Assunto: Análise de Regressão Método de Mínimos · PDF filelinear de regressão + X e variância, por pressuposição, constante. Ajustando-se esse modelo por mínimos quadrados

Lista de Exercícios #9 Ass unto: Anális e de Re gres s ão – Mé todo de Mínimos Quadrados

1

1. ANPEC 1991 - Questão 8

A capacidade de produção instalada (Y), em toneladas, de uma firma, pode ser função da potência instalada

(X), em 1000kW, ou da área construída (Z) em 100m2. Dados:

X = 38, Y = 80, Z = 100, X 2 = 182

Y 2 = 736, Z 2

= 1048 XY = 361, YZ = 848 Sendo n = 10, pode-se afirmar que:

(0) Ao fazer uma regressão da capacidade de produção instalada em função da potência instalada (Y =

+ X) obtém-se como estimativas de e , 2,24 e 1,52, respectivamente.

(1) O R2 da regressão em (0) é de 0,90.

(2) Ao fazer uma regressão da capacidade de produção instalada em função da área construída (Y = +

Z) obtém-se como estimativas de e , -2,00 e 1,00, respectivamente.

(3) O R2 da regressão em (2) é de 0,92.

(4) Pode-se dizer que o melhor (porque tem maior correlação) usar a potência instalada (X), do que a área construída (Z) para estimar a capacidade de produção.


O lucro Y de uma empresa em função do tempo, X, tem distribuição normal com média seguindo a estrutura

linear de regressão + X e variância, por pressuposição, constante. Ajustando-se esse modelo por mínimos quadrados a uma série de 5 anos obtiveram-se os somatórios abaixo:

X = 15, Y = 38, X 2 = 55, Y 2

= 362, XY = 141. Pode-se afirmar que, exceto por erro de arredondamento, (0) A estimativa do termo constante é -0,5.

(1) O quadrado do coeficiente de correlação múltipla R 2 é 80%.

(2) A estimativa do coeficiente de X é 1,4. (3) A estimativa da variância do erro estocástico é 0,10. (4) A soma dos quadrados explicada pelo modelo é 85,6.


Ainda em relação à questão anterior pode-se concluir que, exceto por erro de arredondamento:

(0) O erro padrão da estimativa de é igual a 0,77.

(1) O erro padrão da estimativa de é igual a 0,10. (2) A previsão do lucro para X = 10 é 26,5 milhões de cruzeiros. (3) O coeficiente do tempo é altamente significativo produzindo um valor observado da estatística t de

Student de 27. (4) A estatística F de adequação do modelo é 729.


2


O custo total, C, de uma indústria e sua produção, X, têm uma relação linear do tipo C X 0 1 . Para se ajustar esse modelo por mínimos quadrados ordinários é preciso assumir certas hipóteses como: (0) A variável independente X seja aleatória. (1) Os erros tenham média zero. (2) A variância dos erros não seja constante. (3) Os erros sigam uma distribuição normal. (4) A variável independente X seja independente do temo erro.


Considere o modelo Y X ui i i , estimado pelo método dos Mínimos Quadrados Ordinários. Pode-se dizer que:

(0) Se o coeficiente estimado for igual a um ( 1), a correlação linear entre X e Y será perfeita. (1) A significância de será testada tanto por meio de teste t quanto do teste F.

(2) Se o R2 estimado for menor que 10%, o modelo deverá ser abandonado.

(3) Se for introduzida mais uma variável explicativa no modelo, o R 2 certamente não diminuirá.

(4) Se o coeficiente estimado for inferior à unidade ( 1), a reta passará pela origem.


Suponha que se tenha usado dados de 12 plantações para estimar a função de produção:

Y = 2,10 + 0,32 X (0,3) (0,08)

em que Y é medido em toneladas de café por hectare de X em centenas de quilo de fertilizante por hectare. O

erro-padrão das estimativas sb0 e sb1 são dados entre parênteses. Pode-se afirmar que: (0) Ao nível de 5% ambas estimativas são significantes.

(1) Se o desvio-padrão da variável X ( sX ) é 1 e o desvio-padrão da variável Y (sY ) é 1 então o coeficiente de correlação entre X e Y, r, é 0,32.

(2) Para fazer a análise de variância dessa regressão precisa-se conhecer apenas a variação explicada pela regressão um vez que os graus de liberdade já são conhecidos.

(3) Se o café custar $15 por tonelada e o fertilizante $3 por 100 quilos, não vale a pena ao fazendeiro usar mais fertilizante para aumentar a produção, pois o custo marginal excede a receita marginal.

(4) Um aumento de 100 quilos de fertilizante provoca um aumento de 2,42 toneladas na produção de café.


3


Quanto ao modelo de regressão linear simples da forma

Y a bX ui i i em que

Y representa a produção de parafusos; X a quantidade de trabalho, medida em homens/hora de trabalho; e u a perturbação aleatória; podemos afirmar que:

(0) O valor da variável Y nunca pode ser previsto exatamente devido à presença da perturbação

ocasionada pela variável independente X.

(1) Para cada valor de X i , temos como pressuposto básicos que o correspondente ui tem distribuição normal com média zero.

(2) O pressuposto de homocedasticidade significa que cada perturbação tem a mesma variância cujo valor é desconhecido.

(3) Pelos seus pressupostos básicos, as perturbações ui são não correlacionadas e estatisticamente dependentes.


Suponha que, num modelo de regressão linear simples, o regressor (variável independente) seja

correlacionado com o termo erro. Sobre o estimador de MQO, podemos afirmar:

(0) É, em geral, viesado.

(1) Não é possível de ser obtido.

(2) É não viesado, porém não é eficiente.

(3) É consistente.


Considere o seguinte modelo de regressão linear clássico, relacionando as variáveis quantidade demandada (Q) e preço do produto (P). Admita que as duas variáveis sejam medidas em Reais, e que a estimação será efetuada por MQO (ln é logaritmo natural)

lnQi = 1 + 2 lnPi + ui i = 1,2,..., 100.

É correto afirmar que:

(0) Variando-se o preço em 1%, a quantidade demandada variará 102%, ceteris paribus.

(1) Ignorando-se o termo aleatório, se o preço ultrapassar determinado limite, será possível obter quantidades demandadas negativas.

(2) Se mudarmos as unidades de Q e P para dólares americanos, então a estimativa de 2 na nova equação será igual a sua estimativa obtida na equação em Reais.

(3) Se a variável ln Y (Y = renda) for acrescentada ao modelo o coeficiente R2 desta nova regressão será

maior ou igual ao coeficiente R2 da regressão original.

(4) Se o coeficiente R2 ajustado da regressão com a variável ln Y for maior do que o coeficiente R

2 ajustado

da regressão original, então necessariamente, o coeficiente de ln Y é estatisticamente significante, ao nível de significância de 5%, em um teste bi-lateral.


4


Ao testar a significância do coeficiente angular ß de um modelo de regressão linear simples encontrou-se

valor-p = 3x10 3 . Pode-se afirmar que:

(0) O erro tipo II será igual a 3x10 3 .

(1) A probabilidade de o verdadeiro valor do parâmetro encontrar-se no intervalo

ˆ2ˆ S é 99,7%.

(2) O mais baixo nível de significância ao qual a hipótese nula pode ser rejeitada é 3x10 3 .

(3) O coeficiente é significante a 99% de confiança.

(4) A potência do teste é definida por (1 – 0,003).


A partir de uma amostra de n elementos, foi estimada uma regressão linear simples, pelo método de mínimos quadrados, obtendo-se os resultados:

tt XY 1ˆˆˆ 0ˆ

121 KR

A seguir, a mesma regressão foi estimada sabendo-se que a reta de regressão da população passa pela origem das coordenadas (termo constante = 0), obtendo-se os resultados:

tt XY 2ˆˆ

222 KR

Pode-se afirmar que:

(0) ̂ 1 = ̂ 2

(1) ) de padrão (desvio ) de padrão (desvio 12 12 ss

(2) A reta Xˆ2 passa pelo ponto médio da amostra ( Y,X )

(3) (K2 / K1) > 1

(4) A soma dos resíduos de mínimos quadrados de ambas equações estimadas é zero.


Um pesquisador estima o seguinte modelo de regressão simples: iii eXY 10 . Outro pesquisador

estima o mesmo modelo, mas com escalas diferentes para iY e iX . O segundo modelo é:

***

1

*

0

*

iii eXY , em que: ii YwY 1

* , ii XwX 2

* e 1w e 2w são constantes maiores que zero.

(0) Os estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários de 0 e 1 são iguais aos de *

0 e *

1 .

(1) Se 2*̂ é a variância estimada de

*

ie e 2̂ é a variância estimada de ie , então

22

1

2* ˆˆ w .


5

(2) As variâncias dos estimadores dos parâmetros do primeiro modelo são maiores do que as variâncias dos estimadores do segundo modelo.

(3) Os coeficientes de determinação são iguais nos dois modelos.

(4) A transformação de escala de (iY ,

iX ) para ( *

iY , *

iX ) não afeta as propriedades dos estimadores de

Mínimos Quadrados Ordinários dos parâmetros.


Considere o seguinte modelo de regressão:

yi = β1+ β2xi + ui, i = 1,...,n

Suponha que xi é não estocástico e que

E[ui] = 0, E[ui²] = σ², E(ui, uj) = 0 para todo i ≠ j

Considere os dois estimadores alternativos de β2:

n

ii

n

iii

x

yxb

1

2

12

e

n

i i

n

i ii

xx

yyxx

1

2

12̂

Onde

n

i

ixnx1

1 e

n

i

iyny1

1 são as médias amostrais de x e y respectivamente.


Ⓞ b2 em geral é um estimador não viesado de β2.

①2̂ é um estimador não viesado de β2 se e somente se β1 = 0.

②2̂ é mais eficiente do que b2 se β1 = 0.

③ b2 é um estimador não viesado de β2 se, para qualquer amostra de tamanho n, 0x .

④ b2 é um estimador não viesado de β2 se, para qualquer amostra de tamanho n, 0y .


Considere o seguinte modelo de regressão linear clássico em que as variáveis são expressas como desvios em relação às respectivas médias:

yi = αxi + ui, i = 1,...,n e

E[ui] = 0, E[ui²] = σ², E(ui, uj) = 0 para todo i ≠ j Suponha, por simplicidade, que xi é um regressor escalar não estocástico. Propõe-se estimar α através da razão entre as médias amostrais de yi e xi:

Calcule a variância de . Multiplique o resultado por 100. (Sabe-se que σ² = 100, n = 100 e

5/1

nxx

n

i i ).

x

y


6

15. ANPEC 2012 - Questão 12 Considere o seguinte modelo de regressão:

yi = β0 + β1x1i + εi

Em que β0 e β1 são parâmetros estimados pelo método dos mínimos quadrados ordinários e εi representa o erro do modelo. Julgue as seguintes afirmativas:

Ⓞ A hipótese de que E[y|x1]=0 assegura que a soma dos resíduos da regressão é igual a zero. ① Nesse modelo, a soma dos quadrados total é igual a soma dos quadrados explicada mais a soma dos

quadrados dos resíduos da regressão.

② A covariância amostral entre a variável independente x1i e os resíduos da regressão é zero se a hipótese de que E[y|x1]=0 for verdadeira.

③ Neste modelo, a covariância amostral entre os valores preditos pela regressão, , e os resíduos da

regressão é sempre igual a zero. ④ Para verificar quão bom é o ajuste da regressão podemos usar o R

2, que é igual ao quadrado do coeficiente

de correlação entre yi o observado e o predito, .


Um pesquisador tem dados de 50 países das seguintes variáveis: N, número médio de jornais comprados durante um ano; Y, PIB per capita medido em dólares. Ele roda a seguinte regressão (desvios padrões entre

parênteses, RSS = soma dos quadrados dos resíduos, F = estatística F para a equação, R² = coeficiente de determinação):

(10,0) (0,010)

Suponha que você rode a mesma regressão com Y medido em reais. Assuma, por simplicidade, que a taxa de câmbio seja dois reais por dólar. É correto afirmar que:

Ⓞ A estimativa do coeficiente de Y permanecerá inalterada.

① A estimativa do intercepto permanecerá inalterada.

② RSS permanecerá inalterado.

③ A estimativa do desvio padrão do coeficiente de Y permanecerá inalterada.

④ R² permanecerá inalterado.


7

17. ANPEC 2014 - Questão 01 Neste exemplo, queremos prever o peso do indivíduo i usando somente sua altura,

iii XY 10,

no qual Y é o peso do indivíduo e X a altura. Assumimos que Niii XY

1,

é uma amostra aleatória,

0][ ii XE , 0][ iXVar , ][ 4

iXE , ][0 4

iuE e 2

][ ii XVar . Após coletar a informação de

peso e altura de 100 indivíduos, obtemos a seguinte tabela:

N

i

iY1

N

i

iX1

2

1

N

i

i YY 2

1

N

i

i XX XXYY i

N

i

i 1

18 8 95 1200 4800

Estimando o modelo por Mínimos Quadrados Ordinários, calcule o valor da estimativa obtida para 1̂ .

Multiplique o resultado por 10.


Considere o modelo de regressão abaixo:

Considere os seguintes estimadores de β1:


Ⓞ é um estimador não tendencioso de ;

① Se é um estimador consistente de ;

② Se não é um estimador consistente de ;

③ é um estimador não tendencioso de ;

④ Se .

19. ANPEC 2015 - Questão 13 O governo gostaria de estimar o efeito do Programa Saúde da Família sobre a taxa de internação por difteria das crianças entre 0 e 4 anos de idade. Para isso, ele gostaria de estimar o seguinte modelo de regressão:

no qual é a taxa de internação do município i, é uma variável binária que é igual a 1, se o município i participa do programa, e 0, caso contrário. Usando os dados para o Brasil em 2013, temos os seguintes


8

resultados: . Neste caso, é a média da taxa de internação para os municípios que

participaram do Programa e é a média da taxa de internação para os municípios que não participaram do Programa. Além disso, 70% dos municípios brasileiros participam do Programa Saúde da Família. Você estima o modelo acima por Mínimos Quadrados Ordinários. Qual o valor obtido para o coeficiente associado

a ?


Um economista deseja avaliar o consumo de carne bovina em 2 estados brasileiros: Rio Grande do Sul (RS) e

Rio Grande do Norte (RN). Para tanto, ele seleciona uma amostra de 50.000 unidades de consumo, 35.000

localizadas no Rio Grande do Sul (primeira sub-amostra) e 15.000 no Rio Grande do Norte (segunda sub-

amostra). Inicialmente, o economista preferiu trabalhar com as sub-amostras em separado.

Para as duas sub-amostras ele estima a Curva de Engel para o consumo de carne bovina pelo método de

Mínimos Quadrados Ordinários. Os resultados das regressões estão abaixo, em que os erros-padrão estão

entre parênteses:

[Para a resolução desta questão talvez lhe seja útil saber que se Z tem distribuição normal padrão, então

P(|Z|>1,645)=0,10 e P(|Z|>1,96)=0,05]

(0,25) (0,04)

R² = 0,45 e n=35.000

(0,65) (0,07)

R² = 0,38 e n=15.000

em que ln(consumo) é o logaritmo natural do consumo de carne bovina, em quilogramas, e ln(renda) é o

logaritmo natural da renda total do domicílio, em milhares de reais. Todas as suposições usuais acerca do

modelo de regressão linear clássico são satisfeitas.


9

Com base nos resultados acima, e supondo que a amostra é suficientemente grande para que aproximações

assintóticas sejam válidas, é correto afirmar que:

Ⓞ Na equação (1), mantendo os preços constantes, com um aumento de 1% na renda das unidades de

consumo, o consumo de carne bovina terá um aumento esperado de 1,15%;

① De acordo com os resultados das regressões, para um nível de renda igual a R$ 1,00, o consumo de carne

no Rio Grande do Sul será maior do que no Rio Grande do Norte, mantendo todas as demais condições

constantes;

② É possível afirmar, ao nível de significância de 10%, que no Rio Grande do Norte a carne bovina depende

exclusivamente do nível de renda, portanto, não é um bem de primeira necessidade;

③ É possível afirmar, com 1% de significância, que a demanda de carne bovina no estado do Rio Grande do

Sul é superior a do Rio Grande do Norte em 67%, para um nível de renda média igual R$ 1.000,00;

④ O economista decidiu trabalhar apenas com a amostra completa, agregando as informações dos dois

estados e indicando a localização da unidade de consumo por meio de uma variável dummy, nos parâmetros

em que 1 indica o estado do Rio Grande do Sul. Dado um aumento de 1% na renda a diferença média de

consumo de carne bovina entre as unidades localizadas no Rio Grande do Sul e no Rio Grande do Norte será a

diferença entre os dois parâmetros da ln(renda) das equações (1) e (2).


Foram obtidos os seguintes resultados via análise de regressão linear:

com R² =0,50 (5,45) (-9,06)

Na pressa, o pesquisador se esqueceu de incluir a estatística F nos resultados. Este pesquisador precisa verificar se a regressão é significante. Ajude-o, calculando o valor da estatística F do teste a ser empregado. Marque somente a parte inteira.


10


Considere o modelo de regressão linear simples:

Para uma amostra de 10 observações são encontrados os seguintes resultados:

Sendo o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários de , calcule o valor da estimativa de

usando os resultados da amostra.


1


Em relação ao modelo de regressão múltipla

Y X X X e ii i i k ki i 0 1 1 2 2 12 , , ,

Pode-se afirmar que: (0) O método, dos mínimos quadrados ordinários (MQO), usado para estimar os coeficientes

j j k, , , , 0 1 exige que o erro tenha distribuição normal.

(1) Se adicionarmos um novo regressor X k1 à equação acima então o coeficiente de determinação, R 2

pode ou não aumentar. (2) Os estimadores de MQO dos coeficientes j j k, , , , 0 1 são não viciados (ou não viesados).

(3) Os coeficientes j j k, , , , 0 1 podem ser interpretados como as elasticidades entre os regressores

X j e a variável Y.


Em um modelo clássico de regressão linear múltipla: (0) Uma das hipóteses estabelece que as variáveis explicativas são linearmente independentes. (1) Os testes t e F não são equivalentes. (2) A comparação do poder explicativo de modelos envolvendo número diferente de variáveis

explicativas deve ser feita com base no R 2 ajustado.

(3) Cada uma das variáveis explicativas tem distribuição normal. (4) A variância da variável dependente é igual à variância do termo aleatório.


Uma implementação empírica do modelo de capital humano é feita com a seguinte especificação:

lnY =i 0 1 2 3 XPR XPR Si i i i

2,

onde Yi representa a renda do trabalho do i-ésimo indivíduo, S i

o número total de anos de sua escolaridade,

A i sua idade medida em anos, e, XPR = Ai i Si

, sua experiência de trabalho, medida pela

diferença entre sua idade e o total de anos de escolaridade. Finalmente, i é um distúrbio aleatório do

modelo de regressão associado ao i-ésimo indivíduo de uma amostra de N indivíduos. Pode-se afirmar que: (0) se os erros são independentes e identicamente distribuídos, a razão entre os estimadores de mínimos

quadrados ordinários dos i’s e seus respectivos desvios-padrão têm distribuição assintótica Normal.

(1) o sinal do coeficiente 2 indica a presença de retornos decrescentes ou crescentes à experiência de

trabalho. (2) mesmo em presença de heterocedasticidade na estrutura de erros, o estimador de mínimos quadrados

ordinários é consistente. (3) mesmo em presença de heterocedasticidade na estrutura de erros, o estimador de mínimos quadrados

ordinários é relativamente eficiente.



2

Foram encontrados os seguintes resultados para estimar uma regressão linear com duas variáveis explicativas para uma amostra de tamanho 10.

Variáveis preditoras

Coeficiente Desvio padrão

Estatística

“t’

p-valor

Constante 223,3 254,8 0,88 0,410

X1 -1,26 0,8263 -1,52 0,172

X2 -1,03 3,213 -0,32 0,752

R2 = 81,2%; R

2 ajustado = 76,1%; Valor calculado da estatística F=15,1

Podemos afirmar que:

(0) A equação de regressão estimada é , , . , .Y X X 223 3 1 26 1 031 2

.

(1) A um nível de significância de 5% podemos afirmar que a regressão existe. Porém, após elaborarmos os testes de hipóteses para os coeficientes individuais, aceitamos a hipótese (a um nível de significância de

1%) de que o coeficiente para a variável X2 é zero.

(2) O coeficiente de determinação indica que 81,2b% da variação amostral de Y podem ser atribuídos as

variações de X1 e X2.

(3) O valor estimado para Y quando X1 = 15 e X2 = 80 é 220.

(4) Os valores teóricos das estatísticas “t” utilizadas para testar os coeficientes das variáveis explicativas devem ser calculados para 7 graus de liberdade.


É correto afirmar a respeito do modelo de regressão linear clássico multivariado: XY , com n

observações e k > 2 variáveis explicativas, incluindo-se o intercepto. (0) Os coeficientes de inclinação não se alteram quando se modif icam as unidades de medida de Y e X

multiplicando-os por uma constante, por exemplo, transformando-se seus valores de reais para dólares.

(1) Se o modelo for estimado com apenas k-1 variáveis explicativas (mas mantendo o intercepto), os coeficientes estimados poderão ser viesados e inconsistentes.

(2) Quando os coeficientes ’s estimados forem altamente significativos, individualmente, mas a estatística F

e o R2 indicarem que o modelo como um todo tem um baixo poder explicativo, pode-se desconfiar da

presença de multicolinearidade.

(3) Para testar a hipótese conjunta de que 0...32 k , pode-se utilizar o teste

)])(1[(

)1(2

2

)(),1(;knR

kRF knk

, em que R

2 é o coeficiente de determinação do modelo.

(4) Sempre que o modelo tiver pelo menos duas variáveis explicativas além do intercepto, o R2 será maior ou

igual ao R2 ajustado.


3


Considere o modelo de regressão linear múltipla para dados seccionais

.,,1,22110 niuxxxy ikikiii

É correto afirmar que: (0) para que os estimadores de mínimos quadrados sejam os melhores estimadores lineares não-tendeciosos é

necessário que os erros sejam normalmente distribuídos;

(1) a hipótese que nixxxuVar kiiii ,,1,),,,|( 2

21 , não é necessária para que os estimadores de

mínimos quadrados sejam consistentes;

(2) a inclusão de uma nova variável explicativa no modelo reduzirá o coeficiente de determinação R2 ;

(3) para que as estatísticas t e F sejam válidas assintoticamente é necessário que os erros sejam normalmente distribuídos;

(4) se nixxCov ii ,,1,0),( 31 os estimadores de mínimos quadrados ordinários da regressão

niuxxxy ikikiii ,,1,22110 , serão tendenciosos.


O método dos mínimos quadrados ordinários foi empregado para estimar o modelo de regressão abaixo, cujo objetivo é explicar as variações de renda entre 526 indivíduos:

,526,441,0

,00058,0029,0080,0297,0417,0)log(

2

2

)00010,0()005,0()007,0()036,0()099,0(

nR

uexperexpereducsexorenda

em que

sexo é uma variável dicotômica (valor 1, se for homem e 0, caso contrário), educ é o número de anos de escolaridade, exper é experiência profissional, também medida em anos. Os números entre parênteses

são os erros-padrão das estimativas )4.,,.,..1,0( isib .

Com base nos resultados acima, é correto afirmar:

(0) a regressão não é estatisticamente significante pois o coeficiente de determinação é menor do que 0,5;

(1) a diferença de renda entre homens e mulheres não é estatisticamente significante;

(2) um ano a mais de escolaridade, mantidos constantes todos os demais fatores, aumenta em 0,08% a renda

de um indivíduo do sexo feminino;

(3) a significância conjunta das variáveis educ e exper não pode ser medida por meio da estatística t. Para

isto, o teste F deve ser utilizado;

(4) o modelo é incapaz de captar diferenças nos retornos da educação entre homens e mulheres.


4


Considere o modelo de regressão linear múltipla para dados seccionais:

.,,1,22110 niuxxxy ikikiii


(0) Para que os estimadores de mínimos quadrados sejam lineares não-tendeciosos de menor variância (BLUE) é necessário que os erros sejam homocedásticos.

(1) A hipótese que nixxxuVar kiiii ,,1,),,,|( 2

21 , é necessária para que os estimadores de

mínimos quadrados sejam não-tendenciosos.

(2) As estatísticas t e F continuam válidas assintoticamente mesmo que os erros da regressão sejam heterocedásticos.

(3) Se nixxCov ii ,,1,0),( 31 , os estimadores de mínimos quadrados ordinários da regressão

niuxxxxy ikikiiii ,,1,4422110 , serão consistentes.

(4) Se nixxCov ii ,,1,0),( 31 os estimadores de mínimos quadrados ordinários da regressão

niuxxxxy ikikiiii ,,1,4422110 , serão consistentes.


Um pesquisador estimou uma regressão múltipla com 5 variáveis independentes e n = 56, mas na pressa, não imprimiu os resultados e anotou apenas o valor do R

2 = 0,90, o coeficiente de determinação. Este pesquisador

precisa verificar se a regressão é significante. Ajude-o, calculando o valor da estatística do teste a ser empregado.


Considere o seguinte modelo para a população: Y = 2 + 4X – 5Z + u, em que u é o termo aleatório e

0)(),|( uEZXuE . A partir de uma amostra de n indivíduos, estimaram-se os parâmetros deste

modelo, tendo, todavia, sido omitida a variável Z. Ou seja, o modelo estimado foi: ii XY 10ˆˆˆ . Suponha

ainda que, para amostra em questão, tenham sido obtidos os seguintes resultados:

7,0

)(

))((

1

2

1

n

i

i

n

i

ii

XX

XXZZ

, em que

n

i

iXn

X1

1 e

n

i

iZn

Z1

1.

Calcule XE |ˆ1 . Multiplique o resultado por 10.


5


O método dos mínimos quadrados ordinários foi empregado para estimar o modelo de regressão abaixo, cujo objetivo é explicar as variações de renda entre 526 indivíduos de uma amostra aleatória:

ln(renda) = 0,362+ 0,094 educ + 0,014 exper – 0,178 sexo – 0,010 exper x sexo + u (0,128) (0,008) (0,002) (0,058) (0,002)

R2 = 0,368 n = 526

em que sexo é uma variável dicotômica (valor 1, se for mulher e 0, caso contrário), educ é o número de anos de escolaridade (0 ≤ educ ≤ 17), exper são anos de experiência profissional (0 ≤ exper ≤ 40) e u é a estimativa do erro. Os números entre parênteses são os erros-padrão das estimativas, robustos à heterocedasticidade.

Com base nos resultados acima, é correto afirmar: (0) Ao nível de significância de 5%, o efeito de um ano a mais de experiência profissional para indivíduos

do sexo masculino é estatisticamente maior do que o efeito para mulheres. (1) Para um indivíduo com 10 anos de escolaridade, 1 ano adicional de estudo acarreta um aumento da renda

de aproximadamente 9%. (2) O efeito na renda de um aumento de 1 ano na experiência profissional para as mulheres é 1% menor do

que para os homens. (3) Pela inspeção dos resultados da estimação fica claro que os erros do modelo são heterocedásticos. (4) Se a um nível de significância de 5%, o valor crítico do teste F para a regressão for 2,37, os coeficientes

angulares serão conjuntamente diferentes de zero.


Julgue as afirmativas:

Ⓞ Heterocedasticidade ocorre quando o erro aleatório em um modelo de regressão é correlacionado com uma das variáveis explicativas.

① Quando o erro aleatório em um modelo de regressão é correlacionado com alguma variável explicativa, os estimadores de mínimos quadrados não são consistentes.

② Na presença de heterocedasticidade, estimadores de mínimos quadrados ordinários são ineficientes.

③ Os testes t e F usuais não são válidos na presença de heterocedasticidade.

④ Na presença de heterocedasticidade, estimadores de mínimos quadrados ordinários são não viesados, mas são inconsistentes.


A regressão abaixo foi estimada com o objetivo de explicar a diferença de salários entre homens e mulheres. As seguintes variáveis foram utilizadas:

sal = salário médio por hora, em Reais; homecas = 1 se homem e casado; = 0, caso contrário; mulhcas = 1 se mulher e casada; = 0, caso contrário; mulhsol = 1 se mulher e solteira; = 0, caso contrário; edu = número de anos de educação formal; exper = número de anos de experiência profissional; empre = número de anos com o atual empregador.


6

Entre parênteses, encontram-se os erros-padrão calculados por Mínimos Quadrados Ordinários (MQO).

sal) (̂log = 0,300+0,200homecas – 0,200mulhcas – 0,100mulhsol + 0,0800edu + 0,0200exper + 0,0300empre

(0,100) (0,055) (0,050) (0,050) (0,006) (0,005) (0,006) Suponha que um indivíduo do sexo masculino, com 15 anos de experiência profissional, se case. Ceteris paribus, qual a variação percentual esperada no seu salário dois anos após seu casamento em relação ao seu salário de solteiro? Suponha que o número de anos de educação formal do indivíduo não se tenha alterado e que ele não tenha trocado de emprego.


Um econometrista estimou o seguinte modelo de regressão para explicar a renda de 526 indivíduos:

log(renda) = 0,510 − 0,310 genero + 0,080 educ + 0,030 exper − 0,001 exper2 + u ,

(0,099) (0,036) (0,03) (0,005) 0,00010) R

2 = 0,441, n = 526

em que

genero é uma variável dicotômica ( = 1 se mulher, = 0, caso contrário), educ é o número de anos gastos com educação, exper é a experiência profissional do indivíduo, medida em anos. Os desvios padrões dos coeficientes estão entre parênteses.

Com base nesses resultados, julgue as afirmativas:

Ⓞ O efeito de um ano a mais de experiência profissional na renda média de um indivíduo do sexo masculino é, 0,030 unidades monetárias.

① As mulheres recebem salários 31% mais baixos que os dos homens, em média. ② De acordo com o modelo estimado e, a hipótese de que o efeito médio de um ano a mais de educação na

renda dos indivíduos seja diferente de 10% é rejeitada ao nível de significância de 5%.

③ Se V(u|genero, educ, exper) = a2 + b

2educ, então os estimadores de mínimos quadrados são tendenciosos.

Nota: V(u|X) é a variância de u condicionada a X, a e b são parâmetros.

④ Em uma regressão do resíduo u em função de educação e gênero, o R2 será zero.


Considere a regressão múltipla: y = β0 + β1x1+ β2x2+ β3x3 + u

cujos parâmetros tenham sido estimados pelo método dos mínimos quadrados ordinários. Julgue as afirmativas:

Ⓞ Se E(u| x1, x2, x3)=0 e o modelo não é perfeitamente colinear, então os estimadores não são viesados. ① Se o R

2 = 1, então y é uma combinação linear de x1, x2 e x3.

② O R2 ajustado aumenta ao se incluir uma variável adicional, caso tal variável seja significativa ao nível de

5%.

③ Se o modelo satisfaz as hipóteses do teorema de Gauss-Markov, então 1̂ é o estimador linear não

viesado de β1 com menor variância possível.

④ Se omitirmos x3 da regressão, os estimadores de β0, β1 e β2 podem ser viesados.


7

16. ANPEC 2009 - Questão 11 Suponha que o modelo linear abaixo descreva as relações entre quatro variáveis aleatórias escalares: y, X, Z e

.

2 Equação0||,|,

1 Equação,|

10

210

EXEZEXZEZX

ZXZXyE

Suponha ainda que 0e0,0,0,0 10210 .

Indique se cada umas das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa:

(0) ZZyE 20| .

(1) Seja uZXy 210 . Então 0,| ZXuE .

(2) ZZXE 10| .

(3) Seja Zy 10, em que

0100 e 2111 . Portanto, 0| ZE .

(4) Considere uma amostra de n observações das variáveis aleatórias y, X e Z. O estimador

2

1

1

n

i

i

n

i

ii

ZZ

ZZy

T é um estimador não-tendencioso para o parâmetro2111 .

17. ANPEC 2009 - Questão 14 O método dos mínimos quadrados ordinários foi empregado para estimar o modelo de regressão abaixo cujo objetivo é explicar as variações de renda entre 487 indivíduos:

487458,0

002,0002,00003,0059,0073,0

ˆexp009,0exp01,0004,0169,0883,0log

2

nR

ugeneroerereducgenerorenda

em que gênero é uma variável dicotômica (valor 1 se for mulher e 0 caso contrário), educ é o número de anos de escolaridade e exper é a experiência profissional também medida em anos. Os números entre parênteses são os erro-padrão das estimativas. Com base nos resultados acima, é correto afirmar: (0) A 5%, o efeito de uma ano a mais de escolaridade para os indivíduos do sexo masculino é

estatisticamente maior do que o efeito para as mulheres. (1) O efeito na renda de um ano a mais de experiência profissional para as mulheres é 0,9% menor do que

para os homens. (2) O modelo acima não pode ser estimado por mínimos quadrados, pois há uma interação entre as variáveis

exper e gênero. (3) Para um mesmo nível de escolaridade e experiência profissional, a renda média dos homens é superior a

das mulheres. (4) Para um individuo com 10 anos de escolaridade, 1 ano adicional de estudo acarreta um aumento da renda

de aproximadamente 14%.



8

[Para a resolução desta questão talvez lhe seja útil saber que se Z tem distribuição normal padrão, então Pr(|Z|>1,645)=0,10 e Pr(|Z|>1,96)=0,05.] Considere as seguintes estimativas obtidas pelo método de mínimos quadrados ordinários para o modelo de regressão abaixo (desvios-padrões entre parênteses):

ln(salário) = 0,600+ 0,175sindicato + 0,090sexo+0,080educ+0,030 exper – 0,003 exper2+ ûi

(0,201) (0,100) (0,050) (0,032) (0,009) (0,001)

R2 = 0,36

em que educ e exper denotam, respectivamente, o número de anos de estudo e o número de anos de experiência profissional, sindicato é uma variável dummy que assume o valor 1 se o trabalhador for sindicalizado e 0 caso contrário e sexo é uma variável dummy igual a 1 se o trabalhador for do sexo masculino e igual a 0 se for do sexo feminino. O resíduo da regressão é o termo ûi. Todas as suposições usuais acerca do modelo de regressão linear clássico são satisfeitas.


Ⓞ Supondo que o tamanho da amostra seja grande o suficiente para que aproximações assintóticas sejam válidas, é possível rejeitar, ao nível de significância de 5%, a hipótese nula de que os salários de trabalhadores sindicalizados e não sindicalizados são iguais. A hipótese alternativa é que os trabalhadores sindicalizados ganham mais do que os não sindicalizados.

① Supondo que o tamanho da amostra seja grande o suficiente para que aproximações assintóticas sejam válidas, é possível rejeitar, ao nível de significância de 5%, a hipótese nula de que os salários de homens e mulheres são iguais. A hipótese alternativa é que os salários de homens e mulheres são diferentes.

② Um ano adicional de experiência eleva o salário em 3,00%. ③ Se incluirmos um regressor adicional entre as variáveis explicativas, o R² não diminuirá. ④ Supondo que os erros tenham distribuição normal e que o tamanho da amostra seja 206, é possível

rejeitar, ao nível de significância de 5%, a hipótese de que os coeficientes da regressão, com exceção do intercepto, são simultaneamente iguais a zero (F0,95; 5, 200 = 2.2592).

19. ANPEC 2012 - Questão 3 Usando uma base de dados que têm informação de 65.535 trabalhadores, queremos verificar se existe desigualdade salarial entre os setores da economia. Consideremos que a economia está dividida em 4 setores: indústria, comércio, serviços e construção. Cada um dos trabalhadores está em um dos quatro setores e eles são mutuamente exclusivos. Seja Yi o salário mensal do trabalhador i e definimos para cada setor uma variável binária que é igual a 1 se o trabalhador está em determinado setor e 0 caso contrário. Estimando um modelo linear de regressão, obtemos o seguinte resultado:

= 4,0 + 0,12educi + 0,03idadei + 0,40homemi -0,05DIi - 0,15DCi – 0,25Dconsi

(0,02) (0,008) (0,0001) (0,0005) (0,001) (0,003) (0,005)

R2 = 0,83

em que

educ representa o número de anos de estudos de cada trabalhador, idade é medida em anos, homem é uma variável binária que assume valor igual a 1 se i é homem e 0 caso contrário, DI representa a


9

dummy para indústria, DC para o comércio e DCons para o setor de construção. Entre parênteses encontra-se o erro padrão.

Baseado nas informações acima julgue as seguintes afirmativas: [Para a resolução desta questão talvez lhe seja útil saber que se Z tem distribuição normal padrão, então Pr(|Z|>1,645) = 0,10 e Pr(|Z|>1,96) = 0,05.]

Ⓞ Com base nos resultados acima, é possível rejeitar ao nível de 5% de significância a hipótese nula de que o salário do setor da indústria é igual ao salário do setor de serviços para trabalhadores com o mesmo nível educacional, a mesma idade e do mesmo sexo. A hipótese alternativa é que os salários nestes setores sejam diferentes.

① Com base nos resultados acima, é possível rejeitar ao nível de 5% de significância a hipótese nula de que o salário no setor de construção é igual ao salário no setor de comércio, mantendo educação, idade e sexo fixos. A hipótese alternativa é que os salários nestes setores sejam diferentes.

② Com base nos resultados acima, é possível rejeitar ao nível de 5% de significância a hipótese nula de que o salário nos 4 setores da economia são iguais, mantendo constante educação, idade e sexo.

③ Os resultados do modelo acima permitem testar a hipótese de que o retorno salarial entre homem e mulher é diferente para cada nível educacional, ao nível de 5% de significância.

④ Com base nos resultados acima, podemos testar a hipótese de que o intercepto do modelo linear de salário em função da educação, idade e setor para homem é diferente do intercepto do mesmo modelo linear de salário para mulher.

20. ANPEC 2012 - Questão 11 Suponha que um pesquisador esteja interessado em investigar os determinantes da delinquência juvenil e tenha acesso aos seguintes dados provenientes de 100 cidades de um dado país: A, o número de internações por 1000 adolescentes; P, o número de residências por 1000 domicílios na cidade com renda abaixo da linha da pobreza; S, o número de residências por 1000 domicílios na cidade com apenas um dos pais. O pesquisador estima a seguinte regressão:

A = β1 + β2P + β3S + u em que

u é um termo de erro que satisfaz todas as hipóteses usuais do modelo de regressão. A correlação populacional entre P e S é 0,96.

Julgue as seguintes afirmativas:

Ⓞ A alta correlação populacional entre P e S dará origem ao problema conhecido como multicolineariedade. ① Multicolineariedade não torna viesados os estimadores de mínimos quadrados ordinários dos coeficientes,

mas faz com que eles sejam inconsistentes.

② As estimativas dos desvios padrões serão viesadas e provavelmente subestimarão os valores verdadeiros. ③ Na presença de multicolineariedade, os testes t e F não são válidos. ④ Se ao invés de uma alta correlação populacional entre P e S, houvesse uma alta correlação populacional

entre A e P ou entre A e S, o problema de multicolineariedade seria ainda pior.



10

Usando uma base de dados que contém informação sobre 437 firmas, estimamos uma função de produção Cobb-Douglas:

(0,003) (0,035) (0,023)

em que

denota o produto (em logaritmo), representa o insumo trabalho (em logaritmo) e , o insumo capital (em logaritmo).

Os números entre parênteses representam o erro-padrão associado a cada coeficiente. Baseado no resultado acima, julgue as afirmativas:

Ⓞ Considerando que o tamanho da amostra é grande o suficiente para que aproximações assintóticas sejam válidas, é possível rejeitar a hipótese de que o retorno marginal do insumo capital, mantendo o insumo trabalho constante, é igual a zero ao nível de significância de 5%. [Nesta questão, pode ser útil saber que a 5% de significância a estatística é t = 1,645].

① Mantendo o capital em dado nível, um aumento de 10 para 11 unidades de trabalho causa um aumento no produto de 0,99 + 0,64 = 163.

② Com base nas informações acima, podemos testar a hipótese de retornos constantes de escala, isto é, a hipótese nula de que

③ Com base nos dados acima, construímos um intervalo de 95% de confiança para , [0,41, 0,495].

Supondo que o tamanho da amostra seja grande o suficiente para que aproximações assintóticas sejam

válidas, com base neste intervalo, podemos rejeitar a hipótese nula de

ao nível de significância de

5%.

④ Suponha que estimamos uma nova função de produção que relaciona o produto com capital, trabalho e

uma medida das condições climáticas enfrentadas por cada firma. Podemos afirmar que R² deste modelo será maior que 0,91.


Usando dados de uma amostra aleatória da população com 80.000 indivíduos, é estimada uma

regressão pelo método de Mínimos Quadrados Ordinários. Os resultados dessa regressão são mostrados abaixo, em que os erros-padrão são mostrados entre parênteses:

[Para a resolução desta questão talvez lhe seja útil saber que se Z tem distribuição normal padrão, então P(|Z|>1,645)=0,10 e P(|Z|>1,96)=0,05]

ln(salário) = 0,30+ 0,10 escol + 0,03 idade - 0,15 mulher – 0,05(mulher x escol)

(0,10) (0,04) (0,01) (0,03) (0,05) R

2 = 0,45 e n=80.000,

em que escol representa o número de anos de estudo, idade é a idade do indivíduo em anos e mulher é uma variável dummy igual a 1 se o trabalhador for do sexo feminino e igual a 0 se for do sexo


11

masculino. Todas as suposições usuais acerca do modelo de regressão linear clássico são satisfeitas.

Com base nos resultados acima, e supondo que a amostra é suficientemente grande para que aproximações assintóticas sejam válidas, é correto afirmar que:

Ⓞ É possível rejeitar, ao nível de significância de 10%, a hipótese nula de que o coeficiente associado a variável escol é igual a zero. A hipótese alternativa é a de que o coeficiente

associado a variável escol é diferente de zero;

① A média dos salários dos homens é maior do que a média dos salários das mulheres;

② Cada ano adicional de escolaridade deve elevar os salários em 10%;

③ O coeficiente de interação (mulher x escol) é significante (hipótese alternativa de que é diferente de zero) ao nível de 10%;

④ É possível rejeitar, ao nível de significância de 5%, a hipótese nula de que o coeficiente

associado a variável idade é igual a zero. A hipótese alternativa é que o coeficiente associado a variável idade é maior do que zero.


Suponha que queremos estimar como a renda de um indivíduo varia ao longo do ciclo de vida.

Queremos testar a teoria de que a renda do indivíduo cresce a partir do momento que ele entra no

mercado de trabalho até uma idade média, e depois começa a decrescer até o final do ciclo de vida.

Usando dados de uma pesquisa anual para 14.368 trabalhadores, estimamos o seguinte modelo:

iiiiii XXXXY 2

143322110 ,

em que

iY é o logaritmo da renda mensal do indivíduo i, iX1 é a idade do indivíduo i, iX 2 é uma

variável binária que é igual 1 se o indivíduo é homem e iX3 representa o número de anos de

estudo do indivíduo i.

Estimando o modelo por Mínimos Quadrados Ordinários, obtemos o seguinte resultado, em que os valores em

parênteses abaixo dos coeficientes representam os erros-padrão: [Para a resolução desta questão talvez lhe

seja útil saber que se Z tem distribuição normal padrão, então P(|Z|>1,645)=0,10 e P(|Z|>1,96)=0,05]

2

1)0009,0(

3)08,0(

2)46,0(

1)08,0()67,1(

06,010,155,945,066,49ˆiiiii XXXXY .

Ⓞ Se a teoria descrita acima é verdadeira, esperamos que o sinal de 1 seja positivo e o sinal de 4

negativo;

① Neste modelo, o intercepto do modelo para homens é 0 + 2 , e o do modelo para mulheres é somente

0 ;


12

② O resultado indica que, mantendo tudo mais constante, o aumento de 1 ano da idade do indivíduo aumenta a sua renda em 45%;

③ Temos evidência de que a equação de salários dos homens apresenta um intercepto diferente do modelo para mulheres;

④ Com os resultados do modelo, podemos afirmar que idade e educação têm um efeito conjunto significativo no logaritmo do salário, isto é, temos evidência para rejeitar a hipótese nula

0,0: 320 H .


Julgue as seguintes afirmativas:

Ⓞ Colinearidade quase perfeita na matriz de variáveis explicativas causa um viés no estimador de Mínimos Quadrados Ordinários;

① Colinearidade quase perfeita na matriz de variáveis explicativas causa um viés no estimador da variância do estimador de Mínimos Quadrados Ordinários;

② Colinearidade quase perfeita na matriz de variáveis explicativas gera uma perda da propriedade de eficiência do estimador de Mínimos Quadrados Ordinários;

③ Colinearidade quase perfeita faz com que o erro-padrão de algumas estimativas dos coeficientes de Mínimos Quadrados Ordinários seja grande;

④ Colinearidade quase perfeita faz com que o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários deixe de ser linear.


Considere as seguintes afirmativas sobre os estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários em um modelo de

regressão múltipla:

Ⓞ A presença de colinearidade imperfeita entre as variáveis explicativas gera estimadores viesados;

① Se a hipótese de homoscedasticidade for violada, os estimadores de MQO serão viesados;

② Assuma que todas as suposições de Gauss Markov foram satisfeitas, então os estimadores de MQO serão

os melhores estimadores na classe dos lineares;

③ Se o valor esperado dos erros estimados do modelo for diferente de zero, então os estimadores de todos os

parâmetros, inclusive o intercepto, não serão viesados;


13

④ As estimativas de modelos cross-section com a presença de correlação serial geram estimadores viesados.

26. ANPEC 2017 - Questão 5 Considere o modelo de regressão linear:

Com base nesse modelo, é correto afirmar:

Ⓞ A hipótese não é necessária para que o estimador de Mínimos

Quadrados Ordinários (MQO) de seja consistente.

① Se , o estimador de MQO de tem distribuição normal.

② Se , o estimador de MQO de é tendencioso.

③ Se a correlação entre e é igual a 0,95, o estimador de MQO de não é

eficiente.

④ Suponha que os parâmetros do modelo tenham sido estimados por MQO. Se

, a estatística t não é válida para testar a significância dos

parâmetros do modelo.



Considerando o modelo de regressão múltipla

Y X X Xj j j k kj j 0 1 1 2 2

pode-se afirmar que: (0) A análise de variância da regressão testa se todos os coeficientes estimados da regressão

( j) são significantes simultaneamente.

(1) O vetor de soluções para os parâmetros j é expresso por ( ' ) ' X X X Y1

.

(2) Para estimar os parâmetros j da regressão é necessário que as variáveis explicativas

sejam independentes entre si.

(3) O coeficiente de determinação múltipla corrigido para graus de liberdade ( R 2) pode ser

negativo.


Considere o seguinte modelo de regressão, em forma matricial, com T observações amostrais e k regressores (X):

T T k k T

y X

1 1 1

,

(0) com regressores não-estocásticos, o estimador de mínimos quadrados ordinários de é uma

função linear das observações amostrais.

(1) o estimador de máxima verossimilhança de requer o pressuposto de média zero e de

variância finita na estrutura de erros, dispensando a especificação de uma distribuição paramétrica da mesma.

(2) o estimador de máxima verossimilhança de é enviesado mas consistente.

(3) os estimadores de mínimos quadrados ordinários de e de máxima verossimilhança de

coincidem quando os erros são independentes e identicamente distribuídos com distribuição Normal.

(4) caso tenha distribuição multivariada Normal, com média zero, e matriz de covariância

dada por 2 IT, o estimador de máxima verossimilhança de 2

é viesado para amostras

finitas.


Seja o seguinte modelo de regressão linear múltipla na forma matricial:

Y X . ,

onde as dimensões das matrizes e dos vetores envolvidos são: Y => (n 1); X => (n k);

=> (k 1); e => (n 1).

Então, podemos fazer as seguintes afirmações:

(0) Um dos pressupostos básicos do modelo é: Os elementos da matriz X são estocásticos com

valores fixados em amostras repetidas.


(1) Outro pressuposto básico é: nenhuma das variáveis independentes deve estar perfeitamente

correlacionada com qualquer outra variável independente ou com qualquer combinação

linear de outras variáveis independentes.

(2) As equações normais de mínimos quadrados para o modelo dado podem ser apresentadas em

notação matricial como ( ' ) ( ' ) X Y X X e a solução para será

( ' ) ( ' ) X X X Y

1.

(3) Quando testamos a existência do modelo de regressão, fazemos as seguintes hipóteses sobre

os coeficientes da regressão (admitindo que 1

0 , ou seja, a regressão não passa pela

origem):

Hipótese nula => H0: 2 3

0 ...k

Hipótese alternativa => H1: Todos os i 0 , para i = 2, 3,…, k.

(4) Os intervalos de confiança dos coeficientes da regressão podem ser calculados da seguinte

maneira:

( . ; . ) i n k i n k

t s t si i

onde

i = estimativa do coeficiente i; tn k = abcissa de uma distribuição “t” com (n -

k) graus de liberdade, fixado o grau de confiança de intervalo; e si

= erro padrão estimado

de

i .

4. ANPEC 2010 - Questão 13 Considere a regressão

y = Xβ + Suponha que tenhamos uma amostra de tamanho 4 e que

;

e

.

Compute a estimativa eficiente de β.


Considere a seguinte regressão

y = Xβ +

em que y, X e são vetores de dimensão nx1 e β é um escalar. Adicionalmente, suponha que

E( |X) = 0 e que


0

0

5

7

0

1

1

1

1

1

,

80000

06000

00400

00030

00001

|' yeXXE

Compute a variância condicional em X do estimador de mínimos quadrados ordinários de β. Multiplique o resultado por 100.

Documents

Assunto: Análise de Regressão Método de Mínimos · PDF filelinear de regressão + X e variância, por pressuposição, constante. Ajustando-se esse modelo por mínimos quadrados