UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

ÁREAS DE REGIONES EN COORDENADAS

RECTANGULARES Y POLARES

Manuel Humberto Castillo Farfán

CURSO: CÁLCULO INTEGRAL (MB 147)

PROFESOR: EDWIN TELLO GODOY

SECCIÓN: A

Lima, domingo 17 de noviembre de 2013

ÁREAS DE REGIONES EN COORDENADAS

RECTANGULARES Y POLARES

dx

a b

y=f(x)

dx

ÁREAS EN COORDENADAS RECTANGULARES

1. Sea la región R limitada por las gráficas de:

y=f ( x ) , x=a ; x=b; y=0

(f ( x )≥0;∀ x∈[a ,b ])

Hallar el área de la región R.

dA=f (x )dx

A (R )=∫a

b

f (x )dx

2. sea la región R limitada por las graficas de y=g ( x ) , x=a , x=b , y=0

¿Halla el área de R

dA=−g ( x )dx

A (R )=∫a

b

−g ( x )dx

3.

Se tiene laregión R limitada por las gráficas de : y=f ( x ) , y=g ( x ) , x=a , x=b(g (x )≤ f (x )∀ x∈ [a ,b ])

Halle el áreade laregión R

dA=( f ( x )−g ( x ) )dx

A (R )=∫a

b

( f (x )−g( x ) )dx

y=f (x )

y=g (x)

xa

b

dx

f ( x )−g( x )

d

dy

c

4. Sea R la región limitada por las gráficas de: x=h ( y) , y=c , y=d , x=0

(h ( y )≥0en[c ,d ])

Halle el área de la Región:

d A = h(y)dy

A(R) = ∫c

d

h ( y )dy x=h ( y)

d

dy

c

h( y)

5. Sea R la región limitada por las gráficas de: x=h ( y) , y=c , y=d , x=0

(h ( y )≤0en[c ,d ])

dA=−h ( y )dy

A (R )=∫c

d

−h ( y )dy

x=h ( y)

f(y)

dx

g(y)

6. Sea la región R limitada por las gráficas de:

x=f ( y ) , x=g( y) , y=c , y=d

( f ( y )≥ g( y )∀ y∈ [c ,d ] )

dA=(f ( y)−g ( y ))dy

A (R )=∫c

d

( f ( y )−g ( y ))dy

ÁREAS EN COORDENADAS POLARES

Diferencial de área en coordenadas polares:

Adθ=dθ . rad× π r2

2π rad

Adθ=dθ . r2

2

dA=(r¿¿2dθ)/2¿

dθ

r

dθ

θ

r

rdθ

1. Se tiene laregión R={(r , θ ) ϵ R2 ∕ 0≤r ≤ f (θ )∧ ε ≤θ≤α }

Halle el área de la región R.

dA=12f 2(θ)dθ

A (R )=12∫ε

δ

f 2(θ)dθ

Eje π2

Eje polar

ε

α

θ=α

θ=ε

r=f (θ)

polo

dθ

2. Se tiene la región R={(r , θ ) ϵ R2/ f (θ )≤ r ≤g (θ ) y ε ≤θ≤δ }

Halle el área de la región R.

dA=12

(g2 (θ )−f 2 (θ ) )dθ

A(R)=12∫ε

δ

(g2 (θ )−f 2 (θ ) ) dθ

δε

θ

Eje polar

R

r=f (θ )

r=g (θ )

Eje π2

EJERCICIOS

1. Se tiene la región R limitada en el primer cuadrante por las gráficas de:

xy=1 ; y=3 ; x−xy=1; x−xy=3

SOLUCIÓN

Sean: C1: y=1x;C2: y=

3x;C3: y=

x−1x

;C4: y=x−3x

Interceptando:

C1 y C3 :1x= x−1

x→ x=2→A=(2 ; 12 )C1 y C4:

1x= x−3

x→x=4→B=(4 ; 14 )

C2 y C3 :3x= x−1

x→ x=4→C=(4 ; 34 )C2 y C4: 3x= x−3

x→x=6→D=(6 ; 12 )

Graficando:

A.H.

y=3x

y=1x

y= x−1x

y= x−3x

dA2

dA1

1 2 3 64

1

1/4

1/2

3/4

R

dy

y

x

dA=d A1+d A2dA=[ x−1x −1x ]dx+[ 3x− x−3

x ]dx A=∫2

4

[1−1x−1x ]dx+∫4

6

[ 3x−1+ 3x ]dxA=∫

2

4

[1−2x ]dx+∫46

[−1+ 6x ]d xA=x−2Lnx|42− x+6 Lnx|6

4

A=4−2 ln 4−2+2 ln 2−6+6 ln6+4−6 ln 4A=2 ln 12+6 ln 3

2A=2 ln 1

2+2 ln 27

8

A=2 ln 2716u2

2. Halle el área de la región limitada por las gráficas de x= y 4−8 y2; x=− y2+8

SOLUCIÓN

Se grafican las funciones:

El área a hallar es R:

A=R=∫−√8

√8

(− y2+8− y4+8 y2)dy

R=2∫0

√8

(− y4+7 y2+8)dy

¿−2 y5

5¿0

√8+ 14 y3

3¿0

√8+2 y ¿0√8

¿(−1285

+ 1123

+2)√8

−16

R = 20615

√8u2

3. Halle el área de la región limitada por las graficas de:

Y = sen(x-π8

) y Y = cos(x-π8

) x = 0 , x = 5π8

SOLUCIÓN

Área(R) = ∫0

5π8

sen (x− π8)dx- ∫

0

5π8

cos (x−π8

)dx

Área(R) = -sen(x-π8

) - cos(x-π8

) evaluado de 5π8

a 0

Área(R) = -sen(π2

) + sen(π8

) - cos(π2

) + cos(π8

)

Área(R) = 0.306