Arbori si osii

Arborii sunt organe de masini cu miscare de rotatie destinate sa sustina alte organe de masini (roti dintate, roti de lant, roti de curea, semicuplaje etc.) în miscare de rotatie si sa transmita momente de torsiune în lungul axei lor.

Osiile sunt organe de masini cu miscare de rotatie sau fixe destinate numai sustinerii unor organe de masini în miscare de rotatie. Osiile nu transmit momente de torsiune.

Arborii si osiile au si rolul de a prelua fortele de la organele de masini montate pe acestea si de a le transmite reazemelor (lagare cu rostogolire sau cu alunecare).

Partile componente ale unui arbore sunt (fig. 5.1):

corpul arborelui (a);

portiunile de calare (b);

portiunile de reazem (c) numite si fusurile arborelui.

Portiunile de calare sunt zonele pe care se monteaza organele de masini sustinute de arbore. Acestea se pot executa cu suprafete cilindrice sau conice. Cele mai utilizate sunt portiunile de calare cu suprafata cilindrica, mai usor de prelucrat. Suprafetele conice se utilizeaza pentru portiunile de calare pe care au loc montari si demontari frecvente ale organele de masini sustinute de arbore (roti de schimb etc.) si când se impune o centrare foarte precisa a acestora.

Portiunile de reazem (fusurile) sunt zonele de sprijin ale arborelui în lagarele cu rostogolire sau cu alunecare. De regula, acestea sunt dispuse în apropierea capetelor arborilor si pot fi executate cu suprafete cilindrice, conice sau sferice.

Pentru lagarele cu rostogolire, fusurile se executa cilindrice relativ scurte - în cazul montarii unui singur rulment cu corpurile de rostogolire dispuse pe un rând, sau mai lungi - în cazul montarii a doi rulmenti sau a unui rulment având corpurile de rostogolire dispuse pe doua sau mai multe rânduri. Diametrele acestor fusuri se aleg dupa diametrul interior al rulmentului. Uneori, fusurile arborelui se executa conice având conicitatea egala cu cea a alezajului rulmentilor oscilanti cu bile sau cu role butoi, rumentilor cu role cilindrice de marime mare etc.

Pentru lagarele cu alunecare, fusurile se executa cilindrice, conice sau sferice, cele mai utilizate fiind fusurile cilindrice care au diametrul mai mic decât al treptei alaturate, pentru simplificarea montajului si pentru obtinerea de umeri de sprijin pentru fixarea axiala a lagarelor. Fusurile conice se folosesc pentru a avea posibilitatea reglarii jocului din lagar - prin deplasarea axiala a arborelui - iar cele sferice doar în cazul unor arbori elastici, cu deformatii de încovoiere foarte mari.

Clasificarea arborilor si osiilor, pe baza principalelor criterii de clasificare, este prezentata în tabelul 5.1 [23].

Tabelul 5.1

Fig. 5.1 Partile componente ale unui arbore

Criteriul de clasificare Tipul arborilorForma axei geometrice Arbori drepti Arbori cotiti Arbori flexibiliDestinatia Arbori de transmisie Arbori principali ai masinilor unelteSectiunea arborelui pe lungime Arbori cu sectiuneconstanta Arbori cu sectiune variabila în trepteForma sectiunii transversale Arbori cu sectiune plina Arbori cu sectiune tubularaForma suprafetei exterioare Arbori netezi Arbori canelatiRigiditatea Arbori rigizi Arbori elastici

Numarul reazemelorArbori static determinati

(cu doua reazeme)

Arbori static nedeterminati

(cu mai mult de doua reazeme)Pozitia axei geometrice Arbori orizontali Arbori înclinati Arbori verticaliCriteriul de clasificare Tipul osiilorNatura miscarii Osii fixe Osii rotitoareForma axei geometrice Osii drepte Osii curbateForma sectiunii transversale Osii cu sectiunea plina Osii cu sectiunea tubulara

Numarul reazemelorOsii static determinate

(cu doua reazeme)

Osii static nedeterminate

(cu mai mult de doua reazeme)Pozitia axei geometrice Osii orizontale Osii înclinate sau verticaleObservatie: Cu caractere aldine s-au notat arborii si osiile care vor fi tratate în acest curs

       Arborii drepti sunt frecvent utilizati în transmisiile mecanice, sectiunea transversala a acestora, pe lungime, putând fi constanta (fig.5.2, a) sau variabila (fig. 5.2, b.e), depinzând de repartitia sarcinilor (momente de torsiune, momente de încovoiere, forte axiale etc.) în lungul axei lor si de tehnologia de executie si de montaj aleasa. Arborii cu sectiune constanta se utilizeaza când sunt solicitati numai la torsiune, momentul de torsiune fiind constant pe întreaga lungime a arborelui. Când arborii sunt solicitati la torsiune si încovoiere, se utilizeaza sectiunea variabila în trepte, aceasta asigurând urmatoarele avantaje: apropierea arborelui de o grinda de egala rezistenta la încovoiere, prezenta unor umeri de sprijin pentru fixarea axiala a organelor de masini sustinute, montajul usor al acestor organe de masini fara deteriorarea altor suprafete ale arborelui. În cazul arborilor de dimensiuni mari, unele trepte de trecere se executa conice, arborele apropiindu-se si mai mult de o grinda de egala rezistenta la încovoiere,

       Arborii netezi (fig. 5.2, b) se folosesc în constructia reductoarelor, iar arborii canelati (fig. 5.2, c) se folosesc în constructia cutiilor de viteze, a cutiilor de distributie, a diferentialelor autovehiculelor etc.

       Arborii tubulari (fig. 5.2, d) se folosesc când se impun conditii severe de greutate (când

diametrul interior al arborelui tubular este jumatate din cel exterior, greutatea acestuia se micsoreaza cu 25%, iar rezistenta

la încovoiere cu numai 6,25% [16]) sau atunci când este necesara trecerea prin arbore a unui alt arbore (exemple: arborii coaxiali ai unor cutii de viteze planetare; arborii cutiilor de viteze cu axe fixe ale unor tractoare prin interiorul carora trece arborele prizei de putere).

       Principalele domenii de folosire a arborilor drepti sunt: reductoarele de turatii cu axe fixe, transmisiile automobilelor, tractoarelor, masinilor agricole, utilaje tehnologice, masinilor unelte, toate transmisiile cu angrenaje etc.

       Osiile fixe pot fi cu axa geometrica dreapta (fig. 5.3, a) sau curbata si se întâlnesc la masini de ridicat, la sustinerea rotilor intermediare, respectiv la puntile nemotoare ale autovehiculelor. Osiile rotitoare (fig. 5.3, b) au, de regula, axa geometrica dreapta si sectiunea aproape constanta pe toata lungimea si se rotesc împreuna cu organele de masini sustinute. Se întâlnesc, cu precadere, la vagoanele de cale ferata.

      

MATERIALE SI TEHNOLOGIE

Materialele din care se executa arborii drepti si osiile se aleg functie de conditiile de rezistenta si rigiditate impuse, de natura organelor de masini sustinute si de tipul lagarelor (cu alunecare sau cu rostogolire).

Arborii drepti si osiile se executa, de regula, din oteluri carbon sau aliate, iar în cazul unor dimensiuni foarte mari din fonta. Otelurile aliate se recomanda în cazul când pinionul este executat din astfel de oteluri si este corp comun cu arborele, la turatii de functionare foarte ridicate, în cazul arborilor puternic solicitati si cu restrictii de gabarit, la osiile autovehiculelor etc.

Pentru arborii drepti si osii, se recomanda:

.       oteluri de uz general pentru constructii (OL 42, OL 50, OL 60 STAS 500/2), pentru arborii care nu necesita tratament termic;

.       oteluri carbon de caliate de îmbunatatire (OLC 45, OLC 60 STAS 880) sau oteluri aliate de îmbunatatire (40 Cr 10, 41 CrNi 12 etc. STAS 791), pentru arbori puternic solicitati si/sau durata mare de functionare impusa lagarelor sau canelurilor;

.       oteluri carbon de calitate de cementare (OLC 10, OLC 15 STAS 880) sau oteluri aliate de cementare (13 CrNi 30, 28 TiMnCr 12 etc. STAS 791), pentru arbori puternic solicitati si pentru arbori care functioneaza la turatii ridicate.

Semifabricatele pentru arbori si osii pot fi: bare laminate, pentru diametre sub 140 mm; bare laminate cu forjare ulterioara; bare laminate cu matritare ulterioara, în cazul productiei de de serie mare; semifabricate turnate, în cazul arborilor si osiilor de dimensiuni foarte mari. Executia arborilor din bare laminate cu forjare sau matritare ulterioara conduce la obtinerea unui semifabricat apropiat de forma finala a arborelui - cu importante economii de material, manopera si energie - si la realizarea unui fibraj continuu care urmareste forma arborelui, cu efect direct asupra maririi rezistentei acestuia.

Tehnologia de fabricatie a arborilor si osiilor consta în: strunjirea suprafetelor cilindrice sau conice si a filetelor, frezarea canalelor de pana sau a canelurilor - operatii executate înainte de tratamentul termic - rectificarea fusurilor, a portiunilor de calare, a suprafetelor canelurilor - operatii executate dupa tratamentul termic.

Tratamentele termice sau termochimice aplicate depind de materialul din care se executa arborii, putând fi: îmbunatatire sau îmbunatatire si calire superficiala a fusurilor, canelurilor, portiunilor de calare etc.; cementare urmata de calire a fusurilor, portiunilor de calare si a canelurilor; nitrurare etc.

STABILIREA PUNCTELOR DE APLICAŢIE ALE FORŢELOR EXTERIOARE sI ALE REACŢIUNILOR DIN LAGĂRE

Stabilirea punctelor de aplicatie ale fortelor exterioare

a

b

Fig. 5.3 Osii

Asupra unui arbore actioneaza forte - provenite de la rotile de transmisie montate pe acesta (roti dintate, roti de curea, roti de lant etc.) sau de la manivelele unor mecanisme - numite forte exterioare. Aceste forte actioneaza în plane normale pe axa arborelui sau în plane axiale fiind paralele cu axa arborelui. Fortele normale sunt fortele tangentiale si radiale din angrenaje, fortele din transmisiile prin curele sau lant, fortele din manivelele mecanismelor etc. si se transmit arborelui prin contactul dintre butuc si arbore. Fortele axiale provin în general din angrenaje (fortele axiale care apar la angrenajele cilindrice cu dantura înclinata, conice, melcate etc.) si se transmit arborelui prin intermediul umerilor sau a unor inele de sprijin.

Fortele exterioare actioneaza asupra arborilor într-un singur plan - fortele din transmisiile prin curea sau prin lant - sau în doua plane perpendiculare - fortele din angrenaje (fortele tangentiale actioneaza într-un plan, iar fortele radiale si cele axiale în celalalt plan).

Relatiile de determinare a marimilor fortelor exterioare sunt prezentate la capitolele respective (angrenaje, transmisii prin curele, transmisii prin lant etc.) [5, 11]. Pe lânga marimea fortelor exterioare, pentru întocmirea schemei de calcul al arborelui, intereseaza si punctul de aplicatie al acestor forte.

     

                 

Fig. 5.6 Forte exterioare provenite de la                         Fig. 5.7 Forte exterioare provenite de la

 roti dintate cilindrice                                                         roti dintate conice

Fortele exterioare se transmit acestuia prin presiuni de contact, cu distributie neuniforma, între arbore si organele de masini sustinute de acesta. Pentru simplificarea calculelor, aceste presiuni se înlocuiesc cu forte concentrate, care sunt chiar fortele exterioare.

Modul de stabilire a punctelor de aplicatie a sarcinilor exterioare, pentru calcule uzuale, este prezentat în [23]: fig.5.5, pentru o roata de curea sau de lant; fig. 5.6, pentru roti dintate cilindrice cu dantura dreapta (a) sau înclinata (b); fig. 5.7, pentru o roata  cu dantura conica.

Pentru calcule mai precise, fortele exterioare normale pe axa arborelui se pot modela prin doua sarcini concentrate, de marime egala cu 0,5 din valoarea fortei exterioare, dispuse fiecare la distanta (0,2.0,3) din latimea rotii fata de lagare.

              Stabilirea punctelor de aplicatie ale reactiunilor din lagare

Pe lânga fortele exterioare, asupra unui arbore dintr-o transmisie mecanica actioneaza si forte de reactiune (reactiunile din lagare). Aceste forte sunt, de fapt, rezultantele presiunii de contact - cu distributie neuniforma - dintre fusurile arborelui si lagarele acestuia. Pentru simplificarea calculelor, aceste presiuni se înlocuiesc cu forte concentrate (reactiuni în lagare).

Determinarea marimii reactiunilor din reazeme se face functie de schema de încarcare a arborelui cu forte exterioare si de distantele dintre fortele exterioare si dintre acestea si reactiunile din lagare. Stabilirea distantelor se face functie de punctele de aplicatie ale fortelor exterioare, dar si de punctele de aplicatie ale reactiunilor din cuple, care sunt functie de tipul lagarului. Modul de stabilire a punctelor de aplicatie ale reactiunilor în functie de tipul lagarului - cu rostogolire sau cu alunecare - este prezentat în: fig. 5.8, pentru rulmenti radiali cu bile sau cu role cilindrice, dispuse pe un rând; fig. 5.9, pentru rulmenti radial-axiali cu bile sau cu role conice dispuse pe un rând; fig. 5.10, pentru doi rulmenti radiali cu bile montati în acelasi lagar; fig. 5.11, pentru doi rulmenti radiali-axiali cu bile sau cu role conice, dispusi în "X" (aranjament DF, spate în spate), în "O" (aranjament DB, fata în fata)  sau în tandem (aranjament DT); fig. 5.12, pentru un lagar cu alunecare.

Latimile rulmentilor B  (v. fig. 5.10) si distanta de la marginea rulmentului la punctul de aplicatie a reactiunii a (v. fig. 5.9 si 5.11) se iau din catalogul de rulmenti, iar distanta a2 (v. fig. 5.11) se determina constructiv functie de distanta a si de latimea inelelor distantiere dintre rulmenti.

Distanta a1 (v. fig. 5.11), care stabileste deplasarea axiala a punctului de aplicatie a reactiunii, în cazul montarii rulmentilor radial-axiali cu bile sau cu role conice dispusi în O (aranjament DB, fata în fata), se determina, pe baza figurii 5.13, dupa indicatiile date în continuare.

.       Se întocmeste schema de calcul considerând ca punctul de aplicatie

al reactiunii   este la mijlocul distantei dintre rulmenti (punctul B' din fig. 5.14, a).

.       Se întocmeste schema de calcul prin încarcarea arborelui cu fortele exterioare în cele doua plane, orizontal (H) si vertical (V).

.       Se determina marimile reactiunilor  , respectiv   din cele doua plane caracteristice si apoi reactiunea din

punctul B',  .

.       Se determina forta axiala suplimentara  , Yfiind factorul axial care se ia din catalogul de rulmenti.

.       În functie de tipul rulmentilor radial-axiali, cu bile sau cu role conice, si de raportul  , din fig. 5.13 [110] se

determina raportul   si cunoscând distanta a2, se calculeaza distanta a1.

.       Se determina distanta   stabilindu-se pozitia punctului de aplicatie al reactiunii RB. Cu distanta dintre reactiuni l se recalculeaza reactiunile RAsi RB.

Fig. 5.14 Schema de calcul a reactiunilor din lagare, pentru un montaj care cuprinde rulmenti radial-axiali în aranjament DB

CALCULUL ARBORILOR

Solicitarile arborilor si ciclurile  de variatie ale acestora

Sub actiunea fortelor exterioare si a momentelor de torsiune pe care le transmit, arborii sunt solicitati la torsiune, încovoiere si tractiune sau compresiune. Aceste solicitari actioneaza simultan, deci arborii sunt supusi la solicitari compuse. Ca urmare a acestor solicitari, în interiorul arborelui apar tensiuni interne - normale sau tangentiale - si tensiuni de suprafata - de strivire - între arbore si organele de masini sustinute.

Principalele solicitari sunt solicitarea de torsiune si cea de încovoiere. Aceste solicitari pot duce la ruperea statica a arborilor, iar variatia acestora dupa cicluri de solicitare diferite pot duce la ruperea arborelui prin oboseala materialului, în zonele cu concentratori de tensiune.

Fig. 5.15 Variatia tensiunilor de încovoiere datorita rotatiei arborelui

Cele mai uzuale situatii de functionare a arborilor sunt când directia sarcinii este constanta, caz în care, la o rotatie completa a arborelui, fiecare fibra a materialului trece odata prin dreptuldirectiei sarcinii. În acest mod functioneaza arborii reductoarelor de turatie, cutiilor de viteze, de distributie si transmisiile centrale ale autovehiculelor, transmisiilor masinilor unelte etc. Ca urmare a acestui mod de functionare, tensiunea de încovoiere variaza dupa un ciclu alternant simetric (fig. 5.15). Fibrele arborelui sunt supuse alternativ la compresiune (fibra A) sau la tractiune (fibra B), iar dupa o rotire a arborelui cu 180º, la compresiune (fibra B) si la tractiune (fibra A).

Tensiunile de torsiune pot fi constante (exemplu: arborii transmisiilor de actionare a ventilatoarelor si pompelor de debit si presiune constante, cu rare întreruperi în functionare) sau variabile, dupa un ciclu pulsator (exemplu: arborii transmisiilor care functioneaza cu încarcari si descarcari frecvente sau cu opriri dese) sau alternant simetric (exemplu: arborii amplasati dupa cutia de viteze din transmisiile tractoarelor industriale sau de îmbunatatiri funciare, tractoare care functioneaza cu schimburi frecvente ale sensului de deplasare, înainte si înapoi).

Schitele ciclurilor de variatie a tensiunilor de încovoiere si de torsiune si caracteristicile acestor cicluri sunt prezentate în tabelul 5.2.

Tabelul 5.2

Caracteristicile ciclului

Denumirea cicluluiAlternant simetric Pulsator Constant

Schita

ciclului de solicitare

Tensiunea maxima

Tensiunea minima

Tensiunea medie σm, τm

Amplitudinea ciclului σv, τv

Coeficientul de asimetrie a ciclului R

Calculul de rezistenta al arborilor

Pentru a prelua tensiunile de interior (de torsiune si de încovoiere) diversele diametre ale arborelui se determina din conditii de rezistenta sau din conditii constructive. Pentru a rezista la solicitari variabile (oboseala), datorita variatiei tensiunilor de încovoiere si/sau de torsiune, sectiunile cu concentratori de tensiuni se verifica prin calcule la solicitari variabile.

În continuare, se prezinta etapele si recomandarile pentru calculul arborilor.

Calculul de predimensionare

Predimensionarea are drept scop determinarea preliminara a diametrului arborelui, necesar la întocmirea schemei subansamblului arbore - organe de masini sustinute si de rezemare si la întocmirea schemei de calcul la solicitari compuse. Predimensionarea se face din conditia de rezistenta la solicitarea de torsiune, utilizând o rezistenta admisibila conventionala, care prin valorile reduse acceptate evidentiaza faptul ca arborele este solicitat si la încovoiere.

În cazul arborilor plini, diametrul se determina cu relatia

,                                                                                                       (5.1)

iar în cazul arborilor tubulari, cu relatia

,                                                          (5.2)

alegându-se, initial, raportul dintre diametrul interior d1 si cel exterior d al arborelui din intervalul   [16]. Diametrele obtinute se rotunjesc la valori întregi.

       Tensiunea admisibila conventionala se alege din intervalul   MPa, valorile mai mari se recomanda în cazul arborilor scurti, iar valorile mai mici în cazul arborilor lungi. În cazul unor arbori foarte rigizi si la care deformatiile de încovoiere nu conduc la functionari incorecte ale ansamblului respectiv (de exemplu, arborele de iesire din reductoarele cu

doua sau trei trepte), se pot lua si valori mai mari pentru rezistenta admisibila conventionala la torsiune,   MPa. Pentru arborii reductoarelor cu doua trepte, se recomanda urmatoarele valori pentru rezistentele admisibile

conventionale la torsiune:   MPa, pentru arborele de intrare;  MPa, pentru arborele

intermediar;   MPa, pentru arborele de iesire.

Calculul la solicitari compuse

Pentru calculul la solicitari compuse, arborele trebuie reprezentat sub forma unei grinzi, pe doua reazeme, încarcata cu fortele exterioare provenite de la organele de masini sustinute de acesta. Pentru a întocmi aceasta schema de calcul, este necesar sa se realizeze schita subansamblului arbore - organe de masini sustinute - lagare cu rulmenti, schita care se întocmeste numai dupa ce s-a efectuat calculul angrenajelor, s-au ales preliminar rulmentii si sistemul de etansare.

Fig. 5.16 Schita subansamblului arborilor de intrare si intermediar ai unui reductor cilindric cu doua trepte

      diametrul obtinut la predimensionare este diametrul portiunii de calare a rotii, pentru arborele intermediar si cel de iesire, si diametrul de lânga pinion pentru arborele de intrare;

      la stabilirea diametrelor treptelor arborelui se tine seama de marimea umerilor de sprijin pentru organele de masini sustinute (roti dintate, roti de curea, roti de lant, semicuplaje etc.), de diametrul impus de sistemul de etansare (ales din standardul etansarii respective), de diametrele interioare ale rulmentilor (alese din catalogul de rulmenti);

      lungimile diferitelor portiuni ale arborelui se stabilesc tinând seama de latimile rotilor dintate (stabilite din calculul de rezistenta al angrenajelor celor doua trepte), latimile sistemului de etansare si ale rulmentilor, precum si distantele dintre roti sau dintre roti si marginile carcasei etc.

Pe baza schemei din fig. 5.16, rezulta distantele dintre punctele de aplicatie ale fortelor exterioare si dintre acestea si punctele de aplicatie ale reactiunilor din lagare, pentru arborele intermediar:

;

  ;                                                                                                                  (5.3)

,

în care T si a sunt dimensiuni ale rulmentilor, alese din catalogul de rulmenti, functie de tipodimensiunea rulmentilor; x = 0.5 mm, distanta dintre marginea interioara a carcasei si rulmenti; y = 5.10 mm, distanta dintre roti si marginea interioara a carcasei; z = 10.15 mm, respectiv z = 40.50 mm, distanta dintre doua roti, pentru un reductor obisnuit, respectiv pentru un reductor coaxial. Rezulta lungimea dintre punctele de aplicatie ale reactiunilor din lagare, egala cu lungimea de calcul a

arborelui  .

       Schema de calcul la solicitari compuse se obtine prin încarcarea grinzii cu fortele exterioare si cele din reazeme (reactiuni). Pentru un arbore dintr-o transmisie cu roti dintate, fortele din angrenaje actioneaza în doua plane, orizontal si vertical, rezultând doua scheme de calcul. Pentru arborele intermediar al unui reductor cu doua trepte, cilindric orizontal, schema de calcul este prezentata în fig. 5.17 (grinzile încarcate cu fortele exterioare care actioneaza asupra rotii conduse a treptei I (indice 2), respectiv fortele exterioare care actioneaza asupra pinionului treptei a II-a (indice 3), schemele de calcul cu reactiunile din lagare (indice H, pentru planul orizontal,respectiv indice V, pentru planul vertical), diagramele de momente încovoietoare în cele doua plane). Fortele axiale din lagare produc momente încovoietoare concentrate, determinate cu relatiile

.                                                                                         (5.4)

       În cazul în care asupra capetelor arborilor de intrare sau de iesire actioneaza forte provenite din transmisii prin curele sau prin lant, arborii trebuie încarcati si cu aceste forte, corespunzator planului si sensului de actionare a fortei respective.

       Dupa întocmirea schemei de calcul, se trece la determinarea reactiunilor. Initial, se determina reactiunile din cele doua plane, orizontal si vertical, prin scrierea ecuatiilor de momente în cele doua lagare.

Fig. 5.17 Schema de calcul la solicitari compuse pentru arborele intermediar al unui reductor cu doua trepte, cilindric obisnuit

Ecuatia de momente în punctul D, pentru planul orizontal, este

,                                                                         (5.5)

rezultând reactiunea din lagarul C

,                                                                               (5.6)

iar ecuatia de momente în punctul C, pentru acelasi plan orizontal, este

,                                                                      (5.7)

rezultând reactiunea din lagarul D

.                                                                               (5.8)

       Procedând în mod analog, rezulta reactiunile în lagarele C si D în plan vertical

                                                                                                      (5.9)

       Reactiunile totale din lagarele C si D se obtin prin însumarea geometrica a reactiunilor din cele doua plane, orizontal si vertical, rezultând

      .                                                                      (5.10)

       Acestea sunt fortele radiale cu care se vor calcula rulmentii din cele doua lagare.

       Din echilibrul axial al arborelui, rezulta reactiunea axiala care actioneaza în lagarul D

.                                                                                                                (5.11)

       În continuare, se traseaza diagrama fortelor axiale si diagrama de momente încovoietoare - în planul orizontal - diagrama de momente de torsiune si diagrama de momente încovoietoare - în planul vertical (v. fig. 5.17) si se stabilesc sectiunile periculoase ( sectiunile 2 si 3 ale arborelui intermediar reprezentat în fig. 5.17).

       Solicitarile din cele doua sectiuni periculoase 2 si 3 sunt:

.       compresiune data de forta Fa3, tensiunile produse fiind  

;                                                                                            (5.12)

.       torsiune data de momentul de torsiune Mt

;                                                                                 (5.13)

.       încovoiere data de momentele încovoietoare maxime, obtinute prin însumarea geometrica a momentelor încovoietoare maxime din cele doua plane, orizontal si vertical; rezultând

,                                         (5.14)

pentru sectiunea 2, respectiv

.                                                    (5.15)

Actionând simultan cele doua tensiuni, normale si tangentiale, calculul la solicitari compuse consta în determinarea unei tensiuni echivalente

,                                                                                            (5.16)

unde α este un coeficient prin care ciclul de variatie al tensiunii de torsiune τt (constant, pulsator sau alternant simetric) este echivalat cu ciclul de variatie alternant simetric, caracteristic tensiunii de încovoiere σi. Valorile coeficientului α se determina cu relatia

,                                                                                                                    (5.17)

în care   reprezinta rezistenta admisibila la încovoiere a materialului arborelui dupa ciclul constant (I), pulsator (II) sau alternant simetric (III). Valori orientative pentru rezistentele admisibile la încovoiere, pentru arbori din otel, pentru cele trei cicluri de solicitare, se dau în lucrarile [6, 14, 23].

       Cu tensiunile stabilite, se poate verifica arborele la solicitari compue sau se poate redimensiona arborele.

.       Pentru verificarea arborelui la solicitari compuse, în sectiunile periculoase, trebuie sa se îndeplineasca conditia

.                                                                                                                     (5.18)

Daca nu se îndeplineste aceasta conditie sau daca diferenta dintre aceste tensiuni este prea mare, se recomanda dimensionarea arborelui la solicitari compuse.

.       Pentru dimensionarea arborelui la solicitari compuse, se impune conditia   si tinând seama

ca   si considerând σtc = 0, se obtine modulul de rezistenta necesar la încovoiere

,                                                                    (5.19)

respectiv diametrul necesar al arborelui

.                                                                                      (5.20)

       În functie de diametrul obtinut din calculul de dimensionare, se modifica dimensiunile arborelui.

Verificarea la solicitari variabile

Scopul calculului la solicitari variabile este de a evita ruperea arborilor prin oboseala materialului si consta în determinarea unui coeficient de siguranta - în sectiunile în care exista concentratori de tensiuni (salturi de diametre, degajari, canale de pana, caneluri, filete, ajustaje presate etc.) - si compararea acestuia cu un coeficient de siguranta considerat admisibil, determinat experimental.

Coeficientii de siguranta la oboseala se calculeaza în functie de solicitarile arborilor din sectiunea cu concentrator de tensiune dupa una din metodele date de Rezistenta materialelor (metoda Serensen, metoda Soderberg, metoda Buzdugan etc.). Cea mai utilizata este metoda Serensen, pe baza careia sunt prezentate relatiile pentru calculul coeficientilor de siguranta la oboseala:

,                                                                                                            (5.21)

pentru sectiunile solicitate numai la încovoiere;

,   unde  ,                                                           (5.22)

pentru sectiunile solicitate numai la torsiune;

,                                                                                                             (5.23)

pentru sectiunile solicitate simultan la încovoiere si torsiune, cσ si cτ determinându-se cu relatiile (5.21) si (5.22).

       Semnificatiile termenilor utilizati în relatiile (5.21) si (5.22) sunt prezentate în continuare.

      Tensiunile σ-1, σ 0, τ -1 si τ 0 reprezinta tensiunile de rupere prin oboseala pentru solicitarea de încovoiere (σ) sau pentru cea de torsiune (τ) corespunzatoare ciclului de solicitare alternant simetric (-1) sau pulsator (0), determinate în functie de materialul arborelui [7, 23].

      Tensiunile σv, σm, τ v si τm (v. tabelul 5.2) sunt determinate de marimea solicitarii efective si de caracteristica ciclului de variatie a acesteia.

      Coeficientii βkσ, εσ si γσ, respectiv βkτ, ετ si γτ [7, 16, 23], sunt coeficienti de corectie care tin seama de faptul ca tensiunile de oboseala, determinate pe epruvete standard, trebuie corectate în functie de formele concrete ale arborelui - tipuri de concentratori, dimensiuni, calitate a suprafetei si tratament termic diferite fata de cele ale epruvetei. Coeficientii de concentrare a tensiunii βkσ si βkτ  se aleg în functie de tipul si dimensiunile concentratorului de tensiuni (canal de pana, trecere de sectiune, filet etc) si de materialul arborelui. Coeficientii dimensionali εσ si ετ  tin seama de diametrul arborelui si de materialul acesuia. Coeficientii de calitate a suprafeteiγσ si γτ depind de modul de prelucrare a suprafetei si de tratamentul termic aplicat.

       Rezistenta la oboseala a arborilor este data de marimea coeficientului de siguranta determinat cu una din relatiile (5.21), (5.22) sau (5.23). Umarind aceste relatii se poate observa ca marirea rezistentei la oboseala poate fi realizata prin: alegerea unui material cu caracteristici mecanice mai bune (prin cresterea tensiunilor σ-1, σ 0, τ-1, τ 0) sau prin micsorarea concentratorilor de tensiuni (modificarea coeficientilor βkσ, εσ si γσ, respectiv βkτ, ετ si γτ).

       Cel mai întâlnit procedeu utilizat pentru marirea rezistentei la oboseala este micsorarea concentratorului de tensiuni prin masuri constructive.

       În cazul trecerilor de diametre care nu sunt utilizate ca umeri de sprijin pentru organele de masini montate pe arbore, se recomanda [14, 23, 32, 33] urmatoarele solutii (fig.5.18):

      raza de racordare cât mai mare (fig. 5.18, a), doua raze de racordare diferite (fig. 5.18, b), racordare de forma eliptica (fig. 5.18, c) în cazul arborilor foarte solicitati;

      tesirea capatului de diametru mai mare (fig. 5.18, d), tesire urmata de racordare (fig. 5.18, e) la salturi mari de diametre;

      raza de racordare combinata cu canal de descarcare (fig. 5.18, f);

      gaura interioara în portiunea de arbore cu diametru mai mare (fig. 5.18, g).

                                         

a                                                b                                               c

                               

       d                                  e                                        f                                        g

Fig. 5.18  Masuri constructive pentru reducerea concentratorului de tensiuni la trecere de diametru fara rezemare

       Daca trecerea de diametru este utilizata pentru rezemarea axiala a unor organe de masini sau daca treapta de diametru mai mic trebuie rectificata, se recomanda una din urmatoarele solutii:

      cu canal de trecere executat la capatul treptei cu diametru mai mic (fig. 5.19, a), dimensiunile acestuia fiind b = 2,5.3 mm si  t = 0,25.0,5 mm, pentru d ≤ 50 mm, respectiv, b = 4.5 mm si  t = 0,5.1 mm, pentru d > 50 mm, marirea latimii b  (fig. 5.19, b) reducând concentratorul de tensiuni;

      cu degajare interioara în umarul de sprijin (fig. 5.19, c), mai greu de executat dar fara sa reduca diametrul treptei mici;

      cu canal de trecere combinat cu degajare interioara (fig. 5.19, d);

      cu raza de racordare cat mai mare (fig. 5.19, e si f), caz în care alezajul piesei sprijinita axial necesita o tesire sau o raza de racordare marita, uneori utilizându-se piese intermediare (fig. 5.19, f).

                        a                                                b                                        c

                       d                                               e                                               f

Fig. 5.19 Masuri constructive pentru reducerea concentratorului de tensiuni la trecere de diametru, pentru umar de sprijin

       În cazul canalelor de pana sau a canelurilor practicate în arbori, se recomanda:

      canalele de pana sa fie executate cu freza deget - cu capetele rotunjite (fig. 5.20, a), deoarece reprezinta un concentrator de tensiuni mai redus decât canalele de pana executate cu freza disc rotunjite (fig. 5.20, b);

      diametrul exterior al portiunii canelate sa fie egal cu diametrul arborelui (fig. 5.20, c), iar trecerea de la partea canelata la cea necanelata sa se faca prin raze mari de racordare.

                                   

a                                                  b                                             c

Fig. 5.20   Forme constructive pentru canale de pana sau caneluri practicate în arbore

La marginile portiunilor de sprijin al organelor de masini, pe arbori apar concentrari de tensiuni care pot fi diminuate prin urmatoarele masuri constructive:

      marirea diametrului portiunii de sprijin (fig. 5.21, a);

      rotunjirea sau tesirea alezajului din butuc (fig. 5.21, b);

      executarea unor canale de degajare în arbore (fig. 5.21, c);

      marirea elasticitatii butucului prin formele constructive prezentate în fig. 5.21, d sau e;

      combinarea unor solutii prezentate anterior (fig. 5.21, f).

Toate masurile prezentate anterior îmbunatatesc rezistenta la oboseala a arborilor prin micsorarea coeficientilor βkσ si βkτ.  Pentru marirea rezistentei la oboseala se mai poate actiona, prin tratamente mecanice, termice sau termochimice sau prin micsorarea rugozitatii suprafetelor,  pentru marirea coeficientilor de calitate a suprafetei γσ si γτ.

                       

a                                               b                                               c

                          

d                                               e                                               f

Fig. 5.21  Masuri constructive pentru reducerea concentratorului de tensiuni de la marginile portiunilor de sprijin, pe arbore

Verificarea arborelui la deformatii

Sub actiunea sarcinilor exterioare, arborii sufera deformatii de încovoiere si de torsiune. Calculul arborelui la deformatii este un calcul de verificare, efectuat în scopul preîntâmpinarii functionarii necorespunzatoare a organelor de masini sustinute si a lagarelor.

Verificarea arborelui la deformatii de încovoiere consta în stabilirea deformatiilor efective (sageti în dreptul fortelor exterioare si unghiuri de rotire în lagare) si compararea acestora cu deformatiile maxime admise.

Deformatiile se determina prin una din metodele cunoscute din Rezistenta materialelor, metode bazate pe ecuatia fibrei medii deformate (integrarea analitica a ecuatiei diferentiale a fibrei medii deformate, metoda grinzilor fictive, metoda ecuatiei celor doua rotiri si a celor doua sageti, metoda ecuatiei celor trei sageti) sau pe expresiile energiei de deformatie, bazate pe ecuatia Mohr-Maxwell, teorema lui Castiliano, teorema lui Betti; metoda Mohr-Maxwell-Veresceaghin etc.

În cazul în care fortele exterioare actioneaza în doua plane perpendiculare, se determina separat deformatiile din cele doua plane, orizontal (δH, φH ) si vertical (δV, φV ), deformatiile totale obtinându-se prin însumarea geometrica a deformatiilor din cele doua plane.

;   .                                                                                       (5.24)

Deformatiile efective de încovoiere ale arborilor trebuie sa fie mai mici decât deformatiile admisibile (δ ≤ δ a; φ ≤ φa), care depind de conditiile de functionare ale ansamblului din care face parte arborele. Pentru evitarea modificarii exagerate a jocurilor din angrenaje, sagetile în dreptul rotilor dintate se limiteaza la valori admisibile δ a= (0,01.0,03)m, unde m este modulul danturii. Pentru functionarea corespunzatoare a lagarelor, unghiurile de rotire din lagare se limiteaza la valorile admisibile dependente de tipul lagarului (lagar cu alunecare, lagar cu rulmenti radiali cu bile sau role cilindrice, lagar cu rulmenti oscilanti etc.).