SIMULASI ALIRAN FLUIDA DENGAN METODELATTICE GAS AUTOMATA (LGA)

Oleh Nur Anggraeni Budi Rahayu

ABSTRAK

LATAR BELAKANG

Persamaan dasar dari aliran fluida diperkenalkan oleh Navier pada tahun 1823, dan

beberapa tahun kemudian ditempat yang berbeda diperkenalkan oleh Stokes. Simulasi

aliran fluida dapat digambarkan dengan menyelesaikan persamaan tersebut. Persamaan

Navier-Stokes merupakan persamaan diferensial parsial nonlinier orde dua. Selama ini

belum terdapat solusi analitik penyelesaian persamaan tersebut. Metode yang digunakan

untuk mensimulasikan aliran fluida selama ini adalah metode Euler yaitu Finite Element

(FE) dan Finite Difference (FD) yang menggunakan anggapan bahwa, fluida

merupakan sistem yang kontinyu dan mengikuti hukum-hukum gerak Newton. Cara ini

sangat tidak efektif untuk dilakukan mengingat persamaan Navier-Stokes merupakan

persamaan yang sangat kompleks.

Stephen Wolfram dalam bukunya yang berjudul A New Kind Of Science,

memperkenalkan suatu metode Lattice Gas Automata (LGA) untuk mensimulasikan

aliran fluida dengan menganggap fluida sebagai sekumpulan partikel yang bergerak

pada ruang diskrit dan interval waktu yang diskrit. Hasil akhir simulasi aliran fluida

dengan plat penghalang statik ditunjukkan dalam buku tersebut tetapi tidak ditunjukkan

programnya secara lengkap.

Berdasarkan hal tersebut, maka dibuat program untuk mensimulasikan aliran fluida

dengan plat penghalang statis yang menghalangi gerakan fluida dan sistem fluida yang

Persamaan Navier-Stokes merupakan persamaan diferensial parsial nonlinier orde dua untuk aliran fluida. Simulasi aliran fluida dapat dilakukan dengan mencari solusi dari persamaan Navier-Stokes tersebut. Namun, persamaan Navier-Stokes sulit diselesaikan dengan metode analitik maupun metode numerik karena persamaan tersebut merupakan persamaan yang kompleks. Pada skripsi ini dihasilkan suatu program komputer bernama Program LGA yang menggunakan bahasa pemrograman Delphi 7.0 untuk mensimulasikan dua sistem fluida, yaitu fluida yang bergerak pada ruang terbatas tanpa plat penghalang dan fluida yang bergerak pada ruang tak terbatas dengan plat penghalang, dengan menggunakan metode Lattice Gas Automata (LGA) FHP model lain. Metode LGA adalah suatu metode yang menganggap fluida sebagai sekumpulan partikel yang bergerak pada ruang diskrit dan interval waktu yang diskrit serta mengikuti aturan tumbukan tertentu. Metode LGA ini lebih sederhana karena tidak melibatkan persamaan matematis yang rumit untuk mensimulasikan aliran fluida. Hasil simulasi Program LGA untuk sistem fluida yang bergerak pada ruang terbatas tanpa plat penghalang menunjukkan pola-pola yang sama dengan pola yang dihasilkan dengan menyelesaikan persamaan Navier-Stokes. Kelakuan partikel pada hasil simulasi aliran fluida untuk sistem fluida yang bergerak pada ruang tak terbatas dengan plat penghalang pada 10000 interval waktu sama dengan kelakuan partikel yang ditunjukkan Wolfram, tetapi mempunyai perbedaan pada jumlah sel, jumlah partikel, dan jarak antar sel yang digunakan.

bergerak pada ruang terbatas dengan menggunakan metode Lattice Gas Automata FHP

model lain. Hasil akhir program untuk mensimulaiskan aliran fluida dengan plat

penghalang statis diharapkan akan sesuai dengan hasil yang ditunjukkan Wolfram

(Wolfram, 2002:380).

KAJIAN PUSTAKA

A. Persamaan Navier Stokes

Persamaan Navier-Stokes didapatkan dengan mensubstitusi hukum ketiga Newton

kedalam elemen fluida dV. Bentuk umum persamaan Navier-Stokes dituliskan pada

persamaan (1) (Gilson, 2005).

……………………(1)

F adalah gaya luar dan µ adalah viskositas fluida. Untuk fluida yang tidak

termampatkan, maka persamaan harus disubtitusikan pada sistem. Jika

persamaan tersebut dikombinasikan dengan persamaan (1) maka persamaan Navier-

Stokes untuk fluida tidak termampatkan (misalnya air) dapat dituliskan pada persamaan

berikut.

………………….. (2)

………………………. (3)

Simulasi aliran fluida dapat dilakukan dengan mencari solusi persamaan Navier-Stokes.

Selama ini belum terdapat solusi analitik persamaan Navier-Stokes tersebut, karena itu

untuk mencari solusi persamaan Navier-Stokes dapat dilakukan dengan metode

numerik. Syarat awal dan syarat batas juga diperlukan dalam simulasi aliran fluida.

Secara umum, syarat awal yang digunakan adalah , dan

syarat batas untuk simulasi aliran fluida pada permukaan S dituliskan pada persamaan 4.

|s=0 ..................................... (4)

Metode numerik yang digunakan adalah metode Euler yaitu Finite Difference (FE) dan

metode Smothed Particle hydrodinamics (SPH). Hasil Simulasi dengan menggunakan

dua metode ini ditunjukkan pada Gambar 1. (Vesely, 2006

).

B. METODE LATTICE GAS AUTOMATA

Metode Lattice Gas Automata adalah metode cellular automata yang digunakan untuk

mensimulasikan sistem fluida. Model ini menganggap fluida sebagai sekumpulan

partikel yang bergerak pada ruang diskrit serta interval waktu yang diskrit. Dalam

model ini partikel dapat menempati kisi (ruang) yang bisa memiliki banyak arah

kecepatan. Lattice Gas Automata memiliki beberapa model yaitu model HPP dan model

FHP.

2.3.1 Model HPP (HardyPomeau Pazzis)

Model HPP adalah model Lattice Gas Automata pertama yang diperkenalkan

oleh Hardy, Pomeau, dan de Pazzis. Partikel hanya dapat bergerak pada arah

, dari kisi persegi seperti Gambar 2

Setiap partikel bergerak dengan kecepatan tertentu dari satu kisi ke kisi lain yang

merupakan tetangga terdekatnya pada setiap interval waktu. Prinsip dasar dari model ini

adalah tidak ada dua partikel atau lebih yang boleh menempati satu kisi yang sama

dengan arah kecepatan yang sama pula. Hal ini berarti bahwa satu kisi hanya boleh

ditempati oleh maksimum empat partikel pada setiap interval waktu. Apabila ada dua

atau lebih partikel menuju kisi yang sama, maka partikel-partikel tersebut akan

bertumbukan sesuai dengan aturan tumbukan seperti pada Gambar 3: apabila partikel

yang datang pada setiap kisi memenuhi konfigurasi pada kolom sebelah kiri, partikel

akan bertumbukan dan pada interval waktu berikutnya akan menghasilkan konfigurasi

Gambar 1 Hasil Simulasi aliran fluida dengan menggunakan metode numerik. (a) dan (c) menggunakan metode Euler. (b) dan (d) menggunakan metode SPH.

(a) (b)

(c) (d)

c3

c1

c4 c2

Gambar 2 Kisi segi empat yang digunakan dalam model HPP

seperti pada kolom sebelah kanan. Apabila konfigurasi partikel yang datang tidak

ditunjukkan pada Gambar 3, maka pada interval waktu berikutnya partikel akan

bergerak lurus. Berdasarkan aturan tumbukan tersebut dapat diamati bahwa jumlah

partikel dan momentum sebelum dan sesudah tumbukan adalah sama hal ini berarti

hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum terpenuhi.

Aplikasi dari model HPP sangat terbatas karena kisi persegi memiliki kesimetrian

yang terbatas, hal ini menyebabkan persamaan Navier-Stokes bersifat anisotropik.

Kelemahan tersebut tidak akan di dapatkan apabila digunakan kisi berbentuk segitiga

samasisi atau menggunakan simetri heksagonal.

2.3.2 Model FHP (Frisch Hasslecher Pomeau)

Model FHP diperkenalkan oleh Frisch, Hasslecher, dan Pomeau pada tahun

1986. Model FHP ini didasarkan pada kisi heksagonal. Keenam arah kecepatan,

, ditunjukkan pada Gambar 4 berikut.

, seperti pada model HPP, partikel bergerak dengan arah

kecepatan tertentu dan prinsip dasar dari model ini adalah bahwa tidak boleh ada dua

atau lebih partikel yang menempati kisi yang sama dengan arah kecepatan yang sama,

sehingga dalam satu kisi maksimum hanya dapat diisi oleh enam partikel pada setiap

interval waktu. Partikel dalam keadaan diam pun diperbolehkan dalam model ini, pada

arah e0, tetapi dapat bertumbukan dengan partikel lain yang datang pada kisi tersebut.

Gambar 3 Aturan tumbukan pada model HPP. Kolom sebelah kiri menunjukkan

konfigurasi partikel yang datang dan kolom sebelah kanan menunjukkan

konfigurasi partikel yang terjadi setelah tumbukan

Konfigurasi pada t=0 Konfigurasi pada t=1

c5

c4

c3 c2

c1

c6

Gambar 4 Kisi heksagonal yang digunakan pada model FHP

Contoh aturan tumbukan pada kisi heksagonal ditunjukkan pada Gambar 5. Apabila

aturan tumbukan pada Gambar 6 dirotasikan dengan kelipatan sudut , maka akan

didapatkan aturan tumbukan secara lengkap. Kolom sebelah kanan pada Gambar 5

menggambarkan konfigurasi partikel yang datang pada suatu kisi pada saat t, sedangkan

kolom sebelah kanan menggambarkan konfigurasi setelah tumbukan pada saat t+1.

Untuk konfigurasi masukan yang mempunyai kemungkinan konfigurasi keluaran yang

lebih dari satu, maka konfigurasi keluaran akan dipilih secara acak diantara

konfigurasi-konfigurasi keluaran yang mungkin. Dapat dilihat bahwa konfigurasi pada

Gambar 5 memenuhi hukum kekekalan jumlah partikel dan hukum kekekalan

momentum.

Beberapa model FHP antara lain diuraikan sebagai berikut.

atau

atau

atau

(g)

(c)

(e)

(f)

(d)

(a)

(b)

Gambar 5 Aturan tumbukan pada model FHP. Kisi digambarkan dengan sebuah titik

sedangkan partikel yang berada pada keadaan istirahat digambarkan dengan

lingkaran kosong.

atau

a. FHP Model I

Mengikuti aturan tumbukan (a) dan (b) pada Gambar 5.

b. FHP Model II

Mengikuti aturan tumbukan (a), (b), (c), dan (d) pada Gambar 5.

c. FHP model III

Mengikuti aturan tumbukan (a), (b), (c), (d), (e), (f), dan (g) pada Gambar 5

diitambah dengan aturan tumbukan antara empat atau lima partikel.

d. FHP Model Lain

Mengikuti aturan tumbukan FHP Model I tetapi aturannya boleh ditambah,

misalnya aturan tumbukan antara empat atau lima partikel.

METODE PEMROGRAMAN

Simulasi ini ditujukan untuk dua sistem fluida. Sistem fluida yang pertama adalah fluida

cair, misalnya air, yang terletak dalam bidang x, y tanpa plat penghalang. Domain dua

dimensi ini dianggap sebagai tampak atas dari fluida cair tiga dimensi yang bergerak

pada ruang terbatas. Sistem fluida yang kedua adalah fluida cair, misalnya air, yang

terletak pada bidang x, y dan terdapat penghalang statik berupa plat yang menghalangi

gerak fluida. Domain dua dimensi ini dianggap sebagai tampak atas dari sistem fluida

cair tiga dimensi yang mengalir dari atas ke bawah pada bidang yang panjang dan

lebarnya tidak terhingga.

Metode Komputasi

Program ini menggunakan model Lattice Gas Automata FHP model lain untuk

mensimulasikan aliran fluida yang bergerak pada ruang terbatas tanpa plat penghalang

dan untuk mensimulasikan aliran fluida yang bergerak pada ruang tak terbatas dengan

penghalang statis yang menghalangi gerak fluida. Partikel fluida dianggap sebagai

partikel diskrit dan menempati sel yang diskrit serta bergerak dengan interval waktu

yang diskrit.

Untuk menggambarkan setiap kejadian pada setiap interval waktu dalam model

FHP, digunakan variabel boolean, misalnya untuk menentukan ada atau tidaknya

partikel dalam satu kisi. Setiap partikel dalam FHP diasumsikan mempunyai kelajuan

serta massa yang sama dan bergerak pada interval waktu diskrit. Prinsip dasar dari

model ini adalah tidak ada dua atau lebih partikel yang menempati kisi sama dengan

arah kecepatan yang sama pula. Variabel boolean yang digunakan harus

merepresentasikan semua keadaan pada setiap kisi.

KEMUNGKINAN KONFIGURASI PARTIKEL PADA FHP MODEL LAIN

Gambar 6 adalah semua kemungkinan konfigurasi partikel pada FHP model lain, setiap

konfigurasi bisa digambarkan dengan notasi 6 bit, misalnya dalam satu sel yang tidak

terdapat partikel dapat ditulis dengan (000000), satu sel yang terisi penuh oleh partikel

dapat ditulis dengan (111111). Konfigurasi partikel hasil tumbukan diarsir dengan

warna merah.

Tetangga terdekat

Tetangga terdekat dari sebuah sel adalah heksagonal, maksudnya setiap sel hanya

bisa berinteraksi dengan enam sel lainnya yang mengelilingi sel tersebut (lihat Gambar

7). Tetangga terdekat dibedakan menjadi dua, yaitu tetangga terdekat untuk sel yang

terletak pada baris genap dan tetangga terdekat untuk sel yang berada pada baris ganjil.

Tetangga terdekat untuk sel r[i,j] yang terletak pada baris genap adalah:

t1[i,j]=r[i+1,j].c4, t2[i,j]=r[i,j+1].c5, t3[i,j]= r[i-1,j+1].c6, t4[i,j]= r[i-1,j].c1

t5[i,j]= r[i-1,j-1].c2, t6[i,j]= r[i,j-1].c3. Sementara tetangga terdekat untuk sel r[i,j]

yang terletak pada baris ganjil adalah:

t1[i,j]= r[i+1,j].c4, t2[i,j]= r[i+1,j+1].c5, t3[i,j]= r[i,j+1].c6, t4[i,j]= r[i-1,j].c1

t5[i,j]= r[i,j-1].c, t6[i,j]= r[i+1,j-1].c3.

t1[i,j], t2[i,j], t3[i,j], t4[i,j], t5[i,j], t6[i,j] bernilai 0 apabila tidak terdapat partikel dan

bernilai 1 apabila terdapat partikel.

000 001 100 011 101 110 111010

000

001

100

011

101

110

111

010

Gambar 6 Kemungkinan konfigurasi pada satu sel heksagonal FHP model lain

t6[i,j]

Gambar 7 Tetangga terdekat dari sel r[i,j]. Panah hitam menunjukkan kemungkinan arah kecepatan partikel.

t1[i,j]

t5[i,j]

t4[i,j]

t3[i,j] t2[i,j]

ATURAN TUMBUKAN

a. Tumbukan Antar Partikel

Aturan tumbukaan antar partikel sesuai dengan Gambar 8.

b. Tumbukan Partikel Dengan Dinding (Bidang Batas)

Aturan tumbukan antara partikel dan dinding sesuai dengan Gambar 9.

c. Tumbukan Partikel Dengan Plat Penghalang

Aturan tumbukaan antara partikel dengan plaat penghalang sama dengan aturan

tumbukan antara partikel dengan dinding.

atau

Konfigurasi sebelum Konfigurasi setelah tumbukan tumbukan

atau

atau

Gambar 3.5 Aturan tumbukan antar partikel pada FHP model lain. Kolom kanan

menunjukkan konfigurasi sebelum tumbukan dan kolom kiri menunjukkan

konfigurasi setelah tumbukan.

Arah Kecepatan Sesaat Sebelum

Menumbuk Plat

Arah Kecepatan Sesaat Setelah

Menumbuk Plat

arah c1 arah c4

arah c6 arah c2

Arah c2 Arah c4

Gambar 3.6 Aturan tumbukan dengan plat penghalang