吸脱着つきASEPの

緩和ダイナミクス

東大先端研

佐藤 純,西成活裕

MIMS共同研究集会 「可積分系が拓く現象数理モデル」明治大学 2015年 11月05 日

内容

0. ASEPの簡単なレビュー

1. ASEP-LK1 Parmeggiani-Franosch-Frey, PRL 90 086601 (2003)

TASEPの場合の定常状態の厳密解Ezaki-Nishinari, J. Phys. A: Math. Theor. 45 185002 (2012)

簡潔な証明，TASEP→ASEPへの拡張 励起状態の構成，緩和時間の計算

2. ASEP-LK2

定常状態の構成 励起状態の構成，緩和時間の計算

TASEP(Totally Asymmetric SEP) (q = g = d = 0)

SSEP(Symmetric SEP) (p =q, a = g , b = d)

一次元非対称単純排他過程

ASEP (Asymmetric Simple Exclusion Process)

a b

g d

pq

時間 dtの間に確率 pdtで右にホップ

ASEPの時間発展：マスター方程式

L = 3 のとき，状態ベクトル：

L: セル数

ASEPの時間発展：マスター方程式

終（行） 始（列）

ASEPの時間発展：マスター方程式

終（行） 始（列）

ASEPの時間発展：マスター方程式

マルコフ行列 量子スピン系

ベーテ仮設で対角化可能！

Dhar 1987, Gwa-Spohn 1992, Kim 1995Golinelli-Mallick 2004, de Gier-Essler 2005

非対称XXZスピン鎖

P.B.Cの時

Mの固有値：

初期状態をMの固有ベクトルで展開

Mの固有ベクトル：

定常状態 (cf. MPA)

緩和時間 ：Dynamical

：Static

H = -M として，量子ハミルトニアンとみなすと，

Mの固有値：

Mの固有ベクトル：

：基底状態 ：第一励起状態

：エネルギーギャップ

Mの固有値：

エネルギーギャップの有限サイズスケーリング

緩和時間の動的指数

：量子系の基底状態 ASEPの定常状態

Parmeggiani-Franosch-Frey, PRL 90 086601 (2003)

Evans-Juhasz-Santen, PRE 68 026117 (2003)

Mitsudo-Hayakawa, J. Phys. A 38 3087 (2005)

吸脱着つきASEP

ASEP with Langmuir kinetics (ASEP-LK)

pq

cf. TASEP, PBCの場合の定常状態の厳密解：Ezaki-Nishinari, J. Phys. A: Math. Theor. 45 185002 (2012)

マルコフ行列

定常状態

非対称XXZ鎖＋非対角磁場

ユニタリ変換

定常状態

Ezaki-Nishinari, J. Phys. A: Math. Theor. 45

185002 (2012) の結果を再現

TASEP→ASEPへの拡張

XXZ spin chain

可解なASEP-LKの構成

6-vertex model:

XYZ spin chain

8-vertex model:

可解なASEP-LKの構成

pq

2つ粒子が並んでいれば，まとめて脱着

2つ空きが並んでいれば，まとめて吸着

定常状態

Ezaki-Nishinari, J. Phys. A: Math. Theor. 45 185002 (2012)

通常のASEP-LK

2粒子脱着のASEP-LK

2重縮退固有空間は2次元

可解なASEP-LKの構成

磁場あり非対称XYZスピン鎖！

：粒子数を増やす ：粒子数を減らす

有効磁場

さらに p = qの場合を考えると．．

Unitary変換：

かつ

強磁性XXZスピン鎖

基底状態： 2重縮退

第一励起：スピン波状態

有限のエネルギーギャップ：

緩和時間 で指数的に素早く緩和する！

実は p ≠ qの場合でも．．

Unitary変換：

有限のエネルギーギャップ：

緩和時間 で指数的に素早く緩和する！

まとめ

1. 吸脱着つきASEPの定常状態の別証明を与え，TASEP→ASEPへの拡張を行った．また，励起状態の構成，および緩和時間の計算に成功した．

2. 2粒子まとめて吸脱着させると，有限磁場下の非対称XYZスピン鎖に帰着する．

3. 吸着と脱着のレートを等しくすると磁場を消去できるが，これが可解かどうかは今後の課題．

4. さらに左右のHoppingレートp,qを等しくすると強磁性XXZ

スピン鎖になり，基底状態および低励起状態が厳密に構成できて，エネルギーギャップ，すなわち緩和時間が計算できる（緩和時間の結果自体はp≠qの場合でも成り立つ！）

5. 開放端の場合の解析，密度分布，流量のダイナミクス，などの具体的な解析は今後の課題．