Architecture El´ ementair´ e IUP-GMI(FC)oussous/iupfc/AEv/tr02.pdf · – Si l’on ignore le bit du signe, et si le nombre de ... multiplicateur dans l’algorithme de ... Comme

Ar chitectureElementaire

IUP-GMI (FC)

N.E. Oussous

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Fevrier2003

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Tabledesmatieres 2

Multiplication et division desnombresbinair es

Tabledesmatieres

1. La multiplication2. Multiplication signee3. La division4. Division signee

Page 2 of 47 Sommaire � � Quit ��

1: La multiplication 3

1. La multiplicationD’abordunexemple: Onmultiplie, enbasedix, lesnombres�� et�� .

��

Le premieroperandes’appellele multiplicandeet le secondle multiplica-teur. Le resultatestle produit.



– Si l’on ignorele bit du signe,et si le nombredechiffresdu multipli-candeest � et le nombredechiffresdu multiplicateurest � , alorsleproduitaura� � � chiffres.

– Commepourl’addition, ondoit gererlescasdedebordement.– Dansl’exemple,onachoisileschiffres et � danslesdeuxnombres.

Lorsqu’onmultiplie le multiplicandeparunchiffre dumultiplicateur,le resultatestsoit le multiplicandesoit .

– Enbinaire,onn’a quecesdeuxchoix.– On suppose,pour le moment,quel’on nemultiplie quelesnombres

positifs.

Onvapresenterdifferentsalgorithmesdemultiplication.



Premier algorithme : C’estl’algorithmequel’on pratiquea la main.

– On supposeque le multiplicateurest place dansun registre �� bitset que l’on utilise un registre �� bits pour le produit, celui-ci etantinitialise a .

– Puisquele multiplicandeseradecale vers la gauchede un chiffre achaqueetape,on le placeradansla partie droite d’un registre �� bitscomplete a gauchepar deszeros.

– Le bit de poidsfaible du multiplicateur(Multiplicateur ) determines’il fautajouterou nonle multiplicandeauregistreProduit.



Algorithme1:begin

for !#" � � to �� step � doif Multiplicateur � � then

Ajouter Multiplicandeauproduit;Placerle resultatdansle registreProduit;

fi $Decalerle registreMultiplicandeagauchede1 bit;Decalerle registreMultiplicateur adroitede1 bit;

odend$



Premiere versiondu materiel pour la multiplication

Multiplicande

UAL 64 bits

ProduitControle

�� bits

�� bits

Ecrire

Decalera gauche

�� bits

MultiplicateurDecalera droite



Exercice1. ▼Question1.1. Enutilisant desnombres% bits, multiplier &('*)�+ par ,-'.)/+ ,soit 0-021.0 '4365-+87 0-091-1 '4365-+ .



Problemesavecle premieralgo:

– La moitie desbitsdu multiplicandeesttoujoursa ,– uneUAL �� bits completeestlongueet peueconomiquepuisquela

moitie desbits del’additionneurajoutait a la sommeintermediaire.

Ideed’un deuxiemealgo:

– Les decalagesa gauchedu multiplicandefont que les bits de poidsfaibleduproduitnesontjamaismodifiesunefois crees.

– Onfixele multiplicandeparrapportauproduitetonn’additionneque�� bits.– Ondecalea droite le produit.



Au depart,

– Lesregistres�� bits Multiplicandeet Multiplicateursontinitialisesaleursvaleurs.

– Le registre�� bitsProduitestinitialise a .

Ensuite,

– On nefait qu’unesommesur �� bits, doncseulela moitie gaucheduregistreProduitestmodifieependantl’addition.



Algorithme2:begin

for !#" � � to �� step � doif Multiplicateur � � then

Ajouter Multiplicandea la moitie gauchedu produit;Placerle resultatdansla moitie gaucheduregistreProduit;

fi $Decalerle registreProduit a droitede1 bit;Decalerle registreMultiplicateur adroitede1 bit;

odend$



Deuxiemeversiondu materiel pour la multiplication

�� bits

MultiplicateurDecalera droite

Multiplicande

EcrireProduit

Decalera droite

�� bits

UAL 32 bits

�� bits

Controle



Exercice2. ▼Question2.1. Onreprendl’exempleprecedentavecle nouvelalgorithme:



– Dansl’algo precedent,le nombrededecalagesfait surle registrePro-duit estegala la taille du registreMultiplicateur.

– Dansle dernieralgorithme,onplacele multiplicateurdansles �� bitsde poidsfaible du registreProduit. C’est doncle bit de poidsfaibleduregistreProduitqui doit etreteste.Au depart,

– Le registre�� bitsMultiplicandeestinitialise a savaleur.– Le multiplicateurestaffectea lapartiedroiteduregistreProduit.

La partiegaucheestinitialiseea .



Algorithme3:begin

for !#" � � to �� step � doif Produit � � then

AjouterMultiplicandea la moitie gaucheduproduit;Placerle resultatdansla moitie gaucheduregistreProduit;

fi $Decalerle registreProduit a droitede1 bit;

odend$



Troisiemeversiondu materiel pour la multiplication

Multiplicande

EcrireProduit

Decalera droite

�� bits

UAL �� bits

�� bits

Controle

Exercice3. ▼

Question3.1. Onreprendle memeexempleavecle nouvelalgorithme.


2: Multiplication signee 17

2. Multiplication signeeLesalgorithmesprecedentstraitentdesnombrespositifs.Pourutilisercesalgospourdesnombressignes,il faut

– convertir le multiplicateuret le multiplicandeennombrespositifs,– sesouvenirdessignesoriginaux.– L’algo doit etreexecute �� fois, enexcluantle bit designedu calcul.– Enfin,onprendral’opposeduproduitsi lessignesoriginauxdifferent.



L’algorithmedeBooth– C’est uneapprocheplus elegantede la multiplication desnombres

signes.– Si l’on est capabled’additionneret de soustraire,alors il existe de

multiplesmoyenspourcalculerun produit.– Booth a decouvert son algorithmeen cherchantune rapidite maxi-

male,persuadequ’un decalageetaitplusrapidequ’uneaddition.– La cle de l’algo residedansle fait qu’il classifiele groupedebits en

undebut, milieuou unefin d’uneseriede � .



on observedeuxbits a la fois :

Bit courant Bit a droite Explication Exemple� Debut d’uneseriede � �� 10��:� � Milieu d’uneseriede � �� 11�� : � Fin d’uneseriede � �� 01��: Milieu d’uneseriede 00�� :



1 AlgoBooth:2 begin3 for !;" � � to �� step � do4 if <>= � � then ? Milieu d’unechaınede A@5 pasd’operationarithmetique;6 elsif <>= � �� then ? Fin d’unechaınede ��@7 ajouterMultiplicandea la moitie gaucheduproduit;8 elsif <>= � �� then ? Debut d’unechaınede �B@9 soustrairele Multiplicandedela moitie gauchedu produit;

10 elsif <>= � �� then ? Milieu d’unechaınede ��@11 pasd’operationarithmetique;12 fi $13 Decalerle registreProduit a droitede1 bit;14 od15 end$

< estle bit courantet = estle bit a droitede < . Au depart, = vaut .



– A noterquel’operationa effectuerestidentifieeen fonctiondesva-leursdesdeuxbits.

– Il estnecessairequele decalagea droitedu produitconserve le signeduresultatintermediaire.

– Il fautdoncetendrelesignelorsqueleproduitestdecaleversladroite.– Dansl’exemplesuivant,on vamultiplier � �� par � �� , soit �� C.D(�

par �� C4D-� .



Iteration Multi- Algo. 3 Booth! plicande Produit Produit

0 0010 00000110 00000110 01 0010 00000110 000001100

0010 00000011 00000011 02 0010 00100011 111000110

0010 00010001 11110001 13 0010 00110001 111100011

0010 00011000 11111000 14 0010 00011000 000110001

0010 00001100 000011000L’ etape2 dela deuxiemeiterationtransforme��E�� C.D(� en��E� �C.D(� aulieu de ��E� �C.D(� .Cedecalageestappeleundecalagea droite arithmetique.



Exercice4. ▼Question 4.1. Appliquer l’algorithme de Booth pour calculer le produit & '.)/+F7G , '*)/+IH G#J '.)/+ , soit 0K02140 'L3M5-+N7 1K14091 '4365-+IH 1-1K1-1O1.021.0 '4365-+ .



Pourlesmultiplicationsreelles,MIPS fournit– unepairederegistres �� bitspourle produit �� bits, appeles

– Hi (pourHigh, haut)et– lo (pour low, bas)

– deuxinstructionsdemultiplication

– mult pourla multiplicationsigneeet– multupourla multiplicationnonsignee.

Cesdeuxinstructionsignorentlesdebordements,et c’estdoncle lo-giciel qui doit determinersi le produit est trop grandpour tenir sur�� bits.

– une instructionmflo (pour move from lo) pour recuperer le produit�� bitsnormal.



Pourquoil’algorithmedeBoothfonctionnepourlesentierssignesencomplementa deux?

Soient P le multiplicateuret Q le multiplicande.Ens’interessantauxbits dumultiplicateurdansl’algorithmedeBooth, on obtient:

R � R �TSVU Operation

nerien faire � ajouter Q� soustraire Q� � nerien faire

A la placedecetableau,on peututiliser l’expressionW.P �TSVUYX P �LZ .

W.P[�TSVU X PB� Z � nerien faire� � ajouter QX � soustraire QPage 25 of 47 Sommaire � � Quit ��


Puisquechaquedecalagea gauchedu multiplicandepeut etre considerecommeune multiplication par une puissancede � , l’algo. de Booth peuts’ecrirecommela sommesuivante:

W*P SVUEX P( Z � Q � � � W*P( X P U\Z � Q � � U�\�K�� W*P :^]IX P(_^ Z � Q � � _L � W*P _^ X P _ U Z � Q � � _ U

Onremarqueque

X P � � � � � P � � � �a`bU � W X P � � �cP �4Z � � � � P � � � �En factorisantQ , on obtient:

Q � W4W*P _ U � X � _ U Z � W*P _L � � _L Z � �K�\� � W*PdU � � U Z � W*P � � ZLZe� Q � P


3: La division 27

3. La divisionCommepourla multiplication,oncommenceparunexemplededivisiondedeuxnombresenbasedix formesuniquementde etde � .

Dividende �� f �� Diviseur- �� Quotient�� f

- ��g�fReste

La taille du dividendeestlimit eeparla sommedestaillesdu diviseuret duquotient.


3: La division 28

– Le plus difficile dansl’algorithmede division estle choix du chiffreduquotient.

– Dansl’exemple,les chiffres utilisessont et � et doncle choix estlimit e a l’un decesdeuxchiffres.

– En binaire,on n’a quecesdeuxchiffreset c’est cequi rend“ facile”l’algorithmededivision.

– On supposeraquele dividendeet le diviseursonttousdeuxpositifs(doncle quotientet le resteserontpositifs).

On va donnerdifferentesversionsde l’algo. de division commeon l’avaitfait pourcelui dela multiplication.


3: La division 29

Premier algorithme :

On imite l’algorithmequel’on fait a la main.

Au depart,on meth dansle registreQuotienth le diviseurdansla moitie gauchedu registre�� bitsDiviseurh le dividendedansle registreReste

Le Diviseurestdecale a droitede � bit a chaqueetape.


3: La division 30

1 Algorithme1:2 begin3 for !;" � � to �� step � do4 Reste " � ResteX Diviseur$5 if Reste ij then6 Decalerle registreQuotientagauche;7 Quotient " � ��$8 else9 Reste " � Reste

�Diviseur$

10 Decalerle registreQuotientagauche;11 Quotient " � �$12 fi $13 Decalerle registreDiviseura droitede1 bit;14 od15 end$

Pourtestersi Resteestpositif ou non,on testejustele bit designe.


3: La division 31

– Si le Resteestpositif, le diviseurtenaitdansle dividende, on generealorsun � dansle quotient(ligne 7).

– Si le Resteestnegatif,le diviseurnetenaitpasdansle dividende, ongenerealorsun dansle quotientet on restituela valeurde Reste(lignes9–11).

– Dansla ligne 13, on alignecorrectementle diviseurpar rapportaudividendepourl’ etapesuivante.

– Le tout sefait en �� etapes!


3: La division 32

Premiere versiondu materiel pour la division

UAL 64 bits

Controle

64 bits

64bits

Ecrire

32 bits

Diviseur

Reste

Quotient

Decalera droite

Decalera gauche

Exercice 5. ▼ En utilisant desnombres� bits, diviser ��E�� C.D(� par�� C.D(� .Page 32 of 47 Sommaire � � Quit ��

3: La division 33

Deuxiemealgorithme :

on remarquequedansle premieralgorithme,– auplusla moitiedu diviseurcontientdesinformationsutiles,

onpeutdoncprendreunregistreetuneUAL �� bits– ondecalele diviseurversla droitepouraligner, onpeutavoir le meme

resultatendecalantle restevers la gauche.– La premiereetapedel’algo. nepeutproduireun � pourle bit dequo-

tient, sinonle quotientseraittrop grandpour le registredont il dis-pose.On peutsupprimerune iterationde l’algo. en inversantl’ordre desoperationsafindedecalerpuisdesoustraire.

Aveccesmodifications,on obtientl’algorithmesuivant:


3: La division 34

Algorithme2:begin

for !#" � � to �� step � doDecalerle registreRestea gauchede � bit;Restek " � Restek X Diviseur$if Reste ij then

Decalerle registreQuotienta gauche;Quotient " � ��$

elseRestek " � Restek � Diviseur$Decalerle registreQuotienta gauche;Quotient " � �$

fi $od

end$Il fautremarquerqueseulela moitie gauchedu resteestmodifiee.


3: La division 35

Deuxiemeversiondu materiel pour la division

32 bits

Ecrire64 bits

UAL 32 bits

32bits

ControeDecalera gauche

Decalera gauche

Reste

Quotient

Diviseur

Exercice6. ▼ On utilise cenouvel algorithmepourdiviser ��E�� C4D-�par �� C.D(� .


3: La division 36

Troisiemealgorithme :

commepourla multiplication,on remarqueque– le registreQuotientpeutetreelimine endecalantlesbits du quotient

dansle registreReste.– Le decalagedu registreRestedecalea la fois

– le restedansla moitie gaucheet– le quotientdansla moitie droite.

– Lors de la derniere etape, on ne doit decaler, a droite, que le restedansla moitie gauchedu registre.


3: La division 37

Algorithme3:begin

Decalerle registreResteagauchede � bit;for !#" � � to �� step � do

Restek " � Restek X Diviseur$if Reste ij then

Decalerle registreRestea gauche;Reste " � ��$

elseRestek " � Restek � Diviseur$Decalerle registreRestea gauche;Reste " � �$

fi $odDecalerla moitie gauchedu registreResteadroitede � bit;

end$


3: La division 38

Troisiemeversiondu materiel pour la division

Ecrire64 bits

UAL 32 bits

32bits

Controle

Diviseur

ResteDecaleragauche

Exercice7. ▼ On utilise cenouvel algorithmepourdiviser ��E�� C4D-�par �� C.D(� .


4: Division signee 39

4. Division signeeLesalgorithmesprecedentstraitentdesnombrespositifs.

Le plus simpleestde sesouvenir dessignesdu diviseuret du dividende,puisdeprendrel’ opposedu quotientsi lessignesdifferent.

Il fautaussideterminerle signedu reste.

Ci-aprestouteslescombinaisonspossibles:

� lnm � � " Quotient=� �Ao Reste=

� �X lnm � � " Quotient=X �Ao Reste=X �� lnm X � " Quotient=X �Ao Reste=

� �X lnm X � " Quotient=

� �Ao Reste=X �Donc,le signedu resteestle signedudividende.Page 39 of 47 Sommaire � � Quit ��


Interface Mat eriel Logiciel :On remarquequele mememateriel peutetreutilise a la fois pour la multi-plicationet pourla division. Il fautsimplementdisposer

– d’un registre �� bitscapablededecalera droiteet a gauche,– d’uneUAL �� bitscapabled’additionneret desoustraire.

Apresla divisionHi contientle resteet Lo contientle quotient.

MIPS utilise la memepairede registrespour la multiplication et pour ladivision.

Il offre deuxinstructionspourla division: div et divu.



SolutionsSolution 1. ▲ p

Multiplicateur Multiplicande Produit

0 0011 00000010 00000000

0011 00000010 000000101 0011 00000100 00000010

0001 00000100 00000010

0001 00000100 000001102 0001 00001000 00000110

0000 00001000 00000110

0000 00001000 000001103 0000 00010000 00000110

0000 00010000 00000110

0000 00010000 000001104 0000 00100000 00000110

0000 00100000 00000110



Solution 2. ▲ pMultiplicateur Multiplicande Produit

0 0011 0010 00000000

1 0011 0010 001000000011 0010 000100000001 0010 00010000

2 0001 0010 001100000001 0010 000110000000 0010 00011000

3 0000 0010 000110000000 0010 000011000000 0010 00001100

4 0000 0010 000011000000 0010 000001100000 0010 00000110



Solution 3. ▲ pMultiplicande Produit

0 0010 00000011

1 0010 001000110010 00010001

2 0010 001100010010 00011000

3 0010 000110000010 00001100

4 0010 000011000010 00000110



Solution 4. ▲ pMultiplicande Produit

0 0010 00001101 01 0010 111011010

0010 11110110 12 0010 000101101

0010 00001011 03 0010 111010110

0010 11110101 14 0010 111101011

0010 111110101



Solution 5. ▲ pQuotient Diviseur Reste

0 0000 00100000 000001110000 00100000 11100111

1 0000 00100000 000001110000 00010000 000001110000 00010000 11110111

2 0000 00010000 000001110000 00001000 000001110000 00001000 11111111

3 0000 00001000 000001110000 00000100 000001110000 00000100 00000011

4 0001 00000100 000000110001 00000010 000000110001 00000010 00000001

5 0011 00000010 000000010011 00000001 00000001



Solution 6. ▲ pQuotient Diviseur Reste

0 0000 0010 000001110000 0010 00001110

1 0000 0010 111011100000 0010 000011100000 0010 00011100

2 0000 0010 111111000000 0010 000111000000 0010 00111000

3 0000 0010 000110000000 0010 000110000001 0010 00110000

4 0001 0010 000100000011 0010 00010000



Solution 7. ▲ pDiviseur Reste

0 0010 000001110010 00001110

1 0010 111011100010 00011100

2 0010 111111000010 00111000

3 0010 000110000010 00110001

4 0010 000100010010 001000110010 00010011


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