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7/26/2019 [Araujo] Modelo Bilinear Lajes CoAo
1/9
Teoria e Prtica na Engenharia Civil, n.8, p.11-19, Abril, 2006
Modelo bilinear para anlise de lajes de concreto armado
Bilinear model for reinforced concrete slabs analysis
Jos Milton de ArajoDepartamento de Materiais e Construo FURG Rio Grande, RS
e-mail: [email protected]
RESUMO: Neste trabalho apresenta-se um mtodo bilinear para anlise de lajes macias e de lajesnervuradas de concreto armado. O modelo permite obter as deformaes das lajes no estdio I e no estdioII. Para as lajes nervuradas, emprega-se o conceito de espessura equivalente. A comparao comresultados experimentais demonstra a eficincia do modelo proposto.
ABSTRACT:A bilinear method for analysis of solid and waffle reinforced concrete slabs is presented inthis work. The model allows to obtain the deflections in both cracked and noncracked stages. The conceptof equivalent thickness is used for waffle slabs. The comparison with experimental results demonstratesthe efficiency of the proposed model.
1. INTRODUO
Em trabalhos anteriores [1,2], foram discutidosalguns mtodos para determinao da espessuraequivalente das lajes nervuradas de concreto
armado. Uma vez determinada a espessuraequivalente, as lajes nervuradas podem sercalculadas como se elas fossem macias.
Tambm foi salientado que a espessuraequivalente deve ser determinada no estdio I, paraevitar os erros de modelagem do comportamentono-linear aps a fissurao do concreto. Alis,esse comportamento no-linear tem levado ainterpretaes erradas quanto rigidez toro daslajes nervuradas, como foi salientado em [1].
Tem sido mostrado em trabalhos de pesquisa
que as lajes macias de concreto armado secomportam no estdio I para toda a faixa docarregamento de servio [3]. Em alguns casos degrandes vos e/ou cargas de servio elevadas,surgem algumas fissuras nas regies maissolicitadas das lajes macias. Entretanto, mesmonesses casos, possvel admitir umcomportamento elstico linear, com razovel
preciso.Por outro lado, deve-se esperar que as lajes
nervuradas sofram um moderado processo defissurao, ainda para as cargas de servio. Dessa
forma, o modelo elstico linear no ser suficientepara a anlise dessas lajes.
O objetivo deste trabalho complementar asinformaes contidas em [1,2], introduzindo osefeitos da fissurao do concreto na anlise das
lajes nervuradas de concreto armado. Como foimostrado que essas lajes podem ser analisadascomo lajes macias de espessura equivalente,emprega-se um modelo nico para as lajes maciase para as lajes nervuradas.
O modelo bilinear apresentado a seguir permiteanalisar o comportamento das lajes de concretoarmado at a ocorrncia do primeiro escoamentoda armadura, no ponto mais solicitado da laje.Aps esse estgio, inicia-se o processo de
propagao das linhas de ruptura, o que no
considerado no modelo.
2. MODELO BILINEAR PARA LAJES DECONCRETO ARMADO
As lajes de concreto armado, assim como asvigas, sofrem uma reduo da rigidez na passagemdo estado no fissurado (estdio I) para o estadofissurado (estdio II). Quando a taxa de armadura
pequena, a diminuio no valor da rigidez pode ser
to grande que a laje entra em ruptura logo aps afissurao. Por isso, as normas de projeto exigem
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uma armadura mnima para as peas fletidas deconcreto armado.
Para calcular corretamente as flechas das lajesno estdio II, necessrio levar em conta acolaborao do concreto tracionado entre fissuras.Isto pode ser feito de diversas maneiras, como
apresentado na referncia [4].A forma mais simples de se modelar o
comportamento descrito, consiste em fazer umainterpolao linear dos resultados obtidos noestdio I e no estdio II. Assim, a relao carga-flecha da laje pode ser representada pelo modelo
bilinear indicado na fig. 1.
Pr
Wr We
Pe
carga
flecha
Estdio I
Estdio II
P
W
Fig. 1 Modelo bilinear para clculo de flechas
em lajes de concreto armadoA rigidez da laje no estdio I dada por
( )23
1112
= ecshE
D (1)
onde o mdulo de deformao longitudinal
secante ecsE
o coeficiente de Poisson doconcreto.
Para as lajes macias, representa a espessurareal da laje. Para as lajes nervuradas, a
espessura equivalente, conforme definido em [2].
eh
eh
Na fig. 2, representa-se uma seo transversaltpica de uma laje nervurada.
b
h
hf
b
S
lo
Fig. 2 Seo transversal de laje nervurada
Empregando o processo simplificado sugeridona referncia [2], obtm-se a espessura equivalenteda laje nervurada
( )[ ] 31331 fe hhh += (2)
onde a espessura total da laje e a
espessura da mesa.
h fh
O coeficiente dado por
( )
yx
yyxx
SS
bSbS = (3)
onde , so as larguras das nervuras e ,
so as distncias entre os eixos das nervurassegundo as direes
xb yb xS
ySx e y , respectivamente.
O momento de fissurao rM obtido pormeio da expresso
cte
r fh
M6
2
= (4)
onde a resistncia trao do concreto.ctf
A carga de fissurao rP aquela que provocaum momento fletor mximo na laje, , igual
ao momento de fissuraomaxM
rM . Esse momentomximo determinado atravs de uma anliseelstica linear, empregando-se a teoria de placas econsiderando a rigidez no estdio I dada naequao (1). Para as lajes retangularessimplesmente apoiadas, ocorre no centro,
onde se admite iniciar o processo de fissurao.maxM
Assim, se a carga P menor ou igual carga
de fissurao rP , obtm-se a flecha Wconsiderando a rigidez dada na equao (1).1D
Se rPP> , necessrio fazer uma interpolaolinear, como indicado na fig.1.
A rigidez da laje no estdio II puro determinada para as sees transversais indicadasna fig. 3.
As taxas de armadura nas duas direes so
d
Asxx = ; d
Asyy = (5)
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onde e so as reas de ao por unidade de
comprimento, segundo as direessxA syA
x e y ,respectivamente, e d a altura til mdia.
Para a altura til , considera-se o valor real,ou seja, a distncia do centride das armadurastracionadas at a face superior comprimida da laje.Assim, no caso das lajes nervuradas, deve resultar
, pois a espessura equivalente menor que a
espessura real da laje.
d
ehd>
d he
dAsx Asy
1 1
Direo x Direo y
Fig. 3 Sees da laje nas direes x e y
A profundidade da linha neutra no estdio II,segundo as duas direes, dada por
( ) xxxx nnn 22 ++= (6)
( ) yyyy nnn 22 ++= (7)
onde css EEn= a relao entre o mdulo de
elasticidade do ao, , e o mdulo secante do
concreto, .sE
csE
Nas lajes nervuradas, deve-se ter dhfx e
dhfy para garantir que apenas a mesa
contribui para a rigidez no estdio II.A rigidez no estdio II nas direes x e y
dada por
( )( )
32
22
163 dED xxcsx
=
(8)
( )( )
32
2
216
3dED
yycsy
=
(9)
como apresentado na referncia [4].Conforme se observa, se as armaduras forem
diferentes nas duas direes, a laje serortotrpica. Para simplificar a anlise, considera-se
a laje isotrpica com a rigidez equivalentedada por
2D
yxDDD 222 = (10)
Os momentos de escoamento das armaduras,segundo as duas direes, so dados por
( )( ) yx
xxex fd
nM 2
2
16
3
= (11)
( )( ) yy
yyey fd
nM 2
2
16
3
= (12)
onde a tenso de escoamento do ao.yf Atravs de uma anlise elstica linear, obtm-seos momentos fletores positivos mximos e
, segundo as direesxM
yM x e y , respectivamente.
Esses momentos so obtidos para uma carga dereferncia.
Como a anlise linear, os momentos fletoresso proporcionais carga. Ento, pode-sedeterminar a carga , tal queexP exx MM = .
Analogamente, determina-se a carga , tal queeyPeyy MM = . A carga de escoamento o menor
dos dois valores de carga obtidos.eP
Considerando a carga de escoamento e a
rigidez no estdio II dada na equao (10), obtm-se a flecha , atravs de uma anlise linear.
Desse modo, ficam definidos todos os valores decarga e flecha indicados na fig. 1.
eP
eW
Finalmente, a flecha W, correspondente carga
rPP> , dada por
t
rr
K
PPWW
+= (13)
onde
re
ret
WW
PPK
= (14)
3. ANLISE DE LAJES NERVURADAS
As lajes nervuradas ensaiadas por Abdul-Wahab e Khalil[5] so utilizadas para a verificaodo modelo de laje macia equivalente, associado
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ao modelo bilinear descrito anteriormente. Essesautores ensaiaram 6 lajes nervuradas armadas emcruz.
Todas as lajes so quadradas e simplesmenteapoiadas no contorno. As lajes foram submetidas auma carga concentrada P aplicada no centro. A
carga foi distribuda em uma rea de 15 x 15 cm,por meio de uma placa de ao colocada sob acarga, como indicado na fig. 4.
a=150cm
b=150cm
c=15
q=P/c2
c=15
y
x
Fig. 4 Carregamento das lajes nervuradas
Na tabela 1, apresentam-se as dimenses das
lajes nervuradas.Tabela 1 Dimenses das lajes nervuradas (cm)
Laje fh h b ol S
S1 2,0 9,5 5,2 8,4 13,6S2 2,0 9,5 5,2 11,5 16,7S3 2,0 9,5 5,2 16,2 21,4S4 2,0 9,5 5,2 24,8 30,0S5 2,0 12,5 5,7 11,0 16,7S6 2,0 6,5 4,7 12,0 16,7
Na utilizao do modelo bilinear, emprega-se omdulo secante do concreto , o qual
estimado por meio da relaocsE
31
102150085,0
= cmcs
fxE , MPa (15)
conforme sugerido pelo CEB/90[6].
A resistncia trao do concreto estimadacomo
32
1040,1
= cmct
ff , MPa (16)
Nas equaes (15) e (16), representa a
resistncia mdia compresso do concreto aos 28
dias de idade. Os valores de foramdeterminados para cada uma das lajes ensaiadas.
cmf
cmf
Para o coeficiente de Poisson do concreto,adota-se 2,0= .
A tenso de escoamento das armadurasempregadas nos ensaios MPa. Para o
mdulo de elasticidade do ao, adota-se
398=yf
200=sE GPa.
Na tabela 2, apresentam-se as propriedades doconcreto utilizadas na anlise.
Tabela 2 Propriedades do concretoLaje cmf (MPa) csE (MPa) ctf (MPa)
S1 31,3 26732 3,00S2 32,0 26930 3,04S3 31,4 26760 3,00S4 28,9 26030 2,84S5 29,9 26327 2,91S6 29,1 26090 2,85
Na tabela 3, apresentam-se as reas de ao
sysxs AAA == , por unidade de comprimento, a
altura til d e a espessura equivalente das lajesnervuradas , obtida com o emprego da equao
(2). Conforme se observa, a altura til maior quea espessura equivalente.
eh
Tabela 3 Armaduras e espessura equivalente
Laje eh (cm) d(cm) sA (cm2/m)
S1 8,11 8,30 3,70S2 7,69 8,30 3,01S3 7,18 8,30 2,35S4 6,52 8,30 1,68S5 10,35 11,30 3,01S6 5,15 5,30 3,01
Nos ensaios, as lajes foram submetidas a umacarga P , aplicada no centro sobre uma placa deao de 15 x 15 cm, conforme indicado na fig. 4.
Para a anlise numrica, pode-se admitir que acarga se distribui ao longo da espessura da lajeconforme indicado na fig. 5. Essa distribuio a
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mesma empregada na verificao da resistncia puno das lajes, conforme os critrios do CEB/90[6] e da NBR-6118 [7].
c+4d
c=15 cm
d2
1
q
q'
Fig. 5 Distribuio da carga aplicada em
uma rea reduzida
De acordo com a fig. 5, pode-se fazer a anliseconsiderando as seguintes hipteses de carga:
A) Sem levar em conta a distribuio da carga aolongo da espessura da laje
Considera-se a carga distribuda na rea
cm22 15=c 2. O valor da carga uniforme nesta
rea 2cPq= .
B) Considerando a distribuio da carga ao longoda espessura da laje Considera-se a carga distribuda na rea
, onde a altura til da laje. A carga
uniforme nesta rea vale
( 24dc+ ) d
( )24dcPq += .
Enquanto a laje estiver no estdio I, os doisprocedimentos fornecem valores prximos para aflecha no centro da laje. Entretanto, aps afissurao as diferenas so muito grandes.
Isto ocorre porque a carga de fissurao rP e a
carga de escoamento , usadas na definio domodelo bilinear, so muito influenciadas pelotamanho da regio carregada. medida que essarea reduzida, os momentos fletores obtidos pelateoria de placas crescem muito. No limite, quandoa rea carregada tende a zero, os momentosfletores tendem a infinito.
eP
Uma vez que os momentos mximos soutilizados para o clculo das cargas rP e ,
verifica-se que a soluo varia bastante com o
tamanho da rea carregada. Para mostrar essainfluncia, consideram-se essas duas hipteses decarga.
eP
As relaes carga flecha no centro da laje soapresentadas nas figuras 6 a 11.
Conforme se observa por essas figuras, osresultados experimentais evidenciam que a cargaaplicada na face superior da laje se distribui comuma inclinao 1:2 ao longo da espessura. A carga
de fissurao rP e a carga , correspondente aoincio do escoamento da armadura, podem ser
obtidas para a carga distribuda
eP
( )24dcPq += .Se essa distribuio no for feita, haver umasubavaliao da rigidez da laje no estdio II.
Finalmente, verifica-se que o modelo bilinear adequado para representar o comportamento daslajes nervuradas at o incio do escoamento dasarmaduras. Aps essa carga de escoamento, ocorrea propagao das linhas de ruptura at o colapso
final da laje. A carga de ruptura sensivelmentemaior que a carga .eP
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
Flecha no centro da laje (mm)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Carg
aP
(kN)
q'=P/(c+4d)**2
q=P/c**2
Experimental
Laje S1
Fig. 6 Resposta para a laje nervurada S1
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0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0
Flecha no centro da laje (mm)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
CargaP
(kN)
q'=P/(c+4d)**2
q=P/c**2
Experimental
Laje S2
Fig. 7 Resposta para a laje nervurada S2
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0
Flecha no centro da laje (mm)
0
10
20
30
40
50
60
CargaP
(kN)
q'=P/(c+4d)**2
q=P/c**2
Experimental
Laje S3
Fig. 8 Resposta para a laje nervurada S3
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0Flecha no centro da laje (mm)
0
10
20
30
40
50
CargaP
(kN)
Experimental
q'=P/(c+4d)**2
q=P/c**2
Laje S4
Fig. 9 Resposta para a laje nervurada S4
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0
Flecha no centro da laje (mm)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
CargaP
(kN)
Experimental
q'=P/(c+4d)**2
q=P/c**2
Laje S5
Fig. 10 Resposta para a laje nervurada S5
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
Flecha no centro da laje (mm)
0
10
20
30
40
CargaP
(kN)
Laje S6
Experimental
q'=P/(c+4d)**2
q=P/c**2
Fig. 11 Resposta para a laje nervurada S6
4. ANLISE DE LAJES MACIAS
Duas lajes macias, com o carregamento e os
vos indicados na fig. 4, tambm foram ensaiadaspor Abdul-Wahab e Khalil[5]. As propriedades doconcreto, dimenses e armaduras dessas lajes sofornecidas na tabela 4.
Nas figuras 12 e 13 so apresentadas as relaescarga flecha no centro das lajes macias.
Conforme se observa, o modelo acompanha osresultados experimentais at a carga de fissuraoterica. Entretanto, a carga terica rP menorque a carga de fissurao verificada nos ensaios,mesmo quando se considera a carga distribuda
( )24dcPq += . Isto indica que esseprocedimento de distribuio da carga aplicada em
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uma rea reduzida fica a favor da segurana. Acarga de ruptura e a rigidez das lajes, verificadasexperimentalmente, so superiores quelasdeterminadas com o modelo terico.
Tabela 4 Lajes macias de Abdul-Wahab e
KhalilLaje cmf (MPa) csE (MPa) ctf (MPa)
S7 36,0 28008 3,29S8 28,5 25910 2,81
Laje eh (cm) d(cm) sA (cm2/m)
S7 7,50 6,30 3,01S8 9,50 8,30 3,01
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
Flecha no centro da laje (mm)
0
10
20
30
40
50
CargaP
(kN)
Laje S7
Experimental
q'=P/(c+4d)**2
q=P/c**2
Fig. 12 Resposta para a laje macia S7 de
Abdul-Wahab e Khalil
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
Flecha no centro da laje (mm)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
CargaP
(kN)
Laje S8
Experimental
q'=P/(c+4d)**2
q=P/c**2
Fig. 13 Resposta para a laje macia S8 de
Abdul-Wahab e Khalil
Trs lajes macias ensaiadas por Taylor et al [8]tambm so analisadas com o modelo bilinear.
Neste caso, as lajes so quadradas e possuem vos183== ba cm. As lajes so simplesmente
apoiadas no contorno e submetidas a uma cargauniformemente distribuda em toda a sua
superfcie.Na tabela 5 apresentam-se as propriedades do
concreto das trs lajes.
Tabela 5 Propriedades do concreto das lajes deTaylor et al
Laje cmf (MPa) csE (MPa) ctf (MPa)
S1 35,0 27747 3,23S7 38,2 28568 3,42S9 33,2 27263 3,12
A tenso de escoamento das armadurasempregadas nos ensaios MPa. As lajes
so armadas com armaduras diferentes nas duasdirees, conforme se indica na tabela 6.
376=yf
Tabela 6 Armaduras das lajes de Taylor et alLaje eh
(cm)
d(cm)
sxA
(cm2/m)syA
(cm2/m)S1 5,10 4,15 2,34 2,80
S7 4,40 3,45 2,80 3,18S9 7,60 6,65 1,46 1,56
Nas figuras 14 a 16 so apresentadas as relaescarga total flecha no centro das lajes. Observa-seque o modelo bilinear acompanha bem osresultados experimentais at a carga deescoamento . Para as lajes S1 e S7, a carga de
ruptura bem maior que .eP
eP
A laje S9 tem uma ruptura brusca, aps a
fissurao, pois a taxa de armadura muito baixa.Entretanto, a carga de ruptura maior que ,
mesmo neste caso.eP
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0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0
Flecha no centro da laje (mm)
0
20
40
60
80
100
120
Cargato
tal(kN)
Laje S1
Experimental
Modelo
Fig. 14 - Resposta para a laje macia S1 de
Taylor et al
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0
Flecha no centro da laje (mm)
0
20
40
60
80
100
120
140
Cargatotal(kN)
Laje S7
Experimental
Modelo
Fig. 15- Resposta para a laje macia S7 de
Taylor et al
0.0 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0Flecha no centro da laje (mm)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Cargatotal(kN) Laje S9
Experimental
Modelo
Fig. 16 - Resposta para a laje macia S9 de
Taylor et al
5. CONCLUSES
Em funo dos resultados apresentados nestetrabalho, podem ser tiradas as seguintesconcluses: O modelo bilinear satisfatrio para a
avaliao das deformaes das lajes macias e daslajes nervuradas de concreto armado. Essas ltimas
podem ser analisadas como laje macia com umaespessura equivalente. Isto demonstra que as lajesnervuradas possuem boa rigidez toro e que elas
podem ser analisadas como laje macia, conformefoi mostrado nos trabalhos anteriores [1,2]. Uma carga aplicada em rea reduzida pode serdistribuda segundo uma inclinao 1:2 at o nveldas armaduras, para o clculo das flechas e dacapacidade de carga das lajes de concreto armado. O modelo bilinear representa bem osresultados experimentais no estdio I e no estdioII, at o incio do escoamento das armaduras. A carga , correspondente ao incio do
escoamento das armaduras, bem inferior cargade ruptura. As lajes de concreto armado possuemgrande capacidade de redistribuio de esforos eapresentam uma boa reserva de segurana.
eP
REFERNCIAS
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