Artigo v Encontro_Trabalho Completo_cadeias de Markov

8/17/2019 Artigo v Encontro_Trabalho Completo_cadeias de Markov

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Anais do V Encontro Internacional de Ensino e Pesquisa em Ciências na Amazônia

Centro de Estudos Superiores de Tabatinga/Universidade do Estado do Amazonas

Tabatinga/AM, 05-09 de dezembro de 2015

ISBN: XXXX-XXXX

Cadeias de Markov como aplicação da Álgebra Linear

PEREIRA, E. R.1; SOUZA, L. H.

2; Carvalho, E.F.

3CASTAÑEDA, P.

4

1

Universidade do Estado do Amazonas(UEA),2,3,4

Universidade do Estado do Amazonas (UEA)[email protected]

RESUMOO trabalho vem responder uma pergunta frequente nas aulas de Álgebra Linear, onde eu vou aplicar isso? Ascadeias de Markov estudam fenômenos naturais e sociais que envolvem conhecimento de matrizes,resolução de sistemas lineares e probabilidades. Foram estudados exemplos no campo da genética e napsicologia, que mostraram o quando este tipo de conhecimento é útil para resolver alguns problemas deMatemática Aplicada.Palavras – chave: Matrizes, sistemas lineares, probabilidade, cadeias de Markov.

RESUMEN OU ABSTRACTThe work comes answer a frequently asked question on the Linear Algebra classes where I will apply it?Markov chains studied natural and social phenomena that involve knowledge of matrices, linear systemsresolution and odds. Examples were studied in the field of genetics and psychology, who have shownwhen this type of knowledge is useful for solving some applied mathematics problems. Palabras clave ou Keywords: Matrices, linear systems, probability, Markov chains.


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PEREIRA et al ., 2015

V Encontro Internacional de Ensino e Pesquisa em Ciências na Amazônia

INTRODUÇÃOMuitos dos processos que ocorrem na natureza e na sociedade podem ser estudados

como se o fenômeno estudado passasse, a partir de um estado inicial, por uma sequencia de

estados, onde a transição de um determinado estado para o seguinte ocorreria segundo uma

certa probabilidade. No caso em que esta probabilidade de transição depende apenas do

estado em que o fenômeno se encontra e do estado a seguir, o processo só será chamado

processo de Markov e uma sequência de estados seguindo este processo será denominado

uma cadeia de Markov (BOLDRINI, 1986).

As Cadeias de Markov são usadas para resolver certos problemas dentro da teoria das

probabilidades. Dependem diretamente da teoria das matrizes e sistemas lineares.

Uma matriz real A de ordem m × n é uma tabela de m x n números reais organizados em

m linhas e n colunas na forma

quando n=m a matriz A é dita quadrada de ordem n. Os elementos aij , onde i=j formam adiagonal principal da matriz quadrada.

Numa forma compacta a matriz A pode ser representada por A=[aij ] mxn, com i=1, 2, ..., m

e j=1, 2, ..., n. Temos alguns tipos de matrizes especiais, seja pelo número de linhas ou colunas.

Matriz Linha: é uma matriz com apenas uma linha.

Matriz Coluna: é uma matriz com apenas uma coluna.

Matriz Nula: é uma matriz que possui as entradas nulas.

Matriz Diagonal: é uma matriz quadrada onde os elementos que não pertencem a diagonal

principal são nulos.

Matriz Identidade de ordem n (In): é toda matriz diagonal cujos elementos da diagonal

principal são iguais a 1 .

Igualdade de Matrizes: Duas matrizes A = [aij ]m×n e B = [bij ]m×n , são iguais quando aij = bij , i =

1,..., m, j = 1,..., n.

Soma de Matrizes: Dadas duas matrizes A = [aij ]m×n e B = [bij ]m×n, define-se A + B como a matrizC = [cij ]m×n tal que cij = aij + bij , i = 1,..., m, j = 1,..., n.


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Sobrenome 1º. autor et al ., 2015


Multiplicação de um escalar por uma matriz: Define-se a multiplicação de um escalar (número

real) α por uma matriz A = [aij ]m×n como sendo uma matriz B = [bij ]m×n tal que bij = αaij , i = 1,... ,

m, j = 1,...,n.

Diferença de Matrizes: Dadas duas matrizes A = [aij ]m×n e B = [b ij ]m×n, define-se a diferença A−B como a matriz A + (−1)B.

Multiplicação de Matrizes: Dadas duas matrizes A = [aij ]m×n e B=[b jk ]n×p, define-se produto AB

como a matriz C=[cik ]m×p tal que

cik = ai1b1k + ai2b2k + ... + ainbnk = ∑ = Obs.: O produto de matrizes não é comutativo, em geral AB≠ BA. Matriz Transposta: Dada uma matriz A = [aij ]m×n, define-se a matriz transposta de A, denotada

por At , como a matriz At = [a’ij]n×m, onde a’ij= a ji, i = 1,...,n e j = 1,...,m.

Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de

equações da forma:

com aij , i = 1,...,m, j = 1,...,n, números reais. Uma solução do sistema é uma n−upla de números

(x1, x2, ... ,xn ) satisfazendo simultaneamente as m equações. Podemos escrever o sistema na

forma matricial Ax=b, onde A é a matriz dos coeficientes, x é a matriz das incógnitas e b a matriz

dos termos independentes.

Temos a matriz ampliada do sistema, cujos elementos são os coeficientes e os termos

independentes, ou seja, trata-se de uma matriz de ordem m x (n+1)


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Quando a matriz coluna dos termos independentes é formada por elementos todos

nulos o sistema é chamado sistema linear homogêneo.

Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas equivalentes são equivalentes.

Usaremos também para estudar as cadeias de Markov a teoria de probabilidade.

Modelos matemáticos podem ser determinísticos quando as condições sob as quais o

experimento é realizado determinam o resultado do experimento, e não determinísticos

quando não é possível prever de antemão seus resultados. Neste último caso diz-se que o

experimento é aleatório.

O cálculo da probabilidade envolvem além do conceito de experimento aleatório, os

conceitos de espaço amostral e evento.

Espaço amostral é definido como sendo o conjunto formado por todos os resultados

possíveis de um experimento aleatório. Um subconjunto de um espaço amostral é denominado

evento.

Seja U um espaço amostral e A⊂ U, um evento. A probabilidade de ocorrer o evento A é

definida por

onde n(U) é o número de elementos do espaço amostral U, e n(A) é o número de elementos do

evento A.

Este exemplo envolve apenas dois estado. Uma forma gráfica de representar umacadeia de Markov é através do diagrama de transição, mostrado abaixo para três estado


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De forma geral, vamos representar os estados e as probabilidades de transição,

respectivamente, por E i e pij , onde pij representa a probabilidade de haver uma transição do

estado E i para o estado E j .

Para um processo com k estados a matriz das probabilidades de transição, ousimplesmente, matriz de transição, é dada por,

onde cada elemento pij é um número real, pij ∈ [0, 1], i, j = 1,...,k , que significa a probabilidade do

sistema mudar do i -ésimo estado para o j -ésimo estado.

Exemplo 2. Determinar a matriz de transição da Cadeia de Markov do seguinte

problema: Conferindo os registros de doações recebidas, uma certa entidade filantrópica

observa que 80% dos seus associados que contribuem ao fundo da entidade em um certo ano,

também contribuem no ano seguinte e que 30% dos que não contribuem em um certo ano,

contribuem no ano seguinte. Isto pode ser visto como uma Cadeia de Markov de dois estados.

O primeiro estado corresponde a um associado que contribui em um ano qualquer e o segundo

estado corresponde a um associado que não contribui naquele ano.

A matriz de transição é dada por,

P = 0,8 0,20,3 0,7 observe que pij ≥ 0, e que a soma de cada linha da matriz P deve ser igual a 1.

No caso geral, se P = [pij ] é a matriz de transição de uma Cadeia de Markov com k

estados, deve-se ter que

pi1 + pi2 + · · · + pik = 1, i = 1,2,...,k.

O vetor estado ou de probabilidade de uma observação de uma Cadeia de Markov com

k estados é um vetor linha x cuja i -ésima componente x i é a probabilidade do sistema estar no i -

ésimo estado naquela observação.

x = … Considerando x (i) o vetor estado na i-ésima observação de uma Cadeia de Markov e x (0) o

vetor estado numa observação inicial de uma Cadeia de Markov, temos o seguinte resultado.


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Se P é a matriz de transição de uma Cadeia de Markov e x (n)

é o vetor estado na n-ésima

observação, então

x (n+1)

= x (n)

P

Donde temos x

(1)= x

(0)P x (2)= x (1)P= x (0)P2 x (3)= x (2)P= x (0)P3

...

x (k)

= x (k−1)

P= x (0)

Pk

desta forma, concluímos que o vetor estado inicial x (0) e a matriz de transição P determinam x (k)

para k = 1, 2, 3,...

No exemplo 2, um registro futuro provável de contribuição de um novo associado que

não contribuiu para este ano de 2013, o qual vamos considerar como o ano inicial das

contribuições.

x (0)

= 0 1 logo

x (1) = x(0)P = 0 1 0,8 0,20,3 0,7= 0,3 0,7 x

(2) = x

(1)P = 0,3 0,7 0,8 0,2

0,3 0,7= 0,45 0,55

x (4)

=0,563 0,438 x (5) =0,581 0,419 x

(6)=0,591 0,409 ... x (n) =0,600 0,400

é a forma de recorrência de calcula os x(n), que podem ser calculados utilizando apenas o x(0) e a

matriz de transição P, como vemos para x (2) e x (4)

x (2)

= x (0)

P2 = 0 1 0,8 0,20,3 0,72 = 0 1 0,7 0,30,45 0,55 = 0,45 0,55

x (4)

= 0 1 0,8 0,20,3 0,74 = 0 1 0,625 0,3750,563 0,438 = 0,563 0,438 METODOLOGIA

A metodologia foi retirada dos estudos de SILVA(2013), fazendo algumas adaptações

necessárias.

Uma matriz de transição é regular se existe uma potência positiva da matriz com todas

as entradas positivas.Se P é uma matriz de transição regular, então


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P(n)→

[

⋯⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ]

quando n → ∞, onde os qi são números positivos tais que q1 +q2 +q3 +···+qk = 1, i = 1, 2, . . . , k.

Fazendo Q=

[

⋯⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ]

e q= … , esta matriz Q tem a seguinte propriedade:

se x é qualquer vetor de probabilidade, então

xQ = … [

⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ] =

[

⋯

⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ]

=

= ( ⋯ ) ( ⋯) … ( ⋯) = ( ⋯) … = … ou seja, se P é uma matriz de transição regular e x é um vetor de probabilidade qualquer, então

xP n→ …

quando n → ∞, onde q é um vetor de probabilidade fixo ou um vetor de estado estacionário,

independente de n, cujas entradas são todas positivas.

O vetor de estado estacionário q de uma matriz de transição regular P é o único vetor de

probabilidade que satisfaz a equação

qP = q

donde podemos escrever o seguinte sistema linear homogêneoq – qP=0, isto é, q(I – P) = 0

onde I é uma matriz identidade e P é a matriz de probabilidade.

RESULTADOS E DISCUSSÃOAplicações de Cadeias de Markov

Na Genética


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Uma planta pode ter flores vermelhas (V), cor de rosa (R) ou brancas (B), dependendo

dos genótipos VV, VB e BB. Ao cruzar cada um desses genótipos com um genótipo VB, obtemos

a seguinte tabela:

Tabela 1: probabilidades no cruzamento de cada genótipo com um genótipo VB

Flores da Planta Original

Flores da Planta

Descendente

V R B

V 0,5 0,5 0,0

R 0,25 0,5 0,25

B 0,0 0,5 0,5

Da tabela acima, podemos de imediato retira a matriz de probabilidade

G= 0,5 0,5 0,00,25 0,5 0,250,0 0,5 0,5 Suponha que cada geração sucessiva é produzida cruzando-se apenas com plantas do

genótipo VB. Quando o processo atingir o equilíbrio, que porcentagem das plantas terá flores

vermelhas, cor-de-rosa ou brancas?

A resposta a este tipo de questionamento resume-se em calcular o vetor q de

probabilidade fixo, como se segue:

Temos que q (I − P) = 0

assim, I − P= I – G = 1 0 00 1 00 0 1 - 0,5 0,5 0,00,25 0,5 0,250,0 0,5 0,5 =

0,5 −0,5 0,0−0,25 0,5 −0,250,0 −0,5 0,5 portanto, q (I − P) = 0

0,5 −0,5 0,0−0,25 0,5 −0,250,0 −0,5 0,5 =0Resultando no sistema abaixo

Escalonando a matriz ampliada do sistema, temos,


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ou seja, o sistema acima é equivalente ao seguinte sistema de duas equações

cuja solução é q2=2q1 e q3= q2, de onde q3= q1. Tomando q1 = x, q=x 1 2 1 e levando em

consideração q1 + q2 + q3 = 1 e q1 = s, q2 = 2s, e q3 = s, então x =

++ =

= 0,25.

Logo o vetor de probabilidade q é igual a q=, , , Concluímos que ao longo do tempo, 25% das plantas serão vermelhas, 50% serão rosas e

25% serão brancas.

Na psicologia

Em uma experiência um psicólogo coloca um rato cada dia em uma gaiola com duas

portas, A e B. O rato pode passar pela porta A, onde recebe um choque elétrico, ou pela porta

B, onde recebe comida. Mantém-se o registro da porta usada pelo rato.

No início do experimento, em uma segunda-feira, o rato tem a mesma probabilidade de

escolher a porta A ou a B. Depois de passar pela porta A e receber um choque, a probabilidade

de usar a mesma porta no próximo dia é 0,3. Depois de passar pela porta B e receber comida, a

probabilidade de usar a mesma porta no próximo dia é 0,6.

Qual a matriz de transição desta experiência?

É a matriz T=

0,3 0,70,4 0,6

Qual a probabilidade do rato passar pela porta A, na quinta-feira (terceiro dia após o

experimento)?

Para isto temos que calcular x (3)

x (0)

= 0,3 0,7 x

(3)= x

(0) 0,3 0,70,4 0,63= 0,3 0,7 0,363 0,6370,364 0,636 = 0,364 0,636 Na quinta-feira, terceiro dia após o início do experimento, 0, 364 ou 36, 4% de chance

do rato passar pela porta A. A probabilidade de o rato passar na porta B é de 0,636 ou 63,6%.


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Qual o vetor estacionário q, desta experiência?

q (I − P) = 0 → 1 00 1 − 0,3 0,70,4 0,6=0 Resulta o sistema

Cuja solução é q2 = q1, ou seja, q=s1 . Calculando s temos,

S =+ =

= ≈0,3636, logo q=0,3636 0,6364

Portanto, após n dias de experiência com n grande, a probabilidade do rato passar pela

porta A é de 36,36% e a de passar pela porta B é de 63,64%.

CONCLUSÕESA cadeias de Markov além de responder aos questionamentos de onde aplicar a teoria

das matrizes, resolução de sistemas lineares e probabilidade, nos dá subsídio para resolver

vários Problemas de Matemática Aplicada.

AGRADECIMENTOSÀ Universidade do Estado do Amazonas (UEA) por oportunizar e apoiar o

desenvolvimento deste estudo.

REFERÊNCIAS

ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra Linear com Aplicações trad. Claus Ivo Doering. - 8. ed.- Porto Alegre: Bookman. Brasil, 2001.

BOLDRINI, José Luiz et. Al. Álgebra Linear. 3. ed. - São Paulo: HARBRA ltda, Brasil, 1986.

CALLIOLI, Carlos A; DOMINGUES, Hygino H; COSTA, Roberto C. F. Álgebra Linear e aplicações. 6. ed. São Paulo: Atual. Brasil, 2003.

HAZAN, Samuel. Fundamentos da Matemática Elementar, 5. 7. ed. São Paulo: Atual, Brasil,2004.

KOLMAN, Bernard. Introdução a Álgebra Linear com Aplicações. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC.Brasil, 2006.

SILVA, Carlos Eduardo Vitória da. Aplicações da Álgebra Linear nas Cadeias de Markov.Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Goiás, Instituto de Matemática e Estatística.

Goiânia, Brasil, 2013.

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