ASIGNATURA: CÁLCULO INTEGRAL · Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos. Si giramos una región del plano alrededor de una línea, el

UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS I-2014

APUNTES DOCENTES

UNIDADES TENOLÓGICAS DE SANTANDER

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

ASIGNATURA: CÁLCULO INTEGRAL



UNIDAD 3

APLICACIÓN DE LA INTEGRAL

Es importante comprender el concepto de integral, para así poder analizar diferentes aplicaciones, aplicaciones que están directamente relacionadas con construcciones reales, y fenómenos físicos conceptualizados matemáticamente.

En esta unidad temática se generalizará la integral como él área bajo la curva, de ahí se inicia para encontrar grandes funciones a este concepto.

Si tenemos una curva continua, la podemos girar sobre alguno de sus ejes y formaremos un sólido construido a base de su revolución o su giro; además podemos hallar el área de su superficie; y el volumen del sólido que se forma.

Área de una Región entre dos Curvas

Con muy pocas modificaciones se puede extender la aplicación de las integrales definidas para el cálculo del área de una región situada por debajo de una curva, al área de una región comprendida entre dos curvas.

Teorema: Si f y g son continuas en ba, y )(xg )(xf para todo x en ba, ,

entonces el área de la región limitada por las gráficas de f y g y las líneas verticales ax y bx es

dxxgxfAb

a)()(

Es importante tener en cuenta que el desarrollo de la fórmula del área en el teorema

anterior depende solamente de la continuidad de f y g y del supuesto de que )(xg

).(xf No depende de las posiciones de las gráficas de f y g con respecto al eje x .



Si las gráficas de las figuras se localizan por encima del eje x , podemos interpretar geométricamente el área de la región entre las gráficas como el área de la región situada

debajo de la gráfica de f menos el área de la región situada debajo de la gráfica de g , como se muestra en la figura.

Utilizaremos el mismo procedimiento que se usó para encontrar el área bajo una curva. Se aproximará el área entre las dos curvas haciendo una partición del intervalo [a,b] en n subintervalos de longitud (b-a)/n. En cada subintervalo escogemos un valor particular de x, al que llamaremos x*.

1. Evaluamos f(x*) y g(x*) y formamos rectángulos de base (b-a)/n y de altura f(x*)-g(x*) (si f(x*)>g(x*)).

2. El área de dicho rectángulo es (f(x*)-g(x*))((b-a)/n). Al sumar las áreas de los rectángulos obtenemos una aproximación al valor del área entre las curvas.

3. Tomando el límite cuando n--->Infinito obtendremos el valor exacto del área buscada.

4. Por definición, el límite de la sumatoria de Riemann es la integral definida de f(x)-g(x) en [a,b].

5. Si g(x)>f(x) en alguna parte del intervalo, entonces la altura de los rectángulos es g(x*)-f(x*).

Ejemplo 1 Hallar el área de la región limitada por las gráficas de 22)( xxf y

.)( xxg

(Dos gráficas que se cortan)

Vemos que las gráficas f y g tienen dos puntos de intersección. Para hallar las

coordenadas x de estos puntos, igualamos )(xf con )(xg y despejamos a x .

22 x x

22 xx 0

012 xx

Por tanto 2a y 1b . Por ser )(xg )(xf en el intervalo 1,1 . Por tanto el

área de la región es:



2

942

3

82

2

1

3

12

232

1

2

2321

2

x

xxdxxxA

Ejemplo 2 Hallar el área de la región limitada por las gráficas de 22 xy , xy ,

0x y 1x .

(Región delimitada por dos gráficas que no se cortan)

Por el teorema mencionado anteriormente el área de la región es:

6

172

2

1

3

12

232)(2)()(

1

0

2321

0

21

0

x

xxdxxxdxxxdxxgxfA

b

a

Ejemplo 3 Calcular el área de la región situada entre las gráficas de

12)( 23 xxxxf y .13)( 2 xxxg

(gráficas que se cortan en más de dos puntos)

Para hallar las coordenadas x de estos puntos, igualamos )(xf con )(xg y

despejamos a x .

12 23 xxx 132 xx

1132 223 xxxxx 0

022 xxx

012 xxx



Por tanto los puntos de corte son ,0x ,2x .1x

Podemos apreciar en la figura que )(xg )(xf en 0,1 , sin embargo las curvas se

cruzan en el punto 1,0 y )()( xgxf en 2,0 .

Entonces

dxxxxdxxxxdxxfxgdxxgxfA 22)()()()( 232

0

230

1

2

0

0

1

12

374

3

841

3

1

4

1

3434

2

0

234

0

1

234

xxx

xxx

Ejemplo 4 Calcular el área de la región limitada por la gráficas de 23 yx y 1 xy

Imaginemos que rebanamos esta región en dirección vertical. Afrontamos el problema de que el límite inferior consta de dos curvas diferentes. Las rebanadas del extremo izquierdo se extienden de la rama inferior de la parábola a la recta. (ver figura)

x

y

( 1AR Rebanadas del extremo izquierdo)

Las rebanadas del extremo derecho se extienden de rama inferior de la parábola a su rama superior.(ver figura)



x

y

( 2AR Rebanadas del extremo derecho)

Resolver este problema con rebanadas verticales requiere que dividamos primero nuestra región en dos partes, formulemos una integral para cada parte y evaluemos después ambas integrales.

Primero necesitamos los puntos de intersección de estas dos curvas. Luego las coordenadas de estos puntos se pueden encontrar igualando las dos expresiones:

213 xx

123 2 xxx

03122 xxx

022 xx

012 xx

Por tanto los puntos de corte son ,2x .1x

Sea )(xf 1x y sea xxg 3)(

Podemos apreciar en la figura que )(xg )(xf en 3,1

Entonces

dxxgxfdxxgxfA ARAR )()()()(3

2

2

1 21

dxxxdxxx 33313

2

2

1

dxxxdxxx 33313

2

2

1

dxxdxxdxxdxx 3331

3

2

3

2

2

1

2

1

3

2

3

2

2

1

2

1

2

2

3

2

3

2

3

33

23

3

23

3

2

2xxxx

x



2

9

3

2

3

2

3

14

2

310

3

210

3

281

3

21

2

1

En general, para determinar el área entre dos curvas, hacemos:

dxAx

xabajo de curvaarriba de curva2

1 Rectángulos verticales

Si la gráfica de una función de y es el borde de una región, con frecuencia es conveniente usar rectángulos representativos horizontales y calcular el área integrando

respecto a y .

dyAy

yizquierda curvaderecha curva2

1 Rectángulos horizontales

Luego el ejercicio anterior se puede realizar de una manera más sencilla, es decir, tomando rectángulos representativos horizontales, así:

Estas curvas se cortan en ,2y .1y Como )(yf )(yg tenemos que:

1

2

2321

2

21

22

23213 y

yydyyydyyyA

2

94

2

2

3

82

2

1

3

1

Ejemplo 5. Hallar el área de la región limitada por las gráficas de xxxxf 103)( 23 y

xxxg 2)( 2

f(x)= 3x3 - x2 - 10x g(x)= - x2 + 2x

Se encuentran los puntos de corte igualando las ecuaciones )()( xgxf

xxx 103 23 xx 22

0123 3 xx



0)2)(2(3 xxx

Entonces los puntos de corte son 0x , 2x y 2x

Para encontrar el área se tiene en cuenta los puntos de corte y por la gráfica se observa la curva que está por arriba y la que está por debajo, además se encuentran dos áreas asi:

2

0

232

0

2

223

21 )103()2()2()103( dxxxxxxdxxxxxxAAA

2

0

3

0

2

3 312123 dxxxdxxxA

A

Volúmenes de Sólidos de Revolución

Al tratar de hallar el volumen de un sólido enfrentamos el mismo tipo de problema que el de buscar áreas. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.

Si giramos una región del plano alrededor de una línea, el sólido resultante es conocido como sólido de revolución y la línea como eje de revolución.

Discos y Arandelas

a) Método de Discos

El más simple de los sólidos de revolución es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo.

Para calcular el volumen de un sólido de revolución por el método de discos, se usa una de las siguientes fórmulas:



Eje horizontal de revolución Eje vertical de revolución

Volumen dxxRVb

a

2)( Volumen dyyRV

d

c

2)(

Si la región limitada por un semicírculo y su diámetro gira en torno a éste, genera un sólido esférico. Si la región interior de un triángulo rectángulo gira alrededor de uno de sus catetos, genera un sólido cónico. Cuando una región circular gira alrededor de una recta en un plano que no intercepta al círculo genera un toro (o una dona). En cada caso, es posible representar el volumen como una integral definida.

Hallar el volumen de un sólido formado al girar la región limitada por la gráfica de

xxf sin)( y el eje x x0 alrededor del eje x.

(Región plana)

Del rectángulo representativo de la figura anterior se observa que el radio de este sólido viene dado por:

xxfxR sin)()(

y se sigue que su volumen es:

dxxRVb

a

2)( dxx

2

0sin

211cossin 00

xxdx

Sólido de revolución

Ejemplo 2 Hallar el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por la

curva 3xy el eje de las y y la recta 3y en torno al eje de las y .

(Región plana)

Aquí rebanamos horizontalmente, lo que hace que y sea la elección apropiada para la



variable de integración. Observe que 3xy equivale a 3 yx . Luego la integral

quedaría:

dyyV2

3

03

1

5

99

5

3 33

0

3

5

dyy

Envolventes

Hay otro método para encontrar el volumen de un sólido de revolución: el método de cascarones cilíndricos o envolventes. En muchos casos, es mejor utilizar los métodos vistos anteriormente (discos y arandelas)

Un cascarón cilíndrico es un sólido limitado por dos cilindros circulares rectos

concéntricos. Si el radio interior es r1 , el exterior es r2 y la altura es h , entonces el volumen está dado por:

1221212

2

1

2

2122alturabase la de área rrhhrrrrhrrVrr

Por tanto:

grosoralturamedio radio2V

rrhV 2

Ejemplo 1. La región limitada por xy /1 , el eje de las x , 1x , 4x gira alrededor

del eje de las x . Encuentre el volumen del sólido resultante.



32.292223

284

1324

114

12

3

2

1

xdxxdxxVx

Volumen por Secciones Transversales

Hasta aquí los sólidos vistos han tenido secciones transversales circulares. Sin embargo, nuestro método funciona también para sólidos cuya sección transversal son cuadrados o triángulos. En realidad lo único que se necesita es calcular el área de la sección trasversal.

Ejemplo 1 la base de un sólido es la región plana del primer cuadrante limitada por

4

2

1 xy , el eje de las x y el eje de las y. Suponga que las secciones transversales

perpendiculares al eje de las x son cuadradas. Encuentre el volumen del sólido.

Cuando rebanamos este sólido mediante planos perpendiculares al eje de las x , se obtienen delgadas cajas cuadradas.



07.115

16

80

32

6

82

8061621

2

0

53422

0

xxxdx

xxV

Ejemplo 2 La base de un sólido es la región comprendida entre el arco de xy sin y el

eje de las x . Cada sección transversal perpendicular al eje de las x es un triángulo equilátero apoyado sobre su base. Encuentre el volumen del sólido.

Necesitamos conocer el área del triángulo equilátero. Entonces supongamos que u es el

lado del triángulo equilátero, luego el área va a ser igual a 3u2 /4 (veamos en la figura)

4/33 2

412

2

3

21 uuuuA

Para realizar la integración indicada, usamos la fórmula de ángulo medio

2/2cos1sin 2 xx

dxxdxdxuV x2

2cos104

32

04

32

04

3 sin

dxxxdx 2cos1sin08

32

04

3

xdxdx 2cos102

108

3

021

8

3 2sin xx

68.08

3

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