CURS 1 Sisteme (filtre) elementare1. IntroducereUn echipament electronic de procesare a semnalelor include un ansamblu de subsisteme interconectate. Aceste subsisteme sunt definite prin funcii de transfer elementare, n sensul c acestea nu se pot descompune n funcii de transfer mai simple. Ele numite sisteme fundamentale sau, adesea, filtre elementare (denumire utilizat numai n electronic). Clasificarea sistemelor (filtrelor) elementare se face dup forma modelului matematic care leag mrimile de intrare i de ieire. O bun cunoatere a acestor elemente este esenial n analiza i sinteza sistemelor de procesare a semnalelor. Pentru subsistemele prezentate n continuare se vor specifica : ecuaia intrare-ieire ; rspunsul la impuls i funcia indicial, funcia de transfer i distribuia poli-zerouri ; rspunsul la frecven i expresiile amplificrii i defazajului ; caracteristicile Nyquist i Bode. Subsistemele liniare fundamentale se prezint distinct pentru cazurile : timp continuu i, respectiv, timp discret.

2 Sistemul ideal cu aciune proporional (amplificatorul ideal)Relaia intrare-ieire este de forma y (t ) = K u (t ) , pentru cazul : timp continuu, i y (k ) = K u (k ) , pentru timp discret. Parametrul K se numete coeficient static de amplificare. Funciile de transfer sunt H ( s ) = K - timp continuu, respectiv H ( z ) = K - timp discret u(t) 1 t 1 k0 1 2 3 4 5 6 7

(1) (2)

(3)

Rspunsul la semnal treapt al unui element (amplificator) ideal este prezentat n Fig. 1. u(k)

y(t) K t K

y(k)

0 1 2 3 4 5 6 7

k

a

bFig. 1 Rspunsul la semnal treapt al unui element (amplificator) ideal : a timp continuu ; b timp discret

Se constat c se reproduce la ieire, fr dinamic, forma semnalului de intrare, prin intermediul constantei (coeficientului de amplificare) K. Caracteristicile de frecvena pentru cazul timp continuu sunt ilustrate n Fig. 2. Amplificarea n dB este :ImH ( j )

AdB = 20log H ( j )20logK

ReH ( j )K a

( ) = argH ( j ) = 0

b

Fig. 2. Caracteristicile Nyquist (a) i Bode (b) ale elementului proporional ideal

AdB ( ) = 20.log H ( j ) = 20.log K ,

(4)

iar faza

(5) Atunci cnd timpul este discret, pulsaia este limitat superior la limita Shannon : S = e/2 (6) 3 Linia de ntrziere ideal 3.1 Cazul timpului continuu 1 - Ecuaia intrare-ieire estey (t ) = u (t )(7)

( ) = arg H ( j ) = 0

unde este ntrzierea. 2 - Rspunsul la semnal treapt este prezentat n Fig. 3. Semnalul aplicat la intrare este reprodus la ieire cu ntrzierea . 3. Funcia de transfer se obine aplicnd u(t) transformata Laplace ecuaiei (7): 1 Y ( s ) = U ( s ) e- s tde unde rezult

y(t)1/

H ( s ) = e s

(8)

t Fig. 3 Rspunsul la semnal treapt al unei linii de ntrziere ideale

4. Rspunsul la frecven esteH ( j ) = e j(9)

de unde se obin:

-

caracteristica de amplificare

A ( ) = H ( j ) = e j = 1 ; caracteristica de faz

AdB = 20.log A = 0.

(10) (11)

( ) = arg H ( j ) =

Caracteristicile Nyquist (locul de transfer) i Bode sunt prezentate n Fig. 4. Locul de transfer este un cerc, deoarece A ( ) = 1 i ( ) este variabl. In diagramele Bode, unde pulsaia din abscis este n scar logaritmic, caracteristica de amplificare este nul, AdB = 20 log A ( ) = 0 , iar caracteristica de faz este liniar n raport cu log , ns esteIm H ( j ) Re H ( j )AdB ( )

- 1sensul lui crescatora

( ) =

A =1

b

Fig. 4 Linia de ntrziere ideal - cazul timp continuu :caracteristica Nyquist (a), caracteristicile Bode (b)

neliniar n raport cu . Observaie. Dintre elementele fundamentale, linia de ntrziere cu timp continuu este singurul element cu funcie de transfer neraional (exponenial). Toate celelalte elemente (filtre) elementare au funcia de transfer raional, adic funcia de transfer este un raport de polinoame n s, n care gradul numrtorului este inferior sau la limit egal cu cel al numitorului (pentru sistemele strict cauzale, respectiv sisteme la limit cauzale). Pentru a aproxima funcia de transfer exponenial cu o funcie de transfer raional, se scrie expresia (8) soub forma:s e 2 s e2

H (s) =

s 1 s 1 + ... 2 2! 2 = s 1 s 1 + + + ... 2 2! 2 2 s 2 + s2

2

(12)

Dac se utilizeaz primii doi termen din dezvoltrile n serie, se obineH (s) Dac se utilizeaz 3 termeni, atunci (13)

H (s)

8 4 s + 2 s 2 8 + 4 s + 2 s 2

(14)

Funciile de transfer (13), (14) formeaz seria Pad, pentru aproximarea funciei de transfer (8).Utilizarea mediului Matlab. Aproximarea prin serie Pad se realizeaz cu funcia pade(tau,n), n care tau este ntrzierea, iar n ordiunul funciei de transfer raionale. Exemplu de utilizare: tau=0.5; n=4; [num,den]=pade(tau,n); sys=tf(num,den) Transfer function:s^4 40s^3 + 720s^2 6720s + 2.688e004 s^4 + 40s^3 + 720s^2 + 6720s + 2.688e004

3.2 Cazul : timp discret Ecuaia intrare-ieire estey ( k ) = u ( k k )

(15)

unde k este un parametru ntrg, reprezentnd ntrzierea exprimat n numr de pai de eantionare. Aplicnd n (15) transformata z, n condiii iniiale nule, rezult : Y ( z ) = z k U ( z ) de unde se obine funcia de transfer :

A() 1 (lin.) S () (lin.)

H ( z ) = z k

(16)

Rspunsul la frecven este

H e jTe = e j k Te

(

)

(17)

din care rezult caracteristicile de frecven : A ( ) = H e jTe = 1;

(

-k.S

( ) = arg H e jTe = kr Te ; (18)1 0 e 2

Fig. 5 Caracteristicile de frecven ale liniei de ntrziere cu timp discret

(

)

)

In Fig. 5 sunt date caracteristicile A() i (), unde pulsaia s-a considerat n scar liniar

4. Integratorul4.1 Cazul integratorului cu timpul continuu Ecuaia intrare-ieire a unui integrator ideal este

y ( t ) = kv u ( ) d =0

t

1t u ( ) d T0

(19)

unde : T este constanta de timp de integrare [s], kv =1/T - coeficientul de vitez [s-1]. Rspunsul la impuls i funcia indicial sunt prezentate n fig. 6. Se observ c intergatorul cu ecuaia (19) transform impulsul Dirac ntr-o treapt de amplitudine kv, iar treapta unitar este transformat ntr-un semnal de tip ramp, cu panta kv.1

u (t ) = (t )

u (t )1

ty (t ) h (t )1 h( ) ( t )

t

kva

kv t tb

t

Fig. 6 Rspunsul la impuls (a) i rspunsul indicial (b) ale unui integrator

- Funcia de transfer se obine aplicnd transformata Laplace ecuaiei (19), n condiii iniiale nule: 1 11 Y ( s ) = kv U ( s ) = U ( s) s T s de unde rezultk 1 H (s) = v = s Ts Se obsev c integratorul introduce un pol n originea planului s. - Rspunsul la frecven, k k - H ( j ) = v = j. v j k Im j v k Re j v AdB ( )20dB/dec

(20)

(21)

= kv

sensul crescator

=

( )2

a b Fig. 7 Caracteristicile Nyquist (a) i Bode (b) ale unui integrator

conduce la expresiile amplificrii i defazajului : k A() = v ; AdB = 20log kv 20log ;

2 Caracteristicile Nyquist i Bode sunt date n fig.7. Se observ din relaia (21) c rspunsul la frecven este mereu imaginar negativ, deci locul de transfer coincide cu semiaxa negativ imaginar. Atunci cnd 0 , rspunsul la frecven tinde spre j . In diagramele Bode (unde n abscis avem log), caracteristica amplificrii n dB variaz liniar cu log (v. rel. (22)), cu panta de 20 dB/dec. Tietura la abscis se obine la =kv=1/T. Deci, caracteristica AdB() a integratorului este o dreapt cu panta de de 20 dB/dec i tietura la abscis egal cu kv=1/T. Caracteristica de defazaj este de /2, la orice frecven.4.2 Cazul integratorului cu timp discret. Ecuaia intrare-ieire. n expresia (19) se adopt timpul discret t = kTe (Te este

( ) =

(22)

perioada de eantionare) i se consider, pentru simpliate, kv = 1 . Mrimea de ieire la momentul discret kTe se obine din (19) sub forma: y ( kTe ) = y ( k 1) Te + kTe

( k 1)Te

u ( ) d

(23)

Dac se aplic cea mai simpl metod de integrare metoda dreptunghiurilor se obtin ecuaiile:y ( kTe ) = y ( k 1) Te + Teu ( k 1) Te (24)

y ( kTe ) = y ( k 1) Te + Teu [ kTe ] (25) dup tipul de aproximare adoptat. In cele ce urmeaz se va admite ecuaia (24), care se va scrie mai simplu :y ( k ) = y ( k 1) + Teu ( k 1)

(26)

Funcia de transfer rezult prin aplicarea transformatei z ecuaiei (26):

T z 1 T H ( z) = e = e 1 z 1 1 zSe constat c integratorul cu timp discret are un pol pe cercul unitar, la z p = 1 . Rspunsul la frecven este

(27)

H e jTe = i se poate pune sub forma,

(

)

e

Te jTe

1

(28)

T 2j sin e e 2 2 j 2j Din aceast expresie se deduc caracteristicile de amplificare i de defazaj :jTe 2 jTe e 2

H e jTe =

(

)

Te jTe e 2

=

jTe e 2

Te e

jTe 2 jTe e 2

=

Te e

jTe 2

1

(29)

T 1 A ( ) = H e jTe = e 2 sin Te 2 T ( ) = arg H e jTe = e e 2 2

(

)

(

)

; 0 e 2

(30)

A ( )

A ( )

Te / 2 ( )

(lin)

2a

e / 2 (lin)

( )

(lin) (lin)

2b

Fig. 8 Caracteristicile de frecven ale integratorului cu timp discret (a) i cu timp continuu (b)

Cele dou caracteristici de frecven, cu n scar liniar, sunt reprezentate n fig.8.a. Dac se compar caracteristicile de frecven (30) ale integratorului cu timp discret (27) cu caracteristicile : A ( ) = 1 , ( ) = 2 (31) ale integratorului ideal cu timp continuu (v. fig. 8.b), se constat c, prin discretizarea timpului, se introduc erori importante, dup cum urmeaz : - caracteristica de amplificare tinde spre zero, cnd , la integratorul cu timp continuu, pe cnd caracteristica de amplificare a integratorului cu timp discret tinde spre Te/2, atunci cnd atinge valoarea limit S = e / 2 ; caracteristica de faz este constant, la valoarea 2 , la integratorul ideal cu timp continuu, pe cnd, la integratorul cu timp discret, faza variaz liniar de la 2 la . Deci, diferenele pot fi importante, n special la caracteristica de faz. Aceste erori pot fi considerate ca fiind acceptabile numai la valori reduse ale pulsaiei , cu alte -

cuvinte numai dac domeniul spectral al semnalului integrat este situat n zona de joas frecven a benzii de frecven a integratorului (frecvena maxim din spectrul semnalului de intrare se consider mult mai mic dect frecvena Shannon). Pentru valori mici ale pulsaiei , relaiile (30) devin : T T 1 1 1 A ( ) = e e = , 2 sin Te 2 Te 2 2 T ( ) = e 2 2 2

(32)

deci integratorul cu timp discret (27) are proprieti foarte apropiate de cele ale integratorului ideal cu timp continuu.

Curs 2 RecapitulareIntegratorul4.1 Cazul integratorului cu timpul continuu1t u ( ) d T0 0 unde : T este constanta de timp de integrare [s], kv =1/T - coeficientul de vitez [s-1]. Rspunsul la impuls i funcia indicialt

Ecuaia intrare-ieire

y ( t ) = kv u ( ) d =

1

u (t ) = (t )

u (t )1

ty (t ) h (t )1 h( ) ( t )

t

kva

tb

kv t t

Fig. 6 Rspunsul la impuls (a) i rspunsul indicial (b) ale unui integrator

-

Funcia de transfer

k 1 H (s) = v = s Ts - Caracteristici de frecven

(introduce un pol n originea planului s).

(20)

k A() = v ; AdB = 20log kv 20log ;

( ) =

2AdB ( )20dB/dec

= kv ( )2

Fig. 7 Caracteristicile Bode ale unui integrator

4.2 Cazul integratorului cu timp discret. Ecuaia intrare-ieire.

y ( kTe ) = y ( k 1) Te +

kTe

( k 1)Te

u ( ) d

(23)

Pentru metoda dreptunghiurilor se obtin ecuaiile:

y ( kTe ) = y ( k 1) Te + Teu ( k 1) Te y ( kTe ) = y ( k 1) Te + Teu [ kTe ] Din ecuaia y ( k ) = y ( k 1) + Teu ( k 1) rezult funcia de transfer :

T z 1 T H ( z) = e = e 1 z 1 z 1T 1 ; A ( ) = e 2 sin Te 2

(are un pol pe cercul unitar, la z p = 1 )

Caracteristicile de amplificare i de defazaj sunt:

( ) =

T e e ; 0 e 2 2 2

; 0 e 2

(30)

Dac se compar aceste caracteristici cu cele ale integratorului ideal cu timp continuu :A ( ) = 1 , ( ) = 2

se constat (v. fig. 8) c, prin discretizarea timpului, se introduc erori importante. A ( ) A ( )

Te / 2 ( )

e / 2 (lin)

(lin)

( )

(lin) (lin)

2 a

2b

Fig. 8 Caracteristicile de frecven ale integratorului cu timp discret (a) i cu timp continuu (b)

Pentru valori mici ale pulsaiei , relaiile (30) devin :

T T 1 1 1 T e = , ( ) = e A ( ) = e 2 sin Te 2 Te 2 2 2 2 2 deci integratorul cu timp discret (27) are proprieti apropiate de cele ale integratorului ideal cu timp continuu.

Presupunem acum c se utilizeaz metoda trapezelor pentru aproximarea integralei din ecuaia (23), se obine un integrator care este descris prin ecuaia n difereneT y ( k ) = y ( k 1) + e u ( k ) + u ( k 1) 2

(33)

la care corespunde funcia de transferT 1 + z 1 H ( z) = e 2 1 z 1

(24)

In acest caz, rspunsul la frecven este: jTe jTe e 2 +e 2 e Te 1 + e jTe Te = Te ctg Te = = jTe 2j 2 1 e jTe 2 jTe jTe 2 e 2 e 2 e 2 jTe 2

H e jTe

(

)

(25)

i rezult caracteristicile de frecvenT T A ( ) = e ctg e , ( ) = ; 2 2 2

0 e 2

(26)

Se constat c acest integrator aproximeaz mai bine integratorul ideal cu timp continuu, deoarece caracteristica de faz este identic cu cea a integratorului ideal.

5. Derivatorul ideal5.1 Derivatorul ideal cu timp continuu Derviatorul ideal este un element necauzal i va fi prezentat n cele ce urmeaz ca model de realizare ideal a funciei de derivare a unui semnal. Ecuaia intrare-ieire a derivatorului ideal este

y ( t ) = Td

du ( t ) dt

(27)

unde Td este constanta de timp de derivare [s]. Rspunsul indicial este un impuls Dirac de arie Td , ntruct derivata treptei unitare este distribuia (t) (fig.9). Funcia de transfer se obine din ecuaia (27) : u(t) H ( s ) = Td s (28)1

t

TD

y ( t ) h(

1)

(t )

t

Se observ c derivatorul introduce un zero n originea planului s. Rspunsul la frecven, H ( j ) = jTd , (29) conduce la expresiile amplificrii i defazajului :

Fig. 9 Rspunsul indicial al derivatorului ideal

A ( ) = H ( j ) = Td ; AdB ( ) = 20log + 20 log Td

(30) (31)

( ) =

2

AdB ( )20 dB/dec

Im H ( j )

sensul crescatorRe H ( j )

1 Td

2

( )0

=0

a

b

Fig. 10 Caracteristicile Nyquist (a) i Bode (b) ale derivatorului ideal

Caracteristicile Nyquist i Bode sunt prezentate n fig.10. Deoarece rspunsul la frecven (20) este imaginar i pozitiv, caracteristica Nyquist coincide cu semiaxa pozitiv imaginar. In diagramele Bode, caracteristica de amplificare are panta de +20dB/dec i tietura la abscis egal cu 1/Td. Defazajul este constant, la valoarea +/2.5.2 Derivatorul cu timp discret. Dac se nlocuiesc n ecuaia (27) variiile infinitezimale cu variaii finite i se consider timpul discret, t = kTe , n locul timpului continuu, cu se obine ecuaia intrareieire a derivatorului :

y ( k ) = Td

u ( k ) u ( k 1) Td u = Td = u ( k ) u ( k 1) t kTe (k 1)Te Te T T z 1 H ( z ) = d 1 z 1 = d Te Te z

(32)

Funcia de transfer este

(

)

(33)

Se observ c derivatorul numeric, obinut prin discretizarea derivatorului ideal necauzal, este un sistem la limit cauzal, avnd un zero pe cercul unitar, la z z = 1 . Rspunsul la frecven are expresia:H e

(

jTe

)

Te Te T j e Td Td j 2 j 2 jTe 2 1 e = e e = e Te Te

(

)

Te Td j 2 T =2j e sin e (34) 2 Te

din care rezult caracteristicile de frecven : T T T A ( ) = 2 d sin e ; ( ) = e Te 2 2 2

0 e 2

(35)

Acestea sunt reprezentate n fig. 11.a. Dac se compar aceste caracteristici, cu cele ale derivatorului ideal cu timp continuu :T 2 d TeA ( )

e2

A ( ) Td

( lin )2

( lin ) ( ) e2

( )

e2

( lin )a

2

( lin )b

Fig. 11 Caracteristicile de frecven ale derivatorului cu timp discret (a) i ale derivatorului ideal cu timp continuu (b)

A ( ) = Td , ( ) = 2

(36)

se constat c, prin discretizarea timpului, derivatorul (4.236), conduce la caracteristici diferite de cele ale derivatorului ideal. In locul unei caracteristici de amplificare liniare cu frecvena, se obine o dependen neliniar, prin funcia sinus, iar n locul unei caracteristici de faz constante, la valoarea /2, se obine o caracteristic liniar descendent, de la /2 la 0. Ca i n cazul integratorului, caracteristicile (35) se apropie mult de cele ideale numai n zona de joas frecven. La valori reduse ale pulsaiei se poate scrie:

T T T Te = Td ; A ( ) = 2 d sin e 2 d 2 Te Te 2

( ) =

2

Te2

2

(37)

5. Filtrul de ordinul unu.Filtrul de ordinul unu se mai numate sistem cu aciune proporional de ordinul unu sau element aperiodic (denumirea de element aperiodic este valabil numai n cazul timpului continuu) 5.1 Filtrul de ordinul 1 cu timp continuu - Ecuaia intrare-ieire : T dy ( t ) + y (t ) = Ku ( t ) dt (38)

unde : K coeficientul static de amplificare ; T constanta de timp. - Funcia de transfer este

H (s) =

K Ts + 1

(39)

la care corespunde polul p= 1/T n planul complex. Rspunsul la impuls se obine ca transformat Laplace invers a funciei de transfer:K 1 K / T K T h (t ) = L =L = e Ts + 1 s + 1/T T1 t

(40)

1

u (t ) = (t )th(t )t

h(t )t

Imh(t )t

K T

h (t )

0.37 K T

x

x

xh(t )

x

Re

T

t

t

Fig.12 Rspunsul la impuls al elementului aperiodic

Fig. 13. Forma rspunsului la impuls n funcie de poziia polului

fiind reprezentat n fig. 12. Pentru t=T, se obine : h (T ) = K 1 K ; e = 0.37 T T dh(t ) K = tg = dt t = 0 T2 (41)

Aceste relaii dau dou metode de determinare grafic a parametrului T, ilustrate n fig. 12. In fig. 13 este prezentat forma rspunsului la impuls pentru diferite poziii n planul complex ale polului p = - 1/T. Evident, elementul aperiodic are T >0, polul fiind situat ntotdeauna n semiplanul stng. Regimul dinamic este cu att mai prelungit, cu ct polul se afl mai aproape de origine. Cnd distana fa de origine este mai mare (adic, constanta de timp este mai mic), cu att regimul dinamic se stinge mai rapid. Rspunsul indicial estet Kt 1 h( ) ( t ) = h( )d = e T d =K 1 e T T 0 0

t

(42)

avnd reprezentarea grafic din fig. 14,a. Aici sunt ilustrate procedurile grafice pentru determinarea constantei de timp T . Aceste proceduri au la baz relaiile :u (t )1 t

u (t )

atKat

t

K

h 1 ( t )

0.63K

asimptot

Ta

t

t

T

b

Fig. 14 Rspunsurile la treapt (a) i la ramp (b) ale elementului aperiodic1 h( ) (T ) = K 1 e1 = 0,63K;

(

)

dh( 1) ( t ) = tg = K dt T t =0

(43)

Rspunsul la un semnal n ramp, u ( t ) = a t , are expresiat t T + Te T y (t ) = K a

(44)

fiind reprezentat n fig. 14,b. Ieirea y(t) tinde spre asimptota de ecuaie a ( t T ) , undet T , adic spre o ramp ntrziat cu T secunde, n raport cu evoluia ieirii unui element cu amplificare static egal cu K, ns fr dinamic ( T = 0 ). Rspunsul la frecven esteIm H ( j )

H ( j ) =K Re H ( j ) =0

K 1 + jT

(45)

i conduce la urmtoarele expresii ale amplificrii i defazajului sensul K crescator A( ) = ; ( ) = arctg(T ) (T )2 + 1 (46) Fig. 15 Caracteristica Nyquist pentru elementul aperiodic Caracteristica Nyquist este forma unui cerc cu raza K/2 i cu centrul n punctul de coordonate (K/2,j.0). Atunci cnd variaz de la 0 la + , este parcurs semicercul situat sub axa real. (fig.15). Caracteristicile Bode se pot trasa punct cu punct, calculnd amplificarea n dB, pornind de la realia (46) : =

K =20logK 20log 1 + 2T 2 AdB ( ) = 20 log (T ) 2 + 1 AdB ( ) AdB ( ) = 20 log K1 octava caracteristica " exacta " 1 octava

(47)

1dB3dB

caracteristica asimptotica

1dB

AdB ( ) = 20 log

20 log K

K T

20dB/dec (-6dB/octava) 5 t

0,5 t

( )

0,2 t

11,3o

t=

1 T

2 t

caracteristica aproximativa - 45o

caracteristica " exacta "

( ) = arctgT11,3o

- 90 o

Fig. 16 Caracteristicile Bode pentru un sistem de ordinul unu

i defazajul, ( ) = arctg(T ) , obinndu-se caracteristicile exacte. Este ns posibil s se utilizeze o reprezentare aproximativ a caracteristicii de amplificare, prin asimptotele acestei caracteristici. Aceasta este caracteristica asimptitic, format din : - o dreapt orizontal pentru > c . Intr-adevr, la frecvene mari, adic atunci cnd 1/ T , avem AdB = 20logK 20log 1 + 2T 2 20logK 20 log T 20 log Frecvena t = 1 T la care caracteristica Bode se frnge se numete frecven de fngere (uneori, ea este denumit frecven de tiere). Caracteristica asimptotic este un model frecvenial parametric, deoarece el definete filtrul prin doi parametri : coeficientul static de amplificare n dB i frecvena de frngere. Distana maxim dintre caracteristica asimptoptic i cea real este de 3dB, la pulsaia t , i de 1dB, la 0,5t i 2t. Caracteristicile de amplificare i de defazaj, reale i aproximative, sunt reprezentate n fig. 16.

Observaii. 1. Filtrul de ordinul 1 (elementul aperiodic) poate avea funciuni distincteAdB ( )-20dB/dec B1 B2

B3

Fig. 17 Funciuni ale elementului aperiodic n raport cu domeniul spectral al intrrii

de procesare a semnalului de intrare, n funcie de banda caracterisicii spectrale a acestui semnal. Pentru trei benzi de frecven, B1, B2 et B3, date n a fig.17, sistemul se poate comporta: - ca un amplificator, pentru semnalul cu banda B1, - ca un integrator, n raport cu semnalul avnd banda B2, - ca un filtru trece jos, n raport cu semnalul cu banda B3. C 2. Circuitul pasiv RC (Fig. 18) are funcia de transfer de forma (39), n care K=1 i T=RC.

R

Curs 3 Recapitulare5. Filtrul de ordinul unu.Ecuaia intrare-ieire : dy ( t ) T + y (t ) = Ku ( t ) dt Funcia de transfer esteh(t ) h(t )tt

Imh(t )t

K H (s) = Ts + 1 la care corespunde polul p= 1/T n planul complex. Rspunsul la semnal traptu (t )1t

x

x

xh(t )

x

Re

t

Forma rspunsului la impuls n funcie de poziia polului

K

h 1 ( t

0.63K

T

t

Caracteristicile de frecvenAdB ( )1dB3dB

caracteristica asimptotica

1dB

20 log K

AdB ( ) = 20 log K1 octava caracteristica " exacta " 1 octava

AdB ( ) = 20 log

K T

0,5 t

( )

0,2 t

11,3o

1 t= T

2 t 20dB/dec (-6dB/octava) 5 tcaracteristica aproximativa

- 45o

caracteristica " exacta "

( ) = arctgT11,3o

- 90o

Caracteristicile Bode pentru un sistem de ordinul unu

5.2 Filtrul de ordinul 1 cu timp discret Sistemul de ordinul unu cu timp discret are ecuaia intrare-ieirey ( k ) = a1 y ( k 1) + b1u ( k 1)

(48)

la care corespunde funcia de transfer

H ( z) =

1 a1z 1

b1z 1

=

b1 z a1

(49)

n care polul z p = a se consider a fi n cercul unitar din planul z. Pornind de la expresia rapunsului la frecven, b1 b1 jTe , = H e = jT e e a1 cos(Te )+jsin(Te ) a1se obin caracteristicile de frecvenA ( ) = b1

(50)

(1 + a12 2a1cosTe ) ;sinTe cosTe a1

(51)

( ) = arctg

- Fie cazul cnd polul z p = a1 este situat n semicercul drept (0 1 (polul 4 din fig. 20), ieirea y (k ) crete nedefinit (de ex., pentru a=2, se obin valorile: 1, 2, 4, 8,...), sistemul fiind instabil. In mod similar se poate analiza rspunsul sistemului atunci cnd polul este situat n semiplanul stng (polii 5,6,7 i 8). Se observ c atunci cnd polul este n cerul unitar

(polii 5 i 6), rspunsul y (k ) este oscilant. El se stinge cu att mai rapid, cu ct polul este mai aproape de origine. Pentru a = -1 rspunsul este o oscilaie permanent +1 1 +1 ... , iar pentru a 1 , cnd rspunsul are o evoluie monoton; - regimul critic, = 1 ; alura rspunsului este similar celei din cazul anterior ; - regimul aferent situaiei < 1 . Acest regim intereseaz efectiv, deoarece n cazurile anterioare sistemul de ordinul 2 se poate descompune n dou sisteme de ordinul unu nseriate (trinomul de la numitorul funciei de transfer (53) se factorizeaz ca produs de dou binoame). Pentru cazul de interes, cnd < 1 , se pot distinge dou situaii: 1 a) 1 > 0.7 2 caz n care rspunsul indicial are o depire (suprareglare) diferit de zero, ns n ansamblu rspunsul este fr oscilaii. Valoarea maxim a depirii se obine la = 1 2 0,707 i este s = 0.043 K (sau 4,3%). 1 b) < 0, 7 2 caz n care rspunsul indicial are oscilaii amortizate. In fig. 23 este prezentat rspunsul indicial pentru un coeficient de amortizare < 1 2 , care caracterizeaz aa numitul regim pseudo-periodic. Rspunsul evolueaz intre dou curbe, 1 i 2, de ecuaii

1 e n t K 1 1 2 care sunt trasate cu linie ntrerupt n fig. 23.

i

1 en t , K 1 + 1 2

(56)

Pseudo-perioada oscilaiei amortizate este numit perioad proprie, fiind dat de expresia: Tp = 2

p

=

2

n 1 2

(57)

unde p = n 1 2 este pulsaia proprie. Cnd sistemul nu are amortizare (=0), perioada oscilaiilor neamortizate p este egal cu pulsaia natural n: p=n. Depirea s depinde numai de coeficientul de amortizare, fiind exprimat prin 1 h( ) ( t )1

Tp K

s

2Fig. 23 Regimul pseudo-periodic

t

relaia:

s [ % ] = 100 exp 1 2

(58)

Durata regimului tranzitoriu, definit ca timpul necesar stabilizrii la valoarea staionar, cu o toleran de 5% , este tt = ln 0, 05 1 2 n 1 (59)

- Rspunsul la frecven al filtrului esteH ( j ) = K

n + 2 jn

2

2n2

=K

1

1 2 + 2 j n n

2

(60)

Pentru simplificarea scrierii, se va utiliza notaia v = / n (v este pulsaia normat) i expresia rspunsului la frecven devine: H ( j ) = K 1 1 v + 2 j v2

(61)

Caracteristica Nyquist este prezentat n fig.24. Pentru < 1amplificareaImH ( j ) ReH ( j )

2 0, 7 ,

A ( ) = H ( j ) trece printr-un maxim, care se obine la pulsaia r,K

= 0,4 = 0,3

=1

=0 = 0,7 = 0,5

r r

Locul pentruH ( j r )

Fig. 24 Caracteristica Nyquist a sistemului de ordinul doi

numit pulsaie de rezonan. Aceast pulsaie depinde de pulsaia natural i de coeficientul de amortizare :

r = n 1 2 2AdB ( )20log K = 0,7 =1Caracteristica asimptotica

(62) = 0,1 = 0,4

( ) c = n = 1 T n = 0,1

= 0,7 90 o

= 0,4

=1

180 o

Fig. 25 Caracteristicile Bode ale sistemului de ordinul 2

Atunci cnd descrete, pornind de la valoarea 1 2 , se obine pentru fiecare valoare a parametrului - cte o valoare a pulsaiei de rezonan, r, la care corespunde

punctul de pe locul de transfer, corespunztor lui H ( jr ) . Locul geometric al vrfului vectorului H ( jr ) n planul complex este indicat n Fig.24.

-. Caracteristica Bode. Din relaia (60) se constat c : 1. pentru n , deci la valori ridicate ale lui v, rspunsul la frecven se 2. K K = , adic rspunsul la frecven al poate aproxima prin H ( j ) T 2 j 2 ( n ) 2

( )

unei conexiuni formate din dou integratoare nseriate. Amplificarea n dB este aproximat de ecuaia AdB ( ) = 20 log K 40 log

= 20 log K + 40 log n 40 log n

care reprezint o relaie liniar n raport cu log. Rezult c asimptota caracteristicii, atunci cnd tinde spre infinit, este o dreapt cu panta de 40dB/dec. Caracteristica asimptotic, definit prin cele dou asimptote, are frecvena de frngere f = n = 1 T , unde v = 1. Figura. 25 prezint caracteristicile Bode pentru diferite valori ale . Caracteristica de amplificare AdB ( ) prezint un maxim atunci cnd < 1 2 0, 7 , ceea ce semnific existena rezonanei. Acest maxim este cu att mai pronunat, cu ct coeficientul de amortizare este mai mic. Amplificarea la rezonan are expresia K A (r ) = Amax = = K Q , (63) 2 1 2 n careQ= A ( r ) 1 = K 2 1 2

(64)

se numete factor de rezonan. Caracteristica de faz

( ) = arg H ( j ) = arctg

2n 2

2n

(65)

depinde, de asemenea, de factorul de amortizare, aa cum se remarc n fig.25.

Curs 4 Recapitulare6. Filtrul de ordinul doiEcuaia intrare-ieire :dy ( t ) + y (t ) = K u (t ) dt dt 2 Funcia de transfer este T2 + 2 T d2 y (t )p1 x

Imn 1 2n

ncos =

H (s) =

K T s + 2 Ts + 12 2

=K

2

2

Re

n

s + 2n s + np2 x

2

n 1 2

la care corespunde distribuia polilor din figur.Fig. 21 Polii filtrului de ordinul 2

,Rspunsul la semnal trapth ( 1 ) (t ) = 0,1 = 0,5

1 h( ) ( t )

1 Tp

K = 0,7 =1

K

s

2t

t

Fig. 22 Rspunsuri indiciale ale sistemului de ordinul doi, pentru diferite valori ale lui coeficientului de amortizare

Fig. 23 Regimul pseudo-periodic

s [ % ] = 100 exp 1 2 Caracteristica de frecvenA BK = 0 ,7

tt =

1

n

ln 0, 05 1 2

= 0 ,1 = 0,4

=1

Caracteristica asimptoticac =n =1 T

Fig. 25 Caracteristica Bode AdB ( ) a filtrului de ordinul 2

6.1

Filtrul de ordinul 2 cu timp discret Ecuaia intrare-ieire a sistemului de ordinul doi este

y (k ) = a1 y (k 1) + a2 y (k 2) + b1u ( k 1) + b2u (k 2) la care corespunde funcia de transfer b1z 1 + b2 z 2

(66)

Im

H ( z) =z p1

1 a1z 1 a2 z 2

(67)

*

Ca i n cazul sistemului cu timp continuu, polii se consider a fi compleci conjugai. Fie z p1,2

z*2 p

Re

polii sistemului, reprezentai n fig.26: (68) Se va considera cazul simplu, cnd sistemul nu are zerouri, i deci b1 = 0 . Funcia de transfer se poate pune sub forma :H ( z) = =

z p1,2 = e j

Fig. 26 Polii filtrului de ordinul 2

(

1 z p1 z 1 1 z p2 z 1

b2 z 2

)(

)

=

(1 e j z 1 )(1 e j z 1 )(69)

b2 z 2

Rspunsul la frecven este:H e jTe =

(

)

b2 e j 2Te (70) 1 cos (Te ) + j sin (Te ) 1 cos (Te + ) + j sin (Te + )

i rezult caracteristicile de amplificare i de faz :

Amax =

b2

(1 )

1 + 2 2 cos2

Te

Fig. 27 Caracteristica de frecven a unui sistem de ordinul 2 cu timp discret

A ( ) =

b2 1 + 2 2 cos (Te ) 1 + 2 2 cos (Te + )

(71)

( ) = Te arctg

Amplificarea A() are valoarea maxim la Te = , adic la = / Te : b2 Amax = A = Te (1 ) 1 + 2 2 cos 2

sin (Te ) sin (Te + ) arctg 1 cos (Te ) 1 cos (Te + )

(72)

(73)

se apropie de valoarea unitar, adic polii se apropie de cercul unitar, caracteristica de frecven devine mai selectiv n jurul frecvenei Te (aici este argumentul lui z p1 (fig.26). Fiep1,2 = n jn 1 2

Caracteristica de amplificare este reprezentat n fig.27. Se constat c pe msur ce

polii unui sistem de ordinul doi cu timp continuu. Corespondena cu polii z p1,2 ai sistemului de ordinul doi cu timp discret (fig.28) este dat de relaia:z p1,2 = ep1,2Te j 1 2 T e n n = = e

e j

(74)

unde

= exp ( nTe ) , = n 1 2 Teplan "s"

(75)Imz * p1

plan "z"

p1x

Im

n p2 x

n

n 1 2e sTe = zRe

z* 2 p

Re

n 1 2a Fig. 28 Corespondena polilor n planurile s i z

b

Se pune problema determinrii traiectoriei C z a polului z p1 n planul z, atunci cnd polul p1 se deplaseaz n planul s sub o traiectoriebe C p dat. Dac = * = const , deplasarea polului p1 n planul s are loc pe deapta Cs

(fig.29), determinat de unghiul * = arccos * = const . In acest caz, polul z p1 este situat pe curba C z

ale crei puncte au modulul

* = exp *Te

(

)

i argumentul

(1 (2 (3 * ( ) = n 1 *2 . Pentru polii p1 ) , p1 ) , p1 ) din planul s, afereni pulsaiilor (1) ( 2) (1) ( 3) ( 2) (1) ( 2 ) ( 3) naturale , > i > , i la care crespund polii z p1 , z p1 i z p1 dinn n n n n

planul z, rspunsurile la semnal treapt (rspunsurile indiciale) sunt reprezentate n fig.29. ntruct =*=const., depirea (suprareglarea) s rmne constant, fiind determinat univoc de (v. rel. (58)), iar forma rspunsului se pastreaz, cu deosebirea c timpul de rspuns se reduce atunci cnd pulsaia natural n crete.* In continuare, se va considera n = n = const. , deci polul p1 se va deplasa pe(i ) cercul Csn de raz n (fig. 30). Polilor p1 , i = 1, 2,3, situai pe acest cerc, le corespund

n planul z polii z p1 , i = 1, 2,3 , aflai pe curba C z n . Rspunsurile indiciale aferente

(i )

polilor p1 , p1 , p1

(1)

( 2)

( 3)

sunt date n fig.30.plan "z"1 h( ) ( t )

Im plan "s"e 2 Cs

s

Im( 2) z p1

p1

( n3) ( 2) ( 3 ) n

( 3) p1(1) z p1Re

( 2) p1 (1) p1 *

( n1)

e sTe = zRe

C z

cos * = * = const

( 3) z p1

*

*

( 2) p1 (1) p1

t

Fig. 29 Locul geometric al unui pol la = const.

Valorile modulului i argumentului unui pol din planul z se calculeaz cu relaiile:

* ( ) = exp *nTe

(

);

* ( ) = * 1 2 Te

(76)

Curbele C z i C z n , care reprezint locurile geometrice ale polului zp1, parametrizate n raport cu i, respectiv cu n, sunt date n fig.31.

Cs n

(1) (2) p1 p1

plan s Ime sTe = z

plan z

Im

1 h( ) ( t )

(1) p1 ( 2) p1

x

( 3) p13n

* n

(1) z p1 ( 2) z p1

Re 2n 1n

z (3) p1

( 3) p1C n z

Re

t

Fig. 30 Locul geometric al unui pol la n = const

n =0,8 n = Te

0,7 Te

Im

n =

= 0.1 = 0.3 = 0.5 = 0.7 = 0.9

0,5 Te

n =

n =0,9 n = Te

0,6 Te

0,4 Te

n =

0,3 Te 0,2 Te

n =Re

n =

Te0

0,1 Te Fig. 31 Locurile geometrice ale unui pol la = const. i la n = const., pentru un sistem numeric de ordinul doi

n =

Aplicaie : Filtrul rejector de ordinul 2

Fie filtrul de ordinul 2 la limit cauzal 1 a1z 1 a2 z 2 care are dou zerouri pe cercul unitar, definite prin argumentul ,z z1,2 = 1 e j

H ( z) =

1 + b1z 1 + b2 z 2

(77)

(78)

i doi poli definii prin acelai argument, , i de modulul subunitar, dar apropiat de valoarea unitar :z p1,2 = e j

(79)

Diagrama poli - zerouri a filtrului este dat n fig. 32 Funcia de transfer (77) se poate pune sub forma :

ImOzz1

z p1 X

z p2 X

Re

Ozz2

Fig. 32 Distribuia poli-zerouri a filtrului rejector

(1 1.e j z 1 )(1 1 e j z 1 ) H ( z) = == 1 z p z 1 )(1 z p z 1 ) ( (1 e j z 1 )(1 e j z 1 )(1 z z1z 1 )(1 z z 2 z 1 )1 2

(80)

Rspunsul la frecven este:H e jTe =

(

)

1 cos (Te ) + j sin (Te ) 1 cos (Te + ) + j sin (Te + ) (81) 1 cos (Te ) + j sin (Te ) 1 cos (Te + ) + j sin (Te + )

i rezult caracteristica de amplificareA ( ) = 2 2 cos (Te ) 2 2 cos (Te + ) 1 + 2 2 cos (Te ) 1 + 2 2 cos (Te + )

(82)

Se observ c pentru Te = i pentru Te = - , rezult A ( ) =0. Frecvena la care amplificarea este nul este 0 = / Te . Selectivitatea carecteristicii de frecven poate fi ajustat cu parametrul .Exemplu Fie dou filtre rejectoare, ambele cu = /6, ns care au = 0.8, respectiv = 0.95. Programul Matlab care genereaz aceste filtre i care le traseaz caracteristicile Bode este dat n continuare. In fig. 33 sunt reprezentate aceste caracteristici : 1 pentru = 0.8 i 2 pentru = 0.95.clear all;close all; tet=pi/6; z1=exp(i*tet);z2=exp(-i*tet); z=[z1 z2]; ro=0.8; p1=ro*exp(i*tet);p2=ro*exp(-i*tet); p=[p1 p2];

sys=zpk(z,p,1,-1) bode(sys,'k');hold on; ro=0.95; p1=ro*exp(i*tet);p2=ro*exp(-i*tet); p=[p1 p2]; sys=zpk(z,p,1,-1) bode(sys);grid

Bode Diagram 50

20 Magnitude (dB)

-50

1

1

-100

-150 135 90 Phase (deg) 45 0 -45

1 2

1-90 10-2

10

-1

10 Frequency (rad/sec)

0

10

1

Fig. 33 Caracteristici Bode ale filtrului rejector

7. Derivatorul la limit cauzal i derivatorul cauzalRealizarea efectiv a unui derivator cu timp continuu implic utilizarea unei funcii de transfer corespunztoare unui sistem cel puin la limit cauzal, ca de exemplu: T s H (s) = d (83) Ts + 1 n care constanta de timp T se adopt sensibil mai mic dect constanta de timp de derivare (T Td ) . Funcia de transfer a derivatorului la limit cauzal (83) se poate pune sub formaT 1 H ( s) = d 1 T Ts + 1

(84)

y1(t) u(t)

Td T

+

y(t)

1 Ts + 1

y2(t)

Fig. 34 Schema echivalent a unui derivator la limit cauzal

astfel nct derivatorul se poate prezenta prin schema bloc din fig. 34. Dac la intrarea u(t) se aplic o treapt unitar, atunci y1(t) va avea forma unei trepte de amplitudine Td/T, iar y2(t) este rspunsul unui filtru de ordinul 1 cu coeficientul de amplificare Td/T i constanta de timp T, de valoare redus (comparativ cu Td). In fig. 35 se prezint rspunsul y(t), avnd n vedere faptul c y(t) = y1(t)-y2(t). Se observ c atunci cnd T 0, adic derivatorul la limit cauzal tinde spre derivatorul ideal, semnalul y(t) tinde spre impulsul Dirac (t ) (amplitudinea tinde spre infinit, iar durata tinde spre zero). Rspunsul la frecven este T j H ( j ) = d (85) Tj + 1 iar amplificarea n dB esteu (t )

1t

y1 ( t ) , y2 (t ), y (t )

Td / T

T

y1 ( t )

y 2 (t )y (t )tFig. 35 Rspunsul indicial al derivatorului la limit cauzal

(86) Tj + 1 adic suma amplificrilor n dB aferente unui derivator ideal i unui filtru de ordinul 1 cu coeficient static K=1 i constanta de timp T. In fig. 36 cele 2 caracteristici sunt reprezentate cu linie intrerup. Suma lor reprezint caracteristica asimptotic a

AdB = 20 log Td j + 20 log

1

derivatorului la limit cauzal. Este dat i caracteristica corectat n jurul pulsaiei de frngere, precum i caracteristica de faz T j ( ) = arg d = arg (Td j ) arg (Tj + 1) = / 2 arctg (T ) (87) Tj + 1 Se constat c proprietile de derivare se manifest numai n banda de frecven [0, 1/T], unde panta caracteristicii Bode este de +20dB/dec. La frecvene >1/T, sistemul se comport ca un element cu aciune proporional. De regul, semnalele sunt contaminate de zgomot, iar componentele spectrale ale zgomotului se afl n zona de nalt frecven. Din acest motiv, este util ca pentru >1/T, sistemul s se comporte ca un filtru trece jos, adic s aib o amplificare scztoare cu frecvena.AdB ( )20dB/dec

20log Td j20log1/ T

1 Tj + 1

1 / Td

( )

90 45o

o

( ) = / 2 arctgTFig. 36 Caracteristicile Bode ale derivatorului la limit cauzal

Pentru aceasta, caracteristica asimptotic AdB ( ) se alege de forma celei din Fig. 37, n care pulsaia de frngere 1 / T1 poate s coincid cu 1 / T . Funcia de transfer a unuiAdB ( )20dB/dec 20dB/dec

1 / Td

1/ T

Fig. 37 Caracteristica Bode asimptotic a derivatorului strict cauzal

asemenea sistem este: Td s (88) (Ts + 1)(T1s + 1) unde constanta de timp T1 introduce pulsaia de frngere 1 / T1 n caracteristica de frecven. Sistemul cu funcia de transfer (88) este un derivator strict cauzal. H (s) =

CURS 58 Sistemul defazor de ordinul unu8.1 Sistemul defazor de ordinul unu cu timp continuu - Ecuaia intrare-ieire a sistemul defazor este dy du T + y = u T dt dt - Funcia de transfer

(89)

H (s) =

1 Ts 1 + Ts

(90)

corespunde unui sistem la limit cauzal. Acesta are un zero n semiplanul drept, distribuia pol-zero fiind simetric fa de origine (fig. 38). - Rspunsul la frecven este:Im

H ( j ) =+1 T

1 jT 1 + jT

(91)

1 Tx

Re

astfel nct se obin caracteristicile de frecvenA ( ) = 1; AdB ( ) = 0

(92) (93) amplificare,

Sub aspectul caracteristicii sistemul se comport ca un filtru trece tot . Caracteristicile Nyquist i Bode sunt date n fig. 39.a i b.AdB ( )Im

Fig. 38 Distribuia pol zero la un sistem defazor de ordinul 1

( ) = 2arctgT de

=1

=01

Re

( )1T

=1 T

2

a

b

Fig. 39 Caracteristicile Nyquist (a) i Bode (b) ale unui sistem defazor de ordinul 1

Pentru a uura calculul rspunsului indicial, se pune funcia de transfer (90) sub forma

H (s) = 1 Rezult :

2Ts Ts + 1

(94)

1 1 1 2Ts 1 h( ) ( t ) = L1 H (s ) = L1 L1 = s s s Ts + 1 = u ( t ) (1 2e t T

(95)

)

( t 0; u ( t ) treapta unitara )

In fig. 40 este dat rspunsul indicial mpreun cu cele dou componente ale sale:u ( t ) i 2et T u (t ) (cu linie ntrerupt). Se constat c, la nceput, evoluia variabilei de

ieire are loc n sens opus fa de intrare, dup care se stabilese printr-o evoluieu (t )11 h( ) ( t )

t

u (t )t

11 h( ) ( t )

1 2

2et T u (t )

Fig. 40 Rspunsul indicial al unui sistem defazor de ordinul 11 monoton la valoarea staionar unitar ( lim h( ) ( t ) = 1 ). t

8.2 Sistemul defazor de ordinul unu cu timp discret Distribuia pol-zero a sistemului este simetric n raport cu cercul unitar, fiind ilustrat n fig. 41. Deci, dac zp este polul sistemului, Im atunci zeroul este z z = 1 z p .Plan "z"1

Funcia de transfer a sistemului rezult de forma :Re

z px

zz = 1 z p

H ( z) =

1 z z p z zp

(96)

Din expresia rspunsului la frecven:Fig. 41 Distribuia pol-zero a unui sistem defazor de ordinul unu cu timp discret

H e jTe =

(

1 z p cosT jz p sinT ) ( ( cosTe z ep )) + jsinTe e sinTe cosTe z p

(97)

rezult :A ( ) = 1 ;

( ) = arctg

z p sinTe 1 z p cosTe

arctg

(98)

Observaie Dac un sistem de ordinul n are n zerouri care sunt simetrice in raport cu polii, sistemul respectiv este defazor pur (filtru trece-tot). Simetria se consider n raport cu axa imaginar pentru sistemele cu timp continuu i n raport cu cercul unitar pentru cazul timpului discret.

9. Filtrul trece jos idealCaracteristica de frecven a filtrului trece jos (FTJ) ideal este prezentat n fig. 42. Amplificarea este unitar pn la pulsaia de tiere t, dup care amplificarea este egal cu zero. Aspectul esenial al acestei caracteristici este variaia brusc, de la valoarea unitar la valoarea zero, a amplificrii la pulsaia de tiere (panta de variaie a acestei caracteristici, la t, este ). Caracteristica de faz poate avea dou forme: a) ( ) = 0 sau b) ( ) = t0 , unde t0 este un numr constant (fig. 42).1H ( j ) = A ( )

t

( ) = arg H ( j )

t

( ) = 0

( ) = t0Fig. 42 Caracteristica de frecven a FTJ ideal

Considernd domeniul (, +) pentru pulsaie, caracteristica de amplificare are simetrie par, pe cnd cea de faz are simetrie impar (fig. 42). Rspunsul la frecven al FTJ ideal esteH ( j ) = H ( j ) e j ( )

(99)

unde H ( j ) = A( ) i ( ) au formele prezentate. Pentru nceput se va considera

( ) = 0 .Rspunsul la impuls al FTJ ideal este 1 j t h( t ) = F1{H ( j)} = H ( j) e d = 2 1 t 1 1 jt t 1 e j t t e j t t t jt = = = sinc( t t ) e 1.e d = t t 2 2 jt 2jt

(100)

Reprezentarea grafic a acestui rspuns este dat n fig. 43. Se observ c sistemul este necauzal, deoarece rspunsul h(t ) ncepe s se produc nainte de a aplica

u (t ) = (t )1

th (t )

t /

2 / t

/ t

/ t

2 / t t

Fig. 43 Rspunsul la impuls al FTJ ideal

semnalul de intrare (t ) (efectul apare naintea cauzei). Dac se admite c FTJ ideal are caracteristica de faz de forma ( ) = t0 (cazul cel mai frecvent admis n analiz), atunci rspunsul la impuls are expresia h (t )

t /

t / t t0

/ t

2 / t

araspunsul la treapta unitara 1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

Fig. 5.22 Rspunsul la impuls al FTJ ideal0 t0 -0.2 0

t

t0

b

Fig. 44 Rspunsul la impuls (a) i la semnal treapt (b) al FTJ ideal

h( t ) = t sinc( t (t t0)) iar forma rspunsului la impuls este dat n fig. 44.a. Rspunsul la treapt unitar este t 1 1 h( 1) (t ) = h( )d = + si [t (t t0 )] 2 unde si(t) este funcia sinus integral, definit prin relaia t sin si (t ) = d 2 0 Rspunsul la treapt unitar este dat n fig.44.b.

(101)

(102)

(103)

10 Analiza filtrelor FIRFiltrele FIR sunt, n general, modele neparametrice, adic ele pot avea reprezentri netipizate, extreme de variate. In consecin, filtrele FIR nu pot fi structurate n acelai mod ca i filtrele IIR, n cadrul crora s-au definit filtrele elementare dj prezentate (integratorul, filtrul de ordinul 1 etc). Analiza filtrelor FIR se face ns n acelai mod, ca i n cazul filtrelor IIR. Pentru ilustrare, se va considera ca exemplu cazul unui filtru FIR care are rspunsul la impuls sub forma unei succesiuni de valori unitare, pn la timpul discret k=m-1, dup care valorile discrete ale rspunsului sunt nule (fig. 45, unde s-a considerat m=7).1.5

1 u[k] 0.5 k 0 -4 -2 0 2 4 6 8 101.5 1 h[k] 0.5

0 -4

k -2 0 2 4

m-1

6

8

10

Fig. 45 Rspunsul la impuls a unui filtru FIR (exemplu)

Rspunsul la impuls, h(k), are forma unei ferestre rectangulare i poate fi pus sub forma : h ( k ) = u ( k ) u ( k m) (104)

unde u (k ) este semnalul trapt cu timp discret, iar u (k m) este acelai semnal ntrziat cu k pai. Funcia de transfer a filtrului esteH ( z ) = Z {u (k )} Z {u (k m)} = Rapunsul la frecven estejmTe jmTe jmTe mTe j ( m 1)Te sin 2 2 2 1 e e e e 2 2 H (e jTe ) = = =e jTe jTe jTe T 1 e jTe sin e 2 2 e 2 e e jmTe

1 1 z 1

z m

1 1 z 1

=

1 z m 1 z 1

(105)

(106)

2

Expresiile amplificrii i defazajului sunt : mTe sin 2 ; ( ) = (m 1)Te A( ) = 2 T sin e 2 Caracteristica amplificrii, pentru m=7, este dat n fig.467

(107)

6

5 A p a a m lific re

4

3

2

1 w (lin) 0 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

11. Sisteme de faz minimFie sistemele avnd funciile de transfer urmtoare : H ( s ) = 1; H1 ( s ) = e s ; H 2 ( s ) = 1 Ts ; H 3 ( s ) = 1; 1 + Ts (108)

Pentru toate aceste sisteme, caracteristica de amplidicare este aceeai :A ( ) = A1 ( ) = A2 ( ) = A3 ( ) = 1

(109)

ns caracteristicile de faz sunt diferite:

( ) = 0; 1 ( ) = ; 2 ( ) = 2arctgT ; 3 ( ) = minim (n valoare absolut), pentru aceeai caracteristica de amplificare.

(110)

Intre cele 4 sisteme analizate, sistemul H ( s ) = 1 are caracteristica de faz

Fie acum sistemele: H 4 (s) = K K ; H5 ( s ) = Ts + 1 Ts 1 (111)

primul avnd un pol n semiplanul stng, iar al doilea avnd un pol simetric n semiplanul drept (formal, mrimile H 4 ( j ) i H 5 ( j ) sunt acelai). Se va arta n capitolul 3 c dac un sistem are poli n semiplanul drept, el este instabil, adic nu are regim permanent i, prin urmare, nu i se poate defini o caracteristic de frecven. Un sistem se numete cu minimum de faz dac este stabil i dac, printre sistemele cu aceeai caracteristic de amplificare, are caracteristica de faz minim (n valoare absolut). Un sistem nu este de faz minim, dac funcia de transfer comport : - fie un factor e s , corespunztor unei ntrzieri pure cazul funciei de transfer H1 ( s ) ; - fie un zero n semiplanul drept cazul funciei de transfer H 2 ( s ) (pentru sistemele cu timp discret, zeroul este n exteriorul cercului unitar); - fie un pol n semiplanul drept cazul funciei de transfer H 5 ( s ) (pentru sistemele cu timp discret, polul este n exteriorul cercului unitar); - fie funcia de transfer este precedat de semnul minus cazul funciei de transfer H3 ( s ) ;Observaie. Fie sistemul definit prin funcia de transferH (s) = K (1 T1s )

(T2 s + 1) (T3s + 1)

(112)

Aceasta poate fi scris sub forma:

H (s) =

1 T1s 1 T1s = H FM ( s ) 1 + T1s (T2 s + 1) (T3s + 1) 1 + T1s

K (T1s + 1)

(113)

Deci, sistemul (112) a fost descompus n dou subsisteme nseriate: un subsistem de faz minim, cu funcia de transfer H FM ( s ) , i un subsistem de tip filtru trece tot (subsistem defazor pur). Se poate demonstra c pentru sistemele de faz minim este posibil s se determine analitic caracteristica de faz, plecnd de la caracteristica de amplificare, prin intermediul transformatei Hilbert (teorema lui Bode) :ln [ A( ) ] = ln [ A() ] + H { ( )} ; ( ) = H 1 {ln [ A( )]}

(114)

Deci, pentru un sistem strict cauzal (la care A( ) = 0 ), funciile A( ) i ( ) formeaz o pereche Hilbert. Deci, pentru sistemele de faz minim este suficient s se dea caracteristica de amplificare, pentru a descrie complet modelul sistemului.

REPREZENTARI STRUCTURALE SI CONVERSIA MODELELOR 1 IntroducereExaminarea reprezentrilor matematice ale sistemelor a relevat o mare varietate a modului n care sistemele pot fi descrise. Un tabel sintetic ale reprezentrilor sistemelor cu timp continuu este dat n fig. 2. In mod similar se poate alctui o structurare a tipurilorReprezentri n domeniul "s"

Pentru sisteme multivariabile:Matricea de transfer H (s )

Pentru sisteme monovariabile 1. Funcia de transfer H (s )2.

x x x

Im

Distribuia poli-zerouri

Re

Reprezentri n domeniul timpModele parametrice1. Modele de stare (A, B, C, D )

Reprezentri frecvenialeModele parametriceRspunsul la frecven H ( j )Caracteristica Bode asimptotic

2. Modele de tip intrare-ieire Ecuaia diferenial de ordinul n dn y d n 1 y d n 1 u + a n 1 n 1 + K + a 0 y = b n 1 n 1 + K n dt dt dt + bn u Ecuaia de tip convoluie y (t ) = h(t )* u (t ) unde h(t ) este sub form parametric

AdB ( )

Modele neparametriceCaracteristica Nyquist Caracteristici Bode

Modele neparametriceEcuaia de tip convoluie y (t ) = h(t )* u (t ) unde h(t ) are form neparametric. unde h Ecuaia y (t ) = h (1) (t )* u (1) (t )( 1 )

ImH ( j ) ReH ( j )

AdB = 20log H ( j )

( ) = argH ( j )

(t ) are form neparametric.

Fig. 1 Reprezentri matematice ale sistemelor cu timp continuu

de reprezentri matematice pentru sistemele cu timp discret (aici va interveni, n plus, categoria sistemelor FIR). Frecvent, n problemele de analiz/sintez a sistemelor, modelul sistemului este dat ntr-o form de reprezentare, iar metoda de analiz/sintez impune utilizarea altei forme de reprezentare. Evident, n acest caz trebuie s se fac o conversie a modelului, din forma de reprezentare dat iniial, n forma de reprezentare cerut de metoda de analiz/sintez. Avnd n vedere varietatea reprezentarilor, pot exista numeroase conversii ale modelelor. Multe din aceste conversii au fost deja definite prin relaiile de definiie ale modelelor, ca de exemplu: ecuaie diferenial funcie de transfer distribuie poli-zerouri rspuns la impuls parametric rspuns indicial (la treapt unitar) parametric sau ecuaie de stare matrice de transfer, sau funcie de transfer rspuns la frecven modele frecveniale neparametrice (caracteristica Nyquist, caracteristici Bode). Conversia modelelor poate fi considerat nu numai ca o etap preliminar a unei probleme de analiz sau de sintez, dar i ca o problem de analiz n sine. Intr-adevr, dac se d funcia de transfer iar obiectivul analizei este de a se stabili proprietile temporale ale sistemului, prin intermediul rspunsului la impuls sau la treapt, atunci conversia : functie de transfer rspuns la impuls/treapt reprezint n sine o metod de analiz a sistemului. In acest capitol se vor examina conversiile: funcie de transfer caracteristica Bode asimptotic; funcie de transfer ecuaie de stare n form canonic; conversia modelelor neparametrice; O problem particular, foarte important, const n discretizarea unui sistem cu timp continuu, altfel spus, conversia : funcie de transfer cu timp continuu funcie de transfer cu timp discret.

CURS 6Recapitulare

REPREZENTARI STRUCTURALE SI CONVERSIA MODELELOR1 IntroducereReprezentri n domeniul "s"

Pentru sisteme multivariabile:Matricea de transfer H (s )

Pentru sisteme monovariabile 1. Funcia de transfer H (s )2.

x x x

Im

Distribuia poli-zerouri

Re

Reprezentri n domeniul timpModele parametrice1. Modele de stare (A, B, C, D )

Reprezentri frecvenialeModele parametriceRspunsul la frecven H ( j )Caracteristica Bode asimptotic

2. Modele de tip intrare-ieire Ecuaia diferenial de ordinul n dn y d n 1 y d n 1 u + a n 1 n 1 + K + a 0 y = b n 1 n 1 + K dt n dt dt + bn u Ecuaia de tip convoluie y (t ) = h(t )* u (t ) unde h(t ) este sub form parametric

AdB ( )

Modele neparametriceCaracteristica Nyquist Caracteristici Bode

Modele neparametriceEcuaia de tip convoluie y (t ) = h(t )* u (t ) unde h(t ) are form neparametric. unde h Ecuaia y (t ) = h (1) (t )* u (1) (t )( 1 )

ImH ( j ) ReH ( j )

AdB = 20log H ( j )

( ) = argH ( j )

(t ) are form neparametric.Fig. 1 Reprezentri matematice ale sistemelor cu timp continuu

In acest capitol se vor examina conversiile: funcie de transfer caracteristica Bode asimptotic; funcie de transfer ecuaie de stare n form canonic; conversia modelelor neparametrice; conversia : funcie de transfer cu timp continuu funcie de transfer cu timp discret.

2.Analiza sistemelor i circuitelor prin grafuri de semnal (grafuri de fluen)Analiza i simplificarea unei scheme bloc poate fi uurat simitor prin utilizarea grafurilor de semnal. Acestea sunt grafuri orientate, numite i grafuri de fluen, avnd n componena lor noduri i arce (laturi). Nodurilor le sunt ataate semnale din schema bloc. Se numete nod surs nodul cruia i se asociaz (care genereaz) semnalul de intrare n sistem. Semnalului de ieire din sistem i corespunde nodul sarcin. In structura unui sistem reprezentat prin grafuri de fluen intervin i noduri mixte. Un nod mixt poate avea unul sau mai multe semnale care converg spre nod. Suma semnalelor ce converg n nod se consider a fi semnalul aferent nodului. El poate fi direcionat, prin arce, spre unul sau mai multe noduri din schem. Arcele definesc transferul ntre noduri, avnd asociat sensul de transfer al semnalelor. Fiecare arc este caracterizat prin funcia de transfer, care exprim legtura ntre semnalele aferente nodurilor. O succesiune de arce parcurse de semnal formeaz o cale. Dac ntr-o cale toate nodurile sunt parcurse o singur dat, calea se numete cale deschis. Se numete bucl sau cale nchis, calea care pornete i se termin n acelai nod. O bucl cu o singur latur se numete bucl proprie. Ca i n cazul schemelor bloc, la care s-au definit reguli de simplificare bazate pe transformri elementare (conexiunile serie, derivaie i n circuit nchis), reducerea grafurilor de fluen are ca obiectiv obinerea unui graf soluie, compus din arce simple, care fac legtura dintre nodurile surs i nodurile sarcin. In Tabelul 1. sunt sintetizate cteva reguli elementare de transformare a grafurilor de fluen.Tabelul 1 Reguli elementare de transformare a grafurilor de fluen Nr. Denumirea Graful iniial Graful echivalent crt transformrii 1 Inlocuirea arcelor conectate n paralelH1 H1 + H2

H2

2 3

Inlocuirea arcelor conectate n serie Inlocuirea unei bucle

H1

H2

H1. H2

H1 H3

H2

H1.H 2 1 H1.H 3

4

Inlocuirea unei bucle propriiH1

H3 H2

H1.H 2 1 H3

5

Inlocuirea unor bucle nseriate

H5 H1 H2 H3 H4

H2.H4+H3.H5 H1H2 2 H3

6

Transformarea stea-triunghi1 H15 5

2 H52 H35 H54 4 3 H15.H52 1 H15.H54

H35.H52 3 H35.H54 4

Exemplul 1 Pentru sistemul din fig. 2, graful de semnal corespunztor este prezentat n fig. 3. Graful aferent acestui sistem este dat n fig. 3. Urmnd regulile de simplificare date n tabelul 1, se obine :H8(s) R(s) +V1(s)

-

H1(s)

V2(s)

H2(s)

+

V3(s)

-

H3(s)

V4(s)

H4(s)

V5(s)

H5(s)

V6(s)

Y(s)

H6(s)

H7(s)

-H8 R(s) 1V1(s) H1 V2(s) H2 V3(s)

H3V4(s)

H4

V5(s) H5

V6(s)

1

Y(s)

-H6

-H (exemplu) Fig. 2 Structura unui sistem 7 Fig. 3 Graful de semnal pentru exemplul din fig. 2

H3 (s) H 4 ( s) 1 H 3 ( s )( H8 ( s )) H1 ( s ) H ( s ) = 1. H 2 ( s) H 5 ( s ).1 H3 (s) 1 H1 ( s )( H 6 ( s )) 1 H 4 ( s )( H 7 ( s )) 1 H 3 ( s )( H8 ( s ))

sau, dup simplificri,H ( s) = H1 ( s ) H 2 ( s ) H 3 ( s ) H 4 ( s ) H 5 ( s ) (1 + H1 ( s ) H 6 ( s ))(1 + H 3 ( s ) H 8 ( s ) + H 3 ( s ) H 4 ( s ) H 7 ( s ))

(1)

Acelai rezultat se obine utiliznd regulile clasice de simplificare a schemelor bloc. Exemplul 2 Fie graful unui sistem cu timp discret, prezentat n fig. 4. Dac seU(z)1

1

b0z 11

1

Y (z)

1 a11

b1z 1

1

a2

b2

Fig.4 Sistem cu timp discret (exemplu)

elimin arcele cu transfer unitar, atunci acest graf poate fi desenat i sub forma din fig 5.a. Se aplic transformarea stea-triunghi la steaua care conine arcele cu transfer z-1, a2 i1

U(z)

1

b0

1

Y (z)

a1 a2

z 1 b1 z 1 b2

aU(z)1

1

b0

1

Y (z)

a1 a2z-1

z 1

b1 b2 z 1

bU(z)1

1

b0 z 1 b1 + b2 z 1

1

Y (z)

a1+ a2z-1

cU(z)1

1

b0 b1 z 1 + b2 z 2

1

Y ( z)

a1z-1 + a2z-2

dFig.5 Transformri ale grafului din fig.4

b2, obinndu-se schema din fig. 5.b. Aici, avem dou perechi de arce conectate n paralel : cele cu transfer a1 i a2 z 1 , i respectiv cele cu transfer b1 i b2 z 1 . In consecin, graful poate fi redesenat ca n fig. 5.c. In continuare, se aplic din nou transformarea stea-triunghi, la steaua care conine arcele cu funciile de transfer z-1,

a1 + a2 z 1 i b1 + b2 z 1 , obinndu-se graful din fig. 5.d. Aici sunt dou conexiuni: - o bucl care are pe calea direct transfer unitar i pe calea invers funcia detransfer a1z 1 + a2 z 2 ; - dou arce n paralel, cu funciile de transfer b0 i b1z 1 + b2 z 2 . Funcia de transfer a ntregului sistem este b + b z 1 + b2 z 2 1 H ( z ) = 1. (b0 + b1z 1 + b2 z 2 ).1 = 0 1 (2) 1 (a1z 1 + a2 z 2 ) 1 a1z 1 a2 z 2 Exemplul 3 Fie circuitul din fig. 6, care se analizeaz prin metoda curenilor ciclici. Se

Z1 U I1

Z3 Z2 I2 Z4

Z5 I3 Z6

Fig. 6 Circuit de analizat (exemplu)

cere s se rezolve circuitul n raport cu curentul ciclic I3, utiliznd grafuri de fluen. Utiliznd notaiile : Z11 = Z1 + Z 2 ; Z 22 = Z 2 + Z3 + Z 4 ; Z33 = Z 4 + Z5 + Z 6 (3) se pot scrie ecuaiile tensiunilor pe cele 3 contururi : U = I1Z11 I 2 Z 2 0 = I 2 Z 22 I1Z 2 I3Z 4 0 = I3Z33 I 2 Z 4 se unde se scot ecuaiile curenilor pe contur : Z Z Z Z U I1 = + 2 I 2 ; I 2 = 2 I1 + 4 I3 ; I3 = 4 I 2 Z11 Z11 Z 22 Z 22 Z33 (4)

(5)

Z 4 / Z 22 U 1/ Z11 I1 Z 2 / Z 22 I2 Z 4 / Z33 Z 2 / Z11Fig. 7 Graful de fluen pentru rezolvarea circuitului din fig. 6

I3

Graful de fluen pentru rezolvarea circuitului este dat n fig. 7. In nodul surs se asociaz tensiunea aplicat, U, iar celorlalte noduri li se asociaz curenii I1, I2 i I3. Deoarece se

cere rezolvarea circuitului n raport cu I3, ultimul nod va fi considerar nod-sarcin. In conformitate cu transformarea de la poziia 5 din Tabelul 1, graful din fig. 7 se poate prezenta sub forma din fig. 8. Acum, expresia curentului se poate scrie direct :2 2 Z2 Z4 + Z11Z 22 Z 22 Z33

U

Z2 Z11Z 22

Z4 Z33

I3

Fig. 8 Transformarea fgrafului din fig. 7

I3 =

Z2 Z4 Z11Z 22 Z332 Z2 Z4 2 1 + Z11Z 22 Z 22 Z33

(6)

3 Conversia : funcie de transfert caracteristica Bode asimptoticFie o funcie de transfer sub forma general:H (s) = M (s) B1ii i

( s ) T1 j ( s )j

Bi ( s ) T j ( s )j

(7)

unde: Bi ( s ) , B1i ( s ) sunt factori de tip binom, avnd formaB ( s ) = Ts + 1

(8)

-

T j ( s ) , T1 j ( s ) sunt factori de tip trinom, de forma T ( s ) = T 2 s 2 + 2 Ts + 1

(9)

-

M(s) este un factor monome: M ( s ) = ks

(10)

Dac = 0 , sistemul are caracter proporional ; dac = 1, 2,K sistemul are caracter integrator, dublu integrator, ; dac = 1, 2,K sistemul are caracter derivatior, dublu derivator, Amplificarea n dB este:

AdB ( ) = 20log M ( j ) + 20log B1i ( j ) + 20log T1 j ( j ) i j

20log Bii

( j ) 20log T j ( j )j

(11)

Deci, caracteristica Bode AdB ( ) se obine nsumnd caracteristicile Bode aferente termenilor din expresia (11). Aceste caracteristici pot avea formele urmtoare: 1. Pentru factorii de tip binom sau trinom din funcia de transfer (7), caracteristicile asimptotice sunt nule pn la pulsaia de frngere 1/T , dup care urmeaz o asimptot cuAdB ( )1T 1T 1T 1T 20 dB/dec 40 dB/dec

+40 dB/dec

+20 dB/dec

Fig. 9 Caracteristicile asimptotice aferente factorilor de tip binom i de tip trinom din funcia de transfer (7)

panta : 20dB/dec pentru binoame situate la numrtorul/numitorul funciei de transfer ; 40dB/dec pentru trinoame situate la numrtorul/numitorul funciei de transfer (fig. 9); 2. pentru factorul monom, caracteristica de amplificare n dB este o dreapt cu pantaAdB = 20log H ( j )20log K

AdB

AdB

AdB+20dB/dec 1T

20dB/dec

40dB/deck

M (s) = k sk

M (s) = K

M ( s ) = k s2

H (s ) = Ts

Fig. 10 Caracteristici Bode posibile pentru factorul de tip monom

de 20dB/dec. Figura 10 prezint caracteristicile Bode aferente factorilor monom cei mai des ntlnii. Se remarc faptul c, pentru o funcia de transfer de forma (7), amplificarea AdB a sistemului este egal cu amplificarea introdus de factorul monom, pn la cea mai mic frecven de frngere. In continuare, crescnd pulsaia , la fiecare pulsaie de frngere, panta caracteristicii se schimb, dup natura factorului care introduce pulsaia respectiv de frngere. Pentru binom, respectiv trinom, schimbarea de pant este de 20dB/dec, respectiv 40dB/dec (semnul minus corespunde cazului cnd factorul se afl la numitor). Exemplu. Fie funcia de transfer:

H (s) =

s (10 s + 1)( s + 2 )

20 ( s + 0.2 )

(12)

Se pune aceast funcie de transfer sub forma n care factorii binom/trinome au forma (8) / (9), adic termenul liber este egal cu 1 :

H ( s) =

s (10s +1)( 0.5s +1)

2( 5s +1)

(13)

Pulsaiile de frngere i schimbrile de pant corespunztoare acestora sunt :

f 1 = 1/10 = 0.1 s 1 ( 20dB/dec )

f 2 = 1/ 5 = 0.2 s 1 ( +20dB/dec )

f 3 = 1/ 0.5 = 2 s 1 ( 20dB/dec )

Caracteristica asimptotic AdB ( ) a sistemului este dat n fig. 11 (carecteristica factorului monom 2/s este trasat cu linie ntrerupt).40

AdB ( )

20dB / dec

20

40dB / dec

20dB / dec10 1

f1

f 2

f310 0

40dB / dec101

Fig. 11 Caracteristica Bode asimptotic pentru sistemul (12)

4 Conversia: funcie de transfer ecuaie de stare n form canonic 4.1 Reprezentri canoniceFie sistemul monovariabil cauzal de ordinul n, descris prin funcia de transfer:H (s) = b s n 1 + K + b0 Y ( s) P( s) = = n n 1 U ( s ) Q( s ) s + an 1s n 1 + K a0

(14)

Aici intervin 2n parametri: an1, ...., a0 ; bn1,..., b0 . Intr-un model de stare al sistemului

strict cauzal, de forma,

& x = Ax + bu

(15)

y = cT x

(16)

matricea A este de dimensiune n x n, b i c sunt vectori coloana n-dimensionali, deci pot interveni ( n 2 + 2n ) parametri. Se pune problema reprezentrii modelului de stare ntr-o form n care numrul de parametri este 2n, ca i n cazul funciei de transfer. Aceasta se numete form canonic a modelului de stare.4.2. Reprezentri canonice pentru sisteme cu timp continuu 4.2.1. Reprezentarea modal a sistemului (forma canonic Jordan). Fie H(s) funcia de transfer

H (s) = i

Q (s)

P (s)

=

P (s) s n + an1s n1 + ......... + a0

(17) (18)

Q(s ) = 0 ; s n + an 1s n1 + ..... + a0 = 0

ecuaia caracteristic a sistemului. Considerm c rdcinile ecuaiei caracteristice sunt distincte i reale. Funcia de transfer se descompune sub forma1 s p1 U (s) 1 s p2 X1 ( s )

r1X2 (s)

H (s) =

rk k =1 s pkn

(19)

r2

Y (s)

1 s pn

Xn (s)

rn

unde pk ; rk , k = 1, n sunt polii, respectiv reziduurile funciei H ( s) . Conform relaiei (19), sistemul se descompune n n sisteme de ordinul 1, conectate n paralel (fig.12). Notnd cu X i ( s ) , i = 1, n , ieirile acestor filtre elementare, se poate scrie sX1 ( s ) = p1 X1 ( s ) + U ( s ) sX 2 ( s ) = p2 X 2 ( s ) + U ( s ) M sX ( s ) = p X ( s ) + U ( s ) n n n

Fig. 12 Descompunerea modal a unui sistem cu poli distinci i reali

i se obin ecuaiile de stare i de ieire ale sistemului :& x1 = p1 x1 + u x = p x + u &2 2 2 ; M xn = pn xn + u &n

(20)

Y ( s ) = rk X k ( s )k =1

n

(21)

y = rk xkk =1

(22)

Sub form matriceal, sistemul este p1 0 & x=0 M 0 0 p2 0 M 0 0 0 M 0 K K M K 0 1 0 1 0 x + u ; M M 1 pn

p3 K

y = [ r1 r2 K rn ] x

(23)

astfel nct modelul de stare are urmtorii parametri matriceali:A = diag ( p1 , p2 ,...... pn )

r1 1 1 = r2 ; b= M ; c M 1 rn

(24)

Variabilele de stare, xi , i = 1, n , corespunztoare ieirilor elementelor simple din schema dat n fig 12, se numesc modurile proprii ale sistemului. Acestora le corespund componentele rk e pk t din rspunsul la impuls Observaie Din expresia (24) a matricii A, rezult c ecuatia caracteristic a sistemului se poate scrie det( sI A) = ( s p1 )( s p2 )...( s pn ) = 01/s X1(s)1U(s) 1

-p 1

r11 Y(s)

1

M M1/s -pnXn(s)

rn

Fig. 13 Graful de semnal pentru un sistem n reprezentare modal (cazul polilor distinci)

deci polii pi , i = 1, n ai funciei de transfer sunt valorile proprii ale matricei A. Din relaiile (20) se constat c imaginea Laplace X k ( s ) se poate scrie sub forma 1 X k ( s ) = (U ( s ) pk X k ( s ) ) ; k = 1, n s astfel nct sistemul se poate reprezenta prin graful din fig. 13.

Considerm c polii distinci ai sistemului pot fi i compleci conjugai. Vom admite c primii 2 poli sunt de forma:

p1,2 = j

(25)

In acest caz, reziduurile r1 i r2 sunt complexe conjugate, iar termenii r1 r2 i din dezvoltarea funciei de transfer H ( s ) se nlocuiesc s ( + j ) s ( j ) printr-un subsistem de ordinul 2 cu funcia de transferAs + B

( s )2 + 2

. In schema din fig.

12, primele dou subsisteme de ordinul 1 se nlocuiesc prin subsistemul de ordinul 2 menionat i se obine schema dat n fig. 14.

As + B

V (s )

( s + )2 + 2U (s )

Deoarece subsistemul de ordinul 2 are modelul de stareY (s )

1 s p3

r3

1 s pn

rn

A & x1 x1 u x = x + 1 &2 ( B + A) 2 (26) x v = [1 0] 1 x2 sistemul n ansamblu va fi caracterizat de parametrii A, b i c, care au forma urmtoare :

Fig. 14 Descompunerea modal a unui sistem cu poli compleci conjugai

n acest caz, descompunerea funciei de transfer H ( s ) este :H (s) =

Considerm c polul p1 este multiplu, cu grad de multiplicitate m1 .r11 r12 r1m1 s p1 rm1 +1 s pm1+1 rn s pn

A = diag , -

A 1 1 ( B + A ) 0 p3 , K , pn ; b = 1 ; c = c3 M M c 1 n

(27)

( s p1 )

m1

+

( s p1 )

+ ....... + m 11

+

+ .... +

(28)

n carer1 j = 1 d j 1 j + 1) ! d s j 1 P (s) , j = 1, m1 n s pi ) ( i = m1 +1 s = p1

(

(29)

Expresia (28) conduce la reprezentarea sistemului prin schema bloc din fig. 15, n care sunt ataate variabile de stare la ieirile subsistemelor elementare. Pe baza acestei reprezentri, se obin ecuaiile de stare i de ieire ale sistemului : x j = p1 x j + x j +1; j = 1, m1 1 & M & ; xm1 = p1 xm1 + u xi = pi xi + u; i = m1 + 1, n &

y = r1, j x j +j =1

m1

i = m1 +1

n

ri xi

(30)

m1 elementeX m1 (s ) X m11 (s ) X 2 (s )

1 s p1

1 s p1

1 X 1 (s ) r11 s p1 r12r1m1 1

U (s )

1 s pm1 +1

X m1+1 (s )

r1m1rm1 +1

Y (s )

X n (s ) 1 rn s pn Fig. 15 Descompunerea modal a unui sistem cu un pol avnd ordinul de multiplicitate m1

Parametrii matriceali ai modelului de stare sunt: r1,1 1 r p1 0 1,2 M M ; ; cu J1 = b = 0 ; c = r1, m1 r 1 0 m 1 +1 M M 1 rn

1 O O O

A = diag J1, pm1 +1,K , pn

(

)

0 (31) 1 p1

n care J1 se numete bloc Jordan. r1,m r1,m-1 r13 r121/s Xm1(s) 1/sXm1-1(s) X3(s)

.....

1/s X2(s)

1/s

X1(s)

-p11 U(s) 1 1

-p1 1/s

-p1Xm1+1(s)

-p1

r11

1 1

rm1+1

. .1

-pm1+1

. . 1/s

. .Xn(s)

Y(s)

rn

-pnFig. 16 Descomunerea modal a unui sistem avnd un pol cu ordin de multiplicitate m1

Graful siatemului, corespunztor schemei bloc din fig. 15, este dat n fig. 16.

CURS 7Recapitulare 4 Conversia: funcie de transfer ecuaie de stare n form canonic 4.1 Reprezentri canoniceFie sistemul monovariabil cauzal de ordinul n, descris prin funcia de transfer:H (s) = b s n 1 + K + b0 Y ( s) P( s) = = n n 1 U ( s ) Q( s ) s + an 1s n 1 + K a0

(14)

Aici intervin 2n parametri: an1, ...., a0 ; bn1,..., b0 . Intr-un model de stare al sistemului

strict cauzal, de forma, ; y = cT x (16) matricea A este de dimensiune n x n, b i c sunt vectori coloana n-dimensionali, deci pot interveni ( n 2 + 2n ) parametri. Se pune problema reprezentrii modelului de stare ntr-o form n care numrul de parametri este 2n, ca i n cazul funciei de transfer. Aceasta se numete form canonic a modelului de stare.& x = Ax + bu

4.2. Reprezentri canonice pentru sisteme cu timp continuu 4.2.1. Reprezentarea modal a sistemului (forma canonic Jordan). Fie H(s) funcia de transfer (14) i s n + an1s n1 + ..... + a0 = 0 ecuaia caracteristic Cazul cnd rdcinile ecuaiei caracteristice sunt distincte i reale.1 s p1

X1 ( s )

r1X2 (s)

H (s) =

rk k =1 s pkn

(19)0 1 0 1 0 x + u ; M M 1 pn

U (s)

1 s p2

r2

Y (s)

1 s pn

Xn (s)

rn

0 K p1 0 0 p 0 K 2 & x = 0 0 p3 K M M M M 0 0 0 K y = [ r1 r2 K rn ] x

Fig. 12 Descompunerea modal a unui sistem cu poli distinci i reali

( s + )2 + 2U (s )

1 s p3

1 s pn

Fig. 14 Descompunerea modal a unui sistem cu poli compleci conjugai

As + BV (s )

Cazul cnd polii distinci ai sistemului pot fi i compleci conjugai, de exemplu : p1,2 = j

r3

Y (s )

r1 r2 i din H ( s ) s ( + j ) s ( j ) se nlocuiesc cu un subsistem de ordinul 2 : As + B

rn

( s )2 + 2

4.2.2.Reprezentarea sistemului n forma canonic controlabil. Sistemul cu funcia de transfer (14) se structureaz ca n fig. 17. Pentru primul bloc din aceast schem se poate scrieU (s )

1 s + an1sn n1

Y1 (s )

+ K+ a0

bn1sn1 +K+b0

Y (s )

Fig. 17 Descompunerea sistemului (14)

s nY1 ( s ) = U ( s ) a0Y1 ( s ) a1sY1 ( s ) .... an1s n1Y1 ( s )Notnd

(32) (33)

X1 ( s ) = Y1 ( s )

sX1 ( s ) = X 2 ( s ) sX 2 ( s ) = X 3 ( s ) KKKKKKK sX n1 ( s ) = X n ( s )

(34)

ecuaia (4.78) devinesX n ( s ) = U ( s ) a0 X1 ( s ) a1 X 2 ( s ) .... an1 X n ( s )

(35)

Pentru cel de al doilea bloc din fig. 17 se poare scrie :Y ( s ) = b0Y1 ( s ) + b1sY1 ( s ) + .... + bn1s n1Y1 ( s )

(36)

(37) Relaiile (33) - (37) permit reprezentarea sistemului sub forma schemei bloc din fig. 18. Aceast schem arat o modalitate de realizare a unui sistem electronic cu timp continuu, utiliznd integratoare i sumatoare. Acestei scheme i corespunde graful de semnal din fig. 19. Se constat ca pe calea direct, care pleac din nodul surs i ajunge n nodul sarcin , sunt situate toate+ +

sau, cu notaiile (33) i (34), Y ( s ) = b0 X1 ( s ) + b1 X 2 ( s ) + ...... + bn 1 X n ( s )

+ +b1

+

+

Y (s )

bn1U (s ) + 1 s

bn21 sX n 1 (s )

b01 s

X n (s ) an1+ +

1 X 2 (s ) s

X 1 (s )

an 2+ +

a1

a0

+ +

nodurile crora li s-au asociat variabile de stare. Deci, indiferent de parametrii care definesc transferul celorlalte arce, altele dect cele de pe calea direct, semnalul aferent nodului surs va modifica (va comanda) toate variabilele de stare. Din acest motiv, aceast reprezentare canonic se numete controlabil.bn-1 bn-2 b2 b11 U(s) 1/s Xn(s) 1/sXn-1(s) X3(s)

.....

1/s X2(s)

1/s

X1(s)

-an-1

b0

Y(s)

-an-2

-a2 -a1 -a0

Fig. 19 Graful de semnal pentru forma canonic controlabil.

Transfernd n domeniul timp relaiile (4.79) - (4.83), rezult ecuaiile de stare i de ieire ale sistemului : xi = xi +1 ; i = 1, n 1 & xn = u a0 x1 a1x2 K an1 xn & y = b0 x1 + b1x2 + ...... + bn1 xn sau, sub form matriceal, 0 0 & x= M 0 a0 1 0 M 0 0 1 M 0 K K K K 0 0 0 0 M x + M u 1 0 1 an 1

(38)(39)

(40)

a1 a2 K

y = cT x = [b0

b1 ..... bn 1 ]x

(41)

Parametrii care intervin n modelul de stare sunt : 0 A= a0

I n1 a1 K

b0 0 M b = c = b1 M ; 0 ; a n1 bn1 1

(42)

Deoarece matricea A obinut conine coeficienii polinomului caracteristic (numitorul funciei de transfer H(s) ), ea se numete matrice companion. In forma n care intervine n reprezentarea canonic controlabil, ea poart denumirea de matrice companion controlabil4.2.3.Reprezentarea sistemului n forma canonic observabil. Relaia

s nY ( s ) + an1s n1Y ( s ) + K + a0Y ( s ) = bn1s n1U ( s ) + K + b0U ( s ) , (43) obinut din (4.70), poate fi pus sub forma :1 1 1 1 Y ( s) = bn1U ( s) an1Y ( s) + bn2U ( s) an2Y ( s) + K+ ( b0U ( s) a0Y ( s) )K (44) s s s s

Utiliznd notaiileY ( s ) = X1 ( s )1 X 1 ( s ) = s ( bn 1U ( s ) an 1 X 1 ( s ) + X 2 ( s ) ) X ( s ) = 1 (b U ( s ) a X ( s ) + X ( s )) 2 n2 n2 1 3 s M 1 X n ( s ) = ( b0U ( s ) a0 X 1 ( s ) ) s

(45)

(46)

sistemul poate fi reprezentat prin schema bloc din fig. 20. Acestei scheme i corespunde U (s )b0 b1 bn2 bn1

+

-

1 s

X n (s )

+ + a1

1 s

X n1 (s )

X 3 (s )

+ + an2

1 s

X 2 (s ) +

+ a n 1

1 s

X 1 (s ) = Y (s )

a0

Fig. 20 Schema funcional corespunztoare formei canonice observabile

graful de semnal din fig. 19.

bn-1 bn-2 b2 b1U(s)

b01/s

Xn(s)

Xn-1(s)

1

1/s

1

.....

X2(s)

X1(s) 1

1/s

1

1/s

Y(s)

-a2 -a1 -a0

-an-2

-an-1

Fig. 21 Graful de semnal pentru forma canonic observabil

Pe baza relaiilor (45) i (46) se obin urmtoarele ecuaiile de stare i de ieire :& x1 = bn 1u an 1 x1 + x2 x = b u a x + x &2 n2 n2 1 3 ; M & xn = b0u a0 x1

(47)

y = x1 Parametrii matriceali din modelul de stare al sistemului sunt : a n1 a n2 A= M a1 a0 I n1

(48) bn 1 1 b 0 n2 ; b = M ; c = M 0 b1 0 b0

(49)

0

Din graful de semnal prezentat n fig. 21, se constat c semnalul de ieire se obine prin aportul tuturor variabilelor de stare care se afl pe calea direct, situat ntre nodul Xn(s) i nodul sarcin . Intruct indiferent de parametrii ce definesc transferul celorlalte arce, care nu sunt pe aceast cale direct, semnalul aferent nodului sarcin va conine aportul tuturor variabilele de stare, aceast reprezentare canonic se numete observabil, iar forma companion a matricii A se numete companion observabil.

4.3. Reprezentri structurale pentru sisteme cu timp discretToate reprezentrile menionate pentru sistemele cu timp continuu (reprezentarea modal, formele canonice controlabile i observabile) pot fi adaptate i pentru sistemele cu timp discret.

4.3.1 Reprezentri structurale pentru sisteme de tip FIR Alturi de structura IIR, specific sistemelor cu timp continuu, sistemele cu timp discret pot avea o structur distinct, fr corespondent n domeniul sistemelor cu timp continuu, i anume: structura de sistem FIR. Funcia de transfer a unui sistem FIR are forma general H ( z ) = h0 +h1 z 1 + h2 z 2 + ... + hn z n (50) Pe baza relaieiY ( z ) = H ( z ).U ( z ) = h0U ( z )+h1 z 1U ( z ) + h2 z 2U ( z ) + ... + hn z nU ( z ) i utiliznd notaiile hi = bi , i = 0, nU (z)

(51) (52)

1

z 1

z 1

z 1

z 1

1

b01

b11

b2

bn 21

bn 11

bn1Y ( z)

Fig. 22 Graful de semnal pentru un sistem cu timp discret avnd structur nerecursiv.

sistemul FIR se poate reprezenta prin graful de semnal dat n fig. 22. Se observ structura neresursiv a acestui graf, toate arcele fiind pe o cale deschis care leag nodul surs de nodul sarcin. Un sistem nerecursiv cu structura din fig. 22 este numit adesea filtru transversal .4.3.2 Reprezentri structurale pentru sisteme de tip IIR

Un sistem numeric oarecare, la limit causal, poate fi structurat sub forma unei conexiuni serie a unui subsistem FIR i a unui subsistem IIR, ca n fig. 23. PentruU ( z)1 2 n

b0 + b1 z

+ b2 z

+Kbn z

Y1 ( z )

1 1 a1 z1

a2 z 2 K an z n

Y (z)

Fig. 23 Descompunerea unui sistem cu timp discret ntr-un subsistem nerecursiv i un sistem recursiv

primul sistem se poate scrie Y1 ( z ) = b0U ( z ) + b1z 1U ( z ) + b2 z 2U ( z ) + ...... + bn z nU ( z ) i rezult structura nerecursiv reprezentat prin graful din fig.24. Pentru subsistemul IIR se poate scrie Y ( z ) = Y1 ( z ) + a1 z 1Y ( z ) + a 2 z 2Y ( z ) + ...... + an z nY ( z )

(53)

(54)

i rezult graful din fig. 25. Se observ faptul c n acest graf exist n legturi de la ieire spre intrare, prin parametrii a1, a2, , an. Aceste legturi dau caracterul de structur recursiv pentru subsistemul IIR.

U(z)

1

b0z 1

11

Y1(z)

Y1 (z)

1 1

1

1z 1

Y(z)

z-1U(z)

b11 1

a1z 1

z-1Y(z)

z 1z -2U(z)

b2

a2

z -2Y(z)

. . .z (n-2)U(z)

. . .bn-2

. . .

. . .

. . .an-2

. . .z (n-2)Y(z)

z 1z (n-1)U(z)

1

1

z 1

bn-11 1

an-1z 1

z (n-1)Y(z)

z 1z nU(z)

bn

an

z -nY(z)

Fig. 24 Graful de semnal pentru subsistemul cu structur nerecursiv

Fig.25 Graful de semnal pentru subsistemul cu structur recursiv

Conectarea subsistemelor FIR i IIR, conform schemei din fig. 23, ne conduce la structura ilustrat prin graful din fig. 26. Aceasta structur este complicat i poate fiU(z)1

b0 Y1 (z)1z 11 1

1

1z 1

Y(z)

z-1U(z)

b11 1

a1z 1

z-1Y1(z)

z 1z -2U(z)

b2

a2

z -2Y1(z)

. . .z (n-2)U(z)

. . .bn-2

. . .

. . .

. . .an-2

. . .z (n-2)Y1(z)

z 1z (n-1)U(z)

1

1

z 1

bn-11 1

an-1z 1

z (n-1)Y1(z)

z nU(z)

bn

an

z -nY1(z)

Fig. 26 Graful de semnal corespunztor descomunerii din fig. 23 a sistemului

nlocuit cu o structur mai compact, dac se renun la descompunerea din fig. 23. Vom considera acum c se inverseaz cele dou subsisteme : nti subsistemul IIR, apoi

U (z )

1 1 a1 z1

Y1 (z )

a2 z

2

K an z

n

b0 + b1 z 1 + b2 z 2 + Kbn z n

Y (z )

Fig. 27 Descompunerea unui sistem cu timp discret ntr-un subsistem recursiv i un sistem nerecursiv Y1 (z) 1 b0 1 1 1 U(z) Y(z)1

z 1

z 1z-1 Y1 (z)

1

a11

z-1Y1(z)

b11

z 1

z 1z -2 Y1 (z)

a2

z -2Y1(z)

b2

. . .

. . .an-2

. . .(n-2) Y1 (z) z (n-2)Y1(z) z

. . .z 1

. . .bn-2

. . .

1

z 1z (n-1) Y1(z)

1

an-11

z (n-1)Y1(z)

bn-11

z 1

an

z -nY1(z)

z n Y1 (z)

bn

Fig. 28 Graful de semnal corespunztor descomunerii din fig. 27 a sistemului

U(z)

1 1

1

Y1 (z)

1 b0z 11

1

Y(z)

a11

b1z 11

a2

b2

. . .1

. . .

. . .an-2

. . .

. . .bn-2z 1

. . .1

an-11

bn-1z 11

an

bn

Fig. 29 Graful de semnal corespunztor descomunerii din fig. 23 a sistemului

subsistemul FIR, ca n fig. 27. innd cont de grafurile celor dou subsisteme nseriate: IIR (structura recursiv) i FIR (structura nerecursiv), prezentate n fig. 25, respectiv fig. 24, graful ntregului sistem ar putea s fie reprezentat ca n fig. 28. Aici se observ cu uurin faptul c irul de arce avnd funcia de transfer egal cu z-1 primete la intrare acelai semnal, Y1(z). Deci, nodurilor care urmeaz le corespund aceleai semnale, n cele dou iruri de arce: z-1Y1(z), z-2Y1(z),...., z-(n-1)Y1(z), z-nY1(z). Prin urmare, cele dou lanuri de arce fiind identice i avnd la toate nodurile aceleai semnale, se poate considera un singur lan de arce i graful sistemului capt forma fin fig. 29. Exemplu Fie sistemul avnd graful din fig. 30. S se deduc ecuaia intrare ieire, polii i zerourile, precum i expresia amplificrii. 1 Y (z) 1 1U(z)

1 1.61

z 1

1

0.5z 1

1

-0.6

0.25

Fig.30 Sistem cu timp discret (exemplu)

Avnd n vedere corespondena dintre graful general din fig. 29 i funcia de transfer general a sistemului cu timp discret, rezult: -

-

0.5( z 0.5) ; z 1.6 z + 0.6 ( z 1)( z 0.6) 1 1.6 z + 0.6 z ecuaia intrare-ieire: y (k ) = 1.6 y (k 1) 0.6 y (k 2) + 0.5u (k 1) 0.25u (k 2) ; polii p1=1, p2=0.6; zeroul: z1=0.5; expresia amplificrii:funcia de transfer H ( z ) =1 2

0.5 z 1 0.25 z 2

=

0.5 z 0.25

2

=

A( ) = H (e jTe ) =

0.5e jTe 0.25e2 jTe 1 1.6e jTe + 0.6e2 jTe

=

=

( 0.5cos(Te ) 0.25cos(2Te ) )2 + ( 0.5sin(Te ) + 0.25sin(2Te ) )2 (1 1.6 cos(Te ) + 0.6 cos(2Te ) )2 + (1.6sin(Te ) 0.6sin(2Te ) )2

CURS 84.4. Conversia modelelor neparametrice A. Conversia: rspuns la impuls caracteristici de frecven Fie un sistem cu poli n semiplanul stng. La un astfel de sistem, este satisfcut condiia lim h ( t ) = 0 . Deoarece funcia rspuns la impuls, h ( t ) , admite simultan transformata Fourier i transformata Laplace, rezult consecutiv :h(t )t a

F {h ( t )} = h ( t ) e jt dt = h ( t ) e jt dt =ttM

0

= L{h ( t )} 0

s = j

= H ( j ) 0

(55)

H ( j ) = P ( ) + jQ ( ) = = h (t ) e j t

Fig. 31 Rspuns la impuls

dt = h ( t )( cos t jsin t ) dt

(56)

de unde rezult P ( ) = h ( t ) costdt ; Q ( ) = h ( t ) sintdt0 0

(57)

adic h ( t ) t >t 0 . Calculul numeric al caracteristicilor de frecven, plecnd de laM

Fie tM timpul la care rspunsul la impuls devine practic egal cu zero (v. fig. 31),

rspunsul la impuls, are la baz relaiile :P ( ) =tM 0

h ( t ) costdt;

Q ( ) = h ( t ) sintdt0

tM

(58)

A ( ) = P 2 ( ) + Q 2 ( ) ; ( ) = arctgB. Conversia: caracteristici de frecven rspuns la impuls

Q ( ) P ( )

(59)

Pentru conversia invers, de la caracteristicile de frecven ale unui sistem de faz minim la rspunsul la impuls, se pornete de la expresia transformatei Fourier inverse :h ( t ) = F1 { H ( j )} = 1 jt H ( j ) e d = 2

1 = P ( ) + jQ ( ) [ cost + jsint ] d 2

(60)

Dezvoltnd calculul, rezult :

1 h(t ) = 2 = 1 0

1 P ( ) cost Q ( ) sint d + j 2

P ( ) sint + Q ( ) cost d =

(61)

P ( ) cost Q ( ) sint d

ntruct P ( ) cost Q ( ) sint este o funcie par, iar P ( ) sint + Q ( ) cost este o funcie impar. Se vor utiliza notaiile1 (+) ( ) P ( ) costd = h ( t ) ; Q ( ) sintd = h ( t ) 10 0

(62)

+ unde h( ) ( t ) este par i h( ) ( t ) impar. Din (61) i (62) rezult:+ h ( t ) = h ( ) ( t ) + h( ) ( t )

(63) timpului t, se obineh ( t ) = 0 (sistemul este + h( ) t = h( ) t i

Dac n aceast relaie se schimb semnul + t + t h ( t ) = h( ) ( t ) + h( ) sau 0 = h( ) ( t ) h( ) , deoarece + + cauzal). Ins h( ) t = h( ) t i h( ) t = h( ) t , deci

( )

()

( )

()

()

()

+ h ( t ) = 2 h( ) ( t ) = 2 h( ) ( t )

(64) 2

Rezult h (t ) = 2

P ( ) costd ; h ( t ) = Q ( ) sint0 0

(65)

Calculul numeric utilizeaz limite superiaore finite n integrale :h (t )

2 M 2 M P ( ) costd ; h ( t ) Q ( ) sintd0

0

(66)

unde M este pulsaia la care au loc relaiile : P ( ) > 0 ; Q ( ) > 0 .M M

4.5. Discretizarea sistemelor cu timp continuu4.5.1 Introducere Pentru un sistem cu timp continuu dat, se cere deducerea unui sistem cu timp discret care s aproximeze caracteristicile dinamice ale sistemului cu timp continuu. Aceast problem apare atunci cnd se dorete implementarea numeric (soft) a unui sistem dat n realizare analogic. Problema formulat poate fi tratat i ca o conversie de tipul: sistem cu timp continuu sistem cu timp discret.

4.5.2. Abordarea bazat pe ansamblul eantionator-extrapolator Fie H(s) funcia de transfer a sistemului cu timp continuu, care face obiectul procedurii de discretizare (fig. 32.a). Prin operaia de discretizare, se construiete un nou sistem cu caracteristici dinamice apropiate de cele ale sistemului iniial, urmnd procedura ilustrat n fig. 32.b. La intrarea sistemului cu timp continuu se aplic u ( t ) , obinut prin ansamblul eantionator-extrapolator. Sistemul cu timp discret are la intrareDiscretizare Sistem cu timp discretE

u (t )

H (s)a

y (t )

Extrapolator

u ( t ) Te u ( k )

H (s)b

Te

y (k )y (t )

u (t )

Fig. 32 Sistem cu timp continuu (a) schema de discretizare utiliznd ansamblul eantionator-extrapolator (b)

variabila u ( k ) , obinut din u (t ) cu eantionatorul E. Firete, la intrarea sistemului cu timp continuu trebuie aplicat un semnal care s fie definit pe tot domeniul timpului natural i, de aceea, se utilizeaz un extrapolator, pentru obinerea semnalului cu timp continuu u ( t ) din semnalul eantionat. Variabila de ieire a sistemului cu timp discret ,y ( k ) , este dat de un eantionator fictiv, reprezentat cu linie ntrerupt n fig. 32.b.

Eroarea de aproximare a sistemului iniial, dat n fig. 32.a, prin sistemul reprezentat n fig.32.b, este dat de eroarea de refacere a semnalului u ( t ) , plecnd de la semnalul eantionat u ( k ) , adic de diferena: u ( t ) u ( t ) . Aceast eroare este nul dac

refacerea semnalului cu timp continuu din semnalul cu timp discret s-ar face cu unH ( j )Te

H ( j ) = A ( )

Teu ( t ) Te u ( kTe )

e 2

e 2

u (t )

e 2

( ) = arg H ( j )

e 2

Fig. 33 Reconstruction idale du signal u (t ) Fig. 34 Caractristiques de frquence du filtre passe-bas idal

filtru trece jos ideal. Fie cazul teoretic

al reconstruciei ideale a semnalului u ( t ) , plecnd de la

semnalul eantionat u ( t ) u ( kTe ) (fig. 33). Rspunsul la frecven al filtrului trece-jos ideal este

Te , pentru e H ( j ) = 2 0, rest n

(67)

iar caracteristicile lui de frecven sunt reprezentate n fig. 34. Rspunsul la impuls al acestui filtru este Te 1 jt e 2 t 1 1 e 2 jt jt h( t ) = F1{H ( j)} = = sinc e (68) e H ( j) e d = Tee d = e 2 2 2 e 2 2 jt 2 Acest rspuns este reprezentat n fig. 35. Aa cum s-a artat i n capitolul anterior, filtrul trece jos ideal nu este cauzal, deoarece el rspunde nainte de a aplica impulsul ( t ) la intrare (efectul precede cauza). In practic, pentru refacerea semnalului cu timp continuu din semnalul eantionat se utilizeaz extrapolatoare de ordinul zero sau de ordinul 1 Fie cazul cnd semnalul cu timp continuu u ( t ) este obinut cu un extrapolator deordinul zero. In fig. 36 este dat rspunsul la impuls al acestui estrapolator, a crui expresie estehE ( t ) = u ( t ) u ( t Te )u (t ) = (t ) 1 t h(t )

(69)

unde u ( t ) este semnalul treapt unitar. Funcia de transfer a extrapolatorului este transformata Laplace a rspunsului la impuls, deci:H E ( s ) = L {h ( t )} = L {u ( t )} L {u ( t Te )} = 1 1 = eTe s s st

1

(70)

2Te

Te

Te

2Te

Rezult :

HE (s) =

1 eTe s s

(71)

Fig. 35 Rspunsul la impuls al filtrului trece-jos idealVariabila de intrare n 1 extrapolator t

Rspunsul la frecven esteH E ( j ) =1 e jTe j

(72)

sauH E ( j) = e jTe / 2 e jTe / 2 e jTe / 2 = j

2Te

Te1

hE ( t )

Te

2Te

t

= Te e jTe / 2

2Te Te 2Te Te Fig. 36. Rspunsul la impuls al extrapolatorului de ordinul 0

e jTe / 2 e jTe / 2 = 2 jTe / 2

(73)

= Te e jTe / 2sinc

Te2

Deci, caracteri