ARITMTICA 1ø_IIB

INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA“JUAN ESPINOZA MEDRANO” ARITMÉTICAARITMÉTICA

11EROERO AÑO DE SECUNDARIA AÑO DE SECUNDARIA

REGLA DE TRES

CONCEPTOEs un método especial de solución para problemas de magnitudes proporcionales donde intervienen

dos o más magnitudes que se relacionan entre sí.

CLASIFICACIÓN DE LA REGLA DE TRES

1. Regla de Tres simple (R3S)

En este caso intervienen sólo dos magnitudes proporcionales. Conociéndose 3 valores, dos pertenecientes a una de las magnitudes y la tercera a la otra magnitud, se debe calcular el cuarto elemento. La regla de tres simple se divide en dos clases:

1.1 Regla de Tres Simple Directa (R3SD)Cuando las magnitudes son directamente proporcionales (D.P).

Método de Solución 1: Método de las Proporciones.

xb

aa 1

21

Método de Solución 2: Método del Aspa.

1

12abax

Método de Solución 3:

Ejemplo: Sabiendo que de 250 quintales de remolacha pueden extraerse 30 quintales de azúcar; ¿cuántos quintales de azúcar podrán proporcionar 100 quintales de remolacha?

Solución:Notamos que a menos remolacha se obtendrá menos azúcar, por lo tanto son magnitudes directamente proporcionales (D.P).

“Forjando lideres con Fe, Estudio y Servicio”1



Por el método del aspa

alesintqu 12250

30 100x

1.2 Regla de Tres simple Inversa (R3SI)Cuando las magnitudes que intervienen son inversamente proporcionales (I.P)

Método de solución 1: Método de las Proporciones

121

bx

aa

Método de solución 2: Método de la Multiplicación Horizontal

2

11aba

x

Método de solución 3:

Ejemplo: Un grupo de 24 excursionistas lleva víveres para 18 días, pero al inicio de la excursión se suman 3 personas más. ¿Cuántos días antes se acabarán los víveres?

Solución:Se puede notar que a más personas los víveres durarán menos días, por lo tanto se trata de magnitudes inversamente proporcionales.




Por el método 3:

dias 16= 2724.18x

Por lo tanto los víveres se acabarán: 18 – 16 = 2 días antes

2. Regla de Tres Compuesta (R3C)

Es una regla de tres donde intervienen más de dos magnitudes proporcionales.

Métodos de soluciónExisten varios métodos de solución, en este caso emplearemos el método de nombrar si la magnitud es directamente proporcional (D.P) o inversamente proporcional (I.P) con la magnitud donde se encuentra la incógnitaPasos a seguir:

I. Se reconocen las magnitudes que intervienen en el problema.

II. En la primera fila se colocan los datos y en la segunda fila los demás datos incluido la incógnita.

III.Se compara la magnitud donde se encuentra la incógnita con cada una de las demás, indicando en su parte inferior si es directamente proporcional por D.P. y si es inversamente proporcional por I.P.

IV. Se despeja la incógnita multiplicando la cantidad que se encuentra sobre ella por las diferentes fracciones que se forman en cada magnitud, si son I.P. se copia IGUAL y si son D.P. se copia DIFERENTE .

Ejemplo:

Seis obreros trabajando 16 días de 10 horas diarias pueden asfaltar 1200m de una autopista.¿Cuántos días emplearán 8 obreros trabajando 8 horas diarias para asfaltar 1600m de la misma autopista?Solución:




PROBLEMAS

1. Dos panes cuestan s/. 0,20. ¿Cuánto costarán 4 panes?

a) S/. 40 b) S/. 20 c) S/.30d) S/. 10 e) S/. 50

2. Si un móvil que viaja a velocidad constante en 5 horas recorre 600 km, ¿Qué distancia recorrerá al cabo de 8 horas?

a) 840 km b) 960 km c) 690 kmd) 900 km e) 720 km

3. Veinte obreros tiene provisiones para 40 días. Si se retiran 10 obreros, ¿para cuantos días alcanzarán las provisiones?

a) 20 b) 40 c) 60d) 80 e) 90

4. Catorce obreros hacen una obra en 9 días. ¿Cuántos obreros harán la misma obra en 7 días?

a) 15 b) 18 c) 17d) 16 e) 14

5. Un obrero limpia 5 tubos en 20 minutos ¿en cuántos minutos limpiará 20 tubos?

a) 40 b) 60 c) 80d) 90 e) 30

6. Un conejo salta tres veces en dos segundos. ¿Cuánto tardará en saltar 126 veces?

a) 48 b) 84 c) 83d) 85 e) 49

7. Para terminar la reparación de un pozo en 8 días se necesitan 15 obreros. ¿Cuántos obreros más se necesitarán si se quiere terminar en 5 días?

a) 8 b) 7 c) 9d) 5 e) 10

8. En 16 días se consume 1/8 de la carga de una batería. ¿Cuántos se consumirá en 48 días?

a) 3/5 b) 2/7 c) 3/8d) 1/5 e) 3/4

9. En 12 días, 8 canarios consumen los 2/3 partes de sus provisiones. Si se mueren 6 canarios, ¿Cuántos días demorarán los canarios restantes para terminar las provisiones?

a) 18 b) 16 c) 20d) 24 e) 26




10. Un móvil a velocidad constante recorre unos 400m en 8s. ¿Cuántos metros recorrerá en 20s?

a) 500m b) 2 500m c) 1 000md) 2 000m e) 1 500m

11. 40 obreros tiene provisiones para 60 días. Si se retiran 10 obreros, ¿para cuantos días alcanzará las provisiones?

a) 36 b) 70 c) 80d) 75 e) 45

12. Cinco obreros hacen una obra en 8 días, 32 obreros, ¿en cuantos días harán la misma obra?

a) 1 día b) 5/4 días c) 2 díasd) 1/2 día e) 7/2 días

13. Trabajando 10 h/d, durante 15 días, 5 hornos consumen 50 toneladas de carbón. ¿Cuántas toneladas serán necesarias para mantener trabajando 9 h/d durante 85 días a 3 hornos más?

a) 100 b) 120 c) 153d) 160 e) 140

14. Un boxeador asesta 3 golpes por segundo. ¿Cuántos dará en un minuto, golpeando al mismo ritmo?

a) 180 b) 189 c) 181d) 120 e) 121

15. Sabiendo que 10 campesinos siembran un terreno cuadrado de 15 m de lado en 1 días, ¿en qué tiempo 20 campesinos sembrarán un terreno de 30 m de lado.

a) 20 b) 21 c) 22d) 12 e) 10

16. Dos niños comen 2 naranjas en 2 días. ¿Cuántos días tardarán 5 niños en comer 5 naranjas?

a) 2 b) 2,5 c) 4d) 5 e) 10

17. ¿Seis caballos tienen su ración de pasto para 15 días. Si se aumentan 3 caballos más, y se mantiene la ración diaria. ¿Cuántos días alcanzará la provisión?

a) 12 b) 11 c) 10d) 9 e) 8

18. Si 15 obreros hacen la mitad de una obra en 20 días; en ese momento abandonan 5 obreros ¿cuántos días tardarán en terminar la obra con los 10 restantes?

a) 30 b) 29 c) 28d) 27 e) 26

19. De un centro pre universitario ingresan a la universidad el 28% de sus alumnos. ¿cuántos alumnos tenía el centro pre universitario si se sabe que no ingresaron 568 postulantes?

a) 900 b) 800 c) 700d) 600 e) 820

20. Un buey atado a una cuerda de 7,5 m de longitud puede comer la hierba de está a su alcance en 2 días. ¿Qué tiempo demorará el buey en comer la hierba si la longitud de la cuerda fuese 15 m?

a) 5 d b) 4 d c) 7 dd) 8 d e) 9 d

PROPUESTOS

21. En 12 días, 8 obreros han hecho las 2/3 partes de una obra. Si se retiran 6 obreros, ¿Cuántos días demorarán los obreros restantes para terminar la obra?

a) 18 d b) 16 d c) 20 dd) 24 d e) 26 d

22. Por la compra de 240 libros se paga en impuestos el valor de un libro más 6 soles. Por 180 libros del mismo tipo el impuesto es el valor del libro menos 4 soles. ¿Cuánto cuesta cada libro?

a) S/. 30 b) S/. 32 c) S/.38d) S/. 36 e) S/. 34




23. Juan es el doble de rápido que Pedro pero la tercera parte que Luis. Si Luis y Pedro hacen una obra en 27 días. ¿En cuántos días harán la misma obra los 3 juntos?

a) 18 b) 21 c) 30d) 27 e) 24

24. Una mulita escoge su carga y antes de ello piensa: “si llevo 21 kg me hacen caminar 8km, y si llevo 24kg debo caminar 7km; si el burrito decide caminar sólo 6km. ¿Cuántos kg. de carga debe llevar?

a) 24 b) 20 c) 22d) 28 e) 26

25. Una fábrica de conservas tiene una producción mensual de 8400 latas y 12 máquinas trabajando. Si dos máquinas se malogran. ¿En cuánto disminuye la producción mensual?

a) 7000 b) 1500 c) 4500d) 1400 e) 1800

26. Un pintor tenía pensado pintar una casa en 12 días, pero tardó 4 días más por trabajar dos horas menos cada día. ¿Cuántas horas trabajó diariamente?

a) 8h b) 7 c) 10

d) 12 e) 6

27. Juan puede sembrar un terreno rectangular en 8 días. ¿Qué tiempo empleará en sembrar otro terreno también rectangular, pero del doble de dimensiones?

a) 16 días b) 24 c) 28d) 32 e) 40

28. 18 amigos en un campamento tienen víveres para 21 días. Si luego de 5 días, 6 se retiran. ¿Para cuántos días más duraran los víveres?a) 8 días b)10 c) 12d) 16 e) 24

29. Un batallón de 45 hombres tiene víveres para un viaje de 60 días, si se desea aumentar el batallón en 5 hombres. ¿En cuántos días se debe acortar la duración del viaje?

a) 1/3 b) 1/4 c) 2/3d) 1/8 e) 1/2

30. Un grupo de albañiles tenían que hacer un trabajo en 20 días; pero debido a que tres de ellos no trabajaron, los restantes tuvieron que trabajar cuatro días más. ¿Cuántos obreros trabajaron?

a) 14 b) 16 c) 17d) 15 e) 18

TANTO POR CIENTO I

1. DEFINICIÓNSi una cantidad se divide en cien partes iguales, cada parte representa 1/100 del total. Que se puede representar por 1%, al que denominaremos "uno por ciento". Si tomamos 18 partes tendremos 18/100 del total o simplemente 18%.Notación:"r" por ciento= r% = r/100




2. PORCENTAJES NOTABLES

100% es igual al total 50% es igual a 50/100 = 1/2 del total 25% es igual a 25/100 = 1/4 del total 75% es igual a 75/100 = 3/4 del total 10% es igual a 10/100 = 1/10 del total 20% es igual a 20/100 = 1/5 del total

3. CÁLCULO DE PORCENTAJES Para calcular el porcentaje de una cierta cantidad se puede emplear una regla de 3 simple directa. Toda cantidad referencial, respecto a la cual se va a calcular un porcentaje, se considera como el cien por ciento (100%)

Ejemplos:

a) ¿Cuál es el 8% de 9600?

b) ¿Qué porcentaje es 133 de 380?

c) ¿De qué cantidad es 520 su 65%?

4. OBSERVACIONES 4.1 Los porcentajes se pueden sumar o restar si son referidos a una misma cantidad.

Ejemplos:a. Si una cantidad aumenta en su 18% tendremos ahora el 118% de la cantidad.b. Si una cantidad disminuye en su 21% nos quedará el 100%-21%= 79% de la cantidad.c. Si en una reunión el 42% del total son mujeres, entonces el porcentaje de hombres será 100% -

42% = 58% del total

4.2 Cuando se tenga porcentaje de porcentaje, una forma práctica es convertir cada uno a fracción y luego se efectúa la multiplicación.

Ejemplos:a. Calcular el 15% del 20% de 800

24 800 10020

10015

b. Calcular el 23,5% del 8% del 36% de 25000

169,2 = 25000 10036

1008

100

5,23




5. APLICACIONES

5.1 Aumentos SucesivosEntendemos por aumentos sucesivos a aquellos aumentos que se van efectuando uno a continuación de otro considerando como el nuevo 100% a la cantidad que se va formando.

Ejemplo:

Si el precio de un televisor es 240 dólares y sufre dos aumentos sucesivos del 20% y 25% respectivamente ¿Cuál será su nuevo precio?

Solución:

1er aumento: 20% de 240 = x 240 = 48Nuevo precio 240 + 48 =288

2do aumento: Observe bien, es el 25% de 288 = x 288 = 72Nuevo precio: 288 + 72 = 360

Aumento Único (AU)Dos aumentos sucesivos del a1 % y a2 % equivalen a un aumento único de

Ejemplo:Dos aumentos sucesivos del 25% y 40% equivalen a un único aumento de :

%75100

40254025.U.A

5.2 Descuentos Sucesivos Se entiende por descuentos sucesivos, a aquellos descuentos que se van efectuando uno a continuación de otro considerando como el nuevo 100% a la cantidad que va quedando.

Ejemplo:Si al precio de una grabadora que cuesta 300 dólares se le hace dos descuentos sucesivos del 20% y 10%, ¿cuál será su nuevo precio?

Solución:Precio Inicial: 300

1er Descuento: 20% de 300 = x 300 = 60

Nuevo precio: 300 - 60 = 240

2do Descuento: ¡Cuidado! es el 10% de 240 = x 240 = 24

Precio Final: 240 - 24 = 216

Descuento Único (D.U)Dos descuentos sucesivos del d1 % y d2 % equivalen a un único descuento de:




Ejemplo:En las tiendas Wong anuncian descuentos sucesivos del 20% y 20%, en todas las conservas y vinos. ¿A qué descuento único equivalen?.

36% 100

2020-2020 D.U

5.3 Variaciones PorcentualesCuando se analiza las variaciones porcentuales, por ejemplo geométricas, se puede asumir un número apropiado a cada elemento geométrico que facilite su cálculo, luego se aplica una regla de tres simple directa, para obtener la variación porcentual equivalente.

Ejemplos:a) Si el lado de un cuadrado aumenta en 20% ¿En qué porcentaje aumenta su área?

Solución:Asumimos: * Luego:

Lado: L= 10 Nuevo lado =

Área: 102=100 Nueva Área = 122=144

Aumento Porcentual: 144%-100%= 44%

b) Un rectángulo aumenta su largo en 20%. Si el área debe disminuir en 28%. ¿En qué porcentaje debe variar su ancho?

Solución:Asumimos : Luego:

Largo = 20 Nuevo largo =

Ancho= 5 Nuevo ancho = x

Área = 100 Nueva Área =

A = L. a

72= 24. x

x = 3 (Nuevo ancho)

Ancho:




El ancho debe disminuir en 100% - 60% = 40%

EJERCICIOS

1. Calcular el 14% de 75

Rpta: ........................................

3. ¿De qué cantidad es 4 su 20% ?

Rpta: ........................................

5. ¿Cuál es el 21 de 1/3% de 600?

Rpta: ..........................

6. Si 300 aumenta en su 32%. ¿Cuál es su nuevo valor?

Rpta: ........................................

7. Si 428 disminuye en su 25%. ¿Cuál es la nueva cantidad?.

Rpta: ........................................

PROBLEMAS

1. Calcular el 25% del 20% de 400

A) 20 B) 25 C) 23D) 19 E) 17

2. ¿Calcular el 10% del 20% del 40% de 1500?

A) 100 B) 180 C) 120D) 150 E) 130

3. ¿Calcular el 3 por 15 del 20% del 400 por 1000 de 6250?

A) 200 B) 130 C) 140D) 100 E) 120

4. Si el lado de un cuadrado disminuye en 30%. ¿En qué porcentaje disminuye su área?

A) 31% B) 51% C) 42%D) 49% E) 40%

5. Si el radio de un círculo se aumenta el 100%, entonces su área se aumenta en:

A) 100% B) 200% C) 300%D) 400% E) 150%

6. En una oficina hay 16 personas, de las cuales ¼ son mujeres y los demás hombres; si se desea que el 40% del personal sean mujeres. ¿Cuántas se tendrían que contratar?

A) 3 B) 2 C) 4D) 6 E) 5




7. En una reunión el 25% son hombres y el resto mujeres. Si se retiran el 40% de los hombres y el 50% de las mujeres. ¿Qué porcentaje de las mujeres que queden son hombres?

A) 41% B) 43% C) 44%D) 40% E) 45%

8. Se tiene 96 litros de alcohol de 25%. ¿Cuántos litros de alcohol puro se deben agregar para obtener alcohol de 60%?

A) 84 L B) 82 L C) 83 LD) 48 L E) 38 L

9. A un obrero se le aumenta el sueldo de la siguiente manera:

12% sobre el 20% de su sueldo15% sobre el 50% de lo restante20% sobre el 200 nuevos soles restantes¿Cuál será su nuevo salario?

A) 528 B) 582 C) 523D) 482 E) 587

10.El a% de 300 es «b» y el b% de 30 es 27. Dar el valor de «a».

A) 90 B) 70 C) 50D) 25 E) 30

11.El 20% menos de A es igual al 2% más B. Si A + B = 364, hallar (A - B).

A) 36 B) 44 C) 160D) 72 E) 48

12.En un corral de pollos y gallinas el 40% son gallinas. Si se triplica el número de éstas y el de los pollos se reduce a la mitad, ¿cuál es el nuevo porcentaje de gallinas?

A) 40% B) 50% C) 60%

D) 70% E) 80%

13. Si el 20% de «A» es el 30% de «B», qué tanto por ciento menos es «A» respecto de (A + B).

A) 60% B) 50% C) 40%D) 30% E) 20%

14. Dos descuentos sucesivos del 20% y 40%, ¿a qué descuento único equivale?

A) 48% B) 60% C) 52%D) 44% E) 54%

15. Tres aumentos sucesivos de 10%, 60% y 80% equivalen a un incremento de:

A) 150% B) 116% C) 216,8%D) 126,8 E) 178,2%

16. En un salón hay 160 alumnos, de los cuales el 25% son mujeres, ¿cuántas mujeres deben matricularse para que el 40% de los alumnos sean mujeres?

A) 60 B) 25 C) 20D) 50 E) 40

17. Una persona tiene 480 soles y perdió tres veces consecutivos 25%, 10% y 50% de lo que iba quedando. ¿Cuánto le quedó al final?

A) 80 B) 200 C) 162D) 54 E) 144

18.Me deben el 15% de S/.540 y me pagan el 20% de S/.300. Entonces, me deben aún:

A) 15% de S/.72 B) 20% de S/.75C) 60% de S/.36 D) 50% de S/.42E) 75% de S/.60




CUATRO OPERACIONES

SUMA O ADICIÓN

Es la operación aritmética que consiste en reunir varias cantidades homogéneas en una sola

Principales Sumatorias

1. Suma de los "n" primeros números naturales

21)n(nn.....4321S

Ejemplo:

1902201919.....321S

2. Suma de los "n" primeros números pares

S = 2 + 4 + 6 + 8 + ........ + 2n = n(n + 1)




Ejemplo:S = 2 + 4 + 8 + ....... + 42Hallando "n"

42 = 2nn = 21 S = 21(22) = 462

3. Suma de los "n" primeros números impares

S = 1 + 3 + 5 + ............ + 2n - 1 = n2

Ejemplo: S = 1 + 3 + 5 + ....... + 37

Hallando "n"37 = 2n - 1n = 19 S = 192 = 361

4. Suma de los términos de una progresión aritmética

2)na(a

S n1

donde:a1 = primer términoan = último términon = número de términos

EjemploS = 12 + 19 + 26 + ...... + 82a1 = 12an = 82

11

7582

razonaa

n 0n

517282)11(12S

5. Suma de los "n" primeros cuadrados perfectos

61)1)(2nn(nn....321S 2222

6. Suma de los "n" primeros cubos perfectos

23333

21)n(nn....321S

RESTA O SUSTRACCIÓN




Es una operación inversa a la suma que tiene por objetivo, dados dos cantidades: minuendo y sustraendo, obtener una tercera llamada diferencia, que determine la cantidad de unidades en que el minuendo excede al sustraendo.

Donde:M = minuendoS = sustraendoD = diferencia

Propiedades:

1. "La suma de los tres términos de una resta es igual al doble del minuendo", es decir:

M + S + D = 2M

2. Dado: pqbaab , donde a > b

Se cumple: p + q = 9

3. Dado: pqrcbaabc , donde a > cSe cumple: q = 9

p + r = 9

MULTIPLICACIÓNOrigen: Es una suma, donde todos los sumandos son iguales, tal como la siguiente:

vecesm

M...........MMMP

Se puede expresar en una forma abreviada:

P = M . m

A esta operación se denomina multiplicación, donde:M : multiplicandom : multiplicadorP : producto

* "M" y "m" son denominados también factores

1. Propiedades

1. A . B. C ............ M = Par

"Al menos uno de los factores tiene que ser par"

2. A . B . C ........... M = impar




"Todos los factores tienen que ser impares"

3. El producto de dos números consecutivos, termina en cero, dos o seis

2 Factorial de un númeroSe denomina factorial de un número natural N, al producto de los "N" primeros números naturales consecutivos comenzando por la unidad.Se representa por los símbolos: ! ó L, y se lee: factorial de .....

Ejemplo:

5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = ............

DIVISIÓN

Es una operación inversa de la multiplicación que tiene por objeto, dados dos números: dividendo (D) y divisor (d), hallar un tercero llamado cociente (q), que indique cuántas veces contiene el dividendo (D) al divisor (d)

1. Clases de División

a. División entera exacta: Cuando el residuo es cero

Donde:D = dividendod = divisorq = cociente

b) División entera inexacta:Cuando existe un residuo

b.1 División entera inexacta por defecto:

D = d . q + r 0 < r < d

b.2 División entera inexacta por exceso:

Donde:D: dividendo




d: divisorq: cocienteq + 1: cociente por excesor: residuo por defectore: residuo por exceso

2. Propiedades:

a. 0 < residuo < d b. rMAX = divisor – 1rMIN = 1

c. r + re = divisor

EJERCICIOS

1. Esteban vende un terreno de 20 áreas a $ 600 el área y recibe en pago otro terreno de 900 metros cuadrados a razón de $ 4 el metro cuadrado. ¿Cuánto le adeudan?

Rpta: ...............

2. Se compran 8 libros de Matemáticas a $10 cada uno, 5 lapiceros a $1 y 6 plumas fuentes a $5 cada una. Si se vende todo en $180. ¿Cuánto se pierde?

Rpta: ...............

3. Se compran 144 metros cuadrados de terreno a $2 el metro cuadrado, y se venden a $80 la docena de metros. ¿Cuánto se gana?

Rpta: ...............

4. Juan gana $10 por día de trabajo y trabaja 6 días a la semana. Si gasta 38 dólares a la semana, ¿Cuánto puede ahorrar en 22 semanas?

Rpta: ...............

5. Se tiene una multiplicación de tres factores, si se duplica uno de ellos y se triplica otro, ¿En cuánto varía el producto inicial?

a) Queda multiplicado por 12b) Queda dividido por 6c) Queda multiplicado por 6d) Queda dividido por 12e) Faltan datos

11.Se repartió cierto número de naranjas entre 21 personas y después de dar 7 naranjas a cada persona sobraron 18. ¿Cuántas naranjas había?

Rpta: ...............

12. Si un comerciante vende a S/. 11 cada calculadora, gana S/. 75; pero si decide vender cada calculadora a S/. 6, pierde S/. 50. ¿Cuántas calculadoras tiene para vender?

Rpta: ...............

13.Si $ 163 se reparten entre cierto número de personas, a cada una le tocaría $ 9 y sobrarían $ 10. ¿Cuál es el número de personas?

Rpta: ...............

15.Si la edad de tu abuelito la multiplicas por 8, luego la divides por 10 y el cociente la multiplicas por 3 añadiendo en seguida 36, obtendrías 180. ¿Cuál es la edad de tu abuelito?

Rpta: ...............

16.Se organiza una función de teatro en nuestro colegio. Si el Señor "J.V" paga S/. 6 por cada entrada, le sobrarían S/.16; y si paga S/. 7 por cada entrada, le sobrarían S/. 8. ¿Cuántas entradas compró?

Rpta: ...............




17.Si el divisor es 31 y el resto por exceso 29. ¿Cuál es el resto por defecto?

Rpta: ...............

PROBLEMAS

1. Si , hallar a+b+x+y

2. Si , hallar (a+b)-(m+n)

3. Si el complemento aritmético de es igual

ala cantidad de numerales capicúas de cuatro

cifras del sistema heptanario, hallar x+y+z

4. Si a+b+c = 18, hallar:

5. hallar S si:

6. hallar la suma de:

7. ¿Cuánto hay que agregar como mínimo a

4678 para que la división entre 57 deje un

residuo máximo?

8. ¿Cuánto hay que restar como mínimo a 3652

para que la división entre 47 sea exacta?

9. Un número multiplicado por 72 resulta 3888.

¿Cuál es el resultado de multiplicar el mismo

pero por 85?

10.Si , el valor de a + b es:

a) 11 b) 10 c) 12d) 13 e) 9

11.Si , el valor de: (a+b+m+n) es:

a) 16 b) 20 c) 22d) 31 e) 19

12.Si , el valor de a + b es:

a) 8 b) 9 c) 11d) 12 e) 10

13.Si , el valor de a + b + c es:

a) 13 b) 14 c) 11d) 12 e) 10

14.Si , halle el

es:

a) 36 b) 38 c) 42d) 26 e) 58

15.Si los números 25n ; 40n y 53n forman una progresión aritmética, halle el valor de n.

a) 8 b) 5 c) 6d) 9 e) 7

16.Si , calcule

a) 200 b) 240 c) 300d) 60 e) 120

17.En una división entera inexacta, el divisor es 17 y el residuo el cuádruplo del cociente. Calcular la suma de los valores que puede tomar el dividendo.

a) 180 b) 190 c) 200d) 220 e) 210




18. Se divide 5 532 entre cierto número, siendo la suma del residuo por defecto y el residuo por exceso 13. hallar el cociente por exceso.

a) 420 b) 421 c) 423d) 422 e) 426

19. ¿Cuántos números de 3 cifras tienen por complemento aritmético un número de 2 cifras?

a) 99 b) 100 c) 90d) 80 e) 89

20.Un número se multiplica por 37 y al sumar los productos parciales resulta 7890. ¿Cuál es la suma de cifras del número?

a) 20 b) 20 c) 21d) 25 e) 28

21. Hallar un número que al ser divido entre 45 da un cociente de 24 y un residuo máximo

a) 1124 b) 1130 c) 1150d) 1230 e) 1344

PROPUESTOS

22.En una división inexacta efectuada por defecto, al residuo le falta 12 unidades para ser máximo el que seria mínimo se le restase 10 unidades. Si el cociente es 21, ¿Cuál es la suma de cifra del dividendo?

a) 17 b) 18 c) 15d) 8 e) 11

23.¿Cuál es el mayor número de 3 cifras que al ser divido entre un numero de 2 cifras da 8 de cociente? Dar como respuestas la suma de cifras del número.

a) 12 b) 18 c) 21d) 13 e) 9

24.La suma de cifras de 2 números es 82, los cocientes de estos números con un tercero son 5 y 6, dando por residuos 2 y 3, respectivamente. ¿En cuanto difieren los números?

a) 7 b) 8 c) 9d)10 e) 11

25.Si: ; a2 + b2 + e2 = c3 + d2 + 5

a>b>c>e>1Calcular: (x+y+z)

a) 24 b) 28 c) 55d) 27 e) 26

26.Sabiendo que:

Calcular: (a+b+x+y+z)

a) 27 b) 28 c) 31d) 30 e) 29




NUMERACIÓN

Es la parte de la aritmética que estudia la formación, escritura y la lectura de los números.La numeración puede ser:

Escrita o simbólica: Es aquella que emplea símbolos llamados cifras, guarismos o caracteres.Oral o hablada: Es aquella que emplea VOCABLOS o PALABRAS

1. SISTEMA DE NUMERACIÓN

Es el conjunto de reglas y principios que rigen la formación, escritura y lectura de los números, mediante la adecuada combinación de un grupo reducido de símbolos y palabras.

1.1 Base de un Sistema de Numeración

Es aquel número que nos indica la cantidad de unidadesde un orden cualquiera que se requieren para formar unaUnidad de orden superior.

Ejemplos

1. Sistema de Base 10:

Diez unidades forman 1 decena (unidad de segundo orden)Diez decenas forman 1 centena (unidad de tercer orden)etc.

2. Sistema de base 4:

Cuatro unidades de primer orden forman 1 unidad de segundo ordenCuatro unidades de segundo orden forman 1 unidad de tercer orden

Cuatro unidades de tercer orden forman 1 unidad de cuarto orden, etc.

3. Contar en base 4

3 2(4)

Base

Base 10: 14 Base 4: 32(4) "Se lee tres dos en base cuatro"




4. Contar en base 3

Base 10: 23 Base 3: 212(3) "Se lee: dos uno dos en base tres"

2.2 Características de un Sistema de Numeración

a) En cualquier Sistema de Numeración existen tantas cifras como el valor de la base y con las combinaciones de ellas se pueden formar todos los números posibles de dicho sistema.

b) El mínimo valor que puede tomar una cifra en cualquier sistema es el cero y el máximo es una unidad menos que el valor de la base.

c) La base de un Sistema de Numeración es un número entero positivo mayor que 1.d) La base de un Sistema de Numeración siempre es mayor que cualquiera de las cifras que se

usan en dicho sistema.

Ejemplo:

4271(5) numeral mal escrito

314(7) numeral bien escrito

1358(6) numeral mal escrito

64103(8)numeral bien escrito

2.3 Nomenclatura de los Sistemas de Numeración

Base Nombre del Sistema Cifras utilizadas

2 Binario 0,13 Ternario 0,1,24 Cuaternario 0,1,2,35 Quinario 0,1,2,3,46 Senario 0,1,2,3,4,57 Heptanario 0,1,2,3,4,5,68 Octanario u octal 0,1,2,3,4,5,6,79 Nonario o nonal 0,1,2,3,4,5,6,7,810 Decimal 0,1,2,3,4,5,6,7,8,911 Undecimal 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,12 Duodecimal 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,

. . .. . .n Enesimal 0,1,2,3,4,..........,n-2, n-1

NOTA: Para bases mayores que diez se usan los símbolos etc., que representan las cifras diez, once, doce, etc., respectivamente, también se pueden las letras del abecedario.




cifra diez: = a = Acifra once: = b = Bcifra doce: = c = C

Ejemplos:34A5(12) "Se lee: tres cuatro A cinco en base doce"62B7C(15) "Se lee: seis dos B siete C en base quince"

3. VALORES DE UNA CIFRA

3.1 Valor Relativo o Posicional (V.R.).- Es el valor que representa la cifra por la posición que ocupa dentro del número.

3.2 Valor Absoluto o por su forma (V.A).- Es el valor que representa la cifra por la forma que tiene.

Ejemplos:

4. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICAEn todo Sistema de Numeración, cualquier número se puede escribir como la suma de los valores relativos de sus cifras.

Ejemplos:

1. 632 = 600 + 30 + 2 [BASE 10]

2. 5479 = 5 x 103 + 4 x 102 + 7 x 10 + 9 [BASE 10]

3. 235(7) = 2 x 72 + 3 x 7 + 5 [BASE 7]

4. 4523(8) = 4 x 83 + 5 x 82 + 2 x 8 + 3 [BASE 8]

5. ORDEN DE UNA CIFRAEs el lugar que ocupará una cifra empezando de derecha a izquierda.Ejemplo:




En cualquier Sistema de Numeración,la cifra de primer orden, es la de las unidades

6. REPRESENTACIÓN LITERAL DE UN NÚMEROCada cifra de un número puede ser representado por una letra del abecedario y todas ellas cubiertas por una barra horizontal, para distinguirlos de las expresiones algebraicas.

: Representa cualquier número de dos cifras de la base n

: Representa cualquier número de tres cifras de la base 10, puede ser:{100, 101, 102, 103, .................., 998, 999}

: Representa cualquier número de cuatro cifras de la base 10, que termina en 37, puede ser: {1037; 1137; 1237; 1337; .....; 9837; 9937}

: Representa cualquier número de 3 cifras de la base seis; que termina en 4, puede ser:{104(6); 114(6); 124(6); ........;544(6); 554(6)}

: Representa cualquier número de 3 cifras de la base cinco, donde la cifra de segundo orden es el doble de la cifra de tercer orden puede ser:{120(5); 121(5); 122(5); ............; 244(5)}

7. NÚMERO CAPICUAEs aquel número que se lee igual de derecha a izquierda o de izquierda a derecha, también se dice que es aquel número cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales.

Ejemplos:

414

7557

53235

abccba

(7)

(9)

(8)

(n )

8. CONVERSIÓN DE UN NÚMERO DE UNA BASE A OTRASe presentan tres casos:

8.1 Caso I: De base "n" a base 10




En este caso se calcula el número de unidades simples que posee dicho número, para esto es suficiente aplicar la "descomposición polinómica" del número y efectuar las operaciones indicadas.

* Ejemplo: Convertir 324(7) a la base 10

324(7) = 3x72 + 2x7 + 4 = 165324(7) = 165

8.2 Caso II: De base 10 a base "n"

Se efectúa empleando el método de "divisiones sucesivas", para lo cual se divide el número dado entre "n" (base del sistema al cual se desea pasar). Si el cociente es igual o mayor que "n" se divide este nuevamente entre "n" y así sucesivamente hasta obtener un cociente menor que "n". El nuevo número estará formado por el último cociente y todos los residuos obtenidos de derecha a izquierda.

Ejemplo: Convertir 328 a la base 6

8.3 Caso III: De base "n" a base "m" (n, 10,m)

En este caso primero se convierte el número de base "n" a la base 10 y el resultado se convierte a la base "m"

Ejemplo: convertir 413(8) a la base 5

Primero: 413(8) a la base 10

413(8) = 4x82 + 1x8 + 3 = 267Luego: 267 a la base 5

PROPIEDAD:

Si un número es expresado en dos sistemas de numeración, se cumple que: "a mayor representación aparente le corresponde menor base y viceversa"

Ejemplos:




413 = 2032(8) (5)

-

-

+

+

512 = 312(7) (9)-

-

+

+

Aplicación:

25a = 3ab

27 = 2m 1

(m )

(a)

(n)

(b)

+

+

+

+

-

-

-

-

n < m

a > b

PROBLEMAS

01. Escribe los primeros 5 números de dos cifras de la base 4.

02. Escribe los 5 últimos número de dos cifras de la base 6.

03. ¿Cuántos números e escriben con dos cifras en base 3?

04. Hallar el mayor numeral de 4 cifras diferentes de la base 8.

05. ¿cual es el mayor numeral de 4 cifras pares menores que 6800?

06. ¿Cuál es el mayor numeral menor de 5000 que se escribe con 4 cifras impares diferentes?

07. Ordenar en forma ascendente los números: 46(9); 133(5); 66(8) y 220(4)

08. Ordenar en forma descendente los números: 67(8); 82(9); 105(7) y 421(5)

09. Rellenar el cuadro siguiente:

Base 10 Base 9 Base 5 Base 11452(9)

434(5)

128

2413(5)

10. Si se escribe en base 8, resulta el mayor numeral de 3 cifras diferentes en esta base; entonces el valor de a + b + c es:

11. Hallar el mayor numeral de 3 cifras diferentes, cuya suma de cifras sea 18.

a) 981 b) 918 c) 819d) 998 e) 919

12. ¿Cuál es el mayor numeral de la forma ?. Dar como respuesta la suma

de sus cifras

a) 6 b) 18 c) 24d) 12 e) 30

13. ¿Cuál es el euivalente del numeral:

escrito en base 8?

a) 210(8) b) 163(8) c) 211(8)

d) c ó d e) 136(8)

14. Si , el valor de n es:

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9




15. Si , hallar el valor de a+b+n

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

16. Si , hallar el valor de

a) 15 b) 17 c) 25d) 35 e) 22

17. Determine la suma de cifras de un numeral de tres cifras de la base 7, si al invertir el orden de sus cifras queda expresado en base9.

a) 8 b) 9 c) 11d) 10 e) 12

18. Si el triple de ab( )7 es

ba( )7 . Hallar a+b

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

19. Si: 675 = 3043(x). Hallar x

a) 5 b) 7 c) 6d) 4 e) 9

20. Hallar : a2 + b2

Si:

a) 20 b) 26 c) 34d) 45 e) 25

21. Hallar: b2 – a2

Si:

a) 8 b) 9 c) 5d) 16 e) 7


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ARITMTICA 1ø_IIB