

y (x ) = c (x )e −° p (x )dx

dondec (x ) = ° f (x )e ° p (x )dx dx + c 1

] Ecuaciones de Bernoulli .- son de la formady dx + p (x )y = f (x )y n

donde n ≠0.solución : Haciendo el cambio z=y 1-n se convierte enuna ecuación lineal.

] Ecuaciones de Riccati : son de la formady dx + p (x )y + q (x )y 2 = f (x )

] Ecuaciones en diferenciales totales .- La ecuación dela forma

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 tiene de la forma

du(x,y) = 0 y por consiguiente tiene la solución :

u(x,y) = c

si cumple la condición de Euler:

- ED9 -



¹ (x , y )¹ y h

¹ (x , y )¹ x

En tal caso la función u(x,y) se puede obtener integrandorespecto a x (considerando y constante)

u (x , y ) = °M (x , y )dx + c (y )

y se puede determinar c(y) derivando¹ u (x , y )

¹ y h N (x , y )

] Ecuaciones que se convierten a totales mediante unfactor integrante

... etc.

@ Tarea .- Dar 3 ejemplos de cada tipo y resolver uno decada uno de ellos.

¿Siempre existe solución y es única ?

Ö Uno de los aspectos que suelen olvidarse antes deintentar la solución de una ED es preguntarse primerosi existe la solución y en caso de existir, si es única.

Ö Teorema de existencia y unicidad .- Si en la ED, se cumplen las condiciones:

dy dx = f (x , y )

- ED10 -



1) ( Existencia ) f(x,y) es continua en el rectángulo Ddado por:

x 0 − a [ x [ x 0 + a , y 0 − b [ y [ y 0 + b

2) ( Unicidad ) En este rectángulo satisface lacondición de Lipschitz para un N finito:

xf (x ,y 1 )−f (x ,y 2 )xxy 1 −y 2 x [ N

Entonces existe una solución única y= φ(x) de la ED

dentro del intervalo contenido en el rectángulo D:, (H constante)x 0 − H [ x [ x 0 + H que satisface la condición inicial y(x 0 )=y 0

Ö La condición (2) se puede sustituir por otra condición más burda , pero más fácil de checar:

2’) Que exista la derivada en el rectángulo D.¹ f (x , y )

¹ y

Ejemplo : Checar las condiciones del teorema para la EDen todo el plano ¿qué ocurre sobre los

dy dx = (y − x )

23 + 1

puntos de la recta solución y=x?

Ejemplo : Repetir el análisis anterior para la EDdy dx = (y − x )

23 + 5

- ED11 -

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