5/26/2018 ASD12-13Appello2Recuperato
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1) Teorema dell'esperto: (n) T(n/ ) log(n)T = 5 5 +n3/2
limnoo n
log (5)5
n log (n)3/2= 0
limnoo
n log (n)3/2
nlog (5)0.15= 0
Caso 1 con .1 = 0
(n) (n )T = 2
2) Spiegare cos' l'albero delle decisioni di un algoritmo. Dire
perch l'albero delle
decisioni di un algoritmo generale di ordinamento ha altezza
maggiore o uguale di
dove la dimensione dell'array in ingresso.og(n!)l 2 n
Vedi dimostrazione del limite inferiore del costo di un
algoritmo di ordinamento nella lezione 6-7
3) Descrivere uno degli algoritmi visti a lezione per calcolare
il numero di inversioni di
un array di n elementi in tempo (nlogn)O
MERGE-SORT (A, n)
return MERGE-SORT-RIC (A, 1, n)
MERGE-SORT-RIC (A, p, r)
if (p r) return 0
q = (p + r)/2
inv1 = MERGE-SORT-RIC (A, p, q)inv2 = MERGE-SORT-RIC (A, q + 1,
r)
inv3 = MERGE (A, p, q, r)
return inv1 + inv2 + inv3
MERGE (A, p, q, r)
n1 = q p + 1
n2 = r q
for i = 1 to n1
L[i] = A[p + i 1]
for j = 1 to n2
R[j] = A[q + j]L[n1 + 1] =
R[n2 + 1] =
inv = 0
i = j = 1
for k = p to r
if (L[i] R[j] and i n1)
A[k] = L[i], i = i + 1
5/26/2018 ASD12-13Appello2Recuperato
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else
A[k] = R[j], j = j + 1
inv = inv + n1 i + 1
return inv
4) Calcolare il massimo numero totale di nodi in un albero
rosso-nero di altezza
nera e con un solo nodo rosso. Dimostrare che il massimo numero
di nodi si hak
quando il nodo rosso uno dei figli della radice
Siccome lalbero contiene un nodo rosso esso non vuoto e quindi .
Sek 1
dallalbero togliamo il sottoalbero con radice il nodo rosso e lo
sostituiamo
con uno dei due sottoalberi radicati nei suoi figli otteniamo un
albero rosso
nero con tutti i nodi neri e altezza nera k. Questalbero un
albero binario
completo di altezza k ed ha quindi
k
i=0
2i = 2k+1 1
nodi. Per ottenere il numero di nodi dellalbero originario
dobbiamo ag-
giungere il nodo rosso e il numero di nodi del sottoalbero
tralasciato. Se il
nodo rosso si trova a profondit il sottoalbero tralasciato un
albero binarioi
completo di altezza e contieneki
k
i=0
2i = 2ki+1 1
nodi. Il numero di nodi dellalbero originale, in funzione della
profondit a cui si trova il nodo
rosso, quindi:
2k+1 1 + 1 + 2ki+1 1 = 2k+1 + 2ki+1 1
che massimo quando la profondit i del nodo rosso minima. Siccome
la radice deve essere
nera, la profondit minima del nodo rosso 1 (il nodo rosso figlio
della radice). Dunque il
massimo numero di nodi e
2k+1 + 2k 1
5) Scrivere una versione della funzione Search(x, i) che data la
radice x di un albero
rosso-nero aumentato con il campo size ed un intero i cerca la
chiave i-esima in ordine
di grandezza. Si suppone che dove il numero di chiavi presenti
nellalbero1 in n
T. La complessit asintotica deve essere (log(n))O
SEARCH (x, i)
/* Precondizione: 1
