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Como Arquimedes Utilizou a Lei da Alavanca
para Calcular o Volume de uma Esfera
www.ifi.unicamp.br/~assis
André K. T. Assis
Instituto de Física
UNICAMP
Arquimedes e a Lei da Alavanca
ou
• Nascimento em Siracusa, atual Itália.
• Filho do astrônomo Fidias.
• Muitos trabalhos enviados para Alexandria.
(biblioteca de ~ 300 a. C. até ~ 400 d. C.)
• Participou da defesa de Siracusa, então aliada de Cartago contra Roma.
• Obra Sobre o Equilíbrio dos Planos: Lei da alavanca e cálculo de centros de gravidade.
• Obra Sobre os Corpos Flutuantes: Lei do empuxo ou princípio de Arquimedes. Equilíbrio de corpos na água.
Arquimedes (287-212 a. C.)
2
3
Euclides, Os Elementos (~ 300 a.C.)
1
2
1
2
D
D
C
C=
2
1
2
1
2
=
D
D
A
A
3
1
2
1
2
=
D
D
V
V
Por exemplo, se D2 = 3D1 então
C2 = 3C1, A2 = 9A1 e V2 = 27V1
4
Alguns resultados de Arquimedes
relativos ao círculo (C) e à esfera (E):
rC 2=
14,3 2 rAC =
3
4 3rVE
=
2 4 rAE =
Obra de Arquimedes: Medida do Círculo
Por semelhança de figuras:
=== constante 1
1
2
2
D
C
D
C
Mas constante = = ?5
rrDC 22constante ===
“A razão da circunferência de qualquer círculopara seu diâmetro é maior do que 3 e 10/71 masmenor do que 3 e 1/7.”
1429,3 1408,3 D
C
Inscrevendo e circunscrevendo dois polígonos de 96 ladosem um círculo, Arquimedes provou o seguinte resultado:
...
6
Também no trabalho Medida do Círculo:
( ) 2 2
2
22
r
rrrdsrdsAC
=
=
=
==
...
7
“A área de qualquer círculo é igual a um triânguloretângulo no qual um dos lados ao redor doângulo reto é igual ao raio, e o outro [lado é igual]à circunferência do círculo.”
2 2
2r
rrAC
=
=
8
Outra obra de Arquimedes: Sobre a Esfera e o Cilindro
( )2 4 rAE =
rrVV EC 2 2
3 2 ==
9
“A superfície de esfera é quatro
vezes seu círculo máximo.”
“Todo cilindro cuja base é o
círculo máximo de uma esfera e
cuja altura é igual ao diâmetro
da esfera é 3/2 da esfera.”
3
4 3rVE
=ou
Como Arquimedes descobriu esses resultados?
Obras de Arquimedes
Encontram-se principalmente em textos dosséculos XV e XVI, copiados de dois manuscritos dosséculos IX e X, atualmente perdidos.
O terceiro manuscrito do século IX,encontrado apenas em 1906, é umpalimpsesto. Contém a única versãoconhecida da obra endereçada aEratóstenes com título: O Métododos Teoremas Mecânicos
Heiberg (1854 – 1928)10
11
“Grandezas comensuráveis se equilibram emdistâncias inversamente proporcionais a seus pesos.”
A
B
B
A
P
P
d
d=
A lei da alavanca aparece na obra
Sobre o Equilíbrio dos Planos:
Livro disponível em formato PDF emwww.ifi.unicamp.br/~assis
12
Na obra O Método dos Teoremas MecânicosArquimedes explicou a Eratóstenes como descobriu o
volume e a área da esfera usando a lei da alavanca:
13
=
Círculo Círculo
Círculo
+=
14
Da matemática elementar obteve:
“Postulado 6. Se grandezas seequilibram a certas distâncias,então grandezas equivalentesa estas grandezas seequilibrarão, por sua vez, nasmesmas distâncias.”
15
“Todo cilindro cuja base é o
círculo máximo de uma esfera e
cuja altura é igual ao diâmetro da
esfera é 3/2 da esfera.”
3
4 3rVE
=
33
rArdaVV E
CE
=
==
Como:
=
3
4
2 rrVE
Vem: ( )2 4 rAE =
“A superfície de qualquer esfera é quatrovezes seu círculo máximo.”
Área da esfera:
16
17
Dissertação de mestrado de Ceno Pietro
Magnaghi (2011).
Título: Análise e Tradução Comentada da Obra
de Arquimedes Intitulada “Método sobre os
Teoremas Mecânicos”
Disponível em formato PDF em:
www.ifi.unicamp.br/~assis
Livros disponíveis emwww.ifi.unicamp.br/~assis
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