DEPARTAMENT DE MATEMATICA APLICADA UNIVERSITAT POLITECNICA DE VALENCIA

Apuntes de MATEMTICAS I

para los Grados en:

Ingeniera en Tecnologas Industriales (GITI)

Ingeniera de Organizacin Industrial (GIOI)

Mara Jos Martnez Us ? Jos Mara Sanchis Llopis

13 de agosto de 2015

1

ndice

1. Nmeros, sucesiones y series numricas

1.1. Los Nmeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Topologa en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Nmeros complejos y polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1. Los nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.2. Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.3. Polinomios reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.4. Forma polar de los nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4. Sucesiones de nmeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.1. Sucesiones convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.2. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4.3. Sucesiones divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5. Sucesiones en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6. Series de nmeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.6.1. Criterios para series de trminos positivos . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.6.2. Series de trminos cualesquiera, series alternadas y reordenacin . . . 41

1.7. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2. Funciones 46

2.1. Funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.1.1. Representacin grfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.1.2. Funciones Inyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.1.3. Funciones importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.2. Funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

i

i i

2.2.1. Campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.2.2. Campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.

Lmites y continuidad de funciones

67

3.1. Lmites de funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2. Continuidad de funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.2.1. La idea de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.2.2. La continuidad en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2.3. Clculo de lmites del tipo l f (x)g(x) . . . . . . . . . .

x a . . . . . . . 75

3.2.4. Teoremas de Weierstrass y Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2.5. El mtodo de la biseccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.3. Lmites y continuidad de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . 80

4.

Diferenciabilidad de funciones de una variable

86

4.1. La derivada en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.2. La funcin derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.3. Los Teoremas de Rolle y de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.4. El mtodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.5. Derivadas sucesivas: desarrollos de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.5.1. La frmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.5.2. La serie de Taylor - McLaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.5.3. Operaciones con series de McLaurin (series de potencias) . . . . . . . 112

4.6. La inversa de la derivada: la funcin primitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.6.1. Integracin trmino a trmino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.7. Qu es una ecuacin diferencial? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.7.1. Taylor y ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.

Diferenciabilidad de funciones de varias variables

124

5.1. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.2. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

333

Integrales de una variable 167

7.1. La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

7.2. Clculo de la Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

7.3. Integracin numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.4. Aplicaciones de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7.4.1. Valor promedio de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7.4.2. Lmites e integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7.4.3. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

7.4.4. rea y volumen de revolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

7.4.5. Longitud de arco en paramtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

7.4.6. Integral de lnea de una funcin escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

7.4.7. Integral de lnea de una funcin vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . 184

7.4.8. El Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

5.3. El plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.4. Diferenciabilidad de una funcin de dos variables. . . . . . . . . . . 130

5.5. Derivadas parciales de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.6. La regla de la cadena (dos variables) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.7. La regla de la cadena vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.8. El mtodo de Newton de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.9. La frmula de Taylor de 2 variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.10. La Funcin potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.11. Qu es una Ecuacin Diferencial en Derivadas Parciales? . . . . . . . . . . . 148

6.

Mximos y mnimos (puntos extremos)

150

6.1. Extremos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.2. Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.3. Extremos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

7.

7.5. Integrales infinitas e impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

444

8. Integrales dobles y triples 193

8.1. Integrales dobles en un recinto rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

8.2. Integrales dobles en un recinto general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

8.3. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

8.4. Cambios de coordenadas para integrales dobles y triples . . . . . . . . . . . 200

8.4.1. Integral doble por cambio a coordenadas polares . . . . . . . . . . . . 201

8.4.2. Integral doble por cambio a coordenadas elpticas . . . . . . . . . . . 204

8.4.3. Integral triple por cambio a coordenadas cilndricas . . . . . . . . . . 205

8.4.4. Integral triple por cambio a coordenadas esfricas . . . . . . . . . . . 205

8.5. Integral doble y clculo de reas de superficies curvas . . . . . . . . . . . . . 210

5

SESIONES 2015: 36 Teoras + 24 Problemas

Teora Problemas

1 Gua Docente + Nmeros reales

2 Rn + Suc 18,19

3 Sucesiones (19-24)

1 Complejos

2 Complejos. Polinomios

4 Sucesiones (24-29)

5 Sucesiones (29) + Series (29-34)

6 Series (35-39)

3 Complejos. Reales

4 Sucesiones I

7 Series (40-44)

8 SP (45) + Func (46-53)

9 Funciones (54-61 )

5 Sucesiones II

6 Series I

10 Func f (x, y) + cont f (x) (62-69)

11 Continuidad f (x) (69-74)

12 Continuidad f (x) (75-78) + f (x, y) (80)

7 Series II

8 Series II I

13 Continuidad f (x, y) (81-85)

14 Dif. f (x) (86-90)

15 Dif. f (x) (90-96)

9 Funciones y lmites

10 Lmites funcionales

16 Rolle&Lagrange + Taylor (103-105)

17 Taylor (105-110)

18 Taylor (110-114)

11 Funciones continuas

12 Dif. Rolle y TVML

19 Primitivas + Ec. Dif. (115-119)

20 Ec.Dif. (120-122) + DIF (125-127)

21 DIF (127-132)

13 Taylor

14 Primitivas

22 DIF (132-137)

23 DIF (138-143)

24 Taylor 2v+ F.Pot+ Extremos (150-153)

15 Ecuaciones Dif.

16 Parciales, Direcc, Plano tg

25 Extremos (154-158)

26 Extremos (159-164)

27 Extremos+ Integrales f (x) (165-169)

17 Schwarz, RC, Direcc

18 RC vect, F. Potencial

28 Integrales f (x) (170-174)

29 Integrales f (x) (175-180)

30 Integrales f (x) + dobles (181-194)

19 Extremos locales

20 Extremos Condicionados

31 Integrales dobles (195-199)

32 Integrales dobles (200-204)

33 Integrales dobles (204-209)

21 Extremos absolutos

22 Integrales una variable

34

35 Problemas: Integrales dobles y triples II I

36 Problemas: Integrales dobles y triples II I

23 Integrales dobles y triples I

24 Integrales dobles y triples II

Primer parcial: Teoras desde 1 hasta 18, Problemas desde 1 hasta 12, incluidos.

1

q

7

1. Nmeros, sucesiones y series numricas

1.1. Los Nmeros Reales

Para llegar a los nmeros reales, que son el objeto principal de esta asignatura, vamos a

presentar los distintos conjuntos de nmeros. Partimos de los nmeros naturales:

N = {1, 2, 3, 4, }

A partir de N construimos el conjunto Z de los nmeros enteros:

Z = {0, +1, 1, +2, 2, +3, 3, }

A partir de Z construimos el conjunto Q de los nmeros racionales, es decir, el conjunto

de todas las fracciones de enteros con denominador no nulo:

p Q = , con p, q Z, q = 0

q

El nombre de racional viene de que el nmero p

representa la razn que hay entre el entero p

y el entero q. Notar que todo nmero entero, como 7, puede expresarse como una fraccin,

1 , luego Z Q. El conjunto Q puede representarse por puntos de una recta. En este caso,

entre cada par de nmeros racionales hay una infinidad de nmeros racionales y por eso,

grficamete, el conjunto Q se podra representar como una recta de puntos suspensivos

infinitamente finos:

| | 0 1

En la recta hay puntos que no representan a ningn racional. Por ejemplo, 2 no es un

racional, pues no existe ninguna fraccin de enteros p

tal que ( p )2 = 2. Por lo tanto, tenemos q q

que ampliar Q. Para ello, recordemos que cada nmero racional (fraccin) puede expresarse

como un desarrollo decimal peridico,

1

3 = 0.33333.... = 0.b3 = 0.3b3, o tambin

3

2 = 1.50000.... = 1.5b0 = 1.5

y que todo desarrollo decimal peridico puede expresarse como una fraccin, luego Q es

tambin el conjunto de todos los desarrol los decimales peridicos:

p Q = , con p, q Z, q = 0

q =

n decimales peri

o.

2

Ahora podemos definir el conjunto de los nmeros reales, R, como:

R = n

decimales (peridicos y no peri o

y se cumple que Q R. Adems, R tien e ms nmeros que Q pues hay expresiones decimales que no son peridicas. Por ejemplo, 2 tiene un desarrollo decimal en el que no aperecer

nunca ningn periodo. Otro ejemplo de un desarrollo decimal no peridico es:

x = 0.1010010001000010000010000001 R \ Q

Notar que entre cada par de unos tenemos un cero, dos ceros, tres ceros, etc., luego no puede

aparecer ningn periodo. A los nmeros reales que no son racionales, es decir, a R \ Q (el

smbolo \ es el menos entre conjuntos, de modo que R \ Q son todos los reales excepto los racionales), los llamamos irracionales, pues no pueden expresarse como la razn entre dos

enteros, y son desarrollos decimales no peridicos.

El conjunto R (racionales e irracionales) cubre completamente la recta (que se llama la

recta real), es decir, cada punto de la recta se corresponde con un nmero real y viceversa:

| |

0 1

Adems, entre cualquier par de nmeros reales distintos existen una infinidad de raciona-

les y de irracionales, es decir, los racionales y los irracionales estn, digamos, infinitamente

mezclados en la recta. Sin embargo, puede probarse que hay una cantidad infinitamente

mayor de irracionales que de racionales. As, el salto importante en la construccin de los

conjuntos de nmeros es el que hacemos de Q a R. Notar que un slo nmero irracional tie-

ne infinitas cifras decimales, que nunca podremos conocer completamente. En este sentido,

podramos decir, cuntos nmeros irracionales caben en el ordenador con ms capacidad

del mundo? Ninguno.

El conjunto R es ordenado, es decir, dados x = y R cualesquiera se cumple que, o bien x < y o bien x > y. Recordemos ahora algunas de las propiedades de las desigualdades. Lo

haremos para < pero son tambin vlidas para >, ,

Propiedades de las desigualdades: Para cualesquiera reales x, y, z, t R se cumple que:

(1) Si x < y, e y < z, entonces x < z.

(2) Si x < y entonces x + z < y + z, x z < y z.

xz < yz, si z > 0(3) Si x < y entonces

xz > yz, si z < 0 .

(4) Si x < y entonces 1 > 1 , si xy > 0 (es decir, ambos positivos o ambos negativos).x y

x < y

(5) Si z < t

entonces x + z < y + t.

3

b

b

a

Estas propiedades significan que podemos operar con desigualdades como si fuesen igual-

dades, aunque con dos excepciones: al multiplicar por un nmero negativo (propiedad 3)

y al invertir dos nmeros del mismo signo (propiedad 4) hay que cambiar el sentido de la

desigualdad (de < a > o viceversa).

Las desigualdades nos sirven para definir intervalos de R y el mdulo de un nmero real:

Definicin 1 (Intervalos) Dados a, b R l lamaremos intervalo abierto, (a, b), e intervalo cerrado, [a, b], a:

(a, b) = nx R tales que a < x < b

o, [a, b] =

nx R tales que a x b

o.

Notar que en el intervalo abierto no estn incluidos los extremos del intervalo, a, b,

mientras que en el intervalo cerrado s. Tambin podemos definir intervalos que no son

abiertos ni cerrados, como

[a, b) = nx R : a x <

o

, (a, b] = n o

x R : a < x b ,

donde el smbolo : representa aqu e intervalos de longitud infinita:

( , b) =

nx R : x <

o

, ( , b] =

n o x R : x b ,

(a, + ) =

nx R : x >

o

, [a, + ) =

n o x R : x a .

Definicin 2 (Mdulo) Llamaremos mdulo o valor absoluto de un nmero real x a

x si x 0|x| = . x si x 0

Por ejemplo, |7| = 7, | 7| = 7. El valor absoluto sirve para calcular distancias entre

nmeros reales, pues |x y| es la distancia en la recta entre x e y. As por ejemplo, el conjunto de reales x que cumplen la desigualdad

|x 7| < 2

son los puntos x de la recta que estn a una distancia del punto 7 menor que 2, es decir, son

los puntos x del intervalo (5, 9).

Propiedades del valor absoluto: Para cualesquiera reales x, y R:

(1) |x| 0. Adems, |x| = 0 si, y slo si, x = 0

(2) |xy| = |x|| y|

4

(3) |x + y| |x| + |y|

(4) |x| y si, y slo si, y x y

5

(5)

|x| |y|

|x y| Ahora podemos hacer analticamente lo que hemos hecho antes intuitivamente:

nx R : |x 7| < 2

o =

hpropiedad 4

i =

nx R : 2 < x 7 < +2

o =

= nx R : 7 2 < x < 7 + 2

o =

nx R : 5 < x < 9

o =

hDefinicin 1

i = (5, 9).

1.2. Topologa en Rn

A partir de R se define R2:

R2 = R R =

(x, y) : x, y R

.

Como R se representa con una recta (la recta

real), R2 se representa con un plano, en el que

cada par (x, y) se corresponde con un punto

del plano y viceversa (ver Figura).

Del mismo modo se define R3:

R3 = R R R = n(x, y, z) : x, y, z R

o,

que representa el espacio tridimensional, (ver Figura),

y en general para cualquier n N, se define el espacio n dimensional

Rn = R R R = n(x1, x2 , . . . , xn ) : xi R i

o.

Las siguientes definiciones las vamos a dar para Rn en general, luego sern vlidas para

R2 , R3, R4 , etc. y tambin para R.

Definicin 3 (Norma en Rn ) Dado x Rn , x = (x1, x2, ..., xn ), l lamamos norma o m- r n

dulo de x a kxk = +p

x2 + x2 + + x2 = + P

x2.1 2 n i

i=1

6

Nota 1 En R, la norma coincide con el valor absoluto, pues kxk = + x2 = |x|. En R2,

k(x, y)k = +p

x2 + y2 representa, por el Teorema de Pitgoras, la distancia del punto (x, y) al origen. En general, la norma sirve para medir distancias: dados a, b Rn , ka bk es la distancia en Rn que hay entre los puntos a y b. Por ejemplo, la distancia en R4 del punto

a = ( 1, 3, 4, 7) al origen (0, 0, 0, 0) es:

kak = p

x2 + x2 + ... + x2 = p

( 1)2 + (3)2 + (4)2 + ( 7)2 = 75.

1 2 n

Puede demostrarse que se cumplen las siguientes propiedades:

(1) kxk 0. Adems, kxk = 0 si, y slo si, x = (0, 0, . . . , 0)

(2) k k = | | kxk x Rn , R

(3) kx + yk kxk + kyk x, y Rn

Definicin 4 (Bola abierta) Se l lama bola abierta con centro en a Rn y radio > 0 a:

B a,

= x Rn : kx ak <

y se l lama bola cerrada con centro en a Rn y radio > 0 a x Rn : kx ak

.

Ejemplo 1 En R, la bola abierta con centro en a R y radio > 0 es el intervalo abierto centrado en a:

B a,

=

x R :

x a

<

=

a , a +

,

y la misma bola, pero cerrada, es el intervalo cerrado

x R : x a

=

a , a +

.

En R2, la bola de centro a = (0, 0) y radio = 1 es:

B

(0, 0) , 1

= n

(x, y) R2 : k(x, y) (0, 0)k < 1o

= n(x, y) R2 :

px2 + y2 < 1

o =

= n

(x, y) R2 : x2 + y2 < 1o

es decir, es el crculo de centro (0, 0) y radio 1. Notar que en la bola abierta, la circunferencia

exterior (de radio 1) no est incluida, mientras que las bolas cerradas (con ), s incluyen la circunferencia exterior:

7

En R3 , la bola B a,

es la esfera de centro a y radio . De nuevo, la bola abierta es el

interior de la esfera y la bola cerrada (con ) incluye la superficie exterior de la esfera.

Definicin 5 (Punto interior, entorno, conjunto abierto y conjunto cerrado) Sea

D Rn y sea a D. Diremos que a es un punto interior de D, y que D es un entorno de a, si:

existe un > 0 tal que B(a, ) D.

Diremos que D Rn es un conjunto abierto si todos sus puntos son interiores. Diremos que D Rn es un conjunto cerrado si su complementario (Rn \ D) es un conjunto abierto.

Ejemplo 2 En R, a = 2 es un punto interior de D = [ 1, 7) y, por lo tanto, [ 1, 7) es un entorno de 2. Los siguientes son conjuntos abiertos, porque todos sus puntos son interiores:

(1, 3), (5, + ), ( , 1), (1, 3) (5, + ), ( , 3) (5, + ),

y los complementarios de estos abiertos son conjuntos cerrados:

( , 1] [3, + ), ( , 5], [1, + ), ( , 1] [3, 5], [3, 5].

Visualmente, los conjuntos abiertos son los que no contienen a ningn punto de su n

y los conjuntos cerrados son los que incluyen a toda su n Recordemos que hay

conjuntos que no son abiertos ni cerrados, como (a, b].

Ejemplo 3 En R2 , el rectngulo R =

(x, y) R2 : 3 < x < 3, 2 y 2

es un entorno del punto (1, 1), y ste es un punto interior de R. Los siguientes son conjuntos abiertos, porque todos sus puntos son interiores:

(x, y) R2 : x + y < 3

, (x, y) R2 : x2 + y2 < 1

, (x, y) R2 : 3 < x < 3, 2 < y < 2

y los complementarios de estos abiertos son conjuntos cerrados:

(x, y) R2 : x + y 3 ,

(x, y) R2 : x2 + y2 1

,

(x, y) R2 : x 3 x 3 y 2 y 2

.

La bola cerrada

(x, y) R2 : x2 +y2 1

es un conjunto cerrado porque su complementario, (x, y) R2 : x2 + y2 > 1

es un abierto (todos sus puntos son interiores). Visualmente, en

R2 los conjuntos abiertos son tambin los que no contienen a ningn punto de su n

como el conjunto D de la Figura 1, y todos sus puntos son interiores, mientras que los

conjuntos cerrados s incluyen a toda su n como el conjunto R2 \ D de la Figura 1. Tambin en R2 hay conjuntos que no son abiertos ni cerrados (contienen parte de su frontera

pero no toda).

Para tener una caracterizacin de conjunto cerrado en funcin de sus puntos y no de que

su complementario sea abierto, necesitamos el concepto de punto de acumulacin:

Definicin 6 (Punto de acumulacin) Sea D Rn y sea a Rn . Diremos que a es un punto de acumulacin de D, si:

para todo > 0, en B(a, ) existen puntos de D diferentes de a.

8

Figura 1: D es un abierto y R2 \ D es un cerrado

Ejemplo 4 En R, sea D = (0, 1]. Sus puntos de acumulacin son todos los de [0, 1]. En el

conjunto D R2 de la Figura 1, los puntos a y c son de acumulacin de D. Los puntos interiores de un conjunto D son tambin puntos de acumulacin de D, pero hay puntos de acumulacin que no son interiores (los puntos de la frontera). Puede probarse que

Teorema 1 (Caracterizacin de cerrados) Un conjunto D Rn es cerrado si, y slo si, D contiene a todos sus puntos de acumulacin.

Nota 2 Sin embargo, un conjunto cerrado puede tener puntos que no son de acumulacin.

Por ejemplo, en R, sea D = [2, 3] {5}. Es D un cerrado? S, pues su complementario,

R \ D = ( , 2) (3, 5) (5, + ), es un abierto (todos sus puntos son interiores). Pero los puntos de acumulacin de D son [2, 3]. Se llaman puntos aislados de D a los puntos de

D que no son de acumulacin de D. As, un conjunto cerrado est formado por todos sus

puntos de acumulacin y puntos aislados.

1.3. Nmeros complejos y polinomios

1.3.1. Los nmeros complejos

En el conjunto R de los nmeros reales hay ecuaciones que no tienen solucin, como por

ejemplo x2 +5 = 0, luego tenemos que ampliar R. Notar que la solucin de la ecuacin anterior

debera ser x = 5 Si definimos el nmero imaginario i como u n nmero tal que i2 = 1,

podemos decir que x = 5 i es una solucin de la ecuacin pues ( 5 i)2 = 5 i2 = 5( 1) = 5. As, podemos definir el conjunto de los nmeros complejos, C, como:

C = na + b i, con a, b R

o,

donde i es un nmero llamado imaginario que cumple que i2 = 1. Con esta definicin, los

nmeros complejos incluyen a los reales, R C, pues por ejemplo el nmero real 2 puede

expresarse como 2 + 0 i C.

Todo nmero complejo z = a+b i tiene dos partes, una parte real a y una parte imaginaria

b, que se denotan por:

Re(z) = a, Im(z) = b.

9

2+i

Notar que los complejos tales que Im(z) = 0 son nmeros reales. Los complejos tales que

Re(z) = 0 se llaman imaginarios puros.

Los nmeros complejos pueden sumarse y multiplicarse como binomios:

(2 + i) + (3 2 i) = 2 + 3 + i 2 i = 5 i,

(2 + i)(3 2 i) = 6 4 i + 3 i 2 i2 = 6 4 i + 3 i + 2 = 8 i En general, si z = a + b i, w = c + d i son dos complejos, definimos

Suma: z + w = (a + b i) + (c + d i) = (a+c) + (b+d) i C,

Producto: zw = (a+b i)(c+d i) = ac+ad i+bc i+bd i2 = (ac bd)+(ad+bc) i C.

En el producto hemos utilizado que i2 = 1. Al multiplicar complejos pueden aparecer distintas potencias de i, pero todas pueden simplificarse:

i0 = 1 i1 = i i2 = 1 i3 = i i4 = 1 i5 = i i6 = 1 i7 = i . . .

es decir, para cada n N tenemos que in = ir siendo r el resto de dividir n entre 4.

Para dividir complejos, como en 1 , y expresar el resultado en forma a + b i, necesitamos

el nmero i del denominador, multiplicando arriba y abajo por el conjugado:

1 =

2 + i

(2 i)

= (2 + i)(2 i)

2 i 22 i2

= 2 i 4 + 1

2 1 =

5 5

i

Definicin 7 (Conjugado) Se l lama conjugado de z = a + b i, al complejo z = a b i.

Puede probarse que el conjugado tiene las siguientes propiedades:

(1) z = z si, y slo si, b = 0, si, y slo si, z R.

(2) z + w = z + w, z w = z w

(3) z = z

(4) z z = (a + b i)(a b i) = a2 b2 i2 = a2 + b2 R+

La propiedad 1 dice que los reales coinciden con su conjugado. La propiedad 2 dice que el

conjugado de la suma es la suma de los conjugados y que lo mismo ocurre con el producto. La

propieded 3 dice que el conjugado de z es el propio z. La propiedad 4 dice que si multiplicamos

un complejo por su conjugado obtenemos un real positivo. Como hemos visto, esta propiedad

es til en operaciones con fracciones para eliminar la unidad imaginaria i del denominador.

Nota 3 El conjugado es tambin til para otras expresiones con nmeros complejos. Por

ejemplo, si sumamos z + z obtenemos 2a, luego

Re(z) =

1 (z + z). Del mismo modo, Im(z) =

2

1

2 i (z z).

10

Como R se representa por una recta, la recta real, el conjunto C se representa por un

plano, el plano complejo (Figura 2), en donde cada nmero z = a + b i se representa por el

punto del plano R2 de coordenadas (a, b).

Figura 2: El plano Complejo

Nota 4 (C no es un conjunto ordenado) Puesto que no puede representarse en una rec-

ta, el conjunto C no es un conjunto ordenado, y dados dos complejos z = w no reales, no

podemos decir ni que z < w ni que w < z. Lo que s podemos comparar son sus mdulos:

Definicin 8 (Mdulo de un complejo) Dado z = a + b i, l lamaremos mdulo de z a

|z| = + a2 + b2 = +

zz.

Notar que, si z R, esta definicin coincide con la Definicin 2 del mdulo de un real. Por

el Teorema de Pitgoras, |z| es la distancia en el plano del complejo z al origen. Como en

los reales, |z w| representa la distancia en el plano entre los complejos z y w. Tambin comparte con R las propiedades ms importantes:

(1) |z| 0. Adems, |z| = 0 si, y slo si, z = 0

(2) |zw| = |z|| w|

(3) |z + w| |z| + |w|

(4) |z| = |z|

(5) Si z = 0, | 1 | = 1 z |z|

(6) |z| |w|

|z w|

11

2

1.3.2. Polinomios

Para ver que ya no necesitamos ampliar el conjunto C, recordemos algo de polinomios.

Un polinomio con coeficientes en C (o simplemente polinomio complejo) es una expresin de

la forma

a0 + a1x + a2x2 + . . . + an x

n ,

donde cada ai C se llama coeficiente de xi y n es el grado del polinomio (si an = 0). Por

ejemplo, (2 + 3 i)x2 + (1 i)x 5 5 i es un polinomio de grado 2 con coeficientes en C: 2 + 3 i es el coeficiente de x2, 1 i es el coeficiente de x y 5 5 i es el trmino independiente.

Notar que 10x4 1 x2 5x + 2 es un polinomio (de grado 4) con coeficientes en R perotambin es un polinomio con coeficientes en C, pues R C.

Por comodidad, denotamos a los polinomios con letras (f , g, p, q, etc.) y llamamos, por ejemplo, polinomio f a f (x) = a0 + a1x + a2 x

2 + . . . + an xn . Lo que Lo que nos interesa

ahora de los polinomios son sus ceros o raices. Decimos que un nmero C es un cero o una raz de un polinomio f (x) = a0 + a1x + a2 x

2 + . . . + an xn si f ( ) = 0, donde f ( ) es el

resultado de sustituir x por : f ( ) = a0 + a1 + a2 2 + . . . + an

n .

Teorema 2 (Fundamental del lgebra) Todo polinomio complejo de grado mayor o

igual que 1 tiene, al menos, un cero complejo.

Este Teorema afirma que cualquier ecuacin polinmica f (x) = 0 tiene solucin en C,

por lo que ya no necesitamos ms sistemas de nmeros y stos terminan en C:

N Z Q R C.

Los ceros de un polinomio f estn relacionados con la descomposicin del polinomio f

en polinomios de grado uno. Por ejemplo, si un polinomio f puede descomponerse como

f (x) = 5(x 2)(x 2)(x 3 + 2i)(x + i),

entonces est claro que 2, 3 2i, i son ceros de f , pues f (2) = f (3 2i) = f ( i) = 0. Esto es cierto en general:

Teorema 3 (Caracterizacin de los ceros) Un complejo C es un cero del polinomio f si, y slo si, f (x) = (x ) q(x).

Demostracin: Obviamente, si f (x) = (x ) q(x) entonces f ( ) = ) q( ) = 0. Recprocamente, supongamos que f ( ) = 0. Dividimos f (x) por el polinomio (x ) y obtenemos un cociente, q(x), y un resto, que deber ser de grado menor que el de (x ), es decir, el resto es una constante r. As, f (x) = q(x)(x ) + r. Sustituyendo por tenemos que f ( ) = q( )( ) + r, luego r = f ( ) = 0 y f (x) = q(x) (x ).

12

As, dado un polinomio complejo f , por el Teorema Fundamental del lgebra (TFA,

Teorema 2) f tiene un cero 1 C, y por el Teorema 3:

f (x) = (x 1)q(x).

Como q es tambin un polinomio con coeficientes complejos, por el TFA tiene, al menos, un

cero 2 C, y por el Teorema 3, q(x) = (x 2)q2(x), luego sustituyendo:

f (x) = (x 1)(x 2 )q2 (x).

As sucesivamente, todo polinomio complejo f de grado n 1 puede descomponerse de la forma

f (x) = M (x 1)(x 2) (x n ) con i , M C,

es decir, todo polinomio complejo de grado n 1, tiene exactamente n ceros complejos, no necesariamente distintos. Por ejemplo, un polinomio complejo de grado 4 podra descompo- nerse como

f (x) = 5(x 7)(x 7)(x 3)(x + 1) = 5(x 7)2 (x 3)(x + 1).

En este caso, f (x) tiene al 7 como cero de multiplicadad 2 (cero doble), y a 3 y a -1 como ceros de multiplicadad uno (ceros simples). Con esta idea de multiplicidad, podemos decir

que todo polinomio complejo de grado n 1, tiene exactamente n ceros complejos contando su multiplicidad:

f (x) = M (x 1)m1 (x 2)

m2 (x k )mk ,

con todos los i nmeros complejos distintos y con m1 + m2 + + mk = n.

1.3.3. Polinomios reales

Supongamos ahora que f es un polinomio con coeficientes reales. Considerado como

polinomio complejo, f puede descomponerse como antes:

f (x) = M (x 1)m1 (x 2)

m2 (x k )mk , (1)

con todos los i nmeros complejos distintos y con m1 + m2 + + mk = n. Sin embargo, si f (x) es un polinomio real, podemos estar interesados en una descomposicin de f en

polinomios reales, y (x 1) no lo es si 1 / R. A partir de la descomposicin compleja (1), obtenemos la descomposicin real aplicando los siguientes resultados.

Teorema 4 (Ceros conjugados) Sea f un polinomio REAL. Si = a + bi es un cero de

f (x), entonces su conjugado = a bi es tambin un cero de f .

Demostracin: Sea f (x) = a0 + a1x + + an xn , con cada ai R, y supongamos que

f ( ) = 0. Tomando conjugados, f ( ) = 0 = 0, es decir,

a0 + a1 + + an n = 0, y por las propiedades del conjugado:

13

.

a0 + a1 + + an ( )n = 0, y como los ai son reales, ai = ai , luego

a0 + a1 + + an ( )n = 0, es decir, f ( ) = 0 y es un cero de f .

De esta manera, en la descomposicin anterior (1), para cada cero complejo = a + bi,

tambin est su conjugado = a bi. Adems,

Teorema 5 Si multiplicamos (x )(x ) obtenemos un polinomio real (de grado 2).

Demostracin: Sean = a + bi y = a bi. Entonces,

(x )(x ) = x2 + )x + = x2 2a x + (a2 + b2 ),

que es un polinomio real pues 2a y a2 + b2 son reales.

Por lo tanto, agrupando en (1) cada cero complejo con su conjugado, tenemos que un

polinomio real de grado n 1 puede descomponerse como producto de polinomios:

de grado 1, correspondientes a sus ceros reales, y

de grado 2, correspondientes a parejas de ceros complejos congugados (no reales),

f (x) = M (x 1 )m1 (x 2 )

m1 (x k )mk (x2 + b1x + c1 )

n1 (x2 + bj x + cj )nj ,

con todos los i , bi , ci nmeros reales distintos, todos los polinomios (x

2 + bi x + ci )nj sin ceros

reales y con m1 + m2 + + mk + 2n1 + + 2nj = n.

El Teorema 2 (TFA) es un teorema de existencia, que asegura que cualquier ecuacin

polinmica tiene solucin en C, pero no indica cmo calcular los ceros de un polinomio

dado. Hasta el siglo XIX se pensaba que todas estas ecuaciones podan resolverse por

radicales, es decir, con frmulas expresadas con las 5 operaciones bsicas: suma, resta,

multiplicacin, divisin y radicacin. Esto es cierto para todos los polinomios de grado 2, 3

y 4. Por ejemplo, dado un polinomio complejo de grado 2, f (x) = ax2 + bx + c, sus ceros son:

b b2 4ac 1 =

2a

, 2 =

b + b2 4ac 2a

El modo de resolver polinomios de grado 3 y 4 es ms complicado y no lo veremos aqu.

Pero no es cierto para polinomios de grado 5 o ms: Galois demostr en 1832 que no existen

frmulas por radicales para resolver cualquier polinomio de grado 5 o ms.

Sin embargo, algunos de estos polinomios s pueden resolverse. Por ejemplo, si un poli- nomio tiene sus ceros enteros o fraccionarios, podemos calcularlos con el mtodo de Ruffini:

dado f (x) = 3x6 + 4x5 5x4 5x3 4x2 + 5x + 2, hacemos

14

a

3 4 -5 -5 -4 5 2

1

3

7

2

-3

-7

-2

3 7 2 -3 -7 -2 0

1

3

10

12

9

2

3 10 12 9 2 0

-2

-6

-8

-8

-2

3 4 4 1 0

-1/3

-1

-1

-1

3 3 3 0

luego f (x) = (x 1)2(x + 2)(x + 1 )(3x2 + 3x + 3) = 3(x 1)2 (x + 2)(x + 1 )(x2 + x + 1) 3 3

y los ceros racionales de f son {1, 1, 2, 1/3}. Adem s, los ceros de x2 + x + 1 podemos

calcularlos con la frmula anterior: 1 12 4 = 1 3i . 2 2

Otro ejemplo de polinomios que pueden resolverse son los de la forma f (x) = xn z, con z C. Para resolverlos, necesitamos la forma polar de un nmero complejo.

1.3.4. Forma polar de los nmeros complejos

Como cada complejo se corresponde con un punto en el plano, adems de las coordenadas

cartesianas (Figura 2) tambin podemos utilizar las coordenadas polares (ver Figura 3). Cada

a = r cos( )

b = r sen( )

r = a2 + b2

= arc tg( b )

Figura 3: El plano Complejo: coordenadas polares. punto z = 0 del plano est determinado por su distancia al origen, que llamaremos r (notar

que r = |z|), y por el ngulo, que llamaremos , que forma el segmento Oz con el eje de abcisas. El par (r, ) forman las coordenadas polares de un punto z del plano. Conocidas las

15

.

a

4

polares, podemos calcular las coordenadas cartesianas y viceversa con las frmulas

a = r cos( )

r = a2 + b2

, bb = r sen( ) = arc tg( a )

Nota 5 (Clculo del argumento) La funcin arc tg(x) en las calculadoras da un resulta-

do en el intervalo

, , pero el argumento puede estar en el intervalo

,

. Por 2 2

ejemplo, para el complejo 1 + i tenemos que = arc tg( b ) = arc tg( 1 ) = arc tg(1) = , a 1 4 lo cual es correcto. Sin embargo, para el complejo 1 i tenemos que = arc tg( b ) =arc tg( 1 ) = arc tg(1) = 1

, lo cual no es correcto, pues el argumento de 1 i (dibjalo en

el plano) es otro arcotangente de 1, = + = . 4 4

Vamos a utilizar estas coordenadas polares para obtener otro modo de escribir un nmero

complejo. El mdulo de un complejo y sus propiedades fueron estudiados en la Definicin 8.

Definimos ahora el argumento de un complejo:

Definicin 9 (Argumento) Llamaremos argumento de z = a + b i = 0, arg(z), a cual-

quier nmero real (ngulo) tal que

a = |z| cos( )

. b = |z| sen( )

Notar que el argumento no es nico: si es argumento de z, entonces tambin lo es + 2k

para cualquier k Z. Con el mdulo y el argumento podemos escribir

z = a + b i = |z| cos( ) + |z| sen( ) i = |z| cos( ) + sen( ) i

y si representamos por e i = cos( ) + sen( ) i, podemos definir:

Definicin 10 (Forma polar) Todo complejo z = 0 puede escribirse como z = |z| e i , donde e i representa a cos( ) + sen( ) i.

Nota 6 Aunque aqu lo damos como definicin, en realidad e i es la funcin exponencial (ver

Nota 51 en la pgina 111), con sus propiedades conocidas, como e0 i = 1, e i e i = e( + ) i ,

e i /e i = e( ) i . Notar tambin que se cumple e = 1, que es una frmula que relaciona las tres constantes ms importantes de las matemticas. Tambin es cierta la Frmula de De Moivre:

(e i )n = e(n ) i para todo n Z (incluidos los negativos).

La forma polar resulta til para multiplicar y dividir complejos z = |z| e i , w = |w| e i :

16

= zw = |z| e i |w| e i = |zw| e( + ) i , z |z| e i

w |w| e i =

| z| |w|

e( ) i .

17

Observa que al multiplicar complejos se multiplican sus mdulos y se suman sus argumentos y al dividir complejos se dividen sus mdulos y se restan sus argumentos. Tambin es til

para calcular la potencia n-sima de un complejo (n Z),

zn =

|z| e i n

= |z|n

e i n

= |z|n e(n ) i

Observa que el mdulo se eleva a la potencia n mientras que el argumento se multiplica por

n. La forma polar tambin se usa para para calcular las raices n-simas de un complejo:

Definicin 11 (Raz n-sima) Dado z C, z = 0, y dado n N, decimos que w C es una raz n-sima de z si wn = z.

Notar que es equivalente a decir que w es una raiz del polimomio f (x) = xn z. As por

ejemplo, -2 es una raz cbica de -8, pues ( 2)3 = 8, y tambin es un cero del polinomio

f (x) = x3 + 8, pues f ( 2) = ( 2)3 + 8 = 0. Del mismo modo, i es una raz octava de 1,

pues ( i)8 = 1, y es un cero del polinomio f (x) = x8 1. Veamos que todo complejo no nulo z tiene exactamente n raices n-simas distintas y cmo calcularlas. Comencemos con

un ejemplo.

Ejemplo 5 (Las raices cbicas de -8) Sabemos que 2 es una raz cbica de 8 pero, hay ms? Expresemos 8 en forma polar. Como | 8| = 8 y un argumento de 8 es , tenemos que 8 = 8e i . Recordemos que al elevar al cubo un complejo se eleva al cubo su mdulo y se multiplica por 3 su argumento. Entonces, sacando la raiz cbica real de 8 y

dividiendo entre 3, el complejo 2e 3 i es una raiz cbica de 8e i = 8 pues:

(2e 3 i )3 = 23 e3 3 i = 8e i = 8

Figura 4: Una raiz cbica de 8

Grficamente lo que hemos hecho es coger el argumento principal de 8, (ver Figura 4) y dividirlo por 3. En esa direccin, , y con mdulo 2, hay una raz cbica de 8,

3

w0 = 2e 3 i . Pero veamos que hay ms. Todas las races cbicas de 8e i tendrn mdulo 2 y

argumento cualquier tal que = , o ms exactamente, que = + 2k para cualquier

k Z. Dividiendo por 3 tenemos que k = + k 2 es un argumento de las races cbicas de

3 3

8e i , para todo k Z. Veamos cuntos de estos argumentos proporcionan ngulos distintos (sabemos que, a lo sumo, habrn 3. Por qu?):

0 = + 0 =

3 3 3

18

1

1 = + 1 = =

3 3 3

2 = + 2 = , que es el mismo que

3 3 3 3

3 = + 3 = , que es el mismo que = 0

3 3 3 3

4 = + 4 = , que es el mismo que = = 1

3 3 3 3

5 =

luego slo hay 3 argumentos que produzcan ngulos distintos (a partir de 3 se repiten),

que son 0 = , 1 =

+ 2 = y 2 = + 2 2 = 5 . Por lo tanto, 8 tiene

3 3 3 3 3 3 3

exactamente 3 races cbicas distintas, que son (ver Figura 5):

w0 = 2e 0 i = 2e 3 i = 2(cos( ) + sen( )i) = 2( 1 + 3 i) = 1 + 3i,

3 3 2 2

w1 = 2e 1 i = 2e i = 2(cos( ) + sen( )i) = 2( 1 + 0 i) = 2,

w2 = 2e 2 i = 2e 3 i = 2(cos( ) + sen( )i) = 2( 1 3 i) = 1 3i.

3 3 2 2

w0 = 1 + 3i

w = 2

w2 = 1 3i

Figura 5: Las 3 raices cubicas de 8.

Grficamente (ver Figura 5) lo que hemos hecho es, a partir del ngulo de la primera raiz

w0 (Figura 4), dividimos la circunferencia en 3 partes iguales y obtenemos los ngulos en los

que estn las otras raices cbicas w1 , w2, todas con mdulo 2. Adems, como stos son los

tres ceros del polinomio x3 + 8, ste se descompone en C del modo siguiente:

x3 + 8 = (x + 2) x 1 3 i

x 1 + 3 i

.

Si queremos la descomposicin en R de x3 + 8, multiplicamos los dos ltimos polinomios de

grado 1 y obtenemos

x3 + 8 = (x + 2)(x2 2x + 4).

19

8

2

n

n n

i

8

Ejemplo 6 (Las raices octavas de 1) Calculemos las 8 races octavas de 1 grficamente,

que sern los ceros de f (x) = x8 1. Como 1 = 1e0i , el mdulo de todas las races es 1y el argumento de una de ellas, w0, es

0 = 0. A partir de sta (ver Figura 6) dividimos

la circunferencia en 8 partes iguales y tenemos los 8 ngulos sobre los que estn las 8

raices octavas de 1. Observar que w0 = 1, w2 = i, w4 = 1, w6 = i y que las otras 4 son2

2

2 i. Por lo tanto, el polinomio x 1 se descompone en C como

x8 1 = (x 1)(x + 1)(x i)(x + i) x 2 2 i

x 2 + 2 i

x + 2 + 2 i

x + 2 2 i

2 2 2 2

2 2 2 2

y si multiplicamos los polinomios de grado 1 correspondientes a ceros conjugados obtenemos

la descomposicin de x8 1 en R:

x8 1 = (x 1)(x + 1)(x2 + 1)(x2 + 2x + 1)(x2 2x + 1).

Figura 6: Las 8 raices octavas de 1.

Lo que hemos hecho en los Ejemplos 5 y 6 anteriores puede hacerse en general. Sea z = |z|e i

y sea n N. Queremos encontrar los nmeros complejos w = |w|e i tales que wn = z, esto es,

|w|n e = |z|e i

Comparando mdulos y argumentos tenemos que:

|w|n = |z| y, por lo tanto, todas las raices tienen mdulo |w| = + pn

|z|

= + 2k (recordemos que si es argumento entonces tambin lo son + 2k ) y,

dividiendo por n, obtenemos k = +2k , para todo k Z. De estos infinitos argu-

mentos tomamos los n que producen ngulos distintos, es decir, para k = 0, 1, . . . , n 1:

2 2 2

0 = , 1 = n

+ , 2 = n n

+2 , . . . n 1 = +(n 1) n n

y, as, las n races n-simas distintas de z son:

w0 = pn

|z|e n

i , w1 =

pn

|z|e

+2 n

i , w2 =

pn

|z|e

+4 n

i , . . . w

n 1 =

pn

|z|e

+2(n 1)

n

20

Nota 7 Las n races n-simas de z estn regularmente distribuidas en una circunferencia

centrada en el origen y de radio + pn

|z| (ver Figura 6).

21

}n=1

n

2n 5

n

2 3 4 5 6 7

1.4. Sucesiones de nmeros reales

En Matemticas, una sucesin es una secuencia infinita de elementos, de modo que uno

de ellos es el primero, otro el segundo, etc. Aqu vamos a estudiar sucesiones de nmeros

reales, en las que cada elemento (tambin llamado trmino) es un nmero real, xn . As, una

sucesin de nmeros reales puede representarse por

x1, x2 , x3, x4, x5,

en donde los puntos suspensivos indican que tenemos infinitos trminos, tantos como n-

meros naturales. Tambin podemos escribir {xn + o bien sencillamente {xn }. Cada uno

de los trminos xn es un nmero real, y tienen un orden en el sentido que x1 es el pri-

mer trmino, x2 es el segundo, x3 el tercero y as sucesivamente. Puesto que cada nme-

ro real xn representa un punto de la recta, una sucesin puede representarse como una

secuencia infinita de puntos en la recta. Por ejemplo, en la Figura 7a est representada

la sucesin {xn } 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, y en la Figura 7b est representada la sucesin {xn } 1,

1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , .2 3 4 5 6 7

Figura 7: Representacin de las sucesiones

n + y

1 +

n=1 n n=1

Ejemplo 7 Los siguientes son ejemplos de sucesiones:

1. {xn } 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, (Figura 7a)

2. {xn } 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,

3. {xn } 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1,

4. {xn } 1, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , (Figura 7b)2 3 4 5 6 7

5. {xn } definida por xn = n+1

(llamado trmino general), para cada n N

6. {xn } definida por xn = q

3n+1 (llamado trmino general), para cada n 3 q

xn +27. {xn } definida como x1 = 1, xn+1 = 2 (ley de recurrencia), para cada n 1

Las sucesiones 1 a 4 anteriores estn dadas explcitamente, como una secuencia de

nmeros. Notar que no podemos escribir todos los trminos de una sucesin, pues son

infinitos, pero escribiendo algunos de ellos se entiende cmo es la sucesin. Las sucesiones

5 y 6 estn definidas con una frmula para su trmino general. As, si xn = n+1 , para

cada n N, sustituyendo n sucesivamente por 1, 2, 3, 4, , la sucesin {xn } resulta

1 ,

2 ,

3 , 4 , 5 , 6 , . La frmula del trmino general nos permite conocer directamente el

22

77

n

valor de cualquier trmino, como x77 = 78

en la sucesin anterior. Notar que la sucesin

4 puede definirse tambin mediante una frmula para su trmino general: xn = 1 . En

cambio, la sucesin 7 est definida por un primer elemento, x1 = 1 y una ley de recurrencia, q xn +2xn+1 = 2 , para cada n N. As, la sucesin 7 es:

23

q 3

= 1.280357483720

n

n

x1 = 1 q x1 +2

q 1+2

q 3

x2 = 2 = q

x2 +2

2 =

2

+2

2 = 1.224744871391

q 1,224744871391+2

x3 = 2 = q x3 +2

2

= q 1,269792280530+2

2

= 1.269792280530

x4 =

x5 =

2 = q

x4 +2

2 =

2 = 1.278630572239 q

1,278630572239+2

2

Notar que, a diferencia de la frmula para el trmino general, si queremos conocer el valor

de, digamos, x77 , tenemos que calcular todos los trminos consecutivos desde x1 hasta el

propio x77 .

1.4.1. Sucesiones convergentes

De la sucesiones nos interesa el concepto de convergencia. Intuitivamente una sucesin

{xn } converge a un nmero real x si, cuando n crece lo suficiente, los trminos xn se acercan a x tanto como queramos (Figura 8).

Figura 8: Sucesin convergente a x

Pensemos en las sucesiones del Ejemplo 7 anterior. La sucesin 1 no converge, pues el

valor de sus trminos van creciendo indefinidamente (ver Figura 7a). La sucesin 2 converge

a 1, pues todos los trminos valen 1. La sucesin 3 no es convergente, pues el valor de sus

trminos se queda oscilando infinitamente entre 0 y 1. La sucesin 4 converge a cero (ver

Figura 7b), pues 1 se acerca a cero tanto como queramos cuando n crece. Por ejemplo,

el trmino correspondiente a n = 1010 es x1010 = 0.0000000001, y el correspondiente a n = 1050 es x1050 = 0.00000000000000000000000000000000000000000000000001. La sucesin

5 converge a 1, pues n+1 se acerca a 1 tanto como queramos cuando n crece.

La distancia de xn a x se expresa con el valor absoluto, |xn x|. Pedir que xn se acerque a x tanto como queramos es pedir que |xn x| sea tan pequeo como queramos. La definicin matemtica de sucesin {xn } convergente a un x R es la siguiente:

Definicin 12 (Sucesin convergente) Diremos que {xn } es convergente a x R si, para

todo > 0 (letra griega psilon), existe una posicin N N tal que, a partir de el la, todos los dems xn cumplen |xn x| < Escrito en smbolos: